campi elettrici e magnetici nella materia lezione 5 ...paramagnetismo - i trattazione in principio...
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Fisica Generale III con Laboratorio
Campi elettrici e magnetici nella materia
Lezione 5Diamagnetismo e Paramagnetismo
2 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 2010
Teorema di Larmor - I
( )( ) ,
:
ˆ
ˆz
t
t z
z
A
1) Moto di precessione
Grandezza vettoriale generica, funzione del tempo:
Se e' un vettore di modulo costante rotante attorno all' asse
con vel.angolare p es diretta lu
ngo
⊥
Ω
=Ω
= +
A
A
Ω k
A A k ˆ ˆ ˆ
cos sin
sin cos
x y z
xx z z z z y
yy z z z z x
z
A A A
dAA A t A t A
dtdA
A A t A t Adt
A A
⊥ ⊥
⊥ ⊥
= + +
= Ω → =−Ω Ω =−Ω = Ω → =Ω Ω =Ω =
i j k
3 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 2010
Teorema di Larmor - II
0 00 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
yxz y z x
y z z y z x x z x y y x
dAd d dAA A
dt dt dt dt
dA A A A A A
dt
d
dt
Si puo' scrivere:
In generale:
Ogni volta che un vettore
⊥
= == =
→ = = + =−Ω +Ω
→ = Ω −Ω + Ω −Ω + Ω −Ω
→ = ×
A Ai j i j
Ai j k
AΩ A
( )t soddisfa l'eq. differenziale
di cui sopra, la sua evoluzione temporale consiste in una precessione
attorno alla direzione di con velocita' angola e r Ω
A
Ω
4 E.Menichetti - 20104 E.Menichetti - 2010
Teorema di Larmor - III
:
,
d
dt
d
dt
2) Precessione di Larmor
Mom. meccanico su un dipolo magnetico immerso in un campo
Eq. del moto:
Poiche':
fattore giromagnetico
Il d
ipolo
precede con ve
l. ang
γ γ
γ γ
γ
= ×
=
=
→ = × =
→
− ×
→ =−
B
τ µ B
Lτ
µ L
LL B B L
Ω B
Bolare attorn a o γ− B
5 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 2010
Teorema di Larmor - IV
( )
z
t
↔
Ω
r
3) Moto in riferimenti non inerziali
Cambiamento di sistema di riferimento:
Sistema inerziale Sistema in rotazione
Vel. angolare costante (es. diretta lungo )
Posizione di un punto materiale:
Posi
rot inerz
d d
dt dt
= − × r r
Ω r
zione istantanea
Velocita' nei due riferimenti:
A
6 E.Menichetti - 2010
2
2
inerz rot
inerz inerz inerzinerz
d d
dt dt
d d d d d
dt dt dt dt d
→ → + ×
= =
Ω
r r r
Cambiamento di riferimento: per le derivate
Derivando la derivata: Accelerazione
( )
2
2
2 2
2 22
rot
rot rotinerz
rotinerz rot
t
d d d
dt dt dt
d d d
dt dt dt
+ × = + × + ×
→ = + × × + ×
Ω r
r rΩ Ω r
r r rΩ Ω r Ω
Teorema di Larmor - V
7 E.Menichetti - 20107 E.Menichetti - 2010
Teorema di Larmor - VI
( ) ( )
( ) ( )
0
0
2
2
4) Teorema di Larmor
Moto di una carica in un campo di forze + campo magnetico:
Forza totale nei due sistemi:
rot rot
rot rot
q
m m
q m m
= + ×
= − × − × ×
→ = + × + × − × ×
F F v B
F F Ω v Ω Ω r
F F v B v Ω Ω Ω r
8 E.Menichetti - 2010
