直交曲線座標

用語スカラー場 関数 やベクトル場は、空間の各点 に対して、スカラー やベクトル を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 を指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって を指定出来る様にする。例空間に原点 を定め、 を通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 からこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 を用いて の位置を表す方法を 座標 系 とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]

スカラー場 関数 やベクトル場は、空間の各点 に対して、スカラー やベクトル を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 を指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって を指定出来る様にする。例空間に原点 を定め、 を通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 からこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 を用いて の位置を表す方法を 座標 系 とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]スカラー場 (関数)やベクトル場は、空間の各点 pに対して、スカラー f(p)やベクトル F(p)を対応させる規則でなので、

空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 を指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって を指定出来る様にする。例空間に原点 を定め、 を通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 からこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 を用いて の位置を表す方法を 座標 系 とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]スカラー場 (関数)やベクトル場は、空間の各点 pに対して、スカラー f(p)やベクトル F(p)を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。

しかし、各点 を指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって を指定出来る様にする。例空間に原点 を定め、 を通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 からこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 を用いて の位置を表す方法を 座標 系 とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]スカラー場 (関数)やベクトル場は、空間の各点 pに対して、スカラー f(p)やベクトル F(p)を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 pを指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって pを指定出来る様にする。

例空間に原点 を定め、 を通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 からこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 を用いて の位置を表す方法を 座標 系 とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]スカラー場 (関数)やベクトル場は、空間の各点 pに対して、スカラー f(p)やベクトル F(p)を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 pを指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって pを指定出来る様にする。[例]

空間に原点 を定め、 を通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 からこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 を用いて の位置を表す方法を 座標 系 とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]スカラー場 (関数)やベクトル場は、空間の各点 pに対して、スカラー f(p)やベクトル F(p)を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 pを指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって pを指定出来る様にする。[例]空間に原点 Oを定め、Oを通る直交する三本の直線を座標軸とし、

各点 からこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 を用いて の位置を表す方法を 座標 系 とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]スカラー場 (関数)やベクトル場は、空間の各点 pに対して、スカラー f(p)やベクトル F(p)を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 pを指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって pを指定出来る様にする。[例]空間に原点 Oを定め、Oを通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 pからこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 x, y, z を用いて pの位置を表す方法を Descartes座標 (系)とよぶ。

p

x

z

y

O

. – p.1/12

直交曲線座標[用語]スカラー場 (関数)やベクトル場は、空間の各点 pに対して、スカラー f(p)やベクトル F(p)を対応させる規則でなので、空間に座標が定められていなくても定義出来る。しかし、各点 pを指定する方法が無いと不便なので、通常は、座標系を定めてそれによって pを指定出来る様にする。[例]空間に原点 Oを定め、Oを通る直交する三本の直線を座標軸とし、 各点 pからこの三直線に下ろした垂線の足と原点の、符号付きの距離 x, y, z を用いて pの位置を表す方法を Descartes座標 (系)とよぶ。

p

x

z

y

O . – p.1/12

直交曲線座標[用語]

空間の点 を三つの数を使って と表す座標系で、の位置ベクトル に関してベクトルが ではなく互いに直交する様なものを直交曲

線座標とよぶ。例平面の極座標

O

. – p.2/12

直交曲線座標[用語]空間の点 pを三つの数を使って p(u, v, w)と表す座標系で、p(u, v, w)の位置ベクトル r(u, v, w)に関してベクトル∂r

∂u,

∂r

∂v,

∂r

∂wが 0ではなく互いに直交する様なものを直交曲

線座標とよぶ。

例平面の極座標

O

. – p.2/12

直交曲線座標[用語]空間の点 pを三つの数を使って p(u, v, w)と表す座標系で、p(u, v, w)の位置ベクトル r(u, v, w)に関してベクトル∂r

∂u,

∂r

∂v,

∂r

∂wが 0ではなく互いに直交する様なものを直交曲

線座標とよぶ。[例]

平面の極座標

O

. – p.2/12

直交曲線座標[用語]空間の点 pを三つの数を使って p(u, v, w)と表す座標系で、p(u, v, w)の位置ベクトル r(u, v, w)に関してベクトル∂r

∂u,

∂r

∂v,

∂r

∂wが 0ではなく互いに直交する様なものを直交曲

線座標とよぶ。[例]

