（付録） 「ヤコビアン・直交座標・座標変換（１）」 1. ヤコビアン 2. 直交座標 3. 円柱座標 4. 球座標

暫定版 修正・加筆の可能性あり

座標変換：transformations between coordinate systems • 直交座標：orthogonal coordinate system • デカルト座標：Cartesian coordinate system • 円柱座標：cylindrical polar coordinate system • 球座標： spherical polar coordinate system • ヤコビアン： Jacobian • 参考文献：藤本「現代数学レクチャーズC-1 ベクトル解析」第５章、培風館 • 後編：7011「ヤコビアン・直交座標・座標変換（２）」

７０１－1

ヤコビアン（１） ヤコビアン 1. ヤコビアン： Jacobian 2. ヤコビの行列式： Jacobian determinant

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, , , ,

, , , ,

, , , ,

u v w

u

v

w

V

u u v w u v w

u v v w u v w

u v w w u v w

∆ = ∆ ∆ ×∆

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

r r r

r r r

r r r

r r r

位置ベクトル：変数ｕ、v、w

変数ｕ、v、wを関数ベクトルｒ（位置ベクトル）の単なる変数として扱う。 変数ｕの微小増加Δｕに伴う位置ベクトルの移動 変数ｖの微小増加Δｖに伴う位置ベクトルの移動 変数ｗの微小増加Δｗに伴う位置ベクトルの移動

微小体積要素

( )

( ) ( ) ( )

, ,

, , , , , , , ,x y z

u v w

x y z

x x u v w y y u v w z z u v w

=

= + +

= = =

r r

r e e e

各成分：変数ｕ、v、wの関数

u∆r

w∆r

v∆r

微小体積要素

( )u v wV∆ = ∆ ∆ ×∆r r r

７０１－2

ヤコビアン（２）

微小体積要素

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

u v wV

u u v w u v w

u v v w u v w u v w w u v w

u u v w u v w u v v w r v w wu v w

u v w

u v wu v w

∆ = ∆ ∆ ×∆

= + ∆ −

+ ∆ − × + ∆ −

+ ∆ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ = × ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂

r r r

r r

r r r r

r r r r r r

r r r

( ) , , ,

, , , , , , , ,

u v w u v w

u v w

dV dudvdwu v w

x y z x y z x y zu u u u v v v v w w w w

∂ ∂ ∂= ∂ ∂ ×∂ ∂ ≡ ∂ ≡ ∂ ≡

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ = = ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r r rr r r r r r

r r rr r r

関係式：微小体積要素

７０１－3

ヤコビアン（３）

微小体積要素：積分

( )u v w

x y zu u ux y zdV dudvdw dV dudvdwv v vx y zw w w

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ×∂ → =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

r r r

ヤコビアン： Jacobian

( )( )

, ,, ,

x x x x y zu v w u u u

x y z y y y x y zu v w u v w v v v

z z z x y zu v w w w w

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂≡ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

注意：ある行列式と「その転置行列」の行列式は等しい ７０１－4

７０１－5

直交座標：デカルト座標系（１）

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

( ), ,x y zr

デカルト座標系 Cartesian coordinate system

( ), , x y zu x v y w z x y z= = = = + +r e e e

位置ベクトル：position vector

正規直交基底ベクトル：basis a set of linearly independent vectors

( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1x y zx y z∂ ∂ ∂

= = = = = =∂ ∂ ∂r r re e e

線要素ベクトル：デカルト座標系

( ), ,

x y z

d u x v y w z

du dv dwu v w

dx dy dzx y zdx dy dz

= = =

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

= + +

rr r r

r r r

e e e

直交座標：デカルト座標系（３）

体積：スカラー三重積

( )

,

x y z

x y z

x y z

x x y y z z

x x y y z z x x y y z z

a a aV b b b

c c c

a a ab b b c c c

= × =

= + +

= + + = + +

a b c

a e e eb e e e c e e e

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x y z

x

y

z

V

x x y z x y z

x y y z x y z

x y z z x y z

∆ = ∆ ∆ ×∆

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

r r r

r r r

r r r

r r r

微小体積要素：積分

注意：現時点ではｘ、ｙ、ｚを関数ベクトルｒ（位置ベクトル）の単なる変数として扱う。 変数ｘの微小増加Δｘに伴う位置ベクトルの移動 変数ｙの微小増加Δｙに伴う位置ベクトルの移動 変数ｚの微小増加Δｚに伴う位置ベクトルの移動

７０１－6

直交座標：デカルト座標系（３）

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( )

, , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

1 0 00 1 00 0 1

x y z

x y z

V

x x y z x y z

x y y z x y z x y z z x y z

x x y z x y z x y y z x y z zx y z

x y z

dV dxdydz dxdydz dxdydzx y z

∆ = ∆ ∆ ×∆

= + ∆ −

+ ∆ − × + ∆ −

+ ∆ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ →

∂ ∂ ∂= × = ∂ ∂ ×∂ = ∂ ∂ ∂

r r r

r r

r r r r

r r r r r r

r r r r r r

dxdydz=

微小体積要素：積分

結論：デカルト座標 • 微小量ｄｘ、ｄｙ、ｄｚを同一量とすれば、微小体積要素は立方体 • 変数ｘ、ｙ、ｚは距離（長さ）を次元に持つ。

dV dxdydz=

７０１－7

円柱座標（１）

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

( ), , zρ φr$$$

φ

ｘ軸

ｙ軸

イメージ：真上から

φ

ρ：半径

( ), , x y zu v w z x y zρ φ= = = = + +r e e e

位置ベクトル：position vector

要素：component

cos , sin ,x y z zρ φ ρ φ= = =

要素：component

2 2 1, tan ,yx y z zx

ρ φ −= + = =

cos sin

sin cosx y

x y

z z

ρ

φ

φ φ

φ φ

= +

= − +

=

e e ee e ee e

正規直交基底ベクトル：円柱座標（次頁）

ρe

φe

７０１－8

円柱座標（２）

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

( ), , zρ φr$$$

φ

( ), , x y zu v w z x y zρ φ= = = = + +r e e e

位置ベクトル：position vector

７０１－9

線要素ベクトル：デカルト座標系

( ), ,

z z

z

d u v w z

d d dzz

h d h d h dzd d dz

ρ ρ φ φ

ρ φ

ρ φ

ρ φρ φ

ρ φ

ρ ρ φ

= = =

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

= + +

= + +

rr r r

e e ee e e

, ,

1, , 1

r r rr r rr e r e r err r

r r r

zz z

z

z z

z

h h h

ρ φρ ρ φ φ

ρ φ

ρ ρ φ φ

ρ φ

ρ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= ∂ = = ∂ = = ∂ =

正規直交基底ベクトル：円柱座標系（次頁）

円柱座標（３）

正規直交基底ベクトル：円柱座標

, , zz z

zzρ φ

ρ ρ φ φρ φρ φ

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

r r rr r rr e r e r err r

cos , sin ,

cos sin 1

sin cos

1

rr e e e e e r

rr e e e e e r

rr e e e e r

x y z x y

x y z x y

z x y z z z

x y z zx y z

x y z

x y zz z z z

ρ ρ

φ φ

ρ φ ρ φ

φ φρ ρ ρ ρ

ρ φ ρ φ ρφ φ φ φ

= = =∂ ∂ ∂ ∂

∂ = = + + = + → ∂ =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ = = + + = − + → ∂ =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ = = + + = → ∂ =∂ ∂ ∂ ∂

正規直交基底ベクトル：円柱座標

cos sin ,

sin cos ,x y

x y z z

ρ

φ

φ φ

φ φ

= +

= − + =

e e ee e e e e

ze

ρe

φe

zρ φ× =e e e

注意：右ねじの方向 円柱座標ではφを第二番目に扱うと便利

一番目、二番目、三番目

７０１－10

円柱座標（４）

正規直交基底ベクトル：円柱座標

cos sin

1 sin cos

r re e er

r re e er

r re er

x y

x y

zz z

z z

ρρ

ρ

φφ

φ

φ φρ

φ φρ φ

∂ ∂= = = +

∂∂

∂ ∂= = = − +

∂∂

∂ ∂= = =∂ ∂

ベクトル成分：円柱座標

( )( )

, ,

, ,

,

,

xyz x y z x x y y z z

z z z z

xyz z xyz z

x y

A A A A A A

A A A A A A

A A A A

ρφ ρ φ ρ ρ φ φ

ρφ ρφ

ρ φ

= = + +

= = + +

= =

≠ ≠

A e e e

A e e e

A A A A

当たり前ですが

xyz xyz z z

xyz xyz z z

xyz xyz z z

ρφ ρφ

ρφ ρφ

ρφ ρφ

+ = +

=

× = ×

A B A BA B A BA B A B

７０１－11

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, , , ,

, , , ,

, , , ,

r r r

r r r

r r r

r r r

z

z

V

r z z

z z

z z z

ρ φ

ρ

φ

ρ φ ρ φ

ρ φ φ ρ φ

ρ φ ρ φ

∆ = ∆ ∆ ×∆

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

微小体積要素：積分

注意：現時点ではρ、φ、ｚを関数ベクトルｒ（位置ベクトル）の単なる変数として扱う。 変数ρの微小増加Δρに伴う位置ベクトルの移動 変数φの微小増加Δφに伴う位置ベクトルの移動 変数ｚの微小増加Δｚに伴う位置ベクトルの移動

