六年級學生線性樣式問題...

投稿日期：民國 99 年 9 月 3 日；接受刊登日期 99 年 12 月 31 日

高雄師大學報 2010, 29, 63-85

六年級學生線性樣式問題一般化表現之研究

陳嘉皇 1

摘要

本研究旨在探討六年級學生對線性問題一般化表現與策略應用的情形，藉由不同

表徵問題顯示之正確與錯誤者策略之比較，探索影響學生一般化表現的因素，作為改

善數學一般化教學的依據。樣本為 997位小學六年級學生，參與「代數推理一般化測驗」，測驗完後，從中選取一班 30位學童進行訪談。資料分成兩部分處理：有關學生一般化測驗表現部分，以百分比、成對平均數 t檢定，考驗學生在不同性質問題的一般化表現是否有顯著差異存在；另依據學生訪談資料，以質性方式加以轉譯分析，理

解學生在一般化歷程影響其一般化策略運用的因素為何。研究發現： (一) 學生在一般化測驗上以線性遞增問題之一般化表現較佳。 (二) 學生能利用計數、差異、線性等有效多元之一般化策略進行轉化與解題。 (三) 常數與變項意義的混淆，影響學生一般化策略的運用與正確表現，可設計

能縮減計數關係的作業，協助推理與解題。研究建議：以線性遞增方式呈現的作業、配合學生推理歷程省思監控的認知能

力，輔導對樣式問題一般化使用之計數、差異與線性等多元策略的認識與應用，掌握

常數與變項之間的結構關係，持續注意正確算式的完成，可以促進學生一般化的學習

成效。

關鍵字：樣式、一般化、策略、代數推理

1 崑山科技大學通識教育中心助理教授

64 高雄師大學報第二十九期

A Study of the Pattern Generalization Performance on Liner Problems

among the Sixth Graders

Chia-huang Chen*

Abstract

The research aim was to explore how students adopted the generalization strategies of pattern to solve different questions of characterization. It examined the factors influencing students’ effective use of generalization strategies based on their reasoning and question-solving processes. Study sample includes 997 students in 36 sixth-grade class of 12 public primary school in southern Taiwan. They took the “Test on Pattern Generalization in Algebra Reasoning” designed by the researcher. After the test, an interview was conducted to 30 students to make sure their understanding about the test questions and generalization strategies. Students’ performance in solving questions through pattern generalization was scored to indicate their understanding in solving questions of different representations. Each student’s strategies used on the test were carefully analyzed. Data were collected and analyzed by three scorers, and all formats questions were checked to see the scorer’s reliability coefficient. In addition, a comparison was made between 6 students who obtained all correct answers and the other students who obtained all incorrect answers in the same class. The researcher findings from this study can be summarized as follows:

1. Students’ pattern generalization performances in liner increasing question were higher.

2. According to the different features of representation questions, students leared to adopt effective strategies of pattern generalization in solving questions.

3. The factors influence students’ choice and application of pattern generalization strategies and performance in solving questions include misused the meanings of variables and constants, could design the task to reduce the numbers counted to assist students’ individual cognitive ability, features and relations of the questions presented.

This researcher made some recommendations for reference on future design for the teaching of pattern generalization in algebraic reasoning.

Keywords: Pattern, generalization, strategy, algebraic reasoning. * Assistant Professor, Center of General Education, Kun Shan University.

六年級學生線性樣式問題一般化表現之研究 65

壹、緒論

Mason(1996)認為數學教育的核心在於喚醒學生對數學一般化本質的敏感性，使用代數符號

呈現數學結構，運用數學模式表達數量關係，促其能理解樣式及函數。一般化的作業可提供思

考的路徑及發現規則等實質效益，透過強調特殊案例的分析，系統化的進行資料組織、臆測和

歸納，也可提供解題相關能力的發展。但研究指出，一般化的歷程對學生而言，存在著許多的

困難(Bishop, 2000; Blanton & Kaput, 2002; Kieran, 2004; Stacey, 1989)，從學生參與代數活動的結

果顯示，雖然學生能辨識多元的樣式，但卻無法從運用代數或一般化中獲得數學概念，這些研

究發現學生傾向於將重點放在變項循環的關係，而非函數的關係上，進而對無顯著規則範例的

一般化產生障礙；另一方面，雖能對數字產生正確的樣式知覺，並未保證能具有正確一般化的

能力，即便學生能夠一般化或建立規則，也很少能夠解釋形成樣式結構之所以然。根據陳嘉皇

(2009)之調查指出：六年級學生針對其設計的一般化線性問題，雖可辨識樣式的型態，但轉化

至利用符號列出算式並正確解題者比例不高，只有 38%左右，大多數學生運用錯誤或無效的推

理策略進行解題，欠缺對問題推理及解題的經驗。從上述發現加以思索，要協助學生克服一般

化學習的困境，首要的任務，應積極理解他們如何對設計的樣式問題進行推想和解題，歸納有

效的解題策略與方式，引導其成功的向一般化作業邁進。有關一般化學習的研究，一些學者將焦點放在一般化歷程表現的分析(Balacheff, 1988; Ellis,

2007)，設計樣式作業，引導數學算式的建構與解題；另外的研究強調一般化活動設計的樣式 (Bishop, 2000; Blanton & Kaput, 2002; Kieran, 2004; Stacey, 1989; Warren & Cooper, 2008)，藉由問

題情境、特徵、樣式關係的呈現，讓學生遵循線索的指示與啟發，掌握代數概念的產出。例如

Bishop(2000)與 Stacey(1989)利用線性問題，探索學生解題的策略與應用符號的表現，發現學生

在解題時會利用視覺簡化線索，很快的產出樣式的規則與結構，但並未正確思索或推理結構之

間的關係。Bishop(2000)與 Stacey(1989)認為問題是否具備顯著的樣式特徵，會影響學生如何進

行一般化的推想，包含未知數的運算、一般化的說明、函數關係的描述。由於線性關係的問題

為國小數學常見的議題，且具有顯著的樣式特徵，所以可讓學生透過對情境進行變項規則的感

知與呈現組織結構的意義，描述情境的運算與關係，發展一般化能力的基礎。一般化的作業及運用算式描述數學問題，在小學的教科書裡並不普遍，僅在小學六年級才

開始進行概念性理解和代數操作技巧的訓練(教育部，2003)。有關一般化表現的研究越來越受

到重視(洪明賢，2003；陳嘉皇，2009；鄭佳昇，2003；Bishop, 2000; Blanton & Kaput, 2002; Kieran, 2004; Stacey, 1989; Warren & Cooper, 2008)，然而，觀察教材與教學實務關聯的議題發現：眾多

