第 10 章　碰撞　98

一維空間的碰撞

碰 撞 的 基 本 概 念1. 將兩個碰撞的質點看成一系統，因碰撞之作用力屬於系統內力，因此若沒有碰撞力以外

之作用力，則系統　動量　守恆。因此系統的　總動量　、　質心動量　、　質心速度 及　質心動能　皆守恆。

2. 按　牛頓第三運動定律　，碰撞期間，兩物體受力大小相等，方向相反，受力時距相等，故碰撞前後兩物體所受　衝量　與　動量變化量　也會大小相等，方向相反。 碰 撞 的 種 類

1. 按「能量的變化」分類（只限於討論雙質點碰撞）：彈性碰撞 非完全

彈性碰撞完全非

彈性碰撞爆炸

（廣義碰撞）碰撞後

相對速度 不變 減小零

（碰撞後合成一體）

增加總動能 不變 減少 減少 增加

恢復係數e e ＝1 0 ＜e ＜1 e ＝0 e ＞1

【說明】恢復係數的定義：恢復係數＝ 即 e ＝ （僅用於一維碰撞）2. 按「碰撞的方向」分類：

　正向　碰撞（即　一維　碰撞） 　斜向　碰撞

碰　　撞10

99　高中物理(下)講義( 兩物體碰撞前後的速度方向始終在同一直線

上)

　　 1 　　兩個質點作彈性碰撞的前後，下列哪些物理量的量值恆保持不變？( Ａ ) 質心速度　　( Ｂ ) 總動能　　( Ｃ ) 總動量　　( Ｄ ) 總力學能　　( Ｅ ) 兩質點的相對速度

全

1. 質量不相等的兩物體作完全彈性碰撞。在此過程中，兩物體的何種物理量大小必相等？( Ａ ) 所受碰撞之力　　　　　　　( Ｂ ) 動量的變化量　　( Ｃ ) 速度的變化量　　( Ｄ ) 動能在碰撞前後的變化量　　( Ｅ ) 所受的衝量

：　ＡＢＤＥ　。

正 向 完 全 彈 性 碰 撞1. 狀況：

　　　　　　　　　　　▲正向完全彈性碰撞如上圖所示，質量分別為 m1 和 m2 的兩個物體，在碰撞前的速度分別為 v1 和 v2 ，碰撞後的速度分別為 u1 和 u2 。

2. 碰撞後的速度公式：【推演】(1) 碰撞前後系統滿足：　　　　　 　　　 　　聯立(a) 、(b) ，整理得 v1 －v2 ＝u2 －u1…(c)　　　　 (2) 將(c) 代入(a) ，解得

3. 推論（Ⅰ）：(1) 若 v2 ＝0 時 且(2) 若 v2 ＝0 時，得碰撞後的動能分配

4. 推論（Ⅱ）：碰撞過程中能量的轉移

（ 1. ○( Ａ ) 由牛頓第 3 定律可知○( Ｂ ) Δ ＝＝． Δt ， || ．△ t 均同×( Ｃ ) Δ ＝ m ． Δ ， |Δ | 相同但 m

不相同 ⇒ |Δ | 不同○( Ｄ ) 彈性碰撞 ⇒ (ΔEK )1 ＝－ (ΔEK )2

○( Ｅ ) 同 ( Ｂ ) 。）

第 10 章　碰撞　100

　　　　　　　　　　　　　　▲碰撞過程中能量的轉移(1) 碰撞任一瞬間，遵守：　　　(2) 碰撞前系統的總動能 ── (ΣEK)T ＝(EK)C ＋(EK)i

兩質點系統的總動能，(ΣEK)T ：(ΣEK)T ＝m1v12 ＋m2v2

2

質心動能，(EK)C ：(EK)C ＝(m1 ＋m2)vC 2

內動能，(EK)i：(EK)i＝．．(v1 －v2)2

【推演】由(ΣEK) T －(EK)C 推導得(EK)i，即：　　　　(EK)i＝( m1v1

2 ＋ m2v22) －(m1 ＋m2)v C

2Comb i n vC ＝

　　　 　　　＝( m1v12 ＋ m2v2

2) －．←（合併，展開）　　　 　　　＝．．(v1 －v2)2 ＝(EK)i

(3) 碰撞最接近時： 兩質點的速度相等，均等於質心速度，v1' ＝v2'＝vC ＝。 整個系統的動能只剩下質心動能，內動能完全轉成　　

　　 2 　　　物塊 A （m1 ＝2 kg ），以10 m ／ s 朝正北前進，途中巧遇另一物塊 B （m2 ＝3 kg），以4 m ／ s 朝正北前進，發生正向完全彈性碰撞，則：(1) 兩物塊最接近時，其速度為若干？(2) 兩物塊最接近時，系統的總動能為若干？(3) 碰撞後兩物塊的速度各為若干？

(1) 6.4 m ／ s ；(2) 102.4 J ；(3) 2.8 m ／ s ，8.8 m ／ s

(1) 依 vC ＝ Comb i n vC＝ ＝ 6.4j

(2) 依 (EK)C ＝ （ m1 ＋ m2 ） vC2 Com

b i n (EK)r ＝ (2 ＋ 3) ． 6.42 ＝ 102.4 J

(3) 依 u1 ＝ v1 ＋ v2 uA ＝ ． 10 ＋ ． 4 ＝ 2.8 m ／ s ， 正 北

101　高中物理(下)講義 依 u1 ＝ v1 ＋ v2 uB ＝ ． 10 ＋ ． 4 ＝ 8.8 m ／ s ， 正 北

2. 質量為 m1 的質點，以動能 K 與原為靜止、質量為 m2 的質點作彈性碰撞，求在相距最近時：(1) 質心動能為若干？(2) 總動能、總動量各為若干？(3) 內動能為若干？(4) m1 的動能為若干？

：。　　 3 　　　質量 m1 之物塊與靜止m2 之物塊發生正向完全彈性碰撞後，兩者動能比為1 ：8 ，試問 ＝？

2 或1 ／ 2

依 (EK) 2' ＝ ． (EK)1 8E ＝ ． (E ＋ 8 E) Comb i n ＝ 2 或

3. 在直線上有 P 、Q 兩質點，質點 P 碰撞靜止的質點 Q 。已知兩質點做彈性碰撞，且碰撞後質點Q 末動能與總動能的比值為，則 P 、Q 兩質點質量的比值為何？

