1

Određivanje težine (mase) objekta

1 Određivanje težine objekta koncentrisane u nivou krova

11 Sitnorebrasta tavanica

Ukupna dužina svetlih raspona za 1 rebro 4middot(60-040)= 4middot560=2240m

Stalno opterećenje za 1 rebro gr = 29125 kNm

Broj rebara tavanice između dva podužna okvira nr=13

3middot13middot29125middot2240 = 2544360 kN

12 Betonska ograda (podužni pravac)

Ukupna dužina za 1 betonsku ogradu 4middot60= =2400m

Stalno opterećenje za 1 betonsku ogradu gbo = 020150250=750 kNm

2middot750middot2400 = 360000 kN

13 Konzolna ploča

Ukupna svetla dužina konzolne ploče 240 - 2middot020 = 2360m

Stalno opterećenje za 1m dužni konzolne ploče gkp = 465 kNm

Svetli raspon konzolne ploče lokp=180m

2middot180middot465middot2360 = 395064 kN

14 Podužne grede okvira

Ukupna dužina svetlih raspona za 1 gredu 4middot(60-040)= 4middot560=2240m

Stalno opterećenje (ivična podužna greda okvira)

((035-030)middot005+060middot060)middot250+((035-030)+060)middot30= 90625+195= 110125 kNm

Stalno opterećenje (unutrašnja podužna greda okvira)

(2middot(035-020)middot005+040middot060)middot250+(2middot(035-020)+040)middot30= 6375+210= 8475 kNm

2middot110125middot2240 = 493360 kN

2middot8475middot2240 = 379680 kN

15 Poprečne grede okvira

Ukupna dužina grede 3middot72+2middot020 = 2200m

Stalno opterećenje (ivična poprečna greda okvira)

(020middot150+040middot060)middot250+020middot30= 13500+060= 14100 kNm

Stalno opterećenje (unutrašnja poprečna greda okvira)

(040middot060)middot250+040middot30= 600+120= 7200 kNm

2middot14100middot2200 = 620400 kN

3middot7200middot2200 = 475200 kN

16 Ploča iznad stepeništa

Svetla širina ploče 30-2middot020 = 260m

Svetla dužina ploče 72-2middot020 = 680m

Stalno opterećenje ploče

014middot250+060+005middot160= 350+060+080= 4900 kNm2

260middot680middot490 = 86632 kN

2

17 Grede iznad stepeništa

Ukupna dužina svetlog raspona za 1 podužnu gredu (30-040)= 260m

Ukupna dužina za poprečnu gredu (72+2middot020)= 760m

Stalno opterećenje (podužna greda okvira)

040middot060middot250+040middot(060+005middot160)= 600+056= 6560 kNm

Stalno opterećenje (poprečna greda okvira)

040middot040middot250+040middot(060+005middot160)= 400+056= 4560 kNm

2middot6560middot260 = 34112 kN

1middot4560middot760 = 34656 kN

18 Opterećenje od snega (krov)

Širina krova 3middot72+2middot(030+180) = 2580m

Dužina krova 4middot600 = 2400m

Opterećenje od snega s=075 kNm2

2580middot2400middot075 = 464400 kN

19 Opterećenje od snega (stepenište)

Širina krova stepeništa 30+020 = 320m

Dužina krova stepeništa 72+2middot020 = 760m

Opterećenje od snega s=075 kNm2

320middot760middot075 = 18240 kN

110 Stubovi

Svetla visina stuba (40-060)= 340m

Stalno opterećenje 040middot040middot250 = 4000 kNm

Ukupan broj stubova ns=5middot4+2=22

22middot400middot3402 = 149600 kN

111 Zidovi (armiranobetonski)

Svetla visina zida (40-060)= 340m

Stalno opterećenje 020middot260middot250 = 13000 kNm

Ukupan broj zidova nz=2

2middot1300middot3402 = 44200 kN

G2 = 6099904 kN

3

2 Određivanje težine objekta koncentrisane u nivou prvog sprata

21 Krstasto armirana ploča

Svetla širina ploče 60-040= 560m

Svetla dužina ploče 72-040= 680m

Stalno opterećenje ploče gp = 600 kNm2

12middot600middot560middot680 = 2741760 kN

22 Ploča podesta

Svetla širina ploče 1495-(020+0352)= 112m

Svetla dužina ploče 30-040= 260m

Stalno opterećenje ploče gpp = 470 kNm2

470middot112middot260 = 13687 kN

23 Greda podesta

Svetla dužina grede 30-040 = 260m

Stalno opterećenje gpg = 300 kNm2

300middot260 = 7800 kN

24 Stepenišni krak (SK2)

Širina stepenišnog kraka 125m

Stalno opterećenje

Reakcije oslonaca stepenišnog kraka RAg=18891 kNm RBg=15203 kNm

(18891+15203)middot125 = 42618 kN

25 Podužne grede okvira

Ukupna dužina svetlih raspona za 1 gredu 4middot(60-040)= 4middot560=2240m

Stalno opterećenje (podužna greda okvira)

(040middot060)middot250+040middot15= 600+060= 6600 kNm

4middot6600middot2240 = 591360 kN

26 Poprečne grede okvira

Ukupna dužina grede 3middot72+2middot020 = 2200m

Stalno opterećenje (poprečna greda okvira)

(040middot080)middot250+040middot30= 800+120= 9200 kNm

5middot9200middot2200 = 1012000 kN

27 Korisno opterećenje (polovina maksimalnog intenziteta na celoj ploči)

Površina ploče 12middot680middot560+2middot(04+(04-025))middot224+(3middot04+2middot(04-025))middot204 = 5122m2

Korisno opterećenje p2=500 kNm2

500middot5122 = 2561000 kN

28 Korisno opterećenje na stepenišnom kraku (polovina maksimalnog intenziteta)

Korisno opterećenje p2=250 kNm2

Reakcije oslonaca stepenišnog kraka RAp=RBp=11500 kNm

05middot(1150+1150)middot125 = 14375 kN

4

29 Stubovi

Svetla visina stuba u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 040middot040middot250 = 4000 kNm

Ukupan broj stubova ns=5middot4+2=22

22middot400middot(340+370)2 = 312400 kN

210 Zidovi (armiranobetonski)

Svetla visina zida u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 020middot260middot250 = 13000 kNm

Ukupan broj zidova nz=2

2middot1300middot(340+370)2 = 92300 kN

211 Fasadni zidovi (bdquosendvičldquo - dz=25+5+12=42cm)

Svetla visina podužnog fasadnog zida na spratu (400-15)= 250m

Svetla visina podužnog fasadnog zida stepeništa na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida stepeništa na spratu (400-25)= 150m

Stalno opterećenje gz1 = 65 kNm2 (vertikalne površine zida)

Stalno opterećenje gz2 = 25 kNm2 (vertikalne površine zida)

