第１２章波の物理

媒質の変位

横波 縦波

速度

波の進行方向と振動方向が垂直 波の進行方向と振動方向が同じ

媒質の変位 速度

疎密

縦波と横波

波長

1秒間に進んだ距離 = 速さ v

時間 t

1 [s]

1 [s]

波は，１秒間に f 回だけ振動し，1回の振動で波長 だけ進む。よって，波の速さは，

となる。

1秒間の波の数 = 振動数 f

v f

時間 t

距離 x波源

振幅 A，波長 ，周期 Tの正弦波の任意の時刻 t，任意の距離 x における波 Dは，

で表される。ただし，0は初期位相。

02( , ) sin t xD x t AT

波の進む速さ

単振動

波の伝わる速さを v [m/s]，波長を [m]，周期を T [s]，振動数を f [Hz]とすると，

， より，vT

1fT

v f

周期を T [s]，振幅を A [m]，初期位相を 0 とすると，

周期T振幅A

0

y

t

位相0

02

siny A tT

正弦波

波長振幅A

0

y

x

速さv

T

t

y : 波の振動

t : 時間

x : 波の伝搬

波動

波動を表す式

振幅 A，周期 T，振動数 f の単振動が x軸上を正の向きに速さv で進むとき，座標 x の点の時刻 t における変位を y とすると，

0

0

2

2

,

sin

sin

y x t

xA tT v

t xAT

A0

y

x

vx

点P

点Pは，原点よりも [s]だけ遅れて振動をする。

xv

時刻 の波形xtv

v

x

時刻 tの波形y

0

時刻 tの点Pの変位

時刻 の

原点の変位

xtv

波動

周期T=0.5[s]，振幅A=6.0[cm]の単振動をしているおもりがある。おもりがつり合いの位置を上向きに通過する時刻をt=0[s]として，以下の問いに答えよ。

１） この単振動を表す式を書け。

２） 次のそれぞれの時刻について，単振動の位相と変位を求めよ。

1/8[s]，2/8[s]，3/8[s]，4/8[s]

１）

２）

2 20 6 0 6 40 5

sin . sin . sin.

y A t t tT

時刻 [s] 1/8 2/8 3/8 4/8

位相 2

変位 [cm] 6.0 0 6.0 0

例題

12 3

2

振動数2.5[Hz]の正弦波が，x軸に沿って正の向きに進んでいる。

１） 波の振幅A，波長，周期T，速さvは，それぞれいくらか。

２） 0.1[s]後の波形を描け。そのときのP点の変位はいくらか。

32

101

23

5 10 15 20

y [m]

x [m]P

１） 振幅 2.0[m]波長 10[m]周期 1 / 2.5[Hz] = 0.4[s]速さ 2.5[Hz] × 10[m]

= 25[m/s]

２） 0.1[s]経つと，波は，x = vt = 25[m/s] × 0.1[s] =2.5[m]進むこととなる。つまり，x =7.5[m]の所の波が，0.1[s]後のP点の波となる。よって変位は，2[m]

例題

x軸に沿って正の向きに伝わる正弦波がある。この波が伝わるとき，位置 x[cm]の媒質の時刻 t [s]における変位 y [cm]が次の式で表されるとき，以下の問いに答えよ。

2 0 5 0 0 25. sin . .y t x

１） 原点（x = 0）の媒質の振動を表す式を書け。また，その振動のy – tグラフを描け。

２） この波の周期 T と振幅 Aはいくらか。

３） 時刻0[s]の波形を表す式を書け。また，その波形を描け。

４） この波の波長 はいくらか。

５） 時刻0.1[s]の波形を書け。

例題

x軸に沿って正の向きに伝わる正弦波がある。この波が伝わるとき，位置 x[cm]の媒質の時刻 t [s]における変位 y [cm]が次の式で表されるとき，以下の問いに答えよ。

2 0 5 0 0 25. sin . .y t x

１） 原点（x = 0）の媒質の振動を表す式を書け。また，その振動のy – tグラフを描け。

２） この波の周期 T と振幅 Aはいくらか。

周期 T = 0.4[s]

