特殊及び一般相対性理論 - tokyo metropolitan …特殊及び一般相対性理論...

特殊及び一般相対性理論古典場の理論

∼宇宙の彼方へ GO DIVE· · ·

Things should be made as simple as possible,but not simpler.

i

Abstract

相対論という枠組みのなかで，力学や電磁気学がどのように記述されるかを考察する。そもそも古典場と捉えたとしても電磁気学は相対論の枠組みでしか理解出来ない。

. 運動の相対性と Lorentz変換

. 相対論的力学及び熱力学

. 電磁気学

. 一般相対論

. 宇宙論

参考図書：「相対論入門」[?]「場の古典論」[27]。

この自己満的ノートは，政井さんの特殊相対論の授業および「みんなの相対論」にいろいろと手を加えたものである。決して改悪したつもりはないが，意図に反して実現していない箇所もあるであろうと思われる。大部分はまだまだまだ未完成で大幅に補充しなければならないし，不備のままで載っているところもあるので適宜補って欲しい。が，適度なタイミングで改正を加えている。また，勝手な意見，いいがかり的な文章も所々入っているが気にしてはいけない。全体的に平易な言葉にならざるを得ないのは仕方がない。助言を下さるなら是非。

————-November 15, 2005 OKAZAKI Jun-ichiro1

展開・流れ

電磁気学，解析力学

↓ 相対論

古典場の理論

↓

場の量子論一般相対論

[email protected]

ii CONTENTS

Contents

I 特殊相対性理論 1

1 運動の相対性と Lorentz変換 11.1 運動の相対性と不変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Minkowski時空とMetric tensor 32.1 Minkowski時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 時空とMetric tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Boost変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 相対論的力学 73.1 最小作用の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 数学に関する補足；変分法 ∼前期量子論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 最小作用の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.3 散乱断面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 場の中の粒子の運動と電磁場の tensor 114.1 電磁場中の粒子の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Faraday tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.1 Faraday tensorの Lorentz変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.2 Gauge原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 電磁気学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 相対論的平衡熱力学 185.1 Stress-Energy tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 完全流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 散逸過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 相対論的理想気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.4.1 超相対論的気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4.2 超相対論的 Bose気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.4.3 超相対論的 Fermi気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 相対論的磁気流体力学 276.1 Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1.1 理想MHD近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.1.2 Degenerate条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.1.3 Force-free条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7 保存量 377.1 Komar Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8 輻射 418.1 Gauge固定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.1.1 数学に関する補足；Green函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.1.2 遅延ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458.1.3 Lienard-Wiechert potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2 放射減衰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.3 輻射の輸送方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.3.1 Thermal Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.3.2 Einsteinの遷移確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.3.3 Random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.3.4 電磁波の分散・吸収 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II 一般相対性理論 53

CONTENTS iii

9 グラビテーション 539.1 イクイヴァレントプリンシプル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.2 Riemann tensor～微分幾何から重力へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.3 アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.4 テクニカル・サポート . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10 ブラックホールとエネルギー抽出（お話編） 60

11 Black Holes 6111.1 The ADM formalism: 3+1 formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.1.1 (2+1)+1 formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7111.2 Schwarzschild時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.2.1 球対称星の内部構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.3 Reissner-Nordstrøm時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411.4 Kerr時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11.4.1 Boyer-Lindquist座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.4.2 Kerr-Schild座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.5 Kerr-Newman時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8811.6 その他の時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.7 Black hole 熱力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

11.7.1 Generalized 2ND Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12 重力波の伝播 10012.1 曲がった時空での重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

13 Energy Extraction ∼ Blandford-Znajek mechanism 10213.1 曲がった空間での電磁気学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

13.1.1 Force-free条件からすぐに導かれること . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10713.1.2 Znajek condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

13.2 Description of Force-Free Electromagnetic Field By Magnetic Field Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11713.3 分布函数と Boltzmann方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

13.3.1 Boltzmann方程式と Vlasov方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

14 General relativistic Magnetohydrodynamics 12614.1 磁気流体力学の基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12614.2 定常軸対称時空における保存量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12914.3 Physical quantities from flux function Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13814.4 Grad-Shafranov equation in the covariant form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13914.5 Poloidal Equation(Relativistic Bernoulli equation along magnetic field line) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14014.6 FIDOの観測量と彼の世界の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

15 One-fluid description of a cold electron-ion plasma 15215.1 Particle conservatioin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15215.2 運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

15.2.1 Exact law of momentum conservation for a two-component plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15415.2.2 The law of enegy conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

15.3 The generalized Ohm’s law for an electron-ion plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15415.3.1 The quasi-neutral limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

III 宇宙論 157

16 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker時空 15716.1 Big Bang Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

16.1.1 The First Three Minutes～BBN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16916.2 Inflationary cosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

17 Structure formation 17417.1 Press-Schechter理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

18 Clusters of galaxies 181

19 Dark Matter 182

20 Stars 18320.1 主系列星 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

iv CONTENTS

21 イクリブリアム＆スタビリティーオブスターズ 18421.1 密度一定の星 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

22 コンパクトオブジェクト 18822.1 Neutron Stars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

23 降着円盤 19123.1 Spin-UP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

23.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19423.1.2 Black hole growth and spin-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19823.1.3 Cosmological implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

24 NRMHD 199

A 愛すべき定数たち 200

1

Part I

特殊相対性理論1 運動の相対性とLorentz変換街に出回っている相対論の入門書の中には誤った記述も見られるし，縮んで見えるとか時間が遅れるとかいう，日常的な感覚からのずれや奇妙さを無意味に強調して取り上げたものが少なくない。相対論は何も奇抜なアイデアを元にしているわけではない。古典電磁気学の問題を解決すべく必然的に生まれた理論と言ってよい。Maxwellによって統一的に確立された電磁気学の方程式は，光が電磁波と呼ばれる横波であることを自然に説明してくれる。しかしまた，真空中の電磁波の速度は c =

1√ε0µ0

となって誘電率 ε0と透磁率 µ0だけで決まり，光を放出する物体の速度によらず一定の有限の値であることを示していた。そのことを頭に置いて，電磁波つまり光が伝わる話から見ていこう。

1.1 運動の相対性と不変性光も波であるが，音波のような波とは異なり媒質を必要としない，つまり真空中を伝わる。また，いろいろな実験結果は，そして古典電磁気学も，真空中の光速 cがいつも一定であり光を放出する物体の運動状態によらないことを示している。誤解のないように付け加えておくと，周波数は放射物体の運動状態に依存して変わる（Doppler effect）が速度は一定なのである。これは何を意味するのだろうか。

ある系（K系とする）で，光の波を

y = A sin 2πν(t− x

c

)(1.1)

という式で表そう。 y軸方向に振幅 Aをもち，x 軸の正の向きに速度 cで伝わる周波数 ν の横波を表している。 K系に対して相対速度 vで x軸の正の向きに等速直線運動している系を考え，それを K′ 系としよう. K′ 系では

x′ = x− vty′ = y

(1.2)

と座標変換されるから，この波は

y′ = A sin 2πν(t− x′ + vt

c

)

= A sin 2πν(1− v

c

) (t− x′

c− v)

(1.3)

という式で表されることになる。さて，物理法則がどの系でも同じ形にかけること (universality)を期待するのは，自然科学における基本的な立場である。そうでなければ，考えている系が何かに対して静止しているのか運動しているのかを絶対的に見極めなければならなくなる。しかし，地球上に生活しているわれわれにとっての静止系というのは太陽から見れば公転運動している系であるし，宇宙スケールで見た静止系として，地球上のわれわれの生活が当てはまるのかなんて決めようがないことである。K′系に暮らしている人にとっても光の波が同じように見えるということは，波の式が

y′ = A′ sin 2πν′(t′ − x′

c′

)(1.4)

の形になっていることを意味する. これと先ほど座標変換した式とを比べてみると，

A = A′

ν = ν(1− v

c

)(classical Doppler effect)

c′ = c− v(1.5)

という関係になっていることが分かる。一つ目の関係は波の振幅が等しいこと，２つ目は Doppler effectで周波数が変化することを表しているだけで，何れも波が伝わるという動きを表す関係ではない。３つ目の関係が波の伝わる速さについてのものである。ところが，実験結果や古典電磁気学は

c = c′ (1.6)

を結論しているのだから，これは困ったことになってしまう。いや，実はもう一つ，当たり前と「仮定」していた関係

t = t′ (1.7)

がある. ただしこれを否定すると，K系とK′系では時間の進み方が違うことになってしまうのだが…。

重要な概念なので話をちょっと整理しておこう.

1.相対性原理 (Galilei) … 絶対的に静止している系を考えることには無理があって，互いに等速度運動をしている全ての慣性系において物理法則は同じ形式にかける。

2.光速の不変性 (Einstein) … いかなる慣性系においても真空中の光の速さは一定であって，光源の運動状態には依存しない。2は実験結果 (by Michelson-Morley)と言ってしまってもよいが，実は，光が真空中でも伝わる事実と深く関係している。音源の運動状態に依存する音波の場合と比較してみよう。波の伝わる速さを測定してこれこれの値であるというとき，何に対する速度を測ったことになっているのか考えてみると,音波の場合は音を伝える媒質に対する相対的な速度を測っているのである。だから，その媒質に対して運動している音源から出た音波と，媒質に対して静止している音源から出た音波とでは速度は違ったものになるのである。では，光速を測るというのは何に対する速度を測ることになるのだろう. 媒質を必要としないのだから，媒質に対する光源の相対運動などという議論はもとからあり得ない。つまり，絶対静止系に対する速度だとでも言わない限り，光速はどの慣性系でも一定と考えなければならないのである。こうやって見てくると，2は1の議論とも関係していることが分かると思う. 絶対静止系という概念が破綻することは既に述べたとおりである。「いかなる慣性系でも」ということから，いかなる物体も光速を超えて運動することはできないことはすぐに理解できると思うが，もう一つ重要なことがある。測定されている真空中の光速は，およそ c = 3×1010cm/s である。

3.光速の有限性 … 光速は可能な最大の速度であるが，光速と云えど有限なのである。光速が決して無限大ではないということは，すぐ次の章で見るように，とても重要なことである。

Lorentz変換

波の式の変換で c′ = cとし，その代わり思い切って t′ = tという仮定を捨てて素直に等置すると

t′ − x′

c= t− x′

c− v (1.8)

2 1 運動の相対性と LORENTZ変換

という関係が得られる. v が cに比べて十分小さいとき，この式を近似的に解くと

t′ = t− x′(

1c− v −

1c

)

= t− v

c2

(1− v

c

)−1

(x− vt)

= t

[1 +

v2

c2

(1− v

c

)−1]− v

c2

(1− v

c

)−1

x

∼ t− v

c2x for v ¿ c (1.9)

という形で x 座標と結びついていることが分かる。そこで，これを手がかりに，ある未知の係数 γ を使って

t′ = t

x′ = x− vt

という座標変換の代りにt′ = γ

(t− v

c2x)

x′ = γ(x− vt)(1.10)

という変換を考えることにしよう。こうしてK系とK’系の関係を満たすようにを決めてやると，

γ =1√

1− β2β =

v

c(1.11)

とすればよいことが分かる.また，これらの逆変換が各々t = γ

(t′ +

v

c2x′

)

x = γ(x′ + vt′)(1.12)

となることは容易に確かめられる。 K′ 系から見れば，K系は速度 −vで，つまり x軸の負の向きに，等速直線運動しているという相対的な関係を表している。この逆変換をK系の波の式y = A sin 2πν

(t− x

c

)に代入すると

y = A sin 2πνγ (1− β)(t′ − x′

c

)(1.13)

となって，K′ 系での波の式は確かに K系と同じ形にかけていることが分かる。このとき Doppler effectは

ν′ = γ(1− β)ν (1.14)

となって，古典的（非相対論的）な場合の ν′ = (1− β)νから γ倍だけ修正されていることを注意しておく。これは，後で述べる時計の遅れと関係している。初めの変換を Gallilei変換，また γを用いた変換を Lorentz変換と呼んでいるが，この２種類の変換則をここでまとめて書いておこう。

Galilei transf. Lorentz transf.x′ = x− vt x′ = γ(x− vt)y′ = y y′ = y

t′ = t t′ = γ(t− v

c2x)

以下では，次のように記号を定める。

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z

この時，Lorentz変換は

x′0 = γx0 − βγx1

x′1 = −βγx0 + γx1

x′2 = x2

x′3 = x3

と書けるから，行列を用いて Lorentz変換を書けば以下の様になる。

x′0

x′1

x′2

x′3

=

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

x0

x1

x2

x3

(1.15)

この事を，Einsteinの既約2と言うルールに従って，

x′µ = Λµνxν (1.16)

と書く。すぐに確かめられるように

ΛµλΛλν = δµλ (1.17)

が成り立つ。Lorentz matrixの特徴は，各列ベクターが正規直交で，行

列式が 1ということである。つまり，変換の前後でMinkowski時空の体積要素は変わらない。ここでは K′ 系は K系の x 軸方向に運動しているので，垂

直な方向の y, z 座標には相対運動の影響が現れていないことに注意しよう. Galilei変換は，Newton力学の絶対空間の概念にもとづいている. すぐに分かるように，Galilei変換と Lorentz変換は γ → 1 のとき完全に一致する3。

γ → 1 の時というのは， β =v

cが 1 より十分小さいとき，

v が cに比べて十分小さいときに他ならない。つまり，光速に近い物体の運動を考えない限り，古典的なGalilei変換で十分なのである。あるいは，もし光速が有限でなく無限大であったら，どんなに大きな速度 vに対しても γ → 1 となるから，Galilei変換でよかったことになる。

K′ 系のある１点，例えば原点 x′ = γ(x− vt) = 0 での時間は，

t′ = γ

(t− v2

c2

)=t

γと変換されることを確認しよう。これか

ら，K′ 系での時間間隔 ∆t′ と K系の時間間隔 ∆t との間には∆t′ =

∆tγという関係があることが分かる。

γ =1√

1− β2=

1√1− (

vc

)2≥ 1 (1.18)

であるから

∆t′ ≤ ∆t (1.19)

となる。これが，時計の遅れ4と言われるものであるが，光速一定の下ではごく自然な結果なのである。

さて，周波数というのは単位時間の振動数のことであるから，

ν′

ν=

∆t∆t′

= γ (1.20)

という関係のあることが分かるだろう。これが，古典的なDoppler effectに比べ，相対論的なDoppler effectでは周波数がγ 倍変化している理由である。

2上下に２回現れる添字ついて和をとれという事．この例では，µ について回すと言う．3むしろ一致していなければならない4動いている物体の固有時間は，つねに，静止系における対応する時間間隔より短い。つまり，動いている時計は静止している時計よりもゆっくり進むのである。

3

2 Minkowski時空とMetric tensor

古典力学では時間を絶対的なものとして特別扱いし，空間座標を時間の函数として物体の運動を扱ってきた。では，時間と空間がただの変数として同じ立場になったとき，何を絶対的な基準としてどのように物体の運動を記述すればよいのだろうか。

2.1 Minkowski時空ここで，いかなる慣性系でも光の速度は一定という 2.(p.3)の原理を思い出そう。ある微小時間 ∆tの間に光が進む距離は，どの慣性系でも等しい。そこで，時間軸＋空間軸から成る新しい空間を考えて，その空間での２点間の距離∆s を

∆s2 = −c2∆t2 +(∆x2 + ∆y2 + ∆z2

)(2.1)

= −(∆x0)2 +(

∆x1)2

+(∆x2

)2+

(∆x3

)2

(2.2)

と定義しよう。ここでは，２点間の各座標の差を∆x = x1−x2

のように表している。の中は，ふつうの３次元 Euclid空間での距離の２乗になっている。第１項は時間軸に対応していて，時間に普遍的な定数をかけることにより他の空間軸と同等（長さの次元）にしてある。それにしても，距離の２乗を求めるのに時間と空間座標で符号を変えて足しているのはなぜだろう。実はこれが，光の速度はどの慣性系でも等しいという基準と関係していて，光の運動に対してはつねに ∆s2 = 0 となっているのである。このように時間と空間をいっしょにした空間を時空と呼び，ここで定義した２点間の距離 ∆sをもつ空間をMinkowski時空と呼ぶ。また，時空における運動の軌跡のことを世界線という。

この時空は４次元であるが，分かりやすくするため (ct, x)という２次元で考えてみよう。このとき

∆s2 = −c2∆t2 + ∆x2

で，原点を通る光の世界線（この領域を nullと言う．）は

ct = ±x

という直線になる。物体が運動する速度は光速を超えることはないから，その世界線は必ず

ct > |x|, ct < −|x|

の領域にある。この領域内の点は原点と時間の経過によって結ぶことが可能なので時間的 (time-like)と呼ばれる。時間的領域内の ct > 0 の部分が未来を表し，ct < 0の部分が過去を表わす。一方，

−|x| < ct < |x|の領域は，光速を超える速度がない以上，領域内の点と原点を時間経過（因果関係）によって結ぶことは不可能で，空間的(space-like)と呼ばれる。世界間隔使って書けば，ds2 < 0が時間的，ds2 > 0が空間的という事を意味する。もう一つ空間座標を増やして，(ct, x, y)という空間を考えると，光の世界線は原点を頂点とする円錐を描く。この円錐は光円錐と呼ばれる。光円錐の内側が時間的領域，外側が空間的領域になることはすぐ分かるだろう。

最後に，間隔 dsが系によらず一定であることを示そう。まず，次の仮定をおく。

• ２つの座標系の変換は線型であるとする。• それらの原点は一致しているとする。

そうすると，

∆s = − (∆t)2 + (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 (2.3)

= Mαβ∆xα∆xβ (2.4)

Mαβは２つの系の相対速度の函数であり，全ての α, βに対してMαβ = Mβα であるとしても一般性を失わない。さて，任意の世界線について不変性を示したい訳だが，特に，光速普遍の原理により光子の世界線でも成り立っていなければならない。この必要条件から，

M0i = 0 for i = 1, 2, 3 (2.5)Mij = − (M00) δij for i, j = 1, 2, 3 (2.6)

となる。したがって，独立な変数はM00 のみである。ここで，φ(v) ≡ −M00とおくと，結局光速度の普遍性から，別々の観測者によって計算される 2つの事象の間の間隔∆s2 と∆s2 は

∆s2 = φ(v)∆s2 (2.7)

の関係を満たすということを示したことになる。次に，この φが実際に 1であることを証明しよう。

進行方向に対して垂直な方向の成分は，その相対速度の大きさに依存した変換を受けなければならないという事実に着目する。変換がただ 1つのパラメタ φ(v)によって特徴づけられているのだから，全ての成分について

φ(v) = φ(|v|) (2.8)

で変換される。すなわち，方向によらず，その大きさにのみ依存するのである。さて，そうすると，2つの系での変換は，

∆s2 = φ(v)∆s2

であるが，一方，その逆変換を考えれば，

∆¯s2 = φ(v)∆s2 = φ(v)2∆s2 (2.9)

であるから，

φ(v) = ±1

空間的距離を変換する際にその大きさが負になってはいけないので，

φ(v) = 1

i.e. ∆s2 = ∆s2 (2.10)

つまり，任意の 2つの eventの間隔は慣性系によらず一定であることが示された。また，上の議論から分かるように，進行方向に対して垂直な方向の成分は変換によって影響を受けない。

2.2 時空とMetric tensor

空間の距離という概念を，もう少し一般的化しておこう。２点間を結ぶベクトルの成分が (x0, x1, x2, x3) = xµのように与えられているとき，この vectorを簡単に xµと表すことにする。ここで，というのは 0, 1 を代表しているだけなので，他の文字，例えば ν を使って，この vectorを xν と表してもかまわない。２点間の距離というのは，このベクトルの大きさであるから，距離の２乗 (norm)というのは xµが自分自身とつくる内積xµxµ に他ならない。ここで xµ というのは，vector xµ と対になって内積をつくるときの相手に相当している。例えば，

(ab

)という vectorが自分自身とつくる内積を求め

るとき，(a b

) (ab

)という計算をする。この (a b)に当たるも

4 2 MINKOWSKI時空とMETRIC TENSOR

のが xµだと考えればよい。ちょっと難しくなるが，このような空間を双対空間と呼ぶ。なお，２点間の距離つまり vectorの大きさが Lorentz変換に対して不変であることはすぐ分かるだろう。座標変換をしたところで，そのベクトルを表す成分が変わるだけであって，ベクトルそのものが変化するわけではないのだから。ある空間で，vector xµからその対となる xµをつくる操作を

xµ = ηµνxν (2.11)

のように表すと，xµが自分自身xµとつくる内積とはηµν = xµxµのことである。ここで出てきた

ηµν = eµ · eν (2.12)

のことを，この空間のmetric tensorという。ここで，eµや eν

は空間を定義している基底 vectorで， ∂

∂xµのことである。ηµν

の各成分が基底 vectorの内積で与えられることを示している。vectorを成分 xµ で表すということは，きちんとこの vectorをかけば，

~x = xµeµ = xµ∂

∂xµ(2.13)

ということである。したがって，その内積が ηµνxµxν のように

かけることはすぐ確かめられるだろう。メトリックはふつう計量と訳されているが，平たく言えば，その空間の定規みたいなものである。さて，Minkowski時空に対応させるには x0 = ctと考えれば

よいわけであるが，Minkowski時空では内積，つまり距離の２乗は

xµxµ = x0x0 + xix

i = − (x0

)+

[(x1

)2+

(x2

)2+

(x3

)2]

(2.14)

であって，単純に各成分の２乗和にはなっていない。つまり一般的には，ある空間でベクトルの成分から距離あるいは内積をつくるには，その決まりを明らかにしないといけないのである。空間のこのような基準を与えるものがmetric tensorで，Minkowski時空の場合，その成分は

(ηµν) →ABSF

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(2.15)

と表され，第０成分から順に −1, 1という定数をかけて各成分の２乗を足し合わせなさいということを示している。普段，このような面倒なことを考えずに vectorの内積や距離を求めているのは，ふつうの 3次元 Euclidean空間でのmetricが

(δij) →ABSF

1 0 00 1 00 0 1

(2.16)

となっているからである。これは，例えば xy 直交座標系でのbasisについて，

ex · ex = ey · ey = 1ex · ey = ey · ex = 0

(2.17)

となることからすぐに分かるだろう。正規直交座標ということを強調しておく。何も一般相対論などと言わなくても，例えば，極座標表示しただけでもmetricは場所に依存するようになる。基底が場所によって変化するからである。

Minkowski時空も平坦な空間で，Euclidean空間の一種であるが，距離の定義が異なる空間になっているのである。もちろん，内積の定義はあくまでも代数的なものであるから２つの vectorが直交するということも代数的に定義される。したがって，幾何学的な性質である直交条件はmetricの変更によって変わってしまう事に注意しよう。実際，Minkowski空間において２つのvectorが直交するとは，nullを挟んで互いに逆向きに同じ角度になっている事をいう。さらに，nullはそれ自身が大きさは 0なので，数学的な事を言えば，代数的性質を定める事によって決まる Hilbert空間が与えられれば，内積が定まり角度という概念が生まれるという事に他ならない。なお，Minkowski時空のmetric tensorを

(ηµν) →ABSF

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

のように，時間成分を 1，空間成分を全て−1に定義してもかまわない。ベクトルの内積の符号が変わるが，光の世界線は ds2 = 0であり，相対論の物理に何ら本質的な違いは生じない。x0 = ictと定義すればmetricを導入しなくともよいと思うかもしれないが，さらに進んで一般相対論を学んだり現代物理学の基礎である場の理論を学ぶときになってその大切さが分かるだろう。例えば，静的で球対称な場（Schwarzschild時空）では，

ds2 = −(

1− 2GM/c2

r

)c2dt2 +

dr2(1− 2GM/c2

r

) + r2dΩ2

dΩ2 = dθ2 + r2 sin2 θdφ2 (2.18)

であるが，虚時間を導入する必然性は全くなくむしろ弊害とさえなりうる。Newton力学と微積分がともに発展したように，一般相対論と微分幾何学の相互の発展は言うまでもない。今は，この空間が平坦ではないという事と r → ∞の極限でMinkowski空間になっていることを指摘するだけにしておいて後のお楽しみにまわしておこう。metric tensorは，ηµν というように，成分を代表する指標 µと νを２つ持つので２階の tensorと呼ばれる。vectorは，xµのように，指標を１つ持つから１階の tensorである。xµxµ は指標が２つあるが，同じ文字の指標が上下にあるので，上の内積の話から分かるように，成分をもたない大きさだけの数になる。vectorの成分として用いた x0や x1などは，成分を代表する指標を持っているわけではなく，ある特定の値を表しているだけである。したがって，x1 = x1 であることに注意しよう。２階の tensorを上のように成分にかくと，何だ行列のことかと思うかも知れないが，行列であれば何でも２階のテンソルというわけではないことを注意しておく。例えば，Lorentz変換 Λµν は tensorではない。

座標変換

相対論的な力学に進む前に，極座標表示した場合のmetricがどうなっているのかを確認しておこう。

t = t (2.19)x = r sin θ cosφ (2.20)y = r sin θ sinφ (2.21)z = r cos θ (2.22)

2.2 時空とMetric tensor 5

だから，

∂

∂r= sin θ cosφ

∂

∂x+ sin θ sinφ

∂

∂y+ cos θ

∂

∂z(2.23)

= Λxr∂

∂x+ Λyr

∂

∂y+ Λzr

∂

∂z(2.24)

∂

∂θ= r cos θ cosφ

∂

∂x+ r cos θ sinφ

∂

∂y− r sin θ

∂

∂z(2.25)

= Λxθ∂

∂x+ Λyθ

∂

∂y+ Λzθ

∂

∂z(2.26)

∂

∂φ= −r sin θ sinφ

∂

∂x+ r sin θ cosφ

∂

∂y(2.27)

= Λxφ∂

∂x+ Λyφ

∂

∂y+ Λzφ

∂

∂z(2.28)

各基底ベクターは互いに直交しているが大きさは 1でないことに注意しよう。もちろん，規格化することはできる。

Λµν =

Λtt Λtr Λtθ ΛtφΛxt Λxr Λxθ ΛxφΛyt Λyr Λyθ ΛyφΛzt Λzr Λzθ Λzφ

(2.29)

=

1 0 0 00 sin θ cosφ r cos θ cosφ −r sin θ sinφ0 sin θ sinφ r cos θ sinφ r sin θ cosφ0 cos θ −r sin θ 0

(2.30)

ηµν = ΛµµΛννηµν (2.31)

= −ΛtµΛtν + ΛxµΛ

xν + ΛyµΛ

yν + ΛzµΛ

zν (2.32)

より

ηµν →(t,r,θ,φ)

−1 0 0 00 1 0 00 0 r2 00 0 0 r2 sin2 θ

≡ gµν (2.33)

このとき，metricの行列式は

g =def

det gµν = −r4 sin2 θ (2.34)

∴√−g = r2 sin2 θ (2.35)

これは座標変換のヤコビアンに他ならない。座標変換することによって，ボリュームがヤコビアン倍されたのである。

dtdxdydz =√−gdtdrdθdφ (2.36)

= r2 sin2 θdtdrdθdφ (2.37)= dtdr · rdθ · r sin θdφ

注意しなければならないのは，以前にも指摘した通り，これらの基底は各点各点で異なるということである。カルテシアンではそのようなことにはならないので，どこのベクターでもその成分は比較することはできた。基底が変われば，成分も変わるので当然今回のような場合は，比較出来ない。このことは，微分を行う時に注意しなければならないはずである。さて，ではどうすればこの様な困難を回避出来るのであろうか。これまでの微分，つまりカルテシアンでの微分を見てみれば，

∂

∂xµ(Xν eµ) =

∂Xν

∂xµeν (2.38)

→(t,x,y,z)

(∂Xt

∂xµ,∂Xx

∂xµ,∂Xy

∂xµ,∂Xz

∂xµ

)(2.39)

としていたので，ベクターを微分したものは，実質的には成分を微分したものである。ところで，カルテシアンでなければもはや上の計算の第 1行目の等式は正しくない。正しくは，

∂

∂xµ(Xν eν) =

∂Xν

∂xµeν +Xν ∂eν

∂xµ(2.40)

とすべきである。ここで右辺第 2項を次のように定義しよう。

∂eν∂xµ

=def

Γσνµeσ (2.41)

そうすれば，

∂

∂xµ(Xν eν) =

∂Xν

∂xµeν +XνΓσνµeσ (2.42)

=(∂Xν

∂xµ+XλΓνλµ

)eν (2.43)

これをカルテシアンの場合 (2.38)と比べると，成分の微分に基底の分が含まれていることが分かる。これを，

Xν;ν = Xν

,µ + ΓνλµXλ (2.44)

と書いて，共変微分といい，Γνλµをクリストッフェル記号とよぶ（テンサーではない）。

さて，極座標でのクリストッフェル記号を計算してみると，

Γrθθ =1

sin2 θΓrφφ = −r (2.45)

Γθθr = Γφφr =1

sin2 θΓθφφ =

1r

(2.46)

Γφθφ = cot θ (2.47)

である（上にないものはすべてゼロ。是非やってみて）。

V µ;µ = V µ,µ + ΓµνµVν (2.48)

= V t,t + ΓµtµVt + V r,r + ΓµrµV

r

+ V θ,θ + ΓµθµVθ + V φ,φ + ΓµφµV

φ (2.49)

=∂

∂tV t +

(∂

∂r+

2r

)V r

(∂

∂θ+ cot θ

)V θ +

∂

∂φV φ (2.50)

=∂

∂tV t +

1r2

∂

∂r

(r2V r

)+

1sin θ

∂

∂θ

(sin θV θ

)+

∂

∂φV φ

(2.51)

ここで，特に V µ = gµνf,ν とすると，[− ∂2

∂t2+

1r2

∂

∂rr2∂

∂r+

1r2 sin θ

∂

∂θsin θ

∂

∂θ+

1r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

]f = 0

(2.52)

これは極座標表示におけるラプラシアンに他ならない。今の基底では規格化されていないのだが，実際に規格化してみると，

~V = V t∂

∂t+ V r

∂

∂r+ V θ

∂

∂θ+ V φ

∂

∂φ(2.53)

= V t∂

∂t+ V r

∂

∂r+ rV θ · 1

r

∂

∂θ+ r sin θV φ · 1

r sin θ∂

∂φ(2.54)

以上の議論は一般相対論のときも同様に行われる。

6 2 MINKOWSKI時空とMETRIC TENSOR

2.3 Boost変換Lorentz変換についてもう一度触れておく事にする。間隔の不変性 (2.10)から，

ds2 = ηµνdxµdxν = η′µνdx

′µdx′ν

であるから，座標変換

dx′µ =∂x′µ

∂xλdxλ

によって，metricは

ηλσ = η′µν∂x′µ

∂xλ∂x′ν

∂xσ(2.55)

という変更を受ける。これは，一般的なテンサーに対する変換則である。この時，座標変換が特に

η′µν = ηµν (2.56)

となっているものを Lorentz変換と呼んでいるのである。

座標変換が Lorentz変換になっているとき，(2.55)は

ηλσ = ηµν∂x′µ

∂xλ∂x′ν

∂xσ(2.57)

となるから，微分すると

0 = ηµν

(∂2x′µ

∂xα∂xλ∂x′ν

∂xσ+∂x′µ

∂xλ∂2x′ν

∂xα∂xσ

)

= ηµν

(x′µ,λαx

′ν,σ + x′µ,λx

′ν,σα

)≡ ηµνQµνλσα (2.58)

であるから，

0 = ηµν (Qµνλσα −Qµνσαλ +Qµναλσ)

= 2ηµν∂2x′µ

∂xα∂xσ∂x′ν

∂xλ

したがって，

∂2x′µ

∂xα∂xσ= 0 (2.59)

∴ x′µ = Lµαxα + Lµ (2.60)

である。(2.57)に代入して

ηλσ = ηµνLµλL

νσ (2.61)

両辺の determinantをとれば

det (Lµλ) = ±1 (2.62)

が導かれる。

(2.61)の (00)成分は，

−1 = −L00L

00 + L1

0L10 + L2

0L20 + L3

0L30

(L0

0

)2= 1 +

3∑

j=1

(Lj0

)2

(2.63)

であるから，

L00 ≤ −1, or 1 ≤ L0

0 (2.64)

のどちらかでしかない。また，時間成分については恒等変換になっているものを特に

LR →

1 0

0 R

(2.65)

と書く事にすると，det LR = ±1より

det R = ±1 (2.66)

となる。以上を纏めると，

det L = 1 det L = −1

1 ≤ L00 空間反転なし，空間反転あり，

時間反転なし時間反転なし

L00 ≤ −1 空間反転なし，空間反転あり，

時間反転あり時間反転あり

である。Lorentz変換の集合は群をなしているが，部分群となるのは，恒等変換を含む det L = 1, L0

0 ≥ 1の集合のみである。これをproper(固有) Lorentz変換と呼ぶ。また，特にLµ = 0のものを homogeneous変換と呼ぶこともある。固有変換は，空間の回転変換と運動系間の変換 (Boost変換ということもある)とからなる。空間の 3次元回転は部分群を作るが，Boost変換のみでは部分群にならない。つまり，Boost変換の積がまたBoost変換になっているとは限らない。

さて，一般の Boost変換を求めてみよう。K′ 系が K系に対して vi で動いているとする。逆に，K系は，K′ 系に対して −viで動いている。

dx′µ = Lµνdxν (2.67)

K系で静止している物体に対して，dxi = 0であるから，dx′0 = L0

0dx0

dx′i = Li0dx0

(2.68)

また，

dx′i

dx′0= −vi

より，

Li0 = −viL00 (2.69)

(2.61)の (00)成分の関係から

−1 = − (L0

0

)2+ δijL

i0L

j0

=(L0

0

)2 [−1 + δijvivj

]

∴(L0

0

)2=

11− δijvivj ≡ γ

2

すなわち，L0

0 = γ, Li0 = −viγγ =

(1− δijvivj

)−1/2 (2.70)

7

という関係にあることが導かれる。また，(2.61)の (0i), (ij)成分は，

η0i = ηµνLµ0L

νi = 0

ηij = ηµνLµiLνj = δij

∴

0 = −L00L

0i + δklL

k0L

li

δij = −L0iL

0j + δklL

kiLlj

(2.70)とより，

γL0i = δklL

k0L

li = −δklγvkLl i

であるから，第 2式は，

δklLkiLlj = δij + L0

iL0j

= δij + δklvkLl iδmnv

mLnj

[L(v)

]µν→

γ −γvj

−γvi δij +vivjv2

(γ − 1)

(2.71)

f Thomas precession

3 相対論的力学質量mの粒子の運動をMinkowski時空で考えてみよう。K′系にあたるものとして，粒子に固定されて粒子とともに運動する系をを考えるのが便利である。このような系はずっと等速直線運動するわけではないが，瞬間的には慣性系と見なすことができる。運動する粒子に固定された系での時間間隔

dτ =dt

γ=dt′

γ′(3.1)

を粒子の固有時間 (proper time)と呼ぶ。固有時間はどの慣性系から見ても同じになるから，これを基準として Newtonの法則 (momentum conserv.)を書き直すことにすれば，４元運動量ベクトルを

pµ =d(mxµ)dτ

(=

m:const.mdxµ

dτ

)(3.2)

として，運動方程式はどの慣性系でも

dpµ

dτ= Fµ (3.3)

という同じ形になる。４元運動量5pi = (p0,p) の成分は

p0 = mdx0

dτ= m

cdt

dτ= γmc (3.4)

p = mdx

dτ= γmv = γmcβ (3.5)

で，空間成分 pは３元の運動量を表している. γ → 1 のときはmv となって古典的な運動量に一致する. ４元運動量の内積は

ηµνpµpν = pµp

µ = p0p0 + p · p (3.6)

= −γ2m2c2(

1− v2

c2

)= −m2c2 (on shell) (3.7)

となる6（運動の形態，観測者に依らない定数！！univesality！）。m2c2 は定数なので

d

dτ(pµpµ) = 2pµ

dpµ

dτ= 0 (3.8)

したがって常に (universalに)pµFµ = 0が成り立つ。「universalに」の意味は，「任意の慣性系で」という事である。このように，vectorと 1-formの縮約（に限らず，tensorの縮約）は系によらない，universalなものである事が分かる。この様な量をLorentz不変量という。さて，この時，

pµFµ = p0F

0 + p · F= −γmcF 0 + γmv · F= 0 (3.9)

であるから，運動方程式の第０成分は

dp0

dτ= F 0 (3.10)

=v · Fc

(work done per unit time on the particle)

(3.11)

となる. ここで v · F は粒子が単位時間にされる仕事 (i.e. 仕事

率)であるから，d(cp0)

dτは粒子のエナジーEの単位時間の増分

に他ならない. そこで E = cp0として pµpµ = −m2c2に代入す

ると，E = c

√p2 +m2c2 = γmc2 p = |p|

が得られる. 粒子の速度 vが cに比べて十分小さいとき，この式は近似的に

E =mc2√1− β2

;(

1 +12β2

)mc2 = mc2 +

12mv2 (3.12)

とかける. 確かに，第２項に見なれた古典的な運動エネルギーが出てくる。第１項は相対論によって新たに認識されることになったエネルギーである。つまり，v = 0であっても E = mc2

として存在するエネルギーで，（静止）質量エネルギーと呼ばれる有名な式である。なお，４元運動量の第０成分がエネルギーに対応していることから分かるように，エネルギーの保存則および運動量の保存則は，相対論では４元運動量の保存として自然に１つの形にまとめられる。時間方向の運動量がエネルギーとして認識されるのである。

さて，Lorentz因子の意味を考えてみよう。この先対称性（静的，球対称，軸対称等）のある一般相対性理論を学ぶにあたっ

5Lagrangianの微分 ∂L

∂xµから正準運動量を決めるという立場からは，1形式として定義する方が本筋であろう。特殊相対性理論では添字の上下でほとんど違

いはないが，メトリックが場所の函数で表される一般相対性理論では形が著しく異なる。また，保存量という概念にも繊細になる必要がある。6on (mass) shell condition は，軌跡のパラメタが固有時間になっているということに他ならない。このようなパラメタを affine parameter とよんでいる。

λ = aτ + b (a, b : const.)この様な関係にないことを，off (mass) shell にあるという。注意しなければならないことは，Euler-Lagrange 方程式を満たすものは on shell にはかぎらないということで，全く別々に条件を課すのである。最小作用の原理から得られるパスの parametrization は任意であるが（そもそもパスの形が決まってしまえばよい。どのように進むかまでは指定していない），その parameter が affine であるということの要請は，実在する粒子が on shell であるということは逆に，virtual particle は off mass shell 状態となっている。

8 3 相対論的力学

て重要な，空間の直和分解について関わる事なので，より一般的に詳しく書く事にする。加速運動している粒子の 4-velocity

を ~uとすると，Killing vector ~k =def

∂

∂tに対して

−~k · ~u = −k0u0 = −u0 (3.13)

であるが，定義より，

−u0 = u0 =dt

dτ= γ (3.14)

なので，

γ = −~k · ~u (3.15)

である事が分かる。このように，観測者の時間軸方向の単位ベクトルとその系の座標系で表現した粒子の４元速度との内積はLorentz因子を与える。この事は，一般相対論に進んだときも本質的には同様である。結局 Lorentz因子とは，観測者の時間方向への４元速度の成分なのである。世界間隔の定義から

ds2 = −dτ2 = −dt2 + dx2particle (3.16)

= −dt2 + v2dt2 (3.17)

= −(1− v2)dt2 (3.18)

∴ dt

dτ=

1√1− v2

= γ (3.19)

ここで

~u =d

dτ

=dxµ

dτ

∂

∂xµ

=dt

dτ

∂

∂t+dt

dτ

dxk

dt

∂

∂xk

= γ∂

∂t+ γvk

∂

∂xk

である事を注意しておく。もちろん，

~u

→

ABSF(γ, γv)

→MCRF

(1, 0, 0, 0)(3.20)

もし，４元速度 ~uの慣性系から４元速度 ~u′を持つある粒子を観測した場合を考えよう。簡単のため，

uµ →FIDO

(γ, γv, 0, 0) (3.21)

u′µ →MCRF

(γ′, γ′v′, 0, 0) (3.22)

→FIDO

(Γ,ΓV, 0, 0) (3.23)

としよう。

γ′ = −uµu′µ = γΓ− γΓvV

より，V についての 2次方程式

1− v2v′2

1− v′2 V 2 − 2vV +v2 − v′21− v′2 = 0

を得る。これを実際に解くと

V =1− v′2

1− v2v′2

(v ±

(1− v2

)v′

1− v′2)

(3.24)

V =v + v′

1 + vv′(3.25)

v, v′ の少なくともどちらか一方が 1(= c) であったとしても，V = 1となっていることに注意しよう。また，上の面倒な計算は幾何学的に考えれば瞬殺出来る。Lorentz変換がMinkowski時空の微小体積を変えない (ヤコビアンが 1，あるいはディターミナントが 1と言ってもよい。)ということと，双曲線と直線の交点とそれらが囲む面積の関係から，

v = tanhS (3.26)v′ = tanhS′ (3.27)

が得られ，速度合成は

V = tanh (S + S′) =tanhS + tanhS′

1 + tanhS tanhS′=

v + v′

1 + vv′(3.28)

となるのである。幾何学的に考える利点のひとつであろう。（残念だが，metricが普通の Euclideanと異なるので，角度の議論を行うのには注意を要する。実際，直交の概念はこれまでのものとは大幅に変わるだろう。）エネルギーが γmc2となる事から，観測者からみた超相対論

的な粒子の慣性は大きくなる事が分かる。ただし，質量が増えるという表現は正しくない事を指摘しておく。エネルギーについて

−E =def

pµkµ (3.29)

と，より一般的に定義しておこう。これは後で一般的な保存量（Noether current, Noether charge）というものを議論する時に再度議論する。光子はmass lessなので，古典的に考えれば運動量を持たな

い事になってしまうのだが，Compton散乱などの実験結果から分かるように正しくない。相対性理論では，On shell条件から

pµpµ = −mc2 = 0 (3.30)

=⇒ −p0p0 = p2 (3.31)

となるが，量子力学が教えているように E = hν であるから，

p0 =E

c=hν

c= ~ω (3.32)

したがって，

|~p| = hν

c=h

λ= ~k (3.33)

というふうに，universalに決まってしまう事がわかる．これは，どの系で見ても光子は

E = hν , |~p| = hν

c(3.34)

で走っているという事である。つまり，絶対に静止出来ないのである。このように，相対論は光子が運動量を持つという事を自然に説明するのである。

問題

相対論的な等加速運動（与えられた各瞬間における固有基準系において一定の大きさの加速度 wを持つような直線運動)を決定せよ．

ふつうの水素の原子核は質量

mp = 1.6726× 10−24g

3.1 最小作用の原理 9

をもつ陽子１個だけから成るが，重水素と呼ばれる，陽子と中性子各１個から成る原子核をもつ水素がある。中性子の質量は

mn = 1.6749× 10−24g

であるから (何故mp < mnなのか？という事を考えてみて…)，単純に陽子と中性子を合わせた質量はmp+mn = 3.3475×10−24

g であるが，同じ構成である重水素の原子核の質量は

mD = 3.3436× 10−24 g

で，∆m = (mp +mn)−mD = 3.9× 10−27 g だけの質量差がある。これは相対論によれば

∆E = ∆mc2 = 3.5× 10−6 erg

に相当し，重水素の原子核において陽子と中性子を結合するエナジーになっているのである。∆mが小さいため，一見すると質量エナジーなんてたいしたことはないように見えるかも知れないが，例えば 1 g の質量エネルギーがどれくらいの大きさになるか自分で計算してみるとよい。古典物理の枠内では質量の保存は独立して絶対的なものであったが，相対論は質量とエナジーの等価性を明らかにし，質量エナジーが光子のエナジーや粒子の運動エナジーなど他のエナジーに転換できることを示したのである。

電子 e− と陽電子 e+ の対消滅で 1個の photonになる事

e− + e+ 6→ γ

は，4-momeum conservationから禁止される。実際，重心系で

2γmc2 = E2 − p2c2 = 0 (3.35)

となってしまうが，これは正しくない。

3.1 最小作用の原理実現する物理法則の表現として，解析力学で教わるように最小作用の原理というものがあった。位相空間内の粒子の軌跡に対して定義される作用が，最小（極値）になるようなものが実現可能であるというものである。物理系が与えられた時に作用が定義出来るかどうかは必ずしも自明ではないが，よく知られている物理系に対しては Lorentz不変性や空間的対称性からその形が限定される。ただし，一意的に定まるとは限らない。例えば，特殊相対論の自由粒子に対する定式化はすぐ後に見るよう

に，世界間隔が最小になるように取られる。しかし，同じ軌跡を取る様な Lagrangianの決め方はこれだけではなく，kineticenergyを Lagrangianにとってもよい事が示される。最小作用の原理が美しいことは，電磁気学に一端が現れているといえよう。Maxwell方程式を導出する際に，Lorentz不変なものとして，FµνFµν と εµνλσF

µνFλσ があげられる7。この Fµν は電磁場の強さを表す tensorでゲージ原理から一意的に定まる，いわゆる曲率である。古典電磁気学で見たように，ベクトルポテンシャルは任意の函数（の gradient）を付け加えてもよいのであった。また，量子力学では確率が絶対値で与えられるため，位相の自由度がある。解析力学が教えてくれるように，自由度があるときに，付随した保存量が存在するということは，系によって異なる成分を持つ vectorに対して universalな保存量が定義できるということであり，絶対的な概念のない相対論において重要な意味を持つことは言うまでもない。この際に，量子力学について復習しておこう。

3.1.1 数学に関する補足；変分法 ∼前期量子論λ(∈ R)の函数 xµ(λ)と xµ = dxµ

dλ からなる函数 L(λ, xµ, xµ)の函数形が決まっているとする. (a, b)という区間で積分

I[xµ, xµ] =∫ b

a

L(λ, xµ, xµ)dλ (3.36)

を，始点と終点を固定しておくという条件の下で極値にする条件を考える。xµ(λ)が微小変化したとき，その微小変化分を αµ(λ)とすると

xµ(λ) −→ xµ(λ) + εαµ(λ), |εαµ(λ)| ¿ |xµ(λ)| (3.37)

δI =∫ b

a

[L(λ, xµ + εα, xµ + εα′)− L(λ, xµ, xµ)]dλ (3.38)

δI = 0より次の方程式を得る。

d

dλ

∂L

∂xµ− ∂L

∂xµ= 0 (3.39)

この方程式を Euler-Lagrange方程式という。ここで，

πµ =def

∂L

∂xµ(3.40)

で定義される πµを正準共役な運動量（あるいは一般化運動量）という。このとき，もし Lagrangian Lが λに explicitに依らな

7成分で表せばそれぞれ(FµνFµν = −2(E2 −B2)

εµνλσFµνFλσ = 4E ·B

pseudo-tensor について，ε0123 = −ε0123 = −1 であり，

εαβγλεµνρσ = −4!δ[αµ δβ

ν δγρ δ

λ]σ = −

hδαµδ

βν δ

γρ δ

λσ − δβ

µδγν δ

λρ δ

ασ + δγ

µδλν δ

αρ δ

βσ − δλ

µδαν δ

βρ δ

γσ − δα

µδβν δ

λρ δ

γσ + δβ

µδλν δ

γρ δ

ασ − δλ

µδγν δ

αρ δ

βσ + δγ

µδαν δ

βρ δ

λσ

+ δαµδ

γν δ

λρ δ

βσ − δγ

µδλν δ

βρ δ

ασ + δλ

µδβν δ

αρ δ

γσ − δβ

µδαν δ

γρ δ

λσ − δα

µδλν δ

γρ δ

βσ + δλ

µδγν δ

βρ δ

ασ − δγ

µδβν δ

αρ δ

λσ + δβ

µδαν δ

λρ δ

γσ

+ δαµδ

λν δ

βρ δ

γσ − δλ

µδβν δ

γρ δ

ασ + δβ

µδγν δ

αρ δ

λσ − δγ

µδαν δ

λρ δ

βσ − δα

µδγν δ

βρ δ

λσ + δγ

µδβν δ

λρ δ

ασ − δβ

µδλν δ

αρ δ

γσ + δλ

µδαν δ

γρ δ

βσ

i

ここで α = µ として縮約すると

εµβγλεµνρσ =−h4δβ

ν δγρ δ

λσ − δγ

ν δλρ δ

βσ + δλ

ν δγρ δ

βσ − δλ

ν δβρ δ

γσ − 4δβ

ν δλρ δ

γσ + δλ

ν δγρ δ

βσ − δγ

ν δλρ δ

βσ + δβ

ν δλρ δ

γσ + 4δγ

ν δλρ δ

βσ − δλ

ν δβρ δ

γσ + δβ

ν δλρ δ

γσ − δβ

ν δγρ δ

λσ

− 4δλν δ

γρ δ

βσ + δγ

ν δβρ δ

λσ − δβ

ν δγρ δ

λσ + δβ

ν δλρ δ

γσ + 4δλ

ν δβρ δ

γσ − δβ

ν δγρ δ

λσ + δγ

ν δβρ δ

λσ − δγ

ν δλρ δ

βσ − 4δγ

ν δβρ δ

λσ + δβ

ν δλρ δ

γσ − δλ

ν δβρ δ

γσ + δλ

ν δγρ δ

βσ

i

=−hδβν δ

γρ δ

λσ − δβ

ν δλρ δ

γσ + δλ

ν δβρ δ

γσ − δλ

ν δγρ δ

βσ + δγ

ν δλρ δ

βσ − δγ

ν δβρ δ

λσ

i

さらに，β = ν として縮約すれば，

εµνγλεµνρσ = −h4δγ

ρ δλσ − 4δλ

ρ δγσ + δλ

ρ δγσ − δγ

ρ δλσ + δλ

ρ δγσ − δγ

ρ δλσ

i= −2[ δγ

ρ δλσ − δλ

ρ δγσ ]

などが得られる。

10 3 相対論的力学

いならば

H(πµ, xµ) =def

πµxµ − L(xµ, xµ) (3.41)

(3.42)

は軌道に沿って定数である（ちなみに，この様な変換を Legen-dre変換という）。この事を見てみよう。まず，最初の変分原理まで話を戻すと，

I[πµ, xµ] =∫

(πµxµ −H(π, x)) dλ (3.43)

=⇒ δI =∫

(δπµxµ + πµδxµ − δH) dλ

=∫ (

xµ − ∂H

∂πµ

)δπµ −

(πµ +

∂H

∂xµ

)δxµ

dλ

− [πµδxµ] = 0

⇐⇒

xµ =

∂H

∂πµ

πµ = − ∂H∂xµ

(3.44)

これは正準方程式とよばれるもので，Euler-Lagrange方程式と同値である。1階の微分方程式という面で解きやすい。そうすると，軌道に沿ってH は，

dH(πµ, xµ)dλ

=∂H

∂xµdxµ

dλ+∂H

∂πµ

dπµdλ

= 0 (3.45)

なので，保存することが分かる。作用函数は，xµ(λ), xµ(λ)の函数なので一般に汎函数と呼ばれる。作用の変分をとる際には，軌道の両端点を固定して，その値の極値を与える軌道を見つけるわけだが，次のような変分を考えてみる。出発点 (x(1) ≡ xµ(λ1))を固定しておいて，Euler-Lagrange方程式を満たしながら軌道上を運動する粒子に対して，終点 (xµ(λ))をいろいろと動かしてみる。Euler-Lagrange方程式（あるいは正準方程式）の解を(pµ, xµ)としておくと，作用函数

I[πµ, xµ] =∫ λ

λ1

(πµ ˙xµ −H(π, x)

)dλ ≡ S (xµ(λ)) (3.46)

は xµ(λ)の函数である (終点を決めると同時に，始点から終点までの解軌道が定まると考える)。これを，Hamiltonianを用いて議論しよう。ただし，煩雑になるので tilderは取ってしまう。

δS =∫

(δπµxµ + πµδxµ − δH) dλ

=∫ (

xµ − ∂H

∂πµ

)δπµ −

(πµ +

∂H

∂xµ

)δxµ

dλ

− [πµδxµ]λλ1

= πµ(λ)δxµ(λ)

したがって，

∂S

∂xµ= πµ (3.47)

であることがわかった。一方，解軌道が定まっているから，積分を λで微分すれば，

dS

dλ= πµx

µ −H(π, x) (3.48)

=∂S

∂λ+

∂S

∂xµdxµ

dλ(3.49)

より，

−H(π, x) =∂S

∂λ(3.50)

つまり，作用函数が空間座標と軌跡のパラメタ（固有時間とは限らない）の函数として与えられている場合，軌跡を決めることが出来る。作用函数を計算する為には運動方程式を解かなければならないのだから，循環論法に陥っている感じがするかもしれない。しかし，よく考えれば明らかなように，実際には次の微分方程式を解けばよいということに他ならない。

−H(∂S

∂xµ, xµ

)=∂S

∂λ(3.51)

これを，Hamilton-Jacobi方程式という。量子力学が建設される際に Hamiltonian-Jacobi方程式が重要な鍵になったように，多くの困難に対して古典論からの示唆を与える。これが，量子力学の幕開けにどのように寄与したかについて考えてみよう。量子力学では，相対論とマッチするかどうかはそれほど簡単

なことではないし，幕開け期には非相対論的であったので，そのようにしてみる。つまり，これまで，粒子の軌跡のパラメタはアファインパラメタであったが，0-成分の「時間」tを用いよう。そうすると，Hamilton-Jacobi方程式は，

∂S

∂t+H

(∂S

∂xi, xi

)= 0 (3.52)

である。もっとも簡単な例として，自由粒子の場合H =p2

2mを

考えると，

S(t, x) = −Et+ x√

2mE + const. = −Et+ px (3.53)

となる。両辺を Planck定数で割ってみると，

S

~= −E

~t+

p

~x (3.54)

= −ωt+ kx

であり，これは de Broglieの仮説である。一般の場合でも，作用函数を Planck定数で割ったものが波の位相であると考えると，

ψ = eiS~ (3.55)

粒子の速度は波束の群速度に等しいということも分かる。以上が，量子の幕開けの話である。今となっては，Feyn-

man(1947) が定式化した経路積分と呼ばれる量子力学の表現方法がよいだろう。これについて簡単に触れておく。

ψ(t+ dt, x) =∫ ∞

−∞dy K(dt;x, y)ψ(t, y) (3.56)

K(dt;x, y)は伝播函数 (propagator)と呼ばれ，時間 dtの間に点 yから点 xに伝わる波を表す。

(under construction)

8。量子論と特殊相対論が合体するのはそれほど簡単な話ではないということは気に留めておく必要がある。

8より詳しくは，西島和彦「相対論的量子力学」，中西襄「場の量子論」など。

11

3.1.2 最小作用の原理（cf．測地線，Fermat，Euler-Lagrange）

要請作用は基準系の選び方に依らない．(Lorentz invariance,Universality)

上の要請から，自由粒子の作用は定数のみで記述されなければならない．

S = −∫αcdτ (3.57)

δS = 0 (3.58)

が，現実の粒子のとる運動である。ただし，以下のようにとってもよい。

S[x] =∫dλ

12ηµν

dxµ

dλ

dxν

dλ(3.59)

S[x, e] =12

∫dλ

(ηµν x

µxν

e−m2e

)(3.60)

ここで cdτ =√−ηµνdxµdxν より，

S =∫

(−α√−ηµνvµvν)dt(v0 = c, vi =

dxi

dt

)

= −αc∫ √

1− β2dt (3.61)

L = −αc√

1− β2 (3.62)

これが非相対論的極限で古典的になるということから，9

L −→N.R.−αc+

12αv2

c=

12mv2(= LNR) (3.63)

これより，α = mcであるから，結局，S = −mc2 ∫

dτ

L = −mc2√

1− β2 = − 1γmc2

(3.64)

作用を (3.59)とした場合を考える。

δS =∫dλ

∂L

∂xµδxµ +

∂L

∂xµδxµ

=∫dλ (ηµν xνδxµ)

= −∫dλ

d

dλ(ηµν xν) δxµ = 0

∴ xµ = 0 (3.65)

となって，実際に自由粒子を表している事が分かる。電磁場があるときの粒子の運動方程式を考えよう。場の中で

どのように相互作用しているか，actionを考えなければならない。場の 4-potentialとして，Aµ → (−φ,A)とし，これによるactionを

e

c

∫Aµdx

µ (3.66)

とおいてみる10と，電磁場中の荷電粒子に対する actionは，

S =∫ (−mc2dτ − eφdt+

e

cA · dr

)(3.67)

=∫

(−mc2√

1− β2 + eA · β − eφ)dt (3.68)

L = −mc2√

1− β2 + eA · β − eφ (3.69)

となる。一般化運動量やハミルトニアンを計算してみよう。

P =∂L∂v

=mv√1− β2

+e

cA

= γmv +e

cA (3.70)

H = v∂L

∂v− L =

mc2√1− β2

+ eφ

= γmc2 + eφ

= c

√(P − e

cA

)2

+m2c2 + eφ (3.71)

となって，古典電磁気学で扱った式がでてくる。

これより，古典的極限 (β ¿ 1)では，

Hclassical =1

2m

(P − e

cA

)2

+ eφ (3.72)

Lclassical =12mv2 +

e

cA · v − eφ (3.73)

が得られる。

(3.66) が場と粒子の相互作用を表す項である事が分かったが，4-potentialを用いているのは興味深い。作用原理を基本として出発する場の理論では，4-potentialが本質的な役割をするのである。

3.1.3 散乱断面積

4 場の中の粒子の運動と電磁場の tensor

4.1 電磁場中の粒子の運動作用がわかれば変分をとって実現する運動を知ることが出来る。というのは，ややブルオブザウッズな感じだろうか。エンピリカルに得られた方程式をきれいに定式化し，より深淵な物理を思索すると言うべきだろう。δS = δ

∫Ldt = 0 より，

d

dt

∂L

∂v− ∂L

∂r= 0 (4.1)

Euler-Lagrange eqn.9Taylor 展開

γ = 1 +1

2β2 +

3

8β4 + O(β6)

γ−1 = 1− 1

2β2 − 1

8β4 + O(β6)

10universal に決定できるものは（Lorentz 不変な）scalar だけである。

12 4 場の中の粒子の運動と電磁場の TENSOR

これが場の中の粒子の運動方程式を与えるようにする11。まず，作用を次のようにとると，

δS = δ

∫ (−mc2dτ +

e

cAµdx

µ)

= 0

⇐⇒∫ (

mηµνdx

µdδxν

dτ+e

c(Aµdδxµ + δAµdx

µ))

= 0

⇐⇒∫ [

mηµνuµdδxν +

e

c

(Aνdδx

ν +∂Aµ∂xν

δxνdxµ)]

= 0

⇐⇒∫ ((

mηµνuµ +

e

cAν

)δdxν +

e

cAµ,νdx

µδxν)

= 0

⇐⇒∫ (−d

(mηµνu

µ +e

cAν

)+e

cAµ,νdx

µ)δxν

+[(mηµνu

µ +e

cAν

)δxν

]fix

= 0

となる12。端点を固定しているので，第 2項の定積分はゼロになる。

∫ (−d

(mηµνu

µ +e

cAν

)+e

cAµ,νdx

µ)δxν = 0

⇐⇒∫ [(

−mηµνduµ − e

cdAν

)+e

cAµ,νdx

µ]δxν = 0

⇐⇒∫ [(

−mηµνduµ − e

cAν,µdx

µ)

+e

cAµ,νdx

µ]δxν = 0

⇐⇒∫ [−mηµνduµ − e

cFµνdx

µ]δxν = 0

⇐⇒ mduν = −ecFµνdx

µ

⇐⇒ mduµ = −ecFνµdx

ν =e

cFµνdx

ν

従って，次の方程式を得る。

mduµdτ

=e

cFµνu

ν , Fµν =def

∂Aν∂xµ

− ∂Aµ∂xν

(4.2)

Fµν は Faraday tensorと呼ばれる場の情報をもっている tensorである。この結果が何を意味するのかが問題であるが，出発点(principle)は何であるかということを常に念頭に置いておく必要がある。どういった conceptで何を principleにして話をしているか注意しよう。また，(4.2)式の左辺は，

duµ

dτ=∂uµ

∂xνdxν

dτ= uµ,νu

ν = uµ,0u0 + uµ,iu

i (4.3)

= γ

(∂uµ

∂t+ vi

∂uµ

∂xi

)(4.4)

であるから，流体力学で見かける::::::::::::::::::::::::::::Lagrange微分が自然に現れる。

粒子の静止系（共動座標系）でみれば Lorentz因子はとれ，ただの時間の偏微分になる。

異なる作用から同じ方程式を導出してみよう。作用を

S =∫dλ

(12mηµν x

µxν)

+ eAµxµ

(4.5)

ととれば Euler-Lagrange方程式は

d

dλ

∂

∂xλ

(12mηµν x

µxν + eAµxµ

)

− ∂

∂xλ

(12mηµν x

µxν + eAµxµ

)= 0

mdxµdλ

+ edAµdτ− eAν,µxν = 0

mdxµdλ

= e (Aν,µ −Aµ,ν) xν

∴ mdxµdλ

= eFµν xν (4.6)

(4.5)の右辺第 1項で on mass shell条件から定数 (-1)になってしまうじゃないかと思うかもしれないが，それは正しくない。この段階では，xµxµ = −1という関係が成り立っていない。つまり，そもそも作用を考える上でそのような関係にあるとは仮定していない（off-shell）。ただし，それはEuler-Lagrange方程式を満たしていないということとは別であるということに注意しよう。

さて，(4.5)から canonical conjugateな運動量を求めてみよう。それは，定義より，

πµ ≡ ∂

∂xµ

(12mηλσx

λxσ)

+ eAλxλ

(4.7)

= mxµ + eAµ (4.8)

時間成分と空間成分に分けて書けば，

π0 = mu0 + eA0 = −γm− eφ (4.9)

π0 = γm+ eφ (4.10)πi = mui + eAi = γmvi + eAi (4.11)π = γmv + eA (4.12)

となっていることがわかる。これは以前に計算した結果に一致する。

(4.2)の様な式を，tensor方程式と呼ぶ。任意の系で成り立つ方程式である（もちろんその成分は系によって変わる）。この事を見てみよう。ある系で，Aµ = Bµ が成り立っていたとすると，他の系に移れば Aν

∂

∂xν= Aν

∂xµ

∂xν∂

∂xµ= Aµ

∂

∂xµ

4.2 Faraday tensor

電荷分布は電場を生み，電流は磁場を生じさせる。誰にとって電子が走っているのかは，電磁気の場がどの系に対してどのようなものになっているかという事に対して本質的である。以下に見るように，Faraday tensorが Lorentz不変なのであって，電磁場というものは観測者によって異なるという事に注意しなければならない。Newton力学では見えてこない磁場と電場の関係が，相対論によって見通しがよくなることをみる。ここでは，ある慣性系で電磁場がある場合を考える。

ある慣性系において電場，磁場は次のように定義されるべきものである。

Eµ = Fµνkν (4.13)

Bµ = − ∗Fµνkν = −12εµναβk

νFαβ (4.14)

11もちろん得られる結果が妥当であることが仮定の正当性を与えるのである。12ds2 = −c2dτ2 = ηµνdxµdxν より，−2c2dτ · δτ = ηµνδxµdxν + ηµνdxµδdxν = 2ηµνdxµdδxν となるので，−c2δdτ =

ηµνdxµ

dτdδxν

4.2 Faraday tensor 13

もちろん，これらの場はその慣性系に対する電磁場であり，他の系にとって電場や磁場は異なる。このとき

Fµν = kµEν − kνEµ + εµναβkαBβ (4.15)

∗Fµν = −kµBν + kνBµ + εµναβkαEβ (4.16)

Eµkµ = Bµk

µ = 0 (4.17)E0 = B0 = 0 (4.18)

である事がすぐに分かる。

最小作用の原理から，4-velocity ~uの粒子に働く力は Fµνuν で

あるから，dpµdτ

= eFµνuν (4.19)

= e(kµEνu

ν + u0Eµ + ε0µνβuνBβ

)

となる。ここでu0 =

dt

dτ= γ

ui =dxi

dτ=dt

dτ

dxi

dt= γvi

(4.20)

より，結局dpµdτ

= eγ(Fµ0 + Fµiv

i)

(4.21)

∴

dE

dτ= eγE · v

dp

dτ= eγ (E + v ×B)

(4.22)

先ほどの定義 (4.13), (4.14)は，

F0i = −Ei, Fi0 = Ei

Fij = ε0ijkBk

∗F0i = Bi,∗Fi0 = −Bi

∗Fij = ε0ijkEk

などから，Faraday tensor を次のように定義した事に他ならない。

(Fµν) →(t,x,y,z)

0 −Ex −Ey −EzEx 0 Bz −ByEy −Bz 0 BxEz By −Bx 0

(4.23)

(∗Fµν) →(t,x,y,z)

0 Bx By Bz−Bx 0 Ez −Ey−By −Ez 0 Ex−Bz Ey −Ex 0

(4.24)

もともと曲率として定義されたものであるから，Bianchiの恒等式を満たす。

F[µν,λ] = 0 (4.25)

Dual tensor(Maxwell tensor)を用いれば，∗Fµν;ν = 0 (4.26)

と書ける事も知っておくとよいだろう。

最後に，4-potential（gauge場）を用いて電磁場を表しておこう。電場は，(4.13)より，

Eµ = (Aν,µ −Aµ,ν)kν = A0,µ −Aµ,0∴ Ei = − ∂

∂xiφ− ∂

∂tAi (4.27)

磁場に関しては，（4.14）より，

Bµ = −12εµ0βγ

(Aγ,β −Aβ,γ)

=12ε0µβγ

(Aγ,β −Aβ,γ)

=12ε0µβγA

γ,β − 12ε0µβγA

β,γ

=12ε0µβγA

γ,β − 12ε0µγβA

γ,β

=12ε0µβγA

γ,β +12ε0µβγA

γ,β

= ε0µβγAγ,β (4.28)

∴ Bi = εijk∂

∂xjAk

∴ Bi = εijk∂

∂xjAk (4.29)

となっている。3次元の表現で書けばおなじみさが倍増する。

E = −∇φ− ∂

∂tA (4.30)

B = ∇×A (4.31)

4.2.1 Faraday tensorの Lorentz変換

4元速度 ~uで走っている粒子に対する電磁場は次のように定義される。

E′µ = Fµνuν (4.32)

B′µ = − ∗Fµνuν = −12εµναβu

νFαβ (4.33)

Euler-Lagrange方程式は (4.2)であるから，

dpµdτ

= eFµνuν = eE′µ (4.34)

E′µ, B′µの第０成分は０であるとは限らない。(4.15), (4.16)より，

E′µ = kµEνuν + u0Eµ + ε0µνβu

νBβ (4.35)

B′µ = u0Bµ + kµuνBν + ε0µνβu

νEβ (4.36)

なので

E′0 = −Eνuν = −E · u = −γE · vE′i = u0Ei + ε0ijku

jBk = γ (E + v ×B)iB′0 = −uνBν = −γv ·BB′i = u0Bi − ε0ijkujEk = γ (B − v ×E)i

(4.37)

左辺の電磁場は，~uで運動する系で観測した電磁場を，粒子が~uで動いていると観測する静止系の基底で表現したものである事に注意しよう。つまり，その成分は ~uの系の成分とは異なる。一方で，Faraday tensorを Lorentz変換しても以下の式を

得る．??甚だ疑問??

E′ = γ (E + β ×B) (4.38)B′ = γ (B − β ×E) (4.39)

この表現 (bold体)はいい意味でも悪い意味でも混同するので注意が必要である。特に，電場，磁場は 4-vectorではないので，このような表現は適切ではない。例えば，以下に述べるように，ある系で電場がゼロであっても，一般に他の系で電場はゼロと


はならないのである。つまり，電場のみでは物理的な実体としての vectorではあり得ない。ただし，(4.32), (4.33)は vectorであることは明白である。微妙な点だが，これらが電場，磁場として切り離された場として考えることに無理があるという事であって，この点を間違えてはならない。gauge場を議論する時に分かるように物理的な実体とは vector potential Aµ であり，その強さを表す Faraday tensor(曲率)である。

もし基準系で電場がゼロならば，

~E′ →(t,x,y,z)

(0, γv ×B) (4.40)

~B′ →(t,x,y,z)

(−γv ·B, γB) (4.41)

であるから，

du0

dτ= 0

duidτ

= γεijkvjBk

(4.42)

このように観測者にとって磁場しかなくても，電子の静止系からみれば電場が存在するという事があり得る。

4.2.2 Gauge原理

Gauge原理によれば，U(1)対称性をもつ場のゲージ場として一意的に定まるものが電磁場である。

ここでは少しだけ自由Dirac Lagrangianについて触れておく事にしよう。

L = iψγµ∂

∂xµψ −mψψ (4.43)

(L = i~cψγµ

∂

∂xµψ −mc2ψψ

)(4.44)

に対して，変換

ψ → ψeiθ(xµ) (4.45)

を施した時

ψ → ψ′ = ψ′†γ0 = (ψeiθ(x))†γ0 = ψ†e−iθ(x)γ0

= e−iθ(x)ψ†γ0 = e−iθ(x)ψ

となるので，

L → iψ†eiθ(x)γ0γµ∂

∂xµψeiθ(x) −mψ†e−iθ(x)γ0ψeiθ(x)

= L − ψγµ ∂θ(x)∂xµ

ψ

であり，∂θ(x)∂xµ

に依存してしまう事が分かる。また， ∂ψ

∂xµとい

う項は

∂ψ

∂xµ→ ∂

∂xµ

(ψeiθ(x)

)= eiθ(x)(ψ,µ + iθ,µψ) (4.46)

と変換されてしまうので，右辺第２項から分かるように，gauge不変性を破ってしまうのである。そこで，この余分な項を打ち消す様な各点で定義される微分 Dµ を導入してみよう。

Dµ ≡ ∂

∂xµ− Vµ (4.47)

Vµ は次の変換に従うものとする。

Vµ → Vµ + i∂θ(x)∂xµ

(4.48)

そうすると，

Dµψ = ψ,µ − Vµψ

→ eiθ(x)(ψ,µ + iθ,µψ)−(Vµ + i

∂θ

∂xµ

)ψeiθ(x)

= eiθ(x)Dµψ

であるから，したがって Dirac Lagrangianは

L = iψγµDµψ −mψψ

であり，そう定めたように gauge不変である。実際にもう一度計算すれば

L = iψγµDµψ −mψψ→ ie−iθψγµeiθDµψ −mψψ= iψγµDµψ −mψψ

L = iψγµDµψ −mψψ − 14FµνFµν (4.49)

ただし，

Dµ ≡ ∂µ − ieAµ (4.50)

(L = i~cψγµ

(∂µ − i e~cAµ

)ψ −mc2ψψ − 1

16πFµνFµν

)

場の理論では，Aµが本質的な役割をする事がわかる。また，共変微分から曲率を求めてみると，

[Dµ,Dν ] = [∂µ − ieAµ, ∂ν − ieAν ]= −ieFµν (4.51)

∴ Fµν = − 1ie

[Dµ,Dν ] (4.52)

となっている事が分かる。この曲率 tensorを Faraday tensorと呼んでいるのである。我々はこの様な関係を一般相対論に入ってからすぐに Riemann tensor等で見る事になるであろう。この tensorから Lorentz不変量をつくると，

FµνFµν = −2(E2 −B2

)(4.53)

εµνλσFµνFλσ = 4 (E ·B) (4.54)

これらは，Lorentz不変量である事を指摘しておく。２つの不変量がともにゼロである場合は，全ての基準系においてEとBは大きさが等しく，互いに垂直である。単に (4.54)がゼロの場合は，E = 0または B = 0となる様な，つまり，純粋に磁場または純粋に電場となる様な基準系が存在するという事に他ならない。逆に，ある系で，E = 0または B = 0ならば，他の全ての系で互いに垂直である。また，ある基準系で (4.53)がゼロ，つまり絶対値が等しいならば，任意の基準系でそうである事も分かる。　　　　　　　　　　　

4.3 電磁気学 15

4.3 電磁気学自由場に対する作用は次の条件を満たしている必要がある。• Superposition: これを満たすのは線型微分方程式である。　• 変分をとると 1次: 変分をとる前は 2次。• universality: 座標系に依らず，Lorentz invariantである為には，scalarである必要がある。電磁場が存在する場合，その場の作用は

S =∫ (

eAµdxµ − 1

16πFµνFµνd

4x

)(4.55)

で与えられる。vector場 (gauge場)Aµの変分をとれば，場の満たすべき運動方程式を得る事になる。

S =∫ (

ρeAµdxµ − 1

16πFµνFµνdt

)d3x (4.56)

=∫ (

ρeAµvµ − 1

16πFµνFµν

)d4x (4.57)

より13，Lagrangian density Lは，

L = ρeAµvµ − 1

16πFµνFµν (4.58)

であるから，Euler-Lagrange方程式はd

dxν∂L∂Aµ,ν

− ∂L∂Aµ

= 0 (4.59)

⇐⇒ − 116π

d

dxν(4F νµ)− ρevµ = 0 (4.60)

⇐⇒ Fµν,ν = 4πρevµ ≡ 4πIµ (4.61)

最小作用の原理から得られる場の方程式とBianchi恒等式を合わせて，結局，Maxwel方程式は

F[µν;λ] = 0 (4.62)Fµν;ν = 4πIµ (4.63)

となるが，これを電場と磁場を使って書けば

∇ ·B = 0 (4.64)∂B

∂t+ ∇×E = 0 (4.65)

∇ ·E = 4πρe (4.66)

−∂E

∂t+ ∇×B = 4πJ (4.67)

である。上の 2 つが Bianchi 恒等式 (4.62) から得られる式（Gauss の法則，Faraday の法則）であり，下の 2 つが (4.63)から得られる式（Gaussの法則，Ampereの法則）である。ただし，

ρe = −Iνkν (4.68)

= I0 (4.69)

Jµ = −2I [µkν]kν (4.70)

= Iµ − I0kµ = Iµ − ρekµ (4.71)

→(x0,x1,x2,x3)

(0, Ii) (4.72)

である。このような定義をわざわざ書いておくのは，他の系にいったときもこのように定義するということを強調しておきたかったからで，例えば今の系に対して（timelikeな）~nで運動する系で見た電荷密度や電流密度は，

ρ′e = −IνnνJ ′µ = −2I [µkν]nν

(4.73)

と定義されるのである。(4.73)の右辺を計算してみる。

J ′µ = (Iνkµ − Iµkν)nν (4.74)

=14π

(F νλ,λk

µnν − Fµλ,λkνnν)

(4.75)

→FIDO

14π

(nkF

kλ,λ, −n0F

iλ,λ

)(4.76)

→MCRF

14π

(0, F iλ,λk

0 − F 0λ,λk

i)

(4.77)

(4.70) の場合は ~n = ~kとして，

Jν → 14π

(0, F iλ,λ

)(4.78)

である。時空の任意の vectorを時間軸に垂直な空間に射影する場合を考えよう。この時の射影 tensorは

Prµν = gµν + kµkν (4.79)

で与えられるので，ある vector ~uに対して

Prµνuν = (δµν + kµkν)uν

= uµ − u0kµ

→(t,x,y,z)

(0, ui)

uν ≡ Iν とすれば，上の式が言っている意味が分かる。当たり前の事であるが時間成分はなく，空間成分はそのまま空間成分である（一般相対論では変更を受ける事を注意しておく）。電流を担う電子の 4元速度を ~uとすれば，Iµ = ρev

µ であるので

ρe = ρev0 = ρe · 1 (4.80)

Jµ = ρevµ − ρekµ = ρe

dxµ

dt− ρekµ (4.81)

→(t,x,y,z)

(0, ρev) (4.82)

一般に，nullでない vector ~qに対して，垂直な部分多様体へ射影する tensorは

Pr = η − ~q ⊗ ~q~q · ~q (4.83)

で与えられる。しかもその部分多様体の metricはこの projec-tionであることが容易に示される。~I の ~nに垂直な空間への正射影は，

γµνIν = (δµν + nµnν) Iν (4.84)

= Iµ − ρ′enµ (4.85)

である。

13ρed3x = e とおいていることに注意。


場が満たす方程式

一方，電磁場の満たすべき運動方程式は,

Tµν(em) =def

14π

(FµλF νλ −

14gµνFλσFλσ

)(4.86)

=18π

(FµλF νλ + ∗Fµλ ∗F νλ

)(4.87)

に対して，

Tµν;µ =14π

((FµλFνλ

);µ− 1

4(FλσFλσ

);ν

)(4.88)

=14π

(−4πIλFνλ + FσλFνλ;σ − 1

2FλσFλσ;ν

)(4.89)

= −FνλIλ +18πFσλ (Fνλ;σ + Fλσ;ν + Fσν;λ) (4.90)

= −FνλIλ (4.91)

である。空間に分布する電荷密度，電流密度に対して相互作用している事を表している。このように，物理的な対象物として場を認識することが必然的にでてくる事が分かるであろう。もちろん，電荷や電流の空間分布がなければ，一種の保存則が成り立っている（後で扱う事になると思うが，右辺を０としてしまうことを Force-Free近似と言う。Blandford-Znajek(1977)はブラックホールの近傍においてこの近似を仮定し，回転エナジーを引き出すメカニズムを与えた）。ここで，（4.15）より，

Tµν =14π

(kµkν(E2 +B2)− (BµBν + EµEν)

)

+14π

(kµενλαβ + kνεµλαβ)kαBβEλ +18πηµν(E2 +B2)

(4.92)

であるから，

Pµ = −Tµνkν (4.93)

= Tµ0 =18π

(kµ(E2 +B2)− ε0µλβEλBβ

)(4.94)

より

P 0 =18π

(E2 +B2) (4.95)

P i =14πεijkEjBk =

14π

(E ×B)i (4.96)

(4.93)は，Pµが場の energy fluxであるという事を言っている。(4.95)は時間方向の fluxであるからそれはつまり densityを意味し，(4.96)は３ D空間内の fluxであり，おなじみの Poynt-ing vector（energy flux）である。すぐに分かるように，~P は，FµλI

λ = 0ならば divergence freeなので P 0 は保存量である。これは，Killing vectorにみられる一般的な性質であり，一般相対論にいったときに保存則の導出の基本となる考え方である。空間成分についても求めておこう。

T i0 =14πεijkEjBk (4.97)

T ij = − 14π

(EiEj +BiBj) +18πηij(E2 +B2) (4.98)

同様にして，

~P = T

(∂

∂xi

)(4.99)

はmomentum fluxである。磁気流体の時にもう一度この tensorを扱うが，電磁気による圧力や張力が存在することが容易に推測される。

(Tµν)→

18π

(E2 +B2

) 14πεiklEkBl

14πεjklEkBl

18πγij

(E2 +B2

)

− 14π

(EiEj +BiBj

)

(4.100)

但し，γij = ηij − kikj = ηij である。もう一度各成分の意味を書いておくと，MCRFにおいて

(Tµν) →MCRF

energy density energy flux across xi

T ij

j-momentum i-momentum fluxdensity across xj

である。また，

Tµµ =14π

(FαβFαβ − 1

4δµµF

αβFαβ

)= 0 (4.101)

である事に注意しよう。これは後で扱う一般相対論で議論される，物質が作る場，すなわち重力場と根本的に異なる点である。電磁場のエナジーモーメンタムテンサーはトレースフリーなのである。したがって，

(energy density) =∑

i=x,y,z

(pi across xiconstant plane

)

(4.102)

ということを意味している。

さて，もし

Bi = εijknjEk(nini = 1

)(4.103)

という関係にあれば，

εijkBjEk = εijkεjlmnlEmEk = (nkEk)Ei − (EkEk)ni

より

BiBi = BiεijknjEk = −njεjikBiEk

= −nj((Eknk)Ej − (EkEk)nj

)

= EkEk −(nkEk

)2

となる。さらに，

niEi = 0 (4.104)

という関係にあればE2 = B2

E ×B = E2n(4.105)

であるから，energy-momentum tensorは

(Tµν)→

E2

4πE2

4πni

E2

4πnj

14π

(E2γij − EiEj −BiBj)

(4.106)

4.3 電磁気学 17

となる。n →(x,y,z)

(0, 0, 1)となるように座標系を選ぶと，

Ez = 0, E2 = (Ex)2 + (Ey)2

Bx = −Ey, By = Ex, Bz = 0

であるから，

(Tµν) →(t,x,y,z)

E2

4π0 0

E2

4π0 0 0 00 0 0 0E2

4π0 0

E2

4π

(4.107)

最後に，Stokesの定理について述べておこう。それは，∫

D

ω =∫

∂D

dω (4.108)

というもので，∫

V

∇ ·QdV =∮

∂V

Q · dS (4.109)∫

S

∇×QdS =∮

∂S

Q · dl (4.110)

などとなる。ここで，3次元空間の微分について述べておこう。

d(Aidx

i)

=∂Ai∂xj

dxj ∧ dxi (4.111)

d(Aijdx

i ∧ dxj) =∂Aij∂xk

dxk ∧ dxi ∧ dxj (4.112)

= (Aij,k −Aik,j) dxi ∧ dxj ∧ dxk= εijk (4.113)

d(Aijkdx

i ∧ dxj ∧ dxk) =∂Aijk∂xl

dxi ∧ dxj ∧ dxk ∧ dxl

≡ 0 (4.114)

もちろん，Stokesの定理は 3次元に限られたものではないが，高次元，例えば４次元の外微分では，回転とは何か，勾配とは何かという事をその作用の仕方として理解する事が出来る。相対論では，もちろん４次元空間を考えているので，

∮QµdSµ =

∫Qµ,µdV (4.115)

∮Qµdxµ =

∫dfµνQν,µ (4.116)

と表される。以上の議論から分かる通り，相対論とはつまり（古典的な）

場の理論なんだということである。以下では，特殊な場合の電磁場がもつ性質を見ていくことにしよう。

sourceのない場

Sourceは電流密度と電荷密度である。電荷という 1つのパラメタ（そしてそれが速度を持っている場合）によって生成される場の性質について考えよう。この時のMaxwell方程式は，

∇ ·B = 0 (4.117a)∂B

∂t+ ∇×E = 0 (4.117b)

∇ ·E = 0 (4.117c)

−∂E

∂t+ ∇×B = 0 (4.117d)

(4.117b)と (4.117d)に rotを演算する。その際，

(∇× (∇×E))i = εilm∂l(εmjk∂jEk)

= (δijδlk − δikδlj)∂l∂jEk

= ∂k∂iEk − ∂j∂jEi

= [∇(∇ ·E)− (∇ ·∇)E]i

などの初等的な計算から次の波動方程式を得る。

¤E =(− ∂2

∂t2+

∂

∂xi∂

∂xi

)E = 0 (4.118)

¤B =(− ∂2

∂t2+

∂

∂xi∂

∂xi

)B = 0 (4.119)

1Dの (source-free)波動方程式を解いてみよう。[− 1v2

∂2

∂t2+

∂2

∂x2

]f(t, x) = 0 (4.120)

=⇒(−1v

∂

∂t+

∂

∂x

)(1v

∂

∂t+

∂

∂x

)f(t, x) = 0 (4.121)

の解は，

f ∝ ±ei(vt±x) (4.122)

となる。

B = 0の場

前に注意したように，この系で磁場がゼロなので，任意の系で磁場と電場は直交する。Maxwell方程式を書き下してみよう。

∇ ·B = 0 (4.123a)∂B

∂t+ ∇×E = 0 =⇒∇×E = 0 (4.123b)

∇ ·E = 4πρe (4.123c)

−∂E

∂t+ ∇×B = 4πJ =⇒∂E

∂t= −4πJ (4.123d)

電流が存在しても，電場の rotationがゼロならば磁場は存在しないという事になる。また，(4.123b), (4.123d)より，直ちに

∇× J = 0 (4.124)

が導かれる。

E = 0の場

先ほどの場合と同様，他の系では磁場と電場は直交する。Maxwell方程式は，

∇ ·B = 0 (4.125a)∂B

∂t+ ∇×E = 0 =⇒∂B

∂t= 0 (4.125b)

∇ ·E = 4πρe =⇒ρe = 0 (4.125c)

−∂E

∂t+ ∇×B = 4πJ =⇒∇×B = 4πJ (4.125d)

(4.125b), (4.125d)より

∂J

∂t= 0 (4.126)

となる。また，(4.125d)の発散をとれば，

∇ · J = 0 (4.127)

18 5 相対論的平衡熱力学

静的な場

時間微分がゼロであるとすると，Maxwell方程式は

∇ ·B = 0 (4.128a)∂B

∂t+ ∇×E = 0 =⇒∇×E = 0 (4.128b)

∇ ·E = 4πρe (4.128c)

−∂E

∂t+ ∇×B = 4πJ =⇒∇×B = 4πJ (4.128d)

となってしまう。

5 相対論的平衡熱力学各粒子は個別に加速運動しているが，密度，平均速度，温度等の物理量が等しい集団を考える。この集団を（微小）要素と呼ぶ事にする。各要素についてその共動座標系で観測される物理量で議論する。

ここで以下の物理量を定義しておこう。全て粒子の rest frameにおける物理量である。

ε 粒子 1個あたりの静止エネルギーを除いた内部エネルギー

ε 粒子 1個の質量あたりの静止エネルギーを除いた内部エネルギー = ε/m

n 粒子数密度 = N/Vρ0 静止質量密度 = nmρ 体積あたりのエネルギー密度 = E/V

エネルギー密度 ρは，静止質量，ランダム運動のエネルギー，chemical potentialなどのすべてのエネルギー密度の総和であり，

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::内部エネルギー εは静止質量以外のすべてのエネルギーで

あるとする。定義から，

E = Nε+Nmc2 (5.1)

ρ = n(mc2 + ε) = ρ0c2(1 +

ε

c2

)= ρ0c

2 + nε (5.2)

ε =ρ

n−mc2 (5.3)

熱力学第 1法則は∆E = ∆Q−p∆V である。相対論的な粒子という条件は，第一義的には高エネルギー粒子を意味するが，また kBT À mc2 を意味する。すなわち，平均エネルギーが静止エネルギーよりも十分大きいときに相対論的粒子という。したがって, 質量が十分小さいときにも相対論的粒子と呼ばれることに注意しよう。このとき，

E ≈ Nε, ρ ≈ nε (5.4)

としてよい。もちろんmassless粒子ならば等式になる。逆に非相対論的粒子では，平均エネルギーが静止エネルギーに比べて十分小さい（kBT ¿ mc2）。したがって，

E ≈ Nmc2, ρ ≈ ρ0c2 (5.5)

と考えてよい。

体積 V の要素のなかに N 個の粒子が含まれていれば N = nVなので，

:::::::::::::::::::粒子数が一定の場合

0 = V dn+ ndV (5.6)

⇐⇒ dV = −Vndn = −N

n2dn (5.7)

となる。また，E = ρV より

dE = ρdV + V dρ = −ρNn2dn+

N

ndρ (5.8)

であるから，結局

d′Q = dE + pdV = dE − pNn2dn (5.9)

=N

ndρ−N(ρ+ p)

dn

n2

∴ d′QN

=dρ

n− (ρ+ p)

dn

n2(5.10)

=dρ

n+ (ρ+ p)d

(1n

)(5.11)

今，N が一定の要素について考えているので，q = Q/N とおけば

nd′q = dρ+ n(ρ+ p)d(

1n

)(5.12)

を得る。1階の微分方程式では，一般的には必ず積分因子を持つ。従って，上式右辺は完全微分を用いてAdBと表される。これで温度，entropyを定義するのである。すなわち，

dρ+ ρ0(ρ+ p)d(

1ρ0

)≡ nTdS (5.13)

ここで熱力学第 1法則の別の表現について触れておく。(5.13)の左辺第 1項は，

d(ρ0(1 + ε)) = (1 + ε)dρ0 + ρ0dε

= −ρ20(1 + ε)d

(1ρ0

)+ ρ0dε

となるので，

dε = TdS

m− pd

(1ρ0

)(5.14)

∴ dε = Tds− p d(

1ρ0

)(5.15)

[dε = TdS − pd

(1n

) ]

ただし，sは単位質量あたりの entropyである。

この時，enthalpy H = E + pV は

H

V= ρ+ p

= ρ0 + ρ0ε+ p

∴ H

ρ0V= 1 + ε+

p

ρ0≡ h (5.16)

ただし，h =H

mNは一粒子の単位質量あたりの enthalpy で

ある。

19

平衡

2 つの孤立系 (A，B と呼ぶ事にする) からなる閉じた合成系(A+Bと呼ぶ)を考える。系 A+Bは閉じているから

EA + EB = const.VA + VB = const.NA +NB = const.

ここで，SA+B = SA + SB であるから，

dSA+B = dSA + dSB

=[∂SA∂EA

]

VA,NA

dEA +[∂SA∂VA

]

EA,NA

dVA

+[∂SA∂NA

]

VA,EA

dNA +[∂SB∂EB

]

VB ,NB

dEB

+[∂SB∂VB

]

EB ,NB

dVB +[∂SB∂NB

]

VB ,EB

dNB

=(

1TA− 1TB

)dEA +

(pATA− pBTB

)dVA

−(µATA− µBTB

)dNA

したがって，entropy最大の原理からTA = TB , pA = pB

µA = µB

が得られる。

系の熱力学的函数 S = (E, V,N1, · · · , Nr)が与えられているとし，断熱的な剛体の「反応容器」に閉じ込められているとしよう。dE = dV = 0であるから，

dS =r∑

j=1

µjTdNj (5.17)

ここで粒子数の変化は化学式の係数 νj に比例するから

dS =∑

j

µjTνjdN =

dN

T

∑

j

µjνj (5.18)

したがって，entropy最大の原理は，平衡状態でr∑

j=1

µjνj = 0 (5.19)

が成り立つことを意味する。水素の (第 1)イオン化エネルギーは 13.6eVであるが，温度

に直して (後ろの定数表をみよ)大体 104K程度である。したがって，高温になると中性原子の電子は分離すると考えてよい。さらに高温になると原子核どうしが熱核融合をおこし重い原子核が作られるようになる。核子当たりの binding energyが最も大きいのは 56Feであるから，核融合反応によって作られる最終生成物はこの鉄 56である。ところが，さらに高温であると，次のように熱輻射により再

び分解 (光分解)されてしまう:

56Fe + γ −→ 13 4He + 4n− 124.4MeV (5.20)4He + γ −→ 2p + 2n− 28.3MeV (5.21)

1010K以上では原子核は完全に溶けて陽子と中性子からなる状態になってしまう。星の内部においてこの反応が起こり始める

と，それまでに核融合によって支えていた重力との均衡が破れ，重力崩壊を起こす事になる。温度が高い現象として重要なのが，粒子の対生成である。粒

子が現れる温度は大体その粒子の rest mass energy程度

kBT ' mc2 (5.22)

である。

温度が上がる事によって起こる ionization について考えよう。簡単のため原子は 2状態のみを考え，次の反応が平衡状態にあるとする。

A ¿ A+ + e− (5.23)

平衡の条件は

µ0 = µ+ + µ− + I (5.24)

但し，I はイオン化エネルギーであるとし，index 0は A，-はA+, +は e− を示す。各成分が非縮退であれば

µi = kBT ln

(nigi

(2π~2

mikBT

)3/2)

(5.25)

となるから，(5.24)は

n+n−n0

=g+g−g0

(mekBT

2π~2

)3/2

e−I/kBT (5.26)

したがって，イオン化している原子の ratioを x =n+

n0 + n+=

n−n0 + n+

で表せば，

x2

1− x =g+g−g0

1n

(mekBT

2π~2

)3/2

e−I/kBT (5.27)

となる。この方程式を Saha方程式と呼ぶ。

Expansion, Shear, Vorticity tensor

一般の 2階のテンサー Vµν に対して，

Vµν = Auµuν +Bµuν + Cνuµ +Kµν (5.28)= Auµuν +Bµuν + Cνuµ

+ hλµhσνV[λσ] + V〈µν〉 +

13hµνVσλh

σλ (5.29)

但し，

A = Vµνuµuν

Bµuµ = Cµuµ = 0

Kµν =def

hλµhσνVλσ (=⇒ uµKµν = uνKµν = 0)

Kµνuµ = Kµνu

ν = 0

K〈µν〉 =def

hαµhβν

(K(αβ) −

13Kλσh

λσhαβ

)

=

12

(hαµh

βν + hανh

βµ

)− 13hαβhµν

Kαβ

と一意的に分解できる。そうすると，uµ;ν に対しては，すぐに分かるように，

uµ;ν = −uµuν + σµν +13θhµν + ωµν (5.30)


ここで

σµν =def

hαµhβνu〈α;β〉 (5.31)

θ =def

uµ;µ (5.32)

ωµν =def

hαµhβνu[α;β] (5.33)

はそれぞれ shear, expansion rate, vorticity を表す tensor，scalarである。さらに，expansion rateを表す tensor

θµν =def

hαµhβνu(α;β) (5.34)

も定義しておこう。このとき，

θµµ = θ (5.35)

θµν = σµν +13θhµν (5.36)

の関係にあることが分かる。

5.1 Stress-Energy tensor

T (dxµ, dxν) = Tµν (5.37)

を xν が一定の面を横切る xµ 方向の運動量 fluxであると定義する。

Tµ0(t,x)dfeq∑a

cpaµ(t)δ3 (x− xa(t)) (5.38)

Tµν =∑a

paµ dxa

ν

dt

=∑a

paµpa

νδ3 (x− xa(t)) (5.39)

多くの物理系は，衝突のない粒子の集団として理想化して考える事が出来る（黒体輻射，希薄プラズマ，銀河，球状星団など）。この様な系では，各点でランダム運動した等方空間であるならば，stress-energy tensor は完全流体のものに一致する。

天体の明るさの観測とは，天体から放出された輻射の流束 T 0i

を地球で測定するという事であるが，一定の光度 L を持つ星の静止系（星を原点におく）で，星からの輻射の stress-energytensorの成分は，

T 00 = T 0x = T x0 = T xx =L

4πx2(5.40)

となる。系に依存しない表現は，

T =L

4π

~X ⊗ ~X

(~us · ~X)4(5.41)

で与えられる。ただし，~usは星の 4-velocityで， ~X は輻射の放出と観測の事象を結ぶ null vectorである。

5.2 完全流体

δI = δ

∫dt(K − V )

K は運動エナジーであり，V はポテンシャルエナジーである。

∫Bµνu

µuνdτ Bµν = Bνµ (5.42)

の Euler-Lagrange方程式への寄与は

d

dτ

∂

∂uµ(Bνλu

νuλ)− (5.43)

K =∫

12

(∂xi

∂t

)2

d3x =∫

12

(∂xi

∂t

)2

d3a (5.44)

V =∫ρ(E + U)d3x =

∫ρ0(E + U)d3a (5.45)

E = E(ρ, s) (5.46)

I =∫dtd3a

[12ρ0

(∂xi

∂t

)2

− ρ0(E + U) + α(ρJ − ρ0) + β(s− s0)]

(5.47)

相対論における完全流体とは，共動座標系（粒子が静止して見える系）において粘性と熱伝導がない流体の事を言う。完全流体の作用は，

S =∫d4x (5.48)

であるから，得られる Euler-Lagrange方程式は

(5.49)(5.50)

である。

この方程式

ρ

(∂v

∂t+ (v ·∇)v

)

= −∇p+ µ∇2v +(

13µ+ ζ

)∇(∇ · v) + ρf (5.51)

をNavier-Stokes方程式という。µはずり粘性率，ζ は体積粘性率である。

完全流体の energy-momentum tensorは

Tµν = (ρ+ p)uµuν + pηµν (5.52)

(Tµν) →MCRF

ρ 0 0 00 p 0 00 0 p 00 0 0 p

(5.53)

となる。

5.3 散逸過程 21

ちなみに，大気圧と水の密度を計算してみると

1 atm = 105 N/m2 = 1.1× 10−15 g cm−3

103 Kg m−3 = 1 g cm−3

であることから，通常 p¿ ρ0 である事が分かるだろう。

さて，流体の静止系では energy-momentum tensorの成分表示は (5.53) なのだが，他の系ではどのように書かれるべきだろうか。ここでは，他の系（F系と呼んでおくことにする）の 4-velocityを ~nとして議論しよう。まず，流体の 4-velocityを F系の基底を用いて書こう。

Γvµ ≡ γµνuν = uµ − Γnµ (5.54)∴ uµ = Γ (nµ + vµ) (5.55)

→F (Γ,Γv) (5.56)

但し，Γ = −nµuµ である。uµuµ = −1より，vµ →F (0,v)とから

Γ2vµvµ = −1

∴ Γ =1√

1− v2(5.57)

これらの関係から

ρ′ = Tµνnµnν = (ρ+ p) Γ2 + pnµnµ

= ρΓ2 + p(Γ2 − 1

)= Γ2

(ρ+ pv2

)(5.58)

Sµ = −γµνT νλnλ= −γµν [−Γ (ρ+ p)uν + pnν ]= Γ (ρ+ p) · Γvµ= Γ2 (ρ+ p) vµ (5.59)

Tµν = γµλγνσT

λσ = Γ2 (ρ+ p) vµvν + pγµν (5.60)

などが得られる。成分表示すれば，

Tµν = (ρ+ p)uµuν + pηµν

→F

Γ2(ρ+ pv2

)Γ2(ρ+ p)vi

Γ2(ρ+ p)vj Γ2 (ρ+ p) vivj + pγij

(5.61)

または，

Tµν = Γ2(ρ+ pv2

)nµnν + Γ2 (ρ+ p) vµnν

+ Γ2 (ρ+ p) vνnµ + Γ2 (ρ+ p) vµvν + pγµν (5.62)

完全流体の energy-momentum tensor

Tµν = (ρ0 + ερ0 + p)uµuν + pgµν

+14π

(FµλF νλ −

14gµνFλσFλσ

)(5.63)

より，流体のエネルギー保存則

Tµν;νuµ = 0

⇐⇒ uµ(ρ0 + ρ0ε),µ + (ρ0 + ρ0ε+ p)uµ;µ = 0 (5.64)

及び，Euler方程式（完全流体の Navier-Stokes方程式)

Tµν;ν = 0

⇐⇒ (ρ0 + ρ0ε+ p)uµ;νuν + (gµν + uµuν)p,ν = 0

が導かれる。

5.3 散逸過程非相対論的な取り扱いでは，heat flux q は温度勾配に比例し，熱伝導係数 λを用いて

q = −λgrad T (5.65)

と書けるのであった (Fourierの法則)。これを相対論の場合に拡張すると，

qµ = −λ (gµν + uµuν)(T,ν − Tuν;λuλ

)

となることを Eckartが 1940年に，こう仮定すれば熱力学第２法則を破らないという意味で示した。但し，このように仮定すると relaxation timeがゼロとなってしまい，因果律が破綻してしまう。もちろん，これは正しくない。では，どうすれば因果律を破らないですむのだろうか。そもそも，Eckartの仮定は toosimpleなのである。というのは，散逸過程をどのように組み込むかということが問題なのだが，エントロピーのフラックスに対して

Sµ = Snuµ +qµ

T

と仮定したのである。このように置いた場合の議論，つまり当時 Eckartが考えたことを追って見よう。

（書くよ，後でさ）

エネルギー散逸のある流体に対しても，粒子の 4-currentは完全流体と同様に定義されるはずである。particle fluxがゼロであるような流体要素の平均 4-velocityを選ぶ。この様な系をparticleframeと呼ぶ。

局所的に平衡な物理量を

n, ρ, p, S, T , uµ

と書くことにする。particle frameでは， uµを n, ρが局所的なものに一致するようにとれる。これに対して，pは局所的な値とは一般にずれる。つまり，particle frameでは，

n = n, ρ = ρ, p = p+ Π (5.66)

ここで，Π = p − pは，bulk viscous pressureと呼ばれるものである。以下では，局所的な量の barを取り除き，圧力に関しては p+ Π = peff と書くことにしよう。

Energy-momentum tensorは平衡状態のものから導出されるはずのもので，symmetricになっていなければならない:

Tµν = ρuµuν + (p+ Π)hµν + qµuν + qνuµ + πµν (5.67)

ここで，qµu

µ = 0πµν = π〈µν〉

(5.68)

qµ は heat flux，πµν は異方的圧力を表す。


粒子数と energy-momentumの保存を要請する。

Nµ;µ = 0 (5.69)

Tµν;ν = 0 (5.70)

(5.70)を uµ で縮約すれば

ρ+ θ (ρ+ p+ Π) + hµνqµ;ν + 2uµqµ + σµνπµν = 0 (5.71)

を得る。また，

(ρ+ p+ Π) uµ + h νµ (p,ν + Π,ν) +

(43θhµν + σµν + ωµν

)qν

+h νµ qν + hµνπ

νλ;λ = 0 (5.72)

不可逆過程なのでもはや entropyは保存せず増加する。Entropyの生成 rateは，entropy 4-currentの divergenceで与えられる。

Sµ;µ ≥ 0 (5.73)

Sµ に散逸項を加える。

Sµ = Snuµ +Rµ

T(5.74)

S = S, T = T の関係はGibbs equationによって成り立っている。 - This is the Israel-Stewart approach.

