Afleveringsopg10-13.Besvarelser

Afleveringsopg10(f’,tangent,optimering,monotonforhold).besvarelse Opg1. Bestem grafs tangent på papir

Opgaven med persons løbetur på uddelt papir

Opg2. Beregn tangent på graf, der er parallel med kendt linje

20.27 prøv uden CAS først!

Linjen l: y=2x+5 har hældningstal a=2

f(x)=x2-6x+10 -> f’(x)=2x-6+0=2x-6

f’(xo) er hældningstallet for tangenten i punktet med x-værdi xo,

skal tangenten være || l skal hældningstallet være 2, så vi skal finde xo så

tangents hældningstal=f’(xo)= 2xo-6 =2 [kravet er udtrykt som ligning <-> 2xo=8 <-> xo=4

Tangents ligning: y=f’(xo)(x-xo)+f(xo)= f’(4)(x-4)+f(4)=2*(x-4)+2=2x-8+2=2x-6

f(4)= 42-6*4+10 = 2

P=(4, f(4)) er røringspunktet, som har y=f(4)=2, beregning af f(4) er ok!

Tangent[P, f] beregner tangenten for f i pkt P -> y=2x-6, ok!

Opg3 Optimeringsopgave f(x)=800/x+70.9*x^0.5

fm(x)= Afledede[f]

prøv altid selv at lave f’: f(x)=800*x-1+70.9*x0.5 ->

f’(x)=-800*x-2+70.9*0.5*x-0.5, jvf med fm(x) i figuren: -16000/20/x2[sidste led =-800*x-2, 709/20x0.5=35.45x-0..5

[første led , passer!

Skæring[fm, 0] ->A=(7.99 , 0)

ved at zoom ind/ud kan jeg se at fm øjensynligt kun har eet nulpunkt i området [1;30] , x=7.99, her ses at f har minimum, skriv at du har undersøgt at der kun er et nulpunkt for fm ved at zoome ind/ud.

B=(7.99, f(7.99)) er minimum

optimale x=7.99 cm

detaljer for nørder: kan fm i virkeligheden svinge meget hurtigt omkring 7.99, så vi ikke opdager det på grafen?

fm(x)=t(x)/n(x), med t(x)=709x2 -16000x0.5 som er differentiabel, uden knæk og glat(og derfor også kontinuert=uden huller), n(x)=20x2.5 som også differentiabel, uden knæk, glat,kontinuert. For x>0 er divisionen t(x)/n(x) derfor uden knæk, glat, differentiabel, kontinuert(=uden huller). Så der er kun eet nulpunkt for fm !

-

Opg4 (graf-forståelse(bestemme min,max, f’, tagentberegning)Skal lave monotoni-forhold for f(x) som opg6

f(x) = x^3 - 1.5x + 3

fm(x)=Afledede[f] -> 3x2-1.5 er f’, kun nulpunkter for f’ er vigtige for monotoniforhold:

Skæring[fm, 0] ->A(-0.7071,0), B(0.7071,0) nulpunkter for fm, her er fm=0, lav

Monotoni-skema:x -0.7071= A 0.7071=B

f’=fm + 0 - 0 + se grafen for fm n1)

f ↗ lok.max ↘ lok.min ↗

lok.max i C=(-0.7071,f(-0.7071))= (-0.7071,3.7071) , lok.min i D=(0.7071,f(0.7071))= (0.7071,2.2929) ,

n1) fm er andengradspoly, ’glad’ -> negativ mellem rødderne, ellers +

b) P=(1,f(1)) ->(1,2.5) er røringspunktet, hvor tangenten rør grafen,’ankerpunkt’ xo=1

t:y=Tangent[P, f] -> y=1.5x+1 er beregnet t, beregnes manuelt sådan:

y=f’(xo)(x-xo)+f(xo)=fm(1)*(x-1)+f(1)=1.5(x-1)+2.5=1.5x+1

f’(x)= 3x2-1.5 =1.5 [ finder de steder , hvor tangent har a=1.5 <-> 3x2 =3 <-> x^2=1<-> x=+-1 , tegner tangenter, x=1 kendte vi allerede

Q=(-1,f(-1))

t2: y=Tangent[Q, f]

Lav nu print-screen, hent ind I PAINT og tilskær, sådan:

Opg5. Bestem f’ for funktion og find minimum (uden hjælpemidler)

Fra Ukaliina

f ' ( x )=(13

x3−2x2+3 x+1)'

f ' ( x )=13·3 x3−1−2·2 x2−1+3 x1−1+0

f ' ( x )=x2−4 x+3x0

f ' ( x )=x2−4 x+3Ok, forklar lidt: du løser f’(x)=0 -> 2.gradsligning med a=1, b=-4, c=3

At finde x0 brugermantoppunkt forlmlen→ x=−b±√d2 · a

ogd=b2−4 ·a·c

a=1 , b=−4 , c=3 , d=−42−4 ·1 ·3=4

x=4+√42·1

=3

x=4−√42·1

=1

Uden hjælpemidler(du må ikke tegne med G!), derfor mener jeg du skal lave monotoni-skema for at redegør for Grafens udseendeOg vi skal bruge største toppunkt, fordi den er jo på længere x, dvs. x0 er lige med 3 ok, god figur!