教師對於如何利用有效的方法引導學生一般化策略的產生，如何理解學生解題歷程所用的推理

方法，設計具視覺效果之樣式問題，以促進解題發展等方面的能力甚為薄弱。有關樣式的設計、

推理方式的進行與數學規則的歸納，和一般化策略的思索運用息息相關，影響著學生數學概念

的建構。雖然，近來的研究已積極的朝向對樣式的作業設計、教學流程和成就表現評量更加廣

泛的探索，但對學生在一般化歷程概念的轉化，所運用的策略仍不甚明瞭，是否不同表徵設計

的樣式問題都能促進一般化的學習？學生對線性問題一般化的表現如何？學生面對線性問題

時，會採用何種一般化策略解題？影響學生一般化表現和策略的運用原因為何？這些議題對於

瞭解學生一般化學習與發展極為重要，值得探索。一般化對於國小師生而言是項新奇的學習議


題，若能理解學生對線性問題一般化的表現與策略的運用，將有助於解決教師代數推理教學上

的困境，有效提升學生學習成就，並能對國小算術的學習轉化至未來代數的思考，鋪上平滑流

暢的道路。本研究目的如下：一、探討學生對線性樣式問題之一般化表現，以掌握學習發展的狀況。二、瞭解學生一般化所用之策略，做為教導一般化解題之參考。三、比較學生一般化之策略，探索影響一般化策略運用與表現的原因，做為改進一般化教

學之依據。

貳、文獻探討

一、一般化的定義與進展

Dreyfus (1991)視一般化為：對特殊案例進行推理或化約，辨識出其間的共通性，並正確的

擴展到更大的案例上。Kaput (1999)則將一般化定義為：對數學問題擴展的可能範圍加以推理與

溝通，能明確的辨識與說明不同樣式的共通性，轉移推理與溝通至更大層面的樣式或情境。以

Kaput(1999)的觀點來說，一般化可定義為連結最少三種活動中某項的參與：(1)辨識不同例證之

間的共通性，(2)擴展某人的推理，以超越原初的範圍，或者是(3)從特殊的例證中衍生出較廣泛

的結果。從上述的定義可以理解：學生進行一般化的學習，需要能正確的辨識問題變項的意義，

有效運用合宜的策略加以推理、歸納，使問題情境中的變項能以規則或結構的方式呈現關係。

因此，一般化可視為是規則的創造，類似歸納的觀念，但也能描述成物件共通性的確認；一般

化也可視為是擴展的歷程，或是將推理的範圍超越所見的案例。不管是規則的創造，或是推理

的擴展，這些表現都會連結到數學概念抽離的過程，因此一般化的學習具有數學教育的價值。一般化的作業及運用算式解決數學問題，僅在小學高年級階段的課本才開始出現概念性理

解和代數技巧的操作。雖然一些數學問題可用代數算式加以解題，但學生常被教導算術的方式

而忽略代數的應用，所以對如何藉由一般化的步驟產出規則，師生並不熟悉，加上教科書、教

師對樣式及其特質與操作，會採取廣泛和不一致的探究取向，因此，對學生而言，從樣式到代

數的學習呈現出艱鉅的挑戰。一般化對學生轉化至代數思考解題而言，被視為是種有力的媒介，因為透過它可將數學問

題的變化連結到一種數量的推論，建立代數符號意義的能力。一般化如何進行？Rivera(2010) 根據一般化的定義，採用系統化的方式說明學生如何在一般化的歷程中進行推理，建立了一般化

之歷程模式(圖 1)。


圖 1 一般化歷程的推理行動

圖 1 顯示，擴展階段位於一般化歷程的核心，決定推理的方向與運用策略解題的關鍵，學

生在探索合理的規則時，可同時說明已知階段，並採用不完整的樣式範例以建構未知階段。擴

展階段指的是學生以不同範例的樣式做為基礎，提供解釋性的假設，包含對樣式範例中相關要

素的辨識、要素關係的組合、樣式類型的臆測，然後進行樣式擴展及重複檢測，亦即歸納階段，

進而能確信規則或進一步發展另外的擴展。當規則確信後，一般化就產生，隨後促進學生處理

更遠之一般化的作業。由此可知，在擴展階段，學生若能採用有效的策略，找尋變項變化的線

索，推演正確的規則，將能有效的進行解題。一般化包含檢驗存在於範例情境間之多樣的數量，描述他們的關係，理解變數及不變數的

條件，為代數符號提供意義。最近的研究指出，小學學生能夠應用函數進行推理並發展一般化

(Bishop, 2000; Blanton & Kaput, 2002; Kieran, 2004; Stacey, 1989)，一些研究也對學生用來發展代

數一般化的策略提供啟發(Healy & Hoyles, 1999; Stacey, 1989)。一般化能力的發展，可透過作業

情境的安排加以培養。然而，有關問題的結構與運用何種一般化策略解題之間關聯的研究非常

稀少，對於教師一般化的教學與課程設計者而言，此種知識是非常重要。因為影響推理和應用

策略的特定因素若能被辨認，就能提升中、小學學生一般化的學習，因此對此議題值得深入探

索。

二、學生運用一般化策略之探討

要對數學問題產出成功的一般化，策略的引導非常重要。Stacey(1989)利用線性問題探索學

生一般化的策略，發現學生會以(1)計數的方法(counting method)：從圖形的變化進行數數；(2)差異的方法(difference method)：利用項次階差呈現相同倍數的增長，將項次乘以該差數獲得結

果，可以算式 M(n)＝3×n 為例；(3)整體物件的方法(whole-object method)：將問題中某部分的項

次當成一單位，而乘此單位獲得結果，可以算式 M(mn)＝m×M(n)為例；(4)線性的方法(linear method)：為進行運算，使用包含乘法與加法可辨認樣式的算式呈現問題關係，可以 M(n)＝an＋b 的方式呈現結果。

Lannin、Barker 與 Townsend(2006)也將學生一般化的策略分為：(1)循環(recursive)，(2)差異

(chunking)，(3)單元化(unitizing)，(4)線性(explicit)，這些策略與 Stacey(1989)研究的比較，除所

用術語名稱不同之外，其定義與內涵相去不遠，其比較如表 1 所示。

已知階段 (先備知識)

擴展 (形成假設)

