磁気流体数値解法

三好隆博広島大学大学院理学研究科

磁気流体プラズマで探る高エネルギー天体現象研究会2017年8月28日（月）－８月30日（水）海洋研究開発機構東京事務所

共同研究者：簑島 敬（JAMSTEC）松本洋介（千葉大学）

目的MHD『数値解法』研究の存在を認知してもらう。MHD数値解法の発展と現状を紹介し、来し方行く末を考える。

内容個人的な背景目的MHDシミュレーションMHD数値解法衝撃波捕獲多次元化高次精度化

HLLD近似リーマン解法まとめ

MHDシミュレーション

MHDシミュレーションMHDシミュレーションMHD方程式を直接数値的に解くことによって、プラズマのマクロなダイナミクスや構造形成、MHD乱流などを解明核融合炉心プラズマ宇宙・天体プラズマ

数値流体力学（CFD）の基礎・応用の一大分野

𝜆𝜆𝐷𝐷 𝜆𝜆𝑒𝑒 𝜆𝜆𝑖𝑖 𝐿𝐿MHD乱流

構造形成

Hall MHD MHD（スケールフリー）

MHDシミュレーションMHD方程式

Euler方程式＋ローレンツ力＋磁場の誘導方程式

連続の式

運動方程式

断熱の式

磁場の誘導方程式

( )

( )

0,0

0

0

=⋅∇=××∇−∂∂

=

∇⋅+

∂∂

×+−∇=

∇⋅+∂∂

=⋅∇+∂∂

BBB

BJ

v

v

vvv

v

t

ppt

pt

t

γγ ρρ

ρ

ρρ

MHDシミュレーション数値流体力学史『リチャードソンの夢』 [Richardson, 1922]

64,000人をホールに集め整然と計算を行えば、実時間での数値天気予報が可能⇒実際には数値処理にも問題あり

数値予報基礎研究の開始@ENIAC [Mauchly, Neumann, Charneyなど, 1940's]

数値予報業務の開始 [瑞, 日など, 1950's ～]圧縮性CFDの発展@航空宇宙分野 [1970's ～]さて、世界初のMHDシミュレーションは？

cf., Euler方程式：1755年, MHD方程式：1942年～

答え：よくわからない （若すぎました…ご教示ください）

MHDシミュレーション "MHD"+"numerical"+"simulation"@google scholar

どれも今ひとつしっくりこない検索年代を拡げると目を通すのはまあまあ大変

MHDシミュレーション "MHD"+"simulation" in abstract@ADS

MHDシミュレーション "MHD"+"simulation" in abstract@ADS

1960's～70's初頭のどこか 200年差を20年差に！

MHDシミュレーションMHD『数値解法』に関する研究の動向

数値計算雑誌での傾向≒数値解法の傾向

0

5

10

15

20

25

30

1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016

"MHD" in title/abstract/keyword

JCP CPC

MHD数値解法

MHD数値解法 1次元MHD方程式（保存形式）

( ) ( )

( )2

,22

1,const.

,

0

222

2

BppBepB

wBBuBBupewBuB

BuBBBwuBBu

Bpuuu

eBBw

u

xt

Tx

zyxxT

xz

xy

zx

yx

xT

z

y

+=

−−−==

++−+−−−−

−+

=

=

=∂∂

+∂∂

v

v

v

vv

ργ

ρρ

ρρ

ρρρρ

FU

FU

MHD数値解法 1次元MHD方程式（非保存形式）

Aの固有値（特性速度）

( )

RΛARURWWΛW

UARRRUR

UFUAUAU

FU

===∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

⇔

∂∂

==∂∂

+∂∂

⇔

=∂∂

+∂∂

−

−−−

,,0

,0

0

1

111

ddxt

xt

xt

xt

fassaf cucucuucucucu +=≤+=≤+=≤=≤−=≤−=≤−= 7654321 λλλλλλλ

( )721 ,,,diag, λλλ == ΛRΛAR

ほか

MHD数値解法

－衝撃波捕獲法－

地上での衝撃波＝HD衝撃波

Vapor cone (F-14) Afterburner (SR-71)

