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微分積分Ⅰ演習問題集

堀邊　稔

目次

第章微分積分学を学習するための準備

数列の極限

関数とその連続性

逆関数・合成関数とその連続性

第章１変数関数の微分法

微分係数・導関数

導関数の計算

高階導関数

平均値の定理

テーラーの公式

第章微分法の応用

極大・極小

凸凹と変曲点

不定形の極限

近似値・漸近線

第章多変数関数の微分法

偏微分係数と偏導関数

全微分可能性と高階偏導関数

合成関数の微分法

テーラーの公式多変数関数の場合

テーラーの公式の応用

第章陰関数

陰関数の存在定理

陰関数の存在定理の応用

第章微分積分学を学習するた

めの準備

数列の極限

次の式で表わされる楕円の点での接線を求めよ。

であるとき、点から出た光が、この楕円面で反射され

て、軸を再び横切る時、横切る点を求めよ。楕円面で反射された光は、

反射する点で楕円面に接するように置かれた平面鏡によって反射された

光と同じ軌跡を描く。

次の式で表わされる放物線の点での接線を求めよ。

軸の正の方向から、入射した光は、この放物面で反射され、ｙ軸を横切

る点を求めよ。反射のルールは、上の場合と同じである。


双曲線は、

と変数を使って表される。であるときの双曲線上の点に

おける接線を求めよ。

次の量でをゼロに近づけたときの値を求めよ。

正の整数　

収束数列の次の基本的な性質を証明せよ。がともに収束

数列であるとする。

のとき

に対してが成り立てば

はさみうちの原理数列が、すべてのについて不等式

を満たし、かつであれば、数列も収束し、さらに　

が成立する

数列の極限

次の数列の極限値をもとめよ。




次の数列が収束するかどうかを調べ、収束すれば、その極限値を


もとめよ。

数列について考える。

いま狭義単調増加な自然数の数列に対

してを数列の部分列と呼ぶ。部分列に関して次の命

題が成り立つことを示せ。

「数列が収束すれば、のどんな部分列も同じに収束する。」

この命題を用いて次の数列は発散することを示せ。

を小数展開したときの小数点以下第桁目の数をとして定まる数列

関数とその連続性

の点列が点に収束するための必要十分は、で

あるすべてのについてのの第座標がの第座標に収束

ｓることである。このことを証明せよ。

次の関数の極限値を求めよ。


次の関数のでの連続性を調べよ。

次の量の和を求めよ。


定義域値域の場合の逆関数

を求めよ。

双曲線関数を次の式により定義する。

の逆関数

の逆関数

の逆関数


を求めよ。

次の等式を証明せよ。

次の式に適するの値を求める。

次の等式を証明せよ。

次の極限値を求めよ。


次の極限値を求めよただし。





定義に基づいて次の関数のにおける微分係数を求めよ。

定義に基づいて次の関数のにおける微分係数を求めよ。

角度が小さい時、

ここで、

と近似出来ることをつかって、入射角度、反射角度、屈折角度等が小さ

い時、凹面鏡、凸レンズに対して、


が成り立つことを証明せよ。但し、、、、はそれぞれ、レンズまた

は凹面鏡から物体までの距離、実像までの距離、凹面鏡の半径、レンズ

の面の曲面の半径である。

凹面鏡で反射される光と凸レンズを通過する光の軌跡

次の関数のにおける片側微分係数を求めよ。

　

