数字信号处理

周治国2016.9

第二章 离散时间信号与系统分析基础

3 / 30

§2-7 Z变换一、Z变换的定义

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Z

n

nj

nj n j n n

n n

X z x n z

z r e

X z x n r e x n r e F x n r

L CT SAS F

DTF

ω

ω ω

∞−

=−∞

∞ ∞− − − −

=−∞ =−∞

= = ⋅

⇒ = ⋅ = ⋅ =

∑

∑ ∑变换是 的复频域变换，是 变换的推广，把不绝对

可积的信号变为指数函数的积分形式；

变换是 变换的推广，把不绝对可和的信号变为指数函

数的求和形式；

z是一个复变量

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§2-7 Z变换二、收敛域(ROC Region of Convergence)

( ) ( )

( )

Z Z

z

z

n

n

n

n

x x

x n x n z

x n z

R z R

∞−

=−∞

∞−

=−∞

− +

< ∞

< <

∑

∑

定义：使某一序列 的 变换 级数收敛的 平面

上所有 值的集合。

收敛条件：

一般幂级数收敛域为 平面上某个环形区域：

P36 收敛域与零极点关系

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§2-7 Z变换三、序列特性与收敛域

1.有限长序列

2.右边序列

3.左边序列

4.双边序列

例：求单位取样序列 的z变换。解：单位取样序列是有限长序列的特例，

所以其ZT为：

收敛域为： 即是整个Z平面。

( )nδ

021 == NN

[ ] ( ) 0δ( ) δ 1 1n nn

nZ n n z z

+∞− −

==−∞

= = × =∑

（1）有限序列

∞≤≤ z0

（2）右边序列

其ZT为

收敛域为： 如右图所示

1( )( )

0x n n N

x nn

≥=

，

， 为其他值

∑∞

=

−=1

)()(Nn

nznxzX

xz R −>

Imj

Re

收敛域

xR −

Z平面

特例：如果右边序列的 ，则称该序列为因果序列 。其ZT的收敛域为 。

01 ≥N

xR z− < ≤ ∞ P37

（3）左边序列

其ZT为：

收敛域为：

2( )( )

0x n n N

x nn

≤=

，

， 为其他值

∑−∞=

−=2

)()(N

n

nznxzX

+< zRz Re

收敛域 Z平面

xR +

jIm

特例：如果左边序列的 ，则称该序列为逆因果序列，其收敛域为：

可见，收敛域可以包括0

02 ≤N

+<≤ zRz0

（4）双边序列 双边序列是 从 一直延伸到 的序列，它可被看做是一个右边序列和一个左边序列的和。因此它的ZT为

和 分别左边序列和右边序列的ZT。

n ∞− ∞+

1

0

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n n

n n nX z x n z x n z x n z

X z X z

+∞ − +∞− − −

=−∞ =−∞ =

= = +

= +

∑ ∑ ∑

)(1 zX )(2 zX

双边序列ZT的收敛域是这两个序列ZT的收敛域的公共部分，即为一个环域：

如果 ，则 无收敛域，所以该序列的ZT不存在。

+− << zz RzR

+− ≥ zz RR ( )zX

RexR − xR +

收敛域 Z平面

jIm

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§2-8 L变换、F变换与Z变换关系一、序列Z变换与L变换关系

( ) ( ) ( )ˆ an

x t x nT t nTδ∞

=−∞

= −∑理想取样信号：

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

ˆ ˆ st

sta

n

sta

n

snTa

n

X s x t e dt

x nT t nT e dt

x nT t nT e dt

x nT e

δ

δ

∞ −

−∞

∞∞ −

−∞=−∞

∞ ∞ −

−∞=−∞

∞−

=−∞

=

= −

= −

=

∫

∑∫

∑ ∫

∑

( ) ( ) na

nX z x nT z

∞−

=−∞

= ∑ Z LsTz e=当 时， 变换就是 变换

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§2-8 L变换、F变换与Z变换关系一、序列Z变换与L变换关系

2 32

sT

j

j sT T j T

T

z es j

z re

z re e e e

z r ez T

ω

ω σ

σ

σ

ω

Ω

=

= + Ω =⇒ = = =

= =⇒

∠ = = Ω−

g

映射关系：

见图

jIm[ ]z

Re[ ]z

jIm[ ]z

Re[ ]z

s 2Ω

sΩ

sΩ

s 2−Ω

sjΩ

σ

jΩ

σ

jΩ

σ

z T∠ = Ω

Tz eσ=z

z平面s平面

1z =

注意

s与z关系

z平面上单位圆

由s平面变为z平面

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§2-8 L变换、F变换与Z变换关系二、序列Z变换与F变换关系

( ) ( ) ( )

