第3回講義 - 北海道大学sdm3 今日学習する事項周波数解析、フーリエ解析...

信号処理

第3回講義

第2章信号と周波数-フーリエ変換-

3

今日学習する事項

周波数解析、フーリエ解析

フーリエ解析には、どのような種類があるか？

フーリエ級数（復習）*

フーリエ変換（信号処理の教科書に記載）

課題２

「フーリエ級数展開とフーリエ変換」の出題

*注：「フーリエ級数」は、本教科書に説明がないため、別途「応

用数学ＩＩ（２年前期科目）」の教科書等を参照のこと

4

周波数解析

周波数解析

与えられた信号に、どの周波数の成分が、どの程度含まれているかを分析すること

周波数解析手法

異なる周波数の正弦波に分解 → フーリエ解析

分解された周波数成分：周波数スペクトル

相似形の小さい波（ウェーブレット）に分解 →ウエーブレット解析

：

5

フーリエ解析の例(1) 任意の周期信号は、周波数、振幅、位相の異なる

複数の正弦波信号の合成で表現可能

非正弦波の周期信号

t

t

t

tx

0

0

0

4cos53

12

2cos31

12

cos2

1

1)(

周期:,/2 000 TT0

0.5

1

T [ ]

x (t

)

0-T0

T0

t

0T

：基本角周波数0

6

フーリエ解析の例(2)

0

0.5

1

T [ ]

x (t

)

0-T0

T0

元信号

0

0.5

1

T [ ]

x (t

)

0-T0

T0

0

0.5

1

T [ ]

x (t

)

0-T0

T0

0

0.5

1

T [ ]

x (t

)

0-T0

T0

ttx 0cos2

11)(

tttx 00 2cos31

12cos

2

11)(

t

t t

t

ttt

tttx

000

00

8cos97

126cos

75

124cos

53

12

2cos31

12cos

2

11)(

7

フーリエ解析の種類

離散時間信号

周期信号

連続時間信号

非周期信号

フーリエ級数(Fourier series)

離散時間フーリエ級数(Discrete-timeFourier series)

フーリエ変換(Fourier transform)

•離散時間フーリエ変換(Discrete-time

Fourier transform)

•離散フーリエ変換(Discrete Fourier transform)

8

フーリエ級数

離散時間信号

周期信号

連続時間信号

非周期信号

フーリエ級数(Fourier Series)

離散時間フーリエ級数(Discrete-TimeFourier Series)

フーリエ変換(Fourier Transform)

•離散時間フーリエ変換(Discrete-Time

Fourier Transform)

•離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform)

x(t)

9

（復習）複素数と指数関数・三角関数

オイラーの公式

sincos

sincos

je

jej

j

Im(z)

sin

Re(z)

1sincos

sincos

22

je j

1

jj

jj

eej

ee

2

1sin

2

1cos

e j ：実軸からの偏角θをもつノルムが1の複素平面上の2次元ベクトルと解釈可能

e j

cos e j の絶対値（大きさ，ノルム）

複素平面

10

フーリエ級数

x(t) : 周期T0の連続時間周期信号 (-∞ < t < ∞)

x(t) = x(t+T0)

0= 2/ T0 : 基本角周波数, F0= 1 / T0 : 基本周波数

x(t)の複素フーリエ級数展開

複素フーリエ係数 Ck

k

tjkk eCtx 0

k

dtetxT

CT tjk

k0 0

00

1

•基本角周波数は、周期T0により決まる。

•周期T0の周期信号は、基本角周波数の整数倍の角周波数 kをもつ正弦波信号の合成により表現可能。

•積分範囲は、1周期の範囲であれば、どの範囲で取っても良い。

•信号x(t)が実数値でも、フーリエ係数Ckは一般には複素数となる。

j：虚数単位

など　

2

,2

00 TT

11

複素フーリエ係数Ckの導出の証明

00

00

00

0000

0

00

0

00

000

00

00

000

00

00

00

0

1

1

0

0

11

0

T tjkk

n

T

ntjnT tjn

n

k

T tjntjkk

tjnT

tjnT tjk

tjnT

k

tjkk

tjnT

tjn

k

tjkk

dtetxT

Ckn

CTdtCdteeC

dteeCdtetx

nk

nk

nkdtee

T

dteeCdtetx

TteeCtx

と置き換えると、　

となりの項以外が全ては、の中下式右辺の

が成り立つので

直交性からここで、　三角関数の

で積分するとをかけ、の両辺に　

12

(補足)三角関数の直交性三角関数の積分値は、 sin同士、またはcos同士の掛け算で，かつm ＝ n (m, n:

