bmcslab - 2次要素fukumura/control/secondorder... · 2016-12-05 · 2次要素 second-order...
TRANSCRIPT
2次要素Second-order element
• バネ・ダンパ・マス系
• 直列RLC回路
1
2次要素とは一般に伝達関数が次の形の要素
f(t) = Md2x(t)
dt2+ C
dx(t)
dt+ Kx(t)
ei(t) = LCd2eo(t)
dt2+ RC
deo(t)
dt+ eo(t) eo(t)ei(t)
2次要素Second-order element
• 一般の線形システムの伝達関数
• 部分分数展開をすると
2
2次要素Second-order element
• 逆ラプラス変換して、
– piが正または実部が正の複素数→ 時間とともに発散。 システムが不安定
– piが負または実部が負の複素数→ 時間とともに0へ。• piの実部の絶対値が大きい項はすぐに収束• piの実部の絶対値が小さい項のみを考えれば良い
→ 2次要素に近似できるケースが多い3
4
時間応答(インパルス応答)Impulse response
逆ラプラス変換を求めるために、部分分数展開する
の根をp1, p2とすると
このp1, p2を使って部分分数変換するp1, p2 =
��� ±
��2 � 1
��n
K1 = (s � p1)Y (s)|s=p1=
�2n
s � p2
����s=p1
=�2
n
p1 � p2
=�n
2�
�2 � 1
K2 = (s � p2)Y (s)|s=p2=
�2n
s � p1
����s=p2
=�2
n
p2 � p1
= � �n
2�
�2 � 1
5
時間応答(インパルス応答)Impulse response
y(t) = L�1
��n
2�
�2 � 1
�1
s � p1� 1
s � p2
��
=�n
2�
�2 � 1(ep1t � ep2t)
• 減衰率zによって根p1, p2の性質が変わるØz >1: p1, p2は相異なる実数根Øz =1: p1, p2は実数の重解, p1=p2=−wnØ0<z <1: p1, p2は共役複素根Øz =0: p1, p2は虚数根
• z <0の場合についてはここでは考えない
時間応答(インパルス応答)Impulse response
6
z > 1の場合(相異なる実数解)Different real roots
7
8
wn = 2, z = 1.5の場合収束までに時間がかかる
z > 1の場合(相異なる実数解)Different real roots
z = 1の場合(重解)Repeated real root
重解(p1= p2=−wn)であるので、
逆ラプラス変換の表より
Y (s) =�2
n
s2 + 2�ns + �2n
=�2
n
(s + �n)2
y(t) = L�1
��2
n
(s + �n)2
�= �2
nte��nt
9
z = 1の場合(重解)Repeated real root
wn = 2, z = 1の場合振動せずにもっとも早く収束
10
11
0 <z < 1の場合(共役複素数の根)Conjugate complex roots
p1, p2 =��� ± j
�1 � �2
��n = ���n ± j�n
�1 � �2
� = ���n,� = �n
�1 � �2 とおくと p1, p2 = � ± j�, p1 � p2 = 2j�
0 <z < 1の場合(共役複素数の根)Conjugate complex roots
• 逆ラプラス変換をすると
12減衰項 振動項
wn = 2, z = 0.6(赤), とz = 0.3(緑)の場合振動しながらy(t)=0に収束
13
0 <z < 1の場合(共役複素数の根)Conjugate complex roots
z = 0.6z = 0.3
z > 0の場合のまとめ
wn = 2で,z = 1.5(黒),1(青),0.6(赤), 0.3(緑)
14
z = 0.6z = 0.3
z = 1.5z = 1.0
z = 0の場合(虚数根)Imaginary roots
であるので
15
Y (s) =�2
n
s2 + �2n
y(t) = L�1
��2
n
s2 + �2n
�= �n sin(�nt)
z = 0の場合(虚数根)Imaginary roots
wn = 2, z = 0の場合振動して、収束しない
16
この逆ラプラス変換を解くために部分分数展開
17
p1, p2 =��� ±
��2 � 1
��n
y(t) = L�1
��2
n
s (s2 + 2��ns + �2n)
�
= L�1
��2
n
s(s � p1)(s � p2)
�
2次遅れ要素のステップ応答Step response of second-order element
Y (s) = G(s)U(s) =�2
n
s2 + 2��ns + �2n
· 1
s
ステップ応答Step response
部分分数展開を
として係数を求める。ただし
を用いる。
18
Y (s) =K1
s+
K2
s � p1+
K3
s � p2
p1 · p2 = �2n
p1 � p2 = 2�n
��2 � 1
時間応答(ステップ応答)Step response
19
時間応答(ステップ応答)Step response
20
• 同様に減衰率zによって根p1, p2の性質が変わるØz >1: p1, p2は相異なる実数根Øz =1: p1, p2は実数の重根, p1=p2=−wnØ0<z <1: p1, p2は共役複素根Øz =0: p1, p2は虚数根
• z <0の場合についてはここでは考えない
21
p1, p2 =��� ±
��2 � 1
��n を解の式に代入する
z > 1の場合(相異なる実数解)Different real roots
wn = 2, z = 1.5の場合y(∞)=1に単調に漸近。収束までに時間がかかる
z > 1の場合(相異なる実数解)Different real roots
