campo eléctrico. campo eléctrico generado por una distribución continua: problemas resueltos de...
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Campo Eléctrico.
Campo Eléctrico generado por una distribución continua:
Problemas resueltos de Campo Eléctrico.
Lineal.Superficial.
Volumétrica.
Campo Eléctrico de una carga puntual.
Campo de varias cargas puntuales.
Aclaraciones sobre la densidad de carga eléctrica
Problemas teóricos sobre el Campo Eléctrico.
El campo eléctrico es una propiedad del espacio que rodea a una carga eléctrica y conforma un espacio vectorial de tal manera que todo punto perteneciente a dicha región, se caracteriza por un vector llamado intensidad de campo eléctrico.
Si se simboliza la carga con q, y la intensidad del campo eléctrico con E, entonces se cumple que:
Esta definición indica que el campo no es directamente medible, sino a través de la medición de la fuerza actuante sobre alguna carga. La idea de campo eléctrico fue propuesta por Michael Faraday al demostrar el principio de inducción electromagnética en el año 1831.
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Este concepto surge ante la necesidad de explicar la forma de interacción entre cuerpos en ausencia de contacto físico y sin medios de sustentación para las posibles interacciones. La acción a distancia se explica, mediante efectos provocados por la entidad causante de la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles. Así, será posible hacer corresponder a cada punto del espacio valores que dependerán de la magnitud de la propiedad del cuerpo que provoca la interacción y de la ubicación del punto que se considera.Así, si se coloca una carga de prueba en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico, se observará la aparición de atracciones o de repulsiones sobre ella. Una forma de describir las propiedades de este campo sería indicar la fuerza que se ejercería sobre una carga determinada si se trasladara de un punto a otro del espacio. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de Intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza, la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido.
Una forma de graficar un campo es trazar líneas que vayan en la misma dirección que dicho campo en varios puntos. Esto se realiza a través de las líneas de fuerza, líneas imaginarias que describen, si los hubiere, los cambios en dirección de las fuerzas al pasar de un punto a otro. En el caso del campo eléctrico, puesto que tiene magnitud y sentido se trata de una cantidad vectorial, y las líneas de fuerza o líneas de campo eléctrico indican las trayectorias que seguirían las partículas si se las abandonase libremente a la influencia de las fuerzas del campo. El campo eléctrico será un vector tangente a la línea de fuerza en cualquier punto considerado.
La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo, es la siguiente:• La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de E en ese punto. • El número de líneas de fuerza por unidad de área de sección transversal es proporcional a la magnitud de E. Cuanto más cercanas estén las líneas, mayor será la magnitud de E.
A.- Por convención, las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en cargas negativas y en ausencia de unas u otras deben partir o terminar en el infinito: Una carga positiva da lugar a un mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en dirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera. En el caso del campo debido a una carga negativa el mapa de líneas de fuerza sería análogo, pero dirigidas hacia ella ya que ése sería el sentido en que se desplazaría la carga positiva.
B.- Las líneas de fuerza jamás pueden cruzarse: Las líneas de fuerza o de campo salen de una carga positiva o entran a una negativa. Es decir, que de cada punto de la superficie de una esfera, suponiendo forma esférica para una carga, puede salir o entrar solo una línea de fuerza, en consecuencia entre dos cargas que interactúan solo puede relacionarse un punto de su superficie con solo un punto de la otra superficie, y ello es a través de una línea, y esa línea es la línea de fuerza. Si las líneas de fuerza se cortaran, significaría que dicho punto E poseería dos direcciones distintas, lo que contradice la definición de que a cada punto sólo le corresponde un valor único de intensidad de campo.
C.- El número de líneas fuerza que parten de una carga positiva o llegan a una carga negativa es proporcional a la cantidad de carga respectiva.
D.- Las líneas de fuerza deben ser perpendiculares a las superficies de los objetos en los lugares donde conectan con ellas.
