Capítulo 11A – Movimiento AngularCapítulo 11A – Movimiento Angular

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity© 2007

Las TURBINAS DE VIENTO como éstas pueden generar energía significativa en una forma que es ambientalmente amistosa y renovable. Los conceptos de aceleración rotacional, velocidad angular, desplazamiento angular, inercia rotacional y otros temas que se discuten en este capítulo son útiles para describir la operación de las turbinas de viento.

Objetivos: Después de Objetivos: Después de completar este módulo, completar este módulo, deberá:deberá:

• Definir y aplicar los conceptos de Definir y aplicar los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración desplazamiento, velocidad y aceleración angular.angular.

• Dibujar analogías que relacionan Dibujar analogías que relacionan parámetros de movimiento rotacional (parámetros de movimiento rotacional (, , , , ) con lineal () con lineal (x, v, ax, v, a) y resolver ) y resolver problemas rotacionales.problemas rotacionales.

• Escribir y aplicar relaciones entre Escribir y aplicar relaciones entre parámetros lineales y angulares.parámetros lineales y angulares.

Objetivos: (continuación)Objetivos: (continuación)

• Definir el momento de inercia y aplicarlo Definir el momento de inercia y aplicarlo para muchos objetos regulares en para muchos objetos regulares en rotación.rotación.

• Aplicar los siguientes conceptos a rotación:Aplicar los siguientes conceptos a rotación:

1. Trabajo, energía y potencia rotacional1. Trabajo, energía y potencia rotacional

2. Energía cinética y cantidad de 2. Energía cinética y cantidad de movimiento rotacionalmovimiento rotacional

3. Conservación de cantidad de 3. Conservación de cantidad de movimiento angularmovimiento angular

Desplazamiento Desplazamiento rotacional, rotacional,

Considere un disco que rota de A a B:Considere un disco que rota de A a B:

A

B

Desplazamiento angular Desplazamiento angular ::

Medido en revoluciones, Medido en revoluciones, grados o radianes.grados o radianes.

1 rev1 rev == 360 360 00 = 2= 2 radrad

La mejor medida para rotación La mejor medida para rotación de cuerpos rígidos es el de cuerpos rígidos es el radiánradián..La mejor medida para rotación La mejor medida para rotación de cuerpos rígidos es el de cuerpos rígidos es el radiánradián..

Definición del radiánDefinición del radiánUn Un radián radián es el ángulo es el ángulo subtendido al centro de un círculo subtendido al centro de un círculo por una longitud de arco por una longitud de arco ss igual al igual al radio radio RR del círculo. del círculo.

1 rad = = 57.30

R

R

ss

R

s

R

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Una cuerda se enrolla Una cuerda se enrolla muchas veces alrededor de un tambor muchas veces alrededor de un tambor de de 50 cm50 cm de radio. ¿Cuántas de radio. ¿Cuántas revoluciones del tambor se requieren revoluciones del tambor se requieren para subir una cubeta a una altura de para subir una cubeta a una altura de 20 m20 m??

h = h = 20 m20 m

RR= 40 rad= 40 rad

Ahora, Ahora, 1 rev = 21 rev = 2 radrad

= 6.37 rev = 6.37 rev

1 rev40 rad

2 rad

20 m

0.50 m

s

R

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una llanta de bicicleta Una llanta de bicicleta tiene un radio de tiene un radio de 25 cm25 cm. Si la rueda . Si la rueda da da 400 rev400 rev, ¿cuánto habrá recorrido , ¿cuánto habrá recorrido la bicicleta?la bicicleta?

= 2513 rad= 2513 rad

s = s = R = R = 25132513 rad (0.25 m)rad (0.25 m)

s = 628 ms = 628 m

2 rad400 rev

1 rev

Velocidad angularVelocidad angularLa velocidad angularLa velocidad angular, , es la tasa de es la tasa de cambio en el desplazamiento angular. cambio en el desplazamiento angular. (radianes por segundo)(radianes por segundo)

ff Frecuencia angular Frecuencia angular ff (rev/s).(rev/s).ff Frecuencia angular Frecuencia angular ff (rev/s).(rev/s).

