calcul sectional (seminar an ii)

Calculul simplificat al secţiunilor din beton armat

1

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI

CALCULUL SIMPLIFICAT AL SECŢIUNILOR DIN BETON ARMAT

‐ Exemple de calcul ‐


2

Tablă de materii

1 Generalităţi .................................................................................................................................................................... 3

1.1 Rezistenţele materialelor ........................................................................................................................................ 3

1.1.1 Betonul ............................................................................................................................................................. 3

1.1.2 Armăturile ........................................................................................................................................................ 3

1.2 Ipoteze de calcul pentru secţiuni ............................................................................................................................ 4

1.3 Metoda simplificată pentru secţiuni ....................................................................................................................... 5

1.3.1 Determinarea înălţimii limită a zonei comprimate (înalţimea de balans) ....................................................... 5

1.3.2 Procentul minim de armare ............................................................................................................................. 6

2 Calculul secţiunilor solicitate la moment încovoietor .................................................................................................... 6

2.1 Secţiuni dreptunghiulare simplu armate ................................................................................................................ 6

2.1.1 Problema de verificare ..................................................................................................................................... 7

2.1.2 Problema de dimensionare .............................................................................................................................. 9

2.2 Secţiuni dreptunghiulare dublu armate ................................................................................................................ 11

2.2.1 Problema de verificare ................................................................................................................................... 12

2.2.2 Probleme de dimensionare ............................................................................................................................ 14

2.3 Secţiuni in forma de T ........................................................................................................................................... 18

2.3.1 Problema de verificare ................................................................................................................................... 19

2.3.2 Problema de dimensionare ............................................................................................................................ 21

2.4 Calculul secţiunilor la încovoiere cu forţă axială ................................................................................................... 23

2.4.1 Compresiune excentrică cazul I ..................................................................................................................... 24

3 Biliografie ..................................................................................................................................................................... 29


3

CALCULUL SIMPLIFICAT AL SECŢIUNILOR DIN BETON ARMAT

1 Generalităţi

NOTA: În aplicaţile de la acest seminar se vor utiliza doar betoane obşinuite (f 50MPa .

1.1 Rezistenţele materialelor

1.1.1 Betonul

rezistenţa de calcul a betonului la compresiune.

rezistenţa caracteristică a betonului la compresiune

1,5 coeficient parţial de siguranţă pentru beton, asociat încărcărilor permanente, tranzitorii şi

seismice.

Tabel 1.1 Caracteristicile de rezistenţă şi de deformaţie ale betonului

1.1.2 Armăturile

rezistenţa de calcul a oţelului la curgere.

rezistenţa caracteristică a betonului la compresiune

1,15 coeficient parţial de siguranţă pentru armătura, asociat încărcărilor permanente, tranzitorii şi

seismice.


4

Tabel 1.2 Caracteristicile armăturilor flexibile (Kiss, Onet 2008)

1.2 Ipoteze de calcul pentru secţiuni

1. Ipoteza Navier Bernoulli – Secţiunile plane şi normale pe axa elementului răman plane şi normale şi

după deformaţie.

2. Nu exista lunecare relativa intre armaturi si beton.

3. Se neglijeaza rezistenta la intindere a betonului.

4. Legea constitutiva pentru beton:

Fig. 1.1 Relaţia simplificată efort unitar – deformaţie specifică pentru beton (SR‐EN 1992‐1‐1)

5. Legea constitutivă pentru armătură:

Fig. 1.2 Relaţia simplificată efort unitar – deformaţie specifică bilinară pentru armătură (SR‐EN 1992‐1‐1)


5

6. Cedarea secţiunii are loc când deformaţia în cel puţin un punct al secţiunii atinge valoarea limită

corespunzătoare materialului.

1.3 Metoda simplificată pentru secţiuni

Fig. 1.3 Diagrame de efort şi deformaţie simplificate pentru secţiuni ( SR‐EN 1992‐1‐1)

Pentru betoane obişnuite (f 50MPa coeficienţii blocului rectangular şi iau următoarele valori:

0,8 si 1

Convenţie. Deoarece pentru aplicaţile următoare se vor utiliza betoane obişnuite, iar pentru aceste

tipuri de betoane 1, în continuare se va renunţa la acest coeficient.

