第7章 面積和體積（三） · 2020. 2. 14. · 初中數學新探索3b（第二版）...
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初中數學新探索 3B（第二版）
面積和體積（三）
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第 7章 面積和體積（三）
7.0 課前熱身
7.1 棱錐
7.2 圓錐
7.3 球體
7.4 長度、面積及體積的維數
7.5 相似平面圖形及立體圖形
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7.0
姓名：_________________________ 班別：__________________( )
本練習中，除特別指明外，如有需要，答案須準確至三位有效數字。
1. 圖中所示為扇形 OAB。
(a) 求AB。
(b) 求扇形 OAB的面積。
（答案以 表示。）
求下列（第 2 3題）各圖中陰影部分的周界及面積。
2. 3.
108
20 cm
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求下列（第 4 6題）各立體的體積及總表面面積。
4. 5.
6.
7. 圖中，ABCD及 PQRS為相似圖形。求 x及 y的值。
5 cm
7 cm
求總表面面積時，先求
BC。
注意 ABC為一直角
三角形。
所有對應邊均有相同的比例
因子。
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7.1
姓名：_________________________ 班別：__________________( )
棱錐 （參閱 3B冊 第 7章，頁 7.5 – 7.11。）
要點提示
考慮圖中的棱錐。
1. 體積 Ah3
1
2. 總表面面積
= 底面積 + 側面的總面積
1. 判別以下各多面體是否正棱錐。
(a) (b)
是 / 否 是 / 否
2. 參考所給的棱錐，利用以下詞語完成填充題。
底 高 斜棱 側面
(a) VB為 ____________________。
(b) VP為 ____________________。
(c) VCD為 ____________________。
(d) ABCD為 ____________________。
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求下列（第 3 6題）各棱錐的體積。
3. 4.
ABCD為一長方形。
解：
體積 = 3
1cm3
=
5. 6.
ABCD為一平行四邊形。 ABCD為一正方形。
7. 圖中所示為一直立棱錐，其底為一正方形。
(a) 求 VAB的面積。
(b) 求 VABCD的總表面面積。
該棱錐的 4個側面大小
相同。
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求下列（第 8 9題）各題中的未知數。
8. 9.
體積 = 1400 cm3 總表面面積 = 168 cm3
10. 圖中所示為一直立棱錐，其底為一長方形。求
(a) MC，
(b) VM，
(c) 棱錐的體積。
11. 圖中，ABCDEFGH為一平截頭體，其兩底均為長方形。若 VEFGH的體積為 94.5 cm3，
求該平截頭體的體積。
解：
平截頭體的體積
= VABCD的體積 – VEFGH的體積
=
利用畢氏定理求直角三
角形的未知邊長。
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7.2
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圓錐 （參閱 3B冊 第 7章，頁 7.15 – 7.22。）
要點提示
考慮圖中的直立圓錐。
1. 體積 hr 2π3
1
2. 曲面面積 = rl
3. 總表面面積 = rl + r2
本練習中，除特別指明外，如有需要，答案須準確至三位有效數字。
1. 圖中所示為一直立圓錐。判別以下各式是否正確。
(a) 體積 )20()24(π3
1 2 cm3 ___________
(b) 曲面面積 = (12)(16) cm2 ___________
2. 求圖中的直立圓錐的體積，答案以 表示。
解：
體積 = π3
1cm3
=
3. 求高為 6 cm及底半徑為 9 cm的直立圓錐的體積。
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4. 一直立圓錐的底半徑為 7 cm。若該圓錐的體積為 196 cm3，求它的高。
5. 求圖中的平截頭體的體積。
6. 求圖中的直立圓錐的曲面面積，答案以 表示。
解：
曲面面積 = π cm2
=
7. 求底半徑為 8 m及斜高為 13 m的直立圓錐的總表面面積。
8. 一直立圓錐的底半徑為 15 cm。若該圓錐的總表面面積為 360 cm2，求它的斜高。
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9. 圖中所示為一直立圓錐，其斜高為 15 cm。它的底圓周為
14 cm。
(a) 求圓錐的底半徑。
(b) 求圓錐的總表面面積，答案以 表示。
10. 圖中所示為一直立圓錐，其底半徑及高分別為 5 cm及 12 cm。
(a) 求它的斜高。
(b) 求它的總表面面積。
(c) 求它的體積。
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7.3
姓名：_________________________ 班別：__________________( )
球體 （參閱 3B冊 第 7章，頁 7.27 – 7.31。）
要點提示
考慮圖中的球體。
1. 體積 33
4r
2. 表面面積 = 4r2
求下列（第 1 2題）各球體的體積及表面面積，答案須準確至二位小數。
1. 2.
