BİRLEŞİK YÜKLEMELER(Kesit tesirleri)

STRESSES DUE TO COMBINED LOADING(Internal Forces)

-Normal kuvvet-Kesme kuvveti-Eğilme momenti-Burulma momenti

Eğilmeli Burulma

Bir mil eğilmeli burulma durumuna maruz

kaldığında normal ve kayma gerilmeleri

meydana gelir. Şekildeki kasnağa

uygulanan P kuvveti A noktasına

indirgendiğinde T=PR büyüklüğünde

burulma momenti ankastre noktasına

indirgendiğinde burulma ile birlikte M=PL

büyüklüğünde eğilme ve V=P büyük-

lüğünde kesme etkisi meydana gelir.

Özet olarak:

1) Burulmadan dolayı kayma,

2) Eğilmeden dolayı normal,

3) Kesme kuvvetinden dolayı kayma

gerilmesi meydana gelir.

3. Maddede belirtilen kesme kuvvetinin yol açtığı kayma

gerilmesi milin merkezinde maksimum değerine ulaşmış

olup, eğilme ve burulma gerilmelerine göre çok küçük

olduğundan genellikle hesaba katılmaz.

Eğilme gerilmeleri kesitin en üstünde ve en altında en büyük

değerlerde meydana gelir.

3

162 D

TJ

TD

3

322 D

MI

MD

32

4DJ

64

4DI

Dolu miller için atalet momentleri ve gerilmeler:

- Polar atalet momenti ve kayma gerilmesi:

- Kesit atalet momenti ve normal gerilme:

Buna göre asal gerilmeler:

2

3

2

332

2

2,116

232

232

22

DT

DM

DM

2

3

2

332,1161616

DT

DM

DM

2232,1

16 TMMD

Maksimum normal gerilmeye göre mil çapının bulunması: Gevrek malzemeler normal gerilmelere hassas olduklarından maksimum normal gerilme emniyet gerilmesine eşitlenerek mil çapı bulunur:

emTMMD

223max

16

32216 TMMD

em

Dolu miller:

1max EK

Mem

ve

İçi boşaltılmış miller:

4444 1

3232 DdDdDJ

Ddn 4

4

132

nDJ

Atalet momentleri:

4444 1

6464 DdDdDI

Ddn 4

4

164

nDI

22432,1 1

16 TMMnD

Asal gerilmeler:

43 116

2 nDT

JTD

43 116

2 nDM

IDM

Kayma gerilmesi ve normal gerilme:

ve

1max

emTMMnD

2243max 1

16

322

4116 TMM

nD

em

Maksimum normal gerilmeye göre mil çapının bulunması:

EKM

em ve

2

3

2

32

2

minmax,16

232

2

DT

DM

2

3

2

3minmax,1616

DT

DM

223minmax,

16 TMD

Maksimum kayma gerilmesine göre mil çapının bulunmasıSünek malzemeler kayma gerilmelerine hassas olduklarından maksimum

kayma gerilmesi kayma emniyet gerilmesine eşitlenerek mil çapı

bulunur:

Dolu miller:

Maksimum kayma gerilmesine göre mil çapının bulunması

emTMD

223max

16

32216 TMD

em

EKM

em

2

43

2

432

2

minmax, 116

1232

2

nDT

nDM

2

43

2

43minmax, 116

116

nD

TnD

M

22

43minmax, 116 TM

nD

İçi boş miller:

43 116

2 nDT

JTD

43 116

2 nDM

IDM

Kayma ve normal gerilmeleri:

ve

Asal gerilmeler:

emTMnD

2243max 1

16

322

4116 TM

nD

em

Maksimum kayma gerilmesine göre mil çapının bulunması:

EKM

em

Örnek: Şekildeki mile bağlı kasnak teğetsel P kuvvetine maruz

bırakıldığına göre mil çapını belirleyiniz.

P=10 kN R=250 mm L=0.6 m

MPao 125 MPao 60

PPL

2R

D

Çözüm:

Eğilme ve burulma momentleri

Max. normal gerilmeye göre mil çapının bulunması

NmmkNmmRPT

NmmkNmmLPM6

6

105.2250025010

106600060010

3 6223

22 105.2661251616

TMMD

em

mmDmmD 8087.79

Max. kayma gerilmesine göre mil çapının bulunması

emniyetli çap olarak alınır.