Pentru betoane obişnuite 3,5 ∙ 10

1.3.1 Determinarea înălţimii limită a zonei comprimate (înalţimea de balans)

Limitarea zonei comprimate este necesară pentru asigurarea intrării în curgere a armăturii ( ,

astfel obţinându‐se o utilizare eficientă a armăturilor. reprezintă înălţimea zonei comprimate

corespunzătoare situaţiei în care deformaţia specifică ultimă a betonului în fibra extremă comprimată

se atinge concomitent cu intrarea în curegere a armăturii ( atingerea ).

→

→

→ ∙


6

1.3.2 Procentul minim de armare

În momentul fisurării are loc un transfer de eforturi de la betonul întins care fisurează către armături,

conducând la creşterea efortului în armături. Dacă acest efort conduce la ruperea armăturilor, elementul

de beton armat are o comportare fragilă, similară comportării unui element de beton simplu. Creşterea de

efort în armatură este cu atât mai mare cu cât procentul de armare este mai mic. Există un procent minim

de armare, pentru care comportarea non‐nonfragilă este asigurată, care corespunde condiţiei ca

momentul de fisurare să fie egal cu momentul capabil al secţiunii.

0,26 ∙ ; 0,26 ∙ ∙ 100

coeficient de armare

procent de armare

rezistenţa medie la întindere a betonului

0,3 ∙ / pentru betoane obişnuite sau vezi tabel 2.4 din SR‐EN 1992‐1‐1

2 Calculul secţiunilor solicitate la moment încovoietor

2.1 Secţiuni dreptunghiulare simplu armate

0 → 0 1

0 → ∙2

2

0 → ∙2

3

∙

/2

1

2


7

2.1.1 Problema de verificare

Cunoscute: , , , , , ţ ,

Necunoscute: ,

momentul capabil al secţiunii

momentul de calcul

Etape de calcul

1. Determinarea rezistenţelor de calcul ale materialelor

2. Verificarea condiţiei de non‐fragilitate

3. Din ecuaţia (1) se determină → .

4. Se determină şi se verifică .

5. Se determină înlocuind în una din ecuaţile (2) sau (3) şi se verifică dacă .

Aplicatia 2.1


Beton C 20/25 → 20 /

1,520 /

1,513,33 / → 13,33 /

2,2 / (tabel 2.4 SREN 1992‐1‐1) sau 0,3 ∙ 20 / / 2,21 /

Otel S 500 → 500 /

1,15500 /

1,15435 / → 435 /

30

60

316

Date cunoscute:

Materiale: C 20/35 ; S 500 clasa C

Caracteristici geometrice: b=30 cm ; h=60 cm ; 35 mm

Armătura: 316

Efort efectiv M=100 KNm

Cerinte: , Verificarea secţiunii


8

2. Verificarea coeficientului minim de armare

0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

∙4

3 ∙164

3 ∙ 201 603

∙

603300 ∙ 565

0,0035

600 35 565

diametrul barei

numărul de bare

3. Determinare x

∙∙

603 ∙ 435 /300 ∙ 13,33 /

65,6 → 65,6

65,6 → 0,8 ∙ 65,6 → 82

4. Verificarea conditiei de balans

∙

435 /

2,1 ∙ 10 /2,07 ∙ 10

3,5 ∙ 10

565 ∙3,5 ∙ 10

2,07 ∙ 10 3,5 ∙ 10→ 355 82

5. Determinarea şi verificarea secţiunii

∙2

603 ∙ 435 / ∙ 56565,6

2139598721

139598721 ∙ 10 → 139,6 100


9

2.1.2 Problema de dimensionare

Cunoscute: , , , , ,

Necunoscute: ,

momentul de calcul

Etape de calcul


2. Din ecuaţia (2) rezolvând ecuaţia de gradul 2 în rezultă relaţia:

∙ 1 12 ∙∙ ∙

3. Introducând în ecuaţia (1) rezultă , :

,

4. Se aleg diametre astfel încât , ,

Diametrele utilizate pentru armătura longitudinală sunt: 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25. Este recomandabil să

se utilizeze maxim două diametre pentru o parte a secţiunii.

