bẤt phƯƠng trÌnh logaritphương trình mũ cơ bản: log x b a, 0 a 1 z b log x b x a a , 0 a...
TRANSCRIPT
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT -
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )a a
f x g xlog f x log g x
f x 0 g x 0
==
( ) ( ) balog f x b f x a= =
( ) ( )a alog f x log g x ( )
• Nếu a 1 thì ( )( ) ( )
( )
f x g x
g x 0
• Nếu 0 a 1 thì ( )( ) ( )
( )
f x g x
f x 0
Chú ý: ( )alog f x có nghĩa ( )f x 0
0 a 1
.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số Phương pháp:
( ) ( )( ) ( )a a
0 a 1log f x log g x
f x g x 0
=
=
Phương trình mũ cơ bản: alog x b= , ( )0 a 1
balog x b x a= = , ( )0 a 1
blgx b x 10= = , blnx b x e= =
Ví dụ 1.1.3 Giải các phương trình:
1. ( )2
25 5 3log 4x 5 log x log 27+ + = 2. 2 3 4 20log x log x log x log x+ + =
Lời giải.
1. Điều kiện: x 0
Phương trình cho trở thành: ( )5 5log 4x 5 log x 3+ + = đưa phương trình này về
phương trình dạng 24x 5x 125 0 x 5+ − = = hoặc 25
x4
= .
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Vậy, phương trình cho có nghiệm x 5= hoặc 25
x4
= .
2. Điều kiện: x 0 . Bài toán áp dụng công thức đổi cơ số ba
b
log xlog x
log a=
Phương trình cho 2 2 22
2 2 2
log x log x log xlog x
log 3 log 4 log 20 + + =
2 22 2 2
1 1 1log x 1 0 log x 0 x 1
log 3 log 4 log 20
+ + − = = =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1=
Chú ý: Ngoài ra bài toán trên ta có thể dùng công thức aln x
log xlna
= sẽ giải
quyết nhanh gọn và đẹp hơn .
Ví dụ 2.1.3 Giải phương trình: ( )2
3 3 2
xlog x 2 log 0
x 3x 3− + =
− +
Lời giải.
Điều kiện: 0 x 2
Cách 1: Phương trình cho viết lại: ( )2
23 3 2
xlog x 2 log 0
x 3x 3
− + =
− +
Hay ( )2
23 2
xlog x 2 . 0
x 3x 3
− =
− + tức ( )
22
2
xx 2 . 1
x 3x 3
− =
− + , giải
phương trình này ta được 3
x 1, x , x 32
= = = .
Cách 2: Phương trình cho viết lại: 3 3 2
xlog x 2 log 0
x 3x 3− + =
− +
Hay 3 2
xlog x 2 . 0
x 3x 3
− =
− + tức
2
xx 2 . 1
x 3x 3
− =
− + ( )
Nếu 0 x 2 thì ( )x 2 x 2 2 x− = − − = − . Khi đó phương trình ( ) viết lại:
2 2x 2x x 3x 3 x 1− + = − + = hoặc 3
x2
= .
Nếu x 2 thì x 2 x 2− = − . Khi đó phương trình ( ) viết lại:
2 2x 2x x 3x 3 x 3− = − + = .
Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm 3
x 1, x , x 32
= = = .
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình: ( ) ( )22 1
2
log 8 x log 1 x 1 x 2 0− + + + − − =
Đề thi Đại học Khối B – năm 2011
Lời giải.
( ) ( ) ( )22 2log 8 x log 1 x 1 x 2− − + + − = . Với x 1;1− phương trình ( )
viết lại ( ) ( )22 2log 8 x 2 log 1 x 1 x − = + + + −
( )28 x 4 1 x 1 x − = + + − ( )
Đặt t 1 x 1 x= + + − , phương trình ( ) trở thành ( ) ( )2 2t 2 t 4t 8 0− + + = ,
phương trình này có nghiệm t 2= hay 1 x 1 x 2+ + − = . Bình phương 2 vế
và rút gọn ta được x 0= .
Chú ý: Từ ( ) ( ) ( ) 24 1 1 x 4 1 1 x x − + + − − =
2x 0
4x 4xx x 04 4
x1 1 x 1 1 x1 1 x 1 1 x
=
+ = = + =+ + + − + + + −
Ví dụ 4.1.3 Giải phương trình: 2lg 1 x 3lg 1 x 2 lg 1 x+ + − − = −
Lời giải.
