capitolul 6 forme liniare, biliniare Şi p Ătratice 6.1 … · 2021. 3. 6. · forme liniare,...

Algebră liniară

285

CAPITOLUL 6

FORME LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

6.1 Forme liniare

Fie V un spaţiu vectorial peste un corp K.

Definiţia 6.1.1 Se numeşte formă liniară sau funcţională liniară o

aplicaţie f : V → K care satisface condiţiile:

a) f( x + y) = f( x ) + f( y)(aditivitate), x, y ∈V;

b) f( αx) = αf( x ) (omogeneitate), x∈V, α ∈K.

Se observă că f este un caz particular de operator liniar, în care

codomeniul este chiar corpul K.

Observaţia 6.1.1 (Exerciţiu) 1) Condiţiile a) şi b) din definiţia de mai sus

sunt echivalente cu condiţia

c) f( αx + βy) = f( αx ) + f( βy), x, y ∈V, α, β ∈K.

2) Deoarece f este un operator liniar avem f(0) = 0.

Exemplul 6.1.1 Aplicaţia f :R3 → R, f(x1, x2, x3) = 2x2 + x3 este o formă

liniară (Exerciţiu).

Notăm cu V* mulţimea formelor liniare definite pe V. Introducem

operaţia de adunare a formelor liniare:

(f + g)(x) =def f (x) + g(x), f, g ∈V*, x∈V

Forme liniare, biliniare şi pătratice

286

şi operaţia de înmulţire a unei forme liniare cu un scalar din corpul K:

(α f )(x) =def αf (x), f ∈V*, α∈K.

Dacă ţinem cont de observaţia că funcţionalele liniare sunt cazuri

particulare de operatori liniari, atunci operaţiile introduse mai sus sunt de

fapt operaţiile de adunare a operatorilor liniari şi respectiv înmulţire a

acestora cu scalari. Exact ca în cazul operatorilor liniari se poate

demonstra că V* este un spaţiu vectorial real peste corpul K(exerciţiu).

Definiţia 6.1.2 Spaţiul vectorial V* se numeşte spaţiul vectorial dual sau

spaţiul conjugat al spaţiului vectorial V.

Fie B = {u1, u2, …,un} o bază în V şi x ∈V şi ξ1, ξ2,…,ξn

coordonatele vectorului x în baza B. Definim aplicaţiile ui*: V → K,

(6.1.1) ui*(x) = ξi, i = 1, 2, …,n,

şi vom arăta că acestea sunt forme liniare.

Pentru a demonstra că ui* i = 1, 2, …,n sunt forme liniare este

suficient să verificăm dacă este îndeplinită condiţia c) din Observaţia

6.1.1. Fie x, y ∈V şi α, β ∈K. Dacă x = ξ1u1 + ξ2u2 +…+ξnun, y = ζ1u1 +

ζ2u2 +…+ ζnun, atunci αx + βy = (αξ1 + βζ1) u1 + (αξ2 + βζ2)u2 +…+

(αξn + βζn)un iar ui*(αx + βy ) = αξi + βζi = α ui

*(x) + β ui*(y ), ceea ce

trebuia demonstrat.

Observaţia 6.1.2 ui*(uj ) = 0, dacă i ≠ j şi ui

*(ui ) = 0.

Teorema 6.1.1 Familia B* = { u1*, u2

*,… un* } este o bază în spaţiul dual

V*.

Algebră liniară

287

Demonstraţie. Pentru început vom arăta că B* este sistem liniar

independent. Fie α1u1*+ α2u2

*+… + αnun* = 0* 1) o combinaţie nulă

formată cu vectorii bazei B*. Folosind observaţia de mai sus avem

succesiv: (α1u1*+ α2u2

*+… +αnun*)(ui) = 0*(ui) ⇔ α1u1

*(ui)+ α2u2*(ui)+…

+αnun*(ui) = 0 ⇔ αi = 0, pentru orice indice i = 1, 2, …,n.

Deci B* este sistem liniar independent. Acum vom demonstra că B*

este sistem de generatori pentru V*. Fie f ∈V* şi x = ξ1u1 + ξ2u2 +…+

ξnun ∈V. Avem f(x) = f(ξ1u1 + ξ2u2 +…+ξnun) = ξ1f(u1) + ξ2 f(u2) +…+

ξn f(un). Folosind definiţia formelor liniare ui* şi comutativitatea corpului

K obţinem: f(x) = f(u1) u1*(x)+ f(u2) u2

*(x) +…+ f(un) un*(x).

Deci f se scrie ca o combinaţie liniară de vectori ai familiei B*, ceea

ce înseamnă că B* este sistem de generatori pentru V*. Demonstraţia a

fost încheiată.

Definiţia 6.1.3 Familia B* din teorema de mai sus se numeşte baza duală

a bazei B din V.

Coordonatele unei forme liniare f în baza duală a bazei B din V

f(u1), f(u2), …, f(un) se numesc coeficienţii formei liniare f în baza B. Din

modul de definiţie al coeficienţilor unei formei liniare f se deduce că

aceştia sunt unic determinaţi de baza B (pentru forma liniară f).

Din teorema de mai sus rezultă şi afirmaţie reciprocă: dacă (a1,

a2,…, an) este un sistem de scalari în K şi B este o bază fixată în V, atunci

există şi este unică forma liniară f ai cărei coeficienţi în baza B sunt a1,

a2,…,an.

1 0* este notaţie pentru elementul neutru la adunare din V*, 0*(x) = 0, x∈V.


288

Exemplul 6.1.2 Fie B = {u1 =(1, 1, 1), u2 =(1, 2, 0), u3 =(3, 0, 0)} o bază

în R3. Să se determine baza duală B*, precum şi coeficienţii formei liniare

de la Exemplul 6.1.1 în bază B.

Fie x = (ξ1, ξ2, ξ3) ∈ R3. Coordonatele acestui vector în baza B

sunt (ξ3, 1/2ξ2 - 1/2ξ3, 1/3ξ1 - 1/6ξ2 - 1/6ξ3). Atunci, conform relaţiei

(6.1.1) avem u1*(x) = ξ3, u2

*(x) = 1/2ξ2 - 1/2ξ3, u3*(x) = 1/3ξ1 - 1/6ξ2 -

1/6ξ3.

Coeficienţii formei " f " sunt f(u1) = 3, f(u2) = 4 şi f(u3) = 0.

Observaţia 6.1.3 Dacă x∈V, x ≠ 0 atunci există o formă liniară f astfel

încât f(x) ≠ 0. Dacă ξ1, ξ2, …, ξn sunt coordonatele vectorului x în baza B

= {u1, u2, …un} atunci există i ∈{1, 2,…n} astfel încât ξi ≠ 0. Dacă luăm f

= ui* atunci f(x) = ξi ≠ 0. Afirmaţia de mai sus se exprimă echivalent

astfel : dacă x ≠ y atunci există f ∈ V'* astfel încât f(x) ≠ f(y).

Într-adevăr, dacă v = x - y ≠ 0 atunci există f ∈ V'* astfel încât f(v)

≠ 0 ⇔ f(x) - f(y) ≠ 0.

O altă problemă care poate fi pusă în acest moment este aceea a

determinării matricei de trecere de la baza B* la baza B1* atunci când se

cunoaşte matricea de trecere de la baza B la baza B1. Soluţionarea acestei

probleme permite, după cum am văzut în primul capitol, determinarea

coeficienţilor unei forme liniare în noua bază B1 atunci când aceştia sunt

cunoscuţi în baza veche, B.

Teorema 6.1.2 Dacă B = {u1, u2, …,un} şi B1 = {w1, w2, …,wn} sunt două

baze în V şi A =(aij)i,j = 1,…n este matricea de trecere de la

baza B la baza B1 atunci (AT)-1 este matricea de trecere

Algebră liniară

289

de la baza B* la baza B1*. Mai mult, coeficienţii unei

forme în bazele B şi B1 se schimbă tot cu matricea A.

Demonstraţie. Avem B* = {u1*, u2

*, …,un*} şi B1

* = {w1*, w2

*, …,wn*}

unde elementele ui* şi respectiv wi

* sunt definite de relaţia (6.1.1). Fie Λ =

(αij)i,j = 1,…n matricea de trecere de la baza B* la baza B1*. Pentru a

determina prima linie a acestei matrice observăm că wk* = αk1u1

* + αk2u2*

+ … + αknun*. Atunci pentru orice k, i ∈{1, 2, …, n} avem wk

*(wi) =

αk1u1*(wi) + αk2u2

*(wi) + … + αknun*(wi) ⇔ *) δk

i = αk1u1*(ai1u1 + ai2u2 +

… + ainun) + αk2u2*( ai1u1 + ai2u2 + … +ainun) + … + αknun

*( ai1u1 + ai2u2 +

… + ainun). Deci δki =αk1 ai1 + αk2 ai2 +…+ αknain pentru toţi k, i ∈{1, 2,

…, n}. Relaţia de mai sus se scrie matricial astfel I = ΛAT, unde I este

matricea unitate de ordinul n cu elemente din K. Se cunoaşte din primul

capitol că matricea de trecere A este inversabilă, deci

(6.1.2) Λ = (AT)-1.

Dacă ξ1, ξ2,…, ξn sunt coeficienţii unei forme liniare f ∈V* în baza

B şi ξ1', ξ2',…,ξn' sunt coeficienţii aceleiaşi forme în baza B1 atunci

rezultă, conform formulelor (1.4.2) şi (6.1.2),

(6.1.3) ξ' = Aξ

şi am obţinut concluzia.

Exemplul 6.1.3 Considerăm forma liniară f definită în exemplul 6.1.1 şi

bazele B = {u1 =(1, 0, 0), u2 =(0, 1, 0), u3 =(0, 0, 1)}, B1 = {u1 =(1, 1, 1),

u2 =(1, 2, 0), u3 =(3, 0, 0)} în R3.

a) Să se determine matricea de trecere de la baza B* la baza B1*.

b) Să se determine coeficienţii formei liniare f în baza B1*.

* δi

j este simbolul lui Kronecker, δi

j = 0, dacă i ≠ j şi δi

j = 1, dacă i = j.


290

a) Matricea de trecere de la baza B la baza B1 este A =

003

021

111

.

Aplicând teorema de mai sus, rezultă că matricea de trecere la

baza B* la baza B1* este Λ =

−−

−

6/16/13/1

2/12/10

100

. b) Coeficienţii formei

f în baza canonică B sunt f(u1) = notξ1 = 0, f(u2) = notξ2 = 2, f(u3) = notξ3

= 1 şi ţinând cont de formula (6.1.3) deducem că

ξ

ξ

ξ

'

'

'

3

2

1

=

003

021

111

ξ

ξ

ξ

3

2

1

sau ξ1' = 5, ξ2' = 4, ξ3' = 0.

Propoziţia 6.1.1 Fie f, g ∈V*. Dacă Ker f ⊆ Ker g atunci există α∈K

astfel încât g(x)= α f(x), x∈V.

Demonstraţie. Presupunem prin absurd că pentru fiecare α ∈ K există

cel puţin un vector xα ∈V astfel încât g(xα) ≠ α f(xα). Dacă y ∈ Ker f

atunci y ∈ Ker g şi g(y) - α f(y) = 0. Deci xα ∉Ker f. Există x1 ∉Ker f

astfel încât g(xα)f(x1) ≠ g(x1)f(xα). Într-adevăr dacă g(xα)f(x) = g(x)f(xα),

x∈V - Ker f şi luăm α1 = g(xα)( f(xα))-1 şi obţinem g(x) = α1 f(x), x∈V,

ceea ce contrazice presupunerea făcută. Atunci sistemul

g(axα + bx1) = 1,

f(axα + bx1) = 0, a,b ∈K

Algebră liniară

291

admite o soluţie unică, deoarece determinantul sistemului este

)x(f)x(f

)x(g)x(g

1

1

α

α = g(xα)f(x1) - g(x1)f(xα) ≠ 0. Dacă a, b este soluţia acestui

sistem, atunci z = axα + bx1 are proprietatea că g(z) = 1, f(z) = 0, ceea ce

contrazice ipoteza Ker f ⊆ Ker g. Demonstraţia este completă.

Teorema 6.1.3( a lui Riesz)Dacă V este un spaţiu euclidian real sau

complex atunci pentru oricare formă liniară f ∈V* există

şi este unic un vector x0 ∈V astfel încât f(x) = <x, x0>,

oricare ar fi x ∈V.

Demonstraţie. Fie U = Ker f. Avem dim Ker f = dim V - 1. Fie U⊥

complementul ortogonal al lui U. Deoarece dim U⊥ = dim V - dim U = 1,

putem spune că {x1} este o bază a lui U⊥, oricare ar fi x1 ≠ 0, x1∈ U⊥.

Aplicaţia g : V → K, g(x) = <x, x1> este o formă liniară. Conform

definiţiei complementului ortogonal al unui subspaţiu, deducem că Ker g

⊇ U. Deci Ker g ⊇ Ker f şi aplicând propoziţia de mai sus, rezultă că

există α∈K astfel încât f(x) = αg(x) ⇔ f(x) = α<x, x1>. Luăm x0 = αx1 şi

avem f(x) = <x, x0>. Existenţa a fost demonstrată.

