群論入門　２群論入門　２

－部分群・巡回群・剰余類－（p443-p449）

また会えたね！張り切っていこう！

部分群とは何か？

ある群Ｇの元をいくつか集めると、群Gと同じ演算で（変えてはいけない！）

ふたたび群になるとき、その集合を群Ｇの部分群（subgroup）といいます。

すべての奇数は「足し算」では群にはなりません。奇数＋奇数＝偶数で、演算が閉じていませんから。

…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…

…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…

群 G

部分群 H任意の２元を足しても、

やっぱり偶数でしょ？

群Gの部分群は

しばしばHと書きます。

（Gの次の文字だから）

たとえば整数と「足し算」は群ですが、

偶数だけでも群となります。ですから偶数は「足し算」において整数の部分群です。

ｔｒｉｖｉａｌの語源は tri（「３つの」）、via(ラテン語で「道」)＝三叉路

三叉路は人通りが多く、秘密の話ができず、会話は「つまらない」ものに限られるからなんだ。

その他、via関連の単語を紹介すると…obvious (明白) 見逃すはずはない道の真ん中obviate (除去する) 道の障害物を片付ける

出典 Norman Louis －Word Power Made Easy－

自明な部分群・真部分群

群Ｇそのものと、単位元だけの群は、いつでも部分群です。これを「自明な部分群」(trivial subgroup)といいます。

この２つを除いた物を、「真部分群」（proper subgroup）っていうの。自分自身を除く部分集合を「真部分集合」っていうけれど、

「真部分群」の場合は｛ｅ｝も除くことに注意するのよ。

それでは、部分群の例を見てみましょう。

部分群の具体例

３０＊ｎ度の回転群を親として、１２０＊ｎ度の回転群は部分群。

位数は１２から３になる。

Ｓ４の対称群を親として、偶置換だけ、つまり交代群Ａ４は部分群。

位数は ２４(= 4!) から１２よ。

クラインの４元群において、｛e、ｘ｝は部分群。位数は４から２。

一般に部分群の位数は、親の位数を自然数ｎで割ったものだ。これをラグランジュの定理という。

あとで証明しよう。

０－１１において１２を法とする演算群が親なら、

{０、４、８}は部分群。位数は１２から３になるわ。

群マシンで確認してね。

（１３） （１４） （２３） （２４） （３４） （１２）（３４）

（１３）（２４） （１４）（２３） （１２３） （１３２）

（２３４） （２４３） （１２３４） （１２４３）

（１２４） （１４２） （１３４） （１４３）

（１３２４） （１３４２） （１４２３）

（１） （１２）

（１４３２）

（１） （１２）（３４）（１３）（２４）（１４）（２３）（１２３）

（１２４） （１４２） （１３４） （１４３） （２３４） （２４３）

（１３２）

交代群A4

対称群S4

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｅ　ｘ

ｅ　ｘｘ　ｅ

ｅ　ｘ　

クラインの４元

部分群の判定法

部分集合ＨがＧの部分群であるかどうかの判定法は３つあります。

部分群が無限集合の場合、ａ∈Ｈ，ｂ∈Ｈ　のとき　ａ★ｂ－１∈Ｈ　ならＨは部分群

という判定法もあります。ほとんど上と同じことです。

部分群が有限集合のとき、ａ∈Ｈ，ｂ∈Ｈ　のとき　ａ★ｂ∈Ｈ　ならＨは部分群です。閉じていればいいわけね。

部分群が無限集合なら、（たとえばＧ＝（整数，＋）でＨ＝（偶数，＋）

ａ∈Ｈのとき　ａ－１∈Ｈ　（逆元が存在すること）という条件が追加されます。

ここでは、有限集合の場合の判定法に限って証明します。

有限なら閉じてさえいれば部分群 その１

Hを部分群と仮定します。aをＨの元とすると、a★a、a★a★a…、つまりaｎ　タイプは、すべてＨに属します。（ｎは自然数に限るけど）

いまＨは有限なのに、ａｎのｎを大きくすれば、元を無限につくれます。なぜでしょう？　…重複があるからです。

つまりａi = ａj となる、異なる自然数 i,jがあるのです。（ここで ｉ＜j と仮定しても問題ないわね）

群Ｇの部分集合Ｈが 有限 のとき、a★b∈Ｈ（a∈Ｈ，b∈Ｈ）なら、

Ｈは部分群である

Hは閉じてるんでしょ？だから演算結果も

やっぱりＨに属すの。

－群の４条件－

A 閉じている

AB 結合法則

O 単位元

B 逆元

仮定より、Ｈは 演算★ において閉じています。（Ａ）結合法則はＧで満たされているので、Ｈでも満たされます。（AB）

有限なら閉じてさえいれば部分群 その２

ａi = ａj という整数 i,j があるなら、単位元は ａj-ｉ＝ｅです。(両辺にａ-ｉを掛けました)

