声波

天线发射出电磁波

第十章 机械波

§10.1机械播的形成与传播

1.机械波产生的形成

产生条件： 波源: 产生机械振动的振源(波源);

｛

机械波: 机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出

去，就形成机械波。

弹性介质: 传播机械振动的弹性介质。

弹性介质——由弹性力组合的连续介质.

正弹性力(压、张):液体、气体、固体弹性力

切弹性力：固体

①介质可以看成是大量质元的集合，每个质元具有一定的质量，各质元间存在着相互作用（弹性）；

②质元间的相互作用使波得以传播，质元的惯性使波以有限的速度传播。

特征：具有交替出现的波峰和波谷。质点完成一次振动，波刚好传播了一个波形。

2.横波和纵波

横波: 介质中质点振动方向与波的传播方向垂直，如电磁波。

波的传播方向

质点振动方向 软弹簧

纵波：介质中质点振动方向与波的传播方向相平行的波，如声波。

特征：具有交替出现的密部和疏部。

① 波的传播不是媒质质元的传播, 而是振动状态的传播, 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现；

波的传播特征可归纳为：

横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。

②“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动；

③各质点做与波源同方向、同频率的振动；

④各质点振动的相位不同，沿波的传播方向, 各质元的相位依次落后；

⑤同相位点质元的振动状态相同,相邻同相位点, 相位差2；

纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体和气体中传播。

①波面: 振动相位相同的各点连成的面。②波前: 波源最初振动状态传播到各点所连成的面。③波线: 从波源出发，沿波的传播方向画一些带箭头的线;

各向同性介质中波线与波面垂直。

即最前面的波面3.机械波的几何描述

根据波面的形状可以把波分为：平面波、球面波、柱面波等。

x

y

z

平面波

x y

z

柱面波

x y

z

球面波

4.描述波的几个物理量

波传播方向 波速

①波长 :沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度，波长反映了波的空间周期性。

π2

②周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间，周期表征了波的时间周期性。

T

横波: 相邻的波峰或波谷间距离；纵波: 相邻的密集或稀疏部分中心间距离。

T1

③频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波形的数目:

④波速 ：波动过程中，振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离，又称为相速。 波速与波长、周期和频率的关系为:

u

周期或频率只决定于波源的振动!与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。

uTu

说明：

波速只决定于媒质的性质！波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度；其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。

,uT

①弹性绳上的横波:

Tu

T－绳中的张力, －绳的线密度

几种介质中的波速：

Y－杨氏弹性模量, －体密度

l0

l0 + l

拉伸

②固体棒中的纵波:

Yu

0l

lY

S

F 其中：

F F

③固体中的横波:

Gu

切变

F

G －切变模量，－体密度

FG

S

其中：

§10.2 平面简谐波

简谐波：若波源作简谐振动，介质中各质点也将相继作同频率的简谐振动, 这种波称之为简谐波。

1.平面简谐波的波函数

设有一平面简谐波，在无吸收、均匀、无限大的介质中传播。

平面简谐波：若波面为平面，则该波称为平面简谐波。

①沿x轴正方向传播(右行波)：

设原点O处振动位移的表达式为：

）（ 00 cos tAy

—角频率（圆频率）。其中 y 是质点在y方向上的位移，A—振幅,

x

y

p

u

O x

O点振动传到 p点需用时：Δx

tu

相位落后：x

u

所以p点的运动方程 为

x

y

p

u

O x

从时间看，x点 t 时刻的位移是O点 时刻的位移。

0( , ) cosx

y x t A tu

/t x u

简谐波运动学方程

②沿x轴负方向传播(左行波)：

x

y

p

u

O x0( , ) cos (x

y x t A tu

）

P点处振动位移的表达式为

综上可知，平面谐波一般表达式

负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波。

0( , ) cos (x

y x t A tu

）

①当 x 一定时，令 x = x0

表达式变成 y - t 关系，是 x0 点的振动方程，

T

t

y

A

-A

O

00 0( , ) cos ( )

