2016（平成 28年度）

卒業論文

C言語で見る主系列星の内部構造

岡山理科大学 生物地球学部

生物地球学科

天文学研究室

G13G047

河本 卓真

- 1 -

C言語で見る主系列星の内部構造

目次

概 要 ・・・・・・・・・・・・ 2

1章 はじめに ・・・・・・・・・・・・ 3

2章 数値計算とプログラミング言語 ・・・・・・・・・・・・ 10

3章 ポリトロープ ・・・・・・・・・・・・ 13

4章 均質な星のモデル ・・・・・・・・・・・・ 17

5章 プログラミング ・・・・・・・・・・・・ 32

6章 計算結果―主系列星の内部構造 ・・・・・・・・・・・・ 68

参考文献 ・・・・・・・・・・・・ 81

- 2 -

概 要

本研究では、恒星の 90％を占める主系列星の内部構造（星中心からの距離の関数で表した

様々な物理量の星内部での変位）を様々な質量の星の場合において、代表的なプログラミング言

語である C 言語により計算し、出力したデータからグラフを作成して、その傾向や関係性を考

察する。また、それらの星を様々な化学組成で HR図や質量－光度関係上でどのように分布する

か、組成の違いがどのようにどれくらい表れるかについても C 言語で計算し、それぞれグラフ

に表す。

- 3 -

1 章：はじめに

1．恒星とは

恒星(fixed star)とは、天球上においてほとんど

位置を変えない自ら輝いている、文字通り恒常的な

星である。対して天球上を動き回るのが惑星であ

る。

1.1．宇宙における恒星

恒星は進化し、宇宙における主要な重元素を作り

放出する。それは新しい星に取り込まれ、次の進化

のサイクルが始まる。このように、宇宙は豊かにな

っていくわけで、言わば恒星は宇宙の物質進化の源

であり、宇宙の基本構成要素である。よって、恒星

の構造や進化を理解することは、銀河や宇宙の進化

を理解するための基礎となる。（野本 他 2009、

はじめに）

1.2．恒星の多様性

恒星は多様である。明るさや放射する光の色は

様々で、風を吹き出したり、振動・脈動したり、爆

発することもある。（1.1 に同じ）

1.3．恒星の輝きの源

恒星が輝く源はその内部にある。恒星はガスがそ

の自己重力によって結合したものであり、光を放射

することで収縮し、重力エネルギーを解放する。そ

のことにより、内部は極めて高温・高密度な状態に

なり、熱核融合が始まって原子核エネルギーを解放

するようになる。（1.1 に同じ）

1.4．恒星の色・スペクトル分類

恒星の色は、主にその温度によって変わり、スペ

クトル分類される。これは、温度の高い順に、O－

B－A－F－G－K－M(MK 分類)と大別され、さら

にそれぞれの文字の後に 0～9 の数字をつけること

で、10 段階に分けられる。たとえば、A5 の星は

A0 と F0 の中間にあたり、太陽は G2 型である。

また絶対等級（明るさ）の違い（光度階級）を、

Ⅰ：超巨星、Ⅱ：輝巨星、Ⅲ：巨星、Ⅳ：準巨星、

Ⅴ：主系列星、Ⅵ：準矮星、と分類してそれぞれの

記号をスペクトルの後につけることが多い。また、

a(より明るい)、b(より暗い)を後につけることもあ

るし、2 つの階級記号をハイフンでつないで中間を

表すこともある。（桜井 他 2009、p2p5）

1.5．恒星の物理量

気体の塊である恒星の表面には光球がある（と定

義される）。太陽の場合、この厚さは 500km ほど

で、直径 139 万 km と比較すると無視できるほど

薄く、太陽の表面は見た目にもはっきりしている。

（野本 他 2009、p11）

主な恒星の重要な物理量を次に示す。質量、半径

は太陽単位。比較として、惑星も示しておく。

表 1-1 惑星の物理量

惑星 質量(太陽単位) 半径(km) 密度 )/( 3cmg

水星 1.66E-07 2439.7 5.43

金星 2.45E-06 6051.8 5.24

地球 3.04E-06 6378.1 5.51

火星 3.23E-07 3396.2 3.93

木星 9.55E-04 71492. 1.33

土星 2.86E-04 60268. 0.69

天王星 4.37E-05 25559. 1.27

海王星 5.15E-05 24764. 1.64

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表 1-2 恒星の物理量（国立天文台 理科年表(2016)）

星名 スペクトル型 質量(太陽単位） 半径(太陽単位) 有効温度(K) 平均密度 )/( 3cmg

太陽 G2V 1.00 1.00 5777 1.41

η Cas A G0V 0.87 1.03 5940 1.14

η Cas B M0V 0.54 0.81 3800 1.41

α CMa A A1V 2.14 1.7 10400 0.55

α CMi A F5IV-V 1.78 2.1 6450 0.25

70 Oph A K0V 0.89 0.85 5290 2.0

70 Oph B K6V 0.66 0.80 4250 1.8

Kr. 60 A M4V 0.26 0.32 3150 11.

Kr. 60 B M6V 0.16 0.25 2950 14.

Y Cyg A O9.5 17.4 5.9 30000 0.12

YY Gem A M1e 0.64 0.62 3800 3.8

Z Her A F4IV-V 1.22 1.6 6800 0.42

Z Her B K0IV 1.10 2.6 4900 0.09

ζ Phe A B6V 6.1 3.4 15000 0.22

ζ Phe B A0V 3.0 2.0 11000 0.53

Z Vul A B3-4V 5.4 4.7 18000 0.074

Z Vul B A2-3Ⅲ 2.3 4.7 9100 0.031

ζ Aur A K4Ⅰb 8.3 160. 3700 2.4E-06

32 Cyg A K6Ⅰ 23. 350. 3200 7.5E-07

32 Cyg B B3V 8.2 3.9 19000 0.19

α Boo K2Ⅲp 26. 4200

α Sco M1Ⅰa 720. 3500

β Peg M2Ⅱ－Ⅲ 110. 3300

ο Cet M7e 570. 2000

α Leo B7V 3.7 13000

α Lyr A0V 2.6 9500

α PsA A3V 1.8 9300

α Aql A7V 3.5 8250

α Ori M2Ⅰab 45. 3600

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2．恒星の進化

恒星は、主に原始星→主系列星→赤色巨星→白色

矮星+惑星状星雲という順に進化していく。ただ

し、質量によってその結末は変わってくる。これは

太陽の進化過程の例である。この中でも主系列星

は、一生のうちで最も長い期間に当たる。よって太

陽を含め、夜空に輝く多くの星は主系列星である。

3．主系列星の内部構造

恒星は質量によって様々な違いがある。先ほど述

べたように、結末や進化過程が変わってくることは

もちろん、星の内部構造も異なる。主系列星では、

太陽程度の質量の星の場合、放射層の周りを対流層

が覆う構造となる。大質量星になると、その逆で対

流層の周りを放射層が覆う構造となる。本研究で

は、この大質量星を対象に構造を求めた。

恒星は中心から表面に向けて温度が低くなるの

で、熱エネルギーは中心から外に向かって流れる。

そこで、熱の伝わり方には、伝導、放射、対流の３

つあるが、通常星の内部では伝導は効率が悪く、放

射か対流によっている。この２つのどちらになるか

は温度勾配で決まる。温度勾配が緩やかなら放射、

きつくなると対流になる。太陽では、中心部で起こ

る核融合反応は pp チェイン(４章、1.4.1)と言われ

るもので、エネルギー発生率はそれほど大きくない

ので、中心部は放射層となる。対して大質量星で

は、主に炭素、窒素、酸素を触媒とした CNO サイ

クル(４章、1.4.2)と言われるエネルギーの大きい

核反応が起こっていて、この反応は温度勾配に非常

に敏感なので、エネルギーは星中心に集中的に発生

し、星内部に対流層が発達する。その外側はエネル

ギーを発していないため放射層となる。（桜井 他

2009、p18）

4．内部構造の理論モデルと進化

星の構造について詳しく理解するには、放射され

る大気のスペクトルを調べるだけでなく、星内部の

モデルを理論的に構築する必要がある。実際そのよ

うなモデルは、圧力や密度、温度などの関連物理量

を星中心からの距離や、その半径内に含まれる質量

の関数として表したもので、数値計算によって求め

る。また星の中心領域で起こっている原子核反応は

化学組成に依存し、この反応で発生するエネルギー

は最終的には星表面から宇宙空間に放出されるた

め、星のモデルは空間座標だけでなく時間によって

も変化する。つまり星の進化は、ある時間間隔で得

られたモデルをつなぎ合わせて計算される。それ

は、各々のモデルは前の時間に計算されたモデルを

利用して計算されるということである。研究機関で

は、多くの物理過程を含めた大型のプログラムが開

発されているが、1990 年代初頭までは、これらの

膨大な計算をするのに大型計算機が必要だった。そ

の後にはパソコンの性能が上がり、十分行える能力

を備えたので、妥当な時間内に専門研究用の計算が

できるようになった。（ポール・へリングス

2008）

5．恒星内部構造研究史

ここで、簡単に年代を追って内部構造の研究の歴

史を見ていく。

1845 John J, Waterston(1811-1883、ス

コットランド)、ウォーターストン、太陽

の熱源を自己重力による収縮によるもので

あると説明し、太陽年齢を約 2000 万年

と推定。

1858 それをヘルムホルツ(1821-1894、ドイ

ツ)が紹介し、一般的に。

1870 Jonathan H, Lane(1819-1880、ア

メリカ)、レーンのガス球理論は、重力に

よってガスが球状に保たれることを数学的

に扱った最初の研究である。

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当時、液体か固体であると思われていた

太陽内部を、完全気体とみなす考え方は大

胆なものであった。太陽の中心密度や表面

温度などが分かっていなかったため、地球

からの類推で中心密度を )/(28 3cmg (比

熱比 3/5 の場合)、 )/(11.7 3cmg

( 4.1 の場合)、表面温度を 3 万℃とし

て出発し、中心温度を 105 万℃と求め

た。100 万℃以上の高温という結果が出

た。

ここで、重力収縮でエネルギーが発生す

ると収縮し、さらに高温になる。つまり、

エネルギーを失うと高温化するというパラ

ドックスに行き当たった。（熱重力カタス

トロフィー）

1880 頃 August Ritter(1826-1908、ドイツ)

リッター、太陽起源論を展開。太陽が地球

軌道くらいの半径の原子星として誕生し、

現在の半径まで収縮したのだとすると、現

在の放射量から逆算して収縮した時間は約

560 万年と計算した。ガス雲は収縮に伴

い、表面温度は上昇するが、それ以上に半

径が小さくなるため全放射量は減少する

（ステファン・ボルツマンの式：

424 TRL ）。希薄なガス体として誕

生した星は収縮により光学的に不透明にな

り、物理状態が変化する。それに伴い光度

や表面温度が極大になる。その後、加熱よ

り放射が上回り星を収縮しながら暗くなっ

ていくと考えた。よって高温度星は大質量

星であると推定。（温度に二方向性（上昇

期と下降期）あり）

1887 Norman Lockyer(1836-1920、イ

ギリス)、ロッキャー、隕石の炎光スペク

トルが天体と類似していたことから、隕石

物質が天体の起源だと推定。こうして誕生

した星は低温で、収縮して高温となり、や

がて赤い低温度星になると推定した。（二

方向性の観測）

1905 Ejner Herzsprung(1873-1967、デ

ンマーク)、ヘルツシュプルング、赤い星

に大きい星である巨星、小さい星である矮

星があるのを発見。

1907 Jacob R, Emden(1862-1940、スイ

ス)、エムデン、「ガス球論」を出版。レー

ンのガス球理論をポリトロープモデルとし

て一般化した。

ポリトロープ指数 n=1.5 の場合を詳細

に解析し、この場合の太陽中心の物理量を

次のように推定した。

中心密度 )/(27.8 3cmg

中心圧力 81.69 億気圧

中心温度 1200 万度

ここで初めて太陽中心温度が 1000 万度

を超す可能性が指摘された。

後日、Arthur S. Eddington(1882-

1944、イギリス)、エディントンによっ

て n=3 が太陽内部に適切であると示され

た。

1910 Henry Norris Russel(1877-1957、

アメリカ)、ラッセル、巨星と矮星を独立

発見。

1914 ラッセル、HR 図発表。

1915 John Couch Adams(1819-1892、

イギリス)、アダムズ、白色矮星確認。

恒星は巨星、主系列星、矮星の３つ。

1919 ラッセル、星のエネルギー源が収縮だけ

では不十分であると気づくが、実体までは

分からず。巨星と矮星では熱源は異なると

考えた。

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1920 エディントン、星の熱源として水素の核

融合を示唆するが、詳細は分からず。

1924 エディントン、質量－光度関係（質量が

大きいほど明るい）を求める。強く圧縮さ

れた星以外は、巨星も矮星も完全気体に近

似できることを示した。巨星と矮星は質量

が違うので進化過程も異なる。よって、二

方向性で示したような赤色巨星から高温度

星になり、やがて赤色矮星になるという進

化はないと主張。

1926 エディントン、「恒星内部構造」を出

版。内部構造計算に放射圧（電磁波の圧

力）を導入（4 章、式(25)）。高温度星で

は放射圧が圧倒することを示した。放射と

対流による熱の流れを詳細に検討．

1931 Subrahmanyan Chandrasekhar

(1910-1995、インド、アメリカ)、チ

ャンドラセカール、白色矮星理論。白色矮

星には質量限界があることを示す。

1932 James Chadwick(1891-1974、イ

ギリス)、チャドウィック、中性子を発

見。

Lev Davidovich Landau(1908-

1968、ロシア)、ランダウ、中性子星を

示唆。

1938 湯川秀樹(1907-1981)、原子核をなす

陽子同士を結合させる力である核力を説

明。正電荷同士でクーロン力により反発す

るはずの陽子がくっついている原子核。陽

子・中性子間での中間子の交換による。極

めて低確率でクーロン力を振り切ってくっ

つく（トンネル効果）。

Carl Friedrich von Waizsacker

(1912-2007、ドイツ)、ヴァイツゼッ

カー、水素核反応 pp チェーン、CNO サ

イクルを示す。

1939 Hans A. Bethe(1906-2005、アメリ

カ)、ベーテ、pp チェーンと CNO サイク

ルをより定量的に示す。赤色巨星の熱源は

謎のまま。

Julius Robert Oppenheimer(1904-

1967、アメリカ)、オッペンハイマー、

中性子性モデル、ブラックホールの予言。

1958 Karl Schwarzschild(1873-1916、

ドイツ)、シュワルツシルト、「星の構造と

進化」著。

1961 林忠四郎(1920-2010)、林フェーズ

（原始星の表面温度は変わらずに暗くなる

過程）を発表。

（文献：斉田 1983、サイト：小暮 智一）

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図 1-1 ジョン・ジェームズ・ 図 1-2 ノーマン・ロッキャー 図 1-3 アイナー・

ウォーターストン ヘルツシュプルング（左）

図 1-4 ヘンリー・ノリス・ 図 1-5 アーサー・スタンレー・ 図 1-6 スブラマニアン・

ラッセル エディントン チャンドラセカール

図 1-7 ジェームズ・ 図 1-8 レフ・ダヴィドヴィッチ・ 図 1-9 湯川秀樹

チャドウィック ランダウ

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図 1-10 カール・フリードリヒ・ 図 1-11 ハンス・ 図 1-12 ジュリアス・

フォン・ヴァイツゼッカー アルプレヒト・ベーテ ロバート・

オッペンハイマー

図 1-13 カール・ 図 1-14 林忠四郎

シュワルツシルト

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2 章：数値計算とプログラミング言語

1．数値計算

1.1．逐次反復近似

物理現象を数学的に表す場合、微分方程式や複雑

な積分、非線形方程式（直線でない）などを必要と

する場合があり、このようなものはほとんどが厳密

（解析的）に解くことはできない。そのため、あら

ゆる種類の近似や逐次反復近似を駆使して計算しな

ければならない。逐次反復近似は、前の計算で得た

解を利用して次の計算をするという作業を反復して

行い、少しずつ厳密解に収束していく、という方法

である。

例：ケプラー方程式の解

)sin(EeME

E:離心近点角、M:平均近点角、e：離心率

これを解析的に解く（E を M と e の関数で表

す）のは不可能であるので、次のような漸化

式で逐次近似して計算する。

)sin(1 ii EeME

最初は ME 0 から出発し、その後は順次 1

つ前の左辺の E の値を右辺の E に代入して計

算していく。反復回数は、離心率 e の大きさと

各自が求める精度によって決まる。

近似法を使うと、当然誤差が生じるし、これはコン

ピュータを用いることでも同様である。なぜなら、コ

ンピュータには容量の限界があり、有効桁数の限界

（丸め誤差）や反復回数の限界（打ち切り誤差）が生

じるからである。それらの誤差の大きさを評価する

には余分な計算が必要で複雑化するので、今回は考

えないことにする。

1.2．オイラー法(Euler‛s method)

逐次反復計算にはいくつかの方法がある。ここで

は、最も基本的な 1 階微分方程式に焦点を合わせて

見ていく。これが分かれば、2 階微分方程式や連立

1 階微分方程式に応用できる。今回の 1 階微分方程

式はすべて ),( yxfy という形で表し、与えられ

た始点 ),( 00 yx から出発し、逐次計算を行っていく。

オイラー法は、最も簡単であると同時に最も精度

の低い方法である。解の上の点 ),( ii yx の近傍におけ

る y(x)はその点の接線Tに沿った形で近似される(図

2-1)。関数上にある点 ),( ii yx から、 x 方向に微小

距離 dx 離れた新たな点 )( 1ix に進むとする。

dxxx ii 1 (1)

),( ii yx における接線 T の傾きはその点での微係数

yの値なので、T の方程式は

))(( iii xxxyyy

となり、

))(,( iiii xxyxfyy

である。よって xを 1ix に等しいと置くと、

式(1)から

),(1 iiii yxdxfyy (2)

