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FA/Tohoku U 応用電気通信工学 1

第３章誤り訂正符号化理論

電気・通信工学専攻

安達文幸

参考書

・山本，加藤：TDMA通信，5章，電子情報通信学会，1989年・岩垂：符号理論入門，昭晃堂，1992年・今井，情報理論，昭晃堂，1984年

「応用電気通信工学」


目次

３．１誤り訂正符号化の役割３．２ブロック符号化

３．２．１符号生成と復号３．２．２ハミング符号３．２．３ BCH符号

３．３ビタビ（Viterbi）アルゴリズムを用いて復号する畳み込み符号

３．３．１畳み込み符号器３．３．２最尤復号とビタビﾞ復号３．３．３ハミング距離に基づく最尤復号法３．３．４ユークリッド距離に基づく最尤復号法

３．４復号後のビット誤り率３．４．１ブロック符号３．４．２最尤復号

３．５インターリーブ


３．１誤り訂正符号化の役割

安達：通信符号理論 4

符号の分類

構造的分類

ブロック符号：誤り検出，訂正のために付け加えられる検査ビット(check bit)が，同じブロック内の情報ビットのみから決定される．

畳み込み符号：各検査ビットが，先行するいくつかの情報ビットの畳み込みで生成される．

連接符号:2つの符号を組み合わせた符号化

誤り検出符号誤りがあるかどうかを検出する符号

誤り訂正符号

訂正すべき誤りの種類による分類

ランダム性の誤りを訂正するランダム誤り訂正符号

バースト性の誤りを訂正するバースト誤り訂正符号


ブロック符号

BCH符号

リード・ソロモン符号

ハミング符号

畳み込み符号

連接符号畳み込み符号＋リード・ソロモン符号

岩垂符号

自己直交符号

最尤復号法（Viterbi algorithm）を用いる符号

逐次復号法を用いる符号

Wyner-Ash符号

代数的復号法


通信路符号化の目的

通信路で生ずる符号誤りを訂正して，通信の信頼性を高める．

通信路符号化技術の分類

誤り検出符号化

誤り訂正符号化

自動再送（Automatic Repeat Request: ARQ)

変調器通信路復調器情報源符号化器

通信路復号器

通信路符号化器

情報源復号器

信号伝送系のモデル


誤り訂正符号化

kビットの伝送情報系列をnビットの符号化系列に変換するブロック符号化を考える．R=k/nを符号化率 (codingrate)と言う．

情報伝送速度が一定と言う条件のもとでは，帯域幅はR-1

(>1)に拡大する．帯域を拡大することにより所要Eb/N0をシャノン限界(- 1. 6 dB)に近づける技術が誤り訂正符号化である．

Eb/N0を無符号化時と同じに保つ（つまり送信電力を同じ

にする）とすると，符号化ビット当たりの信号エネルギー対雑音電力スペクトル密度比Ec/N0はEb/N0のR (<1)倍になる．


．であるから，となる．

であるから　

はスペクトル密度比力号エネルギー対雑音電号化ビット当たりの信●符号化したときの符

で表す．スペクトル密度比をエネルギー対雑音電力１ビット当たりの信号●符号化しないときの

00

00

0

0

//1)/(/

/

/

NENERNERNE

ERTRPTPENE

NE

bc

bc

bbcc

c

b

Eb=P Tb

Ec

情報ビット

符号化系列

bc ERE

符号化

Tb

Tc


誤り率特性の比較

Ec/N0はEb/N0より小さくなるから，誤り訂正復号前の平均

ビット誤り率は，誤り訂正符号化を用いないときに比べて大きくなる．

しかし，誤り訂正復号後の平均ビット誤り率を誤り訂正符号化を用いないときに比べて小さくできる．

この結果，平均ビット誤り率対Eb/N0特性を符号化しないときより改善できる．

FA/Tohoku U 応用電気通信工学 10山本，加藤：TDMA通信，5章，電子情報通信学会，1989年


３．２ブロック符号

３．２．１符号生成と復号

３．２．２ハミング符号

３．２．３ BCH符号


符号生成と復号

誤り訂正符号化を用いた時の伝送系

変調器通信路復調器情報源符号器

通信路復号器

通信路符号器

情報源復号器

Rkn

xxxrrrrr

xxccccccccxxx

coded

k

nknkn

kknnknkn

k

/

)ˆˆˆ(ˆ)(

)()()(

110

1110

101101110

110

　　　