Opg6. Bestem monotoniforhold for funktions-grafSe http://bjarneh.dk/matB/Differentialregning/Funktionsundersoegelse-med-Geogebra=nulpunkter,ekstremumspunkter,monotoniforhold.docx uddelt på papir!

Metode: 1) Find f’(x) 2) løs ligningen f’(x)=0 (giver ekstremumspunkter 3) sæt op i monotoniskeme, sæt ↘(hvor f’<0 :når tangents(t) hældningstal=f’<0 må t pege nedad! og f er derfor aftagende ) og ↗(hvor f’>0 )

f(x)=1/3x3 -1/2x2 -6x

f’(x)= 1/3*3*x^3-1 -1/2*2x^2-1 -6= x2 -x -6

I Geogebra, indtast fed kommandoer i input

f(x)=1/3x^3 -1/2x^2 -6x

fm(x) = Afledede[ <Funktion> ] , fm for f-mærke som f’ også kaldes ; skriver

fm(x) = Afledede[f ] -> = x2 -x -6 , ok

nulpunkter for f’(x) findes: skal finde x så f’(x)=0nsolve(x^2 -x -6 =0 ) [i CAS -> {x = (-2), x = 3}, altså x= -2, og x=3; nemmere:

skæring[fm,0] finder og viser nulpunkter for fm på grafen -> A og B, se figuren

Monotoniskema, kun nulpunkter for f’ er interessante(nulpunkterne for f(x) er helt ligegyldige her!)x: -2=A 3=B

f’=fm : + 0 - 0 + se note

f: ↗ ∩ ↘ U ↗

husk angiv lokalt max og min:lokalt max i C=(-2,f(-2)) -> (-2, 7.333) og lokalt min i D=(3,f(3)) -> (3, -13.5) eller

Ekstremum[ <Funktion>, <Start x-Værdi>, <Slut x-Værdi> ] med

Ekstremum[f, -3, -1] , idet jeg kan se at toppunkt må være mellem -3 og -1 og

Ekstremum[f, 2, 4] , idet jeg kan se at minimum må være mellem 2 og 4

note: skriv forklaring: ”fm er 2.gradspoly med a=1(’glad’), er derfor <0 mellem nulpkt, og >0 ellers”,

man kan også beregne fm 3 steder, et sted i hvert interval ]-∞;-2] og ]-2;3[ og ]3; ∞[,

skriv i CAS: fm(-3) ->6 >0 ; fm(0)-> -6 <0 ; fm(4) ->6 >0

Afleveringsopg11(integralregning,repetition).Besvarelse38.31 Indtast i G-CAS, undtagen punkterne P og Q, fede kommandoer er til indtastning

f(x):=x*ln(x)

Fc(x):=Integral[f] -> Fc(x):=(((-1)) / 4 * x^(2)) + ((1 / 2 * x^(2)) * log(x)) + c_1 kalder den Fc, fordi der kommer til at indgå konstant c, grimt: G sætter alt for mange () man kan højreklik og vælg kopi som billede

Fc skal gå gennem P=(3,6) [i input så vi skal finde c1, så Fc(3)=6, når man indsætter 3 på x’s plads, så skal Fc-værdien være 6. Den hurtige metode: nsolve(Fc(3)=6) -> c_1 = 3.306

Så går jeg til udtrykket for Fc, højreklik, kopier, sætter ind og ændr til (fjern evt. () )

F(x):=(((-1)) / 4 * x^(2)) + ((1 / 2 * x^(2)) * log(x)) + 3.306 ->

Billedet for F(x) kan jeg bruge til fjerne overflødige (), sådan F(x):= -0.25*x^2 + 0.5x^2*log(x) + 3.306

Manuel beregning af c1Fc(3) = (9 / 2 * log(3)) + c_1 - 9 / 4 -> c_1 + 2.694 , så får vi ligningen

Fc(3)= 6 <-> c_1 + 2.694 =6 <-> c1= 6-2.694 = 3.306

Tjekker at grafen for F går gennem P

38.30g(x):=(x^2+3x+1)/(x+7)