整数) の場合にのみ非0となり、その他の場合には必ず0になる。

mndttmtnT

mn

mn

mn

dttmtnT

mn

mn

mn

dttmtnT

T

T

T

T

T

T

,0sincos2

0

01

00

sinsin2

0

01

02

coscos2

002/

2/0

002/

2/0

002/

2/0

0

0

0

0

0

0

全ての

13

フーリエ級数の計算例(1)

ttx 0cos2

11

4

1

4

11

1)4

111

0)3

4

1

4

11

1)2

0

,4,3,2)1

0

11

00 0

0

00 0

00 0

00

1

00

0

00

1

00

dteeT

C

k

dtT

C

k

dteeT

C

k

C

k

nk

nkdtee

T

tjT tj

T

tjT tj

k

tjnT tjk

のとき

のとき

のとき

のとき

なので

0

0.5

1

t [ ]

x (t

)

0-T0

T0

周期 T0 =

0 000

00

0 0

00

0

0 00

4

11

4

11

2cos

cos2

111

T tjktjtjk

tjtj

T tjkk

dteeeT

C

eet

dtetT

C

　オイラーの公式より

t

14

フーリエ級数の計算例(2)

20

1

01

1

TtT

Tttx

0

0.5

1

t [ ]

x (t

)

0-T0

T0

周期 T0

-T1 T1

20T

10

10

0

1

00

10

00

00

0

2

20

00

sin2

sin2

2

2

1

11

1

1

1010

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0 0

Tk

Tk

T

T

Tk

Tk

j

ee

Tk

eTjk

dteT

dtetxT

dtetxT

C

TjkTjk

T

T

tjk

T

Ttjk

T

Ttjk

T tjkk

• でも

x(t)は１周期

2200 T

tT

020

1

tx

TtT 　で　

20T t

15

フーリエ級数における周波数スペクトル周波数領域表現

（周波数スペクトル）

複素フーリエ係数 Ck を、

ノルム Ak , 偏角 k で表現

振幅スペクトル横軸：角周波数 k0

縦軸: Ak

位相スペクトル横軸：角周波数 k0

縦軸: k

kjkk eAC

[ d/ ]

k [ra

d]

-0

-20

-30 0

02

03

0

0

- /2

/2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

[ d/ ]

Ak

-0

-20

-30 0

02

03

0

振幅スペクトル(ノルム)

位相スペクトル(偏角)

スペクトルが0に対して離散的(k0, k: 整数） → 離散スペクトル

スペクトルは離散値

（線スペクトル）

-1

10

A0

A1A-1

,......3,20

,4

1

,1

1111

00

kC

AACC

AC

k

16

0

0.1

0.2

0.3

0.4

[ d/ ]

Ak

-0

-20

-30 0

02

03

0

周波数スペクトル例(1)

0

0.5

1

t [ ]

x (t

)

0-T0

T0

周期 T0

ttx 0cos2

11

[ d / ]

k [ra

d]

-0

- 2 0

- 3 0 0

02

03

0

0

- / 2

/ 2

複素

フーリエ級数展開

時間領域表現

周波数領域表現

振幅スペクトル

位相スペクトル

A0

A1A-1

t

全ての複素フーリエ係数が実数となるので，位相スペクトルは全て0

複素フーリエ係数 -1 10

-1 0 1

0

1

2

t [s]

x (t

)

17 [ d/ ]

k [ra

d]

-0

-20

-30 0

02

03

0

0

- /2

- /4

/2

/4

0

0 .5

1

[ d / ]

Ak

-0

-20

-30 0

02

03

0

周波数スペクトル例(2)