次式のようになる．の伝送速度はとすると，符号化系列情報伝送速度を

　　　　

XRCX

C R X̂X

組織符号(systematic code)符号化されたビット系列にkビットの情報がそのまま現れる．


は生成行列である．ここで，

　　　

と上式を行列で表示する

　　　

加算により得られる．は次のようなを生成する．ここで，

から符号語情報系列

G

XGXC

CX

100

010001

1,...,1,0 ,

2mod)()(

1,10,1

1,10,1

1,00,0

1

0,

1,110110

knkk

kn

kn

k

ijiij

j

nknknk

gg

gggg

knjgxc

ccccccxxx


復号生成行列(generator matrix)はG，検査行列(parity checkmatrix)はHである．

ttttt

knkknkn

k

k

tt

ggg

gggggg

HEHCE)H(CHRS

RCE

H

HRS

SH

　

10000010001

1,11,11,0

1,11,11,0

0,10,10,0

とすると●誤りベクトルを

　　

　

を計算する．を用いてシンドローム●検査行列

kビットの情報から検査ビットの生成受信した検査ビット


ない．の系列を含んではなら行列の各列は全て●

合である．加算が互いに異なる場つの列ベクトルの

の任意のるのはビット誤りが特定でき．また，全て異なるときである

の各列ベクトルがる（訂正できる）のはビット誤りが特定でき●

従って，

　

これより

　　

　すなわちただし，

になる．加算であるからとのビット符号器で生成した検査

と，検査ビット番目のた復号器で新たに生成し要素はの第●

02mod2

21

1,..,1,0for ,0)(

.1,..,1,0

02mod

,

1

0,

H

HH

HEHE0HEHCS

HC

HC

tttt

jj

k

ijiijj

t

j

jt

knjccgxc

knj

c

cjj

t復号器で生成した検査ビット


符号の訂正能力

nビットの符号語の全ての組について，それぞれnビットに

わたりmod2加算を行って得られる1の総数の最小値を符号間距離dminとすると，

個の誤りまで訂正できる．

2/)1( min dt

mind

2/)1( min dt

符号語A

符号語B

ハミング符号

単一誤りを訂正するブロック符号

n-kビットの検査ビット系列で表せる個数は，全零を除いて2(n-k)-1個である．これがnビット符号語に単一誤りが発生する場合の総数nに等しくなければならない．従って，n=2(n-k)-1である．

ハミング(7,4)符号語の生成

符号語長は7ビットであるので全部で128種類の系列がある．このうち符号語となり得るのは，情報が4ビット長であるから，16個である．


1の個数が

偶数となる符号語

1の個数が

奇数となる符号語

符号空間


符号生成

1000101010011100101100001011

G

XGC

情報（4ビット）検査ビット（3ビット）の生成

情報（4ビット

）から検査ビットの生成

受信した検査ビット（3ビット）

111010001110101101001

2

1

0

H

HRS tt

SSS

岩垂：符号理論入門，昭晃堂，1992年


ハミング(7,4)符号

ハミング(7,4)符号語c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 FA/Tohoku U 応用電気通信工学 20

単一誤りに対するシンドローム全ての単一誤りに対してシンドロームパターンは互いに

異なるから，単一誤りの位置が判別できて訂正可能となる．

010

0000010

111010001110101101001

ttt HEHRS


単一誤りに対するシンドロームパターン

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 S0 S1 S2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

