研究テーマ「凸レンズがつくる実像を探る ～同時に３つの実像が存在していた～ 」

宇土高校科学部物理班 吉村泰河(1 年) 北園文華(2 年) 浦田祥伍(1 年)

＜研究の概要＞

活動中、凸レンズの焦点距離を測定す

る際に、凸レンズ付近に見える複数の像

の中に、浮かび上がって見える２つの像

を発見した。当初は、凸レンズがつくる

像は一つであると思い込んでいたため、

凸レンズ付近に見える複数の像は虚像で

あろうと考えていた。しかし、よく観察

してみると、この像は倒立像で実像の可

能性が出てきたため、この２つの倒立像

の正体を解明することにした。まず、こ

の２つの倒立像がスクリーンに映るかを

検証した。その結果、明るくはないがス

クリーンに映ることが確認できたため実

像である可能性が高くなった。しかし、

スクリーンに映し出してみると倒立像は

直視した場合に比べてあまり明るくなく、

浮かび上がっても見えるため、本当に実像

であるかどうか確信が持てない。そこで、

さらに詳しく検証することにした。まず、

平凸レンズを用いてレンズ前後にこれら

の像が現れるか調べ、検証を行った。次

に、スクリーンに明るく映し出されない

疑問を解決するため、本来の実像を用い

て直視した場合とスクリーンに映し出し

た場合の明るさを比較した。平凸レンズ

や照度計（ルクス計）、光度計を用いて測

定・検証した結果、浮かび上がって見え

た原因は屈折や反射の高次の項による実

像であることがわかった。また、スクリ

ーンに映し出された像が直視した場合よ

りも暗かった原因もわかった。そのため、

凸レンズには３ つの実像が同時に存在す

ることを裏付けた。

１ 凸レンズがつくる像

（１) 実像と虚像

凸レンズでできる像は、レンズを通る３つの

光線に着目して作図をすると求まり、レンズ

の法則

fba

111 （写像公式）

に従うことがわかっている。

焦点の外側に物体があると「実像」（図１）に、

焦点の内側に物体があると「虚像」（図２）がで

きる。

実像････反射・屈折した光が実際に交わって

つくる像。

虚像････反射や屈折によって実際にはない

場所から発せられているように見え

る像。

虚像はスクリーンを置いても観測できないが、

実像はスクリーンに映して見ることができる。

O

焦点 F F’

P

2F 2F ’

P’ f a b

O

焦点 F F’ 2F ’