単位元もａｎタイプで、しかも（j-ｉ>0 より）n は自然数です。よって単位元はＨに含まれています。（Ｏ）

群Ｇの部分群Ｈが有限集合なら、a∈Ｈ，b∈Ｈ　のとき　a★b∈Ｈ　ならＨは部分群である

あと必要なのは「逆元がHに存在すること」の証明ね。つまり逆元もａｎタイプ（n＝自然数）になってればいいの。

aの逆元って、仮にXとすると、どんな元aに対してもX★a=e となる元のことよね。

j－ｉ≧２ならば、X★ａ＝ａj-ｉ。両辺にａ-１をかけてX★ａ＝ａj-ｉ-1。j－ｉ≧２だから、j-ｉ-1は自然数。

j－ｉ＝１ならば、ａj-ｉ＝ａ1＝ｅ。 （つまりａは単位元で、それ自身で逆元よ）１はもちろん自然数。

結局、Ｈのどの元も、逆元はａｎタイプ（nは自然数）でしょ？だから逆元はかならずＨにあるの。（Ｂ）Ｏ、Ａ、Ｂ、ＡＢが集合Ｈでも満たされるので、Ｈは群。OK？

－群の４条件－

A 閉じている

AB 結合法則

O 単位元

B 逆元

－群の４条件－

A 閉じている

AB 結合法則

O 単位元

B 逆元

巡回群の例を挙げましょう。

たとえば整数と足し算は「群」だが、整数はすべて元１のｎ乗なんだ。

えっ？　１のｎ乗は１じゃないかって？この場合、「積」とは「足し算」のことだろ？

つまりｎ乗とはｎ回の「足し算」なんだ。だから整数ｎは１ｎとなる。

ちなみにこの場合、１-ｎ＝－ｎだ。

生成元と巡回群

ある群のすべての元が、ある一つの元ａのべき乗、つまりａｎであらわせる場合が、しばしばあります。

このような群を巡回群 (cyclic group) といいます。

そしてａのことを生成元 (generator) といいます。

巡回群の具体例

３０＊ｎ度の回転群なら、３０度の回転を生成元とした巡回群だ。ただし生成元は、たとえば３３０度回転（－３０度回転＝a11）でもいい。

Ｓ４の対称群において生成元はないの。２４枚のカードすべてを、ある１枚のカードをｎ枚つないで作るわけにはいかないから。

ゆえに４次の対照群Ｓ４は巡回群ではないの。

クラインの４元群も巡回群ではない。どの元の２乗も自分自身になってしまい、

４つの元を覆えないから。

（１３） （１４） （２３） （２４） （３４） （１２）（３４）

（１３）（２４） （１４）（２３） （１２３） （１３２）

（２３４） （２４３） （１２３４） （１２４３）

（１２４） （１４２） （１３４） （１４３）

（１３２４） （１３４２） （１４２３）

（１） （１２）

（１４３２）

０－１１において１２を法とする演算群なら１が生成元。でも７とか１１も生成元になるの。

要するに１２との最大公約数が１ならいいわけ。

群マシンで確認してね。

Ｘ軸

Ｚ軸

Ｙ軸

巡回群はアーベル群

a★b=b★aが成り立つ群がアーベル群なんだけど、巡回群はつねにアーベル群よ。

だって、すべての元がａnの形なんでしょ？ だったらａｉ★ａj=　ai+j　= aj+ｉ　=ａｉ★ａj　だから。

巡回群なら群マシンで扱える、ということはわかると思う。０，１，２，３，…のかわりに　a1　a2　a3　…　an　とすればいい。

逆に巡回群でなければ、群マシンで扱うのは無理じゃないか？

ええ、ちょっとした工夫で扱うことができます。例としてクラインの４元群を扱ってみましょう。

（p445の図11.7のbも実はクラインの４元群）

これはアーベル群ですが、巡回群ではない例です。

あら、前に誰か、群マシンは有限のアーベル群なら扱える

って言ってなかったっけ？

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

１章１１ページ目「クラインの４元群　その３」を参照のこと

クラインの４元群

Ｘ軸

Ｚ軸

Ｙ軸

ｅ、ｘ、ｙ、ｚを「対応表A」のように対応させれば、クラインの４元群は２次元の０，１ベクトルで表現できます。

