bevezetés az áramlástanba

Dr. Tóth Anikó

Bevezetés az áramlástanba

Miskolci Egyetem 2012

Bevezetés az áramlástanba

Miskolc 2012

A tankönyv szerzője: Dr. Tóth Anikó

Lektorálta:

Bobok Elemér az MTA doktora

Az ábrákat rajzolta és szerkesztette: Bendász Ernő

Szakmai koordinátor:

Dr. Simon Andrea

Előszó 4

ELŐSZÓ

Az áramlástan oktatásának módszerei a külföldi és a hazai egyetemeken egyaránt

a klasszikus kontinuum fogalomrendszerére és matematikai leírásmódjára tá-

maszkodnak. Ez elsősorban a vektor és tenzor analízis alapos ismeretét igényli. A

kétlépcsős mérnökképzés alapfokán a hallgatók nem kaphatják meg a hagyomá-

nyos áramlástan oktatáshoz szükséges matematikai ismereteket. Ez indokolta,

hogy egy újszerű áramlástan tananyagot dolgozzunk ki. A cél a matematikai le-

írásmód egyszerűsítése mellett, a fizikai tartalom maradéktalan megőrzése volt.

Az áramlástan, mint a mechanika valamennyi ága axiómatikus felépítésű

tudomány. Az áramlástan alaptörvényeit, ahol ez lehetséges volt, egydimen-

ziós áramlásokra konkretizáltuk. Így egyszerűbb szerkezetű, közönséges

differenciálegyenletekkel írtuk le a tárgyalt áramlási jelenségeket. A köny-

nyebb megértés céljából az egyes fejezetekhez numerikusan megoldott

számpéldák is tartoznak.

Szerencsés körülmény, hogy a TÁMOP pályázat lehetővé tette, hogy a

megújított tananyag nyomtatásban is megjelenhet. Tanulmányozásához

sok sikert kívánunk alapszakos hallgatóinknak! Más egyetemekről érke-

zett mesterszakos hallgatóink is haszonnal forgathatják e könyvet.

A munka a TÁMOP‐4.2.1.B‐10/2/KONV‐2010‐0001 jelű projek részeként –

az Új Magyarország Fejlesztési Terv keretében – az Európai Unió támogatásával,

az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg"

Miskolc, 2012. február

A szerző

Tartalom jegyzék 5

TARTALOMJEGYZÉK 1. Alapfogalmak 2. Folyadékok és gázok tulajdonságai 3. Hidrosztatika 4. Kinematikai alapfogalmak 5. A tömeg megmaradásának törvénye 6. Az ideális folyadékok mozgásegyenlete 7. A Bernoulli egyenlet 8. Impulzus tétel, a II. Newton törvény integrál alakja 9. Kis megzavarások terjedése összenyomható közegben 10. Az áramlási sebesség és hangsebesség viszonya 11. Gázáramlás változó keresztmetszetű csőben 12. Súrlódásos folyadékáramlás 13. lamináris áramlás csőben 14. Súrlódásos folyadék áramlásának dinamikai hasonlósága 15. A turbulens mozgás természete 16. Turbulens áramlás csőben 17. A csőben kialakuló áramlás jellegét meghatározó tényezők 18. Egyenes, kör-keresztmetszetű csőszakasz áramlási veszteségeinek meghatározása 19. A turbulens áramlás dinamikai hasonlósága 20. Moody-diagram 21. Vízszintes gázszállító csővezeték súrlódási nyomásvesztesége 22. Súrlódásos, izotermikus gázáramlás függőleges kútban 23. Nagysebességű súrlódásos gázáramlás 24. Áramlás gyűrűs térben Irodalomjegyzék

Alapfogalmak 6

1. ALAPFOGALMAK AZ ÁRAMLÁSTAN TÁRGYA Az áramlástan tárgya a folyadékok és gázok egyensúlyának és mozgásának vizs-gálata. A folyadékok, a gázok és keverékeik ún. folyékony közegek, amelyek bármilyen kicsiny, nullától különböző érintőirányú erő hatására mozgásba jönnek. A folyékony közegek jellegzetes mozgásformája az áramlás. Az áramlás intuitív mechanikai fogalom, a teret hézagok nélkül kitöltő közeg folytonos deformációi-nak végtelen sora. ÁLLAPOTHATÁROZÓK Ismert, hogy a szilárd testek alakja és térfogata csak aránylag nagy erők hatására változik meg észrevehető mértékben. A folyadékok a térfogatot megváltoztató erőkkel szemben szintén nagy ellenállást képesek kifejteni. Például a víz 20 oC-on 100 bar nyomás hatására mindössze 0,468% térfogatcsökkenést szenved. A meg-oldandó mérnöki feladatok igen nagy számában jó közelítés, ha a folyadékot ösz-szenyomhatatlannak tekintjük. A folyadékok állandónak tekintett térfogatukkal szemben alakjukat igen kis ellenállást kifejtve változtatják meg, s az mindig iga-zodik a folyadékot tartalmazó tartály, csővezeték vagy meder alakjához. A légnemű közegek, a gázok és a gőzök térfogata és alakja is könnyen megváltoztat-ható: nincs önálló alakjuk és térfogatuk, s a rendelkezésre álló teret teljesen kitöltik. A folyadékok, és a gázok áramlása nagyon sok hasonlóságot mutat, s hasonló matematikai módszerekkel írható le. Ezért az áramlástanban a „folyékony közeg” megnevezés helyett gyakran használják a kissé pontatlan „folyadék” szót cseppfo-lyós és légnemű közegekre egyaránt. KONTINUUM Az áramlástanban a folyadékok molekuláris szerkezetének vizsgálatától eltekin-tünk, s feltételezzük, hogy azok folytonosan töltik ki a geometriai teret, jellemző fizikai változóik folytonos eloszlású, folytonos deriváltakkal rendelkező térfüggvé-nyek. Az ilyen hipotetikus közeget kontinuumnak nevezzük. A kontinuum, akár-csak a tér, végtelenül osztható, anélkül hogy tulajdonságai megváltoznának. Ez egy ponton nyilvánvalóan ellentmondásba kerül az anyag molekuláris szerkezetével, ami a kontinuum-modell érvényességének korlátját jelenti. A kontinuumban a valóságos anyagot annak véges számú állapothatározóját meg-adó eloszlásfüggvények helyettesítik. A kontinuumnak, mint modell-közegnek csak mechanikai, termikus, esetleg elektromos vagy mágneses tulajdonságai van-nak, egy valóságos folyadék más tulajdonságai: íze, színe ebben az esetben érdek-telenek. A számszerűen jellemzett fizikai tulajdonság a fizikai mennyiség.

Alapfogalmak 7

ELEMI TÉRFOGAT Az áramlástan jellegzetes alapfogalma az elemi térfogat. Ez a vizsgált rendszer méreteihez (pl. egy cső átmérőjéhez) képest elegendően kicsiny, de elég nagy számú molekulát kell tartalmazzon ahhoz, hogy fizikai jellemzői e molekulák tulajdonságainak jól definiálható statisztikai átlagaként adódjanak. Ezek az átla-gok egy adott pillanatban jó közelítéssel megegyeznek az elemi térfogat egyetlen pontjához köthető véges számú mennyiséggel, az ún. állapothatározókkal. ÁLLAPOTHATÁROZÓK Az állapothatározók lehetnek geometriaiak, mint a helykoordináták, mechanikai-ak, mint a sűrűség, a sebesség, vagy pedig termikusak, mint a hőmérséklet és a nyomás. Az elemi térfogat állapotainak összessége meghatározza a teljes folya-déktömeg, a vizsgált rendszer állapotát. SKALÁRIS MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségek a koordinátarendszerhez való viszonyukban is külön-bözhetnek egymástól. Azt a mennyiséget, amelynek számértéke teljes mér-tékben független a koordinátarendszer megválasztásától skalárisnak nevez-zük. Az eltolás, elforgatás, tükrözés a skalármennyiségek értékét változatla-nul hagyja. Skaláris mennyiség például a tömeg, az energia vagy a hőmér-séklet. Valamely skaláris fizikai mennyiségnek a tér minden egyes pontjá-hoz, minden időpillanatban hozzárendelhető értéke skaláris teret, vagy skalá-ris mezőt képeznek, amely általánosságban egy négyváltozós (három hely-koordináta és az idő) függvénnyel adható meg. A skaláris függvények egyér-tékűek, folytonosak, a hely és idő függvényében differenciálhatók. VEKTOROK Vektor az a mennyiség, amelyet nagyságán kívül iránya is meghatároz. A vektorok a geometriában irányított egyenes szakaszok, amelyeknek a koor-dinátatengelyekre eső merőleges vetületei a vektor skalárkomponensei. Min-den olyan fizikai mennyiség hármas vektor, amely az irányított szakasz komponenseivel analóg módon transzformálódik, vagyis a koordinátarend-szer párhuzamos eltolásakor változatlan marad. Elforgatáskor nagysága (esetleg előjele) megváltozik, tükrözéskor előjelet vált.

Valamely vektormennyiség a tér minden egyes pontjához, minden időpillanatban hozzárendelhető értékei vektorteret képeznek. Ez a vektortér tulajdonképpen három skalár térfüggvény meghatározott rendszere. Pl. a sebesség a

→→→→

++= k)t,z,y,x(vj)t,z,y,x(vi)t,z,y,x(vv zyx

Alapfogalmak 8

összefüggésnek tesz eleget. A vektortér jellemzésére, geometriai szemléltetésére a vektorvonalak használhatók. A vektorvonalak mindig a szóban forgó vektor irá-nyába mutatnak. A vektorvonalak viszonylagos sűrűsége a vektortér intenzitásá-val, a vektor abszolút értékével arányos. Vektorteret képez pl. a sebesség, a gyor-sulás, az impulzus, vagy a térerősség.

INTENZÍV MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségek két jellegzetes csoportba sorolhatók: vagy a vizsgált folyadéktömeg egyes pontjaihoz, vagy egyes kiterjedt részeihez tartoznak.

Az intenzív mennyiségek a rendszer egyes pontjaihoz rendelhetők, a helykoordi-náták és az idő egyértékű függvényei. A hőmérséklet, a nyomás, a sebesség vagy a gyorsulás nyilvánvalóan intenzív mennyiségek. Adott véges kiterjedésű testre csupán akkor értelmezhetünk valamely intenzív mennyiséget, ha számértéke min-den egyes pontban azonos, azaz homogén eloszlású. Értelmezhető viszont az in-tenzívek átlagértéke valamely tetszőleges tartományra vonatkozóan, ezzel a gya-korlati számítások lényegesen egyszerűsíthetők.

A jellemző intenzív az a mennyiség, amelynek homogén eloszlásához a statikai egyensúlyi állapot tartozik. A tapasztalat alapján megállapítható, hogy a mechani-kai egyensúly feltétele a sebesség homogén eloszlása, míg a termikus egyensúly a hőmérséklet homogén eloszlásával jár. Ezért az áramlástanban a sebesség és a hőmérséklet a többi intenzív mennyiséghez képest megnövekedett jelentőségű: a mechanikai és a termikus kölcsönhatás jellemző intenzív változói. A jellemző intenzív inhomogén eloszlása az egyensúly megszűnését, a rendszer állapotválto-zását idézi elő, amelyet az extenzívek árama kísér. Ez az áram mindig olyan irá-nyú, hogy az inhomogenitás megszüntetése irányában hat. A sebesség inhomoge-nitása impulzusáramot, a hőmérséklet inhomogenitása entrópiaáramot idéz elő. Ugyanakkor a kölcsönhatásra jellemző energia árama is kialakul.

EXTENZÍV MENNYISÉGEK Az extenzív mennyiségek az anyagi rendszer pontjainak halmazához rendelhetők, a test kiterjedésétől függenek. Két folyadéktömeg egyesítésekor extenzívek értékei összeadód-nak. Extenzív mennyiségek a térfogat, a tömeg, az impulzus, az energia, az entrópia, stb.

Az extenzív és az intenzív mennyiségeknek a fizikai folyamatokban betöltött szerepe markánsan különbözik. Minden anyagi rendszer állapotának jellemzéséhez annyi extenzív mennyiség szükséges, ahányféle kölcsönhatás ébred a rendszer és környezete között.

Egy adott típusú kölcsönhatás vagy statikus egyensúlyt, vagy állapotváltozást eredményez. Valamely kölcsönhatáshoz mindig tartozik egy jellemző extenzív és egy jellemző intenzív mennyiség.

Alapfogalmak 9

Az extenzív mennyiségek egy része megmaradó mennyiség. A tömeg, vagy az energia megmaradásának törvényei az klasszikus mechanika alapvető axiómái. Matematikai megfogalmazásuk a mérlegegyenletekkel lehetséges. Formailag analóg mérlegegyenleteket származtathatunk más, nem megmaradó mennyiségek-re is. Ezek az összefüggések képezik azt az egységes rendszert, amelynek kereté-ben az áramlástan feladatai eredményesen tárgyalhatók.

Az elméleti mechanikai módszerek a kísérleti módszerekkel alkotnak szerves egészet. Csak az elmélet és a kísérlet folytonos kölcsönhatása során fejlődik a szakma. Ebben a bevezető jellegű tantárgyban az áramlástan alapösszefüggéseit tárgyaljuk ugyan, de már a mérnöki alkalmazásokra történő határozott rávezetés-sel. Ez az általunk vizsgált, időben állandó és egydimenziós áramlások esetében egy sor gyakorlati feladat megoldását jelenti.

Folyadékok és gázok tulajdonságai 10

2. FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK TULAJDONSÁGAI A mérnöki munkában adódó feladatok végső soron arra a kérdésre vezethetők vissza, hogy miképpen fog viselkedni valamely anyagi test vagy rendszer külső kényszer hatására. A rendszer és a környezete közötti kölcsönhatás pusztán a me-chanika és a termodinamika alaptételeinek segítségével nem írható le tökéletesen. A mérlegegyenletek az anyagi minőségtől függetlenül bármely rendszerre érvé-nyesek, ám az őket kifejező egyenletek több ismeretlen függvényt tartalmaznak, mint az egyenletek száma. Nyilvánvaló, hogy a kontinuumnak a környezet hatásá-ra bekövetkező reakciója nem csupán az általános fizikai törvényektől, hanem a folyamatban részt vevő közeg anyagi minőségétől is függ. Kontinuummodellünk tehát csak akkor válik teljessé, ha a modellközeget olyan tulajdonságokkal is fel-ruházzuk, amelyek a különböző anyagok szerkezeti eltéréseiből származó mak-roszkopikus következményeket is tükrözik. FOLYÉKONYSÁG A következőkben a folytonos közegeknek csupán azzal a csoportjával foglalko-zunk, amelyeket a többiektől egy jól megkülönböztethető tulajdonság, a folyé-konyság vagy fluiditás jellemez. A folyékonyság lényege, hogy az e tulajdonság-gal jellemezhető közeg tangenciális feszültségek létezése esetében nem lehet me-chanikai egyensúlyban. A folyadék vagy gáz tehát bármilyen kicsiny, nullától különböző tangenciális feszültség hatására mozgásba jön, nincs nyugalmi súrló-dása. Száraz por, granulátum vagy képlékeny anyag folyásakor a folyadék mozgá-sához képest a nyugalmi súrlódás jelentkezése az alapvető különbség.

Néhány igen kis folyáshatárú képlékeny anyagot – pl. a mélyfúrásban használatos fúróiszap vagy néhány hazai nyersolaj (Kiskunhalas, Sávoly) – mégis célszerű folyadékként kezelnünk.

A folyadék vagy a gáz a rá minden oldalról ható nyomással szemben jelentős ellen-állást tud kifejteni. Ennek során a folyadék összenyomódása igen kicsiny, a gázok viszont jelentős térfogatváltozásra képesek. A folyékony közeg részecskéinek egy-máshoz képest jelentkező elmozdulása ugyanakkor csak igen kis ellenállást ébreszt. Az elmozdulást fékező súrlódási erő az egymáshoz viszonyított elmozdulás sebessé-gével együtt szűnik meg: a folyékony közeg bármekkora elmozdulás után újra egyen-súlyi helyzetbe kerül, stabil statikai állapotba jut. IZOTRÓPIA A folyékony közegek mechanikai szempontból hasonlóan jellemző tulajdonsága az izotrópia. A folyadékokban és gázokban nem találunk olyan kitüntetett irányt, amely mentén a mechanikai vagy termikus állapotváltozásokra jellemző vezetési áramok intenzitása azonos kiváltó ok (a jellemző intenzív változó azonos mértékű


inhomogenitása) esetén különbözne. Az izotrópia következménye a matematikai modellben az, hogy valamennyi vezetési tényező skaláris mennyiség. Az izotrópia feltételezése csupán a porózus közegekben kialakuló szivárgó folya-dékmozgás leírásában (különösen repedezett tárolókőzet esetén), valamint viszko-elasztikus folyadékok feszültségviszonyainak meghatározásában okozhat kisebb-nagyobb pontatlanságot.

A folyékony közeg mechanikai viselkedését nagyon befolyásolja halmazállapota és termikus állapota. A folyadék- és a gázhalmazállapot között mechanikai szem-pontból az összenyomhatóságban nyilvánul meg a legfontosabb különbség. FOLYADÉKOK A folyadékok igen nagy nyomással is csak kismértékben nyomhatók össze. A mérnö-ki gyakorlatban adódó feladatok többségében jó közelítéssel összenyomhatatlannak tekinthetők. Kivétel a hullámjelenségek vizsgálata, valamint a fluidumbányászatban a folyadéktest rugalmas tágulása révén kitermelhető készlet meghatározása. Ez utóbbi már inkább rezervoármechanikai mint fluidummechanikai feladat. GÁZOK ÉS GŐZÖK A gázok és a gőzök a folyadékokhoz képest könnyen komprimálhatók. Közöttük az a lényeges különbség, hogy a gőzök pusztán a nyomás növelésével cseppfolyósítha-tók, míg ez a gázoknál csupán a hőmérséklet egyidejű csökkentésével lehetséges.

A halmazállapot a közeg termikus állapotának függvénye. Ez utóbbit három intenzív állapotjelző, a p nyomás, a V fajtérfogat (vagy en-nek reciproka, a ρ sűrűség) és a T hőmérséklet határozza meg. Az állapotjelzők közötti összefüggést az állapotegyenlet írja le, amelyet a p, V, T derékszögű derékszögű koordináta-rendszerben a 2.1. ábrán vázolt állapotfelület szemléltet. 2.1. ábra. P-V-T diagram (Kirillin, 1975) A közeg termodinamikai állapot ábrázoló pont csak erre a felületre eshet. Az állapotfelület szakaszo-san folytonos felületdarabokból áll, amelynek egy-egy tartománya

egy-egy halmazállapotot vagy kétfázisú tartományt jelöl.


Jól felismerhető a számunkra fontos folyadék-gáz- és gőztartomány, és a jellem-ző, haranggörbe alakú nedves gőz tartomány, amelyben a folyadék és gőzfázis együtt van jelen, s az izobárok és az izotermák egybeeső egyenesek. A harang-görbe csúcsán találjuk a kritikus állapotot megjelenítő pontot, amelyben a folya-dék minden átmenet nélkül válik gőzhalmazállapotúvá. A kritikus nyomás és hőmérséklet bármilyen közeg jellemző egyéni adata. Néhány értéket az alábbi, 2.1. táblázatba foglaltunk:

2.1. táblázat Kritikus hőmérsékletek és nyomások

Közeg Móltömeg [g/mol]

Kritikus hőmérséklet

[K]

Kritikus nyomás [MPa

(atm)]

Kritikus sűrűség [g/cm3]

Széndioxid (CO2) 44.01 304.1 7.38 (72.8) 0.469

Víz (H2O) 18.02 647.3 22.12 (218.3) 0.348

Metán (CH_4) 16.04 190.4 4.60 (45.4) 0.162

Etán (C2H6) 30.07 305.3 4.87 (48.1) 0.203

Propán (C3H8) 44.09 369.8 4.25 (41.9) 0.217

Etilén (C2H4) 28.05 282.4 5.04 (49.7) 0.215

Propilén (C3H6) 42.08 364.9 4.60 (45.4) 0.232

Metanol (CH3OH) 32.04 512.6 8.09 (79.8) 0.272

Etanol (C2H5OH) 46.07 513.9 6.14 (60.6) 0.276

Levegő 28.84 132.1 3.86 (38.1) 0.225

Mindennapi tapasztalatainkhoz képest érdekesen eltérő viselkedésforma jelent-kezik a kritikus ponton átmenő pkr izobár és Tkr izoterma által határolt p > pkr, T > Tkr tartományban. Ez az ún. szuperkritikus állapot. A szuperkritikus állapot-ban lévő közeg összenyomható, de tulajdonságai a folyadékokra és a gázokra is jellemző vonásokat mutatnak. Sűrűsége, viszkozitása a folyadék és gáztarto-mány közé esik. Szűk kapillárisokon átdiffundál, mint a gáz, viszont bármely anyagot jól old, mint a folyadék. A kritikus pont közelében viszonylag kis nyo-másváltozások nagy sűrűségváltozásokkal járnak. Ez jól látszik, ha a szuperkri-tikus állapotot a p-T diagramon jelenítjük meg.

Az állapotjelzők közötti összefüggés a szuperkritikus állapotban csak vi-szonylag bonyolult állapotegyenletekkel adható meg.

Valamely anyag állapotegyenletét általában nem tudjuk analitikus formában előál-lítani. Az állapotjelzők közötti összefüggést empirikus úton határozzák meg, és


vagy táblázatosan, vagy diagramok alakjában adják meg. Az állapotfelület alakja az anyag egyéni jellemzője.

Az állapotfelületet a térbeli ábrázolás nehézkessége miatt a három koordinátasíkkal párhu-zamos és a koordinátasíkra vetí-tett metszeteivel ábrázoljuk. Így adódnak a p, V sík izotermái, a V, T sík izobár és a p, T sík izochor görbéi.

2.2. ábra. CO2 P-T diagramja Az állapotfelület valamely pont-ján áthaladó koordinátasíkokkal párhuzamos metszeteinek érintői az illető anyag három fontos termikus tulajdonságát meghatározó parciális deriváltakat jelzik.

Az izotermikus kompresszibilitás

Tp

VV1K ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= (2.1)

vagy pedig a sűrűséggel kifejezve a

Tp

1K ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ∂

ρ= (2.2)

összefüggéssel értelmezhető. Nyilvánvaló, hogy K a nyomás és a hőmérséklet függvénye. A gyakorlatban a nyomás és a hőmérséklet bizonyos intervallumaira vonatkoztatott átlagértékeivel számolunk, amint ez a 2.2. táblázatban látható.

2.2. táblázat. A víz kompresszibilitása 105·K, különböző nyomásokon és hőmérsékleteken [1/MPA]

Hőmérséklet [oC] Nyomás [bar]

20 40 60 80 100

1…100 46,8 44,9 42,5 46,9 47,8

100…200 44,2 42,9 42,7 45,1 46,8

200…300 43,4 41,4 41,5 43,6 45,9

300…400 42,4 40,7 40,6 42,4 4406

400…500 41,5 40,4 39,4 40,8 43,4


A β izobár térfogat-tágulási együttható a

pT

VV1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=β (2.3)

vagy pedig a sűrűséggel kifejezve a

pT

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ρ∂

ρ−=β (2.4)

összefüggéssel határozható meg. Néhány, vízre vonatkozó térfogat-tágulási együttható érték a 2.3. táblázatban található.

2.3. táblázat. A víz térfogat-tágulási együtthatói

Hőmérséklet [oC]

β 105

[K1

]

0 -6,7

1 -4,9

2 -3,1

4 0

10 8,9

20 20,8

Az izobár nyomási együttható a

ϑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=πTp

p1 (2.5)

kifejezés szerint értelmezhető.

Mivel K, β és π kölcsönösen egyértelműen függnek az állapothatározóktól, ilyen minőségben is használhatók, a (2.1), (2.3) és (2.5) összefüggés pedig állapot-egyenletként vehető.

Az állapotfelület egyes tartományaiban a tapasztalatra építve egy-egy fázisra vo-natkozó állapotegyenletet adhatunk meg. Ilyen elfajult állapotegyenletnek vehet-jük a folyadékok összenyomhatatlanságát kifejező

ρ = áll. (2.6)


feltételt. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy egy konkrét áramlástechnikai feladat kiszámítása folyamán változatlan sűrűségértékkel dolgozhatunk. Ezt viszont a fo-lyadék nyomásának és hőmérsékletének függvényében vesszük fel. Néhány folya-dék sűrűségét tartalmazza a 2.4. táblázat 1 bar nyomáson és 15 oC hőmérsékleten. A kritikusnál nagyobb hőmérsékletek esetén a 2.1. ábrán látható izotermák egyre jobban kisimulnak, inflexiójuk eltűnik. Ebben a tartományban a gáz viselkedését az ideális gázra vonatkozó

RTp=

ρ (2.7)

állapotegyenlet írja le. Az ebben szereplő R gázállandó értékét néhány gázra a 2.5. táblázatban foglaltuk össze. Az állapotfelület egyik pontjából a másikba bizonyos megszorításokkal végbemenő folyamatok révén is eljuthatunk. Ezek az állapotváltozások a következők lehetnek. IZOTERMIKUS FOLYAMAT Izotermikus folyamatban a rendszer hőmérséklete állandó. A gázt kompresszió esetén hűteni, expanzió esetén melegíteni kell, hogy az állapotváltozás izotermikus legyen. Mivel T = áll., az ideális gáz állapotegyenlete

.állpp

0

0 =ρ

=ρ

(2.8)

alakúvá fajul. A fajtérfogattal ugyanez a pV = p0V0 = áll. (2.9) alakot ölti. IZOBÁR FOLYAMAT Izobár állapotváltozáskor a rendszer nyomása állandó. Ebben az esetben a

.állTV

TV

0

0 == vagy a (2.10) .állTT 00 =ρ=ρ

alakba írható az állapotegyenlet. A most felírt Gay-Lussac-törvények is az elemi termodinamika jól ismert összefüggései. IZENTROPIKUS FOLYAMAT Abban az esetben, ha a rendszer tökéletesen hőszigetelt és az áramló közeg belső súrlódása nulla, izentropikus állapotváltozás alakulhat ki. Ennek során a nyomás és a sűrűség a


.állpp

0

0 =ρ

=ρ κκ

(2.11)

a nyomás és a hőmérséklet a

.állTpTp 0

1

0

1

== κ−κ

κ−κ

(2.12)

a sűrűség és a hőmérséklet pedig a

(2.13) .állTT 01

01 =ρ=ρ −κ−κ

összefüggések szerint változik az izentropák vagy adiabaták mentén. A κ fajlagos hőkapacitás-viszony az egyes gázok jellemző anyagi állandója. A p - ϑ síkon az adiabata görbéje az izotermáénál meredekebb. POLITROPIKUS FOLYAMAT Politropikus az olyan termikus állapotváltozás, amely állandó értékű cn fajlagos hőkapacitással jellemezhető. A politropikus állapotváltozás az izentropikussal formailag analóg

.állpp

n0

0n

=ρ

=ρ

(2.14)

képletekkel írható le. Az ebben szereplő n politropikus kitevő értéke a κ-tól kü-lönböző de állandó. Hőszigetelt kompresszorban a gáz belső súrlódása miatt n>κ, gázturbinában viszont n<κ adódik. FAJHŐ A közeg anyagi minőségét jellemző fontos adat a fajlagos hőkapacitás vagy fajhő, amely csak bizonyos megszorításokkal végbemenő folyamatok során válik explicitté. A termodinamikából ismert az elemi hő Pfaff-féle kifejezése. Ha a közeg állapothatá-rozói a hőmérséklet kivételével állandók, az elemi hő a hőmérséklet-változással ará-nyos. Az egységnyi tömegre vonatkozó arányossági tényező a fajlagos hőkapacitás. Az állandó térfogaton lefolyó izochor állapotváltozásban az elemi hő egyenlő a fajlagos belsőenergia-változással, amelyből az állandó térfogaton vett fajlagos hőkapacitás

ϑ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ε∂

=T

c v (2.15)

Az állandó nyomású lefolyó izobár állapotváltozásban az elemi hő a dh fajlagos en-talpiaváltozással azonos, amelyből az állandó nyomáson vett fajlagos hőkapacitás


p

p Thc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= (2.16)

A két fajlagos hőkapacitás kapcsolata az entalpia és a belső energia között fennálló

pVh +ε= (2.17)

összefüggés ismeretében meghatározható:

pp0p

p TVp

TThc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ε∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= (2.18)

Mivel a belső energia a nyomás és a hőmérséklet függvénye,

( ) ( ){ }T,T,pVT,p ε=ε (2.19)

amelyből

pTp T

VVTT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ε∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ε∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ε∂

ϑ

(2.20)

Így adódik a

pT

Vp TVpcc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ϑ∂ε∂

+= (2.21)

összefüggés, amely az ideális gáz állapotegyenletét felhasználva

cp = cV + R (2.22)

alakban írható fel. Igen fontos, a későbbiekben gyakran alkalmazott paraméter a két fajlagos hőkapacitás hányadosa.

V

p

cc

=κ (2.23)

A későbbiekben szembetűnik, hogy a gázok mechanikai és termikus állapotválto-zásai szétválaszthatatlanul jelentkeznek az áramlási jelenségekben. Tisztán me-chanikai paraméterek, mint a nyomás és a hangsebesség, egyúttal termikus álla-potjelzők is. Áramlástani feladatok megoldásánál nélkülözhetetlen a gázállandó, a két fajhő és az adiabatikus fajhő ismerete.


A 2.4. táblázatban néhány, a mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló gázra érvé-nyes értéket is összefoglaltunk.

2.4. táblázat. Gázok termikus jellemzői

Gázok Gázállandó

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgK

J

Fajhő állandó nyomáson

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgK

J

Fajhő állandó hőmérsékleten

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kgK

J

Adiabatikus fajhővi-szony

Ammónia 488 2056 1568 1,311 Bután 143 1590 1447 1,099 Etán 277 1730 1453 1,191 Etilén 297 1612 1315 1,226 Hidrogén 3124 14250 10126 1,407 Levegő 287 1005 718 1,400 Metán 521 2156 1635 1,319 Nitrogén 297 1038 741 1,401 Oxigén 260 913 653 1,396 Propán 187 1680 1493 1,125 Szénmonoxid 297 1038 741 1,401 Széndioxid 189 821 632 1,299 Vízgőz 462 1860 1398 1,331

VEZETÉSI TÉNYEZŐK A jellemző intenzív állapothatározók inhomogén eloszlása a megfelelő extenzív mennyiségek áramát idézi elő. Az áram részben makroszkopikus mozgással járó, konvektív, részben a molekuláris mozgásból eredő, konduktív. Valamennyi kon-duktív áram meghatározható, mint az intenzívek inhomogenitását megadó gradiens és egy vezetési tényező szorzata. Mivel a folyadékok és gázok izotrop közegek, a vezetési tényezők skaláris mennyiségek. A vezetési tényezők – általában – a közeg termikus állapotának függvényei. Értékük – legalább egy meghatározott interval-lumban – állandónak tekinthető, amely az adott anyag jellemző tulajdonsága.

DINAMIKAI VISZKOZITÁSI TÉNYEZŐ

Az impulzus konduktív áramát befolyásoló vezetési tényező a viszkozitás. A mo-lekuláris mechanizmus révén a nagyobb sebességű helyekről a kisebb sebességű-ek felé makroszkopikus mozgás nélkül, vezetéssel adódik át az impulzus. Na-


gyobb viszkozitású anyagokban azonos sebességtér-inhomogenitás hatására na-gyobb a konduktív impulzusáram sűrűsége. Adott külső erő hatására a nagyobb viszkozitású folyadék nehezebben folyik, „nyúlósabb”. Mivel az impulzusvezetési tényező skaláris, egydimenziós áramlásban is meghatározható. A μ dinamikai viszkozitási tényező így a nyírófeszültség és az áramlás irányára merőleges sebességgradiens hányadosa

dydv x

τ=μ (2.24)

Azokat a közegeket, amelyek viszkozitása nem függ a mozgás állapotától, csak a hőmérséklettől és a nyomástól, newtoni folyadékoknak nevezzük. Összenyomhatatlan newtoni folyadék viszkozitása a nyomástól sem függ.

2.5. táblázat. Különböző folyadékok sűrűsége és kinematikai viszkozitása 15 oC-on, normál atmoszféranyomáson

Folyadék Sűrűség

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

3mkg

Kinematikai viszkozitás 106 ν

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡s

m2

Ammónia 617 0,378 Benzin 700-740 0,76-0,80 Benzol 884 0,796 Denaturált szesz 990 2,19 Etilalkohol 794 1,65 Fűtőolaj 930 51,8 Gázolaj 857 4,14 Glicerin 1255 680 Higany 13546 0,115 Kénsav 1836 14,66 Motorolaj 911 94 Olívaolaj 920 117 Petroleum 802 4,14 Ricinusolaj 970 1480

A 2.5. táblázatban néhány, a mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló gázra érvényes értéket is összefoglaltunk.


KINEMATIKAI VISZKOZITÁSI TÉNYEZŐ A dinamikai viszkozitási tényező és a sűrűség hányadosa adja a kinematikai visz-kozitási tényezőt:

ρμ

=ν (2.25)

Az elnevezés onnan ered, hogy ν dimenziója m2/s lévén, pusztán kinematikai mennyiségekkel fejezhető ki. A 2.4 táblázatban összefoglaltuk néhány, a mérnöki gyakorlat szempontjából fontos folyadék kinematikai viszkozitási tényezőjét 1 bar nyomáson és 15 oC hőmérsékle-ten. A 2.3. ábra néhány folyadék és gáz kinematikai viszkozitási tényezőjének változását szemlélte-ti a hőmérséklet függvényében. 2.3. ábra. Néhány folyadék és gáz kinematikai viszkozitási tényezője Azokat a bonyolultabb közegmodel-leket, amelyeket a kinematikai jel-lemzőktől, esetleg a folyás időtarta-mától is függő viszkozitás jellemez, a nem newtoni folyadékok gyűjtőnév-vel jelöljük. Konduktív impulzus-transzportjukat a közegmodelltől függően két vagy több anyagjellemzővel adhatjuk meg.

2.6. táblázat. A víz anyagjellemzőinek hőmérséklet függése

Hőmérséklet Sűrűség Kinematikai visz-kozitás

Hővezetési tényező

Fajhő

T[oC] ρ[kg/m3] ν 106 [m2/s]

Prandtl szám k [W/m 0C] c[kJ/kg

0C] 10 999,6 1,307 9,50 0,577 4,195 20 998,2 1,004 7,00 0,597 4,182 30 995,6 0,801 5,40 0,615 4,176 40 992,2 0,658 4,30 0,633 4,175 50 988,0 0,554 3,55 0,647 4,178 60 983,2 0,475 3,00 0,658 4,181 70 977,7 0,413 2,55 0,668 4,187 80 971,8 0,365 2,25 0,673 4,194 90 965,3 0,326 1,95 0,678 4,202

100 958,3 0,295 1,75 0,682 4,211


HŐVEZETÉSI TÉNYEZŐ Valamely közeg képességét a belső energia konduktív átadására a hővezetési együtthatóval jellemezhetjük. Az izotrópia miatt elegendő az egydimenziós hőáramsűrűséget viszonyítanunk a hőmérséklet-gradiens vele egy irányba eső komponensének abszolút értékéhez:

xT

qk x

∂∂

= (2.26)

A hővezetési tényező dimenziója ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅ KmW értéke folyadékoknál kevésbé, gázoknál

jobban függ a hőmérséklettől. Ezt szemlélteti a 2.4. ábra.

2.4. ábra. Folyadék és gázok hővezetési tényezője a hőmérséklet függvényében

Hidrosztatika 22

3. HIDROSZTATIKA A folyadékok és gázok leglényegesebb tulajdonsága a folyékonyság, a részecskék nagy mozgékonysága. Mivel a folyékony közeg bármily kicsiny tangenciális erő hatására mozgásba jön, nyugalmi helyzetben nem keletkezhetnek az egymá-son való csúszást akadá-lyozó erők, csak a felületre merőleges, normálisirányú felületi erők létezhetnek.

3.1. ábra. A nyomás skalár jellegének levezetéséhez

Tekintsük a 3.1. ábrán vázolt derékszögű három-szögalapú hasábot! Befo-gói essenek egybe a koor-dinátatengelyekkel. A hasáb z-irányú vastagsága egységnyi.

A hasábra ható felületi erők közül px az 1⋅dy felületen, míg a py az 1⋅dx felületen hat. Az átfogóra ható ps normálisirányú erő az 1⋅ds nagyságú felületen ébred. Az x-irányú erők egyensúlya az ábra alapján

∑ =⋅α−= 0dssinpdypF sxx (3.1)

míg y irányban a

02

dxdygdscospdxpF syy =ρ−⋅α−=∑ (3.2)

egyenlet írható fel. Mivel dx, dy és ds infinitézimálisan kicsiny mennyiségek, a súlyerőt kifejező tagban a dxdy szorzat másodrendűen kicsiny s így elhanyagolható. Az elemi hasáb egyensúlyát a 3.1. ábrán szemléltetjük.

Ebben az esetben

α⋅= sindspdyp sx (3.3)

.cosdspdxp sy α= (3.4)

Nyilvánvaló, hogy

α= sindsdy (3.5)

Hidrosztatika 23

α= cosdsdx 3.6)

Ezt figyelembe véve

syx ppp == (3.7)

ami azt jelenti, hogy a normálisirá-nyú erő és a felület hányadosa a hasáb minden oldalán azonos. Tehát a nyomás a tér egy pontjában irány-nyal nem jellemezhető, tehát skalár mennyiség.

