Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Érdekes síkgörbék

BSc szakdolgozat

Szerző: Témavezető:

Locher Petra Dr. Moussong Gábor

Matematika Alapszak, adjunktus

tanári szakirány Geometriai Tanszék

Budapest 2014

1

1. Bevezetés

Dolgozatom címének az Érdekes síkgörbék címet választottam. Érdeklődésemet a

geometria, azon belül a síkgörbék iránt komolyabban a geometria kurzusok keltették fel, de

már általános iskolában és gimnáziumban is csodáltam, hogy mennyi matematikai

érdekességet, összefüggést lehet felfedezni egy-egy geometriai alakzat kapcsán. A

síkgörbék tanulmányozása közben akadtam a kardioidra, ezt a klasszikus görbét szokás

szívgörbének is nevezni. Lenyűgözött, hogy mennyiféleképpen és milyen érdekes

módokon lehet ezt az egyetlen görbét előállítani, származtatni. Dolgozatom első részében

ezeket a származtatásokat gyűjtöttem össze és vezetem le.

A kardioid kapcsán ismerkedtem meg a Pascal-csigákkal, a „kardioid rokonaival”, az ő

származtatásaikat gyűjtöttem össze a dolgozat második részében. Ezen származtatások sok

esetben a kardioid egy-egy kibővített származtatása, vagy ahhoz nagyon hasonló.

A Pascal-csigákkal Étienne Pascal1 (Blaise Pascal2 édesapja) foglalkozott először

tudományosabban, nevüket is róla kapták.

Tanár szakos hallgatóként az is célom, hogy úgy írjam le, és vezessem le ezeknek a

származtatásoknak a matematikai hátterét, hogy azt egy érdeklődő középiskolás is

megértse.

A dolgozatban felhasznált matematikai eszköztár több helyen ugyan túlmutat az általános

matematikai érettségi követelményeken, de igyekeztem ezeket a részeket is úgy

megfogalmazni, hogy az egy érdekelődő diák számára is érthető legyen.

A dolgozatomban a tételek, állítások, bizonyítások, magyarázatok egyszerű megértéséhez

igyekeztem szemléletes ábrákat készíteni. Ezen ábrák a GeoGebra nevű ingyenes

matematikai program segítségével készültek.

Köszönettel tartozom Moussong Gábor tanár úrnak, aki a 3 év folyamán a geometria

kurzusokat tartotta, és felkeltette érdeklődésemet a matematika e területe iránt. Valamint

köszönettel tartozom témavezetőmként, hogy türelmesen ötletekkel, tanácsokkal és

magyarázatokkal segített abban, hogy szakdolgozatomat elkészíthessem.

1 Etienne Pascal (1588 - 1640) 2 Blaise Pascal (1623-1662) nevéhez fűződik a binomiális együtthatók kiszámítása, valamint a Pascal-háromszög is róla kapta a nevét.

2

2. Kardioid

Definíció: A kardioidot az R sugarú alapkör körül csúszásmentesen gördülő ugyanakkora

R sugarú kör egy kerületi pontja írja le.

2.1. Kardioid paraméteres, polárkoordinátás és egyenletes előállítása

2.1.1.Paraméteres előállítás

Először vizsgáljuk meg, hogy hogyan tudjuk a kardioid görbéjét paraméteresen

előállítani. Rögzítsük az x, y tengelyű, derékszögű koordináta-rendszerben az origó

középpontú egység sugarú kört. Ezt a kört tekintjük a kardioid alapkörének, nevezzük C-

nek a koordináta-rendszerben (1,0) pontját, (ez rajta van a körön), és az ide mutató

helyvektort c-nek. Ebből a C pontból indítjuk az alapkörön csúszásmentesen gördülő,

szintén egység sugarú kör P pontját, ami leírja a kardioidot.

Vegyük a kardioid egy P pontjának előállítását a G középpontú gördülőkör segítségével.

Legyen t a szögelfordulás mértéke, aminek függvényében paraméterezzük a görbét.

Nekünk a P pontba mutató helyvektorra van szükségünk a t szögelfordulás függvényében.

A P pontba mutató helyvektort jelöljük r(t)-vel, ezt a vektort két vektor, az OG és GP

vektor összegére bonthatjuk.

Nevezzük B-nek a két kör érintkezési pontját és legyen b(t) a B pontba mutató helyvektor.

A b(t) vektorról tudjuk, hogy egységhosszú és t szöggel fordul el a kiindulási helyzethez

képest, tehát b(t) = (cos(t), sin(t)). OBG egy egyenesbe esik, mivel a körök érintkezési

pontjában húzott érintő OB sugárra és GB sugárra is merőleges. Ebből következik, hogy

OG vektor 2·b(t).

3

A G középpontból P-be mutató vektort nevezzük v(t)-nek.

A v(t) vektor a c vektorhoz képest π + 2t forgásszöggel fordul el, ami könnyen belátható a

G ponton áthaladó x tengellyel párhuzamos e egyenes segítségével. Ugyanis COB

irányszög (e egyenes és GO egyenes által meghatározott) váltószöge is t, illetve BGP

irányszög is t, hiszen CB körívvel ugyanakkora körívhez tartozó szög.

A v(t) vektort ezekből következően felírhatjuk úgy, hogy v(t)= (cos(2t + π); sin(2t + π)).

A trigonometriai azonosságokat felhasználva:

v(t)=( - cos(2t), - sin(2t)).

Az r(t ) = 2b(t) + v(t), tehát

r(t) = (2cos(t) - cos(2t), 2sin(t) - sin(2t)), vagyis

x(t) = 2cos(t) - cos(2t);

y(t) = 2sin(t) - sin(2t).

4

2.1.2. Polárkoordinátás előállítás

A kardioid polárkoordinátás egyenletét egy olyan koordináta-rendszerben célszerű felírni,

ahol a kardioid csúcsa az origóban van, szimmetriatengelye pedig az x tengely:

r = a (1 + cos ).

Mi az előbbi paraméteres levezetéshez képest egy 180 fokkal elfordított, egy egységgel

eltolt kardioidot fogunk vizsgálni. Polárkoordinátás előállítását tehát ily módon

paraméterezett kardioid segítségével nézzük meg.

Vegyük a derékszögű koordinátarendszerben az O(1,0) középpontú, egységsugarú k

alapkört. A gördülőkörnek nézzük azt az állását, amikor az x tengelyen B0(2,0) pontban

érinti az alapkört, a gördülőkör G0 középpontja a (3,0) koordinátaponton van, P

rajzolópontja pedig az érintési ponttal átellenes (4,0) ponton. Tekintsük most ezt kiindulási

helyzetnek. Vegyük a gördülőkörnek egy későbbi tetszőleges állását, és vizsgáljuk meg

abban a rajzolópont helyzetét. Szintén a P pontba mutató r(t) helyvektorra van szükségünk,

amit az előbbi levezetéshez hasonlóan 2·b(t) + v(t) vektor ad. Ebben az esetben azonban

v(t) vektor 2t szögelfordulással megy a P pontba, ugyanis t = 0 helyzetben a két vektor

(OB0 és G0P vektor) állása azonos, és B0OB irányszög (e egyenes és OG egyenes által

meghatározott) egyállású szöge is t, valamint a körívek egyenlősége miatt v(t) t szöggel

fordul el a b(t) vektorhoz képest. Illetve abban is különbözik az előbbi paraméterezéstől,

hogy az x tengelyen egy egységgel eltoltuk az alapkör középpontját.

5

Ha t paramétert -vel helyettesítjük, akkor a két paraméteres koordináta:

xp = 1+ cos + cos +cos 2 = 1 + 2 cos + cos 2

yp= sin + sin + sin 2 = 2 sin + sin 2

Alakítsuk át a cos 2 - t és sin 2 -t.

cos 2 = cos² – sin² = cos² – (1- cos² ) = 2 cos² -1

sin 2 = 2 sin · cos .

Ezt behelyettesítve:

xp = 1 + 2 cos + 2 cos² -1 = 2 (1+ cos ) · cos

yp = 2 sin + 2 sin · cos = 2 (1+ cos ) · sin .

Legyen r = 2(1+ cos ), a 2-es konstans az alapkör átmérőjének hossza, vagyis a = 2R,

általánosabban r = a(1+ cos ).

Mivel xp = r cos , yp= r sin , ez az x és y tengelyre vonatkozó vetület, így

r = a(1+ cos ) valóban a polárkoordinátás egyenlete a kardioidnak.

6

2.1.3. Kardioid egyenlete

A kardioid egyenletét a polárkoordinátás egyenlethez hasonlóan olyan koordináta-

rendszerben célszerű felírni, amelyben a kardioid csúcsa az origóban van,

szimmetriatengelye az x-tengely. Ha a koordináta-rendszert így választjuk, akkor a

kardioid egyenlete:

(x²+ y²) ² – 4Rx(x²+ y²) – 4R² y² = 0, (ahol R az alapkör sugara).

Ezt ellenőrizni is fogjuk a megfelelő paraméteres egyenlet segítségével.

Leolvashatjuk az egyenletből, hogy a kardioid egy negyedrendű görbe.