円柱座標（５）

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

r r r

r r

r r r r

r r r r r r

zV

z z

z z z z z

z z z z zz

z

ρ φ

ρ ρ φ ρ φ

ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ φ

ρ ρ φ ρ φ ρ φ φ ρ φρ φ

ρ φ

∆ = ∆ ∆ ×∆

= + ∆ −

+ ∆ − × + ∆ −

+ ∆ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

７０１－12

円柱座標（６）

( )

cos sin 0sin cos 00 0 1

r r r r r rzdV d d dz d d dzz

x y z

x y z d d dz d d dz d d dz

x y zz z z

ρ φφ φφ

φ φφ φ φ

ρ ρρ

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ φ φφ

ρφ

ρφ

ρ

∂ ∂ ∂= × = ∂ ∂ ×∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = − =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

微小体積要素：積分

結論：円柱座標 • 積分：円柱座標の微小体積要素とデカルト座標の微小体積要素 • 変数ρ、ｚは距離（長さ）の次元を持つが、変数φの単位はradianである。

( )( )

, ,, ,

x y zdV d d dz dxdydz d d dz d d dz

zρ ρ ρ ρ ρ

ρφ φ φ

φ∂

= → = =∂

７０１－13

７０１－14

円柱座標（７）

計量テンソル：metric tensor 直交基底：規格化しない場合

省略：正規直交基底の場合

( )2

22 2 2

2

0 0 1 0 00 0 0 0 det0 0 0 0 1

r r r r r rr r r r r rr r r r r r

z

ij z

z z z z

ij z

z

g

hh g g h h h

h

ρ ρ ρ φ ρ

φ ρ φ φ φ

ρ φ

ρ

φ ρ φρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = → ≡ = =

ヤコビアン： Jacobian

( )( )

, ,, ,

r r rz

x y zJ h h h J g

z z ρ φφ φρ

ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂

≡ = × = = → = ∂ ∂ ∂ ∂

球座標（１）

( ), , x y zu r v w x y zθ φ= = = = + +r e e e

位置ベクトル：position vector

要素：component

sin cos , sin sincos

x r y rz r

θ φ θ φθ

= ==

要素：component

2 2 2

1

1

,

cos ,

tan

r x y zzryx

θ

φ

−

−

= + +

=

=

極座標系 1. 円座標： circular polar coordinates 2. 円柱座標： cylindrical polar coordinates 3. 球座標： spherical polar coordinates

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

$$$

φ

球のつもり

θ( ), ,r θ φr

ｘ軸

ｙ軸 イメージ：真上から 注目：太線の円

φ

半径

φe sinz r θ=

sinr θ

注意：円柱座標ではφを第二番目、球座標ではφを第三番目に扱うと便利（次頁）

７０１－15

７０１－16

球座標（２）

( ), , x y zu r v w x y zθ φ= = = = + +r e e e

位置ベクトル：position vector

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

$$$

φ

球のつもり

θ( ), ,r θ φr線要素ベクトル：デカルト座標系

( ), ,

sinr r

r

d u r v w

dr d drh dr h d h ddr rd r d

θ θ φ φ

θ φ

θ φ

θ φθ φ

θ φ

θ θ φ

= = =

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

= + +

= + +

rr r r

e e ee e e

正規直交基底ベクトル：球座標系（次頁）

, ,

1, , sin

rr r

r

r r

r

h h r h r

φθθ θ φ φ

θ φ

θ θ φ φ

θ φ

θ

∂∂∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ = = ∂ = = ∂ =

rrrr r rr e r e r er r r

r r r

$$$

球座標（３）

ｘ軸

ｙ軸

ｚ軸

φ

θ

ｘ軸

ｙ軸 イメージ：真上から 注目：太線の円

φ

半径

φe sinz r θ=

sinr θ

re

( ), ,r θ φr

ｚ軸 re

θe

θ

イメージ：ｚ軸と位置ベクトルｒを含む平面

cos sin sin sin cos

cos cos sin cos sin

sin cos

r x y z

x y z

x y

θ

φ

φ θ φ θ θ

φ θ φ θ θ

φ φ

= + +

= + −

= − +

e e e ee e e ee e e

正規直交基底ベクトル：球座標（次頁）

φe

reθe

r θ φ× =e e e

注意：右ねじの方向 球座標ではφを第三番目に扱うと便利

一番目、二番目、三番目

７０１－17

球座標（４）

正規直交基底ベクトル：球座標

, ,rr r

rrφθ

θ θ φ φθ φθ φ

∂∂∂∂ ∂ ∂≡ ∂ → = ≡ ∂ → = ≡ ∂ → =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

