bölüm 4 eğik eğilme2014

1Unsymmetric Bending

Simetrik olmayan (Eğik) EğilmeUnsymmetric Bending

Unsymmetric Bending 2

Chapter Outline

• Pure Bending• Unsymmetric Bending for symmetric cross-section• Unsymmetric Bending for unsymmetric cross-section• Inertia moments – principal inertia moments


• Analysis of pure bending has been limited to members subjected to bending couples acting in a plane of symmetry.

• Members remain symmetric and bend in the plane of symmetry.• The neutral axis of the cross section coincides with the axis of the

couple.

Pure Bending Basit Eğilme


• We will now consider situations in which the bending couples do not act in a plane of symmetry.

• Cannot assume that the member will bend in the plane of the couples.

Unsymmetric Bending for Symmetric Cross-section

Simetrik Kesitli Kirişlerde Ansimetrik Eğilme

yM

Unsymmetric Bending for symmetric cross-section

• We wish to determine the conditions under which the neutral axis of

a cross section of arbitrary shape does not coincides with the axis of

the couple as shown.

• The resultant force and moments from the distribution of elementary

forces in the section must satisfy

0xF

• Neutral axis passes through centroid.

00 0 dAzanddAydAx

6

Determination of stress distribution due to Mz

zIdAy 2

zMm

y

Mxz MdA

cyydAyM zz

yccy y

MmM

xy

Mm

Mx

zz

zz

yI

Mσy

Iσc

IσMz

zMx

zMx

y

zMm

zz

zz

inertiaofmoment

yc

yM

7

Determination of stress distribution due to My

yIdAz 2

yMm

z

Mxy MdA

czzdAzM yy

zccz z

MmM

xz

Mm

Mx

yy

yy

zI

Mσ

zIσ

cIσ

My

yMx

yMx

z

yMm

yy

yy

inertiaofmoment

yM

zc

8

Resultant stress: Superposition method

yI

MzI

M

σσ

z

z

y

yx

Mx

Mxx

zy

yM

Unsymmetric Bending 4 - 9

Unsymmetric Bending for symmetric «T» cross-section

• Superposition is applied to determine stresses in the most general

case of unsymmetrical bending.

• Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes.

sincos MMMM yz kMjMM zy

10

• Superpose the component stress distributions

zI

M

y

yMx

y yI

M

z

zMx

z

Combined stress, zy Mx

Mxx

zI

MyI

MzI

My

IM

yzy

y

z

zx

sincos


• Along the neutral axis, normal stress must be zero. Thus

axisNeutralzyII

zIIy

II

II

zy

zI

MyI

M

zI

My

IM

y

z

y

z

y

z

y

z

yzx

y

y

z

zx

tantantan

tantancossin

0sincos

0


Example 4.08

A 180 Nm couple is applied to a rectangular

wooden beam in a plane forming an angle of

30 deg. with the vertical. Determine

(a) the maximum stress in the beam,

(b) the angle that the neutral axis forms with

the horizontal plane.

z

yy

z


• Resolve the couple vector into components along the principle

centroidal axes and calculate the corresponding maximum stresses.

sincos MMMM yz

• Combine the stresses from the component stress distributions.

zI

My

IM

y

y

z

zx

Solution

z

y

MM

tan


• Determine the angle of the neutral axis.

zIIy

MM

zMM

IIy

y

z

z

y

z

y

y

z

tantan

zyzy tanor tan

0 zI

My

IM

y

y

z

zx

orzy

II

y

z tantan the angle of the neutral axis


• Resolve the couple vector into components and calculate the

corresponding maximum stresses.

NmNmM

NmNmMo

y

oz

9030sin180

9.15530cos180

463

121

463121

1048.04090

1043.29040

mmmmmmI

mmmmmmI

y

z


• Determine the angle of the neutral axis.

o

y

z

z

y

II

MM

35.72

92.25772.01048.01043.2tantan

5773.09.155

90tan

6

6


.20;45at occurs todue

stress nsilelargest te The

AM

NmNmM

NmNmMo

y

oz

9030sin180

9.15530cos180

mmmm

NmmmmmmNmm

zI

My

IM

A

Ay

yA

z

zA

201048.0

1090451043.2109.155

46

3

46

3

max64.6 MPaA


.20;45at occurs todue

stress normalsmallest The

EM

mmmm

NmmmmmmNmm

zI

My

IM

E

Ey

yE

z

zE

201048.0

1090451043.2109.155

46

3

46

3

min64.6 MPaE


• Distribution of the streeses in the cross-section.