：。　　 4 　　

在光滑軌道上，以質量 M 的滑車正向撞擊質量 m 的滑車，得其速度 v 與時間t 的關係如右圖所示，試問此碰撞是否為彈性碰撞？簡述理由。

見解析(1) 系 統 不 受 外 力 作 用 ， 二 滑 車 碰 撞 前 後 遵 守 動 量 守 恆 。 依 Σp ＝ const. 8 M ＝ 2 M ＋ 10

m ， m ＝ 0.6 M…(a)

(2) 檢 驗 二 滑 車 碰 撞 前 後 之 總 動 能 ： 將 (a) 代 入 (b) ， 得 知 Σ(EK)f ＝ 2 M ＋ 30 M ＝ 32 M ＝ Σ(EK)i ， 為 彈 性 碰 撞 ！

4. 如右圖所示，質量各為 m1 與 m2 兩物塊發生正面碰撞時速度對時間之變化圖，若m1 ＝3 kg ，則：( Ａ ) m2 ＝2 kg( Ｂ ) 互相作用力為 60 N( Ｃ ) 最接近時，總動能為 22.5 J( Ｄ ) 若兩物塊相距 75 cm 時即開始碰撞，則兩物塊最小距離為50 cm( Ｅ ) 兩物塊碰撞時間為 0.1 sec

（2. (1) K＝ v12，KC＝ ( )2⇒＝ ⇒ KC＝K

(2) 最近時，僅餘KC，即　動量守恆⇒總動量＝原動量＝(3) Ki＝K－KC＝(4) 所求＝ vC

2＝ ( )2＝ ＝( )2．K。）

第 10 章　碰撞　102

：。　　 5 　　　

如右圖所示，一球質量m ，以細繩繫住，線長 L ，一端固定於 O 點，AO 為水平，m 自 A 靜止降落，在 B 處與靜止之物體 M 作彈作碰撞，若M＞m ，則 m 反跳之高度為何？( Ａ ) L （）2 　( Ｂ ) L （）2 　( Ｃ ) 　( Ｄ ) 　( Ｅ )

Ａ(1) m ： A→B

　 依 ΣE ＝ EK ＋ Ug ＝ const. mgL ＝ mv12 ， v1 ＝

(2) 球與 物 體 進行正 向 彈 性 碰 撞 ： 依 u1 ＝ v1 ＋ v2 u1＝ ．(3) 同 (1)， m 反跳之 高 度 為 m ． u1

2 ＝ m ． g ． H ， H ＝ ＝ 2L

5. 如右圖所示，A 、B 兩球，質量皆為 1 kg ，A球繫在長1 公尺的細繩上，被拉至一旁且與鉛垂線夾 60° 處釋放。細繩的一端係固定於天花板，且天花板距地面 3 公尺。若 A 球盪到最低點的瞬間恰與 B 球作正向完全彈性碰撞，則 B 球落地時的水平位移為多少公尺？（重力加速度g ＝10 m ／ s2 ）

：

　　 6 　　在光滑水平桌面上，質量1 kg 的A 滑車，以u ＝3 m ／ s 的速度向右運動，與靜止的滑車B 作正面彈性碰撞，B 滑車質量為2 kg ，前端附有一力常數為600 N ／ m 的彈簧，求：(1) 當兩車最接近時，彈簧的壓縮量為若干？(2) 承(1) ，此時A 車的速率為若干？

(1) 0.1 m ；(2) 1 m／ s

(1) 依 (EK)i ＝ ． ． (v1 － v2)2 (EK)i 轉 移 成 彈 力位能 ， Ue

得 (EK)i ＝ ． ． (3 － 0)2＝ ． 600 ． (Δx)2max

∴(Δx) max＝ 0.1m

(2) 依 vC ＝ Comb i n vA ＝ ＝ 1 m ／ s

6. 一斜面質量為M，一物體質量為m ，同置於一光滑水平面上。物體以v 的初速朝靜止的斜面運動。若斜面與物體間無摩擦，則物體沿斜面上升的最大高度h 為

（5. 由圖可計算碰撞時 A 之速度：mgh＝v2 ⇒ v＝v＝＝( m／s )質量相同且彈性碰撞 ⇒ B水平射出之速度亦為 m／sB離地高度為 3－1＝2 公尺，以此可計算 B射出之落地時間： t2＝2 ⇒ t＝⇒ 水平位移＝v//．t＝．＝2 ( 公尺 )。）

（6. 內動能 → 重力位能 v2＝mgh⇒h＝。）

103　高中物理(下)講義何？

：。　　 7 　　

如右圖所示，質量均為m 的A 、B 兩球，緊靠在一起以4 m ／ s之速率運動，迎面撞上質量為3 m 的C 球，若所有碰撞皆為彈性碰撞，則最終各球之速率為多少？

uA＝2 m ／ s ← ；uB ＝1 m ／ s → ；uC ＝3 m ／ s →

(1) 第 一次碰 撞 ： B 、 C 兩球依 u1 ＝ v1 ＋ v2 uB ＝ ×4 ＝ － 2 m ／ s （ B 球會 反 彈 ）依 u2 ＝ v1 ＋ v2 uC ＝ ×4 ＝ 2 m ／ s →

(2) 第 二次碰 撞 ： A 、 B 兩球∵ 兩球等 質 量∴ 速 度交換， 得 知

(3) 第 三次碰 撞 ： B 、 C 兩球承 (2)， 得 Com

b i n 不再發 生追撞 ！ 7. 如右圖所示，質量2 m 的A球以速率v ，正面撞上緊靠在

一起、質量均為m 的B 、C 兩球，若所有碰撞皆為彈性碰撞，則最終Ｂ、C 兩球之速率比為多少？

：。

完 全 非 彈 性 碰 撞1. 定義：若兩物體碰撞後結合為一體，則稱為　完全非彈性　碰撞，如下圖所示。

2. 完全非彈性碰撞：(1) 碰撞後兩物體的速度相等，等於　質心速度　，v1' ＝v2'＝vC ＝。(2) 碰撞後系統的動能為　質心動能　，(EK)C ＝。(3) 碰撞後損失的動能等於內動能，(EK) 損 失 ＝(EK)i ＝。

