campo eléctrico utp
TRANSCRIPT
Charge Densities• Volume charge density: when a charge is
distributed evenly throughout a volume– ρ = Q / V
• Surface charge density: when a charge is distributed evenly over a surface area– σ = Q / A
• Linear charge density: when a charge is distributed along a line– λ = Q / ℓ
Amount of Charge in a Small Volume
• For the volume: dq = ρ dV• For the surface: dq = σ dA• For the length element: dq = λ dℓ
Campo eléctrico debido a una distribución de carga continua
• Una barra de 16cm esta cargada uniformemente y tiene una carga total de -32µc.Determina la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra en un punto a 42 cm de su centro
Un anillo cargado uniformemente de 15cm de radio tiene una carga total de 55µc Encuentre el campo electrico sobre el eje del anillo de a)1cm b)5cm c)30cm d)100cm
Un disco cargado de modo uniforme de 25cm de radio tiene una densidad de carga de 5.6x10-3 C/m2.Calcule el campo electrico sobre el eje del
disco en a)5cm, b)10cm c)50cm y d)200cm del Centro del disco
Electric Field Lines, General
• The density of lines through surface A is greater than through surface B
• The magnitude of the electric field is greater on surface A than B
• The lines at different locations point in different directions– This indicates the field is
non-uniform
Electric Field Lines, Positive Point Charge
• The field lines radiate outward in all directions– In three dimensions, the
distribution is spherical
• The lines are directed away from the source charge– A positive test charge would
be repelled away from the positive source charge
Electric Field Lines, Negative Point Charge
• The field lines radiate inward in all directions
• The lines are directed toward the source charge– A positive test charge
would be attracted toward the negative source charge
Electric Field Lines – Dipole
• The charges are equal and opposite
• The number of field lines leaving the positive charge equals the number of lines terminating on the negative charge
Electric Field Lines – Like Charges
• The charges are equal and positive
• The same number of lines leave each charge since they are equal in magnitude
• At a great distance, the field is approximately equal to that of a single charge of 2q
Electric Field Lines, Unequal Charges
• The positive charge is twice the magnitude of the negative charge
• Two lines leave the positive charge for each line that terminates on the negative charge
• At a great distance, the field would be approximately the same as that due to a single charge of +q
Motion of Particles, cont• Fe = qE = ma• If E is uniform, then a is constant• If the particle has a positive charge, its
acceleration is in the direction of the field• If the particle has a negative charge, its
acceleration is in the direction opposite the electric field
• Since the acceleration is constant, the kinematic equations can be used
Un electrón entra ala región de un campo eléctrico uniforme E=350N/C como se muestra en la figura con una velocidad inicial de 6x10 6 m/s la longitud horizontal de las placas es 0.2m Encontrar la aceleración del electrón mientras se encuentra en le campo eléctrico
CRT, cont
• The electrons are deflected in various directions by two sets of plates
• The placing of charge on the plates creates the electric field between the plates and allows the beam to be steered
Flux Through Closed Surface, final
• The net flux through the surface is proportional to the net number of lines leaving the surface– This net number of lines is the number of lines
leaving the surface minus the number entering the surface
• If En is the component of E perpendicular to the surface, then
E nd E dA E A
Gauss’s Law – General, cont.
• The field lines are directed radially outward and are perpendicular to the surface at every point
• This will be the net flux through the gaussian surface, the sphere of radius r
• We know E = keq/r2 and Asphere = 4πr2,
E d E dA E A 4E eo
qπk qε
Gauss’s Law – Final
• Gauss’s law states
• qin is the net charge inside the surface• E represents the electric field at any point on the
surface– E is the total electric field and may have contributions
from charges both inside and outside of the surface
• Although Gauss’s law can, in theory, be solved to find E for any charge configuration, in practice it is limited to symmetric situations
E A inE
o
qdε
Field Due to a Point Charge
• Choose a sphere as the gaussian surface– E is parallel to dA at each
point on the surface
2
2 2
(4 )
4
Eo
eo
qd EdAε
E dA E πr
q qE kπε r r
E A
Field Due to a Spherically Symmetric Charge Distribution
• Select a sphere as the gaussian surface
• For r >a
in
2 24
Eo
eo
qd EdAε
Q QE kπε r r
E A
Spherically Symmetric, cont.