處理未知數

(形成算式)歸納

(測試假設)

一般化 (解題)


表 1 一般化策略之說明

策略說明與 Stacey(1989)策略的比較

明確化明白項次之間的差異值與項次之間的關係，以符號代表變

數，形成代數式，將欲求項次代入算式即能求出其數值，

例如 Y＝4A＋3，A 代表項次，代入後即可求得其值。

類似線性的方法

單元化發現某段落之項次呈現相同結構，將這些項次組合成成為

一大單位，例如，5 個項次總共相差 28，10 個項次則相差

28×2＝56。

類似整體物件的方法

串聯已知道項次間的差異值後，以問題所描述的最近項次的值

為基礎，以連續的加減法計數的方式算出欲求項次的值。

例如知道每日騎車 50km，第 7 天時剩下 400km，那麼第

11 天則剩下 400－50×4＝200km

類似差異的方法

循環依據項次間的差異值，連續加法或減法去描述另外項次的

值。類似計數的方法

Lannin、Barker 與 Townsend(2006)認為在一般化的歷程，學生所應用的策略具有認知層次

上的差異，但從循環至明確化的歷程是種連續體的展現，學生可能會依作業的步驟而逐漸提升

單一策略運用的層次，亦有可能同時出現融合數種策略轉化解題的現象，這需視學生對數學問

題理解的情形與本身解題經驗而定。為蒐集資料與解釋之便，本研究參酌 Stacey(1989)提出之一

般化分類之模式，將「整體物件」改成 Lannin、Barker 與 Townsend 之「單元化」，利用「計

數、差異、單元化、線性」此模式對學生一般化歷程產出之行為進行分析。哪些因素會影響學生一般化策略的應用？Lannin, Barker 和 Townsend(2006)認為有：1.認知

的因素，2.作業的因素，3.社會的因素。認知因素中的洞察結構能力，被指涉當成「數學的心智

模子」之一部分；另一個是先備知識，先備知識自動轉化至新奇的情境可明確協助一般化的進

行，且會發生更數學化的傾向；另外，後設認知及批判思考的心智習慣也是非常重要。作業的特徵包含 1.表徵的供應，2.自變項的值，及 3.作業的數學結構。如何讓學生辨識問

題、正確推想，獲得一般化的能力，是數學概念連結與發展的重要議題(Nathan & Kim, 2007)。Nathan 與 Kim(2007)認為運用某概念之不同表徵可以幫助學生理解數學概念，呈現樣式的方法

有兩種形式：圖表與語文，學生必需廣泛、深入學習才能加以利用。根據 Van de Walle(2004)的看法，使用圖解、表格、語文的描述來檢驗相同的問題，具有潛在的優點，但各項表徵的運用

仍有不足之處，以表格為例，學生可辨識單一配對的自(依)變數的樣式，但無法洞察整個表格

一致變化的樣式。不管表徵設計的樣式問題為何，學生皆需將表徵與問題情境，及情境之間彼

此做連結。Healy 與 Hoyles(1999)指出問題情境之間的視覺連結，與符應的符號表徵可當成鼓勵

學生在教學環境，感知明確規則的一項因素。Swafford 與 Langrall(2000)建議，讓學生檢驗巨大

及漸增的輸入值，可提升學生運用線性的推理。Stacey 與 MacGregor(2001)指出許多作業用來發

展線性推理，傾向強迫學生將注意力集中在情境之計數關係，並未提升聰慧策略的運用，因此

鼓勵運用能縮減計數關係的作業，讓學生將重點放在輸入值與輸出值之間關係的建立，讓學生

能檢驗線性的關係。


一般化策略的展示需要採取表徵及操弄的能力，包含辨識和視覺化結構的關係，進行關係

思考，形成解題的策略。若要有效學習代數概念，只有當不同的、合適的表徵，伴隨它們之間

關係轉換與結合，才有可能發展。本研究設計項次階差的值為遞增與遞減相關表徵的線性問題，

提供學生解題，理解學生如何採用合宜的策略進行一般化，做為代數推理研究與教學發展的基

礎。

參、研究設計

根據文獻探討，研究者瞭解個體的認知、作業與社會的因素會影響學生一般化的表現，因

此參酌 Stacey(1989)和 Lannin、Barker 與 Townsend(2006)等人的理念，設計項次階差為遞減與

遞增特質的線性問題，配合文字、圖解與表格編擬「代數推理一般化測驗」，進行團體施測，蒐

集學生一般化表現的資料。測驗後擇取一班學生進行深度訪談，並透過三位專家對訪談資料進

行一致性評斷，以了解影響學生一般化策略選擇、應用與表現的因素。研究架構如圖 2 所示：

辨識一般化策略的應用

圖 2 本研究架構圖

一、研究樣本

研究採用調查法，以瞭解國小學生一般化測驗表現情形，受試樣本為 12 所公立小學(各 3班)6 年級學童 1041 人，扣除無效樣本 44 人，總計有效樣本為 997 人，參與「代數推理樣式歸

納測驗」。測驗完後，進行訪談，從受試班級中選擇一班學生 30 人，針對受試的測驗題目，要

求學生針對不同作答歷程，其作業的內容與思考的方式加以說明，以了解學生一般化歷程如何

採用策略推理與解題，並探討影響其一般化表現的原因。接受本測驗之前，學生已參與「怎樣

列式」、「列式與解題」等代數推理相關單元的教學。

二、研究工具

「代數推理一般化測驗」總計 6 題，包括文字、表格與圖解等三種表徵題目各 2 題，分別

具項次階差的值為遞增與遞減。為理解學生一般化歷程產生的表現與策略應用，參考

Rivera(2010)的一般化歷程模式，將題目之解題歷程設計成 1.尋找項次階差的值，2.推論，3.代數解題三項內容，以蒐集學生解題反應資料：

1. 尋找項次階差的值：要求學生利用提供的訊息發現項次之間的關係，找尋並整合問題之

階差規則的變化，進而計算提問的答案； 2. 推論：整合問題中項次階差變化的規律性，推論較遠項次的答案； 3. 代數解題：針對問題的特性，利用符號代表變項產出算式，進行一般化解題。

