capitulo viii - estructuras con nudos articulados

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

92

92

CAPÍTULO VIII

LIBERACIÓN DE ELEMENTOS Y NUDOS

8.1 ESTRUCTURAS CON NUDOS ARTICULADOS

8.1.1 INTRODUCCIÓN

Todas las estructuras analizadas hasta ahora han presentado las siguientes

características.

Con excepción de las cerchas, sus elementos estaban unidos entre si

rígidamente.

Sus apoyos tenían restricciones absolutas, es decir desplazamientos cero.

Tales restricciones eran en dirección de los ejes globales.

Hay otras estructuras, como por ejemplo la mostrada en la figura, que violan las

anteriores propiedades. Entonces para analizar este tipo de estructuras hay que añadir

nuevos conocimientos a los que hasta ahora se han presentado. Estas estructuras no

pueden clasificarse ni como armaduras ni como pórticos, sino mas bien como una

combinación de ambos.

Se mostrará en este capítulo que para estudiar este tipo de estructuras hay necesidad

de modificar las rigideces de los elementos para satisfacer las condiciones en los

extremos.

8.1.2 CONCEPTUALIZACIÓN ESTRUCTURAL DE UN NODO ARTICULADO

En un nodo articulado al que concurren (n)barras, se consideran (n-1), barras

articuladas, puesto que alguna debe sostener la rótula, a la que se supone como barra

empotrada a la rótula.

Una de las barras (cualquiera) se supone empotrada a la rótula


93

93

1

2

3 4

n-1

n

8.1.3 DESGLOSE DE BARRAS

Las figuras siguientes ilustran dos interpretaciones alternativas del nudo 3.

1

2

3

4

5

2

3

4

51

1

2

3

4

5

2

3

4

51

8.1.4 MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES

La evaluación de las matrices de rigidez para cada tipo de elemento puede

ejecutarse bien sea partiendo desde principio en forma similar a como se hizo en la

sección correspondiente para un elemento típico con ambos extremos empotrados. El

análisis de las estructuras que están formados por elementos con diferentes

condiciones en los extremos requiere, por consiguiente, el uso de las matrices de rigidez

apropiadas para aquellos elementos que terminan en apoyos. Las condiciones de

contorno tienen en cuenta esta situación.


94

94

A) BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA

zp

yp

xp

i j

L

EI

L

EIL

EI

SIML

EA

k

zz

zp

ii

330

30

2

3

000

30

3L

EI

SIML

EA

k zp

jj

03

0

03

0

00

2

3

L

EIL

EIL

EA

kk

z

zT

jiij

000

330

00

23 L

EI

L

EIL

EA

k zzT

ji

B) BARRA ARTICULADA-EMPOTRADA

zp

yp

xp

i j

000

30

3L

EI

SIML

EA

k zp

ii

L

EI

L

EIL

EI

SIML

EA

k

zz

zp

jj

330

30

2

3


95

95

000

330

00

23 L

EI

L

EIL

EA

kk zzT

jiij

03

0

03

0

00

2

3

L

EIL

EIL

EA

k

z

zT

ji

C) BARRA BIARTICULADA

zp

yp

xp

i j

000

00

SIML

EA

kkp

jj

p

ii

000

000

00L

EA

kkT

jiij

8.1.5 MATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

p

p

ii

T

p

p

ii RkRK

p

p

jj

T

p

p

jj RkRK

100

0cos

0cos

sen

sen

Rp

pij

T

p

T

jiij RkRKK

L

yysen

L

xx

ij

ij

cos

BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA

i j


96

96

321

21

1

ccc

bb

SIMa

Kp

ii

000

21

1

bb

SIMa

Kp

jj

0

0

0

21

21

11

cc

bb

ba

KKT

jiij

BARRA ARTICULADA-EMPOTRADA

i j

000

21

1

bb

SIMa

Kp

ii

321

21

1

ccc

bb

SIMa

Kp

jj

000

221

111

cbb

cba

KKT

jiij

Donde:

2

3

2

1

3cos sen

L

EI

L

EAa z sen

L

EIc z

21

3

cos3

31 senL

EI

L

EAb z

cos

322

L

EIc z

2

3

2

2 cos3

L

EIsen

L

EAb z

L

EIc z3

3

BARRA BIARTICULADA

i j

000000

cos

cos

21

1

2

2

BB

A

senL

EAsen

L

EA

SIML

EA

KKp

jj

p

ii

000

0

0

000

0cos

0cos

21

11

2

2

BB

BA

senL

EAsen

L

EA

SIML

EA

KKT

jiij


97

97

8.1.6 FORMULARIO DE ESFUERZOS EN BARRAS DE MARCOS PLANOS

e

ip

e

ip

e

ip

jz

jy

jx

pij

iz

iy

ix

p

p

ii

ip

ip

ip

M

Q

N

RkRk

M

Q

N

e

jp

e

jp

e

jp

iz

iy

ix

pji

jz

jy

jx

p

p

jj

jp

jp

jp

M

Q

N

RkRk

M

Q

N

Donde:

T

ijjiij

p

jj

p

ii kkkkk ;;; son matrices de rigidez de la barra en coordenadas locales

pR Matriz de rotación del sistema local de la barra

BARRA EMPOTRADA-ARTICULADA

zp

yp

xp

i j

e

ip

e

ip

e

ip

iyxz

iyxz

yx

ip

ip

ip

M

Q

N

LsenL

EI

LsenL

EI

senL

EA

M

Q

N

cos3

cos3

cos

2

3

00

cos3

cos

3

e

jp

e

jp

iyxz

yx

jp

jp

jp

Q

N

LsenL

EI

senL

EA

M

Q

N


98

98

BARRA ARTICULADA-EMPOTRADA

zp

yp

xp

i j

00

cos3

cos

3

e

ip

e

ip

iyxz

yx

ip

ip

ip

Q

N

LsenL

EI

senL

EA

M

Q

N

0cos

3

cos3

cos

2

3

e

jp

e

jp

iyxz

iyxz

yx

jp

jp

jp

Q

N

LsenL

EI

LsenL

EI

senL

EA

M

Q

N

BARRA BIARTICULADA

zp

yp

xp

i j

00

0

cos

e

ip

e

ipyx

ip

ip

ip

Q

NsenL

EA

M

Q

N

00

0

cos

e

jp

e

jpyx

jp

jp

jp

Q

NsenL

EA

M

Q

N


99

99

EJEMPLO

q=20kN/m

z

y

x

3 m. 6 m.

4 m

.

a

b1

2

3

EA=106 kN

EI=2 x 106 kN-m2

q

a

b1

2

3

2

a

q

1 b 3

SISTEMA (A) SISTEMA (B)

1.- CONSTANTES MECÁNICAS

cos

l

L

xxl

ij

senm

L

yym

ij

BARRA L

(m)

NODOS COORDENADAS DE NODOS COS. DIR.

i j xi yi xj yj l m

a 5 1 2 3 4 0 0 -0.6 -0.8

b 6 1 3 3 4 9 4 1 0

2.- SISTEMA (A)


100

100

Fuerzas de Empotramiento

q=20kN/m

1 b 3

+Q1b(e)

+M1b(e) -M3b(e)

+Q3b(e)

zb

yb

xb

q=20kN/m

a

b1

2

3

kNQQqL

QQe

b

e

b

e

b

e

b 602

6*20

23.131

mkNMMqL

MMe

b

e

b

e

b

e

b 6012

6*20

1231

22

31

Fuerzas Nodales

NODO 1

e

b

e

b

e

b

T

b

z

y

x

M

Q

N

R

M

P

P

1

1

1

1

1

1

;

100

0cos

0cos

sen

sen

Rb

kN

kN

M

P

P

z

y

x

60

60

0

100

010

001

1

1

1

El sistema con fuerzas nodales será:


101

101

a

b1

2

3

z

y

x

60

60

KP

Condiciones de Apoyo

032

Incógnitas

zyx 111 ;;

