1

排列与组合

潘海为

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2

圆排列

n 例13 围环形跑道插六面彩旗，其中黄、绿、红、蓝、橙、粉各一面q 若红、蓝旗相邻有多少种插旗方式？q 若红、蓝旗不相邻有多少种插旗方式？

!425,5 22 PQ

!42!55,56,6 22 PQQ

3

1

项链排列

n 排列的方法如同项链一般，在圆排列的基础上，逆时针方向和顺时针方向放置各个数是同一个排列

1=

4

项链排列

n 排列的方法如同项链一般，在圆排列的基础上，逆时针方向和顺时针方向放置各个数是同一个排列

n 项链排列的排列数为Q (n, r) /2= P (n, r) /2r , 2≤ r ≤n

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可重排列

n 定义

q 设有 n 种不同的物体a1 … an，

第一种物体中有 k1 个相同物体 a1，

第二种物体中有 k2 个相同物体a2，

… 第 n 种物体中有 kn 个 相同物体an。

现从这 n 种物体中取 r 个物体进行排列，

称为 r 可重排列

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可重排列

1r 2r nr

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可重排列

n 分三种情况

q r = k1 + k2 + + kn

q k1 ≥ r ，k2 ≥ r ， ，kn ≥ r 或者 k1 =∞ ，k2 =∞ ， ，kn =∞ q 存在 ki < r

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可重排列（r = k1 +k2+ +kn）

n 设 S = {k1· a1 , k2· a2 , … kn· an }， 当 k1 +k2+ +kn = r 时, 从 n 种物体中取 r 个物体的全排列数用 P (r ; k1, k2,…, kn) 或

表示

nkkkr21

9

可重排列（r = k1 +k2+ +kn）

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可重排列（r = k1 +k2+ +kn）

n P (r ; k1, k2,…, kn) = r ! / (k1!·k2 !··kn ! )

n 证明

对a1, a2,…, an 中的所有物体分别加下标，得到

r ! 种全排列

但是，由于k1个a1, k2个a2,...,kn个an分别相同，使得排

列数扩大k1!· k2 !·· kn !倍

∴ P (r ; k1, k2,…, kn ) = r ! / (k1!· k2 !·· kn !)

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n 例14 某车站有 6 个入口处，每个入口处每次只能进一人，9 个人进站的方案有多少？

可重排列（r = k1 +k2+ +kn）

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例14

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n 方法一：

n 方法二：

n 方法三：

!5/!14!1!...1!1!5/!14

14876

5,14!*9 C

例14

14

可重排列

rk 1 rk 2 rkn

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可重排列（k1 , k2 , , kn 均为≥ r ）

n 当 k1 ，k2 ， ，kn 均≥ r 时，现从 n 种物体中取 r 个物体，并依次排列，则其排列数为：

请同学们举一个这样的例子！

rn

rn naaarP ,...,,; 21

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可重排列（存在 ki < r ）

n 存在 ki < r 时，排列数是多少？公式是什么？

n 例15 在一个 5 位数中，要求数字 1 出现的次数最多为两次，求有多少个这样的数？

224

314

314

44 98998998 CCC

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可重排列

n 例16-1 简单格路问题

从 (0,0) 点出发沿 x 轴或 y 轴的正方向每步走一个单位，最终走到 (m, n) 点，有多少条路径？

mnm

C

!!/! nmnmCC nnm

mnm

0,0

nm ,

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可重排列

n 例16-2 从 (0,0) 点到(m, n) 点，m < n要求中间所经过的每一个格子点（a,b）恒满足 b>a 关系，问有多少条路径？

111

111

mnm

mnm

mnm

mnm