Điều kiện: ( )2
1 x 0
1 x 0 1 x 1
1 x 0
+
− −
−
Để ý : 2lg 1 x lg 1 x 1 x lg 1 x lg 1 x− = + − = + + −
Phương trình cho lg 1 x 3lg 1 x 2 lg 1 x lg 1 x + + − − = + + −
( )lg 1 x 1 1 x 10 1 x 100 x 99 − = − = − = = −
Từ ( ) , ( ) suy ra phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5.1.3
Giải phương trình: ( ) ( ) ( )226 23
2 2 2 21
log 3x 4 .log x 8 log x log 3x 43
− = + −
Lời giải.
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Điều kiện:
( )
( )
6
2
3
3x 4 0
3x 4 0 43x 4 00 x
x 0 3x 0
x 0
− − −
Phương trình cho 2
2
2 2 2 26 1
log 3x 4 .3log x 8 log x 2log 3x 43 2
− = + −
( ) ( )22
2 2 2 26log 3x 4 .log x 2 log x 4 log 3x 4 − = + −
( ) ( )22
2 2 2 2 2 2log x log 3x 4 .log x 2 log 3x 4 2log 3x 4 .log x 0 − − + − − − =
( ) ( )2 2 2 2 2 2log x log x log 3x 4 2log 3x 4 log 3x 4 log x 0 − − − − − − + =
( )( )2 2 2 2log x log 3x 4 log x 2log 3x 4 0 − − − − =
2 22 22
2 2 2 2 2
log x log 3x 4log x log 3x 4 0
log x 2log 3x 4 0 log x 2log 3x 4 log 3x 4
= − − − = − − = = − = −
( )2
2
x 0x 0 x 1
x 3x 4x 3x 4 x 2
x 3x 416x 3x 4 x9x 25x 16 0 9
= = − = − = = − − = − = − + =
Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 1= , x 2= , 16
x9
=
Lời bình :
Khác với bài trên , bài toán này lắm sai lầm mà người giải vấp phải
( ) ( ) ( ) ( )6 2
2 2 2 2log 3x 4 6log 3x 4 ,log 3x 4 2log 3x 4− = − − = − là các phép biến
đổi không tương đương , đôi chút ( )2
2 22 2 2
1log x log x log x!!!
2= = là không
thể .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình:
1. 2 4 8log x log x log x 11+ + = 2. ( ) ( )3 2x 1log 2x 1 2log 3 1+
+ = +
3. ( )22 2log x 2log 3x 4= + 4. ( ) ( )
23 3
log x 1 log 2x 1 2− + − =
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
5. 4 2 2 4log log x log log x 2+ = 6. ( )( )4 4x 2
log x 2 x 3 log 2x 3
− + + + = +
7. 3 3 3log (x 1) log (x 2) log 6− + − = 8. 22( 1 x 1 x 2)log (x x) 0− + + − − =
9. 5 3 5 9log x log x log 3.log 225+ =
Bài 2: Giải các phương trình:
1. 22 2 2log x log x log 9x+ = 2. 16 4 2 2log x log x log x log 108+ + =
3. 5 25 0,2log x log x log 3+ = 4. ( )x xlg 6.5 25.20 lg 25 x− − =
5. x 1 x5 5 5(x 1)log 3 log (3 3) log (11.3 9)+− + + = −
6. ( ) ( )2lg x 7x 6 lg x 1 1− + = − +
7. ( ) ( )2
3 3log x 1 log 2x 1 2− + − = 8. ( )2
xlog 2x 5x 4 2− + =
9. ( ) ( )4 2log x 3 log x 7 2+ − + = − 10. ( )
2lg x1
lg 6x 5=
−
11. ( ) ( ) ( )8
4 22
1 1log x 3 log x 1 log 4x
2 4+ + − =
12. 2 22 2 2log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = +
Bài 3: Giải các phương trình:
1. ( ) ( )x x 12 2log 2 1 .log 2 2 2++ + = 2. 3 2ln x 3ln x 4lnx 12 0− − + =
3. ( )x 2 51 log 5 log x 2++ = +
4. ( ) ( ) ( )2 3 3
1 1 1
4 4 4
3log x 2 3 log 4 x log x 6
2+ − = − + +
Bài 5: Giải các phương trình:
1. ( )22 2
x 5log log x 25 0
x 5
−+ − =
+ 2. ( )
26 6
x 1 11 log log x 1
x 7 2
−+ = −
+
3. ( ) ( )2
3 32log x 2 log x 4 0− + − = 4. ( )( )
2
2 2
lg x x 10 1 lg 4lg 2
log 3x 2 2 log 5
− + − −=
+ − −
Bài 6: Giải các phương trình:
1. ( ) ( ) ( )1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1− + + − − =
2. ( )22 2
x 5log log x 25 0
x 5
−+ − =
+
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3. ( ) ( ) ( )21 2 2x 1
2
log 5 2x log 5 2x .log 5 2x+− + − −
( ) ( ) ( )2
2 2 2log 2x 5 log 2x 1 .log 5 2x= − + + −
4. ( )2
6 6x 1 1
1 log log x 1x 7 2
−+ = −
−
5. ( ) ( ) ( )2 3 3
1 1 1
4 4 4
3log x 2 3 log 4 x log x 6
2+ − = − + +
Dạng 2. Đặt ẩn phụ Phương pháp:
( ) ( )( )
( )a
a
t log g xf log g x 0 0 a 1
f t 0
= = =
Công thức đổi cơ số:
ab a
a b
log x 1log x log b
log b log a= = a,b,x 0;a,b 1 .
Ví dụ 1.2.3 Giải các phương trình:
1. 2 2log x 10 log x 6 9+ + = 2. 9 3log x 1 log x 3 5+ + + =
3. 2log 2x log 6 log 4x2 2 24 x 2.3− =
Lời giải.
1. Đặt 2t log x= với x 0 và 210log x 6 0+
Phương trình đã cho đưa về dạng: ( )
2
9 t 010t 6 9 t
10t 6 9 t
− + = −
+ = −
từ đây
ta tìm được t 3= tức x 8= .
Vậy, phương trình cho có nghiệm x 8=
2. Đặt 3t log x= với x 0 và 3log x 3 0,+ 9log x 1 0+
Phương trình đã cho về dạng 1
t 1 t 3 52
+ + + = ( )1
Với điều kiện t 2 − , bình phương hai vế của ( )1 và rút gọn ta được
21 5 3t t 3 21 t
2 2 2+ + = −
2
2 t 14
t 292t 1716 0
−
− + =
t 6= tức x 64=
Vậy, phương trình cho có nghiệm x 64=
3. Phương trình cho 1 log x log x 2 2log x2 2 24 6 2.3+ +
− =
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
log x log x log x2 2 24.4 6 18.9 0 − − = log x log x2 22 2
4. 18 03 3
− − =
Đặt log x22
t , t 03
=
, ta có: 2 94t t 18 0 t
4− − = =
log x 22
22 9 2 1
log x 2 x3 4 3 4
−
= = = − =
.
Vậy, phương trình cho có nghiệm 1
x4
=
Ví dụ 2.2.3 Giải phương trình: ( ) ( )2 22 2 2log x x 1 log x.log x x 2 0− + − − =
Lời giải.
Với x 1 . Biến đổi phương trình về dạng:
( )( )
22
22 2 2
x xlog log x.log x x 2 0
x
−+ − − =
( ) ( )2 22 2 22log x x log x.log x x 2 0 − + − − = ( )
Đặt ( )22u log x x= − và 2v log x= . Đưa phương trình ( ) về phương trình:
( )( )u 1 v 2 0− − = u 1= hoặc v 2= .