ここで，Rµは，nµと Tµν の代数的な函数であると仮定しよう。また，平衡状態にあるときはゼロになっているとする。

Rµ =def

Rµ (nν , T νσ) , and Rµ = 0 (5.75)

This assumption is part of hydrodynamical description inthe sense that non-equilibrium states are assumed to be ad-equately specified by the hydrodynamical tensors nµ, Tµν

alone.

標準的な Eckart theoryでは，最も簡単な仮定をたてる:散逸量を表す (Π, qµ, πµν) の線型結合であると仮定する。つまり，

Rµ = f(n, ρ)Πuµ + g(n, ρ)qµ (5.76)

Sµ = Snuµ +qµ

T(5.77)

entropy fluxの発散をとると，

TSµ;µ = −[θΠ +

(uµ +

T,µT

)qµ + σµνπ

µν

](5.78)

そうすると，Sµ;µ ≥ 0となる為に，まず

Stokes: Π ≡ −ζθ (5.79)

Fourier: qµ ≡ −λ(h νµ T,ν + T uµ

)(5.80)

Newton: πµν ≡ −2ησµν (5.81)

としてみよう。非相対論的流体力学において，ζ, λ, ηはそれぞれバルク粘性 (bulk viscousity), 熱伝導度 (thermal conductiv-ity), ずれ粘性 (shear viscousity)とよばれるものである。14 そうすると，

Sµ;µ =Π2

ζT+qµq

µ

λT 2+πµνπ

µν

2ηT(5.82)

であるから，したがって，

ζ, λ, η ≥ 0 (5.83)

ならば

Sµ;µ ≥ 0 (5.84)

となることがわかる。一見うまくいっているように見えるが，このままでは実はまずい。というのも，破ってはいけない掟, 因果律を破っているのである。原因は Eckartの仮定がシンプルすぎるということだった。

より一般的には，散逸項に 2次以上の項を入れるべきである。ここでは 2次までの項を入れてみる。

Sµ = Snuµ +qµ

T− 1

2T(β0Π2 + β1q

νqν + πλσπλσ)uµ

+α0Πqµ

T+α1π

µνqνT

(5.85)

このとき，effective entropy density sは，

−uµSµ = Sn− 12T

(β0Π2 + β1q

νqν + πλσπλσ)

(5.86)

であり，fluxの空間成分への射影は，

hµνSν =

qµ

T+α0Πqµ

T+α1π

µνqνT

(5.87)

である。

5.4 相対論的理想気体

以下では古典統計を使って，粒子が相対論的になっている場合について考察する。相対論では，Newton力学では認識されない静止エネルギーを含んでいるため，その分を引いておくと比較しやすい。ハミルトニアンが kinetic energyだけを表すように，rest mass energyの分を引いておこう:

H =N∑a=1

(√m2c4 + p2

ac2 −mc2

)(5.88)

分配函数を求めるために，まず 1粒子分配函数を計算しよう。

Z(T, V, 1) =V

(2π~)3(mc)3emc

2/kBT

×∫ ∞

0

4πp2 exp

(−mc

2

kBT

√1 +

( p

mc

)2)

(5.89)

被積分函数は初等函数では表せないが，変形 Bessel函数を用いて表すことができる。

Z(T, V, 1) =4πV

(2π~)3(mc)3ex

K2(x)x

(5.90)

14(5.80) の右辺第 2 項は heat energy の慣性に起因するものである。Effectively, a heat flux will arise from accelerated matter even in the absence of atemperature gradient.

5.4 相対論的理想気体 23

ここで x =mc2

kBTであり，K2(x) は modified Bessel 函数15で

ある。1粒子の分配函数がもとまったので，N 粒子系の分配函数は，

Z(T, V,N) =1N !

[4πV

( mc2π~

)3

exK2(x)x

]N(5.91)

と求まる。これより，Helmholtz free energy

F (T, V,N) = −kBT lnZ(T, V,N)

= −NkBT

ln(

4πn

( mc2π~

)3 K2(x)x

)+ 1

−Nmc2

を得る。熱力学的函数16がわかったので，熱力学的諸量が順次求まっていく。まず，圧力は

p(T, V,N) = −(∂F

∂V

)

T,N

= nkBT (n = N/V ) (5.92)

である。また chemical potentialは

µ(T, V,N) =(∂F

∂N

)

T,V

= −kBT ln(

4πn

( mc2π~

)3 K2(x)x

)−mc2 (5.93)

であることがわかる。µは粒子 1つを系に加えるのに必要なエネルギーを意味し，体積を一定とすると粒子数とともに増加していく。また，entropyは

S(T, V,N) = −(∂F

∂T

)

N,V

= NkB

ln

(4πn

( mc2π~

)3 K2(x)x

)+ 1

+NkBT

x

K2(x)

(K ′

2(x)x− K2(x)

x2

)dx

dT(5.94)

となるのだが，ここでdx

dT= − mc2

kBT 2= − x

T

K ′`(x) = −K`−1(x)− `

xK`(x)

などから，

S(T, V,N) = NkB

ln

(4πn

( mc2π~

)3 K2(x)x

)+ 4 + x

K1(x)K2(x)

(5.95)

であることがわかる。以上からエネルギー

U(T, V,N) = F + TS

= Nmc2(K1(x)K2(x)

+3x− 1

)(5.96)

及び，定積比熱

CV =(∂U

∂T

)

V

= − xT

(∂U

∂x

)

V

=Nmc2

T

x+

3x− K1(x)K2(x)

(3 + x

K1(x)K2(x)

)(5.97)

が求まる17。ハミルトニアンを (5.88)としたので，上のエネルギー U の

中には静止エネルギー分は入っていない。したがって，以前定義した記号を用いれば，U = Nεである。そうすると，

E = Nε+Nmc2

= Nmc2(K1(x)K2(x)

+3x

)

∴ ρ = nmc2(K1(x)K2(x)

+3x

)(5.98)

である事がわかる。

5.4.1 超相対論的気体

以下では，マイクロカノニカルアンサンブルとカノニカルアンサンブルを駆使して，超相対論的な古典的気体の熱力学的性質を導出する。

Microcanonical ensemble

静止エネルギーに比べて運動エネルギーが十分大きい場合超相対論的粒子として扱われる。または，質量mがゼロの極限だと思ってもよい。このとき，

H =N∑a=1

|pa|c =N∑a=1

√piapiac (5.99)

また，E ≈ Nεとなっている。熱力学的性質の導出は Boltzmannの関係式

S(E, V,N) = kB lnW (5.100)

W =1

h3NN !

∫

E≤H≤E+∆E

d3Nqd3Np (5.101)

から得ることが出来る。粒子の不可弁別性からGibbsの修正因子 N !がついていることに注意しよう。この積分を計算することによって，entropy

S = kB ln

V N

N !

(2√

3hc

)3NE3N

(3N)!

= NkB

4 + ln

(1n

(E

π√

3N~c

)3)

(5.102)

を得ることが出来る。この結果を得るにあたって

ε = c√p2x + p2

y + p2z ≈

2√3

(|px|+ |py|+ |pz|) (5.103)

という近似を行っている。このため，あとでカノニカルアンサンブルを使って導出する entropy(5.113)と factorが異なってしまう。

15cf. Gradstein-Ryshik Volume I. p.409 K`(x) :=x

`

Z ∞

0e−x cosh y sinh(`y) sinh ydy

16Entropy と Legendre 変換で移り合う物理量の総称。17K`−1(x) = K`+1(x)− 2

xK`(x) を用いた。


熱力学的函数がわかったので，熱力学的諸量が求まる。まず，温度は，定義より

1T

=(∂S

∂E

)

V,N

= 3NkB1E

∴ E = 3NkBT (5.104)

である。また，圧力はp

T=

(∂S

∂V

)

E,N

=NkBV

(5.105)

∴ pV = NkBT (5.106)

(5.104), (5.106)より

p =13ρ

(ρ :=

E

V

)(5.107)

という関係があることを指摘しておく。古典統計であれ量子統計であれ，超相対論的粒子ならばこの関係が成り立つことは注目に値する。さて，この他にも，chemical potential µもわかる。

−µT

=(∂S

∂N

)

E,V

= kB ln

(1n

(ρ

π√

3n~c

)3)

(5.108)

定積比熱は

CV =(∂E

∂T

)

T

= 3NkB (5.109)

となる。

Canonical ensemble

次に，カノニカルアンサンブルの手法で考えてみよう。ハミルトニアン (5.99)より，分配函数は

Z(T, V,N) =1

N !h3N

∫d3Nqd3Np e−H/kBT

=1N !

8πV

(kBT

2π~c

)3N

(5.110)

と求まる (粒子の不可弁別性からGibbs因子をつけている)。分配函数がわかったので，Helmholtz free energyが計算出来る。

F (T, V,N) = −NkBT[1 + ln

(1π2n

(kBT

~c

)3)]

(5.111)

この free energyから，超相対論的気体の状態方程式が求まる。

p =(∂F

∂V

)

T,N

= nkBT (5.112)

S = −(∂F

∂T

)

V,N

= NkB

[4 + ln

(1π2n

(kBT

~c

)3)]

(5.113)

µ =(∂F

∂N

)

T,V

= −kBT ln

(1π2n

(kBT

~c

)3)

(5.114)

内部エネルギーを計算すると

E = F + TS = 3NkBT (5.115)

となることので，(5.113)は

S(E, V,N) = NkB

[4 + ln

(1π2n

( ρ

3n~c

)3)]

(5.116)

と書き換えられる。先ほど注意したが，こちらが正しい結果である。

5.4.2 超相対論的Bose気体

グランドカノニカルアンサンブルを使っていく。グランドカノニカル分配函数を Ξとすると，グランドカノニカルポテンシャル Φが

Φ(T, V, µ) = −kBT ln Ξ(T, V, µ)= E − TS − µN = −pV (5.117)

と定まるが，温度 kBT で割った

q(T, V, µ) = ln Ξ = −∑

k

ln(1− e−(εk−µ)/kBT

)

が便利である。平均粒子数，内部エネルギーは

N(T, V, µ) =∑

k

1e(εk−µ)/kBT − 1

(5.118)

E(T, V, µ) =∑

k

εke(εk−µ)/kBT − 1

(5.119)

と表される。超相対論的粒子やマスレス粒子では，静止エネルギーに比べて運動エネルギーが大きいので，εk = c |p| = ~c |k|としてよい。

∑

k

→ V

(2π)3

∫d3k =

2πV(2π~)3

(2m)3/2∫ε1/2dε (5.120)

q(T, V ) = − 4πV(2π~c)3

∫ ∞

0

dε ε2 ln(1− e−ε/kBT

)

=4πV

(2π~c)313

1kBT

∫ ∞

0

dεε3

eε/kBT − 1(5.121)

より，

E(T, V ) =4πV

(2π~c)3

∫ ∞

0

dεε3

eε/kBT − 1(5.122)

q = pV/kBT であるから

p =13

(E

V

)=

13ρ (5.123)

が得られる。古典統計から得られた結果と一致する。さて，(5.122)の積分を実際に計算してみると

p =13ρ =

8π(2π~c)3

(kBT )4π4

90

=π2

90~3c3(kBT )4 (5.124)

ρ =π2

30~3c3(kBT )4 (= nε) (5.125)

Helmholtz free energy

F = −pV = − 8π5

90(2π~c)3V (kBT )4 (5.126)

5.4 相対論的理想気体 25

entropyは

S =1T

(E − F ) =43E

T(5.127)

=32π5

90(2π~c)3kB(kBT )3V (5.128)

∴ S

V=

2π2

45~3c3kB (kBT )3 =

43ρ

T(5.129)

粒子数

N(V, T ) =8πV

(2π~c)3ζ(3)

(kBT

3)

∴ n =ζ(3)π2~3c3

(kBT )3 (5.130)

熱力学的諸量の温度ディペンデスと粒子数密度ディペンデンスは以下のようになっている。

n ∝ T 3, p, ρ ∝ T 4

∴ p, ρ ∝ n4/3

ちなみに，第 2式から宇宙膨張による energy densityの減衰がa−4(aは scale factor)に比例していくことがうかがえる。また，entropy density (5.129), number density (5.130)より，

S =2π4

45ζ(3)NkB = 3.60174NkB (5.131)

上の計算では ζ(3) = 1.202と代入した。

(5.123)から，光子気体の energy-momentum tensor(5.52)は,

Tµν = (ρ+ p)uµuν + pηµν

=43ρuµuν +

13ρηµν (5.132)

→F

43γ2ρ

43γ2ρvi

43γ2ρvj

43γ2ρvivj +

13ργij

(5.133)

となることがわかる。(00)成分を計算する際に，

uµ = γ (nµ + vµ)

∴ uµuµ = 0 =⇒ γ2(1− vµvµ) = 0

より，γ := −nµuµ 6= 0と，v0 = 0とから，

vµvµ = vivi = 1

となることに注意しよう18。~k → (1, 0, 0, 0)の静止系で観測する photonの 4-momentumは

~u→ (~ω, ~k) (5.134)

であるから，

γ (nµ + vµ) = ~kµ (5.135)

となる。右辺の kµ は Killing vector ~k → (1, 0, 0, 0)ではなく

~k → (~ω, ~k) (5.136)

として使っている。同じ記号を用いるなんて混乱のもとであるが，長い物には巻かれよ的に慣習にしたがって kは波数ヴェクトルと思う訳である19。時間と空間成分に分ければ，それぞれ

γn0 = ~ω (5.137)

γ(ni + vi

)= ~ki (5.138)

ところで，γ は ~nの静止系で観測した photonのエネルギーであるから γ = ~ω′ である。つまり，上の第 1式はDoppler効果を意味している。また，第 2式を変形すれば

~ω′(ni + vi

)= ~ki

i.e. vi =ki

ω′− ni (5.139)

となる。特に，~n→ (1, 0, 0, 0)ととれば，ω′ = ωであるから

vi =ki

ω′

∴ v2 = 1 ⇐⇒ k2 = ω2 (5.140)

を得る。また，energy-momentum tensorの traceは

Tµµ =43ρuµuµ +

13ρδµµ

= −43ρ+

43ρ = 0 (5.141)

5.4.3 超相対論的 Fermi気体

超相対論的な Fermi気体 (kBT À mc2)では，真空から粒子・反粒子が生成あるいは消滅する過程を無視することが出来ない。つまり，Fermi粒子からなる気体だけを扱う事は出来ず，対応する反粒子も考慮しなくてはならない。超相対論的 Bose気体では，光子や phononの反粒子は粒子と区別されないのでこのような扱いをする必要はなかったのである。真空がグランドカノニカルアンサンブルの粒子浴の役割をしているので，生成消滅過程を通して粒子と反粒子とが真空と系との間を出入りすると考えればよい。

ln Ξ = gV

(2π~c)34π3

(kBT )3[

7π4

60+

(µ

kBT

)2π2

2+

(µ

kBT

)4 14

]

(5.142)

N(T, V, µ) = g4πV

(2π~c)3(kBT )3

[(µ

kBT

)π2

3+

13

(µ

kBT

)3]

(5.143)

E = g4πV

(2π~c)3(kBT )4

[7π4

60+

(µ

kBT

)2π2

2+

(µ

kBT

)4 14

]

(5.144)

18これは，どの系からみても光速は一定 (今の場合，1) ということ。また，γ =1√

1− v2となっていないことに注意しよう。

19波数ヴェクトルに関しては n := k/k という notation をとることもしばしばある


p =13E

V(5.145)

= g1

3(~c)3(kBT )4

[7π2

120+

(µ

kBT

)2 14

+(

µ

kBT

)4 18π2

]

(5.146)

F

V= nµ− p

F

V= g

13(~c)3

(kBT )4[−1

37π2

120+

(µ

kBT

)2 112

+(

µ

kBT

)4 18π2

]

(5.147)

S

V=

1T

(ρ− F

V

)

S

V= gkB

(kBT

~c

)3[

7π2

90+

16

(µ

kBT

)2]

(5.148)

T = 0での相対論的 Fermi気体

ε =√m2c4 + p2c2 −mc2 (5.149)

lnΞ =∑

k

ln(1 + e−(εk−µ)/kBT

)

= gV

(2π~)3

∫ ∞

0

4πp2dp ln(1 + e−(ε−µ)/kBT

)

= gV

(2π~)31

3kBT

∫4πp3dp

dε

dp

1e(ε−µ)/kBT + 1

chemical potential µは粒子数から

N(T, V, µ) =∑

k

〈nk〉FD

= gV

(2π~)3

∫ ∞

0

4πp2dp

e(ε−µ)/kBT + 1(5.150)

により決定される。

温度 T = 0の Fermi気体では，平均占有数が〈n〉 = θ(εf − ε)，つまり Heviside函数で表されるので

ln Ξ = gV

(2π~)31

3kBT

∫ pf

0

4πp3dpdε

dp(5.151)

N(T, V, µ) = gV

(2π~)3

∫ pf

0

4πp2dp = g43

V

(2π~c)3p3f (5.152)

但し，pf は Fermi energyとなる運動量で，上式から

pf =(

34n(2π~c)3

πg

)1/3

∝ n1/3 (5.153)

と決まる。圧力と運動量を混同してしまうので，ここでは圧力

を P と書くことにする。

P = gV

3(2π~c)3

∫ pf

0

mc2

( p

mc

)2

√1 +

( p

mc

)24πp2dp

=4πgm4c5

3(2π~)3

∫ xf

0

sinh4 x dx

E =∑

k

εk〈nk〉

= gV

(2π~)3

∫ pf

0

(√m2c4 + p2c2 −mc2

)4πp2dp

=4πgV m4c5

(2π~)3

∫ xf

0

(coshx− 1) sinh2 x coshx dx

但し，xf = sinh−1( pfmc

)≡ sinh−1 yf である。ここで，

ψ(yf ) = 8∫ xf

0

sinh4 xdx

=√

1 + y2f

(2y3f − 3yf

)+ 3 sinh−1 yf

ϕ(yf ) = 24∫ xf

0

(coshx− 1) sinh2 x coshxdx

= 8y3f

(√1 + y2

f − 1)− ψ(yf )

より，

P = gπm4c5

6(2π~)3ψ(yf )

E = gπV m4c5

6(2π~)3ϕ(yf )

となる。

¤ 非相対論的極限 (yf ¿ 1: low density limit)

ψ(y) ≈ 8

5y5 − 4

7y7 + · · ·

ϕ(y) ≈ 125y5 − 3

7y7 + · · ·

より

ρ =2πg

5(2π~)3mp5f

(∝ n5/3

)(5.154)

P =23

(2πg

5(2π~)3mp5f

)=

23ρ (5.155)

¤ 超相対論的極限 (yf À 1: high density limit)

ψ(y) ≈ 2y4 − 2y2 + 3 ln y − 7

4+

54y−2 + · · ·

ϕ(y) ≈ 6y4 − 8y3 + 6y2 − 3 ln 2y +34− 3

4y−2 + · · ·

より

ρ =gπc

(2π~)3p4f

(∝ n4/3

)(5.156)

P =13

(gπc

(2π~)3p4f

)=

13ρ (5.157)

27

まとめnumber density n

n =g

(2π~)3

∫ ∞

0

4πp2dp

eε/kBT ± 1(5.158)

energy density u

u = ρc2 =g

(2π~)3

∫ ∞

0

4πp2dp

eε/kBT ± 1ε (5.159)

pressure p

p =g

(2π~)3

∫dp

4πp2

eε/kBT ± 1· p

2c2

3ε(5.160)

entropy density s =1T

(u+ p)

s =g

(2π~)3

∫4πp2dp

eε/kBT ± 1

(ε

T+p2c2

3εT

)(5.161)

∫ ∞

0

xn−1

ex ± 1dx =

Γ(n)ζ(n) (+)(1− 1

2n−1

)Γ(n)ζ(n) (−)

(5.162)

ζ(2) =π2

6, ζ(3) = 1.202 · · ·

ζ(4) =π4

90, ζ(5) = 1.037 · · · , Γ(n) = (n− 1)!

n =gΓ(3)ζ(3)2π2~3c3

(kBT )3 ×

1 / · · · Bosons

34/ · · · Fermions

(5.163)

energy density

u =4πcg

(2π~)3

∫ ∞

0

p3dp

ecp/kBT ± 1

=gΓ(4)ζ(4)2π2~3c3

(kBT )4 ×

1 / · · · Bosons

78/ · · · Fermions

(5.164)

nF =34gFgBnB , uF =

78gFgBuB , sF =

78gFgBsB (5.165)

g∗ =def

∑

Bosons

gi +78

∑

Fermions

gi (5.166)

g∗ =∑

B

gB +78

∑

F

gF

(TFTB

)4

(5.167)

6 相対論的磁気流体力学plasma を電気伝導性をもつ連続物質と考えて流体力学的に扱う。この方法が有効なのは，衝突度数が十分多く，局所的に熱平衡が成り立っていると考えられる事が必要である。

neλ3D À 1が成り立つ場合は，電離ガスが自由粒子の集合とみ

なせ，イオンの平均自由行程 lは Debye距離 λD に比べて十分長いことが示される。この様な気体が，流体として扱える条件は，現象のスケールを Lとすると，

l¿ L (6.1)

である。天体のガスの状態を挙げておこう。

数密度温度平均自由行程系の代表的大きさn [cm−3] T [K] nλD l [cm] L [cm]

太陽大気 1017 6× 103 0.5 10−4 107

太陽コロナ 106 106 108 4× 1011 1010

星間ガスH I 領域 1 104 108 4× 1013 1018

H II 領域 102 102 104 4× 107 1018

分子雲 104 102 103 4× 105 1018

降着ガス円盤X線星 1020 108 104 4× 10 104 (厚さ)活動銀河核 1010 4× 104 104 105 < 1018

表から分かるように，だいたい (6.1)が成り立っている。次に，タイムスケールの側面からみてみよう。音速を cs とし，

τcorr =λDcs, τr =

l

cs, τd =

L

cs(6.2)

で定義される，それぞれ correlation，relaxation，dynamicaltimeと呼ばれる 3つのタイムスケールを導入すると，

τcorr ¿ τr ¿ τd (6.3)

である。温度の存在の為にイオンが持つ速度分散の大きさは csのオーダーである。したがって，τcorr は Debye半径をイオンが通過する時間であり，粒子間の相関が重要なタイムスケールである。これに対して，τr は，イオン間の衝突によってイオン

の速度分散がMaxwell分布へと均されていくタイムスケールである。Maxwell方程式をもう一度書いてみる。

∇ ·B = 0 (6.4)∂B

∂t+ ∇×E = 0 (6.5)

∇ ·E = 4πρe (6.6)

−∂E

∂t+ ∇×B = 4πJ (6.7)

S =∫ (

116π

FµνFµν

)d4x (6.8)

28 6 相対論的磁気流体力学

6.1 Plasma

数千度以上の高温になると，流体の構成粒子は正の電荷を持つイオンと負の電荷を持つ電子とに解離した状態になる。この電離気体をプラズマという。中性気体と異なる性質として，第 1に構成粒子の運動エネルギーが非常に高いため，mean free pathが著しく長いということである。したがって，実空間の分布だけではなく，速度空間での粒子分布も考慮しなければいけない場合が多い。つまり，プラズマは，一般には位相空間での流体として扱わなければならない。電磁場中の荷電粒子の場合，速度と canonicalな運動量は一般に比例関係ではないが，後で見るように，非相対論近似の範囲内では，運動量の代わりに速度を変数に選んでも本質的に同じ形の方程式が得られる事が分かっている。

第２の特徴として，構成粒子が荷電粒子である事から，電磁場に対して強い応答を示すという事があげられる。電磁場に対するプラズマの応答は，電子流体及びイオン流体の集団的な運動として現れる事が多く，連続体として記述出来る。宇宙や地上のプラズマは，静磁場下にある場合が多いが，これに電場が加わると，稀に衝突する荷電粒子からなるプラズマは電気伝導性流体として応答し，電流が生じるようになる。この電流によって，もともとの磁場が変形したり，新しい電磁力を起因してプラズマ全体の運動を変えたりする。

この種の巨視的運動を考える際には，プラズマが本来は位相空間での流体である事を忘れて，中性流体と似た実空間での流体，すなわち電磁流体として扱うことで充分な場合が多い。しかし，電磁場のエネルギーがプラズマの熱エネルギーに共鳴的に交換される過程などでは，粒子の速度分布が微妙に影響してくる為に，Vlasov流体として扱う必要がある。

イオンは電子に比べて十分重いので，プラズマ中の運動量はほぼイオンが担うのに対し，電子はイオンに比べて十分速いので，電流はほぼ電子が担う。従って，Maxwell方程式中の電流と流体方程式中の４元速度には，一般的に何の関係もないということに注意しよう。

また，プラズマでは，遠距離相互作用である電場や磁場があると，抵抗，粘性などの散逸が小さい事から coherentな摂動である波動が存在しやすい。波動が生じる要因はさまざまであり，それに応じていろいろな分類方法がある。

通常流体では弾性力がないので横波は存在しないが，MHDでは磁力線の張力によって横波が伝わる。プラズマが変位すると磁力線が曲がって復元力が働く。

Boltzmann方程式

粒子の位相空間内での分布を考える。位相空間はカノニカルな変数の組 (xµ, pν)の空間であり，8次元空間である。また，時空の体積要素は，その時空のmetricを用いて

√−det gµνd4xであり，同じ変換則に従う運動量に関しても

√−det gµνd4pである。

dΩx =√−gdx0dx1dx2dx3

dΩu =√−gdu0du1du2du3

一般的には dΩx は分離出来ないのだが，局所 Lorentz座標でdΩx = dτdΥx (6.9)

というように分離可能である。但し，

dτ =dx0

u0(6.10)

dΥx = u0dx1dx2dx3 (6.11)

これらは，それぞれ Lorentz 不変である。このようにすれば，Lorentz invariantな“ 3次元”数密度

Fa =def

dNa

dΥxdΩu(6.12)

を定義することが可能となる。Ωu は 4次元速度空間であるが，粒子はこの空間の 3次元部分空間 Υu 上を動くので，Υu の外部空間（⊂ Ωu）では，粒子数密度がゼロになると思えばよい。dΩuも時間的な部分多様体と空間的な部分多様体に分離することが出来，

dΩu = u0du0 · 1u0du1du2du3 (6.13)

=def

dε · dΥu (6.14)

となる。（粒子は on-shell条件を満たす為に，実質 8次元位相空間中の 7次元超平面上に沿って動くことになる。）dεや dΥuがLorentz不変であるだけでなく，

dΥxdΥu = dx1dx2dx3du1du2du3 (6.15)

も Lorentz不変であることが分かる。

これより，7-次元位相空間の数密度Faを使わないで，6-次元位相空間の数密度を使うことも出来るが，

I to use the 7-dimensional phase space, and

I to perform the velocity integrals over Ωu.

などの理由から Faを以下でも用いることにする。Faは |ui| →∞としたとき，uiに較べて Faは高位の無限小であると仮定する。したがって，(ui)nFaは ∂Ωuでゼロとなる。この性質を仮定する事によって，表面項を落とすことができる。

3-D空間における分布函数は

fa =def

dNam3adΥxdΥu

=dNa

dΥxdΥp(6.16)

で定義されるので，Fa と fa との関係は

Fa = m3afaδ

(ε− γ2

2

)= m3

afaδ(u0 − γ

)

u0(6.17)

となる。したがって，Lorentz factor γ がかかった任意の核Kの 4-volume積分は，3D分布函数 faによる 3-volume積分に置き換える事が出来る:

∫

Ωu

γK(x, u)FadΩu

=∫

Υu

∫

u0γm3

zfaδ(u0 − γ)

u0K

(x, u0, pi

)dΩu

=∫

Υp

fad3p

∫

u0

γ

u0δ(u0 − γ

)K

(x, u0, pi

)du0

=∫

Υp

K(x, γ, pi

)fa d

3p (6.18)

6.1 Plasma 29

:::::::::::::::::衝突数算出の仮定 (Stosszahlansatz) と

:::::::::::::::::::::分子的混沌状態の仮定

が成り立つ場合20，各種類 aごとの分布函数 Fa に対して，dFadτ

= Fa,col (6.19)

が成り立つ。τ は固有時間である。

ここで，Fa = Fa (~x, ~u)であるから，(6.19)は次のように書くことが出来る。

®

©

ªdxµ

dτ

∂Fa∂xµ

+duµ

dτ

∂Fa∂uµ

= Fa,col (6.20)

これをBoltzmann方程式と呼ぶ。導出の際に仮定された状況は，中性分子間のような近距離力の場合などで成り立つ。また，衝突頻度の問題でもないので，衝突が十分多いとする電磁流体力学近似として扱う場合も，十分少ないとする軌道理論近似として扱う場合もBoltzmann方程式を考えればよい。しかしながら，長距離力であるCoulomb力が dominantな高電離度の場合には，粒子の相互作用が時間的にも長く続き，同時に，多くの粒子と作用し合うので Boltzmann方程式は適当ではなくなる。1つの衝突が区別出来る個別的な現象ではないのである。

Fa,col =δFin − δFout

δτ(6.21)

は衝突によって引き起こされるもので collision termと呼ばれる，散乱体との衝突や粒子相互作用による分布函数の変化の割合を示すものである。Fによって表す事が出来れば，Boltzmann方程式は F に対する Integrodifferential方程式となる。

分布関数を用いて粒子数密度 nは

n =def

∫

Ωu

γFdΩu =∫

Υp

f(xi, pj)d3p (6.22)

と定義される。粒子数フラックスは

Nµ =def

∫

Ωu

uµFdΩu =∫

Ωu

γ (nµ + vµ)FdΩu (6.23)

と定義される。~n = ~k → (1, 0, 0, 0)の場合は，

N0 =∫

Ωu

γFdΩu = n

となっており，空間成分に関しては，

N i =∫

Ωu

γviFdΩu =∫

Υu

vifad3p (6.24)

となる。systemに働く外力が粒子の速度によらない場合について考えよう。このとき，particle fluxの divergenceをとってみると，

Nµ,µ =

∫

Ωu

uµF,µdΩu

=∫

Ωu

(dFcol.

dτ− uµ,νuν

∂Fa∂uµ

)dΩu

=∫

Ωu

dFcol.

dτdΩu (6.25)

となる。なぜなら，∫

Ωu

uµ,νuν ∂Fa∂uµ

dΩu =∫

∂Ωu

uµ;νuνFadΣµ

−∫

Ωu

∂

∂uµ(uµ;νu

ν)FadΩu

= 0

であるから。

Collision termの簡単な近似は，緩和時間 tr を用いた緩和時間近似

Fcol = −F −F0

tr

であろう。F0は外場のない時の平衡分布を表す。たとえば，一様な定常状態で，外場として電場Eがあるとしよう。外場の 1次までの近似を考えると, Boltzmann方程式は，

eE · ∂F∂p

= eE · ∂F0

∂p= −F −F0

tr

となる。外場のない平衡状態でMaxwellianになっているので，

F0 ∝ e−1

kBTp2

2m

とすれば，解けて

F(p) ' F0 +etr

mkBTE · pF0

となる。またこの時，

J = ne 〈vx〉 =ne2trm

E

mkBT

∫px

2F0(p)d3p =ne2trm

E ≡ σE

という実験的な法則であるOhmの法則が導かれる。Ohmの法則とはこのように得られた事からも分かるように，電場に関して線型近似の範囲内でしか正しくないのである。

さて，collision termについて考察しよう。

相対論的な Boltzmann方程式 (6.20)を massless particleの場合に拡張しよう。masslessの場合は 4-velocityの大きさを定義することはできないので，affine parameterをとって null con-ditionを満たすということが本質的である。また，測地線方程式によって affine parameterが定義されるのであった。

γ := −kµuµ = u0

= hν

であり，

v2 = 1 ∴ k2 = ω2

重力による影響以外には何も及ぼされることがないならば，外力 Fµ はゼロとして，

uµ∂

∂xµF =

dFcol.

dτ= γ

dFcol.

dt

20衝突数算出の仮定とは，ある時間の間に衝突する回数が，着目物体と衝突する可能性のある粒子の粒子数と散乱体の積になっているとする仮定である。また，分子的混沌状態の仮定とは，平均自由時間¿ ∆t¿ 平均衝突時間を満たす任意の時間間隔で，今述べた衝突数算出の仮定が成り立つという仮定である。1 回の衝突が系全体になんの影響も与えないということであり，影響が混沌のなかに埋没するということである。すなわち，過去の衝突の履歴は忘れ去られ，各衝突は独立に起こっているものと考える。以上 2 つの仮定は，つまりは，2 粒子間で衝突が時間的にも空間的にも小さい範囲において起こるならば，衝突の頻度に依らず Boltzman 方程式を扱えるという事である。


となる。ただし，今の場合 τ は固有時間ではなく affine param-eterと考えなければならない。また，4-velocityを用いて書いたが，通常massless particlesについては 4-momentumで記述される。

pµ∂

∂xµF = p0 dFcol.

dt

ここで，

I(~x,p) =def

p0F = |p| F (6.26)

とおくと，

pµ∂(I/p0)∂xµ

=∂I

∂t+pi

|p|∂I

∂xi= p0 dFcol.

dt

となる。I(~x,p)は specific intensityと呼ばれる。

n :=p

|p|p0dFcol. := dEcol.

とおけば，結局

∂I

∂t+ n ·∇I =

dEcol.

dt(6.27)

が得られる。左辺は，位相空間におけるエネルギー変化量であるから，absorptionと emission coefficientを用いて

dEcol.

dt= −αI + j (6.28)

と表されるので，Boltzmann方程式は

∂I

∂t+ n ·∇I = −αI + j (6.29)

となる。この方程式は bf radiation transfer equationと呼ばれる。あとで再度この方程式について議論しよう。

Fokker-Planck方程式

x軸上を，1回の試行につき等確率で ±1進む場合を考えよう。N 回の試行で x = n ∈ Zに到達するには，

n = (+1)× k + (−1)× (N − k)∴ k =

N + n

2

回だけ+1進み，N − n2

回は−1進む必要がある。但し，k ∈ Nより，N ≡ n (mod 2)である。このように進む場合の数は，

N !k!(N − k)! (6.30)

だけあるので，N回の試行でx = nに到達する確率P (N, x = n)は

P (N, x = n) =N !

k!(N − k)!(

12

)N(6.31)

となる。これは，Bernoulli分布と呼ばれる。ここで，N, N−kが十分大きい時，Stirling formula

lnN ! = N lnN −N +12

lnN +12

ln(2π) +O

(1N

)(6.32)

より

lnP (N,n) = N lnN −N +12

lnN +12

ln(2π)−N ln 2

− k ln k + k − 12

ln k − 12

ln(2π)

− (N − k) ln(N − k) +N − k − 12

ln(N − k)

− 12

ln(2π)

=N

2ln

N2

N2 − n2+

12

ln2N

π(N2 − n2)− n

2N + n

N − n= −

(N

2+

12

)ln(1−m2) +

12

ln2πN− n

2ln

1 +m

1−mただし，m =

n

Nである。そもそも Stirling formulaを用いる際

に 1Nより高位の無限小をネグっているので，以下の近似も同

時に成り立つと考えてよい。ln(1−m2) ≈ −m2 +O(m3)

ln1 +m

1−m ≈(m− m2

2

)−

(−m− m2

2

)= 2m

であるから，

lnP ≈ m2

2(N + 1) +

12

ln2πN−mn

n2

2

(1N

+1N2

)+

12

ln2πN− n2

N

≈ − n2

2N+

12

ln2πN

したがって，

P (N, x = n`) ≈(

2πN

)1/2

e−n2/2N (6.33)

となる。

一般に，1回の試行につき，±`だけ変位する粒子の運動について考えよう。N 回の試行の後，x = n`に到達するとし，1回の変位の速さを vとする。この時，到達するまでに経過する時間は, t =

N`

vで定義される。そうすると，(6.33)より，

P (t, x = n`) =(

2`πvt

)1/2

e−x2/2v`t

となるが，ここで，D =def

12vtとおけば，

P (t, x = n`) =2`√4πDt

e−x2/4πDt

となる。さらに，x ∼ x+∆xの間に到達する確率は，∆x2`に比

例するので，

P · ∆x2`

= W (t, x)∆x =1√

4πDte−x

2/4Dt∆x (6.34)

を得る。このW (t, x)について時間微分を取ると，

∂

∂tW (t, x) =

∂

∂t

e−x2/4Dt

√4πDt

= e−x2/4Dt

[x2

√4πDt4Dt2

− 4πD

2 (4πDt)3/2

]

=e−x

2/4Dt

√4πDt

(x2

4Dt2− 1

2t

)

6.1 Plasma 31

となり，xについて 2階の微分を計算すると，

∂2

∂x2W (t, x) =

∂

∂x

[e−x

2/4Dt

√4πDt

−2x4Dt

]

=1√

4πDt

(x2

4D2t2− 1

2Dt

)e−x

2/4Dt

であるから，

∂

∂tW (t, x) = D

∂2

∂x2W (t, x) (6.35)

という関係を満たす。

今の議論では±`が起こる確率を等しく取ったが，+`が起こる確率を p, −`が起こる確率を qとすれば，

P (N, x = n`) =N !(

N + n

2

)!(N − n

2

)!p

N+n2 q

N−n2 (6.36)

となる。時刻 tの時に，x = n`に到達する為には，手前のステップの段階で x = (n− 1)`か x = (n+ 1)`に来ている必要がありこれらは排反であるから，

P (N, x = n`) = p · P (N − 1, x = (n− 1)`)+ q · P (N, x = (n+ 1)`) (6.37)

という差分方程式を満たしている。N回の試行が終わるまでに経過する時間を tとしているので，各試行の間の時間は， t

N=: ∆t

で決まっていると考える。そうすると，` =: ∆x, ∆t → 0とすれば今の離散的な確率過程が連続的な確率過程になるであろう。しかしながら，∆x/∆t = v である事からも分かるように，単純に極限をとれないという事に注意しよう。実際，定義よりt∆x∆t

= t`

`/v= vtであるが，これは時刻 tの時までに移動出来

る距離であるから，0になってしまうことは意味をなさない。ここで，移動距離の期待値と分散を計算してみよう。各試行は独立であるから，全体の移動距離に対する期待値や分散は，各試行の期待値及び分散の和である。さて，

〈∆xk〉 =p∆x+ q(−∆x)

p+ q= (p− q)∆x

⟨(∆xk)2

⟩= p(∆x)2 + q(−∆x)2 = (∆x)2

ゆえ，⟨(∆xk − 〈∆x〉)2

⟩=

⟨(∆xk)2

⟩− 〈∆xk〉2 = 4pq(∆x)2

したがって，

〈x〉 = N · (p− q)δx = (p− q)t∆x∆t

σ = N · 4pq(∆)2 = 4pq · t (∆x)2

∆t

連続的な確率過程に以降した時に，時刻 tにおける位置 x(t)が有限確定値を持たなければならない，という事が満たされる為には，D, wを有限な定数として，

(∆x)2

∆t= 2D,

p =12

+w

2D∆x, q =

12− w

2D∆x

でなければならない。このとき，期待値と分散はそれぞれ，

〈x〉 = 2wt

σ = 2Dt

このように，2wと 2Dはそれぞれ平均的な速度と分布の広がっていく速度を与えていることが分かる。したがって，w, Dはそれぞれ drift velocity, diffusive coefficientと呼ばれる。

以上の条件を満たしながら，∆x, ∆t → 0 の極限をとると，N →∞ であるから，中心極限定理によって確率密度は Gauss分布 (正規分布)になってしまう。期待値及び分散が決まっているので，もはや Gauss分布は決まってしまっている:

W (t, x) =1√2πσ

e−(x−〈x〉)2/2σ =1

4πDte−(x−2wt)2/4Dt (6.38)

w = 0とすると p = q =12となり，先程の結果 (6.34)に一致す

る。このことは Dと一切無関係であるから，つまり，

D = D (6.39)

である。

差分方程式

W (t+ ∆t, x) = pW (t, x−∆x) + qW (t, x+ ∆x)

を Taylor展開すると左辺は

W (t+ ∆t, x) = W (t, x) +∂W

∂t∆t+

12∂2W

∂t2(∆t)2

右辺は

pW (t, x−∆x) + qW (t, x+ ∆x)

= (p+ q)W + (q − p)∂W∂x

∆x+12(q − p)∂

2W

∂x2(∆x)2

となる。xに関しては，(∆x)2 が ∆tと同位の無限小であるから，第 2項までとってある。したがって，

∂W

∂t= (q − p)∆x

∆t∂W

∂x+

(∆x)2

2∆t∂2W

∂x2(6.40)

i.e.∂W

∂t= −2w

∂W

∂x+D

∂2W

∂x2(6.41)

が得られた。この微分方程式は Fokker-Planck方程式と呼ばれる。drift velocity wがゼロのときには，拡散方程式 (6.35)と一致している。このようなランダムな粒子の運動をBrownianmotionやWiener processなどと言う。

一般に，Rn 上の Gauss分布は，

f (ξ1, ξ2, · · · , ξn) =‖aij‖π

n2

exp

−

∑

ij

aij (ξi −mi) (ξj −mj)

(6.42)

で定義される。miは ξiの期待値である。実際，Rn上のルベーグ測度に関して可測でかつつねに正であることは明らかであるし，

∫ ∞

−∞· · ·

∫ ∞

−∞f (ξ1, ξ2, · · · , ξn) dξ1dξ2 · · · dξn = 1


であることも容易に証明されるであろう。特に，3次元の場合に，aij =

m

2kBTdiag(1, 1, 1)ととると

f(vx, vy, vz) =(

m

2πkBT

)3/2

e−m(v2x+v2y+v2z)/2kBT

となってMaxwellの速度分布則が得られる。つまり，速度分散σv が温度を決めているということである。

∂f

∂t+ vi

∂f

∂xi+F i

me

∂f

∂vi=

(δf

δt

)

coll

(6.43)

(δf

δt

)

coll

= − ∂

∂vµ(f 〈∆vµ〉) +

12

∂2

∂vµvν(f 〈∆vµ∆vν〉)

(6.44)

∂xµ

∂τ

∂Fa∂xµ

+duµ

dτ

∂Fa∂uµ

= − ∂

∂vµa(Fa 〈∆vµa 〉) +

12

∂2

∂vµa∂vνa(Fa 〈∆vµa∆vνa〉) (6.45)

〈∆vµ〉a =∑

b

∫(6.46)

線型作用素

線型作用素L : y(t) 7→ f(t)と，

E (h)g(t) = g(t+ h) (6.47)

を満たす作用素 E (h)について考えよう。

L と E (h)が可換であると仮定すると，

L y(t+ h) = L E (h)y(t) = E (t)L y(t)= E (h)f(t) = f(t+ h)

が成り立つので，この様なL と可換な E (h)は時間不変な作用素と呼ばれる。

指数函数 eiωt に対して，E (h)を作用させると

E (h) = eiω(t+h) = eiωheiωt (6.48)

であるから，eiωt は E (h)の固有函数である。この時，

E (h)とL は可換であるから，eiωt はL の固有函数でもある，

と言うのは実はまずい。というのは，今扱っている空間は無限次元線形空間であるからで，数学的には厳密なものではない。しかし，以下で議論する限りは問題がないので，上のステートメントを認めることにする。固有函数 eiωt の属するL の固有値を iωZ(ω)としよう。つまり，

L eiωt = iωZ(ω)eiωt (6.49)

である。

ここで，y(t), f(t)の Fourier変換をそれぞれ Y (ω), F (ω)とすれば，

y(t) =1√2π

∫ ∞

−∞Y (ω)eiωtdω

f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞F (ω)eiωtdω

であるから，

L y(t) =1√2π

∫ ∞

−∞Y (ω)L eiωtdω

=1√2π

∫ ∞

−∞Y (ω) (iωZ(ω)) eiωtdω

= f(t) =1√2π

∫ ∞

−∞F (ω)eiωtdω

すなわち

Y (ω) =F (ω)iωZ(ω)

(6.50)

となる。これより，

y(t) =1√2π

∫ ∞

−∞

F (ω)iωZ(ω)

eiωtdω (6.51)

が得られる。これを形式解 y(t) = L −1f(t)と比較すると，L −1

は Fourier変換に 1iωZ(ω)

を掛けるという代数的な作用になっ

ているという事に注意しよう。Z(ω)はインピーダンスと呼ばれ，その逆数はアドミッタンスと呼ばれる。また，

S(ω) =def

1iωZ(ω)

(6.52)

は周波数応答と呼ばれる。このような物理量は系の性質を完全に記述する函数であり，まとめて系函数と呼ばれる。

y(t)の時間微分は，

dy

dt=

1√2π

∫ ∞

−∞iωY (ω)eiωtdω

=1√2π

∫ ∞

−∞

F (ω)Z(ω)

eiωtdω (6.53)

であるから，y の「速度」は，系に及ぼす「力」とインピーダンスの比で与えられる。

6.1 Plasma 33

正弦的な作用が系に働く場合は，

f(t) = F (ω)eiω (6.54)

とおくと，応答は

y(t) =F (ω)iωZ(ω)

eiωt (6.55)

となる。

時刻 t = t′ に瞬間的に外力が加わる場合は，

f(t) = δ(t− t′) (6.56)

とおくと，δ(t− t′)の Fourier変換が e−iωt′

√2πであるから，

y(t) =1√2π

∫ ∞

−∞

e−iωt′/√

2πiωZ(ω)

eiωtdω

=12π

∫ ∞

−∞S(ω)eiω(t−t′)dω

となる。このときの解を ϕ(t− t′)とおくことにしよう。引数にt− t′を用いているのは，被積分函数の形から時間差によっているからである。系を時間不変としていることの結果である。そうすると，任意の外力に対して，

y(t) =12π

∫ ∞

−∞S(ω)

∫ ∞

−∞f(t′)e−ωt

′dt′ eiωtdω

=∫ϕ(t− t′)f(t′)dt′ (6.57)

と書けるが，まさに重ね合わせの原理となっている。

Master equation

遷移確率を与えて系の時間発展をしらべてみよう。簡単の為，系は離散状態 s1, s2, · · · , sMを取るものとする。時刻 tにおいて，状態 siの出現する確率を P (si, t), siから sj への単位時間当たりの遷移確率を ωi→j とすると，時刻 t+ ∆tの各状態の出現確率は

P (si, t+ ∆t) = −∑

j 6=iP (si, t)ωi→j +

∑

j 6=iP (si, t)ωj→i∆t+ P (si, t)

(6.58)

と書く事が出来る。このような，確率分布の時間発展を確率遷移で与える方程式はMaster方程式と呼ばれる。各状態を成分にとったベクトル表示で表せば，

P (t+ ∆t) =

L11 · L1M

.... . .

...LM1 · · · LMM

P (t) ≡ L P (t) (6.59)

このような行列は

L (2∆t) = L L (6.60)

という関係を満たす。一般に連続変数では

Lx→y(t+ s) =∫dzLz→y(t)Lx→z(s) (6.61)

を満たす。これを Chapman-kolmogorov方程式という。行列L の著しい性質として，ある適当な nに対して

[L n]ij 6= 0 ∀i, j (6.62)

を満たせば，Perron-Frobeniusの定理より最大固有値が正であり，非縮退であることが示される。(6.62)を満たす確率行列をergodicと呼ぶ。つまり，ergodicな確率過程の定常状態は一意的である。このことは，Canonical分布を定常状態にもつMarkov過程を用いて平衡状態と統計的性質を調べるMonte Carlo法において重要な考え方である。

Lengevin equation

==================Constructionさて，登場人物を~k, ~u, ~Iとして，流体の静止系におけるMawell方程式を導出しよう。

∗Fµν,ν = 0Fµν,ν = 4πIµ

⇐⇒[−uµB′ν + uνB′µ + εµνλσuλE

′σ

],ν

= 0[−uµE′ν + uνE′µ + εµνλσuλB′σ

],ν

= 4πIµ

成分は流体の静止系を座標基底にとったときのものでない事に注意しよう。流体の静止系での座標基底をとれば~u →

MCRF(1, 0, 0, 0)

なので，その微分はゼロである。−uµB′ν,ν + uνB′µ,ν + εµνλσuλE

′σ,ν = 0

−uµE′ν,ν + uνE′µ,ν + εµνλσuλB′σ,ν = 4πI µ

流体静止系で観測する電流は

Jµ = −2I [µkν]uν = (Iνkµ − Iµkν)uν (6.63)= (Iνuν) kµ − (kνuν) Iµ (6.64)= γIµ − ρ′ekµ (6.65)

である。第 0成分は

ρ′e =def

I 0 = −uµI µ = −uµIµ = γI0 − γv · J (6.66)

より

J ′0 = γI0 − ρ′e = γv · J (6.67)

となる。空間成分については，

J ′ = γJ (6.68)

ここで，J ′µ の hµν による射影をとると，

hµνJν = (δµν + uµuν)(γIν − ρ′ekµ) (6.69)

= γIµ − ρ′ekµ = Jµ (6.70)

なので，最初から流体に対して空間成分しか持たない事が分かる。同様に，~I を ~uに垂直な空間へ射影すると

hµνIν = (δµν + uµuν) Iν (6.71)

= Iµ + (uνIν)uµ (6.72)

= Iµ − ρ′euν(

∵ ρ′e =def−uνIν

)(6.73)

≡ IµMCRF (6.74)

である。ここで，次の様な関係にある事も注意しよう。

J ′µ = γIµMCRF − ρ′e(kµ − γuµ) (6.75)~J ′ = γ~IMCRF − ρ′eh(~k) (6.76)


座標基底の取り方によって，成分が変わってしまうことはさんざん述べたが，この式は tensor方程式なので基底がどんなものでも成り立つ universalなものである。したがって，計算するときはこれといって座標系を意識する必要はないが，成分が違うという事に注意しなければならない。ただし，縮約した場合はどんな系でも正しい（Lorentz不変）ので，各項で計算しやすい座標系の値を放り込んでも構わないという事を思い出しておこう。

基準系で観測される電磁場と流体の静止系で観測される電磁場が，どのような関係で結ばれているのか混乱しやすいので整理しておく。

FIDO MCRFcoordinate basis Eµ, Bµ E′µ, B′µ

fluid rest frame Eµ, Bµ E′µ, B′µ

上下は Lorentz変換で移り合う。

Fµν = kµEν − kνEµ + εµναβkαBβ

= uµE′ν − uνE′µ + εµναβuαB′β

F µν = kµEν − kνEµ + εµναβkαBβ

= uµE′ν − uνE′µ + εµναβuαB′β

∗Fµν についても同様である。また，前にも注意したが，Eµ, Bµは Lorentz不変ではない。

6.1.1 理想MHD近似電流を伝導 (conduction)で伝わる部分と対流 (convection)で伝わる部分に分解すると

Iµ = σEµ + ρ′euµ (ρ′e = −Iµuµ) (6.77)

となる。右辺第２項は流体の静止系からみた電荷密度である。電気伝導度 σが非常に大きく，∞であると見なせる場合，電流が有限である為には流体の静止系で電場が０でなければならない。この様な仮定を理想電磁流体近似という。このとき，

E′µ = Fµνuν = 0 (6.78)

⇐⇒ kµEνuν + u0Eµ + ε0µνβu

νBβ = 0 (6.79)

∴

E · v = 0E + v ×B = 0

(6.80)

ここで，Maxwell方程式

∂B

∂t+ ∇×E = 0

に代入すれば

∂B

∂t= ∇× (v ×B) (6.81)

となる。この方程式はしばしば誘導方程式と呼ばれる。よく知られているように，これは磁場の流体への frozen-in条件と呼ば

れるものである。つまり，中性子星などの電気伝導度の高い物質を貫く磁場は，その流体あるいは物体とともに運動する事が分かる。数学的には，流体力学で議論される循環の保存（Kelvinの循環定理）と同じである。

(6.78)は E′µ = Fµνuν と書けば，matrixと vectorの積の形

なので，理想 MHD条件は行列 Fµν の rankが 4未満であるという事を意味する。この事からどのような事が分かるか考えよう。線型代数でやったように，反対称行列（実交代行列）の階数は偶数21なので，rank F = 0, 2である。電磁場が存在するなら F = 0ではないので，rank F = 2である。従って，F の固有値 0に属する固有 vectorは 2つである。そのうち 1つは流体の4-velocityなので，あともう 1つは何であるかという事が問題になる。何故問題かと言うと，次の定理が主張しているように，我々が知っている 4次元Minkowski多様体 (Eulerとmetricが異なるだけだが)に対して，その舞台上に電磁場があるとどのような基底をとるとよいかという事が分かるのである。もっと一般的に言って，metricが場所の函数になっているときでさえも成り立つ。多様体という幾何学的な性質から言える事なので，代数的な性質がどのようであるかによらないということは至極当然である。さて，その定理を書いておこう。

定理　M をm次元 Cω 級多様体22，N(⊂M)を n次元 Cω 級部分多様体とし，X1, · · · , Xn ∈ Γ(TM)は線型独立であるとする。このとき，

∃m−n yp s.t. XIyp = 0 (p = n+ 1, · · · ,m)

m

∃ fKIJ (x) s.t. [XI , XJ ] = fKIJXK

ただし，I, J,K = 1, 2, · · · , n

少しくどいが，数学が苦手という人の為に今の場合どのようなことを言っている事に相当するのかを，そのまま当てはめて書いてみる。あんまり数学数学していると，数学が好きなのは分かるけど，って言われてしまうので注意されたい。だけど，これくらいの事で数学というと，悪いけど，数学屋さんが多分怒る。

定理　M を 4次元 Cω 級多様体，N(⊂ M)を 2次元 Cω 級部分多様体とし，X1, X2 ∈ Γ(TM)は線型独立であるとする。このとき，

∃2 yp s.t. XIyp = 0 (p = 3, 4) (6.82)m

∃ fKIJ(x) s.t. [XI , XJ ] = fKIJXK (6.83)

ただし，I, J,K = 1, 2

これは Frobeniusの定理とよばれるもので，vector場が bracketで閉じていれば surface fluxが出来るということである。理想MHD近似の下では (4.16)より，

∗Fµν = −uµB′ν + uνB′µ (6.84)

21（証明）まず，実交代行列の固有値は全て純虚数か０である事を示す。F を n 次実交代行列とすると，tF = −F。故に，(iF )† = −iF † = −i tF = iF であるから，iF は hermitian である。したがって，固有値はすべて実数である。この固有値を，α1, · · · , αm ∈ R とおくと，hermitian は正規変換であるから，それぞれ固有値 αk の固有空間Wk への射影子 Pk を用いて，iF =

Pmj=1 αjPj と一意的に分解出来るが，F =

P(−i)αjPj に他ならない。実交代行列も正規

変換であるので，一意にスペクトル分解出来る（ことを既知とする）。したがって，F の固有値は −iα，すなわち純虚数である（直接計算しても示せるので是非やってみて）。もちろん，m < n ならば固有値に０を含む。n = m であれば，rank=n であるが，dett F = detF = (−1)n detF なので，奇数次元の交代行列の行列式はつねに０であるから，rank=n ではあり得ない。偶数次元の場合は問題ない。次に，階数が偶数である事を示そう。iF が hermitian であったので，対角行列に相似であり，したがって F は対角化可能である。一方，F は実行列なので，（固有値が解となる）最小多項式は実係数多項式である。つまり，それぞの固有値の複素共役もまた固有値である。したがって，０でない固有値が１つ存在すれば，その複素共役も存在するので，０でない固有値は偶数個である。すなわち，階数は偶数である。¤

22Taylor 展開が収束するという事。

6.1 Plasma 35

であるから，

∗Fµν;ν = 0

⇐⇒ uµB′ν;ν + uµ;νB′ν −B′µ;νuν −B′µuν;ν = 0

⇐⇒ uµ(~∇ · ~B′) + ( ~B′ · ~∇)uµ − (~u · ~∇)B′µ −B′µ(~∇ · ~u) = 0

⇐⇒ uµ(~∇ · ~B′)−B′µ(~∇ · ~u) = −( ~B′ · ~∇)uµ + (~u · ~∇)B′µ

(6.85)

右辺は

(~u · ~∇)B′µ − ( ~B′ · ~∇)uµ

= uνB′µ;ν −B′νuµ;ν= uν(B′µ,ν +B′σΓµσν)−B′ν(uµ,ν + uσΓµσν)

= uνB′µ,ν −B′νuµ,ν + (uνB′σ −B′νuσ)Γµσν= uνB′µ,ν −B′νuµ,ν (6.86)

一方， ~B′ の ~u方向の微分をとると

£~u~B′ = [~u, ~B′]

= uµ∂

∂xµ

(B′ν

∂

∂xν

)−B′µ ∂

∂xµ

(uν

∂

∂xν

)

= uµB′ν,µ∂

∂xν+ uµB′ν

∂

∂xµ

(∂

∂xν

)

−B′µuν,µ∂

∂xν−B′µuν ∂

∂xµ

(∂

∂xν

)

= uµB′ν,µ∂

∂xν+ uµB′νΓλµν

∂

∂xλ

−B′µuν,µ∂

∂xν−B′µuνΓλµν

∂

∂xλ

= (uµB′ν,µ −B′µuν,µ)∂

∂xν

=[(~u · ~∇

)B′µ −

(~B′ · ~∇

)uµ

] ∂

∂xµ(∵ 6.86)

であるから，結局，(6.85)とから

[~u, ~B′] = −(~∇ · ~u) ~B′ + (~∇ · ~B′)~u (6.87)

X1 = ~u, X2 = ~B′ととれば，上で述べた Frobeniusの定理から2次元積分平面（flux surface）の族を生成する事が分かる。また定理より

£~uφ = 0, £ ~B′φ = 0 (6.88)

となる函数が 2つ存在し，それらは ~uと ~B′ が張る平面上で一定である。もちろん，その２つの函数を φ1，φ2とおけば，fluxsurfaceに垂直な方向の座標になる。

Thus dφ1 and dφ2 are 2 independent one-forms orthogonalto ~U and ~B.

⇓The EM field two-form, say F is written as

F = fdφ1 ∧ dφ2

dF = df ∧ dφ1 ∧ dφ2 = 0 implies f = f(φ1, φ2) and hence wehave

F = f(φ1, φ2)dφ1 ∧ φ2

However, by the transformation

φ1 =∫f(φ1, φ2)dφ1

F is rewritten to the form as F = dφ1 ∧ dφ2. Therefore adegenerate EM field is always expressed as

Fµν = ∂µφ1∂νφ2 − ∂µφ2∂νφ1 (6.89)

Further, from the definition of ~U and Maxwell eqs. weimmediately see

£U F = 0£U dF = 0

This implies ∫

C

F =∫

C′F

where C and C ′ denote 2-surfaces connected by the tube ofthe trajectory of ~U . This corresponds to the flux freezing inthe ideal magnetohydrodynamics.Example (non-rel.)

Fµν =

0 0 0 −E0 0 0 −B0 0 0 0E B 0 0

, ∗Fµν =

0 0 −B 00 0 E 0B −E 0 00 0 0 0

Flux surface

Let Fµν be a magnetic degenerate electromagnetic fieldIn the non-rela. MHD, the Euler pot. are often used in the

form as

B = ∇α×∇β (3.2)

(↔ corresponding to Fij = ∂iα∂jβ − ∂iβ∂jα )We assume B ·E = 0 (force-free). As is well known, B is

solenoidal. Substitute (3.2) into∂B

∂t+ ∇×E = 0, then

∇× [E + α∇β − β∇α+ ∇(αβ)] = 0

=⇒ ∃ f ; E + α∇β − β∇α+ ∇(αβ) = ∇f

=⇒ B ·∇(f − αβ) = 0

=⇒ ∃ψ(α, β); f − αβ = ψ(α, β)

=⇒

E = −α∇β + β∇α+ ∇ψ(α, β)B = ∇α×∇β

This expression is different from

Fµν = ∂µφ1∂νφ2 − ∂µφ2∂νφ1

except for the case ∇ψ(α, β) = 0. Thus we prove that it isalways possible to rewrite the above expression to the form

E = −∂tφ1∇φ2 + ∂tφ2∇φ1

B = ∇φ1 ×∇φ2

F = dα ∧ dβ + dψ ∧ dt

=(∂ψ

∂α

)−1 (dψ − ∂ψ

∂βdβ

)∧ dβ + dψ ∧ dt

= dψ ∧dt+

(∂ψ

∂α

)−1

dβ

= dψ ∧dt+

∂α

∂ψdβ

= dψ ∧dt+

∂Φ∂β

dβ +∂Φ∂ψ

dψ

= dφ1 ∧ dφ2


where

Φ(ψ, β) =def

∫∂α(ψ, β)∂ψ

dβ

φ1 =def

ψ

φ2 =def

t+ Φ(ψ, β)

Vector potential which yields a degenerate EM field is

Aµ =12(φ1∂µφ2 − φ2∂µφ1)

N.B. the Euler pot. that yield a given degenerate EM field arenot unique.Example

Fixing φ1, and exchanging φ2 → φ2 + g(φ1), then

Aµ → Aµ + ∂µλ(φ1)

withλ(φ1) =

12

∫(φ1

∂g

∂φ1− g)dφ1

From (9), (♥)

(∂µφ1∂νφ2 − ∂µφ2∂νφ1)∇λ(∂νφ1∂λφ2 − ∂νφ2∂

λφ1) = 0

Since ∂µφ1 and ∂µφ2 are independent and nonzero as long asFµν does not vanish, we can separate this equation to

∂νφ1∂λ√−g(∂νφ1∂

λφ2 − ∂νφ2∂λφ1) = 0

∂νφ2∂λ√−g(∂νφ1∂λφ2 − ∂νφ2∂

λφ1) = 0

Arbitrariness in solutions φ1 =def

φ1(φ1, φ2), φ2 =def

φ2(φ1, φ2)

∂µφ1∂ν φ2 − ∂µφ2∂ν φ1 =

(∂φ1

∂φ1

∂φ2

∂φ2− ∂φ1

∂φ2

∂φ2

∂φ1

)

× (∂µφ1∂νφ2 − ∂µφ2∂νφ1)

=∂(φ1, φ2)∂(φ1, φ2)× (∂µφ1∂νφ2 − ∂µφ2∂νφ1)

Keep EM field invariant,

∂(φ1, φ2)∂(φ1, φ2)

= 1

Aµ =12(φ1∂µφ2 − φ2∂µφ1)

=

[φ1∂φ2

∂φ2− φ2

∂φ1

∂φ2

]∂µφ2 −

[φ2∂φ1

∂φ1− φ1

∂φ2

∂φ1

]∂µφ1

=12(φ1∂µφ2 − φ2∂µφ1) +

∂λ

∂φ2∂µφ2 +

∂λ

∂φ1∂µφ1

= Aµ + ∂µλ(φ1, φ2)

where

λ(φ1, φ2) =def

12

∫ [φ1

∂2φ2

∂φ1∂φ2− φ2

∂2φ1

∂φ1∂φ2

]dφ1dφ2

6.1.2 Degenerate条件

|E ·B| ¿ |B2 −E2| (6.90)

の条件が満たされるような領域では

E ·B = 0 (6.91)

6.1.3 Force-free条件

自由に plasmaが供給される場で，|E ·B| ¿ ∣∣E2 −B2∣∣が成り

立っているような磁気圏を考える。電磁場の慣性に較べてplasmaの重力や慣性が十分小さいならば，plasmaは場に対して影響を及ぼさないと考えられる。また，このとき plasmaは

|E ·B| ¿ |B2 −E2|, |ρeE + j ×B| ¿ |j||B| (6.92)(6.93)

を満たすようになるであろう。このような状況において，以下のように近似してもよいだろう。

ρeE + j ×B = 0 (6.94)

Force-Free条件 (6.94)からDegenerate条件 (13.89)が導かれる事はすぐに分かるだろう。重力の大きさがガス圧の勾配による力と同程度とすると，

force-free条件が適用されるのはガスの内部エナジーに比べて磁場のエナジーが十分大きいときであることが分かる。また，このことは音速に比べてAlfven波の速度が十分に大きいことと言い換えることもできる。極端に言ってしまえば，真空中の磁場は force-free条件を満たしている。一般に密度の低いガス中での強い磁場は force-free条件をみたす。太陽コロナ内の磁場の構造は force-free磁場に近いと考えられている。

(4.91)の右辺をゼロとすると

FµνIν = (kµEν − kνEµ + εµναβk

αBβ)Iν (6.95)

= kµEνIν + ρeEµ + ε0µνβI

νBβ = 0 (6.96)

⇐⇒EiI

i = 0ρeEi + εijkI

jBk = 0(6.97)

となることが分かるので，Force-Free条件は保存則を導く。

6.2 基礎方程式まず第一に，流体の粒子数は流れに沿って保存しなければならない。

(ρ0uµ);µ = 0 (6.98)

ただし，ρ0 = nBmB とし，uµ を流体の 4-velocityとする。もちろん uµuµ = −1が成り立っている。次に，流体中の電磁場が満たす方程式，つまり，Maxwell方程式

F[µν;λ] = 0Fµν;ν = 4πIµ

流体の静止系で観測される電場及び磁場は

E′µ = Fµνuν (6.99)

B′µ = −12eµναβuνFαβ (6.100)

37

もちろん

Fµν = uµE′ν − uνE′µ + eµναβu

αB′β (6.101)

である事はいいだろう。前にも注意したようにEµuµ = Bµu

µ =0である。ここで，理想MHD近似を仮定する。つまり，電気伝導度が非常に高い流体について，

E′µ = Fµνuν = 0

と近似される。これより，磁場凍結が結論される事は前にも述べた。

∂B

∂t= ∇× (v ×B) (6.102)

さらに磁場のみ存在する場の方程式は

∇ ·B′ = 0 (6.103)

∂B′

∂t+ ∇×E′ = 0 =⇒∂B′

∂t= 0 (6.104)

∇ ·E′ = 4πρ′e =⇒ρ′e = 0 (6.105)

−∂E′

∂t+ ∇×B′ = 4πJ ′ =⇒∇×B′ = 4πJ ′ (6.106)

であり，この時，

ρ′e = 0 (6.107)

∂J ′

∂t= 0 (6.108)

であった。

さて，流体と電磁場が共存するときに，その場が持つ運動量やエナジーの保存則について考えよう。


+14π

(FµλF νλ −

14gµνFλσFλσ

)(6.109)

これより，流体のエネルギー保存則

Tµν;νuµ = 0

⇐⇒ uµ(ρ0 + ρ0ε),µ + (ρ0 + ρ0ε+ p)uµ;µ = E′µIµ (6.110)

及び，Euler方程式（完全流体の Navier-Stokes方程式)

Tµν;ν = 0

⇐⇒ (ρ0 + ρ0ε+ p)uµ;νuν + (gµν + uµuν)p,ν

= ρeD′µ + eµνλσIνuλB

′σ (6.111)

が導かれる。

理想MHD近似 (6.78)が成り立つという仮定の下では，電磁場の energy-momentum tensorは

Tµνem =18π

(B2uµuν +B2(gµν + uµuν)− 2BµBν) (6.112)

となるので，

Tµν =(ρ0 + ερ0 + p+

B2

4π

)uµuν +

(p+

B2

8π

)gµν − 1

4πBµBν

従って，この仮定の下で，Euler方程式は(ρ0 + ρ0ε+ p+

B2

4π

)aµ

= −hµν[(

p+B2

8π

)

,ν

−(BνB

λ

4π

)

;λ

](6.113)

である。ただし aµ = uµ;νuν，hµν = gµν + uµuν（~uに垂直な空

間への射影作用素）。

流体を構成する要素の巨視的な性質について考えよう。(14.1)，(6.110) より，

uµ(ρ0 + ρ0ε),µ = huµρ0,µ (6.114)

ここで，h = 1 + ε+p

ρ0は単位質量あたりの enthalpyである。

局所的に熱平衡状態であるとすれば，熱力学第 1法則は

dε = TdS − pd(

1ρ0

)(6.115)

と書ける。T, S はそれぞれ，温度および単位質量あたりの en-tropyである。これより，

dµ = TdS +dp

ρ0(6.116)

以上の基礎方程式に加えて，状態方程式が必要である事を注意しておく。

p = p(ρ0, S) (6.117)

entropy S によらず，p = p(ρ0)である時，barotropicと呼ばれるが，この場合，grad pと grad ρ0 は同じ方向を向く。

α = 3 for p = 0 : dust, non-relativistic (6.118)

α = 4 for p =13ρc2 : relativistic particles (6.119)

α = 0 for p = −ρvacc2 : vacuum → Λ (6.120)

7 保存量Noether定理とは，次の主張の事である。∃ global symmetry ⇐⇒ ∃ conserved current

CM; conservation of energy and momentumL: independent of all the position coordinates=⇒ conservation of momentumL: independent of time=⇒ conservation of energy粒子及び場に対して，運動の恒量（積分）や保存流が存在す

る事を確かめよう。粒子に対する Lagrangianを考えよう。

S =∫L(xµ, xµ)dλ (7.1)

=⇒ δS =∫δLdλ =

∫ (∂L

∂xµδxµ +

∂L

∂xµδxµ

)dλ

=∫ (

∂L

∂xµ+

d

dλ

(∂L

∂xµδxµ

)− d

dλ

∂L

∂xµδxµ

)dλ

= −∫ (

d

dλ

∂L

∂xµ− ∂L

∂xµ

)δxµdλ = 0

=⇒ d

dλ

∂L

∂xµ− ∂L

∂xµ= 0 (7.2)

38 7 保存量

軌跡に沿ってdL

dλ=

∂L

∂xµdxµ

dλ+

∂L

∂xµdxµ

dλ(7.3)

=d

dλ

(∂L

∂xµ

)dxµ

dλ+

∂L

∂xµdxµ

dλ(∵ EL)

=d

dλ

(∂L

∂xµdxµ

dλ

)

⇐⇒ d

dλ

(∂L

∂xµdxµ

dλ− L

)= 0 (7.4)

⇐⇒ d

dλ

(pµdxµ

dλ− L

)= 0 (7.5)

また，Lagrangianが αに陽によらないならば

∂L

∂α=

∂L

∂xµ∂xµ

∂α+

∂L

∂xµ∂xµ

∂α

=d

dλ

(∂L

∂xµ

)∂xµ

∂α+

∂L

∂xµ∂xµ

∂α(∵ EL)

=d

dλ

(∂L

∂xµ∂xµ

∂α

)(7.6)

=d

dλ

(pµ∂xµ

∂α

)= 0 (7.7)

なので，以下の物理量が（ELの解である場合に限り）粒子の軌跡に沿って保存する。

pµdxµ

dλ− L ≡ H

I = pµ∂xµ

∂α

(7.8)

特に，循環座標がある場合は保存量が存在することがすぐに分かるだろう。また，x′µ = xµ − αξµ という変換に対して，もし，

(£~ξ η

)µν

= 0 (7.9)

であるならば，Lagrangianは αの 1次のオーダーで不変なので，保存量が存在する。実際，

I = pµ∂x′µ

∂α= −pµξµ (7.10)

は，粒子の軌跡に沿って保存する。Killing vectorが有効なのは，場に対しても同様に保存量が存在する事がすぐに分かる点である。Lagrangian densityに対してmetricで変分を取る事を考えれば当然と言えば当然だろう。

場に関しても，最小作用の原理から23

S =∫Ldt =

∫∫LdV dt =

1c

∫LdΩ (7.11)

L = L(φ, φ,µ) (7.12)

=⇒ δS =∫d4x δL (7.13)

=∫d4x

(∂L∂φ

δφ+∂L∂φ,µ

δφ,µ

)

=∫d4x δφ

(∂L∂φ− d

dxµ

(∂L∂φ,µ

))

+∫dSµ

∂L∂φ,µ

δφ

= 0

∴ d

dxµ

(∂L∂φ,µ

)− ∂L∂φ

= 0 Euler− Lagrange eq. (7.14)

となる。これが場の満たすべき運動方程式である。これに付随して以下の様な保存量が存在する事が分かる。

dLdxµ

=∂L∂φ

∂φ

∂xµ+

∂L∂φ,ν

∂φ,ν∂xµ

(7.15)

=d

dxν

(∂L∂φ,ν

)∂φ

∂xµ+

∂L∂φ,ν

∂φ,µ∂xν

(∵ EL)

=d

dxν

(∂L∂φν

∂φ

∂xµ

)

= gνµdLdxν

∴ 0 =d

dxν

(∂L∂φ,ν

∂φ

∂xµ− δνµL

)

0 =d

dxν

(∂L∂φ,ν

∂φ

∂xµ− ηµνL

)(7.16)

∂L∂α

=∂L∂φ

∂φ

∂α+

∂L∂φ,µ

∂φ,µ∂α

(7.17)

= 0 (independent of α explicitly) (7.18)

⇐⇒ d

dxµ

(∂L∂φ,µ

∂φ

∂α

)= 0 (7.19)

したがって，以下の物理量は divergent freeである。

Tµν ≡ ∂L∂φ,ν

∂φ

∂xµ− gµνL

Jµ ≡ ∂L∂φ,µ

∂φ

∂α

(7.20)

Noether currentに対して

∂µJµA(x) = 0 ∴ ∂J0

A

∂t+

∂

∂xkJkA(x) = 0

であるから

0 =∫d3x

∂

∂xµJµA(x)

=∫d3x

∂J0A

∂t+

∫d3x

∂

∂xkJkA(x)

=d

dt

∫d3x J0

A(x) +∫dSkJ

kA(x)

=d

dt

∫d3x J0

A(x)

となって

IA =def

∫d3x J0

A(x) (7.21)

は保存する事が分かる（Noether charges）。Tµν は，次の様に一義的に決まらない事を指摘しておく。

Tµν +∂

∂xλV µνλ, V µνλ = −V µλν (7.22)

23scalar 場について書いておく。spinor，vector 場なども全く同様に示される。

39

実際，左辺第２項は，V µνλ,λν = −V µλν,λν

= −V µνλ,νλ= −V µνλ,λν

∴ V µνλ,λν = 0

この自由度のため，T を対称 tensorにする事が出来る。例えば，電磁場の作用 S =

∫ − 116πF

2d4xから得られる保存量 Tµν は

Tµν =14π

(F νλA

λ,µ − 14gµνFλσFλσ

)(7.23)

であるが，

− 14πF νλA

µ,λ (7.24)

という項を付加する事により対称化される。

Scalar field theory

scalar場の Lagrangian Lは，

L =12gµνφ,µφ,ν + V (φ) (7.25)

である。但し，V (φ)はpotentialの項である。したがって，Euler-Lagrange方程式は，

¤φ− ∂V (φ)∂φ

= 0 (7.26)

∴ φ−∇2φ+∂V (φ)∂φ

= 0 (7.27)

となる。freeな場24として V (φ) =12

(mc~

)2

φ2 とすると，(∂

∂t

2

−∇2 +(mc~

)2)φ = 0 (7.28)

となって，Klein-Goldon方程式が導出される。また，energy-momentum tensorは

Tµν = φ,µφ,ν − gµν(

12φ,λφ

,λ + V (φ))

(7.29)

Free Maxwell theory

(Free)Maxwell方程式は次の作用から得られる。25

I = − 116π

∫FµνFµν

√−g d4x (7.30)

=∫L d4x =

∫L√−g d4x (7.31)

energy-momentum tensorはmetricの変分から得られる。

δgI = − 116π

∫δ(gµαgνβF

µνFαβ√−g) d4x (7.32)

= − 116π

∫(δgµαF

µβF

αβ√−g + δgνβFνα Fαβ

√−g

+ FαβFαβδ√−g)d4x (7.33)

= − 116π

∫ (2δgµνFµαF

να√−g + FαβFαβδ√−g) d4x

ここで，(9.93)より，

δ√−g =

12

1√−g (−δg) = −12

1√−g (ggµνδgµν) (7.34)

=12√−ggµνδgµν (7.35)

となるので，結局

δgI = − 116π

∫ (2FµαF να +

12gµνFαβFαβ

)√−gδgµν (7.36)

=∫

18π

[FµαF ν

α −14gµνFαβFαβ

]√−gδgµν = 0 (7.37)

より

Tµν =14π

(FµσF νσ −

14gµνFλσFλσ

)(7.38)

を得る。最初の係数 1/16πは単位系のとり方によっていて，電磁場の energy densityがこれまでのものと一致するように定めている。上の計算を簡略化して書くと，

Tµν =def

2√−gδ(√−gL)δgµν

(7.39)

=14π

(FµσF νσ −

14gµνFλσFλσ

)(7.40)

をやったことになる。Here

L =√−gL (7.41)

= −14√−g(∂νφ1∂

µφ2 − ∂νφ2∂µφ1)(∂νφ1∂µφ2 − ∂νφ2∂µφ1)

(7.42)

Euler-Lagrange equation;

∂µ√−g∂νφ2(∂µφ1∂

νφ2 − ∂µφ2∂νφ1) = 0

∂µ√−g∂νφ1(∂µφ1∂νφ2 − ∂µφ2∂

νφ1) = 0(7.43)

Fµνξν = 0を満たす ξµ に対して，

Tµνξν =

14π

(FµσFνσξ

ν − 14δµνF

λσFλσξν

)(7.44)

= − 116π

FλσFλσξµ (7.45)

Similarly,

T νµ ∂νφi =

14(FσζFσζ)∂µφi (7.46)

24相互作用がない場。重ね合わせの原理 (線型) が成り立つ方程式を導くものを言う。25相互作用する場合は

I =

Zd4x

¡ρev

µAµ − 1

16πFµνFµν

¿√−g

となる。積分の中の vµ についてさらに物理的な考察を必要とする。

40 7 保存量

Choosing an orthogonal normal tetrad eµ(ν) so that

eµ(0), eµ(1)‖ Σ (7.47)

eµ(2), eµ(3) ⊥ Σ (7.48)

where Σ = 〈eµ(0), eµ(1)〉,the energy-momentum tensor of the degenerate EM field be-comes a diagonal form

T(µ)(ν) = Tσηeσ(µ)e

η(ν) (7.49)

=14(F · F )diag(−1,−1, 1, 1) (7.50)

From these observations, we have some conclusions. LetUµobs denotes the 4-velocity of an arbitrary observer. Then themagnetic field observed by this observer is Bµobs = − ∗FµνU

µobs.

Since FµνBνobs holds, Tµν = −1

2(F · F )ξµ implies that

every observer sees the magnetic tension (12)F · F along his

magnetic field. Further, an observer comoving with the mag-netic field lines, i.e., an observer whose 4-velocity Uµcom satisfies

FµνUνcom = 0, sees the EM energy density (

12)F · F . He also

observes the magnetic pressure (12)F ·F to the spatial direction

orthogonal to his magnetic field.

7.1 Komar Integral

Let V be a volume of a spacetime on a spacelike hypersurfaceΣ, with boundary ∂V . このとき，任意のKilling vector field ~ξに対して, 次の様なKomar integral,

Q~ξ =def

c

16πG

∮

∂V

dSµνDµξν (7.51)

=c

8πG

∮

V

dSµDνDµξν (7.52)

を定義する事が出来る。但し，cは適当な定数である。Set Σ be a spacelike hypersurface in a stationary exterior

BH spacetime with an inner boundary, H, on the future eventhorizon and another boundary at i0

As before, ∀ Killing vector field ~ξ, ∃ associate the Komar in-tegral;

Q~ξ(V ) =C

16πG

∮

∂V

ξν;µdSµν

for some constant C, where V is a volume of spacetime on Σ.By Stokes theorem26,

Q~ξ(V ) =C

8πG

∮

V

ξν;µ;νdSµ

Note that convarinat derivatives don’t commute in the inte-grant, so we should pay special attention to their order. Wehave already got the useful conclusion

Q~ξ(V ) =∫Jµ(~ξ)dSµ

with Jµ(~ξ) := C

(Tµνξ

ν − 12Tξµ

)

∂µJµ(~ξ) = 0

That is, ~J is a conserved current, and then the charge Q~ξ(V )

is time-independent provided ~J vanishes on ∂V .

Take ~ξ for ~m :=∂

∂φwith C = 1,

J(V ) :=1

16πG

∮

∂V

dSµνmν;µ

Proposition 7.1.1From the Komer integral for J

J =∫

Σ

dSµTµν(F )mν + JH (7.53)

where JH =1

16πG

∮

H

dSµνmν;µ

Remark 7.1.2Recall the Killing vector lemma:

∇ρ∇µξν = Rνµρσξσ (7.54)

and the Einstein’s equation

Rµν = 8π(Tµν − 1

2Tgµν

)

Proposition 7.1.2From the Komer integral for the total energy, i.e., mass

M = 2ΩHJ − 18πG

∮

H

dSµνξν;µ (7.55)

Lemma 7.1.3

dSµν = (ξµnν − ξνnµ) dA on H (7.56)

where ~n is s.t. ~n · ~ξ = −1

Proposition 7.1.4 Smarr’s formulaBy Lemma(7.1.3), (7.55) leads

M =14πκA+ 2ΩHJ (7.57)

In the case of non-zero charge Q,

M =14πκA+ 2ΩHJ + ΦHQ (7.58)

where ΦH is the co-rotating electric potential on the horizon.

Proof of 7.1.3

26

Z

Ddω =

Z

∂Dω

41

8 輻射Maxwell方程式

∇ ·B = 0 (8.1)∂B

∂t+ ∇×E = 0 (8.2)

∇ ·E = 4πρe (8.3)

−∂E

∂t+ ∇×B = 4πJ (8.4)

で，rotを演算すれば(− ∂2

∂t2+∇2

)E = 4π

(∇ρe +

∂

∂tJ

)(8.5)

(− ∂2

∂t2+∇2

)B = −4π∇× J (8.6)

である。一方，Aµ → (−φ,Ai)を用いてMaxwell方程式を書き換えると，

F νµ ,ν = 4πIµ (8.7)

⇐⇒ Aν,µν −A ,νµ ,ν = 4πIµ (8.8)

=⇒

∂

∂t

(∂φ

∂t+ ∇ ·A

)+ ¤φ = −4πρe

∇(∂φ

∂t+ ∇ ·A

)−¤A = 4πJ

(8.9)

8.1 Gauge固定自由度

Aµ = Aµ +∂χ

∂xµ(8.10)

に着目しよう。

Fµν → Fµν

= ∂µAν − ∂νAµ= ∂µ(Aν + ∂νχ)− ∂ν(Aµ + ∂µχ)= ∂µAν − ∂νAµ

であるから，電磁場は変わらない。この様な不変性は Noetherの定理から保存量の存在を保証するのであった。電荷の保存はこの事に関係している事を指摘しておく。さて，この自由度から Aν,ν = 0と出来る事は明らかだろう。実際，

∂φ

∂t+ ∇ ·A =

(− ∂2

∂t2+∇2

)χ (8.11)

を満たす χ を取ればよい。このように付加条件を指定する事をGauge固定という。また，今のようなGauge固定を Lorentzgaugeという。3元で表示すれば，

∂φ

∂t+ ∇ ·A = 0 (8.12)

である。ただし，Lorentz gaugeをとっても gaugeの自由度は失われない事に注意しよう。この他の gaugeの取り方として

∇ ·A = 0 (8.13)

ととる Coulomb gaugeがある。この場合，Lorentz gaugeとは違って，gauge変換する余地がなくなる。この辺の話は，何故光の自由度が２なのかという事と関連している。

さて，話を戻して，Lorentz gaugeをとった時，Maxwell方程式から

−(− ∂2

∂t2+∇2

)Aµ = 4πIµ (8.14)

が得られる。

8.1.1 数学に関する補足；Green函数物理で扱う時には Green函数は，

1. 応答函数である

2. 伝播函数である

3. 逆演算子である

という 3通りの見方があるということを頭に入れておこう。

(∇2 +

ω2

c2

)G(r, r′) = −4πδ(r, r′) (8.15)

を満たす G(r, r′)は

G(r, r′) =e±

ωc |r−r′|

|r − r′| (8.16)

である事は容易に示す事が出来るだろう。物理によく現れる方程式に

(− 1c2∂2

∂t2+∇2 − 1

λ2

)ϕ(xµ) = f(xµ) (8.17)

というものがある。これをKlein-Gordon方程式という。λ =~mcは Compton波長である。Klein-Gordon方程式は，

−(E

c

)2

+ p2 = −mc2

に対して，

E → i~∂

∂t, p→ −i~∇

と置き換えることによって[− 1c2∂2

∂t2+∇2 − m2c2

~2

]ϕ(x) = 0 (8.18)

と得られる。ϕが時間に依らない場合，

∇2ϕ(x) =1λ2ϕ(x), λ =

~mc

となるが，この方程式は特解

ϕ(r) ∝ e−r/λ

r

もつ。これをもって，Coulomb potential(∝ 1r

)とは異なる場

があることを主張し，核力の理論を打ち立て，今日 π-meson と呼ばれる粒子を予言したのが湯川秀樹である (1935)。さて，そのYukawa potentialはその形から分かるように，exp的に減少する。到達距離の目安を与えるのがCompton波長 λであり，このため短距離力と呼ばれる。逆に，長距離力であるCoulomb力

27水素スペクトルの微細構造を計算すると，実測値よりも大きくなってしまうし，電子のスピンなどは全く考慮されていない。

42 8 輻射

は，λ → ∞ を意味し，これは m → 0すなわち massless bo-son(photon)が関与していることを示唆するものである。

Klein-Gordon方程式は多粒子の場を記述するものとしては正しいのであるが，実は 1個の電子に対する Schrødinger方程式の相対論的拡張版と捉える事は正しくない27というのは，Klein-Gordon方程式の中に含まれる，時間に関する 2階微分が問題なのである。ϕに確率波という意味を持たせるときに，

∫∫∫ |ϕ|2drは時間に対して一定でなければならない。このことから，Klein-Gordon方程式を解くにあたって，ϕと ϕの両方に任意の初期条件を課すことは出来ない。つまり，1粒子の確率波が従うべき方程式としては不適当なのである。Spin-1/2の Fermionsは，Dirac方程式に従うのである。以下では紹介するだけにとどめる。

Group Theory ¿ Symmetry ¿ Field Theory

1. φ(x) ; scalar, spin-0

Schrødinger equation ;

i~∂

∂tψ +

~2

2m∇2ψ = 0

for de Broglie field28 (complex, non-rel).

→ Schrodinger eq.

Klein-Gordon equation ;(

∂

∂xµ∂

∂xµ+

(mc~

)2)φ = 0

for Klein-Gordon field (real, relativistic)

2. ψ(x) ; Dirac, spin-1/2

Dirac equation ;

( /P −mcI)ψ = 0i.e. (i~γµ∂µ −mcI)ψ = 0

the Gamma matrices;

γ0 =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

, γ1 =

0 0 0 10 0 1 00 −1 0 0−1 0 0 0

,

γ2 =

0 0 0 −i0 0 i 00 i 0 0−i 0 0 0

, γ3 =

0 0 1 00 0 0 −1−1 0 0 00 1 0 0

,

γ5 =

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

, γµ, γν = 2ηµν

この行列は，人によってチョイチョイ違うので注意しなければならない。もっと，協調性を持とうよい。29。

3. Aµ ; vector, spin-1

Maxwell equations ;

Fµν,µ =4πcjµ,

(F[µν,λ] = 0

)

4. ψµα ; gravitino, spin-3/2

Rarita-Schwinger ;

LRS = εµνλρψµγν∂ψρ∂xλ

5. gµν ; gravitons (metric), spin-2

Rµν + gµν

(Λ− 1

2R

)=

8πGc4

Tµν

28確率波ではなく，実在波である。29

operator d.o.f. nonrela-approx

1 1 scalar 1γµ 4 vector γ0 ≈ 0

12

(γµγν − γνγµ) 6 tensor σk

γµγ5 4 pseudo-vector σk

γ5 1 pseudo-scalar v · σ/c¿ 1

γ5 =def

iγ0γ1γ2γ3

CPT-transformation

Cψ = γ2ψ∗, Pψ = γ0ψ, Tψ = γ1γ3ψ∗

8.1 Gauge固定 43

Variables Spin Lagrangian density EL equation Field

ψ(x) ∈ C∞(C) 0 i~ψ∗∂

∂tψ − ~2

2m∇ψ∇ψ∗ i~

∂

∂tψ +

~2

2m∇2ψ = 0 de Broglie field (non-rel.)