▲完全非彈性碰撞子彈射擊木塊

（7. A 碰 B：vA′＝ v＝ v，vB′＝ v＝ v，B 碰 C：vB″＝ vB′＝0（B停了，但 A自左向右追來），vC″＝ vB′＝vB′＝v

A再碰 B：vA′′′＝ ＝ v，vB′′′＝ ＝ v，此刻A、B、C球速分別為 v， v， v，無法再追撞，一切成定局⇒ B、C 兩球最終速比＝ v： v＝1：3。）

第 10 章　碰撞　104

(4) 碰撞前總動能＝碰撞後總動能＋　　消耗的熱能（摩擦力作功）　　。

實 例 說 明 衝 擊 擺 （ Ballistic Pendulum ）1. 裝置：如右圖所示，以一輕繩懸吊一木塊的裝置，就稱為衝擊擺，

它可以用來測定子彈的飛行速度。2. 假定：子彈和木塊的質量分別為m1 和m2 ，木塊被擊中後，子彈陷

入木塊中，不再穿出；經測量得木塊盪高的高度為h 。3. 原理：

(1) 由合體盪高的高度，可求出合體在最低點時的速率（u 合 ）： 依 ΣE ＝EK ＋Ug ＝const. (m1 ＋m2) ．u 合 2 ＋0 ＝0 ＋(m1 ＋m2)

g ．h ，u 合 ＝(2) 子彈與木塊撞擊前後，為完全非彈性碰撞： 依 Σp ＝const. m1．v 子 彈 ＋0 ＝(m1 ＋m2) ．u 合 ，v 子 彈 ＝．(3) 計算子彈與木塊撞擊前後損失的力學能： （EK ）損 失 ＝（EK ）i －（EK ）f ＝m1v 子 彈 2 －(m1 ＋m2) ．v 合 2 ＝．gh

　　 8 　　　下列各項敘述何者是完全非彈性碰撞的性質？( Ａ ) 動量守恆　　　( Ｂ ) 力學能守恆　　　　　( Ｃ ) 質心速度不變　　( Ｄ ) 會產生熱能　　( Ｅ ) 仍然滿足能量守恆

ＡＣＤＥ

　　 9 　　　A 、B 兩汽車質量為2.0×103 kg 及3.0×103 kg ，初速為20 m ／ s 向東及10 m ／ s 向南，兩車相撞即連在一起運動，則因碰撞失去總動能為若干？

3.0×105 J (1) 由題意得 知 ， 兩 車 進行完 全 非 彈 性 碰 撞 ：

依 Σp＝ const. 2000×20i － 3000×10j ＝ (2000＋ 3000)×u ， u ＝ 8i － 6j

∴ u ＝ ＝ 10 m ／ s

(2) 兩 車 因 碰 撞損失的 動 能 ： Δ(EK)損 失 ＝ ． 2000 ． 202 ＋ ． 3000 ． 102 － ． 5000 ． 102 ＝3.0×105 J

105　高中物理(下)講義

　　 10 　　如右圖所示，在光滑水平桌面上，一長度為 、質量為M的木塊被固定不動，今將一質量為m 的子彈，以水平速度v 射入木塊內，其射入的深度為。若木塊不被固定，子彈仍以水平速度v 射入木塊，則：( Ａ ) 木塊末速度為 　　( Ｂ ) 木塊所受的衝量大小為 　　( Ｃ ) 子彈射入木塊內的深度為 　　( Ｄ ) 自子彈射入木塊內到靜止於木塊內為止，木塊移動的距離為 　　( Ｅ ) 子彈對木塊所作的功為

ＡＤ ( Ａ ) ○ 取（ m ＋ M ） 為 一 系 統 ： ΣFX ＝ 0 ΣpX ＝ 0 mv＝ （ m ＋ M ） v' ， v' ＝( Ｂ ) × 依 J ＝ Δp ＝ mΔv J ＝ M （ v' － 0 ） ＝ v

( Ｃ ) × 木塊固定 不 動 ：設木塊 內部阻力 為 f

　 　 　 依 W 合 ＝ ΔEK f××cos180° ＝ 0 － mv2 ， f ＝ 木塊 不固定 ： 同 ， 得 （ m ＋ M ） v'2 － mv2 ＝ f×S×cos180° ＝ ×S， S ＝

( Ｄ ) ○ 承 ( Ｃ ) ，子彈 與木塊 間 的 作 用 力 對木塊而言， 為 一 外 力 。 依 W 合 ＝ ΔEK f×L×cos0° ＝ Mv'2 － 0 ， L ＝

( Ｅ ) × 同 ( Ｄ ) ， 得 W 阻 力 ＝ M ． v'2 ＝ 8. 一子彈質量為m ，速率v ，水平射擊，恰可射穿一厚度為d ，質量為M，且固定

於水平面的均質木塊。現將同樣的木塊靜置於一光滑水平面上，未加以固定。用同樣子彈，相同射速，水平射擊木塊。設阻力為定值，則可射入木塊的深度為何？ ( Ａ ) d　　( Ｂ ) d　　( Ｃ ) d　　( Ｄ ) 　　( Ｅ ) d

：　 Ｂ　 。　　 11 　

如右圖所示，ABC 為一固定的光滑軌道，其中AB 段為水平面，BC段是位於豎直面內半徑為R ＝0.5 m 的半圓。質量M＝198 g 的鉛球靜止在AB 段上，一質量m ＝2 g 的子彈水平向右射入鉛球內，並一起向前運動。如果要求鉛球能飛躍C 點，則子彈射入時的初速度v0至少為若干？（不計空氣阻力的影響，g ＝10 m ／ s2 ）( Ａ ) 300 m ／ s 　　( Ｂ ) 350 m ／ s 　　( Ｃ ) 400 m ／ s 　　( Ｄ ) 500 m ／ s 　　( Ｅ ) 600 m ／ s