4/cos1 0 ttx

時間領域表現




周期 T0 =

t

複素

フーリエ級数展開

,......3,20

,224

1,22

4

1

,1

11

0

kC

jCjC

C

k

複素フーリエ係数内に虚部をもつものが存在するので，全ての位相スペクトルが0とはならない

A0

A1A-1

-1

1

0

18

　の複素フーリエ変換補足 4/cos1 0 ttx

dteee

jee

TC

eej

teet

dtettT

dtetT

dtetxT

C

C

T tjktjtjtjtjk

tjtjtjtj

T tjk

T tjk

T tjkk

k

0 00000

0000

0 0

0 0

0 0

00

00

0 000

0 00

00

4

2

4

21

1

2sin,

2

1cos

sin2

2cos

2

21

1

4cos1

1

1

なので

りここでオイラー公式よ

は，公式より複素フーリエ係数

19

0

1,1,0)4

04

2

4

21

4

2

4

2

1)3

04

2

4

21

4

2

4

2

1)2

011

0)1

4

2

4

2

4

2

4

21

4

2

4

21

1

0 00 00

0 00 00

0 00 00

0 000

0 00000

02

000

1

02

000

1

0000

0

0)1()1(

0

00

k

T tjT tjT

T tjT tjT

T tjT tjT

T ktjktjtjk

T tjktjtjtjtjk

C

k

dtedtej

dtT

jC

k

dtedtej

dtT

jC

k

dtedtedtT

C

k

dtej

ej

eT

dteeej

eeT

C

のとき

のとき

のとき

のとき

20

フーリエ変換

離散時間信号

周期信号

連続時間信号

非周期信号

フーリエ級数(Fourier series)

離散時間フーリエ級数(Discrete-timeFourier series)

フーリエ変換(Fourier transform)

•離散時間フーリエ変換(Discrete-time

Fourier transform)

•離散フーリエ変換(Discrete Fourier transform)

21

フーリエ変換

x(t): 非周期の連続時間信号 (∞ < t < ∞) f : 角周波数, f : 周波数

フーリエ変換 (Fourier transform)

フーリエ逆変換

txdtetxX tj F

XdeXtx tj 1

2

1

F

フーリエスペクトル:X

注意！

信号x(t)が実関数でも、フーリエスペクトルX()は, 一般には複素関数となる。

(2.1)

(2.2)

22[rad/s]

(

)

-6 -4 -2 0 6 4 2

0

- /2

-

/2

0

0.5

1

[rad/s]

|X(

)|

-6 -4 -2 0 6 4 2

フーリエ変換における周波数スペクトル

jeXX

フーリエスペクトル

フーリエスペクトル X()を、

ノルム | X() | , 偏角()で表現

振幅スペクトル横軸：角周波数

縦軸: | X() |

位相スペクトル横軸：角周波数

縦軸: ()



スペクトルがに対して連続的→ 連続スペクトル

スペクトルは連続値

23

フーリエスペクトル例(1) (P13 演習4)

時間領域表現

0

0.5

1

t[ ]

x (t

)

0-d/2 d/2

を求めなさい。のフーリエ変換 X

dt

dt

tx

20

21

2sinc

2/

2/sin

2sin2

1

1

1

2/2/

22

2

2

dd

d

dd

dj

j

eej

ej

dte

dtetxX

djdj

dd

tj

d

dtj

tj

)10sinc

sinsinc

（

　　ジンク関数　x

xx

jj eej

2

1sin

オイラーの公式より

24

0

0.5

1

[rad/s]

|X(

)|

-6 -4 -2 0 6 4 2

[rad/s]

(

)

-6 -4 -2 0 6 4 2

0

-/2

-

/2

フーリエスペクトル例(1) –つづき-時間領域表現

0

0.5

1

t[ ]

x (t

)

0-d/2 d/2

2sinc

2/

2/sin

20

21

dd

d

ddX

X

dt

dt

tx

はのフーリエ変換

　