* Si Q es negativa, E apunta hacia Q:
+ Q P E
r
r^
Para hallar el campo eléctrico creado por una sola carga puntual Q, colocamos una carga testigo q a distancia r de Q y dividimos la fuerza de Coulomb por el valor de q:
Donde r es el vector unitario en la dirección radial, alejándose de la carga fuente Q. El sentido de E respeto:
* Si Q es positiva, E apunta hacia afuera de Q:
- Q PE
r
r^
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EE22
EE1 1 EE33
QQ 22
QQ 11
QQ 33
rr22^
rr11^
rr33^
Si el campo se debe a mas se una carga, los campos eléctricos individuales se combinan vectorialmente de la misma forma que lo hacen las fuerzas eléctricas. El campo eléctrico en un punto P P debido a un sistema de NN cargas puntuales Q1 Q2 Q3,…, es el resultante de la suma vectorial:
E = EE = E1 1 + E+ E22 + E + E33 + … = k ∑ Q + … = k ∑ Q 22 / r / r 22 r r ii
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Para calcular el campo eléctrico debido a una distribución continua de cargas, la estrategia que se
usa es dividir la distribución en elementos infinitesimales de carga dQ,dQ, los cuales pueden ser
considerados como cargas puntuales.
Aplicando el principio de superposición, el campo total en un punto P P es la suma vectorial (integral)
de las contribuciones individuales, de todos los elementos de carga en la distribución:
E = ∫ dE = K ∫ dQ / rE = ∫ dE = K ∫ dQ / r22 . r . r
Donde r es la distancia del elemento de carga dQ dQ al punto P P . El correspondiente vector unitario rr
Tiene origen en el elemento de carga.
Una distribución continua se describe por su densidad de carga en cada punto y para evaluar esta
Integral debemos expresar el diferencial de carga dQ dQ en términos de rr.Volver al INDICE
El campo resultante en el punto se encuentra integrando las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, es decir:Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad
lineal de carga, entonces :
Por lo tanto:
dEdE PP U rU r
rr d Ld L
λλ
d E = 1 dq
4 π E0 r²U r
E = ∫ dE
dq = λ dL
dqE = ∫L dE =
∫L 4πE0 r
2 4πE0 r
1Ur =
∫L 2
λ dL1 Ur
Si se dispone de una distribución lineal de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo dE que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas.La magnitud de dE está dada por:
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Si se dispone de una distribución superficial de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo dE que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas. La magnitud de dE está dada por:
Urdq
4πE0 r
2
1dE =
E = ∫ dE
El campo resultante en el punto se encuentra integrando las contribuciones debidas a todos los elementos de carga:
Si la distribución continua de carga que se considera tiene una densidad superficial de carga, entonces:
Por lo tanto:
dq = σ dS
dqE = ∫S dE =
∫S 4πE0 r
2 4πE0 r
1Ur =
∫S 2
σ dS1 Ur
dE
P
Ur r
dSσ
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Si se dispone de una distribución volumétrica continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d E que produce cada elemento en el punto en cuestión, tratándolos como si fueran cargas. La magnitud de d E está dada por:
El campo resultante en el punto se encuentra integrando las contribuciones debidas a todos los elementos de carga:
Urdq
4πE0 r
2
1dE =
Por lo tanto:
Si la distribución continua de carga que se considera tiene densidad volumétrica de carga, entonces:
E = ∫ dE
dq = ρdV
dqE = ∫V dE =
∫V 4πE0 r
2 4πE0 r
1Ur =
∫V 2
ρdV1 Ur
dVρ
Ur
rP
dE
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El vector unitario dentro de las integrales, en general, para las configuraciones de carga, bien sea volumétrica, superficial o lineal no debe de sacarse de la integral ya que el vector indica precisamente donde se encuentra la diferencial de carga eléctrica.
Las configuraciones de carga no tienen porque indicar que se tienen objetos con la forma de la configuración de la carga, pese a que en ocasiones así se pueda tomar, como veremos mas adelante con el caso del teorema de Gauss.
Es importante considerar adecuadamente las unidades para la densidad de carga eléctrica correspondiente.
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El Campo Eléctrico….
a) Es la fuerza que se ejerce sobre una carga testigo.
b) Es el numero de líneas de fuerza que atraviesan una superficie dada.
c) Se mide en Newton x Coulomb.
d) En un punto tiene la dirección y sentido de la fuerza que se ejerce sobre cualquier carga colocada en ese punto.
e) Es la fuerza por unidad de carga que actuaria sobre una carga testigo colocada en ese punto.