3 6223

22 105.2660

1616

TMD

em

mmDmmD 8282

DD olduğundan büyük olan değer kullanılır ve

mmDD 82

Örnek: Çapı D=40 mm olan milin H ve K noktalarındaki normal ve kayma

gerilmelerini hesaplayınız.

kNP 151

kNP 182

mmb 6020

a=50 mm

H

K

B

A

D

y

zx

yM

zM

TDc 2

1H

K

V

N

kNmkNmmPbM

kNmkNmmPaMkNmkNmmPaT

kNPVkNPN

z

y

10801860

75015509001850

1815

2

1

2

2

1

43

434

232

102.2512

106.1254

10256.1

mmIJ

mmcII

mmcA

z

zy

Kesit tesirleri (İç kuvvetler):

Kesit özellikleri:

y

zx

Dc 21

H

K

Hx

Txy

Vxy

Txy

Kx

H Noktasında oluşan gerilmeler:

MPamm

mmNmmJcT

Txz

Hxy

Txz

Hxy

6.71102.251

2010943

6

Normal gerilme:

Kayma gerilmesi:

MPamm

mmNmmmmN

IcM

AN

Hx

Hx

z

zMxNx

Hx z

92.183106.125

201008.110256.11015

43

6

23

3

y

zx

Dc 21

H

K

Hx

Txy

Vxy

Txy

Kx

K Noktasında oluşan gerilmeler:

MPamm

mmNmmJcTT

xzHxy

Kxy 6.71

102.25120109

43

6

MPamm

mmNmmmmN

IcM

AN

Kx

Kx

y

yMxNx

Kx y

43.119106.125

201075.010256.11015

43

6

23

3

Normal gerilme:

Kayma gerilmesi:

MPa

mmN

AVV

xy 11.1910256.1310184

34

33

3

MPaVxy

Txy

Kxy 49.5211.196.71

Örnek: Şekildeki tüp p iç basıncına, T burulma momentine ve N eksenel

kuvvetine maruz kaldığına göre tüpte meydana gelen asal gerilmeleri ve

maksimum kayma gerilmesini hesaplayınız.

T=6 kNm p=2 Mpa N=20 kN

d=122 mm D=128 mm

d Dp

TT

NN

Tüpün kesit görünüşüTüpün maruz kaldığı yükler

xy

ty

Nlx

y

x

Çözüm:Tüpte oluşan gerilme bileşenleri

4644 106.412212832

mmJ

MPa

JDT

xy 5.83106.42128106

2 6

6

MPadD

NN 17

12212810204

4/ 22

3

22

Tüpün polar atalet momenti ve oluşan kayma gerilmesi

Tüpte oluşan normal gerilme

MPatDp o

l 8.2034

12524

mmdDDort 1252

1221282

ylt MPa 6.412

MPalNx 8.378.2017

Tüpün ortalama çapı ve cidar kalınlığı

Tüpte oluşan eksenel gerilme

Tüpte oluşan teğetsel gerilme

mmdDt 32

1221282

Eksenel bileşke gerilme

xy

ty

Nlx

y

x

MPaty 6.41

MPalNx 8.37

Gerilme elemanı üzerindeki gerilme bileşenleri

22

2,1 22 xyyxyx

MPaMPa

82.4322.123

2,1

yx

xyp

22tan

op

op

35.44

7.882

MPa52.83min.max

22

minmax, 2 xyyx

Asal gerilmeler ve düzlemleri

ty

lNx

xy

p

2

1

a) H noktasındaki normal ve kayma

gerilmelerini hesaplayınız.

b) H noktasındaki asal gerilmeleri

hesaplayıp doğrultularını bir eleman

üzerinde gösteriniz.

Örnek: Şekildeki ABD kolu A ucundan ankastre olup D ucuna P=900 N

büyüklüğünde bir kuvvet uygulandığına göre:

8 - 31

Sample Problem 8.3

Solid shaft rotates at 480 rpm and transmits 30 kW from the motor to

gears G and H; 20 kW is taken off at gear G and 10 kW at gear H.

Knowing that τall = 50 MPa, determine the smallest permissible

diameter for the shaft.