2middot25middot2440middot650= 793200 kN

1middot40middot2200middot650= 572000 kN

2middot40middot7200middot650= 374400 kN

1middot15middot7200middot650= 70200 kN

2middot40middot300middot250= 60000 kN

212 Unutrašnji zidovi (puna opeka ndash dz=25cm)

Svetla visina poprečnog pregradnog zida na spratu (400-06)= 340m

Stalno opterećenje gz3 = 46 kNm2 (vertikalne površine zida)

1middot34middot560middot460= 87584 kN

G1 = 9346684 kN

5

Proračun perioda oscilovanja

Matrični oblik diferencijalnih jednačina kretanja sistema sa n stepeni slobode kretanja u slučaju slobodnih vibracija je

[ ] [ ] 0ukum =+

[ ]m - je matrica masa sistema [ ]k - je matrica krutosti sistema u i u su odgovarajući vektori ubrzanja i pomeranja sistema

Rešenje sistema diferencijalnih jednačina traži se u obliku periodičnih funkcija za koje je ispunjeno

uu 2ωminus=

jer je u tom slučaju zavisnost između i-te komponente vektora ubrzanja i i-te komponente vektora

pomeranja i

2

i uu ωminus= gde je ω odgovarajuća kružna frekvencija

Sistem diferencijalnih jednačina kretanja se svodi na sistem linearnih jednačina

[ ] [ ] umuk 2ω=

koji se kada se u prethodnoj matričnoj jednačini leva i desna strana pomnože sa inverznom

matricom matrice masa [ ] 1m minus može napisati i u sledećem obliku

[ ] [ ] uukm 21 ω=minus

Matrica [ ]w se definiše kao proizvod inverzne matrice masa i matrice krutosti sistema

[ ] [ ] [ ]kmw 1minus=

Sistem lineranih jednačina dobija oblik

[ ] [ ]( ) 0uIw 2 =ωminus

Matica sistema linearnih jednačina [ ]1w se određuje na osnovu izraza

[ ] [ ] [ ]( )Iww 2

1 ωminus=

gde je [ ]I dijagonalna jedinična matrica

Da bi sistem linearnih jednačina [ ] 0uw1 = imao rešenje različito od trivijalnog potrebno je da

determinanta matrice sistema bude jednaka nuli

[ ] [ ] [ ]Iwwwdet 2

11 ωminus==

Svojstvene vrednosti karakteristične polinomijalne jednačine n-tog stepena predstavljaju tražene

vrednosti kvadrata kružne frekvencije 2

iω gde je i=12 n

Najniža kružna frekvencija ω1 odgovara prvom tonu oscilovanja Toj kružnoj frekvenciji odgovara period oscilovanja T1=2π ω1

6

Određivanje raspodele seizmičkih sila na pojedine elemente

Matrica fleksibilnosti elementa

[ ]eδ

Matrica krutosti elementa je jednaka inverznoj matrici matrice fleksibilnosti elementa

[ ] [ ] 1

eek minusδ=

Matrica krutosti sistema je jednaka zbiru matrica krutosti elementa

[ ] [ ]=en

1eS kk

Matrica fleksibilnosti sistema je jednaka inverznoj matrici matrice krutosti sistema

[ ] [ ] 1

SS k minus=δ

Uslovi ravnoteže sistema pri delovanju seizmičkih sila (u matričnom obliku)

[ ] SukS =

Vektor seizmičkih sila formiraju takozvane spratne seizmičke sile

=

n

i

1

S

S

S

S

koje se u slučaju objekta sa do 5 spratova mogu odrediti primenom izraza (kojim se sprovodi aproksimacija 1-og tona oscilovanja)

sdotsdot=

iii

iii HG

HGSS

Vektor pomeranja sistema se dobija kao

[ ] [ ] SSku S

1

S δ== minus

Na osnovu prethodno uvedene pretpostavke o tavanicama apsolutno krutim u svojoj ravni sledi da je vektor pomeranja nekog elementa sistema jednak vektoru pomeranja sistema kao celine

uue =

Vektor seizmičkih sila koje deluju na određeni element sistema dobija se na osnovu izraza

[ ] ukS ee =

7

Približan postupak određivanja matrice fleksibilnosti višespratnih višepoljnih ramova

Ukupni koeficijent krutosti svih stubova i-tog sprata je =j

i

sj

i h

EJf

gde je hi i-ta spratna visina a j je ukupan broj stubova okvira na i-tom spratu

Ukupni koeficijent krutosti svih greda i-tog sprata je =l

l

rli L

EJr

gde je Ll raspon l-te grede u nivou i-tog sprata a l je ukupan broj greda okvira na i-tom spratu

Koeficijent Pk koji se odnosi na posmatrani k-ti sprat okvira određuje se kao ==

k

1jj

2

k f

hP j

Koeficijenti Rk koji se odnose na posmatrani k-ti sprat okvira određuju se kao

1k za

3f

r4

hR

11

2

11 =+sdot

= 2k za

3f

r4

hhR

11

2

2

2

21 =

+sdot

+=

( )2k za

r4

hhRR

1k

2

k1k1kk gt

sdot++=

minus

minusminus (rekurzivni izraz)

Elementi matrice fleksibilnosti

Elementi na glavnoj dijagonali

( ) 1k za RP 12

11111 =+=δ 1k za

r4

hRP

12

1

k

2

kkkkk gt

sdot

++=δ

Vandijagonalni elementi

1k za f4r48

hh

11

21111nn12112 =

+sdot+δ=δ=δ==δ=δ

1k za r48

h

k

2

kkknkknk1k1kk gt+δ=δ=δ==δ=δ ++

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

2

17 Grede iznad stepeništa

Ukupna dužina svetlog raspona za 1 podužnu gredu (30-040)= 260m

Ukupna dužina za poprečnu gredu (72+2middot020)= 760m

Stalno opterećenje (podužna greda okvira)

040middot060middot250+040middot(060+005middot160)= 600+056= 6560 kNm

Stalno opterećenje (poprečna greda okvira)