A görbe egyenletét ekvivalens műveletekkel tovább alakítva egy másik alakra hozhatjuk:

((x² + y²) ² – 2(x² + y²)2Rx + 4 R²x²) – 4 R²x² – 4R² y² = 0.

Ami: (x² + y² – 2Rx) ² = 4R²(x²+ y²).

7

Ellenőrzés a paraméteres előállításból

A kardioid egyenlete (x²+ y²) ² – 4x(x²+ y²) = 4 y², R = 1 esetben.

Ez tehát egy olyan kardioid, amelynek csúcspontja az origóba esik, és alapkörének

középpontja az (1,0) koordinátán van, tehát a polárkoordinátás felíráshoz használt

paraméterezésből indulhatunk ki.

x(t) = 2 cos(t) + cos(2t) + 1;

y(t) = 2 sin(t) + sin(2t);

A trigonometriai azonosságok közül:

A cos(2t) = 2 cos²(t) – 1,

a sin(2t) = 2 cos(t) sin(t),

valamint a sin²(t) + cos²(t) =1-et fogjuk használni.

x = 2 cos(t) + cos(2t) + 1 = 2cos(t) + 2 cos²(t) – 1+ 1. Tehát

x² = (2 cos(t) + 2 cos²(t))² = 4 cos4 (t) + 8 cos3(t) + 4 cos²(t).

4x = 8 cos²(t) + 8 cos(t).

y = 2 sin(t) + sin(2t) = 2sin(t) + 2 cos(t) sin(t).

Az y² = (2sin(t) + 2cos(t) sin(t))² = 4sin²(t) + 4 sin(t) 2 cos(t) sin(t) + (2 cos(t) sin(t))² =

= 4(1 – cos²(t)) + 8 (1 – cos²(t)) cos(t) + 4 cos²(t)·(1 – cos²(t)) =

= 4 – 4 cos²(t) – 8 cos3(t) + 8 cos(t) + 4 cos²(t) – 4 cos4(t). Tehát

y² = – 4 cos4(t) – 8 cos3(t) + 8 cos(t) + 4.

4y² = – 16 cos4(t) – 32 cos3(t) + 32 cos(t) + 16.

x² + y² = – 4 cos²(t) + 8 cos(t) + 4 = 4(cos(t) + 1)²

(x² + y²)² = 16(cos(t) + 1)4 = 16(cos4(t) + 4 cos3(t) + 6 cos2(t) + 4 cos(t) + 1).

(x² + y²)·4x= (– 4 cos²(t) + 8 cos(t) + 4)·(8 cos²(t) + 8 cos(t)) =

= 32 cos4(t) + 96 cos3(t) + 96 cos2(t) + 32 cos(t).

(x²+ y²) ²– 4x(x²+ y²) =

16 cos4(t)+ 64 cos3(t) + 96 cos2(t) + 64 cos(t) + 16

– 32 cos4(t) + 96 cos3(t) + 96 cos2(t) + 32 cos(t)

= – 16 cos4(t) – 32 cos3(t) + 32 cos(t) + 16.

Ezzel beláttuk, hogy a paraméteresen adott kardioid minden pontja kielégíti

(x²+ y²) ² – 4x(x²+ y²) = 4 y² egyenletet, azaz az egyenlet megadja a kardioid összes

pontját. Azt, hogy a megadott egyenlet a kardioid pontjai mellett nem tartalmaz más

8

pontokat könnyen belátható úgy, hogy egy tetszőleges origón átmenő egyenes és a

megadott egyenlet metszéspontjainak számát vizsgáljuk.

Az origón átmenő egyenes egyenlete y = ax.

Ezt behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk, hogy:

(x ²+ a²x ²)² – 4x(x²+ a²x ²) = 4 a²x²

x²·x² (1+ a²) – 4x·x²(1+ a²) – 4 a²x² = 0.

x²·((1+ a²) x² – 4 (1+ a²) x – 4 a²) = 0. Ennek az egyenletnek az x = 0 gyökön kívül

pontosan két gyöke van, ha a ≠ 0, illetve egy, ha a = 0. Hasonlóképpen ellenőrizhető (x = 0

behelyettesítésével), hogy az y-tengelyen is csak 3 pontja van a görbének. Ezekből már

következik, hogy az egyenlettel megadott pontok csak a kardioid pontjai, hiszen a

paraméteresen megadott kardioidnak és egy origón átmenő egyenesnek is maximum 3

metszéspontja lehet.

9

3. Kardioid származtatásai

3.1. Kardioid, mint ciklois - epiciklois

Ciklois(íve)t ír le egy tetszőleges görbén csúszásmenetesen gördülő körhöz rögzített,

vizsgált pont. A görbét alapgörbének, a gördített kört generálókörnek vagy gördülőkörnek

nevezzük.

A rögzített pont elhelyezkedése szerint beszélhetünk, nyújtott, hurkolt vagy közönséges

cikloisról.

Ha a rögzített pont a generálókörön belül helyezkedik el, akkor nyújtott cikloist kapunk.

Ha a rögzített pont a generálókörön kívül helyezkedik el, akkor hurkolt cikloist kapunk.

Ha a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, akkor közönséges cikloisnak

nevezzük a kapott görbét.

Ha az alapgörbe kör, a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, és a gördülő kör

belülről érinti az alapkört hipocikloist kapunk.

Ha az alapgörbe kör, a rögzített pont a generálókör egy kerületi pontja, és a gördülő kör

kívülről érinti az alapkört epicikloist kapunk. Tehát az epicikloist az R sugarú alapkör

körül csúszásmentesen gördülő r sugarú kör egy kerületi pontja írja le.

A ciklois csak akkor lesz zárt görbe, ha alapköre és generálóköre sugarának aránya

racionális. A kerületek aránya fogja meghatározni, hogy hány körbefordulás után záródik a

ciklois pályája, azaz hány csúcsa lesz a cikloisnak.

Abban az esetben r = R megegyezik, a kardioid görbéjét kapjuk. A kardioid esetében a

körkerületek egyenlősége miatt a gördülő kör egy körbeérése után záródik a görbe, a

kardioidnak tehát egy csúcsa van.

Ez a definíció szerinti származtatás - miszerint az R sugarú alapkör körül gördülő

ugyanakkora kör egy kerületi pontjára írja le a kardioidot – egy nagyobb görbecsaládból

kiindulva vezet el a kardioidhoz.

A következő ábrákon epicikloisokra és hipocikloisokra láthatunk példákat.

10

Epicikloisok: (r: R =2

1:1- nefroid;

3

1:1;

4

1:1)

További példák epicikloisokra:

Hipocikloisok: (r: R = -2

1:1; -

3

1:1-Steiner-ciklois; -

4

1:1-asztrois)

További példák hipocikloisokra:

11

3.2. Kardioid származtatása a csúcspont tükörképeként

Tükrözzük az alapkör minden érintőjére az alapkör egy rögzített C kerületi pontját. A

kapott C’ pontok kardioidot alkotnak, amelynek C lesz a csúcsa.

Legyen k alapkör középpontja O, egy kerületi pontja C, ahonnan a gördülőkör

rajzolópontja indul, és a g gördülőkör középpontja G. Vegyük a gördülőkör egy tetszőleges

helyzetét, és a két kör érintkezési pontját nevezzük B-nek. Vizsgáljuk meg B-ben a körök

érintőjét. Ha tükrözzük C pontot az érintőre, akkor C’ pont éppen a gördülőkör

rajzolópontja lesz, hiszen a két kör sugara ugyanakkora, CB és C’B körív egyelőek,

egymás tükörképei a B pontbeli érintőre nézve. Így a kör egy rögzített pontjának a kör

érintőire vonatkozó tükörképei is kardioidot rajzolnak ki.

12

3.3. Kardioid származtatása talpponti görbeként

A kardioid származtatható talpponti görbeként is. Induljunk ki egy R sugarú k1 körből. Ezt

valamelyik C kerületi pontjából kétszeresére nagyítva kapjuk a k2 kört. A k2 kör érintőire

C-ból bocsátott merőlegesek F talppontjainak mértani helye a kardioid.

Ez a származtatás visszavezethető az előbbi - a kardioid pontjainak, a csúcspont alapkör

érintőire vett tükörképeként való - származtatására. Ugyanis a megfelelő érintőket is

kétszeresére nagyítottuk, és mivel a nagyítás minden egyenest egy vele párhuzamos

egyenesbe visz, F pont pontosan a k1 kör megfelelő (k2 kör F ponton átmenő érintőjével

párhuzamos) érintőjére vett tükörképe a kardioid C csúcspontjának.

13

3.4. Kardioid érintője

A következő származtatáshoz vizsgáljuk meg a kardioid érintőit.

Legyen k alapkör középpontja O, és g gördülőkör középpontja G. B a két kör pillanatnyi

érintési pontja. Nevezzük A pontnak a gördülőkörön a B-vel átellenes pontot. Legyen e a

kardioid egy P pontbeli érintője.

Tétel: A kardioid P pontbeli érintője átmegy A ponton (vagyis a gördülőkörön a két kör

érintési pontjával átellenes ponton).