Với u 1= thì ( )2 22log x x 1 x x 2 x 2− = − = = thỏa x 1
Với v 2= thì 2log x 2 x 4= =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x 2,x 4= =
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình:
1. ( )log x2727 27
101 log x log x
3+ = 2. ( ) ( )
2 24 2lg x 1 lg x 1 25− + − =
3. ( ) ( )34 2lg x 1 2lg x 1 40− + − =
4. ( ) ( )2 23 2x 3 xlog 2x 9x 9 log 4x 12x 9 4 0− −− + + − + − =
Bài 2: Giải các phương trình:
1. ( )2 x 11 log x 1 log 4−+ − =
2. 2 22. log x log 16x 7 0+ − =
3. ( )2 x 11 log x 1 log 4−+ − =
4. 25x 5
5log log x 1
x+ =
5. 2 2xxlog 16 log 64 3 + =
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
6. 2 23 3log x log x 1 5 0+ + − =
Bài 3: Giải các phương trình:
1. ( )2lg 100xlg 10x lg x 4 6 2.3
− =
2. ( ) ( )x 1 x2 2 1
2
1log 4 4 .log 4 1 log
8+ + + =
3. ( ) ( )22
2x 1 x 1log 2x x 1 log 2x 1 4− ++ − + − =
4. ( ) ( )log x log x2 2 22 2 x 2 2 1 x+ + − = + 5.
2log 2x log 6 log 4x2 2 24 x 2.3− =
6. ( )3 9x3
42 log x log 3 1
1 log x− − =
− 7.
log 9 log x log 322 2 2x x .3 x= −
8. x 2x 2xlog 2 2log 4 log 8+ = 9.
2log 2x log 6 log 4x2 2 24 x 2.3− =
10. 2 3x 16x 4x
2
log x 14log x 40log x 0− + =
11. ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + − =
12. log x6
2 6log (x 3 ) log x+ = 13. log (x 1)32 x
+=
14. 2 225
log (x 2x 3) log (x 2x 4)− − = − − 15. 2 3log (1 x) log x + =
16. ( )x x5 4log 3 3 1 log 3 1
+ + = +
Dạng 3. Biến đổi phương trình về dạng tích Phương pháp:
( ) ( ) ( )f x .g x 0 f x 0= = hoặc ( )g x 0=
Ví dụ 1.4.3 Giải phương trình: 3 4 5log x log x log x+ =
Lời giải.
Dễ thấy, 4 4 3 5 5 3log x log 3.log x;log x log 3.log x= =
Với x 0 . Phương trình được viết dưới dạng:
3 4 3 5 3log x log 3.log x log 3.log x+ = 3log x 0 x 1 = =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1=
Ví dụ 2.4.3 Giải các phương trình:
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
1. 25x 5
5log log x 1
x+ = 2. 2 2xx
log 16 log 64 3 + =
Lời giải.
1. Điều kiện: 1
0 x5
.
Phương trình cho 5
2 255 5
5 5
5log 1 log xx log x 1 log x 1log 5x 1 log x
− + = + =
+
25 5 5log x(log x log x 2) 0 + − = ( )( )5 5 5log x log x 1 log x 2 0 − + =
5
5
25
log x 0 x 1
log x 1 x 5
log x 2 x 5−
= =
= = = − =
Vậy phương trình có ba nghiệm: 1
x 1;x 5;x25
= = = .
2. Điều kiện: 1
0 x 1,x2
.
Phương trình cho 2 22
2 2 22
log 16 log 64 2 63 3
log 2x log x 1 log xlog x + = + =
+
( )( )22 2 2 23log x 5log x 2 0 log x 2 3log x 1 0 − − = − + =
2
2 3
x 4log x 2
11 xlog x3 2
= = == −
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 3
1x 4;x
2= = .
Ví dụ 3.4.3 Giải các phương trình:
1. ( ) ( )29 3 32 log x log x.log 2x 1 1= + − 2. ( ) ( )x x
2 4log 5 1 .log 2.5 2 1− − =
Lời giải.