たとえばｘ★ｙ＝ｚは、（１０）＋（０１）＝（１１）という、ベクトルの足し算に還元できます。

つまりクラインの４元群は、

０，１の円盤を乗せた群マシン２台で扱えるのです！

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

１１

００

１０

０１

１１

００

１０

０１

００

１０

０１

１１

１１

００

１０

０１

１１

００

１０

０１

１１

００

１０

０１

ｚｙｘｅ

１１

００

１０

０１

０１ １０

０１ １０

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

コード化 デコード

ｚｙｘｅ

１１

００

１０

０１

群マシン

群マシンってお得だね！

対応表A 対応表A’

クラインの４元群クラインの４元群

クラインの４元群を群マシンで扱う　１

Ｘ軸

Ｚ軸

Ｙ軸

いま排他的論理和を演算とすると、ｘ＝（１０）、ｙ＝（０１）ですので、

すべての元は＝ｘｎｙｍ

と表わせることに注目してください。

ｚｙｘｅ

１１

００

１０

０１

ｘ０ｙ０

ｘ１ｙ０

ｘ０ｙ１

ｘ１ｙ１

排他的論理和って、

０＋０＝０１＋０＝１０＋１＝１１＋１＝０

のことだよ！

クラインの４元群を群マシンで扱う　２

クラインの４元群を群マシンで扱う　３

クラインの４元群のすべての元がｘｎｙｍで表せるように、一般に有限のアーベル群は、

元をｘ、ｙ…とうまくとると、すべての元が ｘｎｙｍ… と表現できることが証明されています。

いいかえると、ｎ個の巡回群に分解できるのです。

このときｘ、ｙ…を底 （basis）といいます。「てい」と読みましょう。

つまり有限のアーベル群ならｎ台の群マシンで扱える、ってことだね！

ｎは底の数だよ。

クラインの４元群の場合、

さっきは底をx､y に取ったけど、y､zとか、z､xを底にしても良かったの。

底の取り方は一通りとは限らないってことよ。

もっと上手いやり方があるの。たとえば １3 で３をつくれば、

あとは ３15 で４５になるでしょ？手数は１７(=3+15-1)手で済むのね。

加法鎖の求め方について

生成元の話が出たところで、ちょっと寄り道しよう。最初に生成元｛１｝が与えられているとしよう。

そして演算は ＋ だけが許されている、としよう。

与えられた値、たとえば４５を素早く生成するには、どうすればいいだろう？

たとえば １45 でも生成できるけど、４５手かかってしまう。

｛１，２，３，４，５，６，７，８，…４５｝

４５手

｛１，２，３，６，９，１２，１５…４５｝

１７手

これを加法鎖(addition chain)という。代表的な手法を２つ紹介しよう。１つ目はｎが因数分解できる場合のテクニックだ。

加法鎖の作り方　その１

ｐとｑの加法鎖がそれぞれ｛１，２，…ｐ｝、｛１，２，…ｑ｝と生成できるとき、ｐｑの加法鎖は　手順１ さっき生成したのと同じ方法でｐをつくる。　手順２ ｑの生成方法と同様に、しかしスタートをｐにして加法鎖をつくる。　手順３ すると｛ｐ×１，ｐ×２，…ｐｑ｝ができ、目的のｐｑが完成する。

このように生成します。

たとえば４５＝５×９の場合、５は｛１，２，３，５｝、９は｛１，２，４，８，９｝で作れるから、

｛１，２，３，５，１０，２０，４０，４５｝が答えなの。

１，２，３，５

１，２，４，８，９×

１，２，３，５,10,20,40,45４５

　５

　９

×８手かかったわ

８手

すべて ５ 倍！

２つ目はゴールから逆算する方法だ。

加法鎖の作り方　その２

このテクニックだとｎがどんな数でも大丈夫。その前に確認。仮に加法鎖がｐまでできたとする。｛１，２，…ｐ｝。そのとき次の１手で、つねに｛ｐ＋１｝か｛２ｐ｝に行けることを確認してほしい。「持ち物」にいつも１とｐがあるからね。…確認したかい？　よぉぉぉし。