φ(x) ∈ C∞(R) 012φ,µφ

,µ − 12

(mc~

)2

φ2

¤ +

(mc~

)2φ(x) = 0 Klein-Gordon field

ψα (spinor) 1/2 i~cψγµ∂

∂xµψ −mc2ψψ ( /P −mcI4)ψ(x) = 0 Dirac field

Aµ(vector) 1 −14FµνF

µν Fµν,µ = 0 Maxwell equation(radiation field)

ψαµ 3/2 εµνληψµγν∂ψη∂xλ

εµνληγν∂λψη = 0 Rarita-Schwinger equation

gµν 2 − 116πG

(R+ 2Λ)√−g Rµν − 1

2gµνR = 0 Einstein equation

Klein-Gordon方程式の極座標表示は，(2.52)で計算した通り。(− ∂2

∂t2+

1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)− L

)ϕ(x) = 0 (8.19)

但し，

L =def−

[1

sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1sin2 θ

∂2

∂φ2

](8.20)

(¤−m2

)ϕ(x) = 0 (8.21)

の解は

ψk(x) ∝ e−iωt+k·x = eiηµνkµxν

(8.22)

但し，kµ → (ω,k)

ω =√

k2 +m2(8.23)

固有値は

i∂

∂tψk = ωψk(x) (ω > 0) (8.24)

1辺の長さが Lの立方体に閉じ込めて，周期境界条件を付けて加算化する。

Normalize: ψk =1√

2L3ωeiηµνk

µxν

(8.25)

一般解は，

ϕ(x) =∑

k

(akψk(x) + ak∗ψk(x)) (8.26)

となる。内積は

〈ψk|ψk′〉 =def−i

∫ ψk

∗(x)(∂

∂tψk′(x)

)−

(∂

∂tψk

∗)ψk′

d3x

(8.27)

≡ −i∫ψk

∗↔∂ψk′d3x (8.28)

で定義される。

ϕ(x) =(Aωe

−iωt +Aω∗eiωt

)R(r)Θ(θ, φ) (8.29)

と変数分離して Helmholtz型の微分方程式

[ω2 +

1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)− L

]R(r)Θ(θ, φ) = 0 (8.30)

を得る。さらに，Bessel型微分方程式

[1r2

∂

∂r

(r2∂

∂r

)− `(`+ 1)

r2

]R(r) = −ω2R(r) (8.31)

と

LΘ(θ, φ) = `(`+ 1)Θ(θ, φ) (8.32)

に分離される。`は 0以上の整数である。Bessel方程式の解は，spherical Bessel fn.かHankel fn.で書けるが，ここではHankel函数を用いる事にする。

R(r) = Cω`h`(1)(rω) + Cω`

∗h`(2)(rω) (8.33)

ただし，r →∞の漸近形は

h`(1) ∼ (−i)`+1 e

iωr

ωr(r ∼ ∞)

h`(2) ∼ (+i)`+1 e

−iωr

ωr

(8.34)

である。また，角度成分の解は，球面調和函数を用いて表される。

Θ(θ, φ) =∑m

BlmYlm(θ, φ) (8.35)

44 8 輻射

mは，|m| ≤ `を満たす整数である。結局，解 ϕ(x)は，以下のようになる。

ϕ(~x) =∑

ω,`,m

(Aωe


)

×(Cω`h`

(1) + Cω`∗h`(2)

)B`mY`m

∼r→∞

∑

ω,`,m

(Aωe


)

× Cω`(−i)`+eiωr + Cω`∗(+i)`+1e−iωr

ωrB`mY`m

=∑

ω,`,m

1ωr

[AωCω`(−i)`+1e−iωt+iωr

+AωCω`∗(+i)`+1e−iωt−iωr +Aω

∗Cω`(−i)`+1eiωt+iωr

+Aω∗Cω`∗(+i)`+1eiωt−iωr

]B`mY`m

=∑

ω,`,m

1r

(Dω`e

−iωu + Eω`e−iωvDω`

∗eiωu + Eω`∗eiωv

)

×B`mY`m但し，

Dω` =1ωAωCω`(−i)`+1

Eω` =1ωAωCω`

∗(+i)`+1

u ≡ t− r, v ≡ t+ r

(8.36)

ψ ∝

1re−iω(t−r)Y`m =

1re−iωuY`m

1re−iω(t+r)Y`m =

1re−iωvY`m

(8.37)

したがって，適当な係数をつければ

ψω`m ≡ Fω`m · 1re−iωuY`m

となる。規格化は

〈ψω`m|ψω′`′m′〉

=− i∫ π

−πsin θdθ

∫ 2π

0

dφ

∫ ∞

−∞r2dr

(ψω`m

∗ ∂ψω′`′m′∂t

− ∂ψω`m∗

∂tψω′`′m′

)

=− i∫ ∞

−∞r2drFω`m

∗Fω′`′m′ (iω − iω′) 1r2e−it(ω−ω

′)−ir(ω−ω′)

×∫ π

−πsin θdθ

∫ 2π

0

dφY`mY`′m′

=Fω`m∗Fω′`′m′(ω + ω′)e−it(ω−ω′)2πδ(ω − ω′)δ``′δmm′

から決めればよいが，特に規格化する必要もないので，このままにしておく。

(8.37)ψω`m(u)(t, r, θ, φ) = Fω`m

1re−iωuY`m

ψω`m(v)(t, r, θ, φ) = Fω`m1re−iωvY`m

(8.38)

(ω, `,m) ≡ I

ϕ =∑

I

(aIφI + aI∗ψI∗) (8.39)

3次元波動方程式

Helmholtz方程式(∇2 +$2

)ψ(x) = −S(x) (8.40)

の解を求めよう。Green函数が満たす(∇2 +$2

)G(x) = −δ(x) (8.41)

を Fourier変換して

(−k2 +$2)G(k) = − 1

(2π)2(8.42)

を得る。ここで，

f(x) =e±i$r

r

(i2 = −1, r = |x|)

の Fourier変換を求めよう。

f(k) =1

(2π)3

∫e±i$r

re−ik·xd3x

=1

(2π)3

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ

∫ ∞

0

dr

[e±i$r

re−ikr cos θr2 sin θ

]

= − 1(2π)2

∫ ∞

0

dr

∫ 1

−1

d (cos θ) r2e±i$r

reikr cos θ

=1

(2π)2ik

∫ ∞

0

dr[ei(±$+k)r − ei(±$−k)r

]

この積分は発散する。integrandに e−ς (ς > 0)を乗じてからリミット ς → 0をとろう。そうすると

f (k) =1

2π2

1k2 −$2

(8.43)

となる。よって，(8.42)とから

G(k) =14πf(k) (8.44)

∴ G(x) =1

4πre±i$r (8.45)

したがって，Helmholtz方程式の解 ψは，

ψ(x) =∫G (x− x′)S(x′)d3x′

i.e. ψ(x) =14π

∫e±i$|x−x′|

|x− x′| S(x′)d3x′ (8.46)

であることがわかる。さて，3次元波動方程式

(− ∂2

∂t2+∇2

)ψ(t,x) = −S(t,x) (8.47)

の解であるが，Green函数の満たす方程式(− ∂2

∂t2+∇2

)G(t,x) = δ(t)δ(x) (8.48)

の時間について Fourier変換を施すと，

(ω2 +∇2

)G(ω,x) = − 1

2πδ(x) (8.49)

8.1 Gauge固定 45

となるので，さっきの議論から

G(ω,x) =1

8π2re±iωr

したがって

G(t,x) =∫e−iω(t∓r)

8π2rdω =

14πr

δ(t∓ r) (8.50)

故に，

ψ (~x) =∫G (~x− ~x′)S (~x′) d4x′

i.e. ψ (~x) =14π

∫S (t∓ |x− x′|, x′)

|x− x′| d3x′ (8.51)

8.1.2 遅延ポテンシャル(8.14)の解は，

Aµ(t,x) =(

1c2

) ∫Iµ (t− |x− x′|, x)

|x− x′| d3x′

Causalityを考慮して負符号をとった。時間成分と空間成分を分解して書くと，

φ(t,x) =(

1c2

) ∫ρe (t− |x− x′|, x)

|x− x′| d3x′ (8.52)

A(t,x) =(

1c2

) ∫J (t− |x− x′|, x)

|x− x′| d3x′ (8.53)

さて，ここで次のように記号を定めよう。

R := x− x′, R := |R|n :=

|R|R

t′ = t−Rρ′e := ρe(t′,x′), J ′ := J(t′,x)

∇R = −∇t′ = ∇′t′ = n (8.54)

*********************************************************

E = −∫ [

1R

∂J ′

∂t′−

(n · ∂J ′

∂t′

)+

1R2

−ρ′en + J ′ − 2(n · J ′) n

]d3x′ (8.55)

B =∫ (

1R

∂J ′

∂t′× n +

1R2

J ′ × n

)d3x′ (8.56)

*********************************************************

(8.55), (8.56)の 1Rの項による影響しか及ばない程ソースか

ら十分遠方における電磁場は，

E = −∫

1R

∂J ′

∂t′−

(n · ∂J ′

∂t′

)d3x′ (8.57)

B =∫

1R

∂J ′

∂t′× nd3x′ (8.58)

となる。電気双極子モーメント (electric dipole)

d(t) =def

∫xρe(t,x′) d3x′ (8.59)

磁気双極子モーメント (magnetic dipole)

m(t) =def

12

∫x′ × J(t,x′) d3x′ (8.60)

電気四重極子モーメント (electric quadrupole)

Dij(t) =def

∫x′ix′jρe(t,x′)d3x′ (8.61)

A(t,x) =1R0

[d(t−R0) + m(t−R0)× n +

12D(t−R0)

]

(8.62)

E =1R0

[(d× n

)× n− m× n +

12

(...D × n

)× n

]

(8.63)

B =1R0

[d× n + (m× n)× n +

12

...D × n

](8.64)

右辺第 1項から順に電気双極子放射 (E1 radiation)，磁気双極子放射 (M1 radiation)，電気四重極子放射 (E2 radiation)という。E = B × n

8.1.3 Lienard-Wiechert potential

点電荷のつくるポテンシャルについて考えよう。

ρe(t,x) = eδ3 (x− x(t))J(t,x) = ev(t)δ3 (x− x(t))

φ =e

1− β‖1R

(8.65)

A =e

1− β‖1R

β (8.66)

を Lienard-Wiechert potentialと呼ぶ。ただし，β‖ = β · nである。相対論が生まれる前から，有限の速度で伝わる事は認識されていた事が分かる。

E =e

γ2(1− β‖)3(n− β)

1R2

+e

c(1− β‖)3n×

[(n− β)× β

] 1R

(8.67)

B = n×E (8.68)

右辺の量は全て時刻 t′におけるもである事に注意しよう。磁場は至る所で電場に垂直となっているということを指摘しておく。電場の第 1項は粒子の速度に依存する項で，第 2項は加速度に依存する項である。粒子の運動状態に分けて考えてみる。

46 8 輻射

1. β = β = 0

E =e

R2n, B = 0 (8.69)

2. β 6= 0, β = 0

E =e

γ2R2

1(1− β‖)3

(n− β) (8.70)

B = − e

γ2R2

1(1− β‖)3

n× β (8.71)

3.c

|β| ¿ R, β ¿ 1 (wave zone)

E ' e

cR

(β‖n− β

)(8.72)

B ' − e

cRn× β (8.73)

Poynting vector:

S =c

4πE ×B =

e2

4πc

(β2 − (n · β)2

)n

1R2

(8.74)

このとき，立体角あたり (do = sin θdθdφ)の放射 dI は，

dI =e2

4πc

(β2 − (n · β)2

)n (8.75)

=e2

4πcβ2 sin θdo (8.76)

したがって，全放射強度は

I =∫dI =

2e2

3c3v2 =

23c2

d2 (8.77)

運動方向に加速される場合に放出される輻射は

dE

dt=

2e2

3c3a2γ6 (8.78)

1− β‖ = 1− v

ccos θ = 1− v

c+

v

2cθ2 +O(θ4) (8.79)

8.2 放射減衰

d2uµ

dτ2=

e

mc2Fµν,λuνu

λ +e2

m2c4FµνFνλu

λ (8.80)

8.3 輻射の輸送方程式放射線によって運ばれるエネルギーについて考える。1本の放射線によってはエネルギーは運ばれないので，無限小の集合としての放射線束を考える必要がある。断面積 dAから放出し，立体角 dΩに広がる放射線束の，単位時間，単位振動数当たりのエネルギー dE は，

dE = I(ν,Ω)dAdtdΩdν (8.81)

で与えられる。但し，I(ν,Ω)は単位振動数，単位立体角あたりのエネルギーフラックスであり，specific intensityあるいはbrightnessと呼ばれる。定義より，その次元は

[I(ν,Ω)] = erg cm−2s−1/ (ster ·Hz)

である。

輻射場で適当な面積要素 dA(Normal vectorを nとする)をとる。そうすると，立体角 dΩを通過する単位振動数当たりのフラックスの微小量 dF (ν)は

dF (ν) = I(ν,Ω) cos θdΩ (8.82)

で与えられる。cos θは normal方向と dΩ方向のなす角である。この量を立体角で積分した

F (ν) =∫I(ν,Ω) cos θ dΩ (8.83)

を n方向の net fluxと呼ぶ。I(ν,Ω)が Ωによらない，つまりisotropicならば，net fluxはゼロである。次に，dAに normal

なmomentumについて考えよう。photonのmomentumは E

c

で与えられるので，立体角方向へのmomentum fluxは dF (ν)c

である。normal方向の成分は dF (ν)c

cos θ で与えられるので，単位時間，単位面積当たりのmomentum，すなわち放射線束の振動数当たりの圧力 p(ν)は，

p(ν) =1c

∫I(ν,Ω) cos2 θdΩ (8.84)

である。輻射場の単位立体角，振動数当たりの energy densityを ρ(ν,Ω)とすれば，

dE = ρ(ν,Ω)dV dΩdν= ρ(ν,Ω)(cdAdt)dΩdν

(8.81)と比較して，

ρ(ν,Ω) =I(ν,Ω)c

(8.85)

を得る。立体角で積分すれば，

ρ(ν) =∫ρ(ν,Ω)dΩ =

1c

∫I(ν,Ω)dΩ ≡ 4π

cJ(ν) (8.86)

J(ν) =def

∫I(ν,Ω)dΩ∫dΩ

=14π

∫I(ν,Ω)dΩ (8.87)

J(ν) は立体角で平均をとった intensity であるから，:::::::::::::isotropicな場なら。

I(ν) = J(ν)

である。以上で定義した物理量は振動数別であるので，積分すれば totalの値が決まる。

I =def

∫I(ν)dν erg cm−2s−1ster−1

F =def

∫F (ν)dν erg cm−2s−1

p =def

∫p(ν)dν dyn cm−2

ρ =def

∫ρ(ν)dν erg cm−3

Isotropicな輻射場が閉じ込められた cavityを考えよう。photonが transferする運動量は 2倍になるので

p(ν) = 2× 1c

∫I(ν,Ω) cos2 θ dΩ (8.88)

8.3 輻射の輸送方程式 47

である。Isotropicな場を考えているので，I(ν) = J(ν)とから，

p =2c

∫J(ν)dν

∫cos2 θ dΩ

=ρ

2π

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ cos2 θ sin θ =13ρ (8.89)

つまり，isotropic radiation fieldの pressureは energy densityの 3分の 1という熱力学の結果と同じ結果が得られた。

Radiative transfer

光線が物質を通過すると，物質中の光源によって specific inten-sityが増加したり，吸収によって減少したりする。以下では，もともとあった放射線束の散乱は考えずに，emissionや absorptionによる変化について考えることにする。

まず emissionについて考える。単位体積あたりに放出される輻射の，単位時間，単位立体角あたりのエネルギーを jとすると，

dE = jdV dΩdt (8.90)= j(ν)dνdV dΩdt (8.91)

j は (spontaneous) emission coefficient と言い，j(ν) はmonochromatic emission coefficient と呼ばれる事がある。一般的には，emission 係数は放出される方向に依存するが，isotropicに放射される場合は

j(ν) =14πP (ν) (8.92)

と表せる。P (ν)は単位体積当たりに放射されるmonochromaticradiationである。しばしば，spontaneous emissionは emissiv-ity ε(ν) で定義される。これは，振動数当たりに放出される，単位時間，単位質量当たりのエネルギーである。Emission がisotropicに起こる場合は，

dE = ρ0ε(ν)dV dtdνdΩ4π

(8.93)

(8.91)と (8.93)を比較すれば，isotropic emissionに対して

j(ν) =ρ0ε(ν)

4π(8.94)

という関係にある事が分かる。また，(8.91)より, dsだけ進んだ時に emissionによって増加するエネルギーは，

dE = j(ν)dνdAdsdΩdt

∴ dE

dνdAdΩdt= j(ν)ds

右辺は，intensityの増加に他ならないから，

dI(ν) = j(ν)ds (8.95)

である。

次に absorptionについて考えよう。物質中を dsだけ進んだときの吸収を表す係数を α(ν)とすると，

dI(ν) = −α(ν)I(ν)ds (8.96)

と書く事が出来る。Absorptionは入射する輻射の強度に依存しておこるとしているので，誘導吸収だけでなく誘導放射も含むということに注意しよう。したがって net absorptionは positiveであるだけでなく，negativeにもなり得る。

α(ν)がどのように表されるか考えよう。吸収体の number den-sityを nとし，吸収断面積を σ(ν)とすると，

σ(ν) · ndAds

であるから，ビームから吸収されるエネルギーは

−dI(ν)dAdΩdtdν = I(ν) (nσ(ν)dAds) dΩdtdν (8.97)

したがって，

dI(ν) = −nσ(ν)I(ν)ds (8.98)

という関係になる。これより，(8.96)と比較すれば，

α(ν) = nσ(ν) (8.99)

である事が分かる。但し，このようなマイクロスコーピック的アプローチが正しいのは，平均粒子間距離 dに対して σ(ν)1/2 ¿d ∼ n1/3が成り立ち，吸収体がそれぞれ独立にランダムに分布しているということが満たされている場合である。

α(ν) = ρ0κ(ν) (8.100)

で定義される κ(ν) もよく用いられる。κ(ν) は opacity とかmass absorption coefficientなどと呼ばれる。

以上より，emissionと absorptoinにより，specific intensityの満たすべき方程式は

dI(ν)ds

= −α(ν)I(ν) + j(ν) (8.101)

である。この方程式を radiative transfer方程式という。散乱のない場合について考えているが，散乱も考慮に入れると一般に integrodifferential方程式になってしまい，解析的に解けなくなることがしばしば起こる。以下では，2つの最も簡単な場合について解を求めるにとどめる。

1. emissionのみの場合: α(ν) = 0として，(8.101)は

dI(ν)ds

= j(ν)

より，積分して，

I(ν, s) = I(ν, s0) +∫ s

s0

j(ν, s′) ds′ (8.102)

2. Absorptionのみの場合: j(ν) = 0として，(8.101)は

dI(ν)ds

= −α(ν)I(ν)

より，積分して

I(ν, s) = I(ν, s0) exp[−

∫ s

s0

α(ν, s′)ds′]

(8.103)

を得る。

変数 sを

dτ(ν) =def

α(ν)ds(τ(ν, s) =

def

∫ s

s0

α(ν, s′)ds′)

(8.104)

を満たす τ(ν) に変数変換しよう。τ(ν) は Optical depth と呼ばれる。Optical depth が大きいということは，absorptioncoefficientが大きいという事を意味するが，そのような物質を

48 8 輻射

optically thickや opaqueなどと言う。逆に optical depthが小さいものを optically thinや transparentと言ったりする。

(8.101)を α(ν)で割って

S(ν) =def

j(ν)α(ν)

(8.105)

とおけば，

dI(ν)dτ

= −I(ν) + S(ν) (8.106)

S(ν)は source functionと呼ばれる。

I(ν, τ(ν)) = I(ν, 0)e−τ(ν)

+∫ τ(ν)

0

e−(τ(ν))−τ ′(ν))S(ν, τ ′(ν))dτ ′(ν) (8.107)

〈τ(ν)〉 =∫ ∞

0

τ(ν)e−τ(ν)dτ(ν) = 1 (8.108)

8.3.1 Thermal Radiation

物質が熱力学的平衡状態にある時に放出される輻射を Thermalradiationと呼ぶ。

Blackbody Radiation

specific intensityは温度 T と振動数 νの函数となる。Black-bodyのとき，specific intensityを B(ν)と書く事が多い。

S(ν) = B(ν, T ) (8.109)j(ν) = α(ν)B(ν, T ) (8.110)

(8.110)はKirchhoffの法則と呼ばれる。

Energy fluxを F , energy intensityを I とすると

F =∫I cos θdΩ (8.111)

(したがって，等方ならば F = πI)

単位振動数あたりの Energy flux，Energy intensityをそれぞれF (ν), I(ν)と書く事にすると，

F =

def

∫F (ν)dν

I =def

∫I(ν)dν

(8.112)

であり，

F (ν) =∫I(ν) cos θdΩ (8.113)

である。単位振動数，立体角当たりの photonの energy densityを ρ(ν,Ω)とすると

ρ(ν,Ω) =I(ν)c

(8.114)

ρ(ν) =

def

∫ρ(ν,Ω)dΩ =

1c

∫I(ν)dΩ

J(ν) =def

14π

∫I(ν)dΩ

(8.115)

ρ(ν) =4πcJ(ν) (8.116)

dI(ν) = j(ν)ds (8.117)

dI(ν) = −α(ν)I(ν)ds (8.118)

α(ν) = nσ(ν) (8.119)

κ(ν) =def

α(ν)ρ0

(8.120)

を opacityという。

l =1

nσ(ν)=

1κ(ν)ρ0

(8.121)

dI(ν)ds

= −α(ν)I(ν) + j(ν) (8.122)

これを輻射の輸送方程式と呼ぶ。

8.3.2 Einsteinの遷移確率

2つの energy levelを考える (差を hν0とする)。この 2つの level間での考えられる遷移は，

¯ 自発放射 (spontaneous emission)

¯ 誘導放射 (induced emission)

¯ 誘導吸収 (induced absorption)

である。

左図：absorption B12, 中央：induced emission B21

右図：spontaneous emission A21

図の下の準位を 1，上の準位を 2としよう。A21 を単位時間にレベル 2から 1に自発放射する確率とする。またレベル 1から2への遷移で吸収される輻射強度を J とするとき，B12J が単位時間当たりの吸収確率，B21J がレベル 2から 1への誘導放射の確率を与えるとする。

上下の遷移がつり合っているとき，各レベルの状態にある原子の数密度を ni として

n1B12J = n2A21 + n2B21J (8.123)


J について解けば，

J =

A21

B21

n1

n2

B12

B21− 1

(8.124)

であるが，平衡状態にあるとき

n1

n2=

g1e−E/kBT

g2e−(E+hν0)/kBT=g1g2ehν0/kBT (8.125)

という関係があるので，

J =

A21

B21

g1g2

B12

B21ehν0/kBT − 1

(8.126)

熱平衡状態にある時は，すでに説明した通り，J は PlankianB(ν)に等しい。Einstein relationが得られる。

g1B12 = g2B21 (8.127)

A21 =2hν3

c2B21 (8.128)

α(ν) =hν

4πn1B12

1− e−hν/kBT

Φ(ν) (8.129)

8.3.3 Random walk

j(ν) = σ(ν)J(ν) (8.130)

S(ν) = J(ν) =14π

∫I(ν) dΩ (8.131)

dI(ν)ds

= −σ(ν) (I(ν)− J(ν)) (8.132)

l∗2 = Nl2 ∴ l∗ =√Nl (8.133)

N ≈τ2 (τ À 1)τ (τ ¿ 1)

(8.134)

dI(ν)ds

= −α(ν) I(ν)−B(ν) − σ(ν) I(ν)− J(ν)= −α(ν) + σ(ν) I(ν)− S(ν) (8.135)

S(ν) =α(ν)B(ν) + σ(ν)J(ν)

α(ν) + σ(ν)(8.136)

Lyman, Balmer系列

水素原子の energy levelを下から，1,2,3· · · と名付けて，energylevel間を遷移する際に photonが放出される。

En − E1 = |E1|(

112− 1n2

)= hν(n) (8.137)

基底状態から遷移する場合や基底状態へ遷移する場合に放出される輝線および吸収線を水素の Lyman系列と呼んでいる。波長の長い方から Lyα (1215

A ), Lyβ (1026

A ) · · · と呼ばれて

いる。Lyman系列はこのように紫外線領域の電磁波である。また，n = 2に遷移する系列

En − E2 = |E1|(

122− 1n2

)= hν(n) (8.138)

をBalmer系列という。これも，波長の長い方からHα (6563

A ), Hβ (4861

A ) · · · と呼ばれている。可視光領域

の波長である。line spectrumが continuumとなるところは bfedgeと呼ばれている。水素の第 1イオン化エネルギー |E1|は13.6eVであるから，Lyman edgeと Balmer edgeはそれぞれ

λLy =hc

−E1= 911.6

A (8.139)

λBal =4hc−E1

= 3647A (8.140)

である。Lyman edge に対応する波長よりも高エネルギーのphotonが neutral Hydrgenと衝突すると，ionizedされるのでplasmaとなる。このような領域はHII regionと呼ばれ，星形成の重要な役割を持っている。

Synchrotron radiation

ある基準系で電場がなく，磁場のみ存在している場合，運動方程式は (4.42)で与えられる。

dp

dt= ev ×B (8.141)

ここで，vと内積をとると，

v · ddtγmv = v ·

(dγ

dtmv + γm

dv

dt

)

=dγ

dtmv2 + γm

d

dt

(12v2

)

= m

(v2 ∂γ

∂v2+

12γ

)dv2

dt

=12mγ3 dv

2

dt= 0 (by r.h.s.)

したがって，dv2

dt= 0であるから，Lorentz factor γ も一定で

ある。このとき，運動方程式から

∴ γmv = ev⊥B (v⊥ := v sinα) (8.142)

αは磁場と速度のなす角であり，ピッチアングルと呼ばれている。磁場が存在すると，Lorentz力の性質から荷電粒子は螺旋運動を行うようになる。

a =v2⊥r

より，

γmv2⊥r

= ev⊥B (8.143)

∴ r =γmv⊥eB

(8.144)

50 8 輻射

ω =v⊥r

=eB

γm(8.145)

I =2e2

3

(ev⊥Bγm

)2

(8.146)

−dEdt

=2e2

3c3γ4 e2B2

γ2m2ec

2v2⊥ =

2e2

3c3γ2 e2

m2ec

2B2v2

⊥ (8.147)

= σTγ2

4πcB2v⊥2 (8.148)

速度空間内で z軸方向を磁場の方向と定義して，pitch angle αを天頂角 θにとると

〈v⊥2〉 =

∫∫ θ=π,φ=2π

θ=0,φ=0

v⊥2 sin θdθdφ

∫∫ θ=π,φ=2π

θ=0,φ=0

sin θdθdφ

=v2

2

∫ π

0

sin3 θdθ =23v2

であるから，

−dEdt

=23σT cγ

2(vc

)2 B2

8π(8.149)

E2 −m2c4 = γ2m2c2v2

であるから

−dEdt

=23σT

E2 −m2c4

m2c3B2

8π

∴ − dE

E2 −m2c4=

23σTm2c3

B2

8πdt

となる。これを積分して，整理すると

E = mc2 coth(

23σTmc

B2

8πt+ const.

)(8.150)


limt→∞

E(t) = mc2 (8.151)

となる事が分かる。

Thomson散乱とCompton散乱

光子が電子によって散乱される現象を考えよう。低エネルギーの光子との散乱はThomson散乱，高エネルギーの光子との散乱は Compton散乱と呼ばれる。具体的には大体 10keV程度(X線)が境目となる。まずは Thomson散乱について述べよう。

自由電子に photonが入射してくると, 電子は a =eE

mの加速を

受ける。この時に放射される輻射の強度は，

P =2e2

3c3a2 =

23

(e2

mc2

)2

E2c (8.152)

であり，入射する光子のエネルギーフラックスの大きさは

n · S =E2

4πc (8.153)

であるから，散乱断面積は，

σT =

23

(e2

mc2

)2

E2c

E2

4πc

(8.154)

=8π3

(e2

mc2

)2

=8π3r0

2 = 6.65× 10−25 cm2 (8.155)

r0は電子の rest mass energyが Coulomb potentialと等しくなる距離で，古典電子半径と呼ばれる。

Compton散乱

λ′ − λ =h

mc(1− cosφ) (8.156)

反跳電子の kinetic energy T = E −mc2 は

T = ~ω

2hλmc

sin2 φ

2

1 +2hλmc

sin2 φ

2

(8.157)

Inverce Compton radiation

光子はコンプトン散乱によって電子と相互作用する。コンプトン散乱では，光は粒子として振舞い，電子との 2体衝突を考える。逆に，高エネルギーの電子と低エネルギーの光子の散乱を考えるのが Inverse Compton散乱である。衝突積分を厳密に解く事が不可能であるため，近似的に解く他ない。Kompaneetsは，エネルギーの 2次のオーダーで衝突積分を求めた。この方程式をKompaneets方程式と呼んでおり，Sunyaevと Zel’dovichによって応用された (Sunyaev-Zel’dovich効果)。

Kompaneets方程式

n =(σTne~mec

)∂

∂ω

[ω4

(n(1 + n) +

kBT

~∂n

∂ω

)](8.158)

y =def

∫σTne

kBT

mec2d` (8.159)

Compton y-parameter

δIνIν

=δn

n= −y xex

ex − 1

[4− x coth

(x2

)](8.160)

但し，x =~ω

kBTradである。これが Sunyaev-Zel’dvich効果を表

す方程式である30。

Curvature radiation

非常に磁場が強いと，gyrationによる輻射というよりも，磁場に沿って輻射が出るようになる。このような輻射を curvatureradiationと呼ぶ。

−dEdt

=23e2c

ρ2γ4 (8.161)

30cf. John. A. Peacock, Cosmological Physics, Cambridge university press, pp.375-377


8.3.4 電磁波の分散・吸収

原子に束縛された電子と電磁波の相互作用を考えよう。

x = −ω0x +e

m

(E +

x

c×B

)+

2e2

3c3

...x

m(8.162)

第 1項は (束縛されていることによる)振動項，第 2項は (もちろん)Lorentz力，第 3項は reactionの項である。

電子が non-rela.

|x|c¿ 1 (8.163)

であると仮定すると...x = −ω2x ' −ω2

0x (8.164)

となる。ここで，

x = x0eiωt

−ω2x = −ω20x +

e

mE − iω 2e2ω2

0

3mc3x (8.165)

γ ≡ 2e2ω20

3mc3

x =e

m

E

ω20 − ω2 + iγω

(8.166)

N -electrons system:dipole da = exa = αaE

2αa =Ne2

m

∑ 1ω2a − ω2 + iγω

≡ α (8.167)

分極

P =∑

da = αE (8.168)

isotropicを仮定しよう。

D =def

E + 4πP = (1 + 4πα) E ≡ εE (8.169)

ε ≡ 1 + 4πα

= 1 +4πe2Nm

∑a

1ω2a − ω2 + iγω

= 1 +∑a

ω2p

ω2a − ω2 + iγω

ωp =

√4πe2Nm

は plasma frequencyと呼ばれる。

differential cross section

dσ =dI

S(8.170)

v = x = −ω2 e

m

E

ω02 − ω2 + iγω

' e

m

ω2

ω2 − ω02

dI =e2

4πc3v sin2 θdo

=e4

4πm2c3

(ω2

ω2 − ω02

)2

E2 sin2 θdo

S =c

4π|E ×B| = c

4πE2

dσ =(e2

mc2

)2 (ω2

ω2 − ω02

)2

sin2 θdo

σ =∫dσ =

8π3

(e2

mc2

)2 (ω2

ω2 − ω02

)2

= σT

(ω2

ω2 − ω02

)2

=

σT (ω À ω0) Thomson scatt.

σTω4

ω04

(ω ¿ ω0) Rayleigh scatt.

53

Part II

一般相対性理論扱える場は，静的であったり，定常であったり，真空であったり，球対称であったり，軸対称であったり，たかだか数例に過ぎない。

特殊相対性理論では重力を扱えない。この事の意味するものは一体なんなのであろうか。後で話を蒸し返すことになると思うが，全てのモノに影響を及ぼすという点で，重力は他の力と一線を画している。質量がない光子でさえも，重力の影響でその軌跡が曲がってしまう。Einsteinはこの影響を，時空の歪みとして，つまり幾何学的な解釈をもちこむことで見事にこの難題をクリアしてみせた。質量ゼロの光子に重力が働くことの意味を深く考えたい。質量が質量を持たないものに影響をするならば，電荷がゼロの中性物質に，Coulomb力は働かないのであろうか。質量だけが時空の幾何学に影響を及ぼすのだろうか。Reissner-Nordstrøm解は，ブラックホールのつくる「電場」が中性物質に力が及ぶことを表している。

9 グラビテーションFFではグラビガとして有名だが，FF playerのほとんどは詳しくグラビテーションを理解していないだろう。知っていた方がよりゲームを楽しめるってもんである。

重力が影響を及ぼす相手は質量をもつ粒子とは限らない。つまり，質量がない光子でさえも，重力の影響を受けて曲がるのである。このことを，時空の歪みとして捉えようというのが一般相対論である。

歪みとは，ナイーブに言ってしまえば，各点でmetricの成分が異なるということである。しかし，だいぶ前に書いたように，一般相対論などを持ち出さなくても，基底が各点各点で異なってしまうならば，普通の微分の意味を持たない。したがって，本質的な時空の歪みを記述するには，基底の変化だけを追っていてもしょうがない。後で述べるように，時空の曲がっている割合，つまり曲率が時空の歪みを表してくれるのである。

9.1 イクイヴァレントプリンシプル重力質量とは物体が作る重力場を決める質量であって，慣性とは物体の運動量とエナジーとの関係を決めるものである。慣性と重力質量が同じものである必然性は全くない。

等価原理と一言に言っても，いろいろな表現があるということに注意しよう。

¤ 強い等価原理特殊相対論でテンサー方程式で表される物理法則は曲がった時空の局所慣性系において，特殊相対論の場合と全く同じ価値をとる。

¤ 弱い等価原理一様な重力場は慣性系に対して一様に加速している系に等価である。…重力質量と慣性質量が等価である。

Lie微分各点各点で基底が異なるので，vectorの成分を異なる点で比較してはいけない。そこで，こっそり vectorを移動させて，同じ点で異なる vectorを比較する必要がある。

X ∈ TxM とし, fλをX に引き起こされるワンパラメタ局所変換群とすれば，

(£XT )x =def

limλ→0

Tx − ((fλ)∗T )xλ

(9.1)

特に Y ∈ TxM に対しては，

£XY = [X,Y ] (9.2)

共変微分以前説明した通り。

∂

∂xµeν =

defΓσνµeσ (9.3)

∂

∂xµ

(∂

∂xν

)=def

Γσνµ∂

∂xσ(9.4)

∂

∂xσ

(Xµ ∂

∂xµ

)= Xµ

,σ

∂

∂xµ+Xµ ∂

∂xσ

(∂

∂xµ

)(9.5)

= Xµ,σ

∂

∂xµ+XµΓλµσ

∂

∂xλ(9.6)

=(Xµ

,σ + ΓµνσXν) ∂

∂xµ(9.7)

Γµνλ =12gµσ (gσν,λ − gνλ,σ + gλσ,ν) (9.8)

計算すれば分かる通り，これは tensorではない。tensorではないのだが，

gµαΓµνλ =12δσα (gσν,λ − gνλ,σ + gλσ,ν)

=12

(gαν,λ − gνλ,α + gλα,ν) =: Γανλ

とおいておこう。1番目の indexのみmetricで上げ下げしてよろしい。

cf. covariant derivative vs. Lie derivative

∇XY = ∇Xµ∂µ(Y ν∂ν)

= Xµ∇µ(Y ν∂ν) (∇µ := ∇∂µ)

= Xµ(∂µY ν + ΓνµλYλ)∂ν (∇µ∂ν = Γλµν∂λ)

£XY = [X,Y ] = [Xµ∂µ, Yν∂ν ]

= Xµ∂µ (Y ν∂ν)− Y ν∂ν (Xµ∂µ)

=(XνY µ,ν − Y νXµ

,ν

) ∂

∂xµ

= (£XYµ −£YX

µ)∂

∂xµ

9.2 Riemann tensor～微分幾何から重力へ共変微分

Xµ;ν = Xµ

,ν + ΓµνλXλ (9.9)

は，その第２項が基底の微分を反映している。gauge場の理論では共変微分がかかるものによらなかったが，重力の場合は演算するものによっている（第 2項で vectorとChristoffelが縮約

54 9 グラビテーション

している）事が分かる。もう一度書いておくと，量子電磁力学における共変微分，その場の強さとは，

Dµ = ∂µ − ieAµ (9.10)

Fµν = − 1ie

[Dµ,Dν ] (9.11)

というものであった。この点が，基底の変化があるかないかの本質的な違いと考えられる。つまり，基底が各点で不変である場合，共変微分がその演算する vectorによらないのに対し，（重力場等による）共変微分は第２項に現れているように vectorによってしまうのである。但し，注意しておかなければならないのは，空間が歪んでいるかどうかはまだ問題ではない。特殊相対論の時にも少し書いたが，極座標を用いるだけでもはや Christoffel記号はゼロとはならない。しかし，極座標用いたからといって空間が歪むと考えるのはおかしいはずである。空間が歪んでいるかどうかは，以下で議論するように，Riemann tensorがゼロであるかどうかということが本質的なのである。

さて，電磁場で曲率によってその場の強さを定義していたように，重力場でも曲率でその強さを定義してみよう。

[∇µ,∇ν ]Xσ ≡ RσλµνXλ (9.12)

左辺は

[∇µ,∇ν ]Xσ = ∇µXσ;ν − (µ↔ ν) (9.13)

である。ここで，

(右辺第 1項) = (Xσ;ν),µ + ΓσαµX

α;ν + ΓανµX

σ;α (9.14)

=(Xσ

,ν + ΓσανXα),µ

+ Γσαµ(Xα

,ν + ΓαβνXβ)

− Γανµ(Xσ

,α + ΓσβαXβ)

(9.15)

= Xσ,µν + ΓσανX

α,µ + ΓσαµX

α,ν − Γανµ (· · · )

+ Γσλν,µXλ + ΓσαµΓ

αλνX

λ (9.16)

µν が対称な項を落とせば(Γσλν,µ + ΓσαµΓ

αλν

)Xλ

なので，結局

[∇µ,∇ν ]Xσ =(Γσλν,µ + ΓσαµΓ

αλν − Γσλµ,ν − ΓσανΓ

αλµ

)Xλ

(9.17)

このとき Riemann tensorは，

Rσλµν = Γσλν,µ + ΓσαµΓαλν − Γσλµ,ν − ΓσανΓ

αλµ (9.18)

と定義される。共変微分は可換でないということは記憶に値する。

Indexを下げると，

Rσλµν = gσβ

(Γβλν,µ + ΓβαµΓ

αλν − Γβλµ,ν − ΓβανΓ

αλµ

)

(9.19)

局所慣性系ではmetricの 1階微分がゼロ，したがってChristoffel記号がゼロなので，

Rσλµν =12gσα (gλµ,αν + gαν,λµ − gλν,αµ − gαµ,λν) (9.20)

また，indexを下げれば

Rσλµν =12

(gλµ,σν + gσν,λµ − gλν,σµ − gσµ,λν) (9.21)

となる。

さて，ここで (9.18)から導かれる性質について述べておこう。まず，定義からして当然

Rσλµν = −Rσλνµ (9.22)

であることはいいだろう。また，元々の定義に戻って考えれば，1-form Xσ に対して

[∇µ,∇ν ]Xσ = − (Γλσν,µ − ΓασµΓ

λαν − Γλσν,µ + ΓασνΓ

λαµ

)Xλ

(9.23)

= −RλσµνXλ (9.24)

であるから，両辺に gσβ を乗じれば，

[∇µ,∇ν ]Xβ = −gσβRλσµνXλ

であるが，左辺は定義より RβλµνXλ に等しいのであるから，

RβλµνXλ = −gσβRλσµνXλ (9.25)

∴ Rσλµν = −Rλσµν (9.26)

であることが分かる。さらに，Rσλµν = Γσλν,µ + ΓσαµΓ

αλν − Γσλµ,ν − ΓσανΓ

αλµ

Rσµλν = Γσµν,λ + ΓσαλΓαµν − Γσµλ,ν − ΓσανΓ

αλµ = −Rσµνλ

=⇒ Rσλµν +Rσµνλ

= − (Γσνµ,λ − Γσνλ,µ + ΓσαλΓ

ανµ − ΓσαµΓ

ανλ

)

= −Rσνλµしたがって，

Rσλµν +Rσµνλ +Rσνλµ = 0

が導かれる。これは，Bianchi恒等式と呼ばれるもので，電磁気学と同様に重要な示唆を与える。indexを下げて書けば

Rµαβγ +Rµβγα +Rµγαβ = 0 (9.27)

である。次に，微分のみたす一般的な性質について考えてみる。それは，∇µが Lie代数をなすことである。つまり，微分を通常の意味で定義する限り Jacobi identityが成り立つ。則ち，

[∇α, [∇β ,∇γ ]] + [∇β , [∇γ ,∇α]] + [∇γ , [∇α,∇β ]] = 0 (9.28)

作用素としてゼロ写像ということである。ここで，

[∇α, [∇β ,∇γ ]]Xσ

=∇α(RσλβγX

λ)− [∇β ,∇γ ]

(Xσ

;α

)

=Rσλβγ;αXλ +RσλβγX

λ;α −RσλβγXλ

;α −RλαβγXσ;λ

=Rσλβγ;αXλ −RλαβγXσ

;λ

であるから，(9.27)とより，

Rσλαβ;γ +Rσλβγ;α +Rσλγα;β = 0 (9.29)

を得る。これも Bianchi identityと呼ばれる。

9.2 Riemann tensor～微分幾何から重力へ 55

一般に n次元空間におけるRµναβ の独立な成分を数えよう。ま

ず，最初の組 (µν)の組合せは，nC2 =n(n− 1)

2通りある。2

つ目の組 (αβ)の組合せが (µν)と同じ場合は nC2 通りあるが，異なる場合 (µναβ)の組合せは，まず 2コ 2コに番号を分けて，その pairのなかから 2つ選ぶ組合せであるから

nC2C2 =n(n− 1)(n(n− 1)− 2)

8

通りである。但し，(9.27)より

nC4 =n(n− 1)(n− 2)(n− 3)

24

だけ余計にカウントしているので，その分を差し引けば，結局

n(n− 1)2

+n(n− 1)(n(n− 1)− 2)

8−n(n− 1)(n− 2)(n− 3)

24

=n2(n2 − 1)

12(9.30)

だけ独立な成分があるということになる。2,3,4,5次元でそれぞれ 1,6,20,50の独立な成分があることが分かる。

Riemann tensorを縮約して得られるのは，Ricci tensorと呼ばれる

Rµν =def

gλσRλµσν = Rσµσν (9.31)

のみである。(9.18)より，

Rµν = Γσµν,σ − Γσµσ,ν + ΓσλσΓλµν − ΓσλνΓ

λσµ (9.32)

さらに，Ricci tensorを縮約して得られる scalar，

R =def

gµνRµν = Rσλσλ (9.33)

はRicci scalarと呼ばれる。Ricci tensorの独立な成分は，対称であることから，

nH2 =n(n+ 1)

2(9.34)

個だけ存在する。

ここで以上の話をまとめておこう。

Rµναβ = −Rνµαβ = Rνµβα = RαβµνRµαβγ +Rµβγα +Rµγαβ = 0

Rµναβ;γ +Rµνβγ;α +Rµνγα;β = 0R = gµνRµν = gµνgλσRλµσν

4D空間ではRiemann tensorの独立な成分は 20個あるが，Riccitensorの独立な成分は 10個あるから，その差の 10個分はRiccitensorとは独立な成分である。このような成分は，

Cµναβ −Rµναβ =12

(−gµαRβν + gµβRαν + gνβRαµ − gναRβµ)

+16R (gµαgβν − gµβgαν)

= − (gµ[αRβ]ν − gν[βRα]µ

)+

13Rgµ[αgβ]ν

(9.35)

で表され，Cµναβ をWeyl tensorと呼ぶ。Rcci tensorは後で分かるように，Einstein方程式 (9.63)によって直接的に物質項と結びついているのに対して，Weyl tensorは重力の物理的自由度を表している。物質がなく真空であっても一般にゼロとはならない事に注意しよう。また，Weyl tensorは conformal変換

gµν → Ω2gµν (9.36)

に対して不変であるという共形不変性を持つ。一般の n次元空間 (n ≥ 4)では，

Rµναβ =2

n− 2(gµ[αRβ]ν − gν[βRα]µ

)

− 2(n− 1)(n− 2)

Rgµ[αgβ]ν + Cµναβ (9.37)

2次元，3次元，4次元

2次元空間のRiemann tensorについて考えよう。Riemann ten-sorの自由度はR1212の 1つしかないという事に注意しよう。この時，Riemann tensorから縮約して得られる Ricci tensorは

Rµν = gαβRαµβν

= R1µ1ν +R2

µ2ν

であるから，

R11 = R2121, R22 = R1

212

R12 = 0

と決まってしまう。さらに，Ricci scalarを計算すると

R = gµνRµν = g11R11 + g22R22

= 2R1212

となる。

Dual Riemann tensor, Double dual Riemann tensor

電磁気学の時には，Faraday tensor の dual なものとしてMaxwell tensorというものを導入した。

∗Fµν =12eµνλσ Fλσ

Fµν = −12eµνλσ ∗Fλσ

そして，Lorentz invariantな

FµνFµν = −2(E2 −B2

)

とともに，

∗FµνFµν = 4E ·B

というもう１つの不変量をみた。そこで，重力場に対しても，Riemann tensorに dualな tensorを定義しておこう。

∗Rµνλσ =def

12eµναβR

αβλσ (9.38)

この時，すぐに

Rµνλσ = −12eµναβ

∗Rαβλσ (9.39)


となることが確認される。さらに double dual tensor

Gαβγδ =def

12εαβµν R λσ

µν

12ελσγδ (9.40)

を定義し，その縮約

Gµν ≡ Gσµσν (9.41)

を定義すると，

Gµβµσ =14eµβγλeµνρσR

νργλ

= −14

R βγγσ −R βλ

σλ +R λβσλ −R λγ

γλ δβσ

+R γλγλ δβσ −R γβ

γσ

= R βγσγ +

12R λγγλ δβσ

= Rβγσγ −12Rγλγλδ

βσ = Rβσ −

12δβσR (9.42)

したがって，

Rµν = Gµν +12δµνR (9.43)

⇐⇒ Gµν = Rµν −12δµνR (9.44)

また，対称 tensorになっている:

Gµν = Gνµ (9.45)

Riemann tensorと同様に，:::::::Bianchi

::::::::identity

G δαβγ ;δ = 0 (9.46)

が成り立ち，縮約した Bianchi identityは

G βα ;β = 0 (9.47)

となる。

測地線方程式

作用は

I[x(λ), e(λ)] =∫ (

12

1e

dxµ

dλ

dxν

dλgµν(x)− 1

2m2e

)dλ (9.48)

である。eの変分をとると，

δeI =∫ (− 1

2e2dxµ

dλ

dxν

dλgµν − 1

2m2

)δedλ = 0

より，

m2e2 = −dxµ

dλ

dxν

dλgµν =

dτ

dλ

dτ

dλ(9.49)

mがノンゼロなら，

e =1m

dτ

dλ(9.50)

一方，xの変分をとると，

δxI =∫ (

1e

dδxν

dλ

dxµ

dλgµν +

12edxµ

dλ

dxν

dλgµν,σδx

σ

)dλ

=∫ − d

dλ

(1e

dxµ

dλgµν

)+

12edxµ

dλ

dxσ

dλgµσ,ν

δxνdλ

= 0

より

d2xµ

dλ2+ gµν,σ

dxµ

dλ

dxσ

dλ− 1

2gµσ,ν

dxµ

dλ

dxσ

dλ=

1e

de

dλ

dxµ

dλgµν

∴ d2xµ

dλ2gµν + Γνµσ

dxµ

dλ

dxσ

dλ=

1e

de

dλ

dxµ

dλgµν

∴ d2xµ

dλ2+ Γµνσ

dxν

dλ

dxσ

dλ=

1e

de

dλ

dxµ

dλ(9.51)

(9.50)とより，

d2xµ

dλ2+ Γµνσ

dxν

dλ

dxσ

dλ=

1dτ

dλ

d2τ

dλ2

dxµ

dλ(9.52)

右辺に固有時間の 2階微分があるが，これがゼロになるとき λを affine parameterと呼んでいる。つまり，

τ = aλ+ b (a, b; consts.)

という線型関係にあるパラメタのことである。このとき

d2xµ

dλ2+ Γµνσ

dxν

dλ

dxσ

dλ= 0 (9.53)

を測地線方程式と言う。マスレス粒子については，(9.49)から，

gµνdxµdxν = 0 (9.54)

が得られる。無論，ヌル条件の事である。測地線方程式を得るためには，eをコンスタントにとればよい。これもaffine parametriza-tionと呼ばれる。

ジオデシックデヴィエーション

粒子の軌道はアファインパラメタをもちいて測地線で記述できるのだが，始点を変えればもちろん異なる軌道上を進んでいく。測地線がびっしりと空間内に埋め込まれた描像を考える。始点を決めれば，川の流れに沿って木の葉が流れていくように，粒子は測地線上を流れていく。その測地線はどれほど曲がった時空上を走っているのかを純粋に知りたい。Euler-Lagrange方程式の解を affine parameterで parametrizeした時，~x = ~x(λ)と書かれるが，これは全体の時空に埋め込まれたものであるので，時空内の点は,他の座標 yiを用いて指定される。ここで，yiはgeodesicが null geodesicなら 2成分であり，そうでなければ，3成分である事に注意しよう。このことは特殊相対論のときにも議論したように，nullの場合は進行方向の軸が proper timeの軸に一致してしまう事による。さて，一般に時空内の座標が~x = ~x(λ, yi)で指定されるとき，

d

dλ=def

∂xµ

∂λ

∂

∂xµ(9.55)

d

dyi=def

∂xµ

∂yi∂

∂xµ(9.56)

はそれぞれ tangent vectorとnormal vectorとなっている。特に，

~Ji =def

∂xµ

∂yi∂

∂xµ(9.57)

9.3 アインシュタイン方程式 57

は Jacobi fieldと呼ばれる。以下ではちょっと泥臭い計算をする。この Jacobi場は測地線に沿って

∂ ~Ji∂λ

=∂xσ

∂λ

∂ ~Ji∂xσ

= xσ(

∂

∂xσ

(∂xµ

∂yi

)∂

∂xµ+∂xµ

∂yi∂

∂xσ

(∂

∂xµ

))

= xσ(

∂

∂xσ

(∂xν

∂yi

)∂

∂xν+∂xµ

∂yiΓνσµ

∂

∂xν

)

= uσJ νi ;σ

∂

∂xν

となる。ただし，J µi :=∂xµ

∂yiとした。一方，

∂ ~Ji∂λ

=∂

∂λ

[∂xµ

∂yi∂

∂xµ

]

=∂2xµ

∂λ∂yi∂

∂xµ+∂xµ

∂yi∂

∂λ

(∂

∂xµ

)

=∂

∂yi∂xµ

∂λ

∂

∂xµ+∂xµ

∂yi∂xν

∂λ

∂

∂xν

(∂

∂xµ

)

=∂uσ

∂yi∂

∂xσ+∂xµ

∂yiuνΓσµν

∂

∂xσ

=∂xµ

∂yi∂uσ

∂xµ∂

∂xσ+∂xµ

∂yiuνΓσµν

∂

∂xσ

=∂xµ

∂yi[uσ,µ + uνΓσµν

] ∂

∂xσ= J µi uν;µ

∂

∂xν

であるから，

uµJ νi ;µ = J µi uν;µ (9.58)

である事が示された。また，

∂2 ~Ji∂λ2

=∂xµ

∂λ

∂

∂xµ

[uσJ νi ;σ

∂

∂xν

]

= uµ[uσ,µJ νi ;σ

∂

∂xν+ uσJ νi ;σ,µ

∂

∂xν+ uσJ νi ;σΓ

ρµν

∂

∂xρ

]

= uµ(uσ;µ − uαΓσαµ

)J νi ;σ

∂

∂xν+ uµuσJ νi ;σ,µ

∂

∂xν

+ uµuσJ νi ;σΓρµν

∂

∂xρ

= uµuσ;µJ νi ;σ

∂

∂xν

+ uµ[uσJ νi ;σ,µ − uαΓσαµJ νi ;σ + uσJ ρi ;σΓ

νµρ

] ∂

∂xν

= uµuσ;µJ νi ;σ

∂

∂xν

+ uµuα[J νi ;α,µ − ΓσαµJ νi ;σ + J ρi ;αΓνµρ

] ∂

∂xν

= uµuα;µJ νi ;α

∂

∂xν+ uµuαJ νi ;α;µ

∂

∂xν

である。ここで，先程の関係からuαJ νi ;α

;µ

=J αi uν;α

;µ

∴ uα;µJ νi ;α + uαJ νi ;α;µ = J αi ;µuν;α + J αi uν;α;µ

したがって，

uµuα;µJ νi ;α = −uµuαJ νi ;α;µ + uµJ αi ;µuν;α + uµJ αi uν;α;µ

= −uµuαJ νi ;α;µ + uα;µJ µi uν;α + uµJ αi uν;α;µ

= −uµuαJ νi ;α;µ + J µi(uα;µu

ν;α + uαuν;µ;α

)

である。一般には Euler-Lagrange 方程式の解曲線に対して，uµ;νu

ν は加速度を表すが，測地線に沿っているので，曲率 (重力)はない。つまり，uµ;νuν = 0である。これより，

0 =(uαuν;α

);µ

= uα;µuν;α + uαuν;α;µ (9.59)


∂2 ~Ji∂λ2

= uαJ µi(−uν;α;µ + uν;µ;α

) ∂

∂xν

= ([∇α,∇µ]uν)uαJ µi∂

∂xν

= RνσαµuσuαJ µi

∂

∂xν

成分で書けば，

∇~u∇~uJ µi = RµνσρuνuσJ ρi (9.60)

ということである。この方程式を測地線偏差方程式 (GeodesicDeviation Equation) と呼ぶ。Gravitational lensing や tidalforceを説明するものである。

9.3 アインシュタイン方程式(9.29)を 2回縮約してみる。

Rσλαβ;γ +Rσλβγ;α +Rσλγα;β = 0

=⇒δασgλβ(Rσλαβ;γ +Rσλβγ;α +Rσλγα;β

)= 0

⇐⇒ gλβ(Rλβ;γ −Rλγ;β +Rσλβγ;σ

)= 0

⇐⇒ R;γ − 2Rλγ;λ = 0

⇐⇒ Rλγ;λ −12δλγR;λ = 0

⇐⇒(Rλγ −

12δλγR

)

;λ

= 0

⇐⇒(Rλγ − 1

2gλγR

)

;λ

= 0 (9.61)

括弧の中身は先ほど登場した tensorGλγだし，式 (9.61)は (9.47)に他ならない。この Gλγ を Einstein tensorという。

Rµν − 12gµνR =

8πGc4

Tµν (9.62)

これを Einstein方程式と呼ぶ。左辺の divergenceがゼロになれば良いのだから，積分定数を加えてもよい。

Rµν − 12gµνR+ Λgµν =

8πGc4

Tµν (9.63)

左辺の第 3項は膨張宇宙を嫌った Einstein31が加えた宇宙定数と呼ばれるものである。宇宙論のところで再度触れる。

31一様等方と仮定して得られる Einstein方程式には, a = a = 0, 0 < ρ, 0 ≤ pで解が存在しない。つまり，定常宇宙にはならないのである (aは scale factor)。Einstein は当時この結果に不快感を感じ，宇宙定数を加えたのである。


Einstein方程式は 10個の非線型な連立 2階偏微分方程式であり，metric tensorの 10成分がカップルしている。真空中では，10本の方程式のうち 4本の方程式

G0µ = 0 (9.64)

が時間に関する 2階微分を含まないため，初期条件 gµµ, gµν,σへの制限を与える拘束条件になっている。

Einstein方程式を与える作用は，

I =∫ √−gd4x

(c4

16πGR+ L

)(9.65)

Lは重力場以外の Lagrangianである。実際に，第 2項の変分をとると，

δI = −12

∫δgµν√−gd4x Tµν

Tµν = − 2√−g(∂(√−gL)∂gµν

− ∂

∂xλ∂(√−gL)∂gµν,λ

)


δ(R√−g) = δ(Rµνgµν

√−g)

= δRµνgµν√−g +

(Rµν − 1

2gµνR

)δgµν√−g

(9.66)

Rµν − 12gµνR =

8πGc4

Tµν

となる。宇宙定数を含ませるには，Lagrangianを

I =∫ √−gd4x

c4

16πG(R− 2Λ) + L

ととればよい。

Einstein方程式 (9.63)の traceをとると

R− 2R+ 4Λ =8πGc4

T

∴ R = 4Λ− 8πGc4

T (9.67)

であるから，(9.63)の Ricci scalarに代入して

Rµν =8πGc4

(Tµν − 1

2gµνT

)+ Λgµν (9.68)

を得る。宇宙のサイズに対して十分小さい範囲ならば宇宙定数は無視してよい。なぜなら，

真空 (Tµν = 0)の場合は，

Gµν = Rµν − 12gµνR = 0 (9.69)

であるから，traceを取れば，

R = 0 (9.70)

となる。したがって，Einstein方程式は

Gµν = Rµν = 0 (9.71)

となる。さらに，この時，(9.35)より，

Rµνλσ = Cµνλσ (9.72)

となっている事に注意しよう。したがって，空間の曲率を決めるのはWeyl tensorである。このWeyl tensorの性質 (Petrovtype)によって, 時空の性質を特徴づけるといっても良い。後で議論するように，一般相対論の範囲で考えている解は全てTypeDとなっている。また，後の章で扱う時空は真空解となっている事にも注意しておこう。ある点に sourceがなくても他の点に重力源があれば，時空の歪みは反映されるということである。

Energy-momentum tensorがゼロではないとしても，tracefree(Tµµ = 0)ならばRicci scalarはゼロとなるので，Einstein方程式は

Gµν = Rµν = 8πGTµν (9.73)

となる。電磁場の energy-momentum tensorはこのような性質を有する。このとき， Weyl tensorは

Cµναβ −Rµναβ = −8πG(gµ[αTβ]ν − gν[βTα]µ

)(9.74)

となる。したがって，空間の曲率を決めるのは，Weyl tensorの他に，電磁場のような tracefreeの energy-momentun tensorという事になる。

Einstein方程式の左辺は幾何学 (共変微分が非可換であることから Riemannが定義されているのであった)で決まっており，その幾何学は右辺の場の energy-momentum tensorにより関係してくるという事を意味するわけだが，これらは局所的にしか関係を持っていないという事に注意すべきである。つまり，各点各点の Tµν が Ricci tensorを決めるということであり，globalには Riemann tensorを計算してみない事には分からないということである。

弱い重力場でのNewton力学の再現

弱い重力場の場合，Newton力学を再現しているかどうかみてみよう。Newton力学へ近似するとは，空間がほぼMinkowski時空である事と物体の速度が光速に較べて十分小さい事の 2つの近似を意味する。ほぼ，Minkowski時空という近似は

gµν = ηµν + hµν , |hµν | ¿ 1 (9.75)

であり，さらに時間変動が小さい

|hµν,0| ≈ 0 (9.76)

とすることであり，速度が光速に較べて十分小さいという近似は，

u0 À |ui|, i = 1, 2, 3

i.e. |vi| ¿ 1 (9.77)

とする事である。また，この時，

γ = (1− v2)−1/2 ' 1 +12v2 ≈ 1 (9.78)

となるから，proper timeについて

dτ =dt

γ≈ dt (9.79)

と近似される。

9.4 テクニカル・サポート 59

この時，粒子の測地線 (9.53)

d2xµ

dτ2+ Γµ00

(dt

dτ

)2

+ 2Γµ0idxi

dτ

dt

dτ+ Γ0

ij

dxi

dτ

dxj

dτ= 0

の第 3, 4項はネグることが出来る:

d2xµ

dτ2+ Γµ00

(dt

dτ

)2

≈ 0

また，(9.79)より

d2xµ

dt2+ Γµ00 ≈ 0

となる。弱い重力場（時間変動は小さく，hの 2次以上を落とす）では

Γi00 =12giµ (gµ0,0 − g00,µ + g0µ,0)

' −12giµg00,µ ' −1

2gijg00,j = −1

2gijh00,j

' −12δijh00,j

と近似されるので，結局，geodesicは

d2xi

dt2=

12δijh00,j (9.80)

となることが分かる。ここで，もし，

Φ = −h00

2(9.81)

であるならば，この geodesicは

d2xi

dt2= −δij ∂

∂xjΦ (x = −∇Φ) (9.82)

となって Newton力学を再現する。また，

Γi00 ≈ δijΦ,jであるから，

Γi00,i ≈ δijΦ,ij = ∆Φ (9.83)

となる。

Ricci tensor(9.32)は

Rµν = Γσµν,σ − Γσµσ,ν + ΓσλσΓλµν − ΓσλνΓ

λσµ

で与えられるので，(00)成分について

R00 = Γσ00,σ − Γσ0σ,0 + ΓσλσΓλ00 − Γσλ0Γ

λσ0

≈ Γσ00,σ − Γσ0σ,0≈ Γi00,i ≈ ∆Φ (9.84)

一方，(9.68)から (c = 1)，

R00 = 8πG(T00 − 1

2g00T

)

= 8πG(T00 − 1

2(η00 + h00)

(T 0

0 + T ii))

であるが，

g00T00 = g00g

0µTµ0 ≈ η00η0µTµ0 = T00

g00Tii = g00g

iµTµi ≈ η00ηiµTµi = −∑

i

Tii

と近似されるので，

R00 ≈ 4πG

(T00 +

∑

i

Tii

)(9.85)

(9.77)の近似の下では，fluxはネグれる。また，熱力学の時の議論から p¿ ρ ≈ ρ0 であるから，

R00 ≈ 4πGρ0

i.e. ∆Φ ≈ 4πGρ (9.86)

となって，やはり Newton力学が再現される。ソースが完全流体であるならば，(5.61)は

Tµν∼→

ρ ρvi

ρvj ρvivj + pγij

(9.87)

と近似されるので同じ結果になる。

質量M の球対称天体の中心から距離 r だけはなれた位置における Newton potentialをとると

h00 = −2GM

rc2(9.88)

であるが，これが order1くらいならば

r =2GMc2

= 2M (9.89)

となっていることを意味する。これは，古典力学から示唆される脱出速度が光速になる半径，すなわちいかなる物質も脱出出来ない半径を与えている。

object |h00| 2GM/c2

Moon 10−11.1 0.011cmEarth 10−8.9 0.9cmSun 10−5.4 3× 105cmNS 10−3 3× 105cmWD 10−0.4 3× 105cm

9.4 テクニカル・サポートmetricの determinantの定義

g =def

det gµν = etr ln gµν (9.90)

より，

δg = etr ln(gµν+δgµν) − etr ln gµν

ここで，正則行列 Qに対して，

ln (Q+ δQ) = lnQ(I +Q−1δQ

)

= lnQ+ ln(I +Q−1δQ

)

' lnQ+Q−1δQ

60 10 ブラックホールとエネルギー抽出（お話編）

であることに注意して，

δg = etr(ln gµν+gµλδgλν) − etr ln gµν (9.91)

= etr ln gµν(1 + trgµλδgλν

)− etr ln gµν (9.92)

= g trgµλ δgλν= ggµλδgλµ (9.93)

となる。したがって，

∂

∂xλg = ggµν

∂

∂xλgνµ (9.94)

さて，そうすると

Γµνµ =12gµσ (gσν,µ − gνµ,σ + gµσ,ν)

=12gµσgµσ,ν

=12g

∂

∂xνg

より，

Γµνµ =1√−g

∂

∂xν√−g (9.95)

が得られる。

Γσµνgµν = − 1√−g

∂

∂xλ(gσλ√−g) (9.96)

10 ブラックホールとエネルギー抽出（お話編）

相対論に並んで，20世紀の物理学のもう１つの柱である量子論が発展する過程では，物質粒子と電磁場の相互作用を考える際に，（完全な量子論的を議論する場合は物質粒子も電磁場も量子化しなければならないのだが，）物質粒子は量子論的に扱い，電磁場は量子化せず古典的に扱うというような議論がなされていた。これと同様に，重力場を古典的な外場として扱い，物質場だけを量子化して議論しようというのが今のところの限界である。これを，曲がった時空内での場の量子論という。ここでは，ざっとお話程度の事を書いておく事にする。内容

を挙げると，

1. ブラックホールの蒸発，Hawking輻射

2. ブラックホールの熱力学

ブラックホールの持つパラメタは質量，角運動量，電荷の３つしかない。このことは No hair theoremと呼ばれている。

No hair theorem Asymptotically flat black holes cannothave nntrivial external scalar fields with non negativeV (ϕ)

generalized Rosen theorem A particlelike solution withpositive mass cannot be obtained in case V ≥ 0

Nonexistence theorem

Causal structure theorem

無限遠から飛来する粒子が ergoregion内で分裂し，1つは無限遠へ，もう 1つは holeへ落ち込むとすれば，戻って来た粒子のエネルギーが増幅されるということが起きる。このようなプロセスは，現実的かどうかは別にしても，原理的に可能であることが Penroseによって指摘された32。このプロセスよって引き出されるエネルギーはブラックホールのもつ回転エネルギーなので，質量が減るということはないのであるが，もっと興味深いことも同時期に示されたのである。それは，horizonの表面積は絶対に減らないということであった（Hawkingの表面積定理）。そして Penrose過程では，表面積が必ず増えてしまうのである。このことは一体何を意味しているのであろうか。このようにして J やQを 0にまで減らす事が出来る。M は

どうであろうか。考えている過程ではM はMir にまでしか減らない。このMirが 0となる過程は存在するのであろうか。あるのである。それが，Hawkingが提唱したブラックホールの蒸発理論である。ブラックホールの蒸発について考えよう。Penrose過程は一

種の誘導放射みたいなものなのだが，これに対してある種の自発放射みたいなものが Hawking輻射である。回転しているブラックホールからひとりでに粒子あるいは反粒子が飛び出して来て，エネルギーと角運動量を持ち出すというしくみである。その結果，ブラックホールの回転は遅くなり，エネルギーも減少する。さて，いくらでもブラックホールは小さくなってしまうのであろうか。Christodoulou，Ruffiniは次の関係を明らかにした。

M2 =(Mir +

Q2

4M2ir

)2

+J2

4M2ir

(10.1)

M は Kerr holeの質量であり，Mir は Schwarzschild holeの質量である。

次に，話を古典論に戻して，ブラックホールと熱力学の関係について考えてみよう。

(10.1)はブラックホールの質量公式であった。

d(Mc2) =κ

8πdA+ ΩHdJ (10.2)

但し，

κ =c4(r+ −M)

2GMr+

A = 4π(

2GMir

c2

)2

ΩH =a

r2+ + a2

(10.3)

であるが，これを

dE = TdsB + ΩHdJ (10.4)

と書けば，熱力学第 1法則に対応している事が分かる。古典的なブラックホール理論では，物質を吸い込む事は出来ても，放出する事は出来ない。したがって，表面積 Aは増える事はあっても減る事はない。これに対応して，熱力学第 2法則が成立していると考える事が出来る。すなわち，

dsBdt≥ 0 (10.5)

今の議論は，やりたい放題，机上の空論と思われても仕方がない。単に，ブラックホールのカギカッコつきエントロピーと熱力学のエントロピーが対応していると言っているにすぎないのだから。

32その後，Bardeen らは unlikely ということを示すのだが。

61

ところが，Bekensteinはこの類似した関係が表面的な類似にとどまらないという事を示してしまったのである33。エントロピーとは，大雑把に言って系の自由度の数である。

宇宙検閲官仮説が正しければ，つまり波平定理（あるいはオバQ定理と言った方がより適切か）が成り立っているものとすれば，３つの特徴しか持ち得ないブラックホールは，非常に多くの内部状態を隠し持っていると考えられる。ここで，あれっ？と思うだろう。先ほどの Hawking輻射で

はブラックホールの質量は減っていくと言ったばかりではないか。果たして，エントロピーは減少してしまうのだろうか。今，仮想的にブラックホールを含む空間を完全反射壁で覆っ

たとする。この壁を通して物質やエネルギーの流れがないとすれば，壁の内部は孤立系である。内部でブラックホールが放射を出せば，ブラックホールのエントロピーは減少するが，ブラックホールを囲む空間のエントロピーは増大するはずである。そうして，この系全体のエントロピーの和は決して減少しない。この意味で，熱力学第 2法則は成立しているのである。Friedmann宇宙にはその外という概念がないので，宇宙全体を 1つの孤立系と考える事が出来る。したがって，今の議論でいけば，宇宙全体のエントロピーは決して減少しない。エントロピーが最大の状態，つまり熱平衡状態にまで至れば，それ以後の変化は全く起きないということであるから，１９世紀の熱学者たちはこのような宇宙の終焉を熱的死と呼んだ。

AGN

Broad line of Fe

GRS 1915+105, Quasar 3C279

11 Black Holes

Chandrasekhar:

驚くべきことには，一般相対性理論におけるブラックホールの解は全てペトロフタイプのD型となる。したがって，解析的に必要な null tetradは，spin係数 κ, σ, λ, ν と ψ2 以外のWeyl scalarがゼロとなるものである。

前に述べたように，宇宙検閲官仮説が正しいとする限り，ブラックホールを特徴づける物理量は質量，角運動量，電荷の３つしかない（No Hair Theorem）。この，３つの物理量を持つブラックホールのつくる重力場は，静的で軸対称な場合，以下のmetricで与えられる。この様な，時空を Kerr-Newmann時空という。Boyer-Lindquist座標を用いて書けば，

ds2 = (z − 1)dt2 − 2a sin2 θr2 + a2 −∆

Σdtdφ

+A

Σsin2 θdφ2 +

Σ∆

dr2 + Σdθ2 (11.1)

となる。但し，

z =2Mr −Q2

Σ(11.2)

Σ = r2 + a2 cos2 θ (11.3)

∆ = r2 − 2Mr + a2 + e2 (11.4)

A = (r2 + a2)2 −∆a2 sin2 θ (11.5)

a =J

M(11.6)

e =√Q2 + P 2 (11.7)

Q,P はそれぞれ電荷，磁荷である。もちろん，磁荷はないとおもわれているので，以下では P = 0とする。これらの間の「使える」関係を少し書いておこう。

r2 + a2 = ∆ + zΣ

Σ−∆ = 2Mr −Q2 − a2 sin2 θ

a2 sin2 θ =(r2 + a2

)− Σ = ∆ + (z − 1)Σ

A = r4 + a2(r2 + 2Mr −Q2) + a2 cos2 θ∆A

Σ= Σ + (1 + z)a2 sin2 θ = ∆ + z

(r2 + a2

)

= z2Σ + (1 + z)∆

また，metricのインバースは

gtt =A sin2 θ/Σ

(z − 1)A sin2 θ/Σ− z2a2 sin4 θ(11.8)

=A

(z − 1)A− Σz2a2 sin2 θ(11.9)

gφφ =z − 1

(z − 1)A sin2 θ/Σ− z2a2 sin4 θ(11.10)

=Σ(z − 1)

(z − 1)A− Σz2a2 sin2 θ× 1

sin2 θ(11.11)

gtφ =za sin2 θ

(z − 1)A sin2 θ/Σ− z2a2 sin4 θ(11.12)

=Σza

(z − 1)A− Σz2a2 sin2 θ(11.13)

33PhysRev D, 12, 3077, 1975

62 11 BLACK HOLES

よって，

gφφ

gtt=

Σ(z − 1)A sin2 θ

,gtφ

gtt=

ΣzaA

,gθθ

gtt= −∆

A(11.14)

grr

gtt=

(z − 1)A− Σz2a2 sin2 θ

A× ∆

Σ= −∆2

A(11.15)

が成り立つことが分かる。また，

A

gtt= (z − 1)A− Σz2a2 sin2 θ = −∆Σ (11.16)

も成り立つ。J = Q = 0としたものが Schwarzschild解であり，Q = 0

としたものが Kerr解である。また，J = 0の時空は Reissner-Nordstrøm解と呼ばれる。さて，この Kerr-Newman時空における質量 m，電荷 eの

粒子に対する Hamilton-Jacobi方程式

gµν(∂S

∂xµ− eAµ

)(∂S

∂xν− eAν

)+m2 = 0 (11.17)

を考えよう。

************************************************

vector potential Aµ は，

Aµ →(t,φ,r,θ)

(−Qr

Σ,Qr

Σa sin2 θ, 0, 0

)(11.18)

であるから，ハミルトン-ヤコビ方程式は(E +

eQr

Σ

)2

gtt − 2(E − eQr

Σ

)(pφ − eQr

Σa sin2 θ

)gtφ +

(pφ − eQr

Σa sin2 θ

)2

gφφ + p2rgrr + p2

θgθθ +m2 = 0 (11.19)

となり，やや面倒な計算をシコシコやって34，結局，r4 + a2

(r2 + 2Mr −Q2

)E2 − 2

(2Mr −Q2

)apφ + eQr

(r2 + a2

)E

− (∆− a2

)p2φ + 2eQrapφ + e2Q2r2 −∆

(m2r2 + q

)−∆2p2r = 0 (11.20)

を得る。ただし，

q =def

p2φ cot2 θ + p2

θ + a2 cos2 θ(m2 − E2

)(11.21)

は Carterの第 4の積分と呼ばれる運動の恒量である。p2θ ≥ 0の条件から，

q ≥ cos2 θ(p2φ (sin θ)−2 + a2

(m2 − E2

))(11.22)

でなければならない。

他の時空でどのようになっているかを見ておこう。Kerr時空 (Q = 0)では，

(r4 + a2

(r2 + 2Mr

))E2 − 4MrapφE −

(∆− a2

)p2φ −∆

(m2r2 + q

)−∆2p2r = 0 (11.23)

Reissner-Nordstrøm時空 (a = 0)では，

r4E2 − 2eQr3E −∆p2φ + e2Q2r2 −∆

(m2r2 + q

)−∆2p2r = 0 (11.24)

E2 − 2eQ

rE −

(1− 2M

r+Q2

r2

) (pφr

)2

+(eQ

r

)2

−(

1− 2Mr

+Q2

r2

)(m2 + cot2 θ

(pφr

)2

+(pθr

)2)−

(1− 2M

r+Q2

r2

)2

p2r = 0

(11.25)

Schwarzschild時空 (a = Q = 0)では，

r4E2 −∆p2φ −∆

(m2r2 + q

)−∆2p2r = 0 (11.26)

⇐⇒ E2 −(

1− 2Mr

) (pφr

)2

−(

1− 2Mr

)(m2 + cot2 θ

(pφr

)2

+(pθr

)2)−

(1− 2M

r

)2

p2r = 0 (11.27)

となることがすぐに導かれる。

************************************************

34これを計算しているのは 4:06AM。正しい解を得たときの喜びは，言葉では言い表せないものがあるのぅ。変態である。

11.1 The ADM formalism: 3+1 formalism 63

ここで，いろいろな時空を扱う前に，扱う言葉について整備しておこう。

まず，S(x)を xµ の Cω 級函数とし，S=constant の超曲面の族を考える。このとき，

dS(x) = 0 ⇐⇒ ∂S

∂xµdxµ = 0 along S (11.28)

⇐⇒ ∂S

∂xµdxµ

dτ= S,µu

µ = 0 along S (11.29)

である。uµは超曲面に沿っているので，vector gµν∂S

∂xνとの内

積がゼロということは，この vectorgµνS,µは超曲面に対して垂直となっていることを意味する。したがって，scalar倍した

~l =(f(x)gµν

∂S

∂xν

)∂

∂xµfor some f(x) ∈ Cω (11.30)

も，超曲面 S = const.に垂直な vectorである。さて，このような超曲面のうち，その normal vector ~lが l2 = ~l ·~l = 0を満たすような超曲面を考えよう。特に，この様な超曲面をN と書いて，null hypersurfaceと呼ぶことにする。すぐに分かることだが，normal vectorlはN に接している。もちろんユークリッド的に考えてはいけない。「接する」ことと「垂直である」ことの定義そのものがmetricによって変更を受けているのだから。実際，~lが normal vectorであるということから

∀~τ ∈ TxN , ~l · ~τ = 0 (11.31)(i.e. ~τ ∈ TxN =⇒ ~l · ~τ = 0

)(11.32)

である。「接している」ことの定義は，逆向きの矢印である。ところが，~l ·~l = 0であるから，~lは，tangent vectorであり，かつnormal vectorでもある。λ s.t. lµ =

dxµ

dλが存在するならば，曲

線 xµ(λ)は測地線であることも分かる。証明は是非やってみて。さて，上では~lには何の条件も付けなかったが，特にKilling

vector~ξが垂直となる面を考えよう。このときの null hypersur-face N をKilling horizonと呼ぶ。N の normal vectorが

lν lµ;ν = 0 (11.33)

を満たしているとする。N 上で, 適当な f を用いて ξ = fl と出来るなら，

ξνξµ;ν = κξµ on N (11.34)

ただし，

κ = ~ξ · ∂ ln |f | ξµ∂

∂xµ(ln |f |) (11.35)

この κは，surface gravityと呼ばれるもので，後でみるようにLapse函数と密接な関係にある。さらに，この surface gravityκは，~ξ上で一定であることが示される。

11.1 The ADM formalism: 3+1 formalism

ここで FIDO(Fiducial observer)という概念を導入しておこう。この系は absolute space(ABS)対して静止しているものと定義される。特に，回転している天体に対しては ZAMO(Zero angu-lar moment observer)と呼ばれる事も多いが，もちろん使っている座標系による。また，この系は測地線上にないという事は定義より明らかである。そこで，測地線に沿っている系を FFO(FreeFalling observer)と呼んでおこう。

重力の効果で FIDOは重力を感じたり，時計の遅れが生じたりするであろう。そこで，赤方偏移パラメタとしてラプス函数というものを定義する。τ を FIDOの固有時間とするとき，次で定義される。

α =def

(dτ

dt

)

FIDO

(11.36)

それはつまり，

dτFIDO = αdt ⇐⇒ dt =dτFIDO

α(11.37)

である。（強い）等価原理によれば，FIDOから観測するとき特殊相対論に従っているとしてよい事になる。FIDOの固有時間が特殊相対論のラボタイムに相当し，座標時間はいわゆる universalな時間と思ってもよい。このように言うと一見ガリレイの時代にバックしたと感じるかもしれないが，それは正しくない。

dτ =

dt

γ=dt′

γ′(SR)

dt =dτFIDO

α=dτ ′FIDO

α′

(11.38)

FIDOが粒子の軌跡を観測したとき，

αdt = dτFIDO

dτparticle =dt

γ

より，

dτparticle =dt

γ=dτFIDO

αγ≡ dτFIDO

Γ(11.39)

FIDO フレームで粒子の軌跡を観測したとすると，Γ というLorentz因子がつくということになる。中心天体が動いている場合は FIDOも空間成分の速度を持

つため，その分の効果を考えなければならない。それを shiftvectorと呼んで，次のように定義する。

βi =def−

(dxi

dt

)

FIDO

(11.40)

これは，あとで説明する FIDOの 4-velocityを使って表されるprojectionを用いて書けば，

βµ =def

γµνkν = kµ − αnµ (11.41)

と定義したことになる。つまり，shift vectorとは，FIDOに対する空間の gridの速度に他ならない。

以上の様に Lapse函数と shift vectorを定義すれば，FIDOの4-velocityは，

~n =d

dτFIDO(11.42)

=dt

dτFIDO

∂

∂t+

dt

dτFIDO

dxiFIDO

dt

∂

∂xi(11.43)

=1α

∂

∂t− βi

α

∂

∂xi−−−→(t,xi)

(1α,−β

i

α

)(11.44)

64 11 BLACK HOLES

となる。このとき，

〈~n, ~n〉 = gµνnµnν

= g0ν1αnν − giν β

i

αnν

= g001α2

+ g0i1α

(−β

i

α

)− g0i β

i

α

1α

+ gijβiβ

i

α2

=(βiβiα2− 1

)− βiβi

α2− βiβi

α2+βiβiα2

= −1

である。FIDOの 4-velocityを時間軸と考えて時空をスライスすると，同時刻の超曲面が出来るわけだが，そこの空間への pro-jectionは，前にも少し述べたが以下のようになる。

γµν = gµν + nµnν (11.45)

また，次のような関係にあることもすぐに確認出来るだろう。

g0µ = − 1αnµ (11.46)

g = −α2‖γ‖ (11.47)

但し，βi = γijβj , g = det gµν , ‖γ‖ = det γij である。

3次元部分時空 (absolute space)の metricは, projecton γij であることは以前述べた。

γikγkl =(gik + nink

)γkl

= gikgkl +βiβk

α2γkl = giµgµl − gi0g0l + gi0g0l

= δil (11.48)

Lapse函数と shift vectorの定義から，metricは

ds2 = (proper distance in 3D)2 − (proper time)2

= γij(dxi + βidt)(dxj + βjdt)− (αdt)2

= (β2 − α2)dt2 + 2βidtdxi + γijdxidxj (11.49)

として与えられなければならない。つまり，

(gµν)→

β2 − α2 βφ βr βθβφ γφφ γφr γφθβr γrφ γrr γrθβθ γθφ γθr γθθ

(11.50)

(gµν)→

− 1α2

1α2βj

1α2βi γij − 1

α2βiβj

(11.51)

である。projectionの定義 (11.45)より，

γ00 = βiβi, γ0i = βi (11.52)

γ00 = g00 + n0n0 = − 1α2

+1α2

= 0 (11.53)

γ0i = g0i + n0ni =βi

α2− βi

α2= 0 (11.54)

となっている事を指摘しておく。

γµν →[β2 βiβj gij

], γµν →

[0 0

0 gij +1α2βiβj

](11.55)

もちろん 3D 部分時空の添字の上げ下げは γij で可能である。~S ∈ ABS に対して，

nνS

ν = 0γµνS

ν = Sµ(11.56)

であるから

Si = Sµgµi = Sµ (γµi − nµni)= Sµγµi = Sjγji

(∵ S0 = 0

)

Siγik = Sjγijγ

ik = Sjδ kj = Sk

このような，4次元空間の分解（=1D時間+3D空間）はADM形式35 とも言われる。

Christoffel symbolの 3次元表記

3次元空間における Chrisoffel記号は，4次元の場合と同様に

(3)Γijk =def

12γil (γlj,k − γjk,l + γkl,j) (11.57)

(3)Γijk =: γil(3)Γljk (11.58)

と定義される。

(3)Γijk = γil(3)Γljk =

12

(γij,k − γjk,i + γki,j)

=12

(gij,k − gjk,i + gki,j) =: Γijk

∴ (3)Γijk = γilΓljk(= γil(3)Γljk

)(11.59)

逆に 4次元 Christoffel記号の空間成分について書き下すと

Γijk = giµΓµjk = gi0Γ0jk + gilΓljk

=βi

α2Γ0jk +

(γil − ninl) (3)Γljk

=βi

α2Γ0jk +

(γil − ninl) γlm(3)Γmjk

=βi

α2Γ0jk +

(δim −

βiβmα2

)(3)Γmjk

=βi

α2Γ0jk + (3)Γijk −

βiβlα2

(3)Γljk (11.60)

となる。

4次元Chirstoffel記号を lapse函数と shift vectorを用いて書き下そう。まず，(000)成分を求める。

Γ000 =12g00,0 =

12∂

∂t

[γijβ

iβj − α2]

=12

γijβ

iβj + 2γij βiβj − 2αα

=12γijβ

iβj + βiβi − αα

次に，(00k)成分

Γ00k =12g00,k

=12γij,kβ

iβj + βi,kβi − αα,k35Arnowitt, Deser, Misner


次は (i00)

Γi00 = gi0,0 − 12g00,i = βi − Γ00i

= βi −(

12γlm,iβ

lβm + βm,iβm − αα,i)

(0ij)成分

Γ0ij =12

(g0i,j − gij,0 + gj0,i)

=12

(βi,j − γij + βj,i)

(i0j)成分

Γi0j =12

(gi0,j − g0j,i + gji,0)

=12

(βi,j − βj,i + γji)

である。(ijk)成分は定義のまま。まとめて書いておく。

Γ000 = βiβi − αα+12γijβ

iβj

Γ00k = βi,kβi − αα,k +12γij,kβ

iβj

=12βiβi,k +

12βiβ

i,k − αα,k

Γk00 = βk + αα,k − 12γij,kβ

iβj − βj,kβj= βk − 1

2βjβj,k − 1

2βjβ

j,k + αα,k

Γ0ij =12

(βi,j + βj,i − γij)Γi0j =

12

(βi,j − βj,i + γij)

Γijk = (3)Γijk

(11.61)

3次元部分時空の接続から，共変微分が定義される。

Xi|j =

defXi

,j + (3)ΓijkXk (11.62)

このとき，4次元の時と同様に，

γij|k = γij,k + (3)Γiklγlj + (3)Γjklγ

il

= γij,k +12γim (γmk,l − γkl,m + γlm,k) γlj

+12γjm (γmk,l − γkl,m + γlm,k) γil

= γij,k + γimγjlγlm,k

= γij,k − γimγjl,kγlm = γij,k − γjl,kδil = 0 (11.63)

より，metricの共変微分はゼロになる事がわかる。つまり，3次元の共変微分と 3次元のmetricは交換可能である。

さて，

nµ;ν = nµ,ν − Γλµνnλ = nµ,ν − Γλµνnλ

= nµ,ν − 1α

Γ0µν +βi

αΓiµν

であるから，(11.61)よりその成分を lapse函数と shift vectorを用いて書き下すことが出来る。やってみよう！まず，shift vectorの微分を計算しておく。

βi|j = βi,j − (3)Γkijβk = βi,j − (3)Γkijβk

= βi,j − 12

(γki,j − γij,k + γjk,i)βk

より，

βjβi|j = βjβi,j − 12γjk,iβ

jβk

= βjβi,j − 12βjβj,i +

12βjβ

j,i

また

βjβj|i = βjβj,i − 12γjk,iβ

jβj =12βjβj,i +

12βjβ

j,i

=12

(βjβj

),i

を得る。この 2つの式の和をとると，

βj(βi|j + βj|i

)= βjβ i,j + βjβ

j,i (11.64)

となることがわかる。また，差をとれば，

βj(βi|j − βj|i

)= βj (βi,j − βj,i) (11.65)

となるなる事も分かる。もちろん，これは直接計算する事によってもすぐに確かめられる。

βi|j − βj|i = βi,j − (3)Γkijβk −(βj,i − (3)Γkjiβk

)= βi,j − βj,i

(11.66)

では，計算して行こう。まず，(00)成分から

n0;0 = n0,0 − 1α

Γ000 +βi

αΓi00

= −α− 1α

(βiβi − αα+

12γijβ

iβj)

+βi

α

(βi − 1

2βjβj,i − 1

2βjβ

j,i + αα,i

)

= α,iβi +

1α

[βiβi − βiβi − 1

2γijβ

iβj]

− 12α

[βjβj,i + βjβ

j,i

]βi

= α|iβi +1α

[γijβ

iβj − 12γijβ

iβj]− 1

2α(βjβj

),iβi

= α|iβi +12αγijβ

iβj − 1αβjβi|jβi

(0i)成分は

n0;i = n0,i − 1α

Γ00i +1αβjΓj0i

= −α,i − 1α

(βjβ

j,i − αα,i +

12βjβj,i − 1

2βjβ

j,i

)

+1αβj

(12βj,i − 1

2βi,j + γij

)

=12α

γijβ

j − βjβi,j − βjβj,i

=12αβj

(γij − βi|j − βj|i

)

(i0)成分は

ni;0 = ni,0 − 1α

Γ0i0 +1αβjΓji0

= α,i +12α

βj γij − βjβi,j − βjβj,i

= α,i +12αβj

γij − βi|j − βj|i

66 11 BLACK HOLES

(ij)成分は

ni;j =1α

Γ0ij − 1αβkΓkij

= − 12α

(βi,j + βj,i − γij) +1αβk(3)Γkij

=12αγij − 1

2α

[βi,j − (3)Γkijβk + βj,i − (3)Γkijβk

]

=12α


)

などとなる。以上纏めて

n0;0 = α|jβj +12αβjβk

(γjk − 2βj|k

)

n0;i =12αβj


)

ni;0 = α|i +12αβj


)

ni;j =12α


)

(11.67)

となることがわかる。すぐにわかるように，n0;0 − βjn0;j = α|kβk (11.68)

ni;0 − βjni;j = α|i (11.69)ni;0 − n0;i = α|i (11.70)

n0;j = ni;jβj (11.71)

などが成り立っている。これよりnµ;µ = gµνnµ;ν

= − 1α2n0;0 +

βi

α2n0;i +

βi

α2ni;0 +

(γij − ninj)ni;j

=12αγij

(γij − 2βi|j

)(11.72)

や

nµ;νnν =

1αnµ;0 −

βj

αnµ;j

=1αgµσ

[nσ;0 − βjnσ;j

]

=1αgµ0

[n0;0 − βjn0;j

]+

1αgµi

[ni;0 − βjni;j

]

= gµ0 (lnα),k βk + gµi

∂

∂xi(lnα) (11.73)

などが得られる。

微分の射影

3次元時空における共変微分は，4次元時空の共変微分とどのような関係にあるのであろうか。まず，4次元時空内に定義される tensorの共変微分の 3次元時空への射影を次の様に書くことにする。

Xµ1µ2···µn

ν1ν2···νm‖λ =def

n∏

i=1

γµiαi

m∏

j=1

γβjνjXα1···αn

β1···βm;σγσλ

(11.74)

このとき，γµνSν = Sµ となる vectorに対して36，Sµ‖µ = γµνγ

λµS

ν;λ = γµνS

ν;µ

= (δµν + nµnν)(Sν,µ + ΓνµσS

σ)

= Sµ,µ + ΓµµσSσ + nµnνS

ν,µ + nµnνΓνµσS

σ

= Si,i + ΓµµkSk − αnµΓ0

µkSk

= Si,i + Γ00kS

k + ΓiikSk − Γ0

0kSk + βiΓ0

ikSk

ここで，(11.60), (11.61)より

Γiji =1α2βiΓ0ji + (3)Γiji −

1α2βiβl

(3)Γlji

などから

Sµ‖µ = Si,i +(

1α2βiΓ0ki + (3)Γiki −

1α2βiβl

(3)Γlki

)Sk

+ βiΓ0ikS

k

= Si|i +1α2βiΓ0ikS

k − 1α2βiβl

(3)ΓlkiSk + βiΓ0

ikSk

= Si|i +1α2βjΓ0jkS

k − 1α2βiβl

(3)ΓlkiSk

+ βj(g00Γ0jk + g0iΓijk

)Sk

= Si|i −1α2βiβl

(3)ΓlkiSk +

1α2βiβjΓijkSk

= Si|i

となっている事がわかる。射影ではなく，4次元の共変微分を3次元の共変微分を使って書けば，

Sµ;µ = Sµ,µ + ΓµνµSν

= Si,i +[Γ0k0 + Γiki

]Sk

= Si,i + g0µΓµk0Sk + giµΓµkiSk

= Si,i + g00Γ0k0Sk + g0iΓik0Sk + gi0Γ0kiS

k + gijΓjkiSk

= Si,i + g00Γ0k0Sk + g0i (Γik0 + Γ0ki)Sk + gijΓijkSk

= Si,i −1α2

Γ00kSk +

βi

α2βi,kS

k +(γij − ninj) ΓjkiSk

= Si|i −1α2

[12βiβi,k +

12βiβ

i,k − αα,k

]Sk

+1α2βiβi,kS

k − 1α2βiβjγij,kS

k

= Si|i +1

2α2

[−βiβi,k + βiβi,k + 2αα,k]Sk

− 12α2

[βiβi,k − βiβi,k

]Sk

= Si|i + (lnα),k Sk

となる。

具体的に vectorの場合，どのようになるか計算してみよう。

Sµ‖ν = γµαXα;βγ

βν

次に，2階の tesorを計算してみる。

Tµν‖λ = γµαγνβT

αβ;σγ

σλ (11.75)

(11.76)

36このとき S0 = 0 となっている事に注意。


3つの derivatives

まず，4次元時空における微分を定義しておく。その後で，3次元部分時空の微分を定義しよう。FIDOが観測する物理量

DτAµ =

defγµνAν;λn

λ

= Aµ;νnν − nµnλ;σn

σAλ

DτAµ =def

1α

£α~nAµ

=1α

Aµ;λαn

λ − (αnµ);λAλ

LtAµ =def

£α~n+~βAµ

= Aµ;ν (αnν + βν)− (αnµ + βµ);ν Aν

37 Lie derivative, Fermi derivative,

Dτ =def

1α

£α~n (11.77)

Lt =def

£α~n+~β (11.78)

但し，£は Lie微分である。

Dτf = Dτf =1α

(Lt − βi∇i)f

DτAi = DτAi − σijAj −

13θAi

LtAi = αDτAi + £βMi

(11.79)

£βAi = (β ·∇)Ai − (A ·∇)βi

Dτγij = 0

Dτγij = 2(σij +

13θγij

)

Ltγij = 2α(σij +

13θγij

)+ βi|j + βj|i

(11.80)

FIDOがうけるG

FIDOが感じるグラヴィティを求めておこう。まず，

Duµ = uµ;νdxν = (uµ,ν − Γσµνuσ)dx

ν (11.81)

であるから，Euler-Lagrange方程式はduµdτ

= Γσµνuσuν (11.82)

である。du0

dτ= Γσ0νuσu

ν

=12gσµ (gµ0,ν − g0ν,µ + gνµ,0)uσuν

=12

(gµ0,ν − g0ν,µ)uµuν = 0

duidτ

= Γσiνuσuν

=12gσµ (gµi,ν − giν,µ + gνµ,i)uσuν

空間成分については，

∴ 2duidτ

=(−2αα,i + γjk,iβ

jβk + 2βj,iβj)u0u0

+ (βi,j + βj,i)u0uj + (βj,i − βi,j)uju0

+ (γji,k − γik,j + γkj,i)ujuk

= −2α,iα

+ 2γjk,iβjβk

α2+

2α2βj,iβj −

2α2βjβj,i

したがって，

duidτ

= −α,iα

+γjk,iβ

jβk + βj,iβj − βjβj,i× 1α2

(11.83)


(βjβj

),i

=(γjkβ

jβk),i

= γjk,iβjβk + γjkβ

j,iβ

k + γjkβjβk,i

= γjk,iβjβk + 2βjβ

j,i

であるが，一方，

(βjβj

),i

= βj,iβj + βjβj,i

であるから，

γjk,iβjβk + βjβ

j,i − βjβj,i = 0

となる。これより，(11.83)の右辺第２項がゼロとなり，

duidτ

= −α,iα

ai = − ∂

∂xilnα (11.84)

a0 = 0 (11.85)

が，FIDOに働く重力である。上付きに直すと，

aµ = gµνaν (11.86)

= gµiai = (γµi − nµni)ai

∴

a0 = − 1

α2βi

∂

∂xi(lnα)

ai = −(γij − 1

α2βiβj

)∂

∂xj(lnα)

(11.87)

さらに，absolute spaceに射影すれば，

γµνaν = γµν

(γνi − nνni) ai

= γµνγνiai

= γµiai = −γµi ∂∂xi

lnα

gi = −γij ∂

∂xilnα = − 1

αγij

∂α

∂xj(11.88)

となる。37γµ

νkν = kµ − αnµ =: βµ

68 11 BLACK HOLES

定常＋軸対称

これから扱う時空は∂gµν∂t

= 0 (stationary) (11.89)

∂gµν∂φ

= 0 (axisymmetric) (11.90)

となっているものである。定常で軸対称（球対称）な時空しか扱わないということは常に頭から離してはいけない。定常で軸対称な時空では，~k =

∂

∂t, ~m =

∂

∂φは Killing vectorである。

実際，

(£ξg)µν = ξλgµν,λ + ξλ,µgλν + ξλ,νgµλ = 0 (11.91)

であるが，~k →(t,φ,r,θ)

(1, 0, 0, 0)，~m →(t,φ,r,θ)

(0, 1, 0, 0) はこの方

程式 (Killing方程式と言う38)を満たしている。前にも述べたことだが，Killingの存在は保存量を議論する時に本質的なものである。

また，任意の vectorに対して

£~k ~X = [~k, ~X] = ~k(~X

)− ~X

(~k)

=∂Xµ

∂t

∂

∂xµ+Xµ ∂

∂t

∂

∂xµ−Xµ ∂

∂xµ∂

∂t= Xµ

,t ≡ 0

(11.92)

£~m~X = [~m, ~X] = ~m

(~X

)− ~X (~m)

=∂Xµ

∂φ

∂

∂xµ+Xµ ∂

∂φ

∂

∂xµ−Xµ ∂

∂xµ∂

∂φ= Xµ

,φ ≡ 0

(11.93)

であり，one-formに対しても

0 = gµνXν,t = (gµνXν),t = Xν,t (11.94)

0 = gµνXν,φ = (gµνXν),φ = Xν,φ (11.95)

であることが分かる。このように，時空が定常や軸対称であることは，物理量に対して厳しい条件を課してくる。さて，話はこれだけではない。定常であることから導かれる

こと述べる。(11.61)から，時間微分の項を抹殺すると，

Γ000 = 0

Γ00k = βi,kβi − αα,k +12γij,kβ

iβj

=12βiβi,k +

12βiβ

i,k − αα,k

Γk00 = αα,k − 12γij,kβ

iβj − βj,kβj= −1

2βjβj,k − 1

2βjβ

j,k + αα,k

Γ0ij =12

(βi,j + βj,i)

Γi0j =12

(βi,j − βj,i)Γijk = (3)Γijk

(11.96)

又，(11.67)から時間微分の項を抹殺すると，

n0;0 = α|jβj −1αβjβkβj|k

n0;j = − 12αβj

(βi|j + βj|i

)

ni;0 = α|i −12αβj

(βi|j + βj|i

)

ni;j = − 12α

(βi|j + βj|i

)

(11.97)

となる。さらに，shift vector がゼロ (Schwarzschild 時空やReissner-Nordstrøm時空)だと

Γ000 = 0Γ00k = −αα,k = −α2 (lnα),kΓk00 = αα,k = α2 (lnα),kΓ0ij = Γi0j = 0Γijk = (3)Γijk

,

n0;0 = n0;j = 0ni;0 = α|ini;j = 0

(11.98)

にまでシンプルになってしまう。

Shear, Expansion rate

ここでは，扱わなかった 3次元空間の曲率などについて考えていこう。数学的に詳しいことは，小林昭七『曲面と曲線の微分幾何』などを参照するとよい。

FIDOの 4-velocityを (5.30)のように分解してみる。

nµ;ν = −nµnν + σµν +13θγµν + ωµν

= −nµ;λnλnν + σµν +

13θγµν + ωµν

[shear] σµν =def

γαµγβν n〈α;β〉

[expansion rate] θ =def

nµ;µ

[vorticity] ωµν =def

γαµγβν n[α;β]

また，

Kµν = σµν +13θγµν + ωµν (11.99)

は, ~nに垂直な成分であった。第 1項は39，

nµ = nµ;λnλ =

1αnµ;0 − βi

αnµ;i

n0 = (lnα),j β

j

nj = (lnα),j(11.100)

38ξ(µ;ν) = 0と同値。示そう。ξ(µ;ν) = ξ(µ,ν) +1

2Γλ

µνξλ +1

2Γλ

νµξλ = ξ(µ,ν) +1

2gλσ(gσµ,ν −gµν,σ +gνσ,µ)ξλ = ξ(µ,ν) +

1

2ξσ(gσµ,ν −gµν,σ +gνσ,µ) =

1

2(ξσgσµ),ν +

1

2(ξσgσν),µ +

1

2ξσ(gσµ,ν − gµν,σ + gνσ,µ) =

1

2ξσ

,νgσµ +1

2ξσgσµ,ν +

1

2ξσ

,µgσν +1

2ξσgσν,µ +

1

2ξσ(gσµ,ν − gµν,σ + gνσ,µ)

= ξσgµσ,ν + ξσgσν,µ +1

2(ξσ

,µgσν + ξλ,νgµσ − ξξgµν,σ)

39記号を以下のように定めている。Aµ|ν = γµ

αγβ

ν Aα;β

Ai|j = Ai

,j + (3)ΓijkA

k = Ai,j + Γi

jkAk

∇ ·A = Ai|i, (∇×A)i = eijkAk|j


さらに，expansion rateを表す tensor

θµν =def

γαµγβν n(α;β) (11.101)

も定義しておくと

θµµ = θ (11.102)

θµν = σµν +13θγµν (11.103)

の関係にあるのであった。expansion tensorの空間成分は，

θij = γ µi γ

νj n(µ;ν) = ni;j =

12α


)(11.104)

である。

(11.67)から，lapse函数や shift vectorを用いて書き表すことができる。実際に計算してみよう。まず，expansion rateは

nµ;µ = g00n0;0 + g0i (n0;i + ni;0) + gijni;j

= − 1α2

[α,jβ

j +12αβjβk

(γjk − 2βj|k

)]

+βi

α2

[α,i +

1α


)βj

]

+(γij − 1

α2βiβj

)12α


)

=12αγij

(γij − 2βi|j

) ≡ θ (11.105)

となる。また，shearについて

σµν = θµν − 13θγµν = γαµγ

βνn(α;β) −

13θγµν

= n(µ;ν) + nµn(α;ν)nα + nνn(µ;β)n

β + nµnνn(α;β)nαnβ

− 13θγµν

ここで，nα;βnα = nα;βnα = 0より

σµν = n(µ;ν) +12

nµnν;αn

α + nνnµ;βnβ− 1

3θγµν

=12

nµ;ν + nν;µ + nµnν;αn

α + nνnµ;βnβ− 1

3θγµν

(00)成分を計算しよう。

σ00 =12

(2n0;0 − 2αn0;λn

λ)− 1

3θγ00

= n0;jβj − 1

3θβjβj

=12αβiβj

(γij − 2βi|j

)− 13θβjβj (11.106)

(0i)成分は，

σi0 =12

(ni;0 + n0;i − αni;βnβ

)− 13θγi0

=12αβj


)− 13θβi (11.107)

spatial partは

σij =12

(ni;j + nj;i)− 13θγij

=12α

[(γij − βi|j − βj|i

)− 13γijγ

lm(γlm − 2βl|m

)]

=12α


)− 13γij

(γlmγlm − 2βl|l

)]

(11.108)

となる。次に，vorticityを計算してみよう。

ωµν = n[µ;ν] + nµn[α;ν]nα + nνn[µ;β]n

β + nµnνn[α;β]nαnβ

= n[µ;ν] −12

(nµnν;α − nνnµ;α)nα

したがって，

ωij = ω00 = 0 (11.109)

また，

ω0i = n[0;i] +12αni;σn

σ

=12

(n0;i − ni;0 + ni;0 − ni;jβj

)= 0

である:

ωi0 = −ω0i = 0 (11.110)

また

n0;νnν = (lnα),j β

j = −gkβknj;νn

ν = (lnα),j = −gj

である。以上纏めると，

θ =12α

(γij γij − 2βi|i

)

σ00 =12αβiβj

(γij − 2βi|j

)− 13θβjβj

σi0 =12αβj


)− 13θβi

σij =12α


)− 13γij

(γlmγlm − 2βl|l

)]

ωij = ω00 = ωi0 = ω0i = 0

さてここで，次のような量を定義しておこう。

Mij =def

1α∇iβj =

1αβj|i (11.111)

M i =def

eijkMjk =12eijk (Mjk −Mkj) (11.112)

=12αeijk

(βj|k − βk|j

)(11.113)

それぞれ gravitomagnetic forceと呼ばれる。マグネと何ら関係ないのにこのようなネーミングがついた理由は後でまた述べる。とりあえずこの量を用いて，shearなどを書いてみよう。

以下で具体的にいろいろな時空の場合について計算してみるが，その前に，すべて定常な時空であることから，

θ = − 1

αγijβi|j = − 1

αβk|k

σij = − 12α

(βi|j + βj|i +

23γijβ

k|k

) (11.114)

となっていることに注意しておこう。また，(11.111)からθ = −γijMji = − 1

αβk|k

σij = −12

(Mij +Mji +

23γijβ

k|k

) (11.115)

とも書く事が出来る。

70 11 BLACK HOLES

曲率の分解と Einstein方程式

3次元部分時空における Riemann tensorは，4次元の場合と同様に定義される。

[∇i,∇j ]Xk = Xk|ij −Xk

|ji=: RklijX l (11.116)

Rijkl = (11.117)

外部曲率 (extrinsic curvature)は，

Kµν =def−γλµγσνnλ;σ (11.118)

= −γλµγσνn(λ;σ) + n[λ;σ]

2= − (θµν + ωµν)

= −(σµν +

13θγµν + ωµν

)

で定義される。(11.105), (11.108), (11.109)などから

Kij =12α

(βi|j + βj|i − γij

)(11.119)

K0i = −n0;i = −βk

2α(γik − βi|k − βk|i

)= βjKji (11.120)

Ki0 = βkKik (11.121)

K00 = βiβjKij (11.122)

となることが分かる。これは空間の 3次元への埋め込み方を反映する。(11.119)は，

∂γij∂t

= −2αKij + βi|j + βj|i (11.123)

と変形すると分かるように，発展方程式を表している。

Under construction3D-Ricci scalarは，

R =def

γµν = R+ 2nµnνRµν −K2 +KijKij (11.124)

但し，K = trK = Kjj である。

Einstein方程式の射影を考えよう。まず，FIDOの (00)方向への射影は

nµnν(Rµν − 1

2Rgµν + Λgµν

)= 8πGTµνnµnν

Rµνnµnν +

12R− Λ = 8πGρ (11.125)

である。但し，ρ =def

Tµνnµnν とした40。

R+K2 −KijKij = 16πGρ (11.126)

FIDOの (0i)方向への射影は

γiµnν(Rµν − 1

2Rgµν + Λgµν

)= 8πGTµνγiµnν (11.127)

Rµνγiµnν = −8πGSi (11.128)

である。但し，

Si =def−γiµTµνnν ∈ ABS (11.129)

である41。FIDOの absolute spaceへの射影は

γiµγjν(Rµν − 1

2Rgµν + Λgµν

)= 8πGTµνγiµγjν (11.130)

である。

SG =1

16πG

∫α√‖γ‖ (

KijKij −K2 +R)d4x (11.131)

Einstein方程式の ABS ⊗ABS への射影は，

1α

(∂

∂t− βk∇k

)Kij − (Rij +Kij) + 2KikK

kj

− 1α

(βk|iKkj + βk|jKki

)

− 1α∇j (αgi)

= −8πGSij +

12γij

(ρ− Sjj

)(11.132)

これは，

∂

∂tKij = αRij + αKKij − 2αKk j −∇i∇jα

βk|iKkj + βk|jKki + βkKij|k (11.133)

と書ける事からも分かるように，evolution equationになっている。

以前の数値相対論 (Numerical Relativity)では，ADM形式がよく用いられた: Constraint equationとして，

R+K2 −KijKij = 16πρ

∇j(Kij − γijK)

= 8πSi

Evolution equation

γij = −2αKij + βi|j + βj|i

Kij = αR+ · · · − 8πα(Sij − 1

2γij (S − ρ)

)

ただし，発散する非物理的モードが存在するため，線型重力波を発展させても不安定となるそうである (Constraint violationinstability)。改良された方法にはBSSN formalism, Hyper-bolic formulationsなどがある。

40(5.61) の議論を参照。41(5.61) の議論を参照。

11.2 Schwarzschild時空 71

11.1.1 (2+1)+1 formalism

軸対称性がある場合，”absolute space”をさらに 2+1（φ と(r, θ)）に分割することに意味があるだろう。3+1 decomposi-tionと同様に unit vector ~lを定義しよう。満たしてほしい関係

g(~l,~l) = 1 (spacelike) (11.134)

g(~l, ~n) = 0 (~n ⊥ ~l) (11.135)

を要求し，γµνkν = βµ と同じく

χµ =def

Hµνm

µ (11.136)

とする。但し，Hµν は Σtφ への射影作用素である。

Gourgoulhon and Bonazzolaによる formalismを採用する。- convenient for a spacetime which is not only axisymmetricbut also stationary.42

Express the 4-metric gµν by

gµν = − (α2 − χ2(βφ)2 − βΣaβ

aΣ

)dt2 + (χ2 + χΣaχ

aΣ)dφ2

+ 2(χ2βφ + βaΣχΣa

)dtdφ

+ 2βΣadtdxa + 2χΣadφdx

a +Habdxadxb (11.137)

Note that

γµν = gµν + nµnν (11.138)Hµν = γµν − lµlν = gµν + nµnν − lµlν (11.139)

Tensor (11.138) is the projection onto Σt and tensor (11.139)is the projection onto Σtφ. Any 4-vector can be decomposedinto its projection.

kµ = αnµ + βµ = αnµ + χβφlµ + βµΣ (11.140)mµ = χlµ + χµΣ (11.141)

where

nµ →(t,r,θ,φ)

(1α,−β

i

α

)(11.142)

nµ → (−α, 0, 0, 0) (11.143)

βµΣ →(0, βr + χrΣβ

φ, βθ + χθΣβφ, 0

)(11.144)

lµ →(

0,−χrΣ

χ,−χ

θΣ

χ,1χ

)(11.145)

lµ →(χβφ, 0, 0, χ

)(11.146)

χµΣ →(0, χrΣ, χ

θΣ, 0

)(11.147)

次のサブセクションから具体的に Einstein方程式を解いて得られた時空解について話を進めていくが，いつでも定常であることは記憶にとどめておこう。

11.2 Schwarzschild時空場が静的で球対称であり，外部が真空である時の外部真空時空（外部解）。ここで静的であるという事をはっきりさせておこう。時空が静的であるとは次の 2つの条件を満たす事と定義する。

1. systemが時間反転に対して不変。

2. gµν が時間によらない。つまり，gµν,0 = 0

2の条件を満たすからといって 1の条件を満たすとは限らない事に注意しよう。1の条件は，(t, xi) → (−t, xi)の座標変換に対してmetricが変らないという事を意味するので

g00 = g00 =1.g00

gij = gij =1.gij

g0i = −g0j =1.g0j

ds2 = −∆Σdt2 +

Σ∆dr2 + Σdθ2 +

r4

Σ2sin2 θdφ2 (11.148)

i.e. ds2 = −(1− rg

r

)dt2 +

(1− rg

r

)−1

dr2 + r2dΩ2

(11.149)

つまり，

(gµν) →(t,r,θ,φ)

−(1− rg

r

)(1− rg

r

)−1

r2

r2 sin2 θ

(11.150)

ブラックホールを形成していない普通の星は，当然その星の密度が定義出来る43が，その密度が一様であると仮定した場合，星の内部における解を Schwarzschild内部解と呼び，次のように書くことが出来る。

ds2 = −(

32

(1− rg

R

) 12 − 1

2

(1− rgr

2

R3

) 12)2

dt2

+dr2

1− 2Gm(r)r

+ r2dΩ2 (11.151)

但し，

m(r) =def

∫ r

0

4πr2ρdr (11.152)

m(R) =def

M (11.153)

である。但し，密度が一定であると，√dp

dρに比例する音速が無

限大になってしまうので，物理的には正しくない。

Schwarzschild FIDOは，dr = dθ = dφ = 0となっているはずであるから，

ds2 = −dτ2 = −(1− rg

r

)dt2

=⇒(dτ

dt

)

FIDO

=(1− rg

r

) 12 ≡ α

shift vectorは metricの形からも分かる通りゼロである。したがって，FIDOの 4-velocityは，

~n →(t,r,θ,φ)

((1− rg

r

)−1/2

, 0, 0, 0)

(11.154)

42Maeda, Sasaki, Nakamura, and Miyama formalism is suitable to the axisymmetric gravitational collapse.43「星の表面」が定義されない Black Hole に密度の概念などない。したがって，高密度天体のなかに BH を分類するのはよくない。高密度天体とは，White

Dwarfs や Neutron stars のことを言う。

72 11 BLACK HOLES

FIDOが感じる重力は，

g = −∇ lnα = − 1α

∇α (11.155)

= −Mr2

∂

∂r(11.156)

となる。また，expansion rateや shearはともにゼロである。

θ = 0, σ00 = σ0i = σij = 0 (11.157)

Christoffel symbol

Γtrt = −Γrrr =M

r2

(1− 2M

r

)−1

, Γrtt =M

r2

(1− 2M

r

)

(11.158)

Γrθθ =1

sin2 θΓrφφ = −r

(1− 2M

r

)(11.159)

Γθθr = Γφφr =1

sin2 θΓθφφ =

1r

(11.160)

Γφθφ = cot θ (11.161)

Riemann tensor

Rtrtr = −2M

r3

(1− 2M

r

)−1

(11.162)

Rtθtθ =1

sin2 θRtφtφ =

M

r5(11.163)

Rθφθφ =2M sin2 θ

r5(11.164)

Rrθrθ =1

sin2 θRrφrφ = −M

r5(11.165)

Riemann tensor

RµνλσRµνλσ =48M2

r6(11.166)

Schwarzschild時空中の粒子は，

r4E2 −∆p2φ −∆

(m2r2 + q

)−∆2p2r = 0

⇐⇒ E2 −(

1− 2Mr

) (pφr

)2

−(

1− 2Mr

)(m2 + cot2 θ

(pφr

)2

+(pθr

)2)

−(

1− 2Mr

)2

p2r = 0

を満たしながら運動している。特に，赤道面内に束縛されていて，かつ pθ = 0ならば

(E

m

)2

=(dr

dτ

)2

+(

1− 2Mr

)(1 +

( pφmr

)2)

(11.167)

となる。これより，最小安定軌道 (ISCO44)が存在する。そのような解は，dr

dτ= 0であるので，

(E

m

)2

=(

1− 2Mr

)(1 +

( pφmr

)2)

右辺を rで微分してゼロとなる条件，

− 2r3

(pφm

)2(

1− 2Mr

)+

(1 +

(pφr

)2)

2Mr2

= 0

⇐⇒ 2Mr2 − 2(pφm

)2

r + 6M(pφm

)2

より，解の存在条件は(pφm

)4

− 12M2(pφm

)2

≥ 0

⇐⇒(pφm

)2(pφ

m

)2

− 12M2

≥ 0

⇐⇒(pφm

)2

≥ 12M2

⇐⇒ |pφ| ≥√

3m · 2M(|L| ≥

√3mcrg

)

したがって，存在するための極限は

pφISCO =√

3m · 2M (11.168)

である。また，この時の解は，

r2 − 12Mr + 36M2 = 0

を解いて，

rISCO = 3rg = 6M (11.169)

となり，また

EISCO =

√89m

(c2

)(11.170)

となる。

Schwartzschild時空での重力赤方偏移

Schwarzschild holeの近傍で放出された光子が，geodesicに沿って無限遠の flatな時空にいる観測者に届くとしよう。holeの近傍の FIDOは，光子の energyを

E = hνemit = −pµnµ = − 1αpt

と観測し，無限遠の FIDOは

E∞ = hνobs = −pµnµ = −ptと観測する。ところで，geodesicに沿って保存する物理量は既に議論したように，Killing vectorとの縮約で得られる。つまり，

E = −pµkµ = −ptは保存量である。したがって，

E∞ = αE ∴ α =νobs

νemit(11.171)

ここで，

z =def

λobs − λemit

λemit=νemit

νobs− 1 (11.172)

と定義する45と，

z + 1 =1α

=(

1− 2Mr

)1/2

(11.173)

である事が分かる。このように，重力の影響によって赤方偏移するが，lapseによって決まるのである。lapseから重力が決まる事からも推測されるであろう。

44Innermost Stable Circular Obit の略。marginally stable とも言う。45z は，(1 + z)λemit = λobs と書ける事からも分かるように，無限遠で観測される photon の波長が放出された時の波長に較べてどれほど伸びているか，あるいはエネルギーが下がっているかという量を表している。

11.2 Schwarzschild時空 73

Klein-Gordon方程式

Schwarzschild時空内における Klein-Gordon方程式を導こう。d’Alembertianの curved spaceへの拡張を

¤gϕ = gµνϕ,ν;µ = (gµνϕ,ν);µ = ϕ,µ;µ

= ϕ,µ,µ + Γµνµϕ,ν

= ϕ,µ,µ +(

1√−g∂

∂xν√−g

)ϕ,ν

=1√−g

∂

∂xν(√−ggµνϕ,ν

)

と定義する。Klein-Gordon方程式として，Minkowski時空 (flat)への極限でゼロになってしまうものを含めれば(gµν∇µ∇ν −m2 + αR2 + βRµν∇µ∇ν + · · · )ϕ = 0 (11.174)

なども考えられるが，以下ではもっとも簡単な最初の 2項しかないものと仮定する。これが妥当である事は，変分原理から導

出すると理解出来る。Minkowski時空における作用

IM =∫ (

12ηµνϕ,µϕ,ν +

12m2ϕ2

)d4x (11.175)

を Schwarzschild時空へ

IS =∫ (

12gµνϕ,µϕ,ν +

12m2ϕ2

)√−gd4x ≡∫Lgd4x

(11.176)

と変更すると，Euler-Lagrange方程式は

∂

∂xµ

(∂

∂ϕ,µLg

)− ∂Lg

∂ϕ= 0

∴ ∂

∂xµ(−√−ggµνϕ,ν

)+m2ϕ

√−g = 0

∴ 1√−g∂

∂xµ(√−ggµνϕ,ν

)−m2ϕ = 0

**************************************************

さて，拡張された d’Alembertian ¤g を計算しよう。

¤g =1√−g

∂

∂xµ

(√−ggµν ∂

∂xν

)

=1

r2 sin θ∂

∂xµ

(r2 sin θgµν

∂

∂xν

)

=1

r2 sin θ

[∂

∂t

[−r2 sin θ

(1− 2M

r

)−1∂

∂t

]+

∂

∂r

[r2 sin θ

(1− 2M

r

)∂

∂r

]+

∂

∂θ

[r2 sin θ · 1

r2∂

∂θ

]+

∂

∂φ

[r2 sin θ · 1

r2 sin2 θ

∂

∂φ

]]

= − r

r − 2M∂2

∂t2+

1r2

∂

∂r

[r2

(1− 2M

r

)∂

∂r

]+

1r2 sin θ

∂

∂θ

[sin θ

∂

∂θ

]+

1r2 sin2 θ

∂2

∂φ2

≡ −(

1− 2Mr

)−1∂2

∂t2+

1r2

∂

∂r

[r2

(1− 2M

r

)∂

∂r

]− 1r2L2

(i.e. − L2 ≡ 1

sin θ∂

∂θ

[sin θ

∂

∂θ

]+

1sin2 θ

∂2

∂φ2

)

**************************************************

変数分離

ϕ =(Ae−iωt +A∗eiωt

)R(r)Θ(θ, φ) (11.177)

によって，[

1r2

∂

∂r

(r2

(1− 2M

r

)∂

∂r

)− `(`+ 1)

r2

]R(r)

= −ω2

(1− 2M

r

)−1

R(r) (Bessel diff. eq.)