• Select a sphere as the gaussian surface, r < a
• qin < Q• qin = r (4/3πr3)
in
in2 34
Eo
eo
qd EdAε
q QE k rπε r a
E A
Spherically Symmetric Distribution, final
• Inside the sphere, E varies linearly with r– E → 0 as r → 0
• The field outside the sphere is equivalent to that of a point charge located at the center of the sphere
Field Due to a Thin Spherical Shell
• Use spheres as the gaussian surfaces• When r > a, the charge inside the surface is Q and
E = keQ / r2
• When r < a, the charge inside the surface is 0 and E = 0
Field at a Distance from a Line of Charge
• Select a cylindrical charge distribution – The cylinder has a
radius of r and a length of ℓ
• E is constant in magnitude and perpendicular to the surface at every point on the curved part of the surface
Field Due to a Line of Charge, cont.
• The end view confirms the field is perpendicular to the curved surface
• The field through the ends of the cylinder is 0 since the field is parallel to these surfaces
Field Due to a Line of Charge, final
• Use Gauss’s law to find the field
in
2
22
Eo
o
eo
qd EdAε
λE πrε
λ λE kπε r r
E A
Field Due to a Plane of Charge
• E must be perpendicular to the plane and must have the same magnitude at all points equidistant from the plane
• Choose a small cylinder whose axis is perpendicular to the plane for the gaussian surface
Field Due to a Plane of Charge, cont
• E is parallel to the curved surface and there is no contribution to the surface area from this curved part of the cylinder
• The flux through each end of the cylinder is EA and so the total flux is 2EA
Field Due to a Plane of Charge, final
• The total charge in the surface is σA• Applying Gauss’s law
• Note, this does not depend on r• Therefore, the field is uniform everywhere
22E
o o
σA σEA and Eε ε
Property 1: Einside = 0
• Consider a conducting slab in an external field E
• If the field inside the conductor were not zero, free electrons in the conductor would experience an electrical force
• These electrons would accelerate
• These electrons would not be in equilibrium
• Therefore, there cannot be a field inside the conductor
Property 1: Einside = 0, cont.
• Before the external field is applied, free electrons are distributed throughout the conductor
• When the external field is applied, the electrons redistribute until the magnitude of the internal field equals the magnitude of the external field
• There is a net field of zero inside the conductor• This redistribution takes about 10-15s and can be
considered instantaneous
Property 3: Field’s Magnitude and Direction
• Choose a cylinder as the gaussian surface
• The field must be perpendicular to the surface– If there were a parallel
component to E, charges would experience a force and accelerate along the surface and it would not be in equilibrium
Property 3: Field’s Magnitude and Direction, cont.
• The net flux through the gaussian surface is through only the flat face outside the conductor– The field here is perpendicular to the surface
• Applying Gauss’s law
Eo o
σA σEA and Eε ε
Conductors in Equilibrium, example
• The field lines are perpendicular to both conductors
• There are no field lines inside the cylinder
Derivation of Gauss’s Law
• We will use a solid angle, Ω
• A spherical surface of radius r contains an area element ΔA
• The solid angle subtended at the center of the sphere is defined to be 2
Ar
Densidad de las líneas de campo
NSuperficie gaussiana
NA
Densidad de líneas
Ley de Gauss: El campo E en cualquier punto en el espacio es proporcional a la densidad de líneas en dicho punto.
A
Radio r
rr
Densidad de líneas y constante de espaciamiento
Considere el campo cerca de una carga positiva q:Considere el campo cerca de una carga positiva q:
Superficie gaussiana
Radio r
rr
Luego, imagine una superficie (radio r) que rodea a q.Luego, imagine una superficie (radio r) que rodea a q.
EE es proporcional a es proporcional a N/N/AA y es y es igual a igual a kq/rkq/r22 en cualquier punto. en cualquier punto.