となる。 1iy は 1ix における y の値である。この 1i

番目の点はそこから dx だけ離れた 2i 番目の点へ

行くのに使われる。最初の始点 ),( 00 yx から出発し

て、この計算を繰り返し、近似解が得られる。

新たな点を計算するたびに、小さな誤差が生じる。

この誤差は接線上での 1i 番目の点と真の解の上の

厳密な点との間の差異という形で表される。これは

dx を小さくすれば誤差も小さくなるが、その分多く

の反復計算が必要になり、誤差が大きくなる。よって、

近似のステップ幅 dx の大きさをどうするかが重要

になる。

図 2-1 オイラー法

ｘ

Y

iy 1iy (真値)

dxxi

dx

ix

1iy T

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1.3．中点法(midpoint method)

これは、オイラー法におけるステップ幅 dx の半分

だけ進んだところでの接線を用いる。つまり、中点法

は0.5dxというステップ幅でオイラー法を行うこと

とほぼ同じである。まず半歩進んだ点 ),( 2121 ii yx

での接線の傾きを求める。その後進む前の点 ),( ii yx

に戻り、先程求めた半歩進んだ点においての接線の

傾きを使ってステップ幅 dx だけ進んだ場合での計

算を行う。

まず、 21ix での解に対しての近似値を式(1)(2)を

中点法で表して、

dxxx ii 5.021 (3)

),(5.021 iiii yxdxfyy (4)

とする。点 ),( 2121 ii yx における接線の傾きはその

点の微係数 ),( 2121 ii yxf である。この傾きを用い

て ix から 1ix までステップ幅 dx として、

dxxx ii 1 (5)

),( 21211 iiii yxdxfyy (6)

を計算する。

式(3)～(6)で、i 番目から中点を経由して i+1 番目

の点が表される。この方法は、当然オイラー法より精

度は高いが、“半ステップ進んだ点“を考える必要が

ある分、１ステップ毎に行うべき計算の回数がオイ

ラー法の 2 倍になる。

問題を十分な精度と妥当な所要時間内で解く（複

雑になりすぎない）ことができるため、本研究ではこ

の中点法を用いてプログラミングを行った。

1.4．予測子修正子法(predictor-corrector

method)

これは精度と計算回数が中点法と同じである。点

),( ii yx と点 ),( 11 ii yx それぞれにおける傾きの平

均値を傾きとして計算する方法である。

まず予測子は、オイラー法で求められたもので、

dxxx ii 1 (7)

),(1 iii

P

i yxdxfyy (8)

であり、修正子は 2 つの点における傾きを平均化す

るので

),(),(5.0 111

P

iiiiii yxfyxfdxyy (9)

である。

1.5．４次のルンゲ -クッタ法 (Runge-

Kutta method)

この方法は、前の３つより精度は高いが、 ),( yxf

の計算を４度行う必要があり、幅 dx 内での接線な傾

きを４種類求め、さらにそれらを次のように複雑に

組み合わせて用いる。よって、かなり長く複雑なもの

になる場合がある。

dxxx ii 5.021 (10)

dxxx ii 1 (11)

したがって

),(1 ii yxdxfK (12)

)5.0,( 1212 KyxdxfK ii (13)

)5.0,( 2213 KyxdxfK ii (14)

),( 314 KyxdxfK ii (15)

6

22 4321

1

KKKKyy ii

(16)

（ポール・へリングス 2008）

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2．プログラミング言語

－C 言語の歴史－

コンピュータが扱う言語は、人間には理解しがた

い 0 と 1 のみを使った機械語である。そこで、人間

がコンピュータに指示するための言語が必要である

が、それがプログラミング言語である。これに対して、

人間同士の対話で使われるのが自然言語である。

プログラミング言語には、多くの種類があり、

8000 種類以上あるといわれている。機械語は、人

には理解しがたい低水準言語であるが、1950 年代

後半から人にも理解しやすい高水準言語の開発が始

まった。最初の高水準言語が、1957 年に IBM のジ

ョン・バッカスらによって開発された FORTRANで

ある。

その後も次々と新たな言語が開発され、CPL とい

う古い言語から 1966 年にケンブリッジ大学の

Martin Richards が BCPL を開発。さらにこれを元

に、 1969 年頃 AT&T ベル研究所の Ken

Thompson によって B 言語が開発され、これが発

展し、1972 年に同研究所の Dennis M. Ritchie ら

によって、現在最もポピュラーなプログラミング言

語ともいえる C 言語が開発された。

当時 Ritchie は、Ken Thompson らと共同で、

ミニコンピュータ※1 のオペレーティングシステム

(OS)※2 である UNIX の開発に携わっていた。この

OS は、初期段階では移植性の低いアセンブリ言語※

3 を用いて開発されたが、その後移植性の高い C 言

語で書き直された。

初期の UNIX の移植性を高めるために開発された

のが C 言語なので、ある意味 C 言語は UNIX の副産

物といえる。

その UNIX 本体だけでなく、その上で動作する多

くのアプリケーションも、次々と C 言語で開発され

ることになった。

そのため C 言語は、まず UNIX の世界で広まり、

その後もその勢いは留まらず、大型コンピュータや

パーソナルコンピュータの世界にも普及していった。

本研究ではこの C 言語を使い、星の内部構造を計

算した。C 言語は、上記のことから汎用性が高くほ

かの多くの言語（C++、Java、C#など）に直接的/

間接的に影響を与えた言語であるので、習得してお

けばその他の言語の習得も容易になるし、プログラ

マ人口が多く参考書も豊富なので、初めてプログラ

ミングを学習するに当たっては妥当なものである。

※1：1960 年代の初期のコンピュータは大規模な

設備を必要とする大型なものであったが、こ

れに対して当時研究室などでも利用できた小

型のコンピュータ。

※2：コンピュータのオペレーション（運転、運用、

操作）のための、ソフトウェアの中でも基本的

なシステムソフトウェア（ハードウェアの管

理や制御を行うためのソフトウェア全般を指

す語）。

※3：コンピュータなどを動作させるための機械語を、

人間に分かりやすい形で記述する代表的な低

水準言語。

参考：柴田 望洋（2014）

プロラミング言語、C 言語、B 言語、BCPL、

CPL、ミニコンピュータ、オペレーションシ

ステム、アセンブリ言語－Wikipedia

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3 章：ポリトロープ

本研究では、最も初歩的なモデルの一つであるポ

リトロープモデルを計算するプログラムを扱う。こ

のモデルは、圧力・密度・質量の変化を星の中心か

らの距離の関数として与えるもので、時間には関係

しない。レイン(J. H. Lane)、ケルビン(Baron W.

T. Kelvin)、エディントン(A. S. Eddington)、エ

ムデン(R. Emden)らにより公式が導かれた。星の

構造を表す静水圧平衡と質量の連続性の 2 つの式に

対し、未知関数は圧力、密度、質量の 3 つなので、

3 本目の方程式が必要である。それこそが、星内部

のある場所における圧力と密度の関係を表すポリト

ロープ関係である。星の最も単純なモデルは、4 つ

の連立微分方程式と 3 つの代数方程式で表される。

以下ではポール・へリングス(2008)に従って、

ポリトロープモデルの定式化を紹介する。

1．質量の連続性

半径 r の球内にある質量の変化を r の関数で表す

と次のようになる。

)(4)( 2 rr

dr

rdM (1)

考え方として、まず星を極めて薄い球殻が無数に

集合したものと考える（図 3-1）。その薄い球殻の

厚さを dr とすると、球殻の表面積は24 r なので、

その体積は drr 24 と近似できる。球殻は非常に薄

いので、球殻全体の密度は一定で、それは球殻内側

の境界における値に等しいと見なしてもよい。よっ

て、質量は体積と密度の積であることから、球殻の

総質量は drrr )(4 2 と表せ、これは式(1)から

)(rdM に等しい。故に )(rdM は、ある半径 r から

微小量 dr だけ増やした場合に生じる質量の増加分

である。

2．静水圧平衡の式

星の内部に高さ dr、底面積 dA の円柱があると

考える（図 3-2）。この円柱が同じ位置に留まって

いる状態、つまり円柱に作用する力が釣り合ってい

る場合、この星は静水圧平衡であるという。円柱に

は次の 3 つの力が働いている。

・底面に働く上向きの圧力

圧力と底面積の積に等しいのでこの力は、

dArP )(

と表せる。円柱の底面は星の中心から r の距離にあ

るので、そこの圧力は )(rP である。

・上面に働く下向きの圧力

上面は星の中心から r+dr の距離にあり、この力

は逆向きに働くので、方向も考慮してその大きさ

は、

dAdrrP )(

で表せる。

・円柱に働く下向きの重力

これは星の中心から距離 r における重力加速度と円

全半径 R

厚さ dr の球殻

図 3-1 恒星内部

中心から

球殻まで

の距離 dr

中心

- 14 -

柱の質量の積であり、質量は体積と密度の積なので、

重力は、

drdArr

rMG )(

)(2

となる。

静水圧平衡とは、この 3 つの力の和が 0 になって

いることなので、

0)()(

)()(2

drdArr

rMGdAdrrPdArP

ということである。

円柱の上面での圧力は、底面での圧力とその間での

圧力の増加分の和なので、

drdr

dPrPdrrP )()(

となり、これを上の式に代入すると、

0)()(

)()(2

drr

r

rMGdr

dr

dPrPrP

)()(

2r

r

rMG

dr

dP (2)

となる。これが静水圧平衡の式であり、星の重力が圧

力の変化と釣り合っていることを表している。

式(1)(2)は１階微分方程式であるが、今のところ r

の関数として M(r)、P(r)、ρ(r)の３つの変数に対し

て、２つの方程式しかない。よって、３番目の方程式

が必要であり、それが次のポリトロープ関係である。

3．ポリトロープ関係

n

n

rKrP

1

)()(

これは密度と圧力の関係を表している。K は、同

じ星内部では一定だが、星ごとには異なる値を持つ。

またｎは、ポリトロープ指数で 0～5 の間の実数で

ある。しかし定数の K という分かりにくい値が出て

来たので、この式を変形して、

n

n

cc

r

P

rP1

)()(

(3)

とすると、K が中心圧力と中心密度で表されて分か

りやすくなる。ポリトロープ指数 n（0～5）は、星

のタイプ（質量）によって値を変えて選ぶ。

4．レイン－エムデン方程式

式(1)～(3)を一つの微分方程式にまとめる。

まず

n

c

rrF

1

)()(

(4a)

と定義される補助関数 F(r)を導入する。

式(3)と(4a)を組み合わせると、

1

1

)()(

n

cP

rPrF (4b)

となる。実際、式(3)を式(4b)の右辺の()内に代入す

ると、

1

11

)()(

nn

n

c

rrF

となって指数の掛け算をすると式(4a)になる。

式(4a)の両辺を n 乗して

n

c Fr )( (4c)

式(4b)も同様にして

重力

図 3-2 静水圧平衡を成り立たせる 3 つの

力

静水圧平衡を成り立たせる 3 つの力

- 15 -

1)( n

c FPrP (4d)

静水圧平衡の式(2)を

)()(

2

rGMdr

dP

r

r

として、これに式(4a)と(4b)を代入すると

)()( 12

rGMFPdr

d

F

r n

cn

c

r で微分して

)()1(2

rGMdr

dFFnP

F

r n

cn

c

整理して

)()1(2

rGMdr

dF

F

PFnr

c

n

c

n

となる。nF を消去し、予め定数項を分離し、両辺を

r で微分して、

dr

rdMG

dr

dFr

dr

dPn

c

c )()1( 2

となって、左辺を変え、式(1)に式(4c)を代入して、

それをこの式の右辺に代入すると、

n

c

c

c FrGdr

dF

dr

dr

dr

dFr

Pn

22 42)1(

となる。あとは両辺を定数項と2r で割れば、

Fdr

dF

dr

dF

dr

dF

、

と表すとすると、

c

n

c

Pn

FGFF

r )1(

422

という式になって、移項すると、

FrPn

GFF

c

cn

2

)1(

4 2 (5)

となる。ここで FF , は、それぞれ F(r)の 2 次及び

１次の微係数である。さらに新たな独立変数を次の

ように定義する。

nr

rx

nr は距離パラメータで

24

)1(

c

cn

G

Pnr

(6)

と定義される。上記より dxrdrxrr nn 、 なので、

FF 、 はそれぞれ

dx

dF

rdr

dFF

n

1

dx

dF

dx

d

rdx

dF

rdxr

d

dr

dF

dr

dF

nnn

2

11

と表せる。これを用いて式(5)を書くと、（これ以前の

FF 、 は r で微分、これ以降のそれは x で微分し

たものである）

Frxr

FPn

GF

r nn

n

c

c

n

12

)1(

412

2

- 16 -

両辺に2

nr を掛けて

Fx

FPn

rGF n

c

nc

2

)1(

4 22

式(6)の距離パラメータの定義より

1)1(

4 22

c

nc

Pn

rG

となるので最終的には

x

FFF n

2 (7)

という式になる。

この方程式の初期条件は星の中心なので、r = 0 よ

り x = 0 となる。よって、指数 n に関わらず、式

(4a)(4b)において分子が分母の中心での値と等しく

なり、

0)0(

1)0(

xF

xF (8)

となる。

式(7)は、レインーエムデン方程式といわれるもの

で、指数 n のポリトロープの構造を完全に記述する。

- 17 -

4 章：均質な星のモデル

前章で紹介したポリトロープモデルに基づき、一

様な化学組成の均質な星のモデルを考える。その

際、次のような諸条件、特徴がある。

・星の最も単純なモデルは、4 本の連立微分方程式

と 3 本の代数方程式で成り立つ。

・4 本の連立微分方程式は、質量 Mr、圧力 P、温

度 T、光度 Lr をそれぞれ（その地点での）半径 r

の関数で表すものである。

・3 つの代数方程式は、圧力、温度、密度、化学組

成を結びつける状態方程式、不透明度、原子核エ

ネルギーの発生、である。

・Mr と Lr は星の中心に境界条件（値が 0）、P と

T は星の表面に境界条件（値が 0）、がある。

・中心から表面、表面から中心、いずれも一方から

だけでは反復計算ができない。

・いずれの順番でも、最初に 4 つ全ての境界条件が

必要だが、どちらも 2 つしかない。

・対流中心核と外層放射圏、2 つのポリトロープを

接合させるという簡単なモデルを使う。

・ゼロ歳主系列星（生まれたての均質な化学組成の

星）のモデルにのみ適用。

・ポリトロープ指数 1.5 は完全対流状態、指数 3

は完全に放射平衡状態。

・大質量星は、対流中心核の周囲を外層放射圏が覆

う 2 層構造になっている。

・中心核では、指数 1.5 のポリトロープで中心から

核の表面まで外向きに反復計算する。

・中心核の表面に指数 3 のポリトロープを接合し、

星の表面まで反復計算する。

1．物理的背景

1.1．圧力、密度、質量

前章で示した通り、星の構造に関する４つの基礎

方程式の内の２つは、質量の連続性と静水圧平衡で

あり、これに加えたポリトロープ関係が次の式(1)

～(3)である。

)(4)( 2 rr

dr

rdM (1)

)()(

2r

r

rMG

dr

dP (2)

n

n

cc

r

P

rP1

)()(

(3)

上の式(1)～(3)を組み合わせて次の方程式を得る。

x

FFF n

2

レイン-エムデン方程式

この２階微分方程式を

x

HFHHF n 2

、 (4)

というように２つの１階微分方程式に分割する。初

期条件を

010 HFx 、、 (5)

- 18 -

として解くと、レイン-エムデン方程式の解は指数

ｎのポリトロープの構造を表す。すると圧力、密

度、質量、距離がそれぞれ式(6)～(9)で表される。

添え字ｃは中心での値、 rM は半径ｒ内に含まれる

質量を表す。

)1( n

c FPP (6)

n

c F (7)

HxrM ncr

234 (8)

xrr n (9)

距離パラメータが

24

1

c

cn

G

Pnr

(10)

であり、G は重力定数である。

1.2．状態方程式

状態方程式は、圧力、密度、温度、化学組成を結

びつける星の物質の気体の性質を表すものである。

地球上では通常考える必要のない放射圧（電磁放射

による圧力）が極めて温度の高い星内部では全圧 P

（＝気体圧 gP +放射圧 rP ）に重要な寄与をする。

放射圧は星の総質量が大きくなるにつれて重要性が

増す。完全な状態方程式が

4

3

1aT

TRPPP rg

(11)

である。

（T：温度(K)、

R：気体定数= Kmolerg710314.8 、

μ：平均分子量、

a：放射密度定数

43151056464.7 Kcmerg ）

ここでは均質な星のモデルを扱うので、平均分子量

μは星全体で一定である。記号 X、Y、Ｚはそれぞ

れ、水素、ヘリウム、その他のすべての元素（重元

素）、の割合である。

YX 5.031

2

(12)

粒子 1 個の平均質量は )( AN g（ AN はアボガ

ドロ数）なので、1ｇ中の粒子数は AN1 個で

ある。すると水素原子の原子量が約 1 なので水素原

子は )1( ANX 個、原子量が約 4 のヘリウム原子

は ANY 4 個、原子量を MA としてその他の重元

素原子は AM NAYX 1 個である。これは

原子が完全電離状態であると仮定して、原子特有の

電子の数＝原子番号がその原子の原子量の約半分に

なっているので、重元素原子のそれは 2MA とし

て、電離した電子は

AMMAA NAYXANYNX 1242)1(

個となる。重元素原子の個数を無視すると、

AAM

M

AAAA NNA

YXA

N

Y

N

X

N

Y

N

X

11.

