analisi limiti

Analisi matematica I limiti - prof. Antonio de Trizio 1E

lf(x)lim0xx

=→


Particolari disequazioni con il valore assoluto

Valori

esterni a

k e –k

I due sistemi si

trasformano in una

disequazione del tipo:

Unione degli

intervalli

|A(x)|>k

con k>0

Valori

interni a

k e –k

I due sistemi si

trasformano in una

disequazione del tipo:

Intersezione degli

intervalli

|A(x)|<k

con k>0

kxAk

kxA

xA

kxA

xA

<<−

⇔

<−

<∨

<

≥

)(

)(

)(

)(

)( 00

kxAkxA

kxA

xA

kxA

xA

−<∨>

⇔

>−

<∨

>

≥

)()(

)(

)(

)(

)( 00

kxAk <<− )(

kxAkxA −<∨> )()(



La disequazione |A(x)|<k con k>0 è equivalente a -k < A(x) <k

3

102

3

102

103628328

8238823

<∧−>⇔<<−⇔

<<−⇔+<<+−

<−<−⇔<−

xxx

xx

xx

Valori interni a k e –k intersezione tra intervalli



kxAkkxA <<−⇔< )()(

7711

71

3434

34334

22

22

22

<<−⇔>∨−<

⇔<∧>

<−∧−>−

<−<−⇔<−

xxx

xx

xx

xx

Valori interni a k e –k intersezione degli intervalli



La disequazione |A(x)|>k con k>0 è equivalente all’unione delle

soluzioni date dalle disequazioni

kxAkxAkxA −<∨>⇒> )()()(

7

515777

617617617

>∨−<⇔>∨−<

>+∨−<+⇔>+

xxxx

xxx

Valori esterni a k e –k “unione delle soluzioni”



La disequazione |A(x)|>k con k>0 è equivalente all’unione delle

soluzioni date dalle disequazioni

32

006

3206

666

2

2

222

>∨−<

→<⇒<+−

>∨−<⇒>−−

−<−∨>−⇔>−

xxèsoluzioneLa

verificatamaiènondislaxx

xxxx

xxxxxx

.∆

Valori esterni a k e –k “unione delle soluzioni”

kxAkxAkxA −<∨>⇒> )()()(


Il concetto di limite assume un ruolo di

fondamentale importanza in molti rami

della matematica pura e applicata.

Consideriamo la funzione esponenziale y=2x

Essa assume valore y=4 per x=2.

Invece di calcolare la funzione in un punto si vuole

vedere cosa succede ai valori assunti dalla funzione

man mano che x si avvicina al valore indicato. Quindi

non interessa conoscere l’eventuale valore di f. nel

punto x=2 ma interessa sapere cosa fa f. quando il

valore x si avvicina a 2.

Il limite è una operazione matematica che ci permette

di descrivere questa proprietà.

Introduzione al concetto di limite


Si può dare una definizione intuitiva di limite

iniziando ad usare termini “più” matematici.

Allora si dice che per x tendente a x0

la funzione tende al limite finito l

e si scrive

Definizione intuitiva

0xx →

lxf →)(

lxfxx

=→

)(lim0


La definizione intuitiva dal punto di vista grafico

significa che se x si avvicina a x0 allora f(x) si avvicina ad llll = f(x0)


La definizione intuitiva vale anche se x0 non appartiene al

dominio come nel caso in figura.

Anche in questo caso ci si può porre la seguente domanda:

“A quale valore l si avvicina f(x) quando x si avvicina a x0 ?”


Non è possibile dare un’unica definizione di limite comprensiva

di tutte le situazioni che si possono presentare;

occorrerà pertanto distinguere vari casi e dare per ciascuno di

essi l’appropriata definizione.

Esaminiamo intuitivamente alcuni casi:

4)2()(

4lim

0

23

2

23

==

=−

−=

→

fxf

xx

xxy

x


La f ha come dominio …

x=-2 e x=2 sono asintoti

verticali

La funzione rappresentata ha come

dominio R meno il valore x=1. Il

limite, in questo caso, si propone di

determinare il valore di y quando x si

avvicina a 1. Dal grafico deduciamo

che la funzione tende a + infinito.

x=1 è un asintoto verticale.