5. Verificarea condiţiei de non‐fragilitate (

6. Se determină introducând , în ecuaţia (1) şi se verifică

, 0 → ,

Aplicatia 2.2


Beton C 20/25 → 20 /

1,520 /

1,513,33 / → 13,33 /

30

60

316

Date cunoscute:




Cerinte: Armarea secţiunii


10

2,2 / (tabel 2.4 SREN 1992‐1‐1) sau 0,3 ∙ 20 / / 2,21 /

Otel S 500 → 500 /

1,15500 /

1,15435 / → 435 /

2. Determinarea x

∙ 1 12 ∙

∙ 2 ∙565 1 1

2 ∙ 100 ∙ 106 ∙

300 ∙ 56522∙ 13,33 / 2

→

46,5

3. Determinarea ,

, 300 ∙ 46,5 ∙ 13,33 /

435 /428

Alegerea , ‐ Propun 314

, ∙4

3 ∙144

3 ∙ 153 → , 462

diametrul barei

numărul de bare


0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

∙

462300 ∙ 565

0,0027

600 35 565

5. Verificarea condiţiei de balans

, 0 → ,

462 ∙ 435 /300 ∙ 0,8 ∙ 13,33 /

62,8

∙

435 /

2,1 ∙ 10 /2,07 ∙ 10 ; 3,5 ∙ 10

565 ∙3,5 ∙ 10

2,07 ∙ 10 3,5 ∙ 10→ 355 62,8


11

2.2 Secţiuni dreptunghiulare dublu armate

Ecuaţile de echilibru static sunt similare ca în cazul secţiunilor simplu armate dar trebuie adăugat şi

acţiunea armăturilor comprimate.

Condiţia ca armăturile întinse să intre în curgere .

Determinarea condiţiei ca armăturile comprimate să intre în curgere

0 → 0 1

0 → ∙ ∙2

≅ ∙ 2

0 → ∙ ∙2

3

∙

1

2

∙

→

→ ∙


12


Cunoscute: , , , , , , , ,

Necunoscute: ,

momentul capabil al secţiunii

momentul de calcul

Etape de calcul


2. Verificarea condiţiei de non‐fragilitate

3. Din ecuaţia (1) se determină → .

4. Se determină şi se verifică .

5. Se determină .

6. Se d termină înlocuind în una din ecuaţile (2) sau (3):

‐ Dacă atunci se utilizează relaţia (3) deoarece armătura comprimată intră în curgere,

iar x este prea mare pentru ca momentul dat de forţa de compresiune în beton din relaţia (2) să

poată fi neglijat.

‐ Dacă se utilizează relaţia (2) deoarece armătura comprimată nu a ajuns la curegere, şi

astfel se evită evaluarea efortului unitar în armătura comprimată.

Se verifică dacă

Aplicatia 2.3


Beton C 20/25 → 20 /

1,520 /

1,513,33 / → 13,33 /

2,2 / (tabel 2.4 SREN 1992‐1‐1) sau 0,3 ∙ 20 / / 2,21 /

30

60

314

316

Date cunoscute:



Armare: 314 ; 316


Cerinte: , Verificarea secţiunii


13

Otel S 500 → 500 /

1,15500 /

1,15435 / → 435 /


0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

∙4

3 ∙144

3 ∙ 154 462

∙4

3 ∙164

3 ∙ 201 603

, ∙462

300 ∙ 5650,0027

, ∙603

300 ∙ 5650,0035

3. Determinarea x

2 1

603 462 2 ∙ 435 / 2

300 ∙ 13,33 / 2 15,33

15,33 → 19,17


∙

435 /

2,1 ∙ 10 /2,07 ∙ 10

3,5 ∙ 10

565 ∙3,5 ∙ 10

2,07 ∙ 10 3,5 ∙ 10→ 355 19,17

5. Determinarea

∙

∙

3,5 ∙ 103,5 2,07 ∙ 10

2,44 ∙ → 85


14

6. Determinarea

19,17 85 →echilibrul se scrie fata de armatura comprimata – ecuatia (2)