040middot040middot250+040middot(060+005middot160)= 400+056= 4560 kNm

2middot6560middot260 = 34112 kN

1middot4560middot760 = 34656 kN

18 Opterećenje od snega (krov)

Širina krova 3middot72+2middot(030+180) = 2580m

Dužina krova 4middot600 = 2400m

Opterećenje od snega s=075 kNm2

2580middot2400middot075 = 464400 kN

19 Opterećenje od snega (stepenište)

Širina krova stepeništa 30+020 = 320m

Dužina krova stepeništa 72+2middot020 = 760m

Opterećenje od snega s=075 kNm2

320middot760middot075 = 18240 kN

110 Stubovi

Svetla visina stuba (40-060)= 340m

Stalno opterećenje 040middot040middot250 = 4000 kNm

Ukupan broj stubova ns=5middot4+2=22

22middot400middot3402 = 149600 kN

111 Zidovi (armiranobetonski)

Svetla visina zida (40-060)= 340m

Stalno opterećenje 020middot260middot250 = 13000 kNm

Ukupan broj zidova nz=2

2middot1300middot3402 = 44200 kN

G2 = 6099904 kN

3

2 Određivanje težine objekta koncentrisane u nivou prvog sprata

21 Krstasto armirana ploča

Svetla širina ploče 60-040= 560m

Svetla dužina ploče 72-040= 680m

Stalno opterećenje ploče gp = 600 kNm2

12middot600middot560middot680 = 2741760 kN

22 Ploča podesta

Svetla širina ploče 1495-(020+0352)= 112m

Svetla dužina ploče 30-040= 260m

Stalno opterećenje ploče gpp = 470 kNm2

470middot112middot260 = 13687 kN

23 Greda podesta

Svetla dužina grede 30-040 = 260m

Stalno opterećenje gpg = 300 kNm2

300middot260 = 7800 kN

24 Stepenišni krak (SK2)

Širina stepenišnog kraka 125m

Stalno opterećenje

Reakcije oslonaca stepenišnog kraka RAg=18891 kNm RBg=15203 kNm

(18891+15203)middot125 = 42618 kN

25 Podužne grede okvira

Ukupna dužina svetlih raspona za 1 gredu 4middot(60-040)= 4middot560=2240m

Stalno opterećenje (podužna greda okvira)

(040middot060)middot250+040middot15= 600+060= 6600 kNm

4middot6600middot2240 = 591360 kN

26 Poprečne grede okvira

Ukupna dužina grede 3middot72+2middot020 = 2200m

Stalno opterećenje (poprečna greda okvira)

(040middot080)middot250+040middot30= 800+120= 9200 kNm

5middot9200middot2200 = 1012000 kN

27 Korisno opterećenje (polovina maksimalnog intenziteta na celoj ploči)

Površina ploče 12middot680middot560+2middot(04+(04-025))middot224+(3middot04+2middot(04-025))middot204 = 5122m2

Korisno opterećenje p2=500 kNm2

500middot5122 = 2561000 kN

28 Korisno opterećenje na stepenišnom kraku (polovina maksimalnog intenziteta)

Korisno opterećenje p2=250 kNm2

Reakcije oslonaca stepenišnog kraka RAp=RBp=11500 kNm

05middot(1150+1150)middot125 = 14375 kN

4

29 Stubovi

Svetla visina stuba u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 040middot040middot250 = 4000 kNm

Ukupan broj stubova ns=5middot4+2=22

22middot400middot(340+370)2 = 312400 kN

210 Zidovi (armiranobetonski)

Svetla visina zida u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 020middot260middot250 = 13000 kNm

Ukupan broj zidova nz=2

2middot1300middot(340+370)2 = 92300 kN

211 Fasadni zidovi (bdquosendvičldquo - dz=25+5+12=42cm)

Svetla visina podužnog fasadnog zida na spratu (400-15)= 250m

Svetla visina podužnog fasadnog zida stepeništa na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida stepeništa na spratu (400-25)= 150m

Stalno opterećenje gz1 = 65 kNm2 (vertikalne površine zida)

Stalno opterećenje gz2 = 25 kNm2 (vertikalne površine zida)

2middot25middot2440middot650= 793200 kN

1middot40middot2200middot650= 572000 kN

2middot40middot7200middot650= 374400 kN

1middot15middot7200middot650= 70200 kN

2middot40middot300middot250= 60000 kN

212 Unutrašnji zidovi (puna opeka ndash dz=25cm)

Svetla visina poprečnog pregradnog zida na spratu (400-06)= 340m

Stalno opterećenje gz3 = 46 kNm2 (vertikalne površine zida)

1middot34middot560middot460= 87584 kN

G1 = 9346684 kN

5

Proračun perioda oscilovanja

Matrični oblik diferencijalnih jednačina kretanja sistema sa n stepeni slobode kretanja u slučaju slobodnih vibracija je

[ ] [ ] 0ukum =+

[ ]m - je matrica masa sistema [ ]k - je matrica krutosti sistema u i u su odgovarajući vektori ubrzanja i pomeranja sistema

Rešenje sistema diferencijalnih jednačina traži se u obliku periodičnih funkcija za koje je ispunjeno

uu 2ωminus=

jer je u tom slučaju zavisnost između i-te komponente vektora ubrzanja i i-te komponente vektora

pomeranja i

2

i uu ωminus= gde je ω odgovarajuća kružna frekvencija

Sistem diferencijalnih jednačina kretanja se svodi na sistem linearnih jednačina

[ ] [ ] umuk 2ω=

koji se kada se u prethodnoj matričnoj jednačini leva i desna strana pomnože sa inverznom

matricom matrice masa [ ] 1m minus može napisati i u sledećem obliku

[ ] [ ] uukm 21 ω=minus

Matrica [ ]w se definiše kao proizvod inverzne matrice masa i matrice krutosti sistema

[ ] [ ] [ ]kmw 1minus=

Sistem lineranih jednačina dobija oblik

[ ] [ ]( ) 0uIw 2 =ωminus

Matica sistema linearnih jednačina [ ]1w se određuje na osnovu izraza

[ ] [ ] [ ]( )Iww 2

1 ωminus=

gde je [ ]I dijagonalna jedinična matrica

Da bi sistem linearnih jednačina [ ] 0uw1 = imao rešenje različito od trivijalnog potrebno je da

determinanta matrice sistema bude jednaka nuli

[ ] [ ] [ ]Iwwwdet 2

11 ωminus==

Svojstvene vrednosti karakteristične polinomijalne jednačine n-tog stepena predstavljaju tražene

vrednosti kvadrata kružne frekvencije 2

iω gde je i=12 n

Najniža kružna frekvencija ω1 odgovara prvom tonu oscilovanja Toj kružnoj frekvenciji odgovara period oscilovanja T1=2π ω1

6

Određivanje raspodele seizmičkih sila na pojedine elemente

Matrica fleksibilnosti elementa

[ ]eδ

Matrica krutosti elementa je jednaka inverznoj matrici matrice fleksibilnosti elementa

[ ] [ ] 1

eek minusδ=

Matrica krutosti sistema je jednaka zbiru matrica krutosti elementa

[ ] [ ]=en

1eS kk

Matrica fleksibilnosti sistema je jednaka inverznoj matrici matrice krutosti sistema

[ ] [ ] 1

SS k minus=δ

Uslovi ravnoteže sistema pri delovanju seizmičkih sila (u matričnom obliku)

[ ] SukS =

Vektor seizmičkih sila formiraju takozvane spratne seizmičke sile

=

n

i

1

S

S

S

S

koje se u slučaju objekta sa do 5 spratova mogu odrediti primenom izraza (kojim se sprovodi aproksimacija 1-og tona oscilovanja)

sdotsdot=

iii

iii HG

HGSS

Vektor pomeranja sistema se dobija kao

[ ] [ ] SSku S

1

S δ== minus

Na osnovu prethodno uvedene pretpostavke o tavanicama apsolutno krutim u svojoj ravni sledi da je vektor pomeranja nekog elementa sistema jednak vektoru pomeranja sistema kao celine

uue =

Vektor seizmičkih sila koje deluju na određeni element sistema dobija se na osnovu izraza