誤りパターンシンドロームパターン


BCH符号

ブロック長n，検査ビット長（n-k)，訂正可能なビット数tの表


３．３ビタビ（Viterbi）アルゴリズムを用いて復号する畳み込み符号

３．３．１畳み込み符号器３．３．２最尤復号とビタビ復号３．３．３ハミング距離に基づく最尤復号法３．３．４ユークリッド距離に基づく最尤復号法３．３．５誤り率の上界

岩垂，符号理論入門，5章，昭晃堂，１９９２


畳み込み符号器

ビタビアルゴリズムは畳み込み符号を最尤復号するアルゴリズムであり，最近広く用いられている．極めて強力な誤り訂正能力を有する．

符号化率R=1/2の簡単な畳み込み符号器

拘束長3ビット

生成多項式(g0,g1)=(7,5)8

入力xn

出力

c2n

c2n+1

(c2nc2n+1)並直変換


情報1ビットxnが入力されると2ビット(c2nc2n+1)が出力される

1ビット入力で2ビットが出力されるので，符号化率は1/2

入力出力

c2n

c2n+1

(c2nc2n+1)並直変換xn xn-1 xn-2

(xn-2xn-1xn)000001010100101011110111

出力(c2n c2n+1)

0011101100010110

入力xn


状態遷移入力ビットとシフトレジスタの内部状態（2ビット）を用いて，符号器出力を表現できる

xn-1 xn-2

xn xn-1

)( 211 nnn xxS

)( 1 nnn xxS

第0桁第1桁レジスタの状態

212 nnnn xxxc出力

xn

xnが入力されると

xn-1 xn-2

212 nnn xxc


樹枝状表現レジスタ内部状態Sn=(xnxn-1)の表示

A=(00), B=(10), C=(01), D=(11)とする

初期状態S-1=A状態遷移

AA,BBC,DCA,BDC,D

(x0=0)

(x0=1)

0011

00A

1001

11B

1100

10C

0110

01D

0011

11A

1001

00B

1100

01C

0110

10D

00A

11B

10C

01D

00A

11B

(0)

(1)

(0)

(1)

A


格子状（トレリス）表現畳み込み符号は，符号器に用いたシフトレジスタの内部状態の遷移を用いて表現できる．これを格子状表現（トレリス）と言う．

10xn=0

1

入力ﾋﾞｯﾄ

A A A A A A A

B B B B B B B

C

D

C

D

C

D

C

D

C

D

C

D

Ac0c1=00

c0c1=11

10

0101

11

00

初期状態t=-1 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6

A=(00), B=(10)C=(01), D=(11)


最尤復号とビタビ復号

送信データを畳み込み符号化して得られた送信系列C=(c0c1c2c3c4,…..,cN-1)を送信する．伝送路途中の雑音の

ため誤りが発生し，受信系列は伝送した符号系列とは異なる．受信系列R=(r0r1r2r3r4,…..,rN-1)からCを推定するのが復号である．

受信系列Rと符号系列Cの近さの目安としてハミング距

離を用いるときハミング距離に基づく最尤復号法，ユークリッド距離(Euclidian distance)を用いるときユークリッド距離に基づく最尤復号法(maximum likelihood decoding)になる．

送信系列を受信し終えたときに，あり得る全ての系列についてハミングまたはユークリッド距離を計算し，距離最小の系列を送信系列であると判定する．しかし，系列長がNビットであるとき，系列の個数は2Nであるので，演算量が大きい．


