Bem-vindos (as), estudantes! Vamos recordar... e conhecer

um novo conjunto numérico...

Prof. Mara

Recordando... Números Naturais

Você já ouviu falar dos Números Naturais? Eles são utilizados a todo o momento em nosso dia a dia e, muitas vezes, nem percebemos. Quer ver só? Pense nas respostas para as seguintes perguntas: Quantos anos você tem? Qual é o seu número de telefone? Quantos títulos o Brasil ganhou na Copa do Mundo? Para todas essas perguntas, precisamos dos números naturais para expressar a resposta!

A função dos números naturais é contar e ordenar. Nesse sentido, vale lembrar que os homens, antes de inventarem os números, tinham muita dificuldade em realizar a contagem e ordenação das coisas.

De acordo com a história, essa necessidade começou com a dificuldade apresentada pelos pastores dos rebanhos em contarem suas ovelhas. Assim, alguns povos antigos, desde os egípcios, babilônios, utilizaram diversos métodos, desde acumular pedrinhas ou marcar as ovelhas. Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. Este universo é abordado de duas formas distintas: abordagem ordinal, em que os números indicam posições, e a abordagem cardinal, em que os números designam quantidades. A formalização mais bem sucedida para o conjunto dos números naturais foi proposta pelo matemático Guiusepe Peano, no século XIX. Ele relacionou os conceitos ordinais e cardinais estabelecendo o conjunto IN, cuja representação matemática é:

Conjunto N - Os Números Naturais

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...} são números inteiros positivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado de N, composto de um número ilimitado de elementos.

Observe as formas que os símbolos são escritos:

Ν= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}

Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}.

Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco ao lado do símbolo N e, nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

O conceito de número foi evoluindo ao longo dos tempos, tendo-se criado novos números para responder a problemas entretanto surgidos.

O conjunto dos números naturais também podem ser representados no Diagrama

de Venn. O diagrama é um método de organização de conjuntos que consiste em agrupar seus elementos dentro de figuras geométricas.

Por meio de estudos relacionados à lógica, John Venn criou uma diagramação baseada em figuras no plano. Esse método consiste basicamente em círculos que possuem a propriedade de representar relações entre conjuntos numéricos. Também pode ser utilizado no estudo da Estatística a fim de organizar e analisar dados colhidos em pesquisas de opinião. Geralmente usamos o modelo ao lado

Relação entre dois conjuntos: A e B. A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) B = (5, 6, 7, 8, 9, 10) Símbolos: U = união ∩ = intersecção A U B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) A ∩ B = (5, 6)

Podemos observar por meio dos exemplos que os diagramas representam de forma prática e eficiente as relações de união e de intersecção entre os conjuntos numéricos. Eles podem ser usados na representação de quaisquer conjuntos, no intuito de estabelecer uma melhor demonstração e compreensão dos elementos pertencentes ao conjunto.

Afirmações sobre o Conjunto N:

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor.

• 6 é o sucessor de 5. • 7 é o sucessor de 6. • 19 é antecessor de 20. • 47 é o antecessor de 48.

Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito? • O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...} • Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}

• O conjunto dos alunos da classe. • O conjunto dos professores da escola. • O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

O zero é o único número natural que não tem antecessor.

Entre dois números naturais consecutivos não existe outro número natural

Adicionando ou multiplicando dois números naturais quaisquer obtém-se um número natural.

Números Inteiros - inteiros relativos ou simplesmente inteiros.

A partir dos números naturais podemos realizar as operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. No conjunto N, a adição e a multiplicação de 2 números naturais sempre terão como resultado um número natural. Mas a subtração entre 2 números naturais só resultará em um número natural quando o primeiro for maior ou igual ao segundo. Vejamos os exemplos:

Ao realizarmos uma subtração em que o primeiro número é menor que o segundo, o resultado será um número negativo, que não é considerado um número natural (o conjunto dos números naturais não nulos só contém números positivos). O símbolo indicador de um número negativo é o “–“ (“sinal de menos”). Confira um exemplo abaixo:

Assim, surge um novo conjunto de números, formado pelos números naturais e os negativos – o conjunto dos números inteiros.

Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –. Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg de arroz, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –. Se ele comprasse 7 Kg de arroz, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +. Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico...

Representação: Os números inteiros são representados pelo símbolo Ζ (vem de Zahlen - número em alemão), formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte forma: Z = {...,–3, –2, –1, 0, +1, +2, +3,...} Observações: os números negativos são sempre acompanhados pelo sinal de negativo (-) (à sua frente) e os positivos são acompanhados pelo sinal positivo (+) ou sem sinal nenhum. O zero não é positivo e nem negativo.