∙ ∙ 603 ∙ 435 / ∙ 600 35 35 → 139

139 120

2.2.2 Probleme de dimensionare

2.2.2.1 Cazul 1: cunoscut

Cunoscute: , , , , , , ,

Necunoscute: ,

Etape de calcul


2. Determinarea x rezolvând ecuaţia de gradul 2 (3) pentru x:

1 12 ∙ ∙ ∙

∙ ∙

3. Determinarea

4. Determinarea , din ecuaţile (1) sau (2):

‐ se determină din ecuaţia (2)

‐ se determină din ecuaţia (1)

5. Se propune , astfel încât , ,

6. Se determină intoducând , în ecuaţia (1) şi se verifică dacă

7. Verificarea coeficienţilor de armare

Aplicatia 2.4

30

60

314

Date cunoscute:



Armare: 314


Cerinte: ,


15


Vezi aplicaţia 2.3 punctul 1

2. Determinarea x

1 12 ∙ 1 ∙ ∙

∙ 2 ∙

565 1 12 ∙ 120 ∙ 106 462 2 ∙ 435 / 2 ∙ 530

300 ∙ 5652 2 ∙ 13,33 / 26

3. Determinarea

∙

∙

3,5 ∙ 103,5 2,07 ∙ 10

2,44 ∙ → 85

4. Determinare

→∙

→ ,120 ∙ 10

435 / ∙ 530520

5. Se propune 216 114 , , 556

6. Se determina

, ∙∙

556 462 435 /300 ∙ 13,33 /

10,2 → 12,8

∙

435 /

2,1 ∙ 10 /2,07 ∙ 10

3,5 ∙ 10

565 ∙3,5 ∙ 10

2,07 ∙ 10 3,5 ∙ 10→ 355 12,8


0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

, ∙462

300 ∙ 5650,0027

, ∙556

300 ∙ 5650,0033


16

2.2.2.2 Cazul 2:Ambele arii de armătură necunoscute

Cunoscute: , , , , , , ,

Necunoscute: , ,

Etape de calcul


2. Se determină şi se pune condiţia

3. Se intoduce în ecuaţia (3)→

4. Se intoduce în ecuaţia (1) si se determină . Nu se determină din relaţia (2) deoarece

momentul produs de rezultanta forţelor de compresiune pentru nu poate fi neglijat.

5. Se determină intoducând , şi , în ecuaţia (1) şi se verifică


Aplicatia 2.5


Vezi aplicaţia 2.3 punctul 1

2. Determinarea

∙

435 /

2,1 ∙ 10 /2,07 ∙ 10

3,5 ∙ 10

565 ∙3,5 ∙ 10

2,07 ∙ 10 3,5 ∙ 10→ 355 → 284

30

60

Date cunoscute:




Cerinte: , ,


17

3. Determinarea ,

,

∙2

∙

, 120 ∙ 10 300 284 13,33 / ∙ 565 284

2435 / ∙ 530

1564

Prin urmare se propune , pe baza procentului minim

, ∙ 100 ∙ ∙ 0,0014 ∙ 300 ∙ 565 237

Se propune 312 , 339

4. Determinare

1 12 , ∙ ∙

∙ ∙

565 1 12 120 ∙ 10 339 ∙ 530 ∙ 435 /

300 ∙ 565 ∙ ∙ 13,33 /19

,

339300 ∙ 19 ∙ 13,33 /

435 /513


5. Determinarea

2, 1, ∙

∙603 339 2 ∙ 435 / 2

300 ∙ 13,33 / 2 28,7 → 36


0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

, ∙336

300 ∙ 5650,00198

, ∙603

300 ∙ 5650,00356


18

2.3 Secţiuni in forma de T

Secţiuni în forma de T solicitate la moment negativ

Datorită faptului că zona tălpii este întinsă aceasta nu are nici o influenţă asupra calculului. Prin urmare

calculul secţiunilor în forma de T la moment negativ este similar calculului pentru secţiuni dreptunghiulare.