それではｎが１になるまで、手順１、２を繰り返してほしい。　手順１．偶数だったら２で割る。　手順２．奇数だったら１を引く。

たとえば４５なら、｛４５，４４，２２，１１，１０，５，４，２，１｝ね。

これを逆にした｛１，２，４，５，１０，１１，２２，４４，４５｝が答えよ。９手かかったわね。

さっきの答えが８手だから、少し能率が悪いけど、どんな問題でも簡単に解けるのがポイントよ。

それでは寄り道から戻りましょう。

剰余類

一般に部分群の位数は、親の位数を自然数ｎで割ったものになります。

これがラグランジュの定理　(Lagrange’s　theorem)です。しかし証明の前に、まず「剰余類」（coset）を勉強しましょう。

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

クラインの４元群で、まず直感的な説明。色をつけたところが

「部分群」だろ？

ここが

「右剰余類」（right coset）よ。

ここが

「左剰余類」（left coset）で

クラインの４元群

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

クラインの４元群

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

クラインの４元群

左剰余類

群Ｇの部分群をＨとします。群Ｇに属する元ａを固定したとき、

集合｛ａ★ｈ｜｛ｈ∈Ｈ｝｝を

「ａに関するＨの左剰余類」といいます。

たとえば元ｙを固定したとき、Ｈ＝｛ｅ,ｘ｝だから、

「ｙに関するＨの左剰余類」はここです。

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

ｚ　ｙ　ｘ　ｅ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚｘ　ｅ　ｚ　ｙｙ　ｚ　ｅ　ｘ

ｅ　ｘ　ｙ　ｚ

なぜ左「剰余」類というのか。群マシンで説明しましょう。

ラグランジュ著「数値方程式の解法」をエヴァリストが借り出したとき、図書館員はからかおうとした。「規則は知っているだろうね。八日間しか借り出せないんだぜ。それを八日で読み上げるつもりかね？」「やってみるよ」かれは序論にある代数学の定義を読み出した。