24

2

141

11

2

1

4

2

4

1 YXYXYX

1

4

1

2

3

2

1 YX

上のμに式(12)を代入すると恒等式となる。

これに研究でよく使われる銀河の化学組成比

(X=0.70、Y=0.27、Z=0.03)を代入してみると、

平均分子量は、

618238.027.05.070.031

2

(13)

となる。

ここで新たなパラメータβを導入する。βは、

- 19 -

PPPP rg )1( 、 (14)

と定義する。つまりβは、全圧に対する気体圧の割

合である。こうすることで状態方程式は、放射圧を

03

1 4 aTPr とすると

TRP (15)

と書け、乗算と除算のみになるので、対数で表しや

すくなる。

星の質量が小さくなればβは 1 に近づき（気体圧

の割合増加）、質量が大きくなればβは 1 より小さ

くなっていく（放射圧の割合増加）。参考として挙

げると、10Ｍ☉の星では中心核でのβは約 0.95 で

ある。

1.3．温度

温度は式(11)から、

)3

1(

4

1 ii aTPR

T

(16a)

を用い

R

PT 0 (16b)

を初期値として、 1iT を計算し、それを右辺の iT に

順次代入して反復計算していけば解くことができ

る。参考として、 3365.5,105215.2 16 P

の場合の温度を求める反復計算のソースプログラム

と実行結果を次に示しておく。

ソースプログラム：

#include<stdio.h>

#include<math.h>

int main(void)

{

int yn,i;

double T0,T1,mu,R,p,P,d,a;

FILE *fp;

fp = fopen("Eotc.txt","w");

/*値の代入*/

P = 2.5215 * pow(10.0,16.0);

d = 5.3365;

mu = 0.618238;

R = 8.314 * pow(10.0,7.0);

a = 7.56464 * pow(10.0,-15.0);

printf("P = %6.4e,d = %6.4f\n",P,d);

printf("μ = %f,R = %5.3e,a = %7.5e\n",mu,R,a);

fprintf(fp, "P = %6.4e,d = %6.4f\n",P,d);

fprintf(fp, "μ = %f,R = %5.3e,a = %7.5e\n",mu,R,a);

T0 = mu * P / (R * d);

- 20 -

printf("T0 = %8.6e\n",T0);

fprintf(fp, "T0 = %8.6e\n",T0);

for(i = 1;i <= 10;i++){

T1 = mu * (P - a * pow(T0,4.0)/3) / (R * d);

printf("T%d = %8.6e\n",i,T1);

fprintf(fp, "T%d = %8.6e\n",i,T1);

T0 = T1;

}

fclose(fp);

return 0;

}

実行結果：

P = 2.5215e+016、d = 5.3365

μ = 0.618238、R = 8.314e+007

a = 7.56464e-015

T0 = 3.513566e+007

T1 = 2.978079e+007

T2 = 3.237190e+007

T3 = 3.127707e+007

T4 = 3.177318e+007

T5 = 3.155471e+007

T6 = 3.165219e+007

T7 = 3.160894e+007

T8 = 3.162818e+007

T9 = 3.161963e+007

T10 = 3.162343e+007

1.4．光度

光度は、おおむね質量の 3 乗に比例している。太

陽光度は約 )(108.3 33 serg である。このような

莫大なエネルギーを長期間生み出すためには、水素

をヘリウムに変換する原子核反応が必要である。こ

れには主に 2 種類ある。

星内部は非常に高温のため、すべての元素は電離

（電子が原子核から離脱して自由に動き回っている

（自由電子））している。したがって、原子は原子

核のみで、原子核は正電荷を持った陽子や電荷をも

たない中性子だけなので、星内部全ての粒子は陽子

の数に等しい正電荷を持ち、自由電子はそれぞれ負

の電荷を持っている。通常、同じ電荷を持ったもの

同士は反発し合いぶつかることはないが、この場合

非常に高温なので、粒子が非常に高速で移動してい

る。よって、水素原子核（陽子）同士が避けきれず

に衝突することがある。そのときに、少量のエネル

ギーが発生し、1 つの新しい原子核といくつかの生

成物が形成される。これが核融合である。

1.4.1．pp チェイン（陽子－陽士サイクル）

図 4-1 のように、まず 2 個の水素原子殻（陽子）

から、陽子と中性子１個ずつから成る重陽子１個、１

個の陽電子、1 個のニュートリノが生成される。次

に、この重陽子と 3 個目の水素原子核から、ヘリウ

ム 3 原子核と少量のガンマ線が生まれる。最後に、

そのように作られたヘリウム 3 原子核 2 個から、普

通のヘリウム 4 原子核と 2 個の陽子を形成する。反

応式で表せば次のようになる。

eDHH 211

312 HeHD 11433 HHHeHeHe

上付き：電荷

下付き：質量数

つまり 6 個の陽子が最終的に、1 個のヘリウム原

- 21 -

子核と 2 個の陽子を作る。結局のところ、4 個の陽

子から 1 個のヘリウムが生成されている。反応前の

元素の総質量は、反応後のそれより幾分大きい。つま

り核融合反応によって少し質量が小さくなっている

（星は少しずつ軽くなっている）。これはその分エネ

ルギーが発生しているからであり、そのエネルギー

こそが星の輝きの源である。このエネルギーは、アイ

ンシュタインの方程式

2mcE (17)

に従って変換される。この pp チェインは、太陽のよ

うな低質量星の中心核で重要である。

1.4.2．CNO サイクル

この反応は、図 4-2 のように炭素を触媒に使い、

窒素や酸素に変化しながら 4 個の陽子を捕捉して、

最終的に初めと同じ炭素原子核 1 個とヘリウム原子

核 1 個を生成する。つまりこの反応も、4 個の水素

原子核（陽子）から 1 個のヘリウム原子核を生成し

ていることになる。pp チェイン同様、反応が起こる

につれ質量が減り（質量欠損）、エネルギーに変換さ

れる。また、この CNO サイクルは pp チェインに対

して、大質量星で重要になる。

反応式で表せば次のようになる。

NHC 13112

eCN 1313

NHC 14113

OHN 15114

eNO 1515

HeCHN 412115

図4-2 CNOサイクル(Wikipediaより)

図 4-1 pp チェイン(Wikipedia より)

- 22 -

1.4.3．エネルギー発生率

星の物質 1g あたりのエネルギー発生率 E は温度、密度、化学組成の関数である。それが次の式(18)であ

る。

3

1

910

Tt (18a)

32 938.009.1133.011 tttP (18b)

5432 127.0261.0149.0788.0027.012 tttttP (18c)

tPtEpp

38.3exp110376.2 24

(18d)

5481.9

228.15exp2106665.8

6225 t

tPtEcno (18e)

XEcnoEppXE 02.02 (18f)

T が温度、X が水素の組成比である。ここに出てく

る値は、ブリュッセル自由大学のファウラー(W. A.

Fowler)とその共同研究者により 1970 年代初期に

出版された論文（Fowler et al. 1975）を基に、

本研究における簡単なモデルに適用できるように手

を加えたものである。E が 1g のエネルギー発生率

なので、星の中心から r の距離にある厚さ dr の球

殻内のエネルギー発生による光度の増加分は、質量

の連続性である式(1)の dr を移項し、E を掛けて

drErdLr

24 (19)

となる。この光度の増加分の星全体の球殻分の総和

が星の総エネルギー発生率、つまり光度である。

ここで、エネルギー発生率と温度の関係を化学組

成（水素の割合=X）ごとに表したグラフで示してお

く。

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.1

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.2

- 23 -

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.3

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.4

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.5

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.6

- 24 -

上のグラフを見ると全て、温度が 1500 万 K～

2000 万 K あたりで、波打っている。これは、pp

チェインと CNO サイクルでのエネルギー発生量が

同じとなる部分である。この波の前の部分（約

500 万 K～1500 万 K）では pp チェインが優勢

で、波の後の部分（2000 万 K 以上）では CNO

サイクルが優勢となることを表している。

このグラフでは出ていないが、実際は互いに劣勢

な反応の方も起こっていて、両反応とも波の部分で

そのまま曲線的に延びている（pp チェインは右

へ、CNO サイクルは下へ）。よって CNO サイクル

のグラフをそのまま下に延ばすと、この反応は約

1500 万 K 以下では起こらないことが分かる。

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.7

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.8

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=0.9

1 2 3 4 5

[107]

0

2

4

6

8

温度T(K)

エネルギー発生率

E(e

rg/g

)

X=1.0

- 25 -

2．境界面とポリトロープ接続法

2.1．中心核におけるポリトロープ指数

大質量星の対流中心核では温度勾配が圧力勾配に

比例している。その方程式が次である。

dr

dP

P

Tf

dr

dT)( (20a)

ただし

232432

68)(

f (20b)

である。放射圧がなくβ=1 ならば、 )(f は 0.4

になる(Huang, &Yu, 1998)。

ここで、対流中心核におけるポリトロープ指数を

見つけるために、式(20a)の dT/dr について別の式

を導く。中心核内においてβは一定であるとする。

状態方程式(15)の両辺を対数にして

loglogloglogloglog TRP

とする。次にこの式を r で微分して

dr

d

dr

dT

Tdr

dP

P

111 (21)

を計算する。式(3)も同様にすると

dr

d

n

n

dr

dP

P

111 (22)

となる。式(21)を変形して

dr

dT

Tdr

dP

Pdr

d 111

これを式(22)に代入すれば

dr

dT

Tdr

dP

Pn

n

dr

dP

P

1111

dr

dP

Pn

n

dr

dT

Tdr

dP

P

1

1

11

dr

dP

Pn

n

dr

dP

Pdr

dT

T

1

1

11

dr

dP

Pndr

dT

T

1

1

11

dr

dP

P

T

ndr

dT

1

1 (23)

となる。式(23)、(20a)の対応した項を比較すると

)(1

1f

n

)(

)(1

f

fn

(24)

が得られ、中心核のポリトロープ指数をβの関数と

して求められる。もし放射圧がなく、β=1 で、

4.0)( f なら、n=1.5 である。今回は、βを一

定としたが、その値としては、中心核内においての

平均的な放射圧の大きさが中心での値の２/３とな

るようなものを使用する（式(25d)）。βが一定な

らば、中心核内のポリトロープ指数ｎも一定であ

る。

中心密度と中心温度から中心の気体圧と放射圧を

cccg

TRP , (25a)

4

,3

1ccr aTP (25b)

により計算する。すると中心でのβ値は、式(14)か

ら

- 26 -

crcg

cg

cPP

P

,,

,

(25c)

となり、中心核全体でのβの平均値は、前述したよ

うに、βが核内全体における気体圧の割合なので 1

－βが放射圧で、それが中心におけるその値 c1

の２/３で

)1(3

21 c

c 13

21 (25d)

から得られる。これで最終的に式(24)が解けるの

で、中心核のポリトロープ指数が分かる。

2.2．対流中心核の境界面の位置

2 つのポリトロープを扱っているので、ポリトロ

ープ指数 n=1.5 の対流中心核から n=3 の外層放射

圏へ移行する位置を求め、中心核の境界面を決定す

る必要がある。それには、既に述べた対流中心核に

おける温度勾配 dT/dr の式(20a)と、この後の放射

圏における温度勾配 dT/dr の式(26)をイコールで

結べばよい。

23 44

3

r

L

acTdr

dT r

(26)

κは吸収係数（放射圏に入射した光がその媒質に吸

収される量を示す）を表す。水素の化学組成 X に

0.70 を採用すると

34.0)1(2.0 X

となる。また、簡単のため、電子散乱（電子が原

子、原子核、素粒子などにより運動エネルギーや方

向を変えられること）のみが寄与すると仮定する。

ｃは光速 )/103( 10 scm である。

以上から、上の式(20a)=(26)として、分かって

いる値を代入して整理すると次のようになる。

23 44

3)(

r

L

acTdr

dP

P

Tf r

231015 41031056464.74

34.03)(

r

L

Tdr

dP

P

Tf r

23

3

410123649.1)(

r

L

Tdr

dP

P

Tf r

)(410123649.1

42

3

fT

PL

rdr

dP r

式(2)より

)(410123649.1

42

3

2

fT

PL

rr

MG rr

最終的に式(27)になる。

1)(

10339944.14

9 fTM

PL

r

r (27)

ただし、この式の P、Lr は積がコンピューターの限

界を超えるほどの非常に大きな数になってしまうの

で、そうならないために工夫する必要があるが、そ

れは後(4.3)で示す。

対流圏では式(27)の左辺は 1 より大きく、放射

圏では 1 より小さい。よって、随時この式を確かめ

ることで、1 より小さくなった瞬間、中心核の表面

を通過したとわかる。簡単のため、中心核の表面を

通過した（式(27)の値が 1 未満になった）最初の

層を境界面とする。この最初の層の番号を b とす

る。こうすると、中心核のサイズが実際よりわずか

に大きくなってしまうが、その誤差は小さい。対流

中心核の正確なサイズを知るには当然境界面の正確

な位置を知る必要があるが、それには、式(27)が 1

より大きい最後の層（b－1 の層）と 1 より小さく

なる最初の層（ｂの層）の間で内挿すれば

- 27 -

)27()1()27(

)27()1(1

の層に対する式の層に対する式

の層に対する式

bb

bf

によって求まる。すると実際の対流中心核の質量は

)( )1(,)(,)1(, brbrbrcc MMfMM

となる。

2.3．ポリトロープの接合

各層でそこが境界かどうかを判別する必要がある

ので、実際境界面に達したとき、既にその層における

全物理量は計算されている。境界面での物理量には、

添え字のｂをつけることにすると、それぞれ

bP 圧力

br 半径

b 密度

bbr rM , 内に含まれる質量

となる。これらにより、外側のポリトロープの初期値

と初期条件を計算できる。もはや星中心にいるわけ

ではないので、ｘ＝０、F=1、H=0、中心圧力 cP 、

中心密度 c という 5 つの初期値は使えない。よって

5 つの値全てを改めて選定する必要がある。

当然ながら、星の構造は境界のところでも連続し

ていなければならないので、内側のポリトロープか

ら得られた圧力、密度、半径、その半径内に含まれる

質量の最後の値が、外側のポリトロープの最初の値

と一致している必要がある。その結果としてこの５

つのパラメータは、式(6)-(9)を利用した

1 n

cb FPP (28)

n

cb F (29)

HxrM cnbr

23

, 4 (30)

2

c

cn

G

Pr

(31a)

xrr nb (31b)

を満たす必要がある。

２つのポリトロープを滑らかにつなぐためには、

この 5 つのパラメータを未知数として含んだ式

(28)-(31)を満たさなければならない。ここでは、

5 つの未知数に対し方程式が 4 本しかない

（(31a）と(31b）は実質 1 本の式）ので、5 つの

うち 1 つはフリーパラメータとして任意のものを選

んで良い。このうち選ぶのに最も簡単なのは F であ

る。このフリーパラメータ F は、後(3．フリーパラ

メータの選択)で総質量の関数として適切値を選定

するための式を示す。すると cP は式(28)、c は式

(29)、 nr は式(31a)、x は式(31b)、H は式(30)か

らそれぞれ得られる。温度は式(16)を見ての通り、

先ほどの圧力 P や密度ρの関数、エネルギー発生率

は式(18)を見ての通り、これまた先ほどの温度 T

や密度ρの関数、光度に関しても式(19)を見ての通

り、先ほどのエネルギー発生率 E や密度ρの関数と

なっているので、これらもすべて連続性があること

は分かる。

2.4．星表面で反復計算を中止

圧力と密度をコントロールする関数 F(x)は、ポリ

トロープ指数ｎの値が 0.0～5.0 の範囲内において

は厳密な減少関数であり、どこかに X 軸と交わるゼ

ロ点 sx が存在する。この範囲内で値が大きくなるほ

ど、このゼロ点 sx は原点から遠ざかり、n=5 の場

合はゼロ点は無限大に位置することになって、5 よ

り大きくなると X 軸と交わらなくなる。この点は圧

力と密度が０となるところであり、実際のところ星

の表面であるので、ゼロ点が存在しないというの

は、表面が存在しないことになる。これはもはや物

理的に意味のない状況なので、指数ｎは 0.0～5.0

とする必要があるのである

ゼロ点 sx は、通常、反復過程での 2 つのメッシ

ュ点の間にある。今回は中点法を使っているので、

反復計算する度に 21iF と 1iF の値をそれぞれ求

め、その正負を確認しなければならない。前者が負

（半歩進んだ地点での F が負）であれば、当然、後

- 28 -

者も負（一歩進んだ地点の F も負）になるし、H は

その F の値を使って計算する（F が負だと負のべき

乗を計算することになってしまう=式(41),(43)参

照）ので、 1121 iii HFH 、、 のすべてをそれ以上

計算してはいけない。後者が負（半歩進んだ地点の

F は正で、一歩進んだ地点の F は負）であれば、

1iH のみそれ以上計算してはいけない。星の表面

の位置は、 iF がまだ正であった最後の層の持つ値を

使い計算する。したがって、星表面の位置は

L

LLs

H

Fxx (32)

から計算できる。添え字 L は、 iF が正であった最

後の層 ix の番号である。 sF は０であるが、その表

面における H はまだ幾分か負であるので、

Ls HH (33)

としておく。

圧力、密度、温度は直接 F に関係するので、表面

では０である。また、放射圏においてはエネルギー

発生率も０であるため、光度は一定値となり、その

値は表面での値に等しい。よって未だ不明な表面で

の変数といえば、質量と半径である。表面における

質量（星の総質量）は、 Lx 以内の質量の総和 LM

に Lx と sx の間の球殻の質量を加えたものである。

この球殻の質量は、平均密度を Lx 地点の密度の半

分として表すと

drrM 22

である。

これをｘの関数として書き表し、関連量の値をす

べて Lx と sx の間の中点の位置で求めると、星の総質

量として

)()(5.0 23

LssLLnL xxxxrMM (34)

が得られ、全半径は

)( LsnL xxrrR (35)

で求まる。

最後に有効温度である。これは全半径 R と総光度

L から

424 effTRL

という関係を用いて得られる。

HR 図上に表すには、有効温度(K)と光度を対数に

し、さらに光度と半径は太陽単位として

RLTeff log5.0log25.07613.3log (36)

とする。 effTlog を横軸、 Llog を縦軸にとって HR

図とする。これらは全て CGS 単位系である。

3．フリーパラメータの選択

星の総質量 M を太陽単位で表したとき、次のよ

うな値でフリーパラメータ f itF の適切値が与えられ

る。

Mw 10log

2

10 0401771.02724354.023937.7log wwTc (37a)

2

10 29329095.0658707.127899.2log wwc (37b)

2

58794.1758794.19

9

fit

fit

fit

F

wF

F

)10(

)104(

)4(

M

M

M (37c)

