第六章信号与系统的复频域分析 - zhejiang university · 2017-04-14 · 2017/4/14 3...
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2017/4/14 1
浙江大学控制科学与工程学系
信号与系统 Signals and Systems
第六章信号与系统的复频域分析
Chapter 6 The Complex Frequency Domain Analysis of
Signal and System
控制系网络课程平台:http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/
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复习与概述将输入信号表示成基本信号的线性组合
时域:
dtxtx )()()(
系统的输出
dthxthtxty )()()(*)()(时域
频域: k
ts
kkeatx )( 频域
k
ts
kkkesHaty )()(
LTI系统,h(t)x(t) y(t)
est stesH )(
(t) h(t)
LTIS基本关系
t
s dehsH )()(
LTIS
迭加原理
连续系统Fourier变换 :考虑特征函数复指数信号est中令s=jω,
est=ejωt形式的复指数信号表示方法--第三章的内容
复频 (Laplace变换) :考虑特征函数复指数信号est中令s=+jω形式的
复指数信号表示--广义Fourier变换,求系统响应并进行S域的分析
X(s) Y(s)=H(s)X(s)H(s)特征函数
特征值
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主要内容
拉普拉斯变换
常用信号的拉普拉斯变换
阶跃、指数、冲激、正弦。。。。
双边拉普拉斯变换的性质
周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换
单边拉普拉斯变换
LTI系统的复频域分析
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双边拉普拉斯变换的性质(总结)(1)线性
2122112211 RR);()()()( 至少包含ROCsXasXatxatxa LT
RROCsXettxstLT
),()( 0
0(2)时域平移性质
RROCsXtxL );()}({
}Re{);(})({ aRROCasXetxL at (3)S域平移性质
(4)尺度变换特性 aRRROCa
sX
aatxL 1);(
1)}({
(5)时域微分RRROCssX
dt
dxL 包含1);(}{
(6)s域微分RROC
ds
sdXttx
LT
;)(
)(
(7)时域卷积性质 212121 R);()()}()({ RROCsXsXtxtxL 包含
(8)时域积分性质 0}Re{s}R );(1
)( {包含ROCsX
sdx LT
t
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双边拉普拉斯变换性质(9)
异函数不包含冲激或者高阶奇
定理限制条件:
)(,0
00,
txt
x(t)t
(9)初值和终值定理
x(0+)-即x(t)当t从正值方向趋于0时的值
即x(t)当t时的值
切的初值注意条件,要保证有确初值定理: );(lim)0( ssXxs
0( ) lim ( ) lim ( ); lim ( )
( ) 1
t s tx x t sX s x t
X s s
终值定理: 条件是 存在
的极点均在 平面的左半平面(或原点处有 阶极点)
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双边拉普拉斯变换性质(9-2)
解: 由例6-3:
1}Re{;)2)(102(
1252 )()(
2
2
s
sss
sssXtx
LT
例6-7 由(例6-3) )()3(cos)()( 2 tutetuetx tt 验证初值与终
值定理2)0( x
由初值定理与终值定理
2)2)(102(
1252lim)(lim)0(
2
2
sss
sssssXx
ss
0)2)(102(
1252lim)(lim)(lim)(
2
2
00
sss
sssssXtxx
sst
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双边拉普拉斯变换性质(9-2)
解:
-1 21 1 1 1( ) ( ) L [ ( - )]= [ 1] ( )
2 2 2
LTtX s x t e u t
s s
例6-81
( )( 2)
X ss s
验证终值定理
双边Laplace变换的性质列表如P224所示
发散,终值定理不成立
𝑥 ∞ = lim𝑡→∞𝑥(𝑡) = lim
𝑠→0𝑠𝑋(𝑠) = lim
𝑠→0𝑠1
𝑠(𝑠 − 2)= −1
2
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主要内容
拉普拉斯变换
常用信号的拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换的性质
周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换
周期信号的Laplace变换
抽样信号的Laplace变换
拉普拉斯反变换
单边拉普拉斯变换
LTI系统的复频域分析
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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换--周期信号的拉普拉斯变换(1)
前提:仅考虑在 t0 时存在的单边周期信号x(t),即当t<0时,
x(t)=0,这样的周期信号:x(t)=x(t-T), t>0
令第一个周期的函数为x1(t),且
求周期函数的X(s)
R: );()( 11 ROCsXtx LT 有限信号
0}Re{;1
)()(
)()()()(
)()()()(
1
0
1
1
2
111
2
00
se
esXesX
esXesXesXsX
dtetxdtetxdtetxsX
sT
sT
n
nsT
nsTsTsT
T
T
stT
stst
x(t)可以看成是x1(t)的移位加和,X(t)=x1(t)+ x1(t-T)+ x1(t-2T)+,
可利用L变换的时移与线性性质,直接由X1(s)得到X(s),或由定义求
0}Re{;1
)()()( 1
0
1
se
esXnTtxtx
sT
sTLT
n
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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换--周期信号的拉普拉斯变换(2)
t
1
T 2TT/2
x(t)例6-9 求如图示单边周期脉冲的
Laplace变换.
