cap12 vectores

Moisés Villena Muñoz Vectores en nIRIRIR ,,, 32

309

12

12.1 DEFINICIÓN 12.2 IGUALDAD 12.3 OPERACIONES 12.4 MAGNITUD 12.5 VECTORES UNITARIOS 12.6 VECTORES ORTOGONALES 12.7 VECTORES ORTONORMALES 12.8 COMBINACIÓN LINEAL

Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2IR . Pero el interés ahora es ser más generales.


310

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Defina vectores en IR², IR³, ... IRn. Opere (sume, reste, multiplique por escalarares) Vectores en IR², IR³, ... IRn Defina norma de un vector, vectores unitarios. Obtenga un vector unitario a partir de un vector dado. Exprese un vector en combinación lineal de otros vectores dados. Defina vectores ortogonales. Determine si dos vectores son ortogonales o no.

12.1 DEFINICIÓN Los vectores en 2IR , 3IR ,…, nIR , son conjuntos ordenados de números reales de:

• 2 componentes: →),( yx Par ordenado. Vector en 2IR .

• 3 componentes: →),,( zyx Vector en 3IR .

• 4 componentes: →),,,( 4321 xxxx Vector en 4IR . Y así,

• " n " componentes: →),,,,( 321 nxxxx Vector en nIR .

12.2 IGUALDAD

Sean ( )nxxxxV ,,,, 3211 = y ( )nyyyyV ,,,, 3212 =

vectores de nIR . Entonces 21 VV = , si y sólo si:

( ) ( ) ( ) ( )nn yxyxyxyx =∧∧=∧=∧= 332211

12.3 OPERACIONES 12.3.1. SUMA Y RESTA


vectores de nIR . Entonces:

=+ 21 VV ( )nn yxyxyxyx ++++ ,,,, 332211

=− 21 VV ( )nn yxyxyxyx −−−− ,,,, 332211

Ejemplo

Sean ( )1,2,51 −=V y ( )2,0,32 −=V , dos vectores de 3IR , hallar 21 VV + y 21 VV −

SOLUCIÓN:


311

Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos: ( ))2(1,02,3521 −+++−=+VV )1,2,2( −−= ( ) ( )3,2,8)2(1,02,3521 −=−−−−−=−VV

12.3.1.1. Propiedades Sean 321 ,, VVV vectores de nIR , entonces:

1. =+ 21 VV 12 VV + 2. ( ) ( ) 321321 VVVVVV ++=++ 3. 11 0 VV =+ , donde ( ),0,0,00 = . 4. ( ) 011 =−+ VV

12.3.2. MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

Sea IR∈α y sea ( )nxxxxV ,,,, 321 = un vector de nIR . Entonces:

( )nxxxxV ,,,, 321 α=α

( )nxxxxV αααα=α ,,,, 321

Ejemplo

Sea ( )1,2,5−=V un vector de 3IR , hallar V3 RESOLUCIÓN:

( )( )3,6,153

1,2,533−=

−=

VV

12.3.2.1. Propiedades Sean 21 ,VV vectores de nIR y IR∈βα, , entonces:

1. ( ) 2121 VVVV α+α=+α 2. ( )( ) ( ) ( )111 VVV αβ=βα=αβ

Ejemplo

Sean 1V y 2V dos vectores de 3IR tales que: ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V , Hallar el vector 21 32 VVV −= SOLUCIÓN:

( ) ( )( )7,6,21

3,6,154,0,632 21

−−=

−−−=

−=

VV

VVV


312

Ejercicio Propuesto 12.1 Sean ( ) ( ) ( )1,4,2,5,2,3,3,2,1 −=−=−= wvu . Calcular:

a) vu − c) vwwu −−− b) wv 53 + d) wvu 742 +−

12.3.3. PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)


vectores de nIR . Entonces el producto punto de 1V y 2V , denotado como 21 VV • , se define

como:

( ) ( )IRyxyxyxyxVV

yyyyxxxxVV

nn

nn

∈++++=•

•⋅=•

33121121

32132121 ,,,,,,,,

Note que el resultado del producto punto es un número real.