線性的策略

計數的策略

一般化表現結果分析

線性問題一般化測驗


在尋找項次階差部分，提供正確解題步驟與答案者，可得 1 分，無作答或錯誤者，不予計

分；推論部分，對延伸的項次提供正確解題步驟與答案者，可得 1 分，無回應或錯誤者不予計

分；代數解題部分，因牽涉算式中變數位置與關係的呈現，能以合宜的算式呈現問題的關係並

解題正確者，可得 2 分(例如 A=8＋3×B)；只呈現算式而答案錯誤，或未呈現算式但解題正確者

可得 1 分，未表達算式而且解答錯誤者，則不予計分。6 道問題全對者可得 24 分，分數越高，

表示在一般化測驗上的表現越好。有關試題內涵與施測目的如表 2 所示：整體測驗之 Cronbach α值為.93，各試題 α值分別為.86、.90、.82、.86、.79、.90。主成分

因素分析 KMO 值統計量為.91，顯示具良好之因素分析適合性，各試題的粹取負荷值分別

為.83、.84、.88、.89、.98 和.86，題目皆具有高度的影響力，顯示為一可用之評量工具。

表 2 代數推理一般化測驗內涵與施測目的

題號測驗內容施測目的 1 銀行提款問題：特徵為文字線

性遞減，正確算式為 A=5000－200×B。

明瞭學童是否能從文字說明命題中，找出常數為

5000，差異值為 200 的關係，進而推想解題，並正確

的利用符號列式。 2 綠豆生長問題：特徵為表格線

性遞增，正確算式為 A=8＋3×B。

明瞭學童是否能從數值表格命題中，找出常數為 8，差異值為 3 的關係，進而推想解題，並正確的利用符

號列式。 3 彈珠分送問題：特徵為表格線

性遞減，算式為 A=800－40×B。明瞭學童是否能從數值表格命題中，找出常數為

800，差異值為 40 的關係，進而推想解題，並正確的

利用符號列式。 4 騎車旅遊問題：特徵為圖解線

性遞減，算式為 A=750－50×B。明瞭學童是否能從趨勢圖解命題中，找出常數為


利用符號列式。 5 購買圖書問題：特徵為圖解線

性遞增，算式為 A=350 ＋

100×B。

明瞭學童是否能從趨勢圖解命題中，找出常數為


利用符號列式。 6 水池注水問題：特徵為文字說

明線性遞增，算式為 A=2000＋200×B。

明瞭學童是否能從文字說明命題中，找出常數為

2000，差異值為 200 的關係，進而推想解題，並正確

的利用符號列式。

三、資料分析

資料分為兩部分處理，有關學生紙筆測驗部分，首先將受試學生在測驗的反應加以檢視是

否符合作答的標準，再進行正確人數百分比統計與成對平均數 t 考驗，以分析問題難易度與表

現之關聯；第二部分除分析正確者之表現外，另透過對 30 位學生進行訪談，逐步對問題中之尋

找項次階差、推論與代數解題等使用策略的說明，經過文字稿轉譯編碼、整理、分析，配合

Stacey(1989)之一般化策略類型，形成研究結果。研究者將所有受試訪談的資料進行編碼轉譯，

例如【小英 WCL】代表小英，在有關文字一般化問題(W)產出「正確」(C)「線性策略的說明」

(L)反應；【小雄 TFA→L】代表小雄，在表格一般化問題(T)產出「錯誤」(F)「計數至線性策略

轉化的說明」(A→L)反應；【小玉 GCA→D→L】則代表小玉，在圖解一般化問題(G)產出「正確」


(C)「計數至差異在至線性策略轉化的說明」(A→D→L)的反應。關於質性資料的分析，研究者解讀蒐集的資料，以發現研究內容的關係，並排除與研究無

關的部分，進行資料分類的工作，透過訪談錄音(影)呈現的場景、研究對象調查資料的解題記

錄，與三位國小教師的審視討論，表徵學生在三項測驗的反應。最後進行報告撰寫，並透過學

生測驗表現、影音檔案、分類資料與三位國小教師觀點進行三角檢定，以使研究能從不同的向

度更確實與多元的檢視出學生的解題方式與想法，獲得一致性的闡釋。

四、實施步驟

配合國小六年級數學單元「怎樣列式」教學活動，先行由參與研究之班級教師進行「用符

號代表數」、「等式關係」與「等量公理」等內涵的教學，時間為 6 小時。另方面參考文獻，編

製代數推理一般化測驗工具進行測驗，經過預試、修正後，於 2007 年 12 月至 2008 年 1 月期間

正式施測，採取團體測驗方式，實施時間以學童皆能完成調查作業為主，約為 40 分鐘。施測過

程，先說明測驗目的、作答方式，要求學生盡可能將其思考內容利用文字、符號或圖解表達，

且每題都需作答，不能遺漏。測驗完後，研究者針對受試表現較佳且正確反應人數較多(6 人)的一班學生 30 名，進行個別訪談，訪談內容為代數推理測驗時學生反應的解題結構、運算過程、

特殊解題策略與算式運用情形，每位訪談時間約為 40 分鐘，全程錄音、錄影。

肆、研究結果

研究結果分為一、學生對線性問題一般化之表現，二、學生一般化策略比較等加以分析說

明。

一、學生對線性問題一般化之表現

(一)各試題解題表現分析

學生對各試題之表現分析如表 3 所示。學生對各問題正確反應的比例為 18.9%至 26.4％間，六題完全正確者有 8.9%。由此結果可以瞭解，參與本研究之受試學生正確一般化的比例不

高，甚多比例的學生在運用符號呈現代數解題部分產生困難，大部分學生無法正確列出算式進

行解題，亦即學生對具體變化的數量轉換成抽象的符號，歸納成數學算式進行解題之表現不佳。

表 3 學生在各試題表現之描述性統計分析

項目平均數標準差正確者次數(人) 百分比(%) 第一題 2.13 1.31 263 26.38 第二題 2.01 1.28 229 22.97 第三題 1.59 1.49 201 20.16 第四題 1.81 1.34 204 20.46 第五題 2.11 1.27 242 24.27 第六題 1.66 1.42 186 18.66 整體測驗 89 8.93


