capÍtulo 2 mÁquinas multifÁsicas -...

CAPÍTULO 2

MÁQUINAS MULTIFÁSICAS

El acuerdo llevado a nivel mundial para desarrollar redes de eléctri-cas trifásicas ha limitado el uso de las máquinas multifásicas a favor delas máquinas trifásicas con capacidad de conectarse directamente a lared eléctrica. Sin embargo, con la aparición de modernos procesadoresdigitales (DSP) y de avances significativos en la electrónica de poten-cia despertó el interés en las máquinas multifásicas desde comienzos delsiglo 21. Las máquinas multifásicas encontraron un nicho para su apli-cación en sistemas autónomos tales propulsión de vehículos eléctricos ohíbridos, tracción y propulsión naval o aérea o en sistemas de generacióneólica [19]-[21].

Las principales características de la solución multifásica tomando co-mo referencia los accionamientos convencionales se listan a continua-ción, [22]-[26]:

Disminución de la corriente que circula por cada fase: Las corrien-tes de fase de la máquina pueden alcanzan valores extremadamen-te altos como para pueda implementarse con un único dispositi-vo electrónico de potencia, además la utilización de varios de estos

29

30

dispositivos en paralelo resultan muy complejas y poco económicas

Alta fiabilidad: En el caso que la aplicación necesite una elevadafiabilidad, para trabajar inclusive en el caso de pérdida de una omás ramas del inversor

Disminución de los armónicos: Las máquinas multifásicas poseenmenor contenido de armónicos, además el contenido de armónicosde la corriente del DC-link (Vdc) que alimenta los inversores debeser reducido para tener una capacidad del filtro de entrada máspequeña, especialmente cuando el inversor opera con formas deonda cuadrada

La reducción del 6 armónico asociado al par pulsante: El 6

armónico puede ser eliminado mediante la solución multifásica pormedio de una cancelación, producto de una distribución apropiadade las bobinas de la máquina

Reducción del tamaño de componentes: se puede conseguir inverso-res de fuente de corriente (convertidores de potencia de tipo CSI)económicos, reduciendo el tamaño de los componentes reactivos ylos picos de las tensiones de conmutación

Reducción de pérdidas en el rotor: En comparación con la solucióntrifásica, las pérdidas por armónicos en el rotor de la máquina sonmás reducidas para el caso multifásico

Control multi–máquina: En las soluciones multifásicas se puedenaprovechar los grados de libertad para realizar un control simul-táneo de múltiples máquinas, utilizando sólo un convertidor de po-tencia

Reducción de los pulsos del par electromagnético: especialmenteen máquinas alimentadas por convertidores de potencia de tipoCSI o convertidores de potencia de fuente de tensión (de tipo VSI)operando en modo de generación de ondas de tensión cuadrada

31

Modificación de la velocidad de giro: Cuando se debe mantenerconstante la frecuencia de alimentación, la solución multifásicapermite variar la velocidad modificando el número de pares de polosde la máquina

Reducción de las pérdidas en el estátor: existe una significativareducción de las pérdidas por efecto Joule en el cobre del estátorsegún aumenta el número de fases de la máquina, en comparacióncon la solución trifásica. La Tabla 2.2 muestra un estudio realizadopor [1], donde demuestra tal afirmación

Número de fases 5 6 9 12 26 ∞Reducción de las pérdidas en elcobre del estátor [ %]

5.6 6.7 7.9 8.3 8.5 8.8

Tabla 2.1: Reducción de las pérdidas por efector Joule en el estátor, según se aumentael número de fases de la máquina, en comparación con la solución trifásica.

Con todo lo antes mencionado, resulta evidente las limitaciones de lasmáquinas convencionales de inducción trifásica, específicamente paraaplicaciones en la que se requiere corriente eléctrica del accionamientoelectromecánico muy elevada, como el caso de su uso en propulsión naval,aérea o terrestre (locomotoras, vehículos eléctricos) y más recientementeenergías renovables. La principal ventaja de las soluciones multifásicasfrente a las convencionales pasa por la reducción efectiva de lacorriente de fase, proporcionalmente al aumento del número de fases delaccionamiento. De esta manera, se consigue una disminución efectivade la corriente que circula por cada rama del inversor de potencia y porcada interruptor o semiconductor de potencia, si se compara con la quecircularía por el equivalente en una solución trifásica convencional.

El empleo de este nuevo tipo de accionamiento lleva implícito el au-mento del número de interruptores de potencia que se necesita emplear,aunque ello no supone necesariamente un aumento proporcional en elcosto del sistema respecto de una solución convencional. El costo de ca-da interruptor de potencia en la solución convencional es mucho más

2.1 Máquina de inducción de seis fases 32

elevado (más del doble) que el de la solución multifásica (no existe unarelación lineal entre el precio del interruptor de potencia y la corrienteque admite éste en condiciones de trabajo normales, sino que dicha re-lación supone un incremento en el costo muy superior al incremento deprestaciones que ofrecen los interruptores), si bien es cierto que el costoy la complejidad del sistema completo están penalizados por la necesidadde emplear mayor número de sensores, circuitos de disparo, fuentes dealimentación y, en general, otros dispositivos electrónicos auxiliares.