[ ] ukS ee =

7

Približan postupak određivanja matrice fleksibilnosti višespratnih višepoljnih ramova

Ukupni koeficijent krutosti svih stubova i-tog sprata je =j

i

sj

i h

EJf

gde je hi i-ta spratna visina a j je ukupan broj stubova okvira na i-tom spratu

Ukupni koeficijent krutosti svih greda i-tog sprata je =l

l

rli L

EJr

gde je Ll raspon l-te grede u nivou i-tog sprata a l je ukupan broj greda okvira na i-tom spratu

Koeficijent Pk koji se odnosi na posmatrani k-ti sprat okvira određuje se kao ==

k

1jj

2

k f

hP j

Koeficijenti Rk koji se odnose na posmatrani k-ti sprat okvira određuju se kao

1k za

3f

r4

hR

11

2

11 =+sdot

= 2k za

3f

r4

hhR

11

2

2

2

21 =

+sdot

+=

( )2k za

r4

hhRR

1k

2

k1k1kk gt

sdot++=

minus

minusminus (rekurzivni izraz)

Elementi matrice fleksibilnosti

Elementi na glavnoj dijagonali

( ) 1k za RP 12

11111 =+=δ 1k za

r4

hRP

12

1

k

2

kkkkk gt

sdot

++=δ

Vandijagonalni elementi

1k za f4r48

hh

11

21111nn12112 =

+sdot+δ=δ=δ==δ=δ

1k za r48

h

k

2

kkknkknk1k1kk gt+δ=δ=δ==δ=δ ++

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

3

2 Određivanje težine objekta koncentrisane u nivou prvog sprata

21 Krstasto armirana ploča

Svetla širina ploče 60-040= 560m

Svetla dužina ploče 72-040= 680m

Stalno opterećenje ploče gp = 600 kNm2

12middot600middot560middot680 = 2741760 kN

22 Ploča podesta

Svetla širina ploče 1495-(020+0352)= 112m

Svetla dužina ploče 30-040= 260m

Stalno opterećenje ploče gpp = 470 kNm2

470middot112middot260 = 13687 kN

23 Greda podesta

Svetla dužina grede 30-040 = 260m

Stalno opterećenje gpg = 300 kNm2

300middot260 = 7800 kN

24 Stepenišni krak (SK2)

Širina stepenišnog kraka 125m

Stalno opterećenje

Reakcije oslonaca stepenišnog kraka RAg=18891 kNm RBg=15203 kNm

(18891+15203)middot125 = 42618 kN

25 Podužne grede okvira

Ukupna dužina svetlih raspona za 1 gredu 4middot(60-040)= 4middot560=2240m

Stalno opterećenje (podužna greda okvira)

(040middot060)middot250+040middot15= 600+060= 6600 kNm

4middot6600middot2240 = 591360 kN

26 Poprečne grede okvira

Ukupna dužina grede 3middot72+2middot020 = 2200m

Stalno opterećenje (poprečna greda okvira)

(040middot080)middot250+040middot30= 800+120= 9200 kNm

5middot9200middot2200 = 1012000 kN

27 Korisno opterećenje (polovina maksimalnog intenziteta na celoj ploči)

Površina ploče 12middot680middot560+2middot(04+(04-025))middot224+(3middot04+2middot(04-025))middot204 = 5122m2

Korisno opterećenje p2=500 kNm2

500middot5122 = 2561000 kN

28 Korisno opterećenje na stepenišnom kraku (polovina maksimalnog intenziteta)

Korisno opterećenje p2=250 kNm2

Reakcije oslonaca stepenišnog kraka RAp=RBp=11500 kNm

05middot(1150+1150)middot125 = 14375 kN

4

29 Stubovi

Svetla visina stuba u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 040middot040middot250 = 4000 kNm

Ukupan broj stubova ns=5middot4+2=22

22middot400middot(340+370)2 = 312400 kN

210 Zidovi (armiranobetonski)

Svetla visina zida u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 020middot260middot250 = 13000 kNm

Ukupan broj zidova nz=2

2middot1300middot(340+370)2 = 92300 kN

211 Fasadni zidovi (bdquosendvičldquo - dz=25+5+12=42cm)

Svetla visina podužnog fasadnog zida na spratu (400-15)= 250m

Svetla visina podužnog fasadnog zida stepeništa na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida stepeništa na spratu (400-25)= 150m

Stalno opterećenje gz1 = 65 kNm2 (vertikalne površine zida)

Stalno opterećenje gz2 = 25 kNm2 (vertikalne površine zida)

2middot25middot2440middot650= 793200 kN

1middot40middot2200middot650= 572000 kN

2middot40middot7200middot650= 374400 kN

1middot15middot7200middot650= 70200 kN

2middot40middot300middot250= 60000 kN

212 Unutrašnji zidovi (puna opeka ndash dz=25cm)

Svetla visina poprečnog pregradnog zida na spratu (400-06)= 340m

Stalno opterećenje gz3 = 46 kNm2 (vertikalne površine zida)

1middot34middot560middot460= 87584 kN

G1 = 9346684 kN

5

Proračun perioda oscilovanja

Matrični oblik diferencijalnih jednačina kretanja sistema sa n stepeni slobode kretanja u slučaju slobodnih vibracija je

[ ] [ ] 0ukum =+

[ ]m - je matrica masa sistema [ ]k - je matrica krutosti sistema u i u su odgovarajući vektori ubrzanja i pomeranja sistema

Rešenje sistema diferencijalnih jednačina traži se u obliku periodičnih funkcija za koje je ispunjeno

uu 2ωminus=

jer je u tom slučaju zavisnost između i-te komponente vektora ubrzanja i i-te komponente vektora

pomeranja i

2

i uu ωminus= gde je ω odgovarajuća kružna frekvencija

Sistem diferencijalnih jednačina kretanja se svodi na sistem linearnih jednačina

[ ] [ ] umuk 2ω=

koji se kada se u prethodnoj matričnoj jednačini leva i desna strana pomnože sa inverznom

matricom matrice masa [ ] 1m minus može napisati i u sledećem obliku

[ ] [ ] uukm 21 ω=minus

Matrica [ ]w se definiše kao proizvod inverzne matrice masa i matrice krutosti sistema

[ ] [ ] [ ]kmw 1minus=

Sistem lineranih jednačina dobija oblik

[ ] [ ]( ) 0uIw 2 =ωminus

Matica sistema linearnih jednačina [ ]1w se određuje na osnovu izraza

[ ] [ ] [ ]( )Iww 2

1 ωminus=

gde je [ ]I dijagonalna jedinična matrica

Da bi sistem linearnih jednačina [ ] 0uw1 = imao rešenje različito od trivijalnog potrebno je da

determinanta matrice sistema bude jednaka nuli

[ ] [ ] [ ]Iwwwdet 2

11 ωminus==

Svojstvene vrednosti karakteristične polinomijalne jednačine n-tog stepena predstavljaju tražene

vrednosti kvadrata kružne frekvencije 2

iω gde je i=12 n

Najniža kružna frekvencija ω1 odgovara prvom tonu oscilovanja Toj kružnoj frekvenciji odgovara period oscilovanja T1=2π ω1