Biz: Mivel az alapkörön csúszásmentesen gördül a generálókör, P pont pillanatnyi

mozgása tekinthető körmozgásnak a két kör pillanatnyi érintési pontja, (B pont) körül. Ezt

szokás gördülési elvnek nevezni.

A síkbeli mozgatások közül a forgatások azok, melyeknek van fixpontja, ez a fixpont pedig

a forgatás középpontja. Az adott pillanatban a csúszásmentesség miatt B pont a gördülés

fixpontja, ezért a P pont pillanatnyi mozgása azonos a B középpont körül BP sugárral való

forgatással. A P pont elmozdulásának iránya merőleges a gördülési középpontból, B-ből, a

P pontra húzott vektorra, hiszen P mozgása felírható a B pont, mint középpont körüli

pillanatnyi elfordulásainak egymásutánjaként. Így BP szakaszra merőleges egyenes tényleg

érintője a kardioidnak.

Ebből már könnyen adódik, hogy a kardioid érintője átmegy az A ponton. Ugyanis

tekintsük BPA háromszöget, amelyik a Thalesz tétel miatt merőleges. Ennek a g körbe írt

14

háromszögnek AB (a g kör átmérője) az átfogója, tehát BP egyenese merőleges a PA

egyenessel. Tehát a P pontbeli érintő és PA egyenesek egybeesnek, azaz PA egyenes a

kardioid P pontbeli érintője.

Még egy dolgot kell definiálni a kardioid érintőjével kapcsolatban. A kardioidnak a

csúcspontjában a hagyományos értelembe vett, azaz sebességvektorral származtatható

érintője nincsen, hiszen itt a pillanatnyi sebessége zérus.

Ezért definiáljuk külön a csúcspontban is a kardioid érintőjét, ami legyen az OC egyenese.

OC egyenese adódik a C pontbeli érintőként, ha a kardioid szomszédos érintőinek

határhelyzetét vizsgáljuk. (Ebben az esetben B pont egybeesik a P ponttal, így BA és PA

egyenes egybeesik.)

3.5. Burkológörbék

A burkológörbe fogalmára több további származtatáshoz is szükségünk lesz.

Az egyenessereg vagy körsereg burkológörbéjén azt a görbét értjük, amely minden

pontjában érinti az egyenessereg vagy körsereg egy görbéjét, és a burkológörbe a

egyenessereg vagy körsereg minden tagját érinti.

Tehát egy síkgörbe érintőseregének a burkolója például maga a síkgörbe.

Megjegyzés: A burkológörbék létezését és egyértelműségét az analízis módszereivel

vizsgálhatjuk. Nincs minden görbeseregnek burkológörbéje (például ha vizsgálunk egy

sugársort, annak nyilvánvalóan nincsen burkológörbéje). De a görbeseregre vonatkozó

bizonyos simasági és nemelfajulási feltételek teljesülése esetén differenciálegyenletek

felhasználásával igazolható, hogy a burkológörbe létezik és egyértelmű. A dolgozatban

azonban ennek vizsgálatára nem térek ki.

Nézzünk pár érdekes példát a görbesereg burkológörbéjére:

Először vizsgáljuk egy olyan egyenessereg burkológörbéjét, amely következőképpen

keletkezik. Vegyünk egy C pontot és egy v egyenest. A C pontot kössük össze a v egyenes

minden pontjával. Vegyük az így keletkezett szakaszok felezőmerőlegesét.

Állítás: Ezen felezőmerőlegesek egyenesseregének burkolója parabola.

Vizsgáljuk meg tehát ezen egyenessereg burkológörbéjét.

15

A paraboláról tudjuk, hogy fókusza, az adott C pont és vezéregyenese, az adott v egyenes

egyenlő távolságra vannak a parabola pontjaitól.

Vegyünk egy f felezőmerőlegest, legyen Q az a pont, ahol a felezőmerőlegest származtató

egyenes metszi a vezéregyenest. Q pontból v-re állított merőleges metssze P-ben az f

felezőmerőlegest. Legyen T, ahol f felezőmerőleges metszi CQ egyenesét. PTC háromszög

egybevágó TPQ háromszöggel, hiszen két oldalának hossza és közéjük zárt szögük

megegyezik, ezért PC szakasz is egyenlő PQ szakasszal, tehát P a parabola pontja,

valamint QPT szög megegyezik TPC szöggel ezért f egyenes valóban a parabola érintője.

16

Másodszor vegyünk egy k kört és a körön belül egy adott C pontot.

Vizsgáljunk meg C pontból k körhöz húzott felezőmerőleges egyenessereg

burkológörbéjét.

Állítás: Ezen egyenessereg burkológörbéje ellipszis, amelynek az adott C pont az egyik

fókusza.

Nézzük meg C pontból a kör egy pontjával összekötött egyenes f felezőmerőlegesét.

Legyen T, ahol a felezőmerőleges és az azt származtató egyenes metszi egymást. Legyen

Q, ahol a felezőmerőlegest származtató egyenes metszi k kört, és a k kör O középpontjából

húzzunk egyenest Q-n át. Legyen P, ahol f-et ez az OQ egyenes metszi. TCP és TQP

háromszögek egybevágóak, mert két oldaluk (TC és TQ, valamint TP) ugyanakkora, és

közrezárt szögük is derékszög. Így TPC szög és TPQ szög ugyanakkorák, QP szakasz CP

szakasz tükörképe a felezőmerőleges egyenesére. Ez bármelyik felezőmerőlegessel

megcsinálható, CP + OP távolsága mindig r állandó lesz, tehát P az ellipszis pontja, a kör

O középpontja pedig a másik fókusz. Az is belátható, hogy f felezőmerőleges a P pontbeli

érintője, ugyanis, CPT szög megegyezik azzal a szöggel, aminek egyik szögszára f, a

másik PO egyenese.

17

Ha C pont a körön kívül helyezkedik, akkor a C pont és a kör pontjait összekötő szakaszok

felezőmerőlegesei hiperbolát burkolnak. Ennek bizonyítása az ellipszis burkolóként való

előállításával analóg.

18

3.6. Kardioid, mint egyenessereg burkolója

3.6.1. Tétel: A 3R sugarú körpályán keringő A pont körül 2

3-szeres szögsebességgel forgó

egyenes érinti a kardioidot, egy ilyen módon előállított egyenessereg burkolója tehát

kardioid.

Ezt a következőképpen láthatjuk be:

Ha P pont szöggel fordult el a kiindulási helyzethez képest, tehát OGP szög , akkor

OAP szög 2

, mivel OAP szög a BP körívhez, vagyis az OGP központi szöghöz tartozó

kerület szög.

Vizsgáljuk meg az érintő elfordulását a kiindulási helyzethez képest. Az érintő is elfordult

szöggel (OA egyenes szöggel való elfordulása) és ezen kívül még 2

-vel (PA és OA

egyenes szöge) is elfordult. Így az érintő + 2

szöget fordult el, -t kiemelve

2

3

szögel fordult el, míg a kadioid P pontja csak -vel. Ez az oka annak, hogy a 3R

(OB+BG+GA) sugarú körpályán A pont körül keringő 2

3-szeres sebességgel forgó

egyenes érinti a kardioidot.

19

3.6.2. Kardioid, mint a kétszeres sugarú gördülő kör rögzített átmérőjének burkolója

Ha az alapkörön gördülő, kétszer akkora sugarú kör rögzített átmérőjét követjük nyomon,

akkor ezen átmérők burkolója szintén kardioid.

Nevezzük k körnek az alapkört, és l-nek a kétszeres sugarú gördülő kört. Jelöljük A-val az

l kör középpontját, D-vel egy rögzített átmérő egyik végpontját, és vegyük kiindulási

helyzetnek, amikor D a két kör metszéspontja.

Vizsgáljuk meg az átmérő elfordulását egy tetszőleges helyzetben. CB ív megegyezik BD

körívvel, mivel a két kör egymáson csúszásmentesen gördül. Ha CB körív

forgásszöghöz tartozik a k alapkörben, akkor BD körív 2

központi szöghöz fog tartozni,

mert a gördülő kör sugara kétszerese az alapkörnek. Így a kétszer akkora sugarú kör

átmérője + 2

szöget fordult el, vagyis a kétszeres sugarú kör átmérővel is a kardioid

érintőit származtattuk.

20

3.7. Kardioid evolutája és evolvense

Evoluta: Adott egy reguláris (differenciálható és a deriváltja sehol sem 0) görbe. A

görbületi középpontok (simulóköröknek középpontjainak) mértani helyét a görbe

evolutájának nevezzük.

Evolvens: Adott egy reguláris görbe. Fejtsük le egy Q pontjától kezdve a görbét, azaz

minden P pontjában a P-beli érintőre mérjük fel a görbe Q-tól P-ig terjedő ívhosszát. A

kapott Q’ pontok alkotta görbét a Q ponthoz tartozó evolvensnek, vagy lefejtési görbének

nevezzük.