Schlieren image (.30-06 Springfield)

Volcanic eruption (Sarychev Peak：芙蓉山)

Meteor (Chelyabinsk)

宇宙での衝撃波＝MHD衝撃波

Coronal activities (Hinode)

Ubiquitous reconnection / jet (Hinode)

Magnetosphere (SCOPE)

Heliosphere (Artist’s image/NASA)

Jet from black hole (ATCA)

Petschek-type reconnection

衝撃波捕獲法保存型数値解法支配方程式が保存形式保存則を数値的に満足物理的不連続解に収束

Lax & Wendroff [1960]Harten [1980]

非保存型数値解法支配方程式が非保存形式非物理的不連続解に収束

Hou & LeFloch [1994]

Conservative vs Non-conservative

“Computational Tutorial: MHD” by G. Tothhttp://www.lorentzcenter.nl/lc/web/2011/441/presentations/Advanced_Toth.pdf

衝撃波捕獲法保存型数値解法有限差分法有限要素法有限体積法

02/12/1=−+

−+ iitx i FFU∆∆∆

2/1+iF ：数値流束

2/1+iF

2/1−iF

2/3+iF

2/3−iF

iU 1+iU1−iU

x∆

( )( ) ( )( ) 0,, 2/12/12/1

2/1

=−+∂∂

−+∫+

−

txtxdxt ii

x

x

i

i

UFUFU

衝撃波捕獲法流束ベクトル分離法（FVS法）

Lax-Friedrichs法 [1954]Rusanov法 [1961] Steger-Warming法 [1981] van Leer法 [1982]Hänel法 [1989]ただし、現状、高解像度FVS法はHDのみ

UFARΛRAFFF∂∂

==+=±

±±±−+ ,,−+

++ +=⇒ 12/1 iii FFF

2/1+iF

+iF −

+1iF2/1+i

衝撃波捕獲法近似リーマン解法

Godunov法 [1959]Osher法 [1981]; Roe法 [1981]Harten-Lax-van Leer（HLL）法 [1983]Roe法（MHD）[Brio & Wu, 1988]HLLC法 [Toro+, 1994; Batten+, 1997]HLLC法（MHD） [Gurski, 2004; Li, 2005]HLLD法（MHD）[Miyoshi & Kusano, 2005]

UFARΛRAFFF∆∆

==∆+∆=∆±

±±±−+ ,,−+

+++ ∆+∆=∆⇒ 2/12/12/1 iii FFF

iU 1+iU

2/1+i

2/1+iF

t

衝撃波捕獲法移流上流分離法（AUSM法）

AUSM法 [Liou+, 1993]

AUSM法（MHD）[Xistro+, 2013]MWPS法（MHD）[Borah+, 2016] TV-FVS法（MHD） [Balsara+, 2016]

Artificially Upstream FVS法（AUFS法）[Sun+, 2003]

PΦF += uρ

2/112/1 22 +++ +−

++

=⇒ iiii

uuuuPΦΦF

ρρρρ

[北村+, 2014]

( ) ( )21

12,12,121 ,,1

sssMsuMM−

=+−=+−= PUFFFF

ほか

MHD数値解法

－多次元化－

多次元化数値的な磁場発散の生成

非物理的な磁気力が数値解全体に影響

数値的な磁場発散の処理は不可欠！

（補正なし） （補正あり）

( ) ( ) ( )BBBBBBI ⋅∇+××∇=−⋅∇− 22B

多次元化数値的磁場発散に関する研究の動向

0

2

4

6

8

10

12

"MHD"+"divergence" in title/abstract/keyword

JCP CPC

多次元化連立方程式を追加して解く Projection法 [Brackbill+, 1980] Face-Projection法 [Miyoshi+, 2011]

誘導方程式に対して特別な離散化をするCT法 [Evans+, 1988; Balsara+, 1999; …]CD法 [Toth, 2000]

発散の時間発展を追う移流法 [Powell, 1994]双曲型発散除去法 [Dedner+, 2002]