xy x t A t

u

2.简谐波运动学方程的物理意义

简谐波函数是一个二元函数。振动位移y既是时间t又是位置x的函数

对应曲线为该处质点振动曲线。

② 当t一定时，令t = t0

这时, y 仅为 x 的周期函数，表达了 t =

t0时刻空间各点的位移分布，对应曲线

为该时刻的波形图。不同时刻对应有不

同的波形曲线。

0 0 0( , ) cos ( )x

y x t A tu

y

xO

t 确定时

x 确定时

③ x、t 均变，表示波线上所有质点在各个时刻的位移情况。

0( , ) cosx

y x t A tu

x

y

x1

x

y1

t 时刻 t +t 时刻

tux ΔΔ

x2

波函数的物理意义：描述了波形的传播。

考察t和t+∆t 时刻,以及x和x+u∆t 两质点的运动

0( , ) cosx u t

y x u t t t A t tu

0cosx

A tu

( , )y x t

3.简谐波函数的几种表达形式

0cos[ ( ]x

y A tu

）

时间t 圆频率 周期T

空间x 波数k 波长λ kTu

通过波速联系起来

定义 波数:2π

ku

0cos[2 ( ) ]t x

y AT

0cosy A t kx

4.波动中质点振动的速度和加速度

u: 波形传播速度, 对确定的介质是常数；v: 质点振动速度, 是时间的函数。

注意：

0sin ( )y x

v A tt u

［ ］

22

02cos ( )

y xa A t

t u

［ ］

5.平面波的波动方程

把平面简谐波的波函数分别对t和x求二阶偏导数，得2

2

02cos ( )

y xA t

t u

［ ］

比较上列两式，可得

普遍意义：在三维空间中传播的一切波动过程，只要介质是无吸收的各向同性均匀介质，都适合下式：

2

2

22

2 1

t

y

ux

y

22

02 2cos ( )

y xA t

x u u

［ ］

2

2

22

2

2

2

2

21

tuzyx

任何物质运动，只要它的运动规律符合上式，就可以肯定它是以u 为传播速度的波动过程。

例题1: 已知t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿x方向传播，经t=1/2s后波

形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，试根据图中绘出的条件求出波

动表达式，并求求A点的振动表达式。(已知A=0.01m)

解：由图可知:

0.04m

11 0 0.010.02m s

1 2

x xu

t

波速：

10.04 2π2s, π s

0.02T

u T

设原点振动表达式：

cos( )oy A t

0cos0 时，t2

,00 v此时，2

)cm)(

2

ππcos(01.0 tyo

π0.01cos[π ( ) ] (cm)

0.02 2

xy t

波动表达式：

A点振动表达式：

0.01 π0.01cos[π ( ) ]

0.02 2Ay t

0.01cos π (m)t

例题2:一平面简谐波以速度u=20m.s-1沿直线传播, 已

知在传播路径上某点A的简谐运动方程为y=310-2cos(4t)m. 求: 1) 以点A为坐标原点, 写出波动方程; 2) 以距点A为5m处的点B为坐标原点, 写

出波动方程; 3)写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程; 4) 分别求出BC和CD两点间的相位差。

u

9m5m8m

xDABC

142

2 2s

2010

2

um

频率

波长

解: 由点A的简谐运动方程可知

)](4cos[1032

0u

xtyA

)]20

(4cos[1032 x

t

23 10 cos(4 )

5t x

2) 由于波由左向右行进, 故点B的相位比A点超前, 其简谐运动方程为

23 10 cos(4 )

By t

1) 以A为原点的波动方程为:

2

03 10 cos[4 ( ) ]

20B

xy t

23 10 cos(4 )

5t x

(注:利用 )])(cos[ 0 u

xtAy

故以点B为原点的波动运动方程为

3) 由于点C的相位比A点超前，故

23 10 cos(4 )

5C C

y t x

2 133 10 cos(4 )

5t

23 10 cos(4 )

5D D

y t x

2 93 10 cos(4 )

5t

4.422

10

22 CDCD x

而点D的相位落后于A点, 故

4) BC和CD间的距离分别为xBC=8m, xCD=22m

6.18

10

22 BCBC x

①波传播的独立性：无论是否相遇, 各列波仍保持原有的特性(频率, 波长和振动方向等)不变, 按照原来的方向继续前进,就象没有遇到其他的波一样。②矢量性：在其相遇区域内, 任一点的振动为各个波单独存在时在该点引起的振动的矢量和。

几列波在同一介质中传播:

§10.3 波的叠加和干涉1. 波的叠加原理

波的叠加原理的基础是波的方程为线性微分方程。

若 分别满足波动方程 1 2, , ,y x t y x t2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1,

y y y y

x u t x u t

注：波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波则不成立。

即波动方程遵从叠加原理。

则 显然也满足波动方程

2 2

1 2 1 2

2 2 2

1y y y y

x u t

1 2y y

2. 波的干涉

两束叠加的波在交迭区域

某些点处振幅始终最大，

另一些位置振幅始终最小

，而其它位置，振动的强

弱介乎二者之间，保持不

变。称这种稳定的叠加图

样为干涉现象。

相干条件——得到干涉所要求的条件

②振动方向相同;