La velocidad angular también se puede dar La velocidad angular también se puede dar como la frecuencia de revolución, como la frecuencia de revolución, f f (rev/s o (rev/s o rpm):rpm):

Velocidad angular Velocidad angular en rad/s.en rad/s.

tt

Ejemplo 3:Ejemplo 3: Una cuerda se enrolla Una cuerda se enrolla muchas veces alrededor de un tambor muchas veces alrededor de un tambor de de 20 cm20 cm de radio. ¿Cuál es la de radio. ¿Cuál es la velocidad angular del tambor si velocidad angular del tambor si levanta la cubeta a levanta la cubeta a 10 m10 m en en 5 s5 s??

h = h = 10 m10 m

R

= 10.0 rad/s = 10.0 rad/s

t

50 rad

5 s

= 50 rad= 50 rad10 m

0.20 m

s

R

Ejemplo 4:Ejemplo 4: En el ejemplo anterior, En el ejemplo anterior, ¿cuál es la frecuencia de revolución ¿cuál es la frecuencia de revolución para el tambor? Recuerde que para el tambor? Recuerde que = = 10.0 rad/s10.0 rad/s..

h = 10 mh = 10 m

R

f = 95.5 rpmf = 95.5 rpm

2 or 2

f f

10.0 rad/s1.59 rev/s

2 rad/revf

O, dado que 60 s = 1 O, dado que 60 s = 1 min:min:

rev 60 s rev1.59 95.5

1 min minf

s

Aceleración angularAceleración angularLa La aceleración angular aceleración angular es la tasa de es la tasa de

cambio en velocidad angular. (radianes cambio en velocidad angular. (radianes por s por s)por s por s)

La aceleración angular también se puede La aceleración angular también se puede encontrar a partir del cambio en frecuencia, encontrar a partir del cambio en frecuencia, del modo siguiente:del modo siguiente:

)(rad/sangular n Aceleració 2

t

ft

f 2 pues )(2

Ejemplo 5:Ejemplo 5: El bloque se levanta El bloque se levanta desde el reposo hasta que la desde el reposo hasta que la velocidad angular del tambor es velocidad angular del tambor es 1616 rad/srad/s después de después de 4 s4 s. ¿Cuál es la . ¿Cuál es la aceleración angular promedio?aceleración angular promedio?

h = h = 20 m20 m

R

= 4.00 rad/s2 = 4.00 rad/s2

0

f o fort t

2

16 rad/s rad4.00

4 s s

Rapidez angular y linealRapidez angular y linealDe la definición de desplazamiento

angular :s = R Desplazamiento lineal

contra angular

v = Rs R

v Rt t t

Rapidez lineal = rapidez angular x radio

Rapidez lineal = rapidez angular x radio

Aceleración angular y lineal:Aceleración angular y lineal:

De la relación de velocidad se tiene:

v = R Velocidad lineal contra angular

a = Rv v R v

v Rt t t

Acel. lineal = Acel. angular x radioAcel. lineal = Acel. angular x radio

Ejemplo:Ejemplo:

R1 = 20 cm R2 = 40 cm

R1

R2

A

B = 0; f = 20 rad/s

t = 4 s ¿Cuál es la rapidez lineal final en los

puntos A y B?

Considere disco rotatorio Considere disco rotatorio plano:plano:

vAf = Af R1 = (20 rad/s)(0.2 m); vvAfAf = 4= 4 m/sm/s

vAf = Bf R1 = (20 rad/s)(0.4 m); vvBfBf = 8= 8 m/sm/s

Ejemplo de aceleraciónEjemplo de aceleración

R1 = 20 cm R2 = 40 cm

¿Cuáles son las ¿Cuáles son las aceleraciones angular y aceleraciones angular y lineal lineal promediopromedio en B? en B?

R1

R2

A

B = 0; f = 20 rad/s t = 4 s

Considere disco Considere disco rotatorio plano:rotatorio plano:

= 5.00 rad/s2= 5.00 rad/s2

a = R = (5 rad/s2)(0.4 m) a= 2.00 m/s2a= 2.00 m/s2

0 20 rad/s

4 sf

t

Parámetros angulares contra Parámetros angulares contra linealeslineales

La La aceleración angularaceleración angular es la tasa es la tasa de cambio en el tiempo de la de cambio en el tiempo de la velocidad angular.velocidad angular.