Megjegyzés: Egy görbének sokféle evolvense van, attól függően, hogy melyik ponttól

kezdjük a lefejtést. Ha egy f görbe a h görbének evolutája, akkor h görbe az f görbének

evolvense.

A továbbiakban szükségünk lesz néhány definícióhoz, amelyek segítségünkre lesznek a

kardioid evolutájának levezetésében.

Definíciók:

Sebességvektor

A sebességvektor egy olyan vektor, melynek iránya a pályagörbe mindenkori érintőjének

irányával megegyező, nagysága a pillanatnyi sebesség nagysága. A sebességvektor az

elmozdulás idő szerinti első deriváltja.

Egy paraméteres síkgörbe sebességvektora tehát a 0t pontban )t('r 0 .

Sebessége ebben a pontban: )t(v 0 = )t('r 0 .

Érintő

Egy görbe érintőjét többféle megközelítéssel is definiálhatjuk.

Először szemléletesen, ezt már korábban használtuk is. A görbe kiválasztott P pontja

környezetében válasszuk ki a görbe két különböző pontját, P1, P2. E két ponton át húzható

egy egyenes (szelő), és az érintő ennek az egyenesnek a határesete, amint P1 és P2 tartanak

a P ponthoz.

De az evoluta számításához egy másik megközelítésre van szükségünk. Tegyük fel, hogy

az r paraméteres síkgörbe reguláris a t0 pontban. A görbe t0-hoz tartozó érintőjén azt az

egyenest értjük, amely áthalad az )t(r 0 ponton, és irányvektora az )t('r 0 sebességvektor.

21

Az érintő irányú, egység hosszúságú vektort jelöljük e(t)-vel. Az e(t) = )t('r

)t('r.

Görbület

Egy pontbeli görbület alatt az érintő irányváltozásának a pálya menti sebességét értjük,

azaz az irányszög ívhossz szerinti első deriváltja lesz.

Egy síkgörbe adott pontjához tartozó görbületét a (t)v

(t))'r' (t),(r'det )t(

3 összefüggés

segítségével számolhatjuk ki.

Normális egységvektor:

A t0-beli normális egységvektor az érintő irányú egységvektor +90º-os elforgatottja.

Jele: n(t0).

Simulókör

A simuló kör definiálásához válasszunk ki 3 nem egy egyenesbe eső pontot a P

környezetében: P1, P2, P3. Tegyük fel, hogy P-ben a görbület nem 0. Egyetlen kör van, ami

az előbbi három ponton átmegy. Ennek a körnek a határesete a simuló kör, amint P1, P2 és

P3 tartanak P-hez.

Ismeretes, hogy a görbe P pontbeli érintője megegyezik a simulókör érintőjével és P

pontbeli görbülete a simulókör görbületével. Ha a görbét paraméterezzük t paraméter

szerint és P = )t(r 0 valamint feltesszük, hogy 0)t( 0 akkor a síkgörbe t0-beli

simulókörén az )t(n)t(

1)t(r 0

00

középpontú,

)t(

1

0 sugarú kört értjük.

22

Állítás:

A kardioid evolutája egy fordított állású (180 fokkal elforgatott), 3

1-ára kicsinyített

kardioid. Ha a kardioid csúcspontjával átellenes pontját vesszük a lefejtés kezdőpontjának,

akkor evolvense egy szintén fordított állású, 3-szorosára nagyított kardioid.

A kardioid evolutájának egy paraméteres egyenletét fogjuk levezetni az alábbi számítással.

Egy r(t) paraméteres görbe evolutája, a görbe görbületi középpontjainak helye, az

)t(n)t(

1)t(r

összefüggés segítségével kiszámolható.

Vegyük a kardioid egy paraméterezését.

x(t) = 2cos(t) – cos(2t),

y(t) = 2sin(t) – sin(2t),

r(t) = (2cos(t) – cos(2t), 2sin(t) – sin(2t)).

Ennek deriváltja, azaz sebességvektora:

)t('r = (–2sin(t) + 2sin(2t), (2cos(t) – 2 cos(2t))

Sebessége:

v(t) = )t('r = 22 cos(2t)) 2 - (2cos(t)2sin(2t)) (-2sin(t) =

(2t))4cos cos(2t) cos(t) 8 (t)4cos (2t)4sin (2t)8sin(t)sin - (t)(4sin 2222 =

cos(2t) cos(t) 8 -2t)sin(t)sin( 8 - 8 = 2t)cos(t)cos( (2t)(sin(t)sin 8 - 8 =

= 2))-cos(2t - (1 8 = cos(t)) - (1 8 .

Számoljuk ki normálvektort.

23

n(t) =))tcos(1(8

2sin(t))sin(t)cos(2t),-2 2 (-2cos(t)

A görbület kiszámításához számoljuk ki )t(''r -t és ))t(''r),t('rdet( -t, majd számoljuk ki a

görbületet.

)t(''r = (-2cos(t) + 4cos(2t), - 2sin(t) + 4sin(2t))

))t(''r),t('rdet( =

= ((2sin(2t) -2sin(t))· (4sin(2t) - 2sin(t)) – (2cos(t) – 2 cos(2t))· (4cos(2t) -2cos(t))) =

= (8 sin2(2t) – 4 sin(t)sin(2t) – 8 sin(t)sin(2t) + 4sin2 (t) ) –

– (8 cos(t) cos(2t) - 4cos2 (t) - 8cos2 (2t) + 4 cos(t) cos(2t)) =

= 8 sin2(2t) + 8cos2 (2t) + 4sin2 (t) + 4cos2 (t) – 12 sin(t)sin(2t) – 12 cos(t) cos(2t) =

= 12 – 12 (sin(t)sin(2t) + cos(t) cos(2t)) = 12 (1 – cos(t)).

3))tcos(1(8

))tcos(1(12)t(

=

))tcos(1(82

3

.

Az evoluta paraméteres görbéje ebből:

evoluta (t) = )t(n)t(

1)t(r

azaz

= 2cos(t)cos(2t), 2sin(t)sin(2t)) +

+ 2sin(2t))) (-2sin(t) cos(2t)), 2 ((-2cos(t)))tcos(1(8

1

3

))tcos(1(82

= 3

1 ((6cos(t)- 3cos(2t), 6sin(t) - 3sin(2t)) + (-4cos(t) + 4 cos(2t)), (-4sin(t)+ 4sin(2t))) =

= 3

1 (2cos(t) + cos(2t), 2sin(t) + sin(2t)).

Ez a kiindulási kardioid egyharmadára kicsinyített, fordított állású kardioidja, amit

ellenőrizhetünk úgy, hogy t helyébe helyére (t + π) -t helyettesítünk, mivel t a forgásszöget

méri, ez 180 fokos elforgatást jelent.

3

1 (2cos(t + π) + cos(2t + 2 π), 2sin(t + π) + sin(2t + 2 π)) =

=3

1 (- 2cos(t) + cos(2t), - 2sin(t) + sin(2t)).

Ennek a kardioidnak pedig az egyik evolvense a kiindulási kardioid. Tehát a megfelelő

kiindulási ponttól, azaz a csúcsponttal átellenesen vett pontból induló lefejtés egy

háromszorosára nagyított fordított állású kardioidot eredményez.

24

3.8. kardioid származtatása körök burkolójaként

Tétel:

Tekintsük azon körök burkolóját, amelyek középpontja illeszkedik egy adott körre és

valamennyien átmennek a kör egy rögzített pontján. Így egy olyan kardioidot kapunk,

aminek a csúcsa a rögzített pont.

Legyen C a kardioid csúcspontja, vagyis a kiindulási helyzet, amikor a P rajzolópont az

alapkörön van. Vegyük az O középpontú alapkört és G középpontú generálókör egy

tetszőleges állását. Nevezzük B-nek a két kör metszéspontját. Tudjuk, hogy a kardioid P

pontbeli érintője merőleges a BP egyenesre, (mivel a gördülési elv szerint B pillanatnyi

középpont.) Rajzoljuk meg a B középpontú, BP sugarú kört l kört. Ez az l kör átmegy C

ponton, mivel P a C pont tükörképe a B pontbeli érintőre nézve, tehát BP = BC. Ennek a B

középpontú, BP sugarú körnek P pontbeli érintője a kardioid P pontbeli érintőjével

megegyezik, (hiszen a kardioid érintője és a kör érintője is merőleges P-ben BP-re). Tehát

azon körök burkolója, amelyeknek a középpontja az alapkörön van és átmennek a C

ponton valóban kardioid.

25

3.9. Inverzió

A következő előállításhoz inverziót és az inverzió tulajdonságait fogjuk használni.

Definíció:

Legyen adva egy O középpontú r sugarú kör. Ezt a kört nevezzük az inverzió alapkörének,

az O pontot meg az inverzió pólusának, r²-et meg az inverzió hatványának. Ha a P pont

nem azonos O-val, akkor a P ponthoz hozzárendeljük OP félegyenesnek azt a P’ pontját,

amelyre OP·OP’= r².

Egységsugarú körre vonatkozó inverzió esetében, ha a P pont x távolságra van az origótól,

akkor a P pont inverze P’ x

1 távolságra lesz a pólustól, mivel x ·

x

1 =1².