Ｄ

（8. 依題意，設阻力為 F ⇒ F．d＝v2……，不固定，則阻力作功消耗內動能 v2＝F．d′…，由 ⇒ d′＝d。）

第 10 章　碰撞　106

(1) 取（ m ＋ M ） 為 一 系 統 ： ΣFX ＝ 0 ΣpX ＝ 0 2×v0 ＝ （ 2 ＋ 198 ） ×u 合 體 ， u 合體 ＝

(2) 合 體欲維 持 在鉛直 面 上 作圓周運 動 ， 最低點位置的 最 小 速 度 為 vB ＝ 。又 u 合 體 ＝ vB ＝ ＝ 5 ， v0 ＝ 500 m ／ s

9. 如右圖所示，質量0.02 kg的子彈，以400 m ／ s 的水平速度，射向位於高5 m 的光滑平臺上質量為1.98 kg的靜止小球。射入後，子彈停留於小球內隨著小球水平飛出，撞到與平臺相距3.2 m 的鉛直牆上。若不計空氣阻力及假設小球飛出後並無轉動，重力加速度g ＝10 m ／ s2 ，試問：(1) 子彈射入小球後，合體之動能為多少焦耳？(2) 合體撞到牆壁時，距地面之高度為多少公尺?

：　 (1) 16 J ； (2) 1.8 m 　 。　　 12 　

質量為m 的子彈，水平射入質量為M之衝擊擺，若子彈之速度為v ，則衝擊擺所能上升之高度為何？

(1) 子彈 與木塊 瞬 間結合 ： 依 ΣpX ＝ 0 mv＝ （ m ＋ M ） ． u 合 體 ， u 合 體 ＝ mv ／m ＋ M

(2) 依 ΣE ＝ const. Comb i n 1 ／ 2 （ m ＋ M ） ． u 合 體 2 ＝ （ m ＋ M ） ． g ． H

∴ H ＝10. 在衝擊擺的實驗中，子彈之質量為m ，木塊之質量為M，且木塊上升的高度為H ，則：( Ａ ) 子彈射入木塊前後動量守恆( Ｂ ) 子彈射入木塊前之速度為（1 ＋M ／ m ）( Ｃ ) 子彈射入木塊前後力學能守恆( Ｄ ) 子彈之動能全部轉換成合體的重力位能　　( Ｅ ) 若木塊施於子彈的阻力為f ，則子彈深入木塊之距離為mgH／ Mf

：　 ＡＢ 　 。

非 完 全 彈 性 碰 撞1. 兩物體進行非完全彈性碰撞：

(1) 碰撞過程中兩物體因形變而產生的彈力為　非保守力　，故碰撞過程此系統力學能　不守恆　。

(2) 碰撞後兩物體分離，系統內動能　減少　，轉變為　熱能　。

107　高中物理(下)講義(3) 碰撞前後雖力學能不守恆，但　能量　仍守恆、　動量　守恆。

2. 說明：質量分別為m1 和m2 的兩物體，在碰撞前的速度分別為v1 、v2 ，碰撞後的速度變為u1和u2 。依 ΣP ＝const. m1v1 ＋m2v2 ＝m1u1 ＋m2u2

依 ΣE ＝const. m1v12 ＋m2v2

2 ＞m1u12 ＋m2u2

2 （產生熱能散逸）3. 釋例：

將一顆質量為m 的圓棒球自空中某高度處自由落至地面（地球質量為M），因M>>m ，故碰撞前後可視v2 ＝u2≒0 ，如此可知，|u1| ＜|v1| ，即圓棒球從地面反彈後的速度量值小於落至地面前的速度量值，因此，圓棒球反彈後所能達到的高度，一次比一次來得低。

　　 13 　兩物體作非彈性碰撞時，碰撞前後的：( Ａ ) 動量和不變，動能和亦不變　　( Ｂ ) 動量和與動能和皆改變　　( Ｃ ) 動量和改變，動能和不變　　　( Ｄ ) 動量和不變，動能和改變

Ｄ EMBED Word.Picture.8 　　 14 　

3 kg 物體A 以10 m ／ s 的初速與靜止的2 kg 物體B 碰撞，若碰撞後物體B 以7.5m ／ s 的速度與物體A 原先運動方向成37° 角分離，則此碰撞共損失能量多少焦耳？

26.25(1) 依 Σp ＝ const. 3×10i ＝ 3×uA＋ 2×(7.5 ． cos37°i ＋ 7.5 ． sin37°j ， uA ＝ 6i － 3j

∴ |uA| ＝ ＝ 3 m ／ s

(2) 依 (EK) 損 失 ＝ (EK) i － (EK) f

∴ (EK) 損 失 ＝ 150 － 123.75 ＝ 26.25 J

第 10 章　碰撞　108

11. 在一直線上有A 和B 兩物體，其質量各為0.4 kg 和0.6 kg 。物體A 以5 m ／s 的速度向右碰撞靜止中的物體B 。碰撞後物體A 以0.4 m ／ s 的速度向左彈回，求：(1) 碰撞後物體B 的速度為若干？ (2) 碰撞過程中A 和B 兩物體系統所損失的動能為若干？

：　　 (1) 3.6 m ／ s ； (2) 1.08 J 　　 。　　 15 　　

如右圖所示，長為 80 cm 的細繩，懸掛一鋼球A ，當它由圖中所示之位置釋放後，到達最低點與靜止的B 球作碰撞，若A 與B 的質量分別為2 kg 及1 kg 。已知碰撞後，A 球可上升的最大高度為10 cm （重力加速度 g ＝10 m ／ s2 ），則：(1) 碰撞後，B 球可上升的最大高度與鉛垂線的夾角為多少度？(2) 在碰撞過程中，系統共減少多少焦耳的能量？

(1) 60° ；(2) 2 J

(1) 先計算A 球（ 2 m ） 碰 撞 B 球（ m ） 前 後 的 速率：依 ΣE ＝ const.