Ejemplo 1

Hallar 21 VV • para ( )2,0,31 −=V y )1,2,5(2 −=V . SOLUCIÓN:

172015

)1)(2()2)(0()5)(3()1,2,5()2,0,3(

21

21

21

21

−=•

−+−=•

−++−=•

−•−=•

VVVVVVVV

Ejemplo 2

Sean 1V y 2V dos vectores de 4IR tales que: ( )1,3,1,21 −−=V y ( )2,1,0,32 −=V . Hallar 21 VV • SOLUCIÖN:

11

)2)(1()1)(3()0)(1()3)(2(

21

21

−=•

−+−++−=•

VVVV

12.3.3.1. Propiedades Sean 321 ,, VVV vectores de nIR , entonces:

1. 1221 VVVV •=•


313

2. ( ) 3121321 VVVVVVV •+•=+• 3. )()()( 212121 VVVVVV ααα •=•=⋅• , donde IR∈α

Ejercicio Propuesto 12.2 1. Dados los vectores: V 1=(1, 2, -1) y V 2=(2, 0, 1 ), el resultado de la operación:

(3V 1-2V 2).(V 2-2V 1) es: a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -13

12.4 MAGNITUD (NORMA) DE UN VECTOR

Si ( ) nn IRxxxxV ∈= ,,,, 321 , entonces la NORMA del

vector V , denotada V , es:

22

32

22

1 nxxxxV ++++=

Ejemplo

La norma del vector )3,2,1(=V sería:

14

321 222

=

++=

V

V

Veamos que sucede si realizamos el producto punto de un vector V consigo mismo

( ) ( )nn xxxxxxxxVV ,,,,,,,, 321321 •=• 22

32

22

1 nxxxxVV ++++=• 2VVV =•

12.5 VECTORES UNITARIOS

Un vector u es UNITARIO si y sólo sí su norma es igual a 1, es decir: 1=u

Un vector cualquiera V puede ser expresado de la siguiente

forma uVV = por tanto VVu =

Ejemplo

Hallar un vector unitario u para el vector )3,2,1(=V


314

SOLUCIÓN:

Aplicando la fórmula VVu = tenemos:

=

=

=

143,

142,

141

)3,2,1(14114

)3,2,1(

u

u

u

comprobando

11414

149

144

141

=

=

++=

u

u

u

12.6 VECTORES ORTOGONALES

Sean 21 ,VV dos vectores de nIR . Entonces 1V y 2V son ortogonales si y sólo si: 021 =•VV

Ejemplo Los vectores )1,2,1(1 −=V y )1,2,3(2 −=V son ortogonales, porque

0)1)(1()2)(2()3)(1(21 =−++−=•VV

Este concepto puede se utilizado en problemas de diseño, como el siguiente:

Ejercicio resuelto

Dados los vectores ( )3,2,121 −= aV y ( )24

5,,22 aV −−= , encontrar los valores de "a" para que sean ortogonales. SOLUCIÓN: Para que 21 VV ∧ sean ortogonales se debe cumplir que 021 =•VV , entonces

( ) 852

2452

21 222),,2(3,2,1 +−+−=−−•−=• aaaaVV por lo tanto

43

47

0211616

0222

8212

=∨−=

=−+

=+−−

aa

aa

aa

Ejercicios Propuestos 12.3 1. Sean los vectores ( ) ( )2,1,4,3,2,1 −=−= BA y ( )3,0,2 −=C encontrar el valor de t , tal que tBA +

sea ortogonal a C.


315

2. Si se tienen los vectores ( )0,2,11 −=V y ( )3,2,12 −−= abV , si 1V y 2V son ortogonales y

−−−=23,1,221 aaVV , entonces los valores de a y b , respectivamente son:.

a) 2 y 23 b)

21 y -2 c) -1 y

21 d) -

21 y -1 e) -

21

y 1

12.7 VECTORES ORTONORMALES

Sean nVVV ,...,, 21 vectores de nIR . Entonces 1V ,

2V ,…, nV son ORTONORMALES si y sólo si:

≠=•

==•

jicuandoVVjicuandoVV

ii

ii

01

Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.