Las líneas de campo eléctrico…
a) Son líneas a lo largo de las cuales el campo eléctrico tiene magnitud constante.
b) Son las trayectorias que siguen las partículas cargadas.
c) Salen de las cargas negativas y entran a las positivas.
d) Mientras mas cercanas entre sí estén, mas intenso será el campo.
e) Pueden cruzarse solo si hay varias cargas presentes.
La figura muestra las líneas de campo eléctrico en una cierta región del espacio. Si la magnitud del campo eléctrico en el punto A es 3 N/C, en el punto B tendrá un valor próximo a:a) 12 N/C
b) 9 N/C
c) 6 N/C
d) 3 N/C
e) 0A B
a) Parabólica
b) Circular
c) Rectilínea
d) Rectilínea si su velocidad inicial es paralela a E
Un electrón que se lanza en una región donde existe un campo eléctrico E uniforme seguirá una trayectoria…
Tres cargas puntuales +Q, -Q y +2Q están colocadas en las esquinas de un triangulo isósceles, como se muestra en la figura. ¿Cuál de las direcciones mostradas es la del campo eléctrico resultante en el punto P?
+Q
+2Q -Q
P
A
B
CD
E
y
x
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
En un demo de física, dos generadores de Van de Graaff con cargas de signos opuestos, se colocan próximos entre sí. Se suspende mediante un hilo aislante, una lata de refresco de aluminio y se coloca entre las dos cúpulas esféricas. ¿Qué hará la lata de refresco?
a) Se quedara en la misma posición inicial.
b) Sera atraída por la esfera positiva y se unirá a esta.
c) Sera atraída por la esfera negativa y se unirá a esta.
d) No se mueve.
e) Oscila mediante choques sucesivos con las dos esferas.
+
+
++
+
+
_
___
_
_
Una carga puntual +Q esta fija y a cierta distancia se coloca un dipolo p en forma simétrica como en la figura. En que sentido tiende a girar el dipolo…
a) Sentido horario.
b) Sentido Anti-horario.
c) No gira.
+
-
+p
Q
Una carga puntual +Q esta fija y a cierta distancia se coloca un dipolo p en forma simétrica como en la figura. El dipolo tiende a moverse en dirección hacia…
a) Arriba.
b) Abajo.
c) La derecha.
d) La izquierda.
+
-
+p
Q
Dos anillos idénticos con cargas uniformes de igual magnitud y signo, están paralelos y en el mismo eje. Si comparamos los campo eléctricos resultantes en los puntos: A, B y C ubicados sobre el eje, estos guardan la relación:a) EA > EB > EC
b) EC > EA > EB
c) EA > EC > EB
d) EB > EC > EA
e) EC > EB > EA
A B C
a a a
Un haz de partículas, constituido por protones, neutrones y electrones, todo con igual velocidad, penetra en el campo uniforme vertical formado entre dos placas electrizadas y se observa que el haz se divide en otros tres: X, Y y Z, como indica la figura. Si se desprecia el efecto de la gravedad se puede decir que las partículas son respectivamente…a) X electrón, Y neutrón,
Z protón.
b) X protón, Y electrón, Z neutrón.
c) X protón, Y neutrón, Z electrón.
d) X electrón, Y protón, Z neutrón.
e) Falta información.
X
YZ
Cuatro cargas puntuales de igual magnitud, dos positivas y dos negativas se colocan en las esquinas de un cuadrado. ¿Con cual de los arreglos mostrados será máxima la magnitud del campo eléctrico en el punto P?
a) Es mayor en (a)
b) Es mayor en (b)
c) Es mayor en (c)
d) Es mayor en (d)
e) Es igual en todos los arreglos.
+ -
- +
P+ +
+ -
P
+ +
- -
P- -
+ +
P
(a) (b)
(c) (d)
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Un disco circular de radio R está cargado uniformemente con una densidad de carga σ C/m . Determinar el campo en un punto del eje perpendicular.