3.2. ábra. Elemi hasáb egyensúlya

Egy folyadékelem nyugalmi helyze-tében a tömegerők és a felületi erők eredője zérus. A mérnöki gyakorlat-ban legtöbbször nehézségi erőtérben kialakuló egyensúlyt vizsgálunk. Ennek vizsgálatára helyezzünk a derékszögű koordinátarendszer origójába egy dx, dy és dz élhosszúságú elemi téglatestet, amelynek oldalélei a koordinátatengelyekkel párhuzamosak, amint az a 3.2. ábrán látható. Az egyetlen tömegerő-komponens a –z irányba mutató nehézségi erő. A nyomás ebből következően csak z irányban változhat. A hasáb alsó lapján p a fedőlapján p+dp értéket vesz fel a nyomás. A hasábra z-irányban ható erők eredője most is zérus:

( ) 0dxdydpppdxdygdxdydz =+−+ρ− 3.8

A nyomás z-irányú változására tehát a

gdzdp

ρ−= 3.9

differenciálegyenletet kapjuk. Abban az esetben, ha a közeg összenyomhatatlan, ez a differenciálegyenlet rendkívül egyszerűen megoldható. Egy nyitott tartályban a nyomás megváltozása

dp = - ρgdz 3.10

Ezt integrálva

Kgzp +ρ−= 3.11

adódik, ahol K egy integrációs konstans. Vegyük fel a koordinátarendszert úgy, hogy az xy sík a folyadék szabad felszíne legyen. Ekkor a z = 0 értékhez a p = p0

Hidrosztatika 24

légköri nyomás értéke tartozik, s ha ezeket behelyettesítjük a 3.11. egyenletbe, K = p0 adódik az integrációs állandó értékére. Ezzel a

p = p0 - ρgz 3.12

egyenletet kapjuk. A h = - z mélység-koordináta bevezetésével adódik a

p = p0 + ρgh 3.13

összefüggés, amelyből kitűnik, hogy a nehézségi erőtérben a folyadék nyomása a víz-szintes síkokban nem változik. A 3.12. egyenlet jobb oldalán nem nehéz felismernünk a nehézségi erőtér U = gz potenciálját. Ez lehetővé teszi, hogy a (3.12) egyenletet a

p + ρU = áll. 3.14

alakban írjuk fel. A 3.14 egyenlet tanúsága szerint az azonos nyomású vízszintes síkok egybeesnek a nehézségi erőtér potenciálfelületeivel.

Legyen két különböző, 1ρ és 2ρ sűrűségű, egymással érintkező összenyomhatat-lan folyadék egyensúlyban, potenciálos erőtérben. A két folyadékot elválasztó felületen a sűrűségtől függetlenül a p nyomás és az U potenciál folytonos, tehát független attól, hogy a felületen kiválasztott pontot melyik irányból közelítjük meg. Szükséges, hogy a (3.14) egyenlet bal oldalának bármilyen, a felület síkjába eső s irány menti deriváltja:

0dsdU

dsdp

1 =ρ+ (3.14-a)

0dsdU

dsdp

2 =ρ+ (3.14-b)

legyen.

Ezekből ( ) 0dsdU

21 =ρ−ρ (3.15)

A 3.15 egyenletből tekintettel a kiindulási feltételre, az következik, hogy a két folyadékot elválasztó határfelületen U=állandó. Ennek következménye, ha két egymással nem vegyülő, különböző sűrűségű, összenyomhatatlannak tekinthető folyadék potenciálos erőtérben egyensúlyban van, a két folyadékot elválasztó határfelület mentén a potenciál é a nyomás állandó.

Ez természetesen nem csupán a nehézségi erőtér, hanem bármely potenciálos erőtér esetén is igaz. Mivel a potenciál skalármennyiség, egy gravitációs és centri-fugális erők egyidejű létezésekor előálló eredő erőtér potenciálja szuperpozíció-val, tehát egyszerű összegezéssel meghatározható.

Hidrosztatika 25

Így határozhatjuk meg, egy függőleges szimmetriatengelye körül állandó ω szög-sebességgel forgó, felül nyitott hengeres tartályban lévő folyadéktest egyensúlyát. A forgó tartály hidrosztatikai egyensúlyát sematikusan a 3.3. ábra szemlélteti. 3.3. ábra. Forgó tartály hidrosztatikai egyensúlya

(3.16) egyenletben szereplő potenciál-

Afüggvény az U1 = gz gravitációs potenci-

ál mellett az 2

rU22ω

= centrifugális

erőtér potenciáljából tev2

ődik össze. Így kapjuk a

K2

r 22ωgzp =ρ+ρ+ (3.16)

egyenletet. A 3.3. ábrát tekintve világos, hogy a K konstans meghatározásához a

z=H és r=R koordinátákkal megadható A pont p=p0 nyomását vehetjük peremfel-tételül. Ekkor

K2

RgHp22

0 =ω

ρ+ρ+ (3.17)

adódik. Ezt behelyettesítve az eredmény:

( ) ( )222

0 rR2

zHgpp −ρω

+−ρ+= (3.18)

A nyomás izo-felületei tehát forgási paraboloidok. A szabad felszín is nyilván egy

forgási paraboloid, amelynek egyenletét megkaphatjuk a (3.18) összefüggésből a p = p0 helyettesítéssel, hiszen a szabad felszínen mindenhol atmoszférikus a nyo-más. Így adódik a szabad felszín

( )222

rRg2

Hz −ω

+= (3.19)

egyenlete. Minél nagyobb a szögsebesség, annál közelebb kerül a tartály fenekéhez a paraboloid minimum-pontja, a „fölösleges” folyadék kiömlése mellett. A nagy szögsebességgel forgó centrifugákban, vagy a centrifugál szeparátorokban a paraboloid-felszín közelít a tartály palástjához. Ekkor a folyadékban diszpergált gázbuborékok centripetálisan mozogva „úsznak fel” a folyadékfázisban. Ez a gáz-,

Hidrosztatika 26

vagy gőzleválasztás technológiájának alapja nagy gáztartalmú nyersolajok, vagy kétfázisú geotermikus fluidumok esetén.

A gázok mechanikai egyensú-lyának vizsgálata a folyadéko-kénál összetettebb feladat. Egy összenyomhatatlan folyadék-ban a nyomás egyszerűen a felületegységre ható erő nor-málisirányú összetevője, tehát tisztán mechanikai változó.

3.4. ábra. Lezárt földgáztermelő kút statikus egyensúlya

Összenyomható közegeknél a nyomás, a sűrűség, és a hő-mérséklet mellett termikus

állapothatározó is. Gázoknál a mechanikai és a termikus kölcsönhatás szétválaszt-hatatlan: a mechanikai egyensúly feltétele mellett a termikus állapot változását is figyelembe kell vennünk.

Tekintsünk példaként egy függőleges tengelyű földgáztermelő kutat. A kút termelő-csövét lezárt állapotban túlnyomásos gáz tölti ki. Jelen példát a 3.4. ábra szemlélteti.

A mechanikai egyensúly egyenlete lefelé irányított z koordináta esetén

gdzdp

ρ= (3.20)

Tekintsük a termelőcsövet megtöltő közeget ideális gáznak. Megjegyzendő, hogy nagy nyomások esetén ez erősen közelítő feltevés. Az ideális gáz álla-potegyenlete, mint ismert

ZRTp=

ρ (3.21)

amelyből a sűrűség kifejezhető. Ebben Z az u.n. eltérési tényező, ami a nagy nyomások tartományában az ideális gáz viselkedésétől való eltérést jellemzi.

ZRT

p=ρ (3.22)

Itt R a technikai gázállandó,

R = cp – cv, (3.23)

Hidrosztatika 27

T az abszolút hőmérséklet. A felszínről a mélység felé haladva a földkéreg hő-mérséklete lineárisan növekszik. A felszíni T0 érték az átlagos évi középhőmér-séklettel vehető figyelembe, míg z mélységben

,zTT 0 γ+= (3.24)

ahol [ ]m/Koγ az ún. geotermikus gradiens. Mindezeket behelyettesítve a (3.20) egyenletbe

( )zTZR

pgdzdp

0 γ+= (3.25)

adódik. A változókat szétválasztva a

( )zTZRgdz

pdp

0 γ+= (3.26)

összefüggéshez jutunk. Ezt integráljuk a felszíntől a H mélységben lévő kúttalpig, a z = 0-nál a felszínen adódik a pkf kútfejnyomás, a z = H értéknél a pt talpnyomás. Ezeket a határokat véve

0

0

kf

t

THTln

ZRg

ppln γ+

γ= (3.27)

Némi átalakítás után kapjuk a

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ γ+=

ZRg

0kf TH1

pp (3.28)

eredményt. Egy tetszőleges z mélységben a p nyomás

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ γ+=

ZRg

0kf T

H1pp (3.29)

Mivel pkf a kútfejen mérhető, a nyomás mélység menti eloszlása a (3.29) egyen-lettel meghatározható.

Hidrosztatika 28

PÉLDÁK

1. A vázolt szabad felszínű tartályban három különböző sűrűségű, egymással nem keveredő folyadékréteg van egyensúlyban. Milyen magasan áll a ρ3 sűrűségű folyadék a tartályra csatlakozó piezométer csőben?

A legfelső folyadékréteg fölött p0 = 100 000 N/m2 a nyomás alján pedig

p1 = p0+ρ1gh1 = 100 000 + 800⋅9,81⋅= 107 848 N/m2

A második réteg alján

p2 = p1+ρ2gh2 = 107 848 + 900⋅9,81⋅1,5 = 121 092 N/m2

A harmadik réteg alján, tehát a tartály fenekén

p3 = p2+ρ3gh3 = 121 092 + 1000⋅9,81⋅2 = 139 292 N/m2

A piezométer csövet az 1000 kg/m3 sűrűségű folyadék tölti ki, s ez a p3 nyomással tart egyensúlyt. A

p3 = p0 + ρ3gh

egyenletből

m 00,481,91000

100000139292gpph

3

03 =⋅

−=

ρ−

=

Hidrosztatika 29

2. Határozzuk meg a vázolt tartályban az A, B, C és D pontokban a nyomást ?

Egyrészt:

( ) 2A00A mN 1127533,181,91000100000hhgρpp =⋅⋅+=−+=

Másrészt:

( ) 2ABAB mN 1284496,181,91000112753hhgρpp =⋅⋅+=−+=

Nyilvánvaló, hogy a B és C pontok nyomása megegyezik, hiszen a levegő nyomása mindkét szabad felszínen azonos.

A pc nyomás ismeretében pD számítható:

( ) 2cDcD mN 1127536,181,91000128449hhgρpp =⋅⋅+=−+=

Hidrosztatika 30

3. Mekkorák a nyomások a vázolt tartály A, B, C és D pontjaiban?

A tartály nyitott szabad felszínén p0 = 105 N/m2 a nyomás. Ezzel

( ) 20A0A mN941146,081,91000100000hhgρpp =⋅⋅−=−−=

A másik oldalon a B pontban

( ) 2B00B mN 1058866,081,91000100000hhgρpp =⋅−+=−−=

A B és C pontok nyomása megegyezik, hiszen ugyanaz a levegőtér van a sza-bad felszínek felett. pc ismeretében viszont

( ) 2Dc0cD mN 1226619,181,9900105886hhgρpp =⋅⋅+=−+=

értékűre adódik.

Hidrosztatika 31

4. Mekkorák a nyomások a vázolt rendszer A és B pontjaiban?

A bal oldali tartály szabad felszínén p0 = 100 000 N/m2 a nyomás. Ennek is-meretében az A pontban

( ) 20A0A mN 791545,281,9850100000hhgρpp =⋅⋅−=−−=

A zárt légterű B pontban

( ) 2BAAB mN 95831281,985079154hhgρpp =⋅⋅+=−+=

5. Mekkora a nyomás a vázolt rendszer A pontjában?

Hidrosztatika 32

A jobb szélső, nyitott U-cső szárban a folyadék szabad felszínén az E pontban 105 N/m2 a nyomás. Ennek ismeretében

( ) 2DEvED mN 1029433,081,91000100000hhgρpp =⋅⋅+=−+=

A D és C pontbeli nyomások megegyeznek, mert szabad felszíneik ugyanaz-zal a légtérrel érintkeznek. A pc nyomás ismeretében pB számítható:

( ) 2Bc1cB mN 1173645,081,92940102943hhgρpp =⋅⋅+=−+=

Ebből viszont pA-t számíthatjuk:

( ) 2BA2BA mN 1120676,081,9900117364hhgρpp =⋅⋅−=−−=

6. Egy függőleges helyzetű, lezárt, 2000 m talpmélységű gáztermelő kút talpán 300 bar a nyomás, 110 oC a hőmérséklet. A gázállandó 520 J/kgK, az eltérési tényező 0,85, a geotermikus gradiens 0,05 oC/m. Mekkora a nyomás és a sűrűség 1000 m mélységben?

A hidrosztatika alapegyenlete lefelé mutató z koordináta esetén

gρdzdp

=

A gáz állapotegyenlete,

ZRTρp

=

amelyben a lineáris hőmérséklet eloszlás a γ geotermikus gradienssel a

T = T0 + γz

egyenlettel adható meg. Behelyettesítve ρ-t, majd T-t a

( )zγTZRpg

dzdp

0 +=

differenciálegyenlet adódik. Szétválasztjuk a változókat, majd integrálunk a kúttalp és a H1 = 1000 m mélység között:

10

0

1

t

HγTHγT

lnZRγg

pp

ln++

=

Ebből

Hidrosztatika 33

bar 94,281200005,0283100005,0283300

HγTHγT

pp52085,005,0

81,9ZRγg

0

10t1 =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅+⋅+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⋅⋅

A hőmérséklet: K 333100005,0283HγTT 101 =⋅+=+=

A sűrűség az állapotegyenletből:⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⋅⋅⋅

==ρ 3

5

1

11 m

kg21,19933352085,0

1094,281ZRT

p

7. Egy függőleges helyzetű gázelosztó vezetéknek a légköri nyomáshoz ké-pest LoGot ppp −=Δ nagyságú túlnyomása jelentkezik talajszinten. Mek-kora lesz ez a túlnyomás H magasságban?

A kis nyomású függőleges gázvezetékben eltekinthetünk a gáz függőleges irányban adódó sűrűségváltozásától, tehát ebben az esetben azt összenyomha-tatlannak tekinthetjük. Hasonlóan a kis szintkülönbségek miatt, a csövet körül-vevő levegő és összenyomhatatlannak tekinthető. A gázra a hidrosztatika alap-egyenlete csövön belül és a körülvevő levegőre a következőképen írható fel:

Hgpp GGHGo ⋅⋅ρ+=

és Hgpp LLHLo ⋅⋅ρ+=

A második egyenlet kivonva az elsőből a

( )LGLHGHLoGo Hgpppp ρ−ρ⋅+−=− )

Egyenletet kapjuk. A H magasságban a környezethez képest jelentkező túlnyomás?

( )GLLoGoLHGH Hgpppp ρ−ρ⋅+−=−

Mivel a túlnyomórészt (95-98%) metánból álló földgáz sűrűsége lényegesen kisebb, mint a levegőé ( LG ρ⟨ρ ) a H magasságban adódó túlnyomás nagyobb, mint a talajszinten érvényesülő. Az emeleti gázkészülékekben nagyobb túl-nyomásra intenzívebben áramlik a gáz, tehát „jobban fűt” a kazán.

Hidrosztatika 34

8. Egy vízzel telt, nyitott, álló hengeres tartályt megforgatunk függőleges szimmetriatengelye körül ω = 10 s-1 szögsebességgel. A hengerpalást su-gara R = 0,5 m, a tartály magassága 2 m.

Mennyi víz ömlik ki a tartályból? Mekkora a nyomás a fenéklemez középpontjában?

A szabad felszín a potenciális energia nívófelülete, amelyre dU = 0. A nehézségi és centrifugális erőtérben ez

dzdzUdr

rUdU

∂∂

+∂∂

=

alakban írható fel. Mivel mindkét erőtér potenciálos

,ωrrU 2−=

∂∂

illetve

( )g

zU

−−=∂∂

Behelyettesítés után

0gdzdrωr 2 =+− A változókat szétválasztva, integrálás után

Kg2ωrz

22+=

az eredmény. Az r = R helyen z = H, ebből a peremfeltételből az integrációs állandó

g2ωRHK

22−=

Visszahelyettesítve az általános megoldásba

( )222

rRg2

ωHz −−=

Ez egy forgási paraboloid alakú felület. A kiömlött folyadéktérfogat egy ele-mi körhenger térfogata

( )rdrzHπ2dV −= Integrálva:

( ) ,g2ωR

2πR

g4πωRrdrrR

g2ωHHπ2V

222R

0

2422

2⋅==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−= ∫

Hidrosztatika 35

tehát a paraboloid köré írható henger térfogatának a fele. A kifolyt vízmennyiség:

324

m 500,081,94

1014,35,0V =⋅

⋅⋅=

A nyomást a

dzzpdr

rpdp

∂∂

+∂∂

=

egyenletből kapjuk, ha behelyettesítjük a hidrosztatika alapegyenletéből a

gρzp a és ωrρ

rp 2 −=

∂∂

=∂∂

komponens-egyenleteket. A

gdzρdrωrρdp 2 −= kifejezés integrálása a

Kgzρ2ωrρp

22+−=

összefüggésre vezet. Mivel r = R, z = H esetén p = p0, az integrációs állandó meghatározása után

( ) ( )222

0 rR2

ρωzHgρpp −−−+=

a megoldás. A fenéklemez középpontjában z = 0, r = 0, ekkor a nyomás

2

225

mN0712,1

25,0101000281,9100010p =

⋅⋅−⋅⋅+=

Kinematikai alapfogalmak 36

4. KINEMATIKAI ALAPFOGALMAK A klasszikus mechanikában a tömegpont mozgásának leírása azt jelenti, hogy a mozgásegyenletből a kezdeti feltételek figyelembevételével meghatározzuk a tömegpont koordinátáit az idő függvényében. Ehhez hasonlóan a folyadék mozgá-sának leírása is lehetséges az egyes, individuális folyadékrészecskék mozgását követve. Az egyes folyadékrészecskék mozgásának nyomonkövetése az ún. LAGRANGE-féle tárgyalásmód.

A mérnöki feladatok megoldására alkalmasabb a mozgás EULER-féle tárgyalás-módja. Az EULER-féle tárgyalásmód nem az egyes folyadékrészecskék mozgását követi nyomon, hanem azt vizsgálja, hogyan változnak a folyadék által elfoglalt térben a folyadék mechanikai és termikus állapotát jellemző fizikai mennyiségek, pl. a sebesség, a nyomás, a hőmérséklet vagy a sűrűség. Az EULER-féle tárgya-lásmódban a fizikai mennyiségek a hely és az idő függvényei, tehát az x, y, z, t független változók négyváltozós függvényei. A folyadék mozgását, mechanikai és termikus állapothatározóinak időbeli megváltozását tetszőlegesen megválasztható, de a szemléletesség kedvéért az euklideszi térhez illeszkedő derékszögű, vagy hengerkoordináta rendszerhez viszonyítjuk. HŐMÉRSÉKLETI MEZŐ A koordinátarendszer pontjaiban és az áramló folyadékhoz kötött pontokban az egyes fizikai mennyiségek deriváltjai eltérő értékeket adnak. A szemléletesség kedvéért tekintsünk egy megkülönböztetett mozgó folyadékrészecskéhez kötött hőmérséklet-értéket. Meg szeretnénk határozni a hőmérsékletváltozást a részecs-kéhez kötött materiális rendszerben. Mint az ismert, a hőmérséklet egy négyválto-zós skalár függvény

T = T(x,y,z,t) (4.1)

Ennek teljes differenciálja a

dttTdz

zTdy

yTdy

dyTdx

xTdT

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

+∂∂

= (4.2)

kifejezés. A sebesség, mint az ismert, az elmozdulás idő szerinti deriváltja. Ha végigosztjuk a (4.2.) kifejezést az elemi idő-megváltozással, akkor a

zTv

yTv

xTv

tT

dtdT

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= (4.3)

összefüggést kapjuk, amelyben

dtdz v;

dtdy v;

dtdxv zyx === (4.4)


tehát a koordinátatengelyekre eső elmozdulás-vetületek időderiváltjai, azaz a se-bességnek a koordinátatengelyekre eső vetületei. A (4.3.) összefüggés fizikai tartalma világos. Egy rögzített, a koordinátarendszer-nek ugyanazon pontjában lévő megfigyelő, vagy műszer észleli, ill. regisztrálja a

tT

∂∂ hőmérsékletváltozást. Ez az ún. lokális megváltozás, ami azért jelenik meg,

mert pl. nagyobb fokozatra kapcsoltuk a fűtést. Ilyen lokális hőmérsékletváltozás kíséri egy forró vasöntvény lehűlésének folyamatát. Ha a hőmérséklet, vagy más fizikai mennyiség értéke nem változik az idővel, a jelenség időben állandó, más

szóval stacionárius. Ekkor 0tT

=∂∂ . A helykoordinátáktól függő

zTv

yTv

xTv yx ∂

∂+

∂∂

+∂∂ (4.5)

tagok azt a hőmérsékletváltozást mutatják, amely a térben inhomogén eloszlású hő-mérsékleti mezőben mozogva észlelhető. Ha a nyári melegben bemegyünk egy hűvös pincébe, azonnal érezzük a hőmérséklet-csökkenést, s ha van nálunk megfelelő hőmé-rő mérhető a bekövetkező változás annak ellenére, hogy a kinti meleg és a pincebeli hűvös hőmérséklet nem változik. A parciális deriváltak fejezik ki a térbeli inhomoge-nitást, a megfelelő sebességkomponensek pedig mutatják, hogy minél nagyobb sebes-séggel mozgunk a stacionárius, de inhomogén hőmérsékleti mezőben, annál erőtelje-sebb hőmérsékletváltozást észlelünk. Ez az úgynevezett konvektív megváltozás. Általános esetben sem a lokális, sem a konvektív hőmérsékletváltozás nem zérus. Ekkor a teljes, vagy materiális megváltozás a kettő összege.

GYORSULÁSTÉR A sebesség vektormennyiség, három skalár komponense van:

kvjvivv zyx

rrrr++= (4.6)

Ennek megfelelően a gyorsulás, amely az egységnyi időre jutó sebességváltozás a

kdt

dvjdt

dvi

dtdv

dtvda zyx

rrrrr

++== (4.7)

három skalárfüggvény: vx, vy és vz materiális megváltozásaként számítható.

z

vvy

vvx

vvt

vdt

dva xz

xy

xx

xxx ∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

== (4.8)

z

vv

yv

vx

vv

tv

dtdv

a yz

yy

yx

yyy ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂== (4.9)


z

vv

yv

vxv

vt

vdt

dva z

zz

yz

xzz

z ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂== (4.10)

Egy vektorfüggvény materiális deriváltja tehát 12 parciális deriválttal határozható

meg. A t

vx

∂∂

, t

vy

∂

∂,

tvz

∂∂

tagok jelentik a lokális gyorsulást. Ez a fajta sebes-

ségváltozás akkor jelenik meg, ha a sebességi mező időben változik. Egy vízcsa-pot nyitva egyre erőteljesebb sugárban ömlik a víz, egy rögzített pontban egyre

nagyobb a sebesség. A lokális gyorsulás ,0tv

≠∂∂r

az áramlás időben változó, más

szóval tranziens vagy instacionárius. Ha a 4.1. ábrán vázolt szűkülő keresztmetszetű fúvókán áramlik keresztül a víz, sebessége a kiöm-lőnyíláshoz közeledve egyre nö-vekszik. Ez a konvektív gyorsu-lás: habár időben állandó a sebes-ségi mező, a szűkülő keresztmet-szeten egyre nagyobb sebességgel halad keresztül a folyadékelem.

4.1. ábra. Konvektív gyorsulás a szűkülő keresztmetszetű fúvókában

AZ ÁRAMVONALAK EGYENLETE A sebességi mező, mint minden vektormező áramvonalaival jellemezhető. Az áramvonalakat érintik a sebességvektorok, vagy másképp fogalmazva az áramvo-nalak a sebességvektorok burkológörbéi. Az áramvonalak egyenlete

0sxdv =rr

(4.11)

ahol sdr

az áramvonal elemi hosszúságú darabját jellemző, a mozgás irányába mutató vektor. Mivel a sebesség érinti az áramvonalat, a párhuzamos vektorok vektorszorzata nulla.

Skalár komponenseikkel kifejezve ez az

0

dzdy dx

vvvk j i

zyx =

rrr

(4.12)


determináns kiszámítását jelenti. Kifejtve

vydz – vzdy = 0 (4.13)

- vxdz + vzdx = 0 (4.14)

vxdy-vydx = 0 (4.15)

Tehát felírható, hogy

zyx v

dzvdy

vdx

== (4.16)

PÁLYAVONAL A pályavonal egy kiszemelt pontszerűnek tekintett elemi folyadékrészecske egy-mást követő pillanatokban elfoglalt helyeit összekötő görbe. NYOMVONAL A nyomvonal a tér egy pontján egymás után áthaladó folyadékrészecskéket egy adott pillanatban összekötő görbe. Ilyen nyomvonal például a forgó öntözőfej (sprinkler) által kilövellt folyadékcseppek sora.

Időben állandó áramlásban az áramvonalak, a pályavonalak és a nyomvonalak egybeesnek. ÁRAMFELÜLET Az áramfelületet egy kijelölt vonalra illeszkedő áramvonalak alkotják, amelyeket a sebességvektorok érintenek. Ebből következik, hogy az áramfelületen nincs átáramlás. Bármely, az áramlásba helyezett szilárd test kontúrja áramfelület.

ÁRAMCSŐ Az áramcső (4.2. ábra) egy zárt görbére illesz-kedő áramvonalak alkotta áramfelület. Egy valóságos, szilárd fallal határolt cső áramcső. Nyilvánvaló, hogy átáramlás az áramcső felü-letén keresztül sem lehetséges.

4.2. ábra. Áramvonal, áramcső


KERÜLETI SEBESSÉG, RELATÍV SEBESSÉG, ABSZOLÚT SEBESSÉG Egyes áramlások attól függően lehetnek időben állandók, vagy időben változók, hogy ilyen koordinátarendszerből vizsgáljuk azokat. Ha például egy szélkerék forgássíkjában vizsgáljuk az áramlást, s a földhöz kötött koordinátarendszerben rögzítjük a vizsgálati pontot, akkor időben változó az áramlás, hiszen hol egy lapát halad át a szóban forgó ponton, hol a levegő áramlik át a lapát áthaladása előtt, illetve után különböző sebességgel. Ha viszont a kerékhez kötött egyenlete-sen forgó koordinátarendszerben vizsgálódunk, a kiválasztott pontban mindig ugyanakkora a sebesség, az áramlás időben állandó.

A kerék valamely pontjának kerületi sebessége a koordinátarendszer szállító se-bessége, a forgó rendszerben kapjuk a relatív sebességet, s az álló rendszerben az abszolút sebességet.

Az abszolút sebesség a kerületi sebesség és a relatív sebesség vektorikus összege:

wuc rrr+= (4.17)

A folyadékrészecskék mozgása többféle mozgáselemből tevődik össze.

AZ ELEMI FOLYADÉKRÉSZ MOZGÁSFORMÁI A haladó mozgás, az ún. transzláció a tömegpontok egyedüli mozgásformája. Az áramló folyadék részecskéi is végeznek haladó mozgást.

A forgó mozgás, az ún. rotáció a merev testek mozgását jellemzi a transzláció mellett. A forgás történhet állandó, vagy pillanatonként változó forgástengely körül. A forgó mozgást jellemző fizikai mennyiség az ω

r szögsebesség. Az áram-

ló folyadék részecskéi is végezhetnek forgó mozgást. Ha tengelyük körül elfor-dulnak a folyadékelemek mozgásuk örvényes. Ha tengely körüli forgás nélkül mozognak a folyadékrészecskék az áramlás örvénymentes.

Ezen túlmenően a folyadékelem deformálódik, alakja torzul és összenyomható közeg esetén térfogata is változik.

ÖRVÉNYES MOZGÁS Az áramlás örvényességét a sebességtér rotációjával jellemezhetjük:

.vxvrot rvr∇==Ω (4.18)

Ebben, mint ismert ∇ az alábbi, vektor-formában megadott differenciálási előírás.

kz

jy

ix

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ (4.19)


A rotáció kiszámításához a

zyx v vvz

y

x

k j i

vx∂∂

∂∂

∂∂

=∇

rrr

r (4.20)

determinánst kell kifejtenünk, s ez a

ky

vx

vj

xv

zvi

zv

yvvrot xyzxyz

rrrr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

= (4.21)

eredményt adja. Örvénymentes áramlásra nyilvánvalóan

0vrot =r

(4.22)

A vrotr vektorok a sebességvektorokhoz hasonlóan a tér minden egyes pontjához hozzárendeltek. Így értelmezhető az áramlás örvénytere. Ahogy a sebességteret az áramvonalakkal, úgy az örvényteret az örvényvonalakkal tehetjük szemléletessé. Az örvényvektorok az örvényvonalakat érintik. Az örvényvonalak differenciál-egyenlete ezért az áramvonalakhoz hasonló módon az

(4.23) 0rxd =Ω→→

alakban írható fel. A vektorszorzást az ismert módon elvégezve

zyx

dzdydxΩ

=Ω

=Ω

(4.24)

adódik. Örvényvonallal egybe nem eső görbére illesz-tett örvényvonalak örvényfelületet képeznek. Ha ez a görbe zárt, akkor az erre illeszkedő örvényvonalak örvénycsövet alkotnak.

4.3. ábra. Örvényvonal, örvénycső. A tömegmegmaradásának törvénye

Mivel az örvénycsövet alkotó palástfelületen örvény-vonalak nem haladhatnak át, azért az örvénycső bár-mely keresztmetszetén azonos számú örvényvonal halad át 4.3. ábra. Ebből következik, hogy az örvény-cső erőssége bármely keresztmetszetében állandó.


Az áramlás örvényességét kifejező vrotr vektort nem lehet közvetlenül megmérni. Ezért vezették be az örvényesség mérőszámaként a sebességtér cirkulációját. A Stokes-tétel szerint egy vektortér zárt görbére vett vonalintegrálja egyenlő a vek-tortér rotációjának a görbével határolt felületre vett felületi integráljával.

( )

∫∫ ==ΓAG

Advrotsdvrrrr (4.25)

Mivel a felületi integrál az örvénycső erősségét, az örvényvonalak számát adja meg, ez a sebesség vonalintegráljaként jól megmérhető mennyiség alakjában hatá-rozható meg. A Γ cirkuláció tehát skalármennyiség, s tetszőleges zárt görbére számítva megadja a görbe által körülvett örvényvonalak számát.

A tömeg megmaradásának törvénye 43

5. A TÖMEG MEGMARADÁSÁNAK TÖRVÉNYE A tömeg megmaradásának törvénye a klasszikus, nem-relativisztikus mechanika egyik alapvető axiómája, amely szerint mozgás közben a testek tömege nem vál-tozik. Ez az állítás nyilvánvalóan igaz a folyadékok áramlására is. Matematikai megfogalmazásához vegyünk egy a tér rögzített P pontjába illeszkedő infinitézimális térfogatot, ahogy azt az 5.1. ábra szemlélteti.

5.1. ábra. Infinitézimális térfogat a be- és a kilépő tömeáramokkal

A koordinátatengelyekkel párhuzamos dx, dy, dz élhosszúságú derékszögű hasáb térfogata

dV = dxdydz (5.1)

Ezt hézagok nélkül tölti ki a folyadék, szabadon áramolva át a képzeletbeli hasáb oldallapjain. Az elemi hasáb belsejében a ρ sűrűség eloszlása homogén, de az összenyomhatóság miatt az időben változhat. A sebességek és az időegység alatt átáramló folyadéktömegek a hasáb egyes lapjain különböznek, még az egymással párhuzamos lapokon is. Ha az időegység alatt kiáramló és beáramló folyadéktö-megek különböznek egymástól, a teljes tömeg viszont állandó, a térfogatban a tömeg vagy felhalmozódik, vagy fogy, tehát sűrűsége megváltozik. Az x-irányú tömegáramok különbsége:

( ) dydz vdxxvvm x

xxx ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ρ∂

+ρ=& (5.2)


Hasonlóan y irányban

( )dxdz vdy

yv

vm yy

yy⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ρ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

ρ∂+ρ=& (5.3)

illetve z-irányban

( ) dxdy vdzzvvm z

zzz ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ρ∂

+ρ=& (5.4)

Az egyes koordinátairányokban adódó tömegáramok összegének és az elemi hasáb tömegváltozásának az összege zérus, hogy teljesüljön a tömegmegmaradás törvénye:

( ) ( ) ( ) 0dxdydzzvdxdydz

yv

dxdydzxvdxdydz

tzyx =

∂ρ∂

+∂

ρ∂+

∂ρ∂

+∂ρ∂ (5.5)

Végigosztva az elemi térfogattal

( ) ( ) ( ) 0vz

vy

vxt zyx =ρ

∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

+∂ρ∂ (5.6)

adódik. A kifejezés 2.-5. tagjaiban nem nehéz felismernünk a vr

ρ szorzat, az ún. tömegáramsűrűség divergenciáját:

( ) 0vdivt

=ρ+∂ρ∂ r (5.7)

Ha a második tagot szorzatként deriváljuk

0z

vy

vx

vz

vy

vx

vt

zyxzyx =

∂∂

ρ+∂

∂ρ+

∂∂

ρ+∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂ (5.8)

Az első négy tag a sűrűség teljes deriváltja, a lokális és a konvektív megváltozá-sok összege:

0z

vy

vx

vdtd zyx =

∂∂

ρ+∂

∂ρ+

∂∂

ρ+ρ (5.9)

Ugyanezt a

0v divdtd

=ρ+ρ r (5.10)

alakban is felírhatjuk. A tömeg megmaradását kifejező ún. kontinuitási egyenlet alapján lehetőség nyílik a sebességtér divergenciájának szemléletes értelmezésére.


Ismert a vektoranalízisből, hogy valamely vektortér divergenciája annak forrá-sosságát, nagy forrásmentességét jelenti. Egy vektortér vektorvonalaival, tehát a sebességtér az áramvonalakkal jellemezhető. Ha a sebességtér divergenciája zé-rus, akkor az forrásmentes, tehát az áramvonalak száma nem változik. Ha a vek-tortér forrásos, az áramvonalak száma változik, a források az áramvonalak kezdő- és végpontjai, mint az elektromos erővonalak esetében a pozitív és negatív tölté-sek. A sebességtér pontszerű forrásaként értelmezhető egy nagyméretű tartály vagy medence beömlő nyílása, míg a kifolyónyílás a negatív erősségű forrás: a nyelő.

A sebességtér divergenciája mégis a folyadékok összenyomhatósága és össze-nyomhatatlansága kapcsán nyer igazi értelmet. A (5.10) egyenletből kifejezve

dtd1v div ρ

ρ−=

r (5.11)

A sebességtér forrásmentes, ha 0v div =r

. Ez abban az esetben állhat elő, ha teljesül a dρ/dt=0 feltétel, tehát ha a sűrűség állandó. Az összenyomhatatlan-ság feltétele tehát a

0z

vy

vx

vv div zyx =∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=r (5.12)

egyenlőség teljesülése. Egy csőben folyó egydimenziós áramlásban, ahol v = vx, vy = vz = 0, nyilvánvalóan teljesül a

0x

vx =∂

∂ (5.13)

feltétel, tehát az összenyomhatatlan folyadék állandó keresztmetszetű csőben való áramlása bármely keresztmetszetben azonos a sebességeloszlás. Ismeretes hogy az egységnyi keresztmetszeten áthaladó áramvonalak száma a sebesség abszolút értékével arányos. Ebben az esetben a csőben az áramlást azonos számú, egyenes, a cső tengelyével párhuzamos áramvonal szemlélteti.

Ha a közeg összenyomható, dρ/dt≠0.

Ekkor

θ=ρ

ρ−=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=dtd1

zv

yv

xvvdiv zxxr (5.14)

Az egyenletből kitűnik, hogy a θ=v div r skalár mennyiség a térfogatváltozás se-bessége, mértékegysége s-1. A gáz expanziója esetén θ > 0, ugyanis a sűrűség csök-kenése miatt dρ/dt < 0, de a tag előtt álló negatív előjel miatt a jobb oldal pozitív.


Tekintsünk egy állandó keresztmetszetű gázszállító csővezetéket! Az áramlás irá-nyában a gáz belső súrlódása miatt csökken a nyomás, tehát a gáz kiterjed. A na-gyobb térfogat változatlan keresztmetszeten csak nagyobb sebességgel áramolhat keresztül, így az áramlás irányában az áramvonalak száma növekszik, θ értékének megfelelő mértékben. Az „új” áramvonalak nem egy meghatározott pontszerű for-rásból erednek, hanem egy térfogatban megoszló forráseloszlásból származtathatók.

Hasonló a helyzet az összenyomható közeg komprimálásakor. Egy kompresszorban áramló gáz sűrűsége nyilvánvalóan növekszik, térfogata, sebessége csökken. A dρ/dt derivált pozitív, így a térfogatváltozás sebessége a (5.11)-nek megfelelően

0 v div <=θr

(5.15)

tehát negatív.