22
重解(p1= p2=−wn)であるので、部分分数展開の式が異なる
とおくとY (s) =
�2n
s(s + �n)2=
K1
s+
K2
s + �n+
K3
(s + �n)2
K1 = sY (s)|s=0 =�2
n
�2n
= 1
K2 =d
ds
�(s + �n)2Y (s)
�����s=��n
=d
ds
��2
n
s
�����s=��n
= ��
�2n
s2
�����s=��n
= ��2n
�2n
= �1
K3 = (s + �n)2Y (s)��s=��n
=�2
n
��n= ��n
23
z = 1の場合(重解)Repeated real root
したがって
逆ラプラス変換して
z = 1の場合(重解)Repeated real root
24
wn = 2, z = 1の場合y(∞)=1に振動せずにもっとも早く収束
z = 1の場合(重解)Repeated real root
25
0 <z < 1の場合(共役複素数の根)Conjugate complex roots
26
p1, p2 =��� ± j
�1 � �2
��n となるので
� =�
1 � �2 とおくと
0 <z < 1の場合(共役複素数の根)Conjugate complex roots
27
ただし
を使う
振動しながら振幅が小さくなる⇒ y(t) = 1に収束
wn = 2, z = 0.6(赤), とz = 0.3(緑)の場合応答は早いが減衰性が悪く、y(∞)=1付近で振動
0 <z < 1の場合(共役複素数の根)Conjugate complex roots
28
z = 0.6z = 0.3
z > 0の場合のまとめ
wn = 2で,z = 1.5(黒),1(青),0.6(赤), 0.3(緑)
29
z = 0.6z = 0.3
z = 1.5z = 1.0
z = 0の場合(虚数根)Imaginary roots
30
z = 0の場合(虚数根)Imaginary roots
wn = 2, z = 0の場合振動して、収束しない
31
時間応答Time response
Øz > 1の場合はy(∞)=1に単調に漸近。収束までに時間がかかる 過制動
Øz = 1 の場合はもっとも早く収束 臨界制動Ø0 < z < 1の場合は応答は早いが減衰性が悪く,目標値付近で振動。z が小さくなるに従い収束が遅くなる 不足制動
Øz = 0では振動して、収束しない 持続振動
32
2次要素Second order element
一般には応答性からz は0.6〜0.8に設定wn = 2, z = 0.7の場合
33
この応答をより詳細に特徴付けする.振動が極値をとる時刻はy(t)を微分して0となる時刻を求める
2次要素Second order element
34
• 時間微分が0となるtをtnとすると
• 代入すると
• つまり振幅Anは
A1
A2
A3
A4
A5
35
A1を行き過ぎ量Osという
� = 0.4の場合 Os = 0.25� = 0.6 の場合 Os = 0.1� = 1�
2� 0.707 の場合 Os = 0.05
36
• 周波数伝達関数は
• ナイキスト線図を描くためにいくつかの点を求めるlim��0
Re [G(j�)] = 1
lim��0
|G(j�)| = 1
lim��0
Im [G(j�)] = 0
lim��0
�(�) = 0[deg]
周波数応答Frequency response
37
ナイキスト線図Nyquist diagram
虚軸と交わる点を求めるためにRe[G(jw)] = 0を解くと
よりw=wn。このとき
z
G(j�) =1
j2�より Im[G(j�)] = � 1
2� 38
2次要素のナイキスト線図Nyquist diagram of second order element
wn = 1のとき
39
z = 2
z = 1
z = 0.5
z = 0
ボード線図Bode plots
• 周波数伝達関数
ゲイン
位相
� = 0の場合には � = �n において|G (j�n)| = �となることに注意
40
より � = �nz = 0
�40 log�
�n= 0dB
したがってゲイン特性は 0dB直線と �40 log ��nの
直線がそれぞれ漸近線.交点は
�
�n� 1 gdB � �20 log 1 = 0dB
�
�n� 1 gdB � �20 log
���
�n
�4
= �40 log�
�n
z = 0
z = 0
��n
� 1と ��n
� 1で分けて近似解を求めると
ボード線図(ゲイン)Bode plot (Magnitude plot)
41
2次要素のボード線図Bode plots of second order element
wn = 1z = 1.2z = 1z = 0.3z = 0.01
最大の位相遅れは−180[deg]42
共振周波数Resonance frequency
ゲインが最大になるwp
これをuで微分して0 となるu, wpを求める
�
�n= u とすると
43
0 < z < 1より第1項は0にならないため、第2項が0となるup(wp)を求めると
�p が実数であるためには 1 � 2�2 > 0 であるので,� � 1�
2= 0.707 のときに極値をもつ.
up を代入してゲイン特性の極大値 Gp を求めると
Gp =1
�{1 � (1 � 2�2)}2 + 4�2 (1 � 2�2)
� 12
=1
2��
1 � �2
44
共振周波数Resonance frequency
共振周波数Resonance frequency
ボード線図を拡大
z=0.1
z=1
z=0.15
z=0.2z=0.3
z=0.6
z=0.7
z=0.4
45角周波数
z wp
0.1 0.990
0.15 0.977
0.2 0.959
0.3 0.906
0.4 0.825
0.6 0.529
0.7 0.141
1.0 ---
(0.501) (0.794)