(11.178)

L2Θ(θ, φ) = `(`+ 1)Θ(θ, φ) (11.179)

の微分方程式に帰着される。角度成分については spherical har-monic function Ylm を用いて

Θ(θ, φ) =∑m

BlmYlm(θ, φ) (11.180)

m は |m| ≤ ` を満たす整数である。角度成分についてはMinkowski のときと同様であるが，動径の満たすべき微分方程式が変更されている。

11.2.1 球対称星の内部構造まずは静的な完全流体を源とする Einstein方程式を考えよう。

dp

dr= − (ρ+ p)(m+ 4πr3p)

r(r − 2m)(11.181)

Tolman-Oppenheimer-Volkoff(TOV)方程式と言う。

pc = ρ1−

√1− 2M

R

3

√1− 2M

R− 1

(11.182)

M

R→ 4

9のとき pc →∞となっている事に注意しよう。半径が

94M

(=

98· 2GM

c2

)より小さい一様密度の星は存在しないとい

う事である。

p = ρ

√1− 2Mr2

R3−

√1− 2M

R

3

√1− 2M

R−

√1− 2Mr2

R3

(11.183)

74 11 BLACK HOLES

Buchdahl

ρ = 12√p∗p− 5p (11.184)

ここで，p∗は任意定数である。物理的に妥当かどうかはよくわかってないが，局所的な音速が 1より小さくとれるので，星の内部の至る所で因果律を破らない。また，pが小さい時には，

ρ = 12√p∗p

となり，Newton力学の恒星内部構造理論で n = 1の polytropeというものになっている46。

11.3 Reissner-Nordstrøm時空作用が

S =1

16πG

∫d4x√−g (R− FµνFµν) (11.185)

で与えられる時空。このとき，The sorce-free Einstein-Maxwellequationsは

Gµν = 2(FµλF

λν −

14gµνFλσF

λσ

)(11.186)

DµFµν = 0 (11.187)

Reissner-Nordstrøm解は

ds2 = −(

1− 2Mr

+Q2

r2

)dt2 +

dr2

1− 2Mr

+Q2

r2

+ r2dΩ2

(11.188)

Aµ →(t,r,θ,φ)

(−Qr, 0, 0, 0

)(11.189)

となる47。metricの中に，Qという項が入っていることからも分かるように，曲率 (重力)は「電荷」の効果をうけるということであるから，charge neutralであってもこの分の効果を受けるのである。では，電荷と質量の違いはないのかという疑問も湧くが，後でみるようにmass formulaの中では明確に区別される物理量である。

また，電場の影響を受けるという結果であるが，一体どのように相互作用しているといえるのであろうか。Coulomb相互作用の媒介粒子は photonであるが，光でさえ event horizonを越えて外側の領域には出て行けないのだから，話はそう簡単ではない。

この RN metricは次のようにも書かれる。

ds2 = −∆r2dt2 +

r2

∆dr2 + r2dΩ2 (11.190)

但し，

∆ = r2 − 2Mr +Q2 (11.191)

Schwarzshild 時空と同様，∆ = 0 は特異点であることを意味する。48このように書くのは，あとで扱う Kerr hole や Kerr-Newmann holeとの関係を見通しのよいものにする為である。

Horizonを与える方程式

∆ = r2 − 2Mr +Q2 = (r − r+)(r − r−) = 0 (11.192)

が解を持つかどうかで分類し，各場合について議論しよう。解は

r± = M ±√M2 −Q2 (11.193)

であるから，つぎの 3つの場合が考えられる。

1. M < |Q|…特異点が 2つある場合 (r = r±)

2. M = |Q|…特異点が 1つある場合 (r = M)

3. M > |Q|…特異点はない場合

さて，lapse函数と shift vectorはそれぞれ，α =

(1− 2M

r+Q2

r2

)1/2

βi →(r,θ,φ)

(0, 0, 0)(11.194)

である。またこれより，FIDOの 4-velocityは

nµ →(t,r,θ,φ)

((1− 2M

r+Q2

r2

)−1/2

, 0, 0, 0

)(11.195)

さらに FIDOが受ける重力は，

g = −∇ lnα =(−Mr2

+Q2

r3

)∂

∂r(11.196)

FIDOの質量や電荷の議論もせずに，受ける力の項に holeの電荷による項がある。

Pressure-Free Collapse to RN

Holeの charge/mass ratioを

γ =def

Q

M(11.197)

とおいておこう。質量m，電荷 q の粒子に対する作用は，特殊相対論の時と

同様に次式で与えられる。

S[x, e] =∫dλ

(12e−1xµxνgµν(x)− 1

2m2e+ qxµAµ

)

(11.198)

46index n の Newton 的 polytrope は，p ∝ ρ1+1/n という状態方程式をもち，dm(r)

dr= 4πr2ρ,

dp

dr= −ρm

r2を満たす。。

47c,Gを復活させれば，

ds2 = −(

1− 2GMc2r

+GQ2

c4r2

)dt2 +

(1− 2GM

c2r+GQ2

c4r2

)−1

dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

である。48この段階で，真の特異点か座標特異点かは分からないが。

11.3 Reissner-Nordstrøm時空 75

ここで，Killing vector ξに対して

(£ξA)µ =def

ξν∂νAµ + (∂µξν)Aν = 0 (11.199)

であると仮定しよう。このとき，変換 xµ → xµ + αξµ(x)に対して

S[xµ + αξµ, e] =∫dλ

12e

(xµ + αξµ)(xν + αξν)g(x+ αξ)

−12m2e+ q(xµ + αξµ)Aµ(x+ αξ)

(11.200)

右辺の最初の 2項は不変である。第 3項は

q(xµ + αξµ)Aµ(x+ αξ)

=q(xµ + αξµ)(Aµ(x) +

∂Aµ∂xν

αξν + O(α2))

=qxµAµ(x) + αq

(xµ∂Aµ∂xν

ξν + ξµAµ

)+ O(α2)

=qxµAµ + αqxµ(ξν∂Aµ∂xν

+∂ξν

∂xµAν

)+ O(α2)

であるから，1次のオーダーで不変であることが示された。つまり，変換に対して，作用は（1次のオーダーで）不変である。正準共役な運動量は

pµ =def

∂L∂xµ

=1exνgµν − qAµ (11.201)

で定義される。また，eに関する Euler-Lagrangeは

0 =∂

∂xµ∂L∂e,µ

− ∂L∂e

=1

2e2xµxνgµν +

12m2 (11.202)

=⇒ e =1m

√−xµxνgµν =1m

dτ

dλ(11.203)

それ故

pµ = mdλ

dτ

dxν

dλgµν + qAµ

= mdxν

dτgµν + qAµ = muνgµν + qAµ

であるから，結局 Noether chargeは

Q = −ξµpµ = −ξµ(muνgµν + qAµ) (11.204)

である。前に説明した様に，軌跡に沿って保存する。実際にmet-ricを代入してみると

pµ = muνgµν + qAµ

→(t,r,θ,φ)

(−m∆

r2dt

dτ− qQ

r,m

r2

∆dr

dτ,mr2

dθ

dτ,mr2 sin2 θ

dϕ

dτ

)

(11.205)

であることが分かる。k →

(t,r,θ,φ)(1, 0, 0, 0)より，

(£kA)µ = kν∂νAµ + (∂µkν)Aν= ∂0Aµ

→(t,r,θ,φ)

(0, 0, 0, 0)

なので，Reissner-Nordstrøm解については

£kA = 0 for k =∂

∂t(11.206)

が成り立っていることが分かる。先ほど示したように，Killingvectorに関する Lie微分がゼロならば，付随して保存量が存在するので，実際 RN解に保存量が存在することが分かる。ここで，

− E =def

p0 = mdt

dτg00 − qA0(x) (11.207)

=⇒− E

m= −∆

r2dt

dτ− q

m

Q

r≡ −ε (11.208)

なので，(

1− 2Mr

+Q2

r2

)dt

dτ= ε− q

m

Q

r(11.209)

が成り立つ。τ は粒子の proper timeであり，εは energy perunit massである。これより，

dt

dτ=r2

∆

(ε− q

m

Q

r

)(11.210)

であるから，角運動量がゼロの粒子は赤道面内 θ =π

2で,

ds2 = −dτ2 = g00dt2 + g11dr

2

=⇒ −1 = −∆r2

(dt

dτ

)2

+r2

∆

(dr

dτ

)2

= −∆r2

r4

∆2

(ε− q

m

Q

r

)2

+r2

∆

(dr

dτ

)2

= −r2

∆

(ε2 − 2ε

q

m

Q

r+q2Q2

m2r2

)+r2

∆

(dr

dτ

)2

(11.211)

したがって，(dr

dτ

)2

= −∆r2

+ ε2 − 2εqQ

mr+q2Q2

m2r2(11.212)

= ε2 − 1 +(

1− ε qQmM

)2Mr

+(( q

m

)2

− 1)Q2

r2

(11.213)

となっていることが分かる。特に q = Q, m = M,γ =

def

Q

Mとすると

(dr

dτ

)2

= (ε2 − 1) +(1− γ2

) 2Mr

+(γ2 − 1

) Q2

r2

≡ ε2 − Veff (11.214)

であるが，これは holeの“表面”が満たすものである。

Veff = 1− (1− εγ2)2Mr

+ (1− γ2)Q2

r2(11.215)

は，有効ポテンシャルを表しているので極値を求めることに意味があろう。実際，

∂Veff

∂r= (1− εγ2)

2Mr2− 2(1− γ2)

Q2

r3= 0 (11.216)

=⇒ r0 =2(1− γ2)Q2

(1− εγ2)2M=γ2(1− γ2)

1− εγ2M (11.217)

は Veff は極小かつ最小であることが分かる。

76 11 BLACK HOLES

M < Qの場合∆ = 0は解を持たないので，horizonは存在せず，r = 0の sin-gularityは裸になってしまう。宇宙検閲官仮説が破れているので，No hair theoremは成り立たない。

M > |Q|の場合r = r± は特異点なのだが，座標特異点，つまり除去可能で

あることを示そう。まず，座標変換

dr∗ =def

r2

∆dr (11.218)

を施すと，a

r − r+ +b

r − r− =(a+ b)r − (ar− + br+)

(r − r+)(r − r−)(11.219)

より，(a, b) = (r+, −r−)または (1, −1)とおけば，

r+r − r+ +

−r−r − r− =

(r+ − r−)r(r − r+)(r − r−)

1r − r+ +

−1r − r− =

r+ − r−(r − r+)(r − r−)

(11.220)

さらに

r2± = (2Mr± −Q2) (11.221)

なので∫dr∗ =

∫r2

∆dr

=∫

r2

r2 − 2Mr +Q2dr

=∫ (

1 +2Mr

(r − r+)(r − r−)− Q2

(r − r+)(r − r−)

)dr

=∫ (

1 +2M

r+ − r−

(r+

r − r+ −r−

r − r−

)

− Q2

r+ − r−

(1

r − r+ −1

r − r−

))

=∫ (

1 +r2+

r+ − r−1

r − r+ +r2−

r− − r+1

r − r−

)dr

=∫ (

1 +1

2κ+

1r − r+ +

12κ−

1r − r−

)dr

r∗ = r +1

2κ+ln

( |r − r+|r+

)+

12κ−

ln( |r − r−|

r−

)+ const.

となる。後で分かることだが，

κ± =def

r± − r∓2r2±

(11.222)

は surface gravityになっている。さらに

v = t+ r∗

u = t− r∗ (11.223)

なる変換を考える。dr =∆r2dr∗ であるから

dv = dt+ dr∗ = dt+r2

∆dr

したがって

ds2 = −∆r2

(dv − r2

∆dr

)2

+r2

∆dr2 + r2dΩ

= −∆r2dv2 + 2dvdr + r2dΩ2

となる。この線要素に ∆ = 0の特異性は現れていない。則ち，先ほどの RN metric に現れた特異性は，座標に固有のものであったのである。座標変換したのちの Killing vector ~kについて，

~k = kµ∂

∂xµ=

∂

∂t= kµ

∂xµ

∂xµ∂

∂xµ

=∂xµ

∂t

∂

∂xµ=

∂

∂v

であることに注意しよう。

grr =∆r2

= 0のとき，超曲面 r = const.は nullである。つまり，∆ = 0 は，null hypersurfaces である。N± と書くことにしよう。この N± は Killing vector field k =

∂

∂vの Killing

horizonsである。surface gravitiesは κ±になっている。このことを示す前に，新しい座標系では

(gµν) →(v,r,θ,φ)

−∆r2

1 0 0

1 0 0 00 0 r2 00 0 0 r2 sin2 θ

(11.224)

(gµν) →(v,r,θ,φ)

0 1 0 0

1∆r2

0 0

0 0 1/r2 00 0 0 1/r2 sin2 θ

(11.225)

となっていることを注意しておく。証明に入ろう。

claim: k =∂

∂vはKilling vectorである。つまり，£kg = 0

⇐⇒ kλgµν,λ + kλ,µgλν + kλ,νgµλ = 0∵k →

(v,r,θ,φ)(1, 0, 0, 0)より，(£kg)µν = gµν,v = 0

11.3 Reissner-Nordstrøm時空 77

そうすると，

k ·D(k) = kνDν(k) = kνDν

(kµ

∂

∂xµ

)

= kν(kµ,ν

∂

∂xµ+ kµΓσνµ

∂

∂xσ

)

= kν(kσ,ν + kµΓσνµ

) ∂

∂xσ

であるが，k →(v,r,θ,φ)

(1, 0, 0, 0)であるから，

k ·D(k) →(v,r,θ,φ)

kv(kσ, v + kµΓσµv

) ∂

∂xσ

= kvkvΓµvv∂

∂xµ= Γµvv

∂

∂xµ(11.226)

ここに

Γrvv =12grσ (gσv,v − gvv,σ + gvσ,v) = −1

2grrgvv,r

= −12

∆r2

(1r2∂∆∂r

+ ∆∂

∂r

1r2

)

→ 0 (r = r±)

Γvvv =12gvσ (gσv,v − gvv,σ + gvσ,v) = −1

2gvrgvv,r

= −12

(1r2∂∆∂r

+ ∆∂

∂r

1r2

)

= − 12r2

∂∆∂r

+∆r3

→ − 12r2±

∂∆∂r

(r = r±)

=r± −Mr2±

=r± − r∓

2r2±≡ κ±

Γθvv = Γφvv = 0


k ·D(k) = κ±∂

∂v= κ±k on N± (11.227)

定義より，κ± は surface gravityである。

Extreme Reissner-Nordstrøm: M = |Q|の場合∆ = r2 − 2Mr +Q2 = (r −M)2

=⇒ ds2 = −(

1− M

r

)2

dt2 +dr2(

1− M

r

)2 + r2dΩ2

(11.228)

ここで，the Regge-Wheeler coordinate

r∗ =def

r + 2M ln∣∣∣∣r −MM

∣∣∣∣−M2

r −M (11.229)

を導入しておく。この時，

dr∗

dr= 1 + 2M

1M

r −MM

+M2

(r −M)2

= 1 +2Mr −M +

M2

(r −M)2

=r2 − 2rM +M2 + 2Mr +−2M2 +M2

(r −M)2

=r2

(r −M)2=

1(1− M

r

)2

より，

dr∗ =dr(

1− M

r

)2 (11.230)

となる。v =def

t+ r∗

=⇒ dv = dt+ dr∗ = dt+dr(

1− M

r

)2

=⇒ dt2 = dv2 − 2(

1− M

r

)−2

dvdr +(

1− M

r

)−4

dr2

ds2 = −(

1− M

r

)2dv2 − 2

(1− M

r

)−2

dvdr

+(

1− M

r

)−4

dr2

+

(1− M

r

)−2

dr2 + r2dΩ2

= −(

1− M

r

)2

dv2 + 2dvdr + r2dΩ2

より，EF座標を使って

ds2 = −(

1− M

r

)2

dv2 + dvdr + r2dΩ2 (11.231)

となることが分かる。Null hypersurface r = M 上で特異でないことを意味する。則ち，r = M は座標特異点である。次に，この null hypersurface r = M は，Killing vector field k =

∂

∂vの

degenerate Killing horizonになっていることを示そう。r = Mが Killing horizonになっていることと，それが degenerateであることを示せばよい。

r = M がKilling horizonであることを言うには，r = M がnull hypersurfaceであることと k =

∂

∂vが Killing vectorであ

ることを言えばよい。

l = fgµν∂S

∂xν∂

∂xµ∀ f(x)

= fgµν∂S

∂r

∂

∂xµ= fgrµ

∂

∂xµ

= f

(∂

∂v+

(1− M

r

)2∂

∂r

)→ f

∂

∂v(on r = M)

から

l2 = gµν lµlν = f2gvv = −f2

(1− M

r

)2

→ 0 (on r = M)

78 11 BLACK HOLES

つまり，r = M は null hypersurfaceである。また，(£kg)µν =

gµν,v ≡ 0 より，k =∂

∂vは killingである。したがって，r = M

は Killing horizonである。次に，r = M が degenerateであること，つまり κ ≡ 0を示

そう。

k ·D(k) = kνDν(k) = kνDν

(kµ

∂

∂xµ

)

= kν(kµ,ν

∂

∂xµ+ kµΓσνµ

∂

∂xσ

)

= kν(kσ,ν + kµΓσνµ

) ∂

∂xσ

= Γµvv∂

∂xµ

ここで

Γvvv =M

r2

(1− M

r

)→ 0 (r = M) (11.232)

Γrvv =M

r2

(1− M

r

)3

→ 0 (r = M) (11.233)

Γθvv = Γφvv = 0 (11.234)


k ·D(k) = κk ≡ 0 (11.235)

Isotropic Coordinates for RN

Lemma 11.3.1Let

r = ρ+M +M2 −Q2

4ρ(11.236)

then

ds2 = −∆dt2

r2(ρ)+r2(ρ)ρ2

(dρ2 + ρ2dΩ2

)(11.237)

∆ =(ρ− M2 −Q2

4ρ

)2

(11.238)

Proof of 11.3.1

dr = dρ− M2 −Q2

4ρ2dρ =

(1− M2 −Q2

4ρ2

)dρ =

dρ

ρ∆1/2

=⇒ dr2 =dρ2

ρ2∆

and

∆ = r2 − 2Mr +Q2

=(ρ+M +

M2 −Q2

4ρ

)2

− 2M(ρ+M +

M2 −Q2

4ρ

)+Q2

= ρ2 − 2ρM2 −Q2

4ρ+

(M2 −Q2

4ρ

)2

=(ρ− M2 −Q2

4ρ

)2

Therefore

ds2 = −∆r2dt2 +

r2

∆dr2 + r2dΩ2

= −∆r2dt2 +

r2

ρ2dρ2 + r2dΩ2

= − ∆r2(ρ)

dt2 +r2(ρ)ρ2

(dρ2 + ρ2dΩ2

)

Remark 11.3.2By definition

r = ρ+M +M2 −Q2

4ρ

⇐⇒ ρ2 + (M − r)ρ+M2 −Q2

4= 0

⇐⇒(ρ+

M − r2

)− ∆

4= 0

⇐⇒(ρ+

M − r2

)=

(r − r+)(r − r−)4

Therefore, for r− < r < r+, ρ ∈ C.

Proposition 11.3.3The distance to the horizon at r = r+ along a curve of constantt, θ, φ from r = R is

s =∫ R

r+

dr√(1− r+

r

)(1− r−

r

) (11.239)

which goes to ∞ as r+ − r− → 0 i.e. as M − |Q| → 0

Proof of 11.3.3dt = dθ = dφ = 0

=⇒ ds2 =r2

∆dr2

=⇒ ds =r√

(r − r+)(r − r−)dr

Here define x =def

√r − r−r − r+ , and then

s =∫ R

r+

r√(r − r+)(r − r−)

dr

= 2(r+ − r−)∫ ∞

α

dx

(x2 − 1)2+ 2+

∫ ∞

α

dx

x2 − 1

where α =√R− r−R− r+ > 1, and

∫ ∞

α

dx

x2 − 1=

12

ln(α+ 1α− 1

)(11.240)

∫ ∞

α

dx

(x2 − 1)2=

12

(α

α2 − 1− 1

2ln

(α+ 1α− 1

))(11.241)

11.4 Kerr時空 79

Therefore

s =√

(R− r+)(R− r−)

+r+ + r−

2ln

(√R− r− +

√R− r+√

R− r− −√R− r+

)

=√

(R− r+)(R− r−)

+r+ + r−

2ln

(2R− (r+ + r−) + 2

√(R− r+)(R− r−)

r+ − r−

)

=√

(R− r+)(R− r−)

+r+ + r−

2ln

(2R− (r+ + r−) + 2

√(R− r+)(R− r−)

)

− r+ + r−2

ln (r+ − r−) (11.242)

After all, when α ↓ 1 as r+ ↓ r−s→∞

Nature of Internal ∞ in Extreme RN

Define new coordinate λ s.t.

λ =def

r

M− 1 (11.243)

Lemma 11.3.4Keep only the leading terms in λ, to get

F ∼ dλ ∧ dt (11.244)

ds2 ∼ −λ2dt2 +M2

λ2dλ2 +M2dΩ2 (11.245)

Remark 11.3.5This is the Robinson-Bertotti metric.

Proof of 11.3.4Since

11 + λ

= 1− λ+ λ2 − λ3 + O(λ4) (11.246)

1(1 + λ)2

= 1− 2λ+ 3λ2 − 4λ3 + O(λ4) (11.247)

then

∆r2

= 1− 21 + λ

+1

(1 + λ)2

= 1− 2(1− λ+ λ2 − λ3 + O(λ4)

)

+(1− 2λ+ 3λ2 − 4λ3 + O(λ4)

)

= λ2 − 2λ3 + O(λ4)

Therefore

ds2 = −∆r2dt2 +

r2

∆dr2 + r2dΩ2

= −(λ2 − 2λ3 + O(λ4))dt2

+(

1 +1λ2

)M2dλ2 +M2(1 + λ2)dΩ2

∼ −λ2dt2 +M2 dλ2

λ2+M2dΩ2

On the other hand,

F = dA = d (Aµdxµ) =∂Aµ∂xν

dxν ∧ dxµ

=∂A0

∂xνdxν ∧ dt =

Q

r2dr ∧ dt

=Q

M2

1(1 + λ)2

Mdλ ∧ dt

=(1− 2λ+ 3λ2 + O

(λ4

))dλ ∧ dt

∼ dλ ∧ dt

Multi Black Hole Solutions

The extreme Reissner-Nordstrøm in isotropic coordinate is

ds2 =dt2

V 2+ V 2(dρ2 + ρ2dΩ2) (11.248)

where

V = 1 +M

ρ(11.249)

generalization → the multi black hole solution

ds2 =dt2

V 2+ V 2dx · dx (11.250)

where dx · dx is the Euclidean 3-metricand V is any solution of ∇2V = 0

Remark 11.3.5A static multi BH solution is possible only when there is asexact balance between the gravitational attraction and theelectrostatic repulsion.⇐ This occurs only for M = |Q|

11.4 Kerr時空定常軸対称な真空解を Kerr解という。

11.4.1 Boyer-Lindquist座標Boyer-Lindquist座標を使って書けば，回転している天体の外部時空解 (Kerr解)は

ds2 = gttdt2 + 2gtφdtdφ+ gφφdφ

2 + grrdr2 + gθθdθ

2

(11.251)

(gµν) →(t,φ,r,θ)

z − 1 −za sin2 θ 0 0−za sin2 θ A sin2 θ/Σ 0 0

0 0 Σ/∆ 00 0 0 Σ

(11.252)

但し，

a =J

Mc

Σ = r2 + a2 cos2 θ

z =2Mr

Σ

(=

2GMc

r

Σ

)

A = (r2 + a2)2 − a2∆sin2 θ

∆ = r2 − 2Mr + a2

(= r2 − 2GM

c2r + a2

)

80 11 BLACK HOLES

この座標系には座標特異点が存在する事が分かる。∆ =0 がその点である。実際には Riemann tensor を計算してみないことには，この特異点が座標によるものなのかどうかはわからない（grr → ∞）。後で分かるように，Kerr-Schild座標を使えばこの特異点は取り除かれる。

a→ 0の極限を取ってみると，

Σ→ r2

z → 2Mr

A→ r4

∆→ r2 − 2Mr

であるから，metricが Schwarzschildのそれと一致している事が分かる。

Ergosphere

∆ = 0 ⇐⇒ grr =∞のとき，

∆ = 0 ⇐⇒ r2 − 2Mr + a2 = 0

⇐⇒ r = M ±√M2 − a2 (11.253)

この半径

r+ = M +√M2 − a2 (< 2M) (11.254)

以内から外へは光でさえも脱出出来ない。この様な境界を eventhorizonという。horizon上では，

A(r = r+) = 4M2r2+ (11.255)

となる。

g00 = 0となる場合は，

g00 = 0 ⇐⇒ 2Mr = Σ

⇐⇒ r2 − 2Mr + a2 cos2 θ = 0

⇐⇒ r = M ±√M2 − a2 cos2 θ (11.256)

rerg = M +√M2 − a2 cos2 θとなる境界を ergosphere（ある

いは static limit）という。θ = π/2の平面 (赤道面)内では，r = 0, 2M となる。また，θ = 0では

rerg(θ = 0) = r+

である。明らかに，r− < r+ < rerg であるから，event horizonと ergosphereの中間の領域が存在する。このような領域を er-goregionと呼んでいる。様々な面白い物理がこの後ここで展開される事になる。

Kerr時空の Boyer-Lindquist Lapse函数と shift vectorは

α =

√Σ∆A

(→ 0 (r → r+)) (11.257)

βi →(φ,r,θ)

(gtφgφφ

, 0, 0)

=(−2Mra

A, 0, 0

)(11.258)

であり，トロイダル成分（のマイナス）はFIDOの角速度である。

ω :=2Mra

A(11.259)

特に，horizon上での値は，

ω(r = r+) =a

2Mr+=

a

r2+ + a2(11.260)

となる。これを ΩH と書いておくことにしよう。horizonの角速度である。以上から，FIDOの 4-velocity ~nは,

~n →(t,φ,r,θ)

(√A

Σ∆, za

√ΣA∆

, 0, 0

)(11.261)

したがって

~n =1α

(~k + ω~m

)(11.262)

∴ α~n = ~k + ω~m

→ ~k + ΩH ~m (at horizon)

=: ~ξ (11.263)

後でもう一度触れると思うけど，これは horizonの killing vectorになっている。

3次元にスプリットさせたときのmetricは，

γij →(φ,r,θ)

A sin2 θ

Σ0 0

0Σ∆

0

0 0 Σ

(11.264)

γij →(φ,r,θ)

ΣA sin2 θ

0 0

0∆Σ

0

0 01Σ

(11.265)

また，FIDOにかかる重力は

g = −∇ lnα = − 1α

∇α (11.266)

= −MΣ(r4 − a4

)+ 2Mr2a2∆sin2 θ

Σ3/2A∆1/2·√

∆Σ∂

∂r

+2Mra2

(r2 + a2

)

AΣ3/2cos θ sin θ · 1√

Σ∂

∂θ(11.267)

もちろん，a = 0のときは Schwarzschildのそれと一致してい

ることが確認出来る。√

∆Σ∂

∂rと 1√

Σ∂

∂θは，それぞれ正規直交

基底になるようにしたものである。ここで，唐突だが αg を計算してみよう。

αg = −MΣ(r4 − a4

)+ 2Mr2a2∆sin2 θ

ΣA3/2·√

∆Σ∂

∂r

+2Mra2

(r2 + a2

)∆1/2

ΣA3/2cos θ sin θ · 1√

Σ∂

∂θ

11.4 Kerr時空 81

したがって，

|αg| =√α2g · g

=

√√√√(MΣ

(r4 − a4

)+ 2Mr2a2∆sin2 θ

ΣA3/2

)2

+

(2Mra2

(r2 + a2

)∆1/2

ΣA3/2cos θ sin θ

)2

−−−−→r→r+

√M2

(r4+ − a4

)2

A3=

√(r2+ − a2

)2

16r4+M2

=r2+ − a2

4r2+M=r+ −M2r+M

=: κ+

surface gravityに等しいことが示された。

γij の行列式 ‖γ‖は,

‖γ‖ =AΣsin2 θ

∆(11.268)

であるから，gµν の行列式 gは，

g = −α2‖γ‖ = −Σ∆A· AΣsin2 θ

∆= −Σ2 sin2 θ (11.269)

となる。shift vectorの divergenceを計算してみよう。

βi|i = βi,i + (3)Γijiβj

= βφ,φ + (3)Γiφiβφ

=12γil (γlφ,i − γφi,l + γil,φ)βφ

=12γil (γlφ,i − γφi,l)βφ = 0

この下で，expansion rateや shearがどのようになっているか計算してみよう。expansion rateは49，

θ =1√−g

∂

∂xµ(√−gnµ)

=1√−g

[∂

∂t

(1α

√−g)− ∂

∂xi

(√−gα

βi)]

右辺第 1項は，どれも時間に依らないのでゼロとなり，第 2項はBoyer-Lindquist座標系の場合，(11.258)より，φの微分だけ残るがやはり軸対称性からゼロになる。つまり，expansion rateはゼロである。もっとも，(11.105)からすぐに結論出来る。

βi|j = βi,j − βk(3)Γkij = βi,j − βk(3)Γkij

= βi,j − βφ(3)Γφij

= βi,j − βφ 12

(γφi,j − γij,φ + γjφ,i)

は，Kerr時空をBoyer-Lindquist座標で表した場合，i = r, θのとき βi = βi = 0であり，γij の非対角成分がゼロであることより，

βi|j = βi,j − 12βφ (γφi,j − γij,φ + γjφ,i)

= βi,j − 12βφ (γφi,j + γjφ,i) = 0

i = φのときは，γij,φ = 0より

βφ|j = βφ,j − 12βφγφφ,j

以上の計算が比較的楽だったのは，shift vectorの divergenceがゼロであることによる。いつでも，このようになっているとは限らず，実際同じ時空でも次に見るようにノンゼロの場合もあり得る。

Kerr時空（BL座標）

Ltγij = 0θ = 0

σij =12αmi (∇jω) + (∇iω)mj

Riemann tensorは以下のような成分を持つ。50

Rtφtφ = −Rrθrθ = Q1 (11.270)

Rtφrθ = −Q2 (11.271)

Rtrtr = −Rφθφθ = −Q12 + y

1− y (11.272)

Rtrtθ = Rφrφθ = SQ2 (11.273)

Rtrφr = −Rtθφθ = SQ1 (11.274)

Rtrφθ = −Q22 + y

1− y (11.275)

Rtθtθ = −Rφrφr = Q11 + 2y1− y (11.276)

Rtθφr = −Q21 + 2y1− y (11.277)

但し，

Q1 =Mr

Σ3

(r3 − 3a2 cos2 θ

)(11.278)

Q2 =Ma cos θ

Σ3

(3r2 − a2 cos2 θ

)(11.279)

S =3a sin θ∆1/2

(r2 + a2

)

A(11.280)

y =∆a2 sin2 θ

(r2 + a2)2(11.281)

赤道面内では，Q2 = 0である。さらに，

Rµνλσ (Rµνλσ + i∗Rµνλσ) =48M2

(r − ia cos θ)6(11.282)

粒子の運動

Kerr時空内で equatorial plane上を運動する粒子について考えよう。Carter定数 q = 0および pθ = 0より，Hamilton-Jacobi方程式は

1 +

a2

r2

(1 +

2Mr

)E2 − 4Ma

r3pφE

−(

1− 2Mr

) (pφr

)2

− ∆r2m2 −

(∆r2

)2

pr2 = 0 (11.283)

49nµ =1

α(kµ − βµ)

50Bardeen et al. ApJ, 178, 347

82 11 BLACK HOLES


E := −pt = −m (gttu

t + gtφuφ)

= −m ((z − 1)ut − za sin2 θuφ

)

=θ=π/2

m

(1− 2M

r

)ut +

2Mm

rauφ (11.284)

pr := mur = mgrrur = m

Σ∆ur (11.285)

pφ := muφ = m(gφtu

t + gφφuφ)

= m

(−za sin2 θut +

A sin2 θ

Σuφ

)

=θ=π/2

−2Mm

raut +mr2

(1 +

a2

r2

(1 +

2Mr

))uφ

(11.286)

これらは a→ 0とすれば，期待通り Schwarzschild時空内の粒子に対する方程式になる。

E2 −(

1− 2Mr

) (pφr

)2

− ∆r2m2 −

(∆r2

)2

pr2 = 0

E =θ=π/2

m

(1− 2M

r

)ut

pr := mur = mgrrur = m

Σ∆ur

pφ =θ=π/2

mr2uφ

Kerr時空内において，上の関係から，12

(ur)2 − V =12

(E2 − 1

)(11.287)

を得る。但し，E = E/mであり，L = L/mとして

V =

M

r+L2

2r2+

(L2 + a2

)M

r3

− 2Ma

r3EL

+12

(a2

r2+

2Ma2

r3

)(11.288)

である。回転運動する条件

ur = 0 i.e. V =12

(1− E2

)(11.289)

∂V

∂r= 0 (11.290)

を解くと

E =

∣∣1− 2ξ ± a∗ξ3/2∣∣

∣∣1− 3ξ ± 2a∗ξ3/2∣∣1/2 , ξ =

M

r, a∗ =

a

M(11.291)

を得る。また，marginally bound radiusと呼ばれる E = 1を満たす半径が定義される。Schwarzschid holeに対しては

rmb =4Mr

= 2rg (11.292)

となり，extreme Kerr holeに対しては

rmb =M

(√2± 1

)2 (11.293)

+ は prograde orbit，− は retrograde orbit である。さらに，marginally stable orbitと呼ばれる半径も定義される。

∂2

∂r2V = 0 (11.294)

という条件から，Schwarzschid holeに対しては

rms =6Mr

= 3rg (11.295)

となり，extreme Kerr holeに対しては

rms = (5± 4)M (11.296)

+は prograde orbit，−は retrograde orbitである。このときのエネルギー E(rms)はそれぞれ

E(rms) =

23√

2 ' 0.9428 (Schwarzschild)1√3' 0.5774 (Kerr, prograde)

53√

3' 0.9623 (Kerr, retrograde)

(11.297)

と求まる51。

一般には，ISCOにおける単位質量当たりのエネルギーと角運動量はそれぞれ

EISCO =r2ms − 2Mrms + a

√Mrms

rms

(r2ms − 3Mrms + 2a

√Mrms

) (11.298)

LISCO =√Mrms

(r2ms − 2a

√Mrms + a2

)

rms


√Mrms

) (11.299)

ただし，ISCOの半径は

rms = M

3 + Z2 −√

(3− Z1) (3 + Z1 + 2Z2)

(11.300)

Z1 ≡ 1 +(1− a2

∗)1/3

(1 + a∗)

1/3 +(1− a2

∗)1/3

Z2 ≡(3a2∗ + Z1

2)1/2

The Penrose process

粒子が geodesicに沿って Kerr holeに近づいている場合を考えよう。このとき，Noether charge

E = −pµkµ (11.301)

は，軌跡に沿って一定であるということを思い出しておこう。そして，次のような過程を考える。

ergoregion内で粒子が 2つに分裂し，1つ (粒子 1)はホールの中心に落ち込み，1つ (粒子 2)は無限遠に飛んでいく。

51Schwarzschild に関して既に扱っている。

11.4 Kerr時空 83

このとき，エネルギー保存則より，

E = E1 + E2 (11.302)

但し，E1 = −~p1 · ~k，E2 = −~p2 · ~kである。もし ~kが timelikeなら E > 0であるのだが，spacelikeなら E < 0となってしまう。ところで，

~k · ~k = gtt (11.303)

であるから，gtt の符号によって ~k が timelikeか否かを決定してしまうことに注意しよう。つまり，ergosphereの内側と外側で，~kはそれぞれ，spacelike，timelikeとなっているのである。したがって，ergosphereの内側で粒子のエネルギーは負である。ところが，(11.302)から，E1 < 0は，同時に

E − E2 = E1 < 0i.e. E < E2 (11.304)

を意味している。つまり，無限遠から飛来した粒子が ergoregionで分裂してから帰っていくと，エネルギーが増えているのである。このようにして，ブラックホールのエネルギーが抽出可能であることを Penroseが指摘したのである。さて，どれだけのエネルギーをとってこれるのだろうか。

次のような変換を考える。dv = dt+

r2 − a2

∆dr

dχ = dφ+a

∆dr

(11.305)

このとき，

dt2 =(dv − r2 − a2

∆dr

)2

= dv2 − 2r2 − a2

∆dvdr +

(r2 − a2

∆

)2

dr2

dφ2 =(dχ− a

∆dr

)2

= dχ2 − 2a

∆dχdr +

( a∆

)2

dr2

dtdφ =(dv − r2 − a2

∆dr

) (dχ− a

∆dr

)

= dvdχ− 1∆

(adv + (r2 − a2)dχ

)dr +

a(r2 − a2)∆2

dr2

となるから，e = 0で (11.251) よりmetricは次のように変換される。

ds2 = −∆− a2 sin2 θ

Σdv2 + 2dvdr

− 2a sin2 θ(r2 + a2 −∆)

Σdvdχ

− 2a sin2 θdχdr + Σdθ2

+(r2 + a2)2 −∆a sin2 θ

Σsin2 θdχ2 (11.306)

Proposition 11.4.1The event horizon (r = r+) is a Killing horizon of the Killingvector52

~ξ = ~k + ΩH ~m (11.307)

where

ΩH =a

a2 + r2+=

J

2M(M2 +

√M4 − J2

) (11.308)

with surface gravity

κ+ =r+ − r−

2(r2+ + a2)=√M2 − a2

r2+ + a2=r+ −Mr2+ + a2

(11.309)

Proof of 11.4.1claim: r = r± are null hypersurfaces.(∵) The vector normal to r = r±(S) is defined by

l± = f±gµν∂S

∂xν∂

∂xµ

= f±gµr∂

∂xµ(11.310)

By lemma (11.4.0) In this case

l± = −f±(

r2± + a2

r2± + a2 cos2 θ

)(∂

∂v+

a

r2± + a2

∂

∂χ

)(11.311)

l2± ∝(gvv + 2

a

r2 + a2gvχ +

a2

(r2 + a2)2gχχ

) ∣∣∣∣∣∆=0

(11.312)

= 0 (11.313)

//

~k and ~mはともに Killing vectorなので, その線型結合もまた Killing vectorであることはいいだろう。その大きさは，

(~k + ΩH ~m

)2

= gtt + 2ΩHgtφ + Ω2Hgφφ (11.314)

=r=r+

a2 sin2 θ

Σ− 2a sin2 θ

(r2+ + a2)Σ

a

a2 + r2+

+r2+ + a2

Σsin2 θ

(a

a2 + r2+

)2

=r=r+

0

ΩH についての 2次方程式 (11.314)の判別式

D = g2tφ − gttgφφ (11.315)

= ∆ sin2 θ = (r2 − 2Mr + a2) sin2 θ (11.316)

は，horizonの外で常に正であるから，(11.314)は 2実根を持つ。

~ξ は horizon 上で future-directed な null vector であり，~p はfuture-directed timelike（あるいは null）vectorであるので，

−~p · ~ξ = E − ΩHL ≥ 0 (11.317)

i.e. L ≤ E

ΩH(11.318)

したがって，もしE < 0なら，L < 0である。つまり，ブラックホールの角運動量は減少するということになる。ブラックホールの質量変化をM + δM，角運動量変化を J + δJ で表してお

52i.e. ~ξ is Killng vector and normal to the event horizon which is null hypersurface.

84 11 BLACK HOLES

こう。今の議論で言えば，δM = E, δJ = Lである。そうすると，(11.318)，(11.308)から

δJ ≤ δM

ΩH=

2MJ

(M2 +

√M4 − J2

)δM (11.319)

ここで，

δ(M2 +

√M4 − J2

)= 2MδM +

4M3δM − 2JδJ2√M4 − J2

= 2M(

1 +M2

√M4 − J2

)δM − J√

M4 − J2δJ

=J√

M4 − J2

(2MJ

(M2 +

√M4 − J2

)δM − δJ

)

であるから, (11.319)は

δ(M2 +

√M4 − J2

)≥ 0 (11.320)

と同値である。Penrose過程によって，この量M2 +√M4 − J2

は必ず増えなければいけない。(11.320)は何を意味しているのか考えよう。

M2ir ≡

12

(M2 +

√M4 − J2

)(11.321)

とおくと，J = 0のとき，つまり Schwarzschild時空の場合は，Mir = M となっていることに注意しよう。さて，もしKerr holeの角運動量がゼロならば，それは Schwarzschild holeに他ならないのだから，角運動量を失って残る質量がMirである。この質量を，irreducible massという。そうすると，(11.320)は

0 ≤ δMir (11.322)

ということに他ならない。Black holeのパラメタが変化する際に，Mir = 0であればその変化は可逆変化だが，もし，Mir が変化してしまえば，減ることが出来ないので不可逆変化ということになる。

(11.321)より

2M2ir −M2 =

√M4 − J2

=⇒ 4M4ir − 4M2

irM2 +M4 = M4 − J2

∴ M2 = M2ir +

J2

4M2ir

(11.323)

であるが，これが Christodoulou-Ruffiniのmass formulaと呼ばれるものである。

ここで，horizonの表面積を考えてみよう。Kerr時空において，dr = dt = 0に制限したとき，部分多様体のmetricは

dl2 =(r2 + a2)2 − a2∆

Σsin2 θdφ2 + Σdθ2 (11.324)

なので，horizonの面積はこのmetricの行列式を θと φで積分したもの等しい。つまり，

A(r) =∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ

√(r2 + a2)2 − a2 sin2 θ∆sin θ

(11.325)

=√

(r2+ + a2)2∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin θ on horizon

(11.326)

したがって，

A(horizon) = 4π(r2+ + a2)

= 4π

(M +

√M2 − J2

M2

)2

+J2

M2

= 8π(M2 +

√M4 − J2

) (= 16πM2

ir

)(11.327)

であることがわかる。したがって，event horizonの表面積は減少することはない。

さて，表面積の微分を計算してみよう。dA

16π= dM2

ir = d

(12

(M2 +

√M4 − J2

))

= MdM +12

2M3dM − JdJ√M4 − J2

=(M +

M2

√M2 − a2

)dM − a

2√M2 − a2

dJ

=Mr+r+ −M dM − a

2(r+ −M)dJ

したがって，

dM =r+ −M2r+M

dA

8π+

a

2r+MdJ =

r+ −Mr2+ + a2

dA

8π+

a

r2+ + a2dJ

= κ+d

(A

8π

)+ ΩHdJ (11.328)

=~κ+

2πkBd

(kBArea+

4~

)+ ΩHdJ (11.329)

となる。お話編で登場したBlack hole版熱力学第 1法則である。Surface gravityが「温度」の役割をしていると考えることが出

11.4 Kerr時空 85

来るが，もちろん，これだけでは単に対応していると言っただけに過ぎない。Corollary 11.4.1Every energy extarction by Penrose process is limited by therepuirement that δA ≥ 0.(The second law of BH mechanics)

回転している事によってどれだけ太っているかというと，単純に質量から irreducible massを抜いた分

Erot := M −Mir = M −√

12

(M2 +

√M4 − J2

)

= M

1−

√√√√12

(1 +

√1− J2

M4

)

で定義すればよい。Extreme Kerrの場合，J = M2 より，

Erot = M

(1− 1√

2

)' 0.2929×M(c2)

ここで，Schwartzschild半径を black holeの質量で規格化した

ζ =def

r+M

= 1 +

√1− J2

M4(11.330)

を定義しておくと，

ΩH =J

2M3

(1 +

√1− J2

M4

) =J

2M3ζ(11.331)

と書ける。また，

(ζ − 1)2 = 1− J2

M4

∴ ζ (ζ − 2) = − J2

M4

であるから，

dζ =12

(1− J2

M4

)−1/2 (−d

(J2

M4

))=

12(1− ζ)d

(J2

M4

)

=1

1− ζJ2

M4

(dJ

J− 2

dM

M

)

=ζ(2− ζ)1− ζ

(dJ

J− 2

dM

M

)(11.332)

という関係がある。全く回転していない場合 ζ = 2であり，ex-treme Kerrの場合なら ζ = 1である。

角運動量を event horizonの半径で規格化した

η =def

a

r+=

J

M2 +√M4 − J2

=a∗

1 +√

1− a∗(11.333)

を定義しておく。但し，a∗ =def

a/M = J/M2である。このとき，ζ = 1 +

√1− a2∗ より

η =a∗ζ

(11.334)

である。また，event horizonの角速度は

ΩH =η

2M(11.335)

で与えられる。a∗ の時間変化は

da∗dt

=d

dt

(J

M2

)=

J

M2− 2

J

M3M

= a∗

(J

J− 2

M

M

)= a∗

1− ζζ(2− ζ)

dζ

dt

∴ 1a∗

da∗dt

=12

(1ζ− 1

2− ζ)dζ

dt

で与えられる。

Null tetrad

時空を spanする 4つの規格直交 vectorを tetradと呼ぶが，次のような nullな tetrad がしばしば用いられる。

lµlµ = nµnµ = mµm

µ = mµmµ = 0 (11.336)

lµmµ = lµm

µ = nµmµ = nµm

µ = 0 (11.337)−lµnµ = mµm

µ = 1 (11.338)

mµは複素 vectorであり，mµは complex conjugateである。これらは，次の様に変換に対して閉じている。

(1)

lµ → lµ, mµ → alµ

nµ → nµ + amµ + amµ + aalµ(11.339)

(2)

nµ → nµ, mµ → mµ + bmµ

lµ → lµ + bmµ + mµ + bbmµ(11.340)

(3)

lµ → Λlµ, nµ → 1

Λnµ

mµ → eiαmµ(11.341)

以上のような性質を満たす null tetradについて，例えば，以下のKinnersley’s null tetrad

~l →(t,r,θ,φ)

(r2 + a2

∆, 1, 0,

a

∆

)(11.342)

~n →(t,r,θ,φ)

(r2 + a2

2Σ,− ∆

2Σ, 0,

a

2Σ

)(11.343)

~m →(t,r,θ,φ)

1√2 (r + ia cos θ)

(ia sin θ, 0, 1,

i

sin θ

)(11.344)

を選ぶ事が出来る。また，metric tensorは

gµν = −lµnν − lνnµ +mµmν +mνmµ (11.345)

で与えられる。さらにKilling tensorと呼ばれる

Ξµν =def

2Σl(µnν) + r2gµν (11.346)

が定義できる。定常軸対称であることから粒子の軌道に沿って一定の定数があるが，

−E = pµξ(t)µ (11.347)

L = pµξ(φ)µ (11.348)

Q = pµpνΞµν (11.349)

と書く事が出来るのである。E, L, Qはそれぞれ energy，an-gular momentum，Cater constantである。これらの保存量で定義した

C =def

Q− (aE − L)2 (11.350)

86 11 BLACK HOLES

もよく使われる。これらを用いて粒子の運動方程式を書けば，

Σ2

(dr

dτ

)2

= P (r)2 −∆(r2 +Q

) ≡ R(r)

Σ2

(dθ

dτ

)2

= C − C + a2

(1− E2

)+ L2

cos2 θ

+ a2(1− E2

)cos4 θ ≡ Θ(θ)

Σdt

dτ= −a (

aE sin2 θ − L)+r2 + a2

∆P (r)

Σdφ

dτ= −

(aE − L

sin2 θ

)+a

∆P (r)


P (r) = E(r2 + a2

)− aL (11.351)

さらに，

dτ = Σdλ (11.352)

で定義された時間 λを用いるとさらに

(dr

dλ

)2

= P (r)2 −∆(r2 +Q

) ≡ R(r) (11.353)

(dθ

dλ

)2

= C − C + a2

(1− E2

)+ L2

cos2 θ

+ a2(1− E2

)cos4 θ ≡ Θ(θ) (11.354)

dt

dλ= −a (

aE sin2 θ − L)+r2 + a2

∆P (r) (11.355)

dφ

dλ= −

(aE − L

sin2 θ

)+a

∆P (r) (11.356)

radial, zenithal angle方向は閉じているという性質がある。また，

(t, φ, λ)→ (−t,−φ,−λ) (11.357)

という変換に対して，geodesicは不変である。

このように与えられた null tetradを用いて，独立な成分が 10個あるWeyl tensorを 5成分の複素 scalar変数で表すことが出来る。notationを al := aµl

µ などと書く事にしておくと，

Ψ0 = Clmlm (11.358)Ψ1 = −Clnlm (11.359)

Ψ2 = −12

(Clnln + Clnmm) (11.360)

Ψ3 = −Clnmn (11.361)Ψ4 = −Cnmnm (11.362)

11.4.2 Kerr-Schild座標

次に，同じKerr時空に対して異なる座標を使ってみよう。次の様な座標変換

dt′ =def

dt+2Mr

∆dr (11.363)

dφ′ =def

dφ+a

∆dr (11.364)

を施すとすぐ後で分かる様に，特異点 r = r+が取り除かれる。対応する変換行列は

[Λµµ

] →(t,φ,r,θ)

1 2Mr/∆1 a/∆

11

(11.365)

[(Λ−1

)µµ

]→

(t,φ,r,θ)

1 −2Mr/∆1 −a/∆

11

(11.366)

である。

dt2 = dt′2 − 4Mr

∆dt′dr +

4M2r2

∆2dr2

dφ2 = dφ′2 − 2a∆dφ′dr +

a2

∆2dr2

dtdφ =2Mra

∆2dr2 −

(a

∆dt′ +

2Mr

∆dφ′

)dr + dt′dφ′

then

gttdt2 + 2gtφdtdφ+ gφφdφ

2

=(z − 1)dt2 − 2za sin2 θdtdφ+A sin2 θ

Σdφ2

=(z − 1)dt′2 +A sin2 θ

Σdφ′2 − 2za sin2 θdt′dφ′

+2dt′dr

∆(za2 sin2 θ − 2Mr(z − 1)

)

+2drdφ′

∆

(2Mraz sin2 θ − aA sin2 θ

Σ

)

+dr2

∆2

(4M2r2(z − 1)− 4zrMa2 sin2 θ +

a2A sin2 θ

Σ

)

(11.367)

dt′drの係数は

za2 sin2 θ − 2Mr (z − 1) = z((r2 + a2

)2 − Σ)− 2Mr (z − 1)

= z∆

dφ′drの係数は

2Mraz sin2 θ − aA sin2 θ

Σ= a sin2 θ

[2Mrz − A

Σ

]

= a sin2 θ[2Mrz −

∆ + z(r2 + a2

)]

= −a sin2 θ (1 + z)∆

dr2 の係数は，もともとあった Σ/∆に注意して，

1∆2

[4M2r2(z − 1)− 4zrMa2 sin2 θ +

a2A sin2 θ

Σ+ ∆Σ

]

=1

∆2

[z2Σ2(z − 1) + a2 sin2 θ(1 + z)∆− 2zrMa2 sin2 θ

]

+1

∆2

[a2A sin2 θ

Σ+ ∆Σ

]

=1

∆2

[z2Σ2(z − 1) + (∆ + (z − 1)Σ) (1 + z)∆− 2zrMa2 sin2 θ

]

+1

∆2

[a2A sin2 θ

Σ+ ∆Σ

]

=1

∆2

[z∆2 + z3Σ2 + z2Σ(∆− Σ)− z2Σa2 sin2 θ

]

=z

11.4 Kerr時空 87

となる。したがって，さっきの Boyer-Lindquist座標で書かれたmetricを書き換えると，(tと φのプライムは省略して)

ds2 = gttdt2 + 2gtφdtdφ+ 2gtrdtdr

+ gφφdφ2 + 2grφdφdr + grrdr

2 + gθθdθ2 (11.368)


(gµν) →(t,φ,r,θ)

z − 1 −za sin2 θ z 0−za sin2 θ A sin2 θ/Σ −a sin2 θ(1 + z) 0

z −a sin2 θ(1 + z) 1 + z 00 0 0 Σ

(11.369)

このような座標をKerr-Schild coordinate systemと呼ぶ。成分 gtr がノンゼロなので，空間座標はもはや直交していないが，無限遠でMinkowski空間となっている。これは，r →∞でBoyer-LindquistとKerr-Schildの変換が恒等変換，つまり座標系として同じであるから当然であろう。重要なのは，先に注意したように，座標特異点は取り除かれているということである。

この座標で時空を表した場合，Lapse函数及び shift vectorはそれぞれかわってしまう。まず，上で得られたmetricから

βφ = −za sin2 θ, βr = z, βθ = 0 (11.370)

である事がわかる。また，3次元にスプリットさせた部分多様体のmetricは，

γij →(φ,r,θ)

A sin2 θ/Σ −a sin2 θ(1 + z) 0−a sin2 θ(1 + z) 1 + z 0

0 0 Σ

(11.371)

γij →(φ,r,θ)

1/Σsin2 θ a/Σ 0a/Σ A/Σ2(1 + z) 00 0 1/Σ

(11.372)

と決まるので，shift vectorが求まる。

βφ = γφφβφ + γφrβr

=1

Σ sin2 θ

(−za sin2 θ)

+a

Σz = 0 (11.373)

βr = γrφβφ + γrrβr

=a

Σ· (−za sin2 θ

)+

A

Σ2(1 + z)· z

=−z(1 + z)a2 sin2 θ + z

(Σ + (1 + z)a2 sin2 θ

)

(1 + z)Σ

=z

1 + z(11.374)

βθ = 0 (11.375)

さらに，

β2 − α2 = βrβr − α2 = gtt = z − 1 (11.376)

より，

α =1√

1 + z(11.377)

=√r2 + a2 cos2 θ√

r2 + 2Mr + a2 cos2 θ(11.378)

βi →(φ,r,θ)

(0,

z

1 + z, 0

)(11.379)

=(

0,2Mr

r2 + 2Mr + a2 cos2 θ, 0

)(11.380)

となるので，FIDOの 4-velocityは

~n →(t,r,θ,φ)

(√1 + z,− z√

1 + z, 0, 0

)(11.381)

BoyerLindquist座標で，FIDOは

vφ =2arMA

, vr = −2∆rA

, vθ = 0 (11.382)

で運動していることが分かる。したがって，Kerr-Schild FIDOは Boyer-Lindquist FIDOと同じ角速度でまわってはいるのだが，中心にある真の特異点に向かって落ち込んでいる。もはやZAMOと呼ぶに相応しくないだろう。

Fiducial observerが観測する重力は，動径方向は

gr = − ∂

∂rlnα

= −12∂

∂r(lnΣ− ln (Σ− 2Mr))

= · · · = −r2 − a2 cos2 θ

Σ(Σ + 2Mr)M

また，θ方向は

gθ = − ∂

∂rlnα

= −12∂

∂θ(lnΣ− ln (Σ− 2Mr))

= · · · = 2Mra2 cos θ sin θΣ(Σ + 2Mr)

であるから，

gi →(r,θ,φ)

(−r

2 − a2 cos2 θΣ(Σ + 2Mr)

M,2Mra2 cos θ sin θ

Σ(Σ + 2Mr), 0

)(11.383)

4次元時空と 3次元空間のmetricの determinantを計算しておこう。まず，すぐに

det(γij) =A sin2 θ

Σ(1 + z)− a2 sin4 θ(1 + z)2

× Σ

=A

Σ− a2 sin2 θ(1 + z)

sin2 θ(1 + z)Σ

= Σ2(1 + z) sin2 θ ≡ ‖γ‖ (11.384)

が計算出来るので，(11.47)より，

g = −α2‖γ‖ = −Σ2 sin2 θ (11.385)

となる。

Shift vectorの divergenceは


= βr,r + (3)Γiriβr

(∵ βθ = βφ = 0

)

= βr,r +12γij (γjr,i − γri,j + γij,r)βr

= βr,r +12γijγij,rβ

r (11.386)

88 11 BLACK HOLES

であるから，Boyer-Lindquist座標系と違って，shift vectorのdivergenceが消えずに残ってしまう。さて，(11.385)より，

θ = nµ;µ =1√−g

∂

∂xµ(√−gnµ)

= − 1Σ sin θ

∂

∂r

(Σsin θ

z√1 + z

)

= − 1Σ

2M√1 + z

+Mr

Σ(1 + z)3/2∂z

∂r

= −2MΣ2 +Mr(2r2 + Σ)Σ3/2(Σ + 2Mr)3/2

となる。同様に，shift vectorの divergenceは

βi|i =1√‖γ‖

∂

∂xi

(√‖γ‖βi

)

=1

Σ√

1 + z sin θ∂

∂r

(Σ√

1 + z sin θβr)

=1

Σ√

1 + z

∂

∂r

(zΣ√1 + z

)= − 1√

1 + znµ;µ

= 2MΣ2 + 2Mr(2r2 + Σ)

Σ(Σ + 2Mr)2

次に，Boyer-Lindquist座標をKerr-Schild座標へ座標変換したときに，どのような変換を受けるかを見てみよう。もう一度，座標変換の行列を書いておく。

[Λµµ

] →(t,φ,r,θ)

1 2Mr/∆1 a/∆

11

[(Λ−1

)µµ

]→

(t,φ,r,θ)

1 −2Mr/∆1 −a/∆

11

一般に vector ~X, one-form X に対して，X µ = ΛµνX

ν , Xµ = ΛµµXµ (11.387)

X t = Xt +2Mr

∆Xr, Xt = Xt

X φ = Xφ +a

∆Xr, Xφ = Xφ

X r = Xr, Xr = −2Mr

∆Xt − a

∆Xφ +Xr

X θ = Xθ, Xθ = Xθ

(11.388)

と変換される。

11.5 Kerr-Newman時空Kerr-Newmann時空は，black holeが角運動量 J と電荷 Qを持った場合の時空である。

Boyer-Lindquist座標を用いて書けば，

ds2 = (z − 1)dt2 − 2a sin2 θr2 + a2 −∆

Σdtdφ

+A

Σsin2 θdφ2 +

Σ∆

dr2 + Σdθ2

(11.389)

= (z − 1)dt2 − 2za sin2 θdtdφ

+A

Σsin2 θdφ2 +

Σ∆

dr2 + Σdθ2

(11.390)


z =2Mr − e2

Σ(11.391)

Σ = r2 + a2 cos2 θ (11.392)

∆ = r2 − 2Mr + a2 + e2 (11.393)

A = (r2 + a2)2 −∆a2 sin2 θ (11.394)

a =J

M(11.395)

e =√Q2 + P 2 (11.396)

であった。また，holeによって作られる電磁場は

Aµ →(t,φ,r,θ)

(−Qr

Σ,Qr

Σa sin2 θ, 0, 0

)(11.397)

である。

dω0 =def

√∆Σ

(dt− a sin2 θdφ

)

dω1 =def

√Σ∆dr

dω2 =def

√Σdθ

dω3 =def

sin θ√Σ

(r2 + z2

)dφ− adt

(11.398)

とおくと，Kerr-Newmann時空のmetricは ηµν となる:

ds2 = ηµνdωµdων = − (

dω0)2

+(dω1

)2+

(dω2

)2+

(dω3

)2

= −∆Σ

(dt− a sin2 θdφ

)2+

∆Σdr2 + Σdθ2

+sin2 θ

Σ((r2 + z2

)dφ− adt)2

(11.399)

Kerr-Newman 時空における質量 m，電荷 e の粒子に対するHamilton-Jacobi方程式

gµν(∂S

∂xµ− eAµ

)(∂S

∂xν− eAν

)+m2 = 0 (11.400)

から，r4 + a2

(r2 + 2Mr −Q2

)E2

− 2(

2Mr −Q2)apφ + eQr

(r2 + a2

)E

− (∆− a2

)p2φ + 2eQrapφ + e2Q2r2

−∆(m2r2 + q

)−∆2p2r = 0

が得られるのであった。E = −pt, pφ,m, qは軌跡に沿って一定である。ここで，

X := r4 + a2

(r2 − 2Mr −Q2

)

Y := (2Mr −Q2)/X

とおくと，charge neutralな粒子に対して，

XE2 − 2XY apφ · E −(r2 − 2Mr +Q2

)p2φ

−

(m2r2 + q)∆ + (pr∆)2

= 0 (11.401)

である。E について解くと

11.5 Kerr-Newman時空 89

♣ ♣ ♣ ♣ ♣

E = Y apφ +√Y 2a2 +X−1 (r2 − 2Mr +Q2) pφ2 +X−1

(m2r2 + q)∆ + (pr∆)2

(11.402)

♣ ♣ ♣ ♣ ♣

Eは粒子の軌跡に沿って一定であるので，horizon上の値で評価しても構わない。horizon上では∆ = r2+−2Mr+ +a2 +Q2 = 0であるから，

X+ =

(r2+ + a2

)2

Y+ =1

r2+ + a2( ∴ aY+ = ΩH )

(11.403)

となる。この時，

Y 2+a

2 +X−1+

(r2+ − 2Mr+ +Q2

)

=a2

X++

1X+

(−a2 −Q2 +Q2)

= 0

となって消えてしまう。但し，

pr∆ = grµpµ∆ = grrp

r∆ = Σpr

∴ (pr∆)+ = Σ+pr+ 6= 0


E = Y+apφ +√X+

−1(pr∆)+2

= ΩHpφ +X+−1/2 |(pr∆)+|

= pφΩH +Σ+

2

r+2 + a2|pr+| (11.404)

を得る。charged particle (w/ e)の場合は，

E =1

r2+ + a2((apφ + eQr+) + Σ+|pr|) (11.405)

となる。

horizonの表面積は，r = r+, ∆ = 0であるから，

Area(r=r+) =∫ π

0

dθ

∫ 2π

0

dφ(r2+ + a2

)sin θ

=(r2+ + a2

) ∫ π

0

dθ sin θ∫ 2π

0

dφ

= 4π(r2+ + a2

) (= 4πA+

1/2)

である。Kerr時空の場合と異なるのは horizonの位置である:

r+ = M +√M2 − a2 −Q2 (11.406)

したがって表面積は

Area(r=r+) = 8π(M2 − Q2

2+

√M4 − J2 −M2Q2

)

(11.407)

となる。

pr = 0の粒子に対して，(11.405)から，

E =1

r2+ + a2(apφ + eQr+) (11.408)

であるから，このような粒子がフワッとソフトに hole内に入っていくとき，

E = δM, pφ = δJ, e = δQ

と同定してもよいだろう。また，holeに入るエネルギーの下限値と考えられるので，

δM ≥ 1r2+ + a2

(aδJ + r+QδQ) (11.409)

=1

r2+ + J2/M2

(JδJ

M+ r+QδQ

)

∴ MδM ≥ M2

M2r2+ + J2(JδJ +Mr+QδQ)

ここで

0 = ∆+ = r2+ − 2Mr+ + a2 +Q2

∴ M2r2+ + J2 =(2M +Q2

)M2

より，

MδM ≥ JδJ

2M +Q2+Mr+QδQ

2M +Q2

という関係にあることがわかった。

Kerr 時空の時に定義した irreducible mass Mir をここでも同様に，

Mir =def

12

√r2+ + a2 (11.410)

と定義すると，r+ = M +√M2 − a2 −Q2 だから

Mir =12

√(M +

√M2 − a2 −Q2

)2

+ a2

=12

√2M2 −Q2 + 2

√M4 − J2 −M2Q2

90 11 BLACK HOLES

である。Mir の変分は

2δMir =12

1√2M2 −Q2 + 2

√M4 − J2 −M2Q2

×[(

4M +4M3 − 2MQ2

√M4 − J2 −M2Q2

)δM

+−2J√

M4 − J2 −M2Q2δJ

+

(−2Q+

−2QM2

√M4 − J2 −M2Q2

)δQ

]

=1

4Mir×

[2M2 −Q2 + 2

√M4 − J2 −M2Q2

√M4 − J2 −M2Q2

2MδM

− 1√M4 − J2 −M2Q2

2JδJ

− M2 +√M4 − J2 −M2Q2

√M4 − J2 −M2Q2

2QδQ

]

=1

4Mir×

[4Mir

2

Mr+ −M22MδM − 1

Mr+ −M22JδJ

− r2+ + a2 +Q2

Mr+ −M22QδQ

]

=Mir

Mr+ −M2

[2MδM − 2J

4M2ir

δJ − r2+ + a2 +Q2

4M2ir

QδQ

]

=2Mir

r+ −M[δM − a

r2+ + a2δJ − 1

2M2Mr+r2+ + a2

QδQ

]

=2Mir

r+ −M[δM − a

r2+ + a2δJ − r+Q

r2+ + a2δQ

](11.411)

であるから，(11.409)という変化に対して，

δMir ≥ 0 (11.412)

つまり，減少しない。等号が成り立つ様な変化を，Christodoulouは可逆変化と名付けた。また，(11.411)は，

δ(M2ir) =

2M2ir

r+ −M[δM − a

r2+ + a2δJ − r+Q

r2+ + a2δQ

]

∴ δM =r+ −M

2M2ir

δ(M2ir) +

a

r2+ + a2δJ +

r+Q

r2+ + a2δQ

右辺第 1項の係数は

r+ −M2Mir

2= 2

r+ −Mr+2 + a2

=

√M2 − J2

M2 −Q2

M

(M − 1

2Q2

M +√M2 − J2

M2 −Q2

) ≡ 2κ+

であり，また，irreducible massと horizonの表面積の関係が

M2ir =

14

(r2+ + a2

)=

Area+

16π

となることから，

δM = κ+δArea+

8π+

a

r2+ + a2δJ +

r+Q

r2+ + a2δQ


SBH =def

Area+

4~=

2π~

(M2 − Q2

2+

√M2 − J2

M2−Q2

)

(11.413)

TBH =def

~κ+

2π=

~√M2 − J2

M2 −Q2

4πM(M2 − Q2

2 +√M2 − J2

M2 −Q2

)

(11.414)

とおけば，

δM = TBHδSBH + ΩHδJ + ΦδQ (11.415)

となる。(11.412)により，SBHは非減少函数であり，black holeのエントロピーと定義されるものである。もちろん，熱力学的なエントロピーとの関係は明らかではない。

Kerr-Newmann時空の場合の Christodoulou-Ruffini mass for-mulaを導いておこう。

2Mir =

√(M +

√M2 − a2 −Q2

)2

+ a2

⇐⇒ 4M2ir +Q2 − 2M2 = 2

√M4 − J2 −M2Q2

∴ 16M4ir +Q4 + 4M4 + 8M2

irQ2 − 16M2M2

ir − 4M2Q2

= 4M4 − 4J2 − 4M2Q2

∴ 16M4ir + 8M2

irQ2 +Q4 + 4J2 = 16M2M2

ir

∴(4M2

ir +Q2)2

+ 4J2 = 16M2M2ir

したがって，

M2 =(Mir +

Q2

4Mir

)2

+J2

4Mir2

(11.416)

となる。black holeの質量への，電荷と角運動量の寄与があるという事である。マスによって重力場が決定されるわけであるから，電荷によって重力場が出来るという事でもある。

11.6 その他の時空Schwarzschild解も Reissner-Nordstrøm解も球対称性を仮定していた。この制限を取り除くと，Einstein方程式はどのような解を持つことになるのであろうか。球対称ではないが，軸対称な解がWeylによって発見された。Weyl時空を作り出す物体は回転していない。星は通常回転することによって球対称からずれるわけだが，Weyl時空を作る天体は回転していないのに，球対称からずれた物体ということになる。その意味で，Weyl解は天体物理学的にはあまり重要でない。ところで，もっと注目すべき性質がある。それは，Weyl解の特異性が horizonの外にあるということである。これを裸の特異点と呼ぶが，少し考えるととっても奇妙である。特異点では，曲率が無限大になっており，量子効果を含まない古典的な一般相対性理論が破れてしまう。Penroseはこれをすごく気持ち悪く思い，「裸の特異点なんてないはずやん」という仮説を立てた。これが宇宙検閲官仮説（cosmic censorship conjecture）というものである。検閲官は，特異点が horizonの外へ出ないように見張っているというのである。もちろん，願望であって証明されたものではない。たとえば，Black holeの蒸発（Hawking radiation）の後では，裸の特異点が残る可能性も否定出来ていない。53

53Black holeが消滅した後に何が残るかということは分かっていない。完全に消滅する，Planck質量の Black holeが残る，裸の特異点が残る，質量が負の特異点が残るなどの可能性がある。

11.7 Black hole 熱力学 91

宇宙検閲官仮説が正しければ，Black Holeのパラメタは質量，角運動量，電荷しか持てないのだが，仮説と言っているくらいで正しいかどうかなんて分からない。したがって，毛が 3本以上ある解を調べることに意味はあるだろう。そのような解が 1972, 73年に京大の佐藤・冨松により発見された（Tomimatsu-Sato解）。彼らがやったことは，Weyl解に回転を加えるというものであった。これでBlack holeは質量，角運動量，歪み (δ)の３つのパラメタを持つことになる。興味深いことに，δ = 1の解はKerr解に一致するのである。さらに，この holeが電荷を持てば，いよいよ毛が 4本ということになる（Tomimatsu-Sato-Ernst解）。

TSE解は no hair theoremに反するが，その前提条件である「裸の特異点が存在しないこと」が成り立っていないので，別に構わない。裸の特異点は赤道面内に存在し，horizonの外側と内側にそれぞれ存在していて，しかも静止限界の上に乗っている。特異点のリングの個数は δに等しい。

11.7 Black hole 熱力学場の量子論によれば，∆τ ·∆E ' ~を満たす時間∆τ の間であれば，真空の揺らぎによって生成される粒子・反粒子の対は存在できる。以下では，粒子のエネルギーが εl, もう片方が−εlの粒子対の揺らぎを考えよう。平坦な空間では負エネルギー粒子は実在の粒子とはなり得ない (on shell条件を満たさない，virtual粒子)のだが，horizon内部では実在の粒子になり得る (on shell条件を満たす)。

Schwarzschild半径近傍 (r = 2M + ε)でmassless粒子対が生成した場合を考える。また，エネルギーを，自由落下する粒子のcomoving frameで評価する。

uµ → (u0, 0, 0, 0) , u0 = −E (11.417)

粒子軌道の方程式は

(dr

dτ

)2

= E2 −(

1− 2Mr

) (1 +

L2

r2

)(11.418)

である。いま，comoving系で観測しているから

dr

dτ= L = 0, r = 2M + ε

として

0 = E2 −(

1− 2M2M + ε

)

∴ E (= −u0) '( ε

2M

)1/2

(11.419)

を得る。もとの座標系に戻って，経過時間を求めるよう。

∆τ = −∫ M

2M+ε

(E2 − 1 +

2Mr

)−1/2

dr

=∫ 2M+ε

2M

(− 2M

2M + ε+

2Mr

)−1/2

dr

=∫ 2M+ε

2M

(2M

2M + ε

)−1/2 (2M + ε

r− 1

)−1/2

dr

=

√2M + ε

2M

∫ 1+ ε2M

1

2M + ε

x2√x− 1

dx

(x ≡ 2M + ε

r

)

積分は[√

x− 1x

+ arctan√x− 1

]1+ε/2M

1

=1

1 + ε/2M

√ε

2M+

√ε

2M−

( ε

2M

)3/2

+ · · ·

'(1− ε

2M

) √ε

2M+

√ε

2M' 2

√ε

2M


∆τ ' (2M)3/2√2M

(1 +

32

√ε

2M

)· 2

√ε

2M' 2√

2Mε (11.420)

したがって，注目している局所慣性系 (comoving frame)は，この時間の経過後 horizonの中に入っているとしてよい。つまり，この時間∆τ を， εl∆τ ' ~の時間と同定しても構わない。

そうすると，

εl ' ~∆τ' ~

2√

2Mε

であるが，一方，

εl = −pµuµ = −g00p0u0 ' −g00E

√ε

2M(11.421)

なので，

−2g00Eε ∼ ~ (11.422)

ここで，r = 2M + εにおいて g00 は，

g00(r = 2M + ε) = −(

1− 2M2M + ε

)−1

' −(1−

(1− ε

2M

))−1

= −2Mε

であるから，

E ' ~4M

(11.423)

を得る。このエネルギーEは軌道に沿って保存するので，無限遠方で観測されるエネルギーに等しい。「温度」を kBT = Eによって定義すれば，

T =~c3

4kBGM∝ 1M

(11.424)

となる事が分かる (c,Gを元に戻した)。このように定義された「温度」が black holeの質量に反比例するということに注意しよう。

この性質だけならもっとシンプルに導いてこれる。Heisenbergの不確定性原理から，Schwarzschild 半径程度の揺らぎと運動量は

kBT

c· rg ≤ ~ ∴ T ≤ ~c3

2kBGM(11.425)

を満たしていなければならない。

次に，black holeが生成される過程で，massless粒子が中心を通り抜ける過程を考えよう。この粒子は，Klein-Gordon方程式の解が表す量子場として表現される。

無限遠 (T−)から，collapseしつつある holeの中心に向かって飛んできた粒子が，また無限遠 (T+)に戻っていく事を考えるが，T−をMinkowski時空，T+を Schwarzschild時空として扱

92 11 BLACK HOLES

う。これらの時空内のKlein-Gordon方程式の解 φ(x)は，それぞれ異なる基底で展開しなければならない。

T− では，

ηµν∂µ∂νφ(x) = 0 (11.426)

であるのに対し，T+ では，

gµν∇µ∇νφ(x) = 0 (11.427)

となるため，(11.426)の解の完全系 ψω(x), ψω∗(x)を用いた，

φ(x) =∑ω

(aωψω(x) + aω∗ψω∗) (11.428)

(11.427)の解の完全系 χω(x), χω∗(x)を用いた，

φ(x) =∑ω

(bωχω(x) + bω∗χω∗) (11.429)

そして，それらを量子化した

φ(x) =∑ω

(aωψω(x) + aω∗ψω∗) (11.430)

φ(x) =∑ω

(bωχω(x) + bω

∗χω∗)

(11.431)

a, a†

,b, b†

はそれぞれの時空での生成消滅演算子の組で

あるが，ψ 6= χなので 2つの場の演算子 φ(x)が一致するためには，

a 6= b, a† 6= b†

でなければならない。また，T− における真空状態 |0M 〉は，a|0M 〉 = 0 (11.432)

で定義されるが，一般的にこの真空に対して

b|0M 〉 6= 0 (11.433)

である。つまり，T−における真空と，T+における真空は一致しないのである。

Minkowski時空における場の量子論同時交換条件

[ϕ(t,x), ϕ(t,x′)] = [π(t,x), π(t,x′)] = 0 (11.434)

[ϕ(t,x), π(t,x′)] = iδ3(x− x′) (11.435)

[ak, ak′ ] = [ak†, ak′

†] = 0 (11.436)

[ak, ak′†] = δkk′ (11.437)

vacuum |0M 〉は次の関係を満たすものとして定義される:

ak|0M 〉 = 0 (11.438)

| Nk〉 =def

∏

k

1√Nk

(ak†)|0M 〉 (11.439)

Nk =def

ak†ak (11.440)

Nk|Nl〉 = Nk|Nl〉 (11.441)

[Nk, ak] = −ak, [Nk, a†k] = a∗k

Schwarzschild時空における場の量子論

KG方程式の複素解の完全系 ψI(x), ψI∗(x)が仮に見つかったとする。前に定義した内積は，非Minkowski時空において

〈ϕ1|ϕ2〉 = −i∫

Σ

ϕ1∗(x)

↔∂µϕ2(x)

√−g(x)dΣµ

= −i∫

Σ

(ϕ1∗ϕ2,µ − ϕ1,µ

∗ϕ2)√−gdΣµ

と一般化され，しかも Σのとり方に依らないことも示される。

Minkowski時空では。1粒子波動函数をエネルギーと運動量の固有函数として一意に決定することが出来たが，一般に曲がった時空では同時刻の異なる点にある vectorを一意に加える事は出来ない。つまり，ψI(x) を決定する自然な条件が見つからず，Klein-Gordon 方程式を満たす場の量子論を議論する事は出来ない。

場の量子論では interactionがある場合，その相互作用の詳細に触れることはせず，interactionの前後の asymptotical worldという概念を用いてうまく処理したことを思い出そう。S-matrix。

ここでは，時空が平坦になるような asymptoticalなものを考える。実際以下で見るように，Schwarzschild時空においてKlein-Gordon方程式は r →∞で適切な漸近解を持っていて，漸近領域では自然な粒子描像を構成できる。

r ≡ r + 2M ln∣∣∣ r

2M− 1

∣∣∣ (11.442)

とおくと，

∂2

∂r2R′(r) +

[ω2 −

(`(`+ 1)r2

+2Mr2

)(1− 2M

r

)]R′(r) = 0

但し，R′(r) ≡ r ×R(r)である。r →∞で

∂2

∂r2R′(r) + ω2R′(r) = 0 (11.443)

なので

R(r) =R′(r)r∼ 1r

(Cωe

−iωr + C∗ωeiωr

)(11.444)

したがって，r →∞の極限で

ϕ ∼∑

ω,`,m

1r

(Aωe

−iωt +A∗ωeiωt

)

× (Cω`e

−iωr + C∗ω`eiωr

)B`mY`m (11.445)

と漸近する。Minkowski時空でやったように，新しく

Dω` := AωCω`, Eω` := AωC∗ω`

u := t− r, v := t+ r

χω`m(u) ≡ Gω`m1re−iωuY`m

χω`m(v) ≡ Gω`m1re−iωvY`m

(11.446)


とおけば，

ϕ(x) =∑

I

(bIχI(x) + b∗Iχ∗I(x)) (11.447)

と書く事が出来る。さらに，

b, b∗ → b, b†

として，

[bI , bJ ] = [b†I , b†J ] = 0 (11.448)

[bI , b†J ] = δIJ (11.449)

をおけば形式的に曲がった時空での場の量子論を構成出来る。

ψI(x), ψ∗I (x)が完全系を張るとすれば，

φ(x) =∑

I

(aIψI(x) + a†Iψ

∗I (x)

)(11.450)

と展開出来る。一方，χI(x), χ∗I(x)も完全系を張るとすれば，

φ(x) =∑

I

(bIχI(x) + b†Iχ

∗I(x)

)(11.451)

と展開出来る。aI , a†I は t→ −∞の極限で量子数 I ≡ (ω, `,m)の粒子を生成および消滅させる演算子であり, bI , b

†I は t→∞

で量子数 I の粒子を生成および消滅させる演算子である。

ここで，

χI =∑

J

(αIJψJ + βIJψ∗J) (11.452)

と書けると仮定してみる。この時，

χ∗I =∑

J

(α∗IJψ∗J + β∗IJψJ) (11.453)

であるから，M+ で展開すると，

φ(x) =∑

I,J

(bI (αIJψJ + βIJψ

∗J) + b†I (α∗IJψ

∗J + β∗IJψJ)

)

=∑

I,J

(bIαIJ + b†Iβ

∗IJ

)ψJ +

(b†Iα

∗IJ + bIβIJ

)ψ∗J

となる。これをM− で展開したものと比較して，

aJ =∑

I

(bIαIJ + b†Iβ

∗IJ

)(11.454)

a†J =∑

I

(b†Iα

∗IJ + bIβIJ

)(11.455)

という関係にあることがわかった。このような異なる真空上で定義された生成消滅演算子の変換をBogolubov変換と呼んでいる。もし，αIJ 6= 0, βIJ 6= 0ならば，生成消滅演算子が混ざり合うことになる。

M− での真空 |0M 〉は

bI |0M 〉 =∑

J

(α∗IJ aJ |0M 〉 − β∗IJ a∗J |0M 〉)

= −∑

J

β∗IJ a†J |0M 〉 6= 0 (11.456)

であるから，Schwarzschild時空では真空となっていない事が分かる。もっと言えば，Schwarzschild時空での個数演算子 NI(S) ≡b†I bI を |0M 〉ではさんで，

NI = 〈0M |NI(S)|0M 〉 = 〈0M |b†I bI |0M 〉= 〈0M |

∑

J

(a†JαIJ − aJβIJ

) ∑

K

(aKα

∗IK − a†Kβ∗IK

)|0M 〉

= 〈0M |∑

J

(a†JαIJ − aJβIJ

) (−

∑

K

β∗IK a†K

)|0M 〉

=∑

J,K

〈0M |βIJβ∗IK aJ a†K |0M 〉

=∑

J,K

βIJβ∗IKδJK =

∑

J

|βIJ |2 (11.457)

であるから，実際に粒子生成が起こっているという事が分かる。

重力崩壊によって変化している時空でどのように起こるのであろうか。最も簡単な場合として，ある瞬間まではMinkowski時空であり，それ以後Schwartzschild時空になっていると話を単純にした場合を考える事は出来る。つまり，光子がMinkowski時空内の null geodesicに沿って運動し，ある瞬間に Schwartzschild時空内の null geodesicに連続的に移るとする。Minkowski時空から Schwarzschild時空に変る瞬間は，動径座標で無限遠に飛来していく途中で起こるものとする。もし，中心に到達する前に Schwarzschild時空になっていたとすると，event horizon内から出て来れない。

無限遠からの中心へ: 考えている光子の波束は

v = const. (11.458)

を満たしながら運動している。

中心から無限遠へ in Minkowski 時空: 考えている光子の波束は

u = const. (11.459)

を満たしながら運動している。先ほどの測地線と連続でなければならないので，

v = u (11.460)

である。

Switch On: Schwartzschild時空内のnull geodesic (out-going)に移る。

u = const. (11.461)

を満たしながら運動している。

ここで，Kruskal座標 U, V を導入しよう。U ≡ −4Me−u/4M

V ≡ 4Mev/4M(11.462)

定義より，

u = t− r − 2M log∣∣∣ r

2M− 1

∣∣∣

= −4M log(− U

4M

)

94 11 BLACK HOLES

であるから，r ' 2M で

r − 2M = −kU +O(U2) (11.463)

である。さて，

dU = −4Me−u/4M(− 1

4M

)du = − 1

4MUdu

より，

−4MU

dU =r

r − 2Mdu ' −2M

kUdu (r ' 2M)

∴ dU =12kdu

∴ U =12ku+ Ci

∴ u = −4M log(− 1

8Mku− Ci

4M

)

右辺の uは中心からバックして Schuwartzschild時空に変化するまでの座標であるから，中心に向かう間の座標 vの値に等しい。

u = −4M log(− 1

8Mkv − Ci

4M

)

ここで，

limv→v′

u = limr→2M

u =∞ (11.464)

より，

limv→v′

(− 1

8kMv − Ci

4M

)= 0

∴ − Ci4M

=1

8kMv′

でるから，

u = −4M log(− 1

8kM(v − v′)

)(11.465)

= −4M

log(−v − v

′

2

)+ log

(1

4M

)(11.466)

Hawking radiation

χI =∑

J

(αIJψJ + βIJψJ∗) (11.467)

という関係にあれば，βIJ 6= 0なら

〈0M |NI(S)|0M 〉 =∑

J

|βIJ |2

であるから，この βIJ について詳しく調べてみたい。

中心に向かっていく粒子は内向き球面波がメインと考えられるから，

ψI = ψω`m(v) = Fω`me−iωv

rY`m(θ, φ) (11.468)

とおき，散乱される粒子は外向き球面波がメインとなるため，

χI = χω`m(u) = Gω`me−iωu

rY`m(θ, φ) (11.469)

ととっておく。これらを (11.467)に代入して

*********************************************

Gω`me−iωu

rY`m(θ, φ) =

∑

ω′`′m′

αω`mω′`′m′Fω′`′m′

e−iω′v

rY`′m′ + βω`mω′`′m′Fω′`′m′

eiω′v

rY`′m′

(11.470)

さらに簡単の為，完全に球対称で入射すると仮定しよう。`,mの異なる波が互いに混じり合う事はなく，上の式で球面調和函数もとれる:

ψω = Fωe−iωv

r, χω = Gω

e−ωu

r(11.471)

この時，

Gωe−iωu

r=

∫ ∞

0

dω′(αωω′Fω′

e−iω′v

r+ βωω′Fω′

eiω′v

r

)(11.472)

これに，e−iω′′v を乗じて

Gωe−iωu−iω

′′v

r=

∫ ∞

0


e−i(ω′+ω′′)v

r+ βωω′Fω′

ei(ω′−ω′′)v

r

)

両辺を vで積分すると

(R.H.S.) =∫ ∞

0

dv

∫ ∞

0

dω′ =∫ ∞

0


e−i(ω′+ω′′)v

r+ βωω′Fω′

ei(ω′−ω′′)v

r

)

= 2π∫ ∞

0


δ(ω′ + ω′′)r

+ βωω′Fω′δ(ω′ − ω′′)

r

)

= 2πβω′ω′′Fω′′1r


一方, 左辺は，

(L.H.S.) =∫ ∞

−∞dv Gω

e−iωu−iω′′v

r=

∫ ∞

v′dv Gω


r+

∫ v′

−∞dv Gω


r

=∫ ∞

v′dv Gω


r

したがって，

βω′ω′′ =Gω

2πFω′′

∫ ∞

v′dv Gω


r(11.473)

を得る。全く同様にして (11.472)に e+iω′′v を乗じて, vで積分する事により

αω′ω′′ =Gω

2πFω′′

∫ ∞

v′dv Gω

e−iωu+iω′′v

r(11.474)

を得る。ここで，(11.473)に (11.466)を代入して，

βωω′ =Gω

2πFω′

∫ v′

−∞dv exp

[4iωM log

(v′ − v2M

)+ 4iωM log

(14k

)− iω′v

]≡ Gω

2πFω′S (11.475)

被積分函数は Gauss平面下半分で正則であるから, グルッとまわって，∞から v′ までの積分になる。

S =∫ v′

∞dv exp [· · · · · · ]

=w=2v′−v

−∫ v′

−∞dw exp

[4iωM log

(w − v′2M

)+ 4iωM log

(14k

)+ iω′w − 2iω′v′

]

= −∫ v′

−∞dw exp

[4iωM

(iπ + log

(v′ − w2M

))+ 4iωM log

(14k

)+ iω′w − 2iω′v′

]

= −∫ v′

−∞dw e−4ωπMe4iωM log v′−w

2M e4iωM log 14k eiω

′w−2iω′v′

= −e−2iω′v′−4ωπM

∫ v′

−∞dw e4iωM log v′−w

2M +4iωM log 14k +iω′w

改めて wを vで書くと，

S = −e−2iω′v′−4ωπM

∫ v′

−∞dv e

iω4Mhlog v′−v

2M +log 14k

i+iω′v

= −e−2iω′v′−4ωπM

∫ v′

−∞dv e−iωu+iω′v =

(11.474)−e−2iω′v′−4ωπM × 2πFω′αωω′

Gω

*********************************************

したがって，

βωω′ = −e−2iω′v′e−4ωπMαωω′

∴ |βωω′ |2 =1

e8πωM|αωω′ |2 (11.476)

という関係が成り立つ。(11.457)で示したように，Bogolubovcoefficient βIJ の値が粒子生成を意味するが，black holeの質量M に応じた βIJ , αIJ が定まっているという事になる。正規

直交基底の条件

〈χI |χJ〉 =

⟨∑

K

(αIKψK + βIKψ∗K)

∣∣∣∣∣∑

L

(αJLψL + βJLψ∗L)

⟩

=∑

K,L

(α∗IKαJL〈ψK |ψL〉+ α∗IKβJL〈ψK |ψ∗L〉

β∗IKαJL〈ψ∗K |ψL〉+ β∗IKβJL〈ψ∗K |ψ∗L〉)

=∑

K

(α∗IKαJK − β∗IKβJK)

= δIJ

から，∫dω′

(|αωω′ |2 − |βωω′ |2

)= 1 (11.477)

96 11 BLACK HOLES

を得る。したがって，(11.476)を代入して，∫dω′

(e8πMω − 1

) |βωω′ |2 = 1

i.e.∫dω′ |βωω′ | = 1

e8πMω − 1

となる。ところが，これはNω に等しいのであるから，

Nω =1

e8πMω − 1(11.478)

指数の次元を考えて，

8πMω → 4πω2GMc2

→ 4πω2GMc3

右の変換は指数を無次元にするためである。さて，結局，

Nω =1

e8πGMω/c3 − 1(11.479)

が得られたわけであるが，これに対応する温度 T は1

e8πGMω/c3 − 1≡ 1e~ω/kBT − 1

(11.480)

と対応しているので，

T =~c3

8πkBGM=

(~ckB

)12π

GM

rg(11.481)


ブラックホールの蒸発

温度 T，表面積 Aの黒体輻射

L = σBT4 ·A =

π2

60~3c2(kBT )4 ·A (11.482)

がブラックホールの質量からまかなわれているとすると，

−dMc2

dt= L (11.483)

であるから，表面積を単純に 4πrg で estimateすると

−dMdt

=π2

60~2c4

(~c3

8πGM

)4

· 4π(

2GMc2

)2

= · · · = ~c4

15360π(GM)2=

c2

15360π~2M2m4

pl

したがって，質量の初期値をMinit. とすると

Minit.3 −M3 =

m4plc

2

5120π~t (11.484)

であるから，M = 0となる時刻は

t = 5120π~(Minit.

mpl

)3

tpl (11.485)

∼ 1.50× 1066

(M

M¯

)3

yr (11.486)

となって，太陽質量程度のブラックホールが蒸発するのに，宇宙年齢の 13.7Gyrに較べて長過ぎるにも程がある。逆に，10Gyr程度で消滅するには

M ∼ 2× 1012 g

程度の質量でなければならない。

11.7.1 Generalized 2ND Law

Hawking radiationによって，black holeのもつエネルギーが引き出せるという事が分かった。しかし，これは，表面積定理に矛盾するものではないのであろうか。horizonの表面積は，熱力学の entropyと形式的に同一視され，それは則ち熱力学第 2法則ののたまう非減少量というものではなかったのか。

このように考えるのは実は正しくない。というのは，entropyがnon-decreasingなのは，系全体として考えた場合であるからである。今の場合，black holeとその外側の時空の「合成系」が全体として閉じた系であるから，全体として entropyが増えていれば何も問題ないのである。

外の時空の entropyと holeの entropy(とは言っても表面積)を結ぶ概念が次の Shannon Entropyである。

S = −∑n

pn log pn (11.487)

無次元なので，kB = 1と思えばよい，pn は n番の状態が実現する確率であり，S は不確定さあるいは情報の欠如を表すものである。大雑把に言えば，Sは自由度の数 (状態数)のようなものである:

S =∑n

pn log1pn≥ log

(∑n

pn · 1pn

)

= log

(∑n

1

)= log n (11.488)

また，系のエネルギーが一定であるなら (11.487)で定義されたS を極大にする pn はカノニカル分布

pn =e−En

Z(β)(11.489)

である。

「新しい情報 (∆I)が加わる」という事を，「確率に制限 (条件)を与える」という事に置き換えて考えて

∆I =def−∆S (11.490)

情報追加によって不確定さが減少するので，それに伴うエントロピーの変化 (減少)で情報のエントロピーを

:::::::::定義する (Brillouin’s

identification of information with negative entropy)。例えば，理想気体を等温的に圧縮するとエントロピーは減少するが，動き回る範囲をより限定したために，粒子の位置の圧縮前より正確な情報を得たと解釈される。また，熱平衡状態にないエントロピーが平衡状態に向かって増大するのは，時間発展しながら初期条件を失って (配位の情報が失われていく)，初期条件によらないマクロ的に指定された状態に移行するということで理解される。つまり，

∆S = −∆I > 0

情報の最小単位として，「yes-no問題」の答として得られるものと定義しよう。通常この単位を bitと呼んでいる。yesか noで答えられる質問に対して，もっとも不確定な状態は，

pyes = pno =12

(11.491)


であるが，この時エントロピーは

S =(−1

2log

12

)× 2 = log 2 (11.492)