Gc(x):=Integral[g] ->

Q=(5,4) [i input , graf for G skal gå gennem Q, så kravet er Gc(5)=4

nsolve(Gc(5)=4) -> c_2 =-60.56 , igen laver jeg kopi af Gc(x) og paster kopien ind, og ændr til

G(x):=(0.5 * x^(2)) + (29 * log(abs(x + 7))) - (4 * x) + -60.56 ->

Tegner begge grafer, de går gennem P og Q, alt ok

Opg2. Stamfunktion og areal under grafFind arealet under grafen, mellem grafen og x-aksen mellem x= -2 og x= -1 for

Alle indtastninger i CAS, med fed skrift, hvis ikke andet angives

f(x):= -4 x² - 12x - 8

Start med at tegne grafen og vurder/estimer arealet( <f>≈0.5=gennemsnitsværdi, bredden er 1, så A≈0.5*1=0.5 er estimat for A)

Beregn så både manuelt, ved at finde F(x) bruge 39.6, og med CAS.

Sikrest først med CAS, så kender du jo resultatet!

A=Integral[f, -2, -1] [i input -> 0.6667 beregner og tegner arealet

Halv-Manuelt, som giver eksakt resultat: A=∫-2-1 f(x)dx=F(-1)-F(-2), hvor F er en stamfunktion

f(x)= -4 x² - 12x - 8

F(x):= -4/3*x3 -12/2*x2 -8x = -1.33x3 -6x2 -8x -husk sammenskriv undervejs! Tjek: F’(x)=f(x)

Reglen: f(x)=axn -> F(x)=a/n+1*xn+1 man adderer 1 til potensen, n->n+1, og dividerer med nye potens(=n+1)

F(-1)= -1.33*(-1)3 -6(-1)2 -8(-1).. = få her hjælp af CAS:

Fc(x):=integral[f] -> -4/3*x3 -12/2*x2 -8x +c1 , vælger så c1=0, kopierer udtrykket, paster og ændr til:

F(x):=-4/3*x3 -12/2*x2 -8x , som min manuelle beregning, så får jeg

F(-1) -> 10/3 og F(-2) -> 8/3

A= F(-1)-F(-2)=10/3-8/3=2/3 eller direkte i CAS: A= F(-1)-F(-2) -> 2/3

*A=Fc(-1)-Fc(-2)= 10/3+c1 -(8/3+c1) =10/3-8/3 , idet c1 konstanten går ud, det er altså heldigvis ligegyldigt hvilken stamfunktion man bruger!

Opg3. Stamfunktion og areal under graf, beregnet til 25minUkaliinas besvarelse

a)

F ( x )=2 · ln ( x )+ 12x2+3 skriv

F’(x)=2x+2 · 1

2x2−1+0=2/x+x =f(x), ok, så har jeg vist F er stamfunktion

f ( x )=2x+x

b) Bestem arealet af M.

ArealM=∫1

4 2x+ xdx=[2· ln ( x )+ 1

2x2+c1]

1

4

¿ [2 · ln ( x )+ 12x2]1

4

¿2 · ln ( 4 )+ 12

42−(2 · ln (1 )+ 12

12)¿2 · ln ( 4 )+ 16

2−(2· ln (1 )+ 1

2 )=2 · ln (4 )+162

−2· ln (1 )−12

Reducer løbende ¿2 · ln ( 4 )+8−(0+ 12)

¿2 · ln ( 4 )+ 152

=10,2726 -flot du kommer igennem!

Opg4, se potensfunktioner i oversigten, beregnet til 25minUkaliinas besvarelse

a)

a=

ln ( y2

y1)

log( x2

x1 )=

log(180270 )

log( 8116 )

=−0,25

b=y1

x1a=

27016−0,25 =540

f ( x )=540 · x−0,25

Fint, og fint billede fra G, der viser det hele!

b). 540 · x−0,25

1+r y=(1+rx )a=1,5−0,25=0,90 x øges med 50%=0.50, så rx=0.50r y=0,90−1=−0,10=−10%

aftager 10% fint, og du bruger korrekt den avancerede måde

Man kan også bruge konkrete tal-metode, ser på y-ændringen når x ændres fra 1:

Begyndelse=B: x=1: yB= 540 (=b-værdien) -> slut=S: x=1+50%=1*(1+0.5)=1.5 yS=f(1.5)= 487.945 %y-ændring= yS / yB -1=487.945/540 -1 = -0.09639= -9.6%Tæller smule ned: denne beregning gælder kun for tilfældige start-x-værdi=1, gælder den også for anden start-x ?