Egy véges térfogatú csőszakaszra is felírhatjuk a tömeg megmaradásának tételét. Ehhez tekintsük az 5.2. ábrán vázolt cső A1 és A2 felületekkel hatá-rolt szakaszát. Az áramcső A3 felületű palástja áramfelület, itt a sebességnek csak érintőirányú összetevője lehet. Ez a peremfeltétel megfelel annak a fizi-kai ténynek, hogy az áramló folyadé-kot körülfogó cső fala áthatolhatatlan. Legyen M a vizsgált csőszakaszba zárt folyadék tömege:

5.2. ábra. Tömeg-mérleg áramcsőre

(5.16) ∫ ρ=V

dVM

Vegyük továbbá a sebesség és a sűrűség felületre vonatkozó integrál-középértékeit az alábbi formulák szerint:

∫=A

AdvA1c

rr (5.17)

illetve

∫ ρ=ρA

dAA1

(5.18)


A csőszakaszt megtöltő folyadék tömege nyilvánvalóan csak akkor változhat, ha a beáramló és a kiáramló tömeg nem egyenlő. Ekkor

111222 cAcAt

Mρ−ρ=

∂∂

− (5.19)

Ez az eset áll fenn például akkor, ha egy nagynyomású gázszállító vezetékből nagyobb a felhasználás, mint az utánpótlás, a csővezetékbe zárt gáz tömege csök-ken, a

tM∂

∂ derivált negatív. Az összenyomható közeget szállító csővezetékben

tehát jelentkezhet ez a pufferhatás.

Időben állandó áramlásban ,0t

M=

∂∂ így

mcAcA 222111 &=ρ=ρ (5.20)

tehát a cső bármely keresztmetszetében állandó a m[kg/s] tömegáram. Mivel a csővezetékek átmérője általában állandó, A1 = A2, tehát a

2211 cc ρ=ρ (5.21)

tömegáram-sűrűség, tehát az egységnyi felületen, egységnyi idő alatt átáramló folyadékmennyiség állandó.

Abban az esetben, ha a közeg összenyomhatatlan, pontosabban, ha annak tekint-hető, az állandó sűrűség miatt

QcAcA 2211 == (5.22)

azaz bármely keresztmetszetben azonos a ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡s

mQ3

térfogatáram. Ha kicsiny az

áramló közeg nyomásváltozása, a gázok is összenyomhatatlan közegként kezelhe-tők, pl. a levegő áramlása egy porszívó szívócsövében. Végül az összenyomhatat-lan közeg állandó keresztmetszetű csőben állandó sebességgel áramlik.

Az ideális folyadék mozgásegyenlete 48

6. AZ IDEÁLIS FOLYADÉK MOZGÁSEGYENLETE A folyékony közegek mozgásának legegyszerűbb leírási lehetőségéhez az ideális folyadék fogalmának bevezetésével jutunk. A mérnöki gyakorlatban előforduló áramlástani feladatok jelentős részénél különösen, amíg a jelenség energetikai olda-lát figyelmen kívül hagyjuk, eltekinthetünk a folyadék belső súrlódásának figye-lembe vételétől. Feltételezzük, hogy két egymáshoz képest elmozduló folyadékré-szecske között az érintkezési felületen érintőirányú csúsztatófeszültségek nincsenek, csak a felületre merőleges, normális irányú erők hatnak. E szerint az ideális folya-dék egy elképzelt modell-közeg, amely bizonyos esetekben a valóságos folyadék viselkedését jól közelíti. Az érintő irányú feszültségek a mozgó ideális folyadék bármely pontjában a koordinátatengelyek kiválasztásától függetlenül zérussal egyenlők, a normális irányú feszültségek pedig kölcsönösen egyenlők. A p nyomás, akárcsak a hidrosztatikában skalárteret képez. A lényeges különbség, hogy amíg a valóságos folyadékokban nyugalom esetén valóban eltűnnek a csúsztatófeszültségek, a mozgó ideális folyadékban csak közelítjük ezzel a feltételezéssel a valóságos állapo-tot. Gondoljuk meg, hogy amíg egy vízvezetéki csőben néhány bar, azaz 105 N/m2 nagyságrend-tartományba esik a nyomás, a cső falán adódó érintőirányú feszültség alig 1-2 N/m2, ami a nagyságrendi különbségre való tekintettel elhanyagolható. Az ideális folyadék két párhuzamosan mozgó rétege érintőirányú súrlódási erők hiányában teljesen szabadon mozoghatna egymáshoz képest. Ez ellentmondana a sebességtér folytonosságának elvével. Ezért azt hihetnénk, hogy az ideális folya-dék csak valami valóságtól elrugaszkodott absztrakció. Ez azonban nincs így, az ideális folyadék modellje a gyakorlati feladatok jelentős részében jól írja le pl. a jól áramvonalazott testek körüláramlását. Nyilvánvaló, hogy az ideális folyadékmodell a valóságot csak azért közelíti meg a mérnöki gyakorlatnak megfelelő mértékben, mert egy további feltevésben elfo-gadjuk azt is, hogy a mechanikai és a termikus mennyiségek eloszlása az ideális folyadékban is folytonos. Ez a feltevéssel vesszük figyelembe a folyadékokban és a gázokban lejátszódó molekuláris mozgások leglényegesebb minőségi követ-kezményét, amely egyrészt minden fizikai mennyiség eloszlásának térbeli folyto-nosságát, másrészt a súrlódást és a hővezetést eredményezi. Bár az ideális folyadéknál a belső molekulacsere folyamatának két utóbbi követ-kezményének mennyiségi figyelembevételétől eltekintünk, a jelenség legfonto-sabb minőségi jellemzője, a fizikai mennyiségek folytonos eloszlása megmarad. A súrlódásmentes, ideális folyadék mozgásegyenlete a második Newton-féle mozgástörvény speciális esete, abból levezethető. A második Newton-axióma szerint a mozgásban lévő test impulzusának időegység alatti megváltozása a testre ható külső erők eredőjével egyenlő:

( ) ∑=⋅ iFvmdtd rr (6.1)

A Bernoulli-egyenlet 49

A tömeg állandóságának következtében ez az

∑= iFdtvdm

rr (6.2)

alakban is felírható. A folyadék mozgásegyenlete az Euler-féle tárgyalásmódnak meg-felelően a tér egy tetszőleges P pontján az adott t időpillanatban éppen áthaladó folya-dékelem gyorsulása és a folyadékelemre ható külső erők közti összefüggést fejezi ki.

Tekintsük a tér tetszőlegesen rögzített P pontjára illesztett dV=dxdydz infinitézimális térfogatelemet. Ha ebben a pontban az áramló közeg sűrűsége ρ, akkor az elemi tömeg

dm = ρdxdydz (6.3)

amelynek gyorsulását x-irányban a

z

vv

yv

vx

vv

tv

a xz

xy

xx

xx ∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= (6.4)

összefüggés adja meg. A másik két koordináta-irányban nyilvánvalóan az

z

vvayvv

xv

vt

va z

zz

yy

xy

y ∂∂

+∂

+∂

∂+

∂

∂= (6.5)

és az

z

vv

yv

vxv

vt

va z

zz

yz

xz

z ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂= (6.6)

egyenletek érvényesek. A dm tömegű folyadékra külső erőként az

dxdydzgFtvr

ρ= (6.7)

tömegerő hat, ami a mérnö

Ez azonban nem feltétle-nül szükségszerű, egy szivattyú,

ki feladatok megoldásakor legtöbbször a nehézségi erő.

vagy egy

6.1. ábra Elemi kocka dinamikai egyensúlya

kompresszor forgó lapá-tozott terében az áramlás-ra a centrifugális erő is hat, ekkor g

r a nehézségi

erő és a centrifugális erő eredőjét jelenti.


A folyadékelem felületére a p nyomás -ból származó erő hat. A 6.1. ábrának megfelelően az x koordinátatengely irányában.

dydzdxxpppdydzFfx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

∂∂ (6.8)

nagyságú felületi erő hat. A másik két koordinátairányban ez nyilvánvalóan

dxdzdyyp ⎟

⎞⎜⎛ ∂ (6.9) ppdxdzFfy ⎟

⎠⎜⎝ ∂

+−=

és az

dxdydzzpppdxdyFfz ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−= (6.10)

alakban írható. Ezzel a három koordinátairányban az elemi tömeggel végigosztva az alábbi három skaláregyenlet adódik:

xp1g

zvv

yvvvvv xxx ∂

+∂

+∂

xt xx

zyx ∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂∂

(6.11)

yp1g

zv

vy

vv

xv

vt

vy

yz

yy

yx

y

∂∂

ρ−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (6.12)

zp1g

zvv

yvv

xvv

tv

zz

zz

yz

xz

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂ (6.13)

Ez az ún. Euler-egyenlet három skalár komponens-egyenlete, amely vektoregyen-letként rendkívül tömör alakban írható fel.

gradp1gvd−=

r

dt ρ

r (6.14)

Ha az áramlásban valamennyi mechanikai és termikus mennyiség csupán egyet-len, általában görbevonalú koordináta és az idő függvénye, az áramlást egydimen-ziósnak nevezzük. Az egydimenziós áramlás legegyszerűbb példája az olyan tér-beli áramlás, amelynek iránya valamelyik koordinátatengely irányával megegye-zik, sebessége, nyomása, sűrűsége pedig csak ugyanennek a koordinátának és az időnek a függvénye. Vizsgáljuk meg az ideális folyadék, vagy gáz olyan egyenes vonalú áramlását, amelyben valamennyi áramvonal párhuzamos az x-tengellyel. Ha x a cső szimmetriatengelye, akkor csak a tengelyirányú vx sebességkomponens nem zérus, vy = vz = 0. Az Euler egyenlet ebben az esetben a

xp1gvvv xx

xt xx ∂∂

ρ∂−=

∂+

∂∂ (6.15)


a an a lakban adódik, míg a másik két koordináta-irányb

yy ∂ρp1g0 ∂

−= (6.16)

s a

é

dzp1g0 z

∂ρ

−= (6.17)

idrosztatikai egyenletekké fajul. A mérnölásokkal találkozunk. Ilyen esetben a

h ki gyakorlatban legtöbbször időben állandó áram

xp1g

xvv x ∂

∂ρ

−=∂∂ (6.18)

alakot ölti az Euler-egyenlet.

Az dxρdp1 tag fizikai jelentése: az egységnyi tömegű folyadékra ható nyomóerők

eredője. Míg a nyomóerő iránya mindig a felület állásától függ, tehát egy pontban

eredője egyértékű függvény, erőteret alkot, s ez az erőtér bizonyos esetekben po-végtelen sok értéket felvehet, az egységnyi tömegű folyadékra ható nyomóerők

tenciálos is lehet. Az egyenlet levezetésénél nem kötöttük ki a sűrűség állandósá-gát, tehát az egyaránt érvényes súrlódásmentes folyadékra és gázra is. Az is kitű-nik az Euler-egyenletből, hogy még a legegyszerűbb egydimenziós áramlásban is három ismeretlen függvényt (v, ρ, p) tartalmaz, tehát egy adott áramlási feladat megoldásához további két egyenletre van szükség. Az egyik ilyen összefüggés a kontinuitási egyenlet lehet, a másik pedig az állapotegyenlet, amely a sűrűség és a nyomás közötti függvénykapcsolatot határozza meg. Ez az összefüggés az álla-potváltozás jellegétől függően különböző, aszerint, hogy izotermikus, izentropikus vagy politropikus folyamatot vizsgálunk. Azokat az állapotváltozá-sokat, amelyeknél a sűrűség a nyomásnak egyértékű függvénye, barotróp állapot-változásnak nevezzük.

Ha az áramló közeg sűrűsége csak a nyomástól függ, akkor érvényes az ( )

∫ ρ∂=

∂ρ pxx (6.19) ∂∂ xp

0

dpp1

gyenlőség. A jobb oldalon álló integrált ugyderiváljuk (p az x függvénye) s ekkor az integrál deriváltja az integrandusnak és a

láncszabály miatt a

e anis közvetve a felső határ szerint

xp

∂∂

-nek a szorzata. Felismerhető, hogy a


( )

∫ ρ=Π

xp

p

dp (6.20)

skalár függvény az

0

x1

∂p∂

ρységnyi

megű folyadékra ható nyomóerők eredőjgiája, az áramlástanban meghonosodott rövidebb elnevezéssel nyomási energia.

sség

erőtér potenciálja. A Π. függvény tehát az eg

tö e által alkotott erőtér potenciális ener-

A tömegerők tere is legtöbbször potenciálos. Akár a nehézségi erőtér, akár a cent-rifugális erőtér térerő e kifejezhető a

gradUg −=r

(6.21)

xUgx ∂

∂−= (6.22) Esetünkben,

fo lis erő tere nem potenciálos. rmulával. Megjegyzendő, hogy pl. a Corio

apján a súrlódásmentes folyadéra egy áramvonal mentén adódó természetes koordináta rendszerben érintő, nor-Az előzőek al k időben állandó, barotróp áramlásá-

mális és binormális irányú komponens egyenletek adódnak.

0U2ds ⎟

⎠⎜⎝

kifejezés adódik. A pálya görbületének irányában most nyilván fellép az

vd 2

=⎟⎞

⎜⎛

Π++ (6.23)

rva

2

c −= (6.24)

centrifugális gyorsulás, amellyel a

r∂ρ

(6.25) p1rU

Rv2 ∂

−∂∂

−=−

lis irányban egy hidrosztatikai egyenletet ka-es koordináta rendszerben, érintő

ormális és binormális irányú komponens egyen

egyenletet írhatjuk fel. A binormápunk egy áramvonal mentén adódó természetn letek adódnak:

bb ∂p1U0 ∂

ρ∂∂

−−= (6.26)

Itt R az adott pontban a pálya görbületi sugara, r a pályára merőleges sugárkoor-dináta (normális irányú) b a binormális irányú koordináta.

A Bernoulli-egyenlet 53 A Bernoulli-egyenlet

53

természetes koordinátarendszerben felírt néhány fizikai tényt.

em változik a nyomás. zért vehetjük egy cső áramlásra merőleges keresztmetszetében állandónak a yomás értékét. Ez nem egy számítást egyszerűsítő közelítő feltevés, hanem az

akra merőlegesen viszont változik a nyomás, a görbületi

hanem

éktér szilárd

Az Euler akjait izsgálva világosan kirajzolódik a fizi-

m ő esetben, ha az erők eredője nem zérus, a sebesség nagysága égyorsulás az eredő térerősség vektorral ahatására a folyadékrészecskék a csökkenő

A Euler egyenlet szemléletesen mutat

A 6.25 egyenletből kitűnik, hogy ha az áramvonalak párhuzamos egyenesek, azaz ha görbületi sugaruk végtelen, akkor azokra merőlegesen nEnEuler egyenlet normálisirányú komponens-egyenletének következménye.

A görbült áramvonalközéppontból kifelé haladva nő. Az R görbületi sugár nem lehet tetszőlegesen kicsiny, hiszen a nyomásváltozás sem lehet tetszőleges. Amikor egy áramlás megkerül egy éles sarkot, pl. a cső hirtelen keresztmetszet-változásánál, az áram-

vonalak nem fogják teljesen követni a csőfal alakjának változását, leválnak arról, s az éles sarokról leváló, úgynevezett szabad áramvonallal hatá-rolt holttér alakul ki. A szabad áramvo-nal mentén a nyomás állandó, s így a holttéren belül is. A mérőperemek után keletkező kontrakció és holttér, vagy az éles szélű kifolyónyílásoknál a kiömlő folyadéksugár összehúzódása e hatás következménye 6.2. ábra. 6.2. ábra. A mérőperem éles szélén

leváló szabad áramvonal A leváló áramvonalak alkotta áram-felület határolja az áramlást, amely nem esik egybe a folyadhatárfelületével.

egyenlet különböző alvkai tartalom: súrlódásmentes esetben a folyadékrészecskére csak a térerősség és a nyomásból származó erő hat. Ha a gyorsul. Ellenkezkét erő egyensúlyban van, a folyadék nes iránya változik, a közeg gyorsul. Ez a zonos irányú. A nyomás változásának

nyomás irányába gyorsulnak.


7. A BERNOULLI-EGYENLET

A súrlódásmentes folyadék időben állandó egydimenziós áramlása potenciálos erőtérben, barotróp esetben egy áramvonal s ívhossza mentén a

0U2v

s

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π++

∂∂ (7.1)

mozgásegyenlettel írható le. Integráljuk ezt a kifejezést egy áramvonal két tetsző-leges pontja között:

0dsU2v

s

22

1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π++

∂∂

∫ (7.2)

Mivel az integrandus teljes differenciál, az eredmény

11

21

22

22 U

2vU

2v

Π++=Π++ (7.3)

Ez az ún. Bernoulli-egyenlet, az Euler-egyenlet első vonalintegrálja. Ennek az eredménynek rendkívüli fontosságú fizikai jelentése van. Az ideális folyadék potenciálos erőtérben végzett, időben állandó barotropikus áramlásában bármely áramvonal mentén az egységnyi tömegű folyadék teljes mechanikai energiatar-talma állandó érték. Tehát az egységnyi tömegű folyadék, vagy gáz kinetikus energiájának, a tömegerők tere potenciálos energiájának valamint a nyomóerők eredője által alkotott erőtér potenciális energiájának összege állandó. A különböző áramvonalak mentén e konstans értéke általában más-más.

Ha az áramlás az előző kikötéseken kívül még örvénymentes is, a folyadéktér bármely két pontja közé felírható a Bernoulli-egyenlet.

Összenyomhatatlan folyadék áramlása esetén

ρ

−ρ

=ρ

=Π ∫ 0p

p

ppdp

0

(7.4)

ahol, mint ismert p0 egy tetszőleges konstans vonatkoztatási nyomásszint. Ekkor

22

22

11

21 U

p2

vU

p2

v+

ρ+=+

ρ+ (7.5)

A mérnöki gyakorlatban legtöbbször az

U = g(z – z0) (7.6)


potenciálú nehézségi erőtérben kell vizsgálni az áramlást. Ilyenkor

ρρ 22

Az áramló folyadék fajlagos mechanikai energiatartalmát egya

++=+ 22

221

1

21 pgzvpgzv (7.7)

ránt vonatkoztat-hatjuk egységnyi tömegre, térfogatra, vagy súlyra. Az egységnyi tömegre vonat-

ozó egyenlet J/kgK, tehát m2/s2 dimenziójú. energiatartalma J/m3 nyomás dimenziójú, míg az egységnyi súlyú folyadék me-

k Az egységnyi térfogat mechanikai

chanikai energiatartalmát J/N tehát hosszúság-dimenzióban kapjuk. Így adódik a

22

22

11

21 gzp

2vgzp

2v

ρ++ρ=ρ++ρ (7.8)

és a

22

221

21 pvpv

++=++ (7.9) 1 zgg2

zgg2 ρρ

egyenlet.

almas egy olyan pont,

yomhatóságát már nem hagyhatjuk yomásfüggvényt a közeg jellegétől

deális vagy reális gáz) és a ρ = ρ(p) függvénrlódásmentes, ideális gáz tökéletesen hőszi

izentropikus

Ez az alak különösen alkalmas az áramvonalmenti energiaeloszlás grafikus meg-jelenítésére.

A Bernoulli egyenlet a mechanikai energia megmaradását mondja ki a súrlódás-mentes folyadék időben állandó, potenciálos erőtérben, barotróp állapotváltozás mellett kialakuló áramlásában. Ha a Bernoulli egyenletet egy tetszőleges pontra vonatkoztatjuk, ismernünk kell az összenergia értékét az illető ponton átmenő áramvonal egy vonatkoztatási pontjában. Erre különösen alkahol a sebesség nulla, hiszen egy magasságkoordináta és egy nyomásérték ismere-tében az összenergia már egyszerűen meghatározható.

Ha a súrlódásmentes, barotróp közeg összenfigyelmen kívül, meg kel határoznunk a Π n(i y konkrét alakjától függően. Ha a sú getelt térben áramlik, a mozgás

, amelyre a

κκ ρ

=ρ 0

0pp (7.10)

összefüggés érvényes. Ebből

κ−κκ

=⋅1

010 p

p1p (7.11) κ

ρρ=

ρ 0

1

0p

11


Ezt behelyettesítve kapjuk a

⎥⎦⎢⎣⎠⎝ 00p0 0

összefüggést. Az izentropikus állapotváltozásra fennáll a

⎥⎢⎢⎡

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

ρ−κκ

=ρ

=Π

κ

κ−κ

∫ 1ppp

1dppp 0

p 11

0 ⎥⎤

κ−1

(7.12)

0

1

TT

pp

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ κ−κ

(7.13) 0

rmula, amelynek felhasználásával az egyszerűbb fo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−κκ

=Π 1TTRT

1 00

(7.14)

kifejezéshez jutunk. Mivel κ=v

p

cc

(7.15)

és R = cp – cv (7.16)

R1p −κ

κc = (7.17)

Ezzel a nyomáspotenciál a

0ii −=Π (7.18)

formában írható fel, ahol Tci p⋅= .

Másfelől, ha a nyomáspotenciál függvényében szereplő RT helyett az állapot-

egyenletből ρp

-t behelyettesítünk, a ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

−ρ−κ

κ=Π

0

0pp1

(7.19)

egyenletet kapjuk. Ezzel az izentropikus áramlásra érvényes Bernoulli-egyenletet a

const (7.18) p12

v2

=ρ−κ

κ+

iával kifejezve ez a alakban kaptuk meg. Az entalp

consti2v2

=+ (7.19)

formában írható fel.


PÉLDÁK

1. Víz áramlik egy 200 mm átmérőjű csőbe épített vízszintes tengelyű 100 mm torokátmérőjű Venturi-csövön át. A tömegárhigannyal töltött U-csöves differenciálmanométer kitérése? (ρv = 1000 kg/m3, ρHg = 13500 kg/m3)

am 20 kg/s. Mekkora a

A Bernoulli egyenlet vízszintes csőben

ρ+=

ρ+ 2

221

21 p

2vp

2v

A kontinuitásból 2

1

221 D

Dvv ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

amit visszahelyettesítve és rendezés után a

ρ−

=⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ 1D2⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

− 214

222 pD1v

kifejezés adódik. Az U-csöves differenciálsztatika alaptörvényét:

p

manométerre alkalmazva a hidro-

gXgYpgXgYp Hg21 ρ+ρ+=ρ+ρ+


amiből

( )gXpp Hg21 ρ−ρ=−

Behelyettesítés után

gXDD1

2v Hg

4

1

222

ρ

ρ−ρ=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

A v2 sebesség a tömegáramból számíthataó

( )m0248,0

1615

15,131010

81,9255,2

DD1

2vX 3

324

1

2

Hg

22 =⋅

−⋅

⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

ρ−ρρ

⋅=

sm547,2

100014,301,0204

Dm4v 2

2

.

2 =⋅⋅

⋅=

πρ⋅

=

Ebből:

2. D1 = 200 mm átmérőjű vízszintes csőbe az ábrán vázolt D2 = 100 mm torokátmérőjű Venturi-csövet építettek be. A csőben ρ = 1000 kg/m3 sű-rűségű víz áramlik. Az U csöves, higannyal (ρHg = 13500 kg/m töltött

200 mm. Mekkora a sebesség a to-rokban, mekkora a víz térfogatárama?

Mivel z = z , a Bernoulli-egyenlet

3)differenciálmanométer kitérése Δh =

1 2

2v

ρp

2v

ρp 2

22211 +=+

A kontinuitási egyenlet összenyomhatatlan esetben

4πDπD2

1 v4

v22

21 =

A két egyenletből

⎥⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−=− 222

21D

1v

ρpp ⎦⎢⎣ ⎠⎝

4

1D2


A hidrosztatikai egyenlet az U csőben a

( ) hgρρpp Hg21 Δ−=−

eredményre vezet. Behelyettesítve a torokban kialakuló sebességre

sm23,7

211

D1

1

2 −⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−

10001000135002,081,92

D

ρρρ

hg2v 44

Hg

2 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅

=⎞⎛

−Δ

=

adódik. A térfogatáram pedig

sm0568,023,7

414,31,0v

4πD

Q32

2

22 =⋅

⋅==

3. mm átmérőjű vízszintes csőbe a vázolt 50 mm torokátmérőjű Venturi pítettük be. A függőleges, felül az atmoszférára nyitott piezométer-

csövekben a vízszintek különbsége 200 mm. Mekkora a torokban az áramlá-

Egy 100csövet é

si sebesség és mekkora a tömegáram? (p0 = 105 N/m2, ρ = 103 kg/m3.

A Bernoulli-egyenlet:

2vρpvρp

22

21 +=+ 2 21

A kontinuitási egyenlet

2

22

1

21 v

4πDv

4πD

=

A két egyenletet felhasználva:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

4

1

222

21 DD1

2vρpp

enletek a két piezométer csőben a

p1 – p2 = ρgx

A hidrosztatikai egy


eredményre vezetnek, amiből

( ) sm05,2

5,01D1 2

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−

2,081,92

D

gx2v 44

1

2⋅⋅

=

⎠⎝

=

illetve

=

skg02,4

405,2100014,305,0vρ

4πD

m 2

22 =

⋅⋅⋅==&

4. Egy 1 m átmérőjű hengeres, álló nyitott tartály fenekén 0,1 m átmérőjű kiömlőnyílás van. A tartályban 1m magasan áll a víz. Mekkora a kiömlé-si sebesség?

Bernoulli egyenletet írunk fel a szabad felszín és a kiömlőnyílás közé. A nyomás a szabadfelszínen és a kiömlő keresztmetszetben is megegyezik a légköri nyomással. Így

20

22 pvpv 21

01 gzρ2ρ2

++=++

ől

gz

A kontinuitási egyenletb

2

2

1

21 v

DDv ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Esetünkben v1 = 0,01 v2, , így a szabad felszín süllyedési sebes-ségét a kiömlési sebesség mellett elhanyagolhatjuk. Ekkor

−= ,

amiből

22

421 v10v −=

( )2122 zzg2v

( )sm43,481,92zzg2v 212 =⋅⋅=−=

Ez az ún. Torricelli-féle összefüggés.


5. yitott álló tartály magassága 2 m, átmérője 1 m, a fenekén lévő kiömlőnyílás átmérője 0,1 m. Mennyi idő alatt csökken a vízszint 1 m-rel?

A vízszint pillanatnyi magassága z1. A tartály vízszintjének süllyedési sebessége:

Vízzel telt, hengeres, felül n

dtdzv 1

1 −=

A kiömlési sebesség

12 gz2v =

A kontinuitási egyenletbe helyettesítve

1211 gz24πD

4πD

dtdz

=⋅−

22

A változókat szétválasztva

1

12

2

1

zdz

g21

DDdt ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

A kiömlés kezdetén t = 0-hoz z1 = H tartozik, míg a z1 = H-1 T idő alatt éri el a szabad felszín szintet

1

12T 1H

1 dz1Ddt∫ ∫−

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−= 0 H 2 zg2D ⎠⎝

A jobb oldalon az integrál határait felcserélve az előjel megváltozik. Így a vízszint-csökkenés időtartama

( ) ( ) s44,81281,92

1,01 22

2=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎠⎝

1HHg2

DDT 1 =−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

=


6. A vázolt csőszakaszba egy sebességmérő szondát, ún. Pitot-csövet építet-tek be. A szonda orrpontja és a cső statikus nyomása közötti különbséget vízzel töltött U-csöves manométer méri, kitérése 10 mm, az áramló közeg

L = 1,25 kg/m3 sűrűségű levegő. Mekkora az áramlási sebesség?

hetjük a zavartalan áramlás nyomását. A Bernoulli egyenlet szerint

ρ

A szonda orrpontjában lefékeződik az áramlás, zérussebességű, ún. torlópont alakul ki. A cső palástján kialakított ún. statikus nyomásmérő furaton át mér-

2vpp

L

stT +ρ

=

Ebből

2

Lρ

L

stT

ρpp

2v−

=

A hidrosztatikai egyenlet az U-csőre a 10 mm-es levegőoszlop nyomását elhanyagolva:

2vstT mN1,98= 01,081,91000gxρpp ⋅⋅==−

Ezzel sm53,12

25,12v ⋅

=1,98

=

7. A vázolt tartály H = 3 m-es vízszintje mennyi idő alatt süllyed a h=2 m-es szin-g? A két kifolyó nyílás átmérője és a tartályátmérő hányadosa: d/D=0,1.

t a

ti

A kontinuitási egyenlete

3

2

2

2

1

2v

4dv

4dv

4D π

+π

=π

alakban írhatjuk fel. A szabad fel-szín süllyedésének sebessége

dtdzv 1

1 −=,

a két kifolyási sebesség a Torricelli-összefüggés alapján:

( )mzg2v 12 −= , 13 gz2v =


Behelyettesítés és egyszerűsítés után kapjuk a

( ) 12

1212 gz2dmzg2d

dtdzD +−=−

összefüggést. A változókat szétválasztva a

( )dzmzzm1dz

mzzmzz

mzzdz

−−=+−

−−=

−+ kifejezést kell integrálnunk:

( )dz mzzg2m

1dDdt

h

H

2T

0∫∫ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

Elvégezve az integrálást

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

323

232

mHhHg2m3

2dDT −+ 2

32 mh

Behelyettesítve:

s11,8122362,19

10032T 2

323

23

23

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−⋅=

rője 1 m, a fenekén lévő kiömlőnyílásé 0,1 m.

8. Álló, nyitott hengeres tartályból víz ömlik ki, kezdetben 5 m/s sebes-séggel. Mekkora lesz a kiömlési sebesség 20 s múlva? A tartály átmé-

A kontinuitási egyenlet szerint

2

2

1

2v

4dv

4D π

=π

A vízszint süllyedési sebessége

dtdzv 1

1 −=

a kiömlési sebesség pedig

12 gz2v =

Behelyettesítünk, szétválasztjuk a változókat:

1

12

zdz

g21

dDdt ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=


Integrálunk 0-tól T-ig, ill. H-tól h-ig. A jobb oldalon megcseréljük az integrál határait, így az előjelet vált:

( hH )2DT2

−⎟⎞

⎜⎛=

A H magasság nyilván

g2d ⎠⎝

m 274,162,19

25g2

vH2

===

T ismeretében

8859,0281,901,020274,1

2g

DdTHh

2

=⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎛−=

Ezzel a kifolyási sebesség:

⎝

m 047,06859,0h 2 ==

sm4,347,062,19gh2v =⋅==

9. R = 2 m sugarú, nyitott, félgömbalakú tartályból a fenekén lévő 0,1 m

átmérőjű lyukon át folyik ki a víz. Mennyi idő alatt ürül ki a tartály? A vízszint süllyedési sebessége

dtdzv 1

1 −=

A kifolyási sebesség

12 gz2v =

A víztükör sugara a z1 magasságban az

( ) 221

2r + RzR =−

egyenletnek tesz eleget. Így a kontinuitási egyenlet

( ) 1

212

11 gz24

ddt

dzzRz π=π− 2−

A változókat szétválasztjuk és integrálunk:

dzg2d

4z

zz

Rz2dt 2

0

R 1

21

1

1T

0∫∫ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=


Ennek eredménye

s 27,8452

34

62,1901.04R

52R2R

32

g2d4T 2

52

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

−⋅=

10. 1,2 bar nyomású, 7 oC hőmérsékletű, zárt tartályból 1 bar nyomású kör-nyezetbe ömlik ki a levegő, amelynek gázállandója 287 J/kgK, adiabati-kus fajhőviszonya 1,4. Mekkora a kiáramló levegősugár sebessége, hő-

rűsége?

A tartály és a külső légköri nyomás hányadosa viszonylag kicsiny, a gáz nem érheti el a hangsebességet. Ekkor a kiömlési sebesség

.04R

52R2R

32

g2d4T 2

52

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

−⋅=

10. 1,2 bar nyomású, 7 oC hőmérsékletű, zárt tartályból 1 bar nyomású kör-nyezetbe ömlik ki a levegő, amelynek gázállandója 287 J/kgK, adiabati-kus fajhőviszonya 1,4. Mekkora a kiáramló levegősugár sebessége, hő-

rűsége?

A tartály és a külső légköri nyomás hányadosa viszonylag kicsiny, a gáz nem érheti el a hangsebességet. Ekkor a kiömlési sebesség

3⎡ 3⎡

mérséklete, sűmérséklete, sű

sm 4,1731

0,12,1280287

14,14,121

ppRT

12v

4,14,01⎡

⎞⎛κ κ−κ

A

00 =⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

−⎞⎜⎝

⎛⋅−

⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

−⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−κ

=

levegő a külső, atmoszférikus nyomásig expandál, de a kiömlés izentropikus,

⎥⎦⎢⎣

⎟⎠

Atehát a légköri hőmérsékletnél jobban lehűl. A Poisson-összefüggésből

K 79,2652802,1TpT A ⋅⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=κ

p4,1

00

=⋅=⎠⎝

−

A sűrűséget a pA nyomás és a T hőmérséklet ismeretében az állapotegyenlet-

4,01−κ

ből kapjuk:

3A

mkg311,1

8,265287100000

RTp

=⋅

==ρ

11. U csöves manométer mérőfo-o

át ömlik a levegő. Az X1 kité-rés 0,5 m, X2=0,3m. A levegő

Mekkora a csőben az áramlási sebesség, a hangsebesség, és a Mach-szám?

lyadéka víz. A 27 C hőmérsék-letű tartályból a vázolt csövön

adiabatikus fajhőviszonya κ=1,4, gázállandója 287J/kgK.


A Pitot-cső orrpontjában torló-pont alakul ki, azaz a sebesség zérus. A torlópont pT nyomása tehát a tartály nyomásával egyenlő. A torlópont és a légkör nyomá-sának különbsége x1 kitérést okoz az első U csöves manométeren. A za rtalan áramlás pst nyomásának és a légkör nyomásának különbsége x2 kitérést ad a második U-csöves manométeren. Így

N/m 49055,081,91000gxρpp =⋅⋅==−

104905 N/m pst = 102943 N/m

Ha a tartálynyomást és hőmérsékletet vesszük referencia értéknek

va

21v0T

22v0st N/m 2943 29433,081,91000gxρpp =⋅⋅==−

Ezekből pT = 2 , 2

sm94,56

049,1029,113002874,12p

1RTκ2v

14,1κ

1κ

stT

⎤

⎢⎢⎡

⎜⎛

−⋅⋅

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−=

−−

14,1p1κ4,1

T=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎣

⎟⎠

⎞

⎝−⎥⎦⎢⎣

⎠⎝−

A tartálybeli hangsebesség négyzete

2T2T s

m1205403002874,1RTκa =⋅⋅== 2

Ezt az izentropikus Bernoulli egyenletbe helyettesítve

sm25,346v

21κaa 22

0 =−

−=

s végül a Mach-szám

164,025,346

94,56avM ===

Impulzustétel, a II. Newton-törvény integrál alakja 67

8. I Az formcsoség ják meg. A másik csoportba az integrál-egyenletek tartoznak, amelyek véges térfogatokra, valamint e térfogatokat határo-ló felületekre vonatkozó mennyiségek között állapítanak meg öAz Euler-egyenlet Newton második axiómájának különleges esete az ideális fo-lyadék mozgására konkretizálva, differenciálegyenlet-alakban. Az áramlástanban alka replő mennyi-ség y a k helyett azok meg szerűbb al-kalmazni, ha az egyenletben szereplő mennyiségek a közegen belül nem folytono-sak. A differenciálegyenletet ilyenkor a folyékony közeggel betöltött egész tér e nem lehet felírni, az integrálegyenletek ellenben teljes mértékben alkalmazhatók.

Ez az oka, hogy a folyadékmoz-gásra vonatkoztatott Newton-törvényt integrálalakban, egy véges csőszakaszra is felírjuk. 8.1. ábra. Impulzustétel áramcsőre

féle mozgástörvény, mint ismert azt mondja ki, hogy az impulzus időegységre eső megváltozása egyenlő a mozgást végző testre ható külső erők eredőjével.

Alkalmazzuk ezt a 8.1. ábrán vázolt véges méretű áramcsőben kialakuló időben állandó áram-

lásra. Mivel az áramlás időben állandó, az impulzusváltozás lokális összetevője zérus, csak a cső A2 kiömlő keresztmetszetén

MPULZUSTÉTEL, A II. NEWTON-TÖRVÉNY INTEGRÁL ALAKJA

áramlástanban használt mérlegegyenleteket fizikai jelentésüktől függetlenül, ai szempontból két különböző természetű csoportba sorolhatjuk. Az egyik

portot a differenciálegyenletek alkotják: ezek egy pontban a vizsgált mennyi-ek deriváltjai közti összefüggéseket ad

sszefüggéseket.

lmazott differenciálegyenletek sajátossága, hogy a bennünk szeek az elemi, vag véges térfogatokra vonatkozó mennyiségeoszlásának módját jellemzik. Az integrálegyenletet olyankor cél

r

A Newton

2cr átlagsebességgel elvitt és az A1 keresztmetszetén 1cr átlagsebességgel belépő folyadékárammal hozott impul-zusok különbsége adja a konvektív impulzusváltozást. Az áramcső A3 palástján nem lehet átáramlás, azon keresztül konvektív impulzusátadás nincs.

A külső erők közül a nehézségi erő az áramcső A1 és A2 keresztmetszetekkel hatá-rolt szakaszát kitöltő V térfogatú, ρ sűrűségű közegre hat, nagysága

gVGrr

ρ= (8.1)


Az A1 és az A2 keresztmetszeteken ébredő nyomás átlagértéke p1 illetve p2, a y tató felületi normn omóerő pedig a kifelé mu álissal ellentétes irányban a térfogat

belsejébe mutat. Ha az áramcső egyenes, az egyenes áramvonalakra merőleges nyomásváltozás nem lehet, tehát a p1 és p2 nyomás homogén az A1 és A2 felülete-ken. Minél nagyobb az áramcső görbülete A1 és A2 síkjában, annál nagyobb lehet valamely pontban a helyi nyomás eltérése az átlaghoz képest.

Az A3 palástfelületen pontról-pontra változik a nyomás, a teljes felületen a folya-dékra ható erő:

∫−=3A

3 ApdFrr

(8.2)

A felületi integrál előtt a negatív előjel azt jelenti, hogy a felületegységre ható nyomóerő a folyadéktest belsejébe mutat. Ennek ellentettje az az erő, amivel az áramló folyadék nyomja a csőpalástot.