2.1. Máquina de inducción de seis fases

Entre las máquinas multifásicas, aquellas con múltiples bobinadostrifásicos (tales como máquinas de 6, 9 y 18 fases) son los que seestudian con mayor frecuencia. Estos tipos de máquinas mantienenlos beneficios de las máquinas multifásicas y además prensentan unaventaja adicional debido a que las técnicas de modulación y controlpueden ser extrapoladas a partir de los conocimientos aplicados a lasolución convencional trifásica [27]. Por otro lado, existen dispositivoshardware de control (DSP), que poseen periféricos que podrían dedicarseal control de este tipo de máquinas multifásicas [28], [29].

El desplazamiento entre fases en máquinas multifásicas pueden sersimétricos o asímetricos. Para el primer caso el desplazamiento entre lasbobinas del estátor viene dado por 2π

n , tal como se puede observar en laFigura 2.1 (a), siendo n el número de fases del accionamiento.

Por otro lado, las máquinas multifásicas también pueden ser dise-ñadas utilizando a bobinados de fase, separados por k puntos neutros,teniendo de esta manera n fases [n = a ∗ k, (a = 3, 4, 5, ...; k = 2, 3, 4, ...)].En este caso particular el desplazamiento espacial de las bobinas de dosfases consecutivas, no se mantiene igual como el caso de la máquina mul-tifásica simétrica. Esto provoca una distribución asimétrica de los ejesmagnéticos, de cada bobinado individual, en consecuencia este tipo demáquinas es denominada asimétrica, (ver Figura 2.1 (b)).

Bajo este contexto las máquinas multifásicas que ofrecen buenasprestaciones son los accionamientos electromecánicos que se han venido

2.1 Máquina de inducción de seis fases 33

p/3as

bs cs

ds

es

fsar

br

crdr

er

fr

p/3

dr

(a) Máquina de inducción de seis fasessimétrica

p/6as

bs cs

ds

es

fs

ar

br

cr

dr

er

fr

p/3

dr

(b) Máquina de inducción de seis fasesasimétrica

Figura 2.1: Máquina de inducción de seis fases.

a denominar máquina de inducción de doble devanado trifásico indepen-diente y asimétrico (ver Figura 2.2). Este tipo de máquinas eléctricasposee dos devanados trifásicos independientes, desfasados entre sí 30

eléctricos, con neutros aislados y accionados desde dos convertidores tri-fásicos diferentes (a = 3, k = 2). Las ventajas que aportan este tipo deaccionamientos incluye las asociadas a las máquinas multifásicas antesmencionadas, pero añaden otra que es la posibilidad de utilizar todoslos desarrollos hardware y software existentes para los accionamientostrifásicos convencionales (sistemas microprocesadores con periféricos es-peciales para el control de convertidores de potencia trifásicos, conver-tidores de potencia convencionales y dispositivos electrónicos especialespara el control y disparo de interruptores de potencia incluidos en con-vertidores comerciales, etc).

El principal inconveniente que presentan estos accionamientos seasocia con la generación de ciertos armónicos en corriente que aparecen,debido a la baja impedancia efectiva que ofrecen las fases. En lasmáquinas de doble devanado trifásico independiente, estos armónicos

2.2 Modelado de la máquina de seis fases 34

Figura 2.2: Convertidor de potencia para la máquina de inducción de seis fases condoble devanado trifásico independiente y asimétrico.

no afectan al par, aunque contribuyen al aumento de las pérdidasen la propia máquina y pueden provocar el deterioro prematurode la misma. Para evitar estos problemas y fomentar el uso delos accionamientos multifásicos, es necesario analizar los armónicosproducidos y estudiar técnicas de modulación que limiten la generaciónde corrientes armónicas en el estátor así como estrategias de limitaciónde dichos armónicos basadas en filtros activos y pasivos.

2.2. Modelado de la máquina de seis fases

En esta sección se aborda el diseño del modelo matemático delconvertidor de potencia. En este contexto, se toma como punto departida el modelo matemático de la máquina de doble devanado trifásicoindependiente y asimétrico.


2.2.1. Modelo en tiempo continuo

Mediante la utilización de la técnica de descomposición en el espaciode vectores1 (VSD) es posible modelar analíticamente la máquina asícomo realizar el control de la misma. De esta manera, teniendo en cuenta[30], para una máquina de inducción de seis fases con doble devanadotrifásico independiente y asimétrico se define el siguiente vector:

Sk(ωt) =[cos(k(ωt)), cos(k(ωt− θ)), cos(k(ωt− 4θ)), cos(k(ωt− 5θ)),

cos(k(ωt− 8θ)), cos(k(ωt− 9θ))],(2.1)

donde θ = π/6 y k = 0, 1, 3, 5, · · · , representa el orden de los armónicosen el tiempo. Como los elementos de los vectores están en funcióndel tiempo, cada vector extiende una superficie bidimensional, el cualse puede demostrar que es un subespacio del espacio original de 6dimensiones. En el caso particular que ωt = 0 y ωt = π

2 , se obtiene dosvectores ortogononales cuyas componenentes se denontan por (α − β).Para k = 1 se obtiene la componente fundamental que está relacionadacon la conversión electromecánica.