Pentru a arăta că x0 cu proprietatea de mai sus este unic,

presupunem prin absurd că există x2 ≠ x0 astfel încât f(x) = <x, x2>.

Deci <x, x2 - x0 > = 0, oricare ar fi x∈V, în particular şi pentru x =

x2 - x0. Atunci < x2 - x0, x2 - x0 > = 0 ⇔ x2 - x0 = 0 ⇔ x2 = x0, ceea ce

contrazice presupunerea făcută.

Exemplul 6.1.4. Fie " f " forma liniară de la exemplul 6.1.1. Să se

găsească vectorul x0 ∈R3 cu proprietatea că f(x) = <x, x0>, oricare ar fi


292

x ∈R3.

Dacă x0 = (a1, a2, a3 ), x = (x1, x2, x3 ) atunci relaţia f(x) = <x,

x0>, x ∈R3 este echivalentă cu 2x2 + x3 = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3, oricare ar

fi xi ∈R, i = 1, 2, 3. Identificând coeficienţii celor două polinoame cu 3

variabile, obţinem a1 = 0, a2 = 2, a3 = 1. Deci x0 =(0, 2, 1).

6.2 Forme biliniare

I. Definiţia formei biliniare. Matrice asociată

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul numerelor reale R.

Definiţia 6.2.1 O aplicaţie B : V x W → R care îndeplineşte condiţiile de

mai jos, pentru orice x1, x2∈V, y1, y2 ∈W α, β ∈ R, se

numeşte formă biliniară.

a) B(x1 + x2, y1) = B(x1, y1) + B(x2, y1);

b) B(α x1, y1) = α B(x1, y1);

c) B(x1, y1 + y2) = B(x1, y1) + B(x1, y2);

d) B(x1, α y1) = α B(x1, y1).

Observaţia 6.2.1 1) Condiţiile a), b), c) şi d) de mai sus sunt echivalente

cu condiţiile

a)' B(αx1 + βx2, y1) = αB(x1, y1) + βB(x2, y1);

b') B(x1, αy1 + βy2) = αB(x1, y1) + βB(x1, y2);

2) Avem B(0, y) = B(x, 0) = 0 oricare ar fi x ∈V, y ∈W. Într-adevăr din

definiţia de mai sus rezultă că pentru x ∈V, fixat, aplicaţia y → B(x, y)

Algebră liniară

293

definită pe W cu valori reale este o formă liniară. De asemenea, dacă

fixăm y ∈W atunci aplicaţia x → B(x, y) definită pe V cu valori reale

este tot o formă liniară. Din Observaţia 6.1.1 rezultă concluzia.

Exemplul 6.2.1. Se consideră aplicaţiile

a) B : R3 x R4 → R, B(x, y) = x1y1 - 3x2y2 + 2x3y2 + x3y4, unde x =

(x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3, y4);

b) B : R3 x R3 → R, B(x, y) = x1y1 - x22 y2 + 3x3y3, y = (y1, y2, y3).

Să se verifice dacă aplicaţiile de mai sus sunt forme biliniare.

a) Se constată că sunt verificate condiţiile a') şi b') din Observaţia 6.2.1,

deci B(.,.) este o formă biliniară. b) Fie α =2, x0 = (0, 1, 0), y0 = (0, 1, 1).

Avem B(α x0, y0) = - 4 în timp ce α B(x0, y0) = -2. Deoarece B(α x0, y0) ≠

α B(x0, y0) rezultă că nu este îndeplinită condiţia b) din Definiţia 6.2.1 şi

B(.,.) nu este o formă biliniară.

Fie acum B = {u1, u2, …,un} o bază în V şi B1 = {w1, w2, …,wm} o

bază în W. Dacă x = ξ1u1 + ξ2u2 +…+ ξnun ∈V şi y = ζ1w1 + ζ2w2 +…+

ζmwm ∈W atunci B(x, y) = B(ξ1u1 + ξ2u2 +…+ ξnun, ζ1w1 + ζ2w2 +…+

ζmwm) şi ţinând cont de proprietăţile a') şi b') ale formei biliniare avem

succesiv B(x, y) = ξ1B(u1, ζ1w1 + ζ2w2 +…+ ζmwm) + ξ2B(u2, ζ1w1 + ζ2w2

+…+ ζmwm) + … + ξnB(un, ζ1w1 + ζ2w2 +…+ ζmwm) ⇔

B(x, y) = ∑∑= =

n

1i

m

1jξiζjB(ui, wj).

Notând aij = B(ui, wj), i = 1, 2,…,n, j = 1, 2,…,m obţinem

(6.2.1) B(x, y) = ∑∑= =

n

1i

m

1j aij ξiζj.


294

Definiţia 6.2.2 Matricea A = (aij)i = 1,n, j = 1,m definită mai sus se numeşte

matricea asociată formei biliniare B(.,.) în perechea de

baze B şi B1 iar elementele aij se numesc coeficienţii

formei biliniare în aceeaşi pereche de baze.

Observaţia 6.2.2 a) Expresia matricială a formulei (6.2.1) este B(x, y)

=ξTAζ, unde ξT şi respectiv ζT sunt matricele linie (ξ1 ξ2…ξn) şi respectiv

(ζ1 ζ2…ζm).

b) Dacă V = W atunci se consideră aceeaşi bază B = {u1, u2, …,un} pentru

V şi W, elementele matricei asociate formei biliniare fiind aij = B(ui, uj), i,

j = 1, 2,…,n.

Exemplul 6.2.2. Se consideră forma biliniară definită în exemplul 6.2.1.

Să se determine matricea asociată acestei forme biliniare în perechea de

baze B = {u1 = (1, 1, 2), u2 = (1, 3, 0), u3 = (- 2, 0, 0)}, în R3 şi B1 = {w1

= (1, 1, 1, 1), w2 = (1, 1, 2, 0), w3 = (1, -1, 0, 0) , w4 = (3, 0, 0, 0)}, în R4.

Calculăm a11 = B(u1, w1) = 1 - 3 + 4 + 2 = 4, a12 = B(u1, w2) = 1-

3 + 4 + 0 = 2 etc. şi obţinem matricea A =

−−−−

−−

6222

01088

3024

.

Observaţia 6.2.3 Există o corespondenţă bijectivă între mulţimea

matricelor A ∈Mnxm(R) şi mulţimea formelor biliniare definite pe V x W,

unde dimRV = n şi dimRW = m. Într- adevăr dacă B(.,.) este o formă

biliniară definită pe V x W şi (B, B1) este o pereche de baze (B în V şi B1

în W) fixată, atunci, am văzut mai sus că, formei biliniare B(.,.) i se

asociază în mod unic o matrice A∈Mnxm(R). Reciproc, dacă A∈Mnxm(R)

A = (aij)i = 1,n, j = 1,m, atunci definim aplicaţia B : V x W → R, B(x, y) =

Algebră liniară

295

∑∑= =

n

1i

m

1j aij ξiζj, unde (ξ1, ξ2, …, ξn) şi respectiv (ζ1, ζ2, …, ζm) sunt

coordonatele vectorilor x şi respectiv y în bazele B şi B1. Funcţia definită

mai sus este o formă biliniară (exerciţiu).

Observaţia 6.2.4 Fie B : RnxRm →R, B(x, y) = ∑∑

= =

n

1i

m

1j aij xiyj, x = (x1,

x2, …, xn), y = (y1, y2, …, ym), o formă biliniară (exerciţiu). Dacă B şi

respectiv B1 sunt bazele canonice în Rn şi R

m atunci matricea asociată

formei biliniare în perechea de baze aleasă este A = (aij)i = 1,n,j = 1,m., adică

elementul aij al matricei A este de fapt coeficientul lui xiyj din expresia

formei biliniare.

Exemplul 6.2.3. Matricea asociată formei biliniare de la exemplul

precedent în perechea formată din bazele canonice din R3 şi respectiv R4

este A =

−

1020

0030

0001

.

II. Schimbarea matricei asociate când se schimbă bazele

Ca şi în cazul operatorilor liniari, se pune problema determinării

legăturii între matricele asociate formei biliniare în perechi de baze

diferite. Astfel, avem teorema de mai jos:

Teorema 6.2.1 Dacă A = (aij)i = 1,n, j = 1,m şi Λ = (λij)i = 1,n, j = 1,m sunt

matricele asociate formei biliniare B(.,.) în perechile de

baze (B, B'), (B1, B1'), diferite şi M, respectiv P, sunt


296

matricele de trecere de la baza B la baza B1 în V şi

respectiv de la baza B' la baza B1' în W, atunci

(6.2.2) Λ = M A PT.

Demonstraţie. Fie B = {u1, u2, …,un}, B' ={u1', u2', …,un'} baze în V şi

B1 = {w1, w2, …,wm}, B1' = {w1', w2', …,wm'} baze în W.

Conform definiţiei matricei asociate unei forma biliniare B(.,.)

avem λij = B(ui', wj') = B(mi1u1 +…+ minun, pj1w1 + …+ pjmwm). Folosind

proprietăţile a) - d) din Definiţia 6.2.1 obţinem

λij =∑∑= =

n

1r

m

1k mirpjkB(ur, wk) = ∑∑

= =

n

1r

m

1k mirarkpjk.

Deci λij este elementul de pe linia i şi coloana j a matricei M A PT.

Demonstraţia este completă.

Exemplul 6.2.4 Să se rezolve problema de la exemplul 6.2.1 folosind

formula (6.2.2). Este cunoscută matricea A asociată formei biliniare

B(.,.) în perechea de baze canonice ale spaţiilor pe care aceasta este

definită (vezi exemplul 6.2.3). Pentru a determina matricea asociată

formei în perechea formată din bazele de la exemplul 6.2.2, este suficient

să determinăm matricele care dau schimbările de baze în spaţiile R3 şi

R4. Astfel, conform definiţiei matricei de trecere şi respectând notaţiile

din Teorema 6.2.1, avem M =

− 002

031

211

şi P =

−

0003

0011

0211

1111

.

Aplicăm formula (6.2.2) şi avem Λ =

−−−−

−−

6222

01088

3024

.

Algebră liniară

297

Observaţia 6.2.5 Dacă V = W şi M este matricea schimbării de bază în

spaţiul V atunci formula (6.2.2) devine

Λ = M A MT.

Definiţia 6.2.3 a) Două matrice de acelaşi tip sunt echivalente dacă

reprezintă aceeaşi formă biliniară în perechi de baze

diferite.

b) Două matrice de acelaşi ordin sunt asemenea dacă

reprezintă aceeaşi formă biliniară în baze diferite.

Exemplul 6.2.5 Matricele A şi Λ din exemplul de mai sus sunt

echivalente. Dacă este dată forma biliniară B : R3 x R3 → R, B(x, y) =

x1y1 - x2y1 +2 x2y2 - x3y3, atunci matricea asociată ei în baza canonică a

lui R3 este A =

−

−

100

021

001

, conform Observaţiei 6.2.4. Pentru a

determina matricea asociată formei biliniare în baza B1 = {u1 = (-1, -1, -

2), u2 = (3, -1, 0), u3 = (2, 0, 0)} este suficient să observăm că matricea

de trecere de la baza canonică a lui R3 la baza B1 este M =

−

−−−

002

013

211

. Aplicăm formula (6.2.2) şi avem Λ =

−

−

462

8146

022

.

Matricele A şi Λ sunt asemenea.

Teorema 6.2.2 a) Două matrice A, Λ ∈ Mnm(R) sunt echivalente dacă şi

numai dacă există alte două matrice M∈ Mn(R), P ∈

Mm(R), inversabile astfel încât Λ = M A PT.

b) Două matrice A, Λ ∈ Mn(R) sunt asemenea dacă şi


298

numai dacă există matricea M∈ Mn(R), inversabilă astfel

încât Λ = M A MT.

Demonstraţie. a) Dacă matricele A, Λ ∈ Mnm(R) sunt echivalente,

atunci concluzia rezultă aplicând Teorema 6.2.1. Reciproc, date fiind

matricele A, Λ ∈ Mnm(R) definim forma biliniară B: Rn x Rm → R, B(x,

y) = ∑∑= =

n

1i

m

1j aij xiyj, unde x = (x1, x2, …, xn), y = (y1, y2, …, ym). Dacă vom

schimba bazele din Rn şi respectiv R

m cu ajutorul matricelor M şi

respectiv P, atunci matricea asociată formei biliniare în noile baze este M

A PT, adică chiar matricea Λ. Pentru a demonstra punctul b) se

procedează asemănător (exerciţiu).

III. Spaţiile nule ale unei forme biliniare

Dacă B: V x W →R este o formă biliniară atunci introducem

mulţimile:

V0 = {x∈V/ B(x, y) = 0, oricare ar fi y ∈W} ⊆ V,

W0 = {y∈W/ B(x, y) = 0, oricare ar fi x ∈V} ⊆ W.

Propoziţia 6.2.1 Mulţimile de vectori V0, W0, împreună cu operaţiile de

adunare a vectorilor şi înmulţire a acestora cu scalari

definite pe spaţiile V şi respectiv W, au o structură de

subspaţii vectoriale.