解: X(t)可以看成是单个脉冲
)2
()()(1
Ttututx 以T为周期进行周期性延拓的结果。
s
ee
ss
TtutuLsX
sT
sT 22
1
111)]
2()([)(
0}Re{;1
)()()( 1
0
1
se
esXnTtxtx
sT
sTLT
n
0}Re{;
)1(
1
1
1)(
2
2
s
ese
e
s
esX
sTsT
sTs
T
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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换--抽样信号的拉普拉斯变换(1)
前提:仅考虑在 t0 时存在的单边抽样信号xs(t)(当t<0时,xs(t)=0),
载波器
脉冲调制器xs*(t)x(t)
)(tp
xs*(t)
2T 4Tt
xs*(t) x(t)
T )()(
*txtptx s
x(t)
t
LT ??
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周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换--抽样信号的拉普拉斯变换(2)
考虑抽样信号xs(t)的Laplace变换
0
)()()()()()(n
Ts nTtnTxtuttxtx
例6-10 求指数抽样序列的Laplace变换.
)()()( tutetx T
at
s 解:
0 0
00
)()(
)()()}({)(
n n
nez
nsT
st
n
ss
znTxenTx
dtenTtnTxtxLsX
sT令
=
1)(0 0
)(
1
1
1
1)}({)(
zeeeeetxLsX
aTTsan n
nTsansTaTn
ss
Z的幂级数形式
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拉普拉斯反变换: X(s)x(t)
定义法:
j
j
stdsesXj
sXLtx
)(
2
1)}({)( 1
拉普拉斯反变换(1)
有复数积分,求解复杂,一般不采用
部分分式法
00
0
0
( )
0 0
0 0
1( ) ( )
2
1( ) ,
2
jj t
j
t j t
X j e d jj
e X j e d ROC
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拉普拉斯反变换(2)
)(,)(
)()(
10
10 mnsasaa
sbsbb
sD
sNsX
n
n
m
m
思路:许多信号x(t)的Laplace变换式可表示成s的有理函数
所以要熟练掌握基本性质以及基本信号的L变换。下面分几种情况讨论。
)(
)(
)(
)()(
1
1
j
n
j
i
m
i
ps
zsA
sD
sNsX
常数n
m
a
bA
因为L变换是线性变换,可将X(s)分解为低阶项(部分分式)的线性组
合,其每一低阶项的Laplace变换由L变换性质或直接查表求反变换
后再迭加得到x(t). 如以前提到的零极点形式即为一阶项的组合。
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拉普拉斯反变换(3)
n
i i
i
n
n
m
m
ps
k
sasaa
sbsbb
sD
sNsX
110
10
)(
)()(
情况1)X(s)的分母多项式D(s)有 n 个互异实根,即
ipsii pssXk
))((其中:
i
i
ps
k
的收敛域应包括X(s)的ROC (X(s)无零极点相消)且
两种可能:Re{s}>pi (右边信号)
Re{s}<pi (左边信号)
由ROC性质,X(s)的每一项ROC都应包括X(s)的ROC,可以向左或向
右或向两边延伸,直到被一个极点界定或至无穷远
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拉普拉斯反变换(6)
1}Re{;)2)(1(
1)(
s
sssX例6-11 求 的Laplace反变换.