表 4 針對試題性質加以分析，發現學生對線性遞增問題(第 1、2、5 題)一般化的表現，較

線性遞減的問題(第 3、4、6 題)反應佳，且達顯著水準。由於線性遞增問題在國小教科書裡較

常出現，在解題經驗上對遞增問題較為熟悉，因此正確一般化的表現較佳。另從學生不同表徵

問題解題的表現加以分析，發現問題之困難度由容易至困難為 1＜5＜2＜4＜6＜3，此結果顯示

出學生對不同表徵問題一般化的表現不一致，以文字題而言，第 1 題(遞增)表現較佳，然而在

第 6 題(遞減)則顯示出困難，表徵類型對學生一般化的表現而言，並無像線性遞增或遞減此因

素影響顯著。推論原因在於本研究要求學生之一般化的表現，最後需以算式方式進行解題，文

字、表格或圖解之樣式題目，只提供學生一般化過程初期樣式視覺的刺激而已，至轉化到解題

獲得正確答案，尚有繁複之推理與策略應用的中介歷程，因此無法顯示出對一般化結果的影響

程度。而不同表徵問題如何影響學生對樣式活化的程度，與推理或解題策略的選擇和應用，是

重要的議題，有待日後深入探討研究。

表 4 不同作業性質問題成對平均數比較分析

項目比對平均數標準差 t 值顯著性難易度第一題(+) - 第二題(-) .12 .89 4.25

※※

第一題(+) - 第三題(-) .54 1.18 14.48 ※※ 第一題(+) - 第四題(-) .32 1.12 8.91 ※※ 第一題(+) - 第五題(+) .02 1.24 .38 無顯著第一題(+) - 第六題(-) .47 1.12 13.22 ※※ 第二題(+) - 第三題(-) .42 1.08 12.33 ※※ 第二題(+) - 第四題(-) .20 .97 6.46 ※※ 第二題(+) - 第五題(+) -.10 1.20 -2.75 ※※ 第二題(+) - 第六題(-) .35 1.05 10.56 ※※ 第三題(-) - 第四題(-) -.22 1.18 -5.98 ※※ 第三題(-) - 第五題(+) -.53 1.36 -12.23 ※※ 第三題(-)- 第六題(-) -.07 1.19 -1.88 無顯著第四題(-) - 第五題(+) -.30 1.18 -8.05 ※※ 第四題(-)- 第六題(-) .15 1.00 4.78 ※※ 第五題(+) - 第六題( .45 1.17 12.22 ※※

1＜5＜2＜4＜6＜3 1與5無顯著

差異，6 與 3無顯著差異

※※p＜.01 ※(+)表示線性遞增問題，(-)表示線性遞減問題

(二)學生對數學問題一般化採用之策略

歸納代數推理一般化測驗表現皆正確學生(89 名)採用的一般化策略，經分析後可歸納為 1.計數、2.差異、3.線性三種，其策略表現如表 5 所示。

從學生對問題表徵情境與運用的數字等式加以分析，將其一般化的策略說明如下： 1. 計數策略：學生會從問題情境，洞察各項次之間輸出值的變化，以問題最後項次的值為

基礎，將變化的數值累加得出欲求項次的值。如表 5 所示，學生從問題的情境，得出每

單位(例如每月、日)數值的變化，以此推演出第 8 個月圖書的數量，或第 8 天豆苗成長

所欲項目的數值。


2. 差異策略：理解每項次增加或減少的數值呈現固定的變化，利用乘法方式，將幾個項次

變化之數值加乘起來，推演欲求項次之數值。例如，學生發現每日騎車 50 公里，4 天能

夠騎 50×4＝200km，第 11 天剩下的距離就用第 7 天的距離減去 200km； 3. 線性策略：明瞭問題中輸入值與輸出值之間的關係，利用符號代表變項，當成情境變化

的係數，透過代入欲求項次之數字獲得解答。例如，發現每日所騎的 50km 是一固定變

化的數值，剩下的路程與所騎的天數有關，因此，將問題關係轉化成 B＝750－50×A 的

算式進行推理計算與說明。

表 5 學生採用一般化策略解題之說明

策略表徵的情境數字等式線性透過連續連結的技術，以情境的視覺表徵

作為建構基礎，轉化算式的關係解題，例

如每日騎 50km，將每日騎車的 km 數乘以

8，再用原有的 km 數減去騎完的，就是剩下的。

以輸出值的數字樣式作為基礎，配合

數字規則變化進行運算，例如 2 日減

少 80 顆彈珠，5 日減少 200 顆，所以

每日減少的彈珠數目可乘以 40。算式

為 A=800－40×B。差異以圖解的關係做為建立的基礎，在欲想之

屬性的已知數值上加上一個單元。例如，

從圖解的趨勢變化知道每日騎車 50km，

第 7 天時剩下 400km，那麼第 11 天則剩

下 400－50×4＝200km

透過表格值的推論，建構計數的樣

式，在欲想屬性已知的值上面加上一

個單元數。例如，已知豆苗每日高度

增加 3 ㎝，第 11 天的高度是第 8 天高

度再加上 3 ㎝乘以 3。算式為 32＋3×3＝41。

計數描述一發生在自變項連續值情境中之相

關的視覺關係，例如每月增加圖書 100本，第 6 個月時已有圖書 950 本，第 8 個

月的書本數量，就是 950＋100＋100＝1150 本。

注意自變項連續值結果的數字樣式，

例如，豆苗每日成長 3 ㎝，第 5 天高

度為 23 ㎝，第 8 天高度則為 23＋3＋3＋3＝32 ㎝。

本研究發現學生並未出現以整體物件(單元化)的策略進行一般化，即將某範圍項次的數值

當成一個單元，然後運用此單元的乘積建構一個更大單元的數值進行解題。探究原因在於本研

究設計的測驗作業結構，不易激發學生思考採用單元化的策略進行解題。此項結果與

Bishop(2000)與 Stacey(1989)的觀點一致，即問題是否具備顯著的樣式特徵，會影響學生如何進

行一般化的推想，若要讓學生能夠將多元有效的策略呈現，一般化問題的設計則需特別加以思

考。再從訪談班級中 6 名正確表現學生提供之反應說明，歸納出學生對問題一般化歷程，其策

略轉化的途徑，如表 6 與圖 3 所示：


表 6 正確解題者一般化策略運用的表現

學生試題小賢(男) 小誠(男) 小凱(男) 小琳(女) 小萱(女) 小佑(男)

1.文字遞減線性策略線性策略線性策略線性策略線性策略線性策略 2.表格遞增計數→差異

→線性線性策略計數→線性

策略線性策略線性策略計數→差異

→線性 3.表格遞減計數→線性

策略線性策略計數→線性

策略計數→線性

策略線性策略線性策略

4.圖解遞增計數→線性

策略線性策略計數→線性

策略線性策略線性策略線性策略

5.圖解遞減計數→差異

→線性計數→差異

→線性計數→差異

→線性計數→線性

策略計數→線性

策略計數→差異

→線性 6.文字遞增線性策略線性策略線性策略線性策略線性策略線性策略

從表 6 及圖 2 的資料可以發現： 1.學生針對不同表徵問題會採取不同的一般化策略解題以文字表徵問題而言，由於文字說明呈現的數值變化，可讓學生理解並轉化成規則關係，