( ) ( ) ( )....

4lim...

4lim

422222222

=−

−=

−

−

−

−=

→−→ x

x

x

x

x

xy

xx

( ) ( )+∞=

−−=

→ 2121

3lim

1

3

xxy

x


Analizziamo la f. rappresentata

In questo caso siamo “costretti” a

distinguere due casi:

se x si avvicina a -1 con valori

più piccoli (da sinistra) allora il

valore di f(x) tende a – infinito

…. Limite sinistro

Se x si avvicina a -1 con valori

più grandi (da destra) allora il

valore di f(x) tende a + infinito

…. Limite destro

∞=+

⇔+∞=+

∧−∞=+ −→−→−→ +−

mm 1

1lim

1

1lim

1

1lim

111 xxx xxx

x=-1 è un asintoto

verticale

1

1

+=

xy


Nello studio di una f. (in genere) si calcolano i limiti per valori

esclusi dal dominio e per valori di x che tendono a + o – inf.

Consideriamo la f. (rappresentata in colore rosso) e i seguenti

limiti (in blu l’asintoto verticale, in giallo l’asintoto orizzontale):

−

+∞→

+

−∞→=

+

−=

+

−

+

−= 2

1

42lim2

1

42lim

1

42

x

xe

x

x

x

xy

xx


Se facciamo tendere la x

a – inf. allora la f si

avvicinerà al valore 2

“partendo da valori

maggiori ma sempre più

prossimi a 2”.

Se x tende a + inf allora

la f tenderà a 2 “partendo

da valori minori di 2”.

Scriveremo i limiti:

Dicendo che “x tende a + inf” consideriamo valori di x sempre più

grandi e tali da superare qualsiasi numero reale positivo.

Dicendo che “x tende a - inf” consideriamo valori di x sempre più

piccoli e tali da essere minori di qualsiasi numero reale negativo.

−

+∞→

+

−∞→=

+

−=

+

−2

1

42lim2

1

42lim

x

xe

x

x

xx


xxxy

xy

23

8

23

3

+−=

−−=

∞−=−−∞+=−−

∞+=+−∞−=+−

+∞→−∞→

+∞→−∞→

8lim8lim

23lim23lim

33

2323

xx

xxxxxx

xx

xx

Attribuisci ad ogni

grafico la funzione

corrispondente e

calcola intuitivamente

i limiti.


Sia x0 appartenente a un intervallo [a; b]

e sia f una funzione definita in ogni

suo punto tranne al più x0.

Si dice che la funzione f(x) ha per limite

il numero reale l per x che tende a x0 e si scrive:

quando comunque si scelga un numero positivo

e si può determinare un intorno completo I di x0

tale che risulti:

per ogni x appartenete a I ∩ [a; b], diverso da x0.

Il limite di una funzione in un punto

DEFINIZIONE

ε<− lxf )(

lxfxx

=→

)(lim0

La scrittura si

legge:

“limite per x che

tende a x0 di f(x)

uguale a l”


Nella definizione troviamo la frase: “…

quando comunque si scelga un numero

positivo ε ....” significa che per valori di

ε anche molto piccoli (esso determina un

intervallo di f(x) sull’asse y) è sempre

possibile determinare un intorno di x0

sull’asse delle x.

In molti esercizi iniziali si considera

ε=1/2 o ε =1/4 ….. e si risolve la

disequazione con il valore assoluto.

Significato della definizione Interpretiamo il valore ε

piacereapiccolo

el

xxxf

lxf

xx

ε

ε

11

345)(

)(

1145lim

0

3

=

=−=

⇓

<−

⇓

⇒=−→


10

13

10

13

10

31

10

29

10

31

10

29

2

315

2

2915

2

1515

2

1

2

1155

2

1.......