Opg5, forsøg gerne uden wordmat, evt med wordmat(omdøb til opgavens betegnelser, marker tydeligt svar på spørgsmål); beregnet til 25minUkaliinas besvarelse

|BC|2=¿ AB∨¿2+¿ A C∨¿2−2 ·∨AB∨·∨AC∨·cos (A)¿¿

|BC|2=4,42+10,02−2· 4,4 ·10,0 ·cos (56,3° )

|BC|2=19,36+100−88·cos (56,3 ° )=119,36−48,83

|BC|2=70,53

|BC|=√70,53=8,40

|BC|=8,40

ok

skriv A2=..vinkel A=180 °−56,3 °=123,7 ° ,

T=12·|AB|·|AD|· sin(A2)

24=12·4,4 ·|AD|· sin(123,7)

2412·4,4 ·sin (123,7)

=|AD|

|AD|=13,1126 , fint, og du skriver endda på korrekt måde

BH: Man kan også bruge hurtige nsolve(ligning_med_kendte_tal_indsat) -metode, sådan

nsolve( 24=0.5*4.4*b*sin(123.7°) ) -> b=13.11, skriv så |AD|=b=13.11

også a) kan løses med nsolve():

nsolve( b1^2=4.4^2+10.0^2 -2*4.4*10.0*cos(56.3°) ) -> {b1 = (-8.398433805453), b1 = 8.398433805453} , så |AC|=b1=8.39

Opg6, en regressionsopgaveUkaliinas besvarelse

a) f ( x )=687,83· e0,13 x=¿ f (x )=687,83·1,1388x -skriv hvad du gør, bruger du fitVækst eller fitExp, nævn gerne at a=e^0.13=1.1388 giver omformningen mellem de to skriveformer, skriv b=688, a=1.1388, hvoraf man får vækstrate=%ændring/år=a-1=0.1388=13.88% /år

b)ber start værdi . hvor grafen starter fra .For eksempel hvis x er 0 så skal graf punktet være ib væredi .

f (13 )=687,83 ·1,138813=3726,47først: x=2013-2000=13, så y=f(13)=.. , altså 3726 mio kr, afrund og skriv enhederne

c) 5000=687,83 ·1,1388x

5000687,83

=1,1388x

ln ( 5000687,83 )=· x· ln (1,1388)

ln( 5000687,83 )

ln (1,1388 )=· x· ln (1,1388 )

ln (1,1388 )

15,26=x efter årstallet 2015-16 overstiger realkreditlån på 5000mio kr. som passer ok med punkt L, nævn gerne det

Opg6

f ( x )=ln ( x )−x

f ' ( x )=1x−x0

f ' ( x )=x−1−1, forklar hvad du så gør: f’(x)=1/x-1=0 <-> 1/x=1 <-> 1=x

X -∞ 1 +∞

f’ : + 0 -

f: ↑↓ fint du får lavet skemaet

Hvis x er 0,5 så det er x>0 f’(0.5)=2-1>0

Hvis x er 2 så det er x<0 f’(2)=1/2 -1=-0.5 <0 , du har kun to intervaller ]-∞;1] og ]1; ∞]

Altså lokalt max i (1,f(1))=(1,ln(1)-1)=(1,-1) -lidt drilagtigt er skalaen på y-aksen -2 for første streg

Opg7Konstant b er 462 =startværdien, til år 2006 og konstant a er 0,92. Det betyder at væksterate=a-1= 0,92-1=-0,08=-8%. At den aftager med 8 procent hvert år. Fint!

Opg8Lav altid Dm=x-intervallet og Vm=y-intervallet inde på akserne først(grønne linjestykker), så ved du at du skal holde grafen indenfor dette område, x=-9 er ikke med fordi ’]-9;’ betyder åbent intervalende.

Graf gennem punkt P=(-2,3), så afsæt det. Laver graf-punkt Q=(4,-8). Vi ved at tangenten i Q har hældningstal=f’(4)=0, den er altså vandret, afsætter kort vandret blå linje som tangent. Laver også toppunkt omkring R(-5,6) , jeg skal jo op til 6 som y-værdi, marker vigtige koordinater med stiplet

Lav en sådan opgave på papir til eksamen, Paint tager for lang tid!

Afleveringsopgave12(eksamensopgaver).Besvarelse

Opg1

a=0.42 når x øges 1 mb øges y med 0.42, b=75 er værdien når x=0, y=0.42x+75

Opg2

4 indsættes som x: kvd(4)=2*(4-1) <-> 2=6 ikke sandt, så 4 ikke løsning!