〔図１〕実像の作図

〔図２〕虚像の作図

（２)凸レンズ前後に映る倒立像

暗室にて、凸レンズを覗き込むよう

に観察すると、比較的明るい倒立像

が凸レンズの前後に確認できる。

＜観察結果＞

・凸レンズの前方 1cm 付近と後方 2.5cm付近に倒立像が現れた。（物体とレンズ間 20cm、焦点距離 14.6cm）

・スクリーンに映し出した倒立像は直視した場合に比べてあまり明るく映らない。

・焦点の内側に物体があっても倒立像は観察できる。（写真１）

・この倒立像は厚みがあり、浮かび上がって見える。

・物体の位置が大きく移動しても、この像の位置や大きさの変化は小さい。

そこで、この２つの倒立像の位置に、スクリ

ーン（すりガラス）を置いてみた。２つとも

像がスクリーンに映ることが確認できた。（写

真２，３）つまり、図３のように凸レンズ１

つで３つの実像が同時に存在する可能性が高

くなったことになる。

〔図３〕倒立像の位置

〔写真１〕後方から直視した虚像と倒立像

（左側が虚像で右側が倒立像）

〔写真２〕スクリーンに映る倒立像を後方から見た様子（左は光源）

〔写真３〕

スクリーンに映しだ

された倒立像の拡大

写真。（直視の場合

に比べてあまり明る

く映らない）

〔図３〕倒立像の見える位置（左は光源）

ここで、便宜上、作図によって求

まる本来の実像を「主実像」、レンズ

の前後に見られる新たな２つ倒立像

を「副実像」とよぶことにした。（図

４）

わかりやすいように電球を物体と

して像のでき方を観察した。（写真４，５）

副実像 副実像

主実像

前方 後方

主実像

副実像 虚像

主実像

副実像

光源

（物体）

光源

（物体）

光源

副実像

虚像

光源

副実像

〔図４〕主実像と副実像

〔写真４〕前方から見たときのレンズ付近に見える像

〔写真５〕後方から見たときのレンズ付近に見える像

２ 平凸レンズ前後に写る像

次に、凸レンズを半分にした形の平

凸レンズを用いれば、何か手がかりが

得られるかもしれないと思い、 次の

２点について調べてみることにした。

①平凸レンズの前後にも「副実像」が

現れるか

②平凸レンズの片面に黒い幕を張っ

ても「副実像」は現れるか

＜仮説＞曲面が凹面鏡のような役割

を果たすと考えると、光源側

に平面があるときのみ前方

に副実像は現れる。

※光軸に平行な光線が平凸レンズに入射す

ると図５のようにレンズの向きによって、や

や収差の差が見られるものの、どちらもレン

ズの後方で実像を結ぶことがわかる。

〔図５〕平凸レンズの結像のようす

（光学設計アプレット OpticalRayTracer で作成）

plano-convex lens

① 平凸レンズの前後にも「副実像」が現れるか

＜結果＞

平凸、凸平の向きに関係なく、レンズの前後に「副実像」が現れた。

光源

副実像

光源

副実像

光源

光源 副実像

虚像

副実像

虚像

〔写真６〕平凸レンズを平凸前方から

見たときのレンズ付近に見える副実像

〔写真 7〕平凸レンズを平凸後方から

見たときのレンズ付近に見える副実像

〔写真８〕平凸レンズを凸平前方から

見たときのレンズ付近に見える副実像

〔写真９〕平凸レンズを凸平後方から

見たときのレンズ付近に見える副実像

平凸

凸平

② 平凸レンズの片面に黒い幕を張っても「副実像」は現れるか

副実像が、後方からの透過光の影響によるものでないかを調べるため、平凸レンズの

片面に黒い幕を張って調べることにした。

＜結果＞

レンズの前方に副実像が現れた。副実像は後方からの透過光によるものではない。

凸平

平凸

光源

副実像

虚像

虚像 光源

副実像

〔写真 10 〕平凸レンズの曲

面に黒い膜を張ったときの前

方から見たレンズ付近に見え

る副実像

〔写真 11 〕平凸レンズの平面

部に黒い膜を張ったときの前

方から見たレンズ付近に見え

る副実像

＜考察＞仮説とは異なり、平凸レンズの向きに関係なくレンズの前後に副実像は現れた。

そこで、この結果をもとにレンズの厚みや反射光を考慮しながら作図を試みた。

図６では、平凸レンズの前方に見える副実像は、凹面が凹面鏡の役割を果たして結像

していると考えられる。後方に見られる副実像は反射を繰り返した２次光や３次光の光

が結像しているものと考えられる。図７は、平凸レンズの曲面が凸面鏡とは考えにくく、

図６と同様に反射を繰り返した光が結像しているものと考えられる。

〔図６〕平凸レンズ前後にできる副実像の作図（平凸） 〔図７〕平凸レンズ前後にできる副実像の作図（凸平）

副実像 副実像

物体 凸平

①

② ③

副実像 副実像

物体

平凸

①

② ③

この平凸レンズの検証に基づいて、凸レンズで作図を試みた。

この図のように考えると、「物体の位置が大きく移動しても、副実像の位置や大きさの変化は小さい」や「焦点の内側に物体があっても倒立像は観察できる」という疑問は、①’、②’の光線を作図すれば解決できる。また、「副実像は厚みがあり浮かび上がって見える」という疑問については、3 次光以降の高次の項を考慮して作図することでレンズの厚みによりわずかに副実像の位置がずれ、浮かび上がって見えると考えることができる。しかし、「スクリーンに映し出した副実像は直視した場合に比べてあまり明るく映らない」という疑問は作図からは判断できなかった。

〔図８〕凸レンズ前後にできる副実像の作図

① 物体

凸平

副実像

主実像

①’

②

③

②’

③’

①

②

①’