ROC示意图
X(s)的 ROC
-2-1
1/(s+2)的
ROC
1/(s+1)的
ROC
-1
)()()(1}Re{;)2)(1(
1)( 2
1
tueetxsss
sX ttL
解:
1}Re{;2
1
1
1
)2)(1(
1)(
s
sssssX
由X(s)的ROC知原信号为右边信号
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拉普拉斯反变换(7)
2}Re{;)2)(1(
1)(
s
sssX例6-12 求 的Laplace反变换.
ROC示意图
X(s)的 ROC
-2-2
1/(s+2)的
ROC1/(s+1)的
ROC
-1
)()()(2}Re{;)2)(1(
1)( 2
1
tueetxsss
sX ttTL
解:
2}Re{;2
1
1
1
)2)(1(
1)(
s
sssssX
由X(s)的ROC知原信号为左边信号
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拉普拉斯反变换(8)
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)()(
11
1
1
1
12
1
11
1
11
sD
sB
ps
k
ps
k
ps
k
kpssDps
sN
sD
sNsX
k
kk
k
=
重根处有;在
情况2)X(s)的分母多项式D(s)包含有重根,即
与重根无关,按前
无重根方法分解如何求重根项的系数?
)(
)()()(...)()()()()(
1
1
1
11
2
1131121111sD
sBpspskpskpskksXpssX KK
K
K
令:
再对X1(s)求导
1
)(112 psds
sdXk
ki
ds
sXd
ik
ds
sXdk
psi
i
ips
,,2,1
)(
)!1(
1,,
)(
2
1
111
1
)1(
12
1
2
13
1
)()( 111 ps
k sXpsk
asas
tuen
tL
n
atn
}Re{;)(
1)}(
)!1({
)1(
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拉普拉斯反变换(10)
))()((
)(
)()(
)(
)(
)()(
11
2 jsjssD
sN
sDbass
sN
sD
sNsX
情况3)X(s)的分母多项式D(s)包含有共轭复根,即
与复根无关方法一: 按部分分式的方法分解并求每项的系数,
但因有复数,不甚方便
方法二: 将产生共轭复数的二次项配成相应的余弦或正弦的拉氏变换式,
再求反变换,这种方法更为方便。
asas
astuteL at
}Re{ ;
)()}(cos{
2
0
20
asas
tuteL at
}Re{ ;)(
)}(sin{2
0
2
00
4)
2(
222 a
ba
sbass
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拉普拉斯反变换(12)
总结:由X(S)x(t)
(1)用部分分式法将X(S)展开成低阶项(实根、重根、
复根)的迭加
(2)确定各低阶项变换式的收敛域
--由此可知时域信号的特性
(3)确定各低阶项变换式的反变换
单边拉普拉斯变换-- 定义(1)
实际问题中常遇到的是因果信号:t<0时: x(t)=0, 定义:
dtetxsXdtetxsX stst
00
)()(~
)()(
记:)(
~)( sXtx
uL
双边Laplace变换与单边Laplace变换的异同:
1)积分下限不同;
2)对于t<0不同而t0相同的信号 x(t),双边L变换不同,单边相同;
3)对于t<0为0的信号,双边和单边的L变换相同;
4)单边L变换的ROC一定在右半平面。
考虑在原点有冲激函数及其各阶导数
单边拉普拉斯变换-- 定义(2)
由时移性质可得:
例6-13 求 的双边与单边Laplace变换.)1()( )1( tuetx ta
解: 双边变换: asas
tuetxLT
at
}Re{ ;1
)()(
asas
etueL
sLTta
}Re{ ;)1({ )1(
单边变换:
asas
edteedteedtetuetueuL
atasasttasttata
}Re{ ;)1()}1({0
)(
0
)1(
0
)1()1(
可见,双边变换与单边变换不同。原因是当t<0时信号不为0
!不同!
单边拉普拉斯变换-- 定义(3)
解: 由题知,该信号在原点包含奇异函数。因为t<0时信号为0,
故双边Laplace变换与单边Laplace变换是一样的。
例6-14 求 的双边与单边Laplace变换.)()(2)()( tuetttx t
0);()(
)(2)( 2 ttuedt
tdttx t
记: 1)Re(;1
)12(
1
121)(
~)(
s
s
ss
sssXtx
uL
例6-15 求 的Laplace反变换.2
3)(
~2
s
ssX
单边L变换的ROC为最右边极点的右侧:Re{s}>-2解:
2
12
22
3)(
~2
ss
s
CBsA
s
ssX
单边拉普拉斯变换--性质(1)
单边Laplace性质大部分与双边变换相同,主要区别在时域微分与时域
积分性质--对分析非零初始条件的系统十分重要。
)0()(~
})(
{ xsXsdt
tdxuL
证明:由定义求L变换,用到分部积分法
(1)时域微分
)()}({ sXtxL )(}{ ssXdt
dxL 双边
)(~
)}({ sXtxuL 单边
注意:不同点!
