belİrlİ İntegral
DESCRIPTION
BELİRLİ İNTEGRAL. Tanım: f fonksiyonu [ a,b ] aralığında tanımlı ve integrallenebilen fonksiyon ise;. *Özellikleri. *Eğri Altında Kalan Alan Hesabı. *İntegral Türevi. *İki Eğri Arasında Kalan Alan. *Özel tanımlı Fonksiyonların İntegrali. *Dönel Cisimlerin Alanı. ÖZELLİKLERİ. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Tanım:f fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı ve integrallenebilen fonksiyon ise;
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
*Özellikleri
*İntegral Türevi
*Özel tanımlı Fonksiyonların İntegrali
*Eğri Altında Kalan Alan Hesabı
*İki Eğri Arasında Kalan Alan
*Dönel Cisimlerin Alanı
ÖZELLİKLERİ
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx)x(fcdx)x(cf)3
dx)X(fdx)x(f)2
0dx)x(f)1
)ba(
dx)x(fdx)x(f)6
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
bca)5
dx)x(gdx)x(fd)x(g)x(f)4
b
a
b
a
b
a
c
a
b
c
b
a
b
a
b
a
a
a-
a
a
a
0
b
a
b
a
0f(x)dx
isefonksiyon tek f(x) )9
dx)x(fdx)x(f
f(x)f(-x) isefonksiyon çift f(x))8
dx)x(gdx)x(f
ise, g(x)f(x) veba)7
2n 10n3n 10)f(n
6f(1)-f(n) x32
2xf(x) Çözüm
?n ise 6dx)3x2( Ör
2
2
n
1
2
2
1)
2sin(sin
2
2
1x
2sin
2
2
x
dx x 2
cosdxx f(x)dx f(x)dx Çözüm
?dx)x(f ise 2x1 ,
2cos
1x0 x,f(x) Ör
2
1
1
0
2
2
1
1
0
2
1
1
0
2
0
2
3
3
2sin
3sinu2sinu2
2u 1sinu 2sinu2 2x
6u
2
1sinu sin2u1 1x
u2sinu2 u2sin2
1u(2
u2cos12du ucos4du ucos2u4sin-4
2cosudx2sinu xÇözüm
?dxx4Ör
32
6
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
2
2
1
2
İNTEGRAL TÜREVİ
)x('h)x(hf)x('g)x(gfdt)t(fdx
d)3
)x('g)x(gfdt)t(fdx
d)2
)x(fdt)t(fdx
d)1
)x(g
)x(h
)x(g
a
x
a
x2cos4x2cos222x2sindx
dÇözüm
?)udusin(dx
dÖr
u12cosu6u6)u3(4cosÇözüm
?xdx4cosdu
dÖr
x2
32
2
22
u3
0
2
dx
dy
1-2y
2x
dx
dy)1y2(x2
dx
dy)1y2(
x
2e 0
dx
dy)1y2(
x
x2e
0dt)1t2(dx
ddxe
dx
dÇözüm
?dx
dy ise 0dt)1t2(dteÖr
33
lnx2
xln2
y
1
xln
1
t2
xln
1
1
y
t2
42
2
2
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
?dxx21xÖr3
1
3-2x 12x -3 x21-x
2-x x-2x -2 x-2
1- x1-xx -1 1x
2 1 x
1
1
3
1
3
2
23dx)3x2(dxdx)3x2(Çözüm
?dx)xsinx(sinÖr
2sinx 2sinx - xsinxsin
sinx sinx - sinx
- sinx
sinx -sinx sin(-x9 xsin
x x - x
0 - x
0
0
8xdxsin2xdxsin2Çözüm
4
1
2 ?dx)6x5x(SgnÖr