Opg3

□ABCD nem, A=4*8=32, |DE|^2=5^2-4^2=9 pyth brugbar da ∆ retv ->g=|DE|=3, A∆=½hg=½*4*3=6

Totalt=32+6=38

Opg4

Eksponentiel funktion, y=b*ax med b=8, a=0.7, er aftagende hele vejen mod uendelig, så B ikke mulig, A er en linje, det må være C!

Opg5

F(x)=-x4+2*x3 +c , F(0)=c=2 så F(x)=-x4+2*x3 +2

Fra Ukaliina:

f ( x )=−4 x3+6 x2

F ( x )= −43+1

x3+1+ 63x2+1+c1

F ( x )=−x4+2x3+c1

F (0 )=−04+2·03+c1=2

F (0 )=c1=2 ok, opskriv så F(x)= -ok, du har F med i graf, kald den F(x) i stedet for h(x)

Resten af opgaverne er med hjælpemidler, beregnet til ca 12min per spørgsmål

Opg6. Grupperet statistik(data er decimaltal, talværdierne samles i intervaller= grupper)

A

B

C

a

b

c

A

D1

C

a

d1

c

Opg7 , beregnet til 25min

Opg7, Trekants-opgave, løst med WordMatbrug opg betegnelser, marker svar på ? fx med rød eller fed, Sådanse http://bjarneh.dk/matC/Oversigt/vilkaarlig-trekant.html#Trekants-beregning-med-WordMat WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 50° , C = 78° , b = 15 <- vigtigt at få udskrevet det!

Fjern gerne beregninger du ikke skal bruge, her a

A = 50°B = 52°C = 78°

a = 14,58187b = 15|AB|=c = 18,61931

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekantB=180 °−A−C=180 °−50°−78 °=52 °

Længden af siderne a og c findes vha. sinusrelationerne

c=b· sin (C )sin ( B )

=15 · sin (78 ° )sin (52 ° )

=18,61931

D1=180-25-78=77 er <ADC

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 25° , D1 = 77° , C = 78° , d1 = 15

A = 25°D1 = 77°C = 78°

a = 6,506023d1 = 15|AD|=c = 15,05815

Længden af siderne a og c findes vha. sinusrelationerne,

a=d 1· sin (A )sin (D 1 )

=15 · sin (25 ° )sin (77 ° )

=6,506023

c=d1 · sin (C )sin ( D 1 )

=15 · sin (78 ° )sin (77 ° )

=15,05815

Opg8. ligning for linje gennem 2 punkter, finde parabel-forskrift der har linjen som tangent en matA-eksamensopg, måske for tricky til matB, beregnet til 25min

P1=A=(-5,1) og P2=B=(3,5)

l: al=(y2-y1)/(x2-x1)= (5-1)/(3- -5)=4/8=0.5,

b=y1-a*x1=1-0.5*(-5)=1+2.5=3.5

y=0.5x+3.5

eller simpelt

l:fitLinje[A,B]

f(x)=ax2+c -> at=f’(x)=2ax+0=2ax er hældningstallet for tangent t i x=x

i x= -1 er l tangent, så hældningstallet at=f’(-1)=2a(-1)= -2a = al <-> -2a=0.5 <-> a=0.5/-2=-0.25 , nu ved vi

f(x)= -0.25x2+c

f(-1)=3 da P er røringspunkt -> f(-1)= -0.25(-1)2+c= -0.,25+c=3 <-> c=3.25,

f(x)= -0.25x2+3.25

P=(-1,3)

Tangent[P, f] -> identisk med l, ok

Opg9. Brug kendt Potens-forskrift til beregninger,%ændring i y når x øges 25%

Skriv gerne: potensudvikling y=b*xa med b=0.446 (værdien når x=1) og a=3.03

Fra Ukaliina

410=0,446 · v3,03

4100,446

=v3,03

3,03√ 4100,446

=3,03√v3,03

9,51=v→9,51 sekunder

1+r y=(1+rx )a nævn: nemlig potenssammenhæng med a=3.08

1+r y=(1+0,25 )3,03

1+r y=1,253,03

1+r y=1,97

r y=1,97−1=0,97=97 %

Rigtigt godt!

Man kan også se på 2 konkrete ’situationer’, begyndelse og slut

B: x=1 -> yB=p(1)=0.446 , b-værdien

S: x=1 +25%=1.25 -> yS=p(1.25)= 0.877

%y-ændring= yS / yB -1 =0.877/0.446 -1 =0.966=96.6%

Opg10. Ugrupperet statistik(data er hele tal, samles ikke i intervaller=grupper)

Ugrupperet stat, få tegnet pindediagram, boksplot i a),

beregn middelværdien

F-grafen kaldes også et trappediagram(jeg bruger normalt XY-punktdiagram, manuelt forbinder jeg punkterne med vandrette streger i Paint, brug ikke tid på det til eksamen!