Secţiuni în forma de T solicitate la moment pozitiv

Caz 1 : Axa neutră trece prin talpa

0 → 0 1

0 → ∙2

2

1

2

∙


19

Caz 1 : Axa neutră trece prin inima

0 → 0 3

0 → ∙2

4


Cunoscute: , , , , , , ,

Necunoscute: ,

momentul capabil al sectiunii

momentul de calcul

Etape de calcul

1. Determinarea rezistenţelor materialelor


3. Determinarea poziţiei axei neutre prin presupunerea că . Se determina

corespunzătoarea acestei situaţii din ecuţia (1) şi se va compara cu .

,∙ ∙

, →

, →

4. Se determină din ecuaţile (1) sau (3) în funcţie de poziţia axei neutre şi se verifică

5. Se determină din ecuaţile (2) sau (4) în funcţie de poziţia axei neutre şi se verifică

1

2

∙


20

Aplicaţia 2.6


Beton C 20/25 → 20 /

1,520 /

1,513,33 / → 13,33 /

2,2 / (tabel 2.4 SREN 1992‐1‐1) sau 0,3 ∙ 20 / / 2,21 /

Otel S 500 → 500 /

1,15500 /

1,15435 / → 435 /

2. Verificarea coeficientului de armare

0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

, ∙462

300 ∙ 5650,0027

3. Determinarea poziţiei axei neutre

,∙ ∙ 1200 ∙ 150 ∙ 13,33 /

435 /5515

, 5515 462 →

4. Determinarea din ecuatia (1)

462 ∙ 435 /1200 ∙ 13,33 /

13 → 16,3

355 16,3 (vezi aplicatia 2.5 punctul 2)

30

60

314

15

120

Date cunoscute:



Armare: 314


Cerinte: , ,Verifcarea sectiunii


21

5. Determinarea din ecuaţia (2)

∙

21200 13 13,33 / 565

132

116

2.3.2 Problema de dimensionare

Cunoscute: , , , , , , ,

Necunoscute: ,

Etape de calcul


2. Determinarea poziţiei axei neutre prin presupunerea că . Se determină

corespunzătoare acestei situaţii din ecuţia (2) şi se va compara cu .

∙2

→

→

3. Determinarea rezolvând ecuaţile (2) sau (4) în functie de poziţia axei neutre.

4. Determinarea , intoducând în ecuaţile (1) sau (3) şi propunerea ,

5. Verificarea coeficientului de armare.

6. Determinarea şi verificarea condiţiei de balans.

Aplicaţia 2.7

1. Determinarea rezistentelor de calcul ale materialelor

Vezi aplicatia 2.6 punctul 1

30

60

15

120

Date cunoscute:




Cerinte:


22

2. Determinarea poziţiei axei neutre

∙2

1200 150 13,33 / 565150

21175

100 1175 →

3. Determinarea din ecuaţia (2)

∙ 1 12 ∙

∙ 2 ∙565 1 1

2 ∙ 100 ∙ 106 ∙

1200 ∙ 56522∙ 13,33 / 2

11,17

4. Determinarea , din ecuaţia (1)

, 1200 11,17 13,33 /

435 /430

Propune 314 , 462


0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

, ∙462

300 ∙ 5650,0027

6. Determinarea şi verificarea condiţiei de balans

462 435 /1200 13,33 /

13 → 16,2 355


23

2.4 Calculul secţiunilor la încovoiere cu forţă axială

Curba limita de interacţiune

Fig. 2.4.1 Curba limita de interacţiune pentru o secţiune simetrică (Pascu, 2008)

Punctul A – Compresiune pură 0 ∙ ∙

Punctul B – Punct de balans corespunzator atingerii concomitent cu

Punctul C ‐ Valori ale forţei axiale de întindere toata secţiunea este întinsă.

Punctul D – Tracţiune pură 0

Compresiune excentrica cazul II: corespunde domeniului A‐B. La rupere betonul atinge deformaţia limită

la compresiune fără ca armăturile întinse să ajungă la curgere.

Compresiun excentrica cazul I şi întindere excentrică cu excentricitate mare :corespunde domeniului B‐C.

Cedarea are loc fie prin betonul comprimat, dupa intrarea în curgere a armăturilor fie prin armăturile

întinse care îşi ating deformaţia ultimă.