副実像

３ 照度計・光度計を用いた光量の測定

（１)照度計（ルクス測定）による光量の測定

照度計は、ルクスを単位とした光量が測定でき

るため、光源との距離 L を測定し、光度計の値を

読むことにした。

＜測定結果＞

L＝1.0ｍのとき IS＝45.7 ルクス（再現性が乏しいため参考平均値）

新品の白熱電球 40 型(485 ﾙｰﾒﾝ；36W)を、暗幕を張った教室で暗箱を使用して新しい

照度計で５０回測定したが、再現性が乏しかったため、断念した。

〔写真 12 〕照度計

〔図９〕照度計による測定図

（２)ジョリー光度計による測定

はじめに… ジョリー光度計とは、左右の光源の光量を同時に取り込み、距離の比から明るさの比を求めるための簡単な装置。比で表されるため、照度計のように光量の絶対量を直接測ることができない。そこで、測定方法を検討し、グラフから法則性を導き、基準となる白熱電球の光束値を求めることにした。

＜測定の際の注意点＞

・できるだけ暗い部屋で測定すること。

・光を反射する反射材を隠すこと。

・目視という人の測定の誤差が入りやすい

ので測定回数を増やすこと。ただし、光

源の光量は徐々に下がるので測定は素早

く行い、電球はこまめに消すこと。

明るさの単位にはカンデラ、ルーメン、ルクスなどがあり、調べてみた。電球までの距離によって変化する光量の単位がルクスで、電球までの距離によらず光源の発する光量で決まるのがカンデラ。ルーメンは光束値。詳しくは右側にまとめた。

〔写真 13 〕上図の左右は光源で、真ん中

にあるのが光度計。左の写真はのぞき窓か

ら見た光度計。光度計は、左右から取り込

んだ明るさが同じならば、濃淡の差は認識

できない。

＜実験方法＞

（準備物）光学台、ジョリー光度計等

基準電球（新品 40 型：36W ）

新品の白熱電球

40 型(485 ﾙｰﾒﾝ；36W)、

60 型(810 ﾙｰﾒﾝ； 54W)、

100 型(1520 ﾙｰﾒﾝ； 90W) を２セット

手作りの暗箱（教室に暗幕を張り、さらに

精度を上げるための箱）

（測定方法）

（ア）基準電球 IS （ 485 ﾙｰﾒﾝ）を固定する。

（イ 暗室の環境下で、左右の光源間は変えずに

ジョリー光度計だけを移動させて、L1、 L2 を

測定する。

（ウ）試料電球 I については、まず、Ａグループの電

球 40 型(485 ﾙｰﾒﾝ)、60 型(810 ﾙｰﾒﾝ)、

100 型(1520 ﾙｰﾒﾝ) で測定する。

（エ）さらに、別の電球Ｂグループに取り替えて、

同様の測定を行う。（２セット用意した理由は、データをより多く取り、精度を上げるため。）

〔図 10 〕光度計

による測定図

〔写真 14 〕手作りの暗箱（光源の光が漏れ

ないようにしてある。）

（３)ジョリー光度計による測定結果

測定結果を次に示す。表のデータは一部で、A グループ、B グループの試料電球を用いて３０回ずつ測定を行った。（データのふらつきが尐なく、電球の消耗を押さえる必要もあることから３０回とした。）

（A グループ電球の測定結果）

A－電球 485 ﾙｰﾒﾝ 810 ﾙｰﾒﾝ 1520 ﾙｰﾒﾝ

平均 L1/L2 0.9701 0.7624 0.6433

A,B グループともに、光束 I が大きくなるにつれて距離の比が減尐した

ものの、比例関係ではないことがわかった。

〔表１〕試料電球を変えたとき

の L1 の値

〔Fig.１ 〕

L1／L2 と I の関係

（４) 　の関係を調べる　と　I2

1

L

L

エクセルを用いて、グラフ機能の累乗関数 　baxy にフィッティングさせたところ、

累乗関数に一致した。

累乗関数は、軸を新しく取り直すと直線式が得られることから、直線になるように操

作したところ、縦軸が 　

2

2

1

L

L、横軸が 　

I

1のとき直線式が得られた。

〔Fig.２ 〕試料電球を変えたときの L1／L2 と I の関係（フィッティング）

同じ 40型の電球にもかかわらずL1とL2の値がAグル

ープと B グループで同じにならないため、不安を感じ、

直線式が必ず原点を通るものなのかを調べた。

そこで、基準電球の光量を変化させたときの理論値を

エクセルで調べたところ、基準電球の光量が変化しても、

傾きが変わるだけで、必ず原点を通過することがわかっ

た。また、グラフの傾きは基準電球の光束値を表すこと

もわかった。

グラフより、

という関係式を導くことができた。

Ik

L

L 12

2

1

比例定数 k：471.9(平均)