∗∗ ⋅−∇=∆∇+= BBB φφ ,

( ) ( ) 0=⋅∇+⋅∇ xt a BB

( ) ( ) 0, 11 =⋅∇+= +++

+i

nji

njii

ni

ni BULBB

多次元化物理学会のチャレンジ企画をどうぞ

簑島さん撮影：松本さん

天野さん＠東大

MHD数値解法

－高次精度化－

高次精度化高次精度化（誤差∝ Δ𝑥𝑥𝑟𝑟）の重要性

線形移流問題の誤差評価

Nlog

εlog

手間は惜しむべからず限度はありますが… [Gerolymos+, 2009]very high-order ("17th"-order!) scheme

高次精度化高次精度化（誤差∝ Δ𝑥𝑥𝑟𝑟）の重要性

KH不安定性の非線形発展 [簑島さん]

高次精度化は世界を変える！

高次精度化移流方程式の高次精度化単調スキーム [Lax, 1950's]Godunovの定理 [1959]移流方程式に対する2次以上高次のどんな線形スキーム解の単調性を維持できない

TVD法 [Harten, 1983]離散的全変動 𝑇𝑇𝑉𝑉𝑛𝑛 ≡ ∑𝑖𝑖 𝑢𝑢𝑖𝑖+1𝑛𝑛 − 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑛𝑛 が時間に対して減少（𝑇𝑇𝑉𝑉𝑛𝑛+1 ≤ 𝑇𝑇𝑉𝑉𝑛𝑛：TVD条件）するスキーム

MUSCL法 [van Leer, 1979] FV/FD-WENO法 [Liu+, 1994/Jiang+, 1994]RKDG法 [Cockburn+, 2001] ほか

TVB条件

単調条件(1次)

TVD条件

数値解法

高次精度化MHD方程式の高次精度化

( )[ ]ρρ ∇∇− maxexp ( )[ ]ρρ ∇∇− maxexp

yB yB

MUSCL-MC（基本変数補間） MUSCL-MC（近似特性変数補間）

高次精度化高次精度化に関する研究の動向

0

2

4

6

8

10

12

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

"MHD"+"high"+"order" in title/abstract/keyword

JCP CPC

HLLD近似リーマン解法

HLLD近似リーマン解法HLL型法 [Harten+, 1983]非線形保存則衝撃波近似2-wave: HLL法3-wave: HLLC法5-wave: HLLD法

HLLD法 [Miyoshi+, 2005]高解像, 高効率, ロバスト正値性保存を厳密に保証MHD専用機

1+= iR UUiL UU =

∗RU∗∗

RU∗∗LU∗

LU

2/1+i x

t

1λ 2λ 4λ 6λ 7λ

( )( )( )( )( ) ∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

∗∗

−=−

−=−

−=−

−=−

−=−

RRRR

RRRR

LRLR

LLLL

LLLL

FFUUFFUUFFUUFFUU

FFUU

7

6

4

2

1

λ

λ

λ

λ

λ

HLLD近似リーマン解法数値実験による検証

CANS+をはじめ世界中のMHDソフトウェアパッケージの標準解法として採用

[Kritsuk+, 2011]

HLLD近似リーマン解法HLLD近似リーマン解法の展開等温MHD [Mignone, 2007]相対論的MHD [Mignone, 2008]背景磁場を含むMHD [Miyoshi+, 2010] Boris修正MHDラグランジュ質量座標系MHDカーバンクルフリーHLLD法

弾塑性力学 [Ortega+, 2013]

まとめ

まとめ詳細に立ち入らず、MHD『数値解法』研究の動向を紹介した。『衝撃波捕獲法』研究：落ち着きつつ見えて、また盛り上がる（もういい？）

『多次元化』研究：最近盛り上がりつつある、が、発散処理はほぼ3つのカテゴリー(ここで紹介していない衝撃波数値不安定性問題あり)

『高次精度化』研究：盛り上がってるし、重要だが、私には結構難しい（若い人は結構得意）

MHD数値解法の研究を認知いただけましたか？