③具有恒定的相位差。

①两波源具有相同的频率;

满足相干条件的波 叫相干波,

波源叫相干波源,

叠加叫相干叠加。

S1

S2

P1r

2r

设有两个频率相同的波源S1和S2，其振动表达式为

强度计算

10 10 1

20 20 2

cos( )

cos( )

y A t

y A t

传播到 P 点引起的振动为：

1 1 1 1

2 2 2 2

cos( )

cos( )

y A t kr

y A t kr

所以在P点的合振动为

)cos(21 tAyyy

S1

S2

P1r

2r

其中：2 2 2

1 2 1 22 cos ,A A A A A 1 2 2 1Δ ( ) ( )k r r

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

sin( ) sin( )tan

cos( ) cos( )

A kr A kr

A kr A kr

由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为：

Δcos2 2121 IIIII

对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定

的分布(干涉特点)。

①干涉相长(强度最强点)

干涉相长和相消

1 2 2 1Δ ( ) ( ) 2 π, 0, 1, 2, 3,k r r n n

2 2 2

1 2 1 22 cos ,A A A A A

②干涉相消（强度最弱点）

1 2 2 1Δ ( ) ( ) (2 1)π 0, 1, 2, 3,k r r n n ，

1 2 1 22 cosI I I I I

max 1 2 max 1 2 1 22A A A A I I I I I I ，

1 2 max 14A A A I I 如果 ，

min 1 2 min 1 2 1 2| | 2A A A A I I I I I I ，

1 2 min, 0A A I 如果

③其他情况合振幅在最大值与最小值之间。

例题4：A, B两点为同一介质中振幅相同的两相干波源, 其频率皆为100Hz, 当点A为波峰时点B为波谷。 设波速为10m.s-1, 试写出A, B发出的两列波传到点P时干涉的结果。

15m

20m

P

A B

解: 由图可知, AP=15m, AB=20m, 故

m25

)m15()m20(

APABBP

22

22

又已知v=100Hz, u=10m.s-1 得

m10.0100

10

v

u

设A的相位较B超前, 则A-B=。根据相位差和波程差的关系有

25 152 2 201

0.10B A

BP AP

这样的值符合合振幅的最小的条件, 如若介质不吸收波的能量,则两波振幅相同, 因而合振幅

故在点P处, 因两波干涉减弱而不发生振动。

1 2 0A A A

0t

u

u

4

Tt

2

Tt

4

3Tt

y

x

u

u

u

u

u

u

y A2

x

y

x

y A2

x

驻波——两列振幅相同的相干波在同一条直线上沿相反方向传播时叠加而形成的特殊的干涉现象。

§10.4 驻波

1.驻波的形成

2.驻波方程

设弹性弦上传播着具有相同的振幅、相反传播方向的两波，它们的运动方程为

) cos( 11 kxtAy

) cos( 22 kxtAy

右行波

左行波

合成后，弦上的运动成为

1 2y y y

在合成波的表式中，时间和空间分别出现在两个因子之中，因此，合成波实际上是一种振动，不再是振动的传播，故称为驻波。

驻波的振幅,

与位置有关

各质点都在作同频率的简谐运动

2 1 2 12 cos( ) cos( )2 2

A kx t

驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体

)2

cos()2

cos(2 121221

tkxAyyy

2 12 cos( )2

A A kx

驻

振幅达到最大值2A ，这种位置称为波腹。两相邻波腹间的距离

1 ( 1)2 2 2

n nx x n n

3.驻波的特征

(1)波节和波腹

当 2 1 ,2

kx n

2 1 2 1= 0, 1, 2, 2 2 2 2

n nx n

k k

，

2 1 2 12 2

kx n

，当 2 1(2 1)0, 1, 2,

4 2 2

nx n

，

振幅为零，波节处的质元静止不动，这种位置称为波节。两相邻波节间的距离

1 [2( 1) 1] (2 1)4 4 2

n nx x n n

驻波实质上是一种特殊的振动！

相邻波腹和波节之间的距离：

(2 1)4 2 2 4

n nx x n n

（2）相位

2 1cos( ) 02

kx

相位为： 2 1

2t

相位为:2 1

2t

2 1cos( ) 0

2kx

2 1 2 12 cos( )cos( )2 2

y A kx t

x

04

2

4

34

波节 波腹

2 1 2 11

π 3ππ , π

2 2 2 2n nkx n kx n

所以波节之间相位相同, 波节两边相位相反。

4、波的反射、透射和半波损失

0

透射波 y2

反射波

入射波 y1

z2z1 x

11 1cos( )y A t k x 入射波：

反射波：

透射波：

1 2

1 2

z zR

z z

反射系数

1y

均匀介质中传播的波在遇到两种介质的分界面处，反射波与入射波在界面处的相位差，取决于波的种类和两种介质的性质及入射角的大小。在入射波波线近似于垂直界面时，适当选择时间零点：