Teorema di Larmor - VII
( ) ( ) ( )0 0
22
0 0
2
4
rot rot
rot
L
q
mq q m m
qF F B F
m
ω
=−
→ = + × − × − × × = − × ×
→ = − ≈
Ω B
F F v B v B Ω Ω r F Ω Ω r
B
Se:
se non e' troppo grande
Quindi:
L'effetto del c. magnetico e' quello di sovrapporre una precessione
(di Larmor) con frequenza
= -2
qB
mal moto senza campo
9 E.Menichetti - 20109 E.Menichetti - 20109 E.Menichetti - 20109 E.Menichetti - 2010
Diamagnetismo - I
Elettroni atomici: modello di BohrMoto in un campo centrale → Teorema di LarmorIn presenza di un campo B:Precessione dei momenti magnetici attorno a BFrequenza di Larmor:
Momento magnetico indotto:
Momento indotto legato a moto orbitale
2L
eB
mω =−
22 ,
4raggio dell'orbita ortogonale a
Ze Br r
mµ=− B
10 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 2010
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 222
2 200
:
2
3
2
4 3 6
6
raggio quadratico medio
per sistema a simmetria sferica
orbita piana
Suscettivita' diamagnetica:
indipendent da ediam
R
R x y z
x y z
r x y R
Ze B RZe BR
m m
Ze n Rn
B m
µ
µµ µχ
= + +
= =
→ = + =
→ =−
→
=−
= =− T
Diamagnetismo - II
11 E.Menichetti - 201011 E.Menichetti - 201011 E.Menichetti - 2010
Diamagnetismo - III
Risultato sostanzialmente confermato con la meccanica quantistica
Tuttavia:
Altri effetti (elettroni liberi: diamagnetismo di Landau, ...)
Suscettivita’ diamagnetica < 0, piccola
→ Magnetizzazione opposta al campo esterno
→Campo interno al materiale < campo nel vuoto
12 E.Menichetti - 201012 E.Menichetti - 201012 E.Menichetti - 2010
Paramagnetismo - I
Trattazione in principio simile a quella della polarizzazione nei dielettrici
Tuttavia, inconsistenze con i dati..
Motivo profondo:
Momenti di dipolo magnetico legati al momento angolare totale atomico
In meccanica quantistica: momento angolare quantizzato
13 E.Menichetti - 2010
:
cosU B
T
µ θ=− ⋅ =−B
µ B
En. potenziale di un dipolo immerso in un campo
Insieme di dipoli ad una temperatura
Distribuzione statistica delle energie: Boltzmann
Paramagnetismo - II
Calcolo classico della magnetizzazione: Langevin
cos
E
kT
B
kT
dne
dE
dne
dE
µ θ
−∝
→ ∝
14 E.Menichetti - 2010
, ,x y z
x y z
dn dn dnd d d
d d ddn dn dn
d d dd d d
µ µ µ
µ µ µΩ Ω Ω
Ω Ω Ω
Ω Ω ΩΩ Ω Ω
= = =Ω Ω Ω
Ω Ω Ω
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
Paramagnetismo - III
mol
dnd N
dΩ
Ω=Ω∫∫
Valor medio delle componenti cartesiane del mom. magnetico:
essendo
15 E.Menichetti - 2010
Paramagnetismo – IV
θ
z
xφ
y
Componenti del momento di dipolo:
sin cos
sin sin
cos
x
y
z
µ µ θ ϕ
µ µ θ ϕ
µ µ θ
=
=
=
( )
( ) ( )
2 2 2
cos2
sin cos
cos
cos cos
B
kTU
kT
d n d n d n
d d d d d
U Bd n dn dU
edn d d dU dedU
µ θ
θ θ ϕ θ ϕ
µ θ
θ ϕ θ−
= =Ω