6

Određivanje raspodele seizmičkih sila na pojedine elemente

Matrica fleksibilnosti elementa

[ ]eδ

Matrica krutosti elementa je jednaka inverznoj matrici matrice fleksibilnosti elementa

[ ] [ ] 1

eek minusδ=

Matrica krutosti sistema je jednaka zbiru matrica krutosti elementa

[ ] [ ]=en

1eS kk

Matrica fleksibilnosti sistema je jednaka inverznoj matrici matrice krutosti sistema

[ ] [ ] 1

SS k minus=δ

Uslovi ravnoteže sistema pri delovanju seizmičkih sila (u matričnom obliku)

[ ] SukS =

Vektor seizmičkih sila formiraju takozvane spratne seizmičke sile

=

n

i

1

S

S

S

S

koje se u slučaju objekta sa do 5 spratova mogu odrediti primenom izraza (kojim se sprovodi aproksimacija 1-og tona oscilovanja)

sdotsdot=

iii

iii HG

HGSS

Vektor pomeranja sistema se dobija kao

[ ] [ ] SSku S

1

S δ== minus

Na osnovu prethodno uvedene pretpostavke o tavanicama apsolutno krutim u svojoj ravni sledi da je vektor pomeranja nekog elementa sistema jednak vektoru pomeranja sistema kao celine

uue =

Vektor seizmičkih sila koje deluju na određeni element sistema dobija se na osnovu izraza

[ ] ukS ee =

7

Približan postupak određivanja matrice fleksibilnosti višespratnih višepoljnih ramova

Ukupni koeficijent krutosti svih stubova i-tog sprata je =j

i

sj

i h

EJf

gde je hi i-ta spratna visina a j je ukupan broj stubova okvira na i-tom spratu

Ukupni koeficijent krutosti svih greda i-tog sprata je =l

l

rli L

EJr

gde je Ll raspon l-te grede u nivou i-tog sprata a l je ukupan broj greda okvira na i-tom spratu

Koeficijent Pk koji se odnosi na posmatrani k-ti sprat okvira određuje se kao ==

k

1jj

2

k f

hP j

Koeficijenti Rk koji se odnose na posmatrani k-ti sprat okvira određuju se kao

1k za

3f

r4

hR

11

2

11 =+sdot

= 2k za

3f

r4

hhR

11

2

2

2

21 =

+sdot

+=

( )2k za

r4

hhRR

1k

2

k1k1kk gt

sdot++=

minus

minusminus (rekurzivni izraz)

Elementi matrice fleksibilnosti

Elementi na glavnoj dijagonali

( ) 1k za RP 12

11111 =+=δ 1k za

r4

hRP

12

1

k

2

kkkkk gt

sdot

++=δ

Vandijagonalni elementi

1k za f4r48

hh

11

21111nn12112 =

+sdot+δ=δ=δ==δ=δ

1k za r48

h

k

2

kkknkknk1k1kk gt+δ=δ=δ==δ=δ ++

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

4

29 Stubovi

Svetla visina stuba u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 040middot040middot250 = 4000 kNm

Ukupan broj stubova ns=5middot4+2=22

22middot400middot(340+370)2 = 312400 kN

210 Zidovi (armiranobetonski)

Svetla visina zida u prizemlju (450-080)= 370m

Stalno opterećenje 020middot260middot250 = 13000 kNm

Ukupan broj zidova nz=2

2middot1300middot(340+370)2 = 92300 kN

211 Fasadni zidovi (bdquosendvičldquo - dz=25+5+12=42cm)

Svetla visina podužnog fasadnog zida na spratu (400-15)= 250m

Svetla visina podužnog fasadnog zida stepeništa na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida na spratu 400m

Svetla visina poprečnog fasadnog zida stepeništa na spratu (400-25)= 150m

Stalno opterećenje gz1 = 65 kNm2 (vertikalne površine zida)

Stalno opterećenje gz2 = 25 kNm2 (vertikalne površine zida)

2middot25middot2440middot650= 793200 kN

1middot40middot2200middot650= 572000 kN

2middot40middot7200middot650= 374400 kN

1middot15middot7200middot650= 70200 kN

2middot40middot300middot250= 60000 kN

212 Unutrašnji zidovi (puna opeka ndash dz=25cm)

Svetla visina poprečnog pregradnog zida na spratu (400-06)= 340m

Stalno opterećenje gz3 = 46 kNm2 (vertikalne površine zida)

1middot34middot560middot460= 87584 kN

G1 = 9346684 kN

5

Proračun perioda oscilovanja

Matrični oblik diferencijalnih jednačina kretanja sistema sa n stepeni slobode kretanja u slučaju slobodnih vibracija je

[ ] [ ] 0ukum =+

[ ]m - je matrica masa sistema [ ]k - je matrica krutosti sistema u i u su odgovarajući vektori ubrzanja i pomeranja sistema

Rešenje sistema diferencijalnih jednačina traži se u obliku periodičnih funkcija za koje je ispunjeno

uu 2ωminus=

jer je u tom slučaju zavisnost između i-te komponente vektora ubrzanja i i-te komponente vektora

pomeranja i

2

i uu ωminus= gde je ω odgovarajuća kružna frekvencija

Sistem diferencijalnih jednačina kretanja se svodi na sistem linearnih jednačina

[ ] [ ] umuk 2ω=

koji se kada se u prethodnoj matričnoj jednačini leva i desna strana pomnože sa inverznom

matricom matrice masa [ ] 1m minus može napisati i u sledećem obliku

[ ] [ ] uukm 21 ω=minus

Matrica [ ]w se definiše kao proizvod inverzne matrice masa i matrice krutosti sistema

[ ] [ ] [ ]kmw 1minus=

Sistem lineranih jednačina dobija oblik

[ ] [ ]( ) 0uIw 2 =ωminus

Matica sistema linearnih jednačina [ ]1w se određuje na osnovu izraza

[ ] [ ] [ ]( )Iww 2

1 ωminus=

gde je [ ]I dijagonalna jedinična matrica

Da bi sistem linearnih jednačina [ ] 0uw1 = imao rešenje različito od trivijalnog potrebno je da

determinanta matrice sistema bude jednaka nuli

[ ] [ ] [ ]Iwwwdet 2

11 ωminus==

Svojstvene vrednosti karakteristične polinomijalne jednačine n-tog stepena predstavljaju tražene

vrednosti kvadrata kružne frekvencije 2

iω gde je i=12 n

Najniža kružna frekvencija ω1 odgovara prvom tonu oscilovanja Toj kružnoj frekvenciji odgovara period oscilovanja T1=2π ω1

6

Određivanje raspodele seizmičkih sila na pojedine elemente

Matrica fleksibilnosti elementa

[ ]eδ

Matrica krutosti elementa je jednaka inverznoj matrici matrice fleksibilnosti elementa