La ecuación matricial de la estructura se reducirá a:

1111 KP 11KK (Rigidez del nodo 1)

Donde:

ba

KKK 111111

Barra “a”

2 1a

000

14528072960

102720

000

21

1

11

SIM

bb

SIMa

Ka

Barra “b”

1 b 3


102

102

Luego: Sumando

13333333333330

29639172960

269387

11

SIM

K

Reemplazando en: 11111 KP

z

y

x

z

y

x SIM

M

P

P

1

1

1

1

1

1

13333333333330

25639172960

269387

De donde:

.10950339.7 5

1 mxx

(Derecha)

.10354687.29 5

1 mxy

(Abajo)

.10838665.2 5

1 radxz

(Antihorario)

Esfuerzos en las barras

Usando formulario

Barra “a”

0

50.11

42.37

0

0

0

0

50.11

42.37

1

1

1

kN

kN

M

Q

N

a

a

a

Barra“b”

0

85.36

25.13

60

60

0

00.60

15.23

25.13

1

1

1

kN

kN

M

Q

N

b

b

b

3.- SISTEMA (B)

13333333333330

1111110

166667

321

21

1

11

SIM

CCC

BB

SIMA

Kb


103

103

Fuerzas de Empotramiento

q=20kN/m

+Q1b(e)

1

zb

yb

+Q3b(e)

-M3b(e)b 3 xb

mkNqL

Me

b 908

6*20

8

22

3

kNL

M

L

qLQ

e

be

b 456

90

2

)6(20

2

32

1

kNL

M

L

qLQ

e

be

b 756

90

2

)6(20

2

32

3

Fuerzas Nodales

NODO 1

2

a

q=20kN/m

1 b 3


104

104

0

45

0

0

45

0

100

010

001

1

1

1

1

1

1

kN

M

Q

N

M

P

P

e

b

e

b

e

b

z

y

x

El sistema con fuerzas nodales será:

z2

x

y

a

1

45

b 3

KP

Condiciones de Apoyo

032

Incógnitas

zyx 111 ;;

La ecuación matricial de la estructura se reducirá a:

1111 KP 11KK (Rigidez del nodo 1)

Donde:

ba

KKK 111111

Barra “a”

2 a 1

1600000288000384000

1971203840

194880

321

21

1

11

SIM

CCC

BB

SIMA

Ka


105

105

Barra “b”

Luego: Sumando

1600000288000384000

2248983840

361547

11

SIM

K

Reemplazando en: 11111 KP

z

y

x

z

y

x SIM

M

P

P

1

1

1

1

1

1

1600000288000384000

2248983840

361547

0

45

0

De donde:

.10950339.7 5

1 mxx

(Derecha)

.10354687.29 5

1 mxy

(Abajo)

.10191914.7 5

1 radxz

(Horario)

Esfuerzos en las barras

Barra “a”

0

50.11

42.37

0

0

0

0

50.11

42.37

1

1

1

kN

kN

M

Q

N

a

a

a

Barra“b”

0

85.36

25.13

0

45

0

0

15.8

25.13

1

1

1

kN

kN

M

Q

N

b

b

b

000

277780

166667

000

21

1

11

SIM

bb

SIMa

Kb

1 b 3


106

106

OBSERVACIONES

1.- Los esfuerzos resultantes en ambos sistemas son iguales

2.- Los desplazamientos calculados corresponden en el SISTEMA (A) al extremo de la

barra (b) (o sea donde esta el NODO) y el SISTEMA (B) al extremo de la barra (a).

3.- Como la barra (a) y (b) están conectadas en el nodo (1). Los desplazamientos 1x y

1y deben ser iguales en ambos sistemas.