フーリエ変換

振幅スペクトル（d =1.0）

位相スペクトル（d =1.0）


25

（補足1）フーリエ変換が存在するための十分条件

信号 x(t) が絶対積分可能であること

言い換えると

信号x(t)の1-ノルムが有限であること

信号x(t)のエネルギーが有限であること

dttx

26

（補足2）不連続点を含む関数のフーリエ変換

信号 x(t) のフーリエ変換を X() とするとき、不連続点 t0

に対して、以下が成り立つ。（ディリクレ定理）

x(t) がt=t0 不連続点をもつならば， X()をフーリエ逆変換して出てくる値は， t=t0 における x(t) の左右極限値の平均となる．

もしt=t0で、x(t)が連続であれば、上の右辺の値はx(t) に等しい。

従って、フーリエ変換では、不連続点を持つような信号も変換・逆変換可能である。

0

00

0limlim

2

1

2

1lim 0 txtxdeX

T

Ttj

T

27

（補足3）不連続点を含む関数のフーリエ変換

信号 x(t) のフーリエ変換を X() とするとき、不連続点 t0

に対して、以下が成り立つ。（ディリクレ定理）

x(t) がt=t0 不連続点をもつならば， X()をフーリエ逆変換して出てくる値は， t=t0 における x(t) の左右極限値の平均となる．

もしt=t0で、x(t)が連続であれば、上の右辺の値はx(t) に等しい。

従って、フーリエ変換では、不連続点を持つような信号も変換・逆変換可能である。

0

00

0limlim

2

1

2

1lim 0 txtxdeX

T

Ttj

T

28

（補足4）関数間の「内積」と「直交」 (1/4)

関数をベクトルとみなす

参照： http://www.maroon.dti.ne.jp/koten-kairo/works/fft/intro4.html

𝑓 𝑥

𝑥

関数

𝑓𝑥

𝑥

ベクトル

𝑓 𝑥

𝑓 ∞ ⋮⋮⋮⋮

𝑓 2𝑓 1𝑓 0𝑓 1𝑓 2⋮⋮⋮⋮

𝑓 ∞

29


関数間の内積 ⇔ ベクトル間の内積


𝑓 𝑥 · 𝑔 𝑥

𝑓 ∞ ⋮⋮⋮⋮

𝑓 2𝑓 1𝑓 0𝑓 1𝑓 2⋮⋮⋮⋮

𝑓 ∞

𝑔 ∞ ⋮⋮⋮⋮

𝑔 2𝑔 1𝑔 0𝑔 1𝑔 2⋮⋮⋮⋮

𝑔 ∞

T

𝑓 𝑖 𝑔 𝑖

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

関数間の内積の定義

30


「内積」が表すもの


𝒂 · 𝒃

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 0

ベクトル𝒂, 𝒃の内積ベクトル𝒂, 𝒃間の「類似度」

𝒂 · 𝒃 0ベクトル𝒂, 𝒃間の「類似度」がゼロ互いに共通な成分を持たないベクトル𝒂, 𝒃が「直交」

関数𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 の内積

𝑓 𝑥 · 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 関数𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 間の「類似度」

関数𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 間の「類似度」がゼロ関数𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 間が「直交」

31


三角関数間の「内積」と直交


00 0

00

110

T jk t jn t k ne e dt

k nT

関数はk＝n の時類似度が最大k≠n では，類似度がゼロ

0 0jk t jn te e と

課題２「フーリエ級数展開とフーリエ変換」

32

(1)下記の周期方形波の複素フーリエ級数展開を示せ．ただし𝑇 は周期である．

t [s]

1

0

20T

2

3 0T0T 02T20T

2

3 0T 0T

(2)下記の方形波のフーリエ変換を示せ．

t [s]

1

0

20T

課題２のヒント(1)フーリエ級数展開

33

• 0 T0 = 2 の関係を使うと簡単に

（ 0 : 基本角周波数, T0 : 信号の周期）

• 複素フーリエ係数 Ck は，k=0, k=0以外の偶数， k=奇数

に場合分けして計算

• やも， kの偶数・奇数で場合分けすると簡単化可能

jke sin k

• (2)ではなので注意0 2T

(2)フーリエ変換

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