以 2 m 碰 撞 m ， 之 後 ， 兩球應均 向 前 上升。依 Σp ＝ const. 2×2 ＝ 2× ＋ 1×uB ， uB ＝ 2 m ／ s

依 ΣE ＝ const. 令 B 球上升最 大 高 度 與鉛垂線夾 ψ 角． mB． (2)2 ＝ mB． g ． 0.8(1 － cosψ)， ψ ＝ 60°

(2) 計算A 、 B 球因 碰 撞 所損失的 能 量 ：由 (EK)損失＝(EK)i－(EK)f ，∴(EK)損失＝8－6＝2 J

12. 質量為2 kg 的小球A ，用細線懸吊在天花板下方，質量為1 kg 的小球B 以6 m ／s 的速率水平正向碰撞A球後，A球可上升的高度為h ，若兩球依次作：（g ＝10 m ／ s2 ）(1) 完全彈性碰撞，則h 為若干公尺？(2) 非彈性碰撞後B 球以1 m ／ s 反向彈回，則h 為若干公尺？

：。 EMBED Word.Picture.8 　　 16 　　

一小球從離地面高h 處靜止下落，忽略空氣阻力。在與地面碰撞後反彈而回，又復落下碰撞，如此反復進行數次。設小球與地面間的恢復係數為e ，則：(1) 小球第1 次觸地反跳的速率為何？(2) 小球反跳n 次後的高度為何？

（ 12. (1) 1 kg → 6 m ／ s 　　　 2 kg　　 B 　　　　　　　　 A　　 vA' ＝ vB ＝ 4 ( m ／ s )　　 EK ＝ U

　　 v2 ＝ mgh ⇒ h ＝＝ 0.8 (m)

(2) mBvB ＝ mBvB' ＋ mAvA'　　⇒ 1×6 ＝ 1×( － 1) ＋ 2×vA' ⇒ vA' ＝ 3.5　　 v2 ＝ mgh ⇒ h ＝＝＝。）

109　高中物理(下)講義(1) e ；(2) (e2)n h

(1) 小球與地面 （地球） 的 碰 撞 ，地球幾乎不 動 ： v2 ＝ u2≒0

依 e ＝ e ＝ ＝ ， u1 ＝ ev1…(a)

又小球自高 度 h 處自由落下 ：依 ΣE ＝ const. mgh＝ 1 ／ 2 mv1

2 ， v1 ＝… (b)

聯 立 (a)、 (b)， 得 u1 ＝ e

(2) 承 (1)，計算小球反跳高 度 u1 ＝ e ＝ ， h' ＝ e2h

同 理 ， 第 n 次反跳時 vn' ＝ env1 ＝ en ＝ ， hn' ＝ (e2)n h

13. 一質量0.5 kg 之物塊以v ＝20 m ／ s 的速度水平射至垂直的磚牆，入射點距地面高h ＝4.9 m ，球體以速度v' 水平反彈而落至距牆基15 m 的地面上，求此物塊碰撞磚牆時：(1) 恢復係數為若干？(2) 因碰撞而損失的能量為若干？

：

( Ｂ ) 1.二單擺，擺長均為 ，其中一擺錘質量為 m1 ，另一擺錘質量為m2 ，今將m1 拉起至水平狀態後放開，使其與m2 產生彈性碰撞，m1 反彈至原來一半之高度，則之值介於下列哪一範圍之中？

(Ａ) ≦0.1　　　　(Ｂ) 0.1＜≦0.5　　(Ｃ) 0.5＜≦1.5　(Ｄ) 1.5＜≦2.0　　(Ｅ) 2.0＜

( ＡＢ) 2.如右圖所示，在離地面 19.6 公尺的光滑平台上，先將一端 Ｄ 己固定的彈簧（k ＝900 N ／ m ）壓縮0.1 公尺，而後將質量

為 1 kg 的 A 球置於彈簧前端，質量為 2 kg 的 B 球置於平台邊緣，g ＝9.8 m ／ s2 ，若一切能量損失可略而不計，則：（多選題）( Ａ ) A 球最初離開彈簧的速度大小為 3 m ／ s ( Ｂ ) 設 A 、B 作彈性碰撞，則 A 球撞擊 B 球後瞬間 B 球的速度大小為 2 m ／ s( Ｃ ) 撞後 A 球速度大小為 2 m ／ s( Ｄ ) B 球著地點距平台底 C 點4 公尺( Ｅ ) A 、B 兩球著地點相距1 公尺

( ＡＥ) 3.如右圖所示，甲、乙二木塊質量分別為 m 及 2 m ，其中乙木塊左側附有力常數為k 的緩衝彈簧，原先二者均靜置於光滑水平地面。今以向右水平衝量 J 施於甲木塊，使其朝乙木塊前進，並與乙木塊作一維的彈性碰撞，則下列何項正確？（多選題）( Ａ ) 當兩木塊最靠近時，兩木塊的速度都是 J ／ 3 m( Ｂ ) 當兩木塊最靠近時，彈簧被壓縮了

（13. (1)　h＝gt2 ⇒ t＝1 (s)（落地時間）　v 反彈．Δt＝15 ⇒ v 反彈＝15 ( m／s )　e＝＝＝0.75；(2)　mvi2－mvf

2＝43.75 (J)。）

（1. 由力學能守恆，m1g ＝v2 ⇒ v＝　∵反彈之動能將減半　∴反彈速度＝ 又 v′＝ v＝ ⇒ ＝ ≒0.17。）

第 10 章　碰撞　110

( Ｃ ) 當甲木塊改變運動方向瞬間，乙木塊的動能為 J2 ／ ( 6m )( Ｄ ) 碰撞結束後，甲木塊的動能為J2 ／ ( 9m )( Ｅ ) 碰撞結束後，乙木塊的動量為 4J ／ 3

111　高中物理(下)講義( ＡＣ) 4.如右圖所示，兩單擺長度皆為 ，擺錘質量分別為 m1 及m2 。今 ＤＥ 將m1 拉高h 後釋放。若m1 擺到最低點時與靜止的m2 發生正向

彈性碰撞。下列敘述何項正確？（多選題）( Ａ ) 若m1>>m2 ，則碰撞後m2 的速度約為2( Ｂ ) 承( Ａ ) ，m2 上升的高度約為2h( Ｃ ) 若m1<<m2 ，則碰撞後，m2 獲得的衝量約為2m1 　( Ｄ ) 若m1 ＝m2 ，則碰撞後m2 上升的高度為h( Ｅ ) 若m1 ＝2m2 ，則碰撞後兩球上升的高度比為1 ：16