熱力学の類似として，「熱力学的平衡状態」の black hole を，M,J,QをもつKerr-Newmann hole とする。複数の同じ「平衡状態」にある，つまり同じM,J,Qである black holeであっても「内部状態」はそれぞれ異なると思う事にする。もちろん，具体的には「内部状態」なんて何とも考えようがないが，同じ(M,J,Q)をもつholeの「内部状態」が同じである必然性はない。

熱力学的なエントロピーは

初期条件を失いながら (=情報を失いながら=エントロピー増大)，平衡状態へ到達する

Black holeのエントロピーは

崩壊の過程で情報を失って (=毛がバラバラ抜けながら)，「平衡状態」へ到達する

というアナロジーで話を進めていくことにする。ただし，最初に注意したように，熱力学の話では系に何らかの作用を及ぼして (情報を取り出す事で)，系のエントロピーを抜き出すことができたが，black holeの場合はそうはいかない。

このように考えた時に，「どれだけの情報が得られるか」を測る量としてエントロピーを導入するのは自然だろう。このエントロピーは同じ (M,J,Q)を持つ複数の black holeの同値類を指定するようなものである。

Black holeの古典的な取り扱いでみたように，SBHは event hori-zonの表面積に比例するが，より一般的に，単調増加函数 f を用いて，

SBH = f(α) α =14πA (11.493)

としておこう。Aは event horizonの表面積である。Penrose過程のように，

f(α) = kα (k : const.) (11.494)

という場合について，2つの black hole BH1とBH2が衝突・合体して 1つの black holeになる事を考えてみる。エントロピーは加法的であるから, coalescenceが起こる前のエントロピーは

f(α(1)

)+ f

(α(2)

)= k

(α(1) + α(2)

)

である。mergingして時間経過したのち，「平衡状態」へ到達したと考えれば，エントロピーが定義でき, 増大則から

SBH(1) + SBH

(2) ≤ SBH

i.e. α(1) + α(2) ≤ α

となって，表面積が増大していることになって無矛盾である54。

Sの次元は元々ないので，[k] = cm−2でなければならない。古典的相対論の定数G, cからはどうやっても作られない。~を使う事によってのみ作る事が出来る。

[~] = erg · s = g · cm2 · s−1

であるから，G = c = 1という単位系では

[~] = cm2

で長さの次元が得られる55。したがって，k を改めて無次元の値と思って，

f(α) = k~−1α (11.495)

Kerr-Newmann holeに粒子が入射していく場合，holeの質量が増加するためにエントロピーが増加すると考えられる。情報エントロピーの側面から考えれば，その増加は情報量の損失と言い換えられるが，その失われた情報量 (inaccessible information)はどのように定量できるであろうか。この点を考える上で重要なのは，失われる情報量の下限値である。もっとも少なく見積もってどれほど情報が減るのかという事だけでも分かれば，エントロピーの増加量の最小の値が評価出来るであろうと期待できる。

一番小さい情報は「その粒子は存在しますか，しませんか？」であろう。Holeに入る前は，もちろんYes!!であるが，BHに入った後はその存在すら分からない。したがって，最も少なく見積もっても，1ビットの情報を失ったと考えてよい。

「半径」が bで rest massがmの粒子56が入射した時に，BHのエントロピーがどれだけ増加するか見積もってみよう。

(11.402)

b =∫ r++δ

r+

dr√grr =

∫ r++δ

r+

dr

√r2 + a2 cos2 θ√

r2 − 2Mr + a2 +Q2

=∫ r++δ

r+

dr

√r2 + a2 cos2 θ√

(r − r−)(r − r+)

ただし δ ¿ r+ − r− であるとする。r − r+ = x とおくと，numeratorは

(Σ+

2 − 2r+x+ x2)1/2

= Σ+1/2

(1− 2r+x

Σ++

x2

Σ+

)1/2

' Σ+1/2

(1− r+x

Σ+

)

denominatorは

(x2 + x(r+ − r−)

)−1/2(r+ − r−)−1/2x−1/2

(1 +

x

r+ − r−

)−1/2

' (r+ − r−)−1/2x−1/2

(1− x

2(r+ − r−)

)

= (r+ − r−)−1/2

(x−1/2 − x1/2

2(r+ − r−)

)


√grr ' (r+ − r−)−1/2Σ+

1/2

(x−1/2 − x1/2

2(r+ − r−)

)(1− r+x

Σ+

)

' (r+ − r−)−1/2Σ+1/2x−1/2

54例えば，f(α) ∝ α1/2 とおくと矛盾する55もちろん，Planck length

rG~c3

cm の 2 乗である。56rigid な球を考えているわけではない。Compton 波長程度の wave packet が入射すると考える。

98 11 BLACK HOLES

したがって，

b '∫ δ

0

(r+ − r−)−1/2Σ+1/2x−1/2dx

= 2δ1/2(r+

2 + a2 cos2 θ)1/2

(r+ − r−)−1/2 (11.496)

となる。Carter 4th integral

q = pφ2 cot2 θ + pθ

2 + a2 cos2 θ(m2 − E2)

≥ pφ2 cot2 θ + a2 cos2 θ(m2 − E2)

a2ΩH2 =a4

(r2+ + a2)2=

(1 +

r2+a2

)−2

≤ 14

⇐⇒ 2 ≤ 1 +(r+a

)2

⇐⇒ a2 ≤ r+2

a

M≤ 1 ∴ a ≤M

r+ = M +√M2 − a2 −Q2 ≥M

a2ΩH2 ≤ 14

i.e. 1− a2ΩH2 ≥ 34

q ≥ cos2 θa2m2 + p2

φ

(1

sin2 θ− a2Ω2

H

)

≥ cos2 θa2m2 + p2

φ

(1− a2Ω2

H

)

≥ cos2 θa2m2 +

34p2φ

≥ a2m2 cos2 θ

したがって，少なく見積もっても

(∆α)min = 2mb (11.497)

ただし，この「半径」にも限度がある。

(イ) bは，重力半径(rg =

2Gmc2

= 2m)より大きくない

と意味がない。

(ロ) bは，Compton波長(λ =

~mc

)より大きくないと

意味がない。

したがって，(イ)かつ (ロ)を満たす範囲は

b > 2m, b >~m

(11.498)

であるから，

(∆α)min =

2~ m ≤

√~/2

4m2 m ≥√~/2

となるので，最も少なく見積もっても

(∆α)min = 2~ (11.499)

となる。Compton波長程度の半径をもつ粒子には内部構造はないので，情報の消失は最小になっていると考えられる。1ビットを失うと (∆α)min = 2~ 増加する。前の結果から，

(∆SBH)min = k~−1(∆α)min

∴ (∆SBH)min = 2k

1ビットを失う事で BHのエントロピーは 2k増える事になる。そして，この 1ビットというものは ln 2 であるから，結局

k =12

ln 2 (11.500)

したがって，

SBH =(

12

ln 2)· ~−1α (11.501)

単位たちを復活させてみると，

S = kB

(12

ln 2)c3

~G· A4π

= 1.46× 1048 ×A erg · deg−1

(11.415)で示されたように，black hole entropyは以下の関係を満たす。

∆SBH =1TBH

∆M − ΩTBH

∆J − ΦTBH

∆Q (11.502)

M2 =(Mir

2 +Q2

4Mir

)2

+J2

4Mir2

(11.503)

TBH =~√M2 − J2

M2 −Q2

32πηM(M − 1

2Q2

M +√M2 − J2

M2 −Q2

) (11.504)

崩壊によって形成した black holeは，一定の割合で輻射をしている事を示した。

〈n〉 = Γ1

ex ∓ 1

x =1

4ηTBH(~ω − ~mΩ− εΦ)

正符号は Fermion，負符号は Boson，Γは absorptivity。Energy, Angular momentum, Charge conservationから

∆M = −∑

mode

〈n〉~ω

∆J = −∑

mode

〈n〉~mΩ

∆Q = −∑

mode

〈n〉~eΦ

なので，

〈∆SBH〉 =1TBH

〈∆M〉 − Ω〈∆J〉 − Φ〈∆Q〉

= − 1TBH

∑〈n〉~ω − ~mΩ− eΦ

= −4η∑〈n〉x = −4η

∑Γ(ex ∓ 1)−1x (11.505)


次に，輻射のエントロピーを求めよう。それぞれ様々な種類の占有数のセットで指定される各状態の出現確率を pnとすると

∑

npn = 1 (11.506)

和はセットごとの和である。この時エントロピーは

S = −∑

npn ln pn (11.507)

で定義される。平均占有数は

〈n′〉 :=∑

nn′pn (11.508)

で与えられるが，この値は Hawking radiationの議論から得られる

〈n〉 = Γ ·(

1ex ∓ 1

)−1

に等しい。

(11.506), (11.508)という制限の下で，Lagrange未定係数法で求めよう。

0 = δ

−

∑

npn ln pn −

∑

mode

β∑

nn′pn − (α− 1)

∑

npn

= −∑

n

(δpn ln pn + pn

δpnpn

+∑

mode

βn′δpn + (α− 1) δpn

)

=∑

nδpn

(ln pn + 1 +

∑

mode

βn′ + (α− 1)

)

したがって，

ln pn + α+∑

mode

βn′ = 0

∴ pn = e−α−P

mode βn′= e−α

∏

mode

e−βn′

(11.509)

でなければならない。この時，エントロピーは

S =∑

npn

(α+

∑

mode

βn′)

= α+∑

mode

Γ(β − x)(ex ∓ 1)−1 (11.510)

∑

npn = 1 =

∑

n

(e−α

∏

mode

e−βn)

eα =∑

n

∏

mode

e−βn

=

∏

Boson

(1− e−β)−1

∏

Fermion

(1 + e−β

)

α =

∑

Boson

ln(1− e−β)−1

∑

Fermion

ln(1 + e−β)(11.511)

〈n′〉 =∑

nn′pn =

∑

ne−α

∏

mode

e−βn

=Γ(ex ∓ 1)−1

∏n1

e−βn1 =

1 + e−β (Fermions)(1− e−β)−1 (Bosons)

であるから，Bosonsの場合

Γ(ex − 1)−1 =∑

nn′e−α · e−βn1e−βn2e−βn3 · · ·

= e−α∑n1

e−βn1 × · · · ×∑

n′n′e−βn

′ × · · ·

= e−α(1− e−β)−1 × · · · ×∑

n′n′e−βn

′ × · · ·

=

( ∏

Boson

(1− e−β))

e−β

(1− e−β)2∏

Boson−1

11− e−β

=e−β

1− e−β = (eβ − 1)−1

Fermionsの場合

Γ(ex + 1)−1 =∑

nn′e−αe−βn1 · · ·

= e−α∑n1

e−βn1∑n2

e−βn2 × · · · ×∑

n′n′e−βn

′ × · · ·

=

( ∏

Fermion

11 + e−β

)e−β

∏

Fermion−1

(1 + e−β)

=e−β

1 + e−β= (eβ + 1)−1

である:

Γ(ex ∓ 1)−1 = (eβ ∓ 1)−1 (11.512)

まず Bosonについて考えてみる。0 ≤ xの場合は

(eβ − 1)−1 = Γ(ex − 1)−1

absorptivityは 0 < Γ ≤ 1を満たしているので，

ex − 1 = Γ(eβ − 1) ≤ eβ − 1∴ 0 ≤ x ≤ β (11.513)

という関係を満足する事になる。また，x < 0の場合は，superradiantに対応し，

Γ < 0 (11.514)

100 12 重力波の伝播

より

(eβ − 1)−1 = Γ× (ex − 1)−1 > 0 (11.515)

という関係にあることがわかる。つまり，xの正負によらず

0 ≤ βである。また，この時，

eα =∏

Boson

eβ

eβ − 1=

∏(1 +

1eβ − 1

)> 1

∴ 0 < α (11.516)

となっている。

今度は Fermion について考えよう。Pauli 排他原理，というよりもそもそも Fermion の性質から誘導放射は起きないので0 ≤ x, 0 < Γ < 1 の場合しかあり得ない。この時，さっきと同様に

ex + 1 = Γ(eβ + 1) < eβ + 1∴ 0 ≤ x < β (11.517)

が導かれ，また

eα =∏

(1 + eβ) > 1

∴ 0 < α (11.518)

という関係が成り立っている。

以上から，Bosons, Fermionsに関係なく

0 < β − x, 0 < α (11.519)

である事が分かった。したがって，

〈∆Sg〉 = α+∑

Γ(β − x) 1ex ∓ 1

> 0 (11.520)

であるから，

〈∆Sg〉 = 〈∆SBH〉+ Sc > 0 (11.521)

則ち，Black holeのエントロピーと外の系のエントロピーの和，つまり合成系のエントロピーは常に増大する事が分かった。

12 重力波の伝播F Caution!!この章に限り hµν は摂動を表すものとする。流体の静止系への projectionではないので要注意。

gµν = ηµν + hµν (12.1)

とおいて，hµν に関する線型近似を行う。摂動項は次のような変数に置き換えて議論されることが多い。

ψµν =def

hµν − 12ηννh h =: hµµ (12.2)

この変数は trace inversion tensorと呼ばれる。これは，

ψµµ = h− 2h = −h (12.3)

に由来する。

Riemann tensor(9.18)は，hの 1次までで

Rµνλσ =12

(hµσ,νλ + hνλ,µσ − hµλ,νσ − hνσ,µλ) (12.4)

と計算されるので，Einstein tensor(9.41)は

Gµν = −12

(ψµν,λ

,λ + ηµνψλσ,λσ − ψµλ,ν ,λ − ψνλ,µ,λ

)+O(h2)

(12.5)

となる。複雑に見えるが次の条件

ψµν,ν = 0 (12.6)

から非常にシンプルになる。このような条件は電磁気のアナロジーで Lorentz gauge と呼ばれるが，harmonic gauge やde Donder gauge などと呼ばれることも多い。示さなければならないことは，いつでもこの条件を満たすように ψµν をとることができるということである。座標変換

xµ = xµ + ξµ (12.7)

に対して，|ξµ,ν| ¿ 1を満たすとしよう。このとき，座標変換行列は

Λµν =∂xµ

∂xν= δµν + ξµ,ν

Λµν = δµν − ξµ,ν +O(|ξµ,ν |2

)

となるので，hの 1次までとれば

gµν = ηµν + hµν − (ξµ,ν + ξν,µ) ≡ ηµν + h′µν (12.8)

となる。これより，座標変換により

hµν 7→ h′µν = hµν − (ξµ,ν + ξν,µ) (12.9)

と変換されていることを意味する。この変換をGauge変換と呼ぶ。同様に，この変換に対して，

ψ′µν = ψµν − (ξµ,ν + ξν,µ) + ηµνξλ,λ (12.10)

という変換を受けるが，このとき，発散は

ψ′µν,ν = ψµν,ν − ξµ,ν ,ν − ξν,µ,ν + ξν ,µ,ν

= ψµν,ν − ξµ,ν ,νとなる。したがって，任意の ψµν に対して，

ψµν,ν − ξµ,ν ,ν = 0∴ ¤ξµ = ψµν,ν

を満たす ~ξで座標変換すれば, de Donder gauge(12.6)が実現される。この波動方程式はどのような sourceであっても常に解が存在するが，解 ~ξは一意に定まるものではないという事に注意しよう。実際，斉次波動方程式 ¤ηµ = 0を満たす解 ~η を加えても

¤ (ξµ + ηµ) = ψµν,ν

は成り立つ。すなわち，~ξ+~ηも (12.6)を引き起こす gauge変換を与えるのである。以上により，任意のψµνに関して de Dondergaugeをとることができるということが示された。

さて，de Donder gaugeをとれば，Einstein tensorは

Gµν = −12¤ψµν

101

となるので，Einstein方程式は

−12¤

(hµν − 1

2ηµνh

)= 8πGTµν (12.11)

となる。これを線型理論での場の方程式と言う。ψµν の定義 (12.2)から，逆に

hµν = ψµν − 12ηµνψ ψ = ψµµ = −h (12.12)

と書く事が出来る。

重力波の伝播

真空中では Einstein方程式は，de Donder gauge(12.6)を採用したとき

12¤ψµν = 0

となる。これが座標によらない定数 Aµν , ~kを用いた平面波解

ψµν = Aµνe−ikµx

µ

(12.13)

を持つという事を示そう。微分すると

ψµν,λ = ikλψµν

となるので，Einstein方程式は

ηλσ∂

∂xσ∂

∂xλψµν = −ηλσkλkσψµν = 0 (12.14)

である。非自明な解は，~k が nullのとき存在する事が分かる。これより，重力波は光子とともに走り常に同位相であるということが示された。さらに，ψµν が de Donder gaugeを満たしているという条件から，

0 = ψµν,ν = −ikνAµνeikαxα

∴ Aµνkν = 0 (12.15)

となっていなければならない。すなわち，振幅は進行方向 ~kに対して，垂直になっていなければならない。つまり，解は平面波である。

Gauge変換を引き起こす ~ξにまだ自由度があった。これを，平面波解の null vector を用いて

ξµ = Bµeikαxα

(12.16)

としよう。そうすると，(12.10)から

A′µν = Aµν − iBµkν − iBνkµ + iηµνBλkλ (12.17)

であるが，kν と縮約させれば, (12.15)より

A′µνkν = −iBνkνkµ + iµB

λkλ = 0

となるので，変換されたA′µνも ~kに垂直である。また，A′µν のtraceをとると，

A′µµ = Aµµ + 2iBµkµ (12.18)

となる。ここで，適当な timelike vector ~n に対して，

A′µνnν = Aµνn

ν − iBµkνnν − iBνkµnν + iηµνBλkλn

ν

がゼロとなり，しかもA′µµ = 0となるような ~Bを求めよう。~kと縮約させると，

0 = kµAµνnν − ikµBµkνnν + ikνB

λkλnν = kµAµνn

ν

を得るが，これは Bµの取り方によらないので，A′µνnν = 0の条件からは，~kに垂直な平面で Bµ の 3つの制限が加わる。今度は nµ と縮約させると，

0 = nµAµνnν − inµBµkνnν − inµkνBµnν + inνB

λkλnν

= Aµνnµnν − 2ikµnµBνnν + inµnµB

νkν

したがって，

Bµnµ =

Aµνnµnν + iBνkνn

µnµ2ikνnν

if kνnν 6= 0

= i2Aµνnµnν −Aµµ

4$

を得る。ただし，

−$ = nνkν , nµnµ = 1

とした。以上により，

Bµ =Aµνn

ν − ikµBνnν + inµBνkν

ikνnν

= i4Aµνnν + kµ (2Aνρnνnρ −Aνν)− 2nµAνν

4$

となる。このような Bµ を選べば，

A′µµ = 0A′µνn

ν = 0

とする事が出来るのである。de Donder gaugeから導かれる

A′µνkν = 0

も含めて，このようなGaugeを transverse-traceless gaugeと呼ぶ。このとき，定義より，

ψµµ = Aµµeikαx

α

= 0 i.e. h = 0∴ ψµν = hµν (12.19)

である。以下ではこの Transverse-Traceless gaugeをとる事とし，primeは省略する。また，特に明示したい場合は，ψTT

µν と書く事にする。

先ほどの任意の timelike vector ~n の静止系へ Lorentz 変換しよう。

~n→ (1, 0, 0, 0)

このとき，

Aµ0 = 0

となるが，この平面波が (~nの absolute spaceとしての)z 軸方向へ伝播していくとすると，

~k → (ω, 0, 0, ω)

であるから，

0 = Aµνkν = ωAµ0 + ωAµz = ωAµz (12.20)

102 13 ENERGY EXTRACTION ∼ BLANDFORD-ZNAJEK MECHANISM

となって伝播方向に垂直である。これより，Aµν のゼロでない成分は，Axx, Axy = Ayx, Ayy であるが，tracelessであることから

Axx = −Ayy (12.21)

でなければならない。すなわち，このような系では，独立な成分は 2つしかなく，

ATTµν →

0 0 0 00 Axx Axy 00 Axy −Axx 00 0 0 0

(12.22)

指数部分を含めて

hµν →

0h+ h×h× −h+

0

(12.23)

但し，

h+ = Re[A+e

−iω(t−z)]

(12.24)

h× = Re[A×e−iω(t−z)

](12.25)

と書かれる。このとき固有距離は

ds2 = −dt2 + (1 + h+)dx2 + 2h×dxdy + (1− h+)dy2 + dz2

となるため，plus modeは x, y方向を同時に伸縮させる効果を持つ。また，

[xy

]=

1√2

[1 1−1 1

] [xy

]

と座標変換すれば

ds2 = −dt2 + (1 + h×)dx2 + 2h+dxdy + (1− h×)dy2 + dz2

となるので，cross modeは y = ±x方向への伸縮を表している事が分かる。

∫ninj sin θ dθdφ =

4π3δij (12.26)

∫ninjnknl sin θ dθdφ =

4π15

(δijδkl + δikδjl + δilδjk

)

(12.27)

L =15

⟨...I ij

...Iij

⟩(12.28)

12.1 曲がった時空での重力波これまでの議論が比較的シンプルであったのは，back groundの時空を平坦と考えていたからである。曲がった空間では共変微分を扱う事になり，de Donder gaugeでは簡単に解く事は不可能となってしまう。このような場合に，どのように gaugeを選択し，いかに方程式を変形するかということが問題となる。

13 Energy Extraction ∼ Blandford-Znajek mechanism

軸対称で静的な時空 (Kerr時空)を構成するブラックホールから，どうにかエネルギーを搾取できないかということは長年考えられてきたことである。AGNの原動力を説明したいのである。もちろん，Schwarzschild時空では現実的ではない（Hawk-ing radiation）。accretion diskからの flowによって holeが角運動量を獲得していくので，その回転エネルギーを我抜き取らむと，Penroseにはじまり様々な研究がなされている。ここでは，Blandfordと Znajekが考え出したエネルギー抽出術について述べる。その後Macdonald，Thorneによって整備され，最近になって Komissarovによってさらに改良されて来ている。近年の観測によってますますエネルギーの抽出機構は重要になってきている。1990年代以降の Punslyらの指摘など，まだよくわかっていないことも多いのだが。

基本的には Penrose過程と同じで，中心天体，つまりKerr holeに磁場が存在する場合を考えるのである。もちろん，その磁場はhole由来ではあり得ないので，accretion disk由来の磁場を考えることにする。accretion diskは，電子とイオンの 2成分 plasmaと考えて，いわゆる一般相対論的な電磁流体力学を展開するのである。Blandford-Znajekが課した興味深い近似（force-free近似，Znajek条件）についても後で述べる。

さて，まず重力場内に電磁場がある場合どのようなことを考えなければならないだろうか。まずは観測者の設定という問題がある。考えられる frame は，イオンの静止系，電子の静止系，流体の慣性中心系，無限遠の静止系，及び FIDOなど多岐にわたっている。FIDOの概念を用いることによって，特殊相対論の議論を適用することができることは前にも述べたが，ここで威力を発揮するのである。どの系における物理量なのかで話がかわってくるので特に注意を要する。また，各静止系での物理

量を他の系でどのように書かれるのかということも議論しなければならない。これも以前に述べたことだが理想電磁流体近似は系によって全く違う捉え方をされる。Force-free近似にしてもそうである。

次に，電磁場の存在の為にもちろんMaxwell方程式（Coulombの法則，Faradayの法則，Ampereの法則，Biot-Savartの法則）を連立する必要があるのだが，それだけでは閉じた方程式系にはならない。Ohmの法則がどうしても必要なのであるが，これがどのような式になってなければならないか議論を要する。もちろん，電流密度は”誰が観測したものか”で話も変わる。

Punslyらが指摘したことだが，起こる現象の因果律を破ってしまったらすべて話はオジャンである。因果律の議論はさけて通れない。少なくとも流体の散逸過程の議論では，Eckartのやり方では不十分であることを見た。それだけでなく，Blandford-Znajek mechanismそのものにかかわる因果律の議論も過去になされているので，その点についてもあとで考えよう。

13.1 曲がった空間での電磁気学CovariantなMaxwell方程式は次で与えられる。

∗Fµν;ν = 0 (13.1)

Fµν;ν = 4πIµ (13.2)

Similar to any highly ionized plasma, the pair plasma of BHmagnetospheres has essentialy zero electric and magneticsusceptibilities. In such a case, the Faraday tensor is simplydual to the Maxwell tensor.

∗Fαβ =12eαβµνFµν (13.3)

Fαβ = −12eαβµν ∗Fµν (13.4)

13.1 曲がった空間での電磁気学 103

ただし，

eαβµν =√|g|εαβµν , eαβµν =

1√|g|ε

αβµν (13.5)

ε0123 = −ε0123 = −1 (13.6)

はLevi-Civita alternating pseudo-tensor，εαβµνは 4-dim Levi-Civita symbolである。同様に 3次元の場合は

eijk =√‖γ‖εijk, eijk =

1√‖γ‖ε

ijk (‖γ‖ = det γij) (13.7)

ε123 = ε123 = 1 (13.8)

となる。

ε0ijk = −εijk (13.9)

に注意しよう57。また，3次元に落とした空間での微分演算は，

div A = ∇ ·A ≡ 1√‖γ‖

∂

∂xi

(√‖γ‖Ai

)(13.10)

[rot A]i = [∇×A]i = eijk∂

∂xjAk (13.11)


電磁場

特殊相対論のときと同様に，電場や磁場を定義しよう。

Bµ := −∗Fµνnν (13.12)

Eµ := −12γµνeναβγk

α ∗F βγ = γµνFνλkλ (13.13)

Dµ := Fµνnν (13.14)

Hµ := −12γµνeναβγk

αF βγ = −γµν ∗F νλkλ (13.15)

Jµ := −2I [µkν]nν (13.16)ρe := −Iνnν (13.17)

すぐに分かる通り

Fµν = nµDν − nνDµ + eµνλσnλBσ (13.18)

∗Fµν = −nµBν + nνBµ + eµνλσnλDσ (13.19)

および

Dµnµ = Bµnµ = Eµnν = Hµnµ = 0 (13.20)

Dt = Bt = Et = Ht = 0 (13.21)FµνB

ν = (DνBν)nµ (13.22)

である。FIDOが観測する電磁場は (13.12)と (13.14)とから，B とDである。また，charge densityと current densityについて，定義より

ρe = αI0, Jµ = −αI0kµ + αIµ

であるから，~J →

(t,r,θ,φ)

(0, αIi

)(13.23)

そして，

~I →(t,r,θ,φ)

(ρeα,J i

α

)(13.24)

である。FIDOの観測する current densityを jとすると，(13.53)という関係にあるので，

~j →(t,r,θ,φ)

(0,

1αJ i +

ρeαβi

)=

(0, Ii + I0βi

)(13.25)

~J →(t,r,θ,φ)

(0, αji − ρeβi

), J = αj − ρeβ (13.26)

となる。例えば，Boyer-Lindquist座標系では，βφ = −ωであるから，

~J →(t,r,θ,φ)

(0, αjr, αjθ, αjφ + ωρe

)

~j →(t,r,θ,φ)

(0,

1αJr,

1αJθ,

1αJφ − ω

αρe

)

Bianchi identity (13.1)から，

∗Fµν;ν = ∗Fµν,ν + Γµλν∗Fλν + Γνλν

∗Fµλ

= ∗Fµν,ν +1√−g

∂

∂xλ√−g ∗Fµλ

=1√−g

∂

∂xν(√−gFµν) = 0 (13.27)

よって，

∂

∂xν

(√‖γ‖α∗Fµν

)= 0

⇐⇒

∂

∂xj

(√‖γ‖α∗F 0j

)= 0

∂

∂t

(√‖γ‖α∗F i0

)+

∂

∂xj

(√‖γ‖α∗F ij

)= 0

⇐⇒

− ∂

∂xj

(√‖γ‖Bj

)= 0

∂

∂t

(√‖γ‖Bi

)+

∂

∂xj

(√‖γ‖α∗F ij

)= 0

ここで (13.13)より，

Eµ = γµνFνλkλ

= γµν(nνDλ − nλDν + eνλαβnαBβ

)kλ

= αDµ +√‖γ‖gµνε0νjkβjBk

Eµ = αDµ +√‖γ‖g ν

µ ε0νjkβjBk

∴ Ei = αDi +√‖γ‖ε0ijkβjBk (13.28)

∴ εijkEk = εijkαDk +√‖γ‖ (

βiBj − βjBi)

= α√‖γ‖ ∗F ij

結局58,

− ∂

∂xj

(√‖γ‖Bj

)= 0

∂

∂tBi + eijk

∂

∂xjEk = 0

(13.29)

見慣れた記号を使って書けば

∇ ·B = 0 (13.30)∂B

∂t+ ∇×E = 0 (13.31)

57−αe0ijk = − 1p‖γ‖

ε0ijk =1p‖γ‖

εijk = eijk

58‖γ‖ は時間に依らないことに注意！


ということになる。

同様に，Maxwell equations (13.2)から

1√−g∂

∂xν(√−gFµν) = 4πIµ (13.32)

よって

1√‖γ‖

∂

∂xν

(√‖γ‖αFµν

)= 4παIµ

⇐⇒

1√‖γ‖

∂

∂xj

(√‖γ‖αF 0j

)= 4παI0 = 4πρe

1√‖γ‖

∂

∂t

(√‖γ‖αF i0

)+

1√‖γ‖

∂

∂xj

(√‖γ‖αF ij

)

= 4παIj

⇐⇒

1√‖γ‖

∂

∂xj

(√‖γ‖Dj

)= 4πρe

1√‖γ‖

∂

∂t

(−

√‖γ‖Di

)+

1√‖γ‖

∂

∂xj

(√‖γ‖αF ij

)

= 4παIj = 4πJj

ここで (13.15)より

Hµ = −γµν∗F νλkλ= γµν

(nνBλ − nλBν − eνλαβnαDβ

)kλ

= αBµ −√‖γ‖gµiε0ijkβjDk

Hµ = αBµ −√‖γ‖giµε0ijkβjDk

∴ Hi = αBi −√‖γ‖εijkβjDk (13.33)

∴ εijkHk = εijkαBk −√‖γ‖ (

βiDj − βjDi)

= α√‖γ‖ F ij

結局，

1√‖γ‖

∂

∂xj

(√‖γ‖Dj

)= 4πρe

− ∂

∂tDi + eijk

∂

∂xjHk = 4πJ i

(13.34)

見慣れた記号を使って書けば

∇ ·D = 4πρe (13.35)

−∂D

∂t+ ∇×H = 4πJ (13.36)

が得られる。bold styleは 3次元部分空間の vectorを表す。

ここで，定義や上で得られた式の関係を明確にしておこう。まず，定義 (13.12)∼(13.15)から，

Eµ = Fµ0 − nµnνFν0

∴Ei = Fi0

E0 = −βiFi0 = −βiEiFIDOの観測する電場は

D0 = −F0i

βi

α=

1αEiβ

i

Di =1αFi0 − βj

αFij =

1αEi − 1

αβjFij

Di = −12eiναβnαFαβ =

12eijk∗Fjk

また磁場はそれぞれ

Hi = −γ νi

∗Fνt = −∗Fi0 (13.37)

Bi =12eiναβnνFαβ =

12eijkFjk (13.38)

Bi = −∗Fiνnν = − 1α∗Fi0 +

1α∗Fijβj =

1αHi +

1α∗Fijβj

(13.39)

B0 = −∗F0νnν = − 1

αβiHi (13.40)

となる。無限遠の観測者が観測する電磁場はE∞µ =

defFµνk

ν = Fµ0

B∞µ =def−∗Fµνkν = −∗Fµ0

(13.41)

で定義されるので，上の下付きの Ei, Hi は一致している事がわかる:

E∞i = Ei (E∞0 6= E0)B∞i = Hi (B∞0 6= H0)

(13.42)

但し，上付きの Ei, Hi が無限遠の電磁場と一致するかは全く別問題である。実際，

Ei = γiνFν0 = γijFj0 = γijEj (13.43)

E∞i = giνFν0 = gijFj0 = gijEj (13.44)

である。さらに，上の計算から，副産物 (13.28), (13.33)が得られた：

E = αD + β ×B (13.45)H = αB − β ×D (13.46)

これより，無限遠（α→ 1,β → 0）で

B = H (at infinity)E = D (at infinity)

(13.47)

という関係にある事が分かる。時空が歪んでいる事で特殊相対性理論とのずれがあるわけだから，無限遠のフラットな時空に行けば一致する事は当然と言えば当然。また，(13.45), (13.46)より

EiDi +HiB

i = α(D2 +B2

)+ 2Dieijkβ

jBk (13.48)

が得られる。(13.45)と (13.46)を用いてMaxwell方程式 (13.30),(13.31), (13.35), (13.36)を書き換えれば，

∇ ·B = 0 (13.49a)∂B

∂t+ ∇× (αD + β ×B) = 0 (13.49b)

∇ ·D = 4πρe (13.49c)

−∂D

∂t+ ∇× (αB − β ×D) = 4πJ (13.49d)

となる。また，volumeで積分したものは∫

∂V

BidSi = 0 (13.50a)

d

dt

∫

V

Bi√‖γ‖d3x+

∫

∂V

eijkEkdSj = 0 (13.50b)∫

∂V

DidSi = 4π∫

V

ρed3x (13.50c)

− d

dt

∫

V

Di√‖γ‖d3x+

∫

∂V

eijkHkdSj = 4π∫

V

J i√‖γ‖d3x

(13.50d)


である。ただし，dSi =√‖γ‖εijkdxj(1)dxk(2) は ∂V の面積要

素である。surfaceで積分すると

d

dt

∫

A

BidSi +∫

∂A

Eid`i = 0 (13.51a)

− d

dt

∫

A

DidSi +∫

∂A

Hid`i = 4π∫

A

J idSi (13.51b)

FIDOが観測する current densityは，

IµFIDO =def

γµνIν (13.52)

= Iµ − αI0nµ

= Iµ − I0 (kµ − βµ) ≡ jµ ∈ ABS∴ Jµ = αjµ − ρeβµ (∈ ABS) (13.53)

最後に，連続の式が成り立つかどうか計算してみよう。(13.36)から

1√‖γ‖

∂

∂xi

− ∂

∂t

√‖γ‖Di +

√‖γ‖eijk ∂

∂xjHk

= 4π1√‖γ‖

∂

∂xi

√‖γ‖J i

⇐⇒ − ∂

∂t∇ ·D +

1√‖γ‖

∂

∂xiεijk

∂

∂xjHk = 4π∇ · J

∴ ∂

∂tρe + ∇ · J = 0 (13.54)

となるので，やはり特殊相対論と同様に連続の式が成り立つ。これは，

Iµ;µ =1

α√‖γ‖

∂

∂t

(α√‖γ‖ 1

αρe

)+

∂

∂xi

(α√‖γ‖ 1

αJ i

)

=1

α√‖γ‖

∂

∂t

(√‖γ‖ρe

)+

∂

∂xi

(√‖γ‖J i

)

=1α

(∂

∂tρe +∇iJ i

)

から分かるように，

Iµ;µ = 0 (13.55)

と同値である。

Momentum Conservations for particles

質量m，電荷 eの粒子に対する作用は，

S [x, e] =∫dλ

(12e−1xµxνgµν(x)− 1

2m2e+ exµAµ

)

(13.56)

である。但し，λは軌道の affine parameter, eは einbein factor

である。dotは d

dλを表しているものとする。

Faraday tensorは，4-potential Aµ を用いて，

Fµν = −2A[µ;ν] = Aν;µ −Aµ;ν = Aν,µ −Aµ,ν (13.57)Fµν = Aν;µ −Aµ;ν = Aν,µ −Aµ,ν (13.58)

と表すことができる。ここで，

Φ =def−Aµkµ (13.59)

Ψ =defAµmµ (13.60)

Aµ =def

γµνAν (Ai = Ai) (13.61)

= Aµ + nµnνAν (13.62)

で与えられる。(13.13)から

Eµ = γ νµ Fνλk

λ = γ νµ Fν0

= Fµ0 + nµnνFν0 = Fµ0 − 1

αnµβ

φFφ0

∴ Ei = Fi0 = A0,i −Ai,0 = −Φ,i − ∂

∂tAi (13.63)

であるが定常軸対称時空では，

Eφ = −Φ,φ − ∂

∂tAφ = 0 (13.64)

である。また，(13.14)からも

Dµ = Fµνnν =

1αFµ0 − 1

αβiFµi

=1αFµ0 − 1

αβφFµφ

=1α

(A0,µ −Aµ,0)− 1αβφ (Aφ,µ −Aµ,φ)

∴ Di =1α

(−Φ,i −Ai,0)− 1αβφ (Aφ,i −Ai,φ) (13.65)

= − 1α

Φ,i − 1αβφAφ,i (13.66)

したがって，

Dφ = 0 (13.67)

さらに，(13.12)から

Bµ = −12eµναβFαβnν

=12α

1α√‖γ‖ε

µ0αβFαβ

∴ Bi =12

1√‖γ‖ε

i0jkFjk = −12

1√‖γ‖ε

0ijkFjk

=12

1√‖γ‖ε

ijkFjk

=12

1√‖γ‖ε

ijk (Ak,j −Aj,k)

=1√‖γ‖ε

ijkAk,j = eijk∂

∂xjAk (13.68)

というように特殊相対論のときと同様な式が得られることが分かる。


Boyer-Lindquist座標をKerr-Schild座標へ座標変換したとき59

X µ = ΛµνXν , Xµ = ΛµµXµ (13.69)

X t = Xt +2Mr

∆Xr, Xt = Xt

X φ = Xφ +a

∆Xr, Xφ = Xφ

X r = Xr , Xr = −2Mr

∆Xt − a

∆Xφ +Xr

X θ = Xθ , Xθ = Xθ

(13.70)

と成分が変換される事を思い出そう。特にHφ, Φ = −At, Ψ =Aφ はどちらの座標系でも同じである。

さて，作用 (13.56)より，Euler-Lagrange equationが得られる:

Dpµdτ

= qFµνuν (13.71)

metric が定常かつ軸対称であるから，つまり ~k, ~m は killingvectorなので，πt, πφ は運動の恒量となる60。

Boyer-Lindquist座標，Kerr-Schild座標のどちらの座標系でも,次の (無限遠の観測者に対する)角運動量を得る:

dpφdt

= q (E + v ×B) ·m (13.72)

ここでm →(φ,r,θ)

(1, 0, 0)である。

Momentum Conservations for Field

場の方程式は次の作用から得られるのであった。61

I = − 116π

∫FµνFµν

√−g d4x

=∫L d4x =

∫L√−g d4x

また，energy-momentum tensorはmetricの変分から得られる。

δgI = − 116π

∫δ(gµαgνβF

µνFαβ√−g) d4x

= − 116π

∫(δgµαF

µβF

αβ√−g + δgνβFνα Fαβ

√−g

+ FαβFαβδ√−g)d4x

= − 116π

∫ (2δgµνFµαF

να√−g + FαβFαβδ√−g) d4x

ここで，(9.93)より，

δ√−g =

12

1√−g (−δg) = −12

1√−g (ggµνδgµν)

=12√−ggµνδgµν


δgI = − 116π

∫ (2FµαF να +

12gµνFαβFαβ

)√−gδgµν

=∫

18π

[FµαF ν

α −14gµνFαβFαβ

]√−gδgµν = 0

より

Tµν =14π

(FµσF νσ −

14gµνFλσFλσ

)

を得る。最初の係数 1/16πは単位系のとり方によっていて，電磁場の energy densityがこれまでのものと一致するように定めている。上の計算を簡略化して書くと，

Tµν =def

2√−gδ(√−gL)δgµν

=14π

(FµσF νσ −

14gµνFλσFλσ

)

をやったことになる。以前計算したように，この Electromag-netic stress-energy-momentum tensorは

T µEM ν =

14π

(FµγFνγ − 1

4(FγβF γβ)δµν

)(13.73)

=18π

(FµγFνγ + ∗Fµγ∗Fνγ) (13.74)

とかく事が出来る。さて，その中身を具体的に書いてみよう。(13.18)より，

FµαF να = nµnν(B2 +D2

)− (DµDν +BµBν)

+B2gµν − (eναλσnµ + eµαλσnν

)nλDαBσ

であり，また，(13.19)より62

∗Fµα ∗F να = nµnν(B2 +D2


+D2gµν +(eναλσnµ + eµαλσnν

)nλBαDσ

= nµnν(B2 +D2


+D2gµν − (eναλσnµ − eµαλσnν)nλBσDα

59

čΛµ

µ

ď →(t,φ,r,θ)

2664

1 2Mr/∆1 a/∆

11

3775 ,

hąΛ−1

ćµ

µ

i→

(t,φ,r,θ)

2664

1 −2Mr/∆1 −a/∆

11

3775

60πµ =def

∂S

∂xµ= pµ + eAµ, pµ = mxµ

61 相互作用する場合は

I =

Zd4x

ůρev

µAµ − 1

16πF µνFµν

ÿ√−g

となる。積分の中の vµ についてさらに物理的な考察を必要とする。62上の式で Dµ → −Bµ, Bµ → Dµ と置き換えれば良い。


である63から，

T µνEM =

18π

(D2 +B2

)nµnν

− 14π

(eναλσnµ − eµαλσnν)nλBσDα

+18π

(D2 +B2

)γµν − 1

4π(DµDν +BµBν)

(13.75)

となる64。

W = T µνEM nµnν =

18π

(D2 +B2

)(13.76)

は FIDOが観測する電磁場の energy densityである。

Pµ = −γµλT λνEM nν

= −γµλ(−Wnλ − 1

4πeλαδγnδDαBγ

)

= − α

4πe0µαγDαBγ

∴ P i =14πeijkDjBk (13.77)

Covariant energy-momentum equationは

TEMνµ;ν = −FµγIγ (13.78)

である。左辺は，

TEMνµ;ν = TEM

νµ,ν + ΓνλνTEM

λµ − ΓλµνTEM

νλ

=1√−g

∂

∂xν(√−gTEM

νµ

)− ΓλµνTEMνλ

となるが，第 2項は

ΓλµνTEMνλ =

12TEM

νσ (gσµ,ν − gµν,σ + gνσ,µ)

=12TEM

νσgνσ,µ

であるから，

TEMνµ;ν =

1√−g∂

∂xν(√−gTEM

νµ

)− 12TEM

νσgνσ,µ

となる。したがって，(13.78)の t, φ成分は,

1√−g∂

∂xν(√−gTEM

νt) = −FtγIγ

1√−g∂

∂xν

(√−gTEMνφ

)= −FφγIγ

ということになる。第 1式から∂ (TEM

tt)

∂t+

1α√‖γ‖

∂

∂xj

(α√‖γ‖TEM

jt

)= −FtkIk = −FtkJk

α∂

∂t

(TEM

tt

)+

(αTEM

jt

)|j

= −αFtkJk

同様に第 2式から

α∂

∂t

(TEM

tφ

)+

(αTEM

jφ

)|j

= −αFtµIµ

Boyer-Lindquist座標系と Kerr-Schild座標系65の, どちらの座標系においても (13.78)の 3+1 splitting equationは次の電磁場に対する energy conservationとmomentum conservationとなる。

∂E

∂t+ ∇ · S = −E · J (13.79)

∂L

∂t+ ∇ ·L = − (ρeE + J ×B) ·m (13.80)

ただし，

−E = αT tt = −12

(E ·D + B ·H) (13.81)

L = αT tφ = (D ×B) ·m (13.82)

は，無限遠における単位体積当たりの energy density およびangular momentum densityである。また，

S = E ×H (13.83)L = −(E ·m)D − (H ·m)B

+12(E ·D + B ·H)m (13.84)

はそれぞれ無限遠での energy momentum fluxである。

13.1.1 Force-free条件からすぐに導かれることForce-free条件とは

FµνIµ = 0 (13.85)

であった。ここで，FIDOが観測する電流は

jµ = γµνIν = Iµ − ρenν (13.86)

であるから66，(13.85)は，

FµνIν =

(nµDν − nνDµ + eµναβn

αBβ)(jν + ρen

ν)

= nµDνjν + eµναβj

νnαBβ + ρeDµ = 0

63eναλσ = eνλαλ = −eνσλα に注意する（涙）。64

TEMµν =

18π

(D2 +B2

)nµnν − 1

4π(gνδe

δαλσnµ − eµαλσnν)nλBσDα +

18π

(D2 +B2

)γµν −

14π

(DµDν +BµBν)

γ00 = γ0

i = 0, γi0 = βi, γij = δij65as in any other coordinates with cyclic coordinate φ s.t.

∂gµν

∂t=∂gµν

∂φ= 0

66

γµνJν = Jµ − αnµJ0 (Jµ := [Iνkµ − Iµkν ]nν)

= −αI0kµ + αIµ − αnµ [Iνk0 − I0kν

]nν

= −αI0kµ + αIµ = αIµ − ρekµ = Jµ

γµνγνλJ

λ = γµνJν = αjµ − ρeβµ


ここで，nµ と縮約させれば，

Dνjν = 0 (13.87)

を得る。また，γλµ と縮約させれば，

eµναβγλµnαBβjν + ρeγ

λµDµ = 0

⇐⇒ ρeDµ + eµαβγjαnβBγ = 0

⇐⇒ ρeDµ − 1√

‖γ‖ε0µikjiBk = 0

=⇒ ρeDi +

1√‖γ‖ε

ilkjlBk = 0

⇐⇒ ρeDi + eilkjlBk = 0 (13.88)

を得る。これをさらに Bi と縮約させることによって

ρeDiBi + eilkjlBiBk = 0

∴ DiBi = 0 (13.89)

を得る。このように，Force-free条件 (13.88)から Degenerate条件 (13.89)が導かれる。Force-free条件を満たすとき，あるいはもっとゆるく言って Degenerate条件を満たすとき，(13.22)より，

FµνBν = 0 (13.90)

となることを指摘しておく。Faraday tensorの rankは 2であるから，kernelが決まった事になる:

ker (Fµν) =⟨~I, ~B

⟩(13.91)

~E, ~H に対しても同様な計算から

E · J = 0, ρeE + J ×B = 0 (13.92)D · j = 0, ρeD + j ×B = 0 (13.93)

(13.93)の第 2式とB の外積をとって

ρeeinmDnBm + einmenlkj

lBkBm

=ρeeinmDnBm − εnimεnlkjlBkBm=ρeeinmDnBm −

(δilδ

mk − δikδml

)jlBkBm

=ρeeinmDnBm − jiBkBk + jlBiBl = 0

∴ ji =ρee

inmDnBm +Bi(Bljl

)

B2

だから，磁場に対して垂直な成分は

j⊥ = ρeD ×B

B2= ρe

E × B

B2(13.94)

となる。この成分は荷電粒子の drift motionを表しているので，subluminal motionになっていなければならない。

j⊥ij⊥i =( ρeB2

)2

eijkDjBkeilmDlBm

=( ρeB2

)2 (DjDjB

kBk −(DjBj

)2)

=(13.89)

ρe2D

2

B2

より

|j⊥|2ρe2

=D2

B2< 1 (13.95)

i.e. B2 −D2 > 0, or B2 − E2 > 0 (13.96)

(13.89)と (13.96)は∗FµνFµν = 0 and FµνF

µν > 0 (13.97)

と同値である。つまり，(13.89), (13.96)の条件式は Force-Free条件を Lorentz不変な形に書き換えたものの 3+1表現とも言える。(13.89)は Force-free条件より導かれるが (13.96)は Force-Free条件とは独立に drift motionが subluminalであるという条件から導出された事に注意しよう。つまり，Force-Free条件を仮定したとしても成り立つとは限らない。後でまた議論するがこの (13.96)が破れている領域では Alfven wave speedが複素数になってしまうので，もはや hyperbolicでなくなってしまう。また，

j⊥ρe

= v⊥ (13.98)

としている事も指摘しておく。もし，D ·B = 0とB2−D2 < 0が同時に成立してしまうと，電場のみ存在する局所慣性系が存在してしまう事になる67。

(13.88)より，電磁場を toroidal成分と poloidal成分に分解すれば，

ρe

(DP + DT

)+

(jP + jT

)×

(BP + BT

)= 0

(13.99)

⇐⇒ρeD

T + jP ×BP = 0ρeD

P + jP ×BT + jT ×BP = 0(13.100)

同様に (13.93)より

ρe

(EP + ET

)+

(JP + JT

)×

(BP + BT

)= 0

(13.101)

⇐⇒ρeE

T + JP ×BP = 0ρeE

P + JP ×BT + JT ×BP = 0(13.102)

である。ここで，定常軸対称な時空では，

Dφ = 0, Eφ = 0 (13.103)

であったから，(13.102)より

JP ‖ BP (13.104)

となる。さらに，(13.102) の第 2 式と BP の内積をとれば，(13.104)とから JP ×BT ⊥ BP ゆえ, BP ·EP = 0つまり

EP ⊥ BP (13.105)

また，(13.102)の第 2式とEP の内積を計算してみると，

ρe(EP

)2+

JP ×BT + JT ×BP

·EP = 0 (13.106)

第 2項は,

JP ×BT + JT ×BP

·EP

=1√‖γ‖ (ErJθ − EθJr)Bφ +

1√‖γ‖ (EθBr − ErBθ) Jφ

(13.107)

67cf. Landau, Lifshitz[27]


となる。

(13.105)が成り立つとき，以下を満たすような ω = ΩF∂

∂φが

存在する (ΩF は (13.111)を満たす)。

E = −ω ×B (13.108)

これを，(13.45)に代入すれば，

D = − 1α

(ω + β)×B (13.109)

また，(13.31)に (13.108)を代入して68，

∇× (ω ×B) = 0

を得る。そうすると，

0 = eijk∂

∂xjeklmω

lBm

=1√‖γ‖ε

ijk ∂

∂xj

√‖γ‖εklmωlBm

=(δilδ

jm − δimδjl

) 1√‖γ‖

∂

∂xj

√‖γ‖ωlBm

=1√‖γ‖

∂

∂xj

√‖γ‖ωiBj

− 1√

‖γ‖∂

∂xj

√‖γ‖ωjBi

= ωi1√‖γ‖

∂

∂xj

√‖γ‖Bj

+Bj

∂

∂xjωi

− 1√‖γ‖B

i ∂

∂xj

√‖γ‖ωj

− ωj ∂

∂xjBi

= Bj∂

∂xjωi + ωi (∇ ·B)−Bi (∇ · ω)− ωj ∂

∂xjBi

= (B ·∇)ωi −Bi ∂ΩF

∂φ− ΩF

∂

∂φBi

軸対称性から toroidal方向の微分はゼロになって，

B ·∇ΩF = 0 (13.110)

が導かれる。:::::::::::::::::::::::::磁力線に沿って ΩF は一定ということである。こ

こで，

Bk =1

2√‖γ‖ε

klmFlm

Eµ = γ νµ Fνλk

λ = Fµt

と (13.108)より，ΩF は次の関係にあることがわかる。

Ei = −eijkωjBk = −12εijkε

klmωjFlm

= Fjiωj = ΩFFφi

= Fit

∴®

©

ªΩF =

FrtFφr

=FθtFφθ

(13.111)

また，

Er =√‖γ‖ΩFBθ = −ΩFΨ,r

Eθ = −√‖γ‖ΩFBr = −ΩFΦ,θ

(13.112)

であるから，

Eidxi = Erdr + Eθdθ (Eφ = 0)

= −ΩF (Ψ,rdr + Ψ,θdθ) = −ΩF dΨ (13.113)

となる。Magnetosphereの角速度が電場の強さを決めているが，角速度は磁場に沿って一定であるから，flux surface上では dΨが大きさを決めているのである。あとで計算するように，(13.131)となるので，

Eidxi = −dΦ = −Φ,idxi (13.114)

であるから，定常磁気圏のときの (13.63)と一致する。

s s s s s s s

次に，(13.36), (13.104) より，

BP × (∇×H) = 4πBP × J

= 4πBP × JT ∈ poloidal plane (13.115)

左辺は，

eijkBjeklm

∂

∂xlHm =

(δliδ

mj − δljδmi

)Bj

∂

∂xlHm

=Bj∂

∂xiHj −Bj ∂

∂xjHi (13.116)

なので，toroidal成分 (φ)について，軸対称性から

−Bj ∂

∂xjHφ = 0

i.e. Bθ∂θHφ +Br∂rHφ = 0 (13.117)

を得る。:::::::::::::::::::::::::Hφ も磁力線に沿って一定なのである。Znajekの論文

で BT と書かれているものに相等する。

磁場に沿って一定な物理量は他にもあって，(13.63), (13.108)から

BiEi = −Bi ∂Φ∂xi

= −BieijkωjBk = 0 (13.118)

つまり，

B ·∇Φ = 0 (13.119)

となって,:::::::::::::::::::::Φは磁場に沿って一定である。そして，

Bµ∇µΨ = Br∇rΨ +Bθ∇θΨ=

1√‖γ‖ (Ψ,θΨ,r −Ψ,rΨ,θ) = 0

であるから，:::::::::::::::::::::Ψも磁場に沿って一定である。

Force-Free condition (13.85)の各成分は, 定常軸対称であることから，時間微分，アズィミューサル方向の微分に対してゼロになるので，

A0,rIr +A0,θI

θ = 0 (13.120)

Aφ,rIr +Aφ,θI

θ = 0 (13.121)

A0,rI0 +Aφ,rI

φ = −√‖γ‖BφIθ (13.122)

A0,θI0 +Aφ,θI

φ =√‖γ‖BφIr (13.123)

68時間微分は落とす。


となる。(13.120), (13.121)より，

−Iθ

Ir=A0,r

A0,θ=Aφ,rAφ,θ

(13.124)

i.e. − Iθ

Ir=

Φ,rΦ,θ

=Ψ,r

Ψ,θ(13.125)

を得る。また，(13.111)

ΩF =Fr0Fφr

= −At,rAφ,r

(13.126)

=Fθ0Fφθ

= −At,θAφ,θ

(13.127)

より，

A0,r + ΩFAφ,r = 0 (13.128)

A0,θ + ΩFAφ,θ = 0 (13.129)

を得る。両辺の和を取れば

A0,r +A0,θ + ΩF (Aφ,r +Aφ,θ) = 0

∴ dA0 + ΩF dAφ = 0 (13.130)

i.e. − dΦ + ΩF dΨ = 0, ΩF =dΦdΨ

(13.131)

が得られる。また，(13.128)を θで微分し, (13.129)を rで微分して両辺の差を取ると，

ΩF ,θAφ,r = ΩF ,rAφ,θ

i.e.ΩF ,rΩF ,θ

=Aφ,rAφ,θ

=(13.127)

A0,r

A0,θ(13.132)

となる。この結果は，(13.110)からも得られる。さらに，

Ψ,θ

ΩF ,θdΩF =

Ψ,θ

ΩF ,θ

(ΩF ,rdr + ΩF ,θdθ

)

=Ψ,θ

ΩF ,θΩF ,rdr + Ψ,θdθ

=(13.132)

Ψ,rdr + Ψ,θdθ = dΨ

となるので，(13.132)とから

dΨdΩF

=Ψ,r

ΩF ,r=

Ψ,θ

ΩF ,θ(13.133)

(13.122), (13.123)からは同じ方程式

Iφ = ΩF I0 −√‖γ‖Bφ Ir

Aφ,θ(13.134)

が得られるが，ここで，(13.124)より

− Iθ

Aφ,r=

Ir

Aφ,θ=

1√−gχ(r, θ) (13.135)

を満たす函数 χ(r, θ)を仮定すると，

Iφ = ΩF I0 +√‖γ‖Bφ χ√−g = ΩF I0 + χ

Bφ

α(13.136)

したがって，

Jφ = ρeΩF + χBφ (13.137)

を得る。FIDOが観測する current density jφ で書けば，

jφ = ρe

(ΩF +

ω

α

)+χ

αBφ (13.138)

である。また，χの定義より

Ir =χ√−gAφ,θ, I

θ = − χ√−gAφ,r

i.e. Jr =χ√‖γ‖Ψ,θ, J

θ = − χ√‖γ‖Ψ,r (13.139)

JP =χ√‖γ‖

(Ψ,θ

∂

∂r−Ψ,r

∂

∂θ

)(13.140)

となる。ここで (13.54)より，

1√‖γ‖

∂

∂r

(√‖γ‖Jr

)+

1√‖γ‖

∂

∂θ

(√‖γ‖Jθ

)= 0

∴ ∂

∂r(χΨ,θ)− ∂

∂θ(χΨ,r) = 0

∴ ∂χ

∂rΨ,θ − ∂χ

∂θΨ,r = 0 (13.141)


Bµ∇µχ = Brχ,r +Bθχ,θ

=1√‖γ‖

(Ψ,θ

∂χ

∂r−Ψ,r

∂χ

∂θ

)= 0

となり，::::::::::::::::::::χは ~B に沿って一定という事が示された。

Poloidal方向の磁場BP は,

BP = − 1gφφ

m×∇Ψ (13.142)

=1√‖γ‖

(Ψ,θ

∂

∂r−Ψ,r

∂

∂θ

)(13.143)

で与えられる69。実際，

Br = −erijmiΨ,j1gφφ

=1√‖γ‖Ψ,θ

Bθ = −eθijmiΨ,j1gφφ

= − 1√‖γ‖Ψ,r

となる。(13.140)とから，

JP = χBP (13.144)

という関係にある事が分かる。定常磁気圏の場合，Maxwell方程式 (13.31)から，

4πJ = ∇×H

i.e.

Jr =14πerij∂iHj =

14π

√‖γ‖

∂Hφ

∂θ

Jθ =14πeθij∂iHj = − 1

4π√‖γ‖

∂Hφ

∂r

Jφ =14πeφij∂iHj =

14π

√‖γ‖

(∂Hθ

∂r− ∂Hr

∂θ

)

(13.145)

69 ~m :=∂

∂φ→

(t,φ,r,θ)(0, 1, 0, 0) であるから，mi → (gtφ, gφφ, 0, 0)


であるから，χの定義より

χ =√‖γ‖ J

r

Ψ,θ= −

√‖γ‖ J

θ

Ψ,r

=14π

Hφ,θ

Ψ,θ=

14π

Hφ,r

Ψ,r


Hφ,r +Hφ,θ = 4πχ (Ψ,r + Ψ,θ)

∴ dHφ = 4πχdΨ i.e. χ =14π

dHφ

dΨ(13.146)

が得られる。(13.145)の関係は，座標系によらないという事に注意しよう。Kerr-Schild座標系ならばその時の成分同士の関係を与えている。但し，その際に注意しなければならない事の 1つとして，座標変換は 4元の vectorに関して行っているという事を忘れてはならない。例えば，Boyer-Lindquist座標で第 1式は

4πJr =1√‖γ‖BL

Hφ,θ =

√∆

AΣsin2 θHφ,θ

であり，Kerr-Schild座標系では，

4πJ r =1√‖γ‖KS

Hφ,θ =1√

Σ2(1 + z) sin2 θHφ,θ

であり，どちらも正しい式であるが，座標変換によって結ばれる関係 (13.70)によって

Jr = J r, Hφ,θ = Hφ,θ

としてしまうといけない。正しくは，

Ir = I r, Hφ,θ = Hφ,θ (13.147)

である。したがって，

J r

αKS=

Jr

αBL

∴ J r =αKS

αBLJr =

√1 + z

√A

Σ∆Jr (13.148)

であるから，Kerr-Schild座標の関係式から

4πJr =αBL

αKS

1√‖γ‖KS

Hφ,θ =

√∆

AΣsin2 θHφ,θ (13.149)

となるのである。もちろん，このような注意書きは自分への戒めである。

Force free conditionから directに導かれる (13.107)の計算をしよう。(13.144)より，

Ji = χBi i = r, θ

であるから，

1√‖γ‖ (ErJθ − EθJr)Bφ +

1√‖γ‖ (EθBr − ErBθ)Jφ

=1√‖γ‖ (EθBr − ErBθ) (Jφ − χBφ)

さらに，(13.112)より，

EθBr − ErBθ =B.L.

(−ΩFΨ,θ

) γrr√‖γ‖Ψ,θ

− (−ΩFΨ,r

)(− γθθ√‖γ‖Ψ,r

)

= − ΩF√‖γ‖

γθθ (Ψ,r)

2 + γrr (Ψ,θ)2

となる。EP の大きさは，

EP2 = γrr(Er)2 + γθθ(Eθ)2

= ΩF 2(γrr(Ψ,r)2 + γθθ(Ψ,θ)2

)

= ΩF 2

(1γrr

(Ψ,r)2 +1γθθ

(Ψ,θ)2)

=ΩF 2

γrrγθθ

γθθ(Ψ,r)2 + γrr(Ψ,θ)2

となるので，(13.106)は，

ρeΩF 2

γrrγθθ

γθθ(Ψ,r)2 + γrr(Ψ,θ)2

= (Jφ − χBφ) ΩF

‖γ‖γθθ (Ψ,r)

2 + γrr (Ψ,θ)2

∴ Jφ − χBφ = γφφρeΩF

(13.137)が再度得られた。つまり，(13.106)が成り立つ条件とは，この (13.137)が成り立つ条件に他ならないのである。このような関係にある為には，

χBφ = Jφ − γφφρeΩF

であるが, (13.146)より,

χBφ =14π

dHφ

dΨBφ =

B.L.

14πα

HφdHφ

dΨ

=1

8παd

dΨ(Hφ)

2

となるので，

dHφ2

dΨ= 8πα

(Jφ − γφφρeΩF

)(13.150)

を得る。

(13.145)の動径成分より，

4π√‖γ‖Jr = Hφ,θ

∴ Hφ = 2∫dφ

∫dθ

√‖γ‖Jr (13.151)

となる。一方，∫αjidSi =

∫∫αjieijkdx

j(1)dx

k(2)

=∫∫

αjieiθφdθdφ =∫∫

αjrerθφdθdφ

=∫∫ √

‖γ‖αjrdθdφ =∫∫ √

‖γ‖Jrdθdφ

= 2π∫ √

‖γ‖Jrdθ =: I (13.152)


であるから，

I =Hφ

2(13.153)

したがって，

dI =12dHφ = 2πχdΨ (13.154)

となる。Hφ = B∞φ であるから，無限遠の観測者から観測される磁場の toroidal成分が，holeに落ち込む currentの大きさを決めているという事になる。

under construction

(13.112)は，

Er = (13.155)

Force-Free条件の成り立つ領域における電場と磁場の関係を与える (13.109)

αDi = −Fij(ωj + βj

)=BL−Fiφ

(ΩF − ω)

=Axisym.

−Aφ,i(ΩF − ω)

∴ Di = −ΩF − ωα

∂

∂xiΨ (13.156)

とMaxwell方程式 (13.35)から，Force-Free条件が成り立つ領域において，charge density ρe は

ρe =14π∇iDi

= − 14πγij∇i

(ΩF − ω

α∇jΨ

)≡ ρGJ (13.157)

となる。この densityをGoldreich-Julian densityと呼ぶ。

ρGJ = − 14π∇i

[ΩF − ω

αγij∇jΨ

]

= − 14π

√‖γ‖

∂

∂xi

[√‖γ‖Ω

F − ωα

γij∇jΨ]

= − 14π

√‖γ‖

∂

∂r

[√‖γ‖Ω

F − ωα

γrrΨ,r

]

− 14π

√‖γ‖

∂

∂θ

[√‖γ‖Ω

F − ωα

γθθΨ,θ

](13.158)

(13.104)である事は分かったが，parallelなのか antiparallelなのか。

JP ·BP = γrrJPrBP

r + γθθJPθBP

θ

=B.L.

Σ∆

χΨ,θ√‖γ‖

Ψ,θ√‖γ‖ + Σ

(− χΨ,r√‖γ‖

)(− Ψ,r√‖γ‖

)

=Σχ

∆‖γ‖((Ψ,θ)

2 + ∆(Ψ,r)2)

‖γ‖ =B.L.

AΣsin2 θ

∆より，

JP ·BP =χ

A sin2 θ

((Ψ2,θ + ∆(Ψ,r)

2))

(13.159)

となる。χは磁場に沿って一定であるから，磁力線に沿った左辺の符号は右辺の括弧の中の符号に一致する。この値がゼロになるのは，

(Ψ2,θ + ∆(Ψ,r)

2)

= 0 (13.160)

(13.150)に ρGJ, Jφ を代入してみる。

dHφ2

dΨ= 8παγφφ

(Jφ − ρeΩF

)

∴√‖γ‖

2αγφφd(Hφ)2

dΨ= (Hθ,r −Hr,θ)

+ ΩF∂

∂r

(√‖γ‖ (

ΩF − ω)

αγrrΨ,r

)

+ ΩF∂

∂θ

(√‖γ‖ (

ΩF − ω)

αγθθΨ,θ

)

= −[(α2 − βφβφ − ΩFβφ

) γθθ

α√‖γ‖Ψ,θ

]

,r

−[(α2 − βφβφ − ΩFβφ

) γrr

α√‖γ‖Ψ,r

]

,θ

+ ΩF[γφφγθθ

α√‖γ‖

(ΩF − ω)

Ψ,r

]

,r

+ ΩF[γφφγrr

α√‖γ‖

(ΩF − ω)

Ψ,θ

]

,θ

(13.161)

が得られた。このHφに関する微分方程式は Blandford & Zna-jek(1977)の (3.14)式と同じ微分方程式である。(13.137)はこの微分方程式と等価である事が分かった。4D-metricを用いて書き換えてみよう。左辺の係数は

√‖γ‖

2αγφφ=

12γrrγθθ

α√‖γ‖ =

12

1√−ggrrgθθ

である。右辺については，最初の 2項に関して

γθθ

α√‖γ‖

(α2 − βφβφ − ΩFβφ

)=

1gθθ√−g

(α2 − β2 − ΩFβφ

)

=1

gθθ√−g

(−g00 − ΩF gφφβφ)

同様に，

γrr

α√‖γ‖ =

1grr√−g

(−g00 − ΩF gφφβφ)

となる。後ろの 2項に関しては，

γφφγθθ

α√‖γ‖

(ΩF + βφ

)=√−gα2grr

(ΩF + α2g0φ

)

= −√−ggrr (g00ΩF − g0φ

)γφφγrr

α√‖γ‖

(ΩF − ω)

= −√−ggθθ (g00ΩF − g0φ

)

などとなる。具体的にmetricの成分を代入して，さっきの微分方程式を書き表してみよう。

(l.h.s) =1

2∆ sin2 θ

d

dΨHφ

2 (13.162)


(r.h.s.) =[

1Σ sin2 θ

(z − 1 +

2Mra2 sin2 θ

AΩF

)Ψ,r

]

,r

+[

1∆Σ sin2 θ

(z − 1 +

2Mra2 sin2 θ

AΩF

)Ψ,θ

]

,θ

+ ΩF[A

Σ2

(ΩF − 2Mra

A

)Ψ,r

]

,r

+ ΩF[A

∆Σ2

(ΩF − 2Mra

A

)Ψ,θ

]

,θ

(13.161)の Newtonian極限は，12dHφ

2

dΨ= −

[Ψ,θ

sin θ

]

,r

−[

Ψ,r

r2 sin θ

]

,θ

+ ΩF[r2 sin θΩFΨ,r

],r

+ ΩF[sin θΩFΨ,θ

],θ

= (13.163)

Scharlemann & Wagoner (1973)で導出されているものである。

Energy Extraction - in a Force free region

Force-free条件 (13.85)は，(13.79), (13.80)の右辺がゼロと言っているに他ならないのだから，

∂E

∂t+ ∇ · S = 0

∂L

∂t+ ∇ ·L = 0

(13.164)

である。このようにエネルギーロスや角運動量ロスがないので，電磁場のエネルギーや角運動量は保存される。もちろん，これはプラズマのエナジーモーメンタムテンサーがネグれるということが前提になっていることに注意しよう。

Force-Free条件より導かれる関係 (13.109)から，

[D ×B]i = eijkDjBk =

(13.109)− 1αeijke

jlmBmBk (ωl + βl)

=1α

(BkBk (ωi + βi)−Bi (ωk + βk)Bk

)

i.e. D ×B =1α

(B2 (ω + β)− (B · (ω + β))B

)

であるから，Angular momentum density L は，

L = [D ×B] ·m =1α

(B2 (ωφ + βφ)−Bφ (ωk + βk)Bk

)

(13.165)

s s s s s s s

(13.83), (13.84), (13.108)から，

LP = −HφBP

SP = −(HφΩF )BP

(13.166)

である。Kerr-Schild では，√‖γ‖ = Σ sin2 θ

√1 + zなので，

Br =1√‖γ‖Aφ,θ =

1Σ sin2 θ

√1 + z

Aφ,θ

Bθ = − 1√‖γ‖Aφ,r = − 1

Σ sin2 θ√

1 + zAφ,r

Bφ =1√‖γ‖ (Aθ,r −Ar,θ)

であるから，

Sr = − HφΩF

Σsin θ√

1 + zAφ,θ

Sθ =HφΩF

Σsin θ√

1 + zAφ,r

(13.167)

このように，エネルギーと角運動量は磁場の poloidal 方向に沿って輸送されていくことがわかった。どれほど引き抜けるかは toroidal方向の磁場のの強さが決めているということになる。Penroseが考えたように，NEGATIVEなエネルギーや角運動量が holeへ入っていくという意味でエネルギー抽出ができたと言う事が出来る。磁場がどれほど Force-free領域を通過するかという事もこれから議論しなければいけないだろう。

s s s s s s s

(13.45), (13.108)から,

Ei = −eijkωjBk = αDi + eijkβjBk (13.168)

∴ αDi = −eijk(ωj + βj

)Bk (13.169)

であるから，

α2DiDi = eijk(ωj + βj

)Bkeilm (ωl + βl)Bm

=(ωj + βj

)Bk (ωj + βj)Bk

− (ωj + βj

)Bk (ωk + βk)Bj

=(ωiωi + 2ωiβi + βiβi

)B2

+(ωj + βj)Bj

2(13.170)

したがって，次の関係式を得る。

(B2 −D2

)α2 = B2

(α2 − β2

)+ (ω ·B + β ·B)2

−B2(ωiωi + 2ω · β)

(13.171)


13.1.2 Znajek condition

(13.46)と (13.109)からDを消去すると，

Hi = αBi +1αeijke

klmβj (ωl + βl)Bm

⇐⇒ Hi = αBi +1α

(δliδ

mj − δljδmi

)βj (ωl + βl)Bm


((ωi + βi)βjBj −Bi (ωj + βj)βj

)

(13.172)

Boyer-Lindquist座標系では，

ωφ = γφiωi =

A sin2 θ

ΣΩF , ωr = ωθ = 0

βφ = −2Mra

A, βφ = gφφ = −za sin2 θ

βr = βθ = βr = βθ = 0

(13.173)

であるから，(13.172)は，

Hi = αBi +1α


)


((ωi + βi)βφBφ −Bi (ωφ + βφ)βφ

)

∴ Hφ = αBφ (13.174)

となる。また，poloidal成分については，

Hr =(α2 − βφβφ − ΩFβφ

) Brα

(13.175)

Hθ =(α2 − βφβφ − ΩFβφ

) Bθα

(13.176)

一方，Kerr-Schild座標系では，

ωφ = ΩF , ωr = ωθ = ωθ = 0

ωφ =A sin2 θ

ΣΩF , ωr = −a sin2 θ(1 + z)ΩF

βr =z

1 + z, βφ = βθ = 0

βφ = −za sin2 θ, βr = z, βθ = 0

(13.177)

であるから，(13.172)は，

Hi = αBi +1α


)

∴ αHi = α2Bi + (ωi + βi)βjBj −Bi (ωj + βj)βj

********************************************************

αHφ = α2Bφ + (ωφ + βφ)(zBr − za sin2 θBφ

)+Bφ

(ΩF za sin2 θ − z2

1 + z

)

=(α2 + ΩF za sin2 θ − z2

1 + z

)Bφ + z

(A sin2 θ

ΣΩF − za sin2 θ

)Br − za sin2 θ

(A sin2 θ


)Bφ

=γφφ

(α2 − z2

1 + z+ ΩF za sin2 θ

)− za sin2 θ

(A sin2 θ


)Bφ

+γφr

(α2 − z2


)+ z

(A sin2 θ


)Br

=A sin2 θ

Σ

(α2 − z2


)− za sin2 θ

(A sin2 θ


)Bφ

+z

(A sin2 θ


)− a sin2 θ(1 + z)

(α2 − z


)Br

=(A

Σ(1− z) + z2a2 sin2 θ

)sin2 θBφ +

ΩF

(A

Σ− a2 sin2 θ(1 + z)

)z sin2 θ − a sin2 θ

Br

= ∆ sin2 θBφ +(zΣΩF − a) sin2 θBr (13.178)

********************************************************

∴ Bφ =αHφ −

(zΣΩF − a) sin2 θBr

∆sin2 θ(13.179)

=αHφ −

(2MrΩF − a) sin2 θBr

∆sin2 θ(13.180)

Horizonにおいて，Bφが有限であるためには，denominatorがゼロなので，numeratorが Horizon上でゼロである事が必要である。

α+Hφ −(2Mr+ΩF − a) sin2 θBr = 0 (13.181)

∴ Hφ =1α+

(2Mr+ΩF − a) sin2 θBr (13.182)

これが Znajek条件 (Znajek 1977)である。今見たように，これは境界条件として与えられているものではないという事に注

意しよう。あくまでも，Bφ が有限の値をとるための必要条件に過ぎないのである。Hφと Br は，Boyer-Lindquist座標系とKerr-Schild座標系で同一である事は以前にも述べた。

さて，実際に Br を計算してみると，

Br = α∗F rt =12αertijFij

=1√‖γ‖Fθφ =

1√‖γ‖Aφ,θ (∵ Aθ,φ = 0)

=1

Σ sin θ√

1 + zAφ,θ


となるので，(13.182)は，

Hφ =

(2Mr+ΩF − a) sin θ

ΣAφ,θ =

(2Mr+ΩF − a) sin θr2+ + a2 cos2 θ

Aφ,θ

=

(r2+ + a2

) (ΩF − a

r2++a2

)sin θ

r2+ + a2 cos2 θAφ,θ

=

(r2+ + a2

) (ΩF − ΩH

)sin θ

r2+ + a2 cos2 θAφ,θ

と書かれる。これを，(13.167)に代入して，

Sr =

(r2+ + a2

)ΩF

(ΩH − ΩF

)(r2+ + a2 cos2 θ

)2 (Aφ,θ)2 (13.183)

となる。最大限に抽出するためには

ΩF =12ΩH (13.184)

となっていればよい。このとき，

maxSr =14

(r2+ + a2

) (ΩH

)2

(r2+ + a2 cos2 θ

)2 (Aφ,θ)2 (13.185)

である。また，同時に

maxSθ = −Aφ,rAφ,θ

maxSr = −14

(r2+ + a2

) (ΩH

)2

(r2+ + a2 cos2 θ

)2Aφ,θAφ,r

maxLr =1

ΩFmaxSr =

14

(r2+ + a2

) (ΩH

)2

ΩF(r2+ + a2 cos2 θ

)2Aφ,θ2

maxLθ =1

ΩFmaxSθ = −1

4

(r2+ + a2

) (ΩH

)2

ΩF(r2+ + a2 cos2 θ

)2Aφ,θAφ,r

となる。

引き抜いているエネルギーや角運動量が Black holeのそれから引き抜いていると考えれば，(13.164)より，

−dMdt

= HφΩFBP

−dJdt

= HφBP

(13.186)

∴ dM

dt= ΩF

dJ

dt(13.187)

である。optimalに引き抜けているとき，ΩF =12ΩH であるか

ら，(11.331)より

dM =12

J

2M3ζdJ

したがって，(11.332)より

dζ =ζ(2− ζ)1− ζ

(dJ

J− 2

dM

M

)

=ζ(2− ζ)1− ζ

(4M3

J2ζ − 2

M

)dM

=2ζ(2− ζ)

1− ζ(

22− ζ − 1

)dM

M

=2ζ2

1− ζdM

M(13.188)

となる。これより，結局

lnM − lnMinit. =12

∫ (1ζ2− 1ζ

)dζ

=12

[−1ζ− ln ζ

]ζ

ζinit.

∴ M = Minit.eζ−ζinit.2ζζinit.

√ζinit.

ζ(13.189)

という関係にあることが分かる。ここで，Extreme Kerr holeから Schwarzschild holeになったとすると，ζinit. = 1, ζ = 2より

M =e1/4√

2Minit. ' 0.907043079Minit. (13.190)

となるが，これは角運動量を抜き取られて残る Schwartzschildhole の mass に他ならない。最初の irreducible mass は massformula (11.323)より

Mir2init. =

12Minit.

2

∴ Mirinit. =

1√2Minit. ' 0.7071Minit. (13.191)

であるから，回転エネルギーの分は

Erot = M init. −M init.ir =

(1− 1√

2

)' 0.29289Minit.

(13.192)

となる。もともと持っていた質量のエネルギーのうち 71% がirreducible massの分で 29% が角運動量の分であったということである。回転分を引き抜いて残る質量は，もともとの質量の91% であるから，放出されたエネルギーは初期質量の僅か 9%程度である。また，

1− 0.907940.29289

= 0.3143

であるから，最初に持っていた回転エネルギーの 31%しか eman-cipateされない。大部分の 69% が irreducible massとして吸収されてしまうのである。以上の計算結果は理想的なもので，実際に extreme Kerr holeが存在することはあまり考えられない。Kip. S. Thorne[?]では，canonical value a∗ = 0.998 という上限が与えられており，最近ではそれよりも小さい値になる事が示唆されている。

Komissarov showed the next theorem:There are no steady-state axisymmetric vacuum solutionssupported by remote souses of magnetic field thatsimultaneously satisfy both

D ·B = 0 and B2 −D2 > 0 (13.193)

along the magnetic field lines penetrating the ergosphere of arotating black hole.


Black hole磁気圏では，pair creationによって e+e− plasmaで満たされていると考えられる。

j = σ‖D‖ + σ⊥D⊥ + jd (13.194)

q (D + v ×B) = γ2v2σTv

v(13.195)

v‖ =q

mγνcD‖ (13.196)

v⊥ =q

mγνc

11 + δ2

D⊥ +δ2

1 + δ2D ×B

B2(13.197)

δ =νbνc

(13.198)

νb =qB

mγ, νc =

γvσubm

(13.199)

これまでの議論では，流体の慣性などを全く無視している。バルクベロシティとドリフトベロシティの関係をより明確することや，ディフュージョンの効果あるいはエネルギー（エントロピー）の散逸効果を考えることは出来ない。なにしろ，これまでの議論には温度の概念が入ってこない。また，オームの法則について簡単な線型応答の状態にあるとはもはや言えない。

磁場に沿って運動する粒子は，ドリフトの効果と適当な係数κを用いて

v =D ×B

B2+ κB (13.200)

ただし，簡単の為 gyrationを無視している。

v2 = 1− 1γ2

(13.201)

であるから，v2 < 1である。v2 = 1となる極限で v = v±となるとすると

v± =D ×B ±√B2 −D2B

B2(13.202)

である。

13.2 Description of Force-Free Electromagnetic Field By Magnetic Field Line 117

13.2 Description of Force-Free Electromag-netic Field By Magnetic Field Line

(13.12)と (13.14)とから，Fµν，∗Fµν は次のように表すことができる。

Fµν = nµDν − nνDµ + eµνσζnσBζ

∗Fµν =12eµναβFαβ

= −nµBν + nνBµ + eµνσζnσDζ

定義及び degenerate条件から

FµνBν = nνDνB

ν = 0nνB

ν = 0

つまり，磁場は flux surfaceに垂直であり，absolute spaceに属する vectorなのである。

~B ∈ ABS ∧ ~B ∈ kerFµν (13.203)

Force-free条件まで必要がないという事に注意しよう。degener-ateさえしていれば，系に関係なく成り立つので，かなり強い条件である。

磁力線の 4-velocity uµF は，次の性質をもつので一意的に定義される。

(I) uµFuFµ = −1uµF が timelikeな unit vectorである為の条件である。

(II) FµνuνF = 0

磁力線は flux surface上に存在するので，uµF は flux sur-faceに対して接しているという要請である。

(III) uµFBµ = 0, uµF ∝ ∗FµνBνこの要請により，uµF の方向が定まる。

行列 F に対して， ~B は eigen vectorであり，以前に指摘したように F のランクは２なのだから，もう 1つの eigen

vectorは，

ßµ = ∗FµνBν (13.204)

である。つまり，uµF は，F のもう 1つの eigen vectorである。したがって，

kerFµν =⟨~B, ~uF

⟩(13.205)

となっている。Force-free条件が成り立っているとき，

kerFµν =⟨~B, ~I

⟩(13.206)

であるから，~I と ~uF の間に線型関係があるという事である。つまり，~I = a~uF + b ~Bを満たす実数 a, bが存在する。このとき，両辺に ~B, ~uF

ここで，D2 = DµDµ, B2 = BµBµ と書くと

gσµ ( ∗FσνBν)( ∗FµζBζ

)= ∗Fσν ∗FσλBνBλ

=14εσναβεσλγιFαβF

γιBνBλ

= −12FαβF

αβBνBν

= −B2(B2 −D2

)(13.207)

であるが，uF µ = κ ∗FµνBν とおくと，要請 (I)を満たす為の条件は

κ2 =1

B2(B2 −D2)(13.208)

である。FIDOから見た ~uF の Lorentz factor γF は

γF := −nµuF µ = −κ · nµ∗FµνBν = −κB2 (13.209)

であるから，γF , B2 > 0より

κ = − 1B√B2 −D2

(13.210)


である。以上から，要請 (I),(III)を満足する ~uF は

uµF = −√

2B(F · F )1/2

∗FµνBν = − 1B(B2 −D2)1/2

∗FµνBν

=1

B (B2 −D2)1/2(nµB2 − eµνσλnνDσBλ

)(13.211)

=B√

B2 −D2

(nµ − α

B2e0µνλDνBλ

)(13.212)

となる。これより，uµF が timelikeである為には，

FµνFµν = 2(B2 −D2

)> 0 (13.213)

でなければならない。

uµF を FIDOに対して時間的な成分 nµと空間的な成分 vµF に分解すると

uµF = γF (nµ + vµF ) (13.214)

である。γF は磁力線の Lorentz factorである。(13.211)より

γF =def−nµuµF =

1√1− v2

F

=

√B2

B2 −D2(13.215)

vµF =1γF

(δµν + nµnν)uνF =1B2

nσeσµνζDνBζ (13.216)

である。Absolute spaceにおける ~uF は

viF =eijkDjBk

B2

(vF =

D ×B

B2

)(13.217)

となる。Fµν について解けば，

Fµν =1γF

eµνλσuλFB

σ (13.218)

∗Fµν = − 1γF

(uµFBν − uνFBµ) (13.219)

となる。

さらに，Bµを uµF で動く系の磁場とすると，BµuFµ = 0より，

Bµ =def− ∗FµλuFλ =

1γF

(uµFB

λ − uλFBµ)uFλ

=1γF

Bµ (13.220)

したがって，(13.218), (13.219)はそれぞれFµν = eµνλσu

λF B

σ (13.221)∗Fµν = −(uµF B

ν − uνF Bµ) (13.222)

となることから，磁力線の 4-velocityの静止系では電場が消えてくれることがわかる。

(13.220)を異なる方法で導出してみる70。

∗Fµλ ∗Fλν =14eµλαβeλνρσFαβF

ρσ

= −14eλµαβeλνρσFαβF

ρσ

=14

[δµν δ

αρ δ

βσ + δαν δ

βρ δ

µσ + δβν δ

µρ δασ

]FαβF

ρσ

− 14

[δµν δ

βρ δ

ασ + δβν δ

αρ δ

µσ + δαν δ

µρ δβσ

]FαβF

ρσ

=14

[FρσF ρσδµν + FνρFρµ + FσνF

µσ]

− 14

[FσρF ρσδµν + FρνFρµ + FνσF

µσ]

=12

(FλσFλσ

)δµν + FµλFλν

=(B2 −D2

)δµν − FµλFνλ

∴ ∗Fµλ ∗Fνλ =(D2 −B2

)δµν + FµλFνλ

とから，Bµ =

def− ∗FµλuFλ

=−1

B (B2 −D2)1/2∗Fµλ ∗FλνBν

=1

B (B2 −D2)1/2(D2 −B2

)δµν + FµλFνλ

Bν

=√B2 −D2

BBµ

したがって，先程と同じように

Bµ =1γF

Bµ

を得る。Generally, the same relations hold for observers mov-ing with the 4-velocity tangent to the flux surface.

上の計算から71，

Tµν =18π

(FµλF νλ + ∗Fµλ ∗F νλ

)(13.223)

となっていることも分かる。70因みに，

FµαFαν =[nµDα − nαDµ + eµαβγnβBγ

] [nαDν − nνDα + eανλσn

λBσ]

= −nµnν(B2 +D2

)+ [DµDν +BµBν ]−B2δµν + eανλσn

µnλDαBσ − eµαλσnνnλDαBσ

∴ FµαF να = −nµnν (

B2 +D2)

+ [DµDν +BµBν ]−B2gµν + eανλσnµnλDαBσ − eµαλσnνnλDαBσ

= −nµnν (B2 +D2

)+ [DµDν +BµBν ]−B2gµν +

(eανλσnµ − eµαλσnν)nλDαBσ

= −nµnν (B2 +D2

)+ [DµDν +BµBν ]−B2gµν − (

eναλσnµ + eµαλσnν)nλD

αBσ

7112FλσFλσδ

µν = FµλFνλ − ∗Fµλ ∗Fνλ であるから，Energy-momentum tensorは

Tµν =14π

(FµλFνλ − 1

4FλσFλσδ

µν

)=

18π

(FµλFνλ + ∗Fµλ ∗Fνλ

)

FλσFλσ = 2(B2 −D2

)である。


Dynamics of the magnetic field lines

Bianchi恒等式 (13.1)に (13.219)を代入すると,

∗Fµν;ν =[

1γF

(uµFBν − uνFBµ)

]

;ν

=(uµFγF

)

;ν

Bν +uµFγF

Bν;ν −(uνFγF

)

;ν

Bµ − uνFγF

Bµ;ν

= 0

を得る。(uF µ

uµFγF

)

;ν

= −(

1γF

)

;ν

= uF µ;νuµFγF

+ uF µ

(uµFγF

)

;ν

∴ uF µ

(uF

µ

γF

)

;ν

= −(

1γF

)

;ν

より，uµF に対して平行な成分は，両辺に uF µ を掛けて，

uµFuνFBµ;ν + γF

(1γF

Bν)

;ν

= 0 (13.224)

となる。0 = (uµFBµ)ν より

BµuνFu

µF ;ν − γF

(1γF

Bν)

;ν

= 0 (13.225)

とも書ける。

一方，uµF に垂直な成分は，projection hµσ := δµσ + uµFuFσ を掛ける事によって得られる。

hµλ

(uλFγF

)

;ν

=(uµFγF

)

;ν

+ uµFuFλ

(uλFγF

)

;ν

=(uµFγF

)

;ν

− uµF(

1γF

)

;ν

=uF

µ;ν

γF

や hµνuν = 0, hµνB

ν = Bµ などから，

hµλuνFB

λ;ν −BνuµF ;ν + γF

(uνFγF

)

;ν

Bµ = 0 (13.226)

となる。 Bµ と uµF を，force-free条件の式に代入すると，

B2

(δνλ −

BλBν

B2

)uµF

(1γF

uFν

)

;µ

−(

1γF

uFµ

)

;ν

+1γF

hνλ (Bµ;ν −Bν;µ)Bµ = 0 (13.227)

B2uνFuµ;ν −[Bν ;ν + 2γFBν

(1γF

)

;ν

]Bµ

+ hνµ

[γFB

2

(1γF

)

;ν

+ (Bλ;ν −Bν;λ)Bλ]

= 0 (13.228)

ただし，aζ は aµ =def

uνF∇νuµF で定義される，磁力線の加速度である。この式を磁力線の Euler方程式と呼ぼう。

uµF →FIDO

(γF , γFvF )

Bµ →FIDO

(0,B)

∇νBν = ∇ ·B = 0

(13.229)

より，(13.226)から

∂B

∂t= ∇× (vF ×B) (13.230)

このように，force-free 条件式と Bµ;µ = 0 から誘導方程式(13.230) が得られることが分かった。前にも指摘したように，理想 MHD 近似からも同様に誘導方程式が得られる。ただし，何に frozen-inしているのかという疑問は残る。

さらに，(13.228) の t成分は

12∂

∂t

(B2v2

F

)+ (vF ×B) · (∇×B)

= (vF ×B) · [ ∂∂t

(vF ×B) + ∇×B] = 0

となっていることから，j · E = 0に対応していることが分かる。つまり Joule lossがないということである。一方，(13.228)の空間成分は

γ2FB

2DtvF + γF (B ·∇v2F )B +

12(∂tB2 − γ2

FB2∂tv

2F )vF

−12γ2FB

2∇v2F + B × (∇×B) = 0

ただし，Dt =def

∂t + (vF ·∇)。計算をこりこりやった後，次の磁力線の運動方程式を得る。

*******************

DtvF = −

12(eB ·∇)v2

F

eB +

12(ev ·∇)v2

F +|vF |B2

∇ · (B2vF ) +1B2

(1 + v2F )ev · [(∇×B)×B]

ev

+

12(eD ·∇)v2

F +1B2

(1− v2F )eD · [(∇×B)×B]

eD (13.231)

*******************

ここで，各基底は

eB =1|B|B (13.232)

ev =1|vF |vF (13.233)

eD =1|D|D = − 1

|vF ×B|vF ×B (13.234)

である。(13.231)の右辺は磁力線に働く力であるが，それらは次の 3つの効果である：∇v2

F , ∇ · (B2vF )，(∇×B)×B

∇v2F the opposite effect in the direction along the magnetic

field and in the directions orthogonal to the magneticfield


∇ · (B2vF ) acting in the direction along the velocity of themagnetic field line only

(∇×B)×B ∼ j ×B

Further we also have12∂t

(B2v2

F +B2)

+ ∇ · (B2vF ) = 0 (13.235)

これは energy conservationに他ならない。

Initial value problem To gain further insight into the con-tents and the structure of the basic equations → consider thecausal development of the force-free EM field.

( ∇φ2 ·∇φ2 −∇φ1 ·∇φ2

−∇φ1 ·∇φ2 ∇φ1 ·∇φ2

)(φ1

φ2

)+

( ∇φ2 ·∇φ2 ∇φ1 ·∇φ2 − 2∇φ1 ·∇φ2

∇φ1 ·∇φ2 − 2∇φ1 ·∇φ2 ∇φ1 ·∇φ1

)(φ1

φ2

)

±(φ2∇2φ1 − φ1∇2φ2)(φ2

φ1

)±∇× (∇φ1 ×∇φ2) ·

( ∇φ2

∇φ1

)= 0

したがって，∣∣∣∣

∇φ2 ·∇φ1 −∇φ1 ·∇φ2

−∇φ1 ·∇φ2 ∇φ1 ·∇φ1

∣∣∣∣ = (∇φ1 ×∇φ2)2 = |B|2 6= 0

がなり立てば, we can invert the above eq. to the form(φ1

φ2

)= − ∇φ1 ×∇φ2

(∇φ1 ×∇φ2)2·( ∇φ1 ×∇φ2 ∇φ1 ×∇φ1

∇φ2 ×∇φ2 ∇φ2 ×∇φ1

)(φ1

φ2

)

− ∇ · (φ1∇φ2 − φ2∇φ1)(∇φ1 ×∇φ2)2

( ∇φ1 ·∇φ2 −∇φ1 ·∇φ1

∇φ2 ·∇φ2 −∇φ1 ·∇φ2

)(φ1

φ2

)

+1

(∇φ1 ×∇φ2)2

( ∇φ1 × (∇φ1 ×∇φ2)∇φ2 × (∇φ1 ×∇φ2)

)·∇× (∇φ1 ×∇φ2)

This equation has a typical form of the Cauchy problem.As far as |B| 6= 0 holds, the 2nd time derivatives of φi in theleft hand side of the above equation are expressed by φi, φi,and their spatial derivatives. Accordingly, if we prepare theEuler potentials and their 1st time derivatives all over the ini-tial 3-space as initial data, the 2nd time derivatives are givenat every point of this 3-surface from the initial data. ⇐ thespatial derivatives pf these quantities can be evaluated by dif-ferentiating them pn the initial 3-surface.

Further, if this is done at a time t, we can decide φi, φiat t + ∆t by the above equation so far as the Euler poten-tials admit amooth, i.e., power-series-like, causal development.Therefore continuing this process, we can trace a causal de-velopment of the Euler potentials by the above equation inprinciple until |B| = 0 occurs. Thus our basic equation givescomplete and self-consistent description of the force-free EMfield as far as |B| 6= 0. For a while, let us assume that |B| 6= 0is satisfied in the whole region considered and study the con-tents of the above equation further.

Arbitrariness in solutions We abbreviate φi(t,x) as φi(t)below. Further, we assume that |B| = 0 doesn’t occur.

We should note that the initial data of the Euler potentialsand their first time derivatives that yields a given initial EM

field configuration are not unique.

φ1(0) = f1(φ1(0), φ2(0))

φ2(0) = f2(φ1(0), φ2(0))

∂(φ1(0), φ2(0))∂(φ1(0), φ2(0))

=∂(f1, f2)

∂(φ1(0), φ2(0))= 1

˙φ1(0) =

∂f1∂φ1

φ1(0) +∂f1∂φ2

φ2(0)

˙φ2(0) =

∂f2∂φ1

φ1(0) +∂f2∂φ2

φ2(0)

⇒ (φi(0), φi(0)) and (φi(0), ˙φi(0)) give the same EM field.

In fact, we find

B = ∇φ1 ×∇φ2 = ∇φ1 ×∇φ2

E = −( ˙φ1∇φ2 + ˙

φ2∇φ1)

= −(φ1∇φ2 + φ2∇φ1)

Thus we should consider the relation between 2 sets of theEuler potentials that have evolved from 2 sets of the initialcondition satisfying relations ().

Since

φi(∆t) = φi(0) + φi(0)∆t

φi(∆t) = φi(0) + ˙φi(0)∆t

φi(∆t) = φi(0) + φi(0)∆t˙φi(∆t) = ˙

φi(0) + ¨φi(0)∆t

, we need express ˙φi(0), ¨

φi(0) as function of φi(0), φi(0).

φi(∆t) = fi(φ1(0), φ2(0)) +∂fi∂φ1

∣∣∣t=0

˙φ1(0)∆t+∂fi∂φ2

∣∣∣t=0

φ2(0)

' fi(φ1(∆t), φ2(∆t)) (i = 1, 2)


1. Arbitrariness in the solutions of the Euler potentials canalways be reduced to the arbitrariness in the initial da-tum of the Euler potentials. i.e. specifying one initialdatum from all the possible initial data, the subsequentcausal development of the Euler potentials is determineduniquely.

2. Thus this determinancy does not lie in the dynamics ofthe Euler potentials but lies in the nonuniqueness od thecorrespondence between the Euler potentials and the EMfield.

3. We need not add the gauge condition further, althoughthe arbitrariness comes from the gauge invariance of theEM field.

Canonical formulation Let π1 and π2 be the canonicalmomentum conjugate to φ1 and φ2, i.e.

π1 =def

∂L

∂φ1

, π2 =def

∂L

∂φ2

which give(π1

π2

)=

( ∇φ2 ·∇φ2 −∇φ1 ·∇φ2

−∇φ1 ·∇φ2 ∇φ1 ·∇φ1

)(φ1

φ2

)

Therefore, when the Hessian matrix∂2L

∂φ1∂φ2

satisfies

∂2L

∂φ1∂φ2

=1

(4π)2|B|2 6= 0

in the entire force-free region, we can invert the above equationas

(φ1

φ2

)=

4πB2

( ∇φ1 ·∇φ1 ∇φ1 ·∇φ2

∇φ1 ·∇φ2 ∇φ2 ·∇φ2

)(π1

π2

)

H = π1φ1 + π2φ2 − LThen

H =18π

(4π)2

(∇φ1 ×∇φ2)2(π1∇φ1 + π2∇φ2)2

+18π

(∇φ1 ×∇φ2)2

⇓

E =4π(π1∇φ1 + π2∇φ2)

(∇φ1 ×∇φ2)2× (∇φ1 ×∇φ2)

B = ∇φ1 ×∇φ2

Of course,

H =18π

(|E|2 + |B|2)Further, the Poynting vector S is given by

S =14π

E ×B = −(π1∇φ2 + π2∇φ1)

canonical equation of motion

φi =δH

δπi=∂H

∂πi−∇ · ∂H

∂(∇πi)

πi = −δHδφi

= −∂H∂φi

+ ∇ · ∂H

∂(∇φi)

φ1 =4π(π1∇φ1 + π2∇φ2)

(∇φ1 ×∇φ2)2·∇φ1

φ2 =4π(π1∇φ1 + π2∇φ2)

(∇φ1 ×∇φ2)2·∇φ2

and

π1 = ∇ ·

4π(π1∇φ1 + π2∇φ2)(∇φ1 ×∇φ2)2

π1 +14π

[1− (4π)2(π1∇φ1 + π2∇φ2)2

(∇φ1 ×∇φ2)4

]×∇φ2 × (∇φ1 ×∇φ2)

π2 = ∇ ·

4π(π1∇φ1 + π2∇φ2)(∇φ1 ×∇φ2)2

π2 − 14π

[1− (4π)2(π1∇φ1 + π2∇φ2)2

(∇φ1 ×∇φ2)4

]×∇φ1 × (∇φ1 ×∇φ2)

π1 = − 14π

∇φ2 ·∇× (∇φ1 ×∇φ2)

− 4π∇ ·

(π1∇φ1 + π2∇φ2) ·∇φ2

(∇φ1 ×∇φ2)2

[(π1∇φ1 + π2∇φ2) ·∇φ2

(∇φ1 ×∇φ2)2∇φ1 − (π1∇φ1 + π2∇φ2) ·∇φ1

(∇φ1 ×∇φ2)2∇φ2

]

π2 = − 14π

∇φ1 ·∇× (∇φ1 ×∇φ2)

+ 4π∇ ·

(π1∇φ1 + π2∇φ2) ·∇φ1

(∇φ1 ×∇φ2)2

[(π1∇φ1 + π2∇φ2) ·∇φ2

(∇φ1 ×∇φ2)2∇φ1 − (π1∇φ1 + π2∇φ2) ·∇φ1

(∇φ1 ×∇φ2)2∇φ2

]

Time evolution of any quantity written by the canonicalvariables is then obtained from () and (). For example, it isstraightforward to show

∂tH + ∇ · S = 0

vF =π1∇φ1 + π2∇φ2

(∇φ1 ×∇φ2)2

WF =[1− (π1∇φ1 + π2∇φ2)2

(∇φ1 ×∇φ2)4

]−1/2


(∂t + vF ·∇)φ1 = 0(∂t + vF ·∇)φ2 = 0

∂tπ1 + ∇ · (π1vF ) =−14π

∇φ2 ·∇× W−2F ∇φ1 ×∇φ2

∂tπ2 + ∇ · (π2vF ) =14π

∇φ1 ·∇× W−2F ∇φ1 ×∇φ2

Arbitrariness in canonical variables The arbitrarinessappears also in the canonical formalism.

∇φ1 ×∇φ2 = ∇φ1 ×∇φ2

π1∇φ1 + π2∇φ2 = π1∇φ1 + π2∇φ2

The functional relation between 2 sets of the canonical vari-ables that yield the same initial EM field does not changeduring the evolution of the system. Consequently, the ar-bitrariness in the canonical variables is also reduced to thearbitrariness in the initial data as expected.

Causality Structure

Breakdown of FF Approximation.