0f

t

0f

t

Recuerde la definición de Recuerde la definición de aceleración lineal aceleración lineal aa de la de la cinemáticacinemática..

0fv va

t

0fv va

t

Pero Pero aa = = RR y y vv = = RR, así que puede , así que puede escribir:escribir:

0fv va

t

se

vuelve

0fR RR

t

Comparación: lineal contra Comparación: lineal contra angularangular

0

2fv v

s vt t

0

2fv v

s vt t

0

2ft t

0

2ft t

f o t f o t f ov v at f ov v at

210 2t t 21

0 2t t 210 2s v t at 21

0 2s v t at

212f t t 21

2f t t

2 202 f 2 2

02 f 2 202 fas v v 2 2

02 fas v v

212fs v t at 21

2fs v t at

Ejemplo lineal:Ejemplo lineal: Un automóvil que Un automóvil que inicialmente viaja a inicialmente viaja a 20 m/s20 m/s llega a llega a detenerse en una distancia de detenerse en una distancia de 100 100 mm. ¿Cuál fue la aceleración?. ¿Cuál fue la aceleración?

100 100 mm

vvoo = 20 = 20 m/sm/s

vvff = 0 = 0 m/sm/s

Seleccione ecuación:

2 202 fas v v

a = = 0 - vo

2

2s

-(20 m/s)2

2(100 m) a = -2.00 m/s2a = -2.00 m/s2

Analogía angular:Analogía angular: Un disco (R = 50 cm), que rota a 600 rev/min llega a detenerse después de dar 50 rev. ¿Cuál es la aceleración?

Seleccione ecuación:

2 202 f

= = 0 - o

2

2

-(62.8 rad/s)2

2(314 rad) = -6.29 m/s2 = -6.29 m/s2

Ro = 600 rpm

f = 0 rpm

= 50 rev

2 rad 1 min600 62.8 rad/s

min 1 rev 60 s

rev

50 rev = 314 rad

Estrategia para resolución de Estrategia para resolución de problemas:problemas:

Dibuje y etiquete bosquejo de problema.Dibuje y etiquete bosquejo de problema.

Indique dirección Indique dirección ++ de rotación. de rotación.

Mencione lo dado y establezca lo que Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar.debe encontrar.

Dado: ____, _____, _____ (,,f,,t)

Encontrar: ____, _____ Selecciones la ecuación que

contenga una y no la otra de las cantidades desconocidas y resuelva para la incógnita.

Ejemplo 6:Ejemplo 6: Un tambor rota en sentido de las Un tambor rota en sentido de las manecillas del reloj inicialmente a manecillas del reloj inicialmente a 100 rpm100 rpm y y experimenta una aceleración constante en experimenta una aceleración constante en dirección contraria de dirección contraria de 3 rad/s3 rad/s22 durante durante 2 s2 s. . ¿Cuál es el desplazamiento angular?¿Cuál es el desplazamiento angular?

= -14.9 rad = -14.9 rad

Dado:Dado: o = -100 rpm; t = 2 s = +2 rad/s2

2 21 12 2( 10.5)(2) (3)(2)ot t

rev 1 min 2 rad100 10.5 rad/s

min 60 s 1 rev

= -20.9 rad + 6 rad

El desplazamiento neto es en dirección de las manecilla del

reloj (-)

R

Resumen de fórmulas para rotaciónResumen de fórmulas para rotación

0

2fv v

s vt t

0

2fv v

s vt t

0

2ft t

0

2ft t

f o t f o t f ov v at f ov v at

210 2t t 21

0 2t t 210 2s v t at 21

0 2s v t at

212f t t 21

2f t t

2 202 f 2 2

02 f 2 202 fas v v 2 2

02 fas v v

212fs v t at 21

2fs v t at

CONCLUSIÓN: Capítulo CONCLUSIÓN: Capítulo 11A Movimiento Angular11A Movimiento Angular