振幅 A = 2.0[cm]

2 0 5 0. sin .y t

t [s]

y [cm]

0.4

2.0

2.00.2

位相 0 /2 3/2 2t 0 0.1 0.2 0.3 0.4y 0 2.0 0 2.0 0

例題

x軸に沿って正の向きに伝わる正弦波がある。この波が伝わるとき，位置 x[cm]の媒質の時刻 t [s]における変位 y [cm]が次の式で表されるとき，以下の問いに答えよ。

2 0 5 0 0 25. sin . .y t x

３） 時刻0[s]の波形を表す式を書け。また，その波形を描け。

４） この波の波長 はいくらか。

波長 = 8.0[cm]５） 時刻0.1[s]の波形を書け。

v = / T = 20[cm/s]x = vt = 2.0[cm]

2 0 0 25 2 0 0 25. sin( . ) . sin( . )y x x

位相 0 /2 3/2 2x 0 2.0 4.0 6.0 8.0y 0 2.0 0 2.0 0 x [cm]

y [cm]

82.0

2.0

4

x [cm]

y [cm]

6

2.0

2.02

例題

波の速度は，浅いところほど遅くなる。でも，水量は一定なので波の高さは高くなる。

水面の波と速度

波の重ね合わせは，高さの足し算になる

波の重ね合わせ

干渉

腹 腹節

若干のたるみがある状態で張られたロープの一端を持ち，これを一定のリズムで振り続ける。しばらくすると，ロープに沿ってあたかも止まっているように見える波が観測される。

この波を定常波といい，定常波はロープを進行する波と，これと逆向きに戻る波の干渉によって起こる現象である。

定常波

弦の長さを L とすると，最大波長は1 = 2Lである。

波の速さ v，振動数 f，弦にかかる張力 F，単位長さ当たりの質量（綿密度） とすると，

より，

L

vf

Fv

11

2Ff

L

張力が大きいほど，周波数が高くなる

張力と周波数

L

f1:基本振動数第1調和波

f2 = 2f1第2調和波第1倍音

f3 = 3f1第3調和波第2倍音

f4 = 4f1第4調和波第3倍音

両端を固定した長さLの弦

が定常波になるには，図のような特定数の腹をもつ波でなければならない。波長を とすると，L = / 2， L = 2( / 2)，L = 3( / 2)，･･･である。定常波として可能な波長 n と振動数 fnは，

となる。これを倍音という。

2n

Ln

1 2 3 4, , , ...n

2nn FfL

固有振動数

パイプオルガンなどは，金属のパイプ内の空気の振動により音がする。外部から周波数 fの振動を与えたとき，この周波数がパイプの持つ固有振動数 f0 と等しいとき，振動は最大

となる。これを共振（共鳴）という。また，倍音のときも同様に振動が大きくなり，このような共振を起こす周波数を共振（共鳴）周波数という。

パイプ（気柱）の振動は，開端が腹，閉端が節になる。

パイプの振動

4

基本振動

4

２倍振動

基本振動のときには，

そこで，その振動数を f1，空気中の音速をv とすれば，

同様にすると，2倍振動のときには，

となるから，振動数 f2 は，

一般に，n倍振動の振動数を fn とすれば，

ただし，n＝ 1, 2, 3, ･････

1

4 2

1 2

2 12

2 22

vf v f

2

4 4

222

11

12

vf v

両端が開いたパイプ

12nn

v nf v nf

基本振動のときには，

そこで，その振動数を f1，空気中の音速を vとすれば，

同様にすると，3倍振動のときには，

となるから，振動数 f2 は，

一般に，n倍振動の振動数を fn とすれば，

ただし，n＝ 1, 3, 5, ･････（奇数だけ）

1

4

1 4

3 13

3 34

vf v f

3

4 3

343

11

14

vf v

4

基本振動

4

３倍振動

片端が開いたパイプ

14nn

v nf v nf