在一般化歷程開始至結束，即可運用線性的策略進行推理解題。而面對表格及圖解樣式問題時，

需尋找並建構自變項、依變項之間的關係，因此在一般化歷程的初始，會針對輸出值與輸入值

的變化，找尋每一項目變化的規則，採用計數的策略進行推理解題，等嘗試探索過後，理解問

題中變項之間的關係，將它一般化形成等式關係，採取項次之數值代入較遠項次的探索與擴展，

獲得解答。

圖 3 正確解題者一般化策略之轉化

2.一般化歷程策略的轉化具有認知層次的差異學生針對圖解與表格之問題情境，為達解題目的，會根據作業結構先行嘗試以計數策略尋

找問題變化之規則，等確認其變化的關係後，則利用差異或線性的方法直接解題，省略甚多認

知資源的負荷，其對問題所用之策略的轉換，如 Lannin、Barker 與 Townsend(2006)強調的具有

認知層次的差異。從學生展現策略的分析，可知解題成功者，甚多可轉換策略至線性策略的模

式解題，而失敗者，則採用需運用較多認知資源之較低層次之計數策略，或是往更加精細之策

略轉換時產生困難，以致解題錯誤。

差異策略線性策略

線性策略

計數策略線性策略

等式解題

推論

尋找項次階差

表格及圖解問題文字表徵問題


二、學生一般化策略之比較

本節以受訪學生在文字、圖解與表格問題應用一般化策略的說明進行分析，結果如下：

(一)文字問題一般化策略之比較

由於學生在文字題第 1 題(遞增)一般化表現較佳，其策略較無差異，此處以第 6 題(文字遞

減)為例，加以說明一般化策略的應用與比較。 1.正確者策略分析針對文字表徵問題，小賢等六名學生都採用線性策略進行解題(圖 4)，在尋找項次階差部分

填上 3000，他解釋題目已告知每週提領 200 元(階差)，10 星期提領 2000，5000－2000＝3000，就是存摺剩下的錢數。他說明 200 為每週提領的錢數，剩下 200 元，表示提領 4800，因此除以

200 就可以得到週數 24。【小賢 WCL】但小賢在呈現算式時，他對符號代表的意義產生疑惑，寫下 A÷200＝B(B 是星期數)，再看

題目，發現所寫的式子中的 A 與 5000 元意義不同，因此劃掉再寫下(5000－A)÷200＝B 的式子。

圖 4 小賢對文字問題之解題表現

2.錯誤者策略分析小軒從頭開始就誤解題意，忽略題意的說明，採取錯誤的推想(圖 5)，他解釋 5000 表示存

摺裡已有的錢數，B 表示星期數，A 是所有的錢數(將原有的錢數代表 A)，因為每星期都有 5000元，所以在第 10 個星期就有 50000 元。【小軒 WFL】

研究者問他：每星期有無提領錢數 200 元，小軒肯定的說「有」，但卻無法將問題中的變項

關係予以釐清，因此寫下 5200 元，小軒忽略所有項次的差異值，將樣式問題所提供的常數值視

為變數值，採取線性的策略解題，但很明顯的從尋找項次階差至代數解題之間的轉化產生問題，

雖能將符號代表變項處理，但是項目之間的關係混淆，以致產出 A＝5000×B 錯誤的算式。

圖 5 小軒對文字問題之解題表現


(二)表格問題一般化策略之比較

1.正確者策略分析小佑與小凱(圖 6、7)採用多元的策略解決豆苗生長的問題。小凱說明：先在表格右邊的輸

出值上做比較，寫出 3，代表每日豆苗增加的高度，然後寫下 8＋24＝32 ㎝；他們又提出計數

策略證明推想是否正確：第 5 天後連續寫出 3 個 3 代表第 6、7、8 天增加的數值(3 個 3 是 9cm)，然後 23 連續加上 3 個 3，就是 32cm；【小凱 TCA→L】

在推論方面，他們說明 42cm 代表豆苗增加的高度，因為記錄開始豆苗已經有 8cm，50－8＝42，每天長 3cm，所以是 14 天。在代數解題方面，小佑寫下 3×B＝A 算式，後來發現錯誤(忽略豆苗原有的高度)，再寫下 11＋3×B＝A(誤解原高度是 11cm)，他將數值帶入算式中的 B，驗

證答案是否正確。後來發現原來高度是 8cm，然後劃掉 11，改成算式為 8＋3×B＝A。【小佑 TCA→D→L】

圖 6 小佑對表格問題之解題表現

圖 7 小凱對表格問題之解題表現

對於線性遞減的問題(圖 8)，小佑的說明採用表格數值比對的方式推想增加的變化值，得知

每天會減少 40 顆彈珠，即採取線性的策略進行解題。【小佑 TCL】小凱說明觀察表格後，在第一、二項次間寫 20，第二、三項次間寫 40，第四、五項次間寫


上 60，發現關係錯誤後擦掉改成 40，一直至最後項次寫上 300，但發現有錯誤，將最後項次改

為 200(圖 9)，等釐清關係後，即用線性的策略進行解題。【小凱 TCA→L】

圖 8 小佑對表格線性遞減問題之解題表現

圖 9 小凱對表格線性遞減問題之解題表現

2.錯誤者策略分析對於線性遞增的問題，小軒將常數項的值視為增加的變數值，採用線性的策略進行運算(圖

10)，他說明豆苗開始的時候是 8cm，每一天都會長 8cm，所以第 B 天，豆苗的高度就是 8×B。【小軒 TFL】

小慈雖可以從表格項目數值的比較得出每日會增加 3 ㎝(圖 11)，但忽略豆苗原有高度，因

此填上答案 24 ㎝；在推論方面，則將最接近推想項次的表格數值做為總數(減去 11cm)，然後除

以命題之間變項的差異值(3)，獲得解題項目的答案(13 天)；將最近項次的數值當成總數，使其

列出錯誤的算式 23＋3×B＝A，他說明：第五天時，綠豆有 23cm 高，而他每天增加 3cm，在第

B 天的時候，可以長高 3×B，再加上 23cm，就是那時候的高度。【小慈 TFA→L】


圖 10 小軒對表格問題之解題表現

圖 11 小慈對表格問題之解題表現

(三)圖解問題策略之比較

1.正確者策略分析小賢對圖解遞減問題運用計數的策略解題：他說明觀察圖解後(用筆指出圖解中的點，然後

移到下方數字觀察，在第一項次寫下 50，接著，在第二與第三項次處寫下 100，寫下 50×4＝200，750－200＝550)，接著看圖解寫下 11 天，指著圖解說明七天後剩下 400，九天後剩 300，11 天