• 平面の極座標∂r

∂θ

∂r

∂r

O

r(r, θ)

p(r, θ)

r

θ

. – p.2/12

直交曲線座標• 空間の円柱座標

∂r

∂z∂r

∂θ

∂r

∂rp(r, θ, z)

zr(r, θ, z)

rθ

O

. – p.3/12

直交曲線座標• 空間の球座標

∂r

∂r∂r

∂ϕ p(r, θ, ϕ)∂r

∂θr r(r, θ, ϕ)

θ

ϕO

. – p.4/12

直交曲線座標と Descartes座標

極座標、円柱座標、球座標と 座標の関係平面の極座標と 座標

すなわち

. – p.5/12

直交曲線座標と Descartes座標[極座標、円柱座標、球座標と Descartes座標の関係]

平面の極座標と 座標

すなわち

. – p.5/12

直交曲線座標と Descartes座標[極座標、円柱座標、球座標と Descartes座標の関係]

• 平面の極座標と Descartes座標

すなわち

. – p.5/12

直交曲線座標と Descartes座標[極座標、円柱座標、球座標と Descartes座標の関係]

• 平面の極座標と Descartes座標

y

r

θ

x

すなわち

. – p.5/12

直交曲線座標と Descartes座標[極座標、円柱座標、球座標と Descartes座標の関係]

• 平面の極座標と Descartes座標

y

r

θ

x

すなわち

x = r cos θ

y = r sin θ,0 ≤ r, 0 ≤ θ < 2π

. – p.5/12

直交曲線座標と Descartes座標

円柱座標と 座標

すなわち

. – p.6/12

直交曲線座標と Descartes座標• 円柱座標と Descartes座標

すなわち

. – p.6/12

直交曲線座標と Descartes座標• 円柱座標と Descartes座標

z

y

rθ

x

すなわち

. – p.6/12

直交曲線座標と Descartes座標• 円柱座標と Descartes座標

z

y

rθ

x

すなわち

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z,

0 ≤ r, 0 ≤ θ < 2π

. – p.6/12

直交曲線座標と Descartes座標

球座標と 座標

すなわち

. – p.7/12

直交曲線座標と Descartes座標• 球座標と Descartes座標

すなわち

. – p.7/12

直交曲線座標と Descartes座標• 球座標と Descartes座標

z

r y

θ

ϕ

x

すなわち

. – p.7/12

直交曲線座標と Descartes座標• 球座標と Descartes座標

z

r y

θ

ϕ

x

すなわち

x = r sin θ cos ϕ 0 ≤ r

y = r sin θ sin ϕ 0 ≤ θ ≤ π

z = r cos θ, 0 ≤ ϕ < 2π.

. – p.7/12

直交曲線座標の基本ベクトル[用語]

を空間の直交曲線座標とする。位置ベクトルについて、

をこの座標系における基本ベクトルとよぶ。例平面の極座標

. – p.8/12

直交曲線座標の基本ベクトル[用語]

(u, v, w)を空間の直交曲線座標とする。位置ベクトルr(u, v, w)について、

e1 =1

∣

∣

∂r

∂u

∣

∣

∂r

∂u,e2 =

1∣

∣

∂r

∂v

∣

∣

∂r

∂v,e3 =

1∣

∣

∂r

∂w

∣

∣

∂r

∂w

をこの座標系における基本ベクトルとよぶ。

例平面の極座標

. – p.8/12

直交曲線座標の基本ベクトル[用語]

(u, v, w)を空間の直交曲線座標とする。位置ベクトルr(u, v, w)について、

e1 =1

∣

∣

∂r

∂u

∣

∣

∂r

∂u,e2 =

1∣

∣

∂r

∂v

∣

∣

∂r

∂v,e3 =

1∣

∣

∂r

∂w

∣

∣

∂r

∂w

をこの座標系における基本ベクトルとよぶ。[例]

平面の極座標

. – p.8/12

直交曲線座標の基本ベクトル[用語]

(u, v, w)を空間の直交曲線座標とする。位置ベクトルr(u, v, w)について、

e1 =1

∣

∣

∂r

∂u

∣

∣

∂r

∂u,e2 =

1∣

∣

∂r

∂v

∣

∣

∂r

∂v,e3 =

1∣

∣

∂r

∂w

∣

∣

∂r

∂w

をこの座標系における基本ベクトルとよぶ。[例]