Afirmações sobre Ζ: todo número inteiro tem antecessor e sucessor. é infinito. entre dois números inteiros consecutivos não existe outro número inteiro. Adicionando ou multiplicando dois números inteiros quaisquer obtém-se um número inteiro. Agora veja:

Módulo (ou valor absoluto) do número inteiro O módulo de um número inteiro é a distância dele até o ponto de origem na reta numérica . |-4| = 4 |-5| = 5 |+6| = 6 | 0 | = 0

Atenção: •o módulo de um número é representado por duas barrinhas ( | | ),como nos exemplos acima. •o módulo de um número sempre é positivo, ele nunca será negativo.

Números opostos ou simétricos Dois números inteiros são opostos ou simétricos quando, na reta numérica, estão a mesma distância da origem em sentidos opostos. Ex.: O oposto de de +5 é -5 O oposto de -37 é +37 Os números opostos também podem ser representados da seguinte forma: -(+17) = -17 -(-24) = +24

Preencha a tabela:

antecessor número sucessor 7

99 0

-99 n

Comparação de números inteiros Consideremos os números inteiros –2 e +3. Evidentemente, –2 < +3, pois na reta numérica:

–2 situado à esquerda de +3. Portanto para comparar dois ou mais números inteiros, basta colocá-los na reta numérica e verificar a posição, considerando que um número situado à esquerda de outro é menor que esse outro. Então:

–5 < +4 e +4 > –5 –2 < +3 e +3 > –2

Para comparar números inteiros atente-se: •O número que está à direita de outro na reta numérica é maior do que ele. •O número que está à esquerda de outro na reta numérica é menor que ele. •O zero é maior que qualquer número negativo. •O zero é menor que qualquer número positivo.

Atividade

Complete as sentenças com os símbolos =, > (maior) ou < (menor). +25 +31 0 -7 +28 -12 -9 -15 0 +5 -52 -31 -5 0 -15 ____ +1 +100 ____ -100 -19 ____-18 +20_____ -20 -15 ____ +1 -8_____ +3

Adição e subtração (adição algébrica) Multiplicação Divisão Potenciação Radiciação

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS

1) Adição de números positivos

A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLO

a) (+2) + (+5) = +7 b) (+1) + (+4) = +5 c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7 b) +1 + 4 = +5 c) +6 + 3 = +9

Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e

eliminamos os parênteses das parcelas.

2) Adição de números negativos A soma de dois números negativos é um número negativo Exemplo a) (-2) + (-3) = -5 b) (-1) + (-1) = -2 c) (-7) + (-2) = -9 Simplificando a maneira de escrever a) -2 - 3 = -5 b) -1 -1 = -2 c) -7 - 2 = -9 Observe que podemos simplificar a maneira de escrever deixando de colocar o sinal de + na operação e eliminando os parênteses das parcelas.

3) Adição de números com sinais diferentes A soma de dois números inteiros de sinais diferentes é obtida subtraindo-se os valores absolutos, dando-se o sinal do número que tiver maior valor absoluto (módulo). a) (+6) + ( -1) = +5 b) (+2) + (-5) = -3 c) (-10) + ( +3) = -7 simplificando a maneira de escrever a) +6 - 1 = +5 b) +2 - 5 = -3 c) -10 + 3 = -7

Note que o resultado da adição tem o mesmo sinal que o número de maior valor absoluto Observação: Quando as parcelas são números opostos, a soma é igual a zero.

Exemplo a) (+3) + (-3) = 0 b) (-8) + (+8) = 0 c) (+1) + (-1) = 0

Simplificando a maneira de escrever a) +3 - 3 = 0 b) -8 + 8 = 0 c) +1 - 1 = 0 4) Um dos números dados é zero

Quando um dos números é zero , a soma é igual ao outro número. a) (+5) +0 = +5 b) 0 + (-3) = -3 c) (-7) + 0 = -7

ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS Para obter a soma de três ou mais números adicionamos os dois primeiros e, em seguida, adicionamos esse resultado com o terceiro, e assim por diante. 1) -12 + 8 - 9 + 2 - 6 = = -4 - 9 + 2 - 6 = = -13 + 2 - 6 = = -11 - 6 = = -17 2) +15 -5 -3 +1 - 2 = = +10 -3 + 1 - 2 = = +7 +1 -2 = = +8 -2 = = +6 Na adição de números inteiros podemos cancelar números opostos, porque a soma deles é zero.

INDICAÇÃO (NOTAÇÃO) SIMPLIFICADA a) podemos dispensar o sinal de + da primeira parcela quando esta for positiva: a) (+7) + (-5) = 7 - 5 = +2 b) (+6) + (-9) = 6 - 9 = -3 b) Podemos dispensar o sinal + da soma quando esta for positiva: a) (-5) + (+7) = -5 + 7 = 2 b) (+9) + (-4) = 9 - 4 = 5

SUBTRAÇÃO ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o significado do oposto. Veja: a) -(+8) = -8 (significa o oposto de +8 é -8 ) b) -(-3) = +3 (significa o oposto de -3 é +3) analogicamente: a) -(+8) - (-3) = -8 +3 = -5 b) -(+2) - (+4) = -2 - 4 = -6 c) (+10) - (-3) – (+3) = 10 + 3 - 3 = 10 conclusão: podemos eliminar parênteses precedidos de sinal negativo trocando-se o sinal do número que está dentro dos parênteses.

ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES 1) parênteses precedidos pelo sinal + Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses. a) + (-4 + 5) = -4 + 5 b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7 2) Parênteses precedidos pelo sinal - Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de - que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses. a) -(4 - 5 + 3) = -4 + 5 -3 b) -(-6 + 8 - 1) = +6 -8 +1

Multiplicação e divisão de números inteiros:

Exemplos: (+ 3) . (+ 5) = + 15 (+ 2) . (+ 4) = + 8 (- 4) . (- 10) = + 40 (- 20) : (- 2) = + 10 (+ 15) : (+ 3) = + 5

Sinais iguais na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal positivo. Regra do sinal: (+) . (+) = (+) → Operação de Multiplicação (–) . (–) = (+) → Operação de Multiplicação (+) : (+) = (+) → Operação de Divisão (–) : (–) = (+) → Operação de Divisão

Sinais diferentes na multiplicação ou na divisão sempre resultam em sinal negativo

Regra do sinal: (+) . (–) = (–) → Operação de Multiplicação (–) . (+) = (–) → Operação de Multiplicação (+) : (–) = (–) → Operação de Divisão (–) : (+) = (–) → Operação de Divisão Em relação à multiplicação e à divisão, podemos estabelecer a seguinte regra geral: 1 – Se os dois números possuírem o mesmo sinal, o resultado será positivo. 2 – Se os dois números possuírem sinais diferentes, o resultado será negativo.

Exemplos:

(+ 6) . (– 7) = – 42 (– 12) . (+ 2) = – 24 (+ 100) : (– 2) = – 50 (– 125) : (+ 5) = - 25

POTENCIAÇÃO A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais Exemplos 2³ = 2 .2 .2 = 8

1) O expoente é par a) (+7)² = (+7) . (+7) = +49 b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49 c) (+2)⁴ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = + 16 d) (-2)⁴ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = + 16 Conclusão : Quando o expoente for par, a potencia é um número positivo 2) Quando o expoente for impar a) (+4)³ = (+4) . (+4) . (+4) = + 64 b) (-4)³ = (-4) . (-4) . (-4) = - 64 c) (+2)⁵ = (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = +32 d) (-2)⁵ = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = -32 Conclusão : Quando o expoente é impar, a potência tem o mesmo sinal da base.

CONVENÇÕES: Todo o número inteiro elevado a 1 é igual a ele mesmo. a) (+7)¹ = +7 b) (-3)¹ = -3 Todo o número inteiro elevado a zero é igual a 1. a) (+5)⁰ = 1 b) (-8)⁰= 1 IMPORTANTE! Observe como a colocação dos parênteses é importante: a) (-3)² = (-3) . (-3) = +9 b) -3² = -(3 . 3) = -9

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 1) Produto de potência de mesma base: conserva-se a base e somam-se os expoentes. a³ . a² = ( a .a .a ) . ( a .a ) = a⁵ Note que: a³ . a² = a³ ⁺ ² = a⁵ a) (-5)⁷ . (-5)² = (-5) ⁷ ⁺ ² = (-5)⁹ b) (+2)³ . (+2)⁴ = (+2)³ ⁺ ⁴ = (+2)⁷ 2) Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se os expoentes Observe: a⁵ : a² = (a . a . a . a .a ) : (a .a ) = a³ Note que: a⁵ : a² = a⁵⁻² = a³ a) (-5)⁸ : (-5)⁶ = (-5)⁸⁻⁶ = (-5)² b) (+7)⁹ : (+7)⁶ = (+7)⁹⁻⁶ = (+7)³

3) Potência de Potência: multiplica-se os expoentes Observe: (a²)³ = a²˙³ = a⁶ Exemplo: [(-2)³]⁴ = (-2)³˙⁴ = (-2)¹² 4) Potência de um produto ou de um quociente.: eleva-se cada fator ao expoente dado (a . b)³ = (a . b) . (a . b) . (a . b) = (a . a . a) . (b . b . b) = a³ . b³ Exemplos: [(-2) . (+5) ]3 = (-2)³ . (+5)³ (a : b)2 = a2 : b2 Exemplos: [(-3) : (+75) ]2 = (-3)2 : (+7)10

RAIZ QUADRADA EXATA EM Z Vamos recordar: √49 = 7, porque 7² = 49 No conjunto dos números inteiros, a raiz quadrada de 49 pode ser: +7, porque (+7)² = 49. -7, porque (-7)² = 49. Como o resultado de uma operação, deve ser único, vamos adotar o seguinte critério: Exemplos: a) +√16 = +4 b) - √16 = -4 c) √9 = 3 d) -√9 = -3 Os números negativos não têm raiz quadrada no conjunto Z Veja: a) √-9 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -9 b) √-16 = nenhum inteiro, pois (nenhum inteiro)² = -16

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