DEFORMADA

2

a

1 b3

1z

1z

En el SISTEMA (A) se encontró que:

i

a

.10950339.7 5

1 mxx

.10354687.29 5

1 mxy

.10838665.2 5

1 radxz

En el SISTEMA (B) se encontró que:

ib


107

107

.10950339.7 5

1 mxx

.10354687.29 5

1 mxy

.10191914.7 5

1 radxz

8.2 APOYOS ELÁSTICOS

Algunas estructuras están provistas de tipos especiales de apoyos con el fin de prevenir

reacciones excesivas o para distribuir los esfuerzos internos mas uniformemente en toda

la estructura.

z

y

x

+R5y

+M2z

+R2y

+R2x

1

34 5

2 k1

k2

k3

Rx

k1

P

P

k2

Ry

M

La rigidez del resorte k es igual:

entoDesplazami

Fuerzak

o bien:


108

108

k = Fuerza que produce un desplazamiento unitario

Pk1

Pk2

Mk 3

Si la estructura no estuviera sostenida por estos resortes (Fig. a), el nudo “i” podría

considerarse como un nudo libre (3 grados de libertad), y su rigidez sería la suma de las

rigideces de los elementos que concurren a “i”. Es decir:

b

ii

a

iiii KKK

a b

i

ai

bk1

k2

k3

Fig. aFig. b

Sin embargo, cuando el nudo “i” está sostenido por los resortes Fig. b, su rigidez

aumentará en la magnitud de las rigideces de los resortes, pero el nudo continua

teniendo 3 grados de libertad, es decir la rigidez del nudo “i” es:

S

ii

b

ii

a

iiii KKKK

Donde, la matriz de rigidez del apoyo elástico, puede escribirse de la forma:

3

2

1

00

00

00

k

k

k

KS

ii

REACCIONES EN LOS APOYOS ELÁSTICOS

k3

k2

a k1


109

109

Calculados los desplazamientos de los nodos (Incógnitas Geométricas) se conoce:

ax, ay, az.

Conociendo estas incógnitas decimos que; las fuerzas que actúan en los resortes son:

Rax

Pax

Ray

Pay

Maz

Maz

ACCIONES

az

ay

ax

az

ay

ax

k

k

k

M

P

P

3

2

1

REACCIONES DE APOYO

az

ay

ax

az

ay

ax

k

k

k

M

R

R

3

2

1

EJEMPLO

y

z4

x

a

1 b 2

k2

k3

k13

q=20kN/m

c

k3 P=10kN

4 m

.

3 m. 6 m.

E=2x107 Kn/m2

A = 0.20x0.50=0.10m2

Iz = 0.20x0.503/12=2.08x10-3m4


110

110

EA=2x106Kn

EI=4.16x104kN-m2

1.- CONSTANTES MECÁNICAS

BARRA

NODOS L

(m)

A

(m2)

Iz

(m4)

COORDENADAS DE

NODOS

COS. DIR.

i j xi yi xj yj l m

a 1 4 5 0.10 2.08x10-3 3 4 0 0 -0.6 -0.8

b 1 2 6 0.10 2.08x10-3 3 4 9 4 1 0

c 2 3 4 0.10 2.08x10-3 9 4 9 0 0 -1

Donde:

L

xx ij cos

L

yysen

ij

2.- FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO

y

z4

x

a

1 b 2

k2

k3

k13

c

k3

q=20kN/m

+Q1b(e)

1

zb

yb

+Q2b(e)

-M2b(e)b 2 xb


111

111

ARTICULADA – EMPOTRADA

1 b 2

01 e

bM Articulación

mkNxqL

Me

b 908

620

8

22

2

02 M kNL

MqLQ

e

be

b 456

90

2

120

2

2

1

01 M kNqL

Qe

b 756

90

22

3.- FUERZAS NODALES

100

010

001

100

0cos

0cos

sen

sen

Rb

NODO 1

0

45

0

0

45

0

100

010

001

1

1

1

1

1

1

kN

M

Q

N

R

M

P

P

e

b

e

b

e

b

T

b

z

y

x

NODO 2

mkN

kN

M

Q

N

R

M

P

P

e

b

e

b

e

b

T

b

z

y

x

90

75

0

90

75

0

100

010

001

2

2

2

2

2

2

NOTA: En el nodo 2 debe agregarse la fuerza (P) externa que esta aplicada al nodo.