Az inverzió azon tulajdonságai, amit a későbbiekben felhasználunk:

Ha egy alakzat kör vagy egyenes, akkor inverze is kör vagy egyenes.

A póluson át nem haladó kör inverze póluson át nem haladó kör.

A póluson áthaladó kör inverze póluson át nem haladó egyenes.

A póluson át nem haladó egyenes inverze a póluson áthaladó kör.

A póluson áthaladó egyenes önmagának az inverze.

Ha egy kör és egy egyenes, vagy pedig 2 kör egymást a pólustól különböző

pontban érinti, vagy metszi, akkor inverzeik is érintik vagy (ugyanolyan szögben)

metszik egymást.

Az x² + y² = 1 körre vonatkozó inverzió az (x, y) pontok inverz képeként az

2222 yx

y,

yx

xpontot rendeli.

Ha egy F(x,y) = 0 egyenletű alakzat inverzét keressük, akkor annak egyenletét az

előbbi képletek x, illetve y helyébe történő behelyettesítésével kapjuk.

Tehát F(x,y) = 0 egyenletű alakzat inverze

2222 yx

y,

yx

xF = 0

egyenletű alakzat.

26

3.9.1.Kardioid származtatása parabola inverzeként

Tétel: A kardioidot megkaphatjuk, mint parabola inverzióból vett képét, ha alkalmasan

választjuk a parabola és az inverziót definiáló kör egymáshoz viszonyított helyzetét. Ha

egy parabola fókusza O, és az inverziót definiáló kör középpontja is O, akkor képként

kardioid adódik.

Ez az állítás kétféleképpen is könnyen belátható egyszerű számítással vagy geometriai

úton.

Számolással:

Vizsgáljunk meg egy olyan tetszőleges parabola inverz képét az egységkörre, aminek

fókusza szintén az origó. Vegyük az y² = –2x + 1 egyenletű parabolát. Ennek fókusza az

origó, amit a parabola kanonikus egyenletének segítségével könnyen beláthatunk. A

parabola kanonikus egyenlete: y² = 2px, ahol a parabola csúcsa az origóban van, fókusza

(2

p; 0) pontban, vezéregyenes pedig az x= –

2

pegyenes. Az y² = – 2x + 1 átalakítva

)2

1x()1(2y2 észrevehetjük, hogy az y² = – 2x + 1 egyenletű parabola a kanonikus

helyzetű parabolához képest egy fél egységgel eltolt, fordított állású parabola, valamint p

helyére – 1-t írhatunk, így a csúcspontja a (2

1, 0) pont, fókusza az origó.

27

Invertáljuk az y² = – 2x + 1 egyenletű parabolát a x² + y² = 1 egységkörre.

1yx

x2

yx

y22

2

22

ekvivalens átalakításokkal:

222222 )yx()yx(x2y

0 = (x²+ y²)² - 2x (x²+ y²) - y²

A kardioid egyenletéből (x²+ y²) ²- 4Rx(x²+ y²) - 4R² y² = 0 adódóan

4R = 2

4R² = 1.

Amiből következik, hogy a kardioid alapkörének sugara 2

1.

Ezzel beláttuk, hogy ha egy parabola fókusza O, és az inverziót definiáló kör középpontja

is O, akkor képként kardioid adódik, ugyanis ha a parabolát a pólusból nagyítjuk a képe az

inverzió tulajdonságainak megfelelően egy kisebb kardioid lesz.

Megjegyzés: Az (x² + y²)²- 4x(x² + y²) - 4 y² = 0 egyenletű kardioidot megkapjuk

inverzióval az y²= -2x + 1 egyenletű parabolából, ha az inverziót definiáló kör középpontja

O és sugara 2 .

28

Geometriai úton

Invertáljuk a parabola érintőit az O fókuszú egységkörre.

A parabola v vezéregyenesének inverze egy póluson áthaladó v’ kör. Most vizsgáljuk meg

a parabola egyik e érintőjének az inverzét. Az O pólusból húzzunk merőlegest az e

egyenesre, ez a merőleges P-ben metszi v vezéregyenest, P pontjának inverze P’, az OP

egyenes és a v’ kör metszéspontja.

Nevezzük M-nek az e érintő és OP egyenesének metszéspontját. OM szakasz fele az OP

szakasznak, ezért az inverzió miatt OM’ = 2·OP’. Tehát M’ rajta van az O-ból kétszeresére

nagyított v’-n. Mivel az O-beli érintőknek párhuzamosaknak kell maradniuk, az e érintő

inverze egy olyan e’ póluson átmenő OM’ átmérőjű kör, aminek a középpontja P’. Ebből

adódik, hogy az érintők inverzeinek a serege a v’- re illeszkedő középpontú, O-n áthaladó

körök serege.

Az ilyen körökről burkolójáról pedig már tudjuk, hogy kardioid.

Az inverzió érintkezéstartósága miatt tehát az O fókuszpontú parabola képe kardioid,

abban az esetben, ha az inverziót definiáló kör a parabola fókuszpontjában van.

29

3.10. Kardioid a kör húrjainak burkolójaként

Ha egy körben összekötjük a szöghöz tartozó kerületi pontot a kétszer akkora szögűvel,

akkor az ilyen húrok szintén kardioidot érintenek.

Vegyük fel az O középpontú alapkört és tekintsük kiinduló helyzetnek a generálókörnek

azt az állását, amikor P rajzolópontja éppen a két kör érintkezési pontjával átellenes pont.

(Így a kardioidot a csúcsával átellenes oldaláról kezdjük megrajzolni.) Nézzük a

gördülőkör egy pillanatnyi állását. A két kör metszéspontja legyen B, a generálókör B-vel

átellenes pontja A. A gördülőkör szöggel fordult el, tehát OG egyenes szöggel fordult

el a kiindulási helyzethez képest, és AGP szög is . Rajzoljuk meg O középpontból az A-

n átmenő (3r) nagyságú l kört. Rajzoljuk meg a kardioid P pontbeli érintőjét - amiről már

tudjuk, hogy átmegy A-n (3.4. pont) , - és azt a pontot, ahol az érintő a másik pontban

metszi l kört, nevezzük A’-nek. AOA’ és AGP hasonló háromszögek, hiszen tudjuk, hogy

két megfelelő oldaluk aránya (GA és GP r, OA és OA’ 3r nagyságú) valamint 2 szögük

nagysága megegyezik(OAA’ szög = OA’A szög = GPA szög). Ebből következik, hogy

AGP szög is megegyezik AOA’ szöggel vagyis AOA’ szög is nagyságú, tehát OA’

kétszer akkora szöggel fordult el a kiindulási helyzethez képest, mint OA. AA’ egyenese

pedig a kardioid érintője.

Az állítás visszavezethető arra, hogy a körpályán A pont körül 2

3-szeres sebességgel forgó

egyenes érinti a kardiodot, ilyen egyenessereg burkolója a kardioid (3.6.1. tétel).

30

Ugyanezt az állítást más, szemlétesebb megfogalmazásban a következőképpen is

mondhatjuk. Adott egy kör. Két pont kering a körvonalon, az egyik sebessége kétszerese a

másikénak. A két pontot összekötő húrok így is kardioidot rajzolnak ki.

Egy harmadik megfogalmazásban, komplex számok segítségével is megkaphatjuk

ugyanezen az elven a kardioidot. Ha a komplex számsíkon az egységkör pontjait négyzetre

emeljük, és az egységkör z pontját összekötjük z²-tel, akkor a húrok kardioidot érintenek.

Ez abból adódik, hogy ha egy komplex számot négyzetre emelünk a komplex egységkörön,

akkor a vektor hossza a négyzetére emelkedik, tehát marad egység hosszú, és a vektor

szöge a kétszeresére nő.

3.11. Kardioid kör kausztikájaként

Egy kör kerületére helyezett pontszerű fényforrásból kiindulva a sugarak a körön

visszaverődve kardioidot súrolnak. Ez kísérlettel jól szemléltethető kausztikagörbét

eredményez egy pohár sötétebb folyadék felszínén.

Ennek magyarázata, ha a fénysugár egy irányszögű pontban tükröződik, akkor

visszaverődés után épp a 2 irányszögű kerületi pont felé fog továbbhaladni. Az e két

pontot összekötő húrokról pedig már tudjuk, hogy kardioidot érintenek.

31

3.12. kardioid, mint konchoid

Konchoid

Legyen adott az f görbe és egy rá nem illeszkedő C pont, valamint egy k távolság.

Vegyünk egy C ponton átmenő, a görbét P-ben metsző m egyenest. Jelöljük ki m-en Q1 és

Q2 pontokat úgy, hogy d (Q1,P) = d (Q2,P) = k legyen. Ha P befutja az f görbét, akkor az

egyenes helyzetekhez tartozó Q1, Q2 pontok összessége éppen a konchoid görbéjét adja.

Ha az előállításhoz választott görbe kör, a rögzített pont pedig a kör kerületén van, és k az

alapkör átmérőjével megegyező nagyságú, akkor a létrejövő konchoid éppen a kardioid.