式(37a)、（37b）はそれぞれ中心温度と中心密

度の対数なので、数値計算の際に通常の値に変換す

る必要がある(5 章のソースプログラムの 49～52

行参照)。フリーパラメータと言いつつも、重要な

観測的事実による束縛制限が存在し(HR 図や質量－

- 29 -

光度関係）、選べる値は限定されるが、このような

式であれば矛盾しないモデルを作れる。

4．数値計算法

対流中心核ではステップ幅 dx=0.1 とする。放射

圏では外側に行くほど密度が減少し、最終的に 0 に

なるので、放射ポリトロープの底面を dx=0.04 で

出発し、ステップ毎に dx を 10％ずつ増大させて

いく(順次、dx=1.1dx とする)。

4.1．初期条件と星の中心における変数値

ρと P を用いて(16a)式と(16b)式から T を求め

る計算と、T とρを用いて式(18a)-(18f)から E を

求める計算は、プログラムにおいて関数を使って行

う。総質量は、２M☉～15M☉の間で値を選び、この

値から次の諸量が計算できる。

・式(37a)から中心温度

・式(37b)から中心密度

・式(25a)から中心での圧力、式(25b)から中心放射

圧

・それらを加え合わせた結果として、中心圧力

・式(25c)、(25d)から対流中心核におけるβの値

・式(20b)から対流中心核における )(f の値

・式(24)から対流中心核のポリトロープ指数

・式(10)から対流中心核の位置を表す距離パラメー

タ

・レイン-エムデン方程式の初期値 x=0、F=1、H=0

4.2．第 1 段階

00 x で、式(41c)で０の割り算が出てきてしま

うので、第 1 ステップは、 00 x の近傍で F(x)と

H(x)を展開して得られる多項式展開を用いて計算す

る必要がある。

・ 00 x の近傍での多項式展開

まず

32

432

432)(

1)(

dxcxbxaxF

dxcxbxaxxF

と多項式展開できると仮定する。式(5)から 1)0( F

を満たし、 0)0( F であるので 0a である。よっ

て

2

32

432

1262)(

432)(

1)(

dxcxbxF

dxcxbxxF

dxcxbxxF

なので、これらをレイン－エムデン方程式へ代入す

ると

)432(2

)1(1262 324322 dxcxbxx

dxcxbxdxcxb n

となるが、右辺の第 1 項については 0x (x が極め

て 0 に近い)ときでは

)1( 432 ndxncxnbx

と近似できるので

24322 86411262 dxcxbndxncxnbxdxcxb

となる。この式の両辺で同じ x の累乗項を比較する

と、次のようになる。

ndx

ncx

nb

nddnbdx

cccx

bbbx

0:

0:

12020812:

066:

6

1412:

4

3

2

0

　　　

　　　　　　

　　　　

dcb ,, が分かったので、これらを代入すると

- 30 -

3

42

303

1)()(

1206

11)(

xn

xxHxF

xn

xxF

となって、x=dx と置けば式(38)を得る。

42

11206

11 dx

ndxF (38a)

3

1303

1dx

ndxH (38b)

dxx 1 (38c)

ｎは中心核のポリトロープ指数を表していて、圧力・

密度・質量・半径は式(6)-(9)から計算できる。温度

の初期値 1T は式(16b)、それ以降は式(16a)の反復

計算で計算できる。

光度の初期値は

3

13

4drEL cc (39)

dr は

dxrdr n (40)

で計算する。

4.3．対流中心核における反復計算

第 1 段階は、i = 0 番目から i = 1 番目にかけての

計算である。

ここでは、それ以降の反復計算をする。中点法を用

いる。

dxxx ii 5.021 (41a)

iii dxHFF 5.021 (41b)

i

i

n

iii Hx

FdxHH2

5.021 (41c)

今着目している層の中点において、求めるべき物理

量は、

1

2121

n

ici FPP (42a)

n

ici F 2121 (42b)

である。これが分かれば、式(16a)、(16b)から

21iT を、式(18a)-(18f)から 21iE を計算できる。

次に、

dxxx ii 1 (43a)

211 iii dxHFF (43b)

21

21

211

2i

i

iii Hx

FdxHH (43c)

を計算する。物理変数は、

1

11

n

ici FPP

n

ici F 11

111 iii HxM と で式(8)より得られる値

11 ini xrr

111 iii PT と で式(16a)、(16b)から得られる値

を求める。

i+1 番目の層の光度は、式(19)を変形して、

dxxrELL iniiii

2

21

3

21211 4 (44)

で求める。

半歩進んだ場所での密度とエネルギー発生率を用

いるというやり方は、

11 iiT と を用いて式(18a)-(18f)から 1iE

を求めるのにも都合がよい。

以上の公式を対流中心核の表面に達するまで使用

するので、1 ステップ毎に式(27)の左辺を計算し直

す必要がある。これが 1 より小さくなったら直ちに

反復計算を中止し、外側の放射ポリトロープへと移

行する。対流中心核の最後の層＝放射圏の最初の層

- 31 -

であり、この層をｂ番目の層として、添え字ｂを付け

る( bbb rP ,, など)。これで、ｂ番目の層とｂ－１番

目の層の間で内挿することで、対流中心核の正確な

サイズが分かる。

以前(2.2)触れた式(27)のオーバーフローを防ぐ

方法は、分子の積を一度に計算するのではなく、次の

ように分子を各々分母で割り、互い違いに計算すれ

ばよい。

)(

1)10339944.1(

4

9

fT

L

M

P r

r

(45)=(27)

4.4．2 つのポリトロープの接合

ここからは指数 n = 3 のポリトロープになる。2

つのポリトロープの境界値と外層ポリトロープのパ

ラメータ ccP , は、ｂの添え字の公式により得られ

る。F は f itF に等しくなるが、これは式(37c)を用い

て既に計算されている。すると、式(28)、(29)から

ccP , 、式(31)から x、式(30)からH が求まる。こ

の 5 つの値があれば、2 つのポリトロープは滑らか

につながる。最後にこれらのパラメータ値を用いて

式(9)と n = 3 とから nr の新しい値を計算する。

※ここでは、放射圏においても対流中心核の式のプ

ログラムをそのまま使って、式(27)の単一のテスト

だけで行うやり方をしているが、もう一つの条件を

付け加えてするやり方がある。即ち、

「もし式(27) < 1 かつ n < 2.5 ならば、放射ポリト

ロープをつなげよ」

という 2 つの条件により、放射ポリトロープのプロ

グラムに移行する。この条件により、対流中心核では

n < 2.5 という条件のみ、境界面では両方の条件、そ

こから先の放射圏では式(27) < 1 という条件のみ、

が満たされることになる。

4.5．放射圏

ここでの nrP ncc ,,, というパラメータは、中心核

との接続過程で既に計算されている。さらに HFx ,,

も同様である。中心核と違うところは、もはや存在し

ない核エネルギー生成量と増加しない光度の計算を

しなくてよいことである。また、重要な違いは、前も

記したように、放射圏の底部での第 1 ステップで

dx=0.04 から開始し、ステップ毎に次のステップ幅

を dx=1.1dx とするところである。

F が０か負になったとき星の表面に達したこと

になるが、これは 21iF または iF の計算を実行した

後で生じる。実行時エラーを起こさないためには、

F が負かどうかのテストを両方の計算後に行う必要

がある。このいずれかが負になると、新たな 21iH ま

たは iH を計算せず、そこで計算を止める。最後に表

面での諸量を計算して終了となる。

（ポール・へリングス 2008）

- 32 -

5 章：プログラミング

1．Ⅽ言語プログラム

次のソースプログラム（以降、ソース）は、質量：

1～20☉、化学組成：水素 0.7、ヘリウム 0.27、そ

の他の元素 0.03、という条件のものである。したが

って、化学組成を変えれば、当然結果も変わる。この

他に、ヘリウムを0.27で固定し、水素を0.1～0.6、

それに応じてその他の元素を 0.63～0.13 まで 0.1

ずつ減らした6パターンと、水素を0.69で固定し、

ヘリウムを 0.26～0.31、それに応じてその他の元

素を 0.05～0.00 の 6 パターンの、計 13 パターン

がある。よって、ソースも結果も 13 種類あるが、ソ

ースに関しては、化学組成の値（水素 xx、ヘリウム

yy、その他の元素 zz）が変わるだけなので、ここに

は上で示したように、特によく使われる組成におい

てのみのものだけ示しておく。尚、異なる全ての結果

および文献の観測データについては後（1.3）に示す。

また、このプログラムは C 言語のコンパイラ（人

が理解できる言語を機械語に翻訳するプログラム）

の一つである gcc を使って実行し、その出力結果よ

りグラフ描画ソフト Sma4Win でグラフを作成した

（6 章）。そのため出力結果を自作ファイルに入れた。

1.1．ソース

質量：1～20☉、水素 0.7、ヘリウム 0.27、その他 0.03

#include<stdio.h> 1

#include<math.h> 2

3

double poly_p(double,double,double); 4

double poly_d(double,double,double); 5

double poly_mr(double,double,double,double,double); 6

double poly_r(double,double); 7

double energy(double,double); 8

double temp(double,double,double,double,double,double); 9

10

double pi = 3.1415926536; /*円周率*/ 11

double G = 6.674e-8; /*重力定数(Nm^2/kg^2)*/ 12

double a = 7.56464e-15; /*放射密度定数(erg/cm^3/K^4)*/ 13

double rgas = 8.314e+7; /*気体定数(erg/mol/K)*/ 14

double xx = 0.70; /*水素*/ 15

double yy = 0.27; /*ヘリウム*/ 16

double zz = 0.03; /*その他の元素*/ 17

double m0 = 2.0e+33; /*太陽質量(g)*/ 18

double r0 = 6.96e+10; /*太陽半径(cm)*/ 19

double l0 = 3.83e+33; /*太陽光度(g/cm^2/s^3)*/ 20

21

double r,p,d; 22

23

int main(void) 24

{ 25

- 33 -

int i; 26

double Mtot,pgc,prc,ptc,bc,b,fb,eec,m,l,ee,tc,dc,n,rn,x,f,h,dx,t,tt,dr; 27

28

FILE *fp; 29

fp = fopen("M=1~20,xx=0.7,yy=0.27.txt", "w"); 30

31

printf(" Mtot(m0) M R log10 L log10 T¥n"); 32

fprintf(fp, " Mtot(m0) M R log10 L log10 T¥n"); 33

34

/*総質量*/ 35

for(Mtot = 1;Mtot <= 20;Mtot++) /*for_1*/ 36

{ 37

38

printf(" %4.1f ",Mtot); 39

fprintf(fp, " %4.1f ",Mtot); 40

41

42

/*平均分子量*/ 43

double mu = 2.0 / (1.0 + 3.0 * xx + 0.50 * yy); 44

45

/*中心の温度と密度*/ 46

double w = log10(Mtot); 47

48

tc = 7.23937 + (0.2724354 - 0.0401771 * w)* w; 49

tc = pow(10.0,tc); 50

dc = 2.27899 - (1.658707 - 0.29329095 * w)* w; 51

dc = pow(10.0,dc); 52

53

/*接続質量*/ 54

double ffit; 55

if(Mtot < 4) 56

ffit = 9; 57

else if(Mtot < 10) 58

ffit = 19.58794 - 17.58794 * w; 59

else 60

ffit = 2; 61

62

/*中心の諸量*/ 63

pgc = rgas * dc * tc / mu; 64

prc = 1.0/3.0 * a * pow(tc,4.0); 65

ptc = pgc + prc; 66

- 34 -

bc = pgc / ptc; 67

b = 1.0 - 2.0/3.0 * (1.0 - bc); 68

fb = (8 - 6 * b) / (32 - (24 + 3.0 * b)* b); 69

n = (1 - fb) / fb; 70

rn = sqrt((n + 1) * ptc / 4.0 / pi / G / pow(dc,2.0)); 71

eec = energy(tc,dc); 72

73

i = 0; 74

x = 0; 75

f = 1; 76

h = 0; 77

m = 0; 78

r = 0; 79

l = l0; 80

81

double p_p = poly_p(ptc,f,n); 82

double p_d = poly_d(dc,f,n); 83

double p_mr = poly_mr(pi,dc,rn,x,h); 84

double p_r = poly_r(rn,x); 85

86

/*第 1 ステップ*/ 87

i = 1; 88

l = 0; 89

dx = 0.10; 90

x = dx; 91

f = 1.0 - 1.0/6.0 * pow(dx,2.0) + n/120.0 * pow(dx,4.0); 92

h = - 1.0/3.0 * dx + n/30.0 * pow(dx,3.0); 93

p_p = poly_p(ptc,f,n); 94

p_d = poly_d(dc,f,n); 95

p_mr = poly_mr(pi,dc,rn,x,h); 96

p_r = poly_r(rn,x); 97

98

t = temp(mu,p,a,tt,rgas,d); 99

ee = energy(t,d); 100

dr = dx * rn; 101

l = 4.0/3.0 * pi * dc * eec * pow(dr,3.0); 102

103

/*第 2 ステップ以降（対流圏）*/ 104

int zone,stp,surface; 105

double flast,x12,f12,h12,p12,d12,t12,ee12; 106

107

- 35 -

i = 2; 108

for(zone = 1;zone <= 2;zone++) /*zone = 1 対流圏、zone = 2 放射圏、for_2*/ 109

{ 110

stp = 0; 111

do{ 112

flast = f; 113

x12 = x + 0.50 * dx; 114

f12 = f + 0.50 * dx * h; 115

116

if(f12 > 0) 117

{ /*if_1*/ 118

h12 = h + 0.50 * dx * (-pow(f,n) - 2.0 * h / x); 119

p12 = ptc * pow(f12,(n+1)); 120

d12 = dc * pow(f12,n); 121

t12 = temp(mu,p12,a,t,rgas,d12); 122

123

if(zone == 1) 124

{ /*if_2*/ 125

ee12 = energy(t12,d12); 126

} /*if_2*/ 127

x = x + dx; 128

f = f + dx * h12; 129

130

if(f > 0) 131

{ /*if_3*/ 132

h = h + dx * (-pow(f12,n) - 2.0 * h12 / x12); 133

p = ptc * pow(f,(n+1)); 134

d = dc * pow(f,n); 135

m = poly_mr(pi,dc,rn,x,h); 136

r = rn * x; 137

t = temp(mu,p,a,t,rgas,d); 138

139

if(zone == 1) 140

{ 141

/*if_4*/ 142

l = l + 4.0 * pi * d12 * dx * ee12 * 143

pow(rn,3.0) * pow(x12,2.0); 144

} 145

/*if_4*/ 146

147

if(zone == 1) 148

- 36 -

{ 149

/*if_5*/ 150

ee = energy(t,d); 151

} else { 152

ee = 1.0; 153

} 154

/*if_5*/ 155

156

i++; 157

158

} else { 159

surface = 1; 160

} /*if_3*/ 161

162

} else { 163

surface = 1; 164

} /*if_1*/ 165

166

if(zone == 1) 167

{ /*if_6*/ 168

double test = 1.339944E+9 * p / m * l / pow(t,4.0) / fb; 169

170

/*ポリトロープの接合*/ 171

if(test < 1) 172

{ /*if_7*/ 173

f =ffit; 174

ptc = p / pow(ffit,4.0); 175

dc = d / pow(ffit,3.0); 176

rn = sqrt(ptc / pi / G / pow(dc,2.0)); 177

x = r / rn; 178

h = -m / 4.0 / pi / dc / pow(rn,3.0) / pow(x,2.0); 179

n = 3.0; 180

dx = 0.04; 181

stp = 1; 182

surface = 0; 183

184

} /*if_7*/ 185

} else { 186

187

/*放射圏*/ 188

dx = 1.10 * dx; 189

- 37 -

190

if(surface == 1) 191

{ /*if_8*/ 192

double xs,mt,rad,logteff; 193

194

stp = 1; 195

xs = x - flast / h; 196

mt = m + 0.50 * pi * pow(rn,3.0) * d * pow((x + xs),2.0) * (xs 197

- x); 198

rad = r + rn * (xs - x); 199

logteff = 3.7613 + 0.25 * log10(l/l0) - 0.50 * log10(rad/r0); 200

201

printf(" %9.6f ",log10(mt/m0)); 202

printf(" %f ",rad/r0); 203

printf(" %f ",log10(l/l0)); 204

printf(" %f¥n",logteff); 205

206

fprintf(fp, " %9.6f ",log10(mt/m0)); 207

fprintf(fp, " %f ",rad/r0); 208

fprintf(fp, " %f ",log10(l/l0)); 209

fprintf(fp, " %f¥n",logteff); 210

} /*if_8*/ 211

} /*if_6*/ 212

}while(stp < 1); 213

}/*for_2*/ 214

}/*for_1*/ 215

fclose(fp); 216

}/*main*/ 217

218

/*自作関数*/ 219

double poly_p(double pc,double f,double n) 220

{ 221

p = pc * pow(f,(n + 1)); 222

return p; 223

} 224

225

double poly_d(double dc,double f,double n) 226

{ 227

d = dc * pow(f,n); 228

return d; 229

} 230

- 38 -

231

double poly_mr(double pi,double dc,double rn,double x,double h) 232

{ 233

double mr; 234

235

mr = -4.0 * pi * dc * pow(rn,3.0) * pow(x,2.0) * h; 236

return mr; 237

} 238

239

double poly_r(double rn,double x) 240

{ 241

r = rn * x; 242

return r; 243

} 244

245

double energy(double TT, double d) 246

{ 247

double T,P1,P2,Epp,Ecno,E; 248

249

T = pow(TT/pow(10.0,9.0),1.0/3.0); 250

P1 = 1.0 + (0.133 + (1.09 + 0.938 * T)* T)* T; 251

P2 = 1.0 + (0.027 - (0.788 + (0.149 - (0.261 + 0.127 * T)* T)* T)* T)* T; 252

Epp = 2.376 * pow(10.0,4.0) * pow(T,-2.0) * P1 * exp(-3.38/T); 253

Ecno = 8.6665 * pow(10.0,25.0) * pow(T,-2.0) * P2 * exp(-15.228/T - pow(T,6.0)/9.5481); 254