mkN

kN

kN

M

P

P

M

P

P

V

H

z

y

x

90

75

10

0

0

10

90

75

0

2

2

2

4.- SISTEMA CON FUERZAS NODALES


112

112

y

z4

x

a

1

b2

k2

k3

k13

c

k3 10kN

75kN45kN

90kN-m

CONDICIONES DE APOYO

4 = 0

P = K

3

2

1

333231

2221

11

3

2

1

KKK

KK

SIMK

P

P

P

0; 1331

333231

2221

11

KK

KKK

KK

SIMK

K

Rigidez del nodo 1 En coordenadas globales

Sba

KKKK 11111111

332804.59902.7987

7.257437190083

146556

321

21

1

11

SIM

CCC

BB

SIMA

KKaa

ii Empotrado-Empotrado

000

8.5770

3.333333

000

21

1

11

SIM

bb

SIMa

KKBb

ii Articulado-Empotrado


113

113

5000

0

0

3

2

1

11

k

k

k

KS

Sumando tenemos:

382804.59902.7987

5.258015190083

146556

11

SIM

K

Rigidez del nodo 2

cb

KKK 222222

208007.34660

8.5770

3.333333

321

21

1

22

SIM

ccc

bb

SIMa

KKbb

jj Articulado-Empotrado

41600015600

5000000

7800

321

21

1

22

SIM

CCC

BB

SIMA

KKc

ii Empotrado-Empotrado

Sumando:

624007.346615600

8.5005770

3.341133

22

SIM

K

Rigidez del nodo 3

Sc

KKK 333333

41600015600

5000000

7800

321

21

1

33

SIM

CCC

BB

SIMA

KKcc

jj Empotrado-Empotrado


114

114

5000

5000

1000

3

2

1

33

k

k

k

KS

Sumando:

46600015600

5050000

8800

33

SIM

K

RIGIDECES CRUZADAS

07.34660

08.5770

003.333333

0

0

0

21

21

11

21

cc

bb

ba

KK ji Articulado-Empotrado

20800015600

05000000

1560007800

2/321

221

111

33

CCC

CBB

CBA

KKcc

jj Empotrado-Empotrado

NOTA:

Las rigideces cruzadas solo existen en aquellas barras que son reales y no así en

aquellas donde no existe realmente una barra entre ambos nodos.

En nuestro ejemplo deberían existir según la matriz K de ensamblaje; las

siguientes rigideces cruzadas:

132312 ;; KKK

313221 ;; KKK

Pero como la barra entre los nodos 1 y 3 es ficticia no se calcula ya que será igual a

cero.


115

115

ECUACIÓN P=K

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

M

P

P

M

P

P

M

P

P

3

3

3

2

2

2

1

1

1

3

3

3

2

2

2

1

1

1

46600015600000

505005000000000

880007800000

624007.34661560007.34660

8.500577008.5770

3.341133003.333333

382804.59902.7987

5.258015190083

3.479889

0

0

0

90

90

75

0

45

0

Resolviendo el sistema tenemos:

.10400836.15 3

1 mxx

Derecha

.10686334.11 3

1 mxy

Abajo

radxz

3

1 10029987.5 Horario

.10387444.15 3

2 mxx

Derecha

.10910647.13 3

2 mxy

Abajo

radxz

3

2 10399083.1 Antihorario

.10464027.14 3

3 mxx

Derecha

.10772918.13 3

3 mxy

Abajo

radxz

3

3 10933660.0 Horario

ESFUERZOS EN LAS BARRAS

Utilizando formulario:

BARRA “b”

j=2i=1 b

00

cos3

cos

3

e

ip

e

ip

jyxz

yx

ip

ip

ip

Q

N

LsenL

EI

senL

EA

M

Q

N


116

116

e

jp

e

jp

e

jp

jyxz

jyxz

yx

jp

jp

jp

M

Q

N

LsenL

EI

LsenL

EI

senL

EA

M

Q

N

cos3

cos3

cos

2

3

jxixx

jyiyy

Donde:

533

21 103392.110387444.1510400836.15 xxxxxx

333

21 103392.1)10910647.13(10686334.11 xxxyyy

0

45

0

0

10399083.1*61*10224313.20*103392.16

)1016.4(3

0*10224313.21*103392.16

102

335

3

4

356

1

1

1

xxxx

xxx

M

Q

N

b

b

b

0

1353.51

4640.4

0

45

0

0

1353.6

4640.4

1

1

1

b

b

b

M

Q

N

90

75

10

10399083.1*61*10224313.20*103392.16

)1016.4(3

1083.3990.1*61*10224313.20*103391.16

1016.4(3

0*224313.21*103392.16

102

335

2

4

335

3

4

356

2

2

2

xxxx

xxxx

xx

M

Q

N

b

b

b

1888.53

8647.68

5360.5

90

75

10

8119.36

1353.6

4640.4

2

2

2

b

b

b

M

Q

N

OTRA FORMA


117

117

e

ip

e

ip

e

ip

jz

jy

jx

pij

iz

iy

ix

p

p

ii

ip

ip

ip

M

Q

N

RkRk

M

Q

N

e

jp

e

jp

e

jp

iz

iy

ix

pji

jz

jy

jx

p

p

jj

jp

jp

jp

M

Q

N

RkRk

M

Q

N

Donde:

j=2i=1 b

000

78.5770

3.333333

0006

)1016.4(30

6

102

000

30

3

4

6

311

SIMx

SIMx

L

EI

SIML

EA

k zb

0006

)1016.4(3

6

)1016.4(30

006

102

000

330

00

2

4

3

4

6

2312

xx

x

L

EI

L

EIL

EA

k zz

000

67.346678.5770

003.333333

12k

6

)1016.4(3

6

)1016.4(30

6

)1016.4(30

6

102

330

30

4

2

4

3

4

6

2

322

xx

x

SIMx

L

EI

L

EIL

EI

SIML

EA

k

zz

zb


118

118

2080067.34660

78.5790

3.333333

22

SIM

kb

Como k12=k21. Tenemos

067.34660

098.5770

003.333333

21k

Además:

100

010

001

100

0cos

0cos

sen

sen

Rb Matriz Identidad (Casualidad)

Como toda matriz multiplicada por la matriz identidad es siempre la misma tenemos:

212121

2112

121212

1111

kkRk

kRk

kkRk

kRk

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

0

75213.6

6115.5133

10029987.5

10686334.11

10400836.15

000

78.5770

3.333333

3

3

3

11

x

x

x

Rk

iz

iy

ix

b

b

0

8875.12

1475.5129

10399083.1

10910647.13

10387444.15

000

67.346678.5770

003.333333

3

3

3

12

x

x

x

Rk

jz

jy

jx

b

0

1354.51

464.4

0

45

0

0

8875.12

1475.5129

0

7521.6

6115.5133

1

1

1

b

b

b

M

Q

N


119

119

3245.77

8875.12

1475.5129

10399083.1

10910647.13

10387444.15

2080067.34660

78.5770

3.333333

3

3

3

22

x

x

x

Rk

jz

jy

jx

b

b

5127.40

7521.6

6115.5133

10029987.9

10686334.11

10400836.15

067.34660

078.5770

003.333333

3

3

3

21

x

x

x

Rk

iz

iy

ix

b

1882.53

8646.68

536.5

90

75

10

5127.40

7521.6

6115.5133

3245.77

8875.12

1475.5129

2

2

2

b

b

b

M

Q

N

NOTA: Para las barras (a) y (c) se procede del mismo modo.(con una de las dos formas)

REACCIONES DE APOYO

APOYO 1

15.25

0

0

5000

0

0

1

1

1

3

2

1

1

1

1

z

y

x

z

y

x

k

k

k

M

R

R

APOYO 3

66.4

86.68

46.14

5000

5000

1000

3

3

3

3

2

1

3

3

3

z

y

x

z

y

x

k

k

k

M

R

R

Los signos están referidos al SISTEMA GLOBAL

capitulo viii - estructuras con nudos articulados

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