α :→[1, cos(θ), cos(4θ), cos(5θ), cos(8θ), cos(9θ)],

β :→[0, sen(θ), sen(4θ), sen(5θ), sen(8θ), sen(9θ)].(2.2)

Las componentes (α − β) representan la composición espacial deciertos armónicos de las distintas fases que contribuyen a la generacióndel par en la máquina. Corrientes con un desfasaje temporal igual queel desfasaje espacial generan un campo giratorio (Campo de Tesla) y seproyectan en el sub-espacio (α − β). Por otro lado, al considerar el casode k = 5, se considera nuevamente ωt = 0 y ωt = π

2 , donde se obtienendos vectores ortogonales entre sí y ortogonales a (α−β), denotados como(x− y):

x :→[1, cos(5θ), cos(8θ), cos(θ), cos(4θ), cos(9θ)],

y :→[0, sen(5θ), sen(8θ), sen(θ), sen(4θ), sen(9θ)].(2.3)

Por útlimo, si se hace k = 3, también se obtiene ωt = 0 y ωt = π2 ,

1“VSD”, en referencia a la nomenclatura anglosajona, “Vector Space Decomposition”.


obteniendo el siguiente sub-espacio:

z1 :→[1, 0, 1, 0, 1, 0],

z2 :→[0, 1, 0, 1, 0, 1].(2.4)

De esta manera se generan seis vectores que se utilizan para generartres espacios vectoriales ortogonales entre sí. Esta transformación poseelas siguientes propiedades:

La componente fundamental de la variable de la máquina y k-ésimoorden de armónicos, donde 12n± 1 (n = 1, 2, 3, · · · ) son proyeccionesen el sub-espacio (α− β)

Los armónicos 6n ± 1 (n = 1, 3, 5, · · · ) son proyecciones en elsub-espacio (x − y). Los armónicos de orden (5, 7, 17, 19, · · · ), nocontribuyen a la generación del flujo en el entrehierro, debido aque las componentes (x− y) y (α− β) son sub-espacios ortogonales.Por esta razón, estos armónicos pueden ser considerados como unnuevo tipo de componentes proyectados en el sub-espacio (x− y)

Las de secuencia cero, son proyectadas en el sub-espacio (z1 − z2)

De esta forma se puede realizar la descomposición vectorial mediantela siguiente matriz de transformación 6×6 de variables de fase a los sub-espacios (α− β), (x− y) y (z1 − z2):

T =1

3

1√32 −1

2 −√32 −1

2 0

0 12

√32

12 −

√32 −1

1 −√32 −1

2

√32 −1

2 0

0 12 −

√32

12

√32 −1

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

. (2.5)

El VSI es de naturaleza discreta y posee 26 = 64 diferentesestados de conmutación, la cual está definido mediante seis funciones deconmutación correspondiente a 6 ramas del inversor [Sa, Sd, Sb, Se, Sc, Sf ],


donde Si ∈ 0, 1. Las distintas posibilidades de los estados deconmutación y de voltajes del DC-Link define los voltajes de fase, loscuales pueden ser mapeados en los sub-espacios (α−β)−(x−y) medianteel enfoque VSD. Por consiguiente, existen 64 combinaciones diferentes deestados encendido/apagado. La Figura 2.3 muestra los vectores activosen los sub-espacios (α−β) and (x−y), donde cada vector de conmutaciónde estado se identifica mediante dos números octales correspondientes alos números binarios [SaSbSc] and [SdSeSf ], respectivamente.

0-11-0

1-1

0-2

0-3

1-2

1-3

2-0

2-13-0

3-1

2-2

2-33-2

3-3

0-4

0-51-4

1-5

0-6

1-6

1-7

2-4

2-5

3-4

3-5

2-6

2-7

3-6

3-7 4-0

4-15-0

5-1

4-2

4-3

5-2

5-3

6-0

6-1

7-1

6-2

6-3

7-2

7-3

4-4

4-5

5-4

5-5

4-6

4-7

5-6

5-7

6-4

6-5

7-4

7-5

6-6

6-77-6

a

b

0-12-0

2-1

0-4

0-5

2-4

2-5

1-0

1-13-0

3-1

1-4

1-53-4

3-5

0-2

0-32-2

2-3

0-6

2-6

2-7

1-2

1-3

3-2

3-3

1-6

1-7

3-6

3-7 4-0

4-16-0

6-1

4-4

4-5

6-4

6-5

5-0

5-1

7-1

5-4

5-5

7-4

7-5

4-2

4-3

6-2

6-3

4-6

4-7

6-6

6-7

5-2

5-3

7-2

7-3

5-6

5-77-6

x

y

Figura 2.3: Proyección de los vectores de tensión en los sub-espacios (α − β) y (x − y)para una máquina de hexafásica asimétrica VSI.

De manera a simplificar la nomenclatura, los 64 vectores de estadode conmutación serán llamandos vectores de aquí en adelante. Caberesaltar que las 64 posibilidades implica sólo 49 diferentes posibilidadesde vectores en el sub-espacio (α− β)− (x− y). Sin embargo, los vectoresredudantes se considerarán como vectores distintos debido a que causanun impacto distinto en las frecuencias de conmutación aunque generenidénticas tensiones en bornes del motor. La ecuación (2.6) representa lamatriz de rotación, que es utilizado para transformar el sistema desdelos ejes de referencia estáticos (α − β) a los ejes de referencia dinámicos(d− q):

Tdq =

[cos (δr) sin (δr)

−sin (δr) cos (δr)

], (2.6)

donde δr representa la posición angular del rotor con respecto al


estátor, tal como se indica en la Figura 2.1. Para realizar el modeladomatemático de la máquina de inducción de seis fases con doble devanadotrifásico independiente y asimétrico, se debe elegir convenientemente lasvariables de espacio de estado, por ejemplo, las corrientes del estátory del rotor. Por lo tanto, el modelado la máquina hexafásica en ejesestáticos (α− β) de acuerdo a la teoría VSD:

[u]αβ = [G]d

dt[x]αβ + [F] [x]αβ , (2.7)