〔Fig.３ 〕L1／L2 と１／I の関係（フィッティング）

〔Fig.４ 〕理論的に基準電球の光量を変化させたときの直線式の変化

（５)考察

より比例定数ｋは、グラフ

の傾きであり、基準電球の光束値を表す

と考えてよいので、

より

という関係式を導くことができる。これ

は、ジョリー光度計の説明書に書いてあ

る式と一致した。

また、グラフの傾き k の値から、この

基準電球の光束 Is は、471.9 ルーメンで

あることがわかった。メーカー値 485 ル

ーメンに近く、誤差３％以内の精度良い値

が得られた。

ここで、先に得られた照度計の基準電球

の光量：５７４ルーメンで誤差計算する

と、

＜誤差＞

メーカー値に比べ、誤差が大きいことが

わかる。

これは照度計がまわりの反射光を拾って

しまったため誤差が大きく出たと考えら

れる。

この結果から照度計で実像の光量を計

るには誤差が大きくなりやすいことを示唆

している。

＜誤差＞

SIk

I

I

L

L s

2

2

1

%7.2100485

9.471485

%4.18100485

485574

Ik

L

L 12

2

1

（６)手作り光度計を作製し、 　の関係を調べる　と　I2

1

L

L

既製品ジョリー光度計は測定窓が小さいため、大きな実像が測定できない。測定の汎

用性を高めるため手作りの光度計も作製する。

＜実験方法＞

（ア）光度計を作製する。

(1)ジョリー光度計を分解し、

しくみを確認する。

(2)パラフィン溶かし、ゆっくり

冷やし固め、加工する。

(3)アクリル板を加工し、光度計

を収める箱を作製する。

（イ）前実験と同じ基準電球を

用い、光束 I を前実験と同様に測定する。

〔写真 15 〕既製品のジョリー光度計の分解

（中は白い蝋でアルミ箔が張ってある.）

〔写真 16 〕購入したパラフィンを

80℃のお湯で溶かしているときのようす

〔写真 17 〕溶かし固めたパラフィン

〔写真 18 〕２ｃｍ×４ｃｍのパラフ

ィンを 2 つ用意し、間にアルミ箔を挟

んでアクリル箱に収めた状態

（７)手作り光度計による測定結果

（結果）

測定結果を次に示す。表の

データは一部で、Aグループ、

B グループの試料電球を用い

て前回同様、３０回ずつ測定

を行い、グラフに表した。

（考察）

グラフの傾きから、この基準電球の光

束 Is は、 472.0 ルーメンで、既製品の

ジョリー光度計の測定結果 471.9 ルーメ

ンとほぼ同じ値になった。

誤差も３％以内であることから、手軽

に作れる手作りの光度計でも十分な精度

が得られることがわかった。

〔Fig.５ 〕手作り光度計による

L1／L2 と I の関係

〔表２〕試料電球を変えたとき

の L1 の値

〔Fig.６ 〕手作り光度計による L1／L2 と １／I の関係

（フィッティング）

４ 光度計による「主実像」の光量測定

「スクリーンに映し出した副実像は直視した場合に比べてあまり明るく映らない」という

疑問にアプローチする。そこで、光度計で主実像の光量を測り、検証することにした。

（１)直視による場合とスクリーンに映った像の比較

左側の写真は凸レンズを通して主実

像を直視で撮影したもの、右側はスクリ

ーンに映した主実像を撮影したもので

ある。暗室で撮影しているため、写真に

は写らないほど直視は明るいが、スクリ

ーンには比較的暗く映っていることが

わかる。

（２)光量測定実験

直視による像とスクリーンに映った像の明るさの違いを定量的に測定する。

（ア）光源Ａとの距 離ｘを測定する。

（イ）レンズをはずしたとき物体から発する光束を調べるため L1、L2 を測定する。

〔写真 18 〕主実像を直に撮影 〔写真 19 〕スクリーンに映った

主実像を撮影

〔図 11 〕レンズが結んだ主実像の明るさと光源 A の明るさを

ジョリー光度計で濃淡が同じになるように調整し、その距離 X を測定

〔図 12 〕矢印物体の明るさと光源 A の明るさをジョリー光度計で濃淡が

