Braneworld 上の静的球対称一般解：諸表式と特殊解

K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida

Ref. K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida, arXiv:1109.0840 [gr-qc] submitted to Japanese Physical Society meeting in 2011 spring. 　　　　 K. Akama, T. Hattori, and H. Mukaida, arXiv:1208.3303 [gr-qc]

brane の状態を完全に決めることができないから

bulk

1 )))((2()( XdXgRXg NKIJ

K

Braneworld の力学

matterS

力学変数 brane 位置変数

)( KIJ Xg

)( xY I

bulk 計量

brane

4))((~~2 xdxYg K

運動方程式

作用積分

,3,2X

0x

1X

0X

x

IJg

)( xY I

bulk scalar 曲率

gg ~det~

bulk Einstein 方程式

南部後藤方程式

定数

brane en.mom.tensor

g~brane KX xbulkx 座標

brane 計量は力学変数にはできない。

定数

gmn(Y)=YI,mYJ

, n gIJ(Y)

matter action

~

S d /d~ brane に関する量を表す

bulk en.mom.tensor

IJgg det

0)2/( IJIJIJIJ TgRgR

座標=

0gIJYI

bulk Ricci tensor

0)~~~

( ; IYTg

(3+1dim.)

0)~~~

( ; IYTg

bulk Einstein 方程式

南部後藤方程式

0)2/( IJIJIJIJ TgRgR

bulk Einstein eq. Nambu-Goto eq.0)

~~~( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0 IJT

(3+1dim.)

(3+1)

bulk Einstein eq. Nambu-Goto eq.

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0 IJT0off brane (3+1)

前回同様、初めに off brane の解を考える

前回は球対称解を考えたが今回、 off brane では全く一般の場合にの解を導く

on brane の計量を　　　とし、Gaussian normal 座標 z をとる

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

g~

0at ~ zgg

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

covariant derivative

IJE

00 IJIJ RE

444

44

4,444,4 2/ RRRRR gg

444

444,44 222 RRRR

ggg

0R

,0R

,0|| 04404 zz RR 0444 RR

0|| 04404 zz RR

If we assume

if are guaranteed.

The independent equations are

Def.

0IJJ ED

0444 RRR

=Nambu-Goto eq.

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0

Bianchi identity

then

, then

bulk Einstein eq.

equivalent equation

0| | 04404 zzThese are equivalent to ,0R

off brane

線形斉次微分方程式 !

JD 2/IJIJ gRR ( )

covariant derivative

0

2/IJIJIJ gRRE

3/2 IJIJIJ gR R

Owing to

indep.eqs.

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

IJE

00 IJIJ RE

The independent equations are

Def.

=Nambu-Goto eq.

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0bulk Einstein eq.

equivalent equation

off brane

3/2 IJIJIJ gR R

0| | 04404 zz,0R

,0R 04 |zE 0| 044 zE

,0Rindep.eqs.

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

IJE

Def.

=Nambu-Goto eq.

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0bulk Einstein eq. off brane

3/2 IJIJIJ gR R04 |zE 0| 044 zE

0

][ )(),(n

nn zrFzrFexpansion

n

k

kknn GFFG0

][][][)(

reduction rules

積 , 逆数 , 微分 ),gF (

]0[4E 0]0[

44E

]0[4E04 | zE ]0[

44E044 | zE

]0[44E

]0[1

0

][1][][1 /)()( FFFFn

k

kknn

0

][ )(),(n

nn zrFzrF

n

k

kknn GFFG0

][][][)(

][]1[4, )( nn nFF

][]1[4, )( nn nFF

product

inverse

differentiation

すべての係数　　　は

,0Rindep.eqs.

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

IJE

Def.

=Nambu-Goto eq.

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0bulk Einstein eq. off brane

3/2 IJIJIJ gR R]0[

4E 0]0[44E

0

][ )(),(n

nn zrFzrF

n

k

kknn GFFG0

][][][)(][]1[

4, )( nn nFF

ここに使うとこれを と低次の係数で書ける。]1[ ng

の帰納的定義 を与える。][ng

これはこれは )2( n

,]0[g ]1[

g

これで、

bulk での　　　がg

][ng 最終的に　　　　　　で書かれる。z の冪級数の形で得られる。

R 4/2/2/ 4,4,4,4,44,)4(

gggggggR

44,g 4,4, ggg 4,4,

ggg 2/ )4(R2 3/g4( )[n-2] [n-2]

][ng

=n(n-1) [n]gmn

]2[)4(4,4,4,4, )3/422/( ngRgggggg

)1( nn/

すべての係数　　　は

,0Rindep.eqs.

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

IJE

Def.

=Nambu-Goto eq.

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0bulk Einstein eq. off brane

3/2 IJIJIJ gR R]0[

4E 0]0[44E

0

][ )(),(n

nn zrFzrF

n

k

kknn GFFG0

][][][)(][]1[

4, )( nn nFF

