第8講：確率変数(連続の場合)

平成 16年 12月 1日

連続分布� �

• 連続型確率変数 continuous random variable: X の取り得る値が連続的な範囲の全体

• 確率密度関数 probability density function: 次の性質を満たす関数 f(x):

P (a ≤ X ≤ b) =∫ ba

f(x) dx

ただし、−∞ ≤ a < b ≤ ∞• 分布関数 (cumulative) distribution function:

F (x) = P (X ≤ x) =∫ x−∞ f(y) dy

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1

密度・分布関数の性質� �

• 密度関数の性質:1. f(x) ≥ 02.

∫∞−∞ f(x) dx = 1

• 分布関数の性質:1. F (x) は単調増加2. F (x) は右連続3. F (−∞) = 0, F (∞) = 1

• 密度関数と分布関数の関係:

f(x) =d

dxF (x)

� �

2

期待値と分散� �

密度関数 f(x) をもつ確率変数 X に対し

• 期待値 (平均) expectation:

E(X) =∫ ∞−∞ xf(x) dx

• 分散 variance:

V (X) =∫ ∞−∞[x − E(X)]

2f(x) dx

• r次のモーメント (積率) moment:

E(X r) =∫ ∞−∞ x

r f(x) dx

• モーメント母関数 moment generating function:

MX(t) = E(etX) =

∫ ∞−∞ e

txf(x) dx

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3

一様分布 uniform distribution� �

確率変数 X が区間 [a, b]の中で全ての点を同じ確からしさで取る。

• 密度関数f(x) =

1

b − a I[a, b](x)ただし、IA は定義関数で

IA(x) ≡⎧⎪⎨⎪⎩

1 if x ∈ A0 if x �∈ A

• 分布関数

F (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

0 if x < ax−ab−a if a ≤ x ≤ b1 if x > b

� �

4

一様分布 つづき� �

• 期待値: E(X) = (a + b)/2∫ ∞−∞ xf(x) dx =

1

b − a∫ ba

x dx

=1

b − a{1

2x2

}ba

=a + b

2

• 分散: V (X) = (b − a)2/12

V (X) =∫ ∞−∞[x − E(X)]

2f(x) dx

=∫ ba

(x − a + b2

)21

b − a dx

=1

b − a{1

3(x − a + b

2)3

}ba

=(b − a)2

12� �

5

正規分布 normal distribution� �

µ を実数、σ を正数とする

• 密度関数f(x) =

1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2

• 記号： X ∼ N(µ, σ2)• 標準正規分布 standard normal distribution: N(0, 1)

f(x) =1√2π

e−x2

2

次の恒等式に注意 ∫ ∞−∞ e

−x22 dx =

√2π

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6

正規分布 （つづき）� �

正規分布 N(µ, σ2) の平均と分散:

• 期待値: E(X) = µ• 分散:　 V (X) = σ2

平均についての証明:

E(X) =∫ ∞−∞ xf(x) dx

=∫ ∞−∞ x

1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx

=∫ ∞−∞[(x − µ) + µ]

1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx

= µ∫ ∞−∞

1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx +∫ ∞−∞(x − µ)

1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx

y=x−µ= µ +

1√2πσ

∫ ∞−∞ y e

− y22σ2 dy

= µ� �

7

正規分布の積率母関数� �

X ∼ N(µ, σ2) のとき、MX(t) = exp{µt + σ

2t2

2

}

証明

E(eXt) =∫ ∞−∞ e

xtf(x) dx

=∫ ∞−∞ e

xt 1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 dx

=∫ ∞−∞

1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2+xt dx

=∫ ∞−∞

1√2πσ

exp

⎧⎨⎩−

[x − (µ + σ2t)]22σ2

+ µt +σ2t2

2

⎫⎬⎭ dx

= exp

⎧⎨⎩µt +

σ2t2

2

⎫⎬⎭

∫ ∞−∞

1√2πσ

exp

⎧⎨⎩−

[x − (µ + σ2t)]22σ2

⎫⎬⎭ dx

= exp

⎧⎨⎩µt +

σ2t2

2

⎫⎬⎭

� �

8

正規分布 （つづき）� �

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

s=2

s=1

s=0.5

� �

9

ガンマ分布 gamma distribution� �

• 正の値を取る確率変数で、次の密度関数をもつ

f(x) =λα

Γ(α)xα−1e−λx I[0,∞)(x)