Se considera un elemento de superficie formado por un sector de apertura dq de una corona circular de radios r y r + dr . El valor de esa superficie será:
dS = r. dθ .dr
y la carga que contiene será:dq = σ dS = σ . r. dθ .dr
Esta carga creará en un punto, del eje perpendicular, situado a una distancia z, un campo eléctrico de valor:
dE = k. dq /u2
Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z.
dEz
dE
z u
r dr R
dθ r dθ
α
2
dEz = dE . sen α dEz = (k. dq /u2). (z /u)
dEz = k. z. dq /u3 dEz = k. z. σ . r. dθ .dr /(z2 + r2)3/2
El campo total será la integral de la expresión anterior desde 0 a 2π, respecto a q ,
y desde 0 a R, respecto a la variable r:
Ez = ∫∫ dEz = ∫∫ k. z. σ . r. dθ .dr /(z2 + r2)3/2
Ez = k. z. σ . 2. π . ∫r. dr /(z2 + r2)3/2
Ez = - π . σ . k. z. (z2 + r2)-1/2 ]0R
Ez = π . σ . k. z. [z-1 - (z2 + R2)-1/2 ]
Ez = π. σ . k. [1 - z. (z2 + R2)-1/2 ]
Calcular el campo eléctrico producido por un anillo conductor de radio R cargado con una carga Q, en un punto de su eje perpendicular.
Consideremos un elemento del anillo formado por un arco de apertura dq . El valor de ese arco será:
dL = R. dθ
La carga que contiene será:
dq = Q. dL / (2. π .R)dq = Q. R. dθ / (2.π.R)
dq = Q. dθ / (2. π)
El campo creado por este elemento de carga en un punto z del eje
perpendicular es:
dE = k. dq / r2 dE = k. Q. dθ /(2. π. r2)
dE
dEz
z r
R
dθα
R dθ
dEz = dE . Sen α
dEz = [ k. Q. dθ /(2. π. r2) ]. (z / r)
dEz = k. Q. z. dθ /(2. π. r3)
El campo total producido por el anillo será la integral respecto a q entre 0 y 2. π :
Ez = ∫ dEz
Ez = ∫ k. Q. z. dθ /(2. π. r3)
Ez = k. Q. z / r3
Ez = k. Q. z / (z2 + R2)3/2
Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z.
En tres vértices de un cuadrado de 40 cm de lado se han situado cargas eléctricas de +125 μC. Determinar el campo eléctrico en el cuarto vértice.
El campo producido en D será la suma vectorial de los campos creados por cada carga:
EC = EA = k. q / a2 EB = k. q / ( a 2 + a 2 )
El campo resultante tendrá la dirección y sentido de EB y valdrá:
E = EB + (EA2 + EC
2)1/2
E = k. q /(2.a2) + (2. k2. q2. / a4)1/2
E = k. q. (1 / 2 + 21/2) / a2
E = 9.109. 125.10-6. (1 / 2 + 21/2) / 0'42
E= 1'35.107 N /C
Ec
EbEa
AB
C
D
O
a
+ + + + + + + + + + + + + +
P
y
x
Una varilla delgada no conductora de longitud finita L, contiene una carga positiva Q distribuida uniformemente. Determine el campo eléctrico en un punto ubicado a una distancia a sobre la mediatriz perpendicular a la varilla.
La figura muestra una porción de una línea infinita de carga de densidad lineal de carga uniforme:
dQ = λ dxLa magnitud de la contribución de campo eléctrico dE sobre el punto P
debida al elemento de carga está dada por:
El vector dE tiene las componentes:
dEx = - dE senθ y dEy = dE cosθ
El signo menos delante de dEx indica que apunta
en la dirección negativa de las x.