[u]αβ =[uαs uβs 0 0

]T,

[x]αβ =[iαs iβs iαr iβr

]T,

(2.8)

donde [u]αβ es el vector de entrada, [x]αβ es el vector de estado, mientrasque [F] y [G] son matrices que representan la dinámica de accionamientoeléctrico, que para este conjunto de variables son:

[F] =

Rs 0 0 0

0 Rs 0 0

0 ωr · Lm Rr ωr · Lr−ωr · Lm 0 −ωr · Lr Rr

,

[G] =

Ls 0 Lm 0

0 Ls 0 LmLm 0 Lr 0

0 Lm 0 Lr

,

(2.9)

donde ωr es velocidad angular del rotor, y los parámetros eléctricos dela máquina son: las resistencias del estátor (Rs) y del rotor (Rr); lasinductancias del estátor (Ls = Lls + Lm) y del rotor (Lr = Llr + Lm); lasinductancias de fuga del estátor (Lls) y del rotor (Llr); y la inductanciade magnetización (Lm). Con estas variables de estado seleccionadas yel criterio de invarianza en amplitud, la parte mecánica de la máquinahexafásica queda completamente modelada a partir de las siguientesecuaciones:

Te = 3P (ψβriαr − ψαriβr) , (2.10)

2.3 MBPC aplicado a la máquina de 6 fases 39

Jid

dtωr +Biωr = 2P (Te − TL) , (2.11)

donde Te es el par generado, TL es el par de carga, P es el número depares de polos, Ji coeficiente de inercia, Bi el coeficiente de fricción yψαβr el flujo del rotor.

Debido a que el sub-espacio (x−y) es ortogonal al sub-espacio (α−β),las variables proyectadas en este sub-espacio no contribuiran al flujo enel entrehierro, y por lo tanto no estarán relacionadas a la conversiónde energía. Este modelo se limita sólo por la resistencia del estátor ypor la inductancia de fuga del estátor, como puede verse en la siguienteecuación:

[uxsuys

]=

[Lls 0

0 Lls

]d

dt

[ixsiys

]+

[Rs 0

0 Rs

][ixsiys

]. (2.12)

2.3. MBPC aplicado a la máquina de 6 fases

En esta sección se describe la estrategia del control predictivo basadoen el modelo2 (MBPC), realizando el modelo de predicción y su aplicacióna la máquina de inducción de doble devanado trifásico independiente yasimétrico.

2.3.1. Estrategia del MBPC

El control predictivo basado en el modelo se empezó a desarrollar afinales de la década de 1970 y desde entonces ha crecido en popularidad.El MBPC se puede definir como una estrategia de control que se basaen la utilización de forma explícita de un modelo matemático interno delproceso a controlar conocido comúnmente como modelo de predicción, elcual se utiliza para predecir la evolución de las variables a controlar a lolargo de un horizonte3 temporal de predicción, de este modo se pueden

2“MBPC”, en referencia a la nomenclatura anglosajona, “Model Based PredictiveControl”.

3El intervalo de tiempo futuro que se considera en la optimización se denominahorizonte de predicción.


calcular las variables de control futuras (señal de control futura) paralograr que las variables controladas converjan a sus respectivos valoresde referencia en dicho horizonte de predicción [31]-[34].

El MBPC se enmarca dentro de los controladores óptimos, respon-diendo su acción de control al cumplimiento de un criterio de optimiza-ción. El criterio a optimizar, también conocido como función de costo ofunción objetivo, está relacionado con el comportamiento futuro del sis-tema que se predice gracias a un modelo dinámico del proceso. La es-trategia de control MBPC no implica específicamente a una técnica decontrol, pero cubre una amplia variedad de técnicas de control que ha-cen un uso explícito del modelo matemático del proceso a controlar y laminimización de una función de costo objetivo, de manera a obtener lasseñales de control óptimas.

La ejecución del algoritmo predictivo se divide en tres pasos princi-pales: estimación de las variables no medibles, predicción del comporta-miento futuro del sistema y optimización de las salidas, de acuerdo a leyde control previamente diseñada. Para aplicaciones en máquinas de in-ducción, las variables medibles tales como la corriente del estátor y lavelocidad de giro mecánica del motor, así como el modelo matemático dela máquina se utilizan para estimar las variables que no medibles, porejemplo las corrientes del rotor. Luego, el mismo modelo se utiliza parapara predecir el comportamiento futuro de las variables para cada acciónde control. Finalmente, se selecciona el vector de voltaje que produce unóptimo seguimiento de la referencia establecida para el próximo instan-te de muestreo. El modelo de la máquina es la parte más importante delcontrolador, porque tanto las estimaciones como las predicciones depen-de de él.

El control predictivo tiene muchas ventajas que lo hacen una intere-sante opción cuando se requiere un control altamente dinámico de accio-namientos elécticos. Es concepto es fácil de entender e implementar, pue-den incluirse restricciones y no linealidades, así como considerarse casosde multivariable. Este esquema de control requiere de un elevado núme-ro de calculos en comparación con las estrategias tradicionales. Afortuna-damente, el desempeño de los procesadores actuales es suficientemente


potente para hacer posible esta tarea. La principal diferencia entre elcontrol predictivo y las estrategias tradicionales es el precalculo del com-portamiento del sistema, y su consideración en el algoritmo de controlantes que ocurra la diferencia entre los valores de referencia y los medi-dos [33]-[35].