の帰納的定義 を与える。][ngこれは )2( n,]0[

g ]1[g

これで、

bulk での　　　がg

][ng 最終的に　　　　　　で書かれる。z の冪級数の形で得られる。

ここに使うとこれを と低次の係数で書ける。]1[ ngこれは

][ng ]2[)4(4,4,4,4, )3/422/( ngRgggggg

)1( nn/

)1(/)3/422/( ]2[)4(4,4,4,4,

][ nngRggggggg nn

の帰納的定義][ng ,]0[g ]1[

g][ng は最終的に　　　　　　で書かれる。

,0Rindep.eqs.

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

IJE

Def.

=Nambu-Goto eq.

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0bulk Einstein eq. off brane

3/2 IJIJIJ gR R]0[

4E 0]0[44E

0

][ )(),(n

nn zrFzrF

n

k

kknn GFFG0

][][][)(][]1[

4, )( nn nFF

)1(/)3/422/( ]2[)4(4,4,4,4,

][ nngRggggggg nn

,]0[g ]1[

g は ]0[4E 0]0[

44E に従う。

の帰納的定義][ng ,]0[g ]1[

g][ng は最終的に　　　　　　で書かれる。

04/)2(

2/)(

4,,4,,,4,

4,4,

gggggggg

gggb

08/8/2/~

4,4,4,4,

ggggggggR

]0[4E 0

0]0[44E

一般には解けない。

球対称なら解ける。

,0Rindep.eqs.

2dzdxdxgdXdXg JIIJ

IJE

Def.

=Nambu-Goto eq.

0)~~~

( ; IYTg

IJIJIJ gRgR )2/( 0bulk Einstein eq. off brane

3/2 IJIJIJ gR R]0[

4E 0]0[44E

0

][ )(),(n

nn zrFzrF

n

k

kknn GFFG0

][][][)(][]1[

4, )( nn nFF

)1(/)3/422/( ]2[)4(4,4,4,4,

][ nngRggggggg nn

,]0[g ]1[

g は ]0[4E 0]0[

44E に従う。

の帰納的定義][ng ,]0[g ]1[

g][ng は最終的に　　　　　　で書かれる。

on brane || z に matter zFF | 2/)( FFF

collective mode dominance on the brane

南部後藤 eq. 0~; IYg

0

,]0[g ]1[

g は ]0[4E 0]0[

44E に従う。

と南部後藤 eq.

222222 )sin( dzddkdrhdtfdXdXg JIIJ )0( z

,0 tY ,1 rY ,2 Y ,3 Y 04 Y

Under the Schwarzschild ansatz,

where

Theorem

,0

][

n

nn zff ,0

][

n

nn zhh

0

][

n

nn zkk

with the coefficients determined by and below.① ②

all the solutions of the braneworld dynamics

and

(Einstein & Nambu-Goto eqs. in 4+1dim.)are given by

Let 　 and be arbitrary functions of r.

]0[f v①

]0[h ,1

r

PdrPdrdrQeCe rr

)/14//()/1/4/2/( 22 rrrP r

)/14//(]6/~

4/)323(/1[ 22222 rvvuurQ

),/2/(])/6(2[ rvrvu r

但し

Then, we define

0]0[44 E & 南部後藤

0]0[4 E & 南部後藤

For , are recursively defined by

n

k

kknn GFFG0

][][][)(

2n

]1[]1[]1[]0[]0[]0[ ,,,,, khfkhf][][][ ,, nnn khf are finally written with

where [n] obeys the reduction rule

,]0[]0[ ff ,]0[]0[ hh 2]0[]0[ rkk

,)2( ]0[kw ,)2( ]0[hv

,3/~

]1[f ,)2( ]0[fu ]1[h ]1[k

where .2/)( vuw

②

and, accordingly, they are written with and .

][][][ ,, nnn khf

v

We define and

]2[

2

2 2 ][

3

4

2222)1(

1

n

rrrrrrrzzzzzn fhkkf

h

hfhf

fhf

kkf

hhf

ff

nnf

]2[

2

2

2

2 2 ][

3

4

22

2

22)1(

1

n

rrrrrrrrrrzzzzzn hhkkh

hfhf

k

k

f

fkk

ff

kkh

fhf

hh

nnh

]2[

2

][

3

42

2222)1(

1

n

rrrrrrzzzzn k

h

khhfkf

hk

hkh

fkf

nnk

±±

±

± ±

±

± ±

±

±

±

± ± ±

± ± ± ± ±

± ± ±

±±

±

± ±

±

± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±

± ± ± ± ± ± ± ± ±

±± ±

±

± ±

±

±

±

±

±

±

±

±

±

±±

0R南部後藤

222222 )sin( dzddkdrhdtfdXdXg JIIJ )0( z

,0 tY ,1 rY ,2 Y ,3 Y 04 Y

Under the Schwarzschild ansatz,

where

Theorem

,0

][

n

nn zff ,0

][

n

nn zhh

0

][

n

nn zkk

with the coefficients determined by and below.① ②

all the solutions of the braneworld dynamics

and

(Einstein & Nambu-Goto eqs. in 4+1dim.)are given by

Let 　 and be arbitrary functions of r.

]0[f v①

]0[h ,1

r

PdrPdrdrQeCe rr

)/14//()/1/4/2/( 22 rrrP r

)/14//(]6/~

4/)323(/1[ 22222 rvvuurQ

),/2/(])/6(2[ rvrvu r

但し

Then, we define

0]0[44 E & 南部後藤

0]0[4 E & 南部後藤

Summary

braneworld の基本方程式の一般解 (on brane の data によるすべての解 ) を導出した。

球対称の場合は、任意関数をうまく選べばon brane の方程式は厳密に解ける。

bulk Einstein 方程式南部後藤方程式

0R

0]0[44

]0[14 EE

解を法線座標の冪級数の形で表し、冪級数の係数に対する帰納的定義を得た。

これは、球対称に限らず一般的に成り立つ。

On brane では , 独立な方程式はbulk-Einstein 方程式の法線成分の両側の平均と南部後藤方程式である。

)1(/)3/422/( ]2[)4(4,4,4,4,

][ nngRggggggg nn

Thank you

(^O^)