CÁLCULO DE PARÁMETROS DE LA ECUACIÓN HOGE-3 PARA TERMISTORES NTC MEDIANTE

SIMULATED ANNEALING

G. Sánchez-Mares1, J. A. Padilla-García1, F. Sánchez-Mares2 y R. Lara-Colón2

1Departamento de Ingeniería Electrónica, Universidad Politécnica de Aguascalientes, Prolongación Mahatma Gandhi Km 2, Aguascalientes, Ags., México.

2Departamento de Ingenierías, Instituto Tecnológico de Pabellón de Arteaga, Carretera a la estación de Rincón km 1, Pabellón de Arteaga, Ags., México,

fsanchez96@hotmail.com

Resumen. Un termistor NTC (Negative Temperature Coefficient) es un semiconductor en el cual la resistencia (RT) eléctrica disminuye a medida que aumenta la temperatura (T). La relación que existe entre las variables RT y T es una función exponencial negativa para la cual se han propuesto varios modelos matemáticos que logran predicciones adecuadas. Sin embargo, para mediciones más exactas se prefiere el uso de la tercera versión de la ecuación desarrollada por Hoge. Esta expresión consta de cinco parámetros que deberán ser determinados mediante una técnica de optimización (generalmente mínimos cuadrados). En este trabajo se presenta una metodología eficiente para el cálculo de estas constantes empleando Simulated Annealing como estrategia de optimización. Los resultados muestran que la técnica es capaz de lograr un ajuste de los datos con una desviación absoluta menor al 0.3 por ciento en los termistores evaluados, los cuales fueron: sensor de perno hexagonal, sonda de inmersión y el sensor de superficie de la serie 400. Los datos empleados para la correlación fueron proporcionados por el fabricante. Esta metodología puede ser extendida y aplicada de manera satisfactoria para calcular los parámetros óptimos de los diferentes modelos matemáticos ampliamente utilizados en el área de termistores.

Palabras claves: Ecuación Hoge-3, Simulated Annealing, Termistor NTC

1 Introducción

El termistor es un material semiconductor de resistencia eléctrica altamente sensible a los cambios de temperatura. El tipo de termistores no lineales en los cuales la resistencia disminuye al aumentar la temperatura se les conoce como NTC (Negative Temperature Coefficient) y se utilizan principalmente en dispositivos de control. Se han propuesto diversos modelos matemáticos para relacionar la variación de la resistencia eléctrica del termistor y la temperatura. Entre las ecuaciones más importantes se encuentra la propuesta por Scarr y Setterington (1960)

0

1 1

0 exp T T

T TR Rβ

− = (1)

donde RT es la resistencia eléctrica, T es la temperatura absoluta, RT0 es la resistencia eléctrica para T = T0, T0 es una temperatura absoluta de referencia (regularmente 25 °C) y β es la temperatura absoluta característica del material. Posteriormente, Steinhart y Hart (1968) presentaron una ecuación de tres constantes, las cuales se determinan seleccionando tres pares de datos proporcionados del fabricante y resolviendo tres ecuaciones simultáneas. La expresión es la siguiente

( )31ln lnT TA B R C R

T= + + (2)

donde A, B y C son las constantes a determinar. Años después, Hoge (1988) evaluó algunas ecuaciones de calibración en seis diferentes tipos de termistores, empleando como criterio de evaluación la desviación estándar y las gráficas de residuo. Recientemente, Chen (2009) estudió cinco diferentes modificaciones de la ecuación de Hoge, determinando que la tercera versión denominada Hoge-3 proporcionaba las predicciones más exactas. La expresión (3) presenta la variante número 3 de la ecuación de Hoge.

2 3 40 1 2 3 4

1ln (ln ) (ln ) (ln )T T T TA A R A R A R A R

T= + + + + (3)

donde A0, A1, A2, A3 y A4 son constantes a determinar. En este trabajo las constantes serán calculadas empleando Simulated Annealing (SA). El método SA es un algoritmo que localiza estadísticamente el óptimo global de una función multivariable. Su algoritmo realiza una búsqueda parcial estocástica dentro de una región permitida para un conjunto de variables de optimización. En problemas de minimización, las perturbaciones que ocasionan incrementos en el valor de la función objetivo son aceptadas con una probabilidad controlada empleando el criterio de Metropolis (1953). Estas perturbaciones se realizan en varias ocasiones y permiten que el algoritmo escape de mínimos locales (Sánchez-Mares y Bonilla-Petriciolet, 2006).

2 Metodología

El programa se implemento en el lenguaje de programación FORTRAN empleando la subrutina proporcionada por W. L. Goffe (1994). La cédula de enfriamiento utilizada fue T = 1000, RT = 0.85, NT = 20 y NS = 20. La función objetivo a minimizar fue la siguiente

( )número de datos

2

1objetivo i i

i

F Tc Tf=

= −∑ (4)

donde Tci es la temperatura calculada con los parámetros optimizados y Tfi es la temperatura proporcionada por el fabricante para el dato i. La Figura 1 presenta el algoritmo de cálculo para obtener los parámetros óptimos de la Ecuación Hoge-3.

Figura 1. Algoritmo básico empleado en este trabajo para calcular los coeficientes de la Ecuación Hoge-3.

