JMMMay 25, 2004

Besvarelse af Matematik for Biologer (nyordning) april 2004

Opgave 1

Hvis f(x) = sin(√

x2 + 1) sa er f ′(x) = cos(√

x2 + 1) · 12· (x2 + 1)−

12 · 2x og

f ′(1) = cos√

2√2

.

Opgave 2

Ifølge bogens side 478 har differentialligningen

dN

dt= ra(1865−N)−rdN = −(ra+rd)N +1865ra = −(ra+rd)

(N − 1865

1 + rd/ra

)den generelle løsning

N =1865

1 + rd/ra

+ Ce−(ra+rd)t

hvor C er en konstant.

(1) Da vi ved at N(0) = 0 far vi at C = − 18651+rd/ra

sa

N(t) =1865

1 + rd/ra

(1− e−(ra+rd)t

)Altsa er limt→∞N(t) = 1865

1+rd/ra.

(2) Ifølge bogens side 498 er N = 18651+rd/ra

en stabil ligevægt.

Opgave 3

Vi kalder de to korte sider for a og b. De to korte sider er relaterede for Pythagorassiger at a2 + b2 = 25. Implicit differentiation mht a giver

2a + 2bdb

da= 0

Omkredsen O(a) = 5 + a + b har et maximum og et minimum nar a ligger iintervallet [0, 5]. Maximumspunktet er enten i et af endepunkterne eller i etindre punkt hvor den afledte O′(a) = 1 + db

da= 0 eller db

da= −1. Altsa er a = 5√

2

for den første af ligningerne ovenfor giver at a = b. I endepunkterne er omkredsenO(0) = 10 = O(5) og i det indre punkt er omkredsen O( 5√

2) = 10√

2+ 5 > 10

2+ 5 =

10. Altsa er a = 5√2

maximumspunktet.

Opgave 4

Stablen af tikronemønter overhaler lysstralen efter t ar hvor t opfylder ligningen

2 · 1, 05t = t · 3 · 1019

dvs nar t log(1, 05)− log t = log 3− log 2 + 19 log 10 (eller efter ca 1000 ar).

1