符号系列のトレリス表現を用いて，受信途中で距離の小さい候補系列を選択し残して行くことにより，効率的に復号するのがビタビアルゴリズムである．

時点t=nにおける各状態S(n)に合流する2つのパスのハミ

ング（またはユークリッド）距離を比較し，ハミング（またはユークリッド）距離の小さいパスを残す．各状態で以下の計算を行う．

ブランチメトリック（状態S(n)に至るブランチのハミング（またはユークリッド）距離）の計算

パスメトリック（状態S(n)に至るパスのハミング（またはユークリッド）距離）の計算=時点n-1における状態のパスメトリック+ブランチメトリック

状態S(n)に到達するパスメトリックの比較

パスメトリックの小さい方のブランチを残す


受信最後に全状態のパスメトリックを比較し，最小値の状態を選ぶ．

その状態に至る生き残りパスを，最初の状態S(-1)=00まで遡る．

生き残りパス上の各ブランチの符号化系列が最尤符号化系列である．

最尤符号化系列を出力する情報系列を復号系列として出力する．


ハミング距離に基づくビタビ復号符号系列のトレリス表現を用いて，受信途中で距離の小さい候補系列を選択し残して行くことにより，効率的に復号するのがビタビアルゴリズムである．

状態遷移と出力符号

ビタビ復号は次のような動作

から成り立っている

ブランチメトリックの計算

パスメトリックの計算

パスメトリックの比較

生き残りパスの選択

A A

B B

C

D

C

D01

1100

10

00

11

1001

xn=0入力ﾋﾞｯﾄ

1A=(00), B=(10)C=(01), D=(11)


　りパスとして残すのブランチのみ生き残　最小パスメトリック

●パス選択

　

●パスメトリック比較

　

算●パスメトリックの計のハミング距離とは符号系列　ただし，

　●ブランチメトリック

))1()((min

))((

))()1(())1(())1()((

,)()),()1(;())()1((

)}1({

212212

nSnSLnSL

nSnSBrnSLnSnSL

drrnSnSccdnSnSBr

nS

H

nnnnH

baba

A

B

C

t=n-1 t=n

)(AL

)(CL

)()()( BABrALABL

)()()( ACBrCLCBL

))1((min

arg)(},)1({

nSBLBLBAnS


情報系列： 1 1 0 0 0 1 0符号化系列: 11010111001110受信系列: 10010101001110

A A A A A A A

B B B B B B B

C

D

C

D

C

D

C

D

C

D

C

D

A00

11

10

0101

11

00

t=-1 t=0 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6

状態:A

状態:B

状態:C

状態:D

1

1

2

2

3

1

34

34

41

2310

42

42

52

34

24

42

3434

43

25

34

34

44

44

25

43

最小パスメトリックを与える状態

xn=01

入力ビット

ユークリッド距離に基づく最尤復号法

受信信号


),2exp(

1PSK2

2

2

PSK2

2

2

．は送受信機間の位相差　に振幅変動がなければル利得もし，伝送路のチャネ

　であるからあり，

は送信シンボルで）である．は複素ガウス雑音（分散

のは電力チャネル利得であり，や位相変動を表す複素

の振幅変動は伝送路（チャネル）は受信電力，ここで，　

表現は号の等価低域変調を考える．受信信簡単のために，

jhh

c

cw

hPwchPr

n

n

n

n

n

n

nnnn

ncP2チャネル

hn

nnchP2nnn wchP 2

nw


条件付結合確率密度関数

最尤系列推定

ある．は複素チャネル利得でここで，

　　　　　　　　　　　　

　　　　

次式のようになる．，つまり独立）であれば関数は，雑音が白色（の条件付結合確率密度

の受信系列が送信送信されたとき符号系列

n

N

nnnnN

N

nnn

nn

h

chPr

crpp

rc

1

0

2

22

1

0

22

1exp)2(

1

)|()|(

)()(

CR

RC

の探索と等価である．を最小とする

　　　　

の探索はを最大とする探索する．ところで

をを最大とする符号系列号では最尤系列推定による復

C

CCRCCR

ˆ

ˆ2

ˆ)ˆ|(

ˆ)ˆ|(

1

0

2

N

nnnn chPr

pp


のように表すと

　　

トリック）をにおける距離関数（メ　時点

の探索と等価である．を最大とする符号系列

　　

であるから，結局であり，

　　　