MPa64.6

MPa64.6

z

x

y

b=60

mm

h=80

mm

L=1 m

F=10 kN

A

B

Örnek: Şekildeki kirişin A, B, C ve D noktalarında meydana gelen

gerilmeleri hesaplayınız.

C

D

Çözüm: Kesit özellikleri (atalet momentleri):

46

31213

121

1056.2

8060

mmI

hbI

x

x

A b=60 mm

x

y

h=80

mm

F=10 kN

M

B

46

31213

121

1044.1

6080

mmI

bhI

y

y


Eğilme momenti bileşenleri:

NmmM

kNmmkNLFM61010

10110

siyo

o

87.36

87.368060tan

NmmkNmM

kNmMM

x

x

61088

87.36cos10cos

b=60 mm

x

y

h=80

mm

F=10 kN

M

A

B

NmmkNmM

kNmMM

y

y

61066

87.36sin10sin


o

y

x

II

13.53333,1tan

87.36tan44.156.2tantan

b=60 mm

x

y

h=80

mm

F=10 kN

M

A

B

TETarafsız Eksen (TE)


b=60 mm

x

y

h=80

mm

F=10 kN

M

A

B

TEAy

yA

x

xA x

IM

yI

M

)40;30();( AyxA AA

MPaA

A

250

301044.110640

1056.2108

6

6

6

6

A noktasındaki gerilme:


b=60 mm

x

y

h=80

mm

F=10 kN

M

A

B

TE

B noktasındaki gerilme:

MPa

xI

My

IM

B

B

By

yB

x

xB

250

301044.110640

1056.2108

6

6

6

6

)40;30();( ByxB BB


b=60 mm

x

y

h=80

mm

F=10 kN

M

A

B

TE

C noktasındaki gerilme:

401044.110630

1056.2108

6

6

6

6

C

Cy

yC

x

xC x

IM

yI

M

)40;30();( CyxC CC C

MPaC 92.72


x

y

F=10 kN

M

A

B

TE

D noktasındaki gerilme:

01044.110630

1056.2108

6

6

6

6

D

Dy

yD

x

xD x

IM

yI

M

)0;30();( DyxD DD C

MPaD 75.96

D


• In general, the neutral axis of the section will not coincide with the axis of the couple.

Bending for unsymmetric cross-section

33

Simetrik Olmayan Kirişlerde Eğilme

)1( ve A yzA xz MdAxMdAy


(2) 21 xCyCzzz

(3) 21 xCyCEE zz

(4) 21 xCyCz


(5) - ve 2121 AyAx dAxCyCxMdAxCyCyM

(6) 21

221

2122

1

yxyAAy

xyxAAx

ICICdAxCxydACM

ICICdAxyCdAyCM

(6) 21

21

yxyy

xyxx

ICICM

ICICM

2

1

CC

IIII

MM

yxy

xyx

y

xveya


22xyyx

xyxxy

IIIIMIM

C

21

xyyx

xyyyx

IIIIMIM

C

ve

7 22 xIII

IMIMy

IIIIMIM

xyyx

xyxxy

xyyx

xyyyxz

7 2xyyx

xyxxyxyyyxz III

xIMIMyIMIM

veya

21 xCyCz


8 tan veya xyxIMIMIMIM

yxyyyx

xyxxy

xyyyx

xyxxy

IMIMIMIM

tan

Tarafsız Eksenin x ekseni ile yaptığı açı:

xyyyx

xyxxy

IMIMIMIM

1tan

σz gerilme fonksiyonu sıfıra eşitlenirse Tarafsız Eksen (TE) denklemi ve Tarafsız Eksenin açısı bulunur.

TE


Örnek:

Şekilde kesiti ve yükleme durumu verilen kiriş için:a) Ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz.b) Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre

atalet momentlerini bulunuz.c) Kesitteki eğilme momentinin değeri M=20

kNm olduğuna göre bileşenlerini bulunuz.d) Tarafsız Ekseni belirleyiniz.e) A, B ve C noktalarındaki gerilmeleri

hesaplayınız.f) Kiriş kesitindeki ekstremum gerilmeleri

belirleyerek emniyetli olup olmadığını irdeleyiniz.