X(t)在0的取值
推广到n 阶导数
推广 )0()0()0()(~
})(
{ )1(21 nnnn
n
n
xxsxssXsdt
txduL
)0()0()(~
})(
{ 2
2
2
xsxsXsdt
txduL
注:这里的
0均指为0-
00 0
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) (0)st st stdx t dx t
uL e dt x t e s x t e dt sX s xdt dt
类似地,二阶微分:
(2)时域积分
)()}({ sXtxL 双边 )(1
})({ sXs
dxLt
)(~
)}({ sXtxuL 单边
s
dxsX
sdxuL
t
0
)()(
~1})({
单边拉普拉斯变换--性质(2)
注:X(t)积分式
在t=0的取值
证明:
])([)0(1
})()0({})()({})({
0
1
0 0
10
t
t tt
dxuLxs
dxxuLdxdxuLdxuL
常量
)(~1
)0(1
})({ 1 sXs
xs
dxuLt
分部积分 时域微分与时域积分引入了信号
的起始值,这给分析初始状态不
为0的系统带来极大的方便--
单边Laplace变换的最大优点!
(3)时域平移性质
)()}({ sXtxL 双边
)(~
)}({ sXtxuL 单边
证明:
0
0
0
0 0
0
00
0 00
0
0
00
{ }
= +
= + ( )
t ts tst
t
s t s t
t
tstst
uL x t t x t t e dt x e d
x e d x e d
x t t e dt e X s
令
28
0
0( ) ( )
st
L x t t e X s
0
0
0 00
( ) ( ) ( )t
st stuL x t t e X s x t t e dt
当x(t)是因果信号且t0>0时,单边拉氏变换的时延特性与双边拉氏变换一致
单边拉普拉斯变换--性质(3)
单边拉普拉斯变换--性质(4)
)(~
)(~
)}()({ 2121 sXsXtxtxuL )(
~)}({ 11 sXtxuL
)(~
)}({ 22 sXtxuL
(4)时域卷积性质-分析LTI系统非常有用的性质
若信号 x1(t) 和 x2(t) 都是单边信号,有当 t<0 时,
x1(t)=x2(t)=0,则有
注意前提条件,若有一个不满足,即上式不一定成立。
单边Laplace变换的其他性质与双边变换相同,不再一一列出。
主要内容
拉普拉斯变换
常用信号的拉普拉斯变换
双边拉普拉斯变换的性质
周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯反变换
单边拉普拉斯变换
LTI系统的复频域分析(用L变换法对系统进行分析)
系统函数
全响应的求解
系统的复频域分析--系统函数H(s): 定义(1)
与Fourier变换相似,Laplace变换也可以用于分析连续时间系统,
特别适合于分析非零起始的系统(单边Laplace变换可引入信号的初
值),获得系统的零状态、零输入和全响应。
本节讨论:复频域 s=+j t 时域间的关系
第三章中已经定义:
特征函数——指系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能是
复数)乘以该信号。
特征值——系统对特征函数(输入信号)的输出响应中的常数
(幅度因子)称为系统的特征值(系统函数)
系统的复频域分析--系统函数H(s): 定义(2)
LTI系统,h(t)x(t) y(t)
est
stetx )( 卷积定理
)()(
)()(*)( )(
sHedehe
dehthety
stsst
tsst
特征值--系统函数
)(sHee stLTIst
dehsH s)()(特征函数
dehsHth sLT
)()()(
因为 s=+j,对于稳定系统:当=0时,H(s)=H(j)
频率响应
系统的复频域分析--系统函数H(s): 定义(3)
另一种定义:
N阶连续时间LTI系统可
用起始状态为零的线性
常系数微分方程表示:
M
rr
r
r
N
kk
k
kdt
txdb
dt
tyda
00
)()(
对微分方程进行双边Laplace变换 )()(00
sXsbsYsaM
r
r
r
N
k
k
k
)(