1. Với x 0 .
Phương trình được viết lại: ( )2
3 3 31
2 log x log x.log 2x 1 12
= + −
( )3 3 3log x 2log 2x 1 1 log x 0 − + − =
( )3 3log x 2log 2x 1 1 0 − + − = hoặc 3log x 0=
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Với 3log x 0 x 1= =
Với ( ) ( )2
3 3 3 3log x 2log 2x 1 1 0 log x log 2x 1 1− + − = = + − với x 0
Tức là ( )2
x 2x 1 1= + − với 2x 0 x 4x 0 − = với x 0 x 4 =
Vậy, phương trình cho có nghiệm x 1= hoặc x 4=
2. ( ) ( ) ( ) ( )x x x x2 2 2 2
1log 5 1 .log 2 5 1 1 log 5 1 . 1 log 5 1 2
2 − − = − + − =
Hay ( ) ( )x x2 2 5log 5 1 1 log 5 1 2 0 x log 3 − − − + = =
hoặc 5
5x log
4=
Vậy, phương trình cho có nghiệm 5x log 3= hoặc 55
x log4
=
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các phương trình: ( )22 2lg x lg x.log 4x 2log x 0− + =
Bài 2: Giải các phương trình: 2 33 2 3 2log x log 8x.log x log x 0− + =
Bài 3: Giải các phương trình: ( ) ( )x x 13 3log 3 1 log 3 3 6+− − =
Bài 4: Giải các phương trình: ( )2
1 16
4
2 log 2x 17 2x 1 2log x+ + − + =
Dạng 4. Phương pháp đồ thị
Phương pháp:
Giải phương trình: ( )alog x f x= ( )0 a 1 ( )
( ) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị ay log x= ( )0 a 1 và
( )y f x= . Khi đó ta thực hiện 2 bước:
Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: ay log x= ( )0 a 1 và ( )y f x= .
Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 2 đồ thị.
Ví dụ 1.5.3 Giải phương trình: ( ) ( ) ( )3 2
3 2log x 1 3 x 1 3x 4 2log x 1 + + + + + = +
Lời giải.
Điều kiện x 1 −
Phương trình cho tương đương ( ) ( )3
3 2log x 2 2log x 1+ = + hay
( ) ( )3 23log x 2 2log x 1+ = +
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Đặt ( ) ( )3 23log x 2 2log x 1 6t+ = + = suy ra 2t
t t
3t
x 2 39 8 1
x 1 2
+ = − =
+ =
tức : t t
1 81
9 9
+ =
( )
Xét hàm ( )t t
1 8f t
9 9
= +
, ta thấy hàm ( )f t nghịch biến , lại có ( )f 1 1= nên
t 1 = là nghiệm duy nhất của ( )
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 7.=
Ví dụ 2.5.3 Giải phương trình: ( )log x62 6log x 3 log x+ =
Lời giải.
Đặt t6t log x x 6= = . Phương trình đã cho trở thành : t t t6 3 2+ = , chia cả 2
vế cho t2 .
Xét hàm số ( )t
t 3f t 3 1
2
= + −
, vì
33 1
2 nên ( )f t tăng và ( )f 1 0− = , do đó
( )f t 0= xảy ra khi t 1= − tức 1
x6
= .
Vậy, phương trình cho có nghiệm 1
x6
=
Ví dụ 3.5.3 Giải phương trình: ( ) ( )22 24x 5 log x 16x 7 log x 12 0− − − + =
Lời giải.
Đặt 2t log x= , phương trình cho đưa về: ( )( )t 2 t x 3 0+ + − =
Với t 2= − thì x 0,25=
Với t 3 x= − , ta xét ( ) 2f x log x= , ( )g x 3 x= − .
Dễ thấy ( )f x luôn là hàm số đồng biến và ( )g x là hàm số nghịch biến.
Dựa vào đồ thị ta thấy ( )f x và ( )g x cắt nhau 1 giao điểm có hoành độ x 2= .
Phương trình cho có nghiệm x 0,25= , x 2= .
Ví dụ 4.5.3 Giải phương trình: ( ) ( )23 33x 5 log x 9x 19 log x 12 0− + − − =
Lời giải.
Điều kiện: x 0
Đặt 3t log x,= phương trình trở thành: ( ) ( )23x 5 t 9x 19 t 12 0− + − − =
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Khi 5
x3
= : phương trình vô nghiệm.
Khi 5
x3
, ta có: ( )2
9x 11 = − , khi đó phương trình có 2 nghiệm t 3= − hoặc
4t
3x 5=
−.
Với t 3= − tức 33
1log x 3 x 3
27−= − = =
Với 4
t3x 5
=−
tức 34
log x3x 5
=−
Cách 1: Xét hàm số ( ) 34
f x log x3x 5
= −−
với 5
0 x3
Ta có: ( )( )
2
1 12f ' x 0
xln 3 3x 5= +
−
, với mọi 5
0 x3
( )xlim f x ,→+
= + ( )5
x3
lim f x ,−
→
= + ( )5
x3
lim f x+
→
= −
Lập bảng biến thiên, dễ thấy phương trình ( )f x 0= luôn có 2 nghiệm phân
biệt, hơn nữa ( )1
f 3 f 03
= =
nên phương trình ( )f x 0= luôn có 2 nghiệm
1x
3= hoặc x 3= .