M

A

B C

G

MPaem 300o30


x

Kesitin ağırlık merkezinin yeri:


Atalet Momentleri: Paralel Eksen Teoremi

X

Y

C

y

x

O

Ci

x

yyi

xi

2iyiixx dAII

2ixiiyy dAII

ii yxiixyxy ddAII

xxd

yyd

ix

iy

i

i

Unsymmetric Bending

Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenlerine kesitin atalet momentleri:

Paralel Eksen Teoremi ile

Y

X

mmymmy

1590

2

1

mmxmmx

7515

2

1

mmxxd

mmxxd

x

x

403575

203515

2

1

2

1

mmxxd

mmyyd

y

y

506515

256590

2

1

2

1

xI

46101.85040309002520180300 mmI xy


M

A

B C

GxM

yM

kNmMM ox 32.1730cos20cos

kNmMM oy 1030sin20sin

Eğilme momentinin bileşenleri:


yIII

IMIMx

IIIIMIM

xyyx

xyyyx

xyyx

xyxyxz 22

Gerilme Denklemi:

66

66

22 10101010

1.8708.891.241.810708.832.17

1.8708.891.2491.24101.832.17

yxz

yxz 3.15182.69

3.1518.108

yxz 462.0719.0


Tarafsız Eksen Denklemi:

Tarafsız Eksen Denklemi, Gerilme denklemi sıfıra eşitlenerek bulunur:

xxy tan556.1

Tarafsız Eksenin eğim açısı :

o28.57556.1tan

T.E.

0462.0719.0 yxz

47

T.E.

Kesitteki gerilmeler:

A

B C

A(-35;115) noktası MPaA 3.78115462.035719.0

MPaB 865.465462.035719.0

MPaC 145.9165462.085719.0

MPaMPa emC 300145.91max

Olduğundan kiriş emniyetlidir.

B(-35;-65) noktası

C(85;-65) noktası

Kesit kontrolü


Örnek: şekildeki ‘L’ kesitli kirişin C noktasına P=4 kN luk eğik bir

kuvvet uygulanmaktadır. Ҩ=60 olduğuna göre:

a) Kesitin ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz.

b) Atalet momentlerini hesaplayınız.

c) T.E. Tarafsız ekseni bulunuz.

d) Maximum çeki ve bası gerilmelerini hesaplayınız.

xyyx III ,,


Çözüm:

Ağırlık merkezinin yeri

Atalet momentleri

Ix =2.783x106 mm4

Iy =1.003x106 mm4

Ixy =-0.973x106 mm4

mmy

mmx

74.398001100

5800651100

74.198001100

4080051100


Momentin bileşenleri

kNmRMkNR

PRM

A

A

AB

8.44.2224.2

0350

max

kNmM

MMkNmM

MM

y

y

x

x

4.2

60cos8.4cos157.4

60sin8.4sin

max

max


Gerilme fonksiyonu

yxyxz 9945.0428.1,

66

662 10101010973.0003.1783.2

973.0157.4783.24.2973.04.2003.1157.4

xyz

2xyyx

xyxxyxyyyxz III

xIMIMyIMIM


Tarafsız Eksen Denklemi ve Tarafsız Eksenin eğim Açısı

xyxyz

4362.10428.19945.0

oxy 15.55tan


Gerilmeler

yxz 9945.0428.1

MPaA 6.125)74.39(9945.0)26.60(428.1

MPaB 108)26.80(9945.0)74.19(428.1

T.E. den en uzak noktalar:

26.80;74.19ve

74.39;26.60

B

A


Örnek: Yükleme durumu ve kesiti görülen kirişin A, B ve C noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız ve σem=200 MPa için kirişin kontrolünü yapınız.

Fya b

z

y10

40

10

60 mm10

y

xC

F

A

B

C

o mbakNF 60 ,1 ,2


B

C


0105.15.1 6

y

oz

MNmmkNmMM

2yzyz

yzzzyyzyyzx III

zIMIMyIMIM

2yzyz

yzzyzx III

zIMyIM

o

zyzy

44.41883.0tan

883.0912.0805.0

0x

N.A.

B

C

zy

zy

x

x

805.0912.0

1010101087.218.425.3

87.25.125.35.1 66662

46

46

46

1087.2

1018.4

1025.3

mmI

mmI

mmI

yz

z

y

for neutral axis

Solution:


zyzyx 805.0912.0,

74 ,50A

MPaA

A

97.1374805.050912.0

N.A.

B

C

74 ,38B

MPaB

B

91.2474805.038912.0

6 ,50C

max43.50

6805.050912.0

MPaC

C

Stresses at points A, B and C:

bölüm 4 eğik eğilme2014

Documents