Întindere excentrică cu excentricitate mică: corespunde domeniului C‐D. Toata secţiunea este întinsă, iar

cedarea se produce prin armăturile întinse.


24

2.4.1 Compresiune excentrică cazul I

∙ ∙

2

2

2

2

∙ ∙

2

2

≅

Cazul particular al secţiunilor dreptunghiulare cu armare simetrică

→ 1

2

2

2

2 3

∙ ∙

/2 /2


25

2.4.1.1 Problema de verificare

Cunoscute: , , , , , , , ,

Necunoscute: ,

Etape de calcul



3. Determinarea din relaţia (1)

4. Determinarea şi verificarea

5. Determinarea


→2 1

→2

2 2

Aplicatia 2.8


Beton C 20/25 → 20 /

1,520 /

1,513,33 / → 13,33 /

2,2 / (tabel 2.4 SREN 1992‐1‐1) sau 0,3 ∙ 20 / / 2,21 /

Otel S 500 → 500 /

50

50

Date cunoscute:


Caracteristici geometrice: b=h=50 cm ;

35

Eforturi efective M=300 KNm ; N=800KN

Armatura 416

Cerinte: , Verificarea sectiunii


26

1,15500 /

1,15435 / → 435 /


0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

4 ∙ 201 804

, ∙804

500 ∙ 4650,0034

3. Determinarea

800 ∙ 103

500 13,33 2 120 → 150


∙

435 /

2,1 ∙ 10 /2,07 ∙ 10

3,5 ∙ 10

465 ∙3,5 ∙ 10

2,07 ∙ 10 3,5 ∙ 10→ 292 150

5. Determinarea

∙

∙

3,5 ∙ 103,5 2,07 ∙ 10

2,44 ∙ → 85 150

6. Determinarea

2

2

800 ∙430

2300 120 13,33 / 465

1202

804 435 / 430

345 300


27

2.4.1.2 Problema de dimensionare

Cunoscute: , , , , , , ,

Necunoscute: ,

Etape de calcul


2. Determinarea din relaţia (1)


4. Determinarea

5. Determinarea , şi propunerea ,

→ 1, 2

→ 2,2

2

6. Veificarea coeficientului de armare

Aplicatia 2.9


Beton C 20/25 → 20 /

1,520 /

1,513,33 / → 13,33 /

2,2 / (tabel 2.4 SREN 1992‐1‐1) sau 0,3 ∙ 20 / / 2,21 /

Otel S 500 → 500 /

50

50

Date cunoscute:


Caracteristici geometrice: b=h=50 cm ;

35

Eforturi efective M=300 KNm ; N=800KN

Cerinte:


28

1,15500 /

1,15435 / → 435 /

2. Determinarea

800 ∙ 103

500 13,33 2 120 → 150


∙

435 /

2,1 ∙ 10 /2,07 ∙ 10

3,5 ∙ 10

465 ∙3,5 ∙ 10

2,07 ∙ 10 3,5 ∙ 10→ 292 150

4. Determinarea

∙

∙

3,5 ∙ 103,5 2,07 ∙ 10

2,44 ∙ → 85 150

5. Determinarea

,2

2

,

300 ∙ 10 800430

2 300 120 13,33 / 465120

2435 / 430

, 566



0,26 ∙ 0,26 ∙2,2 /500 /

0,0014

, ∙612

500 ∙ 4650,0026


29

3 Bibliografie

[1] Pascu, R. (2008), Comportarea şi calculul elementelor din beton armat , Conspress, Bucureşti.

[2] Postelnicu, T., Munteanu, M. (2006), Beton armat, partea a II‐a: Calculul elementelor de beton

armat, Matrixrom, Bucuresti. [3] ASRO (2004b), SR EN 1992‐1‐1:2004 Eurocod 2: Proiectarea structurilor de beton. Partea 1‐1:Reguli

generale si reguli pentru cladiri, Bucuresti. [4] Kiss, Z., Oneţ,T. (2008), Proiectarea structurilor de beton dupa SR EN 1992‐1 , Abel, Cluj‐Napoca.

calcul sectional (seminar an ii)

Documents