Vậy, phương trình có 3 nghiệm 1 1
x ; ; 327 3
.
Cách 2:
TH1: Nếu 5
0 x3
: hàm số đồng biến trên khoảng 5
0;3
, hơn nữa 1
f 03
=
nên phương trình cho có nghiệm 1
x3
= .
TH1: Nếu 5
x3
: hàm số đồng biến trên khoảng 5
;3
+
, hơn nữa ( )f 3 0= nên
phương trình cho có nghiệm x 3= .
Vậy, phương trình có 3 nghiệm 1 1
x ; ; 327 3
.
Ví dụ 5.5.3
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Giải phương trình: ( ) ( ) ( )21 x
2 2 2x.2 2.log 1 x x.log 1 x log x 1− + + = + + +
Lời giải.
Điều kiện: x 1 −
Phương trình cho viết lại:
( ) ( ) ( )1 x2 2 2x.2 2.log 1 x x.log 1 x 2log 1 x 0− + + − + − + =
( )1 x2x. 2 log 1 x 0 x 0− − + = =
hoặc ( )1 x
22 log 1 x 0 − − + =
Xét hàm số: ( ) ( )1 x2f x 2 log 1 x−= − + với x 1 −
Ta có: ( )( )
1 x 1f ' x 2 ln 2 0
x 1 ln 2−= − −
+, x 1 − suy ra ( )f x là hàm số nghịch
biến trên khoảng ( )1;− + , hơn nữa ( )x 1
lim f x 0,+→−
( )xlim f x 0→+
từ đó suy ra
đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ x 1= . Do đó phương
trình ( )f x 0= có nghiệm duy nhất x 1= .
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x 0, x 1= =
Ví dụ 6.5.3 Giải phương trình:
1. ( )3x 1
77 2log 6x 5 1− − − = 2. ( )
23 2
2x 1log 3x 8x 5
x 1
−= − +
−
Lời giải.
1. Điều kiện: 5
x6
.
Phương trình đã cho viết lại: ( ) ( )x 177 6 x 1 6x 5 6log 6x 5− + − = − + − .
Xét hàm số ( ) 7g t t 6log t= + có ( )6
g' t 1 0,t ln7
= + t 0 suy ra ( )g t là hàm
đồng biến, khi đó ( ) ( )x 1 x 1g 7 g 6x 5 7 6x 5− −= − = − hay u7 6u 1= + với
u x 1= − .
Tiếp tục xét hàm ( ) ug u 7 6u 1= − − có ( ) ( )ug' u 7 ln7 6 g' u 0= − = khi và chỉ
khi ( )7 7u log 6 log ln7= −
Bảng biến thiên:
Vì hàm số ( )g u đồng biến trên khoảng ( );u− và nghịch biến trên khoảng
( )u;+ nên hàm ( )g u 0= có không quá hai nghiệm.
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Mặt khác ( ) ( )g 0 g 1 0= = , cho nên u 0= hoặc u 1= là 2 nghiệm của phương
trình ( )g u 0= .
Khi u 0= tức x 1 0− = hay x 1=
Khi u 1= tức x 1 1− = hay x 2=
Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm S 1;2=
Chú ý: Cần tìm , sao cho ( ) ( )1 x 1 6x 5= − + − tương đương với
( )1 6 x 5= + −− . Đồng nhất hai vế ta được 6 = − và 1 = .
Vì thế ( ) ( )x 177 6log 6x 5 6 x 1 6x 5− − − = − − + − tức ta có phương trình
( ) ( )x 177 6 x 1 6x 5 6log 6x 5− + − = − + − .
Để hiểu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạn đọc tìm đọc cuốn: “ Phương pháp giải toán
chuyên đề Phương trình, Bất phương trình, hệ phương trình – Bất đẳng thức “ nhóm
tác giả: Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu.
2. Phương trình cho tương đương
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
3 3log 2x 1 2x 1 log 3 x 1 3 x 1− + − = − + − .