255

E = d * (pow(xx,2.0) * Epp + 0.02 * xx * Ecno); 256

257

return E; 258

} 259

260

double temp(double mu,double p,double a,double tt,double rgas,double d) 261

{ 262

int i; 263

tt = mu * p / rgas / d; 264

for(i = 1;i <= 10;i++){ 265

tt = mu * (p - a * pow(tt,4.0) / 3.0) / rgas / d; 266

} 267

return tt; 268

}269

- 39 -

1.2．ソースの説明

ここには、上のソースの各行で行っている操作内容を明記する。左の数字は行数を表している。

表 5-1 ソースコードの内容

行 作業内容

1－2 printf や pow などの関数を使うためのプロトタイプ宣言を含むヘッダを、インクルード（取

り込み）

4－9 プロトタイプ宣言（関数原型宣言）：メイン関数の後に別の関数があると、予めその“関数の仕

様（関数の返却値型や引数などの情報）”を宣言する必要がある。

11－20 定数の代入、定数名、単位

22 グローバル（このプログラム内のすべてにおいて有効）変数の宣言

24～ メイン関数開始

26－27 ローカル（メイン関数内のみ有効）変数宣言

29－30 書き込み用ファイル「M=1~20,xx=0.7,yy=0.27,txt」を開く。

32－33 最終的に出力する変数をプログラム結果の 1 行目に表示し、ファイルにも書き込む。

36～ 1～20M☉の星の総質量の計算開始、～215 行までの for 文を全質量においての 計算を繰り

返す。

39－40 総質量 Mtot を出力、ファイルに書き込む。

44 平均分子量μの計算、式(12)

47－52 星中心の温度 tc と密度 dc の計算（対数を通常の値に変換）、式(37a,b)

55－61 接続質量の計算・分類、式(37c)

64－80 中心の諸量の計算

64：気体圧 pgc、65：放射圧 prc、66：全圧 ptc、式(25a,b)

67：中心の全圧 ptc に対する放射圧 pgc の割合 bc、式(25c)

68：対流中心核全体での b の平均値、式(25d)

69：式(20b)

70：ポリトロープ指数 n、式(24)

71：距離パラメータ rn、式(10)

72：47－53 で求められた tc,dc の値が、245 行～の energy 関数の仮引数 TT,d にそれぞれ代入さ

れ、同関数内の E の値が中心のエネルギー発生率 eec に代入される。

74：ステップ数

75～77：レインーエムデン方程式の初期値、式(5)

78～80：質量 m、半径 r、光度 l、の初期値を定義

82－85 66 行の ptc、76 行の f、70 行の n が、221 行～の poly_p 関数の仮引数 pc,f,n にそれぞ

れ代入され、同関数内の p の値が p_p に代入される、以下の 3 つも同様の考え方である。

87～ 中心から 1 ステップ進んだ地点(球殻)の計算開始

90 ステップ幅 dx

- 40 -

91－93 式(38)

94－97 上の式(38)で x,f,h の値が変わっているので、改めて計算する。

99 これまで同様、260 行～の temp 関数を用い、温度 t を求める。

100 72 行と同様、エネルギー発生率の計算

101 球殻間の距離 dr の計算、式(40)

102 光度 l の計算、式(39)

104～ 第 2 ステップ以降の計算開始

105～106 ローカル（メイン関数内）変数宣言（12 の付いた変数は、半ステップ進んだ地点での値を表

す）

109～ zone=1（対流圏）という条件で 214 行まで計算して、その後改めてこの行から zone=2（放

射圏）として計算開始

111～ ～213 行の while まで stp=0 で計算するが、182 行と 195 行に stp=1 があるので、167

行が真（対流圏内）、且つ 172 行が偽であり 173～185 行（ポリトロープの接合の計算）が実

行されなかった場合と、167 行が偽（対流圏外）、且つ 191 行が偽であり 192～211 行が実

行されなかった（まだ星表面に到達していない）場合に限る。これらが実行され、stp=1 となる

と 112～213 行の do…while 文を脱出し、214 行へと移る。

113 予め、現時点での f 値（92 行）を flast に保存しておく。

114－115 半ステップ進んだ地点での x、f を求める、式(41a,b)

117～ 115 行の半ステップ進んだ場所の f12 が正ならば、ここから 165 行まで実行

119－122 半ステップ進んだ場所での h、圧力 p、密度 d、温度 t を求める、式(41c,42)

124 109 行で zone=1 の場合だけ、次の計算を実行

126 244 行～の energy 関数を使い、半ステップ地点でのエネルギー発生率 E を計算

128－129 中心から i(>= 2)ステップ地点の x、f を計算、式(43a,b)

131～ 129 行の半ステップ進んだ場所の f が正ならば、ここから 159 行の else の直前まで実行

133～138 115 行の f12 と 129 行の f が共に正であれば、これらの値 h、圧力 p、密度 d、質量 m、

半径 r、温度 t をそれぞれ関数を使い求める。

140～ 上の条件に加えて、zone=1 であれば、次の計算を実行

143～144 1 ステップ地点の光度 Lr の計算、式(44)

148～ 上の光度の計算と全く同じ条件の場合、ここから 152 行の else の直前まで実行

151 energy 関数より、エネルギー発生率 E を計算

152～ f12 と f は正で、zone=2 ならば、次を実行

153 エネルギー発生率 E=1 とする。

157 131 行からここまでの計算をステップ数 i を 1 ずつ増やして(i=1,2,3…)次々計算していく。

159～165 f のみが負、または f12 と f が共に負ならば、surface=1（表面到達）とする。

（surface=1・・・表面到達、0・・・表面でない）

167～ 109 行からの zone=1 の場合のみ、ここから 185 行まで実行

169 この値が 1 より大きいか小さいかで、この後の計算が分岐する、式(27=45)

- 41 -

174－183 169 行の test が 1 未満（放射圏突入）の場合、これら（放射圏における初期値）を計算

175－179：式(28-31)

186～ ここから 167 行の否定、つまり zone=2（放射圏）の計算を 212 行まで実行

189 ステップ幅更新

191～ 表面に達したとき、その位置や諸量を計算して出力する。（～211 行まで）

193 ローカル（メイン関数内）変数宣言

196 星表面の位置 xs、式(32)

197 星の総質量 mt、式(34)

199 星の全半径 rad、式(35)

200 星の有効温度（対数）logteff、式(36)

202 総質量（太陽単位）を対数で出力

203 全半径 〃 を出力

204 総光度（太陽単位）を対数で出力

205 有効温度（K）を対数で出力

207－210 上の 202～205 行の 4 つの値をファイルに書き込む。

213 111 行から、stp = 0 ならばここまで実行するということだったので、上の「111~」のとこ

ろで記したように、182、195 行で stp = 1 となった場合は、そこの計算が終了すると同時に

この次の行へ移動

214 zone 計算終了（109 行～）

215 すべての計算終了（36 行~）

216 ファイルを閉じる。

217 メイン関数終了

219～ ここからメイン関数内で使用する関数を作る。

220－224 圧力 p を計算する関数、式(6)

226－230 密度 d を 〃 、式(7)

232－238 質量 mr を 〃 、式(8)

234 mr を宣言

240－244 半径ｒを 〃 、式(9)

246－259 温度、密度、水素の割合から、エネルギー発生率を求める関数、式(18)

248 ローカル変数宣言（energy 関数内のみ）

261－269 温度を求める関数、式(16)、ここでの変数 i はメイン関数内のものとは別扱い

- 42 -

1.3．プログラム実行結果

ここには、上のプログラムを含めた様々な化学組

成および質量の場合の結果を示す。表 5-2～5-15

は、様々な質量における物理諸量の結果を化学組成

ごとに示したもので、上のプログラムの実行結果は

表 5-8 である。また、これらの結果から化学組成ご

との HR 図と質量－光度関係を次章に示す。

表 5-16～5-20 は、星の内部構造の結果を質量

ごとに示したもので、これらの結果から質量ごとの

星の内部構造を次章に示す。

表 5-2 質量 1～16、水素 0.1、ヘリウム 0.27、その他 0.63

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.495937 0.534337 -2.824953 3.191154

2.0 -0.138875 1.010238 -1.544987 3.372841

3.0 0.056177 1.423698 -0.852644 3.471430

4.0 0.190230 1.794750 -0.388268 3.537231

5.0 0.292968 2.084713 -0.040464 3.591661

6.0 0.378751 2.395607 0.237243 3.630903

7.0 0.450933 2.675247 0.468269 3.664685

8.0 0.513363 2.935781 0.665976 3.693932

9.0 0.568417 3.175092 0.838836 3.720131

10.0 0.618968 3.414973 0.993390 3.742954

11.0 0.665636 3.660936 1.138336 3.764088

12.0 0.708946 3.900407 1.294721 3.789425

13.0 0.749436 4.134222 1.517887 3.832575

14.0 0.780746 4.298208 2.954048 4.183168

15.0 0.798353 4.402902 3.879238 4.409240

16.0 0.795275 4.081352 4.451049 4.568660

- 43 -

表 5-3 質量 1～17、水素 0.2、ヘリウム 0.27、その他 0.53

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.372398 0.587482 -2.354386 3.288206

2.0 -0.015876 1.110253 -1.118431 3.458981

3.0 0.178250 1.563527 -0.431463 3.556381

4.0 0.311066 1.969142 0.029204 3.621462

5.0 0.412329 2.284637 0.373415 3.675245

6.0 0.496454 2.622041 0.647595 3.713879

7.0 0.566849 2.924125 0.875229 3.747109

8.0 0.627399 3.204256 1.069716 3.775865

9.0 0.678718 3.455456 1.734040 3.925557

10.0 0.724850 3.703069 2.209112 4.029297

11.0 0.769750 3.964696 2.345361 4.048535

12.0 0.807131 4.160679 2.698024 4.126224

13.0 0.845992 4.405721 2.825306 4.145618

14.0 0.879246 4.639778 3.134996 4.211800

15.0 0.906313 4.830943 3.535439 4.303144

16.0 0.924180 4.887493 3.960888 4.406979

17.0 0.928293 4.705735 4.435867 4.533953

- 44 -

表 5-4 質量 1～18、水素、0.3、ヘリウム 0.27、その他 0.43

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.268594 0.636203 -2.032871 3.351284

2.0 0.087546 1.201974 -0.836048 3.512340

3.0 0.281017 1.691838 -0.153708 3.608693

4.0 0.408376 2.116277 1.116674 3.877682

5.0 0.504598 2.453139 1.682053 3.986952

6.0 0.580522 2.749629 2.113168 4.069955

7.0 0.650153 3.075467 2.341114 4.102623

8.0 0.704833 3.348632 2.647425 4.160723

9.0 0.757396 3.622727 2.817358 4.186122

10.0 0.799901 3.865347 3.046199 4.229255

11.0 0.844133 4.138179 3.181314 4.248224

12.0 0.884959 4.402693 3.303891 4.265414

13.0 0.916685 4.590988 3.471202 4.298147

14.0 0.952477 4.840520 3.580675 4.314023

15.0 0.986162 5.084358 3.696614 4.332335

16.0 1.013252 5.287888 3.874027 4.368166

17.0 1.033058 5.389343 4.110455 4.423146

18.0 1.042736 5.296244 4.426883 4.506037

- 45 -

表 5-5 質量 1～19、水素 0.4、ヘリウム 0.27、その他 0.33

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.179079 0.681450 -1.780424 3.399477

2.0 0.171887 1.278865 0.190533 3.755521

3.0 0.352552 1.745395 1.243039 3.951113

4.0 0.478503 2.186953 1.810579 4.044025

5.0 0.572131 2.526747 2.229450 4.117382

6.0 0.654860 2.896122 2.504555 4.156530

7.0 0.715054 3.167548 2.782987 4.206685

8.0 0.774594 3.478621 2.977890 4.235069

9.0 0.819866 3.722716 3.180813 4.271073

10.0 0.867442 4.005873 3.331155 4.292740

11.0 0.911045 4.288700 3.465641 4.311547

12.0 0.943864 4.470152 3.608670 4.338306

13.0 0.981454 4.734268 3.719997 4.353673

14.0 1.016593 4.991777 3.823125 4.367954

15.0 1.049616 5.243289 3.921338 4.381832

16.0 1.075336 5.441968 4.033452 4.401785

17.0 1.105108 5.683070 4.144716 4.420188

18.0 1.122495 5.747833 4.298314 4.456126

19.0 1.140041 5.788708 4.505150 4.506297

- 46 -

表 5-6 質量 1～20、水素 0.5、ヘリウム 0.27、その他 0.23

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.118085 0.697103 -0.326241 3.758091

2.0 0.231680 1.310400 0.849912 3.915076

3.0 0.417915 1.830476 1.596416 4.029122

4.0 0.542050 2.279421 2.103875 4.108356

5.0 0.633746 2.624581 2.479171 4.171563

6.0 0.713755 2.964132 2.754174 4.213895

7.0 0.772854 3.227914 3.000968 4.257081

8.0 0.832219 3.552729 3.195446 4.284881

9.0 0.876459 3.793898 3.376022 4.315763

10.0 0.923765 4.087226 3.525760 4.337026

11.0 0.967001 4.377371 3.659676 4.355612

12.0 0.998981 4.546995 3.787369 4.379280

13.0 1.036178 4.817554 3.897777 4.394331

14.0 1.070907 5.081440 3.999260 4.408122

15.0 1.103507 5.339240 4.093620 4.420965

16.0 1.128499 5.525892 4.186938 4.436833

17.0 1.157833 5.772923 4.275398 4.449452

18.0 1.179690 5.886529 4.371222 4.469176

19.0 1.201737 6.042140 4.483262 4.491520

20.0 1.217740 6.007274 4.630685 4.529633

- 47 -

表 5-7 質量 1～20、水素 0.6、ヘリウム 0.27、その他 0.13

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.080609 0.694080 0.253059 3.903860

2.0 0.294784 1.372172 1.079097 3.962370

3.0 0.468336 1.846486 1.822827 4.083834

4.0 0.591005 2.299983 2.298372 4.155031

5.0 0.691085 2.678905 2.642537 4.207956

6.0 0.762625 2.982934 2.926658 4.255643

7.0 0.831433 3.350688 3.153751 4.287171

8.0 0.880662 3.576535 3.352922 4.322799

9.0 0.933682 3.915646 3.521308 4.345225

10.0 0.971765 4.112056 3.673132 4.372553

11.0 1.014793 4.406860 3.806280 4.390805

12.0 1.046573 4.568049 3.928111 4.413462

13.0 1.083517 4.843153 4.037723 4.428167

14.0 1.117980 5.111739 4.138301 4.441591

15.0 1.144468 5.285707 4.232070 4.457766

16.0 1.175153 5.542278 4.318908 4.469183

17.0 1.204172 5.793920 4.401272 4.480132

18.0 1.226030 5.903210 4.482087 4.496278

19.0 1.252418 6.144470 4.564926 4.508289

20.0 1.272697 6.231572 4.657579 4.528396

- 48 -

表 5-8 質量 1～20、水素 0.7、ヘリウム 0.27、その他 0.03（主系列星として標準的）

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.101973 0.572193 0.643489 4.043401

2.0 0.338462 1.376623 1.301472 4.017261

3.0 0.522269 1.916407 1.972298 4.113131

4.0 0.644403 2.375234 2.437165 4.182738

5.0 0.735060 2.718899 2.784822 4.240309

6.0 0.806166 3.011150 3.060211 4.286987

7.0 0.873091 3.337619 3.286206 4.321133

8.0 0.922548 3.555227 3.479933 4.355850

9.0 0.966839 3.780776 3.647883 4.384480

10.0 1.013969 4.083008 3.795760 4.404750

11.0 1.049334 4.251725 3.928265 4.429084

12.0 1.089009 4.536197 4.047740 4.444889

13.0 1.119292 4.672178 4.156665 4.465707

14.0 1.153775 4.940014 4.256480 4.478556

15.0 1.186094 5.202569 4.348624 4.490347

16.0 1.211906 5.358631 4.434298 4.505348

17.0 1.240838 5.611617 4.514542 4.515391

18.0 1.263734 5.715587 4.590746 4.530456

19.0 1.289963 5.958419 4.664742 4.539920

20.0 1.311186 6.047261 4.739504 4.555397

- 49 -

表 5-9 水素 0.69、ヘリウム 0.26、その他 0.05

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.088615 0.617152 0.606543 4.017740

2.0 0.331400 1.369187 1.287298 4.014893

3.0 0.515243 1.906122 1.958838 4.110934

4.0 0.637429 2.362609 2.423978 4.180598

5.0 0.728152 2.704639 2.771826 4.238202

6.0 0.799335 2.995630 3.047382 4.284901

7.0 0.866333 3.320691 3.273532 4.319069

8.0 0.915883 3.537630 3.467402 4.353794

9.0 0.968971 3.877067 3.634919 4.375778

10.0 1.007484 4.063707 3.783484 4.402710

11.0 1.050455 4.359511 3.915847 4.420543

12.0 1.082708 4.515876 4.035678 4.442848

13.0 1.119537 4.792754 4.144587 4.457154

14.0 1.147656 4.919120 4.244601 4.476506

15.0 1.180052 5.180980 4.336835 4.488303

16.0 1.210555 5.437933 4.422571 4.499226

17.0 1.234966 5.589736 4.503030 4.513362

18.0 1.262471 5.837964 4.579522 4.523050

19.0 1.284251 5.936560 4.654149 4.538070

20.0 1.305559 6.026010 4.730130 4.553817

- 50 -

表 5-10 水素 0.69、ヘリウム 0.27、その他 0.04

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.087598 0.617633 0.607559 4.017824

2.0 0.332414 1.370252 1.288305 4.014976

3.0 0.516251 1.907595 1.959832 4.111015

4.0 0.638429 2.364417 2.424955 4.180677

5.0 0.729143 2.706680 2.772784 4.238277

6.0 0.800316 2.997852 3.048320 4.284975

7.0 0.867303 3.323114 3.274449 4.319140

8.0 0.916839 3.540149 3.468300 4.353864

9.0 0.969916 3.879785 3.635799 4.375846

10.0 1.008414 4.066470 3.784347 4.402778

11.0 1.051374 4.362420 3.916694 4.420610

12.0 1.083612 4.518785 4.036510 4.442917

13.0 1.120429 4.795782 4.145407 4.457222

14.0 1.148533 4.922111 4.245408 4.476576

15.0 1.180919 5.184071 4.337629 4.488372

16.0 1.211411 5.441118 4.423349 4.499293

17.0 1.235808 5.592868 4.503783 4.513429

18.0 1.263303 5.841178 4.580229 4.523107

19.0 1.285070 5.939689 4.654764 4.538109

20.0 1.306366 6.029052 4.730561 4.553816

- 51 -

表 5-11 水素 0.69、ヘリウム 0.28．その他 0.03

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.086584 0.618114 0.608573 4.017909

