bài 5-tiết 4 - wordpress.com · web view- Đối với tích phân có dạng : , ta vẫn có...

Bài 5-tiết 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦNBài 5-tiết 4.

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦNA. MỤC ĐÍCH

1. Công thức tính tích phân từng phần :I= . (*)

2. Khi tính tích phân : , ta không thể sử dụng các phương pháp : Phân

tích để sử dụng trực tiếp bảng nghuyên hàm cơ bản , cũng như phương pháp phân tích để tính trực tiếp , thì khi đó ta phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân I.Trong những năm thi tuyển sinh đại học gần đây , nhất là từ khi đề chung cho đến nay , số đề tích phân cho dưới dạng tích phân từng phần chiếm tới 90% số đề ra về tích phân .

3. Đối với phương pháp tính tích phân từng phần có dạng : .

Hay viết tắt : . Trong đó : u=u(x),v=v(x) ( là các hàm số theo x ) thì cái khó

nhất là chọn hàm số u(x) và vi phân dv(x) sao cho nguyên hàm v(x) dễ tìm nhất và

phải kết hợp với vi phân du sao cho tích phân có thể tính trực tiếp bằng các

phương pháp đã trình bày trên .4. Về phương pháp tích phân từng phần thường có một số dạng thường gặp sau :

B. MỘT SỐ DẠNG THƯỜNG GẶP VÀ GỢI Ý CÁCH GIẢI

I. Tích phân dạng : . Trong đó : P(x) là một đa thức, a là hằng số .

1. Gọi ý cách giải :- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách chọn :

U=P(x) suy ra du = P'(x)dx

. Sau đó thay vào công thức (*)

2. Một số ví dụ minh họa

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949

Bài 5-tiết 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Ví dụ 1. ( KD-2006) . Tính tích phân sau :

a. . b.

Giải

a. Đặt : . Thay vào công thức (*) ta có :

.

b. Đặt :

Thay vào công thức (*) ta có :

Tính :

Thay vào (1) ta có : Ví dụ 2. Tính các tích phân sau

a. b.

Giải

a.

- Đặt :

- Thay vào (*) :

- Tính :

- Thay vào (1) ta có :

b. Vì : . Cho nên :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949Trang 2


=

* Chú ý : Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau :- Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của P(x) cao nhất là 2 thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả .

- Tổng quát : Nếu gặp phải các tích phân có dạng : . Ta

phải sử dụng các công thức hạ bậc :

Như :

Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi ý đã biết .Ví dụ 3. Tính các tích phân sau

a. b. .

c. . ( Cao đẳng GTVT-2004 )

Giải

a.

- Đặt : . Thay vào (*)

- . Tương tự : Ta tính J .

- Đặt : . Do đó :

.

- Ta tính .

+/ Đặt :

+/ Do đó :

Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 Trang 3


- Thay (3) vào (2) : . Lại thay vào (1) ta có :

b. . Đặt :

Do đó :

c. . Ta giải bằng hai cách :

Cách 1.

- Đặt :

- Vậy :

Cách 2. ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân từng phần sau )

- Đặt

- Suy ra : .

- Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được .* Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau

- Đối với tích phân có dạng : , ta vẫn có thể áp dụng cách giải của dạng

tích phân được .

- Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp : đổi biến số và tích phân từng phần . Nghĩa là trước khi lấy tích phân từng phần , ta đổi biến số .Ví dụ 4. Tính các tích phân sau

a. b.

c. d.

Giải

a.



- Đặt : . Thay vào (*)

-

- Tính :

. Thay vào (1) . .

b.

.

c.

d. .

- Đặt : .

Do đó :

II. Tích phân dạng :

1. Gợi ý cách giải :

- Đặt :

2. Một số ví dụ minh họa và chú ý :

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau

a. . ( KD-2007) b. . ( KD-2004 )



c. d. . ( Tham khảo 2005 )

Giải

a. .

- Đặt :

- Do đó : .

- Tính .

+/ Đặt :

+/ Do đó : . Thay vào (1) ta có :

.

b. .

- Đặt : .

- Do đó :

.

c. .

- Đặt :

- Do đó : .Tính :

+/ Đặt :

+/ Do vậy : .

+/ Thay vào (1) :

d. ..

- Đặt :



- Do đó :

* Chú ý :Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x).

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau :

a. . ( KB-2009 ) b. . ( KD-2008 )

c. . ( CĐ cơ khí luyện kim-2006 )

Giải

a. .

- Với :

- Với :

Thay vào (1) :

b. .

- Đặt :

- Do vậy :

c. .

* Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng : , vẫn có thể áp dụng cách giải

cho tích phân dạng :

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau .

a. . ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )



b. . CĐTCKT-2006 ) c. . (CĐTCHải quan -2006 )

Giải

a. .

b. .

- Đặt :

- Do đó :

c. .

Cách khác :

- Đặt : . Với :

- Khi đó :

+/

+/ Thay vào (1) ta có :

* Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần .

III. Tích phân dạng :

1. Gợi ý cách giải Gọi hai tích phân như trên . Sau đó ta đi tính tích phân I bằng cách : Đặt

, ta sẽ có được kết quả dạng :

I= A+mJ I-mJ=A (1)



Sau đó để tính tích phân J ta làm tương tự bằng cách : Đặt

, ta sẽ có được kết quả dạng :

J=B+nI J-nI = B (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) ta tìm được I và J .

2. Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :

a. b. ( CĐKTKT-2005)

c. d. . ( ĐHTN-2000)

Giải

a. . Đặt : u=

- Do đó :

- Tính J = . Đặt :

- Do vậy :

- Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình . Giải hệ ta có I=

b. . Đặt :

- Do đó :

- Ta lại đặt :

- Do đó :



- Từ (1) và (2) ta tính được : .

c.

- Tính J= . Đặt :

- Do đó : . Ta tính K

- Lại đặt :

- Do đó :

Từ (2) và (3) ta tính được : , sau đó lại thay vào (1)

d.

- Tính J: Đặt t=-x suy ra dt=-dx . Khi x=0 thì t=0;x=-1 thì t=1 . Khi đó :

- .

+/ Tính K : Đặt .

+/ Do vậy :

.

- Vậy : I=K= e-2.

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau

a. b. ( DB-2004)

c. . (DB-2005)

Giải



a.

. Tính J :

- Đặt : .

- Do đó :

+/ Tính K : Đặt

+/ Do vậy :

Từ (1) và (2) ta có :

b. .

Vì : . Khi x=0 thì

c. .

BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1. Tính các tích phân sau

a. b. c.

d. e. f.

Bài 2. Tính các tích phân sau Th.s Nguyễn Dương ĐT 0932528949 Trang 11


a. b. c.

d. e. f.

Bài 3. Tính các tích phân sau

a. b. . c.

d. e. f.


a. b. c.

d. e. f.


a. b. c.

d. e. f.


a. b.


bài 5-tiết 4 - wordpress.com · web view- Đối với tích phân có dạng : , ta vẫn có...

Documents