Como se ha mencionado anteriormente, el término control predictivono define una estrategia de control particular sino más bien un conjuntode métodos de control que hacen uso explícito de un modelo del procesopara obtener la señal de control que minimice la función objetivo.Estos métodos de control llevan a controladores que tienen básicamentela misma estructura y los mismos elementos: un modelo matemáticodel proceso que se utiliza para predecir la evolución futura de lasvariables controladas sobre un horizonte de predicción, una trayectoriade referencia deseada, el cálculo de la secuencia de control que optimizala función de costo, la aplicación del esfuerzo de control siguiendo unapolítica de horizonte deslizante y la repetición de todo el proceso en elsiguiente instante de muestreo.

Los distintos algoritmos de control predictivo difieren en el tipo demodelo utilizado para representar al proceso, a las perturbaciones y a lafunción objetivo considerada en el proceso de optimización. Un área deaplicación viable gracias a su característica ligada al control óptimo, es elárea del control de accionamientos electromecánicos4 y en consecuenciade los convertidores de potencia asociados.

Los controladores del tipo predictivo en general poseen variasventajas frente a los controladores convencionales, entre las másrelevantes pueden citarse [32]:

Los conceptos son intuitivos y conceptualmente simples. En par-ticular, el controlador resulta fácilmente implementable, una vezconocido el modelo del sistema

Puede ser aplicado a sistemas con una dinámica compleja como esel caso de las máquinas eléctricas

4Se adopta el término de accionamientos electromecánicos para referirse a lasmáquinas eléctricas y en este caso en particular a las máquinas de inducción.


Es posible implementar un controlador del tipo predictivo conrestricciones garantizando la estabilidad del sistema

En contrapartida, la mayor dificultad que presenta desde el puntode vista de su aplicación es la necesidad de un modelo apropiado delproceso, y además se requiere a su vez una gran capacidad de cálculo encomparación con esquemas de control clásicos (por ejemplo del tipo PI),aunque si la dinámica del proceso no cambia y no existen restricciones, lamayor parte de los cálculos se pueden realizar off-line5. Sin embargo, ladisponibilidad de sistemas digitales como los DSP y FPGA, hacen posiblela aplicación del control predictivo incluso en sistemas con dinámica tancompleja, como la de los accionamientos electromecánicos multifásicos.

La idea del MBPC se basa en el cálculo de la función de controla aplicar en el siguiente instante de muestreo, por lo que se necesitapredecir el comportamiento del sistema a controlar a partir de un modelode predicción del sistema. Considere el modelo6 de tiempo discretodescrito:

X(k + 1|k) = f (X(k), U(k)) , (2.13)

donde

[X (k)

U (k)

]∈ X ×U y k ∈ 0, N. Considere además que Xt = X(t),

son los estados medidos del sistema en un instante t = k ∗ Tm. Elproblema de optimización se formula para predecir sobre un horizontefinito N , la evolución óptima de los estados de acuerdo a un criterio deoptimización. El resultado del proceso de optimización es la secuenciaóptima de control, que se representa por la siguiente ecuación:

U∗N (X(t)) = U (0) , U (1) , ...U (N − 1) . (2.14)

Una vez obtenido el vector que describe la secuencia de controlóptima, sólo es aplicado al sistema el primer elemento del vector U(0). A

5Se adopta el término off-line para referirse a cálculos que se pueden ejecutar fuerade línea o fuera del propio algoritmo de control.

6El modelo del sistema no tiene que ser necesariamente representado en el espacio deestados. Sin embargo, por un motivo de notación se adopta esta metodología de modeladode sistemas.


fin de compensar las posibles desviaciones introducidas por el modelo y/operturbaciones externas que actúan sobre el proceso, se mide un nuevoestado (Xt+1) y se repite el proceso en el siguiente instante de muestreo(t+ 1). Esto introduce una realimentación en el sistema.

La metodología de todos los controladores pertenecientes a la familiaMBPC sigue la siguiente secuencia:

1. Las salidas futuras para un horizonte de predicción N , se predicenen cada instante t utilizando el modelo del proceso. Estas predic-ciones de la salida y(t + k|t)7 para k = 1N dependen de los valoresconocidos hasta el instante t (entradas y salidas) y de las señalesde control u(t + k|t), k = 0...(N − 1), que han de ser calculadas yenviadas al sistema

2. La secuencia de las señales de control futuras se calcula paramantener al proceso lo más cerca posible de la trayectoria dereferencia w(t+k) siguiendo un criterio preestablecido. Este criteriotoma normalmente la forma de una función cuadrática del errorentre la salida predicha y la trayectoria de referencias futuras.En la mayor parte de los casos se incluye también el esfuerzo decontrol dentro de la función objetivo. La solución explícita se puedeobtener cuando el criterio es cuadrático y el modelo lineal. En casocontrario, hay que utilizar un método numérico para buscar lasolución

3. La señal de control u(t|t) se envía al proceso mientras que el restode las señales calculadas no se consideran

El modelo del proceso juega, en consecuencia, un papel decisivo en elcontrolador. El modelo elegido debe ser capaz de capturar la dinámica delproceso para predecir adecuadamente la evolución del sistema. Al mismotiempo, debe ser suficientemente simple de implementar y entender. Lasdistintas metodologías del control predictivo difieren fundamentalmente

7La notación y(t + k|t) indica el valor predicho de la variable en el instante t + k,calculada en el instante t.


en el tipo de modelo utilizado. La otra parte imprescindible de laestructura de control es el optimizador, que permite obtener las accionesde control a aplicar. Si la función de costo es cuadrática, el modelo eslineal y no existen restricciones, se puede obtener una solución explícita.Si éste no es el caso, se ha de acudir a un algoritmo numérico deoptimización que requiere mayor capacidad de cálculo.