SOLUTION:• Determine the gear torques and corresponding tangential forces.• Find reactions at A and B.• Identify critical shaft section from torque and bending moment

diagrams.• Calculate minimum allowable shaft diameter.

srdfnwattsJoulesNmTP

sHznf

rpmfn-

/2602//

rotation offrequency :60/

minuteper srevolution ofnumber :601

Nmf

PnPPTfTTP

22602

To determine the torque exerted on the shaft, we recall from

elementary dynamics that the power P associated with the

rotation of a rigid body subjected to a torque T is

Relationship among Power, Speed and Torque in shafts

Observing that f = 480 rpm = 8 Hz,

we determine the torque and tangential

forces exerted on gear E:

kNm

NmrTF

NmHz

kWf

PT

E

EE

E

73.30.16

597

59782

302

Determine the gear torques and corresponding tangential forces.

kNF

NmHz

kWT

kNF

NmHz

kWT

D

D

C

C

49.2

19982

10

63.6

39882

20

we determine the torques and

tangential forces exerted on gears

C and D:

We find reactions at A and B.

kNBkNBkNAkNA

zy

zy

90.280.222.6932.0

Bending-Moment and Torque Diagrams

NmMMM zyD 5.12183731160 2222

Critical Transverse Section:

MC or MD

We compute resultant bending moments at all potentially critical

sections

NmMMM zyE 2.806560580 2222

NmMMM zyC 8.12571861244 2222

Critical Transverse Section:

we find equivalent moments for C and D :

NmMMM zyD 5.12183731160 2222

NmMMM zyC 8.12571861244 2222

Therefore, maximum value of equivalent

moment occurs just to the right of D

NmTMM CCeqC 3.13193988.1257 222

NmTMM DDeqD 13575975.1218 222

Cross-section at D

8 - 40

Calculate minimum allowable shaft diameter accordig to maximum shearing stress:

mm 7.51D

33

3322

10135750

16

1616

D

MTMD eqDall

DDall

D

8 - 41

Sample Problem 8.5

Three forces are applied to a short steel

post as shown. Determine the principle

stresses, principal planes and maximum

shearing stress at point H.

SOLUTION STEPS:

• Determine internal forces in Section EFG.

• Evaluate normal stress at H.

• Evaluate shearing stress at H.

• Calculate principal stresses and maximum shearing stress.

• Determine principal planes.

8 - 43

Solution:• Determine internal forces in Section EFG.

kN75kN50kN 30 zx VPV

• Section properties,

463

121

463121

23

10747.040140

1015.914040

106.514040

mmmmmmI

mmmmmmI

mmmmmmA

z

x

kNmmkNM

MkNmM

mkNmkNM

z

y

x

x

3100.030

05.8

200.075130.050

Evaluation of normal stress at H.

46

6

46

6

23

3

m1015.9m25105.8

10747.020103

105.61050

Nmm

mmmmNmm

mmN

y

MPay

y

66.0

2.233.8093.8

x

x

z

zy I

bMI

aMAP

Evaluation of shearing stress at H.

33

11

105.85

5.474540

mmQ

mmmmmmyAQ

MPa

mmmmmmN

tIQV

yz

x

zyz

52.17

401015.9105.851075

46

333

y

yz

H

8 - 47

Sample Problem 8.5• Calculate principal stresses and maximum shearing stress.

Determine principal planes.

98.13

96.2720.33

52.172tan

MPa4.74.370.33

MPa4.704.370.33

MPa4.3752.170.33

pp

min

max

22max

p

CDCY

ROC

ROC

R

98.13

MPa4.7

MPa4.70

MPa4.37

min

max

max

p

4 - 48

• Stress due to eccentric loading found by superposing the uniform stress due to a centric load and linear stress distribution due a pure bending moment

IMy

AP

xxx

bendingcentric

Eccentric Axial Loading in a Plane of Symmetry

• Eccentric loading

PdMPF

• Validity requires stresses below proportional limit, deformations have negligible effect on geometry, and stresses not evaluated near points of load application.

4 - 49

Example 4.07An open-link chain is obtained by bending low-

carbon steel rods of 12-mm diameter into the

shape shown. For a load of 700 N, determine

a) maximum tensile and compressive stresses

in the straight portion of the link,

b) The distance between section the centroidal

and neutral axis of a cross-section.