FµνuνM , uµMuMµ = −1, −nµuµM > 0 (13.236)

uµM = a1uµF + a2e

µB (13.237)

uµM = a1

(B2

B2 −D2

)1/2

nµ +

a1

(B2

B2 −D2

)1/2

uµF + a2eµB

(13.238)

γM = a1

(B2

B2 −D2

)1/2

(13.239)

vµM = vµF +(

1− 1a21

)1/2 (B2

B2 −D2

)1/2

eµB (13.240)

γM →∞, vµM → vµF (13.241)

π1∇φ1 + π2∇φ2 → 0 (13.242)∇φ1 ×∇φ2 → 0 (13.243)

1− 4π2 (π1∇φ1 + π2∇φ2)2

(∇φ1 ×∇φ2)4 > 0 (13.244)

∣∣∣∣∣4ππ1∇φ1 + π2∇φ2

(∇φ1 ×∇φ2)2

∣∣∣∣∣ < 1 (13.245)

13.3 分布函数とBoltzmann方程式以前議論した Boltzmann方程式 (6.20)

uµ∂Fa∂xµ

+ uνuµ;ν∂Fa∂uµ

= Fa,collについて再度考察しよう。3D分布函数 faと 4D分布函数Faの関係は

Fa = m3afaδ

(ε− γ2

2

)= m3

afa1u0δ(u0 − γ

)(13.246)

で与えられていたことを思い出そう。以下では，これから用いる物理量について定義しておく。

Definitions

まず，慣性中心の速度を定義しておく。

Uµ =def

∑a

ma

∫

Ωu

uµFadΩu∑a

ma

∫

Ωu

γFadΩu(13.247)

~U への射影は，

℘µν =def

gµν + UµUν (13.248)

これを使って，任意の vector ~uを ~U に平行な成分と垂直な成分に分解すると，

γvµ := ℘µνuν = uµ − γUµ (13.249)

但し γ := −Uµuµ (13.250)

したがって，

uµ = γ (Uµ + vµ) (13.251)

γ =(1− v2

)−1/2(13.252)

となるのであった。

さて，粒子数密度，平均偏流速度 (drift velocity)は，それぞれ

(CM)na =def

∫

Ωu

γFadΩu =∫γδ(u0 − γ)

u0fadu

0d3p (13.253)

=∫

Υp

fad3p (13.254)

(CM)V µa =def

1na

∫

Ωu

γvµFadΩu =1na

∫vµfad

3p (13.255)

である。Lorentz factorは centre of massから観測したときのものであるから，系に依存しているという事に注意を払う必要がある。観測する系が異なれば，この分で違った値になる。上の定義から，na, Vaµ はそれぞれ centre of massで観測した粒子数密度，drift motion であるという事を忘れてはいけない。以下で定義するような電荷密度や currentもこれらを用いて定義するので，全て系に依存したものとなる。ただし，記号が煩雑になるためどの系で観測したものかはいちいち明示しない。Uµv

µ = 0より

UµVµa = 0, ℘µνV

νa = V µa (13.256)

である事がすぐに導かれる。また，定義より

∑a

namaVµa =

∑a

ma

∫

Ωu

γvµFadΩu

=∑a

ma

∫

Ωu

(uµ − γUµ)FadΩu

=∑a

ma

∫

Ωu

uµFadΩu − Uµ∑a

ma

∫

Ωu

γFadΩu

=(13.247)

0

13.3 分布函数と Boltzmann方程式 123

となる事が分かる。このため，慣性中心をひとつの基準として選択することに意味をもつ。

(CM)Waµ =

def

∫uµFadΩu

=∫

(γUµFa + γvµFa) dΩu= naU

µ + naVaµ = na (Uµ + Va

µ) (13.257)

全各種粒子のトータルの質量密度と電荷密度は，

ρ0 =def

∑a

nama

ρe =def

∑a

naqa

(13.258)


Lorentz factorをもう 1つつけた粒子数密度，drift motionをbeamed density, beamed velocity と呼ぶ事にすると，それぞれ

n′a =def

∫

Ωu

γ2FadΩu (13.259)

=∫γ2 δ(u

0 − γ)u0

fadu0d3p =

∫γfad

3p (13.260)

V ′µa =def

1na

∫

Ωu

γ2vµFadΩu =1na

∫γvµfad

3p (13.261)

これを用いて，

εa =def

(n′a − na)ma =∫

Ωu

γ(γ − 1)maFadΩu (13.262)

=∫

Υu

(γ − 1)mafad3p (13.263)

ε =def

∑a

εa (13.264)

を定義すれば，∑a

n′ama =∑a

(n′a − na)ma +∑a

nama

= ε+ ρ0

と表す事が出来る。εは被積分函数

(γ − 1)mc2 = E −mc2 (13.265)

を見れば分かるように，kinetic energyを表している。また，

qµ =def

∑a

namaV′µa (13.266)

を定義しておく。もちろん，

Uµqµ = 0 (13.267)

が成り立っている。

Stress-tensorは

Πµνa =

def

∫

Ωu

γ2vµvνFadΩu =∫γvµvνfad

3p (13.268)

これを分解すると，

Πµνa = AUµUν +BµUν + CνUµ

+13Παβa ℘αβ℘

µν + Π〈µν〉a + Π[αβ]a ℘µα℘

νβ

=13Π λa λ℘

µν + Π〈µν〉a (13.269)

圧力について, 等方的に分布している場合を考える。つまり，

pa =def

maΠaλλ =

ma

3

∫

Ωu

γ2vµvµFadΩu (13.270)

=ma

3

∫

Υp

γvµvµfad3p =

13

∫

Υp

pµvµfad3p (13.271)

Current densityは

Iµa =def

qa

∫

Ω

uµFadΩu = naqa (Uµ + V µa ) (13.272)


iµa =def

℘µν Iνa = qanaV

µa (13.273)

は centre of massに対する current densityである。

iµ =def

∑a

iµa (13.274)

としておけば，

Iµ =def

∑a

Iµa =∑a

naqa (Uµ + V µa ) = ρeUµ + iµ (13.275)

beamed curent densityは

i′µ =def

∑a

qa

∫

Ωu

γ2vµFadΩu =∑a

qanaV′µa (13.276)

Uµi′µa = Uµi

′µ = 0 (13.277)

Boltzmann方程式からすぐに導かれること

以下では，各粒子に働く体積力は Lorentz力のみである場合を考える。このとき，粒子の加速度は

Duµ

Dτ=

qama

Fµνuν (13.278)

で与えられるわけだから，Boltzmann方程式 (6.20)を Ωu上で積分すると, 左辺の第 2項は

∫

Ωu

Duµ

Dτ

∂Fa∂uµ

dΩu =∫

qama

Fµνuν∂Fa∂uµ

dΩu

=∫

qama

∂

∂uµ(Fµνu

νFa) dΩu

=∮

Υu

qama

FµνuνFadΣµ = 0

となる。同様に (6.20)の右辺の積分は，Fa,col が aµ∂

∂uµFa と

同様の形をしている事からも分かる通りゼロになってしまう。


したがって，Boltzmann方程式を積分した結果 (0次のモーメント)

∫

Ωu

dxµ

dτ

∂Fa∂xµ

dΩu =∫

∂

∂xµ(uµFa) dΩu −

∫Fa ∂u

µ

∂xµdΩu

=∂

∂xµ

∫

Ωu

uµFadΩu = 0 (13.279)

を得る。~u = γ(~U + ~v

)と分解すると，結局，(13.279) は

Zeroth Moment

∂

∂xµ

∫

Ωu

γ (Uµ + vµ)FadΩu = 0

⇐⇒ ∂

∂xµ[na (Uµ + V µa )] = 0 (13.280)

則ち，粒子数保存の式が導出された事になる。

次に，Boltzmann方程式 (6.20)に uµ をかけて

uµuν∂Fa∂xν

+ uµaν∂Fa∂uν

= uµFa,col.からΩu上で積分してみよう（1次のモーメント）。左辺第 1項は∫

Ωu

uµuν∂Fa∂xν

dΩu

=∂

∂xν

∫

Ωu

γ2 (Uµ + vµ) (Uν + vν)FadΩu

=∂

∂xν

∫

Ωu

γ2 (UµUν + Uµvν + Uνvµ + vµvν)FadΩu

=∂

∂xν[n′aU

µUν + naUµV ′νa + naU

νV ′νa + Πµνa ]

となり，左辺第 2項は∫

Ωu

qama

uµF νλuλ ∂Fa∂uν

dΩu

=∫

Ωu

qama

∂

∂uν[uµF νλu

λFa]dΩu

− qama

∫

Ωu

(F νλu

λδµν + F νλδλνu

µ)FadΩu

=∮

∂Ωu

qama

uµF νλuλFadΣµ − qa

ma

∫

Ωu

FµλuλFadΩu

= − qama

∫

Ωu

FµνuνFadΩu = − 1

maFµνJ

νa

となる。右辺の衝突項については，Fa,col = −νFa (13.281)

と仮定すると，

Uµ∫γFa,coldΩu +

∫γvµFa,coldΩu

≡ −Uµνna − νnaV µa = −νna (Uµ + V µa )

したがって，First Moment

∂

∂xν[n′aU


νV ′µa + Πµνa ]

=1ma

FµνIaν − νna (Uµ + V µa ) (13.282)

となる。右辺を (13.281)の様に置いてしまうことで式は簡単に

なるのだが，後で見るように粘性項のない流体を扱っていることになってしまう。

ma 倍してからサムオーバーオール a

(13.280), (13.282)にmaを掛けて，aについての和をとってみる。0次モーメント (13.280)からは

∂

∂xµ[nama (Uµ + V µa )] = 0

=⇒ ∂

∂xµ

∑a

nama (Uµ + V µa ) = 0

⇐⇒ ∂

∂xµ[ρ0U

µ] = 0 (13.283)

が得られ，1次のモーメント (13.282)からは

∑a

∂

∂xνma [n′aU



=∑a

FµνJνa − νmana (Uµ + V µa )

⇐⇒ ∂

∂xν

[(ρ0 + ε)UµUν + Uµqν + Uνqµ +

∑a

maΠµνa

]

= FµνJν − νρ0U

µ

を得る。ここで，

Π〈µν〉a = 0 (13.284)

を仮定すると，(13.269)より

Πµνa =

13trΠαβ

a ℘µν =13

∫

Ωu

γ2vλvλFadΩu℘µν =(13.270)

pama

℘µν

となるので，

∂

∂xν[(ρ0 + ε)UµUν + Uµqν + Uνqµ + p℘µν ]


µ

⇐⇒ ∂

∂xν[(ρ0 + ε+ p)UµUν + Uµqν + Uνqµ + pgµν ]


µ (13.285)

となる。実際に左辺の微分を実行してみると，

(ρ0 + ε+ p),ν UµUν + (ρ0 + ε+ p)Uµ,νU

ν

+ (ρ0 + ε+ p)UµUν,ν+ Uµ,νq

ν + Uµqν,ν + Uν,νqµ + Uνqµ,ν + p,νg

µν

となるので，Uµ と内積をとると，

− (ρ0 + ε+ p),ν Uν − (ρ0 + ε+ p)Uν,ν− qν,ν − UνUµqµ,ν + p,νU

ν

=− ε,νUν − (ε+ p)Uν,ν − qν,ν + UνUµ,νqµ

となる。したがって，(13.285)より，

ε,νUν + (ε+ p)Uν,ν = −FµνUµJν − qν,ν − qµUνUµ,ν − νρ0

(13.286)

13.3 分布函数と Boltzmann方程式 125

ν = 0ならば，(ρm + ε)UµUν + Uµqν + Uνqµ + p℘µν,ν = FµνJν

(13.287)

であるが，これは，Tµν = Tfield

µν + TEMµν

= (ρ+ ερ+ p)UµUν + 2U (µqν) + pgµν

+14π

(FµλF νλ −

14gµνFλσFλσ

)

に対する Euler方程式¨§

¥¦Tµν,ν = (Tfield

µν + TEMµν),ν = 0 (13.288)

に相当する。つまり，熱流のある理想気体に相当している事が分かる。粘性を考慮した場合は，以前にも述べた通り

Tµν = (ρ+ ερ+ p)UµUν + 2U (µqν) + pgµν + πµν

+14π

(FµλF νλ −

14gµνFλσFλσ

)

となるのであったが，上の式では anisotropic perssureが含まれていない。

qa 倍してからサムオーバーオール a

(13.280), (13.282)に qa を掛けて，aについての和をとってみる。0次モーメント (13.280)からは

∂

∂xµ[naqa (Uµ + V µa )] = 0

=⇒ ∂

∂xµ

∑a

naqa (Uµ + V µa ) = 0

⇐⇒ ∂

∂xµ[ρeUµ + iµ] = 0

⇐⇒ ∂

∂xµIµ = 0 (13.289)

が得られ，1次のモーメント (13.282)からは∑a

∂

∂xνqa [n′aU



=∑a

qamaFµνIνa − νqana (Uµ + V µa )

⇐⇒ ∂

∂xν

[(ρe + εq)UµUν + Uµi′ν + Uνi′µ +

∑a

qaΠµνa

]

=∑a

qama

FµνIaν − ν (ρqUµ + iµ)

を得る。但し

εq =def

∑a

qama

εa =(13.262)

∑a

(n′a − na) qa (13.290)

=∑a

qa

∫

Ωu

γ (γ − 1)FadΩu (13.291)

pq =def

∑a

qama

pa =13

∑a

qa

∫

Ωu

γ2vµvµFadΩu (13.292)

と定義してある。右辺の第 1項は，∑a

qama

FµνIaµ = Fµν

∑a

qama

(naqaUν + iaν)

= Fµν

(∑a

naq2a

maUν +

∑a

qama

iaν

)

となるが，さらにこの第 1項の係数を

` =def

∑a

naq2a

ma(13.293)

第 2項について，1`

∑a

qama

iaµ =: hiµ (13.294)

とおくと，∑a

qama

FµνIaµ = Fµν`

(Uν +

1`

∑a

qama

iaν

)

= Fµν`(Uν + hiν

)

と書く事が出来る。したがって，右辺全体は

η =def

ν

`(13.295)

とおけば，

`[Fµν

(Uν + hiν

)− η (ρeUµ + iµ)]

となる。結局 1次のモーメント (13.282)から得られるのは，

∂

∂xν[(ρe + εq + pq)UµUν + Uµi′ν + Uνi′µ + pq℘

µν ]

= `[Fµν

(Uν + hiν

)− η (ρeUν + iν)]

(13.296)

但し，先ほどと同様に

Π〈µν〉a = 0

とした。

さて，

Cµν =def

(ρe + εq + pq)UµUν + Uµi′ν + Uνi′µ + pqgµν

(13.297)

と定義してみる。

(Cαµ√−g)

,µ+ ΓαµνC

µν√−g

= `

[(Uµ +

h

γqj′µ

)Fαµ − η

(ρqU

α +j′µ

γq

)]√−g (13.298)

j′µUµ = 0 (13.299)

with the charge-current-pressure tensor given by

Cαβ = (ρq + εq + pq)UαUβ + Uαj′β + Uβj′α + pqgαβ

(13.300)

Note that the definition of γq makes use of the fact that ~V ′aand ~Va are essentially parallel, resulting in the current ~j beingenhanced by an average Lorentz factor γq.

the Lorentz effect, the Hall effect, and resistive effect, withcoefficients

` =def

∑a

q2anama

(13.301)

h =def

1` |~j|

∑a

qama|~ja| (13.302)

η =def

ν

`(13.303)

where |~j| = (−jµjµ)1/2

126 14 GENERAL RELATIVISTIC MAGNETOHYDRODYNAMICS

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

i′µγq,µ = γ2q

[`ηρe −

i′µgµνUλUν;λ + Uµεq,µ + (εq + pq)Uµ;µ

− γq(γq − 1)i′µ;µ − γqh`i′µFµνUν]

(13.304)

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

F Cold plasma and Nonrelativistic flowthe charge-weighted internal energy and pressure arenegligible compared with ρq(c2), and the current beam-ing factor γq = 1 so that j′µ = jµ. these condition allowthe charge-current-pressure tensor to be rewritten as

Cµν = Uµjν + Uνjµ − ρqUµUν + pqgµν (13.305)

F Relativistic Pair plasmam− = m+ and q− = −q+, so εq = pq = 0, and Hallefficient vanishes explicitly. Then

j′µγq,µ = γ2q [`ηρq − j′µ (UνUµ;ν)]− γq(γq − 1)j′µ;µ

(13.306)

13.3.1 Boltzmann方程式とVlasov方程式

dℵadτ

= ℵa,col (13.307)

⇐⇒ uµ∂

∂xµℵa + uµ

∂

∂uµℵa = ℵa,col (13.308)

右辺は衝突項と呼ばれる

ℵa,col = −∑

b

∫

Ω′(aµ − a′µ) ∂

∂uµℵ′ab (x, x′, u, u′) dΩ′

(13.309)

粒子の分布函数を f とすると

df(~x, ~p)dλ

= C (13.310)

C は衝突項と呼ばれる位相空間内での密度の変化量である。

df

dλ=

∂f

∂xµdxµ

dλ+

∂f

∂pµdpµ

dλ= C (13.311)

相対論的な Boltzmann equation

pµ∂

∂xµf = C (13.312)

Here

dpµ

dλ+ Γµνσp

νpσ = 0

Proposition 13.3.1 The general relativistic form of theBoltzmann equationThe general relativistic form of the Boltzmann equation forparticles affected by the gravitational forces and collisions is

[pµ

∂

∂xµ− Γµνλp

νpλ∂

∂pµ

]f = C (13.313)

Proof of 13.3.1

df(~x, ~p)dλ

= C (13.314)

where C is the evolution of phase-space density under colli-sions.

df

dλ=

∂f

∂xµdxµ

dλ+

∂f

∂pµdpµ

dλ= C (13.315)

Here

dpµ

dλ+ Γµνσp

νpσ = 0

14 General relativistic Magnetohy-drodynamics

FCaution!!In this section, ~D′, ~B′ denotes the magnetic and electricfield measured by the plasma rest frame.

14.1 磁気流体力学の基礎方程式GRMHDにおいて基本的となる方程式らを以下に挙げておこう。

⊎Baryons保存

(ρ0uµ);µ = 0 (14.1)

ρ0 = nBmB は静止質量密度であり，uµは fluidの 4-velocityである（uµuµ = −1）。

⊎Maxwell equations

F[µν;λ] = 0Fµν;ν = 4πIµ

流体の静止系に対する電磁場は次のように定義される。

D′µ = Fµνuν (14.2)

B′µ = −12eµναβuνFαβ (14.3)

これより

Fµν = uµD′ν − uνD′µ + eµναβu

αB′β (14.4)

さらにD′µuµ = B′µu

µ = 0が成り立つ。

Iµ = ρ′euµ + jµ (ρ′e := −uνIν) (14.5)

とおいたとき，

jµ = σµνD′ν (14.6)

の関係が成り立っていると仮定しよう (Ohmの法則)。

14.1 磁気流体力学の基礎方程式 127

σµν = σ(gµν + ξB′µB′ν + ζeµναβuαB

′β

)(14.7)

但し，

σ :=nee

2τ

m

1

1 +(eτB′

m

)2

ξ :=(eτm

)2

, ζ :=eτ

m

ここで，τ は collision time，ne は electron densityである。

σµν =neme

2τ

m2 + e2τ2B′2

(gµν +

e2τ2

m2B′µB′ν +

eτ

meµναβuαB

′β

)

=neme

2τ

m2 + e2τ2B2gµν +

nee4τ3

m3 + e2mτ2B′2B′µB′ν

+nee

3τ2

m2 + e2τ2B′2eµναβuαBβ

collision time τ が十分大きい時，右辺第 2 項，第 3 項はそれぞれ

nee2τ

mB′2

(1 +

m2

e2τ2B′2

)−1

' nee2τ

mB′2

nee

B′2

(1 +

m2

e2τ2B′2

)−1

' nee

B′2


σµν ' nee2

mB′2

(τB′µB′ν +

m

eeµναβuαB

′β

)

∴ Iµ ' ρ′euµ +nee

2

mB2

(τBµBνDν +

m

eeµναβD′νuαB

′β

)

となる。τ →∞であるとき，Iµ が有限の値をとるための必要条件は

D′µB′µ = 0

に過ぎない。

では，次のような状況ではどうであろうか。

nee2τ

mÀ 1 while

eB′τm

< 1

i.e.m

nee2¿ τ <

m

eB′

自由電子が多く，collision timeが電子の Larmor periodに比べて十分小さいというときである。この場合

σµν =

nee2τ

m

1 +(eB′τm

)2

(gµν +

(eτm

)2

B′µB′ν +eτ

meµναβuαB

′β

)

' nee2τ

mgµν

これがよい近似であるのは，磁場が強くなく，高密度高温の場合 (したがって，collision time τ が短く，neτ はそれほど小さくない場合)である。このとき，

Iµ ' ρ′euµ +nee

2τ

mD′µ

であるから，~I が有限の値をとるための必要条件は，

D′µ = 0 (14.8)

となる。

ただし，以上の仮定や要請は必然でないということに注意しよう。電流が無限大に発散していることに何ら問題はない。diffu-siveな成分は無限大に発散しても構わないのだから。電気伝導度が無限大になっている時に，それとは無関係に diffusiveな成分がゼロにならなければならない。たとえば，free streamを考えてみればわかるように，ideal MHDになってしまう。つまり電気伝導度とは無関係に ideal MHDになってしまうのである。

また，Ohmの法則 (14.6)が磁気圏やプラズマ中で正しいという保証はないことにも注意すべきである。Ohmの法則を導出する方法として，電磁場中のBoltzmann方程式の線型近似という方法がある事からも分かるように，より複雑な仮定がある場合は衝突項の取り扱いに神経を注がなくてはならない。

以下では，理想電磁流体近似

D′µ = Fµνuν = 0 (14.9)

が成り立つときの話を進めていく事にしよう。Force-free条件が成り立つ領域では degenerate条件が満たされているので，逆に ideal条件を満たす frameが存在することは保証されるのだから，以下の議論にも意味があるだろう。但し，その場合においては，もはや ~uが流体の 4-velocityとは限らないので，流体の 4-velocityだからこそ成り立つ条件については，ideal条件を前提としない場合に注意しておく必要がある。

FIDOの観測する電磁場(~D, ~B

)を用いて，

D′µ = Fµνuν = 0

⇐⇒ nµDνuν − nνuνDµ + eµναβuνnαBβ = 0 (14.10)×nµ → Dνuν = 0×γλµ → γDλ + eλναβuνnαBβ = 0 (γ = −nµuµ)

(14.11)

結局72，

Dνuν = 0 i.e. Diui = 0 (14.12)

Di + eijkvjBk = 0 (14.13)

となる。このとき，

DiBi = −eijkvjBkBi = 0 (14.14)

であるから，Degenerate条件 (13.89)が成立している。もっとも，こんなにたらたら計算しなくても，∗FF = 0が 1つの系で成り立っているんだから当たり前であろう。

It is easy to check this equation leads the frozen-in condi-tion:

∂B

∂t= ∇× (v ×B) (14.15)

72uµ = Γ (nµ + vµ)


Maxwell方程式 (13.36)と (13.45)より

∂B

∂t= −∇× (αD + β ×B)

= −∇× (−αv ×B + β ×B) (14.16)

= ∇×[α

(v − β

α

)×B

](14.17)

ここで，αu0 =: γ であるから，

γ

u0

(vi − βi

α

)=ui

u0=

dxi

dτdt

dτ

=dxi

dt

つまり，無限遠の観測者が観測する速度 v∞に対して frozon-inlikeな方程式

∂B

∂t= ∇× (v∞ ×B) (14.18)

が成り立っているということが分かった。以前に議論したように，(FIDOが観測する)磁場の速度 vF に対して，

∂B

∂t= ∇× (

vF ×B)

(14.19)

という関係にあったことを思いだそう。この結果は，Degenerate条件から導かれるもので，Force-Free条件よりも広い条件で成り立つのであるが，ideal MHD条件でも同様に degenerate条件が成り立っているので，この様な frozen-in条件として導かれるのは妥当である。しかしながら，磁場に frozen-inしている速度場は異なっているということに注意しなければならない。なお，このような状況は Faraday tensorの kernelがどのようなvectorによって spanされているのかということにも関係があると考えられる。Force-free条件を仮定したときの kernelは

kerFµν =⟨~I, ~B

⟩=

⟨~uF , ~B

⟩

であるのに対し, Ideal MHD条件では

kerFµν =⟨~u, ~B′

⟩

である。

Ideal MHD conditionが成立しているとき，

wµ := ∗Fµνuν

で定義される vectorは，

Fµνwν = Fµν ∗Fνλuλ

= −FµνB′ν = −eµναβuαB′βB′ν = 0

であるから，0固有値の eigen vectorである。また，~w = ~B′なので，

ker (Fµν) = 〈 ~u, ~B′ 〉 (14.20)

⊎Fluid +EM fieldの Energy-momentum tensor


+14π

(FµλF νλ −

14gµνFλσFλσ

)(14.21)

これから，以下にみるように 2つの方程式を得る。

Ã エネルギー保存則(uµT

µν;ν = 0

)73

流体の tensorについて，Baryon数保存から

ρ0uν;ν = −ρ0,νu

ν

∴ ρuν;ν = − (ρ0,ν + ρ0,νε)uν

となるので，

uµTµν;ν = uµ (ρ+ p),ν u

µuν + uµ (ρ+ p)(uµ;νu

ν + uµuν;ν)

+ uµp,νgµν + uµT

µνEM ;ν

= − (ρ+ p),ν uν − (ρ+ p)uν;ν + p,νu

ν − uµFµνIν= −ρ,νuν − (ρ+ p)uν;ν − uµFµνIν = 0

したがって，

(ρ+ p)uν;ν = −ρ,νuν − FµνuµIν = −ρ,νuν +D′νIν

つまり

(ρ0 + ρ0ε+ p),ν uν + (ρ0 + ρ0ε)uν;ν = D′νIν (14.22)

特に，ideal MHD conditionが成立している場合は

uµ(ρ0 + ρ0ε),µ + (ρ0 + ρ0ε+ p)uµ;µ = 0 (14.23)

となる。

Ã Euler方程式(Tµν;ν = 0

)

Tµν;ν = (ρ+ p),ν uµuν + (ρ+ p)

(uµ;νu

ν + uµuν;ν)

+ p,νgµν + TµνEM ;ν

= (ρ+ p),ν uµuν + (ρ+ p)uµ;νu

ν

+ uµ (−ρ,νuν +D′νIν) + p,νgµν − FµνIν

= (ρ+ p)uµ;νuν + hµνp,ν + (uµD′ν − Fµν) Iν

= (ρ+ p)uµ;νuν + hµνp,ν +

(uνD′µ − eµνλσuλB′σ

)Iν

= (ρ+ p)uµ;νuν + hµνp,ν − ρeD′µ − eµνλσIνuλB′σ

したがって，

(ρ+ p)uµ;νuν + hµνp,ν = ρeD

′µ + eµνλσIνuλB′σ

(14.24)

を得る。

理想MHD条件 (14.9)の下では

TµνEM =18π

B′2uµuν +B′2 (gµν + uµuν)− 2B′µB′ν

(14.25)

となるので，

Tµν =(ρ0 + ερ0 + p+

B′2

4π

)uµuν

+(p+

B′2

8π

)gµν − 1

4πB′µB′ν (14.26)

したがって，Euler方程式 (14.24)は，(ρ0 + ρ0ε+ p+

B′2

4π

)aµ

= −hµν[(

p+B′2

8π

)

,ν

−(B′νB

′λ

4π

)

;λ

](14.27)

となる。但し，aµ = uµ;νuν，hµν = gµν + uµuν .

73流体の固有時間が流れる方向への射影であるから，エネルギーと呼ぶに相応しい量である。

14.2 定常軸対称時空における保存量 129

⊎ 熱力学第 1法則

(14.1)と (14.23)より，

uµ(ρ0 + ρ0ε),µ = huµρ0,µ (14.28)

h = 1 + ε +p

ρ0は単位質量あたりのエンタルピーである。

実際，dU = TdS − pdV , dH = TdS + V dp から dH =dU + pdV +V dP = dU + d(pV )であるから，Gibbs-Duhemの関係式H = U + PV が得られる74ので，

H

V= ρ+ p = ρ0 (1 + ε) + p

∴ H

ρ0V=

H

NBmB= 1 + ε+

p

ρ0=: h

LTE(局所的熱平衡状態)を仮定すれば,

dε = TdS − pd(

1ρ0

)(14.29)

T, S はそれぞれ単位質量当たりのエントロピー及び温度である。これより，

dh = TdS +dp

ρ0(14.30)

⊎EOS

p = p(ρ0, S) (14.31)

14.2 定常軸対称時空における保存量Kerr時空は定常軸対称な時空なので，以前にも述べたように 2

つの Killing vectors ~k =∂

∂t，~m =

∂

∂φが存在する。

Killing vectorに沿った Lie微分はゼロにならなければならない

, e.g., £kuµ = kλuµ;λ − kλ;µu

λ = 0. Thus all physicalquantities are independent of t and φ.

Conserved Quantities One can show that the magneticpotential Ψ =

defAµm

µ = Aφ and the electric potential −Φ =def

Aµkµ = At are constant along each flow.75

¥ ΩF (Ψ)

Ω =def

dφ

dt=

dφ

dτparticle

dt

dτparticle

=uφ

ut(14.32)

と定義すると，Ω(Ψ)は流線に沿って一定の値をとる事が分かる。

¥ C(Ψ)まず，定常軸対称であることから

Ftφ = Aφ,t −At,φ = 0Fµν,t = Fµν,φ = 0

であることがわかる。また，

Fµν;λ = (Aν,µ −Aµ,ν);λ= Aν,µλ − ΓσνλAσ,µ − ΓσµλAν,σ

−Aµ,νλ + ΓσµλAσ,λ + ΓσνλAµ,σFµν,λ = Aν,µλ −Aµ,νλ

であるから，

εαµνλFµν;λ = 0 (14.33)

εαµνλFµν,λ = 0 (14.34)

一方，Maxwell方程式からは，

∗Fµν;ν = 0 ⇐⇒ 12

(eµναβFαβ

);ν

= 0

⇐⇒ εµναβ(

1√−gFαβ)

;ν

= 0

⇐⇒ εµναβ

[(1√−g

)

,ν

Fαβ +1√−gFαβ;ν

]= 0

であるので，

εαµνλ(

1√−g)

,µ

Fνλ = 0 (14.35)

が導かれる。(14.34)で，α = t, φととると

Fθt,r + Ftr,θ = 0 (14.36)Fθφ,r + Fφr,θ = 0 (14.37)

Ideal MHD condition(14.9)を実際に展開してみると

Ftrur + Ftθu

θ = 0Frtu

t + Frθuθ + Frφu

φ = 0Fθtu

t + Fθrur + Fθφu

φ = 0Fφru

r + Fφθuθ = 0 (∵ Fφt = 0)

したがって，

Ftθ = −Ftr ur

uθ(14.38)

Fφθ = −Fφr ur

uθ(14.39)

Frθ =1uθ

(Ftru

t + Fφruφ)

(14.40)

(14.36), (14.38)より，

Ftr,θ = Ftθ,r = −(Ftr

ur

uθ

)

,r

= −Ftr,r ur

uθ− Ftr

(ur

uθ

)

,r

∴ Ftr,rur + Ftr,θu

θ = −Ftruθ(ur

uθ

)

,r

∴ uµFtr,µ =dFtrdτ

= −Ftruθ(ur

uθ

)

,r

∴ d

dτ(lnFtr) = −uθ

(ur

uθ

)

,r

(14.41)

74Legendre 変換すればよい。75i.e. £~u(ξµAµ) = £~u(ηµAµ) = 0


同様に，(14.37), (14.39)より，

Frφ,θ =(Fφr

ur

uθ

)

,r

= Fφr,rur

uθ+ Fφr

(ur

uθ

)

,r

Fφr,rur + Fφr,θu

θ = −uθFφr(ur

uθ

)

,r

∴ d

dτ(lnFφr) = −uθ

(ur

uθ

)

,r

(14.42)

したがって，(14.41), (14.42)から，

d

dτ(lnFtr − lnFφr) =

d

dτ

ln

(FtrFφr

)= 0 (14.43)

また，(14.38), (14.39)から

FtθFφθ

=FtrFφr

=(13.111)

−ΩF

であるから，これらの物理量は流体の流れに沿って一定であることが示された。

さて，(14.41)から

d

dτ(lnFφr) = −uθ

(ur

uθ

)

,r

= −uθ ur,ru

θ − uruθ,r(uθ)2

= −ur,r + uruθ,ruθ

である。

uµ,µ = ur,r + uθ,θ

uµuθ,µ = uruθ,r + uθuθ,θ

から

−ur,r + uruθ,ruθ

= −uµ,µ + uθ,θ +1uθ

(uµuθ,µ − uθuθ,θ

)

= −uµ,µ +uµuθ,µuθ

= −uµ,µ +d

dτ

(lnuθ

)

Baryon数保存から，

0 = (ρ0uµ);µ =

1√−g(√−gρ0u

µ),µ

∴ 0 =(√−gρ0

),µuµ +

√−gρ0uµ,µ

∴ uµ,µ = − 1√−gρ0

d

dτ

(√−gρ0

)

= − d

dτln

(√−gρ0

)

が得られたので，

d

dτ(lnFφr) =

d

dτln

(√−gρ0

)+

d

dτlnuθ

つまり

d

dτln

(Fφr√−gρ0uθ

)= 0 (14.44)

このようにして，lnの中身をCとおくと，Cは流線に沿って一定であることが示された。

さらに，(14.39)から

Fθφ =ur

uθFφr =

√−gρ0urC

また，(14.40)から

Frθ =1uθ

(uφFφr + utFtr

)=uφ − ΩFut

uθFφr

= C√−gρ0

(uφ − ΩFut

)

など得る。以上をまとめておく。

Fta = ΩFFaφ (a = r, θ)Fφr = −Ψ,r = C

√−gρ0uθ

Fθφ = Ψ,θ = C√−gρ0u

r

Frθ = C√−gρ0(uφ − Ωut)

また，次のように書く事も出来る:

C−1 =√−gρ0u

θ

Fφr=√−gρ0u

r

Fθφ=√−gρ0u

t(Ω− ΩF

)

Frθ

=ρ0u

θα

Bθ=ρ0u

rα

Br

第 2式では，(13.38)

Bi =12eijkFjk

である事を用いた。同じことだが，流体の速度の r, θ成分は次のように書けるという事にも注意しよう。

ur =1√−gCρ0

Fθφ =1Cρ0

Br

α

uθ =1√−gCρ0

Fφr =1Cρ0

Bθ

α

(14.45)

さて，次に磁場に関する関係式を見て行こう。まず，定義から

B′µ;µ = −12

(eµναβuνFαβ

);µ

= − 12√−g

(√−geµναβuνFαβ),µ

= −12

1√−g εµναβ (uνFαβ),µ

= −12eµναβ (uν,µFαβ + uνFαβ,µ)

右辺はそれぞれ

eµναβuν;µ = eµναβuν,µ − eµναβΓσνµuσ = eµναβuν,µ

eµναβuνFαβ,µ = −uνeναβµFαβ,µ = 0

であるので，

B′µ;µ = −12eµναβuν;µFαβ

= uν;µ (uµB′ν − uνB′µ)= aµB

′µ − uν;µuνB′µ = aµB′µ (14.46)

となることがわかる。一方，Euler方程式とB′µで縮約させると(ρ+ p+

B′2

4π

)B′νa

ν = −B′νhνµ

(p+

B′2

8π

)

,µ

−(B′µB

′λ

4π

)

;λ

(ρ+ p+

B′2

4π

)B′ν;ν = −B′µ

(p+

B′2

8π

)

,µ

−(B′µB

′λ

4π

)

;λ


ここで

(B′νB′ν),µ = (B′νB′ν);µ= 2B′νB′ν;µ

であるから，[hρ0 +

B′2

4π

]B′ν;ν = −B′µp,µ − 1

8πB′µ

(B′2

),µ

+14πB′µB′µ;λB

′λ +14πB′µB′µB

′λ;λ

左辺の第 2項と右辺の第 4項がキャンセルし，右辺第 2項と第3項がキャンセルし合うので

hρ0B′ν;ν = −B′µp,µ

∴ hB′µ;µ +B′µp,µρ0

= 0

を得る。Enthalpy(per unit mass)の定義 h = 1 + ε+ p/ρ0より

h,µ = ε,µ +p,µρ0 − pρ0,µ

ρ20

=p,µρ0

+ ε,µ − p(

1ρ0

)

,µ

isentropicな場合に限り，右辺の第 2項と第 3項の和はゼロである。したがって，isentropicな過程を考える場合に限り

(hB′ν);ν = 0 (14.47)

である。heat flowや viscosityを考える場合，つまり散逸過程を考える場合は，直ちにこの条件が外れるので注意する必要がある。もちろん，この式から導かれるものも散逸過程を考える限り用いることはできない。

**********************************

定義から得られる磁場のもう 1つの関係式を導く。前に求めた Faraday tensorの関係式をフルに使っていく。

B′µ = −12eµναβuνFαβ = −uν

(eµνtrFtr + eµνtθFtθ + eµνrθFrθ + eµνrφFrφ + eµνθφFθφ

)

= −uν(eµνtrΩF + eµνrφ

)Frφ +

(eµνtθΩF + eµνθφ

)Fθφ + eµνrθFrθ

=(eµθtrΩFuθ + eµφtrΩFuφ + eµtrφut + eµθrφuθ

)C√−gρ0u

θ − (eµrtθΩFur + eµφtθΩFuφ + eµtθφut + eµrθφur

)C√−gρ0u

r

− (eµtrθut + eµφrθuφ

)C√−gρ0

(uφ − ΩFut

)

=(mµΩFuθ − δµθΩFuφ − δµθ ut + kµuθ

)Cρ0u

θ +(mµΩFur − δµrΩFuφ − δµr ut + kµur

)Cρ0u

r

− (mµut − kµuφ)(uφ − ΩFut

)Cρ0

= −Cρ0

− (uru

r + uθuθ + uφu

φ)kµ − ΩF

(utu

t + urur + uθu

θ)mµ + uφΩF

(δµr u

r + δµθ uθ + kµut

)+ ut

(δµr u

r + δµθ uθ +mµuφ

)

= −Cρ0

(1 + utu

t)kµ + ΩF

(1 + uφu

φ)mµ + uφΩF

(δµr u


)+ ut

(δµr u


)

= −Cρ0

kµ + ΩFmµ + uφΩF

(mµuφ + δµr u


)+ ut

(kµut + δµr u


)

**********************************

したがって，¨§

¥¦B′µ = −Cρ0

(kµ + ΩFmµ +

(ut + uφΩF

)uµ

)(14.48)

となる。特に，r, θ成分については，

B′r = −Cρ0

(ut + ΩFuφ

)ur

B′θ = −Cρ0

(ut + ΩFuφ

)uθ

¥ E(Ψ), L(Ψ), D(Ψ)その他の保存量を探そう。(14.47)より

h,µB′µ + hB′µ;µ = 0

⇐⇒ B′µ;µ = −h,µhB′µ = −B′µ (lnh),µ (14.49)

⇐⇒ (√−gB′µ),µ

= −√−g (lnh),µB′µ

***********************************

左辺は，(√−gCρ0u

r(ut + ΩFuφ

)),r

+(√−gCρ0u

θ(ut + ΩFuφ

)),θ

(1st term) =(√−gρ0u

r),rC

(ut + ΩFuφ

)+√−gρ0u

rC,r(ut + ΩFuφ

)+√−gρ0u

rC(ut + ΩFuφ

),r

(2nd term) =(√−gρ0u

θ),θC

(ut + ΩFuφ

)+√−gρ0u

θC,θ(ut + ΩFuφ

)+√−gρ0u

θC(ut + ΩFuφ

),θ

第 1項，第 2項は両辺の和をとってしまえば消え去る。したがって，残るのは第 3項のみで，結局，√−gρ0u

rC(ut + ΩFuφ

),r

+√−gρ0u

θC(ut + ΩFuφ

),θ

= −√−g (lnh),µB′µ

∴ ur(ut + ΩFuφ

),r

+ uθ(ut + ΩFuφ

),θ

= −

(lnh),r ur + (lnh),θ u

θ(ut + ΩFuφ

)

t, φに関する微分はゼロなので，両辺にそれぞれ対応する「ゼロ」を加えて

uµln

(ut + ΩFuφ

),µ

+ uµ (lnh),µ = 0

d

dτln

[h

(ut + ΩFuφ

)]= 0 (14.50)

*****************************************


したがって，®

©

ª−D =

defh

(ut + ΩFuφ

)(14.51)

とおけば，このDは流線に沿って一定となる。ただし，(14.47)から導いているので，isentropicな場合に限られることに注意しよう。

次に，Energy-Momentum tensorと任意の Killing vectorで定義される

Pµ =def

Tµνξν

について考えよう。~ξはKilling vectorである。Pµの divergenceを計算してみると，

Pµ;µ = (Tµνξν);µ = Tµν;µξν + Tµνξν;µ

= Tµνξν;µ = Tµνξµ;ν

=12Tµν (ξν;µ + ξµ;ν) = 0

となる。最後の等号は ~ξがKillingであることによる。P 0は保存量になるというわけである。具体的には，任意のKillilng vector~ξに対して

Pµ = ρ0

(h+

B′2

4πρ0

)uµuνξ

ν +(p+

B′2

8π

)ξµ − 1

4πB′µB′νξ

ν

*****************************************

今の場合，~kと ~mは Killingであるから，実際に計算してみると，~kに関しては，

Pµ = ρ0

(h+

B′2

4πρ0

)uµuνk

ν +(p+

B′2

8π

)kµ − 1

4πB′µB′t

より76，

Pµ;µ =[(h+

B′2

4πρ0

)uνk

ν

]

,µ

ρ0uµ +

[(h+

B′2

4πρ0

)uνk

ν

](ρ0u

µ);µ

+(p+

B′2

8π

)

,µ

kµ +(p+

B′2

8π

)kµ;µ −

14πB′νk

νB′µ;µ −14π

(B′νkν),µB

′µ

=[(h+

B′2

4πρ0

)uνk

ν

]

,µ

ρ0uµ − 1

4πB′νk

νB′µ;µ −14π

(B′νkν),µB

′µ = 0

∴ 0 =[(h+

B′2

4πρ0

)uνk

ν

]

,µ

uµ − 14πρ0

B′νkνB′µ;µ −

14πρ0

(B′νkν),µB

′µ

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)uνk

ν

]+

14πρ0

B′t[(lnh),ν B

′ν]− 1

4πρ0(B′t),µB

′µ = 0 (∵ (14.49))

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)uνk

ν

]− C

4πB′t

[(lnh),ν

(ut + ΩFuφ

)uν

]+C

4π(B′t),µ

(ut + ΩFuφ

)uµ = 0

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)uνk

ν

]+C

4π(ut + ΩFuφ

) [d

dτB′t −B′t

d

dτ(lnh)

]= 0

ここで,d

dτD = 0から

d

dτ

h

(ut + ΩFuφ

)= 0

⇐⇒ dh

dτ

(ut + ΩFuφ

)+ h

d

dτ

(ut + ΩFuφ

)= 0

⇐⇒ d

dτ

(ut + ΩFuφ

)= −ut + ΩFuφ

h

dh

dτ= − (

ut + ΩFuφ) d

dτlnh

となるので，まとめると

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)ut +

C

4π(ut + ΩFuφ

)B′t

]= 0

となる。²

±

¯

°−E =

def

(h+

B′2

4πρ0

)ut + C(ut + ΩFuφ)

B′t4π

(14.52)

76

kµ;µ = kµ

,µ + kσΓµσµ = Γµ

tµ =1

2g

∂

∂tg = 0


とおけば，E は流線に沿って一定であることがわかった。これは，

−E = uνPν = uνT

νλkλ (14.53)

と定義してもよい。また，(14.52)は，一般化した Bernoulli方程式と言ってもよいだろう。

一方，~mに関しては，

Pµ = ρ0

(h+

B′2

4πρ0

)uµuφ +

(p+

B′2

8π

)mµ − 1

4πB′µB′φ

より77，

Pµ;µ =[(h+

B′2

4πρ0

)uνm

ν

]

,µ

ρ0uµ +

[(h+

B′2

4πρ0

)uνm

ν

](ρ0u

µ);µ

+(p+

B′2

8π

)

,µ

mµ +(p+

B′2

8π

)mµ

;µ −14πB′νm

νB′µ;µ −14π

(B′νmν),µB

′µ

=[(h+

B′2

4πρ0

)uνm

ν

]

,µ

ρ0uµ − 1

4πB′νm

νB′µ;µ −14π

(B′νmν),µB

′µ = 0

∴ 0 =[(h+

B′2

4πρ0

)uνm

ν

]

,µ

uµ − 14πρ0

B′νmνB′µ;µ −

14πρ0

(B′νmν),µB

′µ

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)uνm

ν

]+

14πρ0

B′φ[(lnh),ν B

′ν]− 1

4πρ0

(B′φ

),µB′µ = 0

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)uνm

ν

]− C

4πB′φ

[(lnh),ν

(ut + ΩFuφ

)uν

]+C

4π(B′φ

),µ

(ut + ΩFuφ

)uµ = 0

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)uνm

ν

]+C

4π(ut + ΩFuφ

) [d

dτB′φ −B′φ

d

dτ(lnh)

]= 0

先ほどと同様に d

dτD = 0から，第 2項を整理して

d

dτ

[(h+

B′2

4πρ0

)uφ +

C

4π(ut + ΩFuφ

)B′φ

]= 0

となる。²

±

¯

°L =

def

(h+

B′2

4πρ0

)uφ + C(ut + ΩFuφ)

B′φ4π

(14.54)

とおけば，Lは流線に沿って一定であることがわかった。これは，

L = uνPν = uνT

νλmλ (14.55)

と定義してもよい。

**********************

これは，運動方程式 Tµν;ν = 0に関する第 1積分（それぞれ Bµ,kµ, mµ に沿って）である。

さて，(14.52)，(14.54)より

E − ΩFL = −(h+

B′2

4πρ0

) (ut + ΩFuφ

)

+CD

4πh(B′t + ΩFB′φ

)

=D

h

[h+

B′2

4πρ0+C

4π(B′t + ΩFB′φ

)]

77

mµ;µ = mµ

,µ +mσΓµσµ = Γµ

φµ =1

2g

∂

∂φg = 0


となる。ところで, (14.48)より

B′2 = C2ρ20

((ut + ΩFuφ

)uµ + kµ + ΩFmµ

)2

= C2ρ20

((ut + ΩFuφ

)2+ kt + 2ΩF kφ + Ω2

Fmφ

)

∴ B′2

Cρ0= Cρ0

((ut + ΩFuφ

)2+ gtt + 2gtφΩF + gφφΩ2

F

)

= Cρ0

((ut + ΩFuφ

)2 −Gt)

である。ここで，Killing vector ~ξ = ~k + ΩF ~mの大きさをGt =

def−ξµξµ = − (

gtt + 2gtφΩF + gφφΩ2F

)(14.56)

とおいた。また，(14.48)からB′t = −Cρ0

((ut + ΩFuφ

)ut + kt + ΩFmt

)+) ΩFB′φ = −Cρ0

(ut + ΩFuφ

)uφΩF + ΩF kφ + Ω2

Fmφ

= −Cρ0

(ut + ΩFuφ

)2 + gtt + gtφΩF + gφφΩ2F


B′t + ΩFB′φ = − B′2

Cρ0

すなわちB′2

ρ0+ C

(B′t + ΩFB′φ

)= 0

となる。したがって，D,E,Lの関係¨§

¥¦D = E − ΩFL (14.57)

が導かれる。また

−E = hut − 14πCΩF

(utB

′φ − uφB′t

)(14.58)

L = huφ +14πC

(utB

′φ − uφB′t

)(14.59)

となる事がわかる。右辺にある utB′φ − uφB′t は，

B∞φ = − ∗Fφνkν =(uφB

′ν − uνB′φ

)kν

= uφB′t − utB′φ (14.60)

から分かるように，無限遠の観測者がみる磁場の toroidal成分である。

以上のように，独立な保存量 E,L,ΩF , C, S が得られた78。これらは，Ψの函数になっている。したがって，問題はΨの空間的な配位を規定する函数の満たす方程式を解くということに言い換えられる。この方程式は Grad-Shafranov方程式と呼ばれる。次章でこの方程式を導く。

さて，(14.48)からutB

′φ = −Cρ0

(gtφ + ΩF gφφ +

(ut + uφΩF

)uφ

)ut

−) uφB′t = −Cρ0

(gtt + ΩF gtφ +

(ut + uφΩF

)ut

)uφ

= −Cρ0

(gtφ + ΩF gφφ

)ut −

(gtt + ΩF gtφ

)uφ

= −Cρ0 (utmµ − uφkµ) ξµ

であるから，

−E = hut +C2ΩF ρ0

4π(utmµ − uφkµ) ξµ

=(h+

C2ρ0ΩF

4πmµξ

µ

)ut − C2ρ0ΩF

4πkµξ

µuφ

L = huφ − C2ρ0

4π(utmµ − uφkµ) ξµ

= −C2ρ0

4πmµξ

µuφ +(h+

C2ρ0

4πkµξ

µ

)ut

2式から uφ を消去して，

− 4πhC2ρ0

E − kµξµD = hut

(4πhC2ρ0

−Gt)

を得る。同様に，ut を消去して，

4πhC2ρ0

L−mµξµD = huφ

(4πhC2ρ0

−Gt)

を得る。ここで

M2 =def

4πhC2ρ0

(> 0) (14.61)

とおけば，

−M2E − kµξµD = hut(M2 −Gt

)

M2L−mµξµD = huφ

(M2 −Gt

)

MはRelativistic Alfven Mach number と呼ばれることがある。

N =def

M2 −Gt (14.62)

とおいておく。もし，N 6= 0，つまり

M2 = Gt = − (gtt + 2gtφΩF + gφφΩ2

F

)(14.63)

でなければ，有限の値

hut = −M2E + kµξµD

M2 −Gt (14.64)

huφ =M2L−mµξ

µD

M2 −Gt (14.65)

を得ることになる。~ξが nullとなる場所，つまり

Gt = −ξµξµ = − (gtt + 2gtφΩF + gφφΩ2

F

)= 0

となる場所を light surfaceと呼ぶ79。中心天体に近い方を In-ner light surface,遠い方をOuter light surfaceと呼ぶ事も多い。後で，これらの regionについて話を蒸し返すことにしよう。

ここで，(14.64), (14.65)より，磁場 (14.60)は，

B∞φ = Cρ0 (utξφ − uφξt)

= −Cρ0M2

hN(Eξφ + Lξt) = Hφ (14.66)


Poloidal方向の関係式を導いておこう。uµuµ = −1の poloidalpartを

−1 =(gtt(ut)2 + 2gtφutuφ + gφφ(uφ)2

)+ grr(ur)2 + gθθ(uθ)2

≡ (gtt(ut)2 + 2gtφutuφ + gφφ(uφ)2

)+ (up)2

とおいておく。そうすると，78D も保存量であるが，E, L より一意にきまる。79~ξ = ~k + ΩH ~m が null になる場所を event horizon と呼んでいた。


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

(up)2 + 1 = − 1h2 (M2 −Gt)

[gtt

(M2E + kµξ

µD)2 − 2gtφ

(M2E + kµξ

µD) (

M2L−mµξµD

)+ gφφ

(M2L−mµξ

µD)2

]

= − E2

h2 (M2 −Gt)[gtt

(M2 + kµξ

µD)2 − 2gtφ

(M2 + kµξ

µD) (

M2L−mµξµD

)+ gφφ

(M2L−mµξ

µD)2

]

= − E2

h2 (M2 −Gt)2[M4

(gtt − 2gtφL + gφφL2

)+ 2M2

D

(gttkµξ

µ + gtφmµξµ)−DL

(gtφkµξ

µ + gφφmµξµ)

+D2kµξ

µ(gttkµξ

µ + gtφmµξµ)

+mµξµ

(gtφkµξ

µ + gφφmµξµ)]

= − E2

h2 (M2 −Gt)2[M4


)+ 2M2

(D− ΩFDL

)+ D2

kµξ

µ + ΩFmµξµ]

= − E2

h2 (M2 −Gt)2[M4


)+ 2M2D2 −D2Gt

]

となる。ただし，

D =def

D

E= 1− ΩFL, L =

def

L

Egttkµξ

µ + gtφmµξµ = 1

gtφkµξµ + gφφmµξ

µ = ΩF(14.67)

である80。

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ここで，

−R =def

M4(gtt − 2gtφL + gφφL2

)+ 2M2D2 −D2Gt

とおけば，

(up)2 + 1 =(E

h

)2R

(M2 −Gt)2(14.68)

この方程式を poloidal方程式と呼んでおくことにする。あとで再度考えよう。

Poloidal方向の速度 upは，Boyer-Lindquist座標系で記述した場合，Metricの (r, θ)成分が対角化されているので，

(up)2 := grr(ur)2 + gθθ(uθ)2 = grrgrr2(ur)2 + gθθgθθ

2(uθ)2

= grr(ur)2 + gθθ(uθ)2 (14.69)

となっている。(14.45)より，

(up)2 =grr(Br)2 + gθθ(Bθ)2

(Cρ0α)2=

(Bp)2

(Cρ0α)2

∴ up =Bp

Cρ0α≡ Bp

Cρ0(14.70)

primeのないこの磁場は FIDOが観測する磁場であるという事に注意しよう。

以上で得られた流体に沿って保存する物理量をまとめておこう。

E = −hut +CΩF

4πHφ

L = huφ +C

4πHφ

C =Bθ

ρ0uθα=

Br

ρ0urα

ΩF , S

Grad-Shafranov方程式

Euler方程式 (14.24)は，

ρ0huµ;νuν + h ν

µ p,ν − FµνIν = 0

であるが, (14.30)より，

0 = −dh+ TdS +dp

ρ0

=(−h,µ + TS,µ +

p,µρ0

)dxµ

∴ p,ν = ρ0h,ν − ρ0TS,ν

なので，

ρ0huµ;νuν + h ν

µ (ρ0h,ν − ρ0TS,ν)− FµνIν = 0

∴ ρ0huµ;νuν + ρ0h,µ − ρ0TS,µ + uµu

νρ0h.ν − FµνIν = 0(14.71)

となる。Isentropicな flowを考えているため S,νuν = 0として

いることに注意しよう。以下では，この方程式の r成分について計算を進めるが，他の成分についても同様である。

80gttkµξµ + gtφmµξµ =1

d(gφφξt − gtφξφ) =

1

dd = 1, gtφkµξµ + gφφmµξµ =

1

d(−gtφξt + gttξφ) =

1

dΩF d = ΩF

但し，d = gttgφφ − (gtφ)2


さて，(14.71)の左辺第 1項は，

ρ0hur;νuν = ρ0h

(ur;ru

r + ur;θuθ)

+ ρ0h(ur;tu

t + ur;φuφ)

であるが，定常軸対称性から，

£~kuµ = kλuµ,λ + kλ,µuλ = 0 i.e. uµ,0 = 0£~muµ = mλuµ,λ +mλ

,µuλ = 0 i.e. uµ,φ = 0

であるから，ur;0 = ur,0 − Γµr0uµur;φ = ur,φ − Γµrφuµ

である。よって，

ρ0hur;νuν = ρ0h

(ur;ru

r + ur;θuθ)− ρ0h

(u0Γµr0 + uφΓµrφ

)uµ

左辺第 4項について，

ρ0uruνh,ν =

stat.axisym.ρ0uru

rh,r + ρ0uruθh,θ

= −ρ0h,r(1 + u0u

0 + uθuθ + uφu

φ)

+ ρ0uruθh,θ

= ρ0uθ (urh,θ − uθh,r)− ρ0h,r − ρ0h,ru0u

0 − ρ0h,ruφuφ

ここで，u0,r = u0;r + Γµ0ruµ より，

(hu0),r = h,ru0 + hu0,r

= h,ru0 + h (u0;r + Γµ0ruµ)

∴ − ρ0h,ru0u0 = −ρ0u

0(hu0),r + ρ0hu0 (u0;r + Γµ0ruµ)

となる。同様に

−ρ0h,ruφuφ = −ρ0u

φ(huφ),r + ρ0huφ

(uφ;r + Γµφruµ

)

である。一方で，

(hur);θ = h,θur + hur;θ

(huθ);r = h,rur + huθ;r

したがって，

ρ0uruµh,µ = ρ0u

θ ((hur);θ − (huθ);r)− ρ0h,r

− ρ0huθ (ur;θ − uθ;r) + ρ0h

(u0u0;r + uφuφ;r

)

− ρ0u0(hu0),r − ρ0u

φ(huφ),r

+ ρ0huµ

(u0Γµ0r + uφΓµφr

)

さらに，uµuµ;r = 0より，

u0u0;r + uφuφ;r = −urur;r − uθuθ;rまた，

ρ0huµ


)= ρ0h

(ur;ru

r + ur;θuθ)− ρ0hur;νu

ν

であるから，

ρ0uruµh,µ = ρ0u

θ ((hur);θ − (huθ);r)− ρ0h,r

− ρ0h(ur;r + uθur;θ

)

− ρ0u0(hu0),r − ρ0u

φ(huφ),r

+ ρ0huµ


)

= ρ0uθ ((hur);θ − (huθ);r)

− ρ0h,r − ρ0u0 (hu0),r − ρ0u

φ(huφ

),r− ρ0ur;νu

ν

よって

ρ0 (hur;µuµ + h,r + uruµh,µ)

= ρ0uθ((hur);θ − (hur);θ

)− ρ0u

0(hu0),r − ρ0uφ(huφ),r

= − Ψ,r

C√−g

((hur);θ − (hur);θ

)− ρ0u


電磁場と電流の相互作用による項について計算しよう。

−FrµIµ = −Fr0I0 − FrφIφ − FrθIθ

= −Fr0I0 − FrφIφ − 14πFrθF

θµ;µ

= −Fr0I0 − FrφIφ − 14πFrθ

1√−g∂

∂xµ(√−gF θµ)

最初の２項については，

−Fr0I0 − FrφIφ = ΩFFrφI0 + FrφIφ

= Ψ,r

(ΩF I0 − I3

)

第 3項は

Frθ1√−g

∂

∂xµ(√−gF θµ) =

stat.axisym−Frθ 1√−g

∂

∂r

(√−gF rθ)

= −Cρ0

(uφ − ΩFu0

) ∂

∂r

(√−gF rθ)

となる。さらに，

F rθ =1√−g

(uφB

′0 − u0B

′φ

)=

1√−gB∞φ


−FrµIµ = Ψ,r

(ΩF I0 − I3

)+Cρ0

(uφ − ΩFu0

)

4πHφ,r

となる。右辺の第 2項は，

14πρ0u

φCB∞φ − ρ0

4πu0CΩFHφ,r

=ρ0

4πuφ

[CHφ],r − C,rHφ

− ρ0

4πu0

[CΩFHφ

],r− [

CΩF],rHφ

=ρ0

4πuφ [CHφ],r −

ρ0

4πu0

[CΩFHφ

],r

− 14πρ0u

φ ∂C

∂Ψ∂Ψ∂r

Hφ

− 14πρ0u

0 ∂(CΩF

)

∂Ψ∂Ψ∂r

Hφ

である。

Entropyについては，

ρ0TS,r = ρ0T∂S

∂Ψ∂Ψ∂r


以上より，Isentropicな flowという仮定81の下で，Euler方程式(14.24)

ρ0huµ;νuν + ρ0h,µ − ρ0TS,µ + ρ0h,νu

µuν − FµνIν = 0

の r成分は，

− Ψ,r

C√−g [(hur);θ − (uhr);θ]− ρ0u


− 14πρ0u

φ [CHφ],r +14πρ0u

0[CΩFHφ

],r

+14πρ0u

φ ∂C

∂ΨΨ,rHφ − 1

4πρ0u

0 ∂(CΩF )∂Ψ

Ψ,rHφ

+Ψ,r

(ΩF I0 − Iφ)− ρ0T

∂S

∂ΨΨ,r = 0

となる。

Ψ,r

− 1C√−g

((hur);θ − (huθ);r

)− (

Iφ − ΩF I0)

−ρ0Hφ

4π

(u0 ∂(CΩF )

∂Ψ− uφ ∂C

∂Ψ

)− ρ0T

∂S

∂Ψ

= ρ0u0

[hu0 − Hφ

4πCΩF

]

,r

+ ρ0

[huφ +

Hφ

4πC

]

,r

= −ρ0u0E,r + ρ0u

φL,r = −ρ0u0 ∂E

∂ΨΨ,r + ρ0u

φ ∂L

∂ΨΨ,r

したがって，Ψ,r, Ψ,θ 6= 0を仮定することにより以下のGrad-Shafranov equationが得られる。

Iφ − ΩIt +1

C√−g (hur),θ − (huθ),r

− ρ0ut

(∂E

∂Ψ− Hφ

4π∂

∂Ψ(CΩF

))

+ ρ0uφ

(∂L

∂Ψ− Hφ

4π∂C

∂Ψ

)+ ρ0T

∂S

∂Ψ= 0

(14.72)

Light Surface

~ξ = ~k + ΩF ~mが nullである条件

~ξ · ~ξ = −Gt = gtt + 2gtφΩF + gφφΩ2F = 0 (14.73)

が成立する場所が (Magnetophereの)light surfaceと定義される事は既に述べた。もちろん，−Gt > 0 が満たされる領域がspacelikeとなる領域であり，−Gt < 0は timelikeとなる領域である。以下では，この light surfaceの性質について考えていこう。

(14.73)を ΩF の 2次方程式と見なしたときの解は，FIDOの角速度

gtφgφφ≡ βφ = −2Mra

A= −ωFIDO

を用いて

ΩF =−gtφ ±

√g2tφ − gttgφφ

gφφ= ωFIDO ±

√(ωFIDO)2 − gtt

gφφ

= ωFIDO ±√

∆sin2 θ

と表される (gφφ ≥ 0)。この解 ΩF がゼロとなるのは，(14.73)より

gtt = 0

となるときである。つまり，Ergosphere上では ΩF がゼロでもnull geodesic上を運動している事になる。言い換えれば，角速度を持たない photonの Light surfaceは ergosphereという事である。Ergosphere上 (gtt = 0)ならば (14.73)は

−Gt = ΩF(gφφΩF + 2gtφ

)= gφφΩF

(ΩF + 2

gtφgφφ

)

= 2 sin2 θ(Mrerg + a2 sin2 θ

)ΩF

(ΩF − 2ωFIDO

)(14.74)

より，もう一方の解は

ΩF = 2ωFIDO (14.75)

である。また，event horizon上では，ωFIDO = ωH , ∆ = 0より

ΩF = ΩH (14.76)

となる。horizon上で (14.73)は

−Gt = gφφ(r = r+)(ΩF − ΩH

)2

=4M2r2+ sin2 θ

Σ+

(ΩF − ΩH

)2 ≥ 0 (14.77)

光速より遅く回転する条件は −Gt < 0であるから，

−√

(ωFIDO)2 − gttgφφ

< ΩF − ωFIDO <

√(ωFIDO)2 − gtt

gφφ

である。

Kerr Holeの成分をもう一度書くと

gtt = z − 1 =2Mr

Σ− 1

gtφ = −za sin2 θ = −2Mra sin2 θ

Σ

gφφ =A sin2 θ

Σ=

(Σ + (1 + z)a2 sin2 θ

)sin2 θ

である。但し，

a =J

Mc

Σ = r2 + a2 cos2 θ

z =2Mr

Σ=

2Mr

r2 + a2 cos2 θ

rが十分大きいとき，

gtt =(

2Mr− 1− a2 cos2 θ

r2

)(1 +

a2 cos2 θr2

)−1

' −1

gtφ ' −2Ma sin θr

(1− a cos2 θ

r2

)' 0

gφφ = r2 sin2 θ

(1 +

a2 cos2 θr2

+2Mr + Σr2Σ

a2 sin2 θ

)

' r2 sin2 θ

81uµ∇µS =dS

dτ= 0: この仮定は定常モデルにおいては妥当であると思われる。


であるから，方程式 (14.73)は−1 + r2 sin2 θΩ2

F = 0 (14.78)

∴ r =1

ΩF sin θ(14.79)

となる。この Light surfaceをOuter light surfaceと呼ぼう。Light cylinderと呼ばれる事もある。中性子星の pulsar windなどの議論の時に，Newtonianで考えた場合の共回転速度極限として現れる。

14.3 Physical quantities from flux function Ψ

It is useful to prepare 2 vectorsξµ =

defkµ + Ωmµ

ηµ =def

mµ + Θkµ

which are orthogonal to each other ξµηµ = 0 by taking

Θ = −mν(kν + Ωmν)kµ(kµ + Ωmµ)

= −gtφ + Ωgφφgtt + Ωgtφ

(14.81)

Fluid 4-velocity uµ

新しく次の物理量を定義しておく。Gt =

def−ξµξµ = −(gtt + 2gtφΩ + gφφΩ2) (14.82)

Gφ =def

ηµηµ = gφφ + 2gtφΘ + gttΘ2 (14.83)

βΣ =def

uµΣ(βΣµ + ΩχΣµ) (14.84)

χΣ =def

uµΣ(χΣµ + ΘβΣµ) (14.85)

Gt = 0が light surfaceを与える。uµ = ukξ

µ + umηµ + uµΣ where

uk =E − ΩLGtµ

+βΣ

Gt=

D

Gtµ+βΣ

Gt(14.86)

um = −L−ΘEGφµ

(4πµ

GtC2ρ0

)(1− 4πµ

GtC2ρ0

)−1

− χΣ

Gφ(14.87)

(11.140), (11.141)よりuµ = unn

µ + ullµ + uµΣ (14.88)

但し，un = α(uk + Θum) (14.89)

ul = χ((Ω + βφ)uk + (1 + βφΘ)um

)(14.90)

uµΣ = uµΣ + (uk + Θum)βµΣ + (um + Ωuk)χµΣ (14.91)

である。Here the Lorentz factor measured by FIDO, Γ is given by

Γ = −nµuµ = αu0 (14.92)

=1√

1− v2(14.93)

Of course, this definition is consistent with special relativity.Let’s take the FIDO frame where the physical process is specialrelativistic. The 4-velocity of the plasma ~u should be d

dτparticle,

and then

~u =dτFIDO

dτparticle

∂

∂τFIDO+

dτFIDO

dτparticle

dxiΣdτFIDO

∂

∂xiΣ(14.94)

=dτFIDO

dτparticle

∂

∂τFIDO+

dτFIDO

dτparticlevi

∂

∂xiΣ(14.95)

dxiΣ is displacement of particle measured by FIDO and dτFIDOdτparticle

must be Γ. Therefore

Γ =dτFIDO

dτparticle=dτFIDO

dt

dt

dτparticle(14.96)

= αu0 (14.97)

defined by the ratio of the universal time and the particleproper time, dt

dτparticle, and

−dτ2particle = −dτ2

FIDO + dx2Σ = −(1− v2)dτ2

FIDO (14.98)

∴ Γ =1√

1− v2(14.99)

Density ρ0 and other thermodynamical quantitiesp, ε, µ and T

Given S as a function Ψ, the only remaining quantity tobe known is the density ρ0.

uµuµ = −1から ρ0 を決める方程式を wind equationと呼ぶ。

− (E − ΩL)2

Gtµ2+

(4π)2(L−ΘE)2

GφG2tC

4ρ20

(1− 4πµ

GtC2ρ0

)−2

+HabΨ,aΨ,b

α2χ2C2ρ20

+β2

Σ

Gt− χ2

Σ

Gφ= −1 (14.100)

The energy-momentum tensor Tµν

Tµν = enµnν + j(nµlν + lµnν) + ja(nµH νa +H µ

a nν)

+ slµlν + sa(lµH νa +H µ

a lν) + sabH µa H ν

b (14.101)

Magnetic field B′µ

Bµ = B′nnµ +B′ll

µ +B′µΣ (14.102)

where

B′n = Cρ0α((Gtuk + βΣ

)(uk + Θum)− 1

)(14.103)

B′l = Cρ0χ

×((Gtuk + βΣ

) ((Ω + βφ)uk + (1 + βφΘ)um

)− βφ − Ω)

(14.104)

B′µΣ = Cρ0

((Gtuk + βΣ

)uµΣ − βµΣ − ΩχµΣ

)(14.105)

磁場の大きさは

B′2 = C2ρ20

(Gt

(Gφu

2m + uΣau

aΣ − 2umχΣ

)+ β2

Σ

)(14.106)

Electric current Iµ

Let’s consider the following components of the electric cur-rent,

It =1

4παχ√H

(αχ√HF ta

),a

=1

4παχ(αχF ta

)‖a (14.107)

Iφ =1

4παχ√H

(αχ√HFφa

),a

=1

4παχ(αχFφa

)‖a (14.108)

14.4 Grad-Shafranov equation in the covariant form 139

********************************************************

Faraday tensorの成分は次のように与えられる

F ta = − 1α2

(Hab +

χaΣχbΣ

χ2

)ΩΨ,b − 1

α2

(βφHab +

χaΣχbΣ

χ2

)Ψ,b +

(βbΣ − βφχbΣ

α2

)ε ab +

χaΣβb

Σ χcΣεbc

α2χ2

Frθ√H

(14.109)

Fφa =1α2

(βφHab +

χaΣχbΣ

χ2

)ΩΨ,b −

(1χ2−

(βφ

α

)2)Hab − βaΣβ

bΣ

α2χ2

Ψ,b −

[(1χ2−

(βφ

α

)2)χbΣ +

βaΣβbΣ

α2

ε ab +

βaΣβb

Σ χcΣεbc

α2χ2

]F12√H

(14.110)

但し，Frθ は次式で与えられる。

Frθ√H

= Cαχρ0(uφ − Ωut) = Cαχρ0um(1− ΩΘ) (14.111)

********************************************************

Auxiliary quantity Λ

Λ =14π

(utB′φ − uφB′t)

=14πCρ0 (Gφum + χΣ) (gtt + ΩF gtφ) (14.112)

14.4 Grad-Shafranov equation in the covari-ant form

The covariant expression for the Grad-Shafranov equation isreadily obtained as

Iφ − ΩIt +1

αχCεab(µuΣa)‖b − ρ0(uk + Θum) (E′ − Λ(CΩ)′)

+ ρ0(um + Ωuk)(L′ − Λuk) + ρ0TS′ = 0 (14.114)

To obtain equilibrium configurations of magnetars, we haveto solve the GS equation(14.114) - It looks formidable to solveit. So many researchers are assume that a rotating black holeis surrounded by the dipole magnetic field generated by theaccreting disk.

No toroidal field limit The GS equation (14.114) reducesto

Iφ − ΩIt − ρ0uk (E′ − ΩL′ − CΛΩ′) + ρ0TS′ = 0 (14.115)

No poloidal field limit The GS equation (14.114) reducesto

(uk + Θum) (E′ − Λ(CΩ)′)− (um + Ωuk) (L′ − ΛC ′)− TS′ = 0 (14.116)

where primes now denotes differentiation w.r.t. Ψ

No magnetic field limit In the case that putting Ψ→ δ1Ψand C → C/δ2 and take the limit δ1, δ2 → 0, the GS equation(14.114) reduces to

uk ((E − ΩL)′ − Ω′(CΛ− L))− TS′ = 0 (14.117)

In the case that putting Ψ → δΨ and C → δC and take thelimit δ → 0, then

− ρ0uk(E′ − ΩL′) + ρ0um(L′ −ΘE′)

+1

αχCεab(µuΣa)‖b + ρ0TS

′ = 0 (14.118)

Newtonian limit The metric reduces to

gµνdxµdxν = −(1 + 2ϕ)dt2 + (1− 2ϕ)(dZ2 + dR2 +R2dφ2)

(14.119)

where the Newtonian potential φ is order O(v2). We denote

the 3D velocity by vi =def

ui

u0=dxi

dtwhere

u0 = 1− ϕ+vivi2

(14.120)

We regard the internal energy ε and the pressure p to be O(v2).To make the energy density of the EM field O(v2), we demand

Bi ∼ O(v), B0 ∼ O(v2), Ψ ∼ O(v), Ω ∼ O(v) (14.121)

then we find

Ba = Cρ0va (14.122)

Bφ = Cρ0(vφ −RΩ) (14.123)

where Bφ =def

RBφ and vφ =def

Rvφ. We also have

L = Rvφ + CΛ = R

(vφ − CBφ

4π

)∼ O(v) (14.124)

D − 1 = ε+p

ρ0+v2

2+ ϕ−RΩvφ ∼ O(v2) (14.125)

In the Newtonian order, these terms may be evaluated on theflat background with α = 1, χ = R2. Then −ΩJ t ∼ O(v3) andthe term Jφ is given by

Jφ = − 14παχ

(α

χHabΨ,b

)

‖a= − 1

4πR2∆∗Ψ (14.126)

where ∆∗ = R∂

∂R

1R

∂

∂R+

∂2

∂Z2and vφ = Rvφ.

To the lowest order,

Θ = R2Ω ∼ O(v) (14.127)uk = 1 ∼ O(1) (14.128)

um = −L−R2Ω

R2

(4πC2ρ0

)(1− 4π

C2ρ0

)−1

∼ O(v) (14.129)

E′ = (D − 1 + ΩL)′ ∼ O(v) (14.130)L′ ∼ O(1) (14.131)

Λ = −Cρ0umR2

4π∼ O(v) (14.132)


The GS equation (14.114) in the Newtonian limit is givenby (

1− 4πC2ρ0

)∆∗Ψ− 4π

C∇

(1Cρ0

)· ∇Ψ

=− 4πρ0R2((D − 1)′ +RvφΩ′) + 4πR2ρ0TS

′

−(

4πLD−Rvφ 4π

C

) ((4πLC

)′−Rvφ

(4πC

)′)

(14.133)

14.5 Poloidal Equation(Relativistic Bernoulliequation along magnetic field line)

Poloidal equation (14.68)

(up)2 + 1 =(E

h

)2R

(M2 −Gt)2=

(E

h

)2R

N2

を流体の流れにそって微分してみよう。Bulk velocityの propertimeを τ とすれば，

2updup

dτ= E2 d

dτ

1h2

[R

N2

]

= E2

[R

(hN)2− 2

R

(hN)3d

dτ(hN)

]

=(E

hN

)2

R− 2R

(N

N+h

h

)

∴ updup

dτ=

(E

hN

)2 12R−R

(d

dτlnN +

d

dτlnh

)

(14.134)

ここで，isentropicで polytropicな関係が成り立っていれば，en-thalpyは

d

dτlnh =

(∂ lnh∂ ln ρ0

)

adiabatic

d

dτ(ln ρ0) ≡ c2SW

d

dτln ρ0

i.e. h = hc2SW

ρ0

ρ0

であるから，

d

dτM2 =

4πC2

d

dτ

[h

ρ0

]=

4πC2

[h

ρ0− h

ρ20

ρ0

]

=4πhC2ρ2

0

(c2SW − 1

)ρ0 = M2 ρ0

ρ0

(c2SW − 1

)

= M2(c2SW − 1

) d

dτ(ln ρ0)

となる。また，

R = − d

dτ

[kM4 + 2M2D2 −GtD2

]

= −kM4 − 2kM2 d

dτM2 − 2D2 d

dτM2 + GtD

2

= −

k + 2kρ0

ρ0

(c2SW − 1

)M4

− 2D2 ρ0

ρ0

(c2SW − 1

)M2 + GtD

2

ただし

k = gtt − 2gtφL + gφφL2 (14.135)

とおいた。また，

N =d

dτM2 − Gt = M2

(c2SW − 1

) ρ0

ρ0− Gt

である。質量密度の微分は (14.70)より，

lnup = ln Bp − lnC − ln ρ0

であるから，

d

dτln ρ0 =

d

dτln Bp − d

dτlnup (14.136)

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

以上から (14.134)は，

u2p

d

dτ(lnup)

(E

hN

)−2

= −12

(k + 2k

d

dτ(ln ρ0)

(c2SW − 1

)M4 + 2D2 d

dτ(ln ρ0)

(c2SW − 1

)M2 − GtD2

)

−R

(M2

(c2SW − 1

)ddτ (ln ρ0)− Gt

N+ c2SW

d

dτ(ln ρ0)

)

=(

kM4 + D2M2 +RM2

N

)(1− c2SW)−Rc2SW

d(ln ρ0)dτ

− 12kM4 +

(12D2 +

R

N

)Gt

=(

kM4 +(

D2 +R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW)

d(ln ρ0)dτ

− 12kM4 +

(12D2 +

R

N

)Gt

ここで (14.136)より

up

2

(E

hN

)−2

+(

kM4 +(

D2 +R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW)

d(lnup)dτ

=(

kM4 +(

D2 +R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 +

(12D2 +

R

N

)Gt

14.5 Poloidal Equation(Relativistic Bernoulli equation along magnetic field line) 141

したがって

up

2N2 +(E

h

)2 (kM4 +

(D2 +

R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW)

d(lnup)dτ

=(E

h

)2[(

kM4 +(

D2 +R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 +

(12D2 +

R

N

)Gt

]

となる。これを，Dd(lnup)dτ

= N とおく。則ち，

D := up2N2 +

(E

h

)2 (kM4 +

(D2 +

R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW) (14.137)

N :=(E

h

)2[(

kM4 +(

D2 +R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 +

(12D2 +

R

N

)Gt

](14.138)

と定義する。Dは，

D := up2N2 +

(E

h

)2 (kM4 +

(D2 +

R

N

)M2

)−R

c2SW

(1− c2SW)

(1− c2SW)

=(14.68)

up2N2 +

N2

R

(up

2 + 1) (

kM4 +(

D2 +R

N

)M2

)−R

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

= up2N2 +

(up

2 + 1)N

(NR−1kM4 +

(ND2 + R

)R−1M2

)−Nc2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

= up2N2 +

(up

2 + 1)N

(NR−1kM4 − (

kM4 + D2M2)R−1M2

)−Nc2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

= up2N2 +

(up

2 + 1)N

(kN−D2 − kM2

)R−1M4 −N

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

= up2N2 +

(up

2 + 1)N

− (

kGt + D2)R−1M4 −N

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

また，N は，

N :=(E

h

)2[(

kM4 +(

D2 +R

N

)M2

)−R

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 +

(12D2 +

R

N

)Gt

]

=(E

h

)2[− kGt + D2

N2M4 − R

N

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 +

(12D2 +

R

N

)Gt

]

=(E

h

)2[− kGt + D2

N2M4 − R

N

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 − 2kM4 + 3D2M2 +Gt

2NGt

]


となるから，d(lnup)dτ

=ND

=

(E

h

)2[− kGt + D2

N2M4 − R

N

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 − 2kM4 + 3D2M2 +Gt

2NGt

]

up2N2 + (up

2 + 1) N

− (kGt + D2) R−1M4 −N

c2SW

1− c2SW

(1− c2SW)

=

(E

h

)2[− K

N2M4 − R

NC2

SW

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12kM4 − J

2NGt

]

up2N2 + (up

2 + 1) N −KR−1M4 −NC2SW (1− c2SW)

(K := kGt + D2

J := 2kM4 + 3D2M2 +Gt

=

(E

h

)2[− K

NM4 −RCSW

2

(1− c2SW)

d(ln Bp)dτ

− 12

(kM4N + JGt

)]

up2N3 − (up

2 + 1) N (KNR−1M4 + N2CSW2) (1− c2SW)

=

(E

h

)2[− K

NM4 −RCSW

2

d(ln Bp)dτ

− 12(1 + CSW

2)(kM4N + JGt

)]

(1 + CSW2)up

2N3 − (up2 + 1)N (KNR−1M4 + N2CSW

2)

= −

(E

h

)2[− K

NM4 −RCSW

2

d(ln Bp)dτ

− 12(1 + CSW

2)(kM4N + JGt

)]

N2 [(CSW2 − up

2)N + (up2 + 1) KR−1M4]

≡ NDdenominator D = N2

[(CSW

2 − up2)N +

(up

2 + 1)KR−1M4

]についてより詳しく計算していくことにしよう。

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

(14.70)から，

up2 =

Bp2

C2ρ20

=(14.61)

M2

4πhρ0Bp

2 (14.139)

より，

N =4πhρ0

Bp2up

2 −Gt =4πhρ0

Bp2

(up

2 − Bp2

4πhρ0Gt

)

≡ 4πhρ0

Bp2

(up

2 − uAW2)

(14.140)


uAW2 =

def

Bp2

4πhρ0Gt =

1α2

Bp2

4πhρ0Gt (14.141)

はAlfven wave speedと呼ばれる。Alfven speedは, 磁場のpoloidal成分の強度に依存していることに注意しよう。

B2 = gµνBµBν = grr(Br)2 + gθθ(Bθ)2 + gφφ(Bφ)2

= Bp2 + gφφ(Bφ)2 ≡ Bp

2 +BT2

∴ Bp2 = B2 −BT

2

であるから，(14.141)は

uAW2 =

1α2

B2 −BT2

4πhρ0Gt (14.142)

とも書く事が出来る。

uP = uAW =

√Gt

4πhρ0

BP

α(14.143)

となる点では，N = 0となる。この時，

construction

R−1(up

2 + 1)

=(E

Nh

)2

より

(CSW2 − up

2)N +(up

2 + 1)KR−1M4

=(CSW2 − up

2)4πhρ0

Bp2

(up

2 − uAW2)

+ K

(E

Nh

)2(

4πhρ0

Bp2up

2

)2

=4πhρ0

Bp2

(−up4 +

(CSW

2 + uAW2)up

2 − CSW2uAW

2)

+4πhρ0

Bp2

K

(E

Nh

)2(

4πhρ0

Bp2up

4

)

となっているので，

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

D =

(4πhρ0

Bp2

)3 (up

2 − uAW2)2

(−up

4 +(CSW

2 + uAW2)up

2 − CSW2uAW

2)

+ K

(E

Nh

)2(

4πhρ0

Bp2up

4

)

=

(4πhρ0

Bp2

)3 (up

2 − uAW2)2

(−up4 +

(CSW

2 + uAW2)up

2 − CSW2uAW

2)

+KE2M2

N2h2up

2

14.6 FIDOの観測量と彼の世界の方程式 143

ここで，

B∞φ = Cρ0 (utξφ − uφξt) = −Cρ0E

NhM2 (ξφ + Lξφ)

∴(B∞φ

)2 =C2ρ2

0E2

N2h2M4 (ξφ + Lξt)

2 =4πρ0E

2

N2hM2 (ξφ + Lξt)

2

∴(B∞φ )2

4πhρ0=E2M2

N2h2(ξφ + Lξt)

2 =E2M2

N2h2

(ξ2φ + 2Lξφξt + L2ξ2t

)

となるが，

K = kGt + D2 = − (gtt − 2gtφL + gφφL2

) (gtt + 2gtφΩF + gφφΩF 2

)+ (1− ΩFL)2

= −1d

(gφφ + 2gtφL + gttL

2) (gtt + 2gtφΩF + gφφΩF 2

)+ (1− ΩFL)2

(d ≡ gttgφφ − (gtφ)2 = −∆sin2 θ

)

= −gφφd

(gtt + 2gtφΩF + gφφΩF 2

)+ 1− 2

gtφd


)+ ΩF

L

−gttd


)− ΩF 2

L2

∴ −d · K = (gφφgtt − d) + 2gtφgφφΩF + (gφφΩF )2 + 2gttgtφ +

(2(gtφ)2 + d

)ΩF + gtφgφφΩF 2

L

+(gtt)2 + 2gttgtφΩF + (gttgφφ − d)ΩF 2

L2

= (gtφ)2 + 2gtφgφφΩF + (gφφΩF )2 + 2gttgtφ +

(gttgφφ + (gtφ)2

)ΩF + gtφgφφΩF 2

L

+(gtt)2 + 2gttgtφΩF + (gtφ)2ΩF 2

L2

= (gtφ + gφφΩF )2 + 2(gtφ + gφφΩF )(gtt + gtφΩF )L + (gtt + gtφΩF )2L2 = ξφ2 + 2ξtξφL + ξt

2L2

より，

(B∞φ )2

4πhρ0=E2M2

N2h2K(−d) =

E2M2

N2h2K∆sin2 θ

であるから，

D = −(

4πhρ0

Bp2

)3 (up

2 − uAW2)2

up

4 −(CSW

2 +(B∞φ )2

4πhρ0∆sin2 θ+ uAW

2

)up

2 + CSW2uAW

2

= −(

4πhρ0

Bp2

)3 (up

2 − uAW2)2 (

up2 − uSM

2) (up

2 − uFM2)

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

但し，

Z := CSW2 +

(B∞φ )2

4πhρ0∆sin2 θ+ uAW

2

として，

uFM2 =

def

Z +√

Z2 − 4CSW2uAW

2

2(14.144)

uSM2 =

def

Z−√Z2 − 4CSW2uAW

2

2(14.145)

である。それぞれ，Fast Magnetosonic wave speed, SlowMagnetosonic wave speedと呼ばれる。またPoloidal方向の流体の速度が uAW, uFM, uSWとなる場所を，それぞれAlfvenpoint, Fast Magnetosonic point, Slow Magnetosonic

point と呼ぶ。そのような場所では d

dτlnup が発散してしま

うので，N も同時にゼロになっている必要がある。このように，ND =

00となる様な場所をCritical pointと呼ぶ。

このセクションの最初に述べたように，degenerate条件が成り立つ領域では電場が消失するフレームを選び出すことができる

ので，流体の 4-velocityでなくとも，あるそのような ~uに関する formationをしておいたと考えて差し支えない。

14.6 FIDOの観測量と彼の世界の方程式

4次元時空で満たされる微分方程式は 3次元部分時空でどのように表現されるのか見てみよう。まず，電磁場中の粒子の運動方程式について考える。

pµ;νuν = eFµνuν

=⇒nµp

µ;νu

ν = enµFµνuν

γσµpµ;νu

ν = eγσµFµνuν

(14.146)

4-momentumは通常m~uで定義される。しかし，FIDOの系で定義される運動量は γmv(但し，γ = −nνuµ) あるから，(14.146)の運動量を FIDOの観測する運動量で表す必要がある。

pµ =

defmuµ = γm (nµ + vµ)→

(γm

α, γm

(vi − βi

α

))

pµ = γm (nµ + vµ)→(γm

(−α+ βivi), γmvi

)


に対し，射影した運動量はpµ =

defγµν p

ν = γmvµ → (0, γmvi

)

pµ =def

γµνpν → (

γmβjvj , γmvi

)

比較してみると分かるように，1-formの spatial partはどちらも同じである。したがって，以下では 4-momentumのまま式を扱う事にするが，下付きの空間成分は FIDOが観測する運動量に同一視される。また，文字を上げ下げするときには特に注意する必要がある（でも負けない）。

エネルギー保存則

FIDOが観測する粒子のエネルギーを E とすると，

E := −πµnµ = − (pµ + eAµ)nµ= −nµ (pµ + eAµ) = αp0 + eαA0 = γm+ eαA0 (14.147)


(πµnµ);ν = nµ;νπµ + nµπµ;ν = −E;ν

∴ nµpµ;ν = −E,ν − pµnµ;ν − e(nµAµ);ν= − (

E − eαA0),ν− pµnµ;ν

= − (γm),ν − pµnµ;ν

であるから，(14.146)の第 1式は

nµpµ;νuν = enµFµνu

ν = −eDνuν = −eDλγ

λνu

ν

= −eγDivi

∴ (E,ν + pµnµ;ν)uν = eγDivi

となる。左辺の第 2項について, (11.67)より

pµnµ;νuµ = p0u0n0;0 + piu0ni;0 + p0uin0;i + piujni;j

= m(u0)2n0;0 +muiu0 (n0;i + ni;0) +muiujni;j

=γ2m

α2

(α|jβj +

12αβiβj

(γij − 2βi|j

))

+γ2m

α

(vi − βi

α

)α|i +

1αβj


)

+ γ2m

(vi − βi

α

)(vj − βj

α

)12α


)

=γ2m

α2α|iβi +

γ2m

2α3βiβj

(γij − 2βi|j

)

+γ2m

αvi

α|i +

1αβj


)

− γ2m

α3βiβj

(γij − 2βi|j

)+γ2m

2αvivj

(γij − 2βi|j

)

− γ2m

2α2

(viβj + vjβi

) (γij − βi|j − βj|i

)

+γ2m

2α3βiβj

(γij − 2βi|j

)

=γ2m

α2α|iβi +

γ2m

αviα|i +

γ2m

2αvivj

(γij − 2βi|j

)

+γ2m

2α2

(viβj − vjβi) (

γij − βi|j − βj|i)

=γ2m

α(lnα)|i β

i + γ2m (lnα)|i vi

+γ2m

2αvivj

(γij − 2βi|j

)

したがって

uµE,ν − γ2m

αgiβ

i − γ2mgivi +

γ2m

2αvivj

(γij − 2βi|j

)= eγDiv

i

左辺の第 1項は

uµE,ν = γ

[1α

∂

∂t+

(vi − βi

α

)∇i

]E


[1α

∂

∂t+

(vi − βi

α

)∇i

]E +

γm

2αvivj

(γij − 2βi|j

)

= γm

(βi

α+ vi

)gi + eDiv

i

となる。定常時空では，

[1α

∂

∂t+

(vi − βi

α

)∇i

]E

=γm

αvivjβi|j + γm

(βi

α+ vi

)gi + eDiv

i (14.148)

となる。

運動方程式

(14.146)の第 2式は，左辺が

γ µi pµ;νu

ν = δ µi pµ;νuν

= pi;νuν =

(pi,ν − Γλiνpλ

)uν

=(pi,ν − gσλΓσiνpλ

)uν

=pi,ν −

(γσλ − nλnσ) Γσiνpλ

uν

=pi,ν − γσλΓσiνpλ + nλnσΓσiνpλ

uν

=pi,ν − γjkΓjiνpk + nλnσΓσiνpλ

uν

= pi,νuν − γjkΓjiνpkuν + nλnσΓσiνpλuν

= pi,νuν − γjkΓji0pku0

− γjkΓjilpkul + nλnσΓσiνpλuν

= pi,0u0 + pi,ju

j − γjkΓji0pku0

− (3)Γkijpkuj + nλnσΓσiνpλuν

= pi,0u0 + pi|juj − γjkΓji0pku0 + nλnσΓσiνpλuν

= pi,0u0 + pi|juj − γjkΓji0pku0

+1α2

Γ0iνp0uν − βj

α2(Γ0iνpj + Γjiνp0)uν

+βjβk

α2Γjiνpkuν


したがって，

(l.h.s.) = pi,0u0 + pi|juj

+1α2u0

[Γ00ip0 − βk (Γ00ipk + Γki0p0)+βjβkΓji0pk − α2γjkΓji0pk

]

+1α2uj

[Γ0ijp0 − βk (Γ0ijpk + Γkijp0)

+βkβlΓkijpl

]

= pi,0u0 + pi|juj

+1α2u0

[p0

(Γ00i − βkΓki0

)−pl

βl

(Γ00i − βkΓki0

)+ α2γjlΓji0

]

+1α2uj

[p0

(Γ0ij − βkΓkij

)−plβl

(Γ0ij − βkΓkij

)]

となる。ここで，v0 = g0µv

µ = g0ivi = βiv

i = βivi

u0 = γ (n0 + v0) = γ(−α+ βiv

i)

より，

pkβk = mukβ

k = γmvkβk

= mu0 + αγm

= p0 + αγm

であるから，


− 1α2u0

[αγm

(Γ00i − βkΓki0

)+ pkα

2γjkΓji0]

− 1α2uj

[αγm

(Γ0ij − βkΓkij

)]

文字の上げ下げは注意を要するのであった。

pkγjk = γmvj , pi = γmvi − γm

αβj

∴ pkγjk = pj +

γm

αβj

である。


− 1αu0

[γm

(Γ00i − βkΓki0

)+ αpjΓji0 + γmβjΓji0

]

− 1αuj

[γm

(Γ0ij − βkΓkij

)]

= pi,0u0 + pi|juj

− γ

α2

[γmΓ00i + αpjΓji0

]− γ

αpj

(Γ0ij − βkΓkij

)

= pi,0u0 + pi|juj

− γ2m

α2Γ00i − γ

αpj

(Γ0ij + Γji0 − βkΓkij

)

(11.61)より，

Γ00i =12

(βjβj

),i− αα,i = βjβj|i − αα|i

Γ0ij + Γji0 = βj,i

なので，


− γ2m

α2

(βjβj|i − αα,i

)− γ

αpj

(βj,i − βk(3)Γkij

)

=γ

α

∂

∂tpi + γ

(vj − βj

α

)∇jpi

− γ2m

[1α2βjβj|i − (lnα),i

]− γ

αpjβj|i

= γ

[1α

∂

∂tpi +

(vj − βj

α

)∇j

]pi

− γ2m

(1αβjMij + gi

)− γpjMij

再三述べるが，今回の運動量は要注意なのである。

pj = γmvj − γmβj

α

なのである。ワラ。よって，

(l.h.s.) = γ

[1α

∂

∂tpi +

(vj − βj

α

)∇j

]pi

− γ2mgi − γ2mvjMij

となった。一方，右辺は

eγiµFµνuν = eγ µ

i Fµνuν = eδ µi Fµνu

ν = eFiνuν

= e[−nνDi + eiναβn

αBβ]uν

= e

[γDi +

1αeiν0βu

νBβ − 1αeiνjβu

νβjBβ]

= eγDi +e

αe0ijku

jBk

− e

α

(ei0jβu

0βjBβ + eikjβukβjBβ

)

= eγDi +e

αe0ijkγ

(vj − βj

α

)Bk

− e

αei0jβ

γ

αβjBβ

= eγDi +eγ

αe0ijk

(vj − βj

α

)Bk +

eγ

α2e0ijββ

jBβ

= eγDi +eγ

αe0ijkv

jBk

ここで

1αe0ijk =

√‖γ‖ε0ijk =

√‖γ‖εijk = eijk

より

(r.h.s.) = eγ(Di + eijkv

jBk)

となる。以上から，FIDO系において粒子の従う運動方程式は[

1α

∂

∂t+

(vj − βj

α

)∇j

]pi

= γmgi +Mijγmvj + e

(Di + eijkv

jBk)

(14.149)

となる。以前 (5.61)を計算したように，各構成粒子の静止系で，流体が完全流体として振る舞っている場合，流体の静止系における密度や圧力を用いて


*****************************************************

Tµν = (ρm + p)uµuν + pηµν

−→FIDO

γx2((x)ρmx + (x)pxv

2)

γx2((x)ρmx + (x)px

)vxi

γx2((x)ρmx + (x)px

)vxj γx

2((x)ρmx + (x)px

)vxivx

j + (x)pxγij

≡

ρmx Sxi

Sxj T x

ij

(14.150)

*****************************************************


Euler方程式, Energy保存

もともとの 4次元時空で記述された Euler方程式やエネルギー保存則は，FIDOにとってどのような方程式となるのであろうか。まず共変微分を 3次元に落とすことを考えよう。3次元部分時空に射影された vector ~S ∈ ABS の 4次元共変微分は，

Sσ;ν = Sσ,ν + ΓσνλSλ

= Sσ,ν + ΓσνkSk

(∵ ~S ∈ ABS

)

= Sσ,ν + gσµΓµνkSk

= Sσ,ν + gσ0Γ0νkSk + gσiΓiνkSk

と書けるから，Christoffel 記号や metric を lapse 函数と shiftvectorで表す事によって，3次元的な表現に書き直す事ができる。各成分について計算していこう。

S0;0 = S0

,0 + g00Γ00kSk + g0iΓi0kSk

= S0,0 −

1α2

Γ00kSk +

1α2βiΓi0kSk

= S0,0 −

1α2

(12βiβi,k +

12βi,kβi − αα,k

)Sk

+1α2

(12βiβi,k − 1

2βiβk,i + βiγik

)Sk

= S0,0 −

12α2

βi(βk|i + βi|k

)Sk +

1α2βiγikS

k

= − 12α2

βi(βk|i + βi|k

)Sk +

1α2βiγikS

k

また，

Si;0 = Si,0 + gi0Γ00kSk + gijΓj0kSk

= Si,0 +1α2βi

(12βjβj,k +

12βjβ

j,k − αα,k

)Sk

+(γij − ninj) Γj0kSk

= Si,0 + γijΓj0kSk

+1α2βi

(12βjβj,k +

12βjβ

j,k − αα,k

)Sk

− 1α2βi

(12βjβj,k − 1

2βjβk,j +

12βj γjk

)Sk

= Si|0 +1α2βi

(βjβ

j,k + βjβk,j

)Sk

− βiα,kαSk − 1

2α2βiβj γjkS

k

= Si|0 +1

2α2βiβj

(βk|j + βj|k

)Sk

− βi (lnα),k Sk − 1

2α2βiβj γjkS

k

を得る。ただし，記号 Si|0は便宜上用いただけであって82，ここでしか使わない。空間成分の微分は

Si;j = Si,j + gi0Γ0jkSk + gilΓljkSk

= Si,j + gi0Γ0jkSk +

(γil − ninl) ΓljkSk

= Si,j + γilΓljkSk

+1

2α2βi (βj,k + βk,j − γjk)Sk

− 12α2

βiβl (γlj,k − γjk,l + γkl,j)Sk

= Si|j +1

2α2βi (βj,k + βk,j − γjk)Sk

− 12α2

βiβl (γlj,k − γjk,l + γkl,j)Sk

となるので，

Si;jβj = Si|jβ

j +1

2α2βiβj (βj,k + βk,j − γjk)Sk

− 12α2

βiβjβl (γlj,k − γjk,l + γkl,j)Sk

= Si|jβj +

12α2

βiβj (βj,k + βk,j − γjk)Sk

− 12α2

βiβjβlγlj,kSk

= Si|jβj +

12α2

βiβj (βj,k + βk,j − γjk)Sk

− 12α2

βi(βjβj,k − βjβj,k

)Sk

= Si|jβj +

12α2

βi(βjβk,j + βjβ

j,k

)Sk − 1

2α2βiβj γjkS

k

= Si|jβj +

12α2

βiβj(βj|k + βk|j

)Sk − 1

2α2βiβj γjkS

k

であることがわかる。以上から，

Si;νnν =

1α

(Si;0 − Si;jβj

)

=1α

(Si|0 − Si|jβj − βi (lnα),k S

k)

(14.151)

82Si|0 6= Si

,0 + (3)Γik0S

k である。


となっていることがわかる。また，4次元での divergenceは，

Sµ;µ = Sµ,µ + ΓµνµSν

= Si,i +[Γ0k0 + Γiki

]Sk

= Si,i + g0µΓµk0Sk + giµΓµkiSk

= Si,i + g00Γ0k0Sk + g0iΓik0Sk + gi0Γ0kiS

k + gijΓjkiSk

= Si,i + g00Γ0k0Sk + g0i (Γik0 + Γ0ki)Sk + gijΓijkSk

= Si,i −1α2

Γ00kSk +

βi

α2βi,kS

k +(γij − ninj) ΓjkiSk

= Si|i −1α2

[12βiβi,k +

12βiβ

i,k − αα,k

]Sk

+1α2βiβi,kS

k − 1α2βiβjγij,kS

k

= Si|i +1

2α2

[−βiβi,k + βiβi,k + 2αα,k]Sk

− 12α2

[βiβi,k − βiβi,k

]Sk

= Si|i + (lnα),k Sk

となる。(完全流体の83)Energy-momentum tensorは FIDOに対して，

Tµν = ρnµnν + Sµnν + Sνnµ +Wµν

nµSµ = nµW

µν = 0

と分解されるので，divergenceは

Tµν;ν = ρ,νnνnµ + ρnµ;νn

ν + ρnµnν;ν

+ Sµ;νnν + Sµnν;ν + Sν;νn

µ + Sνnµ;ν +Wµν;ν = 0

と表される。今

0 = (nµnµ);ν = nµ;νnµ + nµn

µ;ν = 2nµnµ;ν

0 = (nµSµ);ν = nµ;νSµ + nµS

µ;ν

0 =(nµW

µλ);ν

= nµ;νWµλ + nµW

µλ;ν

であるから，absolute spaceにおけるエネルギー保存則は

0 = nµTµν

;ν = −ρ,νnν − ρnν;ν+ nµS

µ;νn

ν − Sν;ν + nµWµν

;ν

= −ρ,νnν − ρnν;ν − nµ;νSµnν − Sν;ν − nµ;νW

µν

となる。

S0 = W 00 = W i0 = 0,W ij = W ji より

ρ,νnν = −ρnν;ν − nk;νSknν − Sν;ν − ni;jW ij

= −ρ 12αγij

(γij − 2βi|j

)− 1α

(nk;0 − βink;i

)Sk

−(Si|i + (lnα),k S

k)− 1

2α(γij − βi|j − βj|i

)W ij

さらに，ここで

nk;0 = α,k +12αβi

[γik − βi|k − βk|i

]