同じになるように調整し、距離 L1、L2 を測定

〔表２〕試料電球を変えたとき

の L1 の値

（３)結果

（結果）

測定結果を次に示す。

表のデータは一部で、３

０回ずつ測定を行った。

（４)考察

基準電球の光束値 471.9

ルーメンを用いて、電球 A

（40 型；485 ﾙｰﾒﾝ）の光束値は、

実験値 より

ルーメンとなる。ゆえに、光度計に届く明るさ I は Ｘ≒1.31ｍ より

I＝IA／４πＸ２＝499.2／４πＸ２ ＝23.3 ルクスと計算でき、レンズを通って光度計に

届いた明るさも 23.3 ルクスということになる。また、矢印物体が出す光束 I＋は、上の

実験値より

となる。

9456.0)9724.0( 2 A

S

I

I

2.4999456.0

9.471

9456.0

IsI A

ﾙｰﾒﾝ＝＝２２

＋ 5.328.06cm

2.9cm499.2

28.06cm

2.9cmA

II

〔表３〕図 11 の距離 X の値 〔表４〕図 12 の距離 L1、L2 を測定の値

〔図 13 〕光束値と照度値の実際

ちなみに、照度計で測定した主実像の光量は 30.1 ルクスで、近い値を示した。しかし、

前述の通り照度計は誤差が出やすいため、23.3 ルクスを主実像の光量とした。 また、

の関係式から であることがわかる。これは、電球から放たれ

る放射光量は距離の平方根に比例することを意味しており、「スクリーンに映し出した副実

像は直視した場合に比べて暗くなる」のは当然のことであることがわかった。これらの実

験を通して、点光源から発する光の強さは変わらないが距離に応じて明るさが弱くなる

ことを定量的に測定することができ、最後の疑問がこれで解決できた。つまり、明るさ

が弱くてもスクリーンに像が映れば実像だと断言してよいことがわかった。

ついでに、レンズがどの程度光を集めているか、興味を持ったので調べてみることに

した。

そこで、まず、レンズを取り除いた場合の、矢印物体から光度計に届く明るさを考え

る。矢印物体から光度計に届く明るさは、ルーメンとルクスの変換式より

I＝ 5.33／４π(0.608m)２ ＝1.15 ルクス となった。

I

I

L

L s

2

2

1

IL

このことから、

レンズが集めた光量は

ｎ＝23.3 ルクス／1.15 ルクス

＝20.2

より、使用したレンズ（直径

4.5ｃｍ、焦点距離 14.6ｃｍ）

は、約 20 倍程度の光を集めて

いる計算になった。

光度計は照度計より精度が

高く、どの程度光を集めている

かを測定することもでき、光度

計の活用がさらに広がった。

1.15

ルクス

〔図 14 〕レンズがあるときの光度計に届く光量（23.3 ルクス）

〔図 15 〕レンズをはずしたときに光度計に届く光量（1.15 ルクス）

＜まとめ＞

・凸レンズ同様に、平凸レンズの前後でも倒立の副実像が現れた。

・ という関係式を導くことができた。

・基準電球の光量をグラフから精度よく求めることができた。（誤差２．７％）

・照度計での光量測定は誤差が出やすく、光度計は精度のよい値が出やすいということ

がわかった。

・手作りの光度計でも十分精度の良い値が出ることが確認できた。

・今回の研究で、凸レンズ付近に現れた倒立像は、実像であるということを裏付けるこ

とができた。

＜今後の課題＞

・手作りの光度計の精度を上げ、大きな実像でも測定できるようにする。

・不可能な「副実像の光量測定」に挑戦する 。

・副実像のしくみをさらに解明する。

＜感想＞

今回の実験は、発見のおもしろさと同時に研究することの難しさを知りました。また、

今回の実験を通していろいろな見方や考え方、みんなで集まって考えれば解決策が見え

てくることにとても感動しました。すべての疑問が解決できたことがうれしく、「凸レン

ズがつくる実像は一つではなく同時に３つ存在する」ということを導くことができたこ

とが何よりうれしかった。お忙しい中、ご助言を頂いた先生に感謝申し上げます。

I

I

L

L s

2

2

1