E meggondolások után Newton második törvényét a következőképpen írhatjuk fel:

GF3

rr 21111222 FFccAccA

r rrr++ (8.3)

mmal

+=ρ−ρ

A kontinuitási egyenletet alkalmazva a térfogatár

a

( ) 32112 FFFGccQrr r rr r (8.4) ++=−ρ

vagy a tömegárammal az

+

( ) 3F2112 FFGccmrr r rr r

& ++=−

alakban írható fel az impulzustétel.

Megjegyzendő, hogy a most ideális folyadékra levezetett i pulzustétel változat-lan formában érvényes valóságos, súrlódó folyadaz áramcső A3 palástján ébrednek a viszkózus, t

+ (8.5)

mékok áramlására is. Mivel csupán angenciális irányú nyíróerők for-

málisan nincs eltérés az egyenletben, csak az 3Fr

erő lesz más. A Gr

erő kivételé-vel valamennyi többi erő felületen ébred. Mivel a nehézségi térerősség értéke g

r

homogén a térfogaton elül ezért G br

értéke minden esetben állandó. Ha a határoló felületeken belül bármilyen más mechanikai hatás (pl. súrlódás, vagy szakadás a változók értékében) jelentkezik, az a felületi integrálok kiszámítását nem befolyá-solja. A differenciálegyenleteket ilyenkor nem lehet változatlan formában felírni a tartomány belsejében, az integrálegyenlet ellenben teljes mértékben alkalmazható.


PÉLDÁK

1. A vázolt szűkítő idomon át a szabadba ömlik a víz. A térfogatáram 0,1 m3/s, a keresztmetszetek: A1 = 0,05 m2, A2 = 0,01 m2.

Mekkora az idomdarabra ható vízszintes irányú erő?

ρQ(c2-c1) = p1A1 – p2A2 + Fx

nagyságú erő hat. A kontinuitásból

Az impulzustétel alapján a folyadékra

sm1,0Q 2

05,0Ac

11 ===

sm10

01,01,0

AQc

22 ===

A Bernoulli egyenletből

2ρp

2ρp 21 +=+

Mivel p2 = p0, a p1 nyomás

cc 22

21

25

21

22

01 m148000

2410010010

2ccρpp =

−⋅+=

−+=

Ebből

Fx=ρQ(c2-c1)-p1A1+p2A2=1000.0,1.(10-2)-0,05.148000+0,01.100000=-5600 N

Az idomdarabra ennek a reakcióereje és a légköri nyomás hat. Ezért p1 és p2 a túlnyomásával (p1 – p0; p2-p0 = 0) veendő figyelembe. Így az idomdarabra

N0

Fx=ρQ(c2-c1)+( p1- p0) A1= -1000.0,1.(10-2).4800= -800+2400= 1600 N

erő hat az áramlás irányával párhuzamosan.


2. A vázolt, vízszintes síkban fekvő 180o-os könyökön 0,1 m3/s térfogatáramú

Mivel

víz áramlik át. Az A1 és A2 keresztmetszetek területe 0,02 m2. A p1 nyomás értéke 1 bar túlnyomás. Mekkora vízszintes irányú erő hat a könyökre?

21 cc = a Bernoulli egyenletből adódóan 21 pp =

A kontinuitásból

sm5

02,01,0

AQc

11 ===

Az impulzustételből

( ) x221112 FQρ pApcc A− = − − +

Ebből a paláston át a folyadékra ható erő:

( ) =++−= 221112x ApApccQρF rr

( )( ) N 500002,01002,010551,01000 55 =⋅+⋅+−−⋅⋅=

A könyökre ható erő pedig

N 5000F,x −=

az x tengely pozitív irányával szemben hat.


3. Összenyomhatatlan, súrlódó folyadék áramlik át egy L hosszúságú, D átmérőjű egyenes, vízszintes csőszakaszon. Az áramlás időben állandó. A cső beömlő keresztmetszetében p1, a kiömlő keresztmetszetben p2 a nyo-más. Mekkora nyírófeszültség ébred a cső palástfelületén?

Az áramlás egydimenziós, csak x-irányú komponens-egyenletet kell vennünk. Mivel az áramvonalak egyenesek, a nyomás az áramvonalakra merőleges ke-resz τR nyírófeszültség az egységnyi felületen ható súrlódóerő. Így az impulzustétel:

tmetszetekben állandó. A

( ) LDp4

p4

c R2112 π⋅τ−−=−DDcQ

22 ππρ

A k ből c1 = c2, így

ontinuitási egyenlet

( ) LDpp4

DR21

2πτ=−

π

Ebb

ől pedig

( )L4

ppD 21R

−=τ

Leg 0,2 m.

Ekkor

yen p1 = 2 bar, p2 = 1 bar, L = 2000 m, D =

( )2

55

R mN5,2

20004101022,0

=⋅

−⋅⋅=τ


4. A vázolt függőleges helyzetű fúvókán Q=0,6 l/s víz áramlik keresztül. A fúvóka tömege 0,1 kg. A beömlő keresztmetszetben a nyomás 5,64 bar. Mekkora a fúvókára ható erő? A folyadékra ható erők, ha az áramlás időben állandó és az áramlás irányát tekintjük pozitív előjelűnek: ( ) pal2211v12 FApApGccQ +−+=−⋅⋅ρ

A keresztmetszeti átlagsebességek:

sm98,2

016,01064

DQ4c 2

4

21

1 =π

⋅⋅=

π=

−

sm6,30

005,01064

DQ4c 2

4

22

2 =π

⋅⋅=

π=

−

A csonkakúp térfogata:

( )2122

21 DDDD

12hV ⋅++

π=

Ezzel a fúvókát megtöltő víz súlya:

( )016,0005,0005,0016,012

10VgG 2v ⋅++

03,0 23 π=ρ=

02678,0Gv = N

A nyomásoknál csupán a (p-p0) túlnyomást kell figyelembe vennünk. Hiszen csunkakúp paláston belülről p1, kívülről vele ellentétes irányban p0 nyomás at. Mivel az atmoszférába kiömlő sugár nyomása megegyezik az atmoszféri-

ssal, a (2) keresztmetszetben ható p2-p0 nyomás zérus. Így a palástra ható erő:

ahkus p0 nyomá

( ) ( )

( ) N82,76416

AppGccQF2

101v12pal

−=π

ρ − − − − =

0,01064,40278,098,26,301061000 54 ⋅−−−⋅⋅=

=

adékra

−

Ez a foly ható erő a csonkakúp palást felületén. A szűkítés az áramlás-nkező irányú erőt ébreszt. Ugyanakkora, de ellenkező irányú 76,82N

lefelé irányuló erő hat a fúvókára. Tehát az azt megelőző csőszakaszhoz, en-nek megfelelő erővel kell rögzíteni.

Ehhez járul a fúvóka súlya.

sal elle

N981,081,91,0gmG ff =⋅=⋅=

Tehát a fúvókára ható összes erő N8,77981,082,76F =+=Σ

Kis megzavarások terjedése összenyomható közegben 73

9. KIS MEGZAVARÁSOK TERJEDÉSE ÖSSZENYOMHATÓ KÖZEGBEN A folyékony közegben a sebesség, a nyomás, vagy a sűrűség értékének bármely kis sebazo hang terjedésén tel alapján meghatározható.

megzavarása hullámjelleggel, meghatározott sebességgel terjed. A terjedési esség nagysága a közeg tulajdonságaitól függ, s a hang terjedési sebességével nos. A ek sebessége az impulzusté

9.1. ábra. Kis megzavarás gázzal töltött csőben

Tekintsük ehhez a 9.1. ábrán melynek egyik végén a hirtelenül meginduló dugattyú megzavarja a csövet megtöltő nyugalmi állapotban lévő gáz mec rdozó S felület merőleges a cső tengelyé-re, a dugattyú elmozdulásának sebessé-génél nagyobb sebességgel terjed a közegben. Vegyünk fel egy ellenőrző felüle-tet, amely tartalmazza a megzavarás S felületét, s azzal egy tt a sebességgel halad az x tengely pozitív irányában. Írjuk fel az impulzustételt az ellenőrző felülettel határolt, a megzavarási felületet is tartalmazó gáztö egre a 9.2. ábra jelöléseivel.

vázolt csövet, a

hanikai állapotát. A megzavarást hoés a szokásos áramlási sebességeknél, így

ü

m

9.2. ábra. Impulzustétel a hullámfelülettel együtt haladó ellenőrző felületen

A D

átmérőjű csőben ez a

[ ] ( )[ ]pdppDa)dva(a4

D 22

−+π

=−−π

ρ− (9.1) 4

alak után ebből a

ban adódik. Egyszerűsítések

adv dp=ρ (9.2)

összefüggést kapjuk.


A kontinuitási egyenletet felírva a megzavarás előtt és mögött adódó csőkereszt-etszetekre a m

( )( ) a4

Ddvad4

D 22

ρπ

=−ρ+ρπ (9.3)

advddvada ρ=ρ−ρ−ρ+ρ (9.4)

kifejezéshez jutunk. A másodrendűen kicsiny tagok elhanyagolásával kapjuk a

dvad ρ=ρ (9.5)

egyenletet. Ha dv-t kiküszöböljük az impulzustételből és a kontinuitási egyenlet-ből, a terjedési sebesség négyzetére az

dvdpρ

aρ

dvda

=

=ρ

(9.6)

összefüggések egybevetéséből a

ρρ

=dda2 (9.7)

kifejezés adódik. Ebből kitűnik, hogy összenyomhatatlannak tekintett folyadék-ban minden megzavarás végtelen nagy sebességgel terjedne. Ez az összenyomha-tatlan folyadékmodell alkalmazhatóságának nyilvánvaló korlátját jelenti. A meg-zavarás a terjedési sebessége nagyságrendekkel nagyobb, mint a megzavarás miatt a közegben terjedő hő terjedési sebesség. Így a megzavarási felületet adiabatikus-nak tekinthetjük, amely a súrlódásmentesség miatt izentropikus is. Izentropikus esetben az ideális gáz eleget tesz a

Cp=

ρκ (9.8)

egyen .9) letnek, vagyis p = C⋅ρκ (9

Ha ezt deriváljuk a sűrűség szerint, a

ρρ⋅

κ=ρ⋅κ⋅=ρ

κ−κ CC

ddp 1 (9.10)

tehát az

pddpa 2 =

ρκ=

ρ= RTκ (9.11)


összefüggést kapjuk. A hang terjedési sebessége tehát csak az anyagi minőségtől (κ, R) és a termikus állapotjelzőktől függ, tehát maga is termikus állapotjelző,

enértékű p, ρ vagy T bármelyikével.

Ha a hanghullám a gáz összenyomódását, tehát sűrűsödését idézi elő, akkor dρ > , dv > 0 ezért a gázon áthaladó sűrűsödési hulláagával megadja. A ritkulási hullám a gázban elle

a áz összenyomódik, jobb felé hanghullám . A gáz a dugattyú bal oldalán is mozgá

, s a gázt jobbra sodorja. További fontos következmény, hogy a sűrűsödést kettő hanghullám mögött a hang terjedési se-bessége megnő, a ritkulási hullámperiódusban viszont csökken.

ivel az R technikai gázállandó az Ru univ

egy

0 m a gázt igen kis sebességgel m ntétes irányú kis mozgást idéz elő. A 9.1. ábrán vázolt dugattyút balról jobbra elmozdítva a dugattyútól jobbrag halad, amely a gázt kismértékben sűrí-ti sba kezd, s balról jobbra halad. A du-gattyútól balra ezért valamelyes ritkulás keletkezik, amely a dugattyú bal oldalán hang sebességével terjed jobbról balra

M erzális gázállandótól az

mR

R u= (9.12)

összefüggésnek megfelelően függ, a hang terjedési sebessége a nagy m oltömegű gázokban sokkal kisebb, min

tartalmaz a 9.1. táblázat 273 K normálállapotban. m t levegőben. Néhány jellemző értéket

9.1. táblázat. Néhány gáz termikus paraméterei normál állapotban

κ m

[kg/kmol]R

[J/kgK] a

[m/s] Hidrogén 1,407 2 4124 1258,6 Metán 1,319 16 521 433 Levegő 1,40 28,9 287 331,2 Széndioxid 1,299 44 189 258,9 Bután 1,099 58 143 207,1

A hang terjedési sebessége a levegő termikus állapotjelzőinek változása miatt a tenger-szinttől számított magassággal is változik. Pl: 10 km magasságban már csak 300 m/s.

a a folyadékot kompresszibilisnek tekintjük, a hakok esetén is számítható. Az egyetlen különbség az, hogy a B térfogati rugalmas-

ulussal fejezzük ki a hangsebességet.

H ng terjedési sebessége folyadé-

sági mod

ρ=

Ba (9.13)


PÉLDÁK

1. Mekkora a hang terjedési sebessége 0 oC hőmérsékletű légkörben? Az állandó nyomáson vett fajhő 1

005 J/kgK, az állandó térfogaton vett

718 J/kgK.

A hangsebességet az

RTa κ=

formulából számítjuk. Ebben

40,1718

1005cc

v

p ===κ

R=cp-cv = 1005-718 = 287 J/kgK

Behelyettesítve

sm26,33116,3 = 272874,1a ⋅⋅=

N/m2, a sűrűség 1000 kg/m3.

2. Mekkora a hang terjedési sebessége 15 oC hőmérsékletű vízben, ha a tér-fogati rugalmassági modulus B = 2,105·109

sm86,0 1

1010105

3

9

=⋅ 45,2aρ

=

B =

Az áramlási sebesség és a hangsebesség viszonya 77

10. AZ ÁRAMLÁSI SEBESSÉG ÉS A HANGSEBESSÉG VISZONYA

Az

izentropikus gázáramlásra vonatkozó Bernoulli egyenlet

állp12

v2

=ρ−κ

κ+ (10.1)

alakját véve a jobb oldalon álló konstans meghatározására legalkalmasabb refe-renc súly, amikor az áramlás sebessége nulla. Ekkor

ia-állapot a mechanikai egyen

0

02 p

1p

12v

ρ−κκ

=ρ−κ

κ+ (10.2)

ahol a zérus index a nyuga tban lévő gáz állapot-jelz z előzőekben láttuk, hogy az izentropikus hangsebesség az

lomban lévő, vagy ún. tartályállapoőire vonatkozik. A

ρκ=

pa 2 (10.3)

egy ől számítható. Ennek behelyettesítése a enletb

1

a1

a2

v 20

22

−κ=

−κ+ (10.4)

egyenletre vezet. Ebben a0 a hangsebesség értéke a nyugalomban lévő gázban. Könnyen belátható, hogy a hang terjedési sebessége a nyugalmi állapotban lévő gázban a legnagyobb, s az áramlási sebesség növekedése a hangsebesség csökke-nésére vezet.

Az áramlási sebesség és a szóban forgó pontban adódó helyi hangsebesség há-nyadosa az ún. Mach-szám,

avM = (10.5)

amelynek kiemelkedő jelentősége van az összenyomható közegek áramlásának jellemzésében.

Ha az áramlási sebesség kisebb a hangsebességnél, a Mach-szám értéke egynél kisebb. Az ilyen áramlást szubszonikusnak nevezzük.

Ha az áramlási sebesség meghaladja a hangsebességet, a Mach-szám értéke egy-nél nagyobb. Ez az ún. szuperszonikus áramlás.

Végül, ha az áramlási sebesség és a helyi hangsebesség megegyezik, a Mach szám értéke egységnyi, az áramlás kritikus. Az áramlás kritikus jellege nem téveszthető össze a termodinamikában megismert kritikus állapottal. A kritikus sebességgel

Gázáramlás változó keresztmetszetű csőben 78

áramló gáz jellemzőit egy kis csillaggal, mint indexszel különböztetjük meg, így eszélünk a v* kritikus sebességről, az a* kritikus hangsebességről, a T* kritikus őmérsékletről, a p kritikus nyomásról és a ρ* kritikus sűrűségről. Az áramló gáz

ernoulli-egyenletbe a v* = a* értékeket helyettesítjük.

kkor ugyanis a kritikus áramlási sebesség a

bh *kritikus jellemzőit könnyen meghatározhatjuk, ha a 10.4 B

E

1

a1

v2

v 20

2*

2*

−κ=

−κ+ (10.6)

egyenletből a

10* +κ

alakban fejezhető ki. Természetesen a kritikus hangsebesség ugyanígy

2av = (10.7)

12aa 0* +κ

= (10.8)

számítható. Mivel ismert módon

a2 = κRT (10.9)

a hangsebességeket a hőmérsékletekkel fejezhetjük ki, s a kritikus hőmérsékletre a

1

2TT 0* +κ= (10.10)

összefüggést kapjuk. Mivel izentropikus állapotváltozásra érvényes összefüggés szerint −κ 1κ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

*

0

*

pp

TT (10.11)

értéke

a kritikus nyomás

12 −κκ

⎞⎛0* 1

pp ⎟⎠

⎜⎝ +κ

= (10.12)

amivel több, mint a fele. A

Levegő esetében a κ = 1,4 miatt

p* = 0,528 p0 (10.13)

tehát a kritikus nyomás a tartály nyomásának val

κκ ρ

=ρ 0

0

*

* pp (10.14)


összefüggés felhasználásával a kritikus gázáramlás sűrűsége is meghatározható:

11

0* 12 −κ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+κρ=ρ (10.15)

Az a* kritikus hangsebesség és a T* kritikus hőmérséklet az egész áramlás men- jellemző mennyiség, amelyet az

izentropikusan lefékezett, tehát ismét tartályállapotú gáz a és T jellemzőinek gítségével könnyen kifejezhetünk. A kritikus

szonya is állandó, de sem a nyomás, sem a sűrűség nem állandó.

us Bernoulli-egyenletből nagyon fontos összefüggés-rendszert maztathatunk, amelyben az áramlási jellemz

ach-szám függvényeként számíthatók. A

tén állandó és az adott áramlás egészére0 0

se nyomás és a kritikus sűrűség vi-

Az izentropikszár ők a tartály-állapot jellemzőiből a M

1a

1a

2v 2

022

−κ=

−κ+

(10.16)

enletet 2a1−κegy -tel végigszorozva a

20

2 a1

a2=+

(10.17)

22 av1−κ

kifejezést kapjuk. Ebből a hangsebesség

1M2

11aa

20

+−κ=(10.18)

A hőmérsékletre

1M2

1TT

2

0

+−κ=

(10.19)

adódik. A nyomást a

12

0

1M2

1

pp−κκ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−κ

=

(10.20)

a sűrűséget pedig a

11

1−κ

⎟⎞2

0

M2

1⎠

⎜⎝⎛ +

−κ

ρ=ρ

(10.21)


egyenlet adja meg. Végül a sebességre a

1+M2

1aMaMv

2

20

2

−κ=⋅=

(10.22)

összefüggés vonatkozik.

PÉLDÁK

1. Határozza meg a pT = 5 bar, TT = 300 K tartály-állapotjelzőkkel jellem-zett levegő kritikus hangsebességét, hőmérsékletét, nyomását, sűrűségét, ha a technikai gázállandó 287 J/kgK, az adiabatikus fajhőviszony κ = 1,4.

A tartályállapotban adódó hangsebesség

sm19,3473002874,1RTa TT =κ= =⋅⋅

A kritikus hangsebesség:

sm94,316

14,1219,347

12aa 0* =+κ

= =+

⋅

A kritikus hőmérséklet

K99,24914,1

23001

2TT T* =+

⋅=+κ

=

A kritikus nyomás

bar64,214,1

251

2pp14,1

4,11

T* =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+κ=

−−κκ

A kritikus sűrűség pedig

*

** 300287

264141RTp

⋅==ρ

3mkg068,3=


2. Izentropikusan áramló levegő hőmérséklete 220 K. A tartályállapotbeli nyomás 5 bar, a hőmérséklet 300 K. A technikai gázállandó 287 J/kgK, az adiabatikus fajhőviszony 1,4. Mekkora az áramló levegő Mach-száma, hangsebessége, sebessége, nyomása, sűrűsége?

1M2

1TT 20 +

−κ=

348,11220300

14,121

TT

12M 0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−

−κ=

A hangsebesség a tartályban:

sm19,3473002874,1RTa 00 =⋅⋅=κ=

Ebből a hangsebesség a kérdéses pontban

sm6,254

1348,12

14,1119,347

1M2

11aa ==

220 =

+−+−κ

Az áramlási sebesség

254,6=343,2 m/s A nyomás

v=Ma=1,348·

214,1

4,1

212

0

mN168953

1348,12

14,1

500000

1M2

1⎜⎛ −κ

pp =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=

⎟⎠⎞

⎝+

=−−κ

κ

A sűrűség

3mkg676,2

220287168953

RTp =

⋅==ρ


11. GÁZÁRAMLÁS VÁLTOZÓ KERESZTMETSZETŰ CSŐBEN

övetkezőkben súrlódásmentes gáz időben állandó egydimenziósnak tekintett lását vizsgáljuk meg egy tetszőlegesen változó k

A káram eresztmetszetű áramcsőben. A sebességnek az áramcső tengelyére merőleges komponenseit elhanyagoljuk, az áramlást jellemző valamennyi paraméter értékét az áramlás irányára merőleges keresztmetszetekben állandónak vesszük. Így valamennyi jellemző csak az x ko-ordináta függvénye. Az A keresztmetszet is x függvényeként fogható fel. Az áramlást meghatározó kontinuitási, mozgás- és állapotegyenlet ek r a következő alakban

ρvA = áll. (11.1)

ko írható fel:

dxdx ρdp1dvv −= (11.2)

RTp ρ= (11.3)

A kontinuitási egyenlet logaritmusát véve, majd deriválva a

0A

dAv

dvd=++

ρρ (11.4)

kifejezést kapjuk. A sebesség- és a keresztmetszet-változás közötti összefüggés-hez úgy y a dρ/ρ értéket az Euler-egyenletből a sebesség függvényé-ben fejezzük ki. Ezért a mozgásegyenletet kissé átalakítjuk:

jutunk, hog

ρρ

−=ρ⋅ρρ

−=dad

ddp1vdv 2 (11.5)

Ebből

2a

vdvd−=

ρρ (11.6)

amelyet a kontinuitási egyenletbe behelyettesítve

0A

dAv

dvavdv

2 =++− (11.7)

egyenlethez jutunk. Mivel az áramlási és a hangsebesség hányadosa a Mach-szám, ennek behelyettesítésével az

( )A

dAv

dv1M2 =− (11.8)

összefüggés adódik.


Ez az egyenlet az összenyomható közegek áramlásának néhány új, és mindpa zt

ennapi s alatainkhoz képest meglepő vonását mutatja. ta

Mint ismeretes, tökéletesen összenyomhatatlan közegben a hanghullámok, mint kis megzavarások végtelen nagy sebességgel terjednének. Így a v/a hányados értékére nullát kapnánk. M = 0 behelyettesítésével adódik a folyadékok elemi áramlástanából ismert összefüggés, hogy keresztmetszet-csökkenésnek sebesség-növekedés, keresztmetszet-növekedésnek viszont sebességcsökkenés a következ-ménye. Ezt mutatja a

dAdvAv

=− (11.9)

egyenlőség. A hangnál lassúbb, szubszonikus gázáramlásban

1avM <= (11.10)

hát a 11.8. összefüggés

te

AdAdv

v=⋅α− (11.11)

alakban adódik, amelyben

erőben másképpen viselkedik a gáz a hangnászónikus áramlásban, ahol

1M2 −=α (11.12)

Ebben a sebességtartományban a gáz a folyadékhoz hasonlóan viselkedik: a ke-resztmetszet csökkenésével nő a sebesség és viszont. M l nagyobb sebességű szuper-

1avM >= (11.13)

Ekkor az

A

dAdv=α (11.14)

vdifferenciálegyenlet mindkét oldala azonos előjelű. Emiatt a keresztmetszet csök-

Abban az esetben, ha a sebesség megegyezik a hangsebességgel, a gáz kritikus llapotba kerül, amihez az

kenése az áramlási sebesség csökkenését okozza, míg a keresztmetszet növekedé-se a sebesség növekedését okozza.

á

1avM == (11.15)


érték tartozik. Könnyen belátható, hogy a kritikus állapot csak keresztmetszet-minimumban jöhet létre. Az α = 0 érték ugyanis dA = 0 értéket feltételez. A dA = 0

etszet szükségszerűen sebességminimumot jelent, ha szu-perszonikus az áramlás. M 1 esetén szükségszerű a dv = 0 érték, és ez nyilván

inimum, mert a bővülő szakaszon tovább nban a keresztmetszet minimumhoz vagy sebesség-maximum, vagy kritikus sebes-

ár legfeljebb a kriti-ig gyorsulhat. Amennyiben a tart

ányadosa nagyobb a kritikusnál, a kiömlésugár egy véges nyomásugrással járó szakadási felületen keresztülhaladva entró-

a környezet nyomásáig.

hhoz, hogy az áramcső keresztmetszet-váltykapcsolatot meghatározhassuk ismernünk

tváltozás jellegét. A súrlódásmentes, ideális gáz esetén indokoltnak tűnik az áramlást izentrópikusnak

kinteni. Az izentropikus áramlásra kapott B

feltétel ugyan keresztmetszet-maximumot is megengedne, de ez fizikailag realizál-hatatlan állapot. Ha ugyanis szubszonikus áramlás közelednék a keresztmetszet-maximumhoz, az még jobban lelassulna. Ha viszont szuperszonikusan áramlana a gáz a keresztmetszet-maximum felé, akkor még tovább gyorsulna. Tehát a maxi-mális keresztmetszetben hangsebességű áramlás semmiképpen sem jöhet létre.

A minimális keresztm

m ő a sebesség. Szubszonikus áramlás-

ség tartozik. Ennek megfelelően egy tartályból kiömlő gázsugkus sebesség ály és a környezet nyomásainak h si keresztmetszetben kritikus nyomású

pia növekedéssel expandál

A ozása és a Mach-szám közötti függ-vén kell az áramlás közben bekövetke-ző termodinamikai állapohőközlés nélküli áramlása te ernoulli-egyenlet

állp12

v2

=ρ−κ

κ+ (11.16)

Ez az izentropikus hangsebességgel a

1

a2v 22

=−κ

+

ható fel. Ennek differenciálása a

.áll (11.17)

alakban ír

ada1

2vdv−κ

+ 0= (11.18)

egyenletet eredményezi. Differenciáljuk továbbá az

a

kifejezés logaritmusát is. A

vM = (11.19)

z eredmény:

ada

vdv

MdM

−= (11.18)


A da/a mennyiséget kiküszöbölve a két egyenletből kis átalakítással a

v

dv1M2

1M

dM 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−κ= (11.19)

egyenlet adódik. Ha a 11.8. egyenletből kifejezzük s a 11.19-be helyettesítjük dv/v-t, az

A

dAdM1

1M2

=⋅−κ

− (11.20M1M

22 +

egyenletet kapjuk, amelyet a baloldal résztörtekre bontásával integrálhatunk. En-nek eredménye az

)

( )

1

121

21

2

1

AA

1M2

1

1M2

1

MM

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−κ

+−κ −κ

+κ

(11.21)

egyenlet, ahol az A1 és M1 valamely tetszőleges keresztmetszetben vett referencia-értékek, míg A és M bármely más, tetszőleges pontra vonatkozhat.

Legyen a referencia-keresztmetszet az áramcső kritikus keresztmetszete ahol M=1. Ekkor

( )121+κ

2 ⎟⎠

(11.22) *

M11

12

M1

AA −κ⎞

⎜⎝⎛

+κ−κ

++κ

=

levegő ( κ = 1,4) esetére.

Ezt a függvényt szemlélteti a 11.1. ábra

11.1. ábra A fúvóka keresztmetszet-változása a Mach-szám függvényében


A görbe most már mennyiségileg mutatja azt a korábban csupán minőségileg t, hogy a hangnál sebesebb áramlás csak egy

ővülő keresztmetszetű fúvóka alkalmazásával h

Mach-szám, mint független változó függvénynyeges paramétere számítható. Ismert, hogy a

érintett tény kúposan szűkülő, majd b ozható létre.

Egy fúvóka alakjának ismeretében az A(x) függvény eloszlásából a Mach-szám hosz-szúság menti változása, azaz az M(x) függvény a 11.22. egyenletből meghatározható.

A ében az áramlás valamennyi lé-

1

a1

a2v 0

−κ=

−κ+ (11.24)

222

egyenletet 2a1−κ -tel végigszorozva a

2

202

aa1

21M =+

−κ (11.25)

összefüggéshez jutunk. Másrészt a

1

2a2

2* = (11.26)

a0 +κ

egyenletből kiküszöbölve az a0 tartály-hangsebességet az

⎟⎠⎝+κ 21a 2⎞

⎜⎛ +

−κ= 1M12a 2

2* (11.27)

egyenlet adódik. Ebből ismert módon következnek a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−κ+κ

= 1M2

11

2TT 2* (11.28)

a 12* 1M2

11

2pp −κ

κ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−κ+κ

= (11.29)

valamint a

11

2* 1M2

11

2 −κ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−κ+κ

=ρρ (11.30)

összefüggések.

Az ára

mlási sebesség pedig a v = Ma formulából számítható.


PÉLDÁK

1. Egy 10 bar nyomású tartályban 15 oC a levegő hőmérséklete. Az adiaba-tikus fajhőviszony 1,4, a technikai gázállandó 287 J/kgK. Mekkora a ki-áramló levegő sebessége, nyomása, hőmérséklete, sűrűsége, Mach száma.

A tartályállapothoz tartozó hangsebesség

sm2874,1RTa TT ⋅=κ= 17,340288 =⋅

A kiömlési sebesség a kritikus sebességgel egyenlő

sm53,310

14,1217,340

1aav T** +κ

== 2 =+

=

A kritikus nyomás

bar 28,514,1

2101T*

⎠⎝ +κ2pp

14,11=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅=⎟

⎞⎜⎛=

−−κκ

A kritikus hőmérséklet

4,1

K 23414,1

22881

2TT T* =+

=+κ

=

A kritikus sűrűség

3*

** m

kg87,7234287

528280RTp =

⋅==ρ

A Mach-szám

1avM

*

* ==

Egy 3 bar nyomású 300 K hőmérsékletű tartályból egy Laval-fúvókán áa légköri nyomásig expandálva ömlik ki a levegő. A technikai gázállandó

gK az adiabatikus fajhőviszony 1,4. Mekkora a Mach-szám, a hangsebesség, az áramlási sebesség, a hőmérséklet és a sűrűség a kiáram-lási keresztmetszetben.

A kiömlő keresztmetszet nyomása 1 bar, ez a tartálynyomással a

2. t

287 J/k

120 1M2

1pp −κ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−κ=

κ


egyenlet szerint függ össze. Ebből a Mach-szám:

3578,1113

14,121

pp

12M

4,10 =

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−κ

=κ

14,11 ⎤⎡⎤⎡ −−κ

A tartálybeli hangsebesség

sm19,3473002874,1RTa 00 =⋅⋅=κ=

Ezzel a hangsebesség:

sm76,296

13578,14,1

14,1119,347

1M2

11aa

220 =

+⋅−=+−κ=

Az áramlási sebesség

V = M·a=1,3578·296,76=402,94 m/s

A hőmérséklet:

K19,21913578,1

214,1

300

1M2

1TT

22

0 =+−=

+−κ=

A sűrűség pedig:

3kg/m 59,119,219287

100000RTp =

⋅==ρ

Súrlódásos folyadék áramlása 89

12. SÚRLÓDÁSOS FOLYADÉK ÁRAMLÁSA

Az goltuk a folyadék, vagy gáz belső súrlódását. A valóságos és az ideális folyadékok között a leglényegesebb különbség a súrlódás hatásainak figyelembe vétele, illetve annak elhanyagolása.

Newton fogalmazta meg azt a törvényt, amely szerint két egymással párhuzamo-san mozgó folyadékréteg között a súrlódás miatt érintőirányú csúsztató (vagy nyír nyos a mozgásra merőleges irányban a hosszegy-ségre es el párhuzamos mozgás esetén

eddigiekben tárgyalt áramlások leírásában elhanya

ó) feszültség ébred, s ez aráő sebességváltozással. Az x-tengelly

dydvx

xy ⋅μ=τ (12.1)

ahol μ a mozgás jellegétől független, csak a folyadék fizikai tulajdonságaitól, és a hőmérsékletétől függő ún. dinamikai viszkozitási tényező. Ennek mértékegysége a Newton-féle folyadéksúrlódási törvénynek megfelelően Ns/m2. A dinamikai viszkozitási tényező mellett gyakran használjuk a

ρμ

=ν (12.2)

kine tási tényezőt, amelynek mértékegysége m2/s.

A kialakuló mozgásban az áramlást gátló súrlódóerő nagyságát a dinamikai visz-kozitási tényező befolyásolja. Ugyanakkora sebességű víz és légmozgás esetén a vízben ébredő súrlódóerő mintegy 55,5-szer nagyobb, mint ame ő-ben víz = 10-3 Ns/m2, míg a 20 oC-os levegő μL = 1,8⋅10-5 Ns/m2 viszkozitási tényezőjű. Ugyanakkor a víz nagyobb sűrűsége miatt a kinematikai viszkozitási tényezője kisebb: νvíz = 10-6 m2/s, a levegőé nagyobb: νlev = 1,5⋅10-5. Így pl. a vízben haladó motorcsónak gomolygó áramlási ny ma sokkal lassabban csillapodik, mint a levegőben egy autó-karosszéria mögött adódó nyom.

Mind a folyadékok, mind a gázok viszkozitása erősen függ a hőmérséklettől. Amíg a folyadékok viszkozitása a hőmérséklet növekedésével csökken, a gázoké növekszik. A 100 oC-os víz dinamikai viszkozitása csak μv = 0,284⋅10-3 Ns/m2, a 100 oC-os levegőé viszont μL = 2,175⋅10-5 Ns/m2-re nő.

A folyadékok és gázok súrlódásának energetikai következménye, hogy az áramlás irányában a folyadék mechanikai energiája csökken, hiszen a súrlódóerők munká-ja hővé disszipálódik, ez többé mechanikai energiává nem alakulhat vissza.

matikai viszkozi

kkora a leveg, hiszen 20 oC-os μ

o

Lamináris áramlás csőben 90

Ha a Bernoulli-egyenletet valóságos folyadék egydimenazni, akkor a m

ziós áramlására kívánjuk echanikai energia állandósága helyett, a mechanikai energia

s a súrlódási hő összegét kell – az energia megmaradásának törvényéhez igazod-alkalméva – állandónak tekintenünk. A cső belépő és kilépő keresztmetszete között tehát a

'pgzpc

gzpc

22

22

11

21 Δ+ρ++ρ=ρ++ρ (12.3)

22

a súrlódás hatását is figyelembe vevő Bernoulli-egyenletet írhatjuk fel. Az egyen-letben minden tag nyomás-dimenziójú, tehát a súrlódóerők munkájából fejlődött hő, a mechanikai energia szempontjából veszteség, szintén nyomásdimenziójú. A Δp’ tagot súrlódási nyomásveszteségnek nevezzük.

súrlódási hő fejlődését egyébként is a nyomgia a cső állandó keresztmetszete miatt állandó. A helyzeti energiát meghatározza a A ási energia fedezi. A kinetikus ener-

csővezeték helyzete. Csupán a nyomási energia lehet az az energiatartalék, amely-ből a parazita súrlódási hő táplálkozik. A hosszúságdimenziójú tagokkal felírt

'hzpc

zpc

22

22

11

21 ++=++

gg2gg2+

ρρ (12.4)

rlódásos Bernoulli-egyenletben a veszteságnak szokás nevezni. A veszteségmagasság kifejezés csupán az egyenlet hossz-sú séget kifejező h’ tagot veszteségmagas-

dimenziójára utal, hiszen ez az egységnyi súlyú folyadékra vonatkoztatott fajlagos energiaveszteség. A súrlódási nyomásveszteség viszont amellett, hogy nyomás-dimenziójú, az egységnyi térfogatú folyadékra vonatkozó fajlagos érték, valósá-gos nyomáscsökkenést fejez ki.

A veszteségmagasságot a súrlódásos Bernoulli-egyenletből kifejezhetjük, s mivel c1 = c2

gpp

zz'h 2121 ρ

−+−= (12.5)

A h’ a veszteség egységnyi súlyú folyadékra eső fajlagos értéke, a jobb oldali összeg viszont az áramlás fenntartásához szükséges energia: a helyzeti és a nyo-mási energia csökkenése. Ennek a cső egységnyi hosszúságú szakaszára eső há-nyada az ún. hidraulikai esés:

gL

ppL

zzL'hJ 2121

ρ−

+−

== (12.6)

A valóságos folyadék áramlása kétféle lehet: vagy lamináris, vagy turbulens.

Súrlódásos folyadék áramlása 91

A lamináris jelző rétegest jelent. Ez a magyar szakkifejezés tökéletesen jellemzi ezt az áramlástípust a szomszédos folyadékrétegek egymással nem keverednek, párhuzamos, időben csak kevéssé változó pályán mozognak. A szomszédos fo-lyadékrétegek határán a különböző sebességek miatt a Newton-törvénnyel kiszá-mítható csúsztatófeszültségek ébrednek. A szemléletes, találó „réteges áramlás” lnevezés mégsem tudta felváltani a nemzetközi szakirodalo

laminárist”.

os átlagsebesség miatt nevezik így, maguk a folyadékrészecskék egymással véletlenszerűen keveredve mozognak.

zható feltételek esetén turbulenssé válik, míg a turbulens áramlás is laminárissá változhat.

következőkben először a lamináris áramlás törvénysze

e mban szinte kizáróla-gosan használt „

A másik lehetséges áramlási mód a turbulens áramlás. A turbulens szó jelentése: kavargó, gomolygó. A műszaki gyakorlatban leggyakrabban turbulens áramlással találkozunk. A lamináris áramlás egymással nem keveredő folyadékrétegeivel szemben a turbulens áramlás „rétegeit” csak az azon

Az áramlás egy rögzített pontjában a pillanatnyi sebesség- és nyomásértékek telje-sen szabálytalanul ingadoznak, de egy meghatározott időbeli átlagértékük mindig azonos. A műszaki gyakorlatban használatos sebesség- és nyomásmérő műszerek ezt az időbeli átlagértéket mérik. A lamináris áramlás bizonyos jól meghatáro

A rűségeit vizsgáljuk meg.