SOLUTION STEPS:• Find the equivalent centric load and bending moment

• Superpose the uniform stress due to the centric load and the linear stress due to the bending moment.

• Evaluate the maximum tensile and compressive stresses at the inner and outer edges, respectively, of the superposed stress distribution.

• Find the neutral axis by determining the location where the normal stress is zero.

4 - 51

SOLUTION• Equivalent centric load and bending moment

NPFy 7000

NmM

mNdPMdPM

M C

2.11016.0700

0

0

4 - 52

SOLUTION

MPammN

AP

mmmmcA

P 2.61.113

7001.1136

2

222

• Normal stress due to a centric load

MPamm

mmNmmI

Mc

mmmmcI

M

M

669.1017

6102.11

9.10176

4

3

44414

41

• Normal stress due to bending moment

4 - 53

• Maximum tensile and compressive stresses

MPa

MPa

c

MPc

t

MPt

8.59662.6

2.72662.6

• Neutral axis location

Nmm

mmMPaMI

APy

IMy

AP

3

4

0

0

102.119.10172.6

0

mmy 56.00

• Combined normal stresses

4 - 54

Sample Problem 4.8

The largest allowable stresses for the cast iron link are 30 MPa in tension and 120 MPa in compression.

Knowing that

determine the largest force P which can be applied to the link.

,103 23 mmA ,10868 and38 43 mmImmY

SOLUTION STEPS:• Determine an equivalent centric load and bending moment.

• Evaluate the critical loads for the allowable tensile and compressive stresses.

• The largest allowable load is the smallest of the two critical loads.

• Superpose the stress due to a centric load and the stress due to bending.

Solution

• Determine centric and bending loads.

moment bending :28load centric:mm281038

PdPMPN

d

M

N d

• Superpose stresses due to centric and bending loads

PPPI

McAN

PPPI

McAN

AB

AA

333

333

10559.110868

3828103

10376.010868

2228103

• Evaluate critical loads for allowable stresses.

kNNP

MPaP

kNNP

MPaP

B

A

771077

120559.1

8.79108.79

3010376.0

3

3

3

kN 0.77P

• The largest allowable load

YAYLAR

F

Şekil (a) da görülen helezonik yayı

karakterize eden parametreler şunlardır:

R: Yay yarıçapı

d: Yay telinin çapı

h: Helezon adımı (hatve)

α: Helezon eğim açısı

Helezon eğim açısı: R

hα2

tan

RPTPV ve

i) Helezonik bir yaydaki iç kuvvetler ve gerilmeler:

P eksenel yüküne maruz helezonik yayda, Şekil (b) de görüldüğü gibi kesme kuvveti

ve burulma momenti meydana gelir:

Kesit tesirlerinin (kesme kuvveti ve burulma momenti) neden olduğu toplam kayma

gerilmesi süperpozisyon metodu ile bulunur, (Şekil a-b-c).

Buna göre toplam kayma gerilmesi aşağıdaki gibi olur:

emTV Rd

dPR

dPR

dP

311616

316

332max

2221 3

1634

dP

dP

V

3

16dPR

T

Bu formülde , genellikle

1’ in yanında çok küçük

kaldığından ihmal edilebilir.

Rd

3

Gerilme hesaplanırken k düzeltme faktörü kullanılabilir:

3max16

dPRk

mmmk 615.0

4414

dRm 2

ii) Yayların uzaması

Şekil (f) den görüldüğü gibi, ds uzunluğundaki yayın uzaması dδ dır. K1 ve K2 kesitleri arasında kalan ds uzunluğundaki yay parçasının rölatif dönme açısı aşağıdaki gibi olur:

dGJPRRd

GJPRds

GJPRds

GJTd

2

RdOOd

Rdds

dsGJTdsd

GJT

Birim dönme açısı ve ds uzunluğundaki yay telinin dönme açısı

ds yay elemanında O noktası O’ noktasına yer değiştirdiğinde OO’=ds

olur. Bu durumda yayın uzaması aşağıdaki gibi olur:

Burada G kayma modülü, yay telinin polar atalet momenti ve s

yay telinin uzunluğu olup aşağıdaki gibi bulunur:

Burada n helezon (halka) sayısıdır.

sGJPRds

GJPRdds

GJPRRRdOOd

s 2

0

2

0

32

4dJ

RnR

hRns

24

12 22

2

Buna göre yayın uzaması aşağıdaki gibi olur:

veya

RndG

PRsGJPR

24

32

22

kPnR

Gdk 3

4

64

PGd

nR4

364

3

4

64nRGdP

Örnek: 1.5 kN’luk bir yüke maruz helezonik yayın yarıçapı 100 mm,

tel çapı 20 mm, halka sayısı 20 ve kayma modülü 84 GPa olduğuna

göre;

- Maksimum gerilmeyi yaklaşık olarak, kesme kuvvetinin etkisini

alarak ve düzeltme faktörünü kullanarak hesaplayınız.

- Yaydaki uzamayı hesaplayınız.

Çözüm:

MPa

Rd

dPR

86.1011003201

20100105.116

3116

max

3

3

max

3max

Yaklaşık olarak maksimum kayma gerilmesi:

MPadPR

5.9520

100105.11616

max

3

3

3max

Kesme kuvvetinin etkisini dikkate alarak maksimum kayma gerilmesi:

k düzeltme faktörü kullanılırsa sonuç aşağıdaki gibi olur:

1448.110615.0

41041104615.0

4414

102010022

kmm

mk

dRm

MPadPRk

3.10920

100105.1161448.116

max

3

3

3max

Yayın uzaması aşağıdaki gibi bulunur:

mmdG

nPR

86.142201084

100150020646443

3

4

3

Örnek: Titreşim sönümleyici olarak kullanılan

yay sistemi P=240 N’luk düşey bir yüke maruz

kaldığına göre;

a) A ve B noktalarındaki tepkileri belirleyiniz.

b) Yükün uygulandığı noktanın yer

değiştirmesini hesaplayınız.

R=100 mm

d=10 mm

G=90 GPa

Çözüm:a) Sistemin bütünü için denge denklemi [Şekil (a)]:

1240 NPRR BA

0yF

Sistemdeki iç kuvvetler, Şekil (b ve c)’den aşağıdaki gibi bulunur: :

Şekil (b) den BRP 1

Şekil (c) den BRPP 2

0yF

Sistemin uygunluk denklemi:

20644

3

/ iiiAB PnGd

R

0159

02211

BB

ii

RPR

PnPnPn

NR

NPR

A

B

90ve

1502424015

2415

mm

PnGd

R

ACC

ACC

96

15024015101090

1006464

/

43

3

224

3

/

b) Yükün uygulandığı noktanın (C-C) yer değiştirmesi:

Örnek: Aynı malzemeden yapılmış ve helezon uzunlukları aynı olan iki

yay iç içe geçirilerek P=380 N’luk bir yüke maruz bırakıldığına göre;

a) Yaylardaki kuvvetleri hesaplayınız.

b) A noktasının yer değiştirmesini hesaplayınız.

d1=10 mmd2=14 mmR1=100 mmR2=140 mm

n1=20n2=10G=90 Gpa

Çözüm:

)2( :DenklemiUygunluk

10

21

21

PPPFy

Sistemin uygunluk denklemi:

1224

3

14

3

42

3222

41

3111 8.2

1414010

10100206464 PPPP

GdRPn

GdRPn

21

(1) ve (2) denklemi çözüldüğünde yay kuvvetleri aşağıdaki gibi bulunur:

NPNP 280 ve100 21

a)

b)

mm

GdRPn

GdRPn

1281001010100

1002064

6464

2143

3

1

42

3222

241

3111

1

δ1 veya δ2 den biri kullanılabilir:

Örnek: Şekildeki L=4.7 m uzunluğundaki

AB rijit çubuğu A ve B yayları ile

desteklenerek P yüküne maruz

bırakıldığına göre:

a) Çubuğun yatay kalabilmesi için P

kuvvetinin uygulanması gereken

noktayı bulunuz.

b) Emniyetle taşınabilecek P yükünü

hesaplayınız.

c) Çubuğun çökmesini belirleyiniz.