rrrr r rr e r e r er r r

cos sin , sin sin , cos

cos sin sin sin cos

1

cos cos sin cos sin

sin si

r x y z x y z

r

x y z x y z

x y z

x r y r z r

x y zr r r r

x y z r r r

rx y z r

θ

θ

φ

φ θ φ θ θ

φ θ φ θ θ

φ θ φ θ θθ θ θ θ

φφ φ φ φ

= = =

∂ ∂ ∂ ∂∂ = = + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂→ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂∂ = = + + = + −

∂ ∂ ∂ ∂→ ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂∂ = = + + = −

∂ ∂ ∂ ∂

rr e e e e e e

rrr e e e e e e

rrr e e e n cos sin

sin

x yr

rφ

θ φ θ

θ

+

→ ∂ =

e e

r７０１－18

球座標（５）

正規直交基底ベクトル：球座標

cos sin sin sin cos

1 cos cos sin cos sin

1 sin cossin

r re e e err re e e err re e er

rr x y z

r

x y z

x y

r

r

r

θθ

θ

φφ

φ

φ θ φ θ θ

φ θ φ θ θθ

φ φθ φ

∂ ∂= = = + +∂ ∂

∂ ∂= = = + −∂ ∂

∂ ∂= = = − +

∂∂

ベクトル成分：球座標

( )( )

, ,

, ,

,

, ,

xyz x y z x x y y z z

r r r r

xyz r xyz r

x r y z

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

θφ θ φ θ θ φ φ

θφ θφ

θ φ

= = + +

= = + +

= =

≠ ≠ ≠

A e e e

A e e e

A A A A

７０１－19

微小体積要素：積分

球座標（６）

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

rV

r r r

r r r r

r r r r rr

r

θ φ

θ φ θ φ

θ θ φ θ φ θ φ φ θ φ

θ φ θ φ θ θ φ θ φ φθ φ

θ θ

∆ = ∆ ∆ ×∆

= + ∆ −

+ ∆ − × + ∆ −

+ − + ∆ − + ∆ −= × ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

r r r

r r

r r r r

r r r r r r

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

, , , ,

, , , ,

, , , ,

r

r

V

r r r

r r

r r

θ φ

θ

φ

φ φ θ φ

θ θ φ θ φ

θ φ φ θ φ

∆ = ∆ ∆ ×∆

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

∆ = + ∆ −

r r r

r r r

r r r

r r r

注意：現時点ではｒ、θ、 φを関数ベクトルｒ（位置ベクトル）の単なる変数として扱う。 変数ｒの微小増加Δｒに伴う位置ベクトルの移動 変数θの微小増加Δθに伴う位置ベクトルの移動 変数φの微小増加Δφに伴う位置ベクトルの移動

７０１－20

結論：球座標 • 球座標の微小体積要素とデカルト座標の微小体積要素 • 変数ｒは距離（長さ）の次元を持つが、変数φ、θの単位はradianである。

微小体積要素：積分

球座標（７）

( )

2

sin cos sin sin coscos cos cos sin sinsin sin sin cos 0

sin

rdV drd d drd dr

x y zr r rx y z drd dz r r r drd dz

r rx y z

r drd d

θ φθ φ θ φφ θ

θ φ θ φ θφ θ φ θ φ θ φ

θ θ θθ φ θ φ

φ φ φ

θ θ φ

∂ ∂ ∂= × = ∂ ∂ ×∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = −∂ ∂ ∂

−∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

=

r r r r r r

( )( )

2 2, ,sin sin

, ,x y z

dV r drd d dxdydz drd d r drd dr

θ θ φ θ φ θ θ φθ φ

∂= → = =

∂

７０１－21

７０１－22

球座標（８）

計量テンソル：metric tensor 直交基底：規格化しない場合

省略：正規直交基底の場合

( )2

22 2 4 2

2 2 2

0 0 1 0 00 0 0 0 det sin0 0 0 0 sin

r r r r

ij r

r

r

ij r

g

hh r g g h h h r

h r

θ φ

θ θ θ θ φ

φ φ θ φ φ

θ θ φ

φ

θθ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = → ≡ = =

r r r r r rr r r r r rr r r r r r

ヤコビアン： Jacobian

( )( )

2, ,sin

, , r

x y zJ h h h r J g

r r θ φ θθ φ θ φ

∂ ∂ ∂ ∂≡ = × = = → = ∂ ∂ ∂ ∂

r r r