13. LAMINÁRIS ÁRAMLÁS CSŐBEN A tapasztalat szerint a csövekben kialakuló áramlás viszonylag kis keresztmetsze-ti átlagsebesség, kis átmérő és elég nagy viszkozitási tényező esetén stabilan la-mináris marad. Kör-keresztmetszetű csőben, ha az

ν⋅

=DcRe (13.1)

Reynolds-szám értéke a kritikus 2320 alatt marad, akkor az áramlás lamináris. Ha a Reynolds-szám a 2320 kritikus érték fölé kerül, az áramlás egy esetleges labilis lamináris állapot után azonnal turbulenssé válik. A lamináris áramlás jellemzői-nek meghatározására tekintsük a 13.1. ábrán vázolt tetszőleges helyzetű R sugarú, sugarához képest igen hosszú (L>>R) egyenes, kör-keresztmetszetű csövet. A csőben összenyomhatatlan folyadék időben állandó, egydimenziós lamináris áramlása alakult ki. Válasszuk a cső szimmetriatengelyét az x-tengelynek, s ve-gyünk egy a csővel egytengelyű r sugarú egyenes körhengert ellenőrző felület-ként, s erre alkalmazzuk az impulzustételt, a II. Newton-axióma integrál-alakját.

13.1. ábra. Impulzustétel a lamináris áramlásban felvett ellenőrző felületen

E szerint

( ) 32112 FFFGccQrrrrrr

+++=−ρ (13.2)

Mivel a cső keresztmetszete állandó, a közeg pedig összenyomhatatlan, a c2 és c1 sebességek azonosak, különbségük és az egyenlet bal oldala 0.

A súlyerő x-irányba eső komponense

(13.3)

A gravitációs tér potenciálos, tehát

LrgG 2xx πρ=


( )dxdhghg

xgx −=⋅

∂∂

−= (13.4)

A cső meredeksége nyilvánvalóan állandó, ezért

L

hhgL

hhgdxdhg 2112 −

=−

⋅−=⋅− (13.5)

Így a jobb oldali első tag

LrL

gG 221x π⋅

hh −ρ= (13.6)

A henger beömlő keresztmetszetében ható nyomóerő az x-tengely pozitív irányába mutat:

π= 21x1 rpF (13.7)

míg a kilépő keresztmetszetben

π−= 22x2 rpF (13.8)

A hengerpaláston ható súrlódó erő nyilván a mozgás irányával szemben hat, hi-szen .0

drdv

<

Lr2drdvF3 π⋅μ= (13.9)

Így adódik a

( ) 0Lr2drdvrppLr

Lhhg 2

21221 =πμ+π⋅−+π

−ρ (13.10)

egyenlet. Végigosztjuk az egyenletet a kis koaxiális henger palástjával, s a

drdv

2r

Lpp

Lhh

2rg 2121 μ−=

−+

−⋅ρ (13.11)

kifejezéshez jutunk. Ebből nem nehéz megkapnunk a

μ

ρ=−

gJrdv (13.2dr

12)

legyenletet. Ha ezt r szerint integráljuk, a

differenciá

C22

v rgJ 2+

ν−= (13.13)

a peremfeltételből elyen 0 a sebesség. Ekkor

megoldást kapjuk. Az integrációs állandó meghatározása abból lehetséges, hogy a cső falán az r = R h

CR4gJ0 2 +ν

−= (13.14)


te ég sugármenti eloszlására a hát a konstans visszahelyettesítése után a sebess

( )22 rR4

v −gJ

ν= (13.15)

egoldáshoz jutunk. A sebességvektorok végpontjai eroznak meg, amelynek a szimmetriatengelyen átmenő síkon parabola a síkmetszete.

ásodpercenként átömlő folyadéktérfogat az ún. térfogat-ram, amely a

m gy forgási paraboloidot hatá-

A cső keresztmetszetén má

( ) ν

=−ν

⋅π=⋅π= ∫∫ 8drrrR

42rdrv2Q

00

(13.16) ⋅π gJRgJ 4R32

R

gyenletből adódik. A térfogatáram és a cs.15 kifejezés integrál középértéke:

e őkeresztmetszet hányadosa az ún. ke-resztmetszeti átlagsebesség, a 13

ν=

π=

8gJR

RQc

2 (13.17)

2

esség maximális értéke nyilvánvalóan az r = 0 helyen a cső tengelyében van: A seb

c (13.18) 24

gJRv2

max =ν

=

ztmetszeti átlagsebesség kétszerese. A veszteségmagasság h’ = JL elyettesítve

tehát a keresformuláját beh

2gRLc8'h ν

= (13.19)

ebből:

adódik, ez az ún. Hagen-Poiseuille-egyenlet. A súrlódási nyomásveszteség

2R

cL8'p ⋅ μ ⋅ ⋅=Δ (13.20)

A mérnöki gyakorlatban a csövek átmérőjét szokás használni. Ez végül a

2DcL32'p ⋅⋅μ

=Δ (13.21)

összefüggésre vezet. A súrlódási nyomásveszteség tehát egyenesen arányos a inamikai viszkozitási tényezővel, a cső hossa a cső átmérőjével.

d zával, az átlagsebességgel és fordít-vHangsúlyoznunk kell, hogy a Hagen-Poiseuille-egyenlet csak lamináris áramlásra érvényes.


PÉLDÁK

50m hosszú, 50 mm átmérőjű vízszin-5 2

1. tes csőben 950 kg/m3 sűrűségű, 10 m /s kinematikai viszkozitási tényezőjű olaj áramlik laminárisan. A cső két vége között 1280 N/m2 a nyomáskülönbség. Mekkora a kereszt-metszeti átlagsebesség, a Reynolds-szám és a csősúrlódási tényező?

A súrlódásos Bernoulli egyenlet alapján 'ppp 21 Δ=−

A súrlódási nyomásveszteség a Hagan-Poiseuille egyenlet szerint

2D'p Lcρν32 ⋅=Δ

, amelyből a keresztmetszeti átlagsebesség

sm32,0280

=501095032

105,0Lρν32'pDc 5

22

⋅⋅⋅⋅

=Δ

=−

160010

05,032,0Dcν

Re 5 =⋅

=⋅

=−

A csősúrlódási tényező pedig

04,01600

6464Re

λ ===

2. Nyersolaj áramlik laminárisan egy 1000 m hosszú, 50 mm átmérőjű víz-

nyomáskülönbség. Mekkora a dinamikai viszadódó nyírófeszültség?

A Hagen-Poiseuille egyenletből

szintes csőben 0,5 m/s átlagsebességgel. A cső két vége között 2 bar a kozitási tényező és a falon

Vízszintes csőben p1 – p2 = Δp’

5⋅23 m5,01032cL32 ⋅⋅⋅⋅

A hidraulikai esés

22 Ns03,010205,0'pDμ =⋅

=Δ⋅

=

gLρJ 'pΔ

=

A csőfalon adódó nyírófeszültség

23

5

R mN5,2

102025,0102

2R

L'p

2gJRρτ =

⋅⋅⋅

=⋅Δ

==


3. Egy függőleges helyzetű 40 mm átmérőjű csőben 850 kg/m3 sűrűségű olaj áramlik lefelé 0,5 m/s keresztmetszeti átlagsebességgel. A nyomás az áram-lás irányában nem változik. Mekkora a dinamikai viszkozitási tényező, a Reynolds-szám, a csősúrlódási tényező és a falon adódó nyírófeszültség?

A súrlódásos Bernoulli egyenlet

'pghρ2

cρpghρ

cρp 21

21

1 +=++2 2

2 Δ++,

p1 = p2, c1 = c2

feltételekkel

2

amely a

( )21 hhgρ'p −=Δ

alakú. A Hagen-Pouseille-egyenlet

2DLcμ32'p =Δ

,

amiből

( )( ) 2

2

21

2122

mNs834,0

5,03281,985004,0

chh32hhgρD

cL32'pDμ =

⋅⋅⋅

=−

−⋅=

⋅⋅Δ⋅

=

A Reynolds-szám

38,2004,05,0ρDcRe =

834,0μ⋅

=⋅⋅

=

A csősúrlódási tényező

14,338,20

64Re64λ ===

A falon adódó nyírófeszültség

( )( ) 2

21

21R m

N39,834

81,985004,0hh4hhgρD

L4'pDτ =

⋅⋅=

−⋅

=Δ⋅

=


4. A vázolt tartályból 100 m hosszúságú, 50 mm átmérőjű vízszintes csövön át laminárisan áramlik ki a 900 kg/m3 sűrűségű, 0,015 Ns/m2 dinamikai viszkozitási tényezőjű olaj. Milyen magasan van a tartályban a folyadék-szint a kiömlő nyílás középpontja fölött, ha a Reynolds-szám értéke

eszültség?

A súrlódásos Bernoulli-egyenlet

2000. Mekkora a falon a nyíróf

'pghρ2

cρpghρ2

cρp 2

22

21

21

1 Δ+++=++

2 feltételek miatt 1

22 cc >>

( ) 22

22

21 DLcμ32

2c

ρhhgρ +=−

amely a p1 = p2 és a

A Reynolds-számból kiszámítható a c2 sebesség:

sm667,0

90005,0015,02000

ρDμRec2 =

⋅⋅

==

Így a tartály folyadékszintje

m 988,081,990005,0667,0100015,032

81,92667,0

gρDLcμ32

g2c

hhH 2

2

22

22

21 =⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

=+=−=

A falon a nyírófeszültség

222

R mN016,0

10005,0667,0015,08

L4D

DLcμ32

L4D'p

L4D'ghρ

2gJRρτ =

⋅⋅⋅

=⋅=⋅Δ

=⋅

==


14. SÚRLÓDÁSOS FOLYADÉKOK ÁRAMLÁSÁNAK DINAMIKAI HASONLÓSÁGA

Egy tetszőleges áramlástani feladat megoldásához csak viszonylag ritkán elegen-dőek a tiszta analitikus módszerek. Bonyolultabb esetekben numerikus, vagy kí-sérl be.

Egy jelenség tanulmányozása során sokszor célszerűbb modellkísérleteket folytatnunk a teljes méretű objektum kísérleti vizsgálatához képest. Az áram-lástani modellezés vagy kicsinyítéssel, vagy ritkábban nagyobb lépétkű kísér-leti berendezés elkészítésével jár.

A m kkor ad ényt, ha az eredeti jelenséget a modell minden lényeges aspektusból hűen reprodukálja, más szóval, ha a két jelenség fizikailag hasonló.

A hasonlóság fogalmának mindig az a megszorítás ad értelmet, hogy milyen tu-lajd hasonlóság pl. azt jelenti, hogy e ugyanazzal a lineáris nyújtással vagy zsugorítással legyen egymásból származtatható.

A geometriai hasonlóság még nem jelenti a két rendszerben végbemenő folyamatok fizik sonlóság szükséges és elégséges feltétele, hogy a jele tek és egyértelműségi feltételeik egymásba köl-csönösen áttranszformálhatóak legyenek. Az egyik jelenségre vonatkozó mennyisé-gek a másik jelenségnek azonos térbeli és időbeli feltételek alapján kijelölt pontjában adódó megfelelő mennyiségeiből egy minden pontra vonatkozóan azonos ndó lépt ényezővel való szorzás útján határozhatók meg.

Alkalmazzuk a fentieket egy kör-keresztmetszetű csőben kialakuló súrlódásos folyadékáramlásra. A II. Newton-axiómát kifejező mozgásegyenlet és a tömeg-megmaradást kifejező folytonossági egyenlet írják le a jelenséget.

Az ebben szereplő fizikai mennyiségekre nézve a következő összefüggés-csoportnak kell teljesülnie:

eti megoldások kerülhetnek előtér

odellkísérlet csak a valósághű eredm

onságok megegyezéséről van szó. A geometriai a teljes méretű tárgy és a modell valamennyi méret

ai hasonlóságát. A fizikai hanséget leíró differenciálegyenle

állaékszorzóval, a hasonlósági t

ν⋅α=νρ⋅α=ρ

α=α=

α=α=

νρ **

p*c*

g*l*

pp ccgg ll

(14.1)

A csillaggal jelzett változók a modellre, az index nélküliek az „in situ” berende-zésre vonatkoznak. A lamináris, stacionárius cső-áramlásra vizsgált

( ) ( ) lgRlR2drdvRppcccR 22

21122 πρ+πμ+π⋅−=−⋅πρ (14.2)


egyenletet átalakítva a

( ) gdrdv

R2

lppc

l21

12 ρ+−cc

=−ρ μ (14.3) +

alakban is felírható. Ez vonatkozik az in situ berendezésre, míg a modellre az

( ) ( ) gdrR

ppccl g2

l21

l12

lρ⋅αα+

α+−

α=−

α ρ

Megjegyzendő, hogy minden hosszúságra ugyanaz a hosszlépték, míg minden sebes-sége, akár c átlagsebesség, akár helyi v sebesség, ugyanaz a sebességlépték vonatko-

c p2c αρααρ rr dv2c μααμ (14.4)

zik. A két egyenlet lineárisan nem lehet független, tehát az egyik a másiktól csak ugyanabban a konstans szorzóban térhet el. Ez csak akkor lehet így, ha a modellre vonatkozó egyenlet valamennyi léptékszorzóból képzett együtthatói azonosak:

g2l

c

l

p

l

2c αα=

α

αα=

α

α=

α

ααρ

μρ (14.5)

Ezekből az egyenlőségekből származtathatók az ún. hasonlósági kritériumok. Ha az

2l

c

l

2c

α

αα=

α

αα μρ (14.6)

egyenletet egyszerűsítjük, a

μ

ρ⋅⋅=

μρ⋅⋅ lclc

*

*** (14.7)

kifejezéshez jutunk. Vagyis a hasonlóság egyik feltétele, hogy az áramlásban egy jellemző sebesség és egy jellemző hosszúság szorzata osztva a kinematikai visz-kozitási tényezővel (μ/ρ) állandó legyen. Ez a kritérium az ún. Reynolds-szám,

amelyet a keresztmetszeti átlagsebességgel és a csőátmérővel definiálunk.

ν=

cDRe (14.8)

Reynolds-szám a tehetetlenségi erő és a súrlódóer

A tehetetlenségi és a tömegerők arányát fejezi ki egy másik hasonlósági invariáns, amelyet az

A ő arányát fejezi ki.

gl

2c αα=

ααρ (14.9) α ρ

egyenletből kapunk.


A Froude-szám a

gDcFr = (14.10)

tos. Buborékok, vagy szuszpendált részecskék lebegtetett mozgásának hasonlóságát a

roude szám azonosságával biztosíthatjuk, s a mérési eredményekfüggvényében rendszerezhetjük. Általánosságban véve elmondható, hogy a kísér-

formulával adható meg, értéke elsősorban a keverék áramlás leírásánál fon

F et e paraméter

leti eredményeket két vagy több hasonlósági invariánssal kifejezve általánosításra alkalmas tapasztalati összefüggéseket kaphatunk.

A tehetetlenségi és a nyomásból származó erők szerepe igen jelentős a folyadék-áramlásba helyezett test körül kialakuló áramlási viszonyok vizsgálata esetén. Az

l

p

l

2 ααα c

α=

αρ (14.11)

egyenletből származtatható egy újabb hasonlósági invariáns, az Euler szám:

2c

p= (14.12) Eu

ρ

llemező nyomásértéknek a vizsgált és a még mnyomáskülönbségét véve adódik a gyakran használt dimenzió nélküli nyomástényező Je eg nem zavart „végtelen” távoli pont

2c2

ppp∞

∞

ρ−

= (14.13)

Itt c∞ a zavartalan áramlás sebessége. A nyomástényezőt szivattyú és turbinalapá-tok körüli áramlási viszonyok jellemzésére használhatjuk.

Csövek, vagy csőszerelvények esetén ugyancsak Euler-szám jellegű hasonlósági szám a

2c

'pΔ2

ρ

=ξ (14.14)

olds-szám

etszetű csöveknél a

egyenlettel definiált ellenállástényező. Az ellenállástényezőt a Reynfüggvényében ábrázolva megbízható korrelációkat kapunk. Egyenes, körkeresztm

2c

'pLD

2

ρ

Δ=λ

(14.15)


csősúrlódási tényező egy dimenzió nélküli Euler-számmal analóg hasonlósági . A mért Δp’ súrlódási súrlódási nyom

átlagsebességből a geometriai adatok: a kapott λ értékek megbízhatóan használhatók a súrlódási nyomásveszteség számí-

kritérium ásveszteségből és a keresztmetsze-ti csőátmérő és a csőhossz ismeretében

tására más körülmények között is.

Ha a Hagen-Poiseuille-egyenlettel számított súrlódási nyomásveszteséget behe-lyettesítjük a fenti λ-formulába, az eredmény:

RecD

2cL ρρ

6464DLc32

D2

2=

μ=

μ

=λ (14.16)

Ez a csősúrlódási tényező formula lamináris áramlásra érvényes.

csősúrlódási tényezőt a Reynolds-szám fügágat kapunk. Logaritmikus léptékű diagramon ez egy egyenes. Az összes laminá-

nül a étől,

yomásától, hőmérsékletétől. Ezt mutatja anél nagyobb Reynolds-számú turbulens áramlásokra λ meghatározását a követke-

A gvényében ábrázolva egy hiperbola-

ris áramlásra vonatkozó mért érték erre az egyetlen egyenesre esik, függetlecső méreteitől, az áramló közeg fizikai tulajdonságaitól, az áramlás sebességn 14.1. ábra. A Re = 2320 kritikus érték-

zőkben vizsgáljuk meg.

14.1. ábra. Csősúrlódási tényező a Re szám függvényében a lamináris tartományban


PÉLDÁK 1. 200 mm átmérőjű csőben 10-6 m2/s kinematikai viszkozitási tényezőjű víz

áramlik 1,5 m/s keresztmetszeti átlagsebességgel. Mekkora a 300 mm átmé-rőjű csőben áramló 1,25 kg/m3 sűrűségű, 1,4⋅10-5 Ns/m2 dinamikai viszkozi-tási tényezőjű levegő sebessége, ha a két áramlás dinamikailag hasonló? Hasonló áramlások Reynolds-száma megegyezik. A vízé

30000010

2,05,1cDν

Re 6 =⋅

==−

A levegő sebessége ekkor

s25,13,0ρD ⋅⋅

m2,11104,1300000μRec5

=⋅⋅

==−

ds száma

2. 50 mm átmérőjű, 100 m hosszúságú vízszintes csőben 900 kg/m3 sűrűsé-

gű, 0,02 Ns/m2 dinamikai viszkozitású olaj áramlik. Mekkora a nyomás-különbség a cső két vége között, hogy dinamikailag hasonló legyen ez 80 mm átmérőjű csőben kialakuló 0,2 m/s sebességű légáramlással. A le-vegő kinematikai viszkozitási tényezője 10-5. A légáramlás Reynol

160010

08,02,0νDcRe 5 =

⋅=

⋅=

−

A hasonló olajáramlás sebessége

160010

08,02,0νDcRe 5 =

⋅=

⋅=

−

A hasonló olajáramlás sebessége

sm444,0

90008,002,01600

ρDμRec =

⋅⋅

=⋅⋅

=

Az ehhez szükséges nyomáskülönbség

22221 mN4440

08,0444,010002,032

DLcμ32'ppp =

⋅⋅⋅==Δ=−

3. 80 mm átmérőjű, 1000 m hosszúságú, 950 kg/m3 sűrűségű olajat szállító

kútvezeték a gyűjtőpontig 20 m-t emelkedik. Az olaj dinamikai viszkozi-tási tényezője 0,05 Pas (Ns/m2).

Mekkora a vezeték két vége közötti nyomáskülönbség, ha a kút na-ponta 100 m3 olajat termel?

Mekkora a falon adódó nyírófeszültség?

A turbulens mozgás természete 103

15. A TURBULENS MOZGÁS TERMÉSZETE

A vhelylam ikus érté ináris áramlás állan-dóságát elveszíti: bárm ináris áram-lásban relatíve jelentős viszkózus erők csillapítottak, most hirtelen erősen fokozó-dó jelleget ölt, s a rendezett áramkép felbomlik, a mozgás turbulenssé válik. A turb tése: rendezetlen, gomolygó, amivel a jelenséget először Reynolds jellemezte. A turbulens áramlás tanulmányozása során nagyon hatékony vizuális megfigyelési módszereket fejlesztettek ki. Ilyen például a víz-hez adott fluoreszkáló por vagy színezék, levegő esetén pedig füst bevezetésével

thatóvá tett áramkép megfigyelése. E módszerek egyszerűek, s az áramló folya-

összmozaz áság ok kutatóban kétségek ébred-tek, st kontinuummechanikai módszerekkel leírni. Tisztán statisztikai alapon, a mechanika törvényeinek alkalmazása nélkül próbál-ták tanulmányozni az áramlást.

Rey igyelő számára teljesen rendezetlen, szto-chasztikus mozgásformát a kontinuummechanika módszereivel leírhatóvá tette. Reynolds nem elégedett nem az önmagában látványos, de terméketlen vizuális megfigyelések ismétlésével vagy finomításával. Az áram s makroparamétereit is figy bonyolult is a turbulens áramlás belső szer-kezete, az áramló közeg átlagparaméterei – például egy csővezeték esetén a térfo-gatáram és a súrlódási nyomásveszteség – jól meghatározható, a folytonos közeg általános dinamikai törvényszerűségeivel összhangban álló ka csolatban vannak.

A t mzője, hogy az impulzus, a hő, és az energiaátadás sokkal nagyobb mérvű, mint amilyen a molekuláris transzportfolya-matok során (viszkozitás, diffúzió) lehetséges. Ez a folyamat a folyadékr zecskék

enedék

m az okozza, hogy a turbulens keveredésben obbak, mint a molekulák.

iszkózus folyadék áramlását egy csőben, csatornában vagy egy, az áramlásba ezett szilárd test környezetében vizsgálva azt találjuk, hogy az áramlás stabil, ináris jellege mindaddig megmarad, amíg a sebesség egy bizonyos kritket meg nem halad. Ha ez bekövetkezik, a rendezett, lam

ilyen kis megzavarás, amelyet korábban a lam

ulens szó etimológiai jelen

ládék nagy tartományának egyidejű tanulmányozására alkalmasak. Az így adódó közvetlen megfigyelések eredménye, hogy a részecskék pályagörbéi rendszertelen

evisszaságban futnak, az időben gyorsan változnak, s egyetlen részecske gása az áramlás jellegére nézve semmit nem mond: az előre, keresztben, sőt ramlással szemben is teljesen véletlenszerűen „cikázik”’, sebességének nagy-

a és iránya teljesen ellenőrizhetetlenül változik. S lehetséges-e a turbulens mozgá

nolds módszere a felületes megf

láelembe véve rájött, hogy bármilyen

p

urbulens áramlás legnyilvánvalóbb jelle

ésjárulékos keveredésével kapcsolatos: a szomszédos rétegekből származó folyadék-részecskék a keveredés folyamán kicserélik konvektíve szállított impulzusukat,

rgiájukat. Az időbeli átlagértékek hasonlóképpen viszonyulnak az egyes folya-részecskék pillanatnyi turbulens állapotjelzőihez, mint a lamináris mozgás mak-

rojellemzői a kontinuumot alkotó molekulák Brown-mozgásához. A turbulencia ás léptékét, sokkal erőteljesebb hatását

részt vevő folyadék-részecskék nagyságrendekkel nagy


Az áramlás vizuális megfigyelése mellett a turbulencia az elő g

megjelenésének kimutatásá- zők miatt ugyanúgy alkalmas az a hirtelen, u rásszerű növekedés, amely a ra

folyadéksúrlódásban, a hő-, ill. anyagátadásban markánsan érezteti hatását, s a makromennyiségek mérésére szolgáló valamennyi műszerrel azonnal regisztrálható. A turbulens áramlás további általánosan használt, célszerű vizsgálati módja a hődrótos anemométerrel való sebességmérés. A műszer működési elve egyszerű: igen rövid és vékony (0,01 mm átmérőjű, 1…2 mm hosszú) platinaszálat egyen-árammal fűtünk, s az áramlás irányára merőlegesen az áramlásba helyezzük. Mi-nél nagyobb a sebesség, annál jobban lehűl a szál, s egy hídkapcsolás segítségével a bekövetkező ellenállás-változást vagy az áramerősség-változást mérjük. Ha a regisztrálást oszcillográffal végezzük, az oszcillogramok feldolgozásából a sebes-ségingadozások hatását meghatározhatjuk. Bármilyen vékony is a mérőszál, még-is van valamilyen kicsiny hőtehetetlensége, ez a leolvasott értékeket természete-sen torzítja, de az így kapott adatok így is rendkívül értékesek. Kiderült, hogy a turbulens mozgás a molekuláris mozgással ellentétben nagyfokú anizotrópiát mu-tat, és annál sokkal rendezettebb. A mozgás bizonyos elemei majdnem periodikusan ismétlődnek, a frekvencia és a periódushossz sok szabályszerűséget fed fel az alaposabb tanulmányozás során. Néhány jellegzetes oszcillogram látható a 15.1. ábrán.

15.1. ábra. Turbulens

sebesség- és nyomásingadozások

Sztochasztikusan válto-zó állapothatározók időátlagai. A bemuta-tott, szélcsatornában mért oszcillogramokat szemlélve, a sebesség nagy frekvenciájú, szabálytalan amplitúdójú és periodicitású lüktetése egy állandó érték körüli sztochasztikus ingadozásként fogható fel. Ha a hődrótos anemométer helyett egy kevésbé érzékeny, nagy tehetetlenségű műszert – pl. egy Prandtl-csövet – használnánk a sebességméréshez, nem érzékelnénk az ingadozásokat, hanem csak azok időbeli átlagértékét. A turbulens áramlás sebességét így egy átlagértékre szuperponálódó ingadozás eredőjének tekinthetjük. Hasonló fluktuá-ciót tapasztalunk a turbulens áramlás nyomásában is: vt = v+v’ (15.1) pt = p+p’ (15.2)


Itt vt és pt az áramlás valóságos, pillanatnyi sebessége és nyomása az adott pont-ban, v és p az időbeli átlagos sebesség és nyomás, v’ és p’ pedig az ezekre szuperponálódó sebesség- és nyomásingadozás. Reynolds az átlagos értékek meghatározására a lehető legegyszerűbb

( ) ( ) ( )dtt,tFt1t,rF~t,rF

0tt

tt

0t ∫

+

== (15.3)

összefüggést javasolta, amelyben Ft(r,t) valamely teljesen tetszőleges térmennyiség. Tegyük fel, hogy a vizsgált turbulens áramlásban találunk olyan, a lüktetés idejéhez képest eléggé nagy, de az átlagsebesség megállapításának időtartamához képest ki-csiny időközt, amely a t0 időköztől nem függ, s benne az idő szerinti (15.3.) átlagolás olyan eredményt ad, amely a további átlagolás már nem változtat meg. Eszerint

( ) ( )t,rF~t,rF = (15.4)

tehát az átlagértéket további átlagolás nem változtatja meg. Ez az átlagérték nem fel-tétlen stacionárius, a turbulens ingadozásoknak egy, az egész folyamat szempontjából igen rövid időtartamra vonatkozó átlaga, amely a folyamat egészének egy nagyság-rendekkel nagyobb léptékű idpéldául egy tartályból kiömlő fösszefüggéssel kapható sebesség a v ászuperponálódnak. Ahogy csökkenni fo

őbeli változása során nem szükségszerűen állandó. Ha olyadéksugár sebességét vizsgáljuk, a Torricelli-féle

tlagsebesség. A turbulens ingadozások erre süllyed a tartályban a vízszint, v értéke szükségszerűen

g. Viszont a tály kiürülésének T ideje nagyságrendekkel nagyobb a t0 átla etünkben pl: az az időtartam, amíg egy bizonyos „pillanat-ban” ndával megállapítjuk a kifolyási sebesség értékét.

(15 övetkezik, hogy az Ft mennyiség ingadozásainak időbe-

targolási időnél, amely es egy sebességmérő szo

A .4) összefüggésből kli átlagértéke nulla:

(rF~ ) ( ) ( ) 0t,rF~t,rFt, t =−= (15.5)

ezménye az is, hogy az idő szerinti átlagolás és a ás független műveletek lévén,

A (15.3) összefüggés követkkoordináták szerinti derivál

tF~

xF~

tt

∂∂

=∂∂ (15.6)

tehát a koordináták szerinti derivált átlagértéke az átlagérték deriváltjával egyen-lő. Ugyanez a „nagyobb léptékű” időbeli változásokra vonatkozó idő szerinti par-ciális deriváltra is áll:

F~

ttF~

tt ∂=

∂ (15.7) ∂∂


Az időátlagokkal kifejezett impulzusmérleg. Az itt kifejtett átlagolási szabályokra támaszkodott Reynolds, amikor azt állította, hogy a mozgásegyenlet a pillanatnyi turbulens vt és pt értékeket behelyettesítve a turbulens áramlás leírására is alkal-mas, csupán a (15.3) szerinti átlagolást kell elvégeznünk, hogy a „megfoghatat-lan” vt és pt helyett jól mérhető, peremfeltételekként is biztosan előírható v és p

ennyiségekkel dolgozhassunk.

Ezt a csőben kialakuló turbulens áramlás mozgásegyenletének levezetésében mu-

m

tatjuk be a következő fejezetben.

A csőben kialakuló áramlás jellegét meghatározó tényezők 107

16. TURBULENS ÁRAMLÁS CSŐBEN A csőben kialakuló, időben állandó, egydimenziós turbulens áramlás mozgás-egyenletének felírásához tekintsük a 16.1. ábrán vázolt, tetszőleges helyzetű egye-nes, kör-keresztmetszetű csőszakaszt. Vegyünk fel a csőben egy azzal egytenge-lyű r sugarú, L hosszúságú, hengeres ellenőrző térfogatot, s írjuk fel rá az impul-

rdináta rendszert. zustételt. Alkalmazzunk az áramlás hengerszimmetriájára tekintettel az ábrának megfelelő jelölésekkel hengerkoo

16.1. ábra. Impulzus tétel a csőben folyó turbulens áramlásra

A csőben áramló folyadék összenyomhatatlan így az áramlás sebessége a cső hossztengelye irányában nem változik. Az átlagsebességnek csak z-irányú kom-ponense van, a sebességingadozásoknak viszont van sugárirányú, és ten-gelyirányú összetevője is. Az átlagsebesség időben állandó, s mivel z irányban nem változik, az ellenőrző térfogat beömlő és a kiömlő keresztmetszetében ugyanaz az impulzus érkezik, ill. távozik, tehát az impulzusnak nincs az átlagse-bességgel képezhető konvektív megváltozása. Az ellenőrző térfogatot határoló r sugarú hengerpaláston viszont már más a helyzet.

A sugárirányú sebességingadozás hatására a 2rπL palástfelületen egységnyi

id folyadéktömeg lép át. Ennek tengelyirányú impulzusa

'rv ,

zv

,rv

ő alatt Lr2v,r πρ

( ) ( ),zz

,r

,zz vvvρLπr2vvm +=+&

A mozgásegyenlet időátlagát képezve a mennyiséget tartalmazó tag nyil-

vánvalóan zérus, a tag, az ingadozások szorzatának időátlaga viszont nem, z

,r vv ⋅

,,zrvv

Turbulens áramlás csőben 108

tehát a paláston keresztül a sebességingadozás hatására átadódó impulzus átlagér-ke Lr2vv ,té zr

Habár az ingadozások időátlaga zérus, az ingadozások szorzatának átlaga nem tűnik el. Ez könnyen belátható, hiszen sinx x-szerinti interálközépértéke zérus, de sinx·sinx = sin2x nullától különböző pozitív integrálközépértéket ad. Tehát az egyenlet bal oldalán a sebességingadozások okozta turbulens impulzuscsere

, π⋅ρ .

Lr2vv ,z

,r πρ impulzusváltozásra vezet, ezzel tartanak dinamikus egyensúlyt a

lyadékra ható külső erők: a gravitáció, a nyomóerők és a súrlódóerő.

A gravitációs erő tengelyirányú összetevője gz. A 16.1 ábrát tekintve, a két derék-szögű háromszög hasonlóságából

fo

Lhhgg 21

z−

= (16.1)

következik. Így az r2πL térfogatú hengerben a folyadékra

( ) π−ρ=π−

ρ=πρ 221

2212z rhhgLr

LhhgLrg (16.2)

gravitációs erő hat.

Az ellenőrző térfogat belépő keresztmetszetében p1r2π nyomóerő hat z-irányban, míg a kiömlésnél nyilván –p2r2π. Ezek redője

(16.3) (p1-p2) r2π

Az r sugarú hengerfelületen ébredő viszkózus feszültség állandó, tehát a súrlódóerő egyszerűen a nyírófeszültség és a palástfelület szorzata:

Lr2drdv

πμ (1 .4)

s mivel

6

,0drdv

< nyilván negatív, a mozgás irányával szembe mutat. Ezek után

felírhatjuk az impulzus mérlegegyenletét a

( ) ( )[ ] Lr2drdvpphhgrLr2vv 2121

2,z

,r πμ+−+−ρπ=πρ (16.5)

alakban. Ha az egyenletet végigosztjuk a 2rπL palástfelülettel, s a sebességinga-dozásból származó impulzusváltozást is átvisszük a jobb oldalra, a

,z

,r

121 vvdrdv

gLpp

Lhhgr0 ρ−

⎦⎢⎣

⎡ρ

−+

−ρ= (16.6) 2

2μ+⎥

⎤

A csőben kialakuló áramlás jellegét meghatározó tényezők

109

összefüggést kapjuk. Nem nehéz felismernünk a mozgást fenntartó erőben a

gLL ρ

pphhJ 2121 − −+= (16.7)

hidraulikai esést, ami a cső egységnyi hosszán a mozgást fékező súrlódóerő és a turbulens impulzuscseréből származó erő munkáját fedező helyzeti- és nyomási energiaveszteség összege. Másképpen ez a

0vvdrdv

2gJr ,

z,r =ρ−μ+

ρ (16.8)

ntkezik, mint a viszkózus feszültségből adódó rlódóerő, mértékegységük is azonos: N/m2.

alakban is felírható. A turbulens keveredésből származó, a mozgást fékező erőha-tás ugyanúgy a palástfelületen jelesú Így kézenfekvőnek tűnik a

,zr vv' ρ−=τ (16.9) ,

mennyiséget, egy látszólagos turbulens nyírófeszültségnek tekinteni. Ahhoz iszont, hogy a véletlenszerű sebességingadozások szorzat

mennyiséget tartalmazó differenciálegyenletet megoldhassuk, τ’-t a mozgás almazó mennyiségekkel kell kifejeznünk. Erre ad módot

ő

zefüggéseket vezessünk le. Ehhez

dva fokozatosan nő.