Demonstraţie. Deoarece 0 ∈V0, deducem că V0 ≠ . Dacă x1, x2 ∈V0

atunci B(x1, y) = 0, B(x2, y) = 0, oricare ar fi y ∈W. De aici deducem că

Algebră liniară

299

B(x1 + x2, y) = 0, B(α x1, y) = 0, oricare ar fi y ∈W, α∈R. Deci x1 + x2, α

x1 ∈V0, ceea ce înseamnă că V0 este subspaţiu vectorial al lui V. Analog

se demonstrează că W0 este subspaţiu vectorial al lui W.

Definiţia 6.2.4 Subspaţiile vectoriale V0 şi W0 definite mai sus se numesc

subspaţiile nule în primul şi respectiv al doilea argument

ale formei biliniare B(.,.).

Avem următoarea teoremă de caracterizare a subspaţiilor nule.

Teorema 6.2.3 Fie B(.,.) o formă biliniară definită pe V x W. a) Dacă B1

= {w1, w2, …, wm} este o bază în W atunci x∈V0 dacă şi

numai dacă B(x, wi) = 0, i =1, 2, .., m.

b) Dacă B = {u1, u2, …, un} este o bază în V atunci y∈W0

dacă şi numai dacă B(ui, y) = 0, i =1, 2 ,.., n.

Demonstraţie. Dacă x ∈ V0 atunci, conform definiţiei lui V0, rezultă că

B(x, wi) = 0, i =1,2,..,m. Reciproc, fie y ∈W, y = ζ1w1 + ζ2w2 +…+ ζnwn.

Dacă B(x, wi) = 0, i =1, 2, .., m atunci B(x, y) = ∑=

m

1i ζiB(x, wi) = 0. Deci,

conform definiţiei, x ∈ V0. Raţionând asemănător se demonstrează şi

punctul b).

Propoziţia 6.2.2. Fie B(.,.) o formă biliniară definită pe V x W şi B,

respectiv B1 baze în V şi respectiv W. Dacă matricea A

asociată formei biliniare în perechea de baze B şi B1 are

rangul r şi V1, respectiv W1, sunt subspaţiile

complementare ale subspaţiilor nule V0 şi W0 atunci dim

W1 = dim V1 = r.


300

Demonstraţie. Deoarece dim V1 = dim V - dim V0, conform Observaţiei

1.8.5, este suficient să determinăm dimensiunea subspaţiului vectorial V0

pentru a afla dimensiunea lui V1. Dacă B şi B1 sunt bazele în V şi W

considerate în Teorema 6.2.3 atunci x = ξ1u1 + ξ2u2 +…+ ξnun ∈V0 dacă

şi numai dacă B(x, wj) = 0, j =1, 2, .., m. Deci coordonatele (ξ1, ξ2, …, ξn)

ale lui x în baza B verifică sistemul:

ξ1a11 + ξ2a21 + …+ ξnan1 =0

…………………………...

ξ1am1 + ξ2a2m + …+ ξnanm =0

Matricea sistemului este AT şi are rangul r. Aplicăm Teorema 1.7.3

şi deducem că mulţimea U a soluţiilor acestui sistem este un subspaţiu

vectorial al lui Rn de dimensiune n - r. Deoarece subspaţiul V0 este

izomorf cu U, deducem că dimRV0 = n - r (se aplică Teorema 1.6.1).

Deci într-adevăr dimRV1 = r. În acelaşi mod se stabileşte că dimRW1 = r.

Din teorema de mai sus se deduce că rangul a două matrice

echivalente, respectiv asemenea este acelaşi. Într-adevăr, dimensiunea

subspaţiile nule asociate unei forme biliniare este invariantă la

schimbarea bazele spaţiilor de definiţie ale formei. Deci rangul oricărei

matrice asociate formei biliniare, în orice pereche de baze, este acelaşi

(este egal cu dimensiunea subspaţiilor complementare subspaţiilor nule)

Definiţia 6.2.3 completează raţionamentul.

Definiţia 6.2.5 Numim rang al formei biliniare B(.,.), dimensiunea

comună a subspaţiilor complementare subspaţiilor nule.

Observaţia 6.2.6 Dacă V = W, atunci subspaţiile nule în primul şi al

Algebră liniară

301

doilea argument sunt în general diferite, dar au aceeaşi dimensiune,

conform Teoremei 6.2.3.

Definiţia 6.2.6 Spunem că forma biliniară B(.,.) definită pe V x V este

nedegenerată dacă spaţiile nule sunt formate numai din

vectorul 0. În caz contrar forma se numeşte degenerată.

Exemplul 6.2.6 Se consideră forma biliniară B : R3 x R4 → R, B(x, y) =

3x1y1 - x1y2 + x1y4 + 2 x2 y2 - 3x3y3, x =(x1, x2, x3), y =(y1, y2, y3, y4) . Să

se determine subspaţiile nule ale formei şi să se calculeze rangul formei.

Avem V0 = {x∈R3 / 3x1y1 - x1y2 + x1y4 + 2 x2 y2 - 3x3y3 = 0, oricare

ar fi yi∈R, i =1, 2, 3, 4}. Deoarece 3x1y1 + ( 2 x2- x1)y2 - 3x3y3 + x1y4 = 0

pentru toţi yi∈R, i =1, 2, 3, 4 ⇔ 3x1 = 0, 2 x2- x1 = 0, - 3x3 = 0, x1 = 0 ⇔

x1 = x2 = x3 = 0 rezultă că V0 = (0).

Din definiţia lui W0 deducem că y∈W0 ⇔ 3x1y1 - x1y2 + x1y4 + 2 x2

y2 - 3x3y3 = 0, oricare ar fi xi∈R, i =1, 2, 3 ⇔ 3x1(y1 - y2 + y4) + 2 x2 y2 -

3x3y3 = 0, oricare ar fi xi∈R, i =1, 2, 3 ⇔ y1 - y2 + y4 = 0, 2y2 = 0, -3y3 =

0. Sistemul obţinut este compatibil nedeterminat şi are soluţia y1 = α ∈

R, y2 = 0, y3 = 0, y4 = α. Deci W0 = {α(1,0,0,1), α ∈ R} şi dim W0 = 1.

Rangul formei este egal cu 4 - dimRW0, adică cu 3.


302

IV. Forme biliniare simetrice

Definiţia 6.2.7 Spunem că forma biliniară B(.,.) definită pe V x V este o

formă biliniară simetrică dacă B(x, y) = B(y, x).

Observaţia 6.2.7 Dacă B = {u1, u2, …, un} este o bază în V, atunci

condiţia din definiţia de mai sus implică relaţiile aij = B(ui, uj) = B(uj, ui)

= aji oricare ar fi i, j = 1,..n, ceea ce înseamnă că matricea asociată formei

biliniare într-o bază oarecare a spaţiului este simetrică. Este adevărată şi

afirmaţia reciprocă, adică dacă matricea asociată formei biliniare B(.,.)

într-o bază a spaţiului V este simetrică, atunci forma biliniară este

simetrică.

Exemplul 6.2.7 Să se verifice care din aplicaţiile de mai jos este o formă

biliniară simetrică:

a) B: R3 x R3 → R, B(x, y) = 2x1y1 + 3x1y2 - 2x1y3 +3x2y2 - 4x3y3,

unde x =(x1, x2, x3), y =(y1, y2, y3);

b) B: R3 x R3 → R, B(x, y) = x1y1 + 3x1y2 - x1y3 +3x2y2 + 3 x2y1-

x3y1 - 4x3y3;

c) B: R3 x R3 → R, B(x, y) = x1y1 + 3x1y2 - x1y3 + 3x2y2 + 3y1x2-

y1x3 - 4x3y3 + 1.

Fie B = {E1, E2, E3}, baza canonică în R3. a) Se verifică axiomele

a) - d) din definiţia formei biliniare (Exerciţiu). Deoarece B(E1, E2) = 3

iar B(E2, E1) = 0 şi B(E1, E2) ≠ B(E2, E1), rezultă, conform definiţiei de

mai sus, că B(.,.) nu este formă biliniară simetrică.

b) Aplicaţia B(.,.) este o formă biliniară (Exerciţiu). Matricea

asociată formei în baza canonică este

Algebră liniară

303

A =

−−

−

401

033

131

şi, deoarece este simetrică, deducem, conform

observaţiei de mai sus, că forma biliniară este simetrică.

c) Aplicaţia nu este formă biliniară deoarece 3 = B(2E1, E1) ≠

2B(E1, E1) = 4 şi nu avem satisfăcută condiţia de omogeneitate în primul

argument.

Exemplul 6.2.8 Să se determine forma biliniară simetrică definită pe R3

x R3, a cărei matrice asociată în baza B = {u1 = (1, -1, 2), u2 = (1, -3, 0),

u3 = (3, 0, 0)} este A =

−

−

000

032

021

.

a) Să se găsească expresia formei biliniare în B şi în baza canonică a lui

R3.

b) Să se calculeze spaţiile nule în primul şi al doilea argument şi să se

stabilească dacă forma este nedegenerată sau nu.

Dacă x = ξ1u1 + ξ2u2 + ξ3u3, y = ζ1u1 + ζ2u2 + ζ3u3 ∈ R3, atunci se

ştie că B(x, y) = ∑∑= =

3

1i

3

1j aij ξiζj. Deci expresia formei în baza B este B(x,

y) = ξ1ζ1 - 2ξ1ζ2 - 2ξ2ζ1 + 3ξ2ζ2. Deoarece matricea M de trecere de la

baza B la baza canonică este dată de formula M-1 =

−

−

003

031

211

,

aplicăm formula (6.2.2) pentru a determina matricea Λ asociată formei

biliniare simetrice în baza canonică şi obţinem


304

Λ =

3/22/10

2/13/10

000

.

Dacă x = x1E1 + x2E2 + x3E3, y = y1E1 + y2E2 + y3E3 ∈ R3, unde

E1, E2, E3 sunt vectorii bazei canonice, atunci B(x, y) = 1/3 x2y2 + 1/2x2y3

+ 1/2 x3y2 +2/3 x3y3.

b) Din definiţia spaţiilor nule deducem că x ∈V0 ⇔ y2(1/3x2 + 1/2x3) +

y3(1/2 x2 +2/3x3) = 0, oricare ar fi y1, y2, y3 ∈R. Deci x ∈V0 ⇔

coordonatele vectorului x în baza canonică verifică sistemul 1/3x2 +

1/2x3 = 0, 1/2 x2 +2/3x3 = 0. Rezolvând sistemul deducem că V0 = {(α,

0,0), α∈R} ≠ (0). Analog, se stabileşte că subspaţiul nul în al doilea

argument coincide cu V0. În concluzie, forma biliniară este degenerată.

Observaţia 6.2.8 Spaţiile nule în primul şi al doilea argument ale unei

formei biliniare simetrice coincid. (Pentru demonstraţie se foloseşte

definiţia spaţiilor nule şi cea a formai biliniare simetrice). Dacă o formă

biliniară simetrică este nedegenerată, atunci matricea asociată ei, în orice

bază a spaţiului pe care este definită, este nesingulară.

Teorema 6.2.4 Fie B(.,.) o formă biliniară simetrică de rang r, definită

pe V x V, dimRV = n. Atunci există o bază {u1, u2, …,

ur,…, un} în V în care matricea asociată formei biliniare

are forma

Algebră liniară

305

(6.2.3) A =

0...0...00

..........

0...a...aa

..........

0...a...aa

0...a...aa

rr2r1r

r22221

r11211

.

Mai mult, restricţia*) formei biliniare B(.,.) la

subspaţiul generat de familia {u1, u2, …, ur} este

nedegenerată.

Demonstraţie. Dacă V0 este spaţiul nul asociat formei biliniare simetrice

B(.,.), atunci, conform Propoziţiei 6.2.2, rezultă că dimRV0 = n - r.

Fie V1 un subspaţiu complementar al spaţiului vectorial V0. Dacă

B = {u1, u2, …, ur} este o bază în V1 şi B' = {ur+1, ur+2, …, un} este o bază

în V0, atunci se ştie că B ∪ B' este bază în V. Din Teorema 6.2.3 rezultă

că

aij = B(ui, uj) =0 şi B(uj, ui) = aji = 0,

oricare ar fi i ∈{1, 2, …, r}, j ∈ { r +1, r +2, …,n}. Deci în baza B ∪ B'

matricea asociată formei este dată de relaţia (6.2.3).

Restricţia B1(.,.) a formei biliniare B(.,.) la V1 este o formă biliniară

nedegenerată. Într-adevăr, dacă ar exista x ≠ 0 astfel încât B1(x, y1) = 0,

oricare ar fi y1 ∈V1, atunci, conform definiţiei restricţiei unei forme

biliniare simetrice, avem B(x, y1) = 0, y1∈V1 . Fie y ∈ V. Atunci există şi

sunt unici y1∈ V1 şi y2∈V0 astfel încât y = y1 + y2. Deoarece B(x, y) =

B(x, y1) + B(x, y0) = 0, conform celor spuse mai sus şi conform definiţiei

* Prin restricţia unei forme biliniare simetrice B(.,.) :V x V → R la subspaţiul V1 al lui V înţelegem

aplicaţia B1(.,.) :V1 x V1 → R, B1(x, x) =B(x, x), care este tot o formă biliniară simetrică.