mmdmmRD

n

A

AA

A

10,1202

50

A yayı

mmdmmRD

n

B

BB

B

101802

20

B yayı

GPaGMPaem

80100

Mekanik ozellikleri

olmalıBA

4

3

4

3 64 ve64

B

BBBB

A

AAAA Gd

RPnGd

RPn

4

3

4

3 6464

B

BBB

A

AAA

BA

BA

GdRPn

GdRPn

dd

Çözüm

35.1

90206050 3333

B

A

BABBBAAA

PP

PPPRnPRn

PPPP

PPPP

PPPF

A

BBA

B

A

BAy

5745.04255.0

35.135.1

0

35.135.1

0

ab

PP

ab

PPbPaPM

B

A

B

ABAC

mb

maaaba

7.22

7.435.17.4

AP BP

Pa b

CA B

ii

ii

İ

ii mm

mkdRm 615.0

44142

2.112615.0

4124112412

10602

AA km

NRk

dPd

RPkAA

AemAem

A

AAAA 7.272

602.11610100

1616 33

3max

NPPPP AA 67.474

5745.07.272

5745.05745.0

A yayına göre P kuvvetinin bulunması

A yayında oluşan maksimum kayma gerilmesi

078.118615.0

4184118418

10902

BB km

NRk

dP

dRPk

BB

BemB

emB

BBBB

4.20290078.116

1010016

16

33

3max

NPPPB 4764255.0

B yayına göre P kuvvetinin bulunması

B yayında oluşan maksimum kayma gerilmesi

Emniyetle taşınabilecek yük küçük olan değer olmalıdır. Buna göre

olmalıdır.

NPP Aem 67.474

mmGd

RPn

AB

A

AAAAB

6.235101080

607.27250646443

3

4

3

1

2 33

F F

m1 m1

Rijit

kirişAB

C

EXAMPLE (Craig)During the drilling of an oil well, the section of the drill pipe at A (above ground level) is under combined loading due to a tensile force P = 70 kips and a torque T = 6 kip. ft, as illustrated in Fig. 1.The drill pipe has an outside diameter of 4.0 in. and an inside diameter of 3.64 in. Determine the maximum shear stress at point A on the outer surface of the drill pipe. The radial stress at this point is zero. The yield strength in tension of this drill pipe is 95 ksi.

Fig. Portions of an oilwell drill string.

Solution

Stress Resultants: The stress resultants are given in the problem statement:

F = P = 70 kips, T = 6 kip . ft (1)

Individual Stresses: we get the normal stress

EXAMPLEWind blowing on a sign produces a pressure whose resultant, P, acts in the y direction at point C, as shown in Fig. 1.The weight of the sign, Ws, acts vertically through point C, and the thin-wall pipe that supports the sign has a weight WP. Following the procedure outlined at the beginning of Section 9.4,determine the principal stresses at points A and B, where the pipe column is attached to its base. Use the following numerical data.

Example: A thin-walled cylindrical pressure vessel with a circular cross

section is subjected to internal gas pressure p and simultaneously

compressed by an axial load P=12 k (Fig. 8-25a). The cylinder has inner

radius r=2.1 in. and wall thickness t=0.15 in.

Determine the maximum allowable internal pressure pallow based upon

an allowable shear stress of 6500 psi in the wall of the vessel.

Example (GERE): The rotor shaft of a helicopter drives the rotor blades that provide the lifting force to support the helicopter in the air. As a consequence, the shaft is subjected to a combination of torsion and axial loading.For a 50-mm diameter shaft transmitting a torque T=2.4 kNm and atensile force P=125 kN, determine the maximum tensile stress, maximum compressive stress, and maximum shear stress in the shaft.

Example (GERE): A tubular post of square cross section supports a horizontal platform (Fig. 8-28). The tube has outer dimension b=6 in. and wall thickness t=0.5 in. The platform has dimensions 6.75 in. x 24.0 in. and supports a uniformly distributed load of 20 psi acting over its upper surface. The resultant of this distributed load is a vertical force P1 :

This force acts at the midpoint of the platform, which is at distance d=9 in. from the longitudinal axis of the post. A second load P2=800 lb acts horizontally on the post at height h=52 in. above the base. Determine the principal stresses and maximum shear stresses at points A and B at the base of the post due to the loads P1= and P2=.