解：
體積 = π3
4cm3
=
表面面積 = π4 cm2
=
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求下列（第 3 4題）各半球體的體積及總表面面積，答案以 表示。
3. 4.
5. 求體積為 972 cm3的球體的半徑。
6. 求體積為 2250 m3的半球體的半徑。
7. 某工廠生產一款空心金屬球，其厚度為 1 cm。若該款金
屬球內的空間的體積為 2100 cm3，求金屬球的外直徑。
（答案須準確至三位有效數字。）
先求金屬球的內半徑。
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8. 把一半徑為 8 cm的金屬球熔鑄成一些半徑為 4 cm的小金屬球。共可製成多少個小金
屬球？
9. 求表面面積為 121 m2的球體的半徑。
10. 求總表面面積為 507 cm2的半球體的半徑。
11. 圖中，半球體的底圓周為 40 cm。
(a) 求 r的值。
(b) 求半球體的曲面面積，答案以 表示。
12. 圖中所示的立體圖形由一直立圓錐及一半球體組成。兩部分
的底相同。圓錐的底半徑及高分別為 6 cm及 8 cm。求該立
體圖形的總表面面積，答案以 表示。
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7.4
姓名：_________________________ 班別：__________________( )
長度、面積及體積的維數 （參閱 3B冊 第 7章，頁 7.35 – 7.37。）
要點提示
1. 長度為線性量度，它的維數為 1。
2. 面積為二次量度，它的維數為 2。
3. 體積為三次量度，它的維數為 3。
1. 圖中，從一長方形中剪去一邊長為 a cm的正方形。判別下列各數式所量度的維數。
(a) 2(2a + b)
(b) a(2b a)
2. 圖中所示為一圓柱。判別下列各數式所量度的維數。
(a) hr2
2
1
(b) 2rh
3. 圖中所示為一長方體。寫出一屬於下列各量度類型的數式。
(a) 二次量度
(b) 三次量度
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7.5
姓名：_________________________ 班別：__________________( )
相似平面圖形及立體圖形 （參閱 3B冊 第 7章，頁 7.38 – 7.47。）
要點提示
1. 若兩個相似平面圖形的面積為 A1及 A2，而對應邊為 l1及 l2，則
2
2
1
2
1
l
l
A
A。
2. 若兩個相似立體圖形的體積為 V1及 V2、對應面積為 A1及 A2，而對應邊
為 l1及 l2，則
2
2
1
2
1
l
l
A
A 及
3
2
1
2
1
l
l
V
V。
下列（第 1 2題）各對相似平面圖形中，求 A的面積與 B的面積之比。
1. 2.
求下列（第 3 4題）各對相似平面圖形中的未知數。
3.
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4.
5. 圖中，ABCD及 AEFG為相似平面圖形。若 AE = 2 cm、
AB = 6 cm及 ABCD的面積為 54 cm2，求陰影部分的面
積。
下列（第 6 7題）各對相似立體圖形中，求 A的體積與 B的體積之比。
6. 7.
求下列（第 8 11題）各對相似立體圖形中的未知數。
8.
AE及 AB為對應邊。
面積
150 cm2
面積
a cm2
5 cm
2 cm
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10.
11.