Tétel: A kardioidot tehát úgy származtathatjuk konchoidként, hogy veszünk egy 2

kr

sugarú körön egy fix C pontot. C ponton át egyenest húzunk úgy, hogy messe a kört P

pontban. Ezen az egyenesen kijelöljünk Q1 és Q2 pontokat úgy, hogy

d (Q1, P) = d (Q2, P) = k teljesüljön, ahol k állandó. Ha a P befutja a kört, akkor a Q pontok

kirajzolják a kardioidot.

32

Bizonyítás

Rögzítsünk a síkon egy k kört és a kerületén egy C pontot, a kör átmérője legyen d.

Fektessük C-n át egy szelőt, legyen a szelőszakasz másik pontja a körön P. P-ből mindkét

irányba mérjünk fel ugyanakkora d (2r) távolságot.

Rajzoljuk meg az k kör h húrra merőleges e, f érintőit. Legyen C és P a húr két végpontja.

Tükrözzük C pontot az e illetve f egyenesre, így megkapjuk a Q illetve Q’ pontot.

PQ = 2r, mivel C és P, valamint e és f szimmetrikus a h húrra merőleges sugár egyenesére

és a két felvett érintő között is épp 2r a távolság. (C és e távolsága megegyezik P és f

távolságával a szimmetria miatt, valamint C és e távolsága megegyezik Q és e távolságával

a tükrözés miatt, ebből adódik, hogy Q és e távolsága is megegyezik P és f távolságával. )

Hasonlóan kapjuk, hogy C-nek az f-re vonatkozó Q’ tükörképére is, hogy PQ’ = 2r.

Ha h befutja az összes C-n átmenő egyenest, akkor e és f befutja a k kör összes érintőjét,

miközben az összes érintőre tükröztük a kör egyik pontját. És azt már beláttuk, hogy így

valóban kardioidhoz jutunk.

33

3.13. kardioid a komplex síkon

Tétel: A komplex számsíkon az origón áthaladó tetszőleges kör négyzete origó csúcsú

kardioid lesz.

Egy geometria alakzat négyzetén az összes pontjának a négyzetre emelése után adódó

alakzatot értjük. A komplex számsíkon egy pont négyzetét úgy kapjuk, hogy a pontba

mutató vektor hosszát a négyzetére emeljük, szögének pedig a kétszeresét vesszük.

Algebrából ismerhetjük azt az összefüggést, hogy a komplex számok halmaza

megfeleltethető a R koordinátasíkkal. Egy (a + bi) komplex számnak (a,b) pont felel meg,

aminek koordinátáit, úgy emelhetjük négyzetre, hogy (a+bi) ² = a² + 2abi – b² lesz, tehát a

négyzetre emelt komplex szám koordinátái: (a² – b²; 2ab).

A komplex számsíkon a z vektor egységkörre vonatkozó inverze z

1 (a z , azaz z

konjugált, egy olyan komplex szám, ami képzetes része előjelének megváltoztatásával

keletkezik, tehát z = a + ib konjugáltja z = a – ib lesz). Ugyanis, ha egy tetszőleges P

pontot invertálunk az egységkörre, a pólustól való távolsága a reciprokára változik, de ha

egy komplex szám reciprokát vesszük, akkor a képzetes rész előjele megváltozik, ezért

szükséges a reciprok konjugáltját venni.

A bizonyítás során kihasználhatjuk, hogy az inverzió ( z z

1 ) és a négyzetre emelés

(z 2z ) olyan transzformációk, amelyeknek sorrendje felcserélhető, hiszen

2

2

z

1

z

1.

34

Bizonyítás:

Az tételt úgy fogjuk belátni a komplex síkon, hogy az origón átmenő kört invertáljuk az

origó középpontú egységkörre, amiből egyenes lesz, majd négyzetre emeljük az egyenest,

amiből parabolát kapunk, végül újra invertáljuk a parabolát az origó sugarú egységkörre,

így kapjuk meg a kardioidot.

Az origón átmenő összes kör előállítható egy rögzített körből, ha megfelelően választott c

komplex konstanssal beszorozzuk a pontjait. A négyzetre emelés után ezért minden kép a

rögzített kör képének forgatva nyújtottja lesz. Azt, hogy milyen mértékben azt c² határozza

meg. Megtehetjük tehát, hogy egy speciálisan választott kör négyzetéről látjuk be, hogy

kardioid. Célszerű első lépésben az 2

i középpontú,

2

1 sugarú kört választani.

A második lépésben az origón átmenő 2

i középpontú

2

1 sugarú kört invertáljuk az origó

középpontú egységkörre. Tudjuk, hogy a póluson áthaladó kör inverze póluson át nem

haladó egyenes, valamint az inverzió érintkezéstartósága miatt az egyenes a képzetes

tengely 1 pontján keresztül, a valós tengellyel párhuzamosan halad, azaz y = 1. A komplex

síkon egy egyenes egyenletét az z = x + iy írja le.

Harmadik lépesben emeljük négyzetre ezt az egyenest, hiszen megállapítottuk, hogy az

inverzió és a négyzetre emelés olyan transzformációk, amelyeknek a sorrendje

felcserélhető, ezért felírható:

(x + iy) ² = x ²+ 2ixy – y² és

mivel az y = 1, ezért (x + iy) ² tovább egyenlő x² –1 + 2ix.

Az (x² –1) + (2x)i = x’ + y’i, ezért négyzetre emelt pontok koordinátáira teljesül,

hogy 1'y4

11

2

'y'x 2

2

, ami egy origó fókuszú, x = –

4

1 csúcsú parabola egyenlete.

Az origó fókuszú paraboláról pedig már korábban megállapítottuk, hogy inverze tényleg

kardioid.

35

36

4. A háromszögbe írt kardioid és a Morley – háromszög kapcsolata

A kardioid egy nagyon érdekes tulajdonsága a háromszögek Morley-féle háromszögével

kapcsolatos. Elsőként Frank Morley (1860-1937) mondta ki és évekkel később bizonyította

is. Mivel mind a tétel bizonyítása, mind a kardioiddal való kapcsolatának bizonyítása

hosszadalmas, szakdolgozatomban csak a kardioiddal való kapcsolatának egy kicsi

részletének (a négyszeresen érintő kardioidoknak) a bizonyítását mutatom be

ízelítésképpen.

4.1. Morley-tétel:

Bármely tetszőleges háromszög szomszédos szögharmadoló egyeneseinek metszéspontjai

egy szabályos háromszöget alkotnak, amelyet a háromszög Morley-féle háromszögének

nevezünk.

37

4.2. Morley-háromszög és a kardioid kapcsolata

Tétel: Tetszőleges háromszögbe írt kardioidok középpontjának mértani helye a Morley-

háromszög határvonala.

A háromszögbeírt kardioidon azt értjük, hogy a kardioid a háromszögben fekszik, és a

háromszög minden oldalát legalább egyszer érinti. A kardioid középpontján alapkörének

középpontját értjük.

Ha a kardioid a háromszög valamelyik oldalát két pontban, a másik kettőt egy-egy pontban

érinti, akkor nevezzük négyszeresen érintő kardioidnak. Pontosan három ilyen kardioid

van, aszerint, hogy melyik oldalt érinti kétszer. Ha a kardioid minden oldalt pontosan

egyszer érint, akkor háromszorosan érintő kardioidnak fogjuk nevezni.

A négyszeresen érintő kardioidok középpontjai épp a Morley-háromszög egyik csúcsával

esnek egybe, a háromszorosan érintő kardioidok középpontjai pedig a Morley-háromszög

oldalszakaszain vannak.

Megjegyzés: Kilépve a háromszög belsejéből a háromszög mindhárom oldalegyenesét

érintő kardioidok középpontjának mértani helye 9 egyenes uniója. Ezt szintén nem

bizonyítjuk.

38

Tétel: Ha a háromszögbe beírt kardioidot a háromszög egy oldala kétszeresen is érinti, azaz

négyszeresen érintő kardioid, akkor a középpontja épp a Morley-háromszög egy csúcsával

esik egybe.

Így három ilyen négyszeresen érintő kardioid rajzolható egy háromszögbe.

Állítás:

Vegyük XYZ tetszőleges háromszöget, melynek megfelelő oldalai: x, y, z és megfelelő

szögei , , .

Tekintsük azt a kardioidot, amelyik kétszeresen érinti az XYZ háromszög x oldalát. Ekkor

a kardioid alapkörének O középpontját és az Y csúcsot összekötő egyenes harmadolja a

szöget.

Mivel a háromszög átbetűzhető, így megkaphatjuk, hogy OZ szakasz is harmadolja a

szöget. O tehát valóban két megfelelő szögharmadoló metszéspontja, azaz a Morley-

háromszög csúcsa.

39

Bizonyítás:

A kardioid k alapkörének középpontját jelöljük O-val, g generálókörének középpontja

legyen G. A vizsgált kardioidot a g gördülőkör P pontja írja le. Jelöljük továbbra is C-vel a

kardioid csúcsát.