Xét hàm số: ( ) 3f t log t t= + , t 0 và ( )1
f ' t 1 0t ln3
= + với t 0 nên hàm
( )f t đồng biến trên khoảng ( )0;+
Phương trình ( ) có dạng ( ) ( )2
f 2x 1 f 3 x 1 − = −
( )2
2x 1 3 x 1− = − , phương
trình này có nghiệm 2
x3
= hoặc x 2= .
Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm 2
x3
= hoặc x 2= .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải phương trình:
1. 5log x 2x 11 0+ − = 2. ( ) ( )2lg x x 6 x lg x 2 4− − + = + +
3. x33 1 x log (1 2x)= + + +
Bài 2: Giải các phương trình:
1. ( )log x 352 x+
= 2. log 4 log x log 223 3 38
x x .2 x3
= −
Bài 3: Giải các phương trình:
1. log 3 log 72 2x x x 2+ = − 2. ( ) ( )2 24 25
log x 2x 3 2log x 2x 4− − = − −
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3. ( )
2
21
2
x 18log x 18x 31
2x 1
−= − −
+
4. x
x x
x x
1 1 53 5 3x 10 0
123 4
− + − − + − =
Bài 4: Giải các phương trình:
1. ( )3log 2x 1 x 2+ + = 2. ( ) ( )21 1
2 2
x 1 .log x 2x 5 .log x 6 0+ + + + =
Bài 5: Giải các phương trình:
1. ( )7 3log x log x 2= + 2. x
x2
2 1log 1 x 2
x
−= + −
3. ( )3x 1
77 1 2log 6x 5− = + − 4. 2
23 2
x x 3log x 3x 2
2x 4x 5
+ += + +
+ +
5. 2
6 22012 6 2
4x 2log x 3x 1
x x 1
+= − −
+ +
6.xx 2 x
29x 512
2 (2 1) log x 2xx
+ ++ + + =
Bài 6:
1. Tìm nghiệm dương của phương trình: 11
112x 3 x
2
1 1xln 1 x ln 1 1 x
x x
++
+ − + = −
2. Chứng minh rằng phương trình: ( )xx 1x x 1+ = + có một nghiệm dương duy
nhất.
3. Chứng minh rằng phương trình x 24 (4x 1) 1+ = có đúng ba nghiệm phân
biệt.
Dạng 5. Tìm tham số thực m thỏa mãn điều kiện I cho trước
Ví dụ Hệ phương trình 33 3
22 2x 2x 5
log (x 1) log (x 1) log 4 (1)
log (x 2x 5) m log 2 5 (2)− +
+ − −
− + − =
có hai
nghiệm phân biệt.
Lời giải.
Điều kiện : x 1 .
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
3 3
x 1 x 1(1) log log 2 2 1 x 3
x 1 x 1
+ +
− − (Do x 1 ).
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt x thỏa
mãn1 x 3 .
Đặt 22t log (x 2x 5) 2 t 3 x (1;3)= − + và (2) trở thành
2mt 5 t 5t m (3)
t+ = − = −
Từ cách đặt t ta có: 2 t(x 1) 2 4− = − Với mỗi giá trị t (2; 3) thì cho ta đúng
một giá trị x (1;3) . Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt x (1;3) (3) có 2
nghiệm phân biệt t (2; 3) .
Xét hàm số 2f(t) t 5t= − với t (2; 3)
Lập bảng biến thiên f(t) ta tìm được: 25
6 m4
.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm m để phương trình :
1. ( ) ( )3 2122
log mx 6x 2log 14x 29x 2 0− + − + − = có 3 nghiệm p.biệt.
2. 2 23 3log x log x 1 2m 1 0+ + − − = có nghiệm trên đoạn 31;3
3. ( )2 2 22x x 2x x 2x xm.9 2m 1 6 m.4 0− − −− + + = nghiệm đúng x :
1x
2 .
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m 0 phương trình sau luôn có nghiệm:
22
2x mx 2
log 2x x mx 2 12x 1
+ + = − + + −
−
( )
Bài 3: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
( ) ( )2x k 2 x 2x
122
4 log x 2x 3 2 log 2 x k 2 0− − − +− + + − + =
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của x để phương trình sau thỏa mãn m : 2 3 2 2
2 22 mlog (m x 5m x 6 x) log (3 x 1)
+− + − = − − .
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của x để các phương trình 2 2
2 22 mlog (m x 5mx 3 5 x) log (5 x 1)
+− + + − = − − thỏa mãn m .