−) βink;i =12αβi

[γki − βk|i − βi|k

]

= α,k


ρ,νnν = − ρ

2αγij

(γij − 2βi|j

)− 1αα,kS

k

−(Si|i + (lnα),k S

k)− 1

2α(γij − βi|j − βj|i

)W ij

= − ρ

2α

(γij γij − 2βi|i

)− Si|i − 2 (lnα),k S

k

− 12α

(γij − 2βi|j

)W ij

= −θρ− Si|i + 2gkSk − θijW ij (14.152)

となる84。

右辺にある項

βi|j = βi,j − βk(3)Γkij = βi,j − βk(3)Γkij

= βi,j − βφ(3)Γφij

= βi,j − βφ 12

(γφi,j − γij,φ + γjφ,i)

は，Kerr時空をBoyer-Lindquist座標で表した場合，i = r, θのとき βi = βi = 0であり，γij の非対角成分がゼロであることより，

βi|j = βi,j − 12βφ (γφi,j − γij,φ + γjφ,i)

= βi,j − 12βφ (γφi,j + γjφ,i) = 0

i = φのときは，γij,φ = 0より

βφ|j = βφ,j − 12βφγφφ,j

また，


= βφ,φ + (3)Γiφiβφ

=12γil (γlφ,i − γφi,l + γil,φ)βφ

=12γil (γlφ,i − γφi,l)βφ = 0

となるので，(14.152)は（定常時空であることより，γij = 0とから）

ρ,νnν = −Si|i + 2gkSk +

1αβi|jW ij

∴ 1α

(∂

∂t− βj∇j

)ρ = −∇jSj + 2gjSj +

1αβi|jW ij

(14.153)

となる。

一方，projectionに対して各々定義より

γσµnµ = 0

γσµSµ = Sσ − nσnµSµ = Sσ

γσµnµ;ν = nσ;ν + nσnµn

µ;ν = nσ;ν

83別に perfect fluid に限った話ではない。84まだ座標系が何であるか議論していない。


であるから，absolute spaceにおけるEuler方程式 (momen-tum conservation)は

0 = γσµTµν

;ν = ργσµnµ;νn

ν + γσµSµ;νn

ν

+ Sσnν;ν + γσµnµ;νS

ν + γσµWµν

;ν

= ρnσ;νnν + Sσ;νn

ν + nσnµSµ;νn

ν

+ Sσnν;ν + nσ;νSν +W σν

;ν + nσnµWµν

;ν

= ρnσ;νnν + Sσ;νn

ν − nσnµ;νSµnν

+ Sσnν;ν + nσ;νSν +W σν

;ν − nσnµ;νWµν

したがって

Si;νnν = −ρni;νnν + ninµ;νS

µnν

− Sinν;ν − ni;νSν −W iν;ν + ninµ;νW

µν

= −ρgiσnσ;νnν + nink;νS

knν

− Sinν;ν − giσnσ;kSk −W iν

;ν + ninj;kWjk


giσnσ;ν =(γiσ − ninσ)nσ;ν

= γijnj;ν − ninσnσ;ν = γijnj;ν (14.154)

giσnσ;νnν = γijnj;νn

ν = γij (lnα),j = −gj (14.155)

より，

Si;νnν = ρgi − nigkSk − Sinν;ν

− γijnj;kSk −W iν;ν + ninj;kW

jk

=(14.151)

1α

[Si|0 − Si|jβj + βigkS

k]

∴ 1α

[Si|0 − Si|jβj

]

= ρgi − Sinν;ν − γijnj;kSk −W iν;ν + ninj;kW

jk (14.156)

右辺の

W iν;ν = W iν

,ν + ΓiµνWµν + ΓνµνW

iµ (14.157)

を計算しよう。第 1項と第 3項は Sν の divを計算したときとほぼ同様に計算できる。

W iν,ν + ΓνµνW

iν = W ij,j +

(Γ0k0 + Γjkj

)W ik

= W ij,j + γjlΓlkjW ik + (lnα),kW

ik

(14.157)の第 2項は

ΓijkWjk = giµΓµjkW jk

=

1α2βiΓ0jk +

(γil − ninl) (3)Γljk

W jk

=1

2α2βi (2βj,k − γjk)W jk

+(γil − 1

α2βiβl

)(3)ΓljkW jk

=1α2βi

(βj,k − (3)Γljkβl

)W jk

+ (3)ΓijkWjk − 1

2α2βiγjkW

jk

=1α2βiβj|kW jk + (3)ΓijkW

jk − 12α2

βiγjkWjk

一方，

ninj;kWjk = −β

i

α

12α

(γjk − βj|k − βk|j

)W jk

=1α2βiβj|kW jk − 1

2α2βiγjkW

jk

であるから，(14.156)の右辺の後ろの 2項は，

−W iν;ν + ninj;kW

jk = −W ij,j − (3)ΓikjW

ij − (3)ΓijkWjk

− (lnα),jWij

= −W ij|j −

α,jαW ij

= − 1α

(αW ij

)|j

したがって，(14.156)は

1α

[Si|0 − Si|jβj

]= ρgi − Sinν;ν − γijnj;kSk −

1α

(αW ij

)|j

(14.158)

となる。左辺の記号 Si|0は不正確であることは前に注意した通りである。元に戻そう。

Si|0 = Si,0 + γijΓj0kSk

であったから，第 2項を右辺に移そう。そうすると，(14.158)の右辺第 3項とから，

− 1α

Γj0kSk − γijnj;kSk

=− γij

2α[(βj,k − βk,j + γkj) +

(γjk − βk|j − βj|k

)]Sk

=− γij

2α[(βj,k − βk,j − βk|j − βj|k

)+ 2γjk

]Sk

=− γij

2α

[(βl

(3)Γljk − βk,j − βk|j)

+ 2γjk]Sk

=− γij

2α[(−βk|j − βk|j

)+ 2γjk

]Sk

=γij

α

(βk|j − γjk

)Sk

以上から結局 (14.158)は，

1α

[∂

∂t− βj∇j

]Si

= ρgi − Sinν;ν +1αγij

(βk|j − γjk

)Sk − 1

α

(αW ij

)|j

Fluxは下付きのほうが気分が乗ってくる。3D metricは共変微分と可換であり，時間に依らないから，

1α

[∂

∂t− βj∇j

]Si

= ρgi − Sinν;ν +1α

(βk|i − γik

)Sk − 1

α

(αW j

i

)|j

(14.159)

Kerr時空を Boyer-Lindquist座標で記述した場合，先ほどと同様に nν;ν = 0であるから，（時間で微分した項も落として）

1α

[∂

∂t− βj∇j

]Si = ρgi +

1αβk|iSk −

1α

(αW j

i

)|j

(14.160)


となる。

•電磁場の Energy-momentum tensorは

Tµν;ν = −FµλIλを満たしていたので，

nµTµν

;ν = −nµFµλIλ = DλIλ

= Dνγ λν Iλ = Dνjν (14.161)

また，

γσµFµλ = −nλDσ + eσναβnαBβ

より，

γσµTµν

;ν =(nλDσ − eσλαβnαBβ

)Iλ

= −ρeDσ − eσλαβjλnαBβ∴ γiµT

µν;ν = −ρeDi + αe0iλβjλBβ

= −ρeDi − eilkjlBk (14.162)

したがって，:::::::::::::::::::::定常で軸対称な時空内の，流体と電磁場の系にお

ける，エネルギー保存則 (14.153)と Euler方程式 (14.160)は，

1α

(∂

∂t− βj∇j

)ρ = −∇jSj + 2gjSj +

1αβi|jW ij +Diji

1α

(∂

∂t− βj∇j

)Si = ρgi +

1αβk|iSk −

1α

(αW j

i

)|j

+ ρeDi + eikljkBl

となる。ただし，Boyer-Lindquist座標でのみ正しいことに注意しなければならない。

記号を (14.150)に合わせれば，

1α

(∂

∂t− βi∇i

)ρmx = −∇iSx

i + 2giSxi +MijT xij + jx

iDi

(14.163)

および

1α

(∂

∂t− βj∇j

)Sxidi = ρmxidgi +M j

i Sxidj

− 1α∇j

(αT j

i xid

)+ ρexDi + eiklj

kxB

l + kxi (14.164)

となる。ただし，完全流体ではなく衝突による項を含ませてある。添字の idをつけて ideal partつまり inviscid partを別に抜き出して，kxi で電子とイオンの衝突による項を纏めておく。

kix = ρmxcollgi +Hi

jSjxcoll − 1

α∇j

(αT ijxcoll

)

− 1α

(∂

∂t− βj∇j

)Sxcoll

i

≈ − 1α∇j

(αT ijxcoll

)(14.165)

もちろん，kioni = −kele

i。MijTij は，単位体積に重力場が物

質にする仕事率と解釈される。(14.164)には，通常の平坦な時空に見られる項をすべて含ま

れており，また，右辺には shiftによる効果，左辺には，重力の効果，Lorentz力の効果が取り入れられている。

Mij =def

=1α∇iβj =

1αβj|i (14.166)

で定義される。

CONTINUITY

2成分プラズマでは，各々のプラズマ成分が連続の方程式を満たしていなければならない。

((x)ρ0xW x

µ)

;µ= 0

((x)ρ0x := nxmx

)

ここで，

ρ0x =def−nµ(x)ρ0xW x

µ = γx(x)ρ0x = γxnxmx

とおくと，

[ρ0xnµ + ρ0xvx

µ];µ = 0 (14.167)

となる。第 1項は

(ρ0xnµ);µ = ρ0x,µn

µ + ρ0xnµ;µ

=1αρ0x,0 − 1

αβiρ0x|i + ρ0xn

µ;µ

また，第 2項は 3次元部分時空に属しているので，

(ρ0xvxµ);µ =

(ρ0xvx

i)|i + (lnα),i

(ρ0xvx

i)

=1α

(αρ0xvx

i)|i

となるから，(14.167)は1αρ0x,0 − 1

αβiρ0x|i + ρ0xn

µ;µ +

1α

(αρ0xvx

i)|i = 0 (14.168)

である。先ほどと同様にBoyer-Lindquist座標では，3項目が落ちる。したがって，粒子数保存は

(∂

∂t− βi∇i

)ρ0x +∇i

(αρ0xv

ix)

= 0 (14.169)

i.e.(∂

∂t− βi∇i

)(nxmxγx) +∇i

(αnxmxγxv

ix)

= 0

(14.170)

となる。

さらに，電荷について∂ρex∂t

+ ∇ · J = 0

が成り立っていた。Jk = αjxk − ρexβk であるから，

∂ρex∂t− (

ρexβi)|i +

(αjx

k)|k = 0

∴[∂

∂t− βi∇i

]ρex − ρexβi|i +

(αjx

k)|k = 0

となるが，やはり Boyer-Lindquist座標では βi|i = 0となっているので，結局

(∂

∂t− βi∇i

)ρex +∇i

(αjx

i)

= 0 (14.171)

となる。

流体の bulk velocityのMCRFでみた時の Energy-Momentumtensorに非対角成分がある場合について考えよう。

Tµν = (ρ+ p+ Π)uµuν + (p+ Π) gµν + qµuν + qνuν + πµν

uµqµ = uµπµν = 0 (14.172)

以下で


• ρ := nµnνTµν

• Sµ := −γ λµ n

νTλν

• Wµν := γ λµ γ

σν Tλσ

の計算を行う。(14.172)より，

uµqµ = γ (nµ + vµ) qµ = 0

⇐⇒ nµqµ = −vµqµ = −viqj (14.173)

また，

uµπµν = γ (nµ + vµ)πµν = 0

⇐⇒ nµπµν = −vµπµν = −viπiν (14.174)

さらに

uµuνπµν = γ2 (nµ + vµ) (nν + vν)πµν = 0⇐⇒ (nµnν + nµvν + nνvµ + vµvν)πµν = 0

⇐⇒ nµnνπµν = − 2αvjπ0j +

(βi

αvj +

βj

αvi − vivj

)πij

(14.175)

である事が分かる。pojection tensorに対しては，


(t-t)成分は，FIDOの観測する energy densityである。

ρmx =(

(x)ρmx + (x)pxvx2)γ2

x + ρmxcoll

≈(

(x)ρmx + (x)pxvx2)γ2

x (14.176)

t-i, j-t成分はそれぞれmomentum density，energy fluxである。

Six =(

(x)ρmx + (x)px

)γ2

xvix + Sixcoll

≈(

(x)ρmx + (x)px

)γx

2vix (14.177)

spatial成分は，momentum fluxである。

T ijx =(

(x)ρmx + (x)px

)γ2

xvixvjx + (x)pxγ

ij + T ijxcoll

(14.178)

FIDOが観測する電荷密度は ρex = −nµIxµであるが，W xµ =γx (nµ + vxµ)であるから

ρex = −Ixµ(W xµ

γx− vxµ

)=

(x)ρexγx

+ Ixµvxµ

=(x)ρexγx

+ jxµvxµ

=(x)ρexγx

+ jxivxi (14.179)

ここで，FIDOが観測する電流密度が jxµ =

defγµνIx

ν であることから

vµIxµ = ρexn

µvµ + jxµvµ = jx

µvµ (∵ nµvµ = 0)

としている。また，同様にWµ = γ (nµ + vµ)とすると，

ρex = −Ixµ(Wµ

γ− vµ

)=

(CM)ρexγ

+ Ixµvµ

=(CM)ρexγ

+ jxµvµ

=(CM)ρexγ

+ jxivi (14.180)

となる。FIDOからみた電流密度85は

jiion = ρeionviion (14.181)

jiele = ρeeleviele (14.182)

と書けるので，(14.180)とから

ρex =(CM)ρexγ

+ ρexvxivi

∴ ρex(1− vxivi

)=

(CM)ρexγ

∴ ρex =(CM)ρex

γ (1− vxivi)を得る。一方，(14.179)から

ρex =(x)ρexγx

+ ρexvxivxi

となるが，

γx =1√

1− vxivxi

であるから

ρex = γx(x)ρex

となる。以下，にまとめて書いておく。

ρeion = (i)ρeionγion =(CM)ρeion

γ (1− viviion)

ρeele = (e)ρeeleγele =(CM)ρeele

γ (1− viviele)

(14.183)

Maxwell方程式

Maxwell方程式を Absolute spaceに projectしてみよう。(13.18), (13.19)より

Fµν;ν = nµ;νDν + nµDν

;ν − nν;νDµ − nνDµ;ν

+ eµνλσ ,νnλBσ + eµνλσnλ;νBσ + eµνλσnλBσ;ν

(14.184)∗Fµν;ν = −nµ;νBν − nµBν;ν + nν;νB

µ + nνBµ;ν

+ eµνλσ ,νnλDσ + eµνλσnλ;νDσ + eµνλσnλDσ;ν

(14.185)

である。これより，nµF

µν;ν = 4πnµIµ

γµλFλν

;ν = 4πγµλIλ

,

nµ

∗Fµν;ν = 0γµλ

∗Fλν;ν = 0

を計算してみる。まず，Faraday tensorの組から計算していこう86。

nµFµν

;ν = −Dν;ν − nνnµDµ

;ν + nµeµνλσnλ;νBσ

= −4πρe∴ Dν

;ν + nνnµDµ;ν − nµeµνλσnλ;νBσ = 4πρe

ここで，

0 = (nµDµ);ν = nµ;νDµ + nµD

µ;ν

より，

Dν;ν − nνnµ;νD

µ − nµeµνλσnλ,νBσ = 4πρe∴ Dν

;ν − nνnµ;νDµ = 4πρe

さらに，

nνDµnµ;ν =1αDµ

(nµ;0 − βknµ;k

)

=1αDi

(ni;0 − βkni;k

)=

1αDiα,i = (lnα),iD

i

また， ~D ∈ ABS より

Dν;ν = Di

|i + (lnα),iDi

したがって，

Di|i = 4πρe (14.186)

85電流の diffusive な分は，vx の diffusive part に帰着される。86Maxwell tensor の組は後ですぐに求める事が出来る。

152 15 ONE-FLUID DESCRIPTION OF A COLD ELECTRON-ION PLASMA

第２式目は，

γµλFλν

;ν = γµλnλ;νD

ν − nν;νDµ − nνγµλDλ;ν

+ γµλeλνησ

,νnηBσ + γµλeλνησnη;νBσ

+ γµλeλνησnηBσ;ν

= nµ;νDν − nν;νDµ − nνDµ

;ν − nνnµnλDλ;ν

+ eµνησ ,νnηBσ + γµλeλνησnη;νBσ

+ eµνησnηBσ;ν = 4πjµ

まず，第 1項は87

ni;νDν =

(14.154)giλnλ;νD

ν = γijnj;kDk

=(11.67)

12αγij


)Dk

次に，第 3項は

Di;νn

ν =1α

(Di

,0 + γijΓj0kDk −Di|jβ

j − βi(lnα),jDj)

=1α

[∂

∂t− βj∇j

]Di − βi

α(lnα),jDj

+12αγij

(βj|k − βk|j + γjk

)Dk

となる。さっきと同様に，第 4項は

nνnλDλ;ν = −nνnλ;νD

λ

= −(lnα),jDj

であるから，最初の 4つの項の和は,

12αγij


)Dk − 1

2α

(γjkγjk − 2βj|j

)Di

− 1α

[∂

∂t− βj∇j

]Di +

βi

α(lnα),jDj

− 12αγij

(βj|k − βk|j + γjk

)Dk + ni(lnα),jDj

=− 1α

[∂

∂t− βj∇j

]Di − 1

αβi|jD

j − 12α

(γjkγjk − 2βj|j

)Di

残りの項は，次のように計算される。

eµνησ ,νnηBσ =∂

∂xν

(εµνησ

α√‖γ‖

)nηBσ

= −αε0µνσ ∂

∂xν

(1

α√‖γ‖

)Bσ

また

γµλeλνησnη;νBσ = eµνησnη;νBσ + nµnλe

λνησnη;νBσ

= eµνησ(nη,ν − Γκηνnκ

)Bσ

+ nµnλeλνησ

(nη,ν − Γκηνnκ

)Bσ

= eµνησnη,νBσ = −e0µνσα,νBσ同様に

eµνησnηBσ;ν = eµνησnηBσ,ν = −αe0µνσBσ,ν

したがって，残りの項の spatial成分の和は，

− αε0iνσ ∂

∂xν

(1

α√‖γ‖

)Bσ − e0iνσα,νBσ − αe0iνσBσ,ν

=− αε0ijk ∂

∂xj

(1

α√‖γ‖

)Bk − e0ijkα,jBk − αe0ijkBk,j

=αεijk∂

∂xj

(1

α√‖γ‖

)Bk +

1αeijkα,jBk + eijkBk,j

=α√‖γ‖eijk ∂

∂xj

(1

α√‖γ‖

)Bk +

1αeijkα,jBk + eijkBk,j

=eijk√‖γ‖ ∂

∂xj

(Bk√‖γ‖

)

となる88。

15 One-fluid description of a coldelectron-ion plasma

Cold plasma limit: rest mass energyにくらべて internal energyが neglectできるという近似。cを復活させて書けば

(x)px ¿ (x)ρmx(x)ρmx = nxmxc

2(1 +

ε

c2

)≈ nxmxc

2 = (x)ρ0xc2

(CM)ρm ≈ nionmionc2 + nelemelec

2

15.1 Particle conservatioin

プラズマを単一の流体として記述するには，次の粒子保存(∂

∂t− βi∇i

)(npγp) +∇i

(αnpγpv

ip

)= 0 (15.1)

or Nµ;µ ≡

(npW

µp

);µ

= 0 (15.2)

を満足するプラズマ粒子を定義する必要があるが，vpを質量中心の速度 vと考えると，(??)の定義と矛盾してしまう。vを用いた「plasma particle」の粒子数保存は formulateできないということである。電子と ionに対する (14.170)の和は

(∂

∂t− βi∇i

)(nionmionγion + nelemeleγele)

+∇i(αnionmionγionv

iion + αnelemeleγelev

iele

)= 0 (15.2)

(??)と合致するように，γion, γele, vioni, vele

iを消去したい。Tµν = T ion

µν + T eleµν から，

ρm = ρmion + ρmele (15.2)

Si = Siion + Siele (15.3)

である。FIDOは, v，Lorentz factorが γ のプラズマのエネルギー

密度や運動量密度を定義できるので，(??)より，

ρm ≡((CM)ρm + (CM)pv2

)γ2 ≈ (CM)ρmγ

2 (15.3)

Si ≡ ((CM)ρm + (CM)p) γ2vi ≈ (CM)ρmγ2vi (15.4)

87以下の計算は既にやってる。88ε0ijk = −εijk, 1√

‖γ‖εijk = eijk, −αe0ijk = eijk

15.2 運動方程式 153

コールドプラズマリミットで，γele ≈ γion ≈ γ ならば，(15.2)の左辺第 1項は，

nionmionγion + nelemeleγele

≈ γ (nionmion + nelemele)

≈ γ(

(i)ρmion + (e)ρmele

)

≈ γ(CM)ρm

上の 5式と (14.176), (14.177) とから(∂

∂t− βi∇i

)((CM)ρmγ) +∇i

(α(CM)ρmγv

i)

= 0 (15.5)

を得る。

γele ≈ γion

は何も新しく仮定したわけではないことを指摘しておく。(CM)γele = (CM)γion = 1

と仮定したことの帰結である。さらに，cold plasma極限では，nelemele ¿ nionmion であ

るとき，(15.2)と (15.3) (あるいは (15.3)と (15.4))は

γ2 ≈ γ2ion, γ2vi ≈ γ2

ionviion (15.6)

を意味する。

15.2 運動方程式cold plasma limit では, (14.164)の Tid

ij の項を落とす事が出来る。

1α

(∂

∂t− βj∇j

)Sxidi = ρmxidgi +M j

i Sxidj

+ ρexDi + eikljkxB

l + kxi

Cold plasma limitを考えているので，(14.176), (14.177)は次のように近似される。

ρmx ≈(

(x)ρmx + (x)pxv2x

)γ2

x (=: ρmxid)

Six ≈(

(x)ρmx + (x)px

)γx

2vix(=: Sx

iid

)

このとき，(14.169)は

ρ0x = γx(x)ρ0x ≈ 1

c2γx

(x)ρmx

より(∂

∂t− βi∇i

) (γx

(x)ρmx

)+∇i

(α(x)ρmxγxvx

i)

= 0

となる。£ ≡ 1

α

(∂

∂t− βk∇k

)とおくと，運動方程式の右辺は，

£ [Sxi] ≈£[(

(x)ρmx + (x)px

)γx

2vxi

]

=£γxvxi£[(x)ρmxγx

]+ (x)ρmxγx£ [γxvxi]

+ £[(x)pxγx

2vxi

]

=− 1αγxvxi∇k

[α(x)ρmxγxvx

k]

+ (x)ρmxγx£ [γxvxi] + £[(x)pxγx

2vxi

]

ここで，T xij ≡ 0より，

∇k[αγx

2(

(x)ρmx + (x)px

)vxivx

k + α(x)pxγki

]= 0

∴ − 1αγxvxi∇k

[α(x)ρmxγxvx

k]

=(x)ρmxγxvxk∇k [γxvxi] +

1α∇k

[αγx

2(x)pxvxivxk + α(x)pxγ

ki

]

したがって

£ [Sxi] ≈(x)ρmxγxvxk∇k [γxvxi]

+1α∇k

[αγx


ki

]

+ (x)ρmxγx£ [γxvxi] + £[(x)pxγx

2vxi

]

=(x)ρmxγx(£ + vx

k∇k)[γxvxi]

+1α∇k

[αγx


ki

]

+ £[(x)pxγx

2vxi

]

=(x)ρmxγx(£ + vx

k∇k)[γxvxi]

+1α∇k

[αγx

2(x)pxvxivxk]

+1α∇i

[α(x)px

]

+ £[(x)pxγx

2vxi

]

一方，運動方程式の右辺の電磁気力以外の項は

ρmxgi +M ki Sxi

≈(

(x)ρmx + (x)pxvx2)γx

2gi +(

(x)ρmx + (x)px

)γx

2M ki vxk

=(x)ρmxγx2gi + (x)ρmxγx

2M ki vxk

+ (x)pxγx2vx

2gi + (x)pxγx2M k

i vxk

したがって，運動方程式

(x)ρmxγx

[1α

∂

∂t+

(vxj − βj

α

)∇j

] (γxvx

i)

= (x)ρmxγx2gi + (x)ρmxγx

2M ijvx

j − 1α∇i

(α(x)px

)

+ ρexDi + eikljxkBl + kx

i (15.7)

を得る。

Bulk velocityを absolute spaceに分解すると

W xµ = γx (nµ + vx

µ)

→(γx

α, γx

(vxi − βi

α

))

であるから，τx を固有時間とすれば

d

dτx=dxµ

dτx

∂

∂xµ= W x

µ ∂

∂xµ

=γx

α

∂

∂t+ γx

(vxi − βi

α

)∂

∂xi


であるから，(15.7)は

(x)ρmxd

(γxvx

i)

dτx= (x)ρmxγx

2gi + (x)ρmxγx2M i

jvxj

− 1α∇i

(α(x)px

)+ ρexD

i + eikljxkBl + kxi (15.8)

と表される。但し，(15.6)と以下に述べる近似 (15.11)を適用している事に注意して欲しい。電子と ionに対するそれぞれの運動方程式 (15.8)を加えると，左辺は

(i)ρmiond

(γionv

iion

)

dτ ion+ (e)ρmele

d(γelev

iele

)

dτele

=(i)ρmiond

(γionvion

i)

dτ ion

+ (e)ρmele

d

(γionv

iion

)

dτ ion−

[d

(γionv

iion

)

dτ ion− d

(γelev

iele

)

dτele

]

≈(

(i)ρmion + (e)ρmele

) d (γionv

iion

)

dτ ion

≈(CM)ρmd

(γvi

)

dτp

となるので，

(CM)ρmγ

[1α

∂

∂t+

(vj − βj

α

)∇j

] (γvi

)

= (CM)ρmγ2gi + (CM)ρmγ

2M ijvj

− 1α∇i (α(CM)p) + ρeD

i + eikljkBl (15.9)

但し，

ρe =def

ρeion + ρeele = Zenionγion − eneleγele

jk =def

jionk + jele

k = Zenionγionvionk − eneleγelevele

k

collision force densitiesは (15.9)においてキャンセルされていることに注意しよう。

2成分 plasmaは bulk accelerations

d(γxvx

i)

dτx=

[γx

α

∂

∂t+ γx

(vxj − βj

α

)∇j

] (γvi

)(15.10)

がほとんど同じ値になる，つまり，∣∣∣∣∣d

(γionv

iion

)

dτ ion− d

(γelev

iele

)

dτele

∣∣∣∣∣¿∣∣∣∣∣d

(γionv

iion

)

dτ ion

∣∣∣∣∣ (15.11)

となるほど強く結合している，と仮定している。Ohmの法則を導出する際に (15.11)しか仮定しないと，軸

対称のトロイダル項が，artefact dynamo termとして残ってしまう。したがって，イオンと電子の間のカップリングが gravit-omagnetic加速度を同期させると仮定しておく必要がある。

∣∣Mij

(γ2

ionviion

)−Mij

(γ2

eleviele

)∣∣¿ ∣∣Mij

(γ2

ionviion

)∣∣(15.12)

この仮定は運動方程式に何ら影響を与えるものではないが，Ohmの法則を導出する際には重要な仮定である。

15.2.1 Exact law of momentum conservation for atwo-component plasma

さっきも言ったが，(14.164)は２成分プラズマの運動量保存を足し合わせても得ることができる。

1α

(∂

∂t− βk∇k

)Si

= ρmgi +M i

jSj − 1

α∇j

(αT ij

)+ ρeD

i + eikljkBl (15.13)

ここでの ρm, Siは hot plasmaでも成り立つものである。spatial

stress-energy tensorは

T ij =def

((CM)ρm + (CM)p) γ2vivj + (CM)pγij

≈ (CM)ρmγ2vivj + (CM)pγij (15.14)

である。(??)と consistentになっている。cold plasma limit の下では，不等式 (15.11) を使わなくて

も，(15.13)と (15.5)から (15.9)が導かれてしまう。このことが意味することは，collisional termが，(??)で定義された成分の synchronized bulk accelerationが self-consistentであるように implicitに保証しなければならないということ。

15.2.2 The law of enegy conservation

momentum conservation と同様，exactにつぎの energy con-servation は正しい。

1α

(∂

∂t− βi∇i

)ρm = −∇jSj + 2giSi +MijT

ij + jkDk

(15.13)

15.3 The generalized Ohm’s law for anelectron-ion plasma

ionに対する運動方程式 (15.7)の Zmeleγele2倍と，電子に対す

る運動方程式 (15.7)のmionγion2 倍の差をとると，

*********************************************************

mionmele

[Zγele

2niond

(γionvion

i)

dτ ion− γion

2neled

(γelevele

i)

dτele

]

= mionmeleγion2γele

2(Znion − nele) g

i +M ij

(Znionv

jion − nelev

jele

)− Zmeleγele2

α∇i

(α(i)pion

)+mionγion

2

α∇i

(α(e)pele

)

+(Zmeleγele

2ρeion −mionγion2ρeele

)Di + eikl

(Zmeleγele

2jk ion −mionγion2jkele

)×Bl + Zmeleγele2kiion −mionγion

2kiele(15.14)

*********************************************************

15.3 The generalized Ohm’s law for an electron-ion plasma 155

が得られる。melemion

¿ 1であるから，無視できる項を落とせば

より簡易な方程式となる。

O(γion

2)

= O(γele

2)

と，仮定(i)pion(e)pele

,ρeionρeele

¿ mionmele

より，(i)pion, ρeion, kioni はネグられる。

左辺と gravitomagnetic termは，各々(15.11)，(15.12)より近似される。磁場の外積がかかっている項について，

jk = jk ion + jkele = ρeionvkion + ρeelev

kele (15.15)

と

γ2(CM)ρmvk ≈ mion

(i)ρmionvkion + γ2

ele(e)ρmelev

kele (15.16)

から

mionγ2ionj

kele ≈ mionγ

2ionj

k − Zeγionγ2(CM)ρmv

k (15.17)

と

Zmeleγ2elej

kion ≈ Zρeionmeleγ

2elev

k

− Zmele(e)ρeeleγ

4eleρeion

(i)ρmionγ2ionρeele

jk (15.18)

が得られるので，以上より，

*********************************************************

mele(Znionγ

2ele − neleγ

2ion

)

eneleγeleγ2ion

[d

(γvi

)

dτp−M i

j

(γ2vj

)]

≈ Di +Znionγionneleγele

eijkvjBk − 1eneleγele

eikljkBl +1

eneleγeleα∇i

(α(e)pele

)+meleγeleenele

(Znion − nele) gi − 1

eneleγelekiele

(15.19)

*********************************************************

ただし，τp は (CM)K における固有時間である。Classical 2-component theory, Special relativistic treatment(Blackman & Field (1993)) からの analogyで

kiele = neleνc(γionv

iion − γionv

iele

)(15.20)

と仮定する。νc は effective electron collision frequency( maybe anistropic)。衝突している間にも gyrateしている時，つまり

|M |γνc∼ ω/α

νc/γÀ 1

であれば，collision rateは anistropicになる。(15.17), (15.18)より，(15.20)は，

kiele =νcmelee

(ji − (CM)ρeγv

i)

(15.21)

これを，(15.19)に代入して，次の (generalized) Ohm則を得る。

*********************************************************

1σγele

ji ≈ Di +Znionγionneleγele

eijkvjBk − 1eneleγele

eikljkBl +1

eneleγeleα∇i

(α(e)pele

)

− 4πe(Znionγ

2ele − neleγ

2ion

)

ω2peγeleγ

2ion

[d

(γvi

)

dτp−M i

j

(γ2vj

)]

+4πγeleωpe

(CM)ρegi +

(CM)ρeσγele

γvi (15.22)

*********************************************************

但し，電気伝導度は

σ =e2nelemeleνc

=:ω2

pe

4πνc(15.23)

であり，ωpe は電子のプラズマ振動数である。

jiacc ≈ −(CM)ρeνc

d(γvi

)

dτp(15.24)

jigm ≈(CM)ρeνc

M ij ·

(γ2vj

)(15.25)

15.3.1 The quasi-neutral limit

quasi-neutral limit; Znion ≈ neleand γele ≈ γion ≈ γの下で，generalized Ohm’s law (15.22)は以下の様になる。

ji ≈ σγ (Di + eijkvj ×Bk

)− σ

eneleeikljkBl

+σ

eneleα∇i

(α(e)pele

)(15.26)

ホール効果がどれほど影響するかは

σ

enelec|j ×B| = ωce

νc

∣∣∣∣j ×B

|B|

∣∣∣∣ ≤ωce

νcγ|j| (15.27)


で estimateできる。これより，FIDO系で観測した電子のジャイロ振動数 ωce =

e|B|γmelec

が，電子の衝突レイトに比べて高い

オーダーであれば，ホール効果により電流密度が変更を受ける。Spitzerによると，磁場のないプラズマに対して

νc ≈ 1.5× 10−6( nele

cm−3

) (T

eV

)−3/2

lnΛ s−1 (15.28)

但し，lnΛは Coulomb logarithmである。Schwarzschild holeの polytropicな球対称降着の場合

nele ≈ 2× 1015

(M

10M¯

)−1m

0.001

(r

rg

)−3/2

cm−3 (15.29)

T ≈ 2× 1012

(r

rg

)−1

deg (15.30)

である。無次元の降着レイト m は Eddington rateMEdd =def

LEdd

c2を unit にしたものである。現実的な降着流の温度は ∼

1010 K程度である。したがって，

νc ≈ 3× 10(

M

10M¯

)−1m

0.01lnΛ10

s−1 (15.31)

ωce

νcγ≈ 6× 102

(M

10M¯

) (| ~B (νc/γ) |

mG

)(m

0.01

)−1 (lnΛ10

)−1

(15.32)

磁場が弱くとも，このような高い温度で衝突頻度が低いならば，ホール効果がドミネイトしてくるであろうことは明白である。しかしながら，このような場合，プラズマの不安定性が生じやすく，通常の衝突とは異なった衝突が起こる様になることに注意しよう。また，上述したことだが，等方的でない衝突レイトが引き起

こされる。gravitomagnetic gyrofrequencyは次で与えられる。

|M | ∼ ω =c

2rg

(2rgωc

)= 104

(M

10M¯

)−1 (2rgωc

)s−1

(15.33)

FIDOが観測するgravitomagnetic gyrofrequencyとSpitzer col-lision rateの ratioは

ωce/α

νc/γ≈ 3× 102 γ

α

(2rgωc

)(m

0.01

)−1 (lnΛ10

)−1

s−1

(15.34)

157

Part III

宇宙論time temperature scale events(sec)

0 ∞ Big bang6× 10−44 1.2× 1019 GeV Planck Quantum gravity → classical gravitational field

10−38 1016 GeV GUT10 300 GeV Electroweak energy scale of the symmetry breaking

10−10 100 GeV W±, Z0 dissapear10−4 200 MeV phase transition (quarks → gluons)

100 MeV µ, µ dissapear1 1 MeV ' 1010 deg ν-decoupling

102 100 keV nucleosynthesis H, D, 3He, (7Li)104 10 keV z = 24000 e+, e− annihilation (last e± pair)

radiation-matter equality1013 ∼ 1014 0.1-1 eV zdec = 1089± 1 recombination

(e− + p→ 1H

)(3300 deg) radiation-matter decoupling

(CMB last scatter surface)1 + z ∼ 15-20 reionization (WMAP:17±5)

z ∼ 10 most distant object ?3× 1017 z = 0 2.7 K CMB

16 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker時空

Robertson-Walker metricは，一様 (並進対称)で等方 (回転対称)な時空を仮定した解で，以下のようになる。

gµνdxµdxν = −c2dt2 + a(t)2

[dr2

1− kr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2)]

(16.1)

gµν →(t,r,θ,φ)

−1a(t)2

1− kr2a(t)2r2

a(t)2r2 sin2 θ

a(t)は scale factorと呼ばれる量で，temporal空間と spatial空間のmericの比率を与える。ある位置 (r, θφ)から動径方向に

drだけ伸びた世界線の距離は，

ds2 = a2 dr2

1− kr2であるから，時刻によってその距離は変化している事に注意しなければならない。また，動径座標 rは実際の測地的距離を表しているわけではないので注意が必要である89。測地線の族の中から一本取り出し，その測地線上のある点を原点とし，その点で 3D空間の断面をとる。この時，他の任意の測地線を座標を用いてラベルする事が出来る。座標でラベルされた測地線上の点の空間座標は変らないので，その測地線に沿って変化するのは時間座標だけである。このように，空間座標と測地線を同一視するときの座標をComoving coordinate(共動座標)と呼ぶ。上で用いられている (r, θ, φ)は共動座標である。これに対し，しばしば Proper coordinate (physical coordinate, 固有座標とも言われる)と呼ばれる

xi = a(t)ri (16.2)

を用いる事もある。これは，宇宙膨張 a(t)にしたがって変化する座標である。kは後で分かるように曲率を表しており，その空間の形状は kの符号で決まっている。kがどのような値をとっても ±1, 0になるように座標を取り直すことができるが，これは後で採用する規格化 (a0 = 1)と相容れない取り方であるので，このように取り直さない事にする。時空の構造についてはまた後で考えよう。

時間のパラメタを dt = a(t)dτ と取り直してみると，

gµνdxµdxν =− dt2 + a(t)2

[dr2

1− kr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2)]

=a(t)2(−dτ2 +

dr2

1− kr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2))

(16.3)

と書く事が出来，時刻一定の部分空間でスラッシュすれば曲率のある部分空間が得られる。dτ =

dt

aを conformal timeと

呼ぶ。89k がゼロなら，現在の測地的距離は r となる。

158 16 FRIEDMANN-LEMAITRE-ROBERTSON-WALKER時空

これまでに扱ってきた時空と著しく異なるのは，Metric の::::::::非定常性である。すなわち，metricが時間の函数になっているという点がこれまで扱ってきた時空と異なる。このmetricからChristoffel symbolを求め，Ricci tensor，Ricci scalarを計算してみよう。Lapse函数 αが 1，Shift vectorがゼロであるから，(11.61)より，

Γ000 = Γ00k = Γk00 = 0

Γi0j = −Γ0ij =12γij

Γijk = (3)Γijk

であるから，

Γ000 = Γi00 = Γ0

i0 = Γ0ij = Γij0 = 0 (i 6= j = 1, 2, 3)

Γii0 =a

a(not contracting)

Γ011 =

aa

1− kr2Γ0

22 = −r(1− kr2)Γ0

33 = −r sin2 θ(1− kr2)

Γ112 = Γ1

13 = Γ123 = 0

Γ111 =

kr

1− kr2 , Γ122 = Γ1

33 = −1r

Γ211 = Γ2

22 = Γ213 = Γ2

23 = 0

Γ212 =

1r, Γ2

33 = − sin θ cos θ

Γ311 = Γ3

12 = Γ322 = Γ3

33 = 0

Γ313 =

1r, Γ3

23 = cot θ

となるので，Ricci tensorは

R00 = −3a

a

R11 =1

1− kr2(2a2 − aa+ 2k

)

R22 = r2(2a2 − aa+ 2k

)

R33 = r2 sin2 θ(2a2 − aa+ 2k

)

であることがわかる。ただし，上記以外の Ricci tensorはゼロである。さらに，縮約して Ricci scalar

R = gµνRµν

= 6

((a

a

)2

+a

a+

k

a2

)(16.4)

を得る。これらを Einstein方程式90

Rµν − 12Rgµν + Λgµν =

8πGc4

Tµν (16.5)

with Tµν = (ρ+ p)uµuν + pgµν

に代入して，成分を書き表す。(16.5)の (00)成分は，

R00 + 3

(a

a

)2

+a

a+

k

a2

− Λ =

8πGc4

ρ

∴(a

a

)2

− 8πG3

ρ− Λ3

= − k

a2(16.6)

となる。ただし，結果の式では c = 1とした。この方程式を，Friedmann方程式と呼ぶ。また，(16.5)の (11)成分から

R11 − 3

[(a

a

)2

+a

a+

k

a2

]a2

1− kr2 + Λa2

1− kr2 =8πGc4

a2p

1− kr2

∴(a

a

)2

+ 4a

a+ 8πGp− Λ = − k

a2(16.7)

を得る。ここでも，c = 1としておいた。(16.5)の (11)，(22)，(33)成分はすべて同じ方程式になるので，Einstein方程式の右辺 Tµν は完全流体の形にならざるを得ない。一様等方から強く制限されるとの 1つである。

(16.6)と (16.7)から kを消去して，

a

a= −4πG

3(ρ+ 3p) +

Λ3

(16.8)

∴ a = −Ga2

4π3

(ρ+ 3p− Λ

4πG

)a3 (16.9)

を得る。さらにこの式はやや強引だが次のように変形出来る。

a = −Ga2

4π3

[(ρ+

Λ8πG

)+ 3

(p− Λ

8πG

)]a3 (16.10)

これは，Einstein方程式 (16.5)の宇宙項を左辺に移項して

Rµν − 12Rgµν =

8πGc4

(Tµν − Λc4

8πGgµν

)

Energy-momentum tensorに組み込むことによっても理解される，宇宙項による場への寄与である。この項はしばしば真空項と呼ばれる。

GEODESIC

次に，この時空内での動径方向のみに運動しているmassless粒子を考えよう。nullであることより

−u0u0 +a2

1− kr2u1u1 = 0 (16.11)

Euler-Lagrange方程式は

d

dλuµ + gµαΓανσu

νuσ = 0

であるから，この第 0成分は，

d

dλu0 =

aa

1− kr2u1u1

=a

au0u0 =

a

a(−u0)(−u0) =

a

au0u0


a =da

dλ

dλ

dt=

1u0

da

dλ= − 1

u0

da

dλ

90右辺の Tµν は，完全流体でなければならない。つまり，一様・等方性は流体の空間的なフラックスや異方的な圧力を生まないことが分かる。もちろん，物理的な意味を考えれば当然と言える。

159

であるから91，

du0

u0= −da

a

∴ u0 ∝ a−1

つまり，エネルギーは scale factorに反比例する。photonのエネルギーはハーニューだから, 時刻 ti に放射された光子が，時刻 tf に基準系に対して静止しているような観測者によって観測されたとすると

hνihνf

=a(tf )a(ti)

という関係になる。ところで，左辺は重力赤方偏移 1 + z に他ならない ((11.172)参照)。つまり，

1 + z =a(tf )a(ti)

となることがわかる。宇宙論では (なぜか)現在の値を index 0で表す文化がある92ので，逆らわずに踏襲することにすると

1 + z =a(t0)a(t)

=a0a

を得る。ただし，普通に 0と書くといろいろ混同していきそうな予感がしているので太字にしてみました93。z = 0が現在であり，時間を遡っていくと増大する。また，scale factorの現在値を 1とする94。つまり，

1 + z =1a(t)

(16.12)

a0 = 1という規格化を採用するかどうかによらず，z0 = 0は正しいことに注意しよう。また，

dz = −daa2

∴ dz

1 + z= −da

a(16.13)

∴ dz

(1 + z)H= −da

a= −dt (16.14)

という関係にある。photonのエネルギーが aに反比例するという事実は，光子数密度を nrad とすると

ρrad = nradεrad ∝ a−3 · a−1 = a−4 (16.15)

というようにエナジーデンシティが scale factorの 4乗に反比例して減少していくことを教えてくれる。これに対して，物質については (16.11)ではなく，

−u0u0 +a2

1− kr2u1u1 = −1

であるため，

d

dλu0 =

aa

1− kr2u1u1

=a

a

(u0u0 − 1

)=a

a(u0u0 − 1)

したがって，

u0du0

u0u0 − 1= −da

a

∴ (u0)2 − 1 =const.a2

が得られる。u0 = γ より95左辺は,

γ2v2 =const.a2

∴ p ∝ a−1

したがって，

ε =√m2c2 + p2c2 = mc2 +

p2

2m+ · · ·

= mc2 +const.2m

a−2 + · · ·

第 1項で切れる非相対論的な粒子では，エネルギー密度が定数なので

ρmat ≈ ρ0c2 = nmatmc

2 ∝ a−3 (16.16)

である。(5.5)式から考えてもよい。重力赤方偏移の zを用いて，ρrad = ρrad0 (1 + z)4

ρmat = ρmat0 (1 + z)3

と書けることに注意しよう。

ρrad = ρrad0(1 + z)4 for p =13ρ (16.17)

ρrad0 = 7.9× 10−34Trad04 g cm−3 (16.18)

ρmat = ρmat0(1 + z)3 for p = 0 (16.19)

ρmat0 = 1.9× 10−29Ωmat0h2 g cm−3 (16.20)

ρvac = constant

1 + zeq ' 2.4× 104Ω0h2Trad0

−4 (Ω0 ' Ωmat0) (16.21)

91なぜなら，そもそも ~u =d

dλ=

dt

dλ

∂

∂t+dxi

dλ

∂

∂xi→ (u0, ui)

92他の文化圏にある者が，我々の文化を disturb してはいけないのと同様，我々も他の文化を荒らしてはいけない。ましてや，強制するものであってはならない。オングストロームは X 線天文学の魂と叫びたくなるのもわからんでもない。

93しかしテフは便利である。一斉に変ってくれるから。94他の規格化の仕方もあるので要注意である。まぜるな，危険！95γ2 − 1 = γ2v2

pi = γmvi =⇒ γ2v2 = (p/m)2


Friedmann Universe

(16.6)を時間で微分すると，

2(a

a

)aa− a2

a2− 8πG

3ρ =

2ka3a

∴ a

a=

4πG3

ρa

a+

k

a2+

(a

a

)2

となるので，(16.6)を代入して

a

a=

4πG3

(ρa

a+ 2ρ

)+

Λ3

(16.22)

となるが，(16.8)より，

−4πG3

(ρ+ 3p) +Λ3

=4πG

3

(ρa

a+ 2ρ

)+

Λ3

∴ ρ = −3 (ρ+ p)a

a

i.e. dρ = −3 (ρ+ p)da

a(16.23)

これは先ほど Einstein方程式から導かれる (16.6)と (16.8)から得られるので 3つは互いに独立ではないことに注意しよう。

Einstein 方程式から得られる独立な方程式は，(16.6) と(16.7)(または連立して導かれる (16.8) あるいは (16.23)) である。この微分方程式の未知変数は scale factor，energy density，pressure，及び，曲率，宇宙定数の 5つであるからこのままでは解くことはできない。この方程式に加えて必要なのは状態方程式 p = p(ρ)であり，これと (16.23)を連立すれば energy densityと scale factorの関係が導かれる。もし，曲率と宇宙定数が与えられれば，(16.6)によって scale factorの時間 dependenceが求まる。1階の微分方程式を 2回解くことになるので境界条件が 2つ必要であるが，そのうち 1つは a0 = 1によって与えられているので，energy densityの現在値が分かれば (もちろん，それに加えて曲率，宇宙定数の値も必要)，一様等方時空が一意的に定まる。

熱力学第 1法則から，

dE = TdS − pdV + µdN

= d (ρV ) = V dρ+ ρdV

∴ dρ =T

VdS − (ρ+ p)

dV

V+ µ

dN

V

V ∝ a3 ならば dV

V= 3

da

aであるから

dρ =T

VdS − 3 (ρ+ p)

da

a

したがって，(16.23)とから

dS = −µTdN

∴ d(a3s

)= −µ

Td

(a3n

)(16.24)

となっている事がわかる。Chemical potential µがゼロであったり無視出来る場合，または粒子数が保存される場合は entropyは保存されることが分かる。また，(5.87)からも分かるように，完全流体の場合 entropy fluxは生成されない。

EOSは

p =(W

3− 1

)ρ ( = (Γ− 1) ρ = wρ ) (16.25)

で与えられる。このとき，p+ρ = (W/3) ρ (= Γρ)より，(16.23)とから，

ρ ∝ a−W = a−3Γ(∝ a−3(w+1)

)(16.26)

となる。古典統計に基づく計算によると (q.v. (5.92), (5.98))

ρ = nmc2(K1(x)K2(x)

+3kBTmc2

) (x ≡ mc2

kBT

)

= nmc2K1(x)K2(x)

+ 3p

#

"

Ã

!

p = 0 dust, non-relativistic ⇐⇒ W = 3

p =13ρ relativistic particles ⇐⇒ W = 4

p = −ρvac vacuum → Λ ⇐⇒ W = 0

また, 曲率とエネルギーの ratioは

curvatureenergy

=kc2/a2

8πGρ/3∝ aW−2 (16.27)

となる。

量子統計から導かれる関係は，相対論的極限で

n = g × ζ(3)π2 (~c)3

(kBT )3 ×

1 (For Bosons)34

(For Fermions)

ρ = g × π2

30 (~c)3(kBT )4 ×

1 (For Bosons)78

(For Fermions)

p =13ρ

であったから，全ての relativistic particleによる energy densityへの寄与は，

ρ =π2

30k4B

~3c3

∑

b:Bosons

gbT4b +

78

∑

f :Fermions

gfT4f

(16.28)

≡ g∗π2

30(kBT )4

~3c3

と表すことができる。但し，有効自由度とよばれる

g∗ =def

∑

b:Bosons

gb

(TbT

)4

+78

∑

f :Fermions

gf

(TfT

)4

(16.29)

を用いた。また，entropy density (per unit volume)は (??)で与えられるから，relativistic particleを足し合わせて

S

V=

∑ 43ρ

T= g∗S

2π2

45k4BT

3

~3c3(16.29)

となる。但し，entropy densityの有効自由度は

g∗S =def

∑

b:bosons

gb

(TbT

)3

+78

∑

f :fermions

gf

(TfT

)3

(16.30)

161

である。energy densityが 4乗なのに対して，entropy densityは 3乗であることに注意しよう。後述するが，それぞれの有効自由度の現在値は

g∗0 = 2 + 3 · 7

8· 2 ·

(411

)4/3

' 3.36

g∗S0 = 2 + 3 · 78· 2 · 4

11' 3.91

(16.31)

である。Entropy densityが保存する場合，V = a3 として，

T ∝ 1g∗S1/3a

(a ∝ 1

g∗S1/3T

)(16.32)

となる。したがって，また²

±

¯

°a(t) =

(g∗S0

g∗S

)1/3T 0

T(16.33)

という関係が得られる。

(16.23)から導かれる scale factorの時間依存性について考えよう。相対論的粒子のEOSのみを考慮する場合と，ダストのEOSのみを考慮する場合とで (16.23)はそれぞれ，

d

dt

(ρrada

4)

= 0

d

dt

(ρmata

3)

= 0

(16.34)

となることが分かる。したがって，

ρrada4 = CR, ρmata

3 = CM (CR,M ; const.)

とおくと，ρrad = CRa

−4

ρmat = CMa−3

(16.35)

となり，先ほど述べたことが再現された。また，これらの関係より，Λ = 0, k = 0の場合，(16.6)から

a =

√8πG

3ρa2

∴

a =

√8πG

3CRa2

a =

√8πG

3CMa

となるので，それぞれ解は

a =(

32πG3

CRt2

)1/4

∝ t1/2

a =(6πGCM t2

)1/3 ∝ t2/3(16.36)

またこれよりρrad ∝ t−2

ρmat ∝ t−2(16.37)

radiation，matterのどちらの energy densityも t−2で減少していくことが分かる。

EOSが (16.25)となっている時は (16.26)となるので，

ρ = ρ0a−3Γ (ρ0 = ρ(t0)) (16.38)

であるから，Friedmann方程式 (16.6)に代入して

a2 − 8πG3

ρ0a−(1+w) − Λ

3a2 = −k (16.39)

を得る。

Cosmological parameters

Friedmann方程式を以下のよく用いられる宇宙パラメタを使って書き換えよう。

H =def

a

a, ρcrit =

def

3H2

8πG, Ω =

def

ρ

ρcrit

λ =def

Λc2

3H2(≡ ΩΛ) , κ =

def

kc2

a2H2=kc2

a2

q =def−aaa2

=(16.8)

4πG3c2H2

(ρ+ 3p)− c2Λ3H2

とおくと，Friedmann方程式 (16.6)は，

H2 − 8πG3

ρ− Λ3

= − k

a2

∴ 1− 8πG3H2

ρ− Λ3H2

= − k

a2H2

∴ 1− ρ

ρcrit− ΩΛ = −κ

したがって，

Ω + ΩΛ = 1 + κ (16.40)

となる96。さらに，Ωの中身を輻射と物質に分ければ，

κ+ 1 = Ωrad + Ωmat + ΩΛ (16.41)

となる。また，減速パラメタ qは，

q =12· 8πGρ3c2H2

(1 + 3

p

ρ

)− ΩΛ

=12

(1 + 3w)Ω− ΩΛ (16.42)

である。Hubble constant H は，定義より Hdt =da

aである

から，

a(tf )a(ti)

= eR tf

tiHdt (16.43)

96昔の書き方に従うと Ω + λ = 1 + κ。僕自身ナウでヤングなため本文中の記号が用いられる。それはどうでもよいのだが，観測物理屋さんと理論物理屋さんで捉え方が違うようである。あくまで宇宙定数は積分定数 (gradient がゼロ) なので，すなわち (Λgµν);ν = Λ,µ = 0 とならなければならないので，変数と考えてはいけない。しかし，Einstein方程式の左辺にあるこの量を右辺へ移行することによってエナジーモーメンタムテンサーに組み込んでしまえ的もくろみがあるらしい。もちろん，gradient がゼロである限り何をやってもよいのかも知れないが，あたかも場の変数であるかのごとき議論はよくないと思われる。そして，どうしても真空のエネルギーを入れたいのならきちんと Tµν に担わせればよいのではないの？宇宙定数が真空項を負担していると考えることにどれだけ意味があるのだろう。宇宙定数はまた別の物理があるかも知れない。と勝手に思っているだけなのです。


となる。右辺は eN と書く事が多い。つまり，

N =∫ tf

ti

Hdt = ln(a(tf )a(ti)

)(16.44)

ti から tf までに scale factorが eN 倍になることを意味する。観測97から

Ω + ΩΛ ' 1 (16.45)κ ' 0 (16.46)

これらはそれぞれ独立に観測から決まった値である。またWMAPの観測結果から

Ω ∼ 0.3, ΩΛ ∼ 0.68 (16.47)

であることがわかっている。つまり，ほとんどわかってない！

Hubble定数の現在値は

H0 = 100h km s−1Mpc−1 (16.48)h = 0.71± 0.07 (16.49)

と与えられているがその不定性から hを残しておく場合が多い。

(16.41)を現在値で表してみよう。(a0 = 1と規格化していることに注意。)

κ0 =k

a0H02

=a2H2

H02κ

ΩΛ0 =H2

H02ΩΛ

また，energy densityの項は

Ωrad0 =ρrad0

ρcrit0=

a4ρrad

H02

H2ρcrit

=a4H2

H02

Ωrad

同じく，

Ωmat0 =a3H2

H02

Ωmat

となるので，(16.41)から，

1 +H0

2

a2H2κ0 =

H02

a4H2Ωrad0 +

H02

a3H2Ωmat0 +

H02

H2ΩΛ0

⇐⇒ a2H2

H02

=Ωrad0

a2+

Ωmat0

a+ a2ΩΛ0 − κ0

⇐⇒ a2 = H02

(Ωrad0

a2+

Ωmat0

a+ a2ΩΛ0 − κ0

)

(16.50)

輻射，物質，宇宙定数，曲率の aへの寄与がまるわかりになった98。これより scale factorの値によって，どの項が dominantなのかが異なる。a¿ 1の時は右辺第 1項が大きく効いてくるので radiation dominated eraと呼ばれる。もう少し aが大きくなると，第 2項が効いてくる。このような時期をmatterdominated eraと言う。では，その境目はどこか。

輻射の energy densityはρrad =

π2k4B

30~3c3g∗T 4

ρrad0 =π2k4

B

30~3c3g∗0T 0

4 = 7.80× 10−34c2 g/cm3

(16.51)

である。ただし，T 0 = 2.725 K, g∗0 = 3.36とした。密度パラメタにすれば

Ωrad0 =π2k4

B

30~3c3g∗0ρcrit0

T 04 = 4.15× 10−5h−2 (16.52)

であるから，(16.51)とから

ρrad = ρcrit0Ωrad0g∗g∗0

(T

T 0

)4

(16.53)

を得る。一方，物質の energy densityは，entropy densityが保存するとして

ρmat =ρcrit0Ωmat0

a3= ρcrit0Ωmat0

g∗Sg∗S0

(T

T 0

)3

(16.54)

であるから，無茶苦茶シンプルに考えて，これらが等しいとすると

ρcrit0Ωrad0g∗g∗0

(T

T 0

)4

= ρcrit0Ωmat0g∗Sg∗S0

(T

T 0

)3

(16.55)

具体的な数値を求めると，大体

Teq =Ωmat0T 0

Ωrad0= 7.5× 104Ωmat0h

2 K

aeq =T 0

Teq=

Ωrad0

Ωmat0= 4.2× 10−5

(Ωmat0h

2)−1

zeq =Teq

T 0− 1 ' Ωmat0

Ωrad0= 2.4× 104Ωmat0h

2

(16.56)

となっていることが分かる。膨張により温度が下がればアルトラリラティヴィスティックパーティクルはノンリラになるわけだからこんなにシンプルにしていいいのかという疑問も湧くが，まあおおよその値として使われる。

97distant SNIa, distant galaxies count, galaxy clusters(Neumann emission measure)

98曲率項に (16.41) を代入すると，(a

a0

)2

=(

1a2− 1

)Ωrad0 +

(1a− 1

)Ωmat0 +

(a2 − 1

)ΩΛ0 + 1

163

radiation dominated era では曲率や宇宙定数の項はネグれるので，

H2 =(a

a

)2

=8πG3c2

ρrad

= g∗4π3G

45~3c5(kBT )4 (16.57)

= g∗4π3G

45~3c5

(g∗S0

g∗S

)4/3 1a4

(kBT 0)4 (16.58)

t =

√45~3c5

16π3Gk4B

g−1/2∗ T−2 = 2.4g−1/2

∗

(kBT

MeV

)−2

s ∝ T−2

(16.59)

つまり，1秒後の宇宙は大体 1MeV程度であると考えられる。

さて，もう一度 (16.50)を書いておく。

a2 = H02

[Ωrad0

a2+

Ωmat0

a+ a2ΩΛ0 − κ0

]

右辺のどの項が効いてくるかで，その時期の scale factorがどのように成長するのかを見るのであるが，整理しておこう。

I radiation dominated era: a¿ aeq

a2 ' H02 Ωrad0

a2(16.60)

∴ a '√

2H0 (Ωrad0)1/4 t1/2 (16.61)

∴ H =12t

(16.62)

I matter dominated era: aeq ¿ a

a2 ' H02 Ωmat0

a(16.63)

∴ a '(

94H0

2Ωmat0

)1/3

t2/3 (16.64)

∴ H =23t

(16.65)

I curvature dominated era: Λ = 0, k < 0,−Ωmat0

κ0< a

a2 ' −H02κ0 (16.66)

∴ a '√H0 (−κ0)1/2 t (16.67)

∴ H =1t

(16.68)

このように，宇宙定数が優勢の時期は scale factorが linearの関係にあることが分かる。この宇宙をMilne universeと呼んでいる。

I vacuum energy dominated era:

0 < Λ, max

[(Ωmat0

ΩΛ0

)1/3

,

(κ0

|ΩΛ0|)1/2

]< a

a2 ' H02ΩΛ0a

2 (16.69)

∴ a ' C exp

(√Λ3t

)(16.70)

∴ H =

√Λ3

(const.) (16.71)

このような宇宙を de Sitter universeという。後で分かるようにこの宇宙では event horizonが存在する事になる。

Friedmann model(Λ = 0)(左図) と Flat model(κ = 0)(右図)

一般に (16.26)のような a−W -dependence をもつ energy den-sityから得られる Friedmann方程式 (16.39)を，cosmologicalparametersを用いて書き換えてみよう。

(a

a

)2

− 8πG3

ρ0a−3Γ − Λ

3+

k

a2= 0

ここで

Ω0 =ρ0ρcrit0

=8πG3H0

2ρ0

より，

H2 = H02

(Ω0a

−3Γ +Λ

3H02− k

H02

1a2

)

= H02(Ω0(1 + z)3(1+w) + ΩΛ0 − κ0(1 + z)2

)(16.72)

を得る。

距離にまつわるエトセトラ

:::::::::::::::現在の時刻での測地的距離（これを共動距離といい，χが用いられる事が多い。また，共動距離の scale factor倍はしばしば実距離と呼ばれる。）は座標 rとは異なる。rはある位置を表す座標に過ぎない事に注意しよう。dr = R, dt = dθ = dφ = 0の2点間の空間的距離は

ds2 = a(t)2R2

1− kr2

となる事からも分かるように，時間に対して一定ではない。原点に対して dr = dθ = dφ = 0であっても，宇宙の膨張とともに


原点から遠ざかっているのである。この効果は座標 t, r, θ, φを用いている限り認識されない。

さて，その共動距離は

χ(t0) =def

∫ r

0

dr√1− kr2 (16.73)

で定義される。現在における座標 rと原点の空間的距離である。kの符号によってその原始函数は異なるが，それぞれ

χ =

1√k

arcsin(√

kr)

(0 < k)

r (k = 0)1√−k arcsinh

(√−kr) (k < 0)

(16.74)

となることが分かる99。したがってまた，逆に，

r =

1√k

sin(√

kχ)

(0 < k)

χ (k = 0)1√−k sinh

(√−kχ)(k < 0)

(16.75)

である。この rを，曲率 kに依存した測地的距離の函数 Sk(χ)と表すと，Robertson-Walker metricは

ds2 = −dt2 + a2dχ2 + Sk(χ)

(dθ2 + sin2 θdφ2

)(16.76)

と書く事が出来る。したがって，ある一定の時刻の 2点間の測地的距離は，

ds2 = a(t)2dχ2 + Sk(χ)

(dθ2 + sin2 θdφ2

)(16.77)

である。

原点と座標 rまでの現在の距離は χであるが，時間を遡っていくとその距離は短くなる。実際，過去の時刻 tにおける座標 rと原点の距離は

χ(t) =∫ r

0

a(t)dr√1− kr2 = a(t)χ(t0) (16.78)

現在の原点との測地的距離の scale factor倍が，同じ 2点間の時刻 tにおける距離になっている。すなわち，過去の測地的距離は，現在の測地的距離の scale factor倍であり，実距離とよばれるということである。距離は異なるが，共動座標 rは一定であることに注意しなければならない。この式を逆に

χ(t0) =1a(t)

χ(t) (16.79)

とみれば分かるように，共動座標 r が一定の event は膨張(1a(t)

> 1)している事を意味する。

現在の時刻で測地的距離が χ(t)となる共動座標 r′ は，∫ r′

0

dr√1− kr2 = χ(t) = a(t)

∫ r

0

dr√1− kr2 (16.80)

過去の測地的距離の時間微分を計算してみると

dχ(t)dt

= aχ(t0) =a

aχ = Hχ(t) (16.81)

となっている。遠いところほど expandingが速いということが分かる (Hublbe law)。

これに対し，xi = ariで定義される physical coordinateは，時間微分をとると

dxi

dt= ari + ari

= Hxi + ari ≡ Hxi + vpeci(r, t) (16.82)

vpeci = ari は peculiar motion(特異速度)とよばれる。共動

座標 riは測地線のラベルであるから，同じ測地線上の任意の点は当然一定の riである。一方，固有座標 xiでは，現在 ri = xi

にあっても，過去の時刻 tでは xi = a(t)ri であるから，測地線上でも xiは一定ではない。現在 xi(原点からの測地的距離 χ)にある点は，過去において a(t)xiにあり，原点からの測地的距離は a(t)χとなるのである。さらに，固有座標の時間微分を計算すると，

d2xi

dt2= ari + 2ari + ari

=a

axi + 2Hvipec + ari =

a

axi +Hvipec + vipec (16.83)

となる。

共動距離にして χ(t0)だけ走ってくる::::::photon は時間にしてどれ

ほど走ったことになるのだろうか。我々地球人に届く光は当然過去のある時点から出発したものだから，そのときの 2点間の距離と現在の同じ 2点間の距離は膨張のため異なっている。我々からしてみれば，光が出発した当時の測地的距離，すなわち実距離だけ進むと言う事であるが，時々刻々と測地的距離の線要素は変化する。photonは null測地線に沿っているので（近づいているから負符号）

dt = − adr√1− kr2 ∴ dr√

1− kr2 = −dta

であるから，光が走ってきた距離の，現在の時刻における距離は

χ(t0) =∫ r=r(t=t)

0=r(t=t0)

dr√1− kr2 = −

∫ t

t0

dt

a=

∫ t0

t

dt

a(t)

=∫ 1

a

da

aa=

∫ 1

a

da

a2H(a)= (c)

∫ z

0

dz

H(z)(16.84)

という関係で結ばれる。

いま，a = A · tζ (A : const.)の関係にあるとしよう。この時，

χ(t0; t) =∫ t0

t

dt′

a(t′)

=

c

Aln (t0/t) (ζ = 1)c

A(1− ζ)(t0

1−ζ − t1−ζ) (ζ 6= 1)

t0 →∞, t→ 0としたときの振舞いを考える。ζ = 1の場合はいずれの場合も発散してしまう。0 < 1− ζ ならば，t→ 0で χは有限の値をとる。

limt→0

χ(t0; t) =1

A (1− ζ) t01−ζ =: χPH(t0) (16.85)

99次の積分を思い出そう。arcsinh x =

Zdx√

1 + x2

arcsin x =

Zdx√

1− x2

165

有限であるという事は，時刻 t = 0の時に出発した光は，現在の距離で χPHだけ走ってきたという事であり，逆に言えば，時刻 t = 0で出発した光は，原点から χPH 離れたところに到達しているという事である。この χPH(t0)を particle horizonという。したがって，原点を過去のどの時刻から出発した光もこの領域から出る事はない。すなわち，この領域内の eventはcausalityで結ばれ得ると考えてよい。

また，1− ζ < 0ならば，t0 →∞で χは有限値をとる。

limt0→∞

χ(t0; t) =1

A (ζ − 1)t1−ζ =: χEH(t) (16.86)

いくら待っても到達しうる範囲が，光の出発した時刻に依存した領域内から出られないという事を意味する。この χEH(t)をevent horozonという。現在の scale factorを 1とする規格化をしているのでちょっと注意が必要で100，

a(t)χ(t0; t) =t

1− ζ

[(t

t0

)ζ−1

− 1

]

−−−−→t0→∞

t

ζ − 1(1 < ζ)

としなければならない。左辺は光が走ってきた距離の時刻 t = tにおける値であるから，どんなに待っていてもある時刻 tに出発した光は一定の大きさまでしか広がらないという事を意味する。あるいは，逆に，どんなに待っていても，原点に届く光の範囲は限られているという事である。(tの函数として)有限確定値になるということの意味は，時刻 tに出発した光子が到達出来る範囲の限界があるということである。さらに，tによらない値に収束すれば，任意の時刻に出た光子の到達領域が限られているということである。また，ζ > 1ならば 0 < aであることを指摘しておく。このような時，宇宙は加速膨張しているという。

¥ matter-dominated eraでは，(16.36)から，a0 = 1と規格化して

a =(t

t0

)2/3

(16.87)

である。したがって，particle horizonが存在し

χ(t0, t) = 3t02/3(t0

1/3 − t1/3)−→t→0

3t0 ≡ χPH(t0) (16.88)

と求まる。

¥ radiation-dominated eraでも同様に，(16.36)より，

a =(t

t0

)1/2

(16.89)

であるから，particle horizonは

χ(t0, t) = 2t01/2(t0

1/2 − t1/2)−→t→0

2t0 ≡ χPH(t0) (16.90)

である。時刻 t0が増加するにつれ，新たな領域が地平線内に取り込まれることになる。

¥ 宇宙項しか効いてこない宇宙 (de Sitter universe) では，(16.50)から

a2 = H02a2ΩΛ0

∴ a = eH0

√ΩΛ0(t−t0) = e

√Λ3 (t−t0) (16.91)

となり，指数函数的に膨張していく。このとき，共動距離は

χ(t0, t) =∫ t0

t

e−√

Λ3 (t−t0)dt = −

√3Λ

[1− e−

√Λ3 (t−t0)

]

=

√3Λ

[e√

Λ3 (t0−t) − 1

](16.92)

となる。このまま t0 → ∞とすると発散するが，physical dis-tance(実距離)にしてみると

χ(t) = a · χ(t0, t) =

√3Λ

(1− e−

√Λ3 (t0−t)

)−−−−→t0→∞

√Λ3

(16.93)

となる事から分かる通り，event horizonは有限になっている。左辺はさっき説明したように，時刻 t = t0における距離を過去の時刻 t = tでの距離で表したものである。したがって，無限時間待っていても原点に届く光は有限の距離からのものである。逆に原点から出発した光は，どれだけ時間が経過しても，到達する限界があるという事を意味する。その大きさは時間に依らず，宇宙定数のみに依存していることは注目に値する。Eventhorizonを共動距離に換算してみると，

χEH =

√Λ3

1a(t)

(16.94)

で減少していく事が分かる。すなわち，共動座標上の各点はevent horizonの外へ出て行ってしまう。また，(16.92)について，t→ 0しても有限値に確定するので，同時に particle horizonも存在する。

χPH =

√Λ3

(e√

Λ3 t0 − 1

)(16.95)

これは実距離に直せば

aχPH =

√Λ3e√

Λ3 t

(1− e−

√Λ3 t0

)(16.96)

次に，luminosity distanceと angular diameter distanceについて触れておく。luminosity L[erg/s]の天体を考えよう。エネルギー分布を I(λ)と書くことにすると，単位波長，単位時間当たりに放出されるエネルギーは

dE = LI(λ)dλdt (16.97)

であるから，その photon数は

dN =dE

2π~cλ

(16.98)

である。天体を出発した光子は赤方偏移するので，受け取る fluxはもちろん変化する。

F (λ0)∆λ0 =

2π~cλ0·∆N

4πr2∆t0

∴ F (λ0) =L · I

(λ0

1 + z

)

4πr2(1 + z)3(16.99)

100A = t0−ζ とするわけだから，t0 →∞ とする極限には注意が必要。


観測される放射の全エネルギーは

Fobs =∫ ∞

0

dλ0F (λ0)

=1

4πr2(1 + z)3

∫ ∞

0

dλ0LI

(λ0

1 + z

)

=1

4πr2(1 + z)2

∫ ∞

0

dλ′LI (λ′)

=L

4πr2(1 + z)2≡ L

4πd2L

これはしばしば bolometric fluxとよばれる。Minkowski時空換算したときの距離

dL =def

√L

4πFobs= (1 + z)r (16.100)

を luminosity distanceという。有限のひろがりを持つ天体から単位立体角あたりの photonのエネルギー量Bを surface brightness というが，見かけの角度∆θと視線に垂直な方向の実際の半径を lとすると

B =def

Fobs

π (θ/2)2(16.101)

で定義される。Minkowski空間であれば，

∆θ =l

r

であるが，もちろんこれはRW時空では正しくない。dt = dr =dφ = 0として

l =∫ardθ = ar∆θ =

r

1 + z∆θ

i.e. ∆θ =(1 + z)l

r≡ l

dA(16.102)

この見かけの角度をMinkowski時空換算したときの距離

dA =def

r

1 + z(16.103)

を angular diameter distanceという101。(16.100)と (16.103)より

dA

dL=

1(1 + z)2

(16.104)

の関係にあることを指摘しておく。Minkowski時空換算した量で zが測れるのでうれしい。

Big Bang理論のような宇宙の始まりがあるモデルでは，宇宙の年齢を定義することができる。(16.14)より，

t0 =∫ t0

0

dt = −∫ 0

∞

dz

(1 + z)H(z)(16.105)

=1H0

∫ ∞

0

dz

1 + z

(1 + z)3Ωmat0 + (1 + z)4Ωrad0

+ΩΛ0 − (1 + z)2κ0

−1/2

≡ TH

∫ ∞

0

dz

1 + z

(1 + z)3Ωmat0 + (1 + z)4Ωrad0

+ΩΛ0 − (1 + z)2κ0

−1/2(16.106)

となる。

TH =def

1H0

(' 9.7776h−1Gyr ∼ 13.7Gyr)

(16.107)

をHubble timeと呼び，また，typicalな長さ

RH =def

cTH

(' 2.9979h−1Gpc ∼ 4.2Gpc)

(16.108)

をHubble radiusと呼ぶ。

曲率パラメタの現在値 κ0 は，

|κ0| = |k|H0

2=

(RH

Rk

)2

(16.109)

であり，curvature radiusとHubble radiusの ratioの 2乗であることが分かる。因みに，curvature radiusRk は

Rk =1√|k| =

1aH

√|κ|

=1

a0H0

√|κ0|

=1

H0

√|Ω0 − 1| (16.110)

と書く事が出来る。2行目へは，k が時間に依らない定数と考えて一般性を失わない事による。

一様に質量が分布しているときの Schwarzschild radius(rg)がどれくらいで与えられるか，単純な議論をしてみる。半径内の質量は

Mg =43πr3gρ

であるから，

rg :=2GMg

c2=

8πG3c2

ρr3g (16.111)

∴ rg =

√3c2

8πG1ρ

=c

H0

√ρcrit

ρ=RH√

Ω=

RH√1 + κ

(16.112)

時空の構造，分解

時空の構造に目を向けてみよう。

α = 1, βi = βi = 0 (16.113)

であるから，FIDOは共動座標系 (CRF)で静止した観測者であることわかる:

~n −−−−−→(t,r,θ,φ)

(1, 0, 0, 0) (16.114)

n −−−−−→(t,r,θ,φ)

(−1, 0, 0, 0) (16.115)

101

dL =def

(1 + z)r =

8>>>><>>>>:

1 + z√k

sin(√kχ) (0 < k)

(1 + z)χ (k = 0)1 + z√−k sinh(

√−kχ) (k < 0)

, dA =def

r

1 + z=

8>>>>><>>>>>:

1

(1 + z)√k

sin(√kχ) (0 < k)

χ

1 + z(k = 0)

1

(1 + z)√−k sinh(

√−kχ) (k < 0)

167

ただし，conformal timeで記述される時空では，α = a(t)より，

~n −−−−−→(τ,r,θ,φ)

(1a(t)

, 0, 0, 0)

(16.116)

n −−−−−→(τ,r,θ,φ)

(−a(t), 0, 0, 0) (16.117)

Physical coordinate xi = a(t)ri では，

0 = βi = −(dri

dt

)

FIDO

= −(d(a−1xi)

dt

)

FIDO

=a

a2xiFIDO −

1a

(dxi

dt

)

FIDO

∴ xiFIDO =a

axiFIDO = HxiFIDO (16.118)

となっている事からも分かるように，FIDOは Hubble flowに沿って変位しているのである。

Expansion rateを計算してみると102，

θ = nµ;µ =1√−g

∂

∂t

√−g = 3a

a= 3H (16.119)

また，shear σij =12


)は

σij →(r,θ,φ)

aa

1− kr2aar2

aar2 sin2 θ

(16.120)

となっている。このとき，absolute spaceの extrinsicな curva-tureは，

Kij = −(σij +

13θγij

)

→(r,θ,φ)

− 2aa

1− kr2−2aar2

−2aar2 sin2 θ

(16.121)

となる。大きさを計算してみると

KijKij =(γ11K11

)2+

(γ22K22

)2+

(γ33K33

)2

= 12(a

a

)2

= 12H2 (16.122)

となって，Hubble parameterの 2乗に比例する。またトレースを計算すると

K = γijKij =1− kr2a2

(− 2aa

1− kr2)

+1

a2r2(−2aar2

)

+1

a2r2 sin2 θ

(−2aar2 sin2 θ)

= −6a

a= −6H (16.123)

となる。

3D-Ricci scalar(11.124)は

R = 6k

a2(16.124)

となるので，Rの符号は kの符号と一致する。局所的に空間が，球面 (正)，平面 (ゼロ)，鞍点 (負)のうちのどの形状になっているかは kによって決まるということである。

時空を分類する上では次の定理が本質的である。

定理: 連結，単連結かつ完備な n次元定曲率時空は断面曲率Kの符号に応じて次の 3つの時空のどれかと同型である。

1. 0 < K: de Sitter時空

2. K = 0: Minkowski時空

3. K < 0: 単連結 Anti de Sitter時空

ここで，上の言葉の意味をきちんと定義しておこう。

よく使われるネーミングを以下に書いておく。

ModelFriedmann model Λ = 0

I Einstein-de Sitter universe k = 0

I Milne universe k < 0, −Ωmat0

κ0< a

Flat model k = 0de Sitter universe Λ > 0Friedmann universeLemaitre universe 0 < Λ, k

時空を共動座標系で記述した場合についてmetricは既に与えたが，固有座標すなわち physical coordinateで記述されるmetricについては触れなかった。ここで，計算してみよう。変換行列は, t = t, x = x(t, r) = a(t)rより103

Λ00 =

∂t

∂t= 1 Λ0

0 =∂t

∂t= 1

Λx0 =∂x

∂t= a(t)r = Hx Λr0 =

∂r

∂t= − a(t)

a(t)2x = −Hr

Λ0r =

∂t

∂r= 0 Λ0

x =∂t

∂x= 0

Λxr =∂x

∂r= a(t) Λrx =

∂r

∂x=

1a(t)

となるので104，固有座標の場合，

α = 1, βi = −Hxi (16.125)

であるから，FIDOの 4-velocityは

~n −→(t,xi)

(1,Hxi

)(16.126)

となって，(16.118)を再現する。もちろん，座標変換

~n = nν∂

∂xν= nν

∂xµ

∂xν∂

∂xµ= Λµ0

∂

∂xµ

−→(t,xi)

(1,Hxi

)

102detg は，√−g =a3r2| sin θ|√

1− kr2103(t, r(t, x), θ, φ) ↔ (t, x(t, r), θ, φ) · · · 物理の学生は，とかく何が独立変数であるかを意識しない，あるいは混同してしまうことが多い，と数学科の先生に言われた事がある。たまに，心に浮かぶ名台詞である。

104Λµν →

2664

1 0 0 0Hx a(t) 0 00 0 1 00 0 0 1

3775 , Λµ

ν →

26664

1 0 0 0

−Hr 1

a(t)0 0

0 0 1 00 0 0 1

37775


によっても示される。極座標表示しているので，

~n →(t,x,θ,φ)

(1,Hx, 0, 0) (16.127)

である。また，metricは

gµν →

−1 +a2x2

a2 − kx2− aax

a2 − kx20 0

− aax

a2 − kx2

a2

a2 − kx20 0

0 0 x2 00 0 0 x2 sin2 θ

(16.128)

となり，

det gµν = −a2x4 sin2 θ

a2 − kx2(16.129)

なので

gµν →

−1 −Hx 0 0

−Hx −kx2 − a2 + a2x2

a20 0

0 01x2

0

0 0 01

x2 sin2 θ

(16.130)

さらにこの時，3D部分時空のmetricγijの determinant ‖γ‖は，

‖γ‖ =a2x4 sin2 θ

a2 − kx2(16.131)

となる。

16.1 Big Bang Hypothesis

宇宙の初期はどのようであったか，1960年代半ば頃まで分からなかった。1964-65の PenziasWilsonの CMB2.73Kの発見は，現代の宇宙論への大きな一歩であった。この発見によって BigBang仮説は広く受け入れるようになったが，last-scattering以後の物理が明らかになったということ以上には何も分かっていない事に注意する必要がある。WMAPの観測 dataから分かる事は，CMBが完全な黒体輻射になっているという事で，宇宙が開闢してから 38万年後の姿を見ているに過ぎない。したがって，宇宙が 38万歳よりも若い時の姿は知らないのであるから，もちろん何が置きているかは予想の範疇を越えない。もっとも生まれたばかりの宇宙は人によって全く異なり，赤子をいじめるのもたいがいにせーよ言いたくなる。この小節では，Big Bang

モデルが正しい場合にどのような宇宙観が出来上がってくるかを考えることにする。一様等方な宇宙は，Friedmann方程式のうちのどの項がdom-

inantなのかによってその進化が異なる。

Gamow criterion

温度によって粒子間の反応レートは異なる。温度が下がるにつれて相互作用が弱まり独立に運動するようになる。これを de-coupling(脱結合)という。Decouplingの processは非平衡で起こるが，大雑把に見積もって相互作用の頻度が宇宙年齢程度になっていれば相互作用はなくなっていると考えて差し支えない。すなわち，decouplingはおおよそ

(life time) =1Γ

=1H

= THubble (16.132)

の時に起こるであろうと考えてしまうのである。ただし，Γは相互作用が起きる確率である。この判定の仕方をGamow crite-rionといい，大雑把ながら定性的な性質をよく説明している。

Fermiの 4体相互作用について少し復習しておこう。弱い相互作用による反応の 1つに free neutron decayが挙げられる。

n→ p+ e− + νe (life time: 887s) (16.133)

freeであるということを忘れないように。さもなければ原子核が次々に崩壊してしまう。また，次のmuon decay

µ− → e− + νe + νµ(life time: 2.2× 10−6s

)(16.134)

も弱い相互作用によるものである。Fermiは中性子の崩壊現象を説明するために，4つの粒子が一度に相互作用するとして現象論的に定量化した。結合定数は

GF(~c)3

= 1.16637× 10−5 GeV−2 (16.135)

となる105。この結合定数は電磁力や強い結合定数とは異なり，質量の 2乗の次元を持っていることに注意しよう。重力もそうである。いま，

GF = mF

−2

GN = mPl−2

(16.136)

とおくと106，mF = 293 GeVmPl = 1.22× 1019 GeV

(16.137)

mF , mPlはそれぞれ弱い相互作用，重力の理論が破綻する scaleである。弱い相互作用については electroweak理論で決着がついたが，重力については周知の通り未解決である。

反応率は相互作用のハミルトン演算子 Hint によって記述される。反応の前後で始状態の波動函数を ψi，終状態の波動函数をψf とすれば，遷移行列要素 (確率振幅)は

Mfi = 〈ψf |Hint|ψi〉 =∫ψ∗fHintψidV (16.138)

105~c =0.2GeV·fm は記憶に値する。1fm=10−13cm

106GN

~c = 6.70711× 10−39(GeV/c2)−2

16.1 Big Bang Hypothesis 169

で与えられる。また，運動量空間の p′ ∼ p′ + dp′に散乱された粒子の粒子数密度は

dn(p′) =V · 4πp′2dp′

(2π~)3(16.139)

であるから，エネルギー幅 dE′ の中の終状態の密度は，dE′ =v′dp′ より107

%(E′) =dn(E′)dE′

=V · 4πp′2(2pi~)3

1v′

(16.140)

となるから，標的粒子，入射粒子当たりの反応率W は

W =2π~|Mfi|2 %(E′) (16.141)

である。弱い相互作用では質量をもつ vector bosonが交換されるが，電荷 eではなく“弱電荷”gに結合している。したがって，

Mfi ∝ g2 ∝ αw (16.142)

が成り立つ。交換された粒子は遷移行列要素に伝播函数として寄与し，この項は一般に

1P 2(c2) +M2(c4)

(16.143)

と書ける。P 2は相互作用により移行する 4-momentumの 2乗であり，M は交換される粒子の質量である。

νµ + e− −→ µ− + νe

の遷移行列はW-bosonに結合する弱電荷 g と，質量をもつスピン 1の粒子の伝播函数の積に比例する。

Mfi ∝ g · 1P 2c2 +MW

2c4· g

P 2→0−−−−→ g2

MW2c4

(16.144)

この極限は P 2 ¿MW2c2の時に意味を持つ。交換される boson

の質量が大きいため，遷移行列要素はほとんど定数になってしまうのである。もともと，Fermi定数は, Fermiの 4体相互作用の理論で

GF√2

=def

πα

2g2

e2(~c)3

MW2c4

(16.145)

と定義されていたものである。Neutronの β-decayの崩壊幅は

1τ

=∫ E0

mec2

dW

dEedEe

=∫ E0

mec2

2π~|Mfi|2 d%f (E0.Ee)

dEedEe (16.146)

終状態の状態密度は，E0 = Ee + Eν , dE0 = dEν

%f (E0, Ee) =(4π)2

(2π~)6pe

2 dpedEe

pν2 dpνdE0

V 2dEe (16.147)

= (4π)2V 2Ee√Ee2 −me

2c4 (E0 − Ee)2(2π~c)6

dEe

(16.148)


f(E0) =∫ E0

1

Ee√Ee2 − 1(E0 − Ee)2dEe (16.149)

とおくと，

1τ

=me

5c4

2π3~7

(gV

2 + 3gA2)f(E0) (16.150)

である。高エネルギー E0 À mec2 である場合，近似的に

f(E0) ≈ E05

30(16.151)

となるので，

1τ≈ 1~7c6

(gV

2 + 3gA2) E0

5

60π3(16.152)

となる。このように，E0 に比例して寿命が短くなる事を Sar-gent則と呼ぶ。ただし，中性子の β-decayでは E0 ∼ mec

2 程度なので近似が成り立っておらず，ほぼ半分くらいと見積もられている。

1τn≈ 1~7c6

(gV

2 + 3gA2) E0

5

60π3× 0.47 (16.153)

Muonの崩壊幅は

Γµ =~τµ

=GF

2

192π3(~c)6(mµc

2)5

(1 + ε) (16.154)

で与えられる。εは輻射補正やその他の補正を考慮したものであるがネグれる。上の議論と同様に質量の 5乗に比例している。宇宙背景輻射が一様等方黒体輻射であるということは，こ

れまでの時間発展の中で，radiationとmatterが決別して以来disturbanceがなかったことを示唆する。つまり，もし大規模な構造形成がおこったとするならば，その影響が CMBに現れなければならない。

p+ e ¿ n+ ν

p+ ν ¿ n+ e+

また relativistic particlesが creationと annihilationを繰り返している。低温ではこのような interactionが弱まってくるので独立に運動し始める。これを decoupling(脱結合)という。

16.1.1 The First Three Minutes～BBN

宇宙が始まって以来∼several秒程度で約 1MeVまで温度が冷めてしまう。この程度の温度では，電子陽電子の対生成がおこると考えられるので，この時期から軽元素の合成が始まったと考えられる。軽元素とはハイドロジェンとヒーリアムのことを言い，リスィアム以降は軽元素とは言わない事が多い。特に，元素のアバンダンスでいうとハイドロジェンがX，ヒーリアムがY，その他のメタルが Z という記号で表されるマス比でよく語られる。宇宙のアバンダンスや太陽のアバンダンス，星のアバンダンス等いろいろな場面で用いられる概念である。また，星の進化に対しても重要な役割を果たす。この分野では Z のことをメタリシティー (metallicity)などと呼ばれる事もある。この小節で説明するのは宇宙の元素アバンダンスである。

n+ p→ d+ γ (16.155)

dは Deuteriumの原子核である。dが作られる事によって，次の反応が起こる。

d+ d → 3H + p (16.156)(16.157)

107 dγ

dv= vγ3,

dE

dv= mvγ3,

dp

dv= γm(1 + v2γ2) = mγ3 より，dE

dv= v

dp

dv。


ニュートリーノ脱結合

Neutrinosは弱い相互作用しかしない非常に観測しにくい粒子である。interactonがあまりないということは，photonと同様に昔の情報をそのまま保持していると考えられる。現在知られているニュートリーノの世代数は 3だと思われている。これは宇宙論からの制限と高エネルギー物理からの制限があり，どちらも 4を越えない数になっているためにそう思われているのである。

recombinationTrec ' 3300 Kzrec ' 1089± 1

(16.158)

decouplingTdec ' 3300 Kzdec ' 1089± 1

(16.159)

photonが interactionしなくなるということはmean free pathが長くなるということであり，宇宙の晴れ上がりと呼ばれる。また，この時期に散乱した光子が我々に届いているのがCMB(CosmicMicrowave Background) と呼ばれている，最後に散乱 (lastscattering)された輻射である。

Γ ∼ G2F k

5BT

5

~(16.160)

(??)