3 Resultados y Discusión

Para verificar la eficiencia del método se calculó la desviación absoluta (DA) de la siguiente forma

( )1

100 1.0n

calculada

i fabricante

TDA

T=

= −

∑ (5)

donde n es el número de datos proporcionados por el fabricante, Tcalculada es la temperatura calculada mediante la ecuación de Hoge-3 con los valores óptimos de las constantes y Tfabricante es la temperatura que el fabricante proporciona para calibrar el dispositivo.

En este trabajo se analizaron tres termistores que son distribuidos por Measurement Specialties. Sin embargo, esta metodología puede ser extendida a otros sensores que se modelen de manera similar. A continuación se describen brevemente los casos analizados. Sensor de perno hexagonal (SPH). Este dispositivo es utilizado en equipos de intercambio de calor y trabaja en un rango de temperatura de - 40 °C a 125 °C. La Tabla 1 presenta los valores óptimos de los coeficientes calculados con el método SA, mientras que la Figura 2 muestra el comportamiento de la temperatura al variar la resistencia empleando la Ecuación Hoge-3 optimizada. La desviación absoluta para este termistor es de 0.16%.

Tabla 1. Coeficientes calculados para la Ecuación Hoge-3 que representa al SPH.

Coeficiente Valor óptimo calculado A0 0.00113494348263778 A1 0.000231276809185987 A2 5.13918598142939E-07 A3 4.75613646897407E-08 A4 1.13771324961766E-09

Figura 2. Gráfica de resistencia vs temperatura del SPH obtenida con la Ecuación

de Hoge-3 y los coeficientes óptimos.

Sonda de inmersión con conector integrado (SICI). Este dispositivo es un termistor NTC montado en un tornillo fabricado en latón. Sus aplicaciones más importantes se encuentran en control de calentadores de agua y de procesos industriales. Su rango de operación se encuentra comprendido entre - 40 °C a 150 °C. La Tabla 2 presenta los valores óptimos de los coeficientes de la Ecuación Hoge-3, mientras que la Figura 3 muestra el comportamiento de la temperatura al variar la resistencia. La desviación absoluta para este termistor es de 0.16%.

Tabla 2. Coeficientes calculados para la Ecuación Hoge-3 que representa al SICI. Coeficiente Valor óptimo calculado

A0 0.00113818486710074 A1 0.000229595669560206 A2 8.31143049376613E-07 A3 2.14744786812063E-08 A4 1.93253269012239E-09

Figura 3. Gráfica de resistencia vs temperatura del SICI obtenida con la Ecuación

de Hoge-3 y los coeficientes óptimos

Sensor de superficie de la serie 400 (SS400). Consiste de un termistor soldado a cables de teflón de diámetro 30 AWG. Son empleados en monitoreo de temperatura en superficies y medición de temperatura en la piel. El rango de operación se encuentra comprendido desde - 40 °C a 125 °C. A continuación la Tabla 3 presenta los valores óptimos de los coeficientes para la ecuación Hoge-3. Cabe mencionar que para este termistor la DA fue de 0.21%.

Tabla 3. Coeficientes calculados para la Ecuación Hoge-3 que representa al

SS400. Coeficiente Valor óptimo calculado

A0 0.00147737810152389 A1 0.00023404571681646 A2 7.65953888803969E-07 A3 3.44269200714994E-08 A4 2.36937768940043E-09

4 Conclusión

En este trabajo se muestra un método eficiente que emplea los datos de temperatura y resistencia proporcionados por el fabricante y la técnica de optimización global Simulated Annealing para calcular los valores óptimos de los coeficientes de la ecuación Hoge-3. Los resultados analizados muestran un ajuste de la curva adecuado para los tres termistores.

Referencias

1. Corana. A., Marchesi, M., Martini, C. y Ridella, S.: Minimizing multimodal functions of continuos variables with the Simulated Annealing algorithm. ACM Trans Math Software, vol.13, pp. 262--280 (1987)

2. Chen, C.: Evaluation of resistance-temperature calibration equations for NTC thermistors. Measurement, vol.42, pp. 1103--1111 (2009)

3. Sánchez-Mares, F. y Bonilla-Petriciolet, A.: Cálculo de puntos críticos empleando una estrategia de optimización global estocástica. Afinidad, Vol. 525, pp. 396--403 (2006)

4. Hoge, H. J., Useful procedure in least squares, and test of some equations for thermistors. Review of Scientific Instruments, vol.59, pp. 975--979 (1988).

5. Steinhart, L. S. y Hart, S. R.: Calibration curves for thermistors. Deep Sea Research, vol.15 (3), pp. 497-503 (1968)

6. Metropolis, N., Rosenbluth, A. W., Rosenbluth, M. N., Teller, A. H., y Teller, E.: Equation of state calculations by fast computing machines. J. Chem. Phys., vol. 21, pp. 1087--1092 (1953)

7. Scarr, R. y Setterington, R.: Termistors. Their theory, manufacture and application. Proc. IEE, vol.107 (B), pp. 395--409 (1960)

8. Goffe, W. L., Ferrier, G. D. y Rogers, J.: Global optimization of statistical functions with Simulated Annealing. Journal of Econometrics, vol. 60, pp. 65--99 (1994).

9. Measurement Specialties Pressure sensors, Position sensors, Temperature sensors http://www.meas-spec.com/