[ ] [ ] 1

eek minusδ=

Matrica krutosti sistema je jednaka zbiru matrica krutosti elementa

[ ] [ ]=en

1eS kk

Matrica fleksibilnosti sistema je jednaka inverznoj matrici matrice krutosti sistema

[ ] [ ] 1

SS k minus=δ

Uslovi ravnoteže sistema pri delovanju seizmičkih sila (u matričnom obliku)

[ ] SukS =

Vektor seizmičkih sila formiraju takozvane spratne seizmičke sile

=

n

i

1

S

S

S

S

koje se u slučaju objekta sa do 5 spratova mogu odrediti primenom izraza (kojim se sprovodi aproksimacija 1-og tona oscilovanja)

sdotsdot=

iii

iii HG

HGSS

Vektor pomeranja sistema se dobija kao

[ ] [ ] SSku S

1

S δ== minus

Na osnovu prethodno uvedene pretpostavke o tavanicama apsolutno krutim u svojoj ravni sledi da je vektor pomeranja nekog elementa sistema jednak vektoru pomeranja sistema kao celine

uue =

Vektor seizmičkih sila koje deluju na određeni element sistema dobija se na osnovu izraza

[ ] ukS ee =

7

Približan postupak određivanja matrice fleksibilnosti višespratnih višepoljnih ramova

Ukupni koeficijent krutosti svih stubova i-tog sprata je =j

i

sj

i h

EJf

gde je hi i-ta spratna visina a j je ukupan broj stubova okvira na i-tom spratu

Ukupni koeficijent krutosti svih greda i-tog sprata je =l

l

rli L

EJr

gde je Ll raspon l-te grede u nivou i-tog sprata a l je ukupan broj greda okvira na i-tom spratu

Koeficijent Pk koji se odnosi na posmatrani k-ti sprat okvira određuje se kao ==

k

1jj

2

k f

hP j

Koeficijenti Rk koji se odnose na posmatrani k-ti sprat okvira određuju se kao

1k za

3f

r4

hR

11

2

11 =+sdot

= 2k za

3f

r4

hhR

11

2

2

2

21 =

+sdot

+=

( )2k za

r4

hhRR

1k

2

k1k1kk gt

sdot++=

minus

minusminus (rekurzivni izraz)

Elementi matrice fleksibilnosti

Elementi na glavnoj dijagonali

( ) 1k za RP 12

11111 =+=δ 1k za

r4

hRP

12

1

k

2

kkkkk gt

sdot

++=δ

Vandijagonalni elementi

1k za f4r48

hh

11

21111nn12112 =

+sdot+δ=δ=δ==δ=δ

1k za r48

h

k

2

kkknkknk1k1kk gt+δ=δ=δ==δ=δ ++

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

5

Proračun perioda oscilovanja

Matrični oblik diferencijalnih jednačina kretanja sistema sa n stepeni slobode kretanja u slučaju slobodnih vibracija je

[ ] [ ] 0ukum =+

[ ]m - je matrica masa sistema [ ]k - je matrica krutosti sistema u i u su odgovarajući vektori ubrzanja i pomeranja sistema

Rešenje sistema diferencijalnih jednačina traži se u obliku periodičnih funkcija za koje je ispunjeno

uu 2ωminus=

jer je u tom slučaju zavisnost između i-te komponente vektora ubrzanja i i-te komponente vektora

pomeranja i

2

i uu ωminus= gde je ω odgovarajuća kružna frekvencija

Sistem diferencijalnih jednačina kretanja se svodi na sistem linearnih jednačina

[ ] [ ] umuk 2ω=

koji se kada se u prethodnoj matričnoj jednačini leva i desna strana pomnože sa inverznom

matricom matrice masa [ ] 1m minus može napisati i u sledećem obliku

[ ] [ ] uukm 21 ω=minus

Matrica [ ]w se definiše kao proizvod inverzne matrice masa i matrice krutosti sistema

[ ] [ ] [ ]kmw 1minus=

Sistem lineranih jednačina dobija oblik

[ ] [ ]( ) 0uIw 2 =ωminus

Matica sistema linearnih jednačina [ ]1w se određuje na osnovu izraza

[ ] [ ] [ ]( )Iww 2

1 ωminus=

gde je [ ]I dijagonalna jedinična matrica

Da bi sistem linearnih jednačina [ ] 0uw1 = imao rešenje različito od trivijalnog potrebno je da

determinanta matrice sistema bude jednaka nuli

[ ] [ ] [ ]Iwwwdet 2

11 ωminus==

Svojstvene vrednosti karakteristične polinomijalne jednačine n-tog stepena predstavljaju tražene

vrednosti kvadrata kružne frekvencije 2

iω gde je i=12 n

Najniža kružna frekvencija ω1 odgovara prvom tonu oscilovanja Toj kružnoj frekvenciji odgovara period oscilovanja T1=2π ω1

6

Određivanje raspodele seizmičkih sila na pojedine elemente

Matrica fleksibilnosti elementa

[ ]eδ

Matrica krutosti elementa je jednaka inverznoj matrici matrice fleksibilnosti elementa

[ ] [ ] 1

eek minusδ=

Matrica krutosti sistema je jednaka zbiru matrica krutosti elementa

[ ] [ ]=en

1eS kk

Matrica fleksibilnosti sistema je jednaka inverznoj matrici matrice krutosti sistema

[ ] [ ] 1

SS k minus=δ

Uslovi ravnoteže sistema pri delovanju seizmičkih sila (u matričnom obliku)

[ ] SukS =

Vektor seizmičkih sila formiraju takozvane spratne seizmičke sile

=

n

i

1

S

S

S

S

koje se u slučaju objekta sa do 5 spratova mogu odrediti primenom izraza (kojim se sprovodi aproksimacija 1-og tona oscilovanja)

sdotsdot=

iii

iii HG

HGSS

Vektor pomeranja sistema se dobija kao

[ ] [ ] SSku S

1

S δ== minus

Na osnovu prethodno uvedene pretpostavke o tavanicama apsolutno krutim u svojoj ravni sledi da je vektor pomeranja nekog elementa sistema jednak vektoru pomeranja sistema kao celine

uue =

Vektor seizmičkih sila koje deluju na određeni element sistema dobija se na osnovu izraza

[ ] ukS ee =

7

Približan postupak određivanja matrice fleksibilnosti višespratnih višepoljnih ramova

Ukupni koeficijent krutosti svih stubova i-tog sprata je =j

i

sj

i h

EJf

gde je hi i-ta spratna visina a j je ukupan broj stubova okvira na i-tom spratu

Ukupni koeficijent krutosti svih greda i-tog sprata je =l

l

rli L

EJr

gde je Ll raspon l-te grede u nivou i-tog sprata a l je ukupan broj greda okvira na i-tom spratu