－インフェルト「ガロアの生涯－神々の愛でし人－」日本評論社、ｐ８８－

ラグランジュはガロアに強い影響を与えた。群論の概念の一部は、ラグランジュも気づいてたようだ。

部分群H

左剰余類と群マシン その１

いま群Gを、１２を法とする{0-11}の群とし、部分群をH={0,4,8} とします。

つまり右の車輪には ｛0,4,8｝しかない、とします。

左の車輪に０（単位元）をセットすると、左の車輪は {0,4,8} しか行けません。

0★H=H ってことよ。

11

６

５４

３ ２

１

０

７８

９ 10

４

０

８

部分群H群G

群Ｇの元（この場合ｅ）

11

６

５４

３

２

１

０

７

８

９ 10

４

０

８

左剰余類と群マシン その２

右の車輪を変えないまま（つまり部分群はＨのままで）左の車輪に１をセットしましょう。

こんどは左の車輪は{1,5,9}に行きます。この{1,5,9}こそ、「１に関するＨの左剰余類」です。

４で割って１余る数の集合だろ？ だから剰余類。

１★H={1,5,9} ってことね。

部分群H群G

群Ｇの元（この場合１）

「セットした数」のことを

「代表」(representative)といいます。丸で囲ったのが「代表」です。

「代表」は各左剰余類を代表しています。代表は好きに取ってかまいません。

群Gを部分群Hで分類する

11

６

５

４３ ２

１

０

７８

９ 10

４

０

８

÷

＝

４

０８

３

７

11

６ ２

10

５

１

９

＋ ＋＋

群G 部分群H

0★H 1★H 3★H2★H

G =

0★H

+1★H

+2★H

+3★H

Hで割った「余り」は左です。

だから「左剰余類」なのです。a★H なら、小文字が

左にあるから左剰余類。

数式で書くとこうなる！

本によっては逆の定義もあるらしいが、

剰余の意味からしてこちらが正しい（はず）

小難かしく言うと…

このことを証明しよう。

４

０８

３

７

11

６ ２

10

５

１

９

0★H 1★H 3★H2★H

各左剰余類は、まったく異なる

「ａ★Ｈとｂ★ＨをＨの２つの左剰余類とする。このときａ★Ｈとｂ★Ｈは、

互いに素であるか、あるいは完全に一致する」

各左剰余類はまったく共有する元を持ちません。４つの車輪で、同じ数字がないでしょ？

いまa★Hに属する好きな元、a★h3をとると、

a★h3 ＝ （b★h2 ★ h1-1 ）★ h3

＝ b★ （h2 ★ h1-1★ h３） ∈ b★H

a★H、b★Hに共通な元 f があるとしよう。

そのときa★h1＝b★h2 （というh1、h2がH中にあるはずだ）

両辺に h1-1 をかけて a＝ b★h2 ★ h1-1

どれもHの元だから、いくら掛けても

やっぱりHの元なの。

つまりa★H に属するどんな元も、かならず b★H に含まれる。

ゆえに a★H ∈ b★H。

ところが同じ論法で a★H ∋ b★H。

よって、a★H とb★H に共通な元が１つでもあれば、

a★H ＝ b★H となり、２つは完全に一致する。（終）

これを利用している

各剰余類は、まったく異なることの証明

（注）右剰余類の証明もまったく同様なので省略！

だからHの剰余類は、＋ 記号を使っていいの。G = a1★H + a2★H+ … + ar★H っていうようにね。

この r を指数 (index)という。

群Gを部分群Hで割ったときの、剰余類の数が 指数 だから、

G / H とでも書きたいところだが、ま、(G:H) と書いてほしい。

いま証明したとおり、異なる剰余類は共通な元をもたない。

カッコよく書けば

a、bが異なる左剰余類に属すなら（a★H）∩（b★H）＝φ

指数

Gは部分群Hによって、a1，a2，… ，arを代表とする

ｒ個の左剰余類に分けられたのね。

（注）この記法だと、群Gの位数 (＝メンバー数) は

#G = ( G : {e} ) と表現できるよ！

分割したあとの

円盤の数だから…４！

具体例で覚えよう。この場合、指数はいくつ？

指数を覚える

11

６

５

４３ ２

１

０

７８

９ 10

４

０

８

÷

＝

４

０８

３

７

11

６ ２

10

５

１

９

＋ ＋＋

群G 部分群H

0★H 1★H 3★H2★H

正解！位数12の群Gを、

位数3の部分群Hで「割った」から、

位数は４になったの。

この場合、右剰余類と左剰余類が完全に一致してるわ。

アーベル群なら、いつも （右剰余類）H★a＝a★H （左剰余類）。だってアーベル群は a★b＝b★a が成り立つんでしょ？

だったらa★h＝h★a も成り立つから。

この場合は右、左を区別する必要がないから「剰余類」っていうの。アーベル群でないなら、H★a＝a★H とは限らないわ。

右剰余類 が何かは、

もう見当がつくと思う。

そう、H★a のことだ。

右剰余類

11

６

５

４３ ２

１

０

７８

９10

４

０

８

÷

＝

４

０８

３

７

11

６ ２

10

５

１

９

＋ ＋＋

群G 部分群H

H★0 H★1 H★3H★2さっきとは逆に

なっているよ！

指数は、右剰余類でも左剰余類でも同じになるわ。

そろそろ概念が混乱しはじめたんじゃないか？

私の経験では、これらの概念を覚えるだけで３日かかった。

しかも、しばしば忘れた。復習しておこう！

巡回群・ｱｰﾍﾞﾙ群・部分群・真部分群

巡回群 … すべての元が an であらわせる。

ｱｰﾍﾞﾙ群 … a★b=b★a がなりたつ。

部分群 … 群Gの部分集合が、やっぱり群。

真部分群 … 部分群－自明な部分群。

自明な部分群 … 群G自身と、{e} 。

数学の言葉、それは一種の速記術である。 -J･ﾔﾝｸﾞ-

「巡回群」が、忘れやすいと思うわ。

復習の続き。すまんね！

個人的には 位数 と指数 の区別が難しかった。

生成元・底・位数・指数・右剰余類・左剰余類・代表

生成元 … 群のすべての元が、そのべき乗であらわせる元のこと。

底 … 群Gのすべての元が a1n,a2m,…, arp と表現可能なGの元a1,a2,…, arのこと。

位数 … 群の元の数。（メンバー数）

指数 … 群Gの部分群Hによる、異なる剰余類の数。

左剰余類 … 群Gの部分群をHとすると、a★H。（ただしa∈G）

右剰余類 … 群Gの部分群をHとすると、H★a。（ただしa∈G）

代表 … （左剰余類の場合）a★H の a のこと。

数学ほど、このことわざが物をいうところはない。

「言いだしたからには途中でやめるわけにはいかない」。

-コヴァンツォブ-

右剰余類と左剰余類、

どっちがどっちか、大丈夫？

小文字のある方よ！

２章の終わり

２章は文字だらけだし、派手な定理がなくてつらい章だが、よくがんばった！ いよいよ３章で、

ラグランジュの定理バーンサイドの定理フェルマーの小定理

を証明できる！ 地道な努力のおかげだよ！ここまでの静聴、どうもありがとう！

今後ともわれわれは、気合をいれてがんばるぞ！

まーだ、やる？

刺しちゃおうか。

あのヒト、

しつこいのよ。