306

spaţiului nul V0, rezultă că x∈V0. Dar V0 ∩ V1 = ∅, şi am obţinut o

contradicţie. Deci B1(.,.) este nedegenerată.

Definiţia 6.2.8 Spunem că forma biliniară B(.,.) simetrică, definită pe V

x V, este pozitiv definită dacă B(x, x) > 0, oricare ar fi x

∈V, x ≠ 0. Forma este negativ definită dacă B(x, x) < 0,

oricare ar fi x ∈V, x ≠ 0.

Definiţia 6.2.9 Forma biliniară B(.,.) simetrică, definită pe V x V, este

pozitiv (respectiv negativ) semidefinită dacă B(x, x)≥ 0,

(respectiv B(x, x) ≤ 0) oricare ar fi x ∈V şi există x ≠ 0

astfel încât B(x, x) = 0.

Definiţia 6.2.10 Dacă forma biliniară B(.,.) simetrică, definită pe V x V,

nu este nici pozitiv, nici negativ semidefinită, atunci

spunem că este nedefinită.

Observaţia 6.2.9 Spaţiul nul al unei formei biliniare simetrice pozitiv

(negativ) definită (căci putem vorbi despre un singur spaţiu nul, conform

Observaţiei 6.2.8) este egal cu spaţiul (0) şi forma biliniară este

nedegenerată. Într-adevăr, dacă x∈V0, atunci B(x, y) = 0, oricare ar fi y

∈V. În particular avem şi B(x, x) = 0, dar forma fiind pozitiv (negativ)

definită rezultă că x = 0. Deci V0 = (0).

Exemplul 6.2.9 Forma biliniară simetrică B: R3 x R3 → R, B(x, y) = x1y1

+ 3x2y2 + 4x3y3, x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) este pozitiv definită

deoarece B(x, x) = x12 + 3x2

2 + 4x32 ≥ 0 şi B(x, x) = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0.

Algebră liniară

307

În acelaşi mod se verifică faptul că forma biliniară simetrică B: R3 x R3

→ R, B(x, y) = - x1y1 - 2x2y2 - 4x3y3 este negativ definită. Dacă vom

considera forma biliniară simetrică B: R3 x R3 → R, B(x, y) = x1y1 -3x2y2

+ 4x3y3, se constată că B((1,0,1),(1,0,1)) = 5 > 0, în timp ce

B((0,1,0),(0,1,0)) = -3 < 0. În acest caz, forma nu este nici pozitiv, nici

negativ semidefinită şi este nedefinită.

Teorema 6.2.5 Dacă B(.,.) este o formă biliniară, simetrică,

nedegenerată, definită pe V x V, atunci există cel puţin o

bază în V astfel încât minorii principali din matricea A =

(aij) i,j = 1,n asociată formei în baza respectivă să fie nenuli.

Demonstraţie. Se foloseşte metoda inducţiei matematice pentru a

demonstra că există o bază B' în V astfel încât pentru fiecare k =1, .., n

minorul principal de ordin k să fie nenul. Fie B = {u1 ,u2, …, un} o bază în

V. Demonstraţia se desfăşoară în două etape:

A. Vom demonstra că pentru k =1 există o bază în V astfel încât ∆1 = a11

≠ 0. Într-adevăr, dacă a11 ≠ 0 atunci afirmaţia se verifică. Deoarece

forma biliniară, fiind nedegenerată, este neidentic nulă, avem

următoarele cazuri:

A1) există cel puţin un element aii ≠ 0, i ∈{2,… n}. Facem

schimbarea de bază v1 = ui, v2 = u2 ,…,vi = u1,.., vn = un şi avem B(v1, v1)

= B(ui, ui) = aii ≠ 0.

A2) aii = 0, i = 1,… n şi există aij ≠ 0, i ≠ j, i, j = 1,..,n. Facem

schimbarea de bază vi = ui, i = 1, …, j - 1, j + 1,…, n, vj = ui + βuj, β ≠ 0.

Obţinem B(vj, vj) = 2β aij ≠ 0 şi suntem în situaţia de la punctul

A1). Se face schimbarea de bază corespunzătoare şi rezultă concluzia.


308

B. Presupunem că am găsit baza Bk = {g1, g2, …, gn}, în care matricea

asociată formei B(.,.) are proprietatea că minorii principali ∆i, i = 1,…,k,

k >1 sunt nenuli. Vom arăta că există o bază Bk+1 în care minorii

principali ∆i sunt nenuli, ∆i ≠ 0, i = 1, …, k + 1.

B1) Dacă există un minor de ordinul k +1 , obţinut din ∆k prin

bordarea lui cu o linie şi o coloană de acelaşi indice j > k, care este diferit

de zero, atunci în baza v1 = g1,…, vk = gk , vk+1 = gj …,vj = gk+1,.., vn = gn

minorii principali ∆i , i = 1, …, k + 1 sunt nenuli.

B2) Dacă nu se întâmplă situaţia de la punctul B1) atunci există un

minor nenul, de rang k+1, ∆pj, obţinut prin bordarea lui ∆k cu o linie de

indice p şi o coloană de indice j , p ≠ j , p, j > k. Atunci se face

schimbarea de bază

vi = gi, i = 1, …, p - 1, p + 1,…,n, vp = gp + βgj, β ≠ 0.

Minorul obţinut prin bordarea minorului de ordin k cu linia şi

coloana p este nenul. Într-adevăr, dacă i ≠ p, B(vi, vp) = B(vi, gp + βgj) =

aip + βaij şi minorul de ordin k + 1 obţinut ca mai sus este

∆k+1 =

jj2

pjppjkpk1j1p

kjkpkk1k

j1p1k111

2...

...

......

...

αβ+βα+αβα+αβα+α

βα+ααα

βα+ααα

.

Folosind proprietăţile determinanţilor avem

Algebră liniară

309

∆k+1=

pjppjkpk1j1p

kpkk1k

p1k111

...

...

......

...

βα+αβα+αβα+α

ααα

ααα

+

β

jjpjjkpk1j1p

kjkk1k

j1k111

...

...

......

...

βα+αβα+αβα+α

ααα

ααα

= 2β∆jp ≠ 0.

Acum suntem în condiţiile de la punctul B1) şi făcând schimbarea

de bază indicată la punctul respectiv se obţine concluzia.

Exemplul 6.2.10 Să se verifice dacă forma biliniară simetrică B : R3x R3

→ R, B(x, y) = x1y2 + x2y1 - 1/2y1x3 - 1/2x1y3 + y2x3+ x2y3, x =(x1, x2, x3),

y =(y1, y2, y3) este nedegenerată. În caz afirmativ să se găsească o bază

în care forma biliniară simetrică are proprietatea din teorema de mai

sus.

Matricea asociată formei biliniare în baza canonică din R3, B

={E1, E2, E3} este A =

−

−

012/1

101

2/110

. Se observă că ne aflăm în

situaţia A2) din demonstraţia teoremei de mai sus. Alegem a12 ≠ 0 şi

facem schimbarea de bază u2 = E2, u3 = E3, u1 = E1 + E2. În această bază

matricea asociată este A =

012/1

101

2/112

şi se constată că aceasta are

proprietatea că toţi minorii săi principali sunt nenuli.


310

6.3 Forme pătratice. Reducerea la forma canonică

I. Forme pătratice. Definiţie. Proprietăţi. Matrice asociată

Fie B : V x V → R, o formă biliniară simetrică, unde V este un spaţiu vectorial real.

Definiţia 6.3.1 Aplicaţia A: V → R definită de formula A(x) = B(x, x) se

numeşte forma pătratică asociată formei biliniare

simetrice B(.,.) iar forma B(.,.) se numeşte forma polară a

formei pătratice A.

Propoziţia 6.3.1 Există o corespondenţă bijectivă între mulţimea

formelor pătratice definite pe spaţiul vectorial V şi

mulţimea formelor biliniare simetrice definite pe V x V.

Demonstraţie. Faptul că fiecărei forme biliniare simetrice B(.,.) i se

asociază în mod unic o formă pătratică rezultă din definiţia de mai sus.

Pentru a demonstra afirmaţia reciprocă, vom demonstra mai întâi că între

o formă biliniară simetrică şi forma pătratică asociată există relaţia

(6.3.1) B(x, y) = 2

1[A(x + y) - A(x) - A(y)].

Într-adevăr A(x + y) = B(x + y, x + y) = B(x, x) + 2B(x, y) + B(y, y) =

A(x) + 2B(x, y) + A(y) şi de aici rezultă concluzia. Deci fiecărei forme

pătratice i se poate asocia o formă biliniară.

Exemplul 6.3.1 a) Să se determine forma pătratică asociată formei

biliniare simetrică B: R3 x R3 → R, B(x, y) = x1y1 + 2x1y2 + x1y3 + 2x2y1 -

3x2y2 + x3y1 + 4x3y3, x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3). b) Dacă A: R3 → R,

Algebră liniară

311

A(x) = 2x12 + 3x1x2 -2x1x3 + x3

2, x = (x1, x2, x3) este o formă pătratică, să

se determine forma sa polară.

a) A(x) = x12 - 3x2

2 + 4x32+ 4x1x2 + 2x1x3. b) Forma polară este

B(x, y) = 2

1[A(x + y) - A(x) - A(y)] = 2x1y1 + 3/2x1y2 - x1y3 + 3/2x2y1 -

x3y1 + x3y3, conform relaţiei (6.3.1).

Definiţia 6.3.2 Forma pătratică A: V → R este pozitiv definită (respectiv

negativ definită) dacă forma sa polară este pozitiv

definită (respectiv negativ definită). Analog se definesc

noţiunile de formă pătratică pozitiv semidefinită

(respectiv negativ semidefinită) sau de formă pătratică

nedefinită.

Observaţia 6.3.1 O reformulare a definiţiei de mai sus este următoarea:

forma pătratică A este:

- pozitiv (negativ) definită ⇔ A(x) > 0 ( A(x) < 0), x∈V, x ≠ 0;

- pozitiv (negativ) semidefinită ⇔ A(x) ≥ 0,( A(x) ≤ 0) x∈V şi

există x ∈ V, x ≠ 0 astfel încât A(x) = 0.

- nedefinită dacă A(.) ia atât valori pozitive cât şi valori negative.

Ca şi în cazul formelor biliniare simetrice, se pune problema

asocierii la fiecare formă pătratică A: V → R a unei matrice într-o bază B

a spaţiului vectorial real V.

Definiţia 6.3.3 Se numeşte matrice asociată formei pătratice A: V → R

în baza B a spaţiului V, matricea asociată formei sale

polare în aceeaşi bază.


312

Dacă B = {u1, u2, …, un} este o bază în V şi B(.,.) este forma

biliniară simetrică, polară a formei pătratice A(.) şi x = ξ1u1 + ξ2u2 +…+

ξnun ∈V atunci A(x) = B(x, x) = ∑∑= =

n

1i

n

1j aij ξiξj, conform relaţiei (6.2.1).

Expresia de mai sus se scrie matricial astfel

(6.3.2) A(x) = ξTAξ,

unde A = (aij)i,j = 1,..,n şi ξT este matricea linie (ξ1 ξ2 …ξn).

Relaţia (6.3.2) poate fi folosită pentru a calcula mai uşor forma

polară a unei forme pătratice. Astfel, deoarece aij = aji oricare ar fi i, j = 1,

.., n, avem

(6.3.3) A(x) = ∑=

n

1iaii ξi

2 + 2 ∑<=

n

ji1j,i

aij ξiξj

şi putem face următoarea observaţie:

- elementele aii, i = 1, .., n, de pe diagonala matricei asociate formei

polare sunt chiar coeficienţii termenilor ce conţin ξi2 din formula de mai

sus

- elemetele aij i, j = 1,..,n, i < j, de sub diagonala matricei asociate,

sunt egale cu 1/2 din coeficienţii termenilor ce conţin ξiξj, i < j.

- elementele de deasupra diagonalei matricei asociate sunt egale cu

cele de sub diagonală deoarece matricea asociată este simetrică: aij = aji i,

j = 1,.., n.

Exemplul 6.3.2 Dacă A: R5 → R, A(x) = - 3x12 + 2x2

2 - x32 + x4

2 + 3x1x2 -

2x1x3 +2x2 x3 - x2x5 + x4x5 , x = (x1, x2, x3, x4, x5) este o formă pătratică, să

se determine forma sa polară. Matricea asociată formei pătratice în baza

canonică a lui R5 este

Algebră liniară

313

A =

−

−−

−

−−

02/102/10

2/11000

00111

2/10122/3

0012/33

.

Deci forma biliniară simetrică B(.,.), a cărei matrice asociată în

baza canonică este cea de mai sus, este B(x, y) = - 3x1y1 + 3/2x1y2 - x1y3

3/2x2y1 + 2x2y2 + x2y3 -1/2x2y5 - x3y1 + x3y2 - x3y3 + x4y4 + 1/2x4y5 -

1/2x5y2 + 1/2x5y4.

II. Reducerea la forma canonică a unei forme pătratice

Definiţia 6.3.4 Se numeşte formă canonică a unei formei pătratice A: V

→ R, unde V este un spaţiu de dimensiune n, orice

scriere a acesteia într-o bază B a lui V de forma

(6.3.4) A(x) = ∑=

n

1iαiξi

2, unde αi ∈ R, iar ξi, i = 1,…, n

sunt coordonatele vectorului x în baza B.