4πE0
1dE =
4πE0
1=
x + y2 2
λ dX
Por tanto, las componentes de E en el punto P, están dadas por:
En estas expresiones Ex debe ser cero porque todo elemento de carga a la izquierda de la perpendicular que une P con la línea de carga tiene un elemento correspondiente a la derecha, de modo que sus contribuciones al campo en la dirección de las x se anulan mutuamente. Así pues, E apunta exactamente en la dirección de las y, se puede escribir:
+ + + + + + + + + + + + + +X
dX
dQ
y
P
dEdEy
dEx
r
r
θ
Ex = ∫ dEx = - senθ dE∫X = + ∞
X = - ∞Ey = ∫ dEy = cosθ dE∫
X = + ∞
X = - ∞
E = Ey = 2 cosθ dE∫X = + ∞
X = - ∞
E = Ey = 2 cosθ ∫X = + ∞
X = - ∞ 4πE0
1
x + y2 2
λ dX=
λ
2 π E0 ∫
X = + ∞
X = - ∞
cosθdX
x + y2 2
Sustituyendo el valor de dE, nos queda:
Siendo Tanθ = X / Y, se tiene que x = y tanθ, y derivando nos queda: dx = y sec2θ dθ
2 2x + y
λ
2πE0 ∫
X = + ∞
X = - ∞
cosθy sec2θ dθ
x + y2 2E =
λ
2πE0 ∫
X = + ∞
X = - ∞
cosθ sec2θ dθ= y
Si se tiene en cuenta que: cosθ = y / r , secθ = r / y , y x2
+ y2 = r2, se puede establecer que:
cosθ sec2θ dθy
x + y2 2
=y
r2
y
r y
r2
=Cosθ
y
y
r y=2
Sustituyendo en la integral se obtiene:
Obsérvese que cuando X 0, θ 0 y cuando X +∞ , θ π/2, por lo tanto:
Por lo tanto:
cosθ dθ∫X = + ∞
X = - ∞
λ
2πE0y E =
cosθ dθ∫θ = π / 2
θ = 0
λ
2πE0y E = =
λ
2πE0y sen π/2 - sen 0
λ
2πE0y E =
Un anillo de radio a tiene una carga positiva Q, repartida uniformemente. Calcule el campo eléctrico a lo largo del eje del anillo, en un punto P que esta a una distancia x del centro. ds
ar
xθ dEcosθ
dE
++
+
+
+
++ +
+
+
+
+
+
+
La figura muestra un anillo de carga q y radio a. Considérese un elemento diferencial del anillo de longitud ds, localizado en la parte superior. Este elemento contiene una carga dada por:
Siendo 2πa la circunferencia del anillodq = q ds
2πa
Este elemento produce un campo eléctrico diferencial dE en el punto P. El campo resultante E se encuentra integrando los efectos de todos los elementos que constituyen el anillo. Por simetría, este campo resultante debe estar en el eje del anillo. Así pues, solamente la componente dE paralela a este eje contribuye al resultado final. La componente perpendicular al eje se anula por una componente igual y opuesta que produce el elemento de carga situado en el lado opuesto del anillo. Así la integral general de vector se transforma en una integral escalar, quedando
La cantidad dE será:
Según la figura, se tiene:
E = ∫ dE cosθ
dE = 1 dq
4π E0 r 2
1
4π E0
q ds
2πa=
1
a + x2 2
cosθ = x
( a + x )2 2 1/2
La integral es simplemente la circunferencia del anillo (2πa) y, en consecuencia, se obtiene:
Como para un punto P, x tiene el mismo valor para todos los elementos de carga y, por tanto, no es una variable, se obtiene:
E = ∫ dE cosθ ∫1
4π E0
q ds
2πa
1
a + x2 2
x
( a + x )2 2 1/2
E = 1
4π E0
q x
( a + x )2 2 3/2(2πa) ∫ ds
E = 1
4π E0
q x
( a + x )2 2 3/2
E = 1
4π E0
q x
( a + x )2 2 3/2
dE
P
r z
R R’
σ
dR
Campo eléctrico generado por un disco cargado de grosor despreciable
La figura muestra un disco cargado cuya densidad superficial de carga (esto es, la carga por unidad de superficie) tiene un valor constante σ (C/m2). Sea dS un elemento diferencial de
superficie en forma de anillo. La carga contenida en este elemento será dq = σ dS y, sabiendo que el campo eléctrico generado por un anillo cargado sobre puntos de su eje está dado por
Siendo a el radio del anillo y x la distancia entre el centro del anillo y el punto considerado, la magnitud del campo dE debida al elemento de carga dq será:
dE = 1
4π E0
σ dS z
( R’ + z ) 2 2 3/2
Ahora bien, dS = 2πR’ dR’ y, en consecuencia se cumplirá:
Con lo cual:
Es decir:
dE = σ z
2 E0
R’ dR’
( R’ + z ) 2 2 3/2
dE = σ z
2 E0
R’ dR’
( R’ + z ) 2 2 3/2∫R
0
E = σ
2 E0
z
( z + R ) 2 2 1/2 1 _
dQ
P
dE
R
r
dr
y
Consideremos un anillo de radio r y espesor dr tiene un área diferencial:
dS = 2 π r dr
La carga de este anillo es:
dQ = σdS = σ (2 π r dr)
Considere un disco de radio R que tiene una densidad de carga superficial uniforme σ (C/m2).a) Determine el campo eléctrico a lo largo del eje del disco a una distancia y de su centro.b) Use el resultado anterior para determinar el campo eléctrico de una lamina infinita cargada uniformemente.