( ＡＤ) 5.一質量為 m 的子彈，以速度v 水平射入一個放在光滑平面上的靜止木塊，木塊的質量為M，子彈射入木塊後嵌入其中。下列敘述何者正確？（g 為重力加速度，多選題）( Ａ ) 碰撞前後，動量守恆　　　( Ｂ ) 碰撞前後，動能守恆　( Ｃ ) 碰撞前後，總動能守恆　　( Ｄ ) 嵌有子彈的木塊，其速度為　( Ｅ ) 若木塊用一質量可忽略之輕繩吊著，則嵌有子彈的木塊上升之最大高度為

( Ａ ) 6.甲乙兩木塊質量均為 M，以繩懸掛如右圖所示，繩的質量可忽略。今有一質量為m 之子彈（m遠小於M），以速度v 沿水平方向射向木塊，先穿透甲木塊，再射入乙木塊而嵌入其中。設兩木塊上升之高度均為H。下列敘述何者正確？( Ａ ) 子彈射出甲木塊時之速度約為( Ｂ ) 子彈在兩木塊內摩擦產生之熱能大約相等( Ｃ ) 子彈的動能大部份轉變成木塊的力學能( Ｄ ) 子彈的初速度 v ＝ ( Ｅ ) 子彈與甲木塊為彈性碰撞，與乙木塊為完全非彈性碰撞

7. 質量2 kg 的球與另一靜止的物體作正向彈性碰撞後，以原速率的 反方向而回，則被撞物體的質量為若干？ ：。

8. 質量相同的甲、乙兩球各以 10 m ／ s 與5 m ／ s 之初速相向而行作正向彈性碰撞，碰撞時甲球所受的衝量大小為45 N．s ，則乙球的質量為若干？ ：。

9. 同質量 A 、B 兩球，A自地面以20 m ／ s 鉛直上拋之同時，B 在A 之正上方5 m 處，以2 m ／ s 的初速鉛直下拋，g ＝10 m ／ s2 ，設兩球在空中作正向彈性碰撞，則碰撞後B球上升距地面最大高度為若干？ ：。

10. 如右圖所示，一單擺用長 的細繩繫住，擺錘質量 m ，將擺錘拉至與水平夾30° 角，由靜止釋放，盪至最低點時與靜置光滑平面的物體（質量2 m ）作完全彈性碰撞，求撞後瞬間繩子張力為何？

：。11. 質量 m1 之質點以速度v1 正向彈性碰撞質量m2 原為靜止之質點，若撞後：

(1) m2 之速度為最大，m1 與m2 間之關係應如何？ ：。(2) m2 之動量為最大，m1 與m2 間之關係應如何？ ：。(3) m2 之動能為最大，m1 與m2 間之關係應如何？ ：。

（8. 彈性碰撞後速度互換，由J＝Δp，45＝m2．[10－(－5)] ⇒ m 乙＝3 (kg)。）

第 10 章　碰撞　112

12. 如右圖所示，斜面質量為 M，物體質量為m ，同置於一光滑水平桌面上，若斜面與物體間無摩擦。物體以v 的初速度朝靜止的斜面運動，滑至一高度後又再下滑。則：

(1) 物體沿斜面上升的最大高度為何？ ：。(2) 兩物離開後，斜面的能量為總動能的 ，求 ＝？ ：。

13. 如右圖所示，質量不等的小球Ａ和Ｂ，Ｂ靜止在足夠長的光滑水平面上，水平面與鉛直牆相連，Ａ以某一速度向左運動，若所有碰撞都是彈性碰撞，要使Ａ、Ｂ二球發生第二次碰撞，Ａ球質量的取值範圍應是如何？

：。14. 在光滑水平面上有一靜止物體 A 質量為4 kg ，A 上面的左端有一

靜止B 物體質量為2 kg ，A 、B 間的動摩擦係數為0.2 ，一質量為1 kg 的小球以水平速度v0 ＝49 m/s 飛來，與B 碰撞後以撞前速率的 彈回，求A 與B 相對靜止後B 在A 上滑行的距離為若干？（設A 足夠長，B 未滑落，g ＝9.8 m/s2 ） ：。

15. 如右圖所示，一個質量為 m 、速度為v 的子彈射穿質量為M的木塊後，速度變為，而此木塊懸吊於長度為 的輕繩下端。問v 須為若干，方能使木塊達最高點時，繩子張力為2 Mg ？

：。

二維空間的碰撞 斜 向 彈 性 碰 撞 （ 二 維 空 間 的 碰 撞 ）

1. 狀況：質量各為m1 和m2 的兩物體分別以速度v1和v2運動，發生碰撞後，速度分別為u1和u2，標示如下圖所示。

2. 碰撞後的速度：碰撞前後系統滿足聯立(a) 、(b) ，求解。

▲斜向彈性碰撞

（15. FC＝maC ⇒ 2Mg＋Mg＝M ⇒ v"＝ (最高點)由力學能守恆 ⇒ 最低點被射穿後 v'＝由射穿前後動量守恆 ⇒ mv＝m．＋M． ⇒ v＝ 。）

113　高中物理(下)講義3. 【特例】：平面上兩運動的物體，發生碰撞

(1) 若滿足Comb i n

(2) 繪向量圖如右所示，得知。 實 例 說 明

1. 【狀況】：如下圖所示，質量相等的 A 和 B 兩球沿 x 軸相向而行。 A 球速度為v1=10 m/s ，方向向右，B 球速度為 v2 =5 m/s ，方向向左。兩球作彈性碰撞後，A 球沿 y 方向運動。求解碰撞後兩球的速度各為何？

2. 【分析】：依 Σp＝const. Comb i n 　　　　 依 ΣE＝const.

　　　　 ×m×102＋×m×(－5)2＝×m×u12＋×m×(u2x

2＋u2y2)…(c)

　　　　 聯立(a)、(b)、(c)三式，解得。　　 17 　

A 、B 兩小球之質量分別為 m 與 2 m ，設 A 球以 v 之初速與靜止之 B 球作非正面之彈性碰撞，碰撞後 A 球運動方向與原入射方向垂直，求：(1) B 球被撞後射出的方向與 A 原入射方向之夾角為若干？(2) A 球的轉移動能占原 A 球動能的幾倍？(1) θ＝30° ；(2) 2／ 3

(1) 依 Σp ＝ const.