Finalmente, la magnitud del problema resultante depende delnúmero de variables, del horizonte de predicción y del número derestricciones, aunque se puede afirmar que, en general, los problemasde optimización resultantes en este contexto, son más bien modestos.

2.3.2. Modelo de predicción

Existen diferentes enfoques en la literatura sobre la metodologíaadoptada para lograr la realización del modelo de predicción. La solucióndel problema depende principalmente del tipo de modelo que se utilicepara capturar la dinámica del proceso, aunque el procedimiento generales prácticamente el mismo.

En el marco del presente trabajo se utiliza el modelo del sistemabasado en la representación en el espacio de estados, donde lasecuaciones de estado y de salida del sistema en tiempo continuo, vienendadas por el siguiente conjunto de ecuaciones:

X(t) = F ·X(t) +G · U(t),

Y (t) = C ·X(t).(2.15)

La discretización del modelo puede llevarse a cabo sustituyendo laderivada por una aproximación. Dicha aproximación puede realizarse devarias maneras, siendo la más simple el cociente de incrementos. Estemétodo da lugar a la aproximación de Euler hacia adelante y se aplicaconsiderando X(t) ' 4X(t)

4t , donde 4X(t) queda representada como:

4X(t) = X(t)−X(t−4t). (2.16)

Introduciendo la notación de tiempo discreto con un periodo de


muestreo Tm, se define X(k) = X(kTm) y tomando 4t = Tm se tiene:

X(t) ' X(t)−X(t−4t)Tm

, (2.17)

de donde puede despejarse X(k) que representa los estados del sistema,y puede expresarse mediante la siguiente ecuación:

X(k) ' X(k−1)+TmX(k) = X(k−1)+Tmf (X (k − 1) , U (k − 1)) . (2.18)

Finalmente, puede obtenerse una estimación del estado futuro comocorrección del estado en el instante actual a partir de la ecuaciónanterior, obteniéndose:

X(k + 1|k) = X(k) + Tmf (X (k) , U (k)) . (2.19)

Se ha considerado que el estado X(k) no depende del valor actual dela entrada U(k), lo que equivaldría a una reacción instantánea respectoa la señal de control y a considerar que el computador posee un tiempode cálculo despreciable. De esta manera, el modelo en tiempo discretose utiliza dentro de un controlador digital para predecir salidas futuras.Para un instante de muestreo genérico k se procede del siguiente modo:

1. Se mide el estado actual X(k). Si alguna componente no puede sermedida, ha de ser estimada a partir de medidas auxiliares y de lasotras variables de estado

2. Se calcula la señal de control U(k) a aplicar, aunque sea de formatentativa

3. Se utiliza la ecuación (2.19) para obtener una estimación de losestados futuros X(k + 1|k)

En el esquema de control MBPC , se repiten los pasos 2 y 3 con elpropósito de evaluar mediante el modelo de predicción distintos valoresde la señal de control y seleccionar, finalmente, el que proporcionemejores resultados de acuerdo a un criterio prefijado.


2.3.3. Modelo de la máquina en variables de estado

A partir del modelo en tiempo continuo y utilizando el método dediscretizacion de Euler, es posible obtener el modelo del accionamientoen tiempo discreto. Para ello hay que tener en cuenta que la conversiónde energía electromecánica envuelve sólo cantidades en el sub-espacio(α−β), de esta forma el modelo discreto podría simplificarse descartandoel sub-espacio (x− y). Asumiendo el modelo la máquina de inducción deseis fases con doble devanado trifásico independiente y asimétrico (verecuación (2.7)) y utilizando las componentes de estado (x1 = iαs, x2 =

iβs, x3 = iαr, x4 = iβr), las ecuaciones que se obtienen pueden escribirsede la siguiente manera:

x1 = c3 (Rrx3 + ωrx4Lr + ωrx2Lm) + c2 (uαs −Rsx1) ,x2 = c3 (Rrx4 − ωrx3Lr − ωrx1Lm) + c2 (uβs −Rsx2) ,x3 = c4 (−Rrx3 − ωrx4Lr − ωrx2Lm) + c3 (−uαs +Rsx1) ,

x4 = c4 (−Rrx4 + ωrx3Lr + ωrx1Lm) + c3 (−uβs +Rsx2) ,

(2.20)

donde las constantes c1-c4 se definen como:

c1 = Ls · Lr − L2m, c2 =

Lrc1, c3 =

Lmc1, c4 =

Lsc1. (2.21)

Los voltajes del estátor se relacionan con las señales de controlde entrada mediante el modelo del inversor. Se utiliza el modelo mássimple para este caso debido a que posee un menor costo computacio-nal. Luego, si las señales de disparo se colocan en un vector S =

[Sa, Sd, Sb, Se, Sc, Sf ] ∈ R6, con R = 0, 1, los voltajes de estátor seobtienen de:

M =1

3

2 0 −1 0 −1 0

0 2 0 −1 0 −1

−1 0 2 0 −1 0

0 −1 0 2 0 −1

−1 0 −1 0 2 0

0 −1 0 −1 0 2

· ST . (2.22)


Un inversor ideal convierte las señales de disparo en voltajes delestátor que pueden proyectarse en los ejes (α − β) y (x − y), para luegoagruparlos en un vector Uαβxys de la siguiente forma:

Uαβxys = [uαs, uβs, uxs, uys, 0, 0]T = V dcT ·M, (2.23)

siendo V dc el voltaje del DC-Link y el superíndice (T ) indica la matriztranspuesta. Combinando las ecuaciones (2.20)-(2.23) se obtiene unconjunto de ecuaciones no lineales, que escribiendo en la forma devariables de estado se tiene:

X (t) = f (X(t), U(t)) ,

Y(t) = CX(t),(2.24)

con X(t) = [x1, x2, x3, x4]T representando el vector de estado, U(t) =

[uαs, uβs] el vector de entrada e Y(t) = [x1, x2]T el vector de salida. Los

componentes de la función vectorial f y la matriz C se obtiene de formadirecta de la ecuación (2.20) y de las defniciones del vector de estado dela salida.