=− → ∝ ∝∝
Distribuzione di Boltzmann:
µµµµ
16 E.Menichetti - 2010
Paramagnetismo – V
( )
cos2
2 cos
2 1 cos
0 1
0
sin cos
cos sin cos 0
B
kTx
x B
kT
B
kTx x
d nd e d
d
d nd e d
d
d e d
µ θ
µ θ
π µ θ
µ µ θ ϕ
µ
µ µ ϕ ϕ θ θ µ
Ω Ω
Ω Ω
+
−
=
Ω ΩΩ
= =Ω Ω
Ω
→ ∝ → =
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫ ∫
Componenti cartesiane:
( )
cos2
2 cos
2 1 cos
0 1
0
sin sin
sin sin cos 0
B
kTy
y B
kT
B
kTy y
d nd e d
d
d nd e d
d
d e d
µ θ
µ θ
π µ θ
µ µ θ ϕ
µ
µ µ ϕ ϕ θ θ µ
Ω Ω
Ω Ω
+
−
=
Ω ΩΩ
= =Ω Ω
Ω
→ ∝ → =
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫ ∫
17 E.Menichetti - 2010
Paramagnetismo – VI
( )
( )
( )
( )
cos2
2 cos
2 1 cos
1 cos
0 1
2 12 1 1cos cos
0 1 1
2
cos
cos coscos cos
cos cos
B
kTz
z B
kT
B
kT B
kT
z B B
kT kT
d nd e d
d
d nd e d
d
d e de d
d e d e d
µ θ
µ θ
π µ θ
µ θ
ππ µ θ µ θ
π
µ µ θ
µ
µ ϕ θ θθ θ
µ µ
ϕ θ θ
Ω Ω
Ω Ω
+
+
−
= −+ +
− −
=
Ω ΩΩ
= =Ω Ω
Ω
→ = =
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
1
11
1
cosx
z
x
xe dxx
Be dxkT
β
β
θ
µ µµβ
+
−+
−
= → ==
∫
∫Sostituzioni:
18 E.Menichetti - 2010
Paramagnetismo – VII
( )
2
1
2 21
1 1
1 1 1
x x x
x x x x x
x x
d de dx e dx xe dx
d d
d d xxe dx e dx e e e
d d
e ex e e e e
β β β
β β β β β
β ββ β β β
β β
β β β β β
β β β β
+ −−
−
= =
→ = = =− +
+− = − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
1 cos
21
1 cos
1
1cos cos
1cos
1 1coth Funzione di Langevin
B
kT
z B
kT
z
e ee d e e
e ee d
e eL
e e
µ θβ β
β β
µ θβ β
β β
β β
θ θβ β
µ µ
θβ
µ µ µ β µ ββ β
+−
−
−+
−
−
−
−
+− −
= =−
+ → = − = − = −
∫
∫
19 E.Menichetti - 2010
2 3 2 3
2 3 2 3
2 2
2
3 3 2
2 2
1 ... 1 ...1 12! 3! 2! 3!
1 ... 1 ...2! 3! 2! 3!
2 2 11 1 1 12! 2! 12!
2 2 13! 3! 3!
11 1
2! 3!
e e
e e
β β
β β
β β β ββ β
β β β ββ ββ β
β ββ
β ββ β βββ β β
β β
β
−
−
+ + + + − + − + − = − − + + + − + − +
+ + − = − = + − + + + + −
≃
≃2 21 1 1
1 ...2! 3! 2 6 3
3Legge di C uri ez
B
kT
β β β β β
β β β
µµ
− = + − + − − =
→
≃
≃
Paramagnetismo – VIII
Approssimazione di alte temperature:
20 E.Menichetti - 2010
Paramagnetismo – IX
[or µµµµB/kT]
Funzione di Langevin
21 E.Menichetti - 2010
Paramagnetismo – X
0
3
3
z
param
B
kT
nkT
µµ
µχ µ→
≃
≃
Suscettivita’ paramagnetica >0, piccola (maggiore di quella diamagnetica), decrescente con T
Magnetizzazione concorde con il campo esterno
Campo interno > di quello nel vuoto
22 E.Menichetti - 2010
Suscettivita ’ tipiche
0.19Oxygen gas
0.72Sodium
1.2Magnesium
1.4Lithium
2.2Aluminum
5.1Cesium
6.8Tungsten
26Platinum
40Uranium
720Iron oxide (FeO)
Paramagnetic
-0.91Water
-1.0Copper
-1.4Sodium chloride
-1.8Lead
-1.6Carbon (graphite)
-2.1Carbon (diamond)
-2.6Silver
-2.9Mercury
-16.6Bismuth
-.26Ammonia
Diamagnetic
χm=µr-1 (in unita’ di 10-5)