2

11145

1145)()(

+<<−⇒<<

<<⇒<<⇒+<<+−

<−<−<−−

=−=⇒<−

xx

xxx

xx

piacereapiccoloelxxflxf εε

1145lim3

=−→

xx

Quello che abbiamo ottenuto è un intorno di 3 di raggio 1/10

Verificare il limite per ε = 1/20 e 1/100 e come terzo esercizio risolvere la

disequazione con ε valore costante


Significato della definizione

Interpretazione mediante la distanzaε<− lxf )(

Consideriamo sull’asse y un punto fisso Q(0; l) e un punto P(0; f(x))

variabile su tale asse, al variare di x.

L’espressione in valore assoluto

rappresenta la distanza fra i punti P

e Q: lxfPQ −= )(

Fissato un numero reale

positivo ε piccolo a

piacere,

se risulta:

significa che la distanza

PQ può essere piccola a

piacere.

ε<− lxf )(

La distanza fra due punti A(xA; yA) e B(xB; yB) è

data dalla formula

Se i due punti hanno la stessa ascissa xA= xB la

formula diventa:

e applicata a PQ

22 )()( BABA yyxxAB −+−=

lxfyyPQ

yyyyAB

AP

BABA

−=−=

−=−=

)(()(

)()( 2


Significato della definizione Interpretazione mediante gli intorni

ε<− lxf )(

Consideriamo il valore assoluto e risolviamolo:

f(x) appartiene all’intorno di l: se il raggio ε dell’intorno diventa

più piccolo, allora il punto P si avvicina al punto Q.

] [εεεε

εεεεε

+−+ →←−

+<<−⇒<−<−⇒<−

llll

lxfllxflxf

xf;

)()()(

)(


Interpretazione della definizione

Consideriamo la funzione y=2x-1 definita in D = ]0; 4[ e

scegliamo x0=3 e verifichiamo che l =5.

Consideriamo il limite:

e interpretiamo la definizione di limite.

Fissiamo un ε a piacere e controlliamo se la disequazione e

soddisfatta per tutti gli x in un intorno di 3.

Scegliamo prima ε = 1, ε = ½ e ε = ¼

5)12(lim3

=−→

xx

lxfxx

=→

)(lim0

( ) ( )

2

13

2

13

2

7

2

5725

1621151211512

5)12(lim3

+<<−⇒<<⇒<<⇒

<−<−⇒<−−<−⇒<−−

=−→

xxx

xxx

xx


Interpretazione della definizione

L’insieme delle soluzioni della disequazione

è l’intorno circolare di 3 di raggio ½ .

Scegliamo ε = ½

L’insieme delle soluzioni della disequazione

è l’intorno circolare di 3 di raggio ¼

lxfxx

=→

)(lim0

( ) ( )

4

13

4

13

4

13

4

11

2

162

2

1

2

1512

2

1

2

1512

5)12(lim3

+<<−⇒<<⇒

<−<−⇒<−−<−⇒<−−

=−→

xx

xxx

xx

+−

2

13;

2

13

+−

4

13;

4

13


Interpretazione della definizione lxfxx

=→

)(lim0

Dalla scelta di ε dipende il raggio dell’intorno di x0, cioè a un

determinato intorno di l sull’asse y corrisponde un intorno di x0

sull’asse x. La definizione dice che fissato un ε piccolo a piacere

(anche molto piccolo), troviamo sempre un intorno di x0 tale che

per ogni x appartenente a quell’intorno, f(x) appartiene

all’intorno di l cioè f(x) è molto vicino a l. ] [εε +−∈ llxf ;)(


Interpretazione della definizione lxfxx

=→

)(lim0

In generale, il significato della definizione è il seguente:

… allora f(x) è molto vicino a llll (è a

distanza minore di εεεε)

.. allora | f(x) | f(x) | f(x) | f(x) –––– l |< l |< l |< l |< εεεε

… se, da un punto di vista della distanza

fra punti, x è abbastanza vicini a x0 …

… troviamo un intorno I di

x0 tale che se x appartiene a I

…

Per ogni fissata distanza εεεε, anche molto

piccola …

Per ogni εεεε positivo fissato ….


Verifica del limite destro e del limite sinistro.