z u —特性阻抗

特性阻抗只与介质自身的性质有关。

1 211 1

1 2

cos( )z z

y A t k xz z

12 1 2

1 2

2 cos( )

zy A t k x

z z

1 2

1 2

1

1 2

2

z zR

z z

zT

z z

反射系数

透射系数

固定端： 2z

入射波：

反射波：

透射波：

在界面处，反射波相对于入射波发生了的相位突变,相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失。在介质1中，入射波和反射波频率相同，振幅相同，传播方向相反，形成驻波。

1 1y y y

在界面x=0处，驻波的振幅为零，因此此时界面处为波节。

11 1cos( )y A t k x

1 11 1 1 cos( ) cos( )y A t k x A t k x

2 0y

1 11 1cos( ) cos( )A t k x A t k x

1 12 cos( / 2)cos( / 2)A k x t

1 12 sin( )sin( )A k x t

注意：只要波从波疏媒质到波密媒质（z1<z2 , R<0 ），就会有半波损失!

柔软端（自由端）： 2 0z

入射波：

反射波：

透射波：

11 1cos( )y A t k x

在界面处，反射波与入射波的振动相位相同, 无半波损失，称为全波反射。

1 1y y y

在界面x=0处，驻波的振幅2A1，因此此时界面处为波腹。

既非固定端又非柔软端： 2 2, 0z z

此时入射波和反射波频率相同，传播方向相反，但是振幅不相同，介质1中看到的是驻波+行波。

11 1 cos( )y A t k x

12 22 cos( )y A t k x

1 11 1cos( ) cos( )A t k x A t k x

1 12 cos( )cos( )A k x t

一般地，波从波密媒质到波疏媒质（z1>z2 , R>0 ），均无半波损失，发生全波反射。

在介质1中，入射波和反射波频率相同，振幅相同，传播方向相反，形成驻波。

基频

2

1

n =1

二次谐频

n =2

22

三次谐频

n =3

23

两端固定的弦

, 1,2,32

nn L n

…

波在一定边界内传播时就可能形成各种驻波，形成驻波必须满

足一定条件：

2n

Ln

2nn

u un

L

即弦线上形成的驻波波长、

频率均不连续。这些频率称为

弦振动的本征频率。对应的振

动方式称为简正模式。

最低的频率称为基频，其它

整倍数频率为谐频。

5.简正模式

→两端均为波节

此时开端形成波腹，闭端形成波节。

2 1

4n

nu

L

1 4L 1

1

4u

L

2

4

3

L

2

3

4u

L

3

4

5

L

3

5

4u

L

1 1( ) , 1,2,3,

2 4n

nL n

一端封闭，另一端敞开

4

2 1n

L

n

综上可知：

例题5： 如图,沿 x 轴传播的平面简谐波方程为

)]200

(π200cos[103 x

ty

隔开两种介质的反射界面，A与坐标原点O相距2.25 m。设反

射端两侧波阻相差悬殊且可视为固定端，求反射波方程和左边

介质中的驻波方程。

(SI)

A

O x

y1 2

解: 因两侧波阻相差悬殊,可认为反射波入射波振幅相同。不妨设反射波的方程为

由题意可知入射波在 A 点引起的振动为

310 cos[200π( / 200) ]y t x

所以反射波在A点引起的振动为：310 cos[200π( / 200) ]Ay t

310 cos[200π( )]200

A xy y t

由于界面是固定端，发生半波损失，所以反射波在A点的相位比入射波在该点的相位落后π，故可得

2π 2 2.25 = 5.5

所以反射波的方程为

310 cos[200π( / 200) 5.5π]y t x

3 π10 cos[200π( / 200) ]

2t x

入射波和反射波在左边介质中叠加形成驻波：

3 3 π10 cos[200π( )] 10 cos[200π( / 200) ]

200 2

xy y t t x

3 π π2 10 cos[π ]cos[200π ]

4 4x t

在界面处x=Δ=2.25，容易得到

0x

y y

即界面处为波节。

多普勒效应：当波源或观察者（或二者）相对传播介质运动时, 会导致观察者接受到的波频率不同于波源的频率，这种现象称为多普勒（C.J. Doppier，1803-1853）效应