16.2. ábra. A látszólagos feszültség

érte

ngely a fal síkjába és utasson az áramlás

irányába. A faltól y

szuperponálódó ingado-áskomponensek pedig és . A keveredésből származ

cserét a következő modellel közelítjük.

v ának átlagából kapott

átlagsebességét tartPRANDTL keveredési úthossz-elmélete. Ez lehet séget ad arra, hogy legalább egydimenziós áramlások esetén az átlagsebesség-eloszlás és a súrlódási nyo-másveszteség meghatározására alkalmas össtekintsük a 16.2. ábrán látható átlagsebesség-profilt. A falon a sebes-ség nulla, és attól távo-lo

turbulens nyíró lmezése

Essen az x koordináta-tem

távolságban az átlagse-besség vx(y), az erre

z ó turbulens impulzus-,xv ,

yv


A vx átlagsebességű folyadékrészecske a ,yv sebességingadozás hatására a faltól

+h távolságra lévő nagyobb átlagsebesség éte

ségprofil linearizálásával – a közelítően

y gbe jut. Itt a sebesség – a sebes-ű r

hdyx x

sebességű részecske vx(y)-vx(y+h) mértékben eltér az ott érvényes sebesség-értéktől, s az egy

dvv x+ . Az új környezetben a v

dydv

hv x,x −=

„ingadozásként”, az átlagértékhez képesti hiányként jelentkezik. Igen nagyszámú mérés eredménye az a tapasztalat, hogy ,

xv és ,yv azonos nagyságrend-

tartományba esnek, előjelük viszont különböző. Hiszen a pozitív ,v hatására y

n (y+h) sebességkülönbség, ha viszont egatív ingadozásra vezetett a vx(y)-vx,xv

negatív ,yv révén kisebb átlagsebességű rétegbe kerül a részecske, akkor ott se-

bességtöbblete lesz, tehát 0v,x > . Semmiképpen nem lehet az egyik ingadozás-

összetevő zérus, míg a másik véges. A szilárd falra merőlegesen nem létezhet ,yv

az y=0 helyen. Ebből következik, hogy a falon a ,xv sebességingadozásnak is el

kell tűnnie. Mindezt a

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅α−=

dydvhv x,

y (16.10)

ki, ahol α pozitív véges mennyiség. Mivel egydimenzi-s turbulens nyírófeszültség értéke

egyenlőséggel fejezhetjük ós áramlásban a látszólago

,y

,xvv' ρ−=τ (16.11)

a ével

z előzőek behelyettesítés

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ−=τ

dydvh

dydvh' xx (16.12)

ngadozást nem mutató átlagmennyiségre vonatkozik, Mivel az átlagolás csupa iegyszerűen írható, hogy

2

x2

dydvh' ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρα=τ (16.13)

1 adódik, azaz a elöljük ezt a ka-

Nyilvánvaló, hogy van egy olyan h távolság, amely esetén α = két sebességingadozás-összetevő abszolút értéke megegyezik. J


rakterisztikus hosszúságot l-lel, s nevezzü keveredési úthossznak. A keveredési úthossz a turbulens áramlás jellemzői között igen fontos paraméter. Ha a turbu-lens impulzuscsere erőteljes, l értéke nő, ha viszont csökken az ingadozások mér-téke l is csökken. Az áramlást határoló sz , ahol mind ,

xv , mind ,yv

zérus, a keveredési úthossz értéke is nulla. A fal mentén egy igen vékony, pártizedmilliméter vastagságú tartományban az áramlás lamináris a turbulens sebes-ségingadozások hi

k

ilárd falon

ányában. Ez az ún. lamináris alapréteg. A keveredési úthossz tehát nem állandó, a helynek és az áramlás jellegének is függvénye. PRANDTL feltevése a lehető legegyszerűbb: a keveredési úthossz a

tu

fal kö

falon nulla, s a faltól távolodva lineárisan nő. l = κy (16.14) ahol κ állandó arányossági tényező, nem függ sem a folyadék anyagi lajdonsá-gaitól, sem az áramlás egyéb jellemzőitől. Közelítőleg κ = 0,40 … 0,41 (16.15) dimenzió nélküli állandó. Ezzel az egyszerű összefüggéssel is jól leírható az áramlás a sík fal, vagy a cső zeli tartományában. Jobb eredmények adódtak KÁRMÁN módszerével, aki a hasonlóságelméletre támaszkodva a keveredési úthosszra az

2x

2

xdv

dyvd

dyl ⋅κ= (16.16)

ezőket lehet eghatározni, még az ún. nem-newtoni folya

en kialakuló turbulens áramlást a KÁRMÁN-féle ával írjuk fel, a

összefüggést vezette le. Ezzel kör-keresztmetszetű csövekben, körgyűrű-keresztmetszetű csatornában, vagy párhuzamos sík lapok között a mérési eredmé-nyekkel igen jól egyező sebességeloszlásokat vagy csősúrlódási ténym dékok esetén is (BOBOK). Ha a kör-keresztmetszetű csőbkeveredési úthossz felhasználás

0

drvddr2 22

=

⎟⎞

⎜⎛

ρκ−μ+ drdv

dvgJr

2

4

2

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ρ (16.17)

ásodrendű differenciálegyenlet adódik. Ennek mljesen különböző módon viselkedő tartomány

külön-külön adódó megoldásokat alkalmasan megválasztott peremfeltételek ki-

m egoldása során két, fizikailag te t választhatunk szét, s az ezekben

elégítése révén csatlakoztathatjuk.


Közvetlenül a fal mellett egy igen vékony rétegben a turbulens impulzuscseréből eredő τ’ látszólagos nyírófeszültség értéke nulla. A cső falán és annak közvetlen közelében nem csupán az átlagsebességnek de a sebesség véletlenszerű ingadozá-sainak sem lehet sugárirányú komponense. Ekkor viszont a tengelyi yú ingad -zások is eltűnnek, így ebben a zónában az áramlás lamináris, differenciálegyenle-tünk harmadik tagja eltűnik. A falhoz közeli lamináris alaprétegben tehát az első rész-megoldást a

rán o

0drdv

2gJr

=μ+ρ (16.18)

differenciálegyenlet integrálásával kapjuk. M δivel a lamináris alapréteg vastag-sága a cső sugarához képest igen kicsiny, a viszkózus nyírófeszültség sugárirányú eloszlását lineáris helyett állandónak, a falon adódó értékkel egyenlőnek vesszük:

2

gJRR

ρ=τ=τ (16.19)

A g értékét a sűrűséggel osztva, l gyököt falon ébredő nyírófeszültsé majd ebbő vonva egy sebesség dimenziójú paramétert kapunk, amelyet súrlódási sebesség-nek nevezünk:

2gJRv* = (16.20)

A súrlódási sebesség nem valódi sebesség, csupán egy sebesség dimenziójú ennyiség, amely célszerűen használható d

mulák előállítására. A súrlódási sebességgel a 16.18. differenciálegyenletet a

m imenzió nélküli sebességeloszlás for-

νdralakban írhatjuk fel. Ezt integrálva a

−=2*vdv (16.21)

1

2* Kr

vv +

ν−= (16.22)

összefüggést kapjuk. Az integrációs konstans meghatározása az r = R; v = 0 (16.23)

eremfeltételből történik.

p

ν=

RvK2*

1 (16.24)

Végül visszahelyettesítve

( )rRv

vv *

*−

ν= (16.25)


Tehát a forgási paraboloid alakú lamináris megoldáshoz képest annak egy igen kis metszetét helyettesítjük egy csonkakúppalást-darabbal. A turbulens tartományban, a lamináris alaprétegen túl a látszólagos turbulens nyírófeszültség nagyságrendekkel nagyobb, mint a viszkózus nyírófeszültség. Így az elsőrendű viszkózus tag elhanyagolásával egy kényelmesen megoldható diffe-renciálegyenletet kapunk:

2

2drvd

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

Az egyenletet a sűrűséggel végigosztva egy kis átalakítással a

2

4

2 drdv

2gJr

⎞⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ρκ=ρ (16.26)

R

drvd

*2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

alakra hozhatjuk. Min

rvdrdv

2

4

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

κ

dkét oldalból gyököt vonunk, az előjelre nézve figyelembe

, hogy a

(16.27)

2

2

drvd

kell vennünk derivált negatív, mert a sebességnek a csőben maxi-

Rr gyökvonás két lehetséges előjele közül a negatív felel muma van. Ezért a

meg a fizikai valóságnak:

2

2

2v ⎞

* Rrv−

drvd

drd

⎟⎠

⎜⎝⎛

κ= (16.28)

Mindkét oldal reciprokát véve a kapott kifejezés könnyen integrálható (a számláló a nevező deriváltja)

rR

vdrdvdr

vd2

*2

2 κ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− (16.29)

Integrálás után az

*

KRrv2

drdv1

+κ

2= (16.30)


kifejezést kapjuk. Az integrációs állandó meghatározására azt a peremfeltételt írjuk elő, hogy a csőfalon a sebességgradiens végtelenné válik:

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=Rrdrdv (16.31)

Ez a feltételezés megengedett, mert a pólus kívül esik a megoldás érvényességi körén. Valójában a dv/dr derivált a falon igen nagy, így a fenti egy közelítő pe-remfeltétel, de indokoltságát a később kapott végeredmény méréssel történő el-

nőrzése igazolja. Így le

*2 v

R2K κ−= (16.32)

Az állandó behelyettesítésével az

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

κ−=

Rr1

vR2

drdv1

*

(16.33)

egyenlet reciprokát vesszük, majd az 2uRr

= helyettesítéssel integrálunk még egy-

szer és a

3

* KRr1ln

Rrv

+⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−+κ

(16.34)

eredményt kapjuk. A integrációs állandó meghatározása annak a peremfelté-

= 0 helyen a cső tengelyében van. Ekk

v⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝

=

K3telnek a figyelembevételével lehetséges, amely szerint a sebesség maximuma az r

or (16.35)

y a csőben kialakuló sebességeloszlás dimenzfüggést kapjuk:

max3 vK =

Íg ió nélküli alakjára az alábbi össze-

*

max

vv

Rr1ln

Rr1

vv

+⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−+κ

= (16.36) * ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝

Ez az összefüggés jól leírja a sebességeloszlás jellegét, de vmax értékét még nem merjük. Viszont a cső tengelyében egyetlen

t meghatározhatjuk, hiszen az csak r/R függvénA vmax maximális sebesség értéke természetesen analitikus eszközökkel is meghatározható.

eltételből határozhatjuk meg, hogy a lamináris alapréteg külső en a lamináris és a turbu

ell, tehát a lamináris és a turbulens sebességek

is ponton mért sebességből a teljes eloszlásfüggvény ye.

Ezt abból a peremfélén, az r=R-δ helysz lens sebességprofilnak illeszkednie

k egyenlőségét kell felírnunk:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−−+

δ−κ

+=νδ

RR1ln

RR1

vvv

*

max* (16.37)


Tekintve, hogy δ/R<<1, a következő közelítések kézenfekvők:

1R

1 ≅δ − (16.38)

illetve sorbafejtést alkalmazva

R2ln

R211ln

R11ln δ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

−−≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−− (16.39)

νδ*v

Vegyük még figyelembe, hogy a men

l jellemezhető helyhez (r=R-δ) a lamináris és a . Ha az

nyiség tulajdonképpen egy Reynolds-

szám. S ehhez a Reynolds-számmaturbulens tartomány határa tartozik

ν>

νδ

=α=δrvvRe ** (16.40)

az áramlás lamináris, míg ha

ν<

νδ

=α=δrv* (16.41) vRe *

lás turbulens zónájában vagyunk. Így tulajdo

az áram nképpen a Reδ érték egy kri-tikus Reynolds szám, amely a lamináris-turbulens áttóan konstans. A mérések ezt az állandó értéket megerősítik α≅12,1.

menetet jelzi, s értéke várha-

A 16.37 egyenletből kifejezve a maximális sebesség értékét:

⎟⎠D⎞

⎜⎝⎛ δ

κ−α= 11

vvmax + ln

*

(16.42)

Másrészt

Dc

vDc

v

Re*

*δ

=⋅νδ

=α (16.43)

ν

Ebből δ/D kifejezve, s az előző kifejezésbe helyettesítve

( ) Recvln1ln11

vv *

*

max ⋅κ

+α+κ

−α= (16.44)

Ezzel a turbulens áramlás sugár menti sebességeloszlása az alábbi alakban adódik:

( ) α+α+κ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

κ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

κ= ln11

cvReln1

Rr1ln

Rr1

vv *

*

(16.45)

A upán a geometriai viszo-n ynolds-szám függ-

sebességeloszlást meghatározó kifejezés első tagja csyoktól (a pont sugárkoordinájától) függ. A második tag a Re


vénye, hiszen ez tükrözi a lamináris alaprétegre való illeszkedés hatását. A többi tag konstans, s mind a κ, mind az α értéke az anyagi minőségtől független newto-i és nem-newtoni közegek esetén is ugyan

PÉLDÁK

n az az érték.

1. edésű csőben 1m/s ke- Egy 0,2m átmérőjű hidraulikailag sima viselk

resztmetszeti átlagsebességgel 1000kg/m3 sűrűségű 10-6 m2/s kinematikai viszkozitási tényezőjű víz áramlik. Mekkora a csősúrlódási tényező, a

A Reynolds szám:

súrlódási sebesség, a falon a nyírófeszültség, a lamináris alapréteg vas-tagsága, a maximális sebesség és a keresztmetszeti átlagsebesség dimenziótlan értéke.

20000010 6 =

2,01DcRe ⋅ ⋅=

ν=

t iterációval határozzuk meg, az iterációhoz ünk. Az iteráció lépései:

−

A csősúrlódási tényező015,0=λ kiinduló értéket vesz

01571,01

51,2015,0200000lg2

51,2Re

lg2 0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ

1221 ===λ

01563,011===λ

51 ⎠,251,2 ⎟⎜⎝⎟

⎠⎜⎝

01571,0200000lg2Relg2

22

1

2

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ λ

01564,0

51,201563,0200000lg2

1

51,2Re

lg2

122

2

3 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ=λ

Az első három értékes számjegy megegyezA súrlódási sebességet

ik, az eredmény elfogadható. λ ismeretében számíthatjuk.:

sm

88*

A falon adódó nyírófeszültség

0442,001564,01cv =⋅=λ

⋅=

222 N955,10442,01000v =⋅=⋅ρ=τ *R m

Ismeretes, hogy 1,12v* =⋅δ

ν=α

Amiből a lamináris alapréteg vastagsága


mm274,0m000247,00442,0

101,12v1,12 6

*

==⋅

=ν⋅

=δ−

A sebesség maximuma dimenzió nélküli alakban

( ) ( ) 743,251,121,12ln141,01

102,00422,0ln

41,01ln11Dvln1

vv

6*

max =++−⋅

=α+α+−κν

⋅κ

A keresztmetszeti átlagsebesség pedig

= −

624,220442,01

vc

*

==

A maximális sebesség a csőtengelyben

sm1378,10442,0743,25vmax = =⋅

2. Számítsa k amlás sugár menti sebességeloszlását.

i és ábrázolja az előző példában szereplő ár

r/R v [m/s] 0,00 1,138 0,10 1,131 0,20 1,122 0,30 1,111 0,40 1,098 0,50 1,082 0,60 1,061 0,70 1,033 0,80 0,992 0,90 0,920 1,00 0,000

A sebesség eloszlást a következő képlettel számítjuk:

max* v

Rr1ln

Rrvv +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎣κ⎢⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

1378,1Rr1ln

Rr

41,00442,0v +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

Szembetűnő a lamináris áramlás parabolikus sebességeloszlásához képest a turbulens sebességeloszlás kiegyenlített jellege.


17. A CSŐBEN KIALAKULÓ ÁRAMLÁS JELLEGÉT MEGHATÁROZÓ TÉNYEZŐK

A viszkózus fol y az áramlás laminá-ris, vagy turbulens jellegét alapvetően a Reynolds-szám értéke szabja meg. Az elméleti hidrodinamikában levezetett összefüggések végtelen hosszú, egyenes csö ányában nem változó áramkép feltéte-lezé etékek hossza véges, s a csőszakasz kezdetétől csak egy bizonyos távolságban alakul ki az egész keresztmetszetre jellemző lamináris, vagy turbulens áramlás. Ilyen szempontból minden egyes idom amkép rendezettségét, s az áramlás irán határozott hosszúsága szükséges ah-hoz, hogy a leggorombább rendezetlenségek: örvények, leválások “elaprózódja-nak”, energiájuk disszipálódjék.

Bizonyos körülmények között még a kialakult lamináris áramlás stabilitása is

korlat szám lásmé3rő műszerek beépítésének megtervezése-kor - fon aláb rdés:

felt setén válik a cső kezdetétől elegendő távolságban la-issá, v bulenssé az áramlás

táv zükséges a cső kezdetétől, hogy a beömlő folyadék sa te ifejlett, a végtelen csőben kialakuló sebességprofillal yező ris vagy turbulens áramképet mutasson.

E kérdések bizonyo hidrodinamikai módszerekkel is megvála-szolható megfigyelés és rendszeres mérési eredmé-nyek ala pírikus úton oldhatók meg.

Az által elfog ritérium, amely egy körkeresztmetszetű csőben a stabil laminári lás v s a turbulencia megjelenésének lehetőségét jellemzi Rey

yadékok áramlását vizsgálva azt találtuk, hog

vekre vonatkoztak, s a cső hosszának irsével adódtak. A valóságban a csővez

darab, vagy szerelvény felborítja az áryában utána következő csőszakasz meg

függ a belépő áramlás jellemzőitől, és a cső belépő keresztmetszetének kialakításától. Mást eredményez a kör-, mást a négyszög-keresztmetszet. A gya-

ára - külötos az

nösen árambi két ké

milyen ételek eminár agy tur

milyen olság sáramlá ljesen kmegeg laminá

s fokig analítikus k, jórészt viszont közvetlen pján em

ánosan adott ks áram égét é a

nolds-szám kritikus értéke

Rekritkritc D

=⋅

=ν

2300 (17.1)

Itt ckrit a stabilitás végét jelentő állapothoz tartozó átlagsebesség, D az átmérő, ν a kinematikai viszkozitási tényező. Természetesen ennél nagyobb Reynolds-számok esetén is lamináris maradhat az áramlás, viszont ilyenkor a legkisebb megleke Re st állított elő.

zavarás azonnal felborítja a rendezett az áramképet. SCHLICHTING rekített belépő keresztmetszet, rezgésmentes kísérleti berendezés esetén

= 50 000 értékig állandó, labilis lamináris áramlá


A szigorúan lamináris, a cső tengelyével párhuzamos áramvonalakat alkotó áram-képtől való eltérés m

mételjük Reynoár a kritikusnál kisebb Reynolds-számoknál elkezdődik. Ha

egis lds klasszikus kísérletét, azt tapasztaljuk, hogy a megfestett

hullámzik,

fokozatosan alakul ki a jellegzetes turbulens áramkép. A súrlódási nyomásveszteség-tlagsebesség függvénykapcsolat ebben a zónába

kul, a nyomásmérő műszerek goromba, lüktető nyomás-értékeket mérnek.

mfolyadékszálat a cső tengelyébe juttató pipettáról leváló örvények hatása a Re<1000 tartományban nem észlelhető: a megfestett szál egyenes, a cső tengelyé-vel egybeesik, kifeszített szilárd húr benyomását kelti. Re =1000 ... 1100 értékek mellett a szál még mindig fonálszerű, de az áramlás sebességé-nél nagyobb terjedési sebességgel először igen kicsiny, majd nagyobb amplitudójú hullámok futnak “rajta” végig az áramlás irányában. Re = 1200 ... 1250 értékeknél a szál vasta-godni kezd, egyre fokozottabbanostorszerűen csapkod. Az 1500-nál nagyobb Reynolds-szám tartományban a hullámmoz-gás a szál spirális jellegű mozgásával jár együtt, s egyre “hosszabb életű” örvények fejlődnek ki az áramlásban.

17.1. ábra. Lamináris-turbulens átmenet

A Re<2000 tartományban egyre nagyobb számú és méretű örvény képződik, az áram-lás már alig hasonlít lamináris mozgásra. A súrlódási nyomásveszteség még lineáris függvénye az átlagsebességnek, a Hagen-Poiseuille törvény még érvényesül. Ettől függetlenül a kritikus Reynolds-számnálnem következik be valami ugrásszerű vál-tozás. Inkább azt észlelhetjük, hogy a 2400< Re< 2800 tartományban

á n teljesen véletlenszerűen ala-

E közvetlen megfigyelésen alapuló módszer mellett Ryan és Johnson a kis meg-zavarások módszerével végeztek a csőben kialakuló lamináris áramlásra vonatko-zó stabilitásanalízist. A Ryan-Johnson stabilitásparaméterre

z R v dvdrR

= −ρτ

(17.2)

adódik.


Ez a falon (r = R) és a cső tengelyében (r = 0) zérust ad. Maximum a newtoni folyadékoknál az

rR

=13

(17.3)

értéknél lesz, tehát nem a cső közepén!

Itt zmax Re=227

Ez azt jelen

(17.4)

ti, hogy a turbulencia kezdete, a kis megzavarások csillapodásának

gtelen hosszú csőre teoretikus úton emzői között a véges csőhosszúság

lítettük, a teljesen kialakult, az bességeloszlás megjelenésének he-eometriai kialakítása, s végül a ki-

y turbulens volta. Ha az áramló közeg egy - gyakor-latilag végtelen nagynak tekinthető - tartály ól lép a csőbe (17.2, ábra), akkor a sebess gegyezik a későbbi csőszakaszokra onatkozó átlagsebességgel, tehát egy jellegzetes, súrlódásmentes közegre vonat-

em zérus.

elmaradása z = 800 értéknél jelentkezik.

A másik kérdés, amelyre ki kell térnünk, a vényert eredmények és a tényleges áramlás jellmiatt jelentkező különbség. Amint már előre emáramlás irányában tovább már nem változó selye több tényező függvénye, a beömlőnyílás galakult áramlás lamináris vag

bégprofil a belépéskor egyenletes, és me

vkozó sebességeloszlás, amely az r = R helyen s

17.2. ábra. Sebességeloszlás a cső kezdeti szakaszán

Erre a homogén sebességeloszlásra a csőfal fékező hatást gyakorol, s a fal mentén réteg alakul ki.

ún. határ


A határréteg az áramló viszkózus folyadéknak az áramlást határoló szilárd fal közelé-be eső tartománya, amelyen belül a folyadék sebessége a falon adódó zérus értékről a felülettől távoli zavartalan értékig növekszik. A súrlódásból származó nyírófeszültsé-ek a fal közelében nagyok, attól távolodv

egyaránt lehet lamináris vagy turbulens. Tulajdonságait elsősorban a Reynolds-szám másváltozás is erősen befolyásolja.

cső belépő keresztmetszetében a határréteg vastagsága még zérus, az áramlás ányában haladva fokozatosan növekszik, végül a cső tengelyében összeér, s

ejön a kialakult csőáramlást jellemző véglelitikus módszerekkel végtelen hosszú cső e

g a fokozatosan csökkennek. A határréteg

értéke, de az áramlás irányában adódó nyo

Airlétr ges sebességprofil, amely azonos az ana setén adódó sebességeloszlással.

17.3. ábra. Sebességeloszlás stabilizálódása A jelenséget teoretikusan PRANDTL és TITJENS írta le először. Legmeggyőzőbb kísérleti vizsgálata COLLINS, SCHOWALTER és Mc COMAS nevéhez fűződik. A kísérleti adatok a gyakorlati feladatok megoldásán dolgozó mérnök számára is jól hasznosítható empírikus függvénykapcsolatban összegezhetők, amelyet a 17.3. ábra szemléltet. A sebességprofil stabilizálódásának helyét jellemző X csőhosszúság és a D csőátmérő hányadosa e szerint a Reynolds szám függvénye:

( )XD

f= Re (17.5)


A lamináris tartományban közelítőleg

XD

≅ 0,0280 Re (17.6)

Ez a görbe bal oldali szakasza.

A lamináris - turbulens átmenet tartományában a Re = 2300 Reynolds-szám érték

körül a cső teljes hosszában labilis az áramkép, nincs “végleges” sebességprofil. Ezt az állapotot a görbe pólusa mutatja.

Turbulens áramlásban Knudsen és Katz a Reynolds-számtól független,

XD

≥ 50 (17.7)

viszonylatot határoztak meg. Ezt a pólustól jobbra eső görbeszakasz mutatja.

Ha felidézzük, hogy pl. newtoni folyadék lamináris áramlásában az átlagsebesség kétszeresére gyorsul fel a cső tengelyében áramló folyadék, nyilvánvaló, hogy a nyomásgradiens egyrészt ezért, másrészt a nagyobb falfeszültségek miatt ezen a szakaszon megnövekszik. A cső kezdeti szakaszán jelentkező nagyobb veszte-ségmagasság meghatározása ma még nem teljesen egyértelműen megoldott fel-adat. A turbulens áramlás kezdeti szakaszának nyomásesése különösen érzéke-nyen változik a belépő keresztmetszet kialakításának, a beömlő áramlás turbulenciafokának függvényében. Nincs olyan kiforrott módszer, amely jelenleg megnyugtatóan használható lenne csővezetékek méretezésekor. Az olaj vagy gáz-szállító vezetékek szokásos hosszméreteihez képest ez a bizonytalanul meghatá-rozható csőszakasz szerencsére elhanyagolhatóan kicsi.

Egyenes, kör-keresztmetszetű csőszakasz áramlási veszteségeinek meghatározása 123

18. EGYENES, KÖR-KERESZTMETSZETŰ CSŐSZAKASZ ÁRAMLÁSI VESZTESÉGEINEK M ÁROZÁSA

övetkezőkben összenyomhatatlan, newto-eségeire a

ozóan kell összefüggéseket megállapíoiseuille-féle megoldás egzakt, mindös

EGHAT LAMINÁRIS ESET A gyakorlatban felmerülő áramlástechnikai feladatok nagy többsége lényegében egy adott folyadékszállítási feladat veszteségmagasság-térfogatáram függvény-kapcsolatának meghatározása. A most kni folyadékokra korlátozzuk vizsgálatainkat. A gázok áramlási vesztkésőbbiekben térünk ki. Esetünkben két alapvetően különböző áramlásra vonat-k tanunk. A lamináris áramlásra nyert P sze a csőszakaszok véges hosszúsága jelent bizonyos, esetenként szükséges korrekciót. E szerint

cgR

L8h 2, ν= (18.1)

tehát a veszteségmagasság lineárisan függ az átlagsebességtől, a viszkozitási té-nyezőtől, a csőszakasz hosszúságától, és fordítva arányos a sugár négyzetével. Ezt a kifejezést célszerűségi okokból kissé átalakítjuk. A gyakorlatban a csővezetékek átmérője adott, mérni is ezt tudjuk, tehát a sugár helyett D/2-t helyettesítünk az összefüggésbe. Másrészt viszont az áramlás hasonlóságát biztosító Reynolds-szám hatását közvetlenül tükröző kifejezésre törekszünk, ezért a veszteségmagas-ságra adódó formulánk az alábbi alakot ölti:

g2c

DL

Re64h

2 , = (18.2)

Tehát a lamináris áramlás veszteségmagassága az átlagsebességre vonatkozó ki-netikus energiával kifejezve a Reynolds-számmal fordítottan arányos. Ezt az együtthatót, amely lamináris áramlásban csak a Reynolds-szám függvénye, cső-súrlódási, vagy csőellenállási tényezőnek nevezzük, s a

λ =64Re

(18.3)

összefüggéssel számíthatjuk. Ez az összefüggés a Rekrit = 2300 érték alatt érvényes, ezt meghaladva a turbulens áramlás ellenállástényezője ugrássze-rűen megnő. Így minimális értéke közvetlenül a turbulens átmenetet megelő-ző Reynolds-számnál jelentkezik:

λ min = =64

23000,0278


Metastabil lamináris áramlásoknál a csőellenállás tényező értéke ennél jósebb lehet. SCHLICHTING kísérletei során Re = 50 000 értékig tart

áramlást. Ekkor mindössze

val ki-ott fenn lami-

áris n

λ = =64

500000,00128

adódik. Nyilvánvaló, hogy ha valamilyen módon késleltetni tudnánk a lamináris-turbulens átmenet bekövetkezését, az áramlási veszteségek nagyságrenddel való csökkentése válna lehetővé. Hosszú ideig illuzorikus óhajnak látszott ez az elkép-zelés, de a legutóbbi évek kísérletei meglepő eredménnyel jártak. Ha hosszú mo-lekulaláncú polimer adalékanyagot keverünk az áramló vízhez - rendkívül kis mennyiség elegendő - az áramlás irányában elrendeződött óriásmolekulák olyan anizotrópiát okoznak, amely a turbulencia kifejlődését késlelteti, így az ellenállástényezőt nagyságrenddel csökkenti. A nem-newtoni folyadékokról szóló

jelenséget részletesen is megvizsgálja.

ógiai eredetű mikrogeometriai egye-etlenségei nem zavarják meg az áramlást a setben a fal egyenetlenségei, mint rosszul k

sokat keltenek, amelyeket a lamináris alapréteg csillapít, tehát az alaprétegen kí-

i hatása nincs, az áram-ép a Reynolds-számtól független.

A hidraulikailag sima és érdes viselkedés egy meglehetősen fokozatos,

g

irodalom e TURBULENS ESET Turbulens áramlásban a csőellenállási tényező meghatározása ennél bonyolultabb. Egyrészt a turbulens áramlás változatosabb jelenségkörrel jár együtt, másrészt sokkal több tényező befolyásolja. A turbulens csőáramlás két alapvető típusát tudjuk megkülönböztetni: a hidraulikailag sima, illetve a hidraulikailag érdes vi-selkedésű csőben kialakuló áramképet. Hidraulikailag sima az a cső, amelynek a folyadékot határoló felületén a csőfal technoln lamináris alaprétegen kívül. Ebben az e örüláramlott testek, ilyen megzavará-

vüli turbulens áramlás úgy viselkedik, mintha a cső fala tökéletesen sima lenne.

A hidraulikailag érdes csőben a határoló felület egyenetlenségei által előidé-zett megzavarásokat a lamináris alapréteg nem tudja csillapítani. Emiatt a viszkózus erőknek az áramlás jellegére nézve semmk

mindkét viselkedési forma jellegzetességeit egyidejűleg érvényre juttató átmenettel vált át egymásba.

Az ellenállástényező meghatározásában a súrlódásos Bernoulli egyenletből indu-lunk ki. E szerint a veszteségmagassá

gpphh

g2cch 21

21

22

21,

12 ρ−

+−+−

= (18.4)


Ha állandó a cső keresztmetszete, s a folyadék összenyomhatatlan 21 cc ≡

Ebből tehát a h J12' = L (18.5)

összefüggés származik.

A J hidraulikai esés kifejezhető a súrlódási sebességgel:

JgR

v=2 2

* (18.6)

Ezt a (18.6) egyenletbe behelyettesítve

h LgR

v1222'*= (18.7)

adódik. A súrlódási sebességet célszerűbb a csőben folyó áramlás keresztmetszeti tlagsebességével kifejezni. á

A HIDRAULIKAILAG SIMA CSŐ ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE Turbulens áramlás sugármenti sebességeloszlásából indulunk ki. Az előző feje-zetben levezettük a

( )α+κ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

κ+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

κ= ∗

∗

ln11cvReln1

Rr1ln

Rr1

vv (18.8)

összefüggést. Ennek keresztmetszeti átlagát a

cv R

vv

r dr∗ ∗

= ∫1 220π

π (18.9)

kifejezés alapján számíthatjuk. Itt tulajdonképpen csak a szögletes zárójelben álló mennyiséget kell átlagolnunk, hiszen a t

R

öbbi tag a sugárnak nem függvénye:

( )cv

v

∗

∗= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎜

⎞⎟ − + +

1 45

2512

1 1 1κ

α αln Re ln (18.10) c⎝ ⎠κ κ

Végül a következő két - egyelőre ismeretlen - állandót tartalmazó kifejezéshez jutunk:

( )cv

vc∗

∗= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− + + (18.11) 1 1 2,283κ κ

α αln Re ln


Ebből nyilvánvaló, hogy a v*/c mennyiség csak a Reynolds-szám fü e ggvény

( ) (18.12) vc

f∗ = Re

egyenletbe behelyettesítjük, a

Ha ebből a v*-et a (18.7)

( )h f L D g2

(18.13) c212

28' Re=

kifejezést nyerjük. Ez az eredetileg empírikus megfigyelésekre alapozott, majd imenzióanalízissel is levezetett Weisbach

szereplő dimenziótlan együttható csoportot:

d -egyenlet. Jelöljük λ -val az ebben

( )λ = 8 2f Re (18.14)

Helyettesítsük a (18.11) egyenletbe

v c 8∗ =

λ (18.15)

sszefüggést. Az eredmény: ö

( ) ( )1 1 1 2,283λ κ

λκ

α α= − +ln Re ln + (18.16)

eltételezve, hogy α és κ valóban konstansok a hidraulikailag simcső ellenállástényezőjének gondos mérésekkel történt meghatározásából α és κ

Prandtl, Nikuradze majd később Stanton és Pannel méréseiből

α = 12,087

κ = 0,407

F ának bizonyult

értéke számítható.

értékek adódnak. Tízes alapú logaritmusra áttérve az

( )1 2 0λ

λ= −lg Re ,8 (18.17)

8

egyenlet adódik, amellyel a kísérleti eredmények közelítően 10 Reynolds-szám értékig igazolnak. Ez a gyakorlati számítások céljára alkalmasabb

51,2Relg21 λ

=λ

(18.18)


alakban is felírható. Ebből a csősúrlódási tényezőre

2

⎞ (18.19)

51,2lg2 ⎟

⎠⎜⎝

Re

1

⎟⎜⎛ λ

=λ

dódik. A (18.19) kifejezés λ-ra nézve impliciényszerülünk. Legcélszerűbb a kezdő λ0 értéket

yében, s ezt a grafikusan kapott értéket a (18.19) egyenlet jobb oldalán behe-ettesíteni. Ekkor

a t, ezért használatakor iterációra k diagramról leolvasni a Re függ-vénly

21

Relg2

1

⎞⎜⎛ λ

=λ (18.20)

0

51,2 ⎟⎟

⎜⎝

s után

⎠

majd tetszőleges számú iterációs lépé

2i ⎞λ

1i

51,2Re

lg2

1

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎛=λ +

(18.21)

adódik. Az iteráció gyorsan konvergál, két-három iteratív lépésnél többre nincs is ükség. A kapott λ értékkel a veszteségmagasság a sz

g2

cDL'h

2λ= (18.22)

vagy a súrlódási nyomásveszteség a

2D

'p ρλ=cL 2

Δ (18.23)

gyenlettel számítható.

RDES FALÚ CSŐ ELLENÁLLÁSTÉNYEZŐJE

e

É Az hidraulikailag érdes falú cső ellenállásának számításakor a (18.7) egyenlet számára összefüggést kell találnunk a v* súrlódási sebesség és a cső falának a k hosszúsággal jellemzett érdességi mérőszáma között. Tisztában kell lennünk azzal,

az áramlást határoló falak érdessége bonyogy egyetlen hosszúság jellegű mérőszámmal

kedések magassága, hosszúsága, szélessége, alakja külön-külön befolyásolják a fal

hogy olultabb geometriai jelenség, sem-h jellemezhessük. Az egyes kiemel-


közelében kialakuló turbulens áramlás jellegét. Mégis megállapíthatjuk, hogy a metriai hasonlóság illúziójáról lemondv

llege az egyenetlenségek magasságának van. Akorlátozott - geometriai hasonlóság a k/D relatív érdesség egyenlőségét kívánja meg: tehát nem az érdesség abszolút értéke, hanem a cső átmérőjéhez viszonyított relatív érdesség határozza meg a csőben kialakuló áramlás tulajdonságait.

tökéletes geo a, hogy ezek közül domináns je zt is meg kell jegyeznünk, hogy a -

A fal közelében kialakuló áramlási viszonyok hasonlóságát a súrlódási sebesség-gel és az érdességi mérőszámmal képzett Reynolds-számmal írhatjuk fel:

Re∗ ∗=v k

ν (18.24)

Az érdességgel képzett Re* paraméter értékeivel három jellegzetes áramlási tar-tomány jellemezhető.

Ha Re* < 3, a lamináris alapréteg a felület kicsiny k magasságú egyenetlenségeit emelkedések, mint rosszul körüláram-

a relatíve nagy viszkózus erők atására gyorsan eloszlanak, energiájuk disszipálód

alaprétegen kívüli érzékeny turbulens áramlást nem befolyásolhatják. Emiatt a tur-bulens áramlás úgy viselkedik, mintha a cső fala tökéletesen sima lenne.

úgy takarja be, hogy a szabálytalan alakú kilott testek hiába indukálnak leváló örvényeket, ezek h ik, s a megzavarások a lamináris

18.1. ábra. Az érdességgel képzett Reynolds-szám hatása az áramlás jellegére


A 3 < Re* < 70 tartományban vagy az érdesség k mérőszáma nagyobb, mint az előbbi esetben, vagy a sebesség (tehát áttételesen a súrlódási sebesség) növekedett meg, ami az inerciaerők szerepének növekedésében, a turbulens jelleg fokozódá-sában nyilvánul meg. A lamináris alapréteg vastagsága csökken (legalábbis k-hoz viszonyítva). A rosszul körüláramlott mikroegyenetlenségeken apró, leváló örvé-nyek serege indukálódik, amelyek hatását a csökkent vastagságú lamináris alapré-

a Re* < 70, vagy az érdesség nőtt erősensebesség, s ezzel az áramlás turbulenciájának intenzitása. A lamináris alapréteg k-

a megnőtt inerciaerők és az intenzív turbulens impulzus-

zám érté-kével együtt nyer hidrodinamikailag értelmet.

teg képtelen csillapítani, a megzavarások egy része “kijut” az alaprétegen túl a turbulens áramlásba. Így az áramkép átmeneti jelleget mutat, mind a Reynolds-szám, mind az érdesség hatása érvényesül.

H az előző két esethez képest, vagy a

hoz képest kicsiny. A csőfal egyenetlenségei által előidézett megzavarásokat semmi sem csillapítja,csere mellett a viszkózus erők a fal közvetlen közelében is elhanyagolhatóan ki-csinyek. Az áramkép jellegét csak a k/D relatív érdesség befolyásolja, a cső visel-kedése hidraulikailag “teljesen érdes”, a Reynolds-számtól független.

E három áramlási tartomány függését a Reynolds-számtól és az érdességtől a 18.1. ábra mutatja. Jól látható, hogy a “sima” vagy “érdes” cső nem pusztán geometriai fogalom, hanem csak egy adott áramlásban, a Reynolds-s

18.2. A hidraulikailag érdes csőfal

A hidraulikailag teljesen érdes csőre vonatkozó ellenállástényező meghatározásá-hoz tekintsük a 18.2. ábrát! A csőfal egyenetlenségei túlnyúlnak a lamináris alap-réteg δ vastagságán. Mivel az érdességet jellemző k hosszúság még mindig sokkal kisebb a cső sugaránál, elfogadható közelítésnek tűnik, hogy a falat burkoló k vastagságú “rétegben” állandónak vesszük a látszólagos turbulens csúsztatófe-szültség értékét. Feltesszük továbbá, hogy ennek nagysága a faltól k távolságban adódó, vk sebességre vonatkozó kinetikus energiától, valamint a vk-val és k-val képzett Reynolds-számtól függ:

τ τν

ρR kk

kf v k v= =⋅⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅' 2 (18.25)


A súrlódási sebesség bevezetésével

vv

f vv

v k

k

k*2

2 = ⋅⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

∗

∗ν

(18.26)

írható. Ebből az összefüggésből kitűnik, hogy a vk/v* hányados csak az érdességi Reynolds-szám függvénye:

vv

v kk ∗= ⎛⎝⎜

⎞φν∗

Ismeretes, hogy a sugármenti sebességeloszlásra nyert (18.8) összefüggés vmax integrációs állandója egy határozatlan additív paraméter. Ez csak a vk/v* értékének felhasználásával válik egyértelművé, s magában foglalja az érdesség hatását.