Consideriamo la funzione a tratti in figura

I limiti da verificare sono due:

Il limite sinistro e il limite destro

<−

≥+==

113

112)(

xsex

xsexxfy

213lim

312lim

1

1

=−

=+

−

+

→

→

x

x

x

x

+=>+<<−

⇒<−<−⇒<−+

−⇒+<<−

=>+<<−⇒<−<−⇒<−−

21;1

21

21

....22312

1;3

13

13

1

33333213

εεε

εεε

εεε

εεεεε

x

xx

x

xxx


Il limite infinito di una funzione in un punto

Sia f una funzione definita in un intervallo ]a; b[

escluso il punto x0.

Si dice che la funzione f(x) tende a + inf. per x che

tende a x0 quando per ogni numero reale positivo m

si può determinare un intorno completo di x0 tale

che risulti f(x) > m per ogni x appartenete a

I ∩ [a; b] , diverso da x0.

+−⇒+<<−⇒+<−<−

⇒±=−⇒<−⇒>−

≠+∞=−→

mmmx

mmx

m

valorim

xm

xmx

xECxx

11;

11

11

11

11

1

.int1

11

)1()1(

1

1..)1(

1lim

2

2

21

Occorre precisare che se m >0 e un qualsiasi valore anche molto grande allora il valore 1/m e la sua radice è un numero piccolissimo


Il limite infinito di una funzione in un punto

Sia f una funzione definita in un intervallo ]a; b[

escluso il punto x0.

Si dice che la funzione f(x) tende a - inf. per x che

tende a x0 quando per ogni numero reale positivo m

si può determinare un intorno completo di x0 tale

che risulti f(x) <-m per ogni x appartenete a

I ∩ [a; b] , diverso da x0.

+−⇒+<<−⇒+<−<−

⇒±=−⇒<−⇒>−

⇒−<−

−

≠−∞=−

−

→

mmmx

mmx

m

valorim

xm

xmx

mx

xECxx

12;

12

12

12

12

1

.int1

21

)2()2(

1

)2(

1

2..)2(

1lim

2

22

22

In entrambi i casi occorre precisare


ESERCIZI Risolvere le seguenti disequazioni

10

1

2

111025

6542

54634

343122

22

,,,=<−

>−<−

>−−>+

<−<−

εε conx

xxxx

xx

xx


Esercizi: verifica di un limite di una funzione in un punto

( )

ε

ε

ε

<−⇒=−

=−

=

−=

+

−=−−=−

<−+⇒=+

<−⇔=

→

→

−→→

→→

→

→

xxxx

x

xx

xx

xx

lxflxf

x

x

xx

xx

x

xx

20)2(lim

547lim

2

11

2

3lim87

2

1lim

6)6(lim1)32(lim

142314)23(lim

)()(lim

22

2

3

42

01

4

0


Il limite destro e il limite sinistro di una funzione in un

punto.

Esercizi pag. 86 U n. 97 e 98

Il limite infinito di una f in un punto

Esercizi pag. 89 U n. 113-114 – 117 – 118

Esercizi pag. 92 U n. 127 - 132 – 133


] [ { } ] [εεδδδε +−∈−+−∈∀>∃>∀

→←=→

llxfxxxx

lxfdef

xx

;)(,;/00

)(lim

000

0

Si dice che il limite per x che tende a xo, di f(x) è uguale ad llllse e solo se

per ogni ε (piccolo a piacere) maggiore di zero esiste un numero δδδδ

(che dipende da εεεε) maggiore di zero

tale che,

se la distanza di x da x0 è minore di δδδδ,

la distanza di f(x) da llll è minore di εεεε

Si dice che il limite per x che tende a xo, di f(x) è uguale ad l l l l se e solo se

per ogni intorno di llll esiste un intorno di x0

tale che

per ogni x appartenente all’intorno di x0 (con escluso al più x0),

f(x) appartiene all’intorno di elle

{ } lxxl

def

xxIxfxIxIIlxf ∈−∈∀∃∀ →←=

→)(,/)(lim 000

0

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