De esta forma, el modelo discreto del accionamiento de seis fasesqueda totalmente modelado a partir de las siguientes ecuaciones en elespacio de estados:

X(k + 1|k) = X(k) + Tmf (X(k), U(k)) ,

Y(k) = CX(k),(2.25)

donde (k) indica el instante de muestreo actual, Tm el tiempo de muestreoy X(k + 1|k) es la predicción de la variable de estado, realizada en elinstante de muestreo actual.

En la descripción del sistema en variables de estado de la ecuación(2.25) sólo pueden ser medidas las corrientes del estátor, los voltajes yla velocidad mecánica. Sin embargo, la corriente del rotor no puede sermedida directamente. Esta dificultad puede ser solventada mediante laestimación de la corriente del rotor utilizando el concepto de estimadoresde orden reducido. El estimador de orden reducido provee una estimación


del vector de estado que no puede ser medido, por lo cual, el sistema enanálisis puede ser representado a partir de las siguientes ecuaciones:

Xa(k + 1|k)

· · ·Xb(k + 1|k)

=

A11... A12

· · · · · · · · ·A21

... A22

Xa(k)

· · ·Xb(k)

+

B1

· · ·B2

Uαβs(k),

(2.26)

Y(k) =[

I... 0

]

Xa(k)

· · ·Xb(k)

, (2.27)

donde I representa la matriz identidad de orden 2x2;

Xa =[iαs(k) iβs(k)

]T,

es el vector directamente medido, que es igual a Y(k);

Xb =[iαr(k) iβr(k)

]T,

es la variable de estado a ser estimada. Así también los valores de lasmatrices A y B quedan definidos de la siguiente manera:

A =

(1− Tmc2Rs) Tmc3Lmωr

... Tmc3Rr Tmc3Lrωr

−Tmc3Lmωr (1− Tmc2Rs)... −Tmc3Lrωr Tmc3Rr

· · · · · · · · · · · · · · ·Tmc3Rs −Tmc4Lmωr

... (1− Tmc4Rr) −Tmc4Lrωr

Tmc4Lmωr Tmc3Rs

... Tmc4Lrωr (1− Tmc4Rr)

,

B =

Tmc2 0

0 Tmc2· · · · · ·−Tmc3 0

0 −Tmc3

.

(2.28)

2.4 Modelo de simulación 49

2.4. Modelo de simulación

La simulación es una etapa clave en el diseño del control predictivo,ya que provee información importante en el desempeño del sistemaen el cual se necesita ajustar los parámetros de control tales comoel factor de peso de la función de costo. Además, la simulación es lavalidación preliminar que se requiere para luego experimentar con unprototipo real. En la Figura 2.4 se muestra el modelo de la simulaciónen el entorno Simulink R© el cual fue utilizado para aplicar las distintastécnicas de estimación propuestas en el presente trabajo. El diagramade la simulación se compone de cuatro componentes principales: lasreferencias, el algoritmo del control predictivo, modelo del inversor y elmodelo de la máquina asimétrica de seis fases.

1 2 3 4

Figura 2.4: Modelo en Matlab/Simulink R© del esquema de control de velocidad lamáquina hexafásica.

Matlab R© es un lenguaje de alto nivel y un entorno intereactivo paracálculo numérico, visualización y programación. Utilizando Matlab R©


es posible analizar datos, desarrollar algoritmos, crear modelos yaplicaciones. El lenguaje, las herramientas y funciones matemáticasincorporadas permiten explorar múltiples enfoques y llegar a unasolución más rápida que con las hojas de cálculo o lenguajes deprogramación tradicionales, tales como C/C++ o JavaTM . A su vez,Simulink R© es un entorno de diagrama de bloques para simulaciónmultidominio y diseño basado en modelos. Con él es posible simular,generar automáticamente código, prueba continua y verificación desistemas embebidos. Simulink R© provee un editor gráfico, bibliotecasde bloques personalizables y soluciones para el modelo y simulaciónde sistemas dinámicos Está integrado con Matlab R©, lo que permiteincorporar algoritmos de Matlab R© dentro de los modelos y exportar losresultados de simulación a Matlab R© para análisis posteriores [36].

La corriente de referencia (i∗αs y i∗β) se genera mediante el generadorde señales (bloque 1), en el cual se configura con la forma de onda, laamplitud y la frecuencia deseadas. El algoritmo del control predictivo(bloque 2) es implementado mediante una función hecha en Matlab R©,cuyos resultados de simulación se detallarán en el siguiente capítulo.De la misma forma, el inversor (bloque 3) utilizado para la máquinahexafásica se implementa mediante la siguiente función:

1 function [res] = inversor(x)

2 global DcLink ...

3 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M21 M22 M23 M24 M25 M26 ...