ΓH∼

(T

1.6× 1010K

)3

(16.160)

したがって，T ∼ 1.6× 1010 Kでニュートリーノは decouplingすると考えてよい。これは，電子の対生成・対消滅

e− + e− ¿ γ + γ + 1.02MeV (16.161)

が起こる温度 Temec

2

kB= 5.9× 109K よりも大きい。則ち，電子

と陽電子が (16.161)で平衡状態を保っている時にニュートリーノは freeze-outしてしまう。この時の温度を Tγ− = Tν− = Te− ≡T− としよう。やがて，電子の freeze-outが起こるが，その間(16.161)によって photonsの温度は単純に反比例で落ちてはいかないので，ニュートリーノと photonsの温度に差が生じてしまう事になる。電子陽電子対消滅後のニュートリーノの温度をTν+, photonsの温度を Tγ+ とおけば，対消滅前後のエントロピー保存より

g∗S−T 3−a

3− = g∗S+T

3γ+a

3+ (16.162)

但し，

g∗S− = 2 +78

(4 + 6) =434

(16.163)

g∗S+ = 2 +78· 6

(Tν+Tγ+

)3

(16.164)

である。一方，ニュートリノの温度は脱結合後は反比例で落ちていくので，

T 3ν+a

3+ = T 3

ν−a3− = T 3

−a3− (16.165)

という関係にあるので，

434Tν+

3 =

(2 +

214

(Tν+Tγ+

)3)Tγ+

3

∴ 434

(Tν+Tγ+

)3

= 2 +214

(Tν+Tγ+

)3

したがって，

Tν+ =(

411

)1/3

Tγ+ ' 1.95(Tγ+

2.73K

)(16.166)

となる。数密度に関しては，

nν =34gνgγnγ(Tγ+) =

34

(Tν+Tγ+

)3

nγ(Tγ+) =311nγ(Tγ+)

(16.167)

という関係があるが，photonの number densityは

nγ(Tγ+) = gγζ(3)

π2(~c)3(kBTγ+)3 ' 413.2

(Tγ+

2.73K

)3

cm−3

(16.168)

であるから，

nν ' 112.7(Tγ+

2.73K

)3

cm−3 (16.169)

Neutrinos が decouple すると，weak interaction が freeze-outするので，protonsと neutrons の数密度は固定される。

p+ e− ¿ n+ νe, p+ νe ¿ n+ e+

p+ e− + νe ¿ n

Free neutronsは約 15分で decayするので，もっと正確に言えば，protonsから neutronsへの転化が freeze-outするということである。上段の反応の反応率は，orderとして

Γ ∼ GF2(1 + gA

2)kB

5T 5

~(16.170)

くらいであるから108，

ΓH∼

(T

0.9× 1010 K

)3

(16.171)

と見積もる事が出来る。この温度 0.9× 1010 Kよりも高温であれば反応は平衡状態であるので，

nnnp

= exp(− (mn −mp)c2

kBT

)= exp

(−1.5× 1010K

T

)

(16.172)

で表される。したがって，freeze-outするときの比は大雑把に言って

nnnp

= exp(−1.5

0.9

)' 1

5.3(16.173)

くらいになっている。

neutronと protonから deuteron

n+ p ¿ d+ γ + 2.22MeV (16.174)

108gA = 1.26 は核子の擬ベクトル結合定数

16.2 Inflationary cosmology 171

が生成されると，以下のように次々と反応が起こって helium4を生成する。

d+ d ¿ t+ p

d+ d ¿ 3He + n

d+ p ¿ 3He + γ + 5.49MeVd+ n ¿ t+ γ + 6.26MeV

t+ d ¿ 4He + n3He + n ¿ 4He + γ

t+ n ¿ 4He + γ

d+ d ¿ 4He + γ

triton, 3Heは不安定であるから崩壊してしまう。また，4He + t ¿ 7Li + γ + 2.47MeV

によって Li原子核が生成されるが，7Li + p ¿ 24He + 17.35MeV

によってすぐに壊れる。

s =43π2

30

(2 +

214

(TνTγ

)3)T 3γ = 7.04nγ (16.175)

η =def

nbnγ

(16.176)

=π2~3cρcrit0

2ζ(3)mPlk3BT 0

3Ωg0 = 2.734× 10−8Ωb0h2 (16.177)

Baryogenesis

Sakharov condition

(1) ∆B 6= 0

(2) CP violation

(3) 非平衡条件が成り立っている必要がある。

16.2 Inflationary cosmology

Big Bang Hypothesisは，宇宙膨張，軽元素の存在量，宇宙背景輻射の存在などを裏付ける有望な理論であるが，それと同時に大きな困難も残してしまった。Our universeは一様で等方であるとしてまず間違いなく，BBHは観測を裏付ける理論としてかなり plausibleなものである。ところが，現在の一様等方な宇宙を作り上げるのが困難なのである。

. Singularity problem:宇宙はどこから来たのか？

. Horizon problem:Radiation dominated eraの particle horizonは (16.90)で与えられることを思い出そう。horizon sizeより離れてしまえば，互いに correlationはなく全く独立である。そうであるはずだが，観測から得られた事実は，CMBなど一様性がよく成り立っている。これまでの話では，輻射優勢期，物質優勢期があって teqで大体その膨張の仕方が入れ替わると説明したが，それでは一様等方になる必然性を説明出来ない。

χPH(t) =(16.90)

2ct

=(16.59)

1.4× 10−25g−1/2∗

(kBT

1015GeV

)−2

cm

∴ χPH(t)a(t)

=(16.33)

(g∗Sg∗S0

)1/3T

T 0χPH(t) (= χPH(t0))

= 1.9× 102( g∗

100

)−1/6(

kBT

1015GeV

)−1

cm

右辺は現在の horizonの大きさであるがせいぜい 2メートルくらいにしかならない。

. Flatness problem:WMAPの観測から κ0 ' 0 (16.109)から分かる通り，宇宙初期の曲率半径は horizon scaleに比べてかなり大きいものになっている。つまり，曲率が宇宙初期では理不尽に小さい。実際

κ =H0

2

a2H2κ0

= 4.8× 10−53h2( g∗

100

)−1/3(

kBT

1015GeV

)−2

κ0

(16.178)

であり，小さすぎる。また，Friedmann方程式 (16.41)から分かるように Ω + ΩΛ が 10−53 の精度で 1になっていたことになる。

. Galaxy formation problem:宇宙はもちろん完全に一様なわけではない。星や銀河，銀河団を形成するためには初期において完全に一様であっては困る。


. Baryons asymmetry problem:

η =nBnγ∼ 10−9 (16.179)

. Domain wall problem:

. Primordial monopole problem:t’ Hooft-Polyakov magnetic monopole

. Primordial gravitino problem:N = 1 supergravity

. Polonyi field problem:SUGRA scalar Polonyi field

. Cosmic constant problem:

. The problem of the uniqueness of the universe:

これらの問題点を解決するため提唱されたのが inflationmodelであり，BB仮説でうまく行かないところの帳尻合わせをすべく，宇宙の初期に加速膨張せよ，という要請であり，これよって上述した問題点がある程度解決される。最初に提案したのは Starobinskyであるが，自身が指摘しているように不安定性が問題となっている。指数的に膨張する時期が必要であると最初に提唱したのはGuthであるが，彼のmodelは今では Oldinflationと呼ばれている。というのは，domain wallを避ける事が出来ず，それらの衝突によって必要以上に非一様で非等方な宇宙になってしまうため，現在では棄却されている。その後，Lindeらによって new inflationary universe scenarioと呼ばれるmodelが提唱された。この scenarioがGuthのOld inflationと異なるのは，過冷却状態だけでなく遷移しているときも infla-tionしているとするところであるが，やはりこれも完璧に説明し尽くすものにはなっていない。fine-tuningの問題が解決されないのである109。

BBNが機能するためには，inflationは 1秒よりも前に起きているとしなければならない。局所 Lorentz系で

ds2 = −dt2 + a2ηijdxidxj (16.180)

= a2ηµνdxµdxν (dx0 ≡ dτ) (16.181)

であるとする。本来，場の量子論はMinkowski時空上でしか議論出来ないが，Hawking radiationの時に議論したように重力場は古典的な外場であるとして，物質場だけを量子化すると考える。今の場合，完全にMinkowski時空ではないので，その効果があらわれてくる事が容易に予想されるだろう。

局所 Lorentz系では通常 connectionが消えてしまうが, 完全にMinkowski時空ではないので scale factorの時間微分だけ残ってしまう。すなわち

gµν,i = 0, g00,0 = 0, gii,0 = 2aa

である事に注意しなければならない。そうすると，

gµνΓiµν =12gµνgiλ (gλµ,ν − gµν,λ + gνλ,µ)

=12gµνgiλ (gλµ,ν + gνλ,µ) = 0

gµνΓ0µν = −1

2gµν (g0µ,ν − gµν,0 + gν0,µ)

=12g00,0 +

12a2

ηijgij,0

= 3a

a= 3H

なので，d’Alembertian ¤は，

¤φ = gµνφ;µν = gµνφ,µ;ν

= gµν(φ,µν − Γλµνφ,λ

)

= −φ+ gijφ,ij − gµνΓλµνφ,λ= −φ+ gijφ,ij − 3Hφ

したがって，scalar field φの満たす Euler-Lagrange方程式は

φ− gijφ,ij + 3Hφ+dV (φ)dφ

= 0 (16.182)

である。また，Energy momentum tensorは (7.29)で与えられているように，

Tµν = φ,µφ,ν − gµν(

12φ,λφ

,λ + V (φ))

であるから，T00 =

12φ2 +

12gijφ,iφ,j + V (φ) ≡ ρ

13T kk =

12φ2 − 1

6gijφ,iφ,j − V (φ) ≡ p

(16.183)

となる。この時，

ρ+ p = φ2 +13φ,iφ

,i (16.184)

ρ+ 3p = 2(φ2 − V (φ)

)(16.185)

である。そうすると，(16.23)から

ρ = −3H(φ2 +

13φ,iφ

,i

)

∴ φ+ 3Hφ+dV (φ)dφ

+1φ

[12∂

∂t+H

] (φ,iφ

,i)

= 0

を得る。したがって，場 φが位置によらない場合

φ+ 3Hφ+dV (φ)dφ

= 0 (16.186)

109より詳しくは Linde, hep-th/0503203, hep-th/0503195

16.2 Inflationary cosmology 173

となる事が分かる。さらに，これより，scalar fieldが優勢となる場合の Friedmann方程式 (16.6)から

H2 =8π

3m2Pl

(V (φ) +

12φ2

)(16.187)

の両辺を時間微分すると

2HH =8πG

3

(φ+

dV

dφ

)φ

∴ H = −4πGφ2 (16.188)

となる。scalar fieldが実際に優勢になるかどうかはもちろんポテンシャルの決め方によるわけだが，あとで分かるように，falsevacuumにあるときと true vacuumにあるときの potentialの差を, radiationを凌ぐような値に決めてやればよい。Higgs場ならGUTs scale (∼ 1016GeV, tGUT ∼ 10−38s)において radiationの energy densityを上回る。

一方 (16.185)から，加速膨張を実現するためには

φ2 < V (φ) (16.189)

となっていなければならない。これは potential energyに比べて kinetic energyが小さくなければならないという事を意味する。ゆっくりと変位する scalar fieldでなければ inflationを起こさないのである。このように十分ゆっくり変位するためにはfriction 3Hφと force

dV (φ)dφ

がバランスしてればよい。

φ ' − 13H

dV (φ)dφ

(16.190)

もし φ2 ¿ V (φ)が実現すれば，H2 ' 8π3m2

Pl

V より

φ2 ' 19H2

(dV

dφ

)2

' m2Pl

24πV ′2

V(16.191)

∴ φ2

V' mPl

24π

(V ′

V

)2

≡ 23ε (16.192)

から，成り立っていて欲しい条件は

φ2 ¿ V (φ) ⇐⇒ ε¿ 1 (16.193)

と書く事が出来る。(16.190), (16.193)などを slow rolling ap-proximationという。また，(16.191)を時間で微分すると

2φφ+ φ2V ′φ ' m2Pl

12πV ′V ′′φ

∴ 2φ+φ

VV ′ ' m2

Pl

12πV ′V ′′

V

となる。微分したものがほとんど等しくなる必要はないのでこれは上の slow rolling近似と独立な仮定である。左辺の第 2項は slow rolling approx.のもとで無視してよい。したがって，

φ

V ′' m2

Pl

24πV ′′

V≡ 1

3η (16.194)

つまり

φ¿ V ′(φ) ⇐⇒ η ¿ 1 (16.195)

である事が分かる。(16.190)が成り立っているならば，Euler-Lagrange方程式 (16.186)から φ ' 0となっていてるが，V ′との大小関係には何も示唆しない事に注意しよう。

，(16.193)と独立に仮定されるもう 1つの判定基準となるものである。上で定義した 2つのパラメタ

ε(φ) =def

m2Pl

16π

(1

V (φ)dV (φ)dφ

)2

' − H

H2

η(φ) =def

m2Pl

8π1

V (φ)d2V (φ)dφ2

は，Liddle，Lythによって導入されたものであり inflation pa-rameterと呼ばれる。inflationが起こるかどうかをこのパラメタを基準にして考える。

もう一度整理しておくと，

ε, η ¿ 1

と仮定している時，

H2 =8π

3m2Pl

(V (φ) +

12φ2

)

φ+ 3Hφ = −dV (φ)dφ

が

H2 ' 8πV (φ)3m2

Pl

3Hφ ' −dV (φ)dφ

を仮定している事になる。

H がほとんど一定である (de Sitter-likeである)inflation期では(16.44)より

N ≡∫ tf

ti

Hdt ' H(tf ) (tf − ti)

∴ a(tf ) = a(ti)eH(tf )(tf−ti)

である。inflation期にHorizon半径を越えて，通常のFriedmann宇宙の時期に再度 particle horizon内に含まれるための条件を考えよう。Inflationが ti ∼ tf の間に起こったとすると，

1H0

<1

a(ti)H(ti)(16.196)

∴ a(tf )a(ti)

>H(ti)a(tf )

H0' a(tf )H(tf )

H0(16.197)

ここで，

H =H0

√Ω0aeq

a2(16.198)

より，

a(tf )a(ti)

>

√Ω0aeq

a2

=√

Ω0aeq

(g∗Sg∗S0

)1/3T (tf )T 0

= 1025h−1 kBT (tf )1015GeV

(16.199)


ln 1025 = 57.564

174 17 STRUCTURE FORMATION

より，大体

60 . N (16.200)

とならなければならない。

V (φ)の形によっていろいろな inflation modelの名前がついている。

V (φ) = −µ2|φ|2 + λ|φ|4

φ(t, r) = φ(t) + δφ(t, r) (16.201)

とすると Lagragian densityは

L =12gµνφ,µφ,ν + V (φ)

=12g00

(∂φ

∂t

)2

+ gµν φ,µ (δφ),ν +12gµν (δφ),µ (δφ),ν

+ V (φ) +∂V

∂φδφ+

12∂2V

∂φ2(δφ)2 +O

(δφ3

)

L(0) =12g00

(∂φ

∂t

)2

+ V (φ) (16.202)

L(1) = gµν φ,µ (δφ),ν +∂V

∂φδφ (16.203)

L(2) =12gµν (δφ),µ (δφ),ν +

12∂2V

∂φ2(δφ)2 (16.204)

δφ(t, r) =∑

k

1(2kV )1/2

(ake

i(k·r−kt) + a†ke−i(k·r−kt)

)

(16.205)

[ak, a

†k′ ] = δkk′

[ak, ak′ ] = [a†k, a†k′ ] = 0

(16.206)

〈0|δφ(t, r)δφ(t, r′)|0〉 =∑

k

12kV

eik·(r−r′)

=1

16π3

∫d3k

keik·(r−r′)

=1

4π2|r − r′|∫ ∞

0

dk sin k|r − r′|

〈0|δφ(t, r)δφ(t, r′)|0〉 =1

4π2|r − r′|2 (16.207)

δφ =def

1V

∫

r

δφd3r (16.208)

〈0∣∣ δφ

∣∣ 0〉 = 0 (16.209)

(δ (δφ))2 = 〈0∣∣∣

(δφ

)2∣∣∣ 0〉

=1

4π2V 2

∫

r

d3r1d3r2

(r1 − r2)2=

916π2r2

(16.210)

de Sitter時空

a(t) ∝ e√

Λ3 t ≡ eKt (16.211)

S =∫a3d3xdt

(12

(∂ (δφ)∂t

)2

+12

1a2

(δφ),i(δφ),i)

(16.212)

canonical conjugate momentum

π =def

a3 ∂(δφ)∂t

(16.213)

∂2(δφ)∂t2

+ 3a

a

∂(δφ)∂t

− 1a2

(δφ),i(δφ),i = 0 (16.214)

δφ ∝ (−kχ+ iK) ei(k·x)−χk/K (16.215)

χ(t) := − 1a(t)

= −e−Kt (16.216)

δχ = Ke−Ktδt =K

aδt

∴ k

Kδχ =

k

aδt (16.217)

Inflation宇宙モデルが様々な人から支持されるのは，BBHが美しいのと同様に，ゆらぎの指数を predictすることも挙げられるだろう。Inflationが予言するゆらぎの power spectrumは 1であり，これは Harrison-Zel’dovich spectrum と呼ばれている scale invariantとなるゆらぎである。観測の結果はこれを支持するのでどうやら inflation modelはただしいのであろうというのが今のところ期待されているのである。次の節で構造形成の話をする事にしよう。

17 Structure formation

これまでの議論では宇宙は一様で等方であると仮定して進めてきたが，当然実際には小さい規模で正しくない。銀河や銀河団など小さいスケールで密度の非一様性がある。

以前述べたように，完全流体の基礎方程式は (14.1), (14.23),(14.24)である:

(ρ0uµ);µ = 0

ρ,µuµ + (ρ+ p)uµ;µ = 0

(ρ+ p)uµ;νuν + (uµuν + gµν)p,ν = 0

175

今の場合，FIDOから観測した流体110が我々の観測する流体なので (各点がMCRF)，連続方程式 (14.167), エネルギー保存則(14.152), Euler方程式 (14.159)111を考えれば良い。ゆらぎのない場合は α = 1,β = 0であるから

∂ρFIDO0

∂t+ ρFIDO

0 nµ;µ +∇i(ρFIDO0 vi

)= 0 (17.1)

∂ρFIDO

∂t= −1

2ρFIDOγij γij − Si|i −

12γijW

ij (17.2)

∂

∂tSi = −Sinν;ν − γij γjkSk −W ij

|j (17.3)

但し，

ρFIDO0 = γρ0

ρFIDO = γ2(ρ+ pv2

)

Si = γ2 (ρ+ p) vi

W ij = γ2 (ρ+ p) vivj + pγij

(17.4)

γ ≡ −nµuµ である。また，metricからすぐに

γij γjk = 2a

aδik (17.5)

γij γij = 6a

a(= 6H = −K) (17.6)

が導かれる。

連続の式より

∂(γρ0)∂t

+ 3γρ0a

a+∇i

(γρ0v

i)

= 0 (17.7)

エネルギー保存則より

∂

∂t

[γ2(ρ+ pv2)

]= −3

a

aγ2

(ρ+ pv2

)−∇i[γ2(ρ+ p)vi

]

− 12γ2(ρ+ p)γijvivj − 3

a

ap

= −3a

aγ2 (ρ+ p)−∇j

[γ2(ρ+ p)vj

]

− 12γ2(ρ+ p)γijvivj (17.8)

Euler方程式より

∂

∂t

(γ2(ρ+ p)vi

)= −3

a

aSi − 2

a

aSi −∇j

(γ2(ρ+ p)vivj + pγij

)

= −5a

aSi −∇j

(γ2(ρ+ p)vivj

)−∇ip

= −5a

aSi − vi∇j

[γ2(ρ+ p)vj

]

− (γ2(ρ+ p)vj

)∇jvi −∇ip (17.9)

を得る。(17.8), (17.9)より

∂

∂t

(γ2(ρ+ p)vi

)= −2

a

aγ2(ρ+ p)vi − γ2(ρ+ p)vj∇jvi −∇ip

+ vi∂

∂t

(γ2(ρ+ pv2)

)+ vi · 1

2γ2(ρ+ p)γjkvjvk

= γ2(ρ+ p)∂vi

∂t+ vi

∂

∂t

(γ2(ρ+ p)

)

となるので

γ2(ρ+ p)∂vi

∂t= −2

a


+ vi∂

∂t

(γ2(ρ+ pv2)− γ2(ρ+ p)

)

+ vi · 12γ2(ρ+ p)γjkvjvk

= −2a


− vi ∂p∂t

+ vi · 12γ2(ρ+ p)γjkvjvk

となり，さらに整理して

∂vi

∂t+ 2

a

avi + vj∇jvi = vi · 1

2γjkv

jvk

− 1γ2(ρ+ p)

(vi∂p

∂t+∇ip

)

を得る。流体の構成粒子が非相対論的であるとき，

∂vi

∂t+ 2

a

avi + vj∇jvi = −1

ρ∇ip (17.10)

となる。また，膨張が無視出来るならば，a = 1として

∂vi

∂t+ vj∇jvi = −1

ρ∇ip (17.11)

となる。

ゆらぎがあるときの流体方程式

次に，密度にゆらぎがある場合を考えよう。ゆらぎによるmetricへの寄与を考える必要がある。すなわち，

gµν = gµν + hµν (17.12)

となっていると考える112。重力への寄与は小さいと仮定し，したがって，

|βi| = |h0i| ¿ 1, |hij | ¿ 1 (17.13)

α =√

1− h00 =√

1 + 2Φ ≈ 1 + Φ (17.14)

110 vi =1γui − ni =

1γui +

1αβi =

1γ

dri

dτ− 1α

(dri

dt

)

FIDO

=dri

dt−

(dri

dt

)

FIDO

=d(axi)dt

−(d(axi)dt

)

FIDO

= a(xi − xiFIDO

)+ a

(dxi

dt− dxiFIDO

dt

)

111式を導出する際に指摘したように，index を下げて同じような形の式になったのは metric が時間依存しない事による。今の場合，そうではないので上付きの方程式を用いる必要がある。112RW metric + perturbation(hµν) と考える。

(ggµν) →(t,r,θ,φ)

266664

−1 + h00 h0i

a(t)2

1− kr2+ hrr hrθ hrφ

hj0 hθr a(t)2r2 + hθθ hθφ

hφr hφθ a(t)2r2 sin2 θ + hφφ

377775

=

2664

β2 − α2 βi

βj γij

3775


と近似出来るとしよう。また，時間変化がほとんど無視出来ると仮定する。

|hµν,0| ≈ 1 (17.15)

ゆらぎのない場合は，連続方程式 (14.168), エネルギー保存則(14.152), Euler 方程式 (14.159) を計算する際に，RW 時空でLapse が 1 であることからその微分を落とすことができたが，今の場合それは出来ない。Lapseを残した形で書けば，

∂ρFIDO0

∂t+ αρFIDO

0 nµ;µ +∇i(αρFIDO

0 vi)

= 0 (17.16)

∂ρFIDO

∂t= −1

2ρFIDOγij γij − αSi|i − 2α,kSk − 1

2γijW

ij

(17.17)∂

∂tSi = ρFIDOαgi − αSinν;ν − γij γjkSk −

(αW ij

)|j (17.18)

但し，shift vectorはネグっている。また，(11.105)から

nµ;µ =12αγij γij = 3

H

α(17.19)

となっている事に注意する必要がある。上と同じ計算を行うと，Energy conservation(17.17)は

∂ρFIDO

∂t= −3HρFIDO − αSj|j − 2α,jSj

− 12γij

(γ2(ρ+ p)vivj + γijp

)

= −3H(ρFIDO + p)− αSj|j − 2Φ,jSj − 12γijS

jvi

= −3Hγ2 (ρ+ p)− αSj|j − 2Φ,jSj − 12γijS

jvi

∴ vi∂ρFIDO

∂t= −3HSi − αviSj|j − 2viΦ,jSj − 1

2viγjkS

jvk

Euler equation(17.18)は

∂Si

∂t= ρFIDOαgi − αSinµ;µ − 2HSi − α,jW ij − αW ij

|j

= −γ2(ρ+ pv2)Φ,i − 5HSi − Φ,jW ij − αW ij|j


W ij|j =

(viSj + γijp

)|j = viSj|j + Sjvi|j + p|i

であるから，

∂Si

∂t= −γ2(ρ+ pv2)Φ,i − 5HSi − Φ,jW ij

− αviSj|j − αSjvi|j − αp|i

これと，Energy conservationの式から

∂Si

∂t− vi ∂ρ

FIDO

∂t= −γ2

(ρ+ pv2

)Φ,i − 2HSi − Φ,jW ij

+ 2viSjΦ,j − αSjvi|j − αp,i +12viγjkS

jvk

= −γ2(ρ+ pv2

)Φ,i − 2HSi − Φ,jγijp

+ viSjΦ,j − αSjvi|j − αp,i +12viγjkS

jvk

= −γ2 (ρ+ p)Φ,i − 2HSi

+ viSjΦ,j − αSjvi|j − αp,i +12viγjkS

jvk

左辺は

∂Si

∂t− vi ∂ρ

FIDO

∂t= γ2 (ρ+ p)

∂vi

∂t+ vi

∂

∂t

(γ2(1− v2)p

)

= γ2(ρ+ p)∂vi

∂t+ vi

∂p

∂t

となるので，全体を γ2(ρ+ p)で割ると，

∂vi

∂t+

vi

γ2(ρ+ p)∂p

∂t=− Φ,i − 2Hvi + vivjΦ,j − αvjvi|j

− 1γ2(ρ+ p)

αp,i +12viγjkv

jvk

したがって，

∂vi

∂t+ 2

a

avi + αvjvi|j = −∇iΦ + vivjΦ,j +

12viγjkv

jvk

− 1γ2(ρ+ p)

(vi∂p

∂t+ α∇ip

)

(17.20)

さて，以下では銀河形成を考えるため，構成粒子がほぼ dustに近い非相対論的粒子であるとしよう。

|vi| ¿ 1

したがって，γ = 1 + O(v2) ≈ 1である。また，熱力学の時に議論したように，energy densityにくらべて pressureはネグれるほど小さい113。また energy density ρはほとんど rest massenergy density ρ0 である。

p¿ ρ

ρ ≈ ρ0[c2]

この時，上で得られた流体の基礎方程式は近似され114，

∂vi

∂t+ 2

a

avi + vj∇jvi = −∇iΦ− 1

ρ0∇ip (17.21)

となる。

density contrast

δ(r, t) ≡ ρ0(r, t)− ρ0(t)ρ0(t)

=1

(2π)3

∫δk(t)e−ik·rdk (17.22)

を用いると

1 + δ =ρ0(r, t)ρ0(t)

∴ ρ0(r, t) = ρ0(t) (1 + δ) (17.23)

より，

∂δ

∂t=ρ0ρ0 − ρ0 ˙ρ0

ρ0(t)2=ρ0

ρ0− ρ0

1ρ20

˙ρ0

113実際 dust といった時には p = 0 としている位である。114v2, vi ∂p

∂t, Φ∇ip, Φvi ≈ 0 とした。

177

この時，連続方程式 (17.16)は，

0 =∂(γρ0)∂t

+ αγρ0nµ;µ + (∇iα) γρ0v

i +∇i(ρ0v

i)

≈ ∂ρ0

∂t+ 3ρ0

a

a+∇i

(ρ0v

i)

= ρ0 + 3ρ0a

a+ ρ0∇i

((1 + δ)vi

)

∴ 0 =ρ0

ρ0+ 3

ρ0

ρ0

a

a+∇i

((1 + δ)vi

)

=∂δ

∂t+ ρ0

1ρ20

˙ρ0 + 3(1 + δ)a

a+∇i

((1 + δ)vi

)

=∂δ

∂t+ ρ0

1ρ20

(˙ρ0 + 3

a

aρ0

)+∇i

((1 + δ)vi

)

となるが，ここで，

∂

∂t

(ρ0a

3)

= 0 i.e. ˙ρ0 + 3a

aρ0 = 0 (17.24)


∂δ

∂t+∇i

((1 + δ)vi

)= 0 (17.25)

となる。

弱い重力場を励起するのは，平均値とのずれ ρ0δ であるから，(9.86)より

∇i∇iΦ ≈ 4πG · ρ0δ (17.26)

である。

(17.21), (17.25), (17.26)に含まれる空間微分を，共動座標 xの微分に直しておく。x =

r

aより

∂

∂xi=

1a(t)

∂

∂xi(17.27)

となる。ここでの notationは，（これまで用いてきた）左辺の共変微分∇i, 右辺の共変微分をDiをで表す事にする。この時，(17.21), (17.25), (17.26)はそれぞれ

∂δ

∂t+

1aDi

((1 + δ)vi

)= 0 (17.28)

∂vi

∂t+ 2

a

av +

1a(vjDj)vi +

1aρ0

Dip+1aDiΦ = 0

(17.29)

D2Φ− 4πGρ0a2δ = 0 (17.30)

ここで，(17.28)に vi，(17.29)に (1+ δ)をそれぞれ乗じて加えると

vi∂δ

∂t+

1aviDj

((1 + δ)vj

)= 0

(1 + δ)∂vi

∂t+ 2(1 + δ)

a

avi +

1 + δ

avjDjv

i

+) +1 + δ

aDiΦ +

1aρ0

Dip = 0

∂

∂t

((1 + δ)vi

)+

1aDj

((1 + δ)vivj

)+ 2(1 + δ)

a

avi

+1 + δ

aDiΦ +

1aρ0

Dip = 0

さらにこの式の deivergenceをとる。

∂

∂t∇i

[(1 + δ)vi

]+

1a∇iDj

[(1 + δ)vivj

]+ 2

a

a∇i

[(1 + δ)vi

]

+1a∇i

[(1 + δ)DiΦ

]+

1aρ0∇iDip = 0 (17.31)

(17.28)より

− ∂2

∂t2δ +

1a∇iDj

[(1 + δ)vivj

]− 2a

a

∂

∂tδ +

1a2Diδ ·DiΦ

+1 + δ

a2DiD

iΦ +1aρ0∇iDip = 0 (17.32)

(17.30)より

∂2δ

∂t2− 1a2DiDj

[(1 + δ)vivj

]+ 2

a

a

∂δ

∂t− 1a2Diδ ·DiΦ

− (1 + δ) · 4πGρ0δ − 1a2ρ0

DiDip = 0 (17.33)

熱力学から

∆p =(∂p

∂ρ0

)

S

∆ρ0 +(∂p

∂S

)

ρ0

∆S

= cs2δ · ρ0 +

(∂p

∂S

)

ρ0

∆S (17.34)

となる。ここで

cs =def

√(∂p

∂ρ0

)

S

(17.35)

は音速である。これまでに用いてきた pはゆらぎによって生成された∆pに相等する。したがって，

∂2δ

∂t2− 1a2DiDj

[(1 + δ)vivj

]+ 2

a

a

∂δ

∂t− 1a2Diδ ·DiΦ

−(1 + δ)·4πGρ0δ− cs2

a2DiD

iδ− 1a2ρ0

(∂p

∂S

)

ρ0

DiDi∆S = 0

この方程式の線型近似をとると，

∂2δ

∂t2+ 2

a

a

∂δ

∂t−

(4πGρ0 +

cs2

a2DiD

i

)δ

=1

a2ρ0

(∂p

∂S

)

ρ0

DiDi∆S (17.36)

流体の thermal conductivityが無視出来る場合，entropyは流体の流れに沿って一定であるから時間に対して一定となる。初期条件として entropyのゆらぎがないものを adiabatic perturbationという。もし，初期に entropyが存在していたとしても，急激に落ちてしまうので，ここでは右辺を無視する。そうすると，

∂2δ

∂t2+ 2

a

a

∂δ

∂t−

(4πGρ0 +

cs2

a2DiD

i

)δ = 0 (17.37)

したがって，Fourier展開して dispersion relation (linear)

δk + 2a

aδk +

(cs

2

a2k2 − 4πGρ0

)δk = 0 (17.38)

を得る。この式は Newton 力学の analogy から friction term

2a

aδk のある運動方程式と考える事が出来る。‘ potential term’


である(cs

2

a2k2 − 4πGρ0

)δ2k の係数が正ならば下に凸となるの

で，δk は減衰振動しながら原点に収束してしまう事になる。一方，負ならば上に凸であるから，firictionによる影響はあるものの成長していく事になる。収束してしまうのは，音速が大きい事により圧力が重力を押し返す事によるか，あるいは十分な重力源がない事による。この係数がちょうどゼロとなるような波数

k2J =

def

4πGρ0a2

cs2(17.39)

が成長するかどうかの基準を与える。この波数に対応する波長を実距離で表したもの

lJ =def

2πakJ

= aλJ = cs

√π

Gρ0(17.40)

を Jeans lengthと呼ぶ。√

π

Gρは free fallの time scaleであ

る。また，この波長を直径としてそこに含まれる質量

MJ =def

43π

(lJ2

)3

· ρ0 =π5/2

6G3/2

cs3

√ρ0

(17.41)

を Jeans massと言う。またこの時，

ρ0 =π5

36G3

cs6

MJ2

(17.42)

(17.28), (17.29), (17.30)の方程式は，完全にNewtonianの範囲では，a = 1とより，

∂δ

∂t+ ∂i

((1 + δ)vi

)= 0 (17.43)

∂vi

∂t+ (vj∂j)vi = − 1

ρ0∂ip− ∂iΦ (17.44)

∂2Φ− 4πGρ0δ = 0 (17.45)

となる。また，電磁場が存在する場合

α ' 1 + Φ

βi ≈ 0

Euler方程式は

∂vi

∂t+ (vj∂j)vi = − 1

ρ0∂ip− ∂iΦ (17.46)

t < teq : lJ ∝ t ∝ a2 (c2s ∼ c2/3) (17.47)

teq < t < tdec : lJ ∝ t ∝ a3/2 (c2s ∼ c2/3) (17.48)

lJ ∝ a (c2s ∼ ργc2/ρ0) (17.49)

t > tdec : lJ ∝ t ∝ a2 (c2s ∝ Tb) (17.50)

baryon Jeans mass (t > tdec)

MJ(t) =4πρ0

3ΩbΩ0

(lJa

)3

∼ 106 ΩbΩ0

(Ω0h2)−1/2

(TbTγ

)3/2

M¯

(17.51)

collisionless dumping

λDM

a(tNR)∼ dH(tNR)

a(tNR)∼ 23

( mDM

20 eV

)−1 TDM

TγMpc (17.52)

Mdump =4πρ0

3

(λDM

a(tNR)

)3

(17.53)

∼ 1.4× 1016(Ω0h2)

( mDM

20 eV

)−3(TDM

Tγ

)3

M¯

kTDM ∼ 13mDMc

2

primodial density fluctuation

P (k, t) ≡ ⟨|δk(t)|2⟩

(17.54)

scale free power-law P (k, ti) ∝ kni (17.55)ni = 1 : Harrison-Zel’dovich spectrum

linear growth

P (k, t) = P (k, ti)T (k, t)D2(t)D2(ti)

, T (k, t) : transfer function

(17.56)

D(t) ∝ a(t) ∝ t2/3 for λ0 = 0,Ω0 = 1 (de Sitter)(17.57)

D(t) ∝(

1 +2x3

)1/2 ∫ x

0

(x′

x′3 + 2

)dx′ for λ0 = 1− Ω0

(17.58)

x(t) ≡ [2(Ω−10 − 1)]1/3a(t)

CDM spectrum

PCDM(k, t) ∝

kni k ¿ keq

kni−4 k À keq, keq = 2πa(teq)/dH(teq)

(17.59)

密度ゆらぎのうち短い scaleのものを端折って，ある scaleよりも長い scaleのゆらぎを取り出すことをゆらぎの smoothingという。密度ゆらぎをWindow函数によって畳み込んで smoothingされた密度ゆらぎを定義する。

δ(M, r, t) =∫δ(r′, t)WM (|r − r′|)dr′

=1

(2π)3

∫δk(t)W (k) exp(−ikr)dk (17.60)

Window函数はいわゆる 1の分割であり，次のように規格化される。 ∫

d3x W (x) = 1 (17.61)

popularなWindow函数を挙げておく。I top-hat

WM (r) =

34πR3

r < R

0 r > R, M =

4πR3

3ρ (17.62)

WM (k) =3

(kR)3(sin kR− cos kR) (17.63)

179

I Gaussian

WR(r) =1

(2π)3/2R3e−|r|

2/(2R2) (17.64)

COBEによる normalizationとして

σ2(M, t) =⟨|δ(M, r, t)|2⟩ (17.65)

=1

(2π)3

∫P (k, t)W 2

M (k)dk (17.66)

σ8 = σ(RN , t0), RN = 8h−1Mpc (17.67)

球対称の崩壊

非線形の重力崩壊の解について

d2r

dt2= −GM(≤ r)

r2

は cycloid curveの解をもつ。実際，

r =12(1− cos θ)rta

t =12π

(θ − sin θ)tc

(17.68)

という関係にある時，dr

dθ=rta2

sin θ

dt

dθ=

12π

(1− cos θ)tc

∴ dr

dt=dr

dθ

dθ

dt=

π sin θ1− cos θ

rtatc

より

d2r

dt2=

d

dθ

(π sin θ

1− cos θrtatc

)· dθdt

=cos θ(1− cos θ)− sin2 θ

(1− cos θ)2πrtatc

2π(1− cos θ)tc

= − 1(1− cos θ)2

2π2rtat2c

= −π2

2rta

3

tc2· 1r2

である。ここで，

π2

2rta

3

tc2= GM

i.e. rta =(

2GMπ2

)1/3

tc2/3 (17.69)

であれば，

d2r

dt2= −GM

r2

となる。宇宙定数Λが存在する場合斥力を考慮する必要がある。以下の議論は，ΩΛ = 0の下での議論である事に注意しよう。

初期の段階で θ(¿ 1)で展開すると

r ' rta2θ2

2!

(1− θ2

12

)

t ' tc2π

θ3

3!

(1− θ2

20

)' tc

2πθ3

3!

∴ θ3 ' 12πt

tc

より，

t2

r3' tc

2

144π2

64rta3

(1− θ2

20

)2 (1− θ2

12

)−3

' 4tc2

9π2rta3

(1− θ2

10

)(1 +

θ2

4

)

' 4tc2

9π2rta3

(1 +

320θ2

)

=(17.69)

29GM

(1 +

320θ2

)' 2

9GM

(1 +

320

(12πttc

)2/3)

であるから，

ρ0(< r, t) =3M4πr3

=1

6πGt2

1 +

320

(12πttc

)2/3

+ · · ·

=1

6πGt2

1 +

3GM10rta

(6tGM

)2/3

+ · · ·

ここで，

δ(< r, t) ' 320

(12πttc

)2/3

' 3GM10rta

(6tGM

)2/3

( ∝ D(t)) for θ ¿ 1

とおけば，

ρ0(< r, t) =1

6πGt21 + δ(< r, t) + · · ·

となる。::::::::::::::::::Matter-dominated

:::eraでは，critical densityは

ρcrit =3H2

8πG=

(16.65)

16πGt2

(17.70)

となるので，

ρ0(< r, t) = ρcrit 1 + δ(< r, t) + · · · (17.71)

である。

半径が最大になる θ = πの時，

r = rta, t =12tc

であるから，(17.69)より，

rta3 = r3 =

2GMπ2

tc2 =

8GMπ2

t2

となるので，::::::::::::Matter-dom.

::::eraのとき，

ρ0

ρcrit=

3π32Gt2

· 6πGt2 =9π2

16' 5.5 (17.72)

時間がさらに経過すると中心に向かって崩壊していく。r =0, t = tc となる θ = 2π の時，崩壊が終了したとし，すぐにvirial平衡に達するものと仮定する。turn around時の energyと virial平衡状態の energy が等しいとおけば

GM

rta=

12GM

rvir∴ rvir =

12rta (17.73)


つまり，turn around時の半径に較べて半分の大きさに落ち着く。半径 rta/2内の質量密度の平均は

ρ0 =3M

4π(rta/2)3=

6Mπrta3


rta3 =

2GMπ2

tc2 =

2GMπ2

t2

であるから，Matter-dom. eraのとき，ρ0

ρcrit=

6Mπrta3

· 8πG3H2

=3πGt2· 8πG3H2

=8π2

H2t2≡ ∆c (17.74)

=8π2

t29t2

4= 18π2 ' 177.7 (17.75)

である事が分かる。つまり，崩壊直後の天体の平均密度は，その時刻における宇宙の critical density のほぼ 180倍になっている。また，このとき線型揺らぎは

δcol ≡ δ(t = tc) (= δ(< rvir, tvir))

=320

(12π)2/3 ' 1.686 (17.76)

17.1 Press-Schechter理論Press-Schechter mass function

δcol(t, t1) = δcolD(t1)D(t)

att1 < t (collapse by t) (17.77)

Gaussian for δ(M, r, t1)

P (δ(M, t1))dδ =1√

2πσ2(M, t1)exp

[− δ2(M, t1)

2σ2(M.t1)

]dδ

(17.78)mass fraction:

f(M, t) =∫ ∞

δcol(t,t1)

P (δ(M, t1))dδ =12erfc

[δcol(t, t1)√2σ(M, t1)

]

=12erfc

[δcol(t, t0)√2σ(M, t0)

]with D(t0) = 1 (17.79)

PS mass function

dn(M, t)dM

= 2ρ0

M

∣∣∣∣∂f

∂M

∣∣∣∣

=

√2π

ρ0

M

δcol(t, t0)σ2(M, t0)

∣∣∣∣dσ(M)dM

∣∣∣∣ exp[− δ2col(t, t0)

2σ2(M, t0)

]

(17.80)

with∫ ∞

0

Mdn(M, t)dM

dM = ρ0 (17.81)

X-ray luminosity/temperature function of clusters

1/Vmax technique

dni(Li, z) =1

Vmax,i(17.82)

dn(L, z)dL

=1

∆L

∑

i

dni(Li, z) (17.83)

n(> L, z) =∑

L<Li

dni(Li, z) (17.84)

n(> T, z) =∑

T<Ti

dni(Ti, z) (17.85)

PS mass function

dn(L, z)dL

=dn(M, z)dM

[dM

dL

]

M(L,z)

(17.86)

PS with formation epoch zf

dn(L, z)dL

=∫ ∞

z

df

dMdzf

[dM

dL

]

M(L,z)

dzf (17.87)

dn(T, z)dT

=∫ ∞

z

df

dMdzf

[dM

dT

]

M(T,z)

dzf (17.88)

Gamma分布

X1, X2, ·, Xp が互いに独立同分布で e(θ) = θe−θx に従う確率変数とするとき，X1 + · · ·+Xp の分布密度函数は

θp

(p− 1)!xp−1e−θx (0 < x, p, θ) (17.89)

となる。この函数を一般化した

θp

Γ(p)xp−1e−θx (0 < x, p, θ) (17.90)

という密度函数を持つ分布をGamma分布Γ(p, θ)という。Γ(p)は

Γ(p) = θp∫ ∞

0

xp−1e−θxdx

である。

P (x) =θp

Γ(p)xp−1e−θx =

xp−1e−θx∫ ∞

0

xp−1e−θxdx(17.91)

平均値及び分散は

x =p

θ(17.92a)

σ =p

θ2(17.92b)

Gamma分布の定義から Γ(1, θ)は指数分布に一致する。さらに，Γ

(n2, θ

)はカイ 2乗分布 χ2(n)となる:

P (x) =1

2n/2Γ(n/2)xn/2−1e−n/2 (17.93)

つまり，X1, · · · , Xn が独立に正規分布 N(0, 1) に従うとき，X1

2 + · · · + Xn2 の分布が自由度 n のカイ 2 乗分布 χ2(n) と

なる。θ À 1で Gauss分布に近づく。

181

18 Clusters of galaxies

HierarchyM/M¯ ρ g cm−3

Stars 0.1 ∼ 102 10−5 ∼ 1015

Star clusters 102 ∼ 107 10−24 ∼ 10−19

Intersteller clouds ∼ 103 10−24 ∼ 10−21

Galaxies 108 ∼ 1012 10−25 ∼ 10−23

Clusters of galaxies 1013 ∼ 1015 10−29 ∼ 10−26

Super clusters ∼ 1016 ∼ 10−29

Our Universe 1023 ∼ 10−29

crossing time

R/cs ∼ 7× 108

(T

108 K

)−1/2 (R

Mpc

)yr (18.1)

electron-ion equipartition time

tei ∼ 6× 108

(Te

108K

)3/2 ( ne10−3cm−3

)−1

yr forTiTe¿ mi

me

(18.2)

radiative cooling

Λ ∼ 1.4× 10−23erg cm3 s−1

(Te/Tc)3/2 at Te ≥ Tc

(Te/Tc)−1 at Te < Tc(18.3)

Tc ∼ 2× 107K

cooling time (for tbb > tionEQ ∼ 108 yr)

trad ∼

tff ∼ 6× 1010

(Te

108K

)1/2 ( ne10−3cm−3

)−1

yr at Te ≥ Tc

tbb ∼ 7× 109

(Te

107K

)2 ( ne10−3cm−3

)−1

yr at Te < Tc

(18.4)

thermal conduction

heat flux: q ∼ −κ∇kTe ∝ T 7/2e (18.5)

with κ ∼ λ2e

tee∼ λ2

e

tei

mi

me(18.6)

conduction time

|tCond| > l2Tκ∼

(lTλe

)2me

mitei (18.7)

lT ∼ (∇ lnTe)−1, λe ∼ 20(

Te108K

)2 ( ne10−3cm−3

)−1

kpc

(18.8)

gravitational balance

Φ =

〈v2r〉

(d ln ρd ln r

+d ln〈v2

r〉d ln r

): Galaxies

〈v2rDM 〉

(d ln ρDMd ln r

+d ln〈v2

rDM 〉d ln r

): Dark Matter

〈v2rGas〉

d ln ρGasd ln r

=kTGasµm

d ln ρGasd ln r

: Gas (isothermal)

(18.9)

mass distribution

d ln ρDMd ln ρ

=〈v2r〉

〈v2rDM 〉

(1 +

d ln〈v2r〉

d ln ρ

)− d ln〈v2

rDM 〉d ln ρ

(18.10)

d ln ρGasd ln ρ

=〈v2r〉

〈v2rGas〉

(1 +

d ln〈v2r〉

d ln ρ

)≡ βfit (18.11)

cf. β ≡ σ2r/(kTGas/µm)

if isothermal for DM and galaxies as well as gas

d ln ρDMd ln ρ

∼ 〈v2r〉

〈v2rDM 〉

=σ2r

σ2rDM

(18.12)

βfit =d ln ρGasd ln ρ

∼ 〈v2r〉

〈v2rGas〉

=σ2r

kTGas/µm= β (18.13)

virial radius

rvir =(

3M4πρ∆col

)1/3

=1.7

1 + zf

(∆col

18π2

)−1/3 (M

1015M¯

)1/3

(Ω0h2)−1/3 Mpc

(18.14)

isothermal temperature

kTGas ' µmGM

3rvir

∼ 5 (1 + zf )(

∆col

18π2

)1/3 (M

1015M¯

)2/3

(Ω0h2)1/3 keV

(18.15)

182 19 DARK MATTER

conventional β-model for gas

based on the approx. King model for galaxies:ρ ∝ [1 + (r/rK)2]−3/2

ρGas(r) = ρGas(0)

[1 +

(r

rc

)2]−3β/2

(18.16)

with β = σ2r/(kTGas/µm)

MGas =∫ rvir

0

ρGas(r)4πr2dr ∼M(

ΩbΩ0

)(18.17)

surface brightness (isothermal)

SGas(r) = SGas(0)

[1 +

(r

rc

)2]−3β+1/2

(18.18)

LX -T relation (isothermal free-free emission)

emissivity

εff(T ) =∫ ∞

0

εffν (T, ν) dν ' εff0 T 1/2 (18.19)

luminosity

Lff = εff0 T1/2Gas

∫ rvir

0

ρ2Gas(r)4πr

2dr (18.20)

Question

1. obtain Lff with β being left

2. obtain Lff as a function of TGas

19 Dark Matter

最初にDark matterの必要性を示唆する結果を出したのは 1933年 Zwickyであった。かみのけ座銀河団の銀河の動径方向の速度分散を測定し，ビリアル定理から銀河団の質量Mσを推定し，一方で見かけの明るさと距離，光度質量比から求めた銀河団の質量Mlum を推定したものを比較すると

Mlum ¿Mσ (19.1)

となっていたのである。これより，銀河団には大量の見えない物質，つまりダークマターが存在すると結論せざるを得なかったのである。

また，うずまき銀河団の回転速度が中心からの距離によらない事もわかった。Rigidに回転しているわけではないので，Kepler回転は銀河中心から離れるほど回転速度が遅くなる。実際にはそれほど回転速度が落ちていないのである。つまり，円盤銀河の周囲にみえないハロー，つまり dark haloがなければならない。

このような非バリオン的ダークマターの候補として考えられているのは，超対称性粒子や axionsなどがあるが，そもそも重力理論が正しくないとする立場もある (Modified Non-Newtonian Dy-namics)。マッチョ(Massive Astronomical Compact Halo Ob-ject)なのかウィンプス (Weakly Interacting Massive Particles)なのか115今の段階でははっきりした事は言えないようである。

weak lensingによって amplificationを受けるが，波長によらないので同じ波長帯が一斉に amplifyされるので，それを測るとどんなに多く見積もっても，MACHOでは足りないという事が分かってきている。構造形成では baryon 116ではどうしても説明出来ないので，

dark matterが必要になる。また，大きなシステムほど dark matterが必要であること

も不思議さを放っている。我々の銀河でいうと，baryonに対する dark matterの比率はほぼコンパラであるが，銀河団などの大きなシステムで見積もると，より多くの dark matterを必要とするのである。

globular cluster は星だけの集団でガスがほとんどないbaryonの塊と考えられるが，dark matterを必要としない。

Empiricalな密度プロファイルは

ρ0(r) =ρcritδc

(r/rs)α(1 + r/rs)3−α(19.2)

で与えられ (NFW density profile), α = 1 ∼ 1.5でよくフィットする。

mass spectrumを考えて銀河などにあてはめて無衝突系に

CMB anisotropy

CMBの異方性

T (θ) = T0

(1− v2

x2

)1/2

1− v

ccos θ

(19.3)

115MACHO は，primodial black hole, Brown Dwarfs, White Dwarfs を指し，WIMPS は Neutralinos, Axion, Winpzilla を指す。116狭いところに押し込めると，熱を持つ事になってしまい圧力を生む事になるがこれが問題となる

183

θ ¿ 1

T (θ) ≈ T0

(1 +

v

ccos θ

)(19.4)

⟨δT

T0

⟩2

≡

⟨|T (r1)− T (r2)|2

⟩

T02

= 2〈CT (0)− CT (θ)〉 (19.5)

但し，2点相関函数

CT (θ) =def

〈T (r1)T (r2)〉T0

2=

∑

`

(2`+ 1)C`P`(cos θ) (19.6)

20 Stars

星の形成過程が起こった時期によって天体の構成要素が異なる。天体をおおよそ 3種類に分類することが主流であるようで，種族とよばれる。太陽のような若い星はPopulation I stars(種族 I星)とよばれる。またPopulation II stars(種族 II星)は太陽に比べ重元素が少ない天体のことである。最近話題のPop-ulation III stars(種族 III星)の天体は，構成元素に水素及びヒーリアムしか含まないものをいう。天体の外層が吹き飛ばされるのは主に重元素であるから，重元素を含まない天体の質量放出量はかなり押さえられると考えられている。したがって，Pop.III starは長い間質量をあまり放出せずに残っていたと考えられる。

Supernova explosion(超新星爆発)は，以下のように分類されている。

type property explosion mechanismIa C-deflagrationIb Fe photo-disassociationIc Fe photo-disassociationII Fe photo-disassociation

Type I はスペクトルの中に水素の吸収線がないものであり，Type II は吸収線があるものとして分類されている。さらに，I型でもシリコンの吸収線があるものを Ia型，ヒーリアムの吸収線があるものを Ib型，シリコンもヒーリアムも吸収線がないものを Ic型と呼んでいる。

星の内部では核反応を起こす。発生したエネルギーの一部はニュートリーノによって外部に放出される。これは，ニュートリーノと電子，陽子の散乱断面積が 10−44と非常に小さく，ほとんど相互作用しないためである。このとき，mean free pathは 1MeVのニュートリーノに対して 1g/ccの媒質中ではおよそ1020cmにもなる。したがって，ニュートリーノによるエネルギー損失 (クーリング)は無視出来ない。ニュートリーノが発生する反応過程は，Urca process, photo-neutorino process, pair an-nihilation process, plasma neutrino, neutrino bremsstrahlungprocess などがある。

URCA process

原子核を触媒にして βdecayと逆 βdecayが繰り返しおこることで，neutrinos coolingが効いてくる。

e− + ZAX −→ Z−1

AX + νeZ−1AX −→ Z

AX + e− + νe

Photoneutrino process

photon

γ + e− → e− + νe + νe

Pair annihilation process

2γ ¿ e+ + e− → νe + νe

Plasma neutrino

Neutrino bremsstrahlung process

星は進化しやがてその最期を迎える時が来る。最終的にどのような結末を迎えるかは，星の質量とmetallicityによる。

mass end of evolutionM < 0.08M¯ Brown Dwarf

0.08M¯ < M < 0.8M¯ main sequence star0.8M¯ < M < 8M¯ wind →C+O WD8M¯ < M < 10M¯ e-capture SN → NS10M¯ < M < 40M¯ Fe photo-disassociation SN → NS40M¯ < M < 100M¯ Fe photo-disassociation SN → BH

3× 109K以上の高温になると，原子核は熱輻射の光子により分解される

56Fe + γ → 13 4He + 4n− 124.4 MeV) + 13× [ 4He + γ → 2p+ 2n− 28.3 MeV ]

56Fe + γ → 26p+ 30n− 492.3 MeV

Feの photo-disassociation

184 21 イクリブリアム＆スタビリティーオブスターズ

20.1 主系列星

星は，何らかの原因で生じた，比較的粒子数密度高い分子雲の自己重力崩壊によって作られたものであると考えられている。また，星ベイビーズは林フェイズを経て均一に混ざっているものと考えられている。

そして，星の中心で核融合反応が始まる · · ·星の内部で核反応が起きているにも拘らず安定なのは，あとで話すように，星の比熱が負である事による。

最初の核融合反応は，ハイドロジェンがヒーリアムにフュージョンするもので，水素原子核つまり陽子が 2つ衝突してヒーリアム原子核になるため，p-p chainと呼ばれている。

p(p, e+νe

)D

(D, p)T (D,n) 4He(D,n) 3HeT (D, p) 4He

また，この反応 (Hydrogen burning)が起こっている間，mainsequenceにとどまっている。この星の中心付近では，外部に向かって輻射輸送によって熱の伝播が起こっている (conduction)が，外側では温度の低下にしたがって opacityがあがるため輻射輸送が鈍り，内側の熱が我慢出来なくなって convection(対流)を起こす。

この反応の他にも，CNO cycleと呼ばれる反応12C(p, γ) 13N

(e+ν

)13C

(p, γ) 14N(p, γ) 15O(e+ν

)15N(p, α) 12C

が起こる。このサイクルによって 4つの protpnから 1つの 4Heが生成されている。途中で neutrinos lossによる coolingがある事にも注意しよう。星の質量によって中心温度が異なるためどちらの反応が主体になるかが違ってくる。質量が 1.1M¯小さい星では，p-p chainがメインであり，重い星では CNO cycleがメインとなる。CNO cycleがメインの星の内部では，p-p chainと逆で，熱対流が起きており，外側で輻射輸送が起きている。

対流が起きるのは，星の内部の温度勾配が断熱的な場合と較べてより大きく減少している場合である。

21 イクリブリアム＆スタビリティーオブスターズ

球対称のガス球について考察しよう。球対称な完全流体を重力源とする場は，TOV 方程式 (11.181) を用いる必要があるが，Einstein方程式の Newton近似の議論で指摘したように，通常の星ではほとんど Newton力学で構わない。ρ0(r) = n(r)mを質量密度とすると，平衡状態であれば

−dpdr

=GMr

r2ρ0(r) (21.1)

が成り立っている。この式はしばしば力学平衡の式と呼ばれる。Mr は星の中心から rまでの質量である。

Mr =def

∫ r

0

dr 4πr2ρ0(r) (21.2)

∴ dMr

dr= 4πr2ρ0(r) (21.3)

動径方向の座標を用いる代わりにこの質量を変数にとる事も多い。(21.1), (21.3)を連立して，

− d

dr

[r2

ρ0

dp

dr

]= G

dM

dr

=(21.3)

4πGρ0r2 (21.4)

が得られる。また (21.1)に 4πr3 を掛けて積分すると，

∫ R

0

4πr3dp

drdr = −

∫ R

0

GM(r) · 4πr2ρ0

rdr = −

∫ M

0

GM

rdM

=[4πr3p

]r=Rr=0− 3

∫

V

pdV = −3∫

V

pdV

よって，

−∫ M

0

GM

rdM = −3

∫

V

pdV (21.5)

左辺は，

−∫ M

0

GM

rdM = −

[12GM2

r

]M=M

M=0

+12

∫ M

0

dM GM2 d

dM

1r

= −12GM2

R− 1

2

∫ M

0

dMGM2

r2dr

dM

= −12GM2

R− 1

2

∫ R

0

drGM2

r2

= −12GM2

R− 1

2

∫ R

0

drGM2

r2

=(21.1)

−12GM2

R+

12

∫ R

0

dpM

ρ0

となるので，

−12GM2

R+

12

∫ R

0

dpM

ρ0= −3

∫

V

pdV (21.6)

185

質量M の星の安定性

星の安定性を見るには，Free energyの2階の変分まで調べる必要がある。Free energyは internal energyと gravitational energyの差

F = αρM

ρ0− βGM5/3ρ

1/30 (21.7)

である。ただし，α, βは EOSに dependする order 1程度の数値である。

δF =∂F

∂(ln ρ0)

(δρ0

ρ0

)+

12

∂2F

∂(ln ρ0)2

(δρ0

ρ0

)2

+ · · · (21.8)

平衡条件から∂F

∂ ln ρ0= −α∂(ρ/ρ0)

∂(1/ρ0)M − 1

3βGM5/3ρ

1/30

= αp

ρ0M − 1

3βGM5/3ρ

1/30 = 0

∴ M =

(3αm2

Pl

β3· p

ρ4/30

)3/2

(21.9)

が得られる。この時，安定であるための条件は∂2F

∂(ln ρ0)2= α(γ − 1)

p

ρ0M − 1

9βGρ

1/30 M5/3

=(21.9)

α

(γ − 4

3

)p

ρ0M > 0 (21.10)

である。但し，p ∝ ργ0(断熱過程)とした。したがって，星が δρ0

という変化に対して安定状態であるためには，43< γ (21.11)

でなければならない。(21.9)は

M ∝ ρ32 (γ− 4

3 )0 (21.12)

∂ lnM∂ ln ρ0

=32

(γ − 4

3

)(21.13)

なお，(21.9)は自己重力系の力学平衡の式から大雑把に

M ≈ 43πR3〈ρ0〉 (21.14)

〈p〉R

= 〈ρ0〉GMR2

(21.15)

と見積もっても

M =(fnm

6Pl

p3

ρ40

)1/2

(21.16)

が得られる。fnは nを polytorpic indexとする適当な factorである。ちなみに，

p = (3π2)1/2(~c4

)(ρ0

µmb

)4/3

(21.17)

を用いて，M を計算すると

M '(f3

(√3

8

))1/21

(µmb)2m

3/2Pl

∼ 1.4(

2µ

)2

M¯ (21.18)

となって中性子星の typicalな値が得られる。

〈ワンポイントレッスン〉

微分についてちょっとひと言付け加えておく。F = kxp というpower lawの関係にある時，

dF

d lnx=dF

dx

dx

d lnx= kpxp−1 · x = pF (21.19)

d lnFd lnx

=1F

dF

dx

dx

d lnx= p (21.20)

という結果になる。つまり，lnxで微分するという事は，指数を落とせという事を意味する。F のログを取ったものを lnxで微分すれば指数が得られる。また，F = ke−x/λ という関係にある時，同様に

dF

d lnx=dF

dx

dx

d lnx= −k

λex/λ · x = −x

λF (21.21)

d lnFd lnx

=1F

dF

dx

dx

d lnx= −x

λ(21.22)

d lnFdx

= − 1λ

(21.23)

である。特に，

λ = −(d lnFdx

)−1

(21.24)

が typicalな scaleを与えているという事を意識しておくとよい。

Polytrope gass sphere

連立方程式を解く事は困難であるので，簡単な仮定をおいて平衡解を議論する。Emdenは Kelvinの対流平衡の議論を一般化し，熱変化が

dQ = cdT (c; const.) (21.25)

で与えられるような場合をpolytrope変化と定義している。c = 0は断熱変化，c =∞は等温変化，c = cp, cvはそれぞれ等圧，等温変化を意味する。理想気体の熱力学第 1法則から

dE − pdV = dQ = cdT

以下では理想気体を考えよう。EOSを代入して

d′Q =(dE

dT+NkB

)dT − V dp

となるので，定圧比熱 cp は，

cp =(d′QdT

)

p

=dE

dT+NkB

となる。また，定積比熱 cV は，

cV =(d′QdT

)

V

=(dE

dT

)

V

であるから，

cp − cV = NkB

186 21 イクリブリアム＆スタビリティーオブスターズ

Polytorope変化の定義より，

cdT = cV dT + (cp − cV )T

VdV

∴ (cV − c) lnT + (cp − cV ) lnV = const.

が成り立っている。

Γ =def

cp − ccV − c (21.26)

と定義すれば，

TV Γ−1, pV Γ, p1−ΓTΓ = const. (21.27)

と書ける。ρ0 ∝ V −1 より，

Γ−1 =n

1 + n

(Γ = 1 +

1n

)(21.28)

とおけば，

p ∝ V −Γ ∝ ρΓ0 (21.29)

すなわち

P = Kρ1+ 1

n0 (21.30)

という関係が得られる。これを polytrope関係式と呼ぶ。nはpolytrope indexと呼ばれる。(21.26)から分かるように c = 0のとき，

Γ = γ ≡ d ln pd ln ρ0

となって断熱変化に相等する。

このように，polytropicな変化

n

1 + n=

(d ln ρ0)/(d ln r)(d ln p)/(d ln r)

(21.31)

∴ p = Kρ01+1/n (21.32)

を仮定して，一般の energy transfer を解く事から逃げるのである。

さて，(21.32)を仮定したとき，(21.4)は

d

dr

(r2

ρ0

dp

dr

)= −4πGρ0r

2

⇐⇒ d

dr

(r2

ρ0

d

dr

(Kρ

1+1/n0

))= −4πGρ0r

2

となるが，ここで ρ0c を中心のmass densityとして

ρ0 = ρ0cθn i.e. ρ1+1/n = ρ

1+1/n0c θ1+n (21.33)

と置換すれば，[(n+ 1)K

4πGρ0c

1n−1

]1r2

d

dr

(r2dθ

dr

)= −θn (21.34)

さらに，

α =def

((n+ 1)K

4πGρ0c

1n−1

)1/2

r =def

αξ

と置換して無次元化すれば，

1ξ2

d

dξ

(ξ2dθ

dξ

)= −θn (21.35)

となる。この方程式を Lane-Emden方程式と呼ぶ。2階の微分方程式であるから，境界条件が 2つあれば良い。その境界条件は，星の中心で ρ0 = ρ0c であることと，星の中心で

dp

dr= 0

であること

θ(ξ = 0) = 1 (21.36)dθ

dξ

∣∣∣ξ=0

= 0 (21.37)

を課せばよい。n = 0, 1, 5の Lane-Emden方程式に関しては厳密解が分かっているが，それ以外のものは数値計算する他ない。解析的に解けるものは，

n = 0 : θ0 = 1− 16ξ2

n = 1 : θ1 =sin ξξ

n = 5 : θ5 =(

1 +13ξ2

)−1/2

(21.38)

Lane-Emden方程式 (21.35)より，

dθ

dξ= − 1

ξ2

∫ξ2θn(ξ) dξ

であるから，0 < θならば，dθ

dξ< 0である。つまり単調減少函

数であるから，最初に θがゼロとなる星の表面まで θは減少していく。星の表面を与える ξを ξS と書くと，

R = αξS =(

(n+ 1)K4πG

ρ0c1n−1

)1/2

ξS

であり，星の質量は

M =∫ R

0

4πr2dr = −4πα3ρ0c

∫ ξS

0

d

dξ

(ξ2d

dξθ

)dξ

= −4πα3ρ0c

[ξ2d

dξθ

]

ξ=ξS

=(

14πG

p3c

ρ40c

)1/2

ϕ

ただし，

ϕ = − (1 + n)3/2[ξ2d

dξθ(ξ)

]

ξ=ξS

(21.39)

である。意味のある解について纏めておく。

n Γ (1 + n)1/2ξS ϕ ρ0c/ρ0

0 ∞ √6 2

√6 1

1 2 4.443 8.886 3.291.5 5/3 5.777 10.73 5.993 4/3 13.79 16.15 54.25 6/5 ∞ 25.46 ∞∞ 1 ∞ ∞ ∞

n = 0 は等温ガス球，n = ∞ は非圧縮性ガス球である。n = 1.5, 3 はそれぞれ，非相対論的ガス球，超相対論的ガス球を表している。

21.1 密度一定の星 187

Polytropicな関係にある時の熱力学的諸量

Polytropicな関係 (21.32)が成り立っている時，熱力学第 1法則より

dε = Tds−Kρ1+1/n0 d (1/ρ0) = Tds+Kρ

−1+1/n0 dρ0 (21.40)

であるから，isentropicな場合

dε = Kρo−1+1/ndρ0 = Kρ0

γ−2dρ0

∴ ε =K

γ − 1ρ0γ−1 (21.41)

となるので，Energy density ρは

ρ := ρ0(1 + ε) = ρ0 +K

γ − 1ρ0γ (21.42)

= ρ0 +1

γ − 1p = ρ0 + np = n (m+ p) = ρ0

(1 + n

p

ρ0

)

(21.43)

p = (γ − 1)nε (21.44)

という関係にある。また，Enthalpy(per unit mass per particle)hは，

h = 1 + ε+p

ρ0= 1 +

K

γ − 1ρ0γ−1 +Kργ−1

0 (21.45)

= 1 + nKρ0γ−1 +Kργ−1

0

=ρ+ p

ρ0= 1 + (n+ 1)

p

ρ0(21.46)

音速について，

cSW2 =

∂p

∂ρ0= ΓKρΓ−1

0 = Γp

ρ0(21.47)

となる。

21.1 密度一定の星密度が一定の星は，音速が無限大になってしまうため現実的なモデルとは言えないが，高密度天体の内部などではほぼ一様な密度になっているので，意味がないわけではない。

Tolmann-Oppenheimer-Volkoff方程式 (11.181)

−dpdr

=43πr

(ρ+ p)(ρ+ 3p)1− 8π

3 r2ρ

も，密度一定の下で解析的に解けるのであった (Schwarzschild時空のページ参照)。

以下では，Newtonianの場合に限って話を進める。Rを星の半径とすると，

Mr =43πr3ρ0 (r ≤ R) (21.48)

M =43πR3ρ0 (21.49)

また，(21.1)より

−dpdr

=43πGrρ0

2

∴ pcentre − p(r) =23πGr2ρ0

2 (21.50)

である。星の表面で圧力はゼロであるから117，

pcentre =23πGR2ρ0

2 =38π

GM2

R4(21.51)

したがって，圧力のプロファイルは

p(r) =23πGρ0

2(R2 − r2) =

3GM2

8πR2 − r2R6

(21.52)

となる。また，理想気体の状態方程式

p = nkBT

が成り立っていると仮定すると，温度 T (r)は

T (r) =p(r)nkB

=38π

GM2

nkB

R2 − r2R6

(21.53)

T (0) =38π

GM2

nkB

1R4

=ρ0

nkB· 12GM

R(21.54)

となる。

ρ0

n=V ρ0

V n=M

N

は，粒子一個当たりの質量であるが，平均分子量 µと水素原子の質量mp を用いて

M

N= µmp ∴ n =

ρ0

µmp(21.55)

と書かれる事が多い。これで表せば，中心の温度は

Tcentre =µmp

kB

12GM

R(21.56)

と書き表される。

Poisson方程式も，密度一定の時は

d

dr

(r2dΦdr

)= 4πGρ0

も，密度一定の時は,

r2dΦdr

= const. (exterior)

r2dΦdr

=43πGρ0r

3 + const. (interior)

となって，境界条件[dΦdr

]

r=0

= 0, limr→∞

Φ = 0, Φ(interior)(R) = Φ(exterior)(R)

から，星の外部と内部でそれぞれ

Φ = −GMr

(exterior)

Φ = −2π3Gρ0

(3R2 − r2) (interior)

(21.57)

と定まる。

117というより，星の表面の定義は圧力がゼロとなるところである。

188 22 コンパクトオブジェクト

さて，星の重力エネルギーW は，

12

∫ R

0

dpMr

ρ0=

12

∫ R

0

−4π3GMrrρ0dr

=12

∫ R

0

−16π2

9Gρ2

0r4dr

=12

(−16π2

9Gρ2

0

R5

5

)

= −12GM2

5R

より，

W = −12GM2

R− 1

2GM2

5R= −3

5GM2

R(21.58)

となる。

次に星の熱エネルギー Eを計算してみよう。まず，粒子 1個あたりの thermal energyは 3

2kBT であるから, nを粒子数密度と

すると

E =∫ R

0

32kBT · n · 4πr2dr

となる。ここで，理想気体の状態方程式

p = nkBT

が成り立っていると仮定すると

E =∫ R

0

32p · 4πr2dr

=∫ R

0

9GM2

4R6

(R2r2 − r4) dr =

310GM2

R

となる。

したがって，重力ポテンシャルと熱エネルギーのトータルは

U = W + E = W − 12W =

12W = − 3

10GM2

R(21.59)

である事がわかった。さて，M が一定の下で δRという変化に対して，全エネルギーおよび中心の温度の変化は

δU =310GM2

R2δR (21.60)

δTcentre = −µmp

kB

12GM

R2δR (21.61)

となるから，

δTcentre = −53µmp

kBδU (21.62)

という関係にある。したがって，星の膨張は total energyの増加を意味するが，それと同時に中心温度の減少を引き起こす。星の膨張は，星内部の核融合反応によって吐き出される熱エネルギーによって起こる。核融合によって熱が放り出されて星が膨張すると，中心温度が下がるので反応にブレーキがかかる。このように，(21.62)は星の比熱が負である事を示しているのである。もし，この様なメカニズムがなければ，反応が暴走し星は爆発してしまう事になる。電子の縮退圧で支えている星などは，このような性質を持たないので，核反応などで熱を吐き出せば爆発する可能性がある。

22 コンパクトオブジェクト中性子星 (neutron stars)，白色矮星 (white dwarfs)を高密度天体と呼び，Black holeを含めた 3種の星をまとめてコンパクトオブジェクトと呼ぶ。

White Dwarf は HR 図において main sequence(H-burningstars) の左下方に位置する天体で，(後でわかるように Chan-drasekhar限界質量 1.4M¯ を越えない)星の末路である。

Sirius Sirius B明るさ 104 : 1温度 comparable半径 102 : 1密度 1 g/cm3 : 106g/cm3

にならないといけない!!118

太陽の密度は大体 M¯R3¯∼ 2× 1033g

(7× 1010cm)3∼ 1g cm−3 ぐらいだ

から，予想される密度はかなり大きい。

高密度になると電子の Fermi energyが大きくなり，陽子に吸収されてしまう。核子は理想気体としては振る舞っておらず，原子核の状態で存在するため状態方程式は理想気体とは大きく異なっている。原子核に束縛されていなくとも核力により強く相互作用するのでその影響は無視出来なくなる。重い原子核の結合エネルギーは empiricalにBethe-Weizsacker mass formulaとして知られている。

B(Z,N) = aA− bA2/3 − c Z2

A1/3− d (A− 2Z)2

A(22.1)

ここで Z,N,A = Z +N はそれぞれ陽子数，中性子数，質量数であり

a = 16MeV b = 18MeVc = 0.72MeV d = 24MeV

であることが分かっている。原子核の半径がおよそ

r = 1.3× 10−13A1/3cm (22.2)

で与えられるので，(22.1)の各項は，第 1項から体積エネルギー，表面エネルギー，Coulombエネルギー，対称エネルギーと呼ばれる。結合エネルギーは大きいほど安定であるから，対称エネルギーの項を見ると，A = 2Z であるのが望ましい。実際軽元素は evenになっている（ところがリスィアムは oddな 7Liが一番多い。未だに謎である。）。

Coupling constant α = 1/137を用いて，

r0 =~mc× e2

~c=

e2

mc2, a0 =

~mc× ~ce2

=~2

me2(22.3)

つまり，

古典電子半径 ×α←−−コンプトン波長 −−→× 1

α

ボーア半径

したがって，電子の縮退圧で支えられている白色矮星と中性子の縮退圧で支えられている中性子星の半径の比は，

ρNS

ρWD∼

(λnλe

)−3

∼(mn

me

)3

∼ 109 (22.4)

189

RNS

RWD∼ λnλe∼

(mn

me

)−1

∼ 10−3 (22.5)

となることが分かる。ちょっと話はそれるのだが，大事なことなのでここである種の限界について触れておこう。古典的な電磁気学の限界についてである。まず，量子力学的に意味をもつのは，Compton波長程度の広がりを持った波束の描像であるが，さらに，その構造定数倍 (=1/137)の大きさである古典電子軌道半径である。まず，次のことを認識していなければならない:相対性理論では一般に剛体の存在を認めず，素粒子は点粒子として存在しなければならない。というのは，もし素粒子が有限の大きさを持っているとすれ

ば，観測する系によってその大きさはさまざまな値を取ってしまう。極端に考えれば，地球程度の大きさをもつパイオンが存在してしまうことになる。さて次に，素粒子の大きさがないものとすると次の問題が生

じてしまう。それは，もし，その粒子が電荷を持っていたとするならば，自ずとポテンシャルの自己発散が起こってしまうということである。電子を例にとって考えてみると，

e2

r∼ mc2 =⇒ r ∼ e2

mc2(22.6)

ポテンシャルが静止質量と同程度になってしまう距離以内はもはや古典的には立ち入ることのできない領域となってしまう。

Compact starsのオーダーの話

白色矮星の観測…atomic processes at ∼ α2Bc. これを越える磁場には他の物理があるはず。α2 で落ちているので atomicprocessが効いてくる中性子星…pulars，SGRs，AXPs … QED processes at ∼ Bc.Bc程度の磁場があるのでQEDを考慮した解析が必要であろう。

Fermi star (Fermionで構成された星)

MF ∼ mb

(mPl

mb

)3

ρ ∼ mbnF ∼ mbλ−3F

→ R ∼(MF

ρ

)1/3

∼(mpl

mb

)λF

(22.7)

磁場がもし保存するのであれば，

BNS

BWD∼

(RNS

RWD

)−2

∼(mn

me

)2

∼ 106 (22.8)

中性子星のほうが 6桁大きい磁場を持つと考えることができる。WDからNSになるパスを見つけたという論文が最近あがった。普通の星から中性子星にいくパスと普通の星から白色矮星にいくパスは異なる。

main sequenceにある星（H-burning stars，例えば太陽）の密度は，

ρ ∼ mba−30 (22.9)

（a0はBohr半径）くらいになるはずである。そうすると，白色矮星と太陽程度の質量は大差がないのだから半径の比は

RWD ∼ αR¯ (22.10)

これより，

BWD ∼ α−2B¯ ∼ 107 G

BNS ∼ α−2

(mn

me

)2

B¯ ∼ 1013 G(22.11)

確かに，中性子星の観測では 1013G程度なので，この様な es-timateは悪くない。しかし，すべての白色矮星や中性子星はこの様な強い磁場を持つ訳ではないことが分かっている。上限に近い値と考えておくべきものであることに注意しよう。白色矮星はマスロスで作られる。

磁場の量子化

強い磁場がある場合には，端的にいえば，磁場の量子化が効いてくる。

gyration radius

pc

eB=γβmc2

eB<~p

=~

γβmc(22.12)

⇐⇒ B >m2c3

e~γ2β2 ≡ Bcγ2β2 (22.13)

Bc ' 4.414×は QED field，critical fieldと呼ばれる。実際にquantizeしようと思ったら，電子があまり energeticだと困るということを意味する。例えば，relativisticな電子では，β ∼ 1はいいとして，γ ∼ 106, 107とかなどという話になってくると，quantize する為の磁場は非常に大きくないとだめだということになる。…relativisticな粒子はなかなか quantize出来ない。pulsarsの磁場が強いといっても，relativisticな粒子では，cy-clotron emission よりも synchrotron emission が dominant である。それは Lorentz factorγ が効いているということである。よく知られているように，quantizeされればLandau level119

En ' p2

2m+

e~2mc

B(2n+ 1) (22.14)

というのが出てくることになって120，cyclotron lineが出てくる。

~ωc =e~Bmc

(22.15)

cyclotron emissionはこれまでのところ見えていない。cyclotronabsorptionで見えている。なぜかは考えて，みて。emissionでみるのは難しい。

physical processを考えてみると，cylindrical atom（方向性をもった atom，sphericalなポテンシャルではなくなる）はWD程度では起こりうる。

Landau stateが可能で electron cyclotron lineが可能である。パルサーでは Lorentz因子がでかいので，輻射は割と con-

tinuumになってしまう。むしろ，最初にサイクロトロンラインが最初に見つかったのはWDであった。磁場に対して電子がスローということを意味している。

NS程度になると，vacuum polarization，1-γ pair produc-tion，γ splitting，proton cyclotron line（エネルギーが 3桁違うので，もし cyclotron lineがでたら proton起源にしないといけない。）

Zeeman effect

e~2mc

B ∼ 12e2

a0=

12α2mc2 (22.16)

B ∼ α2

(m2c3

e~

)= α2Bc ∼ 2× 109 G (22.17)

119Zeeman level との類似性を後で考える。120まじめにカンタイゼーションをやろうとおもったら，この式は近似を表しているので使えない

190 22 コンパクトオブジェクト

z方向の磁場があると

H = −∇2 − 2r

+ 2(

B

α2Bc

)lz

+(

B

α2Bc

)2 (x2 + y2

)∓ 2(

B

α2Bc

)(22.18)

a0 =~2

me2↔ a′0 =

(~ceB

)1/2

(22.19)

a′0…magnetic 1st orbit

level n is broken at B >α2Bcn3

circular orbitが quantizeする条件は∫pφdφ = n~ (22.20)

F Zeeman effect ↔ WD

F cyclotron lines ↔ WD/NS

F spin-down energitics ↔ NS(pulsar)121

rotation-energy loss rate ∼ M1-radiation power

IΩΩ ∼ 23c3

(R3B

2

)2

Ω4 (22.21)

B ∼(

3c3I8π2R6

)1/2 (PP

)1/2

whereP = 2πΩ−1 (22.22)

実際に観測しているのは E1-radiation だが，全部 rotation-energyに変わるという保証はない。energiticsで決めている。粒子加速は電位差で起こる。

open-field-line electric field

∆φrL∼ BR2Ω

6c

( cΩ

)−1

(22.23)

particle acceleration

γ ∝ δφ

rL∝ BΩ2 (22.24)

synchrotron radiation（curvature radiation のせいで 3 乗になる）

~ω ∝ γ2 · γ ∝ B3Ω6 ∝ B3P−6 (22.25)

gyration radius

pc

eB∼ 3× 10−6

(B

1012G

)−1 ( pc

GeV

)cm (22.26)

Synchrotron for B′ ∼ pc

erc=γβmc2

ercinto ∆θ ∼ 1

γ

∆t′ =(

1 +dr

cdt

)∆t ∼

(1− β cos

1γ

)rccγ

(22.27)

ν′ ∼ 12π∆t′

∼ c

2πrcγ3 (22.28)

Pulsar activity　-　 pair cascade:e−e+ production ↔ synchrotron radiation

spin-down energetics: B ∝(PP

)1/2

=⇒ ~ω ∝ P 3/2P−9/2 ≥const.critical line (Death line) PP−3 ≥ const.

B ∼(

3c3I8π2R6

)1/2 (PP

)1/2

' 6.4× 1019(PP

)1/2

G

(22.29)

慣性モーメント Iや半径Rが関わっているので当然EOSによってしまう。

(I

R6

)1/2

∝ ρ5/2−Γ (22.30)

for EOS P ∝ ρΓ

and self-gravitational balance1ρ

dP

dr= −GM

r2

複雑な EOSをいれれば，soft EOSになってしまうので NSはちっちゃくなってしまう。NS of soft EOS

smaller M

smaller R→ Same tyle NS as ms pulsars122 but strongerB?

high ρ

thin crust → cannot explain grich

would explain large P for common B.possible proton cyclotron lines

~ωc =e~Bmpc

∼ 6.3(

B

1015G

)keV (22.31)

for protons

Beyond critical field Bc

cyclotron energy ~ωc =e~mc

B ∼ mc2

a′0 =(~ceB

)1/2

∼ αa0 = λe (22.32)

B ∼ Bc =m2c3

e~(22.33)

exotic QED processes1-γ pair production γ → e−e+

γ splitting γ → γ′γ′′

~ω = En−p−z τ− + En+p+z τ+ ≥ 2mc2 (22.34)

~kz = p−z + p+z = 0 (22.35)

Landau state

E = mc2√

1 +( pzmc

)2

+ 2nB

Bc(22.36)

resonance

~ωthn−n+ =12c2

(√1 + 2n−

B

Bc+

√1 + 2n+

B

Bc

)(22.37)

121empirical にしか分からない。122108G

22.1 Neutron Stars 191

M1: Magnetic dipole radiationとNS

磁気モーメントは，極方向の磁場を Bp として，

|m| = BpR3

2(22.38)

磁気双極子放射

E = − 23c3

d2

dt2|m|2 (22.39)

回転軸と磁気モーメントのなす角を Θとすると，

E = −B2pR

6Ω4 sin2 Θ6c3

(22.40)

一方，回転する星の回転エネルギーは

E =12IΩ2

∴ E = IΩΩ (22.41)

NSの慣性モーメント I は，密度が一様だとすれば，

I =25MR2 = 1.1× 1045 ×

(M

1.4M¯

)×

(R

10km

)cm2

(22.42)

sinΘ = 1の場合は，

Bp =

(6c3IΩR6Ω3

)1/2

=(

6c3I(2π)2R6

PP

)1/2

(22.43)

= 4.4× 1019(PP/s

)1/2

G (22.44)

22.1 Neutron Stars

原子核が β 崩壊，逆 β 崩壊で化学平衡状態にあるとしよう。Z+N

ZX + 0−1e

− ¿ Z+NZ−1 Y

化学平衡の条件は

Zmpc2 +Nmnc

2 +B(Z,N) + Ee

= (Z + 1)mpc2 + (N + 1)mnc

2 +B(Z − 1, N + 1)∴ B(Z,N)−B(Z − 1, N) + Ee

= B(Z − 1, N + 1)−B(Z − 1, N) + (mn −mp)c2

したがって，Z,N が十分大きい時

∂B

∂Z+ Ee =

∂B

∂N+ (mn −mp)c2

∴ µp + µe +mec2 = µn + (mn −mp)c2

∴ µn − µp + (mn −mp −me)c2 = µe

となる。ただし，Ee = µe+mec2である。chemical potentialは

粒子を 1個追加するのに必要なエネルギーであるから，エネルギー準位のもっとも高いところへ入ると考えてよい（最外殻）。µe ¿ (mn −mp −me)c2 より，

µn − µp ≈ µe (22.45)

ここで，(22.1)より，

µn − µp =∂B

∂N− ∂B

∂Z

= 2cZA−1/3 − 4d (A− 2Z)A−1

I 表面; 中性子星の表面には Fe元素からなる通常の原子核が存在するが，配列は強磁場に支配されていると考えられている。表面には約 1012gaussの磁場があり，原子核はシリンドリカルになっている。

I 原子核と電子気体の領域: 104g/cc< ρ0 < 3× 1011

I 非束縛の中性子が増加する領域: 3 × 1011g/cc< ρ0 <5× 1013

I 中性子物質の領域: 5× 1013g/cc< ρ0 < 1015

I 重核子またはクォーク物質の領域: 1015g/cc< ρ0

23 降着円盤

伴星M2 から一定の割合 M で主星M1 に質量降着する場合を考える。とは言っても，一般的に考えるのは無理なのでいくつか仮定をおいて考える。

仮定軸対称であるとする。

仮定円盤中の粒子は局所的に Kepler回転をしているとする。また，動径方向の速度はKepler運動に比べて十分小さいとする。

仮定摩擦によって発生した熱は，局所的に黒体輻射し宇宙空間に放出されるとする。但し，円盤は幾何学的に薄いとする。

仮定円盤の垂直方向には静水圧平衡が成り立っている。

これだけ条件を課せば，かなり現象が限定されるだろう。

質量降着

質量M の星が，球対称で定常的な質量降着を受けている状況を考える。星はそれ自身が核融合をしているため，輻射を放出している。また，降着物質は星の動径方向に沿って自由落下し，運動エナジーが星の表面で電磁輻射に変わると考える。

F を energy fluxとすると，球対称に輻射しているという仮定の下では，半径 rの球殻を単位時間に通過する energyを球の面積で割ったもの，

F =L

4πr2erg cm−2s−1 (23.1)

192 23 降着円盤

となる。光子に対して，そのmomentum flux P は F/cに等しいから

P =F

c=

L

4πr2cerg cm−3 (23.2)

となる。単位時間に受け取る運動量が力に他ならない。Thom-son散乱するとき，単位時間に断面積に入ってくる光子の運動量が，電子に渡す運動量である。つまり，

p = PσT =L

4πr2cσT (23.3)

電子に働く輻射圧と陽子に働く重力が等しいとして

LEdd

4πcr2· σT =

GMmp

r2(23.4)

∴ LEdd =4πcGMmp

σT(23.5)

を得る。具体的に以下の数値

c = 2.998× 1010 cm s−1

G = 6.673× 10−8 g−1cm3s−2

M¯ = 1.989× 1033 gmp = 1.673× 10−24 gσT = 6.65× 10−25 cm2

をそれぞれ代入してみると，

LEdd =4π2.998× 6.673× 1.989× 1.673

6.651010−8+33−24+25

(23.6)

∴ LEdd = 1.257× 1038 = 1.3 × 1038 erg s−1 (23.7)

となる。

太陽の光度

黒体輻射と仮定している場合，energy fluxが F (T ) = σBT4と

書ける事から，太陽の光度は太陽の半径と表面温度を用いて，

L¯ = 4πσB · T 4¯R

2¯ (23.8)

と表すことが出来る。

σB = 5.67× 10−5 erg cm−2 deg−4 s−1

T¯ = 5780 degR¯ = 6.96× 1010cm

を代入して，

L¯ = 3.852× 1033 = 3.9 × 1033 erg s−1 (23.9)

を得る。太陽以外の輻射源が，地球軌道と太陽の中間の領域にないとしよう。

L = F (T¯) · 4πR2¯ = F · 4πD2 (23.10)

が成り立つ。但し，最右辺の F が求めるべき地球軌道におけるenergy fluxである。したがって，

F = σBT4¯

(R¯D

)2

(23.11)

= 5.67× 5.784

(6.961.496

)2

× 10−5+12−6 (23.12)

= 1.37× 106 = 1.4× 106 erg cm−2s−1 (23.13)

太陽からくる fluxは地球上に平行光線として入ってくると考えてよい。したがって，単位時間に地球に入ってくる energy Eは，

E = F · πR2E (23.14)

= σBT4¯

(R¯D

)2

· πR2E (23.15)

= πσBT4¯

(R¯RED

)2

erg s−1 (23.16)

= 1.75× 1024 = 1.8× 1024 erg s−1 (23.17)

となる。

LE = σBT4E · 4πR2

E = πσBT4¯

(R¯RED

)2

(23.18)


T 4E =

14T 4¯

(R¯D

)2

(23.19)

∴ TE =1√2T¯

(R¯D

)1/2

(23.20)

= 2.78× 102 = 2.8 × 102 deg (23.21)

この温度から放射される光子は赤外線領域にある。

光度

T (r) =

3GMM

8πr3σB

[1−

√r∗r

]1/4

(23.22)

= T∗

(r∗r

)3[1−

√r∗r

]1/4

(23.23)

但し，

T∗ =def

(3GMM

8πσBr3∗

)1/4

= 1.046× 104

(MM

r3∗

)1/4

(23.24)

T (r) ≡ T (r)

r3/4∗ T∗

とおく。

∂T (r)∂r

=∂

∂r

(r−3/4

[1−√r∗r−1/2

]1/4)

= −34r−7/4

[1−√r∗r−1/2

]1/4

+ r−3/4 × 14

[1−√r∗r−1/2

]−3/4

· 12

(√r∗r−3/2

)

= −34r−9/4

[1−√r∗r−1/2

]−3/4

×√

r(1−√r∗r−1/2

)− 1

6√r∗

= −34r−9/4

[1−√r∗r−1/2

]−3/4

×√

r − 76√r∗

したがって，極値を与える r(≥ r∗)は

∂T (r)∂r

= 0 ⇐⇒ r1 =(

76

)2

r∗ (23.25)

23.1 Spin-UP 193

である。星の表面及び十分遠方では

limr→r∗

∂T (r)∂r

=∞

limr→∞

∂T (r)∂r

= 0(23.26)

である。また，(23.23) の 2階微分は，

∂2T (r)∂r2

=2116r−15/14

(1−√r∗r−1/2

)

×r − 16

7√r∗r +

54r∗

= 0

⇐⇒ r± =

(16±√11

14

)2

r∗

負符号の時 r− < r∗となるので除外してよい。 r1 < r+なので，グラフの増減を書けば，

r r∗ r1 r+ ∞T (r)′ ∞ + 0 − − − 0T (r)′′ − − − − 0 + +T (r) 0 1.36r∗ 1.90r∗ 0

であるから，結局，T (r)の最大を与える rは，

r1 =(

7

6

)2

r∗ (23.27)

である。この時の温度 Tmax は，(23.23)より，

Tmax = T (r1) = T∗

[(67

)6 (1− 6

7

)]1/4

(23.28)

=(

66

77

)1/4

T∗ (= 0.488T∗) (23.29)

Luminosityは，diskの表裏の両面から放射される事に注意して，

L = 2∫∫

drdθ rσBT (r)4

= 2∫dr 2πr · σBT (r)4

= 4πσBT 4∗ r∗

∫dr

(r∗r

)2[1−

√r∗r

]

= 4πσBT 4∗ r∗

∫ ∞

r∗dr

(r∗r

)2

−(r∗r

)5/2

= 4πσBT 4∗ r

2∗

∫ 1

0

dx[1− x1/2

]

= 4πσBT 4∗ r

2∗

[x− 2

3x3/2

]1

0

=4πσB

3

(3GMM

8πσBr3∗

)r2∗ =

GMM

2r∗

となる。

星の表面に降着した物質のもつ binding energyが全て輻射になるとすれば

L =GMM

r∗(23.30)

しかし，表面温度が Tstar の星の輻射と考えれば，これは

4πr2∗σBT4star (23.31)

に等しい。したがって，

GMM

r∗= 4πr2∗σBT

4star (23.32)

i.e. Tstar =

[GMM

4πσBr3∗

]1/4

(23.33)

=(

23

)1/4[

3GMM

8πσBr3∗

]1/4

(23.34)

= 0.9036× T∗ (23.35)

中性子星の典型的な値

R = 106 cmM = 1.4M¯ = 2.786× 1033 gM = 1× 1017 g s−1

を (23.24), (23.29), (23.35)に代入して

T∗ = 1.41× 107 = 1.4× 107 degTmax = 6.864× 106 = 6.9× 106 degTstar = 1.27× 107 = 1.3× 107 deg

を得る。

Black holeのカギカッコ付き「星の半径」を Schwarzschild ra-diusの 3倍則ち ISCOにとってみる。この半径は安定に回転出来るもっとも内側の半径である。その値は，中心天体の質量に比例する。

rISCO = 3rg =6GMc2

= 4.44× 10−28M cm

= 8.85× 105

(M

M¯

)cm

この時，10M¯の holeに対して Tmaxは，(23.29), (23.24)より，

Tmax = 0.488× 1.046× 104

(10M¯Mr3g(M¯)

)1/4

= 0.5104× 104 × 9.3819× 107

= 4.7885× 1011 = 4.8× 1011 deg

となる。

23.1 Spin-UP

Accretion diskから black holeへ落ち込むと，energy conserva-tion，angular momentum conservation から，black holeが回転し始めるであろう。以下では仮定をいくつかおいて，降着円盤からのエネルギー輸送，角運動量輸送について考えてみる。

Assumptions(I) Black holeは定常軸対称な外部時空を形成し，自己重力が無視出来る diskがあるとする。また，時空は asymptotically flatであるとする。

赤道面付近で次の座標系をとるもとする。

ds2 = −e2ν(r)dt2 + e2ψ(r) (dφ− ω(r)dt)2 + e2µ(r)dr2 + dz2

(23.36)

194 23 降着円盤

r →∞としたとき，

ψ = ln r +O(1/r), ν ∼ µ ∼ O(1/r), ω ∼ O(1/r3) (23.37)

(II) Diskの中心面は赤道面上にある。

(III) Diskは幾何学的に薄い。つまり, r ¿ ∆z = 2h

(IV) 外部時空の変化が無視できるほど小さい時間間隔で，

〈Q(z, r)〉 ≡ 12π∆t

∫ ∆t

0

dt

∫ 2π

0

dφ Q(t, r, z, φ) (23.38)

~u(r) =def

1Σ

∫ +H

−H

⟨ρ0~u

inst⟩dz (23.39)

Σ(r) =def

∫ +H

−H〈ρ0〉 dz (23.40)

H =def

max∆t

(h) (23.41)

(V) Disk内の heat flowはネグれるとし，vertical方向だけ考慮する。つまり，

〈~q(r, z)〉 ≈ 〈qz(r, z)〉 ∂∂z

(23.42)

(VI)

(VII)

(VIII)

(IX)

23.1.1 Introduction

Several features of supermassive black holes (or galacticblack hole candidates) have been interpreted as evidence forblack hole spin:

1. The presence of the broad, skewed Fe Kα lines in MCG-6-30-15, Cyg X-1, and XTE J1650-500 (Tanaka et al.1995, Fabian et al. 2002, Miller et al. 2002).

2. The ratio R of observed quasar radiative energy per unitcomoving volume to the current mass density of blackholes is directly related to the mean radiative efficiencyεM of accreting onto black holes (Soltan 1982): εM ≥ R.Recent measurements suggest 0.1 . R . 0.2

3. QPOs (quasi-periodic )

A physical or phenomenological model for the QPO canprovide more stringent constraints but requires addi-tional assumptions.

GRO J1655-40, 95% confidence limits on the mass:

v sin i =K2(1 + q)0.49q2/3

0.6q2/3 + ln(1 + q1/3

)

(Horne, Wade, & Szkody 1986) and using the followingrelation

PK32

2πG=M1 sin3 i

(1 + q)3

Then M1 and M2 to lie in the range 5.5-7.9M¯ and 1.7-3.3M¯ (Shahbaz et al. 19992).

2K2 = 215.5± 2.4km s−1 and v sin i = 82.9− 94.9km s−1

23.1 Spin-UP 195

Furthermore this result requires a∗ & 0.15 (Strohmayer2001)

4. The shape of the X-ray continuum from an accretingblack hole may depend on the spin.

Nonprimodial black holes form from gravitational collapseand in general are born with nonzero spin.Heger et al. 2002: If the initial collapse occurs from a massivestar, the spin depends on the angular momentum profile ofthe progenitor star and the (magneto)hydrodynamics of corecollapse in evolved, spinning stars. Detailed Newtonian sim-ulations of the collapse of spinning stars with M . 300M¯have been performed and suggest how spinning black holesmay arise during core collapse and the fate of the collapsedepends drastically on the mass, spin, metallicity, and mag-netic field of the progenitor, as well as details of the EOS andneutrino transport.

Assume that the orientation of the spin vector is fixed.

J =def

∫

on horizon

dθdφ√−gT rφ (23.44a)

E =def

∫

on horizon

dθdφ√−gT rt = M (23.44b)

M0 =def

∫

on horizon

dθdφ√−gρ0u

r (23.44c)

Then the dimensionless spin-up parameter s can be defined

s =def

da∗dt

M

M0

(23.45)

Here let εM be the efficiency of conversion of rest-mass energyto luminous energy by accretion onto a black hole of mass M ,and εL be the efficiency of accretion luminosity

εM =def

L

M0c2(23.46)

εL =def

L

LE(23.47)

where L is the luminosity and LE is the Eddington luminosity,given by

LE =4πMµempc

σT≈ 1.3× 1046µeM8 erg sec−1 (23.48)

Any contribution of collisionless or self-interacting dark mattermay be negligible, and the accretion is assumed to be domi-nated by normal, baryonic matter, in particular, consisting offully ionized atoms and the principal opacity source is to beThomson scattering. The black hole growth rate must accountfor the loss of accretion mass energy in the form of outgoingradiation according to

dM

dt= (1− εM ) M0 (23.49)

The characteristic accretion time scale is defined as

τacc =def

Mc2

LE≈ 0.45µe−1 Gyr (23.50)

and is independent of M . Then the evolution equations of theblack hole’s mass energy and spin are

dM

dt=εL (1− εM )

εM

M

τacc(23.51)

da∗dt

=εLεM

s

τacc(23.52)

disk model Determining εM (a∗) and s(a∗) requires a gasdynamics model for black hole accretion.

(1) a standard, relativistic, Keplerian “thin disk” with“no-torque boundary condition” at the innermost stable cir-cular orbit (ISCO).

(2) a relativistic, MHD accretion disk that accounts forthe presence of a frozen-in magnetic field in a perfectly con-ducting plasma.

The torus in threaded with a poloidal magnetic field ini-tially and evolves with an adiabatic EOS with Γ = 4/3 (tomodel a radiation-dominated, inner-disk EOS). The MRI in-stability - viscosity

The numerical simulations: in steady state the radiationefficiency parameter εM (a∗) is remarkably close to the functioncharacterizing the standard thin disk, even though there is nosharp transition in the surface density at or near the ISCO.The spin evolution parameter s(a∗) is different4.

εM = 1− EISCO (23.53)

s = LISCO − 2a∗EISCO (standard thin disk) (23.54)s = 3.14− 3.30a∗ (MHD disk) (23.55)

4De Villiers et al. 2004 used a different numerical method and took Γ = 5/3, resulting in the same relation.

196 23 降着円盤

where EISCO, LISCO are the energy and angular momentumof a unit mass at the ISCO

EISCO =r2ms − 2Mrms + a

√Mrms

rms


√Mrms

) (23.56a)

LISCO =√Mrms

(r2ms − 2a

√Mrms + a2

)

rms


√Mrms

) (23.56b)

and the coefficient of (23.55), s/a∗ is determined numerically(McKinney & Gammie 2004).

Assuming that both the mass and luminosity efficienciesremain constant with time, from (23.51) yielding

M(t)M(ti)

= exp[εL (1− εM )

εM

t− tiτacc

](23.57)

Plausible processes

1. Major mergers: a nearly equal mass BH-BH mergersPfeiffer, Teukolsky, & Cook 2000

m2f

Mir2f

≤ 1 +(J/µm)2

4[1 +

√1− (S/M2)2

]2 (23.58)

For the −− 0.50 sequence a∗ ≤ 0.92,for the + + 0.17 sequence a∗ ≤ 0.97

2. Minor mergers

Accretion of small companions with isotropically dis-tributed orbital angular momenta results in spin-down,with a∗ ∼M−7/3 (Hughes & Blandford 2003)

3. Accretion: Fully relativistic MHD accretion simulations:the black holes that have grown primarily through ac-cretion are not maximally rotating

initial conditions:Fishborne & Moncrief torus with inner radius at r = 6M andpressure maximum at r = 12MThe initial magnetic field is purely poloidal

While the specific energy accreted material is accurately pre-dicted by the thin-disk model, the specific angular momentumis substantially lower: This is a result of ordered magneticfields in the plunging region, which transport angular momen-tum outward into the bulk of the disk.

At j(= a∗) = 0.97, the hole is spinning down.

23.1 Spin-UP 197

This sequence of accretion models reaches equilibrium fora∗ ' 0.93 (Not suggesting that spin equilibrium is alwaysreached at a∗ ' 0.93). Thinner disks imply lower accretionrates, so thin-disk accretion will have lower weight in deter-mining the black hole spin than thick-disk accretion over acomparable timescale.

SDSS 1148+5251 The redshift of a quasar discovered todate is zQSO = 6.43 or t = 0.87Gyr (Fan et al. 2003). — themost conservative hypothesis is that the seed black holes thatlater grow to become SMBHs originate from the collapse ofPopulation III stars (Madau & Rees 2001).

Newtonian simulations suggest that the Pop. III stars withmasses in the range M ∼ 60 − 140M¯ and M & 260M¯ col-lapse directly to black holes3.

The upper limit M . 600M¯.

Assume that the duration of a merger, as well as the timerequired for accretion to drive the merged remnant to spinequilibrium, are both much shorter than the time interval be-tween mergers, and that the hole continues to accrete steadilythroughout this interval.

Black hole mergers can completely eject black holes fromhalo centers owing to gravitational wave recoil and thereby

turn off accretion altogether—– Incorporating the most recent recoil calculations into sim-ple models of dark halo mergers, Yoo & Miralda-Escude con-clude that the kick velocities are not sufficiently large to im-pede black hole growth significantly.

A major merger between two black holes of comparablemass may change both the magnitude and direction of thespin of the resulting black hole remnant. Following such amerger, the orientation of the black hole spin may not bealigned with the orientation of the asymptotic gaseous disk atradii r À 100M outside the hole5. Moreover, the orientationof the asymptotic disk will likely fluctuate in time because ofthe redistribution of gas following mergers of dark halo cores,galaxy mergers, and the tidal disruptions of passing stars bythe central hole.—– Near the black hole, at radii from r ∼ M to 20M , wherethe bulk of the disk’s gravitational energy is released and thehole-disk interactions are strong, the hole’s gravitomagneticfield will exert a force on the disk that, when combined withviscous forces and magnetic fields, will drive the disk downinto the hole’s equatorial plane: “Bardeen & Petterson effect”. This effect will maintain the alignment between the axis ofthe inner disk and the spin axis of the hole. Accretion willsubsequently drive the hole to spin equilibrium and restoreεM to its equilibrium value.

We can take εM to be constant and equal to its value atspin equilibrium throughout most of the lifetime of the hole,and assume that εL is also constant , which should be the caseif the available gas is sufficiently copious that the accretion isalways Eddington-limited, whereby εL ≈ 1.

Let Mn(t) be the mass of the black hole at time t ∈[tn, tn+1] following its nth merger with another hole at timetn, and fn be the mass amplification of the hole following itsnth merger with another hole:

fn ≡ Mn(tn)Mn−1(tn)

> 1

Then total mass amplification from ti to tf

Mf

Mi=MN (tf )M0(ti)

=M0(t1)M0(ti)

M1(t1)M0(t1)

M1(t2)M1(t1)

· · ·

· · · MN−1(tN )MN−1(tN−1)

MN (tN )MN−1(tN )

MN (tf )MN (tN )

= eC(t1−ti)f1eC(t2−t1) · · · eC(tN−tN−1)fNeC(tf−tN )

= f1f2 · · · fNeC(tf−ti) ≡ feC(tf−ti) (23.59)

where C =εL(1− εM )

εM

1τacc

and is essentially constant.

The net mass amplification due to accretion can be treatedas a single multiplicative factor that is independent of the netamplification factor due to mergers, f = f1f2 · · · fN

Cosmological Model ΛCDM, spatially flat model

(a

a

)2

= H02

[Ωmat0

a3+ ΩΛ0

]

3The stars with M ∼ 140− 260M¯ undergo explosive annihilation via pair-creation processes5Rees 1978, Natarajan & Pringle 1998 point out that the black hole exerts a torque on the asymptotic disk, which also exerts a torque back on

the hole, eventually forcing their mutual alignment but on a timescale that is still uncertain.

198 23 降着円盤

where Ωmat0 + ΩΛ0 = 1, then we obtain

t(z) =2

3H0

√1− Ωmat0

sinh−1

[1− Ωmat0

Ωmat0

1(1 + z)3

]1/2

(23.60)

Evaluating t(z) with the WMAP values: Ωmat0 ≈ 0.27 andH0 ≡ 100h km s−1Mpc−1 with h ≈ 0.71

The molecular weight µe is assumed to be the value

µe =1

1− Y/2

the primordial helium abundance Y to be Y ≈ 0.25

Assuming that the black hole seed forms from the collapseof a first generation, Population III star at redshift z . 40and t & t(40) = 0.067Gyr, the available time for accretion isreduced to taccrete . 0.80Gyr.Wagoner 1969, Omukai & Palla 2003: the stellar evolu-tion (hydrogen-burning) lifetime of a massive Population IIIprogenitor, tevo ∼ 0.003Gyr ¿ t(40) ' 0.067Gyr. –The delaybetween stellar formation and collapse is of little consequencefor determining the total time available for accretion growth.

The exponential accretion growth timescale is

τgrowth =εM

εL(1− εM )τ = 0.0394

εM/0.1εL(1− εM )

Gyr (23.61)

which is considerably smaller than taccrete.Hence, tQSO = 0.87Gyr is the upper limit to the time avail-able for accretion to occur onto the initial seed black hole thatpowers this quasar.

23.1.2 Black hole growth and spin-up

The increase in mass by accretion at the Eddington limitεL = 1

The dotted lines: initial a∗ = 0.75—The value calculated fora black hole formed from the catastrophic collapse of a mas-sive, radiation-dominated star spinning uniformly at the mass-shedding limit that has evolved to the onset of relativistic ra-dial instability just prior to collapse.

After the initial transient lasting ∼ 0.1τacc, during which timethe black hole grows by a factor of ∼ 2, the black hole spinand efficiency approach their asymptotic values.(23.52) with (23.55), holding εM fixed, gives

τspin =εMτaccεL

13.30

≈ 1− εM3.30

τgrowth

, which explains the rapid spin-up rate.

23.1.3 Cosmological implication

The luminosity is assumed to be the Eddington value (εL = 1)

Consider a seed black hole that forms sometime after zi . 40,by which time the earliest stars have formed and collapsed.In the absence of mergers, steady accretion cannot by itselfachieve the required growth to explain quasars at zf = 6.43unless the efficiency satisfies εM . 0.13. This requirement isequivalent to a∗ ≈ 0.83.

Therefore, it is likely that mergers are required to assistaccretion to achieve black hole growth to supermassive size byzf = 6.43.

Monte Carlo simulations by Yoo & Miralda-Escude (2004)of hierarchical CDM halo mergers, accompanied by mergers oftheir central black holes, suggest that black hole mass ampli-fication factors of f ∼ 104.

199

In the major merger case or the minor one, after a shorttransient epoch, accretion will drive the merged remnant to thedisk accretion equilibrium spin rate and corresponding massefficiency.

The range of equilibrium accretion disk radiation efficien-cies required to achieve the necessary growth of a black holeseed to supermassive size by zf = 6.43 is consistent with thevalues inferred observationally for R, the range of εM favor-ing accretion disk models that drive the black hole to spinequilibrium in the range 0.7 . a∗ . 0.95.

Set ti = 0, zi = ∞ so that the plotted radiation efficiencyrepresents an upper limit to εM

In the absence of mergers, the upper limit to the εM re-quired to build an SMBH by zQSO ≈ 6.43 is εM ≈ 0.14.

When mergers are included, the upper limit to the effi-ciency increases to εM ∼ 0.30

¯ Should a quasar be discovered at zQSO > 6.43, it wouldappear that accretion from a standard thin disk will beruled out.

¯ Should a quasar be discovered at zQSO > 10, εM wouldfall below 0.19(= εM (0.95))and the results would be dif-ficult to reconcile with accretion from a typical MHDdisk as modeled in recent simulations.

¯ Should a quasar be discovered at zQSO > 18, the up-per limit to εM would drop below the observationallyinferred value 0.1 for all zi > zQSO.

24 NRMHD

非相対論の範囲で磁気流体力学を考えよう。もちろん歴史的にはこちらが先に発達していた。

200 A 愛すべき定数たち

A 愛すべき定数たち有名な定数たち

Planck定数 h 6.63× 10−27 erg s~ 1.055× 10−27 erg s

光速 c 3.00× 1010 cm s−1

重力定数 G 6.67× 10−8 g−1s−2cm3

陽子の質量 mp 1.673× 10−24 g = 938/c2 MeV中性子の質量 mn 1.675× 10−24 g = 940/c2 MeV電子の質量 me 9.11× 10−28 g = 511/c2 MeV電子の電荷 e −4.80× 10−10 g1/2s−1cm−3/2

微細構造定数 α 1/137

陽子の Compton波長 ~mpc

2.10× 10−14 cm

電子の Compton波長 ~mec

3.86× 10−11 cm

Bohr半径 a0 =~2

mee25.29× 10−9 cm

古典電子半径 r0 =e2

mec22.82× 10−13 cm

Thomson散乱の断面積 σT 6.65× 10−25 cm2

Boltzmann定数 kB 1.38× 10−16 erg deg−1

Stefan-Boltzmann定数 σ 5.672× 10−5 erg cm−2s−1 deg−4

1 K 8.62× 10−5 eV1 eV 1.60× 10−12 erg

太陽質量 M¯ 1.98× 1033 g太陽半径 R¯ 6.95× 1010 cm太陽の明るさ L¯ 3.84× 1033 erg s−1

地球質量 M⊕ 5.98× 1027 g地球赤道半径 R⊕ 6.38× 108 cm

1天文単位（太陽と地球の距離） 1AU 1.50× 1013 cm1パーセク 1pc 3.08× 1018 cmChandrasekhar質量

G = 1 ⇐⇒ 1g = 6.67× 10−8cm3s−2

c = 1 ⇐⇒ 1s = 3.00× 1010cm

∴ 1g = 0.741× 10−28cm

c = ~ = 1

eV K erg geV − 1.16× 104K 1.60× 10−12erg 1.78× 10−33gK 8.62× 10−5eV − 1.38× 10−16erg 1.54× 10−37gerg 6.42× 102eV 7.24× 1015K − 1.11× 10−21gg 5.62× 1023eV 6.51× 1036K 8.99× 1020erg −

電磁波

光子 1µeV 1meV 1eV 1keV 1MeV ≤エネルギー電波赤外線可視光紫外線，X線 γ 線

波長 ∼ 100 cm ∼ 0.1 cm 1.25× 10−4 ∼ 10−4 cm ∼ 10−8 cm ≤ 10−10 cm振動数 ∼ 2× 108 Hz ∼ 2× 1011 Hz 2.4× 1014 Hz ∼ 2× 1017 Hz 1020 Hz ≤温度 ∼ 10−2 K ∼ 10 K 1.2× 104 K ∼ 107 K 109 K ≤

REFERENCES 201

換算

SI単位 Gauss単位系

電荷 1クーロン 3× 109 cm3/2g1/2s−1

電流 1アンペア 3× 109 cm3/2g1/2s−2

電位 1ボルト 13× 10−2 cm1/2g1/2s−1

電場 1V/m13× 10−4 cm−1/2g1/2s−1

磁場 1テスラ=1Wb/m2 1× 104 G=104 cm−1/2g1/2s−1

Coulomb則Lorentz力gyration半径古典電子半径cyclotron角振動数電磁場の energy densityPoynting vector

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November 15, 2005

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