又 ΣE ＝ const. 1 ／ 2×m×v2 ＝ 1 ／ 2×m×u12 ＋ 1 ／ 2×2m×u2

2…(3)

由 Comb i n θ ＝ 30°

(2) A 球的 轉 移 動 能 ＝ B 球獲得 的 動 能 得　 (EK) 2'＝ ×2 m×u2

2 Comb i n (EK)2' ＝ ＝ 　∴ ＝ ＝

14. A 球以速度 v 與靜止之 B 球作斜向彈性碰撞後，A 球運動方向與入射方向夾角為30° 。則：(1) 若 A 球質量為 B 球之兩倍，則碰撞後 A 球速率為若干？(2) 碰撞後，B 球速率為若干？(3) 碰撞後，兩球彈射方向之夾角為若干？

：。　　 18　　

▲斜彈碰撞的特例

▲斜向彈性碰撞

第 10 章　碰撞　114

如右圖(a) 所示，質量為m 的小球以10 m/s 的速度與同質量的靜止光滑圓環作彈性碰撞，圖中的PO與小球的速度方向成30° ，則碰撞後小球和圓環的速度各為若干m ／ s ？( Ａ ) （10，10）　　( Ｂ ) （5 ，5 ）( Ｃ ) （5 ，5 ）　　　( Ｄ ) （10，10）( Ｅ ) （6 ，8 ）

Ｃ小球與 光 滑圓環碰 撞 ， 滿 足 ， 則 ， 即

∴ 碰 撞 後 ： ……… 選項 ( Ｃ )15. 質量2 kg 之質點A 以5 m ／ s 之速率側撞質量相等之質點B ，若為完全彈性碰撞，

且質點 A 以與原方向成 53° 路徑彈開，又已知作用時間為 0.2 sec ，則質點 B 所受的衝力量值為若干？

：　 40 N 　 。16. A 、B 兩小球之質量均為 m ，設 A 球以 v 之初速與靜止之 B 球作非斜向

彈性碰撞，碰撞後 A 球運動方向與原入射方向之夾角為 37° ，則碰撞過程中 A 對 B 作功為何？

：。

17. 如右圖所示，質量相等的大小兩球 A 、B ，球 B 原為靜止，球A 以初速 v 與球 B 作彈性碰撞，若球 A 損失的動能為原有的4 ％，則 cosθ ＝？

：　 0.2 　 。

( ＢＤ) 1.質量相同之 A 、B 兩球，作斜向碰撞後：（多選題） Ｅ (Ａ)兩球必垂直彈開　　　　　　　　　　(Ｂ)兩球動量和與碰撞前相等　　

(Ｃ)兩球之總動能等於原來兩球動能和　　(Ｄ)兩球質心之運動方向不變　　(Ｅ)兩球質心動能不變

( Ｅ ) 2.質量 2 kg 之A球以4 m ／ s 的速度撞擊靜止的B 球，相撞後，A 以速度 3 m ／ s和原來運動方向夾 90° 的方向運動，而 B 球的速率為 2 m ／ s ，則 B 的質

(a)碰撞前 (b)碰撞後

（ 16. pB' ＝ pA ． sin37° ＝． mAvA ＝ mvW ＝ ΔEKB ＝＝ mv2 。）

（ 15. m∵ A ＝ mB⇒ 　與　　夾 90°⇒pB' ＝ pAsin53° ＝ pA ＝ mAvA ＝． 2 ． 5 ＝ 8＝ Δ⇒F ． Δt ＝ mBΔvB⇒F ． 0.2 ＝ 8⇒F ＝ 40 (N) 。）

（ 17. ( 　 B 之末速方向必垂直於碰撞面　 )依題意 EKA' ＝ EKA ． ( 1 － 4％ )⇒ ＝． 0.96( pA ． sinθ)2 ＝ pA

2 ． 0.96 ⇒ cos2θ ＝ 1 － sin2θ ＝ 0.04 ⇒ cosθ ＝ 0.2 。）

115　高中物理(下)講義量為若干kg？

(Ａ) 0.5　　(Ｂ) 1　　(Ｃ) 2　　(Ｄ) 3　　(Ｅ) 5( Ｃ ) 3. A 球以 10 m／s 的速率和相同質量的 B球作斜向完全彈性碰撞，碰撞後，A球速率為

6 m／s，則下列何者錯誤？(Ａ) B 球速率為 8 m／s　　　　　　　　　　 (Ｂ) B球運動方向和 A 球夾 90°　　(Ｃ) B 球運動方向和 A 球原方向夾 53°　 　(Ｄ) A、B 兩球動量大小的比為 3：4(Ｅ) A、B 兩球動能的比為 9：16　　

( ＡＢ) 4.A 、B 、C 三球完全相同，A 以 5 m ／ s 沿右圖示方向與B 、C 作彈性碰撞，則： ＤＥ ( Ａ ) B 散射方向與A 入射方向夾 30° （多選題）

( Ｂ ) A 球撞後反向彈回　　( Ｃ ) C 球撞後速率為m ／ s 　　( Ｄ ) A 球撞後動能減少　　( Ｅ ) A 球撞後速率為1 m ／ s

5. A 、B 兩小球質量均為m ，設A球以v 之初速與靜止之Ｂ球作非正面之彈性碰撞，碰撞後Ａ球運動方向與原入射方向之夾角為＋30° 。試問：

(1) B球碰撞後射出之方向與原入射方向之夾角為若干？ ：。(2) 承(1)，B球碰撞後速率為若干？（以 v表示） ：。

6. 質量 2 kg 之質點A 以5 m ／ s 之速率側撞質量相等之B ，若為完全彈性碰撞，且A 以與原方向成53° 路徑彈開，則B 的速率為若干？ ：。

7. 一小球被擲向光滑之地面後反彈跳起。在碰撞發生前後，其入射速度及反彈速度分別與鉛垂線成夾角θ1 及θ2 ，如右圖所示。若反彈過程為非彈性碰撞，小球剛反跳時的動能降為碰撞前瞬間動能的倍，其中C ＞1 ，則之值為若干？ ：。