ただし、α, λ > 0で, Γ(α) はガンマ関数

Γ(α) =∫ ∞0

xα−1e−x dx

• 記号： X ∼ Ga(α, λ)• 平均： E(X) = α/λ• 分散： V (X) = α/λ2

ガンマ関数の性質:

Γ(1) = 1 , Γ(1

2) =

√π

Γ(z + 1) = zΓ(z) , Γ(n) = n! (n : 自然数)� �

10

ガンマ分布 (つづき)� �

f(x) が密度関数であるための証明

∫ ∞−∞ f(x) dx =

∫ ∞0

λα

Γ(α)xα−1e−λx dx

y=λx=

λα

Γ(α)

∫ ∞0

(y

λ)α−1e−y (

1

λdy)

=λα

Γ(α)

∫ ∞0

λ−αyα−1e−y dy

= 1� �

11

ガンマ分布（つづき）� �

λ = 1 のとき

0 2 4 6 8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

a=3

a=2

a=1

� �

12

指数分布 exponential distribution� �

• ガンマ分布 Ga(1, λ)で、密度関数：

f(x) = λe−λxI[0,∞)(x)

• 平均： E(X) = 1/λ• 分散： V (X) = 1/λ2

� �

13

指数分布（つづき）� �

0 2 4 6 8

0

1

2

3

4

5

l=1ê5

l=1ê3

l=1

� �

14

ベータ分布 beta distribution� �

• (0, 1)上の値を取り、密度関数：

f(x) =1

B(α, β)xα−1(1 − x)β−1 I(0, 1)(x)

ただし、B(α, β) はベータ関数で

B(α, β) =∫ 10

xα−1(1 − x)β−1 dx

• 記号： X ∼ Be(α, β)• 平均： E(X) = α/(α + β)• 分散： V (X) = αβ/ {(α + β)2(α + β + 1)}

ベータ関数とガンマ関数の関係

B(α, β) =Γ(α)Γ(β)

Γ(α + β)� �

15

ベータ分布 (つづき)� �

α = 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

b=8

b=5

b=2

� �

16

ベータ分布 (つづき)� �

β = 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1

2

3

a=9

a=6

a=3

� �

17

ワイブル分布 Weibull distribution� �

• 正の値を取り、密度関数：

f(x) =b

abxb−1e−(

xa)

b

I(0,∞)(x)

• 平均： E(X) = aΓ(1 + 1b)

• 分散： V (X) = a2{[

Γ(2 + 1b) − Γ(1 + 1b )]2}

ワイブル分布は

• 寿命• 成長曲線

などの解析によく使われる。� �

18

ワイブル分布 (つづき)� �

a = 2

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

b=8

b=5

b=2

� �

19

ワイブル分布 (つづき)� �

b = 2

0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

a=5

a=3

a=1

� �

20

対数正規分布 log-normal distribution� �

• 正の値を取り、密度関数：

f(x) =1√

2πσxexp

⎧⎨⎩−

(log x − µ)22σ2

⎫⎬⎭ I(0,∞)(x)

• 記号： X ∼ LN(µ, σ2)• 平均： E(X) = eµ+σ2/2

• 分散： V (X) = e2µ+2σ2 − e2µ+σ2

定理 正規分布と対数正規分布の関係

log X ∼ N(µ, σ2) =⇒ X ∼ LN(µ, σ2)� �

21

対数正規分布 (つづき)� �

σ = 1

0 5 10 15 20 25 30

0

0.05

0.1

0.15

0.2

m=3

m=2

m=1

� �

22

対数正規分布 (つづき)� �

µ = 2

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

s=3

s=2

s=1

� �

23