)(
)(
)()(
0
0
sD
sN
sa
sb
sX
sYsH
N
k
k
k
M
r
r
r
zs
由Laplace变换的卷积性质 )()()( sHsXsY
1)收敛域问题(由系统性质推出)
2)H(s)其他名称(传递函数、网络函数)
3)LTI系统许多性质(因果性、稳定性、
频响等)与H(s)的零极点分布有关
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(1)
H(s)可写成因子相乘的形式:
N
j
j
M
i
i
N
k
k
k
M
r
r
r
ps
zs
H
sa
sb
sH
0
0
0
0
)(
)(
)(
1)因果性
对于一个因果系统,t<0时,h(t)=0 h(t) 是右边信号
H(s)的ROC应在最右边极点的右半平面
如果系统是反因果的 h(t) 是左边信号: t>0时,h(t)=0
H(s)的ROC应在最左边极点的左半平面
zi-零点
pj-极点稳定性与因果性
N
M
ab
H
注:相反结论不一定成立。 ROC在最右边极点的右边--保证是右边
信号,但不能保证一定t<0时,h(t)=0。
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(2)
解:对于该系统,其ROC是在最右边极点的右侧,因此单位冲激响应必
是右边信号。为确定它的单位冲激响应,利用
1}Re{,1
1)(
s
stue
Lt
考虑时移性质1}Re{,
1)1()1(
s
s
etue
sLt
单位冲激响应 )1()( )1( tueth t
因为-1<t<0时不等于0,所以系统不是因果的。
该例说明:因果系统 ROC在最右边极点的右边;但相反结论不一
定成立。等价性只针对有理系统函数。
例6-16 考虑一系统的系统函数为 1}Re{,1
)(
ss
esH
s
对一个有理系统函数的系统,因果性等
效于ROC在最右边极点的右半平面。
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(3)
例6-17 有一系统,其单位冲激响应为 )()( tueth t
显然,系统函数是有理的,并且ROC是在最右边极点的右侧。这与有理
系统函数的因果性等效于ROC位于最右边极点的右侧的结论一致。
解:因为t<0时,h(t)=0,所以该系统是因果的。同时它的系统函数由例6-5
可知为1}Re{,
1
1)(
s
ssH
解:因为t<0时,h(t)0,所以该系统是非因果的。由例6-2可知系统函
数为1Re{s}1- ,
1
2)(
2
ssH
系统函数是有理的,ROC不在最右边极点的右侧,所以该系统是非因果的。
例6-18 有一系统,其单位冲激响应为t
eth
)(
系统稳定的含义:在时域上,系统稳定 单位冲激响应 h(t) 绝对可积
变换收敛的 ourierthdtth F)()(
即H(j)存在,而一个信号的fourier变换就等于Laplace变换沿 j 轴
求值,即
jssHjH
)()(
2) 稳定性(与H(s)的极点和ROC之间的关系)
所以,当且仅当系统函数 H(s) 的 ROC 包括 j (即Re{s}=0)
时,LTI系统是稳定的。
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(4)
由于没有给出ROC,ROC存在3种可能性 3种不同的h(t)
例6-19(P233) 某一LTI系统,其系统函数为2
31
1
32
)2)(1(
1)(
ssss
ssH
(1)在最右边极点的右半平面, 如图(1)示:
因果系统,但不稳定 -1
ROC示意图(1)
2
)()3
1
3
2()( 2 tueeth tt
(3)在最左边极点的左半平面, 如图(3)示:
非因果系统,也不稳定 -1
ROC示意图(3)
2)()3
1
3
2()( 2 tueeth tt
(2)在两个极点的中间部分, 如图(2)示:
非因果系统,稳定
-1
ROC示意图(2)
(包含 j 轴)
2
)(3
1)(
3
2)( 2 tuetueth tt
若已知系统因果性与稳定性,就能确定ROC与单位冲激响应
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(5)
3) 因果稳定性(同时满足因果性与稳定性)