dE =K y (2 σ π r dr)
( r + y )2 2 3/2
dE = K Q y
( r + y )2 2 3/2
El campo eléctrico total se halla integrando esta expresión entre los limites r = 0 y r = R, y observando que y es constante:
Para puntos en las proximidades del disco, o haciendo muy grande el radio del disco (y<<R), el segundo termino dentro del corchete tiende a cero y la ecuación se reduce a:
E = 2 π k σ 1 - y
( R + y )2 2 1/2
E = π k y σ ( r + y ) 2 2 -1/2
- 1 / 2
r = R
r = 0
E = ∫ dE = k y π σ 2 r dr∫( r + y ) 2 2 3/2
Ep = 2πkσ z^
z
x dx
L
R P
dQ
y
a
xdE
Un cascarón cilíndrico no conductor de radio R y longitud L tiene una carga Q, uniforme sobre su superficie. Determine el campo eléctrico en un punto P en el eje x a una distancia a de un extremo.
Se considera el cascaron cilíndrico como constituido por una serie de radio R. Un anillo elemental dx ubicado a una distancia x del origen, tiene una carga:
dQ = ( Q/L ) dx.
dE = k ( L + a – x) dQ
[ R + ( L + a – x) ]2 2 3/2
dE = k (Q / L) ( L + a – x ) dx
[ R + ( L + a – x) ]2 2 3/2
Sabiendo que el campo anillo es:
dE = k x’ dQ
( R + x’ ) 2 2 3/2 x
^
El elemento dQ queda a una distancia x’= (L + a – x) del punto P y el campo eléctrico que produce allí viene dado por:
Para hallar el campo en el punto P, integramos esta expresión sobre toda la longitud del tubo:
E = k Q
L ∫L
( L + a – x) dx
[ R + ( L + a – x) ]2 2 3/2
E = ( k Q / L )
[ R + ( L +a – x ) ] 2 2 1/2
L
0
E = k Q
L
1 _ 1
[ R + a ] [ R + ( L + a) ]2 2 1/2 2 2 1/2
P
0- a +a
σ
+ ∞
- ∞
y
z
Una lamina aislante delgada, de ancho 2a e infinitamente larga tiene una densidad superficial de carga uniforme σ (C/m2). a) Determinar el campo eléctrico en un punto P ubicado a distancia y en el eje de simetría, perpendicular al plano. b) compruebe que en el limite 2a >> y, el resultado se reduce al campo debido a una hoja de carga ilimitada.