若波源或者观察者相对介质运动时，观

察者观测到的波速u与观测到的波长

之比称为观测频率R：

R

u

§10.5 多普勒效应

设波源的频率为s ，波长为，在介质中的传播速度为u。若波源和观察者相对于介质静止时，测得的频率则为

1s

uv

T

观察者R

S

波源

u

Su Ru

R

S

为简单起见，假定波源和观测者的运动都发生在它们之间的联线

上。各速度及其符号约定如下：

uS ——波源相对于介质的速度，趋近观察者为正；

uR——观察者相对介质的速度，趋近波源为正；

u ——介质中的波速，S ——波源发射频率，

uS > 0 uR > 0

S R

（相对介质） （相对介质）

S（波源频率） R（观测频率）

u

（波速）

R ——测量频率。

uS = 0 uRu

uR > 0(R接近S)， SR

uR < 0(R远离S)， SR

①波源静止而观察者运动 : uS = 0，uR ≠ 0

RR S

u u

u

S ·· R·

SRu Ru

Rtutu

波相对观察者的传播速度:Ru u u

波长未变，观察者测得的频率为

R RR S

u u u uuv

u

②观察者静止而波源运动：uR = 0，uS≠ 0

S

S

u

u u

R

uS >0 (S接近R),

uS <0 (S远离R),

Su u适用条件：

2

1

o

Su

s2s1s

uT

Ssu T

波相对观察者的有效波长为

su T

波速未变，所以观察者感受到的频率

R S

s s

u u uv

u T u u

SR

SR

波源 波速 u 探测器

su Ru

波相对观察者的有效波长： su T

观察者测到的频率：R R

R S

S S

u u u uuv

u T u u

波相对观察者的传播速度： Ru u u

③观察者和波源在同一直线上运动:uR≠0, uS≠0

R SR

S

u u

u u

波源与观察者相互接近时，感觉到的频率较高；

反之波源与观察者相互远离时，感觉到的频率较低。

结论

45

分别用S和R表示波源速度和观察者速度与波源与观察者连线

的夹角，有

cos

cos

R RR S

S S

u u

u u

④观察者和波源不在同一直线上运动:

· ·RSS

R

uSuR

⑤冲击波和马赫锥:若波源运动速度超过波速us>u

这时波源将位于波前的前方,各波前的切面形成一个圆锥面，这种波叫冲击波, 也叫马赫波, 此锥面称为马赫锥，其顶角满足

1sin

S S

ut u

t M

u u

M 为马赫数

快艇在水中形成的马赫锥 超音速飞机形成的马赫锥

多普勒效应在科学技术上有着广泛的应用

(1)谱线红移测定星球相对于地球的运动速度；

(2)利用基于反射波多普勒效应原理的雷达系统，测定流体的动、

振动体的振动、车辆导弹等运动目标速度；

(3)医学上的“D超”，利用超声波的多普勒效应检查人体内脏、

血管的运动和血液（红细胞）的流速和流量。

例题6: 利用多普勒效应监测汽车行驶的速度。 一固定波源发出频率为100kHz的超声波，当汽车迎着波源驶来时，与波源安装

在一起的接受器接收到从汽车反射回来的超声波的频率为110kHz。已知空气中声速为330m.s-1，求汽车行驶的速率。

第二步: 波从汽车表面反射回来，此时汽车作为波源向着接受器运动，汽车发出的波的频率即是它接收到的频率,而接受器此时是观察者，它接收到的频率为

解: 分两步分析第一步: 波向着汽车传播并被汽车接收，此时波源是静止的。汽车作为观察者迎着波源运动。设汽车的行驶速度为uc，则接收到的频率为

cu u

u

c c

c c c

u u u uu u

u u u u u u u

由此解得汽车行驶的速度为

cu u

1110 100330 56.8km.h

110 100

例题7: A，B为两个汽笛, 其频率均为500Hz。A是静止的，B以60m.s-1的速率向右运动。在两个汽笛之间有一观察者O，以30m.s-1的速率也向右运动。已知空气中的声速为330m.s-1，求:1）观察者听到来自A的频率；2）观察者听到来自B的频率；3）观察者听到的拍频。

已知: u=330m.s-1, usA=0, usB=60m.s-1, u0=30m.s-1,=500Hz

解: 利用多普勒效应关系式，有

R

S

u u

u u

u0 usB

O BA

1）由于观察者远离波源A运动，u0应取负号，观察者听到来自A的频率为

0 330 30500 454.5Hz

330

u uv

u

0 330 30500 461.5Hz

330 60sB

u uv

u u

Hz7 vvv

2）观察者向着波源B运动, u0取正号，而波源远离观察者运动，usB也取正号。故观察者听到自B的频率为

3）拍频