と上式をさらに展開する

n

tttt

n

N

nnnn

n

N

nnnn

N

nnn

N

nn

chrnL

nc

chrL

c

chrPhcPr

0

*

1

0

*

1

0

*1

0

21

0

2

ˆRe)(

}ˆ{

ˆRe

1ˆ

ˆRe22ˆ2


ばれている．軟判定ビタビ復号と呼り，これはるのがビタビ復号であ逐次計算により実行す

を用いて，りに上式のメトリック　ハミング距離の代わ

．となる．ここで，

　　

nnn chrnBrnBrnLnL

ˆRe)()()1()(


りパスとして残す．のブランチのみ生き残　最小パスメトリック●パス選択

　

●パスメトリック比較

　

算●パスメトリックの計．　

●ブランチメトリック

))1()((min

))((

))()1(())1(())1()((

ˆRe))()1((

)}1({

nSnSLnSL

nSnSBrnSLnSnSL

chrnSnSBr

nS

kkk

A

B

C

t=n-1 t=n

)(AL

)(CL

)()()( BABrALABL

)()()( ACBrCLCBL

))1((min

arg)(},)1({

nSBLBLBAnS


３．４復号後のビット誤り率

３．４．１ブロック符号３．４．２畳み込み符号


ブロック符号の代数的復号

最小ハミング距離dminとする．各符号語を中心として半径t1の球をつくると，

であれば球は重複しない．すなわちt1以下の誤りを訂正できる． t1の最大値はこの符号の誤り訂正能力といわれ

である．

12 1min td

今井，情報理論，昭晃堂，1984年

dmin=2t+1

2/)1( min dt

t1


S.G. Glisic, “Efficiency of block error-correcting codes,” Electronics Letters, vol.23, pp. 557-558, May 1987.

)1(1

)1(1

1

)1(1

1212

)1(1

)1(

1212

1

tnteb

b

tntn

ti

inie

e

ppt

nn

tPn

tp

p

ppt

npp

in

P

Pp

tnt

t

　

は次式のようになる．ビット誤り率となるので，復号後の

　

はとすると，復号誤りり率を　チャネルのビット誤

誤りになる．

個のビットビット中にて，の符号語である．従っが

ハミング距離る．その符号語は最小他の符号語に復号され

生じると個以上のビット誤りが語にに近似解を示す．符号

大変難しい．以下を厳密に求めることは復号後のビット誤り率

(7,4)ハミング符号

符号生成


1000101010011100101100001011

G

XGC

情報（4ビット）検査ビット（3ビット）の生成

情報（4ビット）から検査ビットの生成

111010001110101101001

2

1

0

H

HRS T

SSS

受信した検査ビット（3ビット）

復号

岩垂：符号理論入門，昭晃堂，1992年

シンドローム


e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 S0 S1 S2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

誤りベクトルシンドローム

6

5

4

3

2

1

0

111010001110101101001

eeeeeee

tt

　

HEHRS


誤訂正

2ビット誤りが生じた時の復号後誤りベクトル

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 s0 s1 s2

1 1 0 0 0 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 1 0 1

0 0 0 1 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 1 0 1 1

0 0 0 0 1 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 0 1 0

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6

1 1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 0

1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 1 1 0 1

0 1 0 0 0 1 1

(7,4)ハミング符号語に復号


3ビット誤りが生じた時の復号後誤りベクトル

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 s0 s1 s2

1 1 1 0 0 0 0 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 0 0 0 0 1 0 1 1

1 0 1 1 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 1 1 1 1 0

(7,4)ハミング符号語に復号

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6

1 1 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1 0

1 1 0 0 1 0 1

1 0 1 1 1 0 0

1 0 1 1 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 0 0

1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0

1 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1


(7,4)ハミング符号のビット誤り率

dmin=3であるので，t=1となり

2PSKを用いるときの復号後ビット誤り率

2

24352

973

21)1(37

)1(27

pPp

pppppP

eb

e

．スペクトル密度である

ギー対雑音電力ビットあたりのエネルは情報ここで

　

であるので

　