Ejemplo Los vectores )1,0,0(ˆ,)0,1,0(ˆ,)0,0,1(ˆ === kji son ortonormales, porque

0=•=•=• kjkiji y además 1=== kji

12.8 COMBINACIÓN LINEAL Algo interesante ocurre cuando descomponemos al vector

( )zyxV ,,= de la siguiente manera:

)1,0,0()0,1,0()0,0,1( zyxV ++= kzjyixV ++= Es decir que el vector ( )3,5,2 −=V también se lo puede denotar de la forma kjiV 352 +−=

Sean nVVVV ,,,, 321 vectores de nIR , entonces

una combinación lineal de estos vectores es una expresión de la forma:

nnVaVaVaVa ++++ 332211 donde IRaaaa n ∈,...,,, 321


316

Ejercicios propuestos 12.4 1. Sean los vectores ( ) ( ) ( )7,1,4,1,3,2,0,3,1 321 −−=== VVV , entonces los valores de a y b para que

la combinación 213 bVaVV += sea verdadera:

a) 7.320 == ba d) 3

13.314 =−= ba

b) 7.18 −== ba e) Elija esta opción si a y b no existe

c) 7.320 −== ba

2. Dados los vectores ( ) ( ) ( ) ( )3,5,2;7,1,0;0,2,2;2,2,1 321 −==−=−= VVVV , entonces para que se cumpla que VVkVkVk =++ 332211 ; el valor de

321 kkk ++ debe ser: a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2

Misceláneos

1. Sean los vectores de 3R , ( )1,2,11 −=v , ( )1,2,12 −−=v y ( )0,1,03 −=v . Entonces el valor de

( ) ( )[ ]3212

221 22 vvvvvv •+−•

a) ( )0,24,0 − b)-24 c) ( )0,0,24 d)12 e)24

2. Sean 1V , 2V vectores de 2R , tales que: ( )2,51 =V y ( )2,72 −=V . Entonces un vector 3V tal que:

3831 =•VV y 3423 =•VV es: a) ( )6,43 =V b) ( )9,63 =V c) ( )4,63 =V

d) ( )0,63 =V e) ( )9,43 =V

3. Sean 21,VV y 3V vectores de 3R tales que: ( )2,1,31 =V , ( )1,1,22 −=V y 213 2VbVV += .

Entonces el VALOR de “ b ” para que 3V sea ortogonal a 2V es:

a) 75− b) 7

2− c) 512 d) 12

5− e) 512−

4. Sea los vectores de: ( )1,3,1 −= kkV y ( )kV ,1,32 −= . Determine los valores de k tales que 1V y

2V sean ORTOGONALES. a)3 y 1 b)3 y -1 c)-3 y -1 d)-3 y 1 e)0 y -3 5. Dados los vectores 5,1,46,4,32,4,3 321 −=−=−−= VVV . Halle un vector 4V tal que

4321 VVVV +++ = 5,4,1−

a) 8,3,5 −−− b) 8,3,5 −− c) 8,3,5 −−

d) 8,3,5 −− e) 6,3,5 −−− 6. Sean 1V , 2V y 3V vectores de 3IR tales que: ( )1,2,31 −=V , ( )0,1,52 −=V y ( )0,4.03 =V .

Entonces al efectuar la operación ( ) ( ) 233221

21 2643 VVVVVV −•−•− se obtiene como

resultado: a)54 b)110 c)84 d)184 e)52

7. Sean los vectores de 3R , ( )4,3,21 −=V , ( )1,3,22 −=V , ( )2,8,43 =V , ( )0,0,14 =V . Entonces un

vector V tal que 4321 2 VVVVV =+−− , es:

a) ( )4,17,7 −=V b) ( )9,8,6=V c) ( )9,8,6=V d) ( )4,17,7−=V e) ( )4,17,7 −−=V

8. Sean 1V y 2V vectores en 3IR , tales que 1,1,21 =V y 1,1,12 =V . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA identifíquela:

a) 1V y 2V son ortogonales. b) 1V y 2V son paralelos.


317

c) 2332 12 =− VV .

d) 1,0,132 12 −=− VV

e) 332 12 =− VV . 9. La SUMA DE LOS VALORES de " a " que hacen que los vectores 1,3,11 aaV −= y 3,1,2 −= aV

SEAN ORTOGONALES, es: a)-3 b)-1 c)-2 d) 0 e) 3

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