Se procede a dividir la lámina en tiras delgadas y largas. Una tira finita de largo L y ancho dx ubicada a distancia x del eje z, tendrá una carga dQ = σ (Ldx), de modo que la carga por unidad de longitud es:
λ = dQ = σ dx
L
Ahora se aplica la expresión para el campo eléctrico producido por una línea infinita de carga en el punto P a distancia r:
dE = 2kλ
rr
Se observa que la componente dEx en dirección paralela al plano de la lamina provenientes de elementos simétricos a cada lado del eje z, se cancelan. Por lo tanto, solo nos interesa la componente perpendicular: dEy = dE cosθ = 2kλ cosθ =
r2 k σ dx cosθ
r
Ahora se sustituye r y dx en términos del ángulo θ:
r = y / cosθ x = y tgθ dx = y sec θ dθ
2
El campo debido a toda la lamina es:
Ey = 2 k σ ∫+ θ0
- θ0
dx cosθ r
+ θ0
- θ0
Ey = 2 k σ ∫ y sec θ dθ
y / cosθcosθ
2
Ey = 2 k σ dθ ∫+ θ0
- θ0
Siendo tgθ0
= a / y
Ey = 2 k σ θ + θ0
- θ0
Ey = 4 k σ θ0
Ey = 4 k σ arctg (a / y)
En el limite ( y << a ) entonces arctg ( a / y ) π/2 la ecuación anterior se reduce a:
E = 2 π k σ E = 2 π 1 σ
4 π Eo
E = σ
2 Eo y
a
a
Sea una barra de longitud a, con una carga total q uniformemente repartida. La barra se coloca en el eje de un disco circular aislante de radio a y también uniformemente cargado con carga Q, tal que un extremo de la barra queda casi tocando el centro del disco. Determine la fuerza de repulsión entre la barra y el disco.
Se considera en la barra un elemento dx ubicado a distancia x del centro del disco. La carga contenida en este elemento infinitesimal es:
dq = λ dx = ( q / a ) dx
QDisco
dq
xa
a
dx
E(x)
Por otra parte, el campo eléctrico producido por un disco de radio a en ese punto del eje, a distancia x de su centro es:
E = 2 π k σ 1 - x
( x + a )2 2 1/2x
Siendo σ la densidad superficial de carga del disco (en este caso σ = Q / πa ). De modo que el elemento de carga dq de la barra será repelido a lo largo del eje del disco por una fuerza de modulo:
2
dF = Edq = 2 π k σ 1 - x
( x + a )2 2 1/2dx x
q
a
Para obtener la fuerza total sobre la barra, se integra esta expresión con respecto a x, desde x = 0 hasta x = a.
F = 2 π kx Q q
π a a2 ∫a
0
1 - x
( x + a )2 2 1/2dx
Después de integrar, obtenemos:
F = k q Q x
a 3
2 ∫a
0
dx - ∫
a
0
2 x dx
( x + a )2 2 1/2
F = k q Q x
a 3
x – ( x + a ) 2 2 1/2a
0
F = 2 k q Q x
a 3
2 - √2
Un anillo metálico tiene una carga positiva uniforme +Q. Se coloca en el eje del anillo una barra aislante delgada y muy larga, con uno de sus extremos en el centro del anillo. Si la barra tiene una carga uniforme negativa con densidad lineal – λ (C/m), determine la fuerza con que el anillo atrae a la barra en esa posición.
R
+Q
- λx
+ ∞
El campo eléctrico producido por el anillo de carga Q y radio R en un punto a una distancia x de su centro es:E(x) = k Q x
( R + x )2 2 3/2
x
Si se considera un segmento de barra de longitud dx con carga dq, la fuerza que siente es: F(x) = dq E(x). Por lo tanto, la fuerza ejercida sobre la barra entera será: ∞
0
F = dF = ∫ ∫xx = ∞
x = 0
k λ Q x dx
( R + x )2 2 3/2
= - k λ Q
x- 1
( R + x )2 2 1/2
F = - K λ Q
Rx
Dos esferitas de igual masa m están suspendidas de hilos ligeros de longitud L y tienen cargas iguales a +q y –q. Si se aplica un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal, determine el valor de E que permite a las esferitas estar en equilibrio a un ángulo de 2θ.
- + E +-
θθ
Consideremos el diagrama de cuerpo libre para la esferita positiva en equilibrio a distancia d de la carga negativa. Las condiciones de equilibrio son:
∑ Fy = Tcosθ – mg = 0
∑ Fx = Tsenθ – Fqq + qE = 0
mg
cosθT =
Sustituyendo la tensión T en esta ultima ecuación, se obtiene:
qE Tsenθ + Fqq
mg senθ cosθ
+== kq2
d2
La distancia entre las esferitas es: d = 2 L senθ, por lo tanto el campo eléctrico es:
E = mg
qtgθ +
kq
4 L sen θ2 2
Jairo Mantilla.