1 1- 1 Sgn
- 65x-x
4 3 2 1 x2
2
1
3
2
4
3
1dxdxdxÇözüm
?dx)1xsgn(x(Ör3
1
1 x 1x- 1-x-
1 1 1 - 1)sgn(x
- - 1x
x x - x - x
0 1- x
0
1
3
0
5dx)1x(dx)1x(Çözüm
?dx 4x3Ör2
1
1 0 1- 4-3x
2 1 0 1- 4-3x
6 5 4 3 x33
6
3
5
3
4
3
3 x
3
4
1
3
6
3
5
0dxdxÇözüm
?dx 4
x :Ör
9
0
2 1 0 4
x
3 2 1 0 4
x
12 8 4 0 x
8
4
9
8
6dx2dx :Çözüm
?11 :2
0
dxxxÖr
1 xx -2 1x1x
2 1 1x
3 2 1 1x
1- xx -1 1-x
2 1 0
x
41x-2 :2
1
1
0
dxxdxÇözüm
?xsgn :3
1-
dxÖr
1 1 0 1- xsgn
2 1 0 1- x
3 2 1 0 1- x
0
1-
3
1
1dxdx- :Çözüm
?sinxsgn :2
2
dxÖr
1- 0 sinxsgn
1- 1- 0 sinx
0 1- 0 1 sinx
2 23 2 x
2
-dx- :Çözüm
?coscosx :2
dxxÖr
0 cosx coscosx
cosx cosx - cosx
0 1- cosx
1 0 1- cosx
2 23
x
x
1 cos:23
dxxÇözüm
EĞRİ ALTINDA KALAN ALANIN HESABI
A2
y=f(x)
ab
c x
y
A1
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxfAAA )()()(21
1)
2) y
y=f(x)
ba x
b
a
b
a
ydxdxxfA )(
y
y=f(x)
ba x
b
a
dxxfA )(
3)
a
b
y
A1
x=f(y)
x
A2
b
c
c
a
b
a
dyyfdyyfdyyf
AAA
)()()(
21
4)
5)
b
a
b
a
xdydyyfA )(
a
b
y
x
x=f(y)
6)
a
by
x
x=f(y)
b
a
dyyfA )(
nedir? alanıbölgenin
kalan arasıras ekseni x ile eğğris x-2xy : 2Ör
2322
0
2 3
4
32
2x-2xS
2 x0 x )2(
brxx
dx
xxy
20
y
x
?dir'br kaçalan kalan arasıras
ekseni x vedoğoğrula 2 x-1, xdoğoğrus 2 x:2
Ör
22
2
1
2
1
2
1
2
2
152
2
122
2
2
22
)2()(
br
xx
dxxdxxfA
-1-2
2
2
y
x
Ör: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz.
ÇÖZÜM:
-2 2
2
x
y
2
33
2
2
2
2
32
3
16
3
44
3
44
6
222
6
222
32
12
22
br
xxdx
xA
İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN
f(x)
a b c
g(x)
x
y
b
a
dxxgxfS )()(
a b
f(x)
g(x)
S
x
y
b
a
dxxgxfS )()(
*Üstteki eğriden alttaki eğri çıkartılır!
a
b
x
yf(y)g(y)
b
a
dyygyfS )()(
*Sağdaki eğriden soldaki eğri çıkartılır!
ÖR:y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?
ÇÖZÜM:
y2=y+6 y2-y-6=0 (y+2) (y-3)=0
y=-2 , y=3
y=x-6
y2=x
3
-2x
y
dirbr
yy
ydyyyA
'6
125
6
1119
3
8
2
919
3
8109
2
9
3
812
2
4
3
2718
2
9
36
26
2
3
2
3
2
322
DÖNEL CİSİMLERİN ALANI
x
y
a b
y=f(x)
dxydxxfVb
a
b
a
x 22)(
x
a
b
yx=f(y)
dyxdyyfVb
a
b
a
y 22)(
nedir? hacmicismin edilen elde siyledöndürülme 360 etrafinda
ekseniox bölgenin kalan arasıras ekseniox eparabolüyl 1:0
2xyÖr
15
16
21
1
1
1
42
1
1
2
x
x
x
V
dxxxV
dxxV
x1
y
-1