2; N kqE EA r
se define como constante de se define como constante de espaciamiento. Entonces:espaciamiento. Entonces:
01
4 k
:es ε Donde 00 E
AN
Permitividad del espacio libreLa constante de proporcionalidad para la densidad de La constante de proporcionalidad para la densidad de líneas se conoce como líneas se conoce como permitividad permitividad y se define como:y se define como:
2-12
0 2
1 C8.85 x 104 N mk
Al recordar la relación con la densidad de líneas se tiene:Al recordar la relación con la densidad de líneas se tiene:
0 0 N E or N E AA
Sumar sobre toda el área A Sumar sobre toda el área A da las líneas totales como:da las líneas totales como: N = oEA
Ejemplo 5. Escriba una ecuación para encontrar el número total de líneas N que salen de una sola
carga positiva q.
Superficie gaussiana
Radio r
rrDibuje superficie gaussiana esférica:Dibuje superficie gaussiana esférica:
22 2 ; A = 4 r
4kq qEr r
Sustituya E y A de:Sustituya E y A de:
20 0 2 (4 )
4qN EA rr
N = oqA = q
El número total de líneas es igual a la carga encerrada q.
EANAEN 00 y
Ley de GaussLey de Gauss:Ley de Gauss: El número neto de líneas de campo El número neto de líneas de campo eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la carga neta total dentro de dicha superficie.carga neta total dentro de dicha superficie.
0N EA q
Si Si q q se representa como la se representa como la carga carga positiva neta encerradapositiva neta encerrada, la ley de , la ley de Gauss se puede rescribir como:Gauss se puede rescribir como: 0
qEA
Ejemplo 6. ¿Cuántas líneas de campo eléctrico pasan a través de la superficie gaussiana
dibujada abajo?
+
-q1
q4
q3 -
+q2-4 C
+5 C
+8 C
-1 C
Superficie gaussianaPrimero encuentre la carga Primero encuentre la carga NETA NETA qq encerrada por la encerrada por la superficiesuperficie::
q = (+8 –4 – 1) = +3 q = (+8 –4 – 1) = +3 CC
0N EA q
N = +3 C = +3 x 10-6 líneas
Ejemplo 6. Una esfera sólida (R = 6 cm) con una carga neta de +8 C está adentro de un cascarón hueco (R = 8 cm) que tiene
una carga neta de–6 C. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 12 cm desde el centro de la esfera sólida?
q = (+8 – 6) = +2 q = (+8 – 6) = +2 CC0N EA q
-6 C
+8 C--
--
--
- -
Dibuje una esfera gaussiana a un Dibuje una esfera gaussiana a un radio de 12 cm para encontrar E.radio de 12 cm para encontrar E.
8cm
6 cm
12 cm
Superficie gaussiana
00
; netqAE q EA
22
-6
2 -12 2Nm0 C
2 x 10 C(4 ) (8.85 x 10 )(4 )(0.12 m)
qEr
Ejemplo 6 (Cont.) ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 12 cm desde el centro de la esfera sólida?
Dibuje una esfera gaussiana a un Dibuje una esfera gaussiana a un radio de 12 cm para encontrar E.radio de 12 cm para encontrar E.
q = (+8 – 6) = +2 q = (+8 – 6) = +2 CC0N EA q
00
; netqAE q EA
6 NC2
0
2 C 1.25 x 10(4 )
Er
-6 C
+8 C--
--
--
- -
8cm6 cm
12 cm
Superficie gaussiana
E = 1.25 MN/C
Carga sobre la superficie de un conductor
Conductor cargado
Superficie gaussiana justo adentro del conductor
Dado que cargas iguales Dado que cargas iguales se repelen, se esperaría se repelen, se esperaría que toda la carga se que toda la carga se movería hasta llegar al movería hasta llegar al reposo. Entonces, de la reposo. Entonces, de la ley de Gauss. . .ley de Gauss. . .
Como las cargas están en reposo, E = 0 dentro del Como las cargas están en reposo, E = 0 dentro del conductor, por tanto:conductor, por tanto:
0 or 0 = N EA q q
Toda la carga está sobre la superficie; nada dentro del conductor
Ejemplo 7. Use la ley de Gauss para encontrar el campo E justo afuera de la superficie de un conductor. Densidad de carga
superficial: = q/A.