2.0 0.333426 1.371315 1.289311 4.015059

3.0 0.517258 1.909067 1.960824 4.111096

4.0 0.639429 2.366223 2.425930 4.180755

5.0 0.730133 2.708721 2.773740 4.238353

6.0 0.801294 3.000072 3.049256 4.285048

7.0 0.868271 3.325536 3.275365 4.319210

8.0 0.917794 3.542667 3.469197 4.353934

9.0 0.970859 3.882501 3.636678 4.375914

10.0 1.009343 4.069231 3.785209 4.402846

11.0 1.052291 4.365327 3.917540 4.420677

12.0 1.084514 4.521692 4.037342 4.442985

13.0 1.121320 4.798808 4.146225 4.457290

14.0 1.149410 4.925100 4.246213 4.476646

15.0 1.181785 5.187159 4.338421 4.488441

16.0 1.212266 5.444300 4.424126 4.499361

17.0 1.236649 5.595998 4.504536 4.513495

18.0 1.264134 5.844389 4.580937 4.523165

19.0 1.285888 5.942816 4.655381 4.538149

20.0 1.307172 6.032092 4.730998 4.553816

- 52 -

表 5-12 水素 0.69、ヘリウム 0.29、その他 0.02

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.085571 0.618594 0.609585 4.017993

2.0 0.334436 1.372379 1.290316 4.015142

3.0 0.518263 1.910537 1.961816 4.111176

4.0 0.640427 2.368028 2.426904 4.180833

5.0 0.731121 2.710759 2.774695 4.238428

6.0 0.802272 3.002291 3.050190 4.285121

7.0 0.869238 3.327956 3.276280 4.319281

8.0 0.918748 3.545183 3.470092 4.354004

9.0 0.971802 3.885215 3.637555 4.375981

10.0 1.010271 4.071990 3.786069 4.402914

11.0 1.053207 4.368232 3.918384 4.420743

12.0 1.085416 4.524597 4.038172 4.443053

13.0 1.122210 4.801833 4.147042 4.457357

14.0 1.150285 4.928087 4.247018 4.476715

15.0 1.182649 5.190245 4.339213 4.488509

16.0 1.208515 5.346480 4.424950 4.503504

17.0 1.237489 5.599126 4.505288 4.513562

18.0 1.264963 5.847598 4.581644 4.523222

19.0 1.286705 5.945941 4.656000 4.538190

20.0 1.307977 6.035130 4.731440 4.553817

- 53 -

表 5-13 水素 0.69、ヘリウム 0.30、その他 0.01

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.084559 0.619074 0.610596 4.018078

2.0 0.335445 1.373441 1.291319 4.015225

3.0 0.519267 1.912006 1.962805 4.111257

4.0 0.641423 2.369832 2.427877 4.180910

5.0 0.732108 2.712796 2.775648 4.238503

6.0 0.803247 3.004508 3.051124 4.285194

7.0 0.870203 3.330375 3.277194 4.319352

8.0 0.919700 3.547697 3.470986 4.354073

9.0 0.972742 3.887927 3.638431 4.376049

10.0 1.011197 4.074747 3.786928 4.402982

11.0 1.054122 4.371136 3.919228 4.420810

12.0 1.086316 4.527500 4.039001 4.443121

13.0 1.123099 4.804855 4.147858 4.457424

14.0 1.151160 4.931071 4.247821 4.476785

15.0 1.183512 5.193329 4.340004 4.488578

16.0 1.209364 5.349521 4.425725 4.503574

17.0 1.238328 5.602252 4.506039 4.513628

18.0 1.265792 5.850805 4.582352 4.523280

19.0 1.287521 5.949064 4.656620 4.538231

20.0 1.308780 6.038166 4.731886 4.553819

- 54 -

表 5-14 水素 0.69、ヘリウム 0.31

Mtot(m0) log10 M R log10 L log10 T

1.0 -0.092228 0.603431 0.622528 4.026618

2.0 0.336452 1.374502 1.292320 4.015307

3.0 0.520269 1.913474 1.963793 4.111337

4.0 0.642418 2.371634 2.428848 4.180988

5.0 0.733094 2.714832 2.776600 4.238579

6.0 0.804222 3.006724 3.052056 4.285267

7.0 0.871167 3.332791 3.278106 4.319422

8.0 0.920650 3.550209 3.471879 4.354143

9.0 0.973682 3.890637 3.639306 4.376116

10.0 1.012123 4.077503 3.787786 4.403049

11.0 1.055036 4.374037 3.920070 4.420876

12.0 1.087215 4.530401 4.039829 4.443189

13.0 1.123986 4.807875 4.148673 4.457492

14.0 1.152033 4.934054 4.248624 4.476854

15.0 1.184374 5.196411 4.340793 4.488647

16.0 1.210213 5.352560 4.426499 4.503644

17.0 1.239166 5.605376 4.506789 4.513695

18.0 1.266620 5.854010 4.583059 4.523338

19.0 1.288336 5.952184 4.657242 4.538272

20.0 1.309583 6.041200 4.732337 4.553823

- 55 -

表 5-15 観測データ（Lang 1992 p132, 133, 137, &138）

logTeff L(Ls) logL(Ls) M(Ms) logM(Ms) Sp

4.72 1.40E+06 6.146128036 120 2.079181246 O3

4.68 9.90E+05 5.995635195 4

4.648 7.90E+05 5.897627091 60 1.77815125 5

4.613 4.20E+05 5.62324929 37 1.568201724 6

4.58 2.60E+05 5.414973348 7

4.555 1.70E+05 5.230448921 23 1.361727836 8

4.518 9.70E+04 4.986771734 19 1.278753601 9

4.486 5.20E+04 4.716003344 17.5 1.243038049 B0

4.405 1.60E+04 4.204119983 13 1.113943352 1

4.342 5.70E+03 3.755874856 9.8 0.991226076 2

4.271 1.90E+03 3.278753601 7.6 0.880813592 3

4.188 8.30E+02 2.919078092 5.9 0.770852012 5

4.146 5.00E+02 2.698970004 6

4.115 3.20E+02 2.505149978 7

4.077 1.80E+02 2.255272505 3.8 0.579783597 8

4.022 9.50E+01 1.977723605 9

3.978 5.40E+01 1.73239376 2.9 0.462397998 A0

3.965 3.50E+01 1.544068044 1

3.953 2.60E+01 1.414973348 2

3.94 2.10E+01 1.322219295 3

3.914 1.40E+01 1.146128036 2 0.301029996 5

3.895 1.05E+01 1.021189299 7

3.88 8.60E+00 0.934498451 8

3.857 6.50E+00 0.812913357 1.6 0.204119983 F0

3.838 2.90E+00 0.462397998 1.3 0.113943352 2

3.809 3.20E+00 0.505149978 5

3.792 2.10E+00 0.322219295 8

3.78 1.50E+00 0.176091259 1.05 0.021189299 G0

3.768 1.10E+00 0.041392685 2

3.76 7.90E-01 -0.102372909 0.92 -0.036212173 5

3.746 6.60E-01 -0.180456064 8

3.72 4.20E-01 -0.37675071 0.79 -0.102372909 K0

3.706 3.70E-01 -0.431798276 1

3.69 2.90E-01 -0.537602002 2

3.675 2.60E-01 -0.585026652 3

3.662 1.90E-01 -0.721246399 4

- 56 -

3.638 1.50E-01 -0.823908741 0.67 -0.173925197 5

3.609 1.00E-01 -1 7

3.585 7.70E-02 -1.113509275 0.51 -0.292429824 M0

3.57 6.10E-02 -1.214670165 1

3.554 4.50E-02 -1.346787486 0.4 -0.397940009 2

3.54 3.60E-02 -1.443697499 0.33 -0.48148606 3

3.528 1.90E-02 -1.721246399 4

3.51 1.10E-02 -1.958607315 0.21 -0.677780705 5

3.485 5.30E-03 -2.27572413 6

3.468 3.40E-03 -2.468521083 0.12 -0.920818754 7

3.422 1.20E-03 -2.920818754 0.06 -1.22184875 8

表 5-16 2 太陽質量

i M log P log T log d r log E log L x f h

0 -0.000000 17.253783 7.317740 1.806247 0.000000 2.959427 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000

1 0.000201 17.251964 7.317019 1.805152 0.016456 2.946113 -1.018597 0.100000 0.998335 -0.033283

2 0.001602 17.246498 7.314853 1.801861 0.032913 2.906143 -0.154294 0.200000 0.993347 -0.066281

3 0.005366 17.237380 7.311238 1.796372 0.049369 2.839616 0.337051 0.300000 0.985083 -0.098666

4 0.012585 17.224603 7.306173 1.788679 0.065826 2.746760 0.656841 0.400000 0.973618 -0.130162

5 0.024248 17.208154 7.299652 1.778775 0.082282 2.628058 0.877334 0.500000 0.959054 -0.160499

6 0.041210 17.188016 7.291667 1.766651 0.098739 2.484461 1.032195 0.600000 0.941521 -0.189426

7 0.064172 17.164168 7.282211 1.752292 0.115195 2.317757 1.140755 0.700000 0.921171 -0.216711

8 0.093655 17.136583 7.271271 1.735684 0.131652 2.131129 1.215890 0.800000 0.898180 -0.242152

9 0.129997 17.105226 7.258833 1.716805 0.148108 1.929885 1.267051 0.900000 0.872741 -0.265572

10 0.173336 17.070055 7.244882 1.695629 0.164565 1.722023 1.301472 1.000000 0.845066 -0.286828

11 0.452996 16.851991 7.190366 1.532081 0.242606 0.000000 1.301472 0.124348 7.938281 -27.360165

12 0.834113 16.551197 7.115167 1.306485 0.328451 0.000000 1.301472 0.168348 6.676178 -27.485926

13 1.234098 16.176147 7.021405 1.025198 0.422881 0.000000 1.301472 0.216748 5.379792 -24.532426

14 1.580121 15.735227 6.911175 0.694508 0.526754 0.000000 1.301472 0.269988 4.173837 -20.244278

15 1.837348 15.230109 6.784895 0.315670 0.641014 0.000000 1.301472 0.328552 3.120729 -15.895852

16 2.005132 14.649752 6.639806 -0.119598 0.766700 0.000000 1.301472 0.392972 2.234430 -12.126054

17 2.101827 13.959867 6.467335 -0.637012 0.904954 0.000000 1.301472 0.463835 1.502089 -9.123696

18 2.151975 13.070302 6.244943 -1.304185 1.057034 0.000000 1.301472 0.541783 0.900128 -6.846776

19 2.178442 11.675557 5.896257 -2.350244 1.224323 0.000000 1.301472 0.627527 0.403291 -5.166321

- 57 -

表 5-17 5 太陽質量

i M log P log T log d r log E log L x f h

0 -0.000000 16.809206 7.410165 1.262894 0.000000 3.973807 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000

1 0.000551 16.807337 7.409458 1.261748 0.034940 3.961032 0.433387 0.100000 0.998335 -0.033281

2 0.004387 16.801720 7.407333 1.258306 0.069880 3.922608 1.298525 0.200000 0.993348 -0.066263

3 0.014690 16.792354 7.403789 1.252567 0.104820 3.858404 1.791171 0.300000 0.985087 -0.098606

4 0.034435 16.779234 7.398823 1.244528 0.139760 3.768194 2.112473 0.400000 0.973631 -0.130020

5 0.066304 16.762354 7.392431 1.234183 0.174700 3.651668 2.334387 0.500000 0.959087 -0.160226

6 0.112604 16.741702 7.384607 1.221528 0.209640 3.508435 2.490206 0.600000 0.941588 -0.188965

7 0.175195 16.717266 7.375344 1.206555 0.244580 3.338040 2.598857 0.700000 0.921296 -0.216001

8 0.255445 16.689028 7.364633 1.189251 0.279520 3.140005 2.672854 0.800000 0.898389 -0.241128

9 0.354194 16.656966 7.352464 1.169604 0.314460 2.913909 2.721419 0.900000 0.873071 -0.264172

10 0.471739 16.621050 7.338821 1.147595 0.349400 2.659560 2.751786 1.000000 0.845555 -0.284991

11 0.607836 16.581244 7.323687 1.123203 0.384340 2.377362 2.769712 1.100000 0.816072 -0.303481

12 0.761724 16.537503 7.307044 1.096400 0.419280 2.069084 2.779647 1.200000 0.784858 -0.319569

13 0.932155 16.489771 7.288865 1.067150 0.454220 1.739384 2.784822 1.300000 0.752156 -0.333220

14 1.691401 16.265395 7.232771 0.898868 0.592072 0.000000 2.784822 0.171799 6.410641 -21.977205

15 2.560241 15.978997 7.161171 0.684070 0.743709 0.000000 2.784822 0.215799 5.436281 -21.083822

16 3.404424 15.633772 7.074865 0.425151 0.910510 0.000000 2.784822 0.264199 4.456518 -18.704625

17 4.119020 15.231799 6.974372 0.123671 1.093992 0.000000 2.784822 0.317439 3.535920 -15.676211

18 4.654643 14.770575 6.859066 -0.222247 1.295821 0.000000 2.784822 0.376003 2.711418 -12.626170

19 5.012327 14.238456 6.726036 -0.621335 1.517833 0.000000 2.784822 0.440424 1.996029 -9.909840

20 5.224632 13.605862 6.567888 -1.095781 1.762046 0.000000 2.784822 0.511286 1.386814 -7.664719

21 5.337129 12.800536 6.366556 -1.699776 2.030681 0.000000 2.784822 0.589235 0.872342 -5.895212

22 5.394973 11.603608 6.067324 -2.597472 2.326179 0.000000 2.784822 0.674978 0.437980 -4.541279

23 5.433249 8.396571 5.265565 -5.002750 2.651227 0.000000 2.784822 0.769296 0.069135 -3.520797

- 58 -

表 5-18 10 太陽質量

i M log P log T log d r log E log L x f h

0 -0.000000 16.538947 7.471628 0.913574 0.000000 4.611779 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000

1 0.001189 16.536956 7.470948 0.912307 0.059047 4.599842 1.405654 0.100000 0.998335 -0.033275

2 0.009467 16.530976 7.468904 0.908501 0.118093 4.563940 2.272030 0.200000 0.993349 -0.066221

3 0.031671 16.521010 7.465496 0.902159 0.177140 4.503975 2.766771 0.300000 0.985096 -0.098460

4 0.074156 16.507064 7.460724 0.893283 0.236186 4.419774 3.090894 0.400000 0.973662 -0.129676

5 0.142578 16.489145 7.454589 0.881879 0.295233 4.311093 3.316238 0.500000 0.959165 -0.159569

6 0.241713 16.467259 7.447089 0.867950 0.354279 4.177614 3.475927 0.600000 0.941751 -0.187859

7 0.375306 16.441415 7.438223 0.851503 0.413326 4.018937 3.588669 0.700000 0.921595 -0.214301

8 0.545974 16.411621 7.427989 0.832541 0.472372 3.834585 3.666716 0.800000 0.898892 -0.238686

9 0.755142 16.377882 7.416385 0.811069 0.531419 3.624007 3.719013 0.900000 0.873858 -0.260843

10 1.003035 16.340203 7.403405 0.787089 0.590465 3.386580 3.752549 1.000000 0.846723 -0.280641

11 1.288711 16.298582 7.389044 0.760600 0.649512 3.121644 3.772922 1.100000 0.817729 -0.297993

12 1.610136 16.253016 7.373294 0.731601 0.708558 2.828567 3.784542 1.200000 0.787123 -0.312849

13 1.964288 16.203493 7.356143 0.700083 0.767605 2.506909 3.790721 1.300000 0.755157 -0.325202

14 2.347294 16.149991 7.337578 0.666033 0.826651 2.156813 3.793771 1.400000 0.722080 -0.335079

15 2.754588 16.092480 7.317580 0.629432 0.885698 1.779888 3.795165 1.500000 0.688138 -0.342538

16 3.181078 16.030912 7.296125 0.590249 0.944745 1.381198 3.795760 1.600000 0.653568 -0.347672

17 3.674992 15.956978 7.277642 0.534798 1.011567 0.000000 3.795760 0.605528 1.916666 -2.085647

18 4.218620 15.871606 7.256299 0.470769 1.085071 0.000000 3.795760 0.649528 1.824750 -2.080787

19 4.806568 15.773372 7.231740 0.397094 1.165926 0.000000 3.795760 0.697928 1.724427 -2.053368

20 5.429713 15.660749 7.203585 0.312626 1.254866 0.000000 3.795760 0.751168 1.616178 -2.002422

21 6.075074 15.532097 7.171422 0.216137 1.352700 0.000000 3.795760 0.809732 1.500812 -1.928066

22 6.726180 15.385644 7.134808 0.106298 1.460318 0.000000 3.795760 0.874153 1.379472 -1.831670

23 7.364020 15.219437 7.093257 -0.018357 1.578697 0.000000 3.795760 0.945015 1.253606 -1.715895

24 7.968559 15.031251 7.046210 -0.159497 1.708915 0.000000 3.795760 1.022964 1.124902 -1.584574

25 8.520665 14.818417 6.993002 -0.319122 1.852154 0.000000 3.795760 1.108707 0.995191 -1.442424

26 9.004176 14.577533 6.932781 -0.499786 2.009717 0.000000 3.795760 1.203025 0.866334 -1.294636

27 9.407774 14.303953 6.864386 -0.704970 2.183036 0.000000 3.795760 1.306775 0.740100 -1.146406

28 9.726330 13.990894 6.786121 -0.939765 2.373687 0.000000 3.795760 1.420900 0.618053 -1.002479

29 9.961515 13.627747 6.695334 -1.212126 2.583404 0.000000 3.795760 1.546437 0.501463 -0.866791

30 10.121585 13.196622 6.587553 -1.535469 2.814092 0.000000 3.795760 1.684528 0.391253 -0.742242