1/

)/)(7/4(49

)/)(7/4(21)/)(/(

21

0

2

0

00

NE

NEerfcp

NEerfcnkNEerfcp

b

bb

bb


符号化利得G

を符号化利得と言う．

　　

たときの値の比いときの値と符号化し比較する．符号化しなを要な）を確保するために必所要誤り率（例えば

　

る．り率は次式のようにな符号化しないときの誤

codedb

uncodedb

b

bb

NENEG

NE

NEerfcp

)/()/(

/10

/21

0

0

03

0


10-14

10-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

4 6 8 10 12 14

Haming (7,4)

No codedCoded

Eb/N0 (dB)


畳み込み符号のビット誤り率

下図のような符号器を用いるときの硬判定（ハミング距離）ビタビ復号と軟判定（ユークリッド距離）ビタビ復号の復号後ビット誤り率の解析は難しい．近似解析について述べる．

計算機シミュレーションによるビット誤り率特性と比較する．

入力xn

出力

c2n

c2n+1



復号後ビット誤り率の近似式

線形符号では誤りの生じた系列は同じ符号に含まれるので，全ての要素が0の符号語C0が送信されたものと考えて復号誤りを考察してよい．

符号語C0に最も近い符号語は，時点nで状態Aから離れ，状態B，状態Cを経て，時点n+3でAに合流する符号語である．

その符号語は，00…0011101100…00である．

ハミング距離は5である．

状態:A=(00)

状態:B=(01)

状態:C=(10)

A A A A A A

C

C

00

11

10

n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4

11


ハミング距離は5であるので，送信された6ビット系列(000000)に3個以上の誤りが生じたとき，復号誤りが発生する．

このときのパスメトリック最小の状態遷移はABCAであり，そのときの符号系列は(111011)である．

状態遷移ABCA（または符号系列(111011)）を与える情報ビット系列は(010)であるから，1ビット誤りを引き起こす．


復号後ビット誤り率の近似解

)"111011""000000Pr("1

)4(

1ACBA)3(

"111011"ACBAA)2(

)"111011""000000Pr(""111011""000000)"1(

b

bP

P　

きる．は次式のように近似でト誤り率以上より，復号後ビッさい．てしまう確率は充分小それ以外のパスに誤っ

生ずる．ビット誤りが出力にが選択されると，復号パス

がある．しまう可能性であると誤判定）して選択（送信符号系列が

をから離れパス状態どの時点においても，で表わす．

に誤る確率を確率


誤りパスの例

All “0” transmission

0 1 2 3 5 6 7 8 9

1bit error (001000000)2bit error (001010000)

C=(10)

Time

A=(00)

B=(01)

D=(11)


ハミング距離を用いる硬判定ビタビ復号

のとき　　　

きる．は次式のように近似でト誤り率以上より，復号後ビッ

のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　

であるから

　　

とするとビット判定誤り率を

生する確率ビット以上の誤りが発ビット中に●受信系列の

1,20

1,20

)1(6

)"111011""000000("obPr

)1(6

36

3

3

66

3

66

3

ppP

Ppp

ppk

ppk

p

b

b

kk

k

kk

k


　　符号化あり

なし　　　　　　　符号化

　

●まとめ

　

ときの判定誤り率は　一方，符号化なしの

　　

したがって，

になる．倍に減少するから，エネルギーが

ビットあたりの信号の符号化ではところで，符号化率

　