O problemă ridicată de definiţia de mai sus este dacă orice formă

pătratică poate fi scrisă sub formă canonică, adică, dacă există o bază B a

spaţiului V astfel încât, în acea bază, expresia formei pătratice să fie cea

din relaţia (6.3.4). În limbaj matriceal, problema este următoarea: dacă

pentru matricea simetrică asociată formei pătratice într-o bază oarecare a


314

spaţiului V există o matrice diagonală D = diag(α1,α2,…,αn)*) asemenea

cu aceasta.

Dacă spaţiul vectorial V este euclidian, atunci această problemă a

fost rezolvată deja în secţiunea rezervată operatorilor autoadjuncţi.

A. Metoda vectorilor şi valorilor proprii

Bazându-ne pe rezultatele stabilite în secţiunea dedicată

operatorilor autoadjuncţi, putem demonstra teorema de mai jos.

Teorema 6.3.1 Dacă V este un spaţiu euclidian real de dimensiune n şi A

: V → R este o formă pătratică, atunci există o bază

ortonormată în V pentru care matricea asociată formei

pătratice este diagonală.

Demonstraţie. Considerăm B = {e1, e2,…,en} o bază ortonormată în V.

Matricea A asociată formei pătratice în această bază este simetrică.

Considerăm operatorul liniar f : V → V a cărui matrice asociată în

baza B este chiar matricea A. Deoarece matricea A este simetrică rezultă

că operatorul liniar f este autoadjunct.

În această situaţie, se cunoaşte faptul că există o altă bază

ortonormată B'= {f1, f2,…,fn} în care matricea D asociată lui f are forma

diagonală D = diag(α1,α2,…,αn).

Dacă M este matricea de trecere de la baza B la baza B' atunci

avem relaţia D = MAM-1 între matricele D şi A. Deoarece fi = ∑=

n

1jmijej,

* Convenim să folosim notaţia diag(α1,α2,…,αn) pentru matricea de ordinul n care are pe

diagonală scalarii α1,α2,…,αn celelalte elemente fiind egale cu 0.

Algebră liniară

315

oricare ar fi i = 1,…, n şi B' este bază ortonormată rezultă că δik = <fi, fk>

= ∑=

n

1jmijmkj , i, k = 1,…,n.

Ultima relaţie se scrie matricial MMT = I. Deci M-1 = MT*). Atunci

relaţia dintre matricele D şi A devine D = MAMT. Din Teorema 6.2.1 se

deduce că D este de fapt matricea asociată formei biliniare polare a

formei pătratice A în baza B'. În concluzie, expresia formei pătratice A(.)

în baza B' este o formă canonică a acesteia.

Teorema demonstrată mai sus ne asigură că, în spaţii euclidiene

reale, orice formă pătratică are o formă canonică, sau altfel spus orice

formă pătratică poate fi adusă la forma canonică.

Pentru a determina efectiv baza ortonormată B' în care forma

pătratică are forma canonică, facem trimitere la demonstraţia teoremei

referitoare la diagonalizarea operatorilor autoadjuncţi, care ne asigură de

existenţa bazei B'.

Din această demonstraţie rezultă că baza B' este formată din

vectorii proprii de normă 1 ai matricei A, iar elementele de pe diagonala

matricei D sunt valorile proprii ale matricei A.

Din acest motiv metoda de reducere la forma canonică a unei

forme pătratice oferită de teorema de mai sus se numeşte metoda

vectorilor şi valorilor proprii sau metoda transformărilor ortogonale.

Exemplul 6.3.3 Să se aducă la forma canonică forma pătratică A: R3 →

R, A(x) = -5/3 x12 + 11/6 x2

2 + 3/2x32 - 2/ 18 x1x2 -2/ 6 x1x3 -1/ 3 x2 x3 ,

x = (x1, x2, x3).

* O matrice care îndeplineşte această condiţie va fi numită matrice ortogonală .


316

Se observă că matricea asociată formei pătratice în baza canonică este

A =

−−

−−

−−

2

3

32

1

6

132

1

6

11

18

16

1

18

1

3

5

.

Valorile proprii ale acestei matrice sunt soluţiile ecuaţiei det(A -

λI) = 0. Rezolvând această ecuaţie obţinem λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2.

Pentru a găsi vectorii proprii corespunzători valorii proprii λi (i

=1, 2) se rezolvă ecuaţia vectorială AxT = λixT, unde xT = (x1 x2 x3).

Pentru λ = 1 obţinem sistemul compatibil, simplu nederminat

=+−−

=−+−

=−−

3321

2321

1321

xx2

3x

32

1x

6

1

xx32

1x

6

11x

18

1

xx6

1x

18

1x

3

5

. Mulţimea soluţiilor acestui sistem este

S1 = {α (2

1,

6

1,

3

1),α∈R}. Un vector propriu de normă 1

corespunzător valorii proprii λ1 =1 este v1 = (2

1,

6

1,

3

1). Pentru

valoarea proprie λ2 = 2, cu ordinul de multiplicitate 2 se obţine sistemul

=+−−

=−+−

=−−

3321

2321

1321

x2x2

3x

32

1x

6

1

x2x32

1x

6

11x

18

1

x2x6

1x

18

1x

3

5

compatibil, dublu nedeterminat, cu

mulţimea soluţiilor S2 ={α (2

1,

6

1,

3

1− )+ β ( 0,

6

2,

3

1− ),α, β ∈R}.

Deoarece o bază ortonormată în subspaţiul S2 al lui R3 este formată

Algebră liniară

317

chiar din vectorii v2 = (2

1,

6

1,

3

1− ), v3 = ( 0,

6

2,

3

1− ) deducem că

aceştia sunt vectorii proprii de normă 1 corespunzători valorii proprii λ2

= 2.

Atunci baza ortonormată B' căutată este formată din vectorii v1, v2,

v3. Matricea M de trecere de la baza canonică, în care cunoaştem

matricea A asociată formei biliniare, la baza B' este

M =

−

−

06

2

3

12

1

6

1

3

12

1

6

1

3

1

.

Aplicând formula (6.2.2) rezultă că, în baza B', matricea asociată

formei pătratice este D =

200

020

001

. Dacă ξi, i = 1,2,3 sunt

coordonatele vectorului x în baza B', atunci expresia formei pătratice în

această bază este A(x) = ξ12 + 2ξ2

2 + 2ξ32.

Legătura între coordonatele din baza B şi cele din baza B' este

dată de formula ξT = MTx (căci am ţinut cont de faptul că M este matrice

ortogonală). Deci

ξ1 = 3

1x1 +

3

1x2 +

3

1x3

ξ2 = 6

1x1 +

6

1x2 -

6

2x3

ξ3 = 2

1x1 -

2

1x2. vvvvvvvvvv


318

B. Metoda lui Gauss

Teorema următoare ne asigură de existenţa formei canonice a unei

forme pătratice în cazul mai general în care, eliminând ipoteza ca spaţiul

V să fie euclidian, presupunem doar că V este un spaţiu vectorial real.

Facem observaţia că această teoremă poate fi extinsă şi la cazul

unui spaţiu vectorial peste un corp oarecare, dacă admitem că forma

pătratică şi respectiv forma sa polară iau valori în corpul K şi nu neapărat

reale.

Teorema 6.3.2 Dacă V este un spaţiu vectorial real de dimensiune n şi A

: V → R este o formă pătratică care nu este identic nulă,

atunci există o bază B în V pentru care matricea asociată

formei pătratice este diagonală.

Demonstraţie. Fie B = {u1, u2,…, un} o bază a spaţiului vectorial V şi A

= (aij)i,j = 1,n matricea asociată formei în această bază.

Dacă x = ξ1u1 + ξ2u2 +…+ ξnun ∈ V atunci A(x) = ∑=

n

1iaii ξi

2 + 2 ∑<=

n

ji1j,i

aij

ξiξj , conform formulei (6.3.3). Deoarece A(.) nu este identic nulă, există

cel puţin un coeficient aij ≠ 0. Deosebim două cazuri:

a) Există i ∈{1, 2, …,n} cu proprietatea aii ≠ 0. În acest caz,

folosind proprietatea de asociativitate a adunării numerelor reale,

a1) se grupează toţi termenii ce conţin scalarul ξi astfel:

A(x) = aij ξi2 + 2ai1 ξiξ1 + 2ai2 ξiξ2 +… + 2aii-1 ξiξi-1 + 2aii+1 ξiξi+1 +…

+2ain ξiξn + ∑≠=

n

ik1k

aii ξi2 + 2 ∑

≠≠<=

n

ij,ik,jk1j,k

akj ξkξj.

Algebră liniară

319

Dacă notăm Ri(x) = ∑≠=

n

ik1k

aii ξi2 + 2 ∑

≠≠<=

n

ij,ik,jk1j,k

akj ξkξj, atunci obţinem

A(x) = aii [ξi2 + 2ξi (

ii

1i

a

aξ1 +… +

ii

1ii

a

a −ξi-1 +

ii

1ii

a

a +ξi+1 +

… + ii

in

a

aξn)] + Ri(x).

a2) se formează un pătrat perfect folosind toţi termenii ce conţin ξi

şi avem succesiv:

A(x) = aii (ξi + ii

1i

a

aξ1 +… +

ii

1ii

a

a −ξi-1 +

ii

1ii

a

a +ξi+1 +… +

ii

in

a

aξn)

2 -

(ii

1i

a

aξ1 +… +

ii

1ii

a

a −ξi-1 +

ii

1ii

a

a +ξi+1 +… +

ii

in

a

aξn)

2 + Ri(x) şi

A(x) = aii (ξi + ii

1i

a

aξ1 +… +

ii

1ii

a

a −ξi-1 +

ii

1ii

a

a +ξi+1 +… +

ii

in

a

aξn)

2 + Ri,1(x),

unde am folosit notaţia Ri,1(ξ1, …, ξi-1, ξi+1,…, ξn) = - (ii

1i

a

aξ1 + …

+ii

1ii

a

a −ξi-1 +

ii

1ii

a

a +ξi+1 +… +

ii

in

a

aξn)

2 + Ri(x).

a3) Se face schimbarea de coordonate

ζ1 = ξ1, …, ζi-1 = ξi-1,

ζi = ii

1i

a

aξ1 + … +

ii

1ii

a

a −ξi-1 + ξi +

ii

1ii

a

a +ξi+1 +… +

ii

in

a

aξn,

ζi+1 = ξi+1,…, ζn = ξn.

Deci matricea de trecere M1 de la baza B la baza B' = {v1, v2,…,

vn}, în care vectorul x are coordonatele de mai sus se poate obţine din

relaţia


320

(M1T)-1 =

+−

1...000...0

...........

0...100...0a

a...

a

a1

a

a...

a

a0...001...0

...........

0...000...1

ii

in

ii

1ii

ii

1ii

ii

1i .

În baza B', forma pătratică A(.) va avea expresia A(x) = aii ζi2 +

Ri,1(ζ1, …, ζi-1, ζi+1, …, ζn). Mai mult, este clar că Ri,1 este o formă

pătratică ce nu mai depinde de ζi şi dacă se consideră restricţia Ri,1 *) a

acestei forme la subspaţiul lui V generat de familia B' - {vi} atunci Ri este

o formă pătratică (exerciţiu) definită pe un spaţiu de dimensiune n-1.

Dacă forma pătratică Ri,1(.) este în formă canonică, atunci am

obţinut forma canonică pentru forma A(.), baza căutată fiind B'.

Dacă Ri,1(.) nu este în formă canonică atunci algoritmul continuă cu

aducerea la forma canonică a acestei forme pătratice, adică cu pasul a1),

dacă suntem în condiţiile cazului a) sau cu pasul b1) dacă suntem în cazul

b), acesta din urmă fiind expus în cele ce urmează.

Noua schimbare de coordonate, fiind efectuată pentru subspaţiul

Vi, nu va afecta coordonata ζi, care suferă doar o redenumire. Se va

constata că la fiecare aplicare a paşilor a1) -- a3) sau b1) + a1) -- a3),

dimensiunea spaţiului pe care este definită forma pătratică ce rămâne de

adus la forma canonică scade cu cel puţin o unitate. Deci într-un număr

finit de paşi algoritmul se încheie cu obţinerea formei canonice a formei

pătratice A(.).

Ri,1 : Vi →R, Ri,1(x) = Ri,1(x), unde am notat cu Vi subspaţiul lui V generat de B' - {vi}.

Algebră liniară

321

b) Nu există nici un indice i ∈{1, 2, …, n} astfel încât aii ≠ 0.

Atunci există indicii i, j ∈{1, 2, …, n}, i ≠ j, pentru care aij ≠ 0.

b1) Se face schimbarea de coordonate ξk = ζk, pentru k ≠ i, j şi

ζi = 1/2(ξi + ξj),

ζj = 1/2(ξi - ξj).

Matricea schimbării de coordonate este

M1 =

−

1...0...0...0

.............

0...2/1...2/1...0

0...010...0

0...2/1...2/1...0

.............

0...0...0...1

j

i.

.

...

...

.

.

.

.

.

.

...

...

.