31 10.220349 12.664254 6.454461 -1.934745 3.067848 0.000000 3.795760 1.836428 0.287982 -0.630625

32 10.275387 11.958774 6.278091 -2.463855 3.346981 0.000000 3.795760 2.003517 0.191865 -0.532679

33 10.305458 10.875128 6.007179 -3.276590 3.654026 0.000000 3.795760 2.187316 0.102821 -0.448226

34 10.326866 8.078360 5.307987 -5.374165 3.991777 0.000000 3.795760 2.389495 0.020554 -0.376365

- 59 -

表 5-19 15 太陽質量

i M log P log T log d r log E log L x f h

0 -0.000000 16.413098 7.504206 0.733876 0.000000 4.936310 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000

1 0.001922 16.410988 7.503562 0.732490 0.079544 4.925078 1.938728 0.100000 0.998335 -0.033269

2 0.015293 16.404651 7.501570 0.728327 0.159088 4.890448 2.805873 0.200000 0.993351 -0.066179

3 0.051118 16.394098 7.498252 0.721394 0.238632 4.832650 3.301534 0.300000 0.985105 -0.098317

4 0.119554 16.379344 7.493611 0.711701 0.318176 4.751583 3.626901 0.400000 0.973693 -0.129341

5 0.229535 16.360412 7.487651 0.699262 0.397720 4.647105 3.853802 0.500000 0.959241 -0.158928

6 0.388466 16.337327 7.480378 0.684096 0.477265 4.519025 4.015319 0.600000 0.941910 -0.186785

7 0.601984 16.310121 7.471799 0.666222 0.556809 4.367098 4.130087 0.700000 0.921886 -0.212657

8 0.873806 16.278827 7.461919 0.645663 0.636353 4.191030 4.210253 0.800000 0.899379 -0.236334

9 1.205663 16.243482 7.450745 0.622442 0.715897 3.990465 4.264634 0.900000 0.874619 -0.257652

10 1.597319 16.204123 7.438283 0.596583 0.795441 3.764989 4.300086 1.000000 0.847848 -0.276493

11 2.046667 16.160787 7.424541 0.568112 0.874985 3.514130 4.322086 1.100000 0.819319 -0.292788

12 2.549892 16.113508 7.409521 0.537051 0.954529 3.237367 4.334978 1.200000 0.789288 -0.306515

13 3.101693 16.062318 7.393227 0.503420 1.034073 2.934165 4.342062 1.300000 0.758013 -0.317690

14 3.695538 16.007243 7.375661 0.467237 1.113617 2.604057 4.345692 1.400000 0.725747 -0.326373

15 4.323953 15.948301 7.356821 0.428512 1.193161 2.246845 4.347422 1.500000 0.692735 -0.332652

16 4.978809 15.885500 7.336701 0.387253 1.272705 1.863077 4.348187 1.600000 0.659212 -0.336649

17 5.651616 15.818835 7.315291 0.343456 1.352250 1.455161 4.348502 1.700000 0.625400 -0.338506

18 6.333798 15.748288 7.292579 0.297107 1.431794 1.029812 4.348624 1.800000 0.591506 -0.338385

19 7.139107 15.659922 7.270487 0.230833 1.526581 0.000000 4.348624 0.644214 1.900810 -2.463145

20 7.995377 15.558669 7.245174 0.154893 1.630847 0.000000 4.348624 0.688214 1.793186 -2.417121

21 8.888007 15.442995 7.216256 0.068137 1.745539 0.000000 4.348624 0.736614 1.677671 -2.345476

22 9.797700 15.311236 7.183316 -0.030682 1.871701 0.000000 4.348624 0.789854 1.555131 -2.248728

23 10.701206 15.161561 7.145897 -0.142938 2.010479 0.000000 4.348624 0.848418 1.426751 -2.128724

24 11.572776 14.991911 7.103484 -0.270176 2.163135 0.000000 4.348624 0.912838 1.294004 -1.988640

25 12.386266 14.799877 7.055476 -0.414201 2.331056 0.000000 4.348624 0.983701 1.158584 -1.832824

26 13.117671 14.582504 7.001133 -0.577231 2.515769 0.000000 4.348624 1.061649 1.022313 -1.666483

27 13.747729 14.335933 6.939490 -0.762159 2.718954 0.000000 4.348624 1.147393 0.887036 -1.495247

28 14.264185 14.054796 6.869206 -0.973012 2.942457 0.000000 4.348624 1.241711 0.754496 -1.324684

29 14.663335 13.731109 6.788284 -1.215777 3.188311 0.000000 4.348624 1.345461 0.626232 -1.159838

30 14.950591 13.352146 6.693543 -1.500000 3.458750 0.000000 4.348624 1.459585 0.503494 -1.004861

31 15.139963 12.895868 6.579474 -1.842208 3.756233 0.000000 4.348624 1.585122 0.387191 -0.862791

32 15.252441 12.319555 6.435396 -2.274443 4.083464 0.000000 4.348624 1.723213 0.277873 -0.735475

33 15.313281 11.523800 6.236457 -2.871259 4.443418 0.000000 4.348624 1.875113 0.175755 -0.623619

34 15.348010 10.173040 5.898767 -3.884329 4.839368 0.000000 4.348624 2.042203 0.080764 -0.526939

- 60 -

表 5-20 20 太陽質量

i M log P log T log d r log E log L x f h

0 -0.000000 16.340436 7.525810 0.617410 0.000000 5.147002 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000

1 0.002741 16.338226 7.526934 0.615923 0.097914 5.162383 2.303663 0.100000 0.998335 -0.033265

2 0.021802 16.331589 7.524907 0.611460 0.195828 5.127500 3.193649 0.200000 0.993352 -0.066144

3 0.072826 16.320542 7.521538 0.604029 0.293742 5.069382 3.691201 0.300000 0.985113 -0.098196

4 0.170161 16.305110 7.516838 0.593650 0.391656 4.988073 4.016556 0.400000 0.973718 -0.129059

5 0.326306 16.285329 7.510825 0.580347 0.489570 4.883623 4.243077 0.500000 0.959305 -0.158392

6 0.551453 16.261244 7.503518 0.564147 0.587484 4.756068 4.404198 0.600000 0.942043 -0.185890

7 0.853157 16.232905 7.494938 0.545087 0.685398 4.605414 4.518699 0.700000 0.922129 -0.211291

8 1.236135 16.200370 7.485107 0.523205 0.783312 4.431629 4.598796 0.800000 0.899785 -0.234388

9 1.702211 16.163702 7.474046 0.498543 0.881225 4.234627 4.653312 0.900000 0.875251 -0.255022

10 2.250385 16.122967 7.461776 0.471146 0.979139 4.014258 4.689062 1.000000 0.848780 -0.273090

11 2.877022 16.078234 7.448315 0.441059 1.077053 3.770306 4.711455 1.100000 0.820632 -0.288541

12 3.576143 16.029570 7.433679 0.408329 1.174967 3.502487 4.724754 1.200000 0.791069 -0.301371

13 4.339781 15.977043 7.417884 0.373001 1.272881 3.210460 4.732196 1.300000 0.760354 -0.311623

14 5.158393 15.920716 7.400941 0.335117 1.370795 2.893860 4.736103 1.400000 0.728741 -0.319380

15 6.021294 15.860647 7.382859 0.294716 1.468709 2.552366 4.738019 1.500000 0.696474 -0.324755

16 6.917089 15.796885 7.363646 0.251831 1.566623 2.185868 4.738896 1.600000 0.663785 -0.327893

17 7.834088 15.729469 7.343303 0.206489 1.664537 1.794856 4.739270 1.700000 0.630890 -0.328957

18 8.760682 15.658427 7.321831 0.158708 1.762451 1.381308 4.739420 1.800000 0.597988 -0.328127

19 9.685675 15.583770 7.299223 0.108496 1.860365 0.950668 4.739476 1.900000 0.565260 -0.325590

20 10.598565 15.505491 7.275469 0.055847 1.958279 0.515623 4.739497 2.000000 0.532865 -0.321541

21 11.489753 15.423561 7.250552 0.000743 2.056193 0.100471 4.739504 2.100000 0.500947 -0.316170

22 12.604416 15.311026 7.222418 -0.083658 2.185240 0.000000 4.739504 0.677344 1.874546 -3.084420

23 13.731297 15.182907 7.190389 -0.179747 2.327193 0.000000 4.739504 0.721344 1.741272 -2.962757

24 14.843056 15.037345 7.153998 -0.288919 2.483340 0.000000 4.739504 0.769744 1.601312 -2.812549

25 15.909745 14.872217 7.112716 -0.412765 2.655103 0.000000 4.739504 0.822984 1.456109 -2.637241

26 16.901142 14.685019 7.065917 -0.553163 2.844041 0.000000 4.739504 0.881548 1.307358 -2.441706

27 17.789571 14.472655 7.012826 -0.712436 3.051874 0.000000 4.739504 0.945968 1.156920 -2.231935

28 18.552865 14.231076 6.952431 -0.893621 3.280490 0.000000 4.739504 1.016831 1.006720 -2.014572

29 19.177000 13.954655 6.883326 -1.100936 3.531967 0.000000 4.739504 1.094779 0.858625 -1.796374

30 19.657997 13.635046 6.803424 -1.340643 3.808592 0.000000 4.739504 1.180523 0.714334 -1.583651

31 20.002731 13.258957 6.709401 -1.622710 4.112880 0.000000 4.739504 1.274841 0.575280 -1.381804

32 20.228476 12.803331 6.595495 -1.964429 4.447596 0.000000 4.739504 1.378591 0.442560 -1.194983

33 20.361087 12.223177 6.450456 -2.399544 4.815784 0.000000 4.739504 1.492715 0.316909 -1.025926

34 20.431722 11.412210 6.247714 -3.007770 5.220790 0.000000 4.739504 1.618252 0.198697 -0.875955

35 20.471824 9.997042 5.893922 -4.069146 5.666298 0.000000 4.739504 1.756343 0.087983 -0.745087

- 61 -

表 5-16～5-20 の結果を出したソースは上の(1.1)のものと若干違うので念のため載せておく。

このソースは、10 太陽質量の星の内部構造を表すものである。この実行結果が上の表 5-18 である。

#include<stdio.h>

#include<math.h>

double poly_p(double,double,double);

double poly_d(double,double,double);

double poly_mr(double,double,double,double,double);

double poly_r(double,double);

double energy(double,double);

double temp(double,double,double,double,double,double);

double pi = 3.1415926536; /*円周率*/

double G = 6.674e-8; /*重力定数(Nm^2/kg^2)*/

double a = 7.56464e-15; /*放射密度定数(erg/cm^3/K^4)*/

double rgas = 8.314e+7; /*気体定数(erg/mol/K)*/

double xx = 0.70; /*水素*/

double yy = 0.27; /*ヘリウム*/

double zz = 0.03; /*その他の元素*/

double m0 = 2.0e+33; /*太陽質量(g)*/

double r0 = 6.96e+10; /*太陽半径(cm)*/

double l0 = 3.83e+33; /*太陽光度(g/cm^2/s^3)*/

double r,p,d,mr;

int main(void)

{

int i;

double Mtot,pgc,prc,ptc,bc,b,fb,eec,m,l,ee,tc,dc,n,rn,x,f,h,dx,t,tt,dr;

FILE *fp;

fp = fopen("log10M=10.0.txt", "w");

printf("i M log P log T log d r log E log L x f h\n");

fprintf(fp, "i M log P log T log d r log E log L x f h\n");

/*総質量*/

for(Mtot = 10;Mtot <= 10;Mtot++) /*for_1*/

{

/*平均分子量*/

double mu = 2.0 / (1.0 + 3.0 * xx + 0.50 * yy);

- 62 -

/*中心の温度と密度*/

double w = log10(Mtot);

tc = 7.23937 + (0.2724354 - 0.0401771 * w)* w;

tc = pow(10.0,tc);

dc = 2.27899 - (1.658707 - 0.29329095 * w)* w;

dc = pow(10.0,dc);

/*接続質量*/

double ffit;

if(Mtot < 4)

ffit = 9;

else if(Mtot < 10)

ffit = 19.58794 - 17.58794 * w;

else

ffit = 2;

/*中心の諸量*/

pgc = rgas * dc * tc / mu;

prc = 1.0/3.0 * a * pow(tc,4.0);

ptc = pgc + prc;

bc = pgc / ptc;

b = 1.0 - 2.0/3.0 * (1.0 - bc);

fb = (8 - 6 * b) / (32 - (24 + 3.0 * b)* b);

n = (1 - fb) / fb;

rn = sqrt((n + 1) * ptc / 4.0 / pi / G / pow(dc,2.0));

eec = energy(tc,dc);

i = 0;

x = 0;

f = 1;

h = 0;

m = 0;

r = 0;

l = l0;

double p_p = poly_p(ptc,f,n);

double p_d = poly_d(dc,f,n);

double p_mr = poly_mr(pi,dc,rn,x,h);

double p_r = poly_r(rn,x);

printf("%d %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f\n",i,p_mr/m0,log10(p_p),log10(tc),log10(p_d),p_r/r0,log10(e

- 63 -

ec),log10(l/l0),x,f,h);

fprintf(fp,

"%d %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f\n",i,p_mr/m0,log10(p_p),log10(tc),log10(p_d),p_r/r0,log10(eec),log10(l/l0),x,f,

h);

/*第 1ステップ*/

i = 1;

l = 0;

dx = 0.10;

x = dx;

f = 1.0 - 1.0/6.0 * pow(dx,2.0) + n/120.0 * pow(dx,4.0);

h = - 1.0/3.0 * dx + n/30.0 * pow(dx,3.0);

p_p = poly_p(ptc,f,n);

p_d = poly_d(dc,f,n);

p_mr = poly_mr(pi,dc,rn,x,h);

p_r = poly_r(rn,x);

t = temp(mu,p,a,tt,rgas,d);

ee = energy(t,d);

dr = dx * rn;

l = 4.0/3.0 * pi * dc * eec * pow(dr,3.0);

printf("%d %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f\n",i,p_mr/m0,log10(p_p),log10(t),log10(p_d),p_r/r0,log10(ee

),log10(l/l0),x,f,h);

fprintf(fp,

"%d %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f\n",i,p_mr/m0,log10(p_p),log10(t),log10(p_d),p_r/r0,log10(ee),log10(l/l0),x,f,h);

/*第 2ステップ以降（対流圏）*/

int zone,stp,surface;

double flast,x12,f12,h12,p12,d12,t12,ee12;

i = 2;

for(zone = 1;zone <= 2;zone++) /*zone = 1 対流圏、zone = 2 放射圏、for_2*/

{

stp = 0;

do{

flast = f;

x12 = x + 0.50 * dx;

f12 = f + 0.50 * dx * h;

if(f12 > 0)

{ /*if_1*/

- 64 -

h12 = h + 0.50 * dx * (-pow(f,n) - 2.0 * h / x);

p12 = ptc * pow(f12,(n+1));

d12 = dc * pow(f12,n);

t12 = temp(mu,p12,a,t,rgas,d12);

if(zone == 1)

{ /*if_2*/

ee12 = energy(t12,d12);

} /*if_2*/

x = x + dx;

f = f + dx * h12;

if(f > 0)

{ /*if_3*/

h = h + dx * (-pow(f12,n) - 2.0 * h12 / x12);

p = ptc * pow(f,(n+1));

d = dc * pow(f,n);

m = poly_mr(pi,dc,rn,x,h);

r = rn * x;

t = temp(mu,p,a,t,rgas,d);

if(zone == 1)

{ /*if_4*/

l = l + 4.0 * pi * d12 * dx * ee12 * pow(rn,3.0) *

pow(x12,2.0);

} /*if_4*/

if(zone == 1)

{ /*if_5*/

ee = energy(t,d);

} else {

ee = 1.0;

} /*if_5*/

printf("%d %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f\n",i,m/m0,log10(p),log10(t),log10(d),r/r0,log10(ee),log10(l/l

0),x,f,h);

fprintf(fp,

"%d %f %f %f %f %f %f %f %f %f %f\n",i,m/m0,log10(p),log10(t),log10(d),r/r0,log10(ee),log10(l/l0),x,f,h);

i++;

- 65 -

} else {

surface = 1;

} /*if_3*/

} else {

surface = 1;

} /*if_1*/

if(zone == 1)

{ /*if_6*/

double test = 1.339944E+9 * p / m * l / pow(t,4.0) / fb;

/*ポリトロープの接合*/

if(test < 1)

{ /*if_7*/

f =ffit;

ptc = p / pow(ffit,4.0);

dc = d / pow(ffit,3.0);

rn = sqrt(ptc / pi / G / pow(dc,2.0));

x = r / rn;

h = -m / 4.0 / pi / dc / pow(rn,3.0) / pow(x,2.0);

n = 3.0;

dx = 0.04;

stp = 1;

surface = 0;

} /*if_7*/

} else {

/*放射圏*/

dx = 1.10 * dx;

if(surface == 1)

{ /*if_8*/

double xs,mt,rad,logteff;

stp = 1;

xs = x - flast / h;

mt = m + 0.50 * pi * pow(rn,3.0) * d * pow((x + xs),2.0) * (xs - x);

rad = r + rn * (xs - x);

logteff = 3.7613 + 0.25 * log10(l/l0) - 0.50 * log10(rad/r0);

} /*if_8*/

} /*if_6*/

}while(stp < 1);

- 66 -

}/*for_2*/

}/*for_1*/

fclose(fp);

}/*main*/

/*自作関数*/

double poly_p(double pc,double f,double n)

{

p = pc * pow(f,(n + 1));

return p;

}

double poly_d(double dc,double f,double n)

{

d = dc * pow(f,n);

return d;

}

double poly_mr(double pi,double dc,double rn,double x,double h)

{

mr = -4.0 * pi * dc * pow(rn,3.0) * pow(x,2.0) * h;

return mr;

}

double poly_r(double rn,double x)

{

r = rn * x;

return r;

}

double energy(double TT, double d)

{

double T,P1,P2,Epp,Ecno,E;

T = pow(TT/pow(10.0,9.0),1.0/3.0);

P1 = 1.0 + (0.133 + (1.09 + 0.938 * T)* T)* T;