( ＡＤ) 1.質量與體積完全相同的甲、乙兩均質光滑圓球，在光滑水平面上發生完全彈性碰撞， Ｅ 碰撞前乙球靜止，甲球以速率v 向右撞向乙球。下列有關兩球碰撞的敘述何者正確？

( Ａ ) 若為對正碰撞，碰撞後甲球靜止，乙球以v 向右運動 　　　　　　　（多選題）( Ｂ ) 若為對正碰撞，碰撞後甲、乙兩球均以v ／ 2 的速率向右運動( Ｃ ) 若不是對正碰撞，碰撞後兩球速度的夾角一定小於90°( Ｄ ) 若不是對正碰撞，碰撞後兩球的速度一定相互垂直( Ｅ ) 不論是否為對正碰撞，碰撞前後兩球的動量和與動能和不變 【97. 指考】

2. 小明在二維空間碰撞實驗中（見右圖 (a) 的實驗示意圖），獲得的水平白紙上的記錄，如右圖(b) 所示：O1 及O2 分 別 為 入 射 鋼 球 （ 簡 稱 球 1 ）及 被 撞 鐵 球 （ 簡 稱 球 2 ） 在 碰 撞 處 靜 止 時球心的投影，P1 為碰撞前（不放置球2 時）多次實驗所得球1 的平均落點，而P'1 及P'2 分別為碰撞後多次實驗所得球1 與球2 的平均落點。假設二球半

(a)

(b)

第 10 章　碰撞　116

徑大約相等，且球 1 以水平方向碰撞球2 ，問：(1) 做實驗時，除了測量球1 及球2 的質量m1 及m2 外，還需測量白紙上的哪些量？

(2) 上一小題的各測量量間，要有怎樣的關係，才能證明球1 及球2 碰撞前的總動量與碰撞後的總動量相等？

(3) 小明在操作實驗時，若發現碰撞後兩球落到白紙的時間不同，則捨去該兩記錄點，並微調球2 的鉛直位置，再重做實驗，其原因為何？ 【97. 指考】

：(1) 在 白 紙 上 建 立 一 個 坐 標 系 統 ， 定 出 各 落 點 的 坐 標 ： 取 O1P1 為 x 軸 ， 畫 垂 直 x 軸 之 y 軸 ， 定 O1 為 原 點 。 測 量 O1P1 之 長 度 ， 同 時 定 出 P'1 、 P'2 、 O2 之 坐 標 依 次 為 （ P'1x , P'1y ）　 　 、 （ P'2x , P'2y ） 、 （ O2x , O2y ） ， 如 右 圖 所 示 。

(2) Σpi ＝ Σpf Comb i n

（ ∵ R ＝ v0Tf Comb i n R v0 ， ∴ 兩 球 碰 撞 前 後 的 速 度 大 小 可 由 各 球 對 應 之 水 平 射 程 來

取 代 。 ）(3) 若 兩 球 落 到 白 紙 的 時 間 不 同 ， 表 示 球 2 在 空 中 的 飛 行 並 非 水 平 拋 射 運 動 ， 則 無

法 以 水 平 射 程 來 代 表 碰 撞 後 球 2 的 速 度 大 小 ， 故 重 新 調 整 球 2 之 鉛 直 高 度 ，直 至 兩 球 的 落 地 時 間 相 同 即 可 。

3. 以質量為 M 的鐵鎚沿水平方向正面敲擊鐵釘，欲將長為L 、質量為m 的鐵釘垂直釘入牆內。若鐵鎚每次均以相同之速度v0敲擊鐵釘，敲擊後鐵鎚與鐵釘一起運動，使鐵釘進入牆內一段距離。設鐵鎚與鐵釘碰撞過程所經歷的時間極短，可以忽略不計，且每次鐵釘被鐵鎚敲擊入牆時所受之阻力，均為前次阻力之 n 倍（n ＞1 ）。忽略重力，回答下列各子題：(1) 鐵鎚剛敲擊到鐵釘而與鐵釘一起運動時，兩者的總動能為何？（以M，m 及v0表示）(2) 如果鐵釘受鐵鎚敲擊兩次後就完全釘入牆內。求證第一次敲擊時的阻力為

F1＝ ( 1 ＋ ) 。 【96. 指考】(3) 若第一次敲擊時，釘入牆內的深度為d1 ，當d1 夠大，則敲擊若干次後，鐵釘會完

全進入牆內。求證若d1 ＞( 1 －1 ／ n ) L ，則鐵釘才有可能在有限次的敲擊後完全被釘入牆內。

：(1) M2v02 ／ （ 2 （ M ＋ m ） ）

(2) 每 次 阻 力 作 功 ， 都 會 把 合 體 的 動 能 消 耗 ： Comb i n d2 ＝ ‧ d1

d1 ＋ d2 ＝ L d1 ＋ ‧ d1 ＝ L ， d1 ＝ ， 將 （ EK ） 合 、 d1 代 入 (a) 式 ， 得 F1‧ ＝F1 ＝ （ 1 ＋ ）

(3) 由 d1 ＋ ＋ ＋ … … ＝ L （ 有 限 次 釘 入 ） 　 d1 ＋ ＋ ＋ … … ＞ L

d1 （ ＋ ＋ … … ） ＞ L 　 d1‧ ＞ L ， d1 ＞ L （ 1 － ）( ＣＥ) 4.如右圖所示，質量 M 之均勻方形盒靜置於光滑的水平面上，自其頂部的中央A

點，以長度5.0 公分之細繩懸吊一質量 m ＝M ／ 3 的質點，開始時該質點靜止且繩與鉛直線夾角β 為 37° ，A 點的 x 坐標 O 取為原點。設重力加速度為10公尺／ 秒2 ，sin ＝3 ／ 5 。對靜立地面的觀察者而言，下列敘述何者正確？( Ａ ) 整個系統的動量守恆( Ｂ ) 整個系統的質心位置固定( Ｃ ) 整個系統質心的x 坐標固定在－0.75 公分( Ｄ ) m 質點擺到最低點時，m 質點的速度為3.9 公分／ 秒

117　高中物理(下)講義( Ｅ ) m 質點擺到右邊最高點時，M方形盒向左移1.5 公分 【95. 指考】