.

iar matricea de trecere de la baza B la noua bază B' este (M1T)-1. Expresia

formei pătratice în baza B' este A(x) = 2aij(ζi2 - ζj

2) +…. şi este clar că în

acest moment, dacă nu am obţinut deja forma canonică, putem continua

cu aplicarea cazului a).

Dacă M1, M2, …,Mk sunt matricele de schimbarea a coordonatelor

obţinute la paşii P1, …, Pk, rezultaţi din aplicarea algoritmului de mai sus

atunci matricea de schimbare a coordonatelor (ξ1,…, ξn) în coordonatele

finale (x1,…, x2) este M = MkMk-1..M1 iar matricea de trecere de la baza B

la baza în care forma pătratică este în formă canonică este (MT)-1.

Demonstraţia este completă.


322

Exemplul 6.3.4 Să se determine forma canonică a formei pătratice

obţinută la exemplul 6.3.2. Deoarece a11 = -3 ≠ 0, suntem în cazul a) din

demonstraţia teoremei de mai sus şi, conform pasului a1), avem

A(x) = -3[x12 +2x1(-1/2x2 + 1/3x3)] + 2x2

2 - x32 + x4

2 +2x2 x3 - x2x5 + x4x5.

Completând pătratul perfect de la punctul a2) avem

A(x) = -3(x1 -1/2x2 + 1/3x3)2 + 3(-1/2x2 + 1/3x3)

2+

2x22 - x3

2 + x42 + 2 x2 x3 - x2x5 + x4x5 sau

A(x) = -3(x1 -1/2x2 + 1/3x3)2 -2/3 x3

2 + 11/4x22 + x4

2 + x2 x3 - x2x5 + x4x5.

Facem schimbarea de coordonate

(6.3.5) y1 = x1 -1/2x2 + 1/3x3, yi = xi, i = 2, 3, 4, 5

şi obţinem A(x) = -3y12 + R1(y2, y3, y4, y5) = -3y1

2 -2/3 y32 + 11/4y2

2+ y42

+ y2 y3 - y2y5 + y4y5. Procedeul continuă cu reducerea la forma canonică

a formei pătratice R1(.). Avem R1(y2, y3, y4, y5) = y42 +2y4(1/2y5) -2/3

y32+ 11/4y2

2 + y2 y3 - y2y5 = (y4 +1/2y5)2 -1/4y5

2-2/3 y32+ 11/4y2

2+ y2 y3 -

y2y5 şi făcând o nouă schimbare de coordonate

(6.3.6) z4 = y4 + 1/2y5, zi = yi, i = 1, 2, 3, 5 obţinem

R1(y2, y3, y4, y5) = z42 -1/4z5

2-2/3 z32+ 11/4z2

2+ z2 z3 - z2z5 = z42 + R2(z2, z3,

z5) unde R2(z2, z3, z5) = -1/4(z52+2 z52 z2) -2/3 z3

2 + 11/4z22+ z2 z3 = -

1/4(z5 + 2 z2) + 15/4z22 -2/3 z3

2+ z2 z3. Facem schimbarea de coordonate

(6.3.7) t5 = z5 + 2 z2, ti = zi, i =1, 2, 3, 4.

Atunci R2(z2, z3, z5) = -1/4t52 + 15/4t2

2 -2/3 t32+ t2 t3 = -1/4t5

2 +

R3(t2, t3), iar R3(t2, t3) =15/4[ t22 + 2t2(2/15 t3)] -2/3 t3

2 = 15/4 (t2 + 2/15

t3)2 - 11/15t3

2.

După o ultimă schimbare de coordonate

(6.3.7) ζ2 = t2 + 2/15 t3, ζi = ti, i =1, 3, 4, 5.

Algebră liniară

323

observăm că R3(t2, t3) =15/4ζ22 - 11/15ζ3

2 este în formă canonică. Ţinând

cont de cele spuse până acum deducem că forma canonică a formei

pătratice A(.) este A(x) = -3ζ12 + 15/4ζ2

2 - 11/15ζ32 + ζ4

2 - 1/4ζ52. Din

relaţiile (6.3.5) - (6.3.7) rezultă următoarele formule de schimbare a

coordonatelor, de la cele iniţiale la cele finale:

ζ1 = x1 -1/2x2 + 1/3x3

ζ2 = x2 + 2/15 x3----------

ζ3 = x3 --------------------------

ζ4 = x4 +1/2 x5------------

ζ5 = 2 x2 + x5.--------------

Matricea de trecere de la baza canonică, în care este exprimată

iniţial forma pătratică, la baza B' în care are forma canonică este

M =

−

−−−

−

12/1000

01000

15/415/2115/25/2

21012/1

00001

iar B' = {(1, 0, 0, 0, 0), (1/2, 1, 0, 1, -2), (-2/5, -2/15, 1, -2/15, 4/15), (0, 0,

0, 1, 0), (0, 0, 0, -1/2, 1)}.

Exemplul 6.3.5 Să se determine forma canonică a formei pătratice A :

R3 → R, A(x1, x2, x3) = 2x1x2 - x1x3 + 2x2x3.

Se observă că deoarece toţi coeficienţii aii = 0, i = 1,2,3 suntem în

cazul b) din demonstraţia teoremei precedente.

Deoarece coeficientul a12 = 1 ≠ 0, facem schimbarea de

coordonate


324

y1 =1/2( x1 + x2), y2 = 1/2( x1 - x2), y3 = x3

şi forma pătratică A devine

A(x1, x2, x3) = 2 y12 - 2y2

2 + y1y3 - 3 y2y3.

Acum putem aplica algoritmul de la punctul a) al aceleiaşi

teoreme. Avem A(x1, x2, x3) = 2 [y12 + 2y1 (1/4 y3)]- 2y2

2 - 3y2y3 =

2 (y1 + 1/4 y3)2 - 2y2

2 - 1/8y32- 3y2y3 şi facem o nouă schimbare de

variabilă z1 = y1 + 1/4 y3, z2 =y2, z3 =y3.

Obţinem A(x) = 2z12 - 2z2

2 - 1/8z32- 3z2z3 = 2z1

2 + R(z2, z3).

Deoarece R(z2, z3) = - 2[z22 + 2 z2(3/4 z3)]

2 1/8z32 = -2(z2 +3/4z3)

2

+ z32, facem schimbarea de variabile t2 = z2 + 3/4z3, t1 = z1, t3 = z3

şi obţinem forma canonică a lui A(.): A(x) = 2t12 -2t2

2 + t32.

Relaţia între coordonatele x1, x2, x3 şi t1, t2, t3 este

t1 = 1/2x1 +1/2x2 +1/4x3, t2 = 1/2x1 -1/2x2 +3/4x3, t3 = x3,

Deci matricea de trecere de la baza canonică la baza B' în care

forma pătratică este în formă canonică, este

M =

−

−

12/11

011

011

,

iar B' = {(1, 1, 0), (1, -1, 0), (-1, 1/2, 1)}.

C. Metoda lui Jacobi

Fie A(.) : V → R o formă pătratică care are expresia

A(x) = ∑=

n

1i∑=

n

1j aij xixj

într-o bază B = {u1, u2,…, un} ( x = x1u1 +…+ xnun). Atunci avem

următoarea teoremă de aducere la forma canonică a formei pătratice A, :

Algebră liniară

325

Teorema 6.3.3 (Teorema lui Jacobi) Dacă coeficienţii aij, i, j =1,…, n din

expresia de mai sus a formei pătratice A(.) au

proprietatea că şirul de determinanţi ∆0 =1, ∆1 = a11, ∆2

= 2221

1211

aa

aa ,…, ∆k =

kk2k1k

k22221

k11211

a...aa

....

a...aa

a...aa

,…, ∆n

=

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

....

a...aa

a...aa

are toţi termenii diferiţi de zero,

atunci există o bază B' ={g1, g2,…, gn} în care A(.) are

forma canonică

(6.3.8) A(x) = ∑=

n

1iβiξi

2, unde ξi, i = 1,…, n sunt coordonatele

vectorului x în baza B' iar β1 = ∆0/∆1, β2 = ∆1/∆2, …, βn =

∆n-1/∆n .

Demonstraţie. Fie B(.,.) forma polară a formei pătratice A(.). Vom

determina baza B' = {g1, g2,…, gn} astfel încât

g1 = b11u1;

(6.3.9) g2 = b21u1 + b22u2;

………………….

gn = bn1u1 + bn2u2 + …+ bnnun

şi să avem îndeplinite condiţiile

(6.3.10) B(gi, gj) = 0, oricare ar fi i ≠ j şi

(6.3.11) B(ei, gi) = 1, i = 1,…,n.


326

Este evident că dacă există o astfel de bază B', atunci forma

pătratică A(.) este în formă canonică, adică A(x) = b11 ξ12 + b22 ξ2

2 + … +

bnn ξn2 , unde ξ1,…, ξn sunt coordonatele vectorului x în baza B'.

Pentru a completa demonstraţia teoremei este suficient să arătăm că

există scalarii bi,j, 1 ≤ i ≤ j ≤ n astfel încât să fie satisfăcute condiţiile

(6.3.9) - (6.3.11), şi să demonstrăm că bii = ∆i-1/∆i, i = 1, 2,…, n.

Se poate demonstra prin inducţie după j că afirmaţia (6.3.10) este

echivalentă cu

(6.3.12) B(gj, ui) = 0, oricare ar fi i < j, j = 2,.., n.

Într-adevăr, dacă j = 2 atunci avem relaţia B(g2, g1) = 0, relaţie care

este echivalentă cu relaţia b11 B(g2, u1) = 0. Deoarece B' este, în

particular, sistem liniar independent trebuie să avem g1 ≠ 0, deci b11 ≠ 0.

Rezultă B(g2, u1) = 0. Vom demonstra afirmaţia pentru j ∈{ 3,..,

n}. Din (6.3.10) rezultă că pentru orice p < j, avem B(gj, gp) = 0. Pentru p

= 1 avem B(gj, g1) = 0 şi de aici rezultă, raţionând ca mai sus, că B(gj, e1)

= 0. Folosind inducţia după p < j se stabileşte că B(gj, up) = 0 oricare ar fi

p < j. Într-adevăr, presupunem că B(gj, uk) = 0, oricare ar fi k < p şi

demonstrăm că B(gj, up) = 0. Avem B(gj, bp1u1 + … + bpp-1up-1 + bppup) =

0. Deoarece bpp ≠ 0, altfel gp-1, gp nu ar mai fi liniar independenţi, folosim

ipoteza de inducţie şi deducem că bppB(gj, up) = 0 şi B(gj, up) = 0. Deci

B(gj, up) = 0 pentru toţi p < j şi demonstraţia este completă.

Pentru a calcula coeficienţii bij, j = 1,…,i , i = 1,…,n se procedează

astfel: a) dacă i = 1 atunci avem B(g1,e1) = 1 şi rezultă b11a11 = 1. Deci

b11 = 11a

1 =

1

0

∆

∆

Algebră liniară

327

b) pentru fiecare i = 2,…n avem B(uj, gi) = B(gi, uj) = 0, j = 1,…, i

- 1, conform relaţiei (6.3.12) şi B(ui, gi) =B(gi, ui) = 1, conform relaţiei

(6.3.11). Se obţine sistemul:

bi1B(uj, u1) + bi2 B(uj, u2) + …+ bii B(uj, ui) = 0, j = 1,…, i - 1

bi1B(ui, u1) + bi2 B(ui, u2) + …+ bii B(ui, ui) = 1, care se mai scrie,

ţinând cont de faptul că aij = B(ui, uj),

bi1a11 + bi2 a12 + …+ bii a1i = 0

(6.3.13) bi1a21 + bi2 a22 + …+ bii a2i = 0

……………………………

bi1ai1 + bi2 ai2 + …+ bii aii = 1.

Deoarece determinantul matricei asociate acestui sistem este chiar

∆i ≠ 0, deducem că sistemul este compatibil determinat şi, aplicând regula

lui Cramer, avem bii =i

1i

∆

∆ − = βi oricare ar fi i = 2,…,n. Demonstraţia este

încheiată.

Observaţia 6.3.2 a) Demonstraţia teoremei de mai sus, reprezintă o nouă

metodă de aducere la forma canonică a unei forme pătratice, metoda lui

Jacobi.

b) Principalul neajuns al acestei teoreme constă în

faptul că nu se poate aplica decât cu condiţia ca şirul de determinanţi ∆i, i

= 1,…,n să aibă toţi termenii nenuli. Astfel, pentru a aduce la forma

canonică forma pătratică din Exemplul 6.3.5, nu putem folosi metoda lui

Iacobi.


328

Într-adevăr, matricea asociată formei pătratice A(.), din exemplul

amintit, în baza canonică, este A =

−

−

012/1

101

2/110

şi, deoarece ∆1 =

a11 = 0, nu putem aplica teorema de mai sus.

Această problemă poate fi rezolvată folosind Teoremele 6.2.4 şi

6.2.5. Deosebim două situaţii:

i) Forma polară a formei pătratice A: V → R este nedegenerată.

Atunci, conform Teoremei 6.2.5, există o bază în spaţiul V în care şirul de

minori principali ai matricei asociate formei pătratice nu are termeni nuli

şi forma pătratică poate fi adusă la forma canonică prin metoda lui Jacobi.

ii) Forma polară a formei pătratice A: V → R este degenerată. Fie

B(.,.) forma polară a formei pătratice A(.), V0 spaţiul nul asociat acesteia

şi V1 astfel încât V0 ⊕V1 = V.