Z F 1

| jj j n

z en

r

X z X e x n eωω ω

∞−

==−∞

=

= = ∑

单位圆上的 变换即序列的 变换，

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

| j

nj jz re

n

n j n n

n

X z X re x n r e

x n r e F x n r

ωω ω

ω

∞ −

==−∞

∞− − −

=−∞

= = ⋅

= ⋅ =

∑

∑

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§2-9 逆Z变换

1、留数围线积分法2、幂级数展开法3、部分分式展开法

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§2-10 Z变换的定理与性质

1、线性2、序列的移位3、乘指数序列4、X(z)的微分5、复数序列的共轭6、初值定理7、终值定理8、序列的卷积9、序列乘积的Z变换-复卷积定理10、帕斯维尔定理

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§2-12 系统函数一、系统函数的定义

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

1

Z

1j

y n x n h n

Y z X z H z

Y zH z

X z

h n Z H z

H z h n

H z z

H e ω

−

= ∗

=

⇒ =

⇒ =

=

系统函数 是单位取样响应 的 变换；

如果 收敛域包含单位圆 ，则单位圆上的

系统函数就是系统的频率响应 。

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§2-12 系统函数二、系统函数和差分方程

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

0 0

0 0

0

0

1

1

1

1

1

1

N M

k rk r

N Mk r

k rk r

Mr

rrN

kk

kM

rrN

kk

a y n k b x n r

Z a z Y z b z X z

b zY zH z

X z a z

c zH z A

d z

= =

− −

= =

−

=

−

=

−

=

−

=

− = −

⇒ =

⇒ = =

−⇒ =

−

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∏

∏

变换

A除比例常数 以外，整个

系统函数可由其全部极、

零点确定。

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§2-12 系统函数三、系统函数的收敛域

Ø稳定系统Ø因果系统Ø稳定因果系统

( )n

s h n∞

=−∞

= < ∞∑( ) 0 0h n n= <

( )( )

( )

( )

1j

H z z

H e

H z

H z

ω

=

∞

稳定系统：系统函数 在单位圆 上收敛，

系统的频率响应 存在。

因果系统：收敛域为通过离原点最远的 的极

点的圆的外部。

因果稳定系统：系统函数 必须在从单位圆到

的整个区域收敛，即系统函数的全部极点必须在

单位圆以内，且收敛域包含单位圆。

一定要理解

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§2-12 系统函数四、系统频率响应的几何确定法

( )( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

1

1 1

1

1 1

1

1

1

1

o B

M M

r rM Nr r

N N

k kk k

Mj

rj M Nj r

Nj

kk

jr k

jr r k k

rj M Nj

c z z cH z A Az

d z z d

e cH e Ae

e d

z c d z e

c OC d OD z e OB

C BH e Ae

ω

ωω

ω

ω

ω

ωω

−

− −= =

−

= =

− − =

=

− −

− −= =

− −

−=

−

× =

= = = =

=

∏ ∏

∏ ∏

∏

∏

uuuur uuuur uuur

u

设收敛域包括单位圆，系统频率响应为：

平面上零点 标志为“ ”极点 标志为“”，单位圆上 的位置用 表示

； ；

1

1

M

rN

kk

D B

=

=

∏

∏

uuur

uuuur

0

jIm[ ]z

Re[ ]z

1C

1D

2D

B1C B1D B

2D B

单位圆

2β

1β

α ω

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§2-12 系统函数四、系统频率响应的几何确定法

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1

1

1

1

1 1

M

rj M Nj r

N

kk

M

rj r

N

kk

M N

r kr k

C BH e Ae

D B

C BH e A

D B

M N

M N

ωω

ω

ϕ ω α β ω

ω

− − =

=

=

=

= =

=

= =

= − − −= −

∏

∏

∏

∏

∑ ∑

uuuur

uuuur

以极坐标表示：

各零矢量模的连乘积

各极矢量模的连乘积

零矢量幅角之和-积矢量复角之和-

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§2-12 系统函数四、系统频率响应的几何确定法(图2-35)

0

jIm[ ]z

Re[ ]z

1C

1D

2D

B1C B1D B

2D B

单位圆

2β

1β

α ω0 π 2π

0 π 2π

( )jH e ω

( )ϕ ω

π

π−系统函数的零极点矢量图 系统的振幅特性和相位特性

可见，知道系统的零极点分布后，就能很容易确定零极点位置对系统特性的影响：

（1）当B点转到极点附近时，极点矢量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点矢量长度就愈短，峰值就愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为∞,系统不稳定。

（2）当B点转到零点附近时，零点矢量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值就愈接近零。当零点处在单位圆上时，谷值为零。

结论：极点位置主要影响频响的峰值及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷值位置及形状。

作业

• Z变化的图形显示