Nevezzük M-nek OC egyenes és a háromszög x oldalának metszéspontját. A kardioid

kétszeres érintője legyen a háromszög x oldalegyenese, ezen az egyik érintési pont P’.

Vegyük a gördülőkörnek azt az állását, amikor P’ pontot állítja elő. Az alapkör és a

generálókör érintkezési pontja legyen B, a generálókör B-vel átellenes pontja legyen A. Ha

BOC szög , azaz a gördülőkör φ szöggel fordult el, akkor BG P’ szög is , és a BP’

ívhez tartozó kerületi szög BAP’ szög 2

.

Az AOM háromszög szögei , 2

és 90 fok, tehát ebből könnyen kiszámolható, hogy

60 . Az AOM háromszög átfogója OA= 3r, tehát OM befogója = 2

r3, ebből pedig

következik, hogy CM szakasz hossza 2

r.

40

Vegyük fel az alapkör C pontbeli érintőjét, ami párhuzamos a háromszög x oldalával. Ezt a

párhuzamost nevezzük h-nak. Kössük össze a háromszög Y csúcsát a kardioid O

középpontjával. A h és YO egyenesek metszéspontját nevezzük D-nek és a DOC szög

legyen .

Tükrözzük a h egyenest az OD egyenesre. A h tükörképe legyen f, és f és k érintési pontja

B’. A tükrözés miatt DOB’ szög = DOC szög = α. Tükrözzük az alapkört az f egyenesre,

ez a generálókörnek az a helyzete, amikor B’-ben érinti az alapkört és a kiindulási

helyzethez képest 2 szöggel fordult el.

Az DG’B’ szög megegyezik DOB’ szöggel, azaz DG’B’ szög is , az f tengelyre való

szimmetria miatt. Húzzunk z párhuzamost a gördülőkör B’-vel átellenes A’ pontján át G’D

egyenessel. A párhuzamosság miatt z is szöget zár be A’G’-vel. A párhuzamos szelők

tétele segítségével igazolhatjuk, hogy z egyenes át fog menni a Y ponton. Mivel az M

pontot O-ból C másfélszeresre nagyításával kaptuk, DC és YM párhuzamossága miatt Y

pont is másfélszer olyan távol van O-tól, mint D pont. A’ pontot szintén G’ pont

másfélszeresére nagyításával kaptuk. G’D és z párhuzamossága miatt z megegyezik AY

egyenessel.

G’A’Y szög = , tehát így eljutottunk ahhoz az érintőhöz, amelyik a gördülőkör 2 -val

való elfordulásához tartozik.

Az G’DC szög a szögszárak párhuzamossága miatt egyenlő az A’YM szöggel. A

tükrözések miatt OD harmadolja az G’DC szöget, tehát OY harmadolja az A’YM szöget

is. Ezt szerettük volna megmutatni.

(Az ábrán a gördülőkör az óramutató járásával megegyezően halad)

41

5. Pascal-csigák, a kardioid rokonai

A Pascal-féle csigák is a cikloisoknak egy csoportját alkotják.

A síkon egy adott r sugarú alapkör mentén egy ugyanolyan r sugarú gördülőkört gördítünk

csúszásmentesen, akkor a gördülőkör egy rögzített C pontja által leírt görbét Pascal-

csigának nevezzük. A rögzített C pont a síkon a gördülőkörhöz képest 3 féleképpen

helyezkedhet el.

Ha a C rögzített pont a gördülőkör egy külső pontja, akkor az általa leírt görbét, az

alakjából adódóan hurkolt Pascal-csigának nevezzük.

Ha a rögzített C pontot a gördülőkörön belül választjuk, akkor nyújtott Pascal-csigát

kapunk.

Ha a rögzített pont éppen a gördülőkör középpontja, akkor gördítése során kört ír le.

Ha a C rögzített pont a gördülőkör egy kerületi pontja, a keletkező görbe a kardioid. (Ez is

a definíció szerinti származtatás egy görbecsalád segítségével.)

A Pascal-csigák származtatását a kardioid származtatásából bővítem ki.

42

5.1. Pascal-csigák paraméteres előállítása

A Pascal-csiga paraméteres előállításához vegyük alapul a kardioid paraméterese

előállítását.

Vegyük az origó középpontú egység sugarú alapkör és a generálókör egy pillanatnyi

helyzetét a t szögelfordulás függvényében. A Pascal-csiga P rajzolópontja az alapkörön

belül vagy kívül helyezkedik el, aszerint, hogy nyújtott vagy hurkolt Pascal-csigát

szeretnénk előállítani.

Az P pontba mutató r(t) helyvektorra van szükségünk, amit felírhatunk az origóból a

gördülőkör középpontjába (G) mutató helyvektor (2cos(t), 2sin(t)) és a G-ből P-be mutató

vektor összegeként. A P pont helyzete annyiban más a kardioid esetéhez képest, hogy P

pont távolságra van G-től és nem egységsugár távolságra.

Így a GP vektor ( · cos(2t), · sin(2t)).

Tehát a Pascal-csiga egy lehetséges paraméteres előállítása:

x(t)= 2cos(t) – · cos(2t);

y(t)= 2sin(t) – · sin(2t);

ha < 1, akkor nyújtott Pascal-csigát, ha > 1, akkor hurkolt Pascal-csigát kapunk.

43

5.2. Pascal-csigák származtatása a csúcspont tükörképeként

Rögzítsünk a síkon egy k kört és egy C pontot. Tükrözzük a C pontot a k kör összes

érintőjére.

Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor nyújtott Pascal-csiga lesz az összes érintőre

tükrözött C’ pontok mértani helye.

Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor hurkolt Pascal-csiga lesz az összes érintőre

tükrözött C’ pontok mértani helye.

Ha a C pont a körön helyezkedik el, akkor kardioidot kapunk. Ezt beláttuk az egyenlő

körívek segítségével.

A kardioidnál belátott bizonyítás a másik két esetben is alkalmazható, hiszen az alapkör és

a generálókör sugara ugyanakkora. Tehát abban az esetben, ha pl. C pont a körön belül

helyezkedik el, húzzuk meg O ponttól C-n átmenő sugarat. Legyen B a két kör

metszéspontja és G a generálókör középpontja. BOC megegyezik BGC’ szöggel és a két

szöghöz tartozó körív is egyenlő.

Tehát C’-be C-t a két kör érintési pontján át húzott érintőre vonatkozott tükrözés viszi.

Ugyanígy abban az esetben, ha C a körön kívül helyezkedik el.

44

5.3. Pascal-csigák származtatása talpponti görbeként

A Pascal-csigák szintén származtathatóak talpponti görbeként is. Induljunk ki egy R sugarú

k1 körből. Ezt egy tetszőleges C pontból kétszeresére nagyítva kapjuk a k2 kört. A k2 kör

érintőire C-ből bocsátott merőlegesek F talppontjainak mértani helye a Pascal-csiga.

Ha a C pont a körön belül helyezkedik, akkor nyújtott Pascal-csiga lesz a talpponti görbe.

Ha a C pont a körön kívül helyezkedik, akkor hurkolt Pascal-csiga lesz a talpponti görbe.

Ez a származtatás visszavezethető az előbbi, - a csúcspont alapkör érintőire vett

tükörképeként való - származtatására. Ugyanis a megfelelő érintőket is kétszeresére

nagyítottuk, és mivel a nagyítás minden egyenest egy vele párhuzamos egyenesbe visz, F

pont pontosan a k1 kör megfelelő (k2 kör F ponton átmenő érintőjével párhuzamos)

érintőjére vett tükörképe a Pascal-csiga C csúcspontjának.

45

5.4. Pascal-csigák, mint körsereg burkolója

Induljunk ki a síkon egy rögzített pontból és egy rögzített körből. Tekintsük azon körök

burkolóját, amelyeknek középpontjai a rögzített körön vannak és átmennek a rögzített

ponton is.

Ha a rögzített pont a körön belül helyezkedik el, akkor a burkológörbe hurkolt Pascal-

csiga.

Ha a rögzített pont a körön kívül helyezkedik el, akkor a burkológörbe nyújtott Pascal-

csiga.

Korábban beláttuk, hogy ha a rögzített pont a körvonalon helyezkedik el, akkor a körsereg

burkológörbéje kardioid.

Legyen C a Pascal-csiga csúcsa, P a rajzolópontja és tekintsük kiindulási helyzetnek azt,

amikor OGPC egy egyenesbe esik. Vegyük az O középpontú alapkört és G középpontú

generálókör egy tetszőleges helyzetét. Nevezzük B-nek a két kör metszéspontját. A görbe

P pontbeli érintője merőleges a BP egyenesre, (mivel a gördülési elv szerint B pillanatnyi

középpont.) Rajzoljuk meg a B középpontú, BP sugarú kört l kört. Ez az l kör átmegy C

ponton, mivel P a C pont tükörképe a B pontbeli érintőre nézve, tehát BP = BC. Ennek a B

középpontú, BP sugarú körnek P pontbeli érintője a görbe P pontbeli érintőjével

megegyezik, (hiszen a görbe érintője és a kör érintője is merőleges P-ben BP-re.) Tehát

azon körök burkolója, amelyeknek a középpontja az alapkörön van és átmennek a C

ponton valóban nyújtott Pascal-csiga.