一个具有有理函数 H(s) 的因果系统是稳定的,当且仅当系统函数 H(s) 的
全部极点分布在 s 的左半平面。
系统稳定 ROC包括 j 轴
有理函数H(s)是因果的 ROC在最右边极点的右边
系统函数 H(s) 的 最右边极点位于j 轴的左边
例6-20 单位冲激响应为 )()( tueth t
有理系统函数H(s) 的ROC位于最右边极点的右侧,系统是因果的。
又,H(s) 的 ROC 包括 j (即Re{s}=0})时,系统是稳定的(s=-1在s平
面的左半平面)。所以,该系统是因果稳定的。
1}Re{,1
1)(
s
ssH
因果稳定?);()( 2 tueth t
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(6)
由卷积性质,Y(s)的ROC至少包含X(s)、 H(s)的ROC相交部分。检查H(s)的
ROC的3种可能情况:-2左边;-2与-1之间;-1的右边。只有Re{s}>-1相符。
• 显然,因果性、稳定性这些系统性质都能直接与系统函数及特性联系起来。
?;)2)(1(
3
)(
)()(
ROC
ss
s
sX
sYsH
例6-21 如一LTIS的输入: 其输出为
请由上述信息确定H(s)与其他性质。
)()( 3 tuetx t )(][)( 2 tueety tt
解:3}Re{,
3
1)(
s
ssX 1}Re{,
)2)(1(
1)(
s
sssY
)(3)(232
2
txdt
dxty
dt
dy
dt
yd描述系统的微分方程:
21 R
);()()}()({)(
RROC
sHsXthtxLsY
包含
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(7)
又因H(s) 的2个极点均在s平面的左半平面,所以H(s)是稳定的。
因为该ROC在H(s)最右边极点的右边,且H(s)是是有理的,故H(s)是因果的。
例6-22 已知一个LTI系统的下列信息:(1)系统是因果的;(2)H(s)是有理
的,且仅有2个极点在s=-2和s=-4;(3)若x(t)=1,则y(t)=0;(4)单位冲激响
应在t=0+时的值是4。根据以上信息确定系统函数。
2
( ) ( )( )
( 4)( 2) 6 8
p s p sH s
s s s s
解:
由条件(3): 0 0
0( ) 1 ( ) (0) (0) 0 ( ) 0t t
sx t e y t H e H p s
P(s)有一个根s=0
)()( ssqsp
单位冲激响应的Y(s)=H(s)
条件(4): 由初值定理2
2
( )(0) lim ( ) lim 4 ( ) 4
6 8s s
s q sh sH s q s
s s
(若q(s)的阶次>0,极限发散)
4( ) , Re{ } 2
( 4)( 2)
sH s s
s s
综上所述:
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(8)
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(9)
解:(1)
例6-23 考虑一稳定而因果的系统,假定单位冲激响应为h(t),系统函数H(s)
是有理的,有一极点在s=-2, 原点无零点。其余零极点均未知。对以下说
法的是非进行判断。(1)F{h(t)e3t}收敛; (2) ; (3) t·h(t)是一个因
果而稳定系统的单位冲激响应; (4) 在它的Laplace变换中至少有一个
极点; (5) h(t) 是有限持续期的; (6)H(s)=H(-s) .
0)(
dtth
dt
tdh )(
但因果稳定系统的ROC在H(s)所有极点右边,而-3在-2的左边。
(2) 利用特征值函数概念: )0()()()(0
0 HsHdtethdtths
t
0)(
dtth
错。
错。
js
tjtjtt sHdtethdteethethF
30
)3(33 )()()(})({S
相应于h(t)的L变换在s=-3+j 的值。若收敛 s=-3在ROC中
相当于H(0)=0, 而已知原点无零点。
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(10)
续前:(3) t·h(t)是一个因果而稳定系统的单位冲激响应?