Considere Considere q adentro de la q adentro de la cajacaja. Las líneas de . Las líneas de E E a través a través de todas las áreas son hacia de todas las áreas son hacia afuera.afuera.
Densidad de carga superficial
+++ +
++ +
++
+ +++A
E2
E1
0 AE q Las líneas de E a través de Las líneas de E a través de los los ladoslados se cancelan por se cancelan por simetría.simetría.
E3
E3 E3
E3
ooEE11A + A + ooEE22AA = = qq
El campo es cero dentro del conductor, así que El campo es cero dentro del conductor, así que EE22 = 0 = 0 00
0 0
qEA
Ejemplo 7 (Cont.) Encuentre el campo justo afuera de la superficie si = q/A = +2 C/m2.
Densidad de carga superficial
+++ +
++ +
++
+ +++A
E2
E1 E3
E3 E3
E3
10 0
qEA
Recuerde que los campos Recuerde que los campos laterales se cancelan y el laterales se cancelan y el campo interior es cero, de campo interior es cero, de modo quemodo que
22
-6 2
-12 NmC
2 x 10 C/m8.85 x 10
E E = 226,000
N/C
Campo entre placas paralelasCargas iguales y opuestas.Cargas iguales y opuestas.
Dibuje cajas gaussianas en Dibuje cajas gaussianas en cada superficie interior.cada superficie interior.
+++++
Q1 Q2
-----
Campos ECampos E11 y E y E22 a la derecha. a la derecha.
E1
E2
E1
E2
La ley de Gauss para cualquier caja La ley de Gauss para cualquier caja da el mismo campo (Eda el mismo campo (E11 = E = E22).).
0 AE q 0 0
qEA
Línea de carga
r
E
2r
L
qL
A1
A
A2
0
q; =2 L
qErL
02
Er
Los campos Los campos debidos a Adebidos a A11 y A y A2 2 se se cancelan debido a cancelan debido a simetría.simetría.
0
; (2 )qEA A r L
0 AE q
Ejemplo 8: El campo eléctrico a una distancia de 1.5 m de una línea de carga es 5 x 104 N/C. ¿Cuál es la
densidad lineal de la línea?
r
EL
qL
02E
r
02 rE
2
2-12 4C
Nm2 (8.85 x 10 )(1.5 m)(5 x 10 N/C)
E E = 5 x 10= 5 x 1044 N/CN/C r = 1.5 r = 1.5 mm
4.17 C/m
Cilindros concéntricos
+ + ++ + + ++ +
+ + + + ++ + + +
+ +
+ + a
ba
b
r1 r2
-6 Cra
rb
12 cm
Superficie gaussiana
a
b
Afuera es como un Afuera es como un largo alambre largo alambre
cargado:cargado:
Para r > rb
02a bE
r
Para rb > r >
ra02
aEr
Ejemplo 9. Dos cilindros concéntricos de radios 3 y 6 cm. La densidad de carga lineal interior es de +3 C/m y la exterior es de -5 C/m.
Encuentre E a una distancia de 4 cm desde el centro.
+ + +
+ + + ++ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ + a = 3
cm
b=6 cm
-7 C/m
+5 C/m
E = 1.38 x 106 N/C, radialmente hacia afuera
rr
Dibuje una superficie Dibuje una superficie gaussiana entre los gaussiana entre los
cilindros.cilindros.
02bE
r
0
3 C/m2 (0.04 m)
E
E = 5.00 x 105 N/C, radialmente hacia adentro
+ + +
+ + + ++ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ + a = 3 cm
b=6 cm
-7 C/m
+5 C/m
rr
Gaussiana afuera Gaussiana afuera de ambos cilindros.de ambos cilindros.
02a bE
r
0
( 3 5) C/m2 (0.075 m)
E
Ejemplo 8 (Cont.) A continuación, encuentre E a una distancia de 7.5 cm desde el centro (afuera de ambos
cilindros)
Resumen de fórmulas
Intensidad de campo eléctrico E:
Campo eléctrico cerca de muchas cargas:
Ley de Gauss para distribuciones de carga. 0 ; qEA q
A
CN
rkQ
qFE es Unidad2
vectorialSuma 2rkQE
CONCLUSIÓN: Capítulo 24El campo eléctrico