4 M31 M32 M33 M34 M35 M36 M41 M42 M43 M44 M45 M46 ...

5 M51 M52 M53 M54 M55 M56 M61 M62 M63 M64 M65 M66 ...

6 % Tensiones de fase

7 vasf=x(1);

8 vdsf=x(2);

9 vbsf=x(3);

10 vesf=x(4);

11 vcsf=x(5);

12 vfsf=x(6);

13 v_fase=[vasf;vdsf;vbsf;vesf;vcsf;vfsf];

14 % M1=> matriz de transformacion a tensiones de fase

15 % cosiderando una máquina de doble devanado trifasico

16 % con neutros separados


17 M1=[M11, M12, M13, M14, M15, M16;

18 M21, M22, M23, M24, M25, M26;

19 M31, M32, M33, M34, M35, M36;

20 M41, M42, M43, M44, M45, M46;

21 M51, M52, M53, M54, M55, M56;

22 M61, M62, M63, M64, M65, M66];

23 res=DcLink*(M1*v_fase);

La Figura 2.5 muestra el modelo de la máquina de seis fases (bloque4) implementada en el entorno Simulink R©.

Par de poloswr

wrwr

Calculo

Te

Figura 2.5: Modelo en Matlab/Simulink R© de la máquina asimétrica de seis fases.

2.4.1. Parámetros de simulación

En esta sección se detalla los parámetros utilizados para lassimulaciones de los algoritmos de control propuestos.

2.4.2. Parámetros de simulación

Los parámetros utilizados en las simulaciones fueron estimados deuna máquina de inducción de doble devanado trifásico independiente yasimétrico, con potencia nominal de 15 kW, con 72 ranuras y tres paresde polos. Dichas estimaciones se realizaron con los métodos propuestos


en [37], [38]. La Tabla 2.2 muestra los parámetros eléctricos y mecánicospara la máquina de inducción de seis fases con doble devanado trifásicoindependiente y asimétrico utilizado en el presente trabajo.

Parámetro ValorResistencia del estátor Rs (Ω) 0,500Resistencia del rotor Rr (Ω) 0,135Inductancia del estátor Ls (H) 0,111Inductancia del rotor Lr (H) 0,118Inductancia mutua Lm (H) 0,110Inercia Ji (kg.m2) 0,098Pares de polos P 3Coeficiente de fricción B (kg.m2/s) 0,008Frecuencia nominal ωa (Hz) 50

Tabla 2.2: Parámetros de la máquina de inducción de seis fases con doble devanadotrifásico independiente y asimétrico.

Para validar los valores proveídos en la Tabla 2.2 se realiza unacomparación de las mediciones de corriente (Figura 2.6 a)) y de velocidadmecánica del motor en el proceso de arranque (Figuras 2.6 b)) con elmodelo matemático desarrollado en Matlab/Simulink R©. Se aplicó laintegración numérica usando el algoritmo Dormand-Prince, de manera acalcular la evolución de las variables de estado paso a paso en el dominiodel tiempo. En todos los casos se considera una frecuencia de muestreode 2, 5 kHz.

Tal como muestra las Figuras 2.6 c) y 2.6 e) para el caso de lacorriente y las Figuras 2.6 d) y 2.6 f) para la velocidad. El tiempo desimulación considerado es 4 segundos y la frecuencia de operación paralas simulaciones es de 50 Hz. Los casos c) y d) corresponden al modelobasado en variables de fase mientras que los casos e) y f) al modelobasado en descomposición de vectores.

2.5 Conclusiones de capítulo 53

Tiempo (s)

Tiempo (s)

Corr

iente

(A

)C

orr

iente

(A

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

20

10

0

-20

-10

20

10

0

-20

-10

30

-30

30

-30

a)

c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo (s)

Tiempo (s)

wr(r

pm

)w

r(r

pm

)

0

1000

800

600

400

200

0

1200

1000

800

600

400

200

1200

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Corr

iente

(A

)

20

10

0

30

-20

-10

-30

e)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tiempo (s)w

r(r

pm

)

1000

800

600

400

200

0

1200

Tiempo (s)

b)

d)

f)

Figura 2.6: Evolución de la corriente que circula por el estátor y de la velocidad,obtenida experimentalmente y mediante simulaciones.

2.5. Conclusiones de capítulo

En este capítulo se trató con detalle la máquinas multifásicas,teniendo entre las ventajas más importantes la disminución de losarmónicos, reducción del tamaño de los componentes, alta fiabilidad,entre otros.

Se ha puesto de manifiesto las ventajas principales de la máquinade inducción de doble devanado trifásico independiente y asimétrico,justificando de esta manera la selección de este accionamiento para eldesarrollo de este trabajo. Una vez escogido el tipo de accionamiento,se ha planteado el modelo matemático en tiempo continuo, utilizando latécnica de descomposicion en el espacio de vectores, para posteriormentepresentar la estrategia de control MBPC utilizado para el control de

2.5 Conclusiones de capítulo 54

corriente. Además se ha planteado la necesidad de utilizar un estimadorde estado, para calcular la evolución de la corriente del rotor, debidoprincipalmente a que este parámetro no es medible en la práctica.Utilizando estos conceptos, en el Capítulo 3 se abordan dos métodos decontrol de corriente, basados en estimadores de estados, constituyendoesto, el tema central del presente trabajo. Finalmente se describió elmodelo de simulación a ser utilizado así como los parámetros eléctricosy mecánicos de la máquina hexafásica.

capÍtulo 2 mÁquinas multifÁsicas -...

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