信号処理

第4回講義

2

今日学習する事項

課題1 「サンプリング周波数」の解答

「インパルス」のフーリエ変換

フーリエ変換の基本的性質 (2.2節)前半

線形性

相似性（時間軸スケーリング）

双対性

推移特性

3

身の回りで起きる「エイリアシング」の実例

撮影解像度を下げたデジカメで，液晶画面や細かいパターンを撮影すると，太い縞模様が現れる．

チェッカボード状の大きな平面物体を斜めに投影した画像をＣＧで表示すると，遠くの方に本来のチェッカーボードの縞模様よりも幅が広い縞模様が現れる．

絨毯や細かなテクスチャをもつ布の表面をビデオカメラで撮影すると，時々縞模様が現れる．

携帯の動画で高速回転している物体（プロペラ等）を撮影すると，静止したり，逆方向にゆっくり回転したり見える．

置時計を55分間に１回の頻度でコマ撮りしたビデオを再生す

ると，長針と短針がほぼ同じ角速度で，互いに逆方向に回転しているようにみえる．

4

5

6

7

フーリエ変換 (2.1節)

（復習）

8

フーリエ変換

離散時間信号

周期信号

連続時間信号

非周期信号

フーリエ級数(Fourier series)

離散時間フーリエ級数(Discrete-timeFourier series)

フーリエ変換(Fourier transform)

•離散時間フーリエ変換(Discrete-time

Fourier transform)

•離散フーリエ変換(Discrete Fourier transform)

9

フーリエ変換

x(t): 非周期の連続時間信号 (-∞ < t < ∞) = 2f : 角周波数, f : 周波数

フーリエ変換 (Fourier transform)

フーリエ逆変換

txdtetxX tj F

XdeXtx tj 1

2

1

F

フーリエスペクトル:X

x(t)が実数関数でも、フーリエスペクトルX()は, 一般に複素関数となる。

(2.1)

(2.2)

信号 x(t) は、そのフーリエ変換を用いて表現できる。

10

フーリエスペクトル例(1) (P13 演習4)

時間領域表現

0

0.5

1

t[ ]

x (t

)

0-d/2 d/2

を求めなさい。のフーリエ変換 X

dt

dt

tx

20

21

2sinc

2/

2/sin

2sin2

1

1

1

2/2/

22

2

2

dd

d

dd

dj

j

eej

ej

dte

dtetxX

djdj

dd

tj

d

dtj

tj

)10sinc

sinsinc

（

　　ジンク関数　x

xx

jj eej

2

1

sin

11

0

0.5

1

[rad/s]

|X(

)|

-6 -4 -2 0 6 4 2

[rad/s]

(

)

-6 -4 -2 0 6 4 2

0

-/2

-

/2

フーリエスペクトル例(1) –つづき-時間領域表現

0

0.5

1

t[ ]

x (t

)

0-d/2 d/2

2sinc

2/

2/sin

20

21

dd

d

ddX

X

dt

dt

tx

はのフーリエ変換

　

フーリエ変換

振幅スペクトル（d =1.0）

位相スペクトル（d =1.0）

周波数領域表現

12

演習5 インパルスのフーリエ変換(P13)

インパルス(impulse) (t) は次の性質をもつ。

0 0

(1) 0

(2)

x t t dt x

x t t t dt x t

インパルス (t) のフーリエ変換 F{(t)}を

求めなさい。 （3分間で計算）

t0

(t)

13

解答(1)

1

0

00

ee

dtett

xdtttx

t

dtett

t

j

tj

tj

F

F

F

なので、①式は

の定義よりここで、インパルス

①

はり、フーリエ変換の定義よ

インパルスのフーリエ変換は１

(重要な性質)

14

演習問題５ 解答(2)