由s域微分性质, RROCsXtxL );()}({ RROCds
sdXttx
LT
;)(
)(
L{t·h(t)}与H(s)具有相同的ROC
已知H(s)稳定,H(s)的 ROC 包括 j系统稳定
t<0, t·h(t)=0 t·h(t) 代表的是因果系统的单位冲激响应
(4) 在它的 Laplace 变换中至少有一个极点?dt
tdh )(
因为 RROCsXtxL );()}({ RRROCssXdt
dxL 包含1);(}{
sH(s)没有消去H(s)中原有的s=-2的极点。 所以该说法:对
对
例6-23 考虑一稳定而因果的系统,假定单位冲激响应为h(t),系统函数H(s)
是有理的,有一极点在s=-2, 原点无零点。其余零极点均未知。判断 :
系统的复频域分析--系统函数H(s): 零极点与系统的稳定性和因果性(11)
续前:(5) h(t) 是有限持续期的。
因为若h(t) 是有限持续期的,则H(s)的收敛域是整个 s 平面,对有
理 L 变换来说,ROC内不应包含任何极点(时域特性与ROC的关
系),但已知H(s)在s=-2有一个极点。
(6) H(s)=H(-s)
因为若H(s)=H(-s),则必须在s=2有一个极点,但对于一个因果稳定
的系统,所有极点都必须在 s 的左半平面,这与已知条件矛盾。
错
错
例6-23 考虑一稳定而因果的系统,假定单位冲激响应为h(t),系统函数H(s)
是有理的,有一极点在s=-2, 原点无零点。其余零极点均未知。判断 :
o
j
pi
Mi Ni
ii
j
zi
系统的复频域分析-- 系统函数H(s)与系统的频率响应H(j)
由H(s)的零极点分布,可在s域上进行H(s)的几何求值
N
i
i
M
i
i
ps
zs
HsH
0
0
)(
)(
)(
由零点zi引向某点s的矢量
由极点pi引向某点s的矢量
s=j
)(
)]()[(
21
21
0
0
)
)(
)(
)(
2121
j
j
n
m
N
i
i
M
i
i
eH(jω
eMMM
NNNH
pj
zj
HjH
nm
频率响应:当 沿虚轴移动时,各矢量模与幅角
随之改变,即可画出幅频特性与相频特性
幅频
特性相频特性
参见教材P235, 例6-19
系统的复频域分析-- 全响应的求解
方法一:
由微分方程起始状态求零输入响应+ =全响应
方法二:
直接用单边Laplace变换法(可自动计入起始状态)一次性的计算全
响应,且可区分零状态、零输入响应--注意收敛域问题
)()()( sXsHsYzs
)()()()(
)()()()(
011
1
1
011
1
1
txbtxdt
dbtx
dt
dbtx
dt
db
tyatydt
daty
dt
daty
dt
da
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
)1,,1,0)(0()( Nky k
常系数线性微分方程描述的因果系统
???:为什么双边L变换只能求解零状态相应?
系统的复频域分析-- 全响应的求解
0)0(,1)0();(5)(2
1)(
2
3)( 3
2
2
yytuetydt
tdy
dt
tyd t
3
5)(
2
1)]0()([
2
3)0()0()(2
ssYyssYysysYs
例6-24(P238例6-22) 设因果LTI系统的微分方程如下,求y(t), yzs(t)、yzi(t).
解:取单边Laplace变换
2
1
2
3
)0(2
3)0(')0(
3
5
)(2
ss
yysyssY
将起始条件代入得:
X(s)
2
1
2
32
3
2
1
2
33
5
2
1
2
3
)0(2
3)0()0(
2
1
2
33
5
)(2222
ss
s
ss
s
ss
yysy
ss
ssY
Yzs(s) Yzi(s)
2
1Re,
3
1
2
1
4
1
5
2
1
2
33
5
)(2
ss
ss
ss
ssYzs
2
1Re,
2
1
2
1
1
2
1
2
33
2
)(2
s
ss
ss
s
sYzi
)()()( sYsYsY zizs LT-1
)()()( tytyty zizs
tueeesYLty tt
t
zszs
32
1
1 45)()(
tueesYLtyt
t
zizi
2
1
1 2)()(
系统的全响应: tueeetytyty ttt
zizs
32
1
6)()(
系统的复频域分析H(s)、X(s)极点分布与自由相应、强迫相应特征对应
( ) ( ) ( )Y s H s X s1( ) [ ( )]y t L Y s
1
1
( )
( )
( )
m
j
j
n
i
i
s z
H s
s p
1
1
( )
( )
( )
u
t
t
v
k
k
s z
X s
s p
1 1
( )n v
i k
i ki k
K KY s
s p s p
自由响应 强迫响应
𝑦 𝑡 =
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑖𝑒𝑝𝑖𝑡 +
𝑘=1
𝑣
𝐾𝑘𝑒𝑝𝑘𝑡