Dacă B1(.,.) este restricţia formei biliniare simetrice la subspaţiul

V1, ca în Teorema 6.2.4, atunci, deoarece B1(.,.) este nedegenerată, putem

folosi punctului i) de mai sus pentru a aduce forma pătratică asociată lui

B1(.,.) la forma canonică. Fie B' baza din V1 în care se obţine forma

canonică a formei biliniare B1(.,.) prin metoda lui Iacobi. Dacă B'' este o

bază oarecare în V0 atunci B'' ∪ B' este o bază în V în care A(.) are forma

canonică. (Această afirmaţie este consecinţa faptului că dacă x∈V atunci

x se scrie în mod unic ca o sumă de doi vectori x0∈V0 şi x1∈V1 iar A(x) =

A(x1)).

Exemplul 6.3.6 Să se folosească metoda lui Jacobi pentru a aduce la

forma canonică forma pătratică de la Exerciţiul 6.3.4 A : R3 → R, A(x1,

x2, x3) = 2x1x2 - x1x3 +2x2x3.

Algebră liniară

329

Se observă că matricea asociată formei pătratice în baza canonică

este A =

−

−

012/1

101

2/110

şi conform celor arătate în exemplul 6.2.10

găsim o altă bază B = { u2 = E2, u3 = E3, u1 = E1 + E2} în care matricea

asociată formei pătratice îndeplineşte ipotezele teoremei lui Jacobi. În

această bază matricea asociată este A =

012/1

101

2/112

şi ∆1 = 2, ∆2 = -

1, ∆3 = -1. Forma canonică este A(x) = 1/2ξ12 -2 ξ2

2 + ξ32, unde ξi, i =1,

2, 3 sunt coeficienţii vectorului x în baza determinată de condiţiile (6.3.9)

- (6.3.11) din demonstraţia teoremei lui Jacobi. Am văzut că g1 = 1/2u1 =

1/2(E1 + E2), g2 = b21 u1 + b22 u2, unde b22 = -2, iar b21 =1, aşa cum

rezultă din rezolvarea sistemului (6.3.13). Deci g2 = E1 - E2. Analog se

obţine g3 = b31 u1 + b32 u2 + b33 u3, unde b31 = -1, b32 = 3/2 şi b33 = 1,

adică g3 = -E1 +1/2E2 +E3. În concluzie, baza căutată este B' ={(1/2, 1/2,

0), (1, -1, 0), (-1, 1/2, 1)}.

Exemplul 6.3.7 Să se aducă la forma canonică prin metoda lui Jacobi

forma pătratică A : R4 → R, A(x1, x2, x3, x4) = x12 + 2x2

2 + 2x42

- 2x1x2 +

4 x1x4 + 2x2x3 + 4x2x4 - 2 x3x4.

Matricea asociată formei pătratice în baza canonică este A =

−

−

−

−

2120

1012

2121

0211

. Deoarece ∆1 = 1, ∆2 = 1, ∆3 = -13, ∆4 = -23, putem

aplica teorema lui Jacobi pentru a aduce forma pătratică la forma


330

canonică. Rezolvând sistemul (6.2.13) pentru i = 2, 3, 4 obţinem b21 = 1,

b22 =1, b31 =5/13, b32 = 3/13, b33 = -1/13, b41 = 9/23, b42 = -5/23, b43 = -

7/23, b44 =13/23 iar b11 =1. Conform formulelor (6.3.9) obţinem baza B'

formată din vectorii g1 = E1, g2 = E1 + E2, g3 = 5/13E1 + 3/13 E2 - 1/13

E3, g4 = 9/23E1 - 5/23 E2 -7/23E3 + 13/23 E4, unde Ei = (0,..0, 1, 0,..0),

componenta egală cu 1 fiind pe poziţia i, i = 1, 2, 3, 4 sunt vectorii din

baza canonică a lui R4. Forma canonică a formei pătratice este A(x) =

ξ12 + ξ2

2 - 1/13ξ32 + 13/23ξ4

2, x = ξ1g1 +ξ2g2 +ξ3g3 +ξ4g4. Făcând

calculele determinăm explicit baza B': B' = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0),

(5/13, 3/13, -1/13, 0), (9/23, -5/23, -7/23, 13/23)}.

III. Legea inerţiei

Lema 6.3.1. Vie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste un corp K ş

fiei V1, V2 două subspaţii ale sale de dimensiuni m şi

respectiv r astfel încât m + r > n. Atunci V1 ∩ V2 ≠ (0).

Demonstraţie. Fie B = {e1,…, em} o bază în V1 şi B' = B = {g1,…, gr} o

bază în V2. Familia B ∪ B' este liniar dependentă deoarece m + r > n.

Atunci există scalarii αi ∈K, i = 1,.., m , βj ∈k, j = 1,.., r nu toţi nuli astfel

încât α1e1 + α2e2 +…αmem + β1g1 + β2g2 +… + βrgr = 0. Deci x = α1e1 +

α2e2 +…αmem = - β1g1 - β2g2 -… - βrgr ∈ V1 ∩ V2. Este clar că x ≠ 0. Într-

adevăr, dacă x = 0, atunci rezultă, din liniar independenţa familiilor B şi

B', că toţi scalarii αi, βj, i = 1,.., m, j = 1,.., r sunt nuli, ceea ce este absurd.

Teorema 6.3.4 (Legea inerţiei)Fie V este un spaţiu vectorial real de

dimensiune n şi A : V → R o formă pătratică pe care o

aducem la forma canonică în două baze diferite. Numărul

Algebră liniară

331

coeficienţilor pozitivi cât şi cel al coeficienţilor negativi

din formele canonice respective este acelaşi.

Demonstraţie. Fie B = {e1,…, en} şi B' = {g1,…, gn} două baze diferite

în care forma pătratică A are forma canonică. Dacă x = x1e1 + … + xnen,

atunci A(x) = α1x12 + …+ αmxm

2 - βm+1xm+12 + … + βm + s xm + s

2, unde toţi

scalarii αi, βj , i = 1,…,m, j = m + 1,…, m + s, m + s ≤ n sunt pozitivi.

Dacă în baza B', pentru acelaşi vector x = ξ1g1 + … + ξngn avem

A(x) = γ1ξ12 + …+ γpξp

2 - δp+1ξp+12 - … - δp + r ξp + r

2,

toţi scalarii γi, βj , i = 1,…,p, j = p + 1,…, p + r, p + r ≤ n fiind pozitivi,

atunci trebuie să demonstrăm că m = p şi s = r.

Presupunem prin absurd că m > p. Subspaţiile V1 şi V2 ⊆ V

generate de familiile {e1,…, em} şi respectiv {gp+1,…, gn} au dimensiunile

m şi respectiv n - p. Deoarece m + n - p > n (căci m > p), deducem,

conform lemei de mai sus, că există un vector x ≠ 0 astfel încât x ∈V1 şi

x∈ V2. Acest vector x are coordonatele (x1, …xm, 0,…,0) în baza B şi (0,

…,0 , ξp+1, …ξn) în baza B'. Atunci expresia formei pătratice, în baza B,

pentru vectorul x considerat mai sus este A(x) = α1x12 + …+ αmxm

2 > 0,

în timp ce, în baza B', este A(x) = - δp+1ξp+12 - … - δp+rξp+r

2 < 0.

Am ajuns la o contradicţie. Deci m = p. În acelaşi mod se arată că s = r.

Exemplul 6.3.8. Se observă că forma pătratică din exemplul 6.3.4 a fost

adusă la forma canonică în două baze diferite (a se vedea şi Exemplul

6.3.6) şi afirmaţia din teorema de mai sus este verificată, adică în ambele

baze are un coeficient pozitiv şi doi negativi.


332

Fie A : V → R o formă pătratică. Dacă A(.) are forma canonică

A(x) = α1x12 + …+ αmxm

2 - βm+1xm+12 + … + βm + sxm + s

2, m + s ≤ n

într - o bază B = {e1,…, en}, x = x1e1 + … + xnen, atunci

introducem următoarele noţiuni:

Definiţia 6.3.5 Numărul natural m se numeşte indexul pozitiv al

formei pătratice A(.), numărul s se numeşte indexul

negativ al formei, iar perechea (m, s) se numeşte

signatura formei.

Teorema 6.3.4 demonstrează de fapt că signatura unei forme

pătratice nu se schimbă la schimbarea bazei.

6.4 Exerciţii

1. Să se stabilească dacă aplicaţiile de mai jos sunt forme liniare.

a) f : R4 → R, f(x1, x2, x3, x4) = x1 + 2x2 - 3x3 + 2x4 ;

b) f : R4 → R, f(x1, x2, x3, x4) = x1 + 2x2 - 3x3 + 2x4 +1;

c) f : R3 → R, f(x1, x2, x3) = x12 + 2x2 - 3x3 ;

d) f : M2(R) → R, f(

cd

ba) = a + c;

e) f : Mn(R) → R, f(

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

......

a...aa

a...aa

) = a11 + a22 +…+ ann;

f) f : M2(R) → R, f(

cd

ba) = ac - bd.

Algebră liniară

333

R: a) Da. b) Nu. Se poate arăta că nu este îndeplinită condiţia de

aditivitate. c) Nu. Se poate arăta că nu este îndeplinită condiţia de

omogeneitate. d) Da. e) Da. Facem observaţia că formele liniare definite

la punctele d) şi e) sunt cunoscute sub numele de aplicaţii urmă sau trace

şi pentru fiecare A∈Mn(R) se foloseşte notaţia Tr(A) pentru suma

elementelor de pe diagonala principală a matricei. Evident, aplicaţia poate

fi definită şi pe Mn(K). f) Nu. Se demonstrează că aplicaţia nu are

proprietatea de omogeneitate.

2. Să se determine coeficienţii formei liniare de la punctul a), al

exerciţiului 1 de mai sus, în baza B = {u1 = (1, 0, 1, 0), u2 = (-2, 2, 3, -1),

u3 = (1, 3, -1, 0), u4 = (0, 1, 4, 1) }.

R: Coeficienţii formei în baza B sunt f(u1) = -2, f(u2) = -9, f(u3) =

10, f(u3) = -8.

3. Să se determine baza duală a bazei B de la exerciţiul precedent.

R: Fie x = (x1, x2, x3, x4) ∈R4. Aplicând formula 1. 4. 2 obţinem

coordonatele acestui vector în baza B:

ξ1 = 8/11x1 - 5/33x2 + 3/11x3 - 31/33x4,

ξ2 = -1/11x1 + 2/33x2 + 1/11x3 - 14/33x4,

ξ3 = 1/11x1 + 3/11x2 - 1/11x3 + 1/11x4,

ξ4 = -1/11x1 + 2/33x2 + 1/11x3 + 19/33x4.

Atunci avem, conform relaţiei (6.1.1), u1*(x) = 8/11x1 - 5/33x2 +

3/11x3 - 31/33x4, u2*(x) = -1/11x1 + 2/33x2 + 1/11x3 - 14/33x4, u3

*(x) =

1/11x1 + 3/11x2 - 1/11x3 + 1/11x4, u4*(x) = -1/11x1 + 2/33x2 + 1/11x3 +

19/33x4.


334

4. Să se determine o formă liniară f neidentic nulă, definită pe

spaţiul vectorial R3 astfel încât f(1, 0, 2) = 0 şi f(-1, 1, 2) = 0.

R: Deoarece familia de vectori G = {u1 = (1, 0, 2), u2 = (-1, 1, 2)}

este liniar independentă ea poate fi completată la o bază pentru R3. Într-

adevăr B = {u1 = (1, 0, 2), u2 = (-1, 1, 2), u3 = (0, 0, 1)} este o bază în R3.

Coeficienţii formei în baza B vor fi f(u1) = 0, f(u2) = 0 şi f(u3) = a

∈R. Dacă x = (x1, x2, x3) ∈R3 atunci el are coordonatele ξ1 = x1 + x2, ξ2

= x2 şi ξ3 = -2x1 - 4x2 + x3. Deci f(x) = ξ1 f(u1) + ξ2 f(u2) + ξ3 f(u3) = aξ3 =

-2ax1 - 4ax2 + ax3. Pentru orice a ≠ 0 obţinem o formă liniară care

satisface cerinţele problemei.

5. Să se determine o formă liniară f , definită pe spaţiul vectorial R3

astfel încât f(1, 0, 2) = 2.

R: Procedând ca la exerciţiul de mai sus găsim o bază B = {u1 = (1,

0, 2), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} în R3 care să includă vectorul pentru

care se cunoaşte valoarea formei liniare. Coordonatele unui vector x =

(x1, x2, x3) ∈R3 în această bază sunt ξ1 = x1, ξ2 = x2 şi ξ3 = -2x1 + x3. Dacă

f(u2) = a şi f(u3) = b, a, b ∈R, atunci f(x) = 2x1 + ax2 - 2bx1 + bx3, a, b

∈R.

4. Să se arate că dacă n forme liniare fi , i = 1,…, n iau valoarea

zero pentru un acelaşi vector x ≠ 0 din spaţiul vectorial V şi dim KV = n ,

atunci formele liniare sunt liniar dependente.