• 平面の極座標

er = cos θi + sin θj

eθ =− sin θi + cos θj

. – p.8/12

直交曲線座標の基本ベクトル• 空間の円柱座標

er = cos θi + sin θj

eθ =− sin θi + cos θj

ez = k

空間の球座標

. – p.9/12

直交曲線座標の基本ベクトル• 空間の円柱座標

er = cos θi + sin θj

eθ =− sin θi + cos θj

ez = k

• 空間の球座標

er =sin θ cos ϕi + sin θ sinϕj + cos θk

eθ =cos θ cos ϕi + cos θ sinϕj − sin θk

eϕ = − sin ϕi + cos ϕj

. – p.9/12

微分の変換公式

練習問題 以下の微分の変換公式を示せ：平面の極座標：

空間の球座標：

. – p.10/12

微分の変換公式[練習問題]以下の微分の変換公式を示せ：

平面の極座標：

空間の球座標：

. – p.10/12

微分の変換公式[練習問題]以下の微分の変換公式を示せ：

• 平面の極座標：

∂

∂x= cos θ

∂

∂r−

sin θ

r

∂

∂θ

∂

∂y= sin θ

∂

∂r+

cos θ

r

∂

∂θ

• 空間の球座標：

∂

∂x= sin θ cos ϕ

∂

∂r+

cos θ cos ϕ

r

∂

∂θ−

sin ϕ

r sin θ

∂

∂ϕ

∂

∂y= sin θ sin ϕ

∂

∂r+

cos θ sin ϕ

r

∂

∂θ+

cos ϕ

r sin θ

∂

∂ϕ

∂

∂z= cos θ

∂

∂r−

sin θ

r

∂

∂θ. – p.10/12

物理での使用例

例区間内の一本の真っ直ぐな電線を流れる一定の電流が、周りの空間に作る磁場：電線上に原点 をとり、電線の方向を 軸とする円柱座標をとる。 このとき、電線から の距離にある点での磁場は、電流の流れと大きさを表すベクトルを として、

但し、 は真空の透磁率で、 は光速とする。

上記座標系では

. – p.11/12

物理での使用例[例]

区間内の一本の真っ直ぐな電線を流れる一定の電流が、周りの空間に作る磁場：電線上に原点 をとり、電線の方向を 軸とする円柱座標をとる。 このとき、電線から の距離にある点での磁場は、電流の流れと大きさを表すベクトルを として、

但し、 は真空の透磁率で、 は光速とする。

上記座標系では

. – p.11/12

物理での使用例[例]

区間内の一本の真っ直ぐな電線を流れる一定の電流が、周りの空間に作る磁場：

電線上に原点 をとり、電線の方向を 軸とする円柱座標をとる。 このとき、電線から の距離にある点での磁場は、電流の流れと大きさを表すベクトルを として、

但し、 は真空の透磁率で、 は光速とする。

上記座標系では

. – p.11/12

物理での使用例[例]

区間内の一本の真っ直ぐな電線を流れる一定の電流が、周りの空間に作る磁場：電線上に原点 O をとり、電線の方向を z 軸とする円柱座標をとる。

このとき、電線から の距離にある点での磁場は、電流の流れと大きさを表すベクトルを として、

但し、 は真空の透磁率で、 は光速とする。

上記座標系では

. – p.11/12

物理での使用例[例]

区間内の一本の真っ直ぐな電線を流れる一定の電流が、周りの空間に作る磁場：電線上に原点 O をとり、電線の方向を z 軸とする円柱座標をとる。 このとき、電線から r の距離にある点での磁場 B

は、電流の流れと大きさを表すベクトルを Iとして、

B =1

4πε0c2·2I × er

r

但し、ε0 は真空の透磁率で、cは光速とする。

B

er

r

I

上記座標系では

. – p.11/12

物理での使用例[例]

区間内の一本の真っ直ぐな電線を流れる一定の電流が、周りの空間に作る磁場：電線上に原点 O をとり、電線の方向を z 軸とする円柱座標をとる。 このとき、電線から r の距離にある点での磁場 B

は、電流の流れと大きさを表すベクトルを Iとして、

B =1

4πε0c2·2I × er

r

但し、ε0 は真空の透磁率で、cは光速とする。

B

er

r

I

上記座標系ではB =2

4πε0c2·

|I|

(x2 + y2)

−y

x

0

. – p.11/12

宿題

問題集p.109例題 2、問題 2.1、p.112例題 3～ p.115問題 6、p. 119例題 9、問題 9.1、p. 120例題 10～ p. 122例題 12

. – p.12/12