であることと、三角関数の関係式


を使って、次の式を証明しなさい。

と同様に、次の式を証明しなさい。

を使って、

を示せ。

定義に基づき次の関数の導関数を求めよ。

定義に基づき次の関数の導関数を求めよ。


導関数の計算

関数が微分可能のとき、次の式

が成立することを示せ。

次の関数の導関数を求めよ。

次の等式を証明せよ（いずれの関数も微分可能とする）。

導関数の計算

　次の関数の導関数を求めよ。

はそれぞれの逆関数

　が微分可能である時次の式がは成立することを証明

せよ。

　次の関数の導関数を求めよ。


次の等式を証明せよ（いずれの関数も微分可能とする）。

高階導関数

次の関数の解の導関数を求めよ。


とおく。

を計算せよ。

とおくと、

高階導関数

が成り立つことを示せ。で得られた等式の両辺を回

微分することにより

が成り立つことを示せ。

はルジャンドルの多項式と呼ばれる。

次式で定義される多項式、

をの多項式と呼ぶ。

を計算せよ。

次式

を証明せよ。

必要ならばで証明した式を使って次の式を証明せよ。

で証明したつの式を使って、階の微分方程式

が成立することを証明せよ。

を

と定義するとき、が階の微分方程式


を満たすことを示せ。


の解の導関数が

となることを証明せよ。

平均値の定理

においてが微分可能で、

ならば、

となるが存在することを示せ。

とすればは次の多項式である。

を求めよ。またそれぞれの多項式のグラフ

の概略図をかけ。


は個の相異なる実根を持ち、それらの根はの根

によって隔離されることを示せ。

とすればは次の多項式である。

を求めよ。またそれぞれの多項式のグラフの概

略図をかけ。

は個の相異なる実根を持ち、それらの根はの根

によって隔離されることを示せ。

とすればは次の多項式であり、の多項式と呼ばれる。

を求めよ。またそれぞれの多項式のグラフの概

略図をかけ。

は個の相異なる実根を持ち、それらの根はの根に

よって隔離されることを示せ。


次の関数の指定された点におけるテーラーの公式を記述せよ。

を求めよ。

上の結果を使って、のべき展開を求めよ。


のでの　階の微分係数を求めよ。

次式で定義される関数

において、次の問いに答えよ。

を求めよ。

上で定義した関数が、

と書けることを示せ。

最初に定義した式と指数関数のテーラー展開

の式を使って、


曲線

　

　

のでの接線を求めよ。

である点での接線とである点での接線との交点

が、

となることを証明せよ。


極大・極小

次の関数の極値を求めよ。

上の点で定点との間の距離が最少になる

ようなものを求めよ。

半径の球に内接する直円柱のうちで体積が最大になるものの高

さ、および体積を求めよ

区間上（下に）凸な関数に関し、

に対して不等式

が成り立つことを証明せよ。また、

に上の結果を適用してに対し不等式

が成り立つことを示せ。

次の不等式を証明せよ。

凸凹と変曲点

凸凹と変曲点

次の関数の凹凸を調べよ。また、変曲点を求めよ。

を証明せよ。

でが成り立つことを示せ。

次関数の変曲点を求めよ。さらに

のグラフは変曲点に関して対称であることを証明せよ。

不定形の極限



近似値・漸近線

次の関数のグラフの漸近線を求めよ。


偏微分係数と偏導関数

次の関数の指定された点における偏微分係数を求めよ

次の関数の偏導関数を求めよ。


次の関数の各変数に関する偏導関数を求めよ。

また、上の導関数を成分とする二つの行列、

のそれぞれの行列式を求めよ。


半径の球面上の点上での接平面

を求めよ。

関数

に対して、

を求めよ。また、関数

に対して、


を求めよ。

関数、

に対して、

を求めよ。ここで、

である。

関数、

に対して、

を求めよ。

関数が

を満たすとき調和関数という。次の関数が調和関数であることを示せ。

が


のとき、から定義される関数

も

をみたすことを示せ。

合成関数の微分法

変数の関数

に対して、

であるとき、を計算しなさい。

の合成関数と考えての導関数を求めよ。

のとき、をおよびを用いて表せ。

テーラーの公式多変数関数の場合

　



次の関数の極値を求めよ。

周が一定の三角形のうち、面積最大のものを求めよ。

第章陰関数

陰関数の存在定理

方程式表される曲線の点での接線と法線の式

を求めよ。

次の関係式で定まる微分可能な陰関数の導関数を求めよ。

級である関数に対して

を満たすの関数の次の導関数が

であることを証明せよ。ここで、

である。

次の関係式で定まる微分可能な陰関数の次、次導関

数を求めよ。

第章陰関数

陰関数の存在定理の応用

の条件のもとでの最大値、最小値を求めよ。






次の曲線が接するようにを求めよ。

辺の長さの和がである長方形の内で面積が最大のものを求めよ。

辺の長さの和がである三角形の内で面積が最大のものを求めよ。

　

辺の長さがである四辺形の中で面積が最大のものを求

めよ。

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