Ukaliina har også her god besvarelse:

I trappediagram man kan se at 25% er 7, 50% eller median er 8 og 75% er 9.

I pindediagram viser antal af besøgs hyppigheder. Som der stå, at 20 dage der havde 8 besøg. Og den mindste er i 5 dage med 11 besøg. Fint at du kommenterer og ikke nøjes med wordmat-stat

I Boksplot viser fra 25% til 50 % er 7-8 og fra 50% til 75% er 8-9.

Her kan man nævne at boksplot i sig selv er lidt farligt at konkludere ud fra: bloksplottet viser median=8, heraf fortolker man at 50%>8, men faktisk er det kun 100-69%=31%(det problem har man ikke med grupperet statistik!)

husk alle? Nævn beregnet til 8.05, skitser metoden: sum{x*f}= 6*0.15+7*0.23+..

Opg11. Lineær, linje- fitmodel-opgave til datasæt

Opg11, beregnet til 25min

hvad betyder a og b med din egne ord?

liste1={(66, 1150), (87, 2045), (115, 2195), (136, 2575), (148, 3075)} skriv liste1 i CAS, så kan du højreklik for kopiering af strengen ind i dok

f(x)=FitLinje[liste1] -> y=20.1x -12.9 med a=20.1=ændringen per x: prisen vokser 20100kr/m^2 , b=-12.9 er værdien når x=0, uden hus, man får faktisk penge, 12900kr, for at købe en grund(mærkeligt, burde være positiv. Men sammenhængen er ikke overbevisende, vi har få data, som ligger ret spredt omkring linjen)

Grafen viser at punkterne faktisk er ret spredt omkring linjen, og det understøttes af

Rkvd=Rkvadreret[liste1, f] ->0.92 , en del under 1.0(værdien er 1.0 hvis punkterne er præcist på model-linjen)

Pris for 160m^2 hus: her har vi x=160 så y=f(160)= 20.1*160 -12.9=3203.1=3.2 mio kr

P=(160,f(160)) -> laver punkt på grafen

Husstørrelse for 1.5mio: her skal vi finde x, så y=1500, altså har vi kravet, som giver en ligning

( f(x)= ) 20.1x -12.9=1500 <=> 20.1x =1500 +12.9=1512.9 <=> x= 1512.9/20.1=75.3 m^2

Q=Skæring[f, 1500] -> laver punkt for y=1500

Afleveringsopg13.besvarelseI får Ukaliinas meget gode besvarelse, suppleret af mine beregninger, kommentarer(med grøn tekst)

Opg1. Grupperet statistik. Indkomstfordelingen på Grønland sammenlignet med DK

Man kan bruge Windows WordMat-statistik, se http://bjarneh.dk/matC/Oversigt/Grupperede-observationer.html

Grønlandske indkomstfordeling

Danske indkomstfordeling

1 0 0 , 00 0

2 0 0 , 00 0

3 0 0 , 00 0

4 0 0 , 00 0

5 0 0 , 00 0

7 5 0 , 00 0

1 , 00 0 , 0

0 0

2 , 00 0 , 0

0 0

3 , 00 0 , 0

0 0

4 , 00 0 , 0

0 0

5 , 00 0 , 0

0 0

1 0 , 00 0 . . .

629,

164

1,02

9,13

1

1,05

2,77

9

881,

280

518,

476

388,

043

89,3

61

59,2

83

8,50

0

3,08

8

1,47

8

2,17

2

DK - Histrogram

skriv intervalbetegnelser på x-aksen, fx 0-50, 50-100, osv

farv gr, dk-graferne i 2 forskellige farver [fint , du farver dine punkter]

God brug af udklip !

Grafen nederst er for danskere og den højere er for grønlænder indkomstdeling. Fint du får skrevet det her

Hvilken % del tjener mindre end 200.000,- På grafen der vises at Danskere tjener mindre end 200.000 på 36,8% dele og grønlændere tjener mindre end 200.000 på 57,6% dele. ok

Hvilken % del tjener mere end 500.000,- På grafen der vises at Danskere tjener mere end 200.000, skriv F(500)=88% aflæses så 100-88= 12% dele tjener mere end 500’000, ok svar, og grønlændere tjener mere end 500.000 på 8,5% dele. godt

Sammenlign indkomstfordelingen i Grønland med DK. Fra 50%-75%

0 200 400 600 800 1000 1200

GL

DK

Boksplot GL DKMindste 0 0Nedre 83,2 152Median 162 264Øvre 311 389Største 900 1000

GL : 311−162162

·100=91,98 %, altså ca dobbelt så stor spredning i GR som i DK

DK : 389−264264

·100=47,35 %

Der op der vises forskellen mellem 75% og 50%. Og man kan se at i GL der har enormt større indkomst-forskelle end DK.