候就剩下 200(並將點畫出，並對照 200 處將他圈起來)，接著寫下算式 750－50×B＝A 並在 B 處

代入數字進行驗算(圖 12)。【小賢 GCA→D→L】小凱則在點之間寫上 50，把座標上的點全部點出，接著在左邊奇數欄文字之後寫上 50，然

後說明第三和第五天兩點間，配對的數字是 550，然後在左邊文字欄位寫上第 9 天、第 11 天，

配對下方的數字，指出第 11 天的位置。接著寫下算式 750－B×100＝A，後來發現 100 是錯誤

的，改為 50(圖 13)。【小凱 GCA→D→L】

圖 12 小賢對圖解線性遞減問題之解題表現


圖 13 小凱對圖解線性遞減問題之解題表現

小誠也利用相似的策略解題，他指著圖 14 回答，第 4 天是 550(在第三天與第五天間)，然

後在下方列位置中間寫上數字，再寫下 750－550＝200，接著，在座標圖上點出點，並在左方

對應位置上寫下 9 和 11，做解釋(5 至 7 天相差 100，7 到 9 也相差 100)，所以 11 天時再少 100就剩下 200km。【小誠 GCA→D→L】

圖 14 小誠對圖解線性遞減問題之解題表現

針對圖解線性遞增的問題，小凱將趨勢圖的線段延長以計數策略解題，他說明第 6 個月時

是 950，每月增 100，所以第 11 個月再增加 200，就變成 1150(圖 15)。【小凱 GCA→L】小誠則利用線性的策略進行一般化的推想，並代入數字加以驗算，以證明所列之算式是否