46

5.5. Pascal csigák származtatása kúpszeletek inverzeiként

Ha a kúpszeleteket úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben, hogy az (egyik) fókusz

illeszkedjen az inverzió pólusára, akkor a Pascal-csigákat kapjuk a kúpszeretek inverz

képeként. Az ellipszis inverz képe nyújtott Pascal-csiga, hiperbola inverz képe hurkolt

Pascal-csiga, a paraboláé kardioid lesz. Ez utóbbit már bizonyítottuk.

Bizonyítás:

Invertáljuk az ellipszis érintőit O pólusú egységkörre. Az ellipszis egyik fókusza szintén

legyen O-ban. Az ellipszis vezérkörének inverze egy szintén póluson át nem haladó v’ kör.

Most vizsgáljuk meg az ellipszis egyik e érintőjének az inverzét. A pólusból húzzunk

merőlegest az e egyenesre, ez a merőleges P-ben metszi a v vezérkört. A vezérkör P

pontjának inverze P’, az OP egyenes és a v’ kör metszéspontja.

Nevezzük M-nek az e érintő és OP egyenesének metszéspontját. OM szakasz fele az OP

szakasznak, ezért az inverzió miatt OM’ = 2·OP’. Tehát M’ rajta van a kétszeresére

nagyított v’-n. Mivel az O-beli érintőknek párhuzamosaknak kell maradniuk, az e érintő

inverze egy olyan e’ póluson átmenő OM’ átmérőjű kör, aminek a középpontja P’. Ebből

adódik, hogy az érintők inverzeinek a serege a v’ körre illeszkedő középpontú, O-n

áthaladó körök serege. Az O pont nyilván v’ pont egy belső pontja, mivel v-nek is az.

Ezen körök burkológörbéje nyújtott Pascal-csiga. Mivel az inverzió érintkezéstartó az

ellipszis inverze nyújtott Pascal-csiga.

A hiperbola érintői esetében ugyanígy, csak abban az esetben a vezérkörön és inverz körén

kívül lesz az O pont. Ebben az esetben hurkolt Pascal-csigát kapunk.

47

5.6. Pascal-csigák származtatása szelőszakaszok segítségével

Rögzítsünk a síkon egy k kört és a kerületén egy C pontot, a kör átmérője legyen d.

Fektessük C-n át egy szelőt, legyen a szelőszakasz másik pontja a körön P. P-ből mindkét

irányba mérjünk fel ugyanakkora a távolságot. A szelő mozgatásával a felmért szakaszok

P-től különböző végpontjai:

(1) Abban az esetben, ha 0 < a < d, akkor hurkolt Pascal-csigát rajzolnak.

(2) Abban az esetben, ha a > d, nyújtott Pascal csigát rajzolnak.

(3) Illetve tudjuk, ha a = d, akkor kardioid keletkezik.

Nézzük meg a nyújtott és hurkolt Pascal-csiga ily módon való előállítását.

Vegyük az r sugarú k kört és egy tetszőleges C pontot. Ha C pont a k kör belső pontja,

akkor nyújtott Pascal-csigát kapunk, ha C pont a k kör külső pontja, akkor hurkolt Pascal-

csiga keletkezik.

Vegyünk fel egy C ponton átmenő h egyenest és az arra merőleges e, f érintőket. Nézzük a

C-n átmenő k körrel koncentrikus l kört. Legyen P az l kör és h egyenes másik

metszéspontja. Az l kör szelőit fogjuk vizsgálni. Tükrözzük C pontot az e egyenesre így

megkapjuk a Q pontot és tükrözzük újra C-t az f egyenesre, hogy megkapjuk Q’ pontot.

PQ és PQ’ = 2r a tükrözések, szimmetriák miatt. Ha l kör h húrja befutja az összes C-n

átmenő egyenest, akkor e és f befutja a k kör összes érintőjét, miközben az összes érintőre

tükröztük az C pontot. És azt már beláttuk, hogy így valóban nyújtott vagy hurkolt Pascal-

csigához jutunk aszerint, hogy a pont a körön belül vagy kívül van.

(nyújtott Pascal-csiga előállítása)

48

5.7. Komplex körök négyzetei

A komplex számsíkon a körök négyzete pontosan a Pascal-csigák.

Paraméterezzük egy tetszőleges O (0, 1) középpontú λ sugarú m kört. Abban az esetben, ha

λ > 1, akkor hurkolt Pascal-csigát, ha λ < 1, akkor nyújtott Pascal-csigát kapunk, és abban

az esetben ha λ = 1, akkor ahogyan már korábban bizonyítottuk kardioidot kapunk.

Az m kört most negatív körüljárás szerinti szögelfordulással paraméterezzük. A kör egy

tetszőleges P pontjának koordinátái:

(λ sin(t); 1- λ cos (t)). Végezzük el a négyzetreemelést.

P (a,b) pont négyzete a komplex számsíkon: (a+bi) ² = a² + 2abi – b² lesz, tehát a kapott

pontok koordinátái: (a² – b² ; 2ab).

(λ sin(t); 1-λ cos(t))2 =

= (λ² sin² (t) – (1 – 2 λ cos (t) + λ2cos2 (t)); 2 λ sin(t) – 2 λ2 sin (t)cos (t)) =

= (2 λ cos (t) + λ² sin² (t) - λ2cos2 (t) – 1; 2 λ sin(t) – 2 λ2 sin (t)cos (t)) =

= (2 λ cos (t) – λ2cos (2t); 2 λ sin(t) – λ2 sin (2t) ) – (1;0)=

= λ (2 cos (t) – λ cos (2t); 2 sin(t) – λ sin (2t) ) – (1;0).

A Pascal-csigák paraméteres előállítása:

x(t)= 2cos(t)- λ· cos(2t);

y(t)= 2sin(t) – λ·sin(2t);

A két felírást követően megállapítható, hogy a négyzetre emeléssel származtatott felírás

egy eltolással és egy nyújtással a paraméteres felírásba vihető át, tehát a komplex kör

négyzetre emelésével is Pascal-csigák származtattunk.

Ugyanakkor nézzük meg, hogy mi lett volna, ha nem egy (0,1) középpontú kört vesszünk

kiindulásnak. A tétel akkor is érvényes, mivel ekkor a (λ sin(t); 1- λ cos (t)) koordinátáit

egy nem 0, c komplex konstanssal szorozzuk, ami geometriailag forgatva nyújtást jelent.

A négyzetre emelt alakzat is egy komplex konstanssal szorzódik, (c2) - tel, ezért kapható

meg a forgatva nyújtott alakzat négyzete az eredeti alakzat négyzetéből ismét csak forgatva

nyújtással.

A forgatva nyújtás pedig egy hasonlósági transzformáció, ebből következik, hogy a

komplex síkon a kör négyzetreemelése mindig Pascal-csigát eredményez.

49

6. Irodalomjegyzék:

Pelikán József, Klasszikus algebrai görbék. Új matematikai mozaik, szerk.: Hraskó

András, Typotex, Budapest, 2002.

Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971.

Reiman István, A geometria és határterületei, Gondolat, Budapest, 1986.

Hraskó András, Egy szív titkai, Budapest, 2004.

http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/kardioid/kardioid_0

4november/index.html

50

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 1

2. Kardioid 2

2.1. Kardioid paraméteres, polárkoordinátás és egyenletes előállítása 2

2.1.1.Paraméteres előállítás 2

2.1.2. Polárkoordinátás előállítás 4

2.1.3. Kardioid egyenlete 6

3. Kardioid származtatásai 9

3.1. Kardioid, mint ciklois – epiciklois 9

3.2. Kardioid származtatása a csúcspont tükörképeként 11

3.4. Kardioid származtatása talpponti görbeként 12

3.5. Kardioid érintője 13

3.6. Burkológörbék 14

3.6. Kardioid, mint egyenessereg burkolója 18

3.7. Kardioid evolutája és evolvense 20

3.8. kardioid származtatása körök burkolójaként 24

3.9. Inverzió 25

3.9.1.Kardioid származtatása parabola inverzeként 26

3.10. Kardioid a kör húrjainak burkolójaként 29

3.11. Kardioid kör kausztikájaként 30

3.12. kardioid, mint konchoid 31

3.13. kardioid a komplex síkon 33

4. A háromszögbe írt kardioid és a Morley – háromszög kapcsolata 36

4.1. Morley-tétel 36

4.2. Morley-háromszög és a kardioid kapcsolata 37

5. Pascal-csigák, a kardioid rokonai 41

5.1. Pascal-csigák paraméteres előállítása 42

5.2. Pascal-csigák származtatása a csúcspont tükörképeként 43

5.3. Pascal-csigák származtatása talpponti görbeként 44

5.4. Pascal-csigák, mint körsereg burkolója 45

5.5. Pascal csigák származtatása kúpszeletek inverzeiként 46

5.6. Pascal-csigák származtatása szelőszakaszok segítségével 47

5.7. Komplex körök négyzetei 48

6. Irodalomjegyzék 49