Dạng 6. Giải bất phương trình
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Ví dụ Giải bất phương trình:
1. ( ) ( )2 2log 3x 1 6 1 log 7 10 x+ + − − − 2. 2 1
2
5 12xlog log x 0
12x 8
−+
−
Lời giải.
1. Điều kiện:
3x 1 01
10 x 0 x 103
7 10 x 0
+
− −
− −
.
Bất phương trình tương đương với ( )2 23x 1 6
log log 7 10 x2
+ + − −
( )3x 1 6 2 7 10 x + + − − 3x 1 2 10 x 8 + + −
249x – 418x 369 0 + 369
1 x 49
(thoả điều kiện).
Vậy, bất phương trình cho có nghiệm 369
1 x 49
2. Bất phương trình đã cho tương đương với:
5 12xx
12x 85 12x
012x 8
− −
−
−
2
5 1x
6 212x 4x 50 5 1212x 8 xx
12 235 12x0
5 212x 8 x12 3
− − − +
− − −
.
Vậy, bất phương trình cho có nghiệm 5 1
x12 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Giải các bất phương trình:
1. 2 21 5 3 1
3 5
log log x 1 x log log x 1 x + + + −
2. 2 3 2 3
4 4
1 3log xlog x 3 log x log x
2 2+ +
3. ( ) ( )22 1
2
1log 4x 4x 1 2x 2 x 2 log x
2
− + − − + −
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
4. 2 23 3log x log x 1 5 0+ + −
5. 2 24 2log (2x 3x 2) 1 2log 2x 3x 2+ + + + +
Bài 2: Giải các bất phương trình:
1. ( )2xlog 5x 8x 3 2− +
3. ( ) ( )2x xlog 3x 1 log x 1− +
5. ( ) ( )
2 32 3
2
log x 1 log x 10
x 3x 4
+ − +
− −
2. 2x 2xlog 64 log 16 3+
4. ( )31 1
3 3
1log x log 1 x 1
2 + −
6. 3
4 2 22 1 2 12
2 2
x 32log x log 9log 4log x
8 x− +
Bài 3: Giải các bất phương trình:
1. ( )22x 4log 8 log x log 2x 0+ 2. 3 5 3 5log x log x log x.log x−
3. 21
2
log (x 3x 2) 1− + − 4. 3 1
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2− + +
5. ( )2xlog 2x 5x 4 2− + 6. ( )
2
1 16
4
2 log 2x 17 2x 1 2log x+ + − +
Bài 4: Giải các bất phương trình:
1. 20,2 0,2log x log x 6 0− −
2.
x 2log
sin 2 x 43 1
−
+
3. ( )21
2
log x 3x 2 1− + −
4. 32x 3
log 11 x
−
−
5. ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 log 5 2 1−+ − +
6. ( ) ( )3 1
3
2log 4x 3 log 2x 3 2− + +
Bài 5: Giải các bất phương trình:
1. x3x 2
log 1x 2
+
+ 2. 2x
4x 2 1log
2x 2
−
−
3. 2
0,7 6x x
log log 0x 4
+
+
Bài 6: Giải các bất phương trình:
1. 2 3lg x lgx 2 0− +
2.
lg x 7lg x 14x 10
+
+
3. ( )2 24 2log 2x 3x 2 1 2log 2x 3x 2+ + + + +
4.3
4 2 22 1 2 12
2 2
x 32log x log 9log 4log x
8 x
− +
Bài 7: Giải các bất phương trình:
Bài 8: Giải các bất phương trình:
Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
1. ( ) ( )x x
2
4 x 11 2 8 x 30
log x 2
+ − − −
−.
2. ( )2 2x 3log x 2 9log x 2− −
3. ( )2 25 9log 2 x x 2 1 log x x 7 2
− + + + − +
4. ( ) ( )2 29 3log 3x 4x 2 1 log 3x 4x 2− + + − +
5. ( )2 1
13
3
1 1
log x 1log 2x 3x 1
+− +
Bài 9: Tìm m để bất phương trình :
1. 2 2 2sin x cos x sin x2 3 m.3+ nghiệm đúng x .
2. 2lg x mlgx m 3 0− + + có nghiệm x 1 .
3. 2ln(1 x) x mx+ − nghiệm đúng x 0 .