列の判定誤り率を用いるときの符号系●

3

0

0

0

3

0

0

21

2120

21

21

21

2120

1

21

2PSK

NE

erfcP

NE

erfcP

NE

erfcP

NE

erfcP

ERERR

NE

erfcp

bb

bb

bb

bb

bc

c

#n-1

#2n-2 # 2n-1 #2n #2n+1

#n情報ビット系列

符号化系列

Eb

Ec


)dB76.1(23

/

2/13

23exp203exp20

exp

,

exp21

0

00

0

00

デシベル表示では　　

る．の比）は次のようにな要な誤り率を得るために必同じビット（符号化なしとありで畳み込みの符号化利得

のビット，符号化率拘束長　これまで考えてきた

となる．

　符号化あり

　符号化なし

ように近似できる．ビット誤り率は次式のを用いると

（符号化利得）

G

NE

R

NE

NER

NE

P

NE

NEerfc

b

bb

b

b

bb


ユークリッド距離を用いる軟判定ビタビ復号

0ˆ

ˆ

ˆˆ

/2021

2

Reˆˆ

ˆ1~0:1ˆˆPSK2

0

1

0

*

CC

CC

CCCC

C

CC

LL

LL

L

TNwhP

wchPrN

hrcL

LNnc

cnn

nnnn

N

nnnn

n

　

形できる．上式は次式のように変　

．してしまうことになるたものと誤判定以外の系列が送信されが存在すれば送信系列たす系列であるとき，次式を満がを探索する．送信系列

を最大とする系列基づく最尤復号法では　ユークリッド距離にである．

の複素ガウス雑音で分散は平均はチャネル利得，

は受信電力，項が雑音成分．項が信号成分で，第ここで，第

　

し，は符号長である．ただ

　

最尤復号法を参照）．クリッド距離に基づく与えられている（ユー

は次式でのパスメトリック　符号系列

伝送を考える．　以下では簡単のため


0

0min

2

min

0min

0min

min

0

*min

1

0

*1

0

2

1

0

*1

0

*1

0

)/(4222exp

)/(4210Prob

0)/(40

22/0

Re20ˆ1

2ˆ0ˆˆ

Reˆˆ2

ReˆReˆ

dTNd

dPTNd

TNdWdPX

TNhwccc

hd

cccccc

WX

hwccccchP

hrcchrc

c

c

c

nnnnn

n

nn

nnnn

N

nnnnn

N

nnnnn

N

nnnnn

N

nnnn

N

n

　

となる確率は以上より，

で分散平均　　

とに注意すればのガウス変数であるこで分散は平均

であること，または，であるとする．ここで

め，殆どである．簡単のたとする）へ誤る場合が距離をグ近い系列（最小ハミンに最もハミング距離が　送信符号系列

である．，そうでなければが一致していればとところで，

　　　

　　　

　

．は次式のように表せる

C


である．ただし，号エネルギーを表す．符号ビット当たりの信はここで，

　　　　　　　

　　　　　　　

bc

cc

c

NPT

d

dPcc

cc

EREPTE

NEderfcdyt

dyTNd

yTNd

dTNd

dPTNd

c

1

21exp1

)/(42exp

)/(421

)/(4222exp

)/(4210Prob

0min

2

220min

2

0min

0

0min

2

min

0min

0min

min

#0

#0 #1 #n-1

#1 #k-1情報ビット系列

符号化系列

Eb

Ec 時間

Tb

Tc


0

0

0

0min

min

21

25

21

125

21

21)"111011""000000("Prob

2/15)111011(ˆ)000000(

NEerfcP

NEerfcP

P

NEerfc

NEdRerfc

Rd

bb

bb

b

b

b

　

きは一方，符号化なしのと

　

きる．は次式のように近似で復号後ビット誤り率

生するからビットの情報誤りが発とこの系列が選択される

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　

であるからである．であるから，

い符号系列はとする．それに最も近送信符号系列を

CC


符号化利得G

利得が得られる化ビ復号より大きな符号）になる．硬判定ビタ表示では

（デシベル得られる符号化利得はビタビ復号したときに

定の畳み込み符号を軟判ビット，生成多項式　拘束長

を符号化利得と言う．

　　

たときの値の比いときの値と符号化し比較する．符号化しなを要な）を確保するために必所要誤り率（例えば

dB98.35.2

)5,7(3

)/()/(

/10

8

0

0

03

G

NENEG

NE

codedb

uncodedb

b

入力xn

出力

c2n

c2n+1



硬判定ビタビ復号

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 5 10 15

Uncoded(Theory)Hard Decision Viterbi(Theory)Uncoded(Simulation)Hard Decision Viterbi(Simulation)