正確(圖 16)。【小誠 GCL】


圖 15 小凱對圖解線性遞增問題之解題表現

圖 16 小誠對圖解線性遞減問題之解題表現

2.錯誤者策略分析針對線性遞減的問題，小慈將表格資料中第一項次的數值當成常數項運算，他解釋第一天

剩下 700km 的路，每天都要騎 50km，第 B 天時騎 50×B，因此式子是 700－50×B＝A(圖 17)。【小

慈 GFA→L】小慈可以正確的推想各命題變化的數值，但在常數項的認定上產生錯誤，以致於產出的算

式也錯誤，反過來影響在「探索」推想階段的答案。

圖 17 小慈對圖解線性遞減問題之解題表現


小東也將問題所提供的第一個項次的數值當成是常數項的數值運算(圖 18)，雖可辨識並解

出命題之間的差異，但對常數項錯誤的認定，使其答案依然錯誤，他說明：從表格可以看到圖

書館每月會多存 100 的書，第 8 個月時就多存了 100×8＝800 本的書，加上第一個月時已經有

450 本的書，總共有 450＋100×8＝1250 本。小東將第一道命題呈現的數值視為是常數值，雖然

推想步驟是正確的，但在開始時無法辨識正確的常數值，使其解題的答案產生錯誤。【小東 GFA→L】

圖 18 小東對圖解線性遞增問題之解題表現

總結上述學生在文字、表格與圖解等不同表徵問題運用正確與錯誤一般化策略的比較，如

表 7 所示。

表 7 一般化歷程解題策略之比較分析

一般化正確的策略一般化錯誤的策略內容文字表徵問題尋找項次階

差將前後項次的數值相減後，依間距比例算

出差異值，按命題採用計數或線性策略進

行推想計算

將問題之常數視為項次之差異值，採用

計數或線性策略進行推想計算

推論明瞭問題變化的數值與項次的關係，採取

線性策略進行推想計算

以問題之常數值當成項次變化值採取

線性策略，進行推想計算代數解題以算式關係進行所欲項次數值的推想以錯誤的變項關係形成算式推想計算內容表格表徵問題尋找項次階

差以表格前後項次的數值相減後，依間距比

例算出差異值，採用計數或線性的策略進

行推想

忽略常數項數值，僅利用增加之數值，

或將常數值視為變數值，採用計數或線

性的策略進行推想推論按項次順序逐漸加總數值，或以變數值差

異或線性的策略進行延伸推想計算

將第一個項次的數值當成算式中的常

數項，以數值差異或線性策略進行推想

計算代數解題以算式關係進行所欲項次數值的推想以錯誤的變數關係形成算式推想計算內容圖解表徵問題尋找項次階

差以線性函數方式推演，透過圖解之線段延

伸採取計數策略推想答案

將第一個項次的數值視為常數項，採取

線性策略推想運算推論以橫、縱座標前後命題的數值相減後，依

間距比例算出所欲項次延伸之值

將第一個項次的數值視為常數值，採取

線性策略，進行推想運算代數解題以算式關係進行所欲項次數值的推想以錯誤的變項關係形成算式推想計算

從表 7 解題策略的比較與描述可以得知：一般化解題正確與否，與學生對於問題中的變項


關係是否理解與否，有密切的關連存在。一般化成功正確的學生可從線性問題中，透過循環、

差異與線性等策略進行推理與臆測，歸納出自變數、依變數數值的變化，總結項次階差的數值，

釐清變項與常數之間結構的關係，進而以算式表徵數學問題解決更遠項次之問題；而一般化失

敗之學生則對問題所欲求之目的混淆或誤解，無法掌握問題中關鍵的變項線索，只欲求答案得

出，傾向將注意力集中在情境之計數關係，致使一般化歷程中所需應用到的推理方式、解題策

略無法有效的與解題目的連結。這如 Stacey 與 MacGregor(2001)指出的，許多學生對於線性推

理的作業，常將重點放在答案計數上，並未運用聰慧的一般化策略，總結歸納問題變化的規則

與結構關係。因此要改進學生一般化錯誤的表現，提升其一般化成就，可設計能縮減計數關係

的作業，例如巨大及漸增的數值，運用線性推理，讓學生將重點放在輸入值與輸出值之間關係

的建立，讓學生配對及逐步檢驗變項的關係，以發現問題結構變化的規則，進而整合呈現代數

解題，以達成一般化教學的目的。

伍、發現與討論

本研究旨在探討學生對線性問題一般化之表現，瞭解學生一般化之策略，比較學生在各問

題正確與錯誤一般化之策略，探索學生一般化作業錯誤產出的原因，做為改進一般化教學之依

據。基於研究結果，可得出下列三點發現：

一、學生以線性遞增問題一般化之表現較佳

本研究結果發現，學生在一般化測驗之表現，每題正確解題的比例為 18%至 26%，其中以

線性遞增問題(第 1、2、5 題)表現較佳，而線性遞減問題則表現較為困難。線性遞增與遞減作

業呈現方式，明顯影響學生一般化的表現。接受訪談的學生認為，線性遞增的問題，與學習經

驗相符應，透過「往上加起來」循環方式進行推理，很容易獲得解答；而線性遞減問題，雖因

數值隨著項目漸增而減少，但要符合題目要求的答案仍需再行轉換(例如高度與天數不同單位的

轉化)，讓學生容易忽略問題的目的並產生錯誤，致使需付出更多的認知資源處理問題，因此，

線性遞增的一般化表現較線性遞減表徵問題佳。另研究發現，學生對不同表徵問題一般化的表現並不一致，其表現正確與困難與線性問題

之遞增或遞減特質較有關聯。研究者認為這些表徵可提供學生樣式規則視覺化搜尋比較的線

索，但要正確解題，仍須有繁複推理與歸納關係的能力協助，才能正確完成一般化的作業。如

Presmeg(1986)的宣稱：只有知覺化是不夠的，它必須被用來當成分析推理的要素，學生具備呈

現出知覺推理的傾向，只能當成在解題初始感知變項發展的一種可能的策略，或當成一種分析

方法的補充而已，由研究發現，學生能透過知覺將各項次的物件予以「單位化」，以進行樣式的

推理，然而在物件結構與項次關係的連結上產生困難，導致符號化解釋與說明的行動錯誤，亦

即「結構化」的步驟發生落差。從訪談結果發現，學生雖然瞭解問題意義，推演變項發展趨勢，但利用算式表達問題關係

進行解題，確有困難產生，值得教師在一般化教學歷程，對學生數學符號概念的轉化與關係結

構的整合加以著墨。在實際的教學上，研究者建議可透過一般化之「尋找項次階差」、「推論」、

「代數解題」三階段問題設計的解答需求，刺激與擴展學生推理與策略應用的表現，配合學生


經驗及先備知識的基礎，將表徵活動予以適切安排，按部就班循著階段前進，透過解題要求的

激發，誘導學生正確概念的顯現。亦即教師進行一般化教學時，可將活動設計予以階段化，協

助學生進行數學概念的推演，以培養其洞察解題線索的習性與方法。

二、學生能利用計數、差異、線性等有效多元之一般化策略進行轉化與解題

根據學生解題策略比較發現，對於提供之表徵問題正確解題的學生，能流暢的運用像是計

數、差異等多元的一般化策略，並能依據問題的需求適時做策略的轉化；而解題錯誤的學生在

問題初始之「尋找項次階差」階段，就亟欲採用線性的策略解題，然此策略運用時需具備充分

的認知能力，明瞭問題中變項的關係，若沒有配合像計數策略的運用進行逐次推理，立即嘗試

運用線性策略，容易產生解題失敗。一味想計算出答案，固著於解題模式，使思考限於單一化，

這在其他數學解題表現的研究亦發現(Knuth, Stephens, McNeil, & Alibali, 2006)。Knuth 等人(2006)發現學生受限於運算概念的影響，對問題只以運算出結果作為正確與否的考量，而未考慮問題

中之物件或變項之間的關係，所以容易產生錯誤。為提升學生一般化表現，促進其策略的連結

與應用，在學習過程，可提供不同表徵、結構與脈絡之問題，鼓勵學生思考運用多種解題策略，

並討論每種策略之優缺點，讓學生瞭解策略運用的時機及功用，增進學生解題經驗。

三、常數與變項意義的混淆影響學生一般化策略應用與正確表現，可透過能縮減計數關係的作業協助辨認與解題

本研究發現，一般化失敗，與學生缺乏對樣式規則解釋的能力有關，其中問題的理解與說

明，對數學概念的形成與建構，有深層的影響，這與 Kieran(2004)的研究發現一致。從結果得

知，解題錯誤者最常出現的行為，是將問題結構中的常數與變項混淆或忽略，因為無法確認常

數與變項在問題中代表的意義，即便可覺察並計算項目變項的差異值，但無法將它安置於要求

之算式中正確的位置上，將變項關係做合適的連結。根據訪談結果，瞭解學生常將思緒侷限於

單一變項關係的探討，忽略次一項目或更遠項目關係的擴展或連結，因此就單一表面的結果「以

偏蓋全」解釋整個問題的結構，以致解題錯誤。這如 Stacey 與 MacGregor(2001)指出許多作業

用來發展線性推理，傾向強迫學生將注意力集中在情境之計數關係，並未提升聰慧策略的運用

的現象類似。此表現顯示許多學生欠缺推理思考的方向與技巧，亟需在教學實務上予以教導並

建立心智習慣，因此可鼓勵學生運用能縮減計數關係的作業，讓學生將重點放在輸入值與輸出

值之間關係的建立，檢驗線性的關係。解題正確者在一般化的歷程，亦有上述錯誤者混淆變項和常數項的行為出現，但發現這些

學生能透過動作姿勢的協助，配合問題表徵之特質，搜尋解題線索與變項關係，與自我監控能

力的運用，最終能發現錯誤所在而調整修正。因此提升學生對一般化問題的理解，影響因素除

作業結構、認知能力外，學生省思監控的認知能力亦是一項重要要素，如何將學生對樣式問題

的視覺化正確轉化成數字關係，可設計能縮減計數關係的作業，並持續注意正確算式的完成，

輔助驗證結果，未來的研究可以探究促進的機制為何。總結本研究發現與建議，利用線性遞增設計的樣式問題，可提供教師未來數學課室一般化

教學有關之材料的選擇安排、教學方法的精進與改善的依據；另外，學生一般化歷程策略的應


用與轉化，可作為教師引導學生推理的方法與解題步驟的思考；而學生在一般化作業歷程對常

數與變項混淆因素的明瞭，可協助教師對學生代數推理認知發展、概念引導、學習輔導與評量

方式等有效的掌握，進而提升學生學習成效，並做為教師專業發展實用之內涵。

參考文獻

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六年級學生線性樣式問題...

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