Ugyanis

⎠⎟ (18.27)

v v R k R kk = +−

+ −−⎛

⎜⎞⎟

⎡⎢

⎤⎥max ln1 1 (18.28)

v v R R∗ ∗ ⎝ ⎠⎣⎢ ⎦⎥κ

Mivel k << R, sorbafejtés után az alábbi egyszerűsítések végezhetők el:

R k− ⎛ ⎞R - k R

kR

≅⎝⎜

⎠⎟ ≅1

2; ln ln 1-

R (18.29)

Ezek felhasználásával:

φκ

= = + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∗ ∗

vv

vv

kD

k max ln1 1 (18.30)

Másrészt az átlagsebességre nyert

c v= − −⎛

⎜⎞⎟max 1 25 4

v v∗ ∗ ⎝ ⎠12 5κ(18.31)

összefüggést felhasználva vmax/v* kiküszöbölhető.

cv

kD∗

= − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

φκ1 2 283, ln (18.32)

Figyelembe véve, hogy

cv∗

=8λ

(18.33)

ényezőre az ellenállást


8 1= −ln 2 233

λ κ κφ+

,Dk

(18.34)

κ paraméter érdes csőre is ugyanaz a tén, míg a φ paraméternek az érdességi Reynolds-számtól való függését ta-

eredményt. Kis Rek értékeknél emelkedő egyenest

kapunk, ami hidraulikailag sima csőre vonatkozik. A Re > 70 tartományban a ízszintes egyenes egyértelműen az önmo

lévén, λ csak a relatív érdesség függvénye.

adódik. A konstans, mint sima cső ese-

pasztalati úton, az ellenállástényező kísérleti meghatározása révén állíthatjukelő. A 18.3. ábra mutatja az

k

v dellezés jele, itt φ értéke állandó

18.3. ábra. Hidraulikailag érdes c

jelöli ki. A kettő között, a ma- tartozik. Végül a konstansok

meghatározása és tízes alapú logaritmusra történő áttérés után az érdes cső llenállástényezőjére az

ső ellenállása

Ez tehát a hidraulikailag érdes viselkedés zónájátximumot mutató görbe az átmeneti tartományhoz

e

1 2 3 715Dλ

= lg ,k

(18.35)

gyenlet adódik.

e


Végül az erpolációs formulát használ-h

átmeneti tartományban a Colebrook-féle intatjuk, amely szerint

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+−=λ Re

51,2D715,3

klg21 (18.36)

Meg kell jegyeznünk, hogy a k érdességi mérőszám bár hosszúság dimenziójú, nem csupán geometriai paraméter, nem jelent valamilyen megmérhető hosszúságot. A durvább felületi érdességhez ugyan nagyobb k érték tartozik, de k geometriai és áramlástani viszonyoknak csak tapasztalati úton meghatározható függvénye.

Egy vízszintes, L hosszúságú, D átmérőjű csővezetékben a súrlódási nyomásvesz-teség a cső két vége közötti nyomáskülönbséggel egyenlő:

21 pp'p −=Δ (18.37)

tehát a nyomások mérésével meghatározható. A csőben kialakuló c átlagsebesség is megmérhető valamilyen áramlásmérő műszerrel, mérőperemmel vagy Venturi csővel. Ezekkel a csősúrlódási tényezőt a

2cL'pD2

ρΔ

=λ (18.38)

összefüggéssel számíthatjuk. Ha a cső hidraulikailag érdes viselkedésű, az

k

D715,3lg21=

λ (18.39)

formulából az érdességi mérőszám a

D10715,3k 21

⋅⋅= λ−

(18.40)

egyenletből szám

Ha a cső az átm ő a relatív

ítható.

eneti tartományban üzemel, a csősúrlódási tényezérdességtől és a Reynolds-számtól egyaránt függ. Ekkor a közeg ρ sűrűségén kívül a ν kinematikai viszkozitási tényezőjének ismeretére is szükség van.

A Colebrook-összefüggésből kifejezve

⎟⎟⎠λe

(18.41) ⎞

⎜⎜⎝

⎛−= λ

−

R51,210D715,3k 2

1

ilvánvaló, hogy hidraulikailag sima viselkedésű csőben, az gyébként meglévő érdességet meghatározni nem lehet.

az eredmény. Nye


PÉLDÁK 1. 1000 m hosszú, 100 mm átmérőjű D/k=1000 relatív érdességű, vízszintes,

hidraulikailag érdes viselkedésű csőben víz áram 3

cső két vége között 1 bar a nyomáskülönbség. MA súrlódásos Bernoulli egyenlet

lik. Sűrűsége 1000 kg/m . A ekkora a tömegáram?

'pghρ2

cρpghρ

2c

ρp 2

22

21

21

1 Δ+++=++

Mivel c1 = c2, és h1 = h2 p1 –p2 = Δp’

A Weisbach-egyenletből

ρλ=

Lc

A csősúrlódási tényező hidraulikailag érdes csőre

D2 Δ 'p

( )0196,0

3715lg2 21

kD715,3lg2

12 ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=λ

Ezzel

s100010000196,01000001,02c

⋅⋅⋅⋅

=m01,1=

A tömegáram

s93,701,11000 =⋅

kg

414,31,0cρ

4πDm

22⋅

⋅=⋅⋅=&

ú, 200 mm átmérőjű, hidraulikailag sima viselke-

40000pp'p =−=Δ

A Weisbach-egyenletből

2. Vízszintes, 1 km hossz

désű csőben 1000 kg/m3 sűrűségű víz áramlik. A keresztmetszeti átlagse-besség 1 m/s, a cső két vége között 0,4 bar a nyomáskülönbség. Mekkora a kinematikai viszkozitási tényező?

Vízszintes csőben h1 = h2, 2

21 N/m

016,0110001000

400002,02cρL

'pD2λ 22 =⋅⋅

⋅⋅=

Δ=


Hidraulikailag sima viselkedésű cső esetén

,51,2λRelg2

λ1

=

ebből kifejezhető a Reynolds-szám:

17801610016,051,210

λ51,2Re 016,02

1

λ21

=⋅=⋅=

Így a kinematikai viszkozitási té ző nye

sm10123,1

1780162,01⋅

ReDc 2

6−⋅==⋅

3. 100 km hosszúságú, 300 mm átmérőjű hidraulikailag sima viselkedésű kai viszkozitási tényezőjű

olaj áramlik, keresztmetszeti átlagsebessége 1 m/s. Mekkora a súrlódási nyomásveszteség? A hidraulikailag sima viselkedésű cső csősúrlódási tényezőjét iterációval számítjuk. Az iteráció kezdő értéke λ0 = 0,025.

nolds-szám

ν =

csőben 800 kg/m3 sűrűségű, 2⋅10-5 m2/s kinemati

A Rey

15000102

3,01νDcRe

5=

⋅⋅

=⋅

=−

Ezzel

02824,0

51,251,2 ⎟⎠

⎜⎝⎟

⎠⎜⎝

025,015000lg2

1

λRelg2

1λ 220

1 =

⎟⎞

⎜⎛ ⋅

⋅

=

⎟⎞

⎜⎛

=

02774,0

51,202824,015000

lg2

1λ 22 =⎞

⎜⎜⎛ ⋅

=

⎟⎟⎠ ⎝

02781,0

51,202774,015000

lg2

1λ 23 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

02780,0

51,202781,015000

lg2

1λ 24 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=


Miután az első három értékes számjegy megegyezik az iterációt befejezzük, s a λ4 = 0,0278 értékkel számítjuk a súrlódási nyomásveszteséget.

bar37mN271.707.3

21800

3,02D1000000278,0cLp 2

22, =⋅⋅=ρλ=Δ

4. Egy olajszállító vezeték átmérője 300 mm, hossza 100 km és az áramlás irányában 35 m-t emelkedik. A csőben 1 m/s keresztmets eti átlagsebes-

, 10-5 m2/s kinematikai viszkozitási tényezőjű olaj. A cső két vége között 48 bar a nyomáskülönbség. Mekko-ra a csősúrlódási tényező?

A súrlódásos Bernoulli-egyenlet

=

zséggel áramlik a 900 kg/m3 sűrűségű

,'pghρ2

cρpghρ2

cρp 2

22

21

21

1 Δ+++=++

mivel c1 = c2

( ) ( ) 22121 mN44909853581,99004800000hhgρpp'p =−⋅+=−+−=Δ

letből a csősúrlódási tényező A Weisbach egyen

0299,01900100000

44909853,02cρL

'pD2λ 22 =⋅⋅

⋅⋅=

⋅Δ

=

5. Egy vízszintes csővezetéken az alábbi összetartozó tömegáram-nyomáskülönbség érték párokat mérték két különböző üzemállapotban:

( ) 21211 N/m 200pp kg/s 10m =−=&

( ) 22212 N/m 800pp kg/s 20m =−=&

Milyen áramlás alakult ki a csőben?

Vízszintes csővezetékben

21 pp'p −=Δ A súrlódási nyomásveszteségek a két üzemállapotban

2c

ρDLλp

21

1,1 ⋅⋅=Δ


2cρ

DLλp

22

2,2 =Δ

Elosztva a második egyenletet az elsővel

21

22

1

2,1

,2

cc

λλ

pp

⋅=ΔΔ

A sebességeket kifejezzük a tömegáramokkal

π== 2

1.

122 Dm4c ;

Dm4c&

Így a sebességek hányadosa a

2

tömegáramok hányadosával helyettesíthető:

211

222

,1

,2

mλmλ

pp

⋅=

ΔΔ &

A csősúrlódási tényezők hányadosa

1400100

200800

mm

pp

λλ

22

21

,1

,2

1

2 =⋅=⋅ΔΔ

=&

&

A két különböző sebességhez tartozó csősúrlódási tényezők csak a hidraulika g

iszen ott λ értéke független dessége viszont azonos.

6. Egy 300 mm átmérőjű, 100 km hosszú csővezeték az áramlás irányában

30 m-t emelkedik. Az áramló folyadék gazolin (ρ = 700 kg/m3, ν = 0,3⋅10-6 m2/s). A cső relatív érdessége D/k = 10 000, a térfogatáram 0,1 m3/s.

Az áramlás keresztmetszeti átlagsebessége

ilaérdes viselkedésű tartományban lehetnek egyenlők, ha Reynolds számtól, ugyanakkor a csőnek a relatív ér

Mekkora a súrlódási nyomásveszteség? Mekkora a cső két vége közötti nyomáskülönbség?

sm415,1

14,33,01.04

DQ4c 22 =

⋅⋅

=π

=

A Reynolds-szám

1415000103,0

3,0415,1DcRe 6 =⋅

⋅=

ν⋅

= −

Ez a Reynolds-szám és relatív érdesség értékp diagram alapján az át-ítjuk a csősúrlódási

tényezőt. Az iteráció kezdő értékének a λ0 = 0,014 értéket választjuk.

ár a Moodymeneti tartományba esik, ezért a Colebrook-formulával szám


01305,0

371501

014,01lg2

D151,2lg2 ⎢

⎢⎣

⎜⎜⎝

−⎥⎥

⎢⎢

⎟⎟

⎜⎜

+− 41500051,

1

k715,3Re

1221 =

⎥⎥⎦

⎤⎡⎟⎟⎠

⎞⎛+

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

λ

=λ2

01308,0

371501

01305,0141500051,2lg2

2

⎢⎡

⎜⎜⎛

+−

12 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎣⎟⎟⎠

⎞

⎝

=λ

01308,0

37150151,2lg2

23

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+−01308,01415000

1=

⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝

=λ

Az iteráció harmadik ciklusa azonos eredmén t hozott, λ2 = λ3 ezzel számo-ylunk súrlódási nyomásveszteséget

2

22

mN3051360

2415,1700

3,010000001308,0

2cρ

DLλ'p =⋅⋅⋅==Δ

A cső két vége közötti nyomáskülönbség

( ) bar 57,32mN325737030513603081,9700'phhgρpp 21221 ==+⋅⋅=Δ+−=−

7. 1000 m hosszú, 200 mm átmérőjű csővezeték az áramlás irányában 5 m-t emelkedik. A cső két végpontja között 1 bar a nyomáskülönbség. A csőben 1000 kg/m3 sűrűségű víz áramlik 1 m/s keresztmetszeti átlagsebességgel. A cső viselkedése hidraulikailag érdes. Mekkora a relatív érdessége?

A súrlódásos Bernoulli-egyenletből

( ) 235

2121 mN50950581,91010hhgρpp'p =⋅⋅−=−+−=Δ

letből A Weisbach egyen

0204,0110001000

509502,02cρL

'pD2λ 22 =⋅⋅

⋅⋅=

Δ⋅=

Az érdes cső ellenállástényezője

kD715,3lg2

λ1

⋅=


amiből a relatív érdesség

856715,3

10715,3

10kD 0204,02

1

λ21

===

8. 4000 m hosszú, 200 mm átmérőjű csővezeték nyomvonala az áramlás

irányában 16 m-t süllyed. A cső két vége között 1 bar a nyomáskülönb-ség. A csőben 950 kg/m3 sűrűségű kőolaj áramlik 1 m/s keresztmetszeti átlagsebességgel. A cső hidraulikailag sima viselkedésű. Mekkora az olaj kinematikai viszkozitási tényezője?

A súrlódásos Bernoulli-egyenletből

( ) 22121 m A Weisbach egyenletből

5 N2491121681,995010hhgρpp'p =⋅⋅+=+−=Δ

02622,019504000

2491122,02cρL

'pD2λ 22 =⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅Δ⋅

=

A csősúrlódási tényező sima csőre

,51,2λRelg2

λ1

=

ami l a Reynolds-szám bő

189691002622,051,210

λ51,2Re 02622,02

1

x21

=⋅=⋅=

A kinematikai viszkozitási tényező a

Reynolds-számból

9. Egy vízzel telt nyitott tartályból 20 m hosszú, 100 mm átmérőjű vízszintes csövön át ömlik a szabadba a víz. A cső hidraulikailag érdes viselkedésű, relatív érdessége D/k = 1000. A tartály vízszintje 1 m-rel van a kiömlő ke-

a fölött. Mekkora a kiömlési sebesség? A súrlódásos Bernoulli egyenlet resztmetszet középpontj

'pghρ2cρpghρ

2cρp 2

22

21

21

1 Δ+++=++

Mivel p1 = p2 = p0, h1 – h2 = H, 21c 2

2c<< , a Weisbach egyenlet felhasználásával

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

DLλ1

2c

ρgHρ22


Ebből a kifolyási sebesség:

DLλ1

gH2c2+

=

A csősúrlódási tényező érdes csőre

( )0196,0

3715 lg21

kD715,3 lg2

1λ 22 ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Ezzel

sm997,1

11,0

200196,0

181,92c2 =+⋅

⋅⋅=

10. Egy 2 m átmérőjű, vízzel telt nyitott tartályból 10 m hosszú, 100 mm lik ki a víz a szabadba. A víztükör

ala fölött. A cső hidraulikailag érdes viselkedésű, relatív érdessége D/k = 1000. Mennyi idő alatt csökken a tartály vízszintje 1 m-rel?

yenlet

átmérőjű vízszintes csövön át ömm magasan van a cső középvon

A súrlódásos Bernoulli-eg

'pghρ2

cρpghρ2

cρp 2

22

21

21

1 Δ+++=++

s ebben az esetben p1 = p2 = p0,

22

21 cc << ,

h2 = 0 miatt

2

1gh2=2

DLλ1+

Másrészt

c

dtdh1c1 −=

A kontinuitási egyenlet


,c4πD

c4πD

2

22

1

21 =

amely a sebességeket behelyettesítve a

2

122

21

1 Ddt

dh−

DLλ1

2D+

=

összefüggésre vezet. A változókat szétválasztva a

gh

1

12

2

1

hdh

g2DLλ1

DDdt

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

kifejezést kapjuk. Ezt integráljuk a t = 0, h1 = H és a t = T, h1 = h határok között:

,hg2D H 10 2

⎟⎠

⎜⎝

amiből a végeredmény, figyelembe véve, hogy ( )

dhDLλ1D

dth

1T 2

1 ∫∫+

⎟⎞

⎜⎛

−=

0196,03715 lg21λ 2 ==

( ) =−+

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=DT

21

⎠⎝h2H2

g2DLλ1

D2

( ) s 48,64122262,19

1,0100196,01

1,02 2

=−+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

11. Milyen hosszú az a 100 mm átmérőjű hidraulikailag sima viselkedésű 1 m/s keresztmetszeti átlagsebesség valamint 1000 kg/m3 sű-

rűség és 10-6 m2/s kinematikai viszkozitási tényező esetén ugyanakkora súrlódási nyomásveszteség keletkezik, mint egy azonos átmérőjű, 1000 m hosszúságú, D/k = 1000 relatív érdességű hidraulikailag érdes csőben?

őben a csősúrlódási tényező

cső, amikor

Az érdes cs

( )0196,0

3715 lg21

kD715,3 lg2

1λ 22 ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

A keletkező súrlódási nyomásveszteség:


2

22

mN98000

211000

1,010000196,0

2cρ

DLλ'p =Δ =⋅⋅⋅=

A sima csőben

10000010

1,01cDRe ⋅==

ν 6 =−

A csősúrlódási tényezőt iterációval számítjuk, a kezdő érték legyen 0,02. Ekkor

01777.0

51,202,0100000

lg2

1

51,2λRe

lg2

1λ 21⎛

=⎞⎛

= 20

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝

01799,0

51,201777,0100000

λ 22 =

⎟⎞

⎜⎛

=

lg2

1

⎟⎠

⎜⎝

01799,0

51,2lg2 ⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝

01801,0100000

1λ 23 =⎞⎛ ⋅

=

01799,0

51,201799,0100000

lg2

1λ 24 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ebben az esetben a Weisbach-egyenletből

m 10891100001799,0

980001,02cλρ

'pD2L 22 =⋅⋅

⋅⋅=

Δ=

A vázolt 100 mm átmérőjű 1000 relatív érdességű csövön, mint szifo-non keresztül áramlik a víz a szabadba. A légköri nyomás 1 bar. Mek-kora a csőben a keresztmetszeti átlagsebesség? Mekkora a nyomás a B, C és D pontban? Ábrázolja az A-E áramvonal mentén az egyes m

12.

e-ság-dimenzióban!

A könyökök súrlódási nyomásveszteségét elhanyagoljuk. A súrlódásos Ber-noulli-egyenlet az AE szakaszra

chanikai energiafajták változását hosszú


BEE

2E

EA

2A

A 'pghρ2

cρpghρ

2c

ρp Δ+++=++

Az állandó csőátmérő miatt a sebesség a csőben végig állandó, de

A csősúrlódási tényező

0EAE2A

2 ppp 0hcc ===⋅>>

( )0196,0

3715 lg21

kD715,3 lg2

1λ 22 ==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Ezzel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛c2

+=D

Lλ1g2

h BEA

ebből

sm965,3

1,0140196,01

381,92

DLλ1

gh2c

BE

A =⋅+

⋅⋅=

+=

A kinetikus energia-hányad is állandó az ívhossz mentén.

m 80,081,92

965,3g2

c=

⋅=

22


Az AB szakaszra felírt Bernoulli egyenletből még hiányzik a veszteség (a tar-tály n a víz nyugalomban van) ba

( ) 25

2

BAAB mN1019497861181,9100010

2cρhhgρpp =−⋅⋅+=−−+=

Hasonlóan adódnak a pc és pD nyomások is

( ) =−−+=2

2cD

Lhhgpp BC

cBBc ρλρ

2

2

725192

965,310001,0

40196,0381,91000101949mN

=⋅⋅⋅−⋅⋅−=

2

22CD

cD mN66356

2965,31000

1,040196,072519

2c

DLpp =⋅⋅⋅−=ρλ−=

Az energia-diagram abszcisszájára az ívhossz, az ordinátára a fajlagos me-chanikai energia értéke kerül m mértékegységbe. Az összenergia az A pontban:

m 13103gρ

phE 0

AA =+=+=

Az összes veszteség a BE szakaszon

m 2,28,01,0

140196,0h,BE =⋅⋅=


13. Két hidraulikailag érdes viselkedésű csőág párhuzamos kapcsolásban vizet szállít két csomópont között. Az egyes csőágak adatai:

L1 = 1000 m, D1 = 0,1 m 1000kD

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1

L2 = 1500 m D2 = 0,3 m 3000kD

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Az első csőágon a keresztmetszeti átlagsebesség c1 = 0,8 m/s. Mekkora a két csőágon együttesen szállított térfogatáram?

Az A és B csomópontok közé mindkét csőágra súrlódásos Bernoulli-egyenletet írunk fel:

,1B

2B

BA

2A

A pghρ2

cρpghρ

2c

ρp Δ+++=++

,2B

BBA

AA pghρ

2ρpghρ

2ρp Δ+++=++

22 cc

. A Weisbach egyenletből Nyilvánvaló, hogy ,2

,1 pp Δ=Δ

2cρ

DLλ

2cρ

DLλ

22

2

22

21

1

11 =

Kiszámítjuk a csősúrlódási tényezőket:

( )0196,0

1000715,3 lg21λ 21 =

⋅=

( )0153,0

30003,715 lg21λ 22 =

⋅=

Behelyettesítve

sm28,11

1,03,0

15001000

0153,00196,0c

DD

LL

λλ

c 11

2

2

1

2

12 =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

Az eredő térfogatáram:

sm0968,028,1

4π3,08,0

4π1,0c

4πDc

4πDQQQ

322

2

22

1

21

21 =⋅⋅

+⋅=⋅+⋅=+=


14. Egy 100 km hosszúságú, 300 mm átmérőjű D/k = 500 relatív érdességű cső-vezeték 900 kg/m3 sűrűségű kőolajat szállít, 1 m/s keresztmetszeti átlagsebes-séggel. Az elöregedett vezeték 60 km szakaszát felújítják, azonos átmérőjű, D/k = 5000 relatív érdességű cső beépítésével. Mennyivel nő az elszállítható térfogatáram, ha az áramlást fenntartó nyomás-különbség változatlan ma-rad? A cső mindkét esetben hidraulikailag érdes viselkedésű.

A súrlódásos Bernoulli egyenlet az eredeti és felújított vezetékre:

,E2

22

21

21

1 pghρ2

cρpghρ2

cρp Δ+++=++

,F2

22

22

21

1 pghρ2

cρpghρ

2c

ρp Δ+++=++

Nyilvánvaló, hogy a súrlódási nyomásveszteségek megegyeznek:

A felújított vezetékben a régi és az új csőszakaszok sorbakapcsolódnak: az át-áramló mennyiség mindkettőn ugyanaz, a súrlódási nyomásveszteségek vi-

,u

,E pp Δ=Δ .

szont összeadódnak. A csősúrlódási tényezők

( )0234,01λ 2E ==

500715,3lg2 ⋅

( )0137,0

5000715,3 lg21

=λ 2u =⋅

Az eredeti cső ási ny ége vezeték súrlód omásvesztes

2E

E,E m

35100002

9003,0

0234,02

ρD

λp =⋅⋅⋅==Δ

A felújított vezetékben

22 N1100000cL

=+=Δ=Δ2

cLcL 22

ρD

λ2

ρD

λpp Fuu

FE

,F

,E

2c

9003,0

600000137,02

c900

3,0400000234,0

2F

2E ⋅⋅⋅+⋅⋅=

Itt LE és LF az eredeti és az új csőszakaszok hossza a felújítás után. Ebből a felújítás utáni sebesség

sm154,1

600000137,0400000234,035100003,0pD2cF ⋅

⋅Δ=

9002

LλLλρ uuEE

,E =

⋅+⋅=

+ A sebesség, s ezzel a térfogatáram az eredetinek 11,54 %-val nőtt.

A turbulens áramlás dinamikai hasonlósága 146

19. A TURBULENS ÁRMALÁS DINAMIKAI HASONLÓSÁGA

A lamináris áramlások dinamikai hasonlóságának analógiájára a turbulens áramlások dinamikai hasonlóságának is az az alapvető feltétele, hogy a hason-ló áramlásokra vonatkozó dinamikai egyenletek nem lehe ek egymástól line-áris azaz csupán egy konstans szorzóban különbözhetnek. Ezen kívül az szereplő mennyiségeknek azonos térbeli és időbeli feltételek által kijelölt pontokban adódó értékei egy minden pontra vonatkozó-an azonos, állandó léptékszorzóval térhetnek el egymástól. A II. Newton-axiómát kifejező impulzustétel a csőben kialakuló turbulens áramlásban a

tnan függetlenek,

egyenletekben

( ) ,z

,r

2112 vv

Rρ2

drdv

Rμ2

Lppgρcc

Lcρ

−+−

+=− (19.1)

lakban érvényes. Ez csak a jobb oldalon álló utolsó tagban, a látszólagos turbu-alens nyíróerőt kifejező ,

z,r vv

Rρ2

−

ben különbözik a lamináris áramlásra vonatkozó 14.3. egyenlettől. A laminá-áramlás esetén kapott hasonlósági kritériumok: a Reynolds; az Euler-, a ude-számok mellett a turbulens impulzuscseréből is származtathatunk egy onlósági számot. Ha a tehetetlenségi erőket a turbulens kever

elemris Frohas edésből adódó erőv

el vetjük egybe, a 14. fejezet jelöléseit használva a

L

Tρ

L

2cρ

ααα

ααα ⋅

= (19.2)

összefüggést kapjuk. Ebben αT a ,z

,r vv mennyiség, tehát a turbulens sebességin-

gadozások szorzatának időátlagának a léptékszorzója. Elvégezve a lehetséges egy

Ebb

szerűsítéseket: 2cT αα = (19.3)

ől adódik a

2

,z

,r

cvv

Ka = (19.4)

feltétel, amelyet Kármán-féle hasonlósági kritériumnak neveznek. Az egyértelmű-

ség ,i feltételek kielégítése végett a jellemző zr vv értén adódó ingadozás-időátlagot, illetve a keresztmetszeti

, kn k a vizsgált tartomány határá átlagsebességet vesszük.

e


A turbulens áramlás sztochasztikus folyamat. Ennek ellenére értelmezhető két turbulens áramlás hasonlósága is, ekkor azonban nem a változók pillanatnyi érté-kei, hanem ékek eloszlásfüggvényei alapján inősíthe-tő a .

Vegyük tehát a turbulens impulzuscserét kifejező

az azokból képzett átlagért két áramlás hasonlósága

m

,z

,r vv me yiség jellemzésére

annak a lamináris alapréteg határán, vagy az érdes csőfalon adódó értékét. Ekkor

nn

2

behelyettesítjük a Weisb

gJRvv δRr,z

,r =−=

(19.5)

Ha ach-egyenletből a J = h’/L helyére a veszteségmagas-ság értékét,

8λKa = (19.6)

adó lás hason-lóságát kívánjuk biztosítani, a Kármán-szám azonossága a csősúrlódási tényezők azonosságára egyszerűsödnek:

λ1 = λ2 (19.7)

A Kármán-szám mellett természetesen a Reynolds-szám azonossága szükséges a dinamikai hasonlóság fennállásához.

A Moody-diagramon jól szembetűnnek a turbulens áramlások hasonlóságának feltételei.

A hidraulikailag sima viselkedésű csőben a csősúrlódási tényező csak a Reynolds-számtól függ, s bármely átmérő, sebesség, felületi érdesség, anyagi minőség ese-tén egyetlen görbére esik. A Reynolds-számok megegyezése, akárcsak a lamináris áramlásoknál biztosítja a két áramlás dinamikai hasonlóságát.

Az átmeneti tartományban a csősúrlódási tényező a Reynolds-számtól és az érdes-ségtől is függ. Ez jól látszik a diagramon, hiszen egy bizonyos Reynolds-számhoz minden egyes relatív érdesség esetén más-más λ tartozik. Tehát a Reynolds-számok és a csősúrlódási tényező értékek is meg kell egyezzenek.

A hidraulikailag érdes viselkedés-tartományban a csősúrlódási tényező független a Reynolds-számtól. Ennek megfelelően minden egyes relatív érdességhez egy vízszintes egyenes tartozik. Ebben a zónában a λ1 = λ2 feltétel a

dik. Ha tehát két különböző kör-keresztmetszetű csőben folyó áram

21 kD

kD

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

feltétellé válik, vagyis a hasonlóság a relatív érdesség-értékek azonosságát követeli meg.


A turbulens áramlások mindazonáltal legtöbbször ennél bonyolultabb képetnak: térb

t mu-en és időben változó, tetszőleges tengelyirányú örvények keletkezésé-

mlásával járnak. Az örvények mérete nagymértékben változik. A

. A nagyméretű örvények jellemzői az áramlás peremfeltételeitől függnek: a lamináris lapréteg eltűnése a hidraulikusan érdes viselkedéstartomány

ségtől függő, nagymértékben anizotróp, tehát irányfüggő örvények megjelenését ozza magával. Ezek a nagy örvények kinetikus energiájukat az időátlagokkal llemzett „főáramlás” mechanikai energiájából vonják el. Periodikusan ismétlődő

kinetikus energiája szétszóródik, egyre kisebb örvények kinetikus energiájává, majd súrlódási hővé disszipálódik. Ez az ún. energia-

A turbulens áramlások tehát lokálisan izotrópok.

turbulencia mértékének jellemzésére a makségeiből levezetett Re és Ka mellett a mikroszerkezetet jobban tükröző turbulen-cia-fokot is használják: ez a Kármán-számmal rokon mennyiség:

tavel és szétbonagy örvények nagyságrendje keletkezésük, növekedésük folyamán kiterjedhet a teljes cső-, vagy csatorna keresztmetszetre. A kis örvények mérete a 0,1 mm-es határ alatt is lehet. Az áramlásban jelen levő legnagyobb és legkisebb örvények méretének hányadosa a Reynolds-szám függvénye. Minél nagyobb a Reynolds-szám, annál kisebbek a legkisebb örvények a nagyokhoz képest.

A nagyméretű örvények befolyásolják alapvetően a turbulens áramlásban felerő-södő transzportfolyamatokat: a tömeg-, az impulzus- és az energiaátadást

a ban a relatív érdes-

hjejelenség a nagy örvények kifejlődése, majd feldarabolódása egyre kisebb örvé-nyekké. A nagy örvények

kaszkád elemészti az energiát és az anizotrópiát, minél kisebb az örvény, annál inkább izotróp a turbulencia.

A turbulens áramlásokra egy sajátos kettősség jellemző: egyidejűleg van jelen a nagy örvényekre jellemző anizotrópia és a kis örvények izotrópiája.

A roszkopikus áramlás törvényszerű-

,v3

vvv 12z

12y

12x ++

Tu 2=

ely a sebességingadozások négyzetének idz.

elentőséget elsősorban a térbeli áramláialakuló egydimenziós turbulens áramlá

alapuló differenciálegyenletek megoldásával a mérnöki gyakorlat számára

am őátlagát viszonyítja az időbeli átlagsebességhe

J sok vizsgálatában kap: a csövekben k sok a keveredési úthossz-elméleten

kellő pontossággal számíthatók.

Moody-diagram 149

20. MOODY-DIAGRAM A hasonlóságelmélet szerint főleg tapasztalati úton nyert összefüggések általáno-sítása válik könnyebben felismerhetővé, ha nem a közvetlenül a mért mennyisé-

ező összetartozó értékeit ábrázoljuk egy log-l

(18.18), (18.28) és (18.29) összefüggésekkel

gek, hanem az azokból képzett hasonlósági invariánsok közötti függvénykapcso-latot ábrázoljuk diagramokon. A súrlódásos folyadékok áramlásának jellemzésére rendkívül alkalmas diagramot kapunk, ha a Reynolds-szám és a csősúrlódási té-ny og léptékű diagramon.

A (18.3), meghatározott ellenállástényező-értékeket Moody a 20.1. ábrán feltüntetett ellenállástényező-diagramon foglalta össze. A diagrammon egy sor érdekes megfigyelést tehetünk.

20.1. ábra. A Moody-féle ellenállástényező-diagram

Amíg a Reynolds-szám kisebb, mint a lamináris-turbulens átmenet helyét kijelölő

Rekrit = 2300 érték az összes mérési pont - különböző átmérők és érdességek mel-lett - egyetlen egyenesre esik. A logaritmikus léptékű koordinátatengelyek miatt ugyanis a lamináris áramlásra vonatkozó

Re64

=λ (20.1)

Moody-diagram 150

hiperbola képe egyenes. Ez megfelel annak a ténynek, hogy a lamináris áramlásra vonatkozó ellenállástényező független a felületi érdességtől, s csak az áramló folyadék fizikai tulajdonságai befolyásolják.

A lamináris-turbulens átmenetnek a megfelelő Reynolds-szám tartomány-ban a labilis áramképnek megfelelően az ellenállástényező értéke is telje-sen rendszertelenül szór, a minimális 0,02758 értéktől a legnagyobb k/D érték által meghatározott turbulens értékig.

A turbulens tartományban a hidraulikailag sima csőnek a görbesereget alulrólhatároló görbe felel meg. Jól megfigyelhető, hogy közvetlenül az átmeneti pont után a néhány legnagyobb relatív érdességhez tartozó görbe-ág kivételével az összes érdességfüggő görbe a sima csőre vonatkozó minimális ellenállástényező görbéjéhez csatlakozik. A Reynolds-szám növekedésével a lamináris alapréteg egyre kisebb vastagságú lesz, s egyre finomabb érdességfokozathoz tartozó csö-vek válnak hidraulikailag érdessé, s egy átmeneti, a Reynolds-számtól független, csak a relatív érdességtől függő vízszintes egyenesekké fajulnak.

Határozottan kirajzolódik az érdességi Reynolds-szám függvényében megkülön-böztetett három zóna. A Re* = 3 értékhez az

⎟⎟⎠

⎞⎛ λRe1 (20.2) ⎜⎜⎝

=λ 51.2

lg2

határgörbe, a sima cső ellenállásgörbéje tartozik. A Re* = 70 görbe jól láthatóan választja el az

⎟⎠

⎜⎝λ k

715,3lg2

érdesség-paraméteres egyenessereget az átmeneti tartománytól, ahol a Colebrook-féle interpolációs formula érvényes.

⎞⎛ D1 = (20.3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ

+−=λ Re

51,2D715,3

klg21 (20.4)

Hangsúlyozni kell, hogy a valóságban minden cső többé-kevésbé érdes, a cső

ailag sima viselkedésű, átmeneti és érdes viselkedésű tarto-

égét, tehát a Reynolds-számot.

Elegendő a kis áramlási sebességeknél az áramlás lamináris, a cső érdessége nem befolyásolja a csősúrlódási tényező értékét. A csőben áramló folyadék állapotát a diagramon az 1. pont jelzi.

anyagi minőségétől és a csőgyártás technológiájától függően. A MOODY-diagramon hidraulikmányokat találunk. Ugyanaz az adott cső a Reynolds-számnak és a relatív érdes-ségnek a függvényében lehet sima, átmeneti, vagy érdes viselkedésű.

Tekintsük a 20.2. ábrát. Egy bizonyos csőben egy csap nyitásával lehet növelni az áramlás keresztmetszeti átlagsebess

Moody-diagram 151

1

3

20.2. ábra. Üzemállapotok változása a Moody diagramon A sebességet növelve a Reynolds-szám is nő, egészen a 2320-as értékig, s az áramlást reprezentáló pont a diagramon az 1-től a 2 felé mozog.

A lamináris-turbulens átmenet során az áramlás a 3. ponttal jellemzett állapotba kerül, a hidraulikailag sima viselkedésű cső görbéjén.

Tovább növelve a Reynolds-számot a lamináris alapréteg egyre vékonyabb lesz, a csőfal érdességeit már nem takarja be. Ez az állapot a diagram 4. pontjában látha-tó. A 3-4 szakaszon λ csak a Reynolds-számtól függ, a cső sima viselkedésű.

A 4-5 pontok között a lamináris alapréteg tovább vékonyodik, mint összefüggő képződmény az 5. pontot elérve megszűnik. A 4-5 átmeneti szakaszon a csősú ó-dási tényező egy ől. Erre vonatkozik a CO

rlaránt függ mind a Reynolds-számtól, mint az érdességtLEBROOK-formula.

Az 5. ponttól kezdve a csősúrlódási tényező nem függ a Reynolds-számtól, hiszen el-tűnt az összefüggő lamináris alapréteg. λ csak a relatív érdességtől függ, ezt a hidrauli-kusan érdes viselkedésű tartományt ábrázolja az 5. pontból induló vízszintes egyenes.