Koeficijent Pk koji se odnosi na posmatrani k-ti sprat okvira određuje se kao ==

k

1jj

2

k f

hP j

Koeficijenti Rk koji se odnose na posmatrani k-ti sprat okvira određuju se kao

1k za

3f

r4

hR

11

2

11 =+sdot

= 2k za

3f

r4

hhR

11

2

2

2

21 =

+sdot

+=

( )2k za

r4

hhRR

1k

2

k1k1kk gt

sdot++=

minus

minusminus (rekurzivni izraz)

Elementi matrice fleksibilnosti

Elementi na glavnoj dijagonali

( ) 1k za RP 12

11111 =+=δ 1k za

r4

hRP

12

1

k

2

kkkkk gt

sdot

++=δ

Vandijagonalni elementi

1k za f4r48

hh

11

21111nn12112 =

+sdot+δ=δ=δ==δ=δ

1k za r48

h

k

2

kkknkknk1k1kk gt+δ=δ=δ==δ=δ ++

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

6

Određivanje raspodele seizmičkih sila na pojedine elemente

Matrica fleksibilnosti elementa

[ ]eδ

Matrica krutosti elementa je jednaka inverznoj matrici matrice fleksibilnosti elementa

[ ] [ ] 1

eek minusδ=

Matrica krutosti sistema je jednaka zbiru matrica krutosti elementa

[ ] [ ]=en

1eS kk

Matrica fleksibilnosti sistema je jednaka inverznoj matrici matrice krutosti sistema

[ ] [ ] 1

SS k minus=δ

Uslovi ravnoteže sistema pri delovanju seizmičkih sila (u matričnom obliku)

[ ] SukS =

Vektor seizmičkih sila formiraju takozvane spratne seizmičke sile

=

n

i

1

S

S

S

S

koje se u slučaju objekta sa do 5 spratova mogu odrediti primenom izraza (kojim se sprovodi aproksimacija 1-og tona oscilovanja)

sdotsdot=

iii

iii HG

HGSS

Vektor pomeranja sistema se dobija kao

[ ] [ ] SSku S

1

S δ== minus

Na osnovu prethodno uvedene pretpostavke o tavanicama apsolutno krutim u svojoj ravni sledi da je vektor pomeranja nekog elementa sistema jednak vektoru pomeranja sistema kao celine

uue =

Vektor seizmičkih sila koje deluju na određeni element sistema dobija se na osnovu izraza

[ ] ukS ee =

7

Približan postupak određivanja matrice fleksibilnosti višespratnih višepoljnih ramova

Ukupni koeficijent krutosti svih stubova i-tog sprata je =j

i

sj

i h

EJf

gde je hi i-ta spratna visina a j je ukupan broj stubova okvira na i-tom spratu

Ukupni koeficijent krutosti svih greda i-tog sprata je =l

l

rli L

EJr

gde je Ll raspon l-te grede u nivou i-tog sprata a l je ukupan broj greda okvira na i-tom spratu

Koeficijent Pk koji se odnosi na posmatrani k-ti sprat okvira određuje se kao ==

k

1jj

2

k f

hP j

Koeficijenti Rk koji se odnose na posmatrani k-ti sprat okvira određuju se kao

1k za

3f

r4

hR

11

2

11 =+sdot

= 2k za

3f

r4

hhR

11

2

2

2

21 =

+sdot

+=

( )2k za

r4

hhRR

1k

2

k1k1kk gt

sdot++=

minus

minusminus (rekurzivni izraz)

Elementi matrice fleksibilnosti

Elementi na glavnoj dijagonali

( ) 1k za RP 12

11111 =+=δ 1k za

r4

hRP

12

1

k

2

kkkkk gt

sdot

++=δ

Vandijagonalni elementi

1k za f4r48

hh

11

21111nn12112 =

+sdot+δ=δ=δ==δ=δ

1k za r48

h

k

2

kkknkknk1k1kk gt+δ=δ=δ==δ=δ ++

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

7

Približan postupak određivanja matrice fleksibilnosti višespratnih višepoljnih ramova

Ukupni koeficijent krutosti svih stubova i-tog sprata je =j

i

sj

i h

EJf

gde je hi i-ta spratna visina a j je ukupan broj stubova okvira na i-tom spratu

Ukupni koeficijent krutosti svih greda i-tog sprata je =l

l

rli L

EJr

gde je Ll raspon l-te grede u nivou i-tog sprata a l je ukupan broj greda okvira na i-tom spratu

Koeficijent Pk koji se odnosi na posmatrani k-ti sprat okvira određuje se kao ==

k

1jj

2

k f

hP j

Koeficijenti Rk koji se odnose na posmatrani k-ti sprat okvira određuju se kao

1k za

3f

r4

hR

11

2

11 =+sdot

= 2k za

3f

r4

hhR

11

2

2

2

21 =

+sdot

+=

( )2k za

r4

hhRR

1k

2

k1k1kk gt

sdot++=

minus

minusminus (rekurzivni izraz)

Elementi matrice fleksibilnosti

Elementi na glavnoj dijagonali

( ) 1k za RP 12

11111 =+=δ 1k za

r4

hRP

12

1

k

2

kkkkk gt

sdot

++=δ

Vandijagonalni elementi

1k za f4r48

hh

11

21111nn12112 =

+sdot+δ=δ=δ==δ=δ

1k za r48

h

k

2

kkknkknk1k1kk gt+δ=δ=δ==δ=δ ++

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

8

A) Seizmički proračun - Poprečni pravac

A1 Određivanje matrica fleksibilnosti i matrica krutosti poprečnih ramova

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Stubovi (bd=4040) Js=(112)middot044=0002133 m4

Proračunska visina stubova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina stubova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

Grede u nivou sprata (bd=4080) Jr1=(112)middot040middot0803=0017067 m4

Grede u nivou krova (bd=4060) Jr2=(112)middot040middot0603=0007200 m4

Proračunski raspon greda L= 720 m

A11 Poprečni ramovi u osama C D i E i približno poprečni ramovi u osama B i F

Koeficijenti

f1 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

f2 = 4middot(315middot106middot0002133)410=65560975610 kNm

r1 = 3middot(315middot106middot0017067)720=224000000000 kNm

r2 = 3middot(315middot106middot0007200)720=94500000000 kNm

P1 = 410265560975610=256402530middot10-6 mkN

P2 = 410265560975610+410265560975610=512805060middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot224000000000+655609756103)=18314466middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot224000000000+655609756103)=73257866middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(256402530+18314466)middot10-6 = 22893083middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 22893083middot10-6+(410middot410)(48middot224000000000+4middot65560975610)=

= 22893083middot10-6+1526206middot10-6 = 24419289middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(512805060+73257866)middot10-6+4102(4middot9450000000)] =

= 112middot[586062926middot10-6 +44470899middot10-6] = 52544485middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 6105444855241928924