(t)

t

|X(

周波数領域時間領域

x(tフーリエ変換

フーリエ逆変換

1

•インパルス（デルタ関数） (t)は、 全ての周波数成分 を一様に含む、エネルギー無限大の信号の数学モデル。 （物理的には存在しない）

•全ての周波数成分をもつインパルスを入力した場合のシステム出力がわかると、線形時不変システムでは、任意入力に対するシステムの出力がわかる。

•インパルス（デルタ関数） (t)は、 全ての周波数成分 を一様に含む、エネルギー無限大の信号の数学モデル。 （物理的には存在しない）

•全ての周波数成分をもつインパルスを入力した場合のシステム出力がわかると、線形時不変システムでは、任意入力に対するシステムの出力がわかる。

,

15

フーリエ変換の性質

（2.2節） 前半

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フーリエ変換の性質

txtxdtxtx

dXXdttxtx

eXttx

xtXXtx

aX

aatx

txbtxatbxtax

tj

2121

0

2121

:.6

*2

1*:.5

:)(.4

2.3

1.2

:.1

0

FFF

F

FF

F

FFF

たたみ込み定理

パーセバルの定理

時間シフト推移特性

双対性：

相似性：

線形性

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線形性 (linearity)

txbtxa

bXaX

dtetxbdtetxa

dtetbxdtetax

dtetbxtaxtbxtax

tjtj

tjtj

tj

21

21

21

21

2121

FF

F

(2.10)

18

相似性(Similarity)

aX

a

tdetxa

tdetxa

atdetxa

atdetxaatx

tat

dteatxatx

ta

jatj

atj

atj

tj

1

11

01

01

/

/

/

F

F

と変数変換すると、ここで、

(2.15)

時間軸と周波数軸のスケールは互いに反比例

19

相似性の効果

•時間軸と周波数軸のスケールは互いに反比例 (信号とフーリエ変換の不確定性)パルス幅を狭める→信号の時間変化を細かく観測できるが、周波数の変化を正確に観測できなくなる．パルス幅を広げる→周波数の観測精度は上がるが、時間変化の観測精度が落ちる．

•振幅スペクトルの大きさ（縦軸）は、時間軸スケールに比例

0

0.5

1

t[ ]

x (t

)

0-L L

0

0.5

1

[rad/s]

|X(

)|

-6 -4 -2 0 6 4 2

時

間

領

域0

0.5

1

t[ ]0-L/2 L/2

時間軸1/2倍（a=2)

0

0.5

1

[rad/s]

|X(

)|

-6 -4 -2 0 6 4 2

周波数軸2倍

時間軸1/2倍（a=2)

周波数軸2倍

0

0.5

1

t[ ]0-L/4 L/4

振幅スペクトル

0

0.5

1

[rad/s]-6 -4 -2 0 6 4 2

20

双対性 (duality)

xdtetXtX

dtetXx

dtetXxtt

deXtx

dtetXdtetXtX

tj

tj

tj

tj

tjtj

2

2

1

2

1,

2

1

)(

)(

)(

F

F

の置換より　さらに　

の置換よりここで、

ら、　フーリエ逆変換式　か

(2.18)

信号 x(t) が偶関数 x(t) = x(t) であれば、 その信号に２回フーリエ変換を施すと、振幅が2倍の信号が得られる。

21

双対性の関係

t

x(t) X(

時間領域周波数領域

フーリエ変換

txX F

周波数領域

2x(

フーリエ変換

tXY F

時間領域

t

X(t変数置換 → t

変数置換 → t , t → 倍

22

0

0.5

1

[rad/s]

|X(

)|

-6 -4 -2 0 6 4 2

[rad/s]

(

)

-6 -4 -2 0 6 4 2

0

-/2

-

/2

双対性の例時間領域表現

0

0.5

1

t[ ]

x (t

)

0-d/2 d/2

2sinc

2/

2/sin

20

21

dd

d

ddX

X

dt

dt

tx

はのフーリエ変換

　

フーリエ変換

振幅スペクトル（d =1.0）

位相スペクトル（d =1.0）

周波数領域表現

𝒙 𝒕 が偶関数

𝑿 𝝎 が実関数

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推移特性 (時間シフト, time shifting)

Xe

tdetxe

tdetx

ttt

dtettxttx

tj

tjtj

ttj

tj

0

0

0 )(

0

00

の置換よりここで、

F

(2.19)

信号 x(t) の発生時刻が異なっても、その振幅スペクトルは不変。

なのでここで、 1sincossincos 02

02

000 tttjte tj

本日はここで終了

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