2

45

Vízszintes gázszállító csővezeték súrlódási nyomásvesztesége 152

21. VÍZSZINTES GÁZSZÁLLÍTÓ CSŐVEZETÉK SÚRLÓDÁSI NYOMÁSVESZTESÉGE

A nyomás abszolút értékéhez képest kis nyomásváltozással járó áramlásban a gázok összenyomhatatlan közegeknek tekinthetők. Ha az áramlási sebesség kicsi és a cső hossza is az, akkor a súrlódási nyomásveszteség csak kis nyomás- és sűrűségválto-zást okoz. Ilyen áramlás alakul ki a porszívó szívócsövében vagy egy kéményben.

iszen az állandó

Hosszú csővezetékekben, bár az áramlás sebessége kicsiny, a súrlódási nyomás-veszteség jelentős, s ez a nyomáscsökkenés egy lassú, de el nem hanyagolható expanziót okoz. A gázzal töltött csővezeték hőkapacitása sokkal kisebb, mint a vezetéket körülvevő talajtömegé. Így a csőben kialakuló lassú expanziót izotermi-kusnak tekinthetjük, s amennyit hűlne a gáz az expanzió miatt, azt a csőpaláston át a talajból érkező hőáram kiegyenlíti. Tekintsünk egy vízszintes csővezetéket, amelyben a helyzeti energia változása nulla. A súrlódásos Bernoulli egyenletet most csak egy elemi dx hosszúságú csőszakaszra írhatjuk fel, hcsőkeresztmetszet ellenére a sebesség és a sűrűség az expanzió miatt változik. Ebben az esetben egy elemi hosszúságú szakaszra a

0'dpdpcdc =ρ

+ρ

+ 21.1

egyenletet írhatjuk fel. Az elemi súrlódási nyomásveszteség

2

cdx 2

D'dp ρ⋅λ= 21.2

izonyítható, hogy az expanzió által előidézszállító vezetékekben szokásos 5-10 m/s-os sebességtartományban jelentéktelen,

dp’ = 0 (21.3) lakra egyszerűsödik, azaz

B ett kinetikusenergia-változás a gáz-

így elhanyagolhatjuk. A súrlódásos Bernoulli egyenlet ekkor a dp +

a

2D

dp ρλ−= (21.4)

Ez a differenciálegyenlet három ismeretlen függvényt tartalmaz: a nyomást, a sűrűséget és a sebességet, tehát még két egyenletre van szükségünk. A kontinuitá-si egyenletet felírhatjuk a csőszakasz 1 indexű beömlő keresztmetszete és egy tetszőleges keresztmetszet közé:

cdx 2

cc11 ρ=ρ (21.5)

Az izotermikus állapotváltozásra érvényes Boyle-Mooriotte törvény szerint

ρ

=pp1 (21.6)

ρ1


A (21.5) és (21.6) egyenletek alapján

1

1pp

ρ=ρ (21.7)

illetve

11 c

pp

c = (21.8)

Behelyettesítve a (21.4) egyenletbe, a

2

cp

Ddxpdp

21

11ρλ−= (21.9)

összefüggést kapjuk. Ezt integráljuk az x = 0, p = p1 és az x = L, p = p2 határok között. Vegyük még figyelembe, hogy λ a csővezeték hossza mentén állandó. Ez hidraulikailag érdes csőnél nyilvánvaló, hidraulikailag sima és átmeneti csöveknél viszont a Reynolds-számtól is függ a csősúrlódási tényező. Vegyük tekintetbe, hogy

ρμ

==cDcDRe (21.10)

ivel a ρc szorzat a kontinuitási tétel miatt állandó, s mivel a dinamikai viszkozitási

vül egyszerű

ν

Mtényező sem változik izotermikus esetben, a Reynolds-szám a cső hossza mentén nem változhat, így λ is állandó minden esetben. Így az integrálás a rendkí

2

cp

DL

2pp 2

111

21

22 ρλ−=

− (21.11)

eredményre vezet. Mivel p1 > p2, a

2111

22

21 cp

DLpp ρλ=− (21.12)

alak használata célszerű. A p1 indító nyomás tehát az L hosszúságú csőszakasz végpontjában a

211112 cp

Dpp

értékre csökken. A súrlódási nyomásveszteség pedig a

Lρλ (21.13) 2 −=

21 pp'p −=Δ (21.14)

összefüggésből számítható. A csőszakasz valamely tetszőleges, a kezdőpontból x távolságra lévő pontjában a nyomás

2111

21 cp

Dxpp ρλ−= (21.15)


Érdekes összehasonlítanunk két azonos méretű, vízszintes csővezeték üzemét. Az egázt, a másik folyadékot szállít azono

ó csőben a nyomás végig lineár

gyik s p1 – p2 nyomáskülönbség hatására. A folyadékot

állít isan csökken, hiszen valamely x helyen sz

2

cDxpp

2

1 ρλ−= (21.16)

A gáz nyomáseloszlását a 21.15 összefüggéssel kiszámítva jól látszik annak nem-lineáris jellege. A beömlő keresztmetszet közelében a gáz kisebb viszkozitása miatt annak nyo-máseloszlása ke-vésbé meredeken változik. Ahogy a gáz expandál, sebes-sége nő, s a nyomás értéke egyre roha-mosabban csökken a cső végpontjához közeledve, s nyilván megegy ik a p2 kiömlő nyomással.

21.1. ábra. Gázsz

ez

Mindezt jól mutatja a 21.1. ábra.

állító vezeték nyomáseloszlása

PÉLDÁK 1. Víz intes gázszállító tá asz hossza 100 km, á

n 50 bar ill. 20 bar a nyomás. Az áramlás izoter-mikus, a hőmérséklet 17oC. A technikai gázállandó 500 J/kgK. Az elté-rési tényező 0,9. A csősúrlódási tényező

400 mm, végpontjaiba

sz vvezeték-szak tmérője

0,012. Mekkora a tömegáram?

Az izotermikus, súrlódásos gázáramlás nyomáseloszlását vízszintes csővezetékben a

2111

22

21 cρp

DLλpp ⋅=−

összefüggéssel számíthatjuk. A ρ1 sűrűség az állapotegyenletből

3

51

1kg31,38

2905009,01050

ZRTp

ρ =⋅⋅

⋅==

1 m


Ennek ismeretében c1 számítható:

( ) ( )s31,38105010012,0

504,0ρLpλppDc 55

11

22

21

1⋅⋅⋅⋅

=⋅

−=

ől a tömegáram:

m04,6102010 102102=

⋅−⋅

Ebb

skg4 08,2904,631,38

41,34,0cρπDm 11

2=⋅⋅

⋅=⋅=&

2. Vízszintes, 100 km hosszúságú, 400 mm nyomással a vezeték kezdőpontjában 4 m/s sebességgel, R = 500 J/kgK

4

átmérőjű csőben 60 bar indító-

gázállandójú, 10 oC hőmérsékletű földgáz áramlik. Az eltérési tényező 0,87. A csősúrlódási tényező 0,013. Mekkora a nyomás a vezeték végpontjában?

Az izotermikus, súrlódásos gázáramlás nyomáseloszlásából

2111 cρpL2

12 Dλpp −=

A kezdőpontban a sűrűség

3

51

1kg62,401050pρ =

⋅⋅⋅

==1 m28350087,0ZRT

Ezt behelyettesítve

bar 38m

1000,38462 22

N,4010504,0

013,01050p 525 =⋅=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅=

mm. A ve-amlása izo-

termikus, a hőmérséklet 10 oC, a technikairési ényező 0,9, a tömegáram 25 kg/s. Mekkora a

lódási tényezőt.

105102

3. Egy vízszintes gázszállító vezeték hossza 180 km, átmérője 400zeték kezdetén 60 bar, végpontjában 20 bar a nyomás. A gáz ár

gázállandó 500 J/kgoC, az elté- t csősúrlódási tényező?

A nyomáseloszlás egyenletéből kifejezzük a csősúr

( )2111

21

cρLppD

λ =

22p−

Az állapotegyenletből a sűrűség:

3kg14,47=

5

1

11 m2835009,0

1060ZRT

pρ

⋅⋅⋅

==


A sebesség a belépő keresztmetszetben

sm22,4254m4c 221 =

11,4714,34,0ρπD 1 ⋅⋅⋅

==&

⋅ Behelyettesítve, a csősúrlódási tényező

( ) 0141,022,411,471060108,1

102010604,0λ 255

102102=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅

=

4. Vízszintes csővezet60 bar, az érkezőMekkora a gáz ny

ékben izotermikusan áramlik a gáz. Az indító nyomás nyomás a 120 km hosszúságú vezeték végén 20 bar. omása 100 km megtétele után?

2111

22

21 cρp

DLλpp =−

2111

2x

21 cρp

DXλpp =−

A második egyenletet az elsővel elosztva

LX

pppp

22

21

2x

21 =

−−

Ebből

( ) ( ) bar 55,30206012010060pp

LXpp 2222

221

21x =−−=−−=

Súrlódásos, izotermikus gázáramlás függőleges kútban 157

22. ÚRLÓDÁSOS, IZOTERMIKUS GÁZÁRAMLÁS FÜGGŐLEGES KÚTBAN

Ismert, hogy az áramló gáz sűrűsége, sebessége csupán egy infinitézimális dz szakaszon tekinthető állandónak. Így a súrlódásos Bernoulli-egyenletet is egy elemi áramvonal-hossz mentén írhatjuk fel a

S

0ρ

'dpgdzρdpcdc =+++ (22.1)

alakban. A z koordináta az áramlás irányába, termeléskor függőlegesen felfelé utat. Az elemi súrlódási nyomásveszteséget a m

2cρ

Ddzλ'dp = (22.2)

differenciális formában felírt Weisbach-egyenlet adja meg. A kontinuitási egyenletet a

ρc=ρ1c1 (22.3)

2

az á az ramlás átlaghőmérsékletén zajló izotermikus állapotváltozást

1

1

ρp

ρp

= (22.4)

össz mbe. Az 1. index a kúttalpon a termelőcső belépő keresztmetszetére vonatkozó referencia értékeket jelöli.

Nagyságrendi meggondolások alapján a cdc kinetikusenergia-tagot elhanyagolhat-juk tt az (22.1) egyenletben. A (22.2) és a (22.3) egyenletek-ből

efüggéssel vehetjük figyele

a másik három mellea sebességet az

pcpc 11= (22.5)

íg a sűrűséget az M

11 p

pρρ = (22.6)

Egyenletből fejezhetjük ki, majd mindkettőt behelyettesítjük a (1) egyenletbe. Kis átalakítással az

D2dzcρpλ

dzppρgpdp

2111

1

2

1 ++ (22.7)

össz

efüggéshez jutunk.


A változókat szétválasztjuk az integrálás előtt

D2cρpλ

pρ

g 21 +p

pdpdz 2111

1

−= (22.8)

alakban, majd integrálunk. Termelésnél a kúttalpon a termelőcs belépő kereszt-met rték tartozik. Az integrál határait fel-cser az

őszetéhez a z = - H, a kútfejhez a z = 0 éélve a negatív előjel pozitívra változik, s

∫ ∫+

=H

0

p

p21112

1

1

1

2D2

cρpλp

pρ

g

pdpdz (22.9)

Egyenlet adódik, amelyben H a kút talpmélysége. Az integrálást elvégezve

D2cρpλ

pgpρ

D2cρpλgpρ 2

111211 +

pln

gρ2p

H 2111

1

221

1

1

1

+= (22.10)

Elvégezve a lehetséges egyszerűsítéseket, s figyelemb véve, hogy e

11

1 ZRTp=

ρ(22.11)

a

D2cλ

pp

g

D2cλ

gln

g2ZRTH

21

2

1

2

21

1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+= (22.12)

z jutunk. Ebből a nyomások hányadosának négyzete kifejezhető: kifejezéshe

Dg2cλ

eDg2cλ

1pp 2

1ZRTgH22

12

1

2 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − (22.13)

Így a kútfejen adódó nyomás

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

gD2cλ

eDg2cλ

1pp21ZRT

gH2212

122 (22.14)


Ebből a termelőcsőben bekövetkező nyomáscsökkenés számítható az

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝−−−−=−

gD2cλ

e1Dg2cλ

e1ppp 1ZRT1ZRT21

22

21 (22.15)

alakban. Itt jól elkülönül az első két tag ho

⎤⎡ ⎞⎛ −− 2gH22gH2

zamtól független statikus nyomása, amely a termelőcsőben felfelé áramló gáz helyzeered, továbbá a hozamtól függő súrlódási nyomásveszteség. Az el

PÉLDÁK

ti energiájának növekedéséből őbbi nem csök-

kenthető, a gáz „kiemeléséhez” szükséges energiahányad, míg az utóbbit befolyá-solhatjuk a termelőcső átmérőjének változtatásával.

1. Egy függőleges gáztermelő kút termelőcsövének hossza 2000 m, átmérője

100 mm, relatív érdessége D/Rszakaszán az őben 70 oC,

a technikai gázállandó 510 J/kgK, akútfejnyomás? Mekkora a kútfejen a

= 1000. A cső hidraulikailag érdes visel-kedésű. A kúttalpon a nyomás 125 bar, a termelőcső kezdeti áramlási sebesség 6 m/s. A gáz átlaghőmérséklete a termelőcs

z eltérési tényező 0,9. Mekkora a sebesség?

A függőleges csőben izotermikusan áramló gáz kútfejnyomása a

gD21e

gD21pp 1RT21

12 −⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+=

egyenletből szám

c2

ítható. A csősúrlódási tényezőre

λcλgH22 ⎞⎛ −

( )0196,01

=3715 lg2

kD3,715 lg2

1λ 22 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

adódik. Behelyettesítve az adatokat

bar 59,1041,062,19

60196,0e1,062,19

60196,01125p2

2435109,02

2 =⋅⋅

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

+= ⋅⋅−

200062,19

⎠

⋅

sm17,7

59,1041256

ppc

c2

112 =

⋅==


2. Egy függőleges gáztermelő kút termelőcsöve 1800 m hosszú, átmérője 100 mm. A kúttalpon a nyomás 120 bar, a kútfejen 100 bar. A kútfe-jen a gáz áramlási sebessége 7,5 m/s. A teséklet 70 oC, a technikai gázállandó 510 J/kgK, az eltérési tényező 0,9. Mekkora a csősúrlódási tényező?

rmelőcsőben az átlaghőmér-

A nyomások hányadosának négyzete a függőleges izotermikus áramlásban:

gD2cλ1ecλ1p 2gH22

12

2⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+=⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ −

gD2p1ZRT

1−

⎠⎝⎠⎝ Ebben még ismeretlen c1 is, de meghatározható a

sm 25,6

1201005,7

ppc

c1

221 =

⋅==

összefüggésből. A csősúrlódási tényezőt kifejezve

0262,0

1e

e 3435109,0 ⋅⋅−

2,11

25,61,062,19

11e

1epp

cgD2λ

3435109,0180062,19

180062,192

2ZRT

gH2

RT2gH22

1

2

21

=

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

=

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⋅⋅

⋅−

⋅

−

−

Nagysebességű súrlódásos gázáramlás 161

23. NAGYSEBESSÉGŰ SÚRLÓDÁSOS GÁZÁRAMLÁS Bizonyos feltételek teljesülése esetén a csővezetékből kiömlő gázsebességig felgyorsulhat, azaz elérheti a helyi hangsebességet. Elegendően nagy nyomású vezetékek esetében a hangsebességgel történő kiömlés minden esetben

A nagy áramlási sebesség miatt a gáz rövid ideig tartózkodik a csőben, nem jön létre érdemi hőátadás, tehát a rendszer adiabatikus

sugár a kritikus

bekövetkezik. A most vizsgálandó jelenség tehát mind az un. közép- mind a nagyközépnyomású vezetékek szakadására egyaránt előfordul.

Matematikai modellünk kiépítése során néhány kézenfekvő előfeltevést teszünk. Ezek az alábbiak:

.

súrlódás miatt a folyamat irreverzibilis, az entrópia az áramlás irányá- Aban monoton növekszik, tehát nem izentropikus.

Az áramlást kísérő termikus állapotváltozás nem izentalpikus, mint a foj-tásnál és nem izentropikus, mint a fúvókában. Ez egy különleges barotróp folyamat, amelyben csupán a tömegáram-sűrűség állandó.

Az állandó tömegáram-sűrűséghez tartozó görbék az entrópia-entalpia di-agramon az ún. Fanno görbék (23.1. ábra) .

23.1. ábra. Fanno görbék

A kinetikus energia mérlegegyenlete stacionárius, egydimenziós, turbulens áram-lásra vonatkozó alakja

0c2Ddxλ

ρdpcdc 2 =++ (23.1)


Az energiamegmaradás tételét a

0

2

ii2c

=+ (23.2)

enlet fejezi ki, ahol i az entalpia értékeegy a szóban forgó pontban, i pedig az ún. tart

A tömegmegmaradás tétele

ρc = ρ1c1 (23.3)

Az yenlet:

0ályentalpia, ez abban a pontban adódik, ahol a sebesség zérus.

egyértelműségi feltételek közé tartozik az állapoteg

ZRTρp

= (23.4)

amelyben Z az ún. eltérési tényező.

A h

angsebességre az

ρpκa 2 = (23.5)

vagy az

a2 = κZRT (23.6)

összefüggés érvényes. Ebben κ az adiabatikus fajhőviszony: az állandó nyomáson és az állandó térfogaton vett fajhők hányadosa:

v

p

cc

κ =

Végül a Mach-szám, a nagysebességű gázáramlások hasonlósági kritériuma teszi teljes-sé formularendszerünket, ez az áramlási sebesség és a helyi hangsebesség hányadosa:

acM = (23.8)

A Mach-szám ismeretében az áramlás minden lényeges jellemzője meghatározha-tó. Egyenleteink rendszerét tehát úgy alakítjuk át, hogy végül csak egyetlen függő változó, a Mach-szám szerepeljen benne. Ez a most következő megoldás lényege.

A (23.1) kinetikusenergia-mérlegből kiküszöböljük a sűrűséget a (23.5) hangse-besség-formula felhasználásával. Ebből

κpa

ρ1 2

= (23.9)


amelyet a (23.1) egyenletbe helyettesítve:

0c2Ddxλ

pdp

κacdc 2 =++ (23.10)

adódik. A

2

pdp

hányadost a (23.4) állapotegyenletből határozhatjuk meg. Ha az

állapotegyenletet logaritmáljuk és deriváljuk a

TdTdρdp

=− (23.11) ρp

összefüggéshez jutunk.

A tömegmegmaradás (23.3) egyenletét az előzőhöz hasonlóan logaritmálva és deriválva

0cρ

=+ (23.12)

adódik, így

dcdρ

c

dcTdT

pdp

−= (23.13)

Ha ezt behelyettesítjük a (23.10) egyenletbe a

0c2Ddxλ

cdc

TdT

κacdc 2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ (23.14)

eredményt kapjuk.

A hangsebességet kifejező (23.6) egyenletet is logaritmáljuk, majd deriváljuk, így kapjuk a

TdT

ada2 = (23.15)

kifejezést, amellyel

0c2Ddxλ

cdc

ada2

κacdc 2

2

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ (23.16)

Szorozzuk végig az egyenle ot szorozzuk és osszuk a c bességgel. Ekkor

tet κ/a2-tel, s az első tagse

0ac

2Ddxκλ

cdc

ada2

cdc

acκ

22

22 =+−+ (23.17)

Az első és az utolsó tagban könnyű felismernünk a Mach-szám négyzetét, amellyel


0M2Ddxκλ

cdc

ada2dcκM2 +

c2 =+− (23.18)

Az egyenlethez c

le, így adódik a ( )

dc-t hozzáadunk az egyenlethez, ugyanakkor el is vesszük belő-

0Mdxκλdcda2dc1κM 22 =+⎟⎞

⎜⎛ −++

2Dcac ⎠⎝(23.19)

sszefüggés. Ha a Mach-szám (23.8) formö ulájának logaritmusát vesszük, majd deriváljuk,

ada

cdc

MdM

−= (23.20)

zzel a (23.21) egyenletet az alábbi alakE ban írhatjuk fel:

( ) 0M2Ddxκλ

MdM2

cdc1κM2 −+ 2 =+ (23.21)

A cdc

tényezőt az energiamegmaradás

1κa

1κa

2c 2

022

−=

−+ (23.22)

egyenletéből fejezhetjük ki. Ebben a0 a hang terjedésének sebessége a nyugalom-ban lévő gázban. Deriválás után

0ada1κ

2cdc =−

+ (23.23)

dódik. Kis átalakítással, a2-tel osztva a

0ada

1κ2

cdc

ac

2

2

=−

+ (23.24)

A (23.20) egyenlet felhasználásával az

M1

dMκ

2dcc1κ

2dcM2 =+ (23.25) c −−

összefüggéshez jutunk. 2

1κ −-vel szorozva rendezés után

1M

21κ

1M

dMc

dc−

= (23.26) 2 +


az eredmény. Ezt behelyettesítve a (23.21) egyenletbe

02 = (23.27) M2Ddxκλ

MdM2

MdM

1M2

1κ1κM

2

2

+−⋅+

−+

etvény. A (23.27) egyenletet átalakítva egy olyan differenciálegyenletet kapunk, olyan egyenl hez jutottunk, amelyben a Mach-szám az egyetlen ismeretlen függ-

amely viszonylag egyszerűen integrálható.

32

2

MdM (23.28)

1M2

1κ1M

κ2

Ddxλ

+−

−=−

a szóban forgó teljes csőhossz. Az x koordináta az 1. pontból mutat az áramlás ányába. Az l koordináta viszont a kiömlés

áramlás irányával szemben. Tehát l = 0 a kiömlő keresztmetszet, l = L a csomó-átája. Ugyanakkor a kilépésnél M = 1, hiszen a gáz hangsebességgel

tetszőleges l koordinátához meghatározott M rték tartozik, mint az integrál felső határa. Vx. A kiszámítandó integrálok tehát a követke

Az integrálás határainak kijelöléséhez bevezetjük az l = L-x koordinátát, ahol az L

ir helyétől mutat a csomópont felé az

pont koordinömlik az atmoszférába. Valamelyé együk még figyelembe, hogy dl = - d zők:

∫−

∫ =M 2l 1M2dlλ

+−=1M

320 M

dM

1M2

1κκD (23.29)

A jobb oldali integrált résztörtekre kell bontanunk a kiszámításhoz.

jobb oldalának nevezőjében többszörös valós gyök és egysze-A (23.29) kifejezés res komplex gyök fordul elő. Ebben az esetben a résztörtekre bontás menete:

1M

21κ

EDMC +++ (23.30)

MMB

MA

1M2

1κ1M

232

23

2

+−

+=⎟⎠⎞⎛ +

−−

z A, B, C, D, E értékek az ún. határozatlan együtthatk ki. Ehhez a kifejezés jobb oldalát közös nevezőre

számláló azonosan egyenlő a bal oldal számlálójával.

M ⎜⎝

A ók módszerével számítha-tó hozzuk, s az így kapott

3423242 1κ1κ2

1κA1M EMDMCM2

CBMM2

BAMM +++−

++−

≡− ++−

bből a bal és jobb oldal megfelelő együtthatóit egyenlőE vé téve


0B

12

1κCA

0E1κB

0D2

1κA

1C

2

=

=−

+

=+−

=+−

−=

Amiből nyilvánvalóan következnek az

0E ,42

1κ-D -1,C 0,B ,1κA =−

===+

=

értékek. Ezzel a résztörtekre bontott integrandussal a következő

2

integrált kell kiszámítanunk:

( )=∫

⎪⎨ −−⋅

MM213

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎩

⎪⎧

+−

−++ dM1M

21κ

M 1κ4

1κ111κM

2

=⎥⎤⎞−

M21κ

⎦⎣ ⎠⎝ 12 242M2⎢

⎡⎟⎜

⎛ ++

−++

= 1Mln1κ1lnM1κ

−

=+

++−−+

+=

2

1M1κ

4κ

21

2M1lnM

41κ

2

22

Végül az eredmény:

1κ2ln1 (23.31)

⎥⎦⎥⎥⎥

⎢

⎢

⎣

⎡

+−

+−

1M2

1κ

M2

κ

ln1κM11l2

2 (23.32)

Így a csőhossz és a Mach-szám között egy kölcsönösen egyértelmű függvénykap-csolatot kaptunk, ezzel a vizsgált csőszakasz tetszőleges l koordinátájú pontjában

ből következik, hogy célszerűbb független változóként M értékeit felvenni, s a hozzájuk tartozó l koor-inátákat kiszámítani. A független változónak vá

os növekménnyel vettük a 0,01 ≤ M ≤ 1,00 tartományban a számítás alapjául, s a

⎤+ 1 2

⎢⎢ +=

2MκDλ 2

meghatározhatjuk M értékét. Az összefüggés szerkezeté

d lasztott Mach-szám értékeit 0,01-

Dlλξ = értékeket tartalmazza a 23.1 táblázat. A (23.32) összefüggéssel kapott


csőátmérő és a csősúrlódási tényező ismeretében a szóban forgó Mach-számokhoz tartozó csőhosszak meghatározhatók a táblázatban szereplő ξ értékekből.

hosszúság szerinti eloszlása tehát egy nemvényében adódó diszkrét értéksor. Ebből kell kiválasztanunk azt az l1 érté-

ábbiakban rendkívül fontos szerepe -egyenközű skálán M függvén

llemző meghatározható p1 és T1 értékének isme23.1 táblázat. Segédtáblázat a Mach-szám meghatározásához

A Mach-szám -egyenközű l függ-

ket, amelyik a csomópont és a szakadás helye közötti L távolsággal egyenlő. Ha nem jön ki pontosan, s ez a valószínű, lineáris interpolációt alkalmazha-tunk. Az a Mach-szám, amelyikkel ez a távolság adódott, a vezeték kezdő-pontjában érvényes M1 érték, ennek a tovlesz. Viszont e nem yében valamennyi áramlási je retében.

M ζ M ζ M ζ M ζ 0,01 9988,569 0,26 10,844 0,51 1,413 0,76 0,165 0,02 2490,163 0,27 9,854 0,52 1,309 0,77 0,148 0,03 1102,207 0,28 8,975 0,53 1,213 0,78 0,132 0,04 616,757 0,29 8,190 0,54 1,124 0,79 0,118 0,05 392,270 0,30 7,487 0,55 1,040 0,80 0,105 0,06 270,467 0,31 6,856 0,56 0,963 0,81 0,092 0,07 197,125 0,32 6,288 0,57 0,891 0,82 0,081 0,08 149,600 0,33 5,775 0,58 0,824 0,83 0,071 0,09 117,078 0,34 5,310 0,59 0,761 0,84 0,061 0,10 93,863 0,35 4,888 0,60 0,703 0,85 0,053 0,11 76,727 0,36 4,505 0,61 0,649 0,86 0,045 0,12 63,726 0,37 4,155 0,62 0,598 0,87 0,038 0,13 53,637 0,38 3,836 0,63 0,551 0,88 0,032 0,14 45,656 0,39 3,544 0,64 0,507 0,89 0,026 0,15 39,238 0,40 3,276 0,65 0,466 0,90 0,021 0,16 34,004 0,41 3,030 0,66 0,428 0,91 0,017 0,17 29,682 0,42 2,804 0,67 0,392 0,92 0,013 0,18 26,075 0,43 2,596 0,68 0,359 0,93 0,010 0,19 23,036 0,44 2,405 0,69 0,328 0,94 0,007 0,20 20,452 0,45 2,228 0,70 0,300 0,95 0,005 0,21 18,239 0,46 2,065 0,71 0,273 0,96 0,003 0,22 16,331 0,47 1,914 0,72 0,248 0,97 0,002 0,23 14,675 0,48 1,774 0,73 0,225 0,98 0,001 0,24 13,230 0,49 1,644 0,74 0,204 0,99 0,000 0,25 11,962 0,50 1,524 0,75 0,184 1,00 0,000


A termikus állapotváltozás különleges jellege miatt most nem a szokásos nyomás-veszteség-formulák valamelyikével számolunk, hanem az alábbi módon járunk el:

A ρC tömegáramsűrűséget kifejezhetjük a kontinuitási- és az állapotegyenletből p és T függvényeként. Ekkor

κZRTpM

aMpκc

aκpc

ZRTpρc 2 =

⋅⋅=⋅== (23.33)

Ebből a nyomás kifejezhető

κZRT

Mρcp = (23.34)

A cső kezdetén az ismert p1 nyomás e szerint

κZRT

Mρcp 1

11 = (23.35)

A két nyomás hányadosa

1

1

1 TT

MM

pp

= (23.36)

A T/T1 hányados viszont az energiaegyenletből levezethető az alábbi módon:

1κ

a1κ

a2c 2

022

−=

−+ (23.37)

Ezt megszorozzuk 2a1κ −

-tel, s a

κZRTκZRT

aa

1M2

1κ 02

202 ==+

− (23.38)

összefüggést kapjuk. Ez alapján

1M

21κ

T2 +

−=

ugyanígy

T0 (23.39)

1M1κTT

21

01

+−

= (23.40)

eredményre vezet. 2


A kilépésnél jelentkező kritikus nyomás a

21κ

M2

1M

pp

21

11

*

+

+= (23.41)

egyenlettel számítható. Szembetűnő a különbség a tartályból kiömlő gáz kritikus nyomásához képest. A csősúrlódás miatt keletkező fojtás lényegesen csökkenti a kritikus nyomást. A nyomásra és a hőmérsékletre kapott összefüggéseket az álla-potegyenletbe helyettesítve a sűrűség Mach-szám függését kapjuk meg:

1κ −

2M1κ1 −+

21M1

1

2κ

2Mρ−

= (23.42)

Hasonlóan a kritikus sű érté

1 1M +ρ

rűség két a

2M11

1

1+1ρ*ρ

2κ

2κ

M−

+

= (23.43)

ö ggé íth A k sebe el k áz t ram

1

sszefü sből szám atjuk. ritikus sségg iömlő g ömegá át az

*

*ρcm& (2

e tbő hatj g. B tesí

2

*πD

=4

3.44)

gyenle l határoz uk me ehelyet tve

21M

11*

21

21κ

MκZ−

+

= (2

adódik, aho

* ρRT ⋅2πD

κ1+4m& 3.45)

l

21κ

M 212

1

* +

−

= (2

B ttes az let n rték ysz tő,

κ1 +T1T 3.46)

ehelye ítés után egyen agymé ben eg erűsíthe és az

[k T1 g/sκZR4πm

2(2] Mρ 11⋅

D* =& 3.47)


alakban írható fel. Mivel a csőszakasz kezdőpontjában p1, T1, M1 ismertek, és

1

11 ZRTρ =

számítható. Mivel

p (23.48)

NNQρm =& (23.49)

a kiömlő térfogatáram

/s][m κRZTZ

MTT

pp

4πDQ

2

= 31

1

1

N

N

1N ⋅ (23.50)

A teljes kiömlött gáztérfogat, ha a kiömlés ideje ϑ, a

] (23.51)

gyenlettel határozható meg. A teljes keresztmvagy a csőpalástnak a keresztmetszetnél nagyobb sérüléséből kiömlő gáz mennyi-

g.

VN = QN ϑ [m3

e etszetével elszakadt csővezetékből,

ségét így határozhatjuk me

Tengelyirányú lamináris áramlás egytengelyű hengerpalástok között 171

24. TENGELYIRÁNYÚ LAMINÁRIS ÁRAMLÁS EGYTENGELYŰ HENGERPALÁSTOK KÖZÖTT

Időben állandó, tengelyirányú lamináris áramlás alakul ki egytengelyű hengerpa-lástok között. Vegyünk egy elemi dr vastagságú, L hosszúságú körgyűrűhengert, s

alkalmazzuk rá az impulzustételt! Az erők dinamikus egyensúlyát a következő egyenlet fogalmazza meg:

( )[ ] ( )( )0Lddrr2rL2rdrrgJL 22 =τ+τ+π−τπ+−+πρ (24.1)

A másodrendűen kicsiny mennyiségek (dr2, drdτ) elhanyagolásával, egyszerűsítések után a

( ) 0rdgJrdr =τ+ρ (24.2)

egyenlethez jutunk. A Newton-féle folyadéksúrlódási törvényt alkalmazva

0rdrdvdgJrdr ⎜

⎝⎛μ+ρ =⎟

⎠⎞ (24.3)

majd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ν−

drdvr

drdgJr (24.4)

adódik. Ennek kétszeri integrálásával előbb a

drdrK

2gJr2

=+ν

−v (24.5)

majd

krlnK4

gJrv2

++ν

−= (24.6)

eredményt kapjuk. Ezen a ponton válik el a körkeresztmetszetű cső esetén kapott for-mulától a megoldás, ugyanis más peremfeltételek adódnak más integrálási határokon:

1; v=0,

ha r = R2; v=0

ettesítés után az eredmény:

ha r = R

Behely

kRlnK4

O 11 ++

ν−= gJR 2

(24.7)

kRlnK4

gJRO 22 ++

ν−= (24.8)


E két egyenletből az integrációs konstansok meghatározhatók:

1

2

22

RRln

RR4gJK −

=21 (24.9)

⎥⎥⎥⎥⎤

2

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−

−ν

= 2

1

2

1222

2 Rln

RRln

RRR4gJk (24.10)

Ezzel a sebesség sugármenti eloszlása

⎥⎦⎢⎣2

1

2

Rln

Ebből a térfogatáram a

⎥⎥

⎢⎢ ⋅

−+−

ν=

21

2222

2 RrlnR

RRrR4gJv (24.11) ⎥

⎤

(24.12)

integrál kiszámításával a

⎢⎡

∫π=2

1

R

Rvrdr2Q

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−+π−

⋅ν

=

1

2

21

222

122

21

22

RRln

RRRR2

RR4gJQ (24.13)

alakban adódik. A sebesség keresztmetszeti átlagértékét a

( )π−

= 21

22 RR

Qc (24.14)

összefüggés szerint számítjuk a térfogatáramból:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−+ν

=

1

2

21

222

122

RRln

RRRR8gJc (24.15)

A Weisbach-egyenlet körgyűrű-keresztmetszetű csatornára a

g2

cR4L'h

2

H

⋅λ= (24.16)


alakban érvényes. Itt RH a hidraulikai sugár, amely a szelvénykeresztmetszet ékerület hányadosa:

s a

( ) ( ) 2RR2

R 12

21

12H =

π+= (24.17)

Így a Weisbach-egyenlet a

RRRR 22 −π−

( ) g2c

RRL'h

2

122 −

λ= (24.18)

nyezőre vonatkozó alakot ölti. Ebből és az átlagsebességre kapott formulából kapjuk az ellenállás-té

( )

⎥⎥

⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

−−+

⎤⎡−ν

=λ 12 RR32 (24.19)

1

2

21

222

122

RRln

RRRRc

Reynolds-számot a hidraulikai sugárral a

kifejezést. A

( )−ν

==cRR2cR4Re 12H (24.20)

alakban írhatjuk fel. A kör keresztmetszetű csőre vonatkozó

ν

Re64

=λ (24.21)

ógiájára most a

kifejezés anal

( ) ARe

Rln

RRRRRe2

21

222

122

−−+

64

R

RR64

1

212 =

−=λ (24.22)

efü k. Ez azt jelenti, hogy λ értéke az R2 és R1 értékektől is függ a a a 24.1. ábra.

Ezt számításainkban a második tört tényező, mint alakparaméter korrekciós hatá-val kell figyelembe venni. A falon ébredő nyírófe

össz ggés adódiReynolds-számon kívül. Ezt mutatj

sá szültségeket a


⎥⎥⎥⎥

− 1R (24.23)

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

−ρ=τ

1

21

21

22

R

RRlnR2

RR2gJ

1

illetve a

⎤⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎣R2⎢

⎢⎢⎡

−−ρ

=τ 2

1

22

21

22

R R

RRln

RR2gJ

2

(24.24)

kifejezésekkel számíthatjuk.

yakorlati szempontból az utóbbi a fontosabb, hiszen – pl. mélyfúrás esetén – a

yuk-be-

étel jelentkezik. Érdekes ég, hogy a sebességma-

két ez

esik, hanem

24.1. ábra. Gyűrűs tér ellenállás tényezője

G

béléscsövezetben fúrólfalon ez a nyírási igényvmximum helye nem a sugár számtani közepéh

1

2

21

22 RRR −

= o

RRln2

(24.25)

Ez is mutatja, hogy a két párhuzamos lap közötti áramlással történő közelítés mekko-ra hibát rejthet magában. Két fúrástechnikai számértékkel illusztráljuk az eddigieket.


PÉLDA

1. A körgyűrű henger külső palástfelülete 12 ¼”-es fúrólyuk, amelynek át-mérője d=311,15 mm, sugara R2 = 155,6 mmpalást felületét az 5”-es fúrócső külső átmérősugara R1 = 63,5 mm.

22. egyenletből tudjuk meghatározni.

. A körgyűrű henger belső je adja, ahol dK = 127 mm

Az A alaktényezőt a 24.

( ) 48073,1=

R

RRRRA

1

21

2222

212

−−

=

Ha egy 8 ¾” átmérőjű fúrólyukban 5” átmérőhatárolja a gyűrűs teret akkor R2=111,125mm, R1=63,5mm.

Ebben az esetben A=1,486142

Ezzel az értékkel kell korrigálni a kör-keresztmetszetű csőre kapott λ értékét gyűrűs tér esetén.

RlnRR

212 −+

jű fúrócső külső palástfelülete

Irodalomjegyzék 176

Irodalomjegyzék

Balian, R | Peuble, J-L: Fluid dynamics, London, Gordon and Breach Science Publishers, Ltd., 1977.

.

Bird, R.B ; Armstrong, R.C.; Hassager, O: Fluid Mechanics. Dynamics, John Wiley and Sons Inc.,New York, NY, 2008.

r. Bobok E: Áramlástan bányamérnököknek, ISBNKönyvkiadó , Budapest, 1987.

Dr. Bobok E: Fluid Mechanics for Petroleum Engineers, Elsevier, Amsterdam, kyo, 1993.

963 661 317 6, Miskolci Egyetemi Kiadó, 1997.

űszaki fizika I., Tankönyvkiadó, Budapest, 1990.

zeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1966.

N 963 420 798 7Műegyetemi Kiadó, 2004.

Whylie – Keith W. Bedford: Fluid mechanics, 9, WCB McGraw-Hill, Boston, Massachusetts, 1998.

D : 963 10 6760 2, Műszaki

London, New York, To

Dr. Bobok E: Áramlástan, ISBN

Dr. Bobok E – Fr. Navratil L: M

Dr. Czibere T: Áramlástan Nem

Lajos Ts: Az áramlástan alapjai, ISB

Victor l. Streeter –E. BenjaminISBN 0 07 062537-

bevezetés az áramlástanba

Documents