41928924893083221

minussdot

=δ

[ ] 1210603581606det 1minussdot=δ [ ] 610

8930832241928924

4192892454448552adj 1

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61003774000402560

04025600866210

det

adjk

1

11

11 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

9

A12 Poprečni ram u osi A

Koeficijenti

f1 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

f2 = 2middot(315middot106middot0002133)410=32780487805 kNm

r1 = (315middot106middot0017067)720=74666666667 kNm

r2 = (315middot106middot0007200)720=3150000000 kNm

P1 = 410232780487805=512805060middot10-6 mkN

P2 = 410232780487805+410232780487805=1025610119middot10-6 mkN

R1 = 4102(4middot74666666667+327804878053)=54297006middot10-6 mkN

R2 = (410+410)2(4middot7466666667+327804878053)=217188025middot10-6 mkN

Elementi matrice fleksibilnosti

δ11 = 112middot(512805060+54297006)middot10-6 =47258506middot10-6 mkN

δ12 = δ21 = 47258506middot10-6+(410middot410)(48middot74666666667+4middot32780487805)=

= 47258506middot10-6+4524751middot10-6 = 51783257middot10-6 mkN

δ22 = 112middot[(1025610119+217188025)middot10-6+4102(4middot3150000000)] =

= 112middot[1242798144middot10-6 +133412698middot10-6] = 114600904middot10-6 mkN

Odgovarajuće matrice fleksibilnosti i krutosti

[ ] 61060090411478325751

78325751258506472

minussdot

=δ

[ ] 12103618042734det 2minussdot=δ [ ] 610

2585064778325751

78325751600904114adj 2

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61001728300189380

01893800419110

det

adjk

2

21

22 sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

A2 Proračun perioda oscilovanja za poprečni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] [ ] 61020598302202180

22021804750160kk5k 21s sdot

minus

minus=+sdotasymp

Matrica masa sistema

[ ]

=8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

10

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

220664331110544354

228900231766800498

1020598302202180

22021804750160

00160800

00010500kmw 6

s

1

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 220664331110544354

228900231766800498w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 0110544354228900231220664331766800498wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

0279111833219874648292 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )3170925969874648295021 sdot=λ

odnosno λ1 = 116835186 i λ2 = 713152278

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 1080903 i ω2 = 2670491

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 05813 s i T2 = 02353 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 05813 s

A3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za poprečni pravac je

1K 2042158130

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Ukupna težina objekta

G = G1 + G2 = 9346684 + 6099904 = 15446588 kN

Ukupna seizmička sila za konstrukciju objekta

S = KmiddotG = 005middot15446588 = 7723294 kN

Određivanje spratnih seizmičkih sila koje deluju na celokupnu konstukciju objekta

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

11

A4 Određivanje raspodele seizmičkih spratnih sila na pojedine poprečne ramove

Određivanje matrice fleksibilnosti sistema

[ ] 61020598302202180

22021804750160ks sdot

minus

minus=

[ ] 12100493490kdet s sdot=

[ ] 61047501602202180

22021802059830kadj s sdot

=

Matrica fleksibilnosti sistema

[ ] [ ] [ ][ ]

61062559794624384

46243841739844

kdet

kadjk

s

s1

ssminussdot

===δ minus

Određivanje spratnih pomeranja za poprečni pravac objekta

[ ] 66

S 1028485704

82943349

2929437

036533510

62559794624384

46243841739844Su minusminus sdot

=

sdotsdot

=δ=

Spratne seizmičke sile za ramove u osama B C D E i F

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

429080

53396010

28485704

8294334910

03774000402560

04025600866210ukS 66

11

Spratne seizmičke sile za ram u osi A

[ ]

=sdot

sdotsdot

minus

minus== minus

148135

36703210

28485704

8294334910

01728300189380

01893800419110ukS 66

22

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

12

B) Seizmički proračun - Podužni pravac

B1 Određivanje matrice fleksibilnosti i matrice krutosti zidova za ukrućenje

Podaci

Modul elastičnosti betona (MB30) Eb = 315middot106 kNm2

Zidovi

Jz=(112)middot02middot263 +2middot(112)middot044 +2middot042middot152 =1017200 m4

Proračunska visina zidova (prizemlje) h1= 450-082=410 m

Proračunska visina zidova (sprat) h2= 400+082-032=410 m

EbJzδ11= (13)middot41middot412 = 22973667

EbJzδ12= EbJzδ21= (16)middot41middot41middot(41+2middot82)=57434167

EbJzδ22= (13)middot82middot822 = 183789333

δ11= 0716991middot10-6 δ12= δ21= 1792476middot10-6 δ22= 5735924middot10-6

[ ] 61073592457924761

79247617169910z

minussdot

=δ

[ ] 12108996360det zminussdot=δ [ ] 610

71699107924761

79247617359245adj z

minussdot

minus

minus=δ

[ ] [ ] [ ][ ]

61079697909924471

99244713758306

det

adjk

z

z1

zz sdot

minus

minus=

δδ=δ= minus

B2 Proračun perioda oscilovanja za podužni pravac

Matrica krutosti sistema

[ ] [ ] 61059395819848943

98489437516612k2k zs sdot

minus

minus=sdot=

Matrica masa sistema

[ ]

=

8046896210

0771050952m

Inverzna matrica matrice masa sistema

[ ]

=minus

00160800

00010500m 1

Matrica [w] sistema

[ ] [ ] [ ]

minus

minus=

=sdot

minus

minussdot

=sdot= minus

08446425637095526407

138700418424300013389

1059395819848943

98489437516612

00160800

00010500kmw 6

s

1

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz

13

Matrica [w1] sistema

[ ]

ωminusminus

minusωminus=

2

2

1 08446425637095526407

138700418424300013389w

Karakteristična jednačina

[ ] ( )( ) 070952264071387004184084464256324300013389wdet 22

1 =sdotminusωminusωminus=

03286007507015327464159522 =+λsdotminusλ gde je uvedena zamena 2ω=λ

Rešenja karakteristične jednačine su

( )61173614981327464159525021 sdot=λ

odnosno λ1 = 485357864 i λ2 = 1546696960

Svojstvene kružne frekvencije su ω1 = 22030839 i ω2 = 124366272

Odgovarajući periodi oscilovanja su T1 = 02852 s i T2 = 00505 s

Period oscilovanja koji odgovara prvom tonu je T1 = 02852 s

B3 Određivanje spratnih seizmičkih sila za poprečni pravac

Koeficijent dinamičnosti konstrukcije za podužni pravac je

1K 4544228520

700

T

700K d

1

d ====

Ukupni seizmički koeficijent je 050110501KKKKK pdso =sdotsdotsdot=sdotsdotsdot=

Spratne seizmičke sile koje deluju na celokupnu konstukciju objekta su

Sprat Gi [kN] Hi [m] GimiddotHi [kNm] (GimiddotHi)( Σ GimiddotHi) Si [kN]

1 9346684 41 383214044 04338 3350365

2 6099904 82 500192128 05662 4372929

Σ 15446588 883406172 10000 7723294

B4 Raspodela seizmičkih spratnih sila na pojedine zidove za ukrućenje

Ukupne spratne seizmičke sile za podužni pravac objekta

=

2929437

0365335S

Spratne seizmičke sile za zidove za ukrućenje u osama 2 i 3

=

6465218

5183167Sz