Opg2. Ugrupperet statistik; boksplot bruges til sammenligne to datasæt(data er hele tal, samles ikke i intervaller=grupper),

Middeltallet=2 ·5+3 ·5+4 ·5+5 ·2+6 ·3+7 ·4+14 ·125

=11525

=4,6

HP=σ mellemmedian ogøvre=(6−4)4

·100=50 %

Hf =σ mellemmedianog øvre=(11−6)6

·100=83,33 %, så større sprd i

HF, men bedre brug

Sådan bruges boksplot til sammenligning mellem 2 datasæt

50% af ordene er lange, mere end 6 bogstaver, i HF-bekendtgørelsen, mens det kun gælder 20% i HP

Med få data(få forskellige x’er og lille antal samlet hyppighed) er boksplot ikke præcist, desværre. HP- boksplot angiver jo at 75%kvartilen er 6, så man tror at 25% er over 6, selv om det kun er 20%

Det er fordi man jo runder x op, x er den mindste værdi, der har F>=0,5

x=6 er medianen i rød, men det betyder at vi kun ved at 50%<=F(6)<75%, så F(6) kan altså faktisk være ca 75%, hvis man er uheldig, og så er forskellen mellem HP og røde jo ikke stor!

Kvartilsæt Blå Orange

vis? x XNedre(25%) 3 3Median(50%) 4 6Øvre(75%) 6 11

Opg3. 2 linjer, afstand(punkt,linje): eksamenslignende opgave slå op i formelsamling under ’linjer’, se igennem (alle formler du skal bruge står der!)

Forsøg at regne på papir vha formlerne(for at træne formlerne), tjek så med G, ellers lav den med G(husk, det giver fuld score, forudsat du har mellemregninger og forklaringer med!)

f ( x )=a (x−x0 )+ y0→f ( x )=0,25 (x−6 )+4=0,25 x−1,5+4→

f ( x )=0,25 x+2,5

Dist ( P ,m )=¿a· x1+b− y1∨¿

√a2+1¿

Dist ( P ,m )=|−4 ·6+11−4|√−42+1

=|−17|√17

Dist (P ,m )=4,123

a l=0,25 , am=−4.

Ortogonale=al · am=−1.

0,25 · (−4 )=−1. Det er ortogonale, fordi resultatet er -1. fint

Skæringspunktet mellem l og m:

l=m→0,25 x+2,5=−4 x+11

0,25 x+2,5−2,5+4 x=−4 x+11−2,5+4 x

4,25 x=8,5

x=2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Harry potter-bogen

hf-bekendtgørelsen

Skæringspunktet mellem l og m er (2,3) fint

Medtag gerne skærmdump af G fil, hvor du viser at alt passer!

l:y=0.25*(x-6)+4 , al=0.25

m: y=-4x+11 , am=-4 am*al=-4*0.25=-1, altså er m og l er vinkelrette

S=Skæring[m, l]

dist=Linjestykke[S, P] er afstanden mellem m og P, netop fordi m og l er vinkelrette

Opg4. middeltallet for 10 tal, eksamensopg uden hjælpemidler

I en klasse får 10 elever spørgsmålet: ”Hvor mange mobiltelefoner er der i jeres familie?”

De 10 elever svarer følgende:

3 6 7 4 5 5 4 2 3 1

Bestem middeltallet:

Middeltallet=3+6+7+4+5+5+4+2+3+110

=4

Opg5, opgave med cirkel, linje, skæringspunkt mellem cirklen og linjeneksamens-lignende

En cirkel C er bestemt ved ligning:

x2+6 x+ y2−4 y=7

a) Bestemt cirklens radius og koorinatsættet til cirklens centrum.¿

−2a=6→a= 6−2

→a=−3

−2b=−4→b=−4−2

→b=2

x2−2 · (−3 ) · x−32+ y2−2 ·2· y+22−7=r2

x2+6 · x+9+ y2−4 x−4−7=r2

x2+6 x+ y2−4 x=9+4+7( x+3 )2+( y−2 )2=20

Koordinatsættet til cirklens centrum er (-3,2) og cirklens radius er √20 flot men gør ikke dette til skriftlig eksamen: indtast blot ligningen, skriv så ”G omformer til ( x+3 )2+( y−2 )2=20, jvf med cirklens ligning til

( x−a )2+ ( y−b )2=r2, ses at a=-3 og b=2 og r=kvdr(20)”b) En linje l er bestemt ved ligningen x+3y-13=0.

Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen l og Cirklen C.

x+3 y−13=0

3 y=−x+13

y=−13

x+4 13 , her kan du bemærke, at skæring i y=4.33 er ok,

Sætter y ind i c i #1, løser 2.gradsligningen i #5

f (−5,02 )=−0,33 ·−5,02+4,33=5,9866

f (1 )=−0,33 ·1+4,33=4

A punktet er (-5.02; 5.99)

B punktet er (1; 4) , altså samme som D og E ( fundet som skæring[c,l] ) , fint

c) Bestem trekantens areal.

cos (C )=a2+b2−c2

2 ·b·a

cos (C )=4,472+4,472−6,322

2 ·4,47 ·4,47=0,00049

¿C=cos−1 (0,00049 )=89,9719

Trekanten er næsten retvinkel, man kan sige at det er retvinkel. Det er den! afrundinger

Trekanten er retvinkel. Så man skal brug den formel: A=1/2*|AC|*|BC|

Areal=12·4,7 ·4,7=9,99≈10, = polygon1, beregnet af G, kom gerne med korte bemærkninger,

at det passer med figuren!

Opg6, eksamens-lignende opgave(Differentialregning,monótoniforhold)

Det er grafen A, fordi graf A har a som positiv og b som negativ side. Positiv er voksende som grafen stiger og negativ er aftagende som grafen falder.

Det kan ikke være graf B, fordi a kan ikke starter fra negativ, og b kan ikke være positiv. Skriv ]-uendelig;a[ : f vokser, så f’>0 her, det passer kun med A, a;b og b;uendelig passer også med A, eller bedre lav monotoniskema

x a b

f voks ∩ aft U voks

f’ + 0 - 0 + som kun passer medA

Og grafen kan ikke være C, fordi C’s funktionen graf skulle have en ekstrempunkt. Som den øverste graf har to ekstrempunkter. fint

Opg7, eksamens-lignende opgave(Differentialregning,monótoniforhold)Beregn selv f’

f ' ( x )=13x3+x

f ' ( x )=13·3 x3−1+x1−1

f ' ( x )=1 x2+1

Aftagende ned til 1 punkt og fra 1 punkt voksende. Nej! Skriv f’>=1 >0 , altså positiv! , derfor er f

voksende!

Opg8, optimeringsopgave(monotoniforhold skal beregnes), **22.8 (Trips2-s.76), se hjælp: http://bjarneh.dk/matB/Differentialregning/differentialregnings-opgaver.html#22.8 se vink og besvarelse i linket

Opg9, (monotoniforhold skal beregnes)

Lav beregningerne selv, uden CAS, så bagefter tjek med G-CAS selvfølgelig

Beregn selv f’ find nulpunkt(er) for f’ -det er ikke så svært

Lav monotoni-skema med x,f’,f noget henad:

x a

f’ + 0 + 9 - −∞

f ↗ ∩ ↘

f ' ( x )=6√ x−2 x

f ' ( x )=6 · x0,5−2 x

f ' ( x )=0,5 ·6 · x0,5−1−2x1−1

f ' ( x )=3 · x−0,5−2 x0

f ' ( x )=3 · x−0,5−2 , skriv finder så skæring[f’,0] eller solver f’(x)=0 , prøv selv at løse ligningen: 3 · x−0,5−2 =0 <->

x-0.5=2/3=0.667 : potensligning med potens p=-0.5, skal ^(1/p) på begge sider

<-> x=0.667^(1/-0.5) =2.248

Opg10. Lineær model for datasæt

a) Funktionen er y=36,7x+303,4, a betyder den stiger med 36,7 hver år, det betyder der kommer 36,7 ny elever hvert år. Og b betyder at det starter med 303,4 elever. fint

b) f (5 )=36,7 ·5+303,4=486,9. Antal af elever i 2012 er 486,9 afrund til 487. Ifølge med grafen. c) 700=36,7 · x+303,4

700−303,4=36,7 · x

x= (700−303,4 )36,7

=10,81

2007+10,81=2017,81

I næsten 2018 altså, 2017,8 der skal være 700 antal af elever. Vis gerne på graf, y=700 vandret linje

d) 575−486,9

486,9·100=18,1 % Grafens usikkerhed er på 18,1%, det betyder i virkeligheden der stiger

antal af elever på 18,1% end forventning. Også det er fordi grafen virker kun for 2011. Ja øjensynligt duer modellen ikke udover 2011, men for at sige det mere sikkert skulle vi have flere år , 2013,14,15