Ave

rage

BER

Average received Eb/N0 [dB]


軟判定ビタビ復号

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 5 10 15

Uncoded(Theory)Soft Decision Viterbi(Theory)Uncoded(Simulation)Soft Decision Viterbi(Simulation)

Ave

rage

BER



軟判定と硬判定ビタビ復号の比較

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

0 5 10 15

Uncoded(Theory)Hard Decision Viterbi(Hard)Soft Decision ViterbiUncodedHard Decision Viterbi(Simulation)Soft Decision Viterbi(Simulation)

Ave

rage

BER



３．５インターリーブ


符号化系列のインターリーブ

これまで述べてきた誤り訂正符号化は，ランダムに発生する誤りを訂正するランダム誤り訂正符号化である．

ところが，通信路では通信路状態が連続して悪化する場合がある．これは通信路に記憶があるからである．この場合，ランダム誤り訂正符号化を用いて訂正できない誤りが発生する場合がある．

そこで，符号化系列の時間的順番を入れ換えて通信路に送出し，受信側でもとの順番に戻すことにより，記憶の無い通信路に近い状態に変換する．これをインターリーブ（交錯）という．

連続して発生した雑音を時間的に離すことができるから，1符号語の

なかに複数のビットが誤ることがなくなって，ランダム誤り訂正符号で誤り訂正できるようになる．

誤り訂正符号化器

インターリーバ

誤り訂正復号器

デ・インターリーバ

無線通信路


ブロックインタリーバ

デ・インターリーバーは，連続して発生したビット誤りを時間的に離すことができる．これにより，１符号語の中に多数のビット誤りが含まれることがなくなって，誤り訂正符号の復号器で訂正できるようになる．

n x mﾋﾞｯﾄ

ﾌﾞﾛｯｸｲﾝﾀﾘｰﾊﾞｰ

書き込み

読み出し

送信側

n x mﾋﾞｯﾄ

ﾃﾞ･ﾌﾞﾛｯｸｲﾝﾀﾘｰﾊﾞｰ

読み出し

書き込み

受信側

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

1 917 2533414957 2 10182634425058 3 11192735435159

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

8×8インタリーバ入力

通信路

デ・インタリーバ出力

×× ×

×××雑音による誤り


畳み込みインタリーバ

連続して発生した雑音を時間的に離すことができるから，１符号語のなかに複数のビットが影響を受けることがなくなって，誤り訂正符号の復号器で訂正できるようになる．

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

1 4 7 2 10 5 13 8 3 1611 6 1914 9 221712

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324

インタリーバ入力

通信路

デ・インタリーバ出力

×× ×

通信路

インタリーバデ･インタリーバ

×××雑音による誤り

誤り訂正符号化器

誤り訂正復号器


まとめ

誤り訂正符号化（Forward Error Correction: FEC）により帯域拡大が

発生するから雑音電力が増加するため，ビット誤り率が増加してしまう．しかし，その誤りを訂正することができるので，結局，符号化前よりも復号後のビット誤り率特性が向上する．

FECは，いまやほとんど全ての通信システムに利用されている．

本章では，自動再送(Automatic Repeat Request: ARQ)については触れなかった．ARQでは送信データ系列をパケット化し，そのパケットが正しく受信されるまで再送を繰り返す．

ARQとFECを組み合わせたのがハイブリッド自動再送(Hybrid ARQ:HARQ)である．

携帯電話など最近の無線システムではパケットサービスが主流になりつつある．HARQはこのようなシステムに利用できる．


演習問題3.1

1,..,1,0for ,0)(1

0,

knjccgxc jj

k

ijiijj

T 　　　

示せ．次式が成り立つことを

HC

第3章 - tohoku university official english website...fa/tohoku u 応用電気通信工学 9...

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