R: Fie B = {u1 , u2 ,…, un} o bază în V şi fie B* = {u1* , u2

* ,…,

un*} baza sa duală. Coordonatele formei liniare fi, i = 1,…, n în baza B*

sunt de fapt coeficienţii formei, aji = fi(uj), j = 1,…, n în baza B. Conform

Propoziţiei 1.2.1, pentru a demonstra că formele liniare fi , i = 1,…, n sunt

Algebră liniară

335

liniar dependente este suficient să arătăm că matricea care are pe coloane

coeficienţii formelor în baza B are rangul mai mic strict decât n.

Fie x = (x1, x2,…, xn) ∈V, x ≠ 0 vectorul din ipoteză. Avem fi(x) =

0, i = 1,…, n ⇔ a11x1 + a21x2 +…+ an1xn = 0, a12x1 + a22x2 +…+ an2xn =

0,…, a1nx1 + a2nx2 +…+ annxn = 0. Astfel, am obţinut un sistem liniar şi

omogen a cărui matrice asociată este chiar matricea ce are pe linii

coeficienţii formelor fi în baza B, sistem care admite o soluţie nenulă.

Deci rangul matricei sistemului este mai mic strict decât n şi

demonstraţia a fost încheiată.

5. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Să se arate că pentru

orice

bază B* = {u1* , u2

* ,…, un*} din V* există o baza B în V astfel încât

B* să fie baza sa duală.

R: Fie B = {v1 , v2 ,…, vn} o bază în V şi fie aij, i, j = 1,…, n

coeficienţii formei ui* în baza B, ui

*(vj) = aji, j = 1,…., n. Aceştia

reprezintă coordonatele formelor liniare ui* în baza duală B*. Deoarece

ui*, i = 1,.., n este o bază în V*, atunci aplicăm Propoziţia 1.2.1 şi rezultă

că matricea A = (aji)i, j =1,n are rangul egal cu n, deci este inversabilă. Fie

B' = {u1 , u2 ,…, un} o bază în V astfel încât matricea (AT)-1 reprezintă

matricea de trecere de la bază B la baza B'. Atunci aplicăm teorema 6.1.2

şi deducem formula de legătură între coeficienţii αji, j = 1,…, n ai

formelor liniare ui*, i = 1,.., n în baza B' şi cei din baza B:

Λ = A(AT)-1, unde Λ = (αji)i, j =1,n.

Deci ui*(uj) = δi

j, i, j = 1,…,n. Conform definiţiei bazei duale,

rezultă că duala bazei B' este chiar B*.

6. Care din funcţiile de mai jos sunt forme biliniare ?


336

a) B : P(t) x P(t) →R, B(f, g) = f(2) + g(2), unde P(t) este spaţiul

polinoamelor în nedeterminata t, de orice grad, cu coeficienţi reali;

b) B : P(t) x P(t) →R, B(f, g) = f(2)g(2);

c) B : R4 x R3 → R, B(x, y) = 2x1y1 - 3x1y2 + x1y3 + x3y1 + 4x3y4;

d) B : R3 x R3 → R, B(x, y) = 2x1y1 - 3x1y2 + x1y3 + 3x2y2 - 2x3y3 +

1;

e) B : R3 x R3 → R, B(x, y) = 2x1y1 - 3x1y2 + x1y3 + 3x2y2 - 2x3y3;

f) B : R2 x R2 → R, B(x, y) = 2x1y2 - 3x2y1 + x2y2 + 3x22.

Dacă x∈Rn, atunci convenim că x1, x2, …, xn∈R sunt

componentele lui x.

R: a) Nu. Se poate arată că nu este satisfăcută condiţia de

omogeneitate în primul argument. b) Da. Avem B(αf + βg, h) = [αf(2) +

βg(2)]h(2) = α f(2)h(2) + βg(2)h(2) = αB(f, h) + β B(g, h) şi analog se

arată liniaritatea în al doilea argument. c) Da. d) Nu. Se poate arăta că nu

este îndeplinită condiţia de aditivitate în oricare argument. e) Da. f). Nu.

Se poate că nu este satisfăcută condiţia de omogeneitate în primul

argument.

7. Se consideră forma biliniară B(.,.) definită pe R3 x R

5 a cărei

matrice asociată în perechea formată din bazele canonice ale spaţiilor de

definiţie este A =

−−

−

11001

20230

01021

. a) Să se determine matricea

asociată formei biliniare în perechea de baze B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1,

0, 0)} şi B1 = {u1 = (1, 1, 0, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0, 0), u3 = (3, 2, 1, 1, 0), u4

= (0, 0, 1, 1, 1), u5 = (1, 0, 0, 0, 0)}. b) Să se determine subspaţiile nule

ale formei biliniare B1(.,.) definită pe R3 x R5 a cărei matrice asociată în

Algebră liniară

337

perechea formată din bazele canonice ale spaţiilor de definiţie este

matricea obţinută la puntul a).

R: a) Matricele de trecere de la bazele canonice din R3 şi respectiv

R5 la bazele B şi respectiv B1 sunt M =

001

011

111

şi respectiv P =

00001

11100

01123

00101

00011

. Se aplică formula 6.2.2 şi avem

Λ = MAPT =

−−

−

−

11111

13250

24162

.

b) Dacă V0 este subspaţiul nul în primul argument atunci x∈V0 ⇔

B1(x,y) = 0, oricare ar fi y∈R5. Dacă x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3, y4, y5)

atunci forma biliniară B1(.,.) are următoarea expresie B1(x, y) = 2x1y1 +

6x1y2 - x1y3 + 4 x1y4 + 2 x1y5 + 5x2y2 - 2 x2y3 + 3 x2y4 + x2y5 - x3y1 + x3y2

- x3y3 + x3y4 + x3y5. Deci x ∈ V0 ⇔ y1(2x1 - x3) + y2(6x1 + 5x2) + y3(- x1 -

2 x2 - x3) + y4(4 x1 + 3 x2 + x3) + y5(2 x1 + x2 + x3) = 0, pentru toţi yi ∈R,

i = 1,..,5. Se obţine sistemul 2x1 - x3 = 0, 6x1 + 5x2 = 0, - x1 - 2 x2 - x3 = 0,

4 x1 + 3 x2 + x3 = 0, 2 x1 + x2 + x3 = 0, care are numai soluţia nulă. Deci

V0 = (0). În mod asemănător se constată că y∈W0, unde W0 este

subspaţiul nul pentru al doilea argument, dacă şi numai dacă y1 = -8/5α -

4/5β, y2 = α, y3 = 12/5α + 6/5β, y4 = β, y5 -1/5α - 3/5β, α, β ∈R. Deci

W0 = {(-8/5, 1, 12/5, 0, -1/5) + β(-4/5, 0, 6/5, 1, -3/5), α, β ∈R } fiind un

subspaţiu de dimensiune 2.


338

8. Să se verifice dacă aplicaţiile de mai jos sunt forme biliniare

simetrice, şi în caz afirmativ să se scrie formele pătratice asociate.

a) B : R3 x R3 → R, B(x, y) = 2x1y1 - 3x1y2 + x1y3 - 3x2y1+ x3y1;

b) B : R4 x R4 → R, B(x, y) = 2x1y1 + 2x1y2 + x1y3 + 2x2y1+ 3x2y2

+ x3y1- 2x3y3 + x4y4;

c) B : R4 x R3 → R, B(x, y) = 2x1y1 - 3x1y2 + x1y3 + 3x2y2 - 2x3y3 +

x4y3;

d) B : R2 x R2 → R, B(x, y) = 2x1y2 + 2x2y1 + x2y2.

R: a) Da. A : R3 → R, A(x) = 2x12 - 6x1x2 + 2x1x3 . b) Da. A : R4

→ R, A(x) = 2x12 + 3x2

2 - 2x32 + x4

2 + 4x1x2 + 2x1x3; c) Nu, deoarece

B(.,.) nu are un domeniu de definiţie corespunzător. d) Da. A : R2 → R,

A(x) = x22 + 4x1x2.

9. Să se aducă la forma canonică formele pătratice de la exerciţiul

8, prin una din cele trei metode studiate.

R: Pentru rezolvare punctului a) vom folosi toate cele trei metode,

pentru a exemplifica modul de lucru.

a1) Aducem forma pătratică la forma canonică prin metoda

vectorilor şi valorilor proprii. Valorile proprii sunt λ1 = 0, λ2 = 1 + 11 ,

λ2 = 1 - 11, iar vectorii proprii corespunzători sunt v1 = (0, 1, 3), v2 = (-

1/3 - 1/3 11, 1, -1/3), v3 = (-1/3 + 1/3 11, 1, -1/3). Deci forma canonică

este A(x) = (1 + 11)ξ12 + (1 - 11)ξ2

2, unde ξi, i = 1, 2, 3 sunt

coordonatele vectorului x = (x1, x2, x3) în baza B = {v1/ 1v , v2/ 2v ,

v3/ 3v }, unde v este norma euclidiană a vectorului v.

Algebră liniară

339

a2) Dacă utilizăm metoda lui Gauss avem A(x) = 2[x12 - 2x1 (

2

3 x2

- 2

1 x3) + (

2

3 x2 -

2

1 x3)

2 ] - (2

3 x2 -

2

1 x3)

2. Facem schimbarea de

coordonate y1 = x1 - 2

3 x2 +

2

1 x3, y2 =

2

3 x2 -

2

1 x3, y3 = x3 şi obţinem

A(x) =2y12 - y2

2. Deoarece matricea de schimbare de coordonatelor

(obţinute prin

trecerea de la baza canonică a lui R3 la baza în care avem expresia

canonică a formei pătratice) este A =

−

−

100

2/12/30

2/12/31

. Matricea

de trecere da la baza canonică la baza finală este

1003

1

3

20

011

. Deci baza

căutată este B = {(1, 1, 0), (0, 2/3, 1/3), (0, 0, 1)}.

a3) Deoarece şirul de minori principali ai matricei asociate formei

pătratice în baza canonică este ∆1 = 2, ∆2 = -9, ∆3 = 0, forma polară a

formei pătratice este degenerată şi metoda lui Jacobi nu se poate aplica

direct. Spaţiul nul al formei polare este generat de vectorul u3 = (0, 1, 3).

Familia {E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), u3} formează o bază în R3. Deci

este suficient să aducem la forma canonică restricţia formei pătratice la

subspaţiul vectorial generat de E1 şi E2. Aceasta este A1 : R2 → R, A1(x)

= 2x12 - 6x1x2 şi, conform metodei lui Jacobi, are forma canonică A1(x) =

2ξ12 - 9ξ2

2, unde ξ1, ξ2 sunt coordonatele vectorului x = (x1, x2) în baza u1

= 2E1, u2 =1/3E1 -2/9E2. Deci în baza B = {u1, u2, u3} obţinem forma

canonică A(x) = 2ξ12 - 9ξ2

2, pentru forma pătratică iniţială. b) Deoarece


340

avem ∆1 = 2, ∆2 = 2, ∆3 = -7, ∆4 = -7, se poate aplica metoda lui Jacobi,

pentru aducerea formei pătratice în formă canonică. Avem A(x) = 1/2ξ12

+ ξ22 - 2/7ξ3

2 + ξ42, unde ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 sunt coordonatele vectorului x =

(x1, x2, x3, x4) în baza u1 = 1/2E1, u2 = - E1 + E2, u3 = 3/7 E1 - 2/7E2 -

2/7E3, u4 = E4. d) Aplicăm metoda lui Gauss şi avem A(x) = -4ξ12 + ξ2

2,

unde ξ1, ξ2 sunt coordonatele vectorului x = (x1, x2) în baza u1 = - E2, u2 =

- E1 + 2E2.

10. Să se precizeze dacă formele pătratice obţinute prin rezolvarea

exerciţiului 8 sunt pozitiv, negativ definite (semidefinite) sau nedefinite.

R. Deoarece o formă canonică a formei pătratice de la punctul a)

(vezi a3 exerciţiul 9) este A(x) = 2ξ12 - 9ξ2

2 este clar că pentru orice

vector v = αu2, α ≠ 0 avem A(v) = - 9α2 > 0, în timp ce pentru v = βu1, β

≠ 0, A(v) = 2β2 < 0. Deci forma este nedefinită. Analog se arată că

formele pătratice obţinute la punctele b) şi d) ale ex. 8 sunt nedefinite.

11. Care este signatura formelor pătratice studiate la exerciţiul

precedent?

R: a) (1, 1). b) (3, 1). d) (1,1).

12.*) Dacă A : V → R este o formă pătratică a cărei matrice A =

(aij)i,j = 1,…,n, asociată formei în raport cu o bază, are proprietatea că toţi

minorii principali ∆i, i = 1,…, n (a se vedea teorema lui Jacobi) sunt

pozitivi ( respectiv (- 1)i∆i > 0) atunci forma pătratică este pozitiv

(respectiv negativ) definită.

Indicaţie: Se aplică teorema lui Jacobi.

* Exerciţiul de mai sus este un rezultat cunoscut sub numele de

criteriul lui Sylvester.

capitolul 6 forme liniare, biliniare Şi p Ătratice 6.1 … · 2021. 3. 6. · forme liniare,...

Documents