P2 = 1.0 + (0.027 - (0.788 + (0.149 - (0.261 + 0.127 * T)* T)* T)* T)* T;

Epp = 2.376 * pow(10.0,4.0) * pow(T,-2.0) * P1 * exp(-3.38/T);

Ecno = 8.6665 * pow(10.0,25.0) * pow(T,-2.0) * P2 * exp(-15.228/T - pow(T,6.0)/9.5481);

E = d * (pow(xx,2.0) * Epp + 0.02 * xx * Ecno);

- 67 -

return E;

}

double temp(double mu,double p,double a,double tt,double rgas,double d)

{

int i;

tt = mu * p / rgas / d;

for(i = 1;i <= 10;i++){

tt = mu * (p - a * pow(tt,4.0) / 3.0) / rgas / d;

}

return tt;

}

このソースと(1.1)のソースの相違点は、主に２つ

ある。１つは、(1.1)のソースは 1～20 太陽質量に

ついてであるのに対して、このソースは 10 太陽質

量についてのみであること。もう一つは、出力する物

理量の数が(1.1)のソースよりこのソースの方が多

いことである。(1.1)のソースは様々な質量や化学組

成の星が HR 図や質量－光度関係上でどのように分

布するか（6 章、2）、このソースは例として 10 太

陽質量の星の内部構造がどうなっているか（6 章、

1）を表すものである。

- 68 -

6 章 計算結果―主系列星の内部構造と観測との比較

1．内部構造

この章では種々の質量の星について計算された

内部構造を示す。それぞれの物理量（質量 M、光

度 L、圧力 P、温度 T、密度ρ、エネルギー発生率

E）を半径ｒの関数（横軸）で表した。つまりグラ

フの左端が星の中心、右が表面である。また、単位

は質量、光度、半径については太陽単位とし、圧力

は )/( 2cmdyn 、温度は )(K 、密度は )/( 3cmg 、

エネルギー発生率は )/( gerg として、質量と半径

以外は対数を取った（スケールが異なるため）。

尚、以下のグラフは前章で述べたように、プログ

ラム結果をもとにグラフ描画ソフトSma4Winを

使って作成した。

またここでの温度Tは式(36)の有効温度ではな

く、式(16a)により計算した温度であり、この最後

の値が表面温度ということになる。しかし次のグ

ラフの表面温度を見ると、明らかに値が大きすぎ

る（対数計算すると表面温度が 20 万 K や 80 万

K ぐらいになってしまっている）し、星の質量に

よって温度の幅がありすぎる（5.43、10.33M☉で

は約 20 万 K、それ以外の質量では約 80 万 K）。

表 5-16～5-20 を見ると、20～35 通りの物理

量しか表示されていない。つまり半径が数十万～

数百万 km 単位である星を、中心から表面までそ

れだけしか分割していないということになる。そ

のため表面温度といっても、その領域（厚さ）が大

きすぎてそのどの部分の温度なのか不明確である

ことが原因と思われる。

それに対し、表 5-2～5-14 の温度は、式(36)

の有効温度として計算している。故にもっと妥当

な値（数千～数万(K)）となっている。

有効温度とは、すべての電磁波を完全に吸収す

る物質である黒体から放射される（黒体放射）熱の

温度であり、HR 図上に星をプロットするのに用

いられる（ここでもそうしている）。

参考： Ndyn 5101 （CGS 単位で、1g の物体

を2/1 scm 加速させる力）

Jerg 7101 （CGS 単位で、1dyn の力で

物体を 1 cm 動かすエネルギー）

太陽： 質量＝ )(100.2 33 g

半径＝ )(1096.6 10 cm

光度＝ )/(1083.3 33 gerg

有効温度： 太陽 ＝5,800(K)

シリウス＝10,000(K)

スピカ ＝17,000(K)

- 69 -

1.1．2.18 太陽質量の場合

表 6-1 2.18 太陽質量の星の物理諸量の中心および表面での値（質量、半径、光度は太陽単位）

質量 半径

圧力

)( 2cmdyn 温度 )(K

密度

)( 3cmg

光度

（対数）

エネルギー発生率

)( gerg

中心 0 0 171079.1

71008.2 64.0 0 21011.9

表面 2.18 1.22 111074.4

51088.7 31046.4 1000.2 0

◆左上：質量は、半径 r 内に含まれる値なので、中心から表面まで滑らかに増加している。光度は対数表記

なので、中心では－∞となる（他の質量でも同じ）。

◆右上：圧力は中心から表面まで、温度も中心から表面までほぼ滑らかに減少、低下している。

◆左下：密度も中心から表面まで滑らかに減少している。エネルギー発生率は、途中まで低下しそこから一

定になっている。

◆右下：光度とエネルギー発生率は、同じあたりで一定になっている。その理由は後で述べる。

0 0.5 1

-1

0

1

2

2太陽質量

対数（光度（太陽単位））

半径（太陽単位）

質量（太陽単位）

中心

表面

質量

光度

0 0.5 1

5

10

15

2太陽質量

対数（温度（

K））

半径（太陽単位）

対数（圧力（d

yn

/cm

2））

中心

圧力

表面

温度

0 0.5 1

-2

0

2

4

2太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（密度（g

/cm

3））

中心

表面

密度

エネルギー発生率

0 0.5 1-1

0

1

2

3

2太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（光度（太陽単位））

中心

表面

2層の境界

密度

エネルギー発生率

- 70 -

1.2．5.43 太陽質量の場合

表 6-2 5.43 太陽質量の星の物理諸量の中心と表面での値（質量、半径、光度は太陽単位）

質量 半径

圧力

)( 2cmdyn 温度 )(K

密度

)( 3cmg

光度

（対数）

エネルギー発生率

)( gerg

中心 0 0 161044.6 71057.2 18.3 0 31041.9

表面 5.43 2.65 81049.2 51084.1

61094.9 21009.6 0

2.18 太陽質量のグラフとほぼ同じ傾向である。

0 1 2

0

2

4

6

質量

5太陽質量

対数（光度（太陽単位））

半径（太陽単位）

質量（太陽単位）

中心

表面

光度

0 1 2

5

10

15

5太陽質量

対数（温度（

K））

半径（太陽単位）

対数（圧力（d

yn/c

m 2））

中心

圧力

温度

表面

0 1 2

-5

0

5

5太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（密度（g

/cm

3））

中心

密度

表面

エネルギー発生率

0 1 2

0

1

2

3

4

5太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（光度（太陽単位））

中心

光度

表面

エネルギー発生率

2層の境界

- 71 -

1.3．10.33 太陽質量の場合

表 6-3 10.33 太陽質量の星の物理諸量の中心と表面での値（質量、半径、光度は太陽単位）

質量 半径

圧力

)( 2cmdyn 温度 )(K

密度

)( 3cmg

光度

（対数）

エネルギー発生率

)( gerg

中心 0 0 161046.3 71096.2 8.20 0 41009.4

表面 10.33 3.99 81020.1 51003.2

61023.4 31025.6 0

0 1 2 3 4

0

5

10

10太陽質量

対数（光度（太陽単位））

半径（太陽単位）

質量（太陽単位）

中心

表面

質量

光度

0 1 2 3 4

5

10

15

10太陽質量

対数（温度（

K））

半径（太陽単位）

対数（圧力（d

yn/c

m 2））

中心

表面

圧力 温度

0 1 2 3 4

-5

0

5

10太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（密度（g

/cm

3））

中心

表面

密度

エネルギー発生率

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

10太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（光度（太陽単位））

中心

表面

2層の境界

光度 エネルギー発生率

- 72 -

1.4．15.35 太陽質量の場合

表 6-4 15.35 太陽質量の星の物理諸量の中心と表面での値（質量、半径、光度は太陽単位）

質量 半径

圧力

)( 2cmdyn 温度 )(K

密度

)( 3cmg

光度

（対数）

エネルギー発生

率 )( gerg

中心 0 0 161059.2 71019.3 5.42 0 41064.8

表面 15.35 4.84 101049.1 51092.7

41031.1 41023.2 0

0 1 2 3 4 5

0

5

10

15

15太陽質量

対数（光度（太陽単位））

半径（太陽単位）

質量（太陽単位）

中心

表面

質量 光度

0 1 2 3 4 5

5

10

15

15太陽質量

対数（温度（

K））

半径（太陽単位）

対数（圧力（d

yn/c

m 2））

中心

表面

圧力 温度

0 1 2 3 4 5

-5

0

5

15太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（密度（g

/cm

3））

中心

表面

密度

エネルギー発生率

0 1 2 3 4 5

0

1

2

3

4

5

15太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（光度（太陽単位））

中心

表面

2層の境界

光度 エネルギー発生率

- 73 -

1.5．20.47 太陽質量の場合

表 6-5 20.47 太陽質量の星の物理諸量の中心と表面での値（質量、半径、光度は太陽単位）

質量 半径

圧力

)( 2cmdyn 温度 )(K

密度

)( 3cmg

光度

（対数）

エネルギー発生率

)( gerg

中心 0 0 161019.2 71036.3 4.14 0 51040.1

表面 20.47 5.67 91093.9 51083.7

51053.8 41049.5 0

グラフの傾向としては、全質量において似通って

いるが、やはり相違点もあり、勿論それぞれの物理量

は表6-1～6-5を見て分かる通り全く異なっている。

ここで、種々の質量における物理諸量の中心と表

面の値を、物理諸量ごとの表として示しておく。

0 1 2 3 4 5 6

0

10

20

20太陽質量

対数（光度（太陽単位））

半径（太陽単位）

質量（太陽単位）

中心

表面

質量

光度

0 1 2 3 4 5 6

5

10

15

20太陽質量

対数（温度（

K））

半径（太陽単位）

対数（圧力（d

yn/c

m 2））

中心

表面

圧力

温度

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

20太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（密度（g

/cm

3））

中心

表面

密度

エネルギー発生率

0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

20太陽質量

対数（エネルギー発生率（

erg/g））

半径（太陽単位）

対数（光度（太陽単位））

中心

表面

2層の境界

光度

エネルギー発生率

- 74 -

表 6-6 半径（太陽単位）

星の質量 2.18 5.43 10.33 15.35 20.47

中心 0 0 0 0 0

表面 1.22 2.65 3.99 4.84 5.67

表 6-7 圧力 )( 2cmdyn

星の質量 2.18 5.43 10.33 15.35 20.47

中心 171079.1 161044.6 161046.3

161059.2 161019.2

表面 111074.4 81049.2 81020.1

101049.1 91093.9

表 6-8 温度 )(K

星の質量 2.18 5.43 10.33 15.35 20.47

中心 71008.2 71057.2 71096.2

71019.3 71036.3

表面 51088.7 51084.1 51003.2

51092.7 51083.7

表 6-9 密度 )( 3cmg

星の質量 2.18 5.43 10.33 15.35 20.47

中心 64.0 18.3 8.20 5.42 4.14

表面 31046.4 61094.9 61023.4

41031.1 51053.8

表 6-10 光度（太陽単位）（対数）

星の質量 2.18 5.43 10.33 15.35 20.47

中心 0 0 0 0 0

表面 1000.2 21009.6 31025.6

41023.2 41049.5

表 6-11 エネルギー発生率 )( gerg

星の質量 2.18 5.43 10.33 15.35 20.47

中心 21011.9 31041.9 41009.4

41064.8 51040.1

表面 0 0 0 0 0

中心部は圧力や温度が最も高く、それによって水

素の核反応が起こり、エネルギーが発生している。そ

れが上の全質量において右上のグラフ（圧力と温度）

に表れている。見ての通り、グラフの左（星の中心）

が圧力、温度ともに最も高い。他の物理量に比べて温

度の変化は小さくなっている。これはステファン・ボ

ルツマンの式から、光度が温度の 4 乗に比例するの

で、温度の少しの変化が光度に影響するからと思わ

れる。また全ての質量において、中心温度が 1000

万 K 以上になっているが、これは中心温度がこの温

度を超えると、水素による核融合反応が起こって「恒

星」となり得るからである。

前述した質量、圧力、温度、密度は滑らかに分布し

ているのに対し、光度やエネルギー発生率は最初だ

け急激に変化した後一定になっている。これらの星

では対流層である中心核内でのみエネルギーが発生

- 75 -

して、その外側の放射層では発生していないからで

ある。つまり、対流中心核内において、光度は外側に

行くほど上昇し、エネルギー発生率は中心が最も高

くなっていて、一定になっている部分が放射層であ

る。よって、一定になる最初の部分が対流層と放射層

の境界となる（右下グラフの 2 層の境界）。

2．観測との比較

2.1．HR 図

ここで、得られた結果を HR 図に表し、観測と比較してみる。

図 6-1 ヘリウムの割合を 0.27 で固定。

このモデルの適用範囲（2～20M☉）の星は全て黒

の点で表している。見ての通り観測データ（青線,

Lang(1992), Schmidt-Kaler(1982)）とほぼ一致

している。

赤の点 3 つは、左下、右下、上、の順で 1.1M☉、

1.2M☉、1.5M☉の星である。この 3 点は、元素の

割合が水素 0.7、ヘリウム 0.27、その他 0.03、の

みを示してある。2～20M☉まではほぼ一直線に星

が分布しているが、1M☉（1.1M☉の点の左の黒の点）

で急に外れている。1～2M☉の間でどう分布するの

か調べるために、この 3 つのデータを入れた。

また、なぜ 1M☉あたりまで来ると外れるのかとい

うと、これは 1M☉～20M☉全ての質量の星で 2 層

構造（対流中心核と外層放射圏）として計算している

が、太陽程度の質量にまで下がると、星の構造自体が

変わってくる（2 層構造ではなくなる）（「1 章、３．

主系列星の内部構造」を参照）ので、計算結果に影響

が出てくるのである。

3.544.5-4

-2

0

2

4

有効温度log T

光度

log

L/L

s

M=1~20、水素0.1～0.7、その他0.63～0.03M=1.1、1.2、1.5観測データ

- 76 -

図 6-2 水素の割合を 0.69 で固定。ヘリウムとその他の元素の割合を 1％ずつ変えた程度では、上のよう

にほとんどずれのない、６パターン全てがほぼ重なった HR 図になる。

図 6-3 図 6-1、6-2 を重ねたもの。

3.544.5-4

-2

0

2

4

有効温度log T

光度

log L

/Ls

ヘリウム0.31、その他0.00ヘリウム0.30、その他0.01ヘリウム0.29、その他0.02ヘリウム0.28、その他0.03ヘリウム0.27、その他0.04ヘリウム0.26、その他0.05

3.544.5-4

-2

0

2

4

有効温度log T

光度

log

L/L

s

M=1～20、水素0.1～0.7、その他0.63～0.03M=1.1、1.2、1.5観測データ

3.544.5-4

-2

0

2

4

ヘリウム0.31、その他0.00ヘリウム0.30、その他0.01ヘリウム0.29、その他0.02ヘリウム0.28、その他0.03ヘリウム0.27、その他0.04ヘリウム0.26、その他0.05

- 77 -

図 6-4 実際の HR 図の主系列にはこのような幅がある。これは、G2 型より早期（温度の高い）のスペク

トル型の恒星 1457 個を対象としているので、低温（右下）の方は空いている。(Hoffleit, &

Warren, 1991)

図 6-5 計算結果の HR 図に図 6-4 を重ねたもの。

3.544.5-4

-2

0

2

4

有効温度logT

光度

log

L/L

s

3.544.5-4

-2

0

2

4

有効温度logT

光度

log

L/L

s

M=1～20、水素0.1～0.7、その他0.63～0.03

3.544.5-4

-2

0

2

4

ヘリウム0.31、その他0.00ヘリウム0.30、その他0.01ヘリウム0.29、その他0.02ヘリウム0.28、その他0.03ヘリウム0.27、その他0.04ヘリウム0.26、その他0.05

3.544.5-4

-2

0

2

4

観測データ

- 78 -

2.2．質量－光度関係

HR 図同様、質量－光度関係も観測と比較してみる。

図 6-6 質量―光度関係。計算結果と文献の観測データ（Lang 1992, Schmidt-Kaler 1982）を比較。

図 6-7 ヘリウムの割合を 0.27 に固定。図 6-6 以外での水素とその他の元素の割合(水素 0.7、その他

0.03 以外)で作成したもの。

-1 0 1 2

-2

0

2

4

6

質量log M/Ms

光度

log

L/L

s

水素0.7、その他0.03観測データ（M=0.06～120）

-1 0 1 2

-2

0

2

4

6

水素0.6、その他0.13水素0.5、その他0.23水素0.4、その他0.33水素0.3、その他0.43水素0.2、その他0.53水素0.1、その他0.63

質量log M/Ms

光度

log

L/L

s

- 79 -

図 6-8 図 6-6、6-7 を重ねたもの。

図 6-9 図 6-2 同様、ヘリウムとその他の元素の割合を１％変えた程度では、ほとんど違いはなく、６パタ

ーンがほぼ重なっている。

-1 0 1 2

-2

0

2

4

6

質量log M/Ms

光度

log L

/Ls

水素0.7、その他0.03水素0.6、その他0.13水素0.5、その他0.23水素0.4、その他0.33水素0.3、その他0.43水素0.2、その他0.53水素0.1、その他0.63観測データ

-1 0 1 2

-2

0

2

4

6

ヘリウム0.31、その他0.00ヘリウム0.30、その他0,01ヘリウム0.29、その他0.02ヘリウム0.28、その他0.03ヘリウム0.27、その他0.04ヘリウム0.26、その他0.05

質量log M/Ms

光度

log L

/Ls

- 80 -

図 6-10 図 6-8 と図 6-9 を重ねたもの。水素固定のグラフがほとんどヘリウム固定の水素 0.7、その他

0.03 のグラフに重なっている。図 6-9 と同様の理由(図 6-6 の水素 0.7、ヘリウム 0.27、その他

の元素 0.03 と、図 6-9 の水素 0.69 固定、ヘリウム 0.31～0.26、その他の元素 0.00～0.05 と

いうことで、それぞれでの元素の割合が数%の違いしかない)で、ほとんど重なっている。

-1 0 1 2

-2

0

2

4

6

質量log M/Ms

光度

log L

/Ls

水素0.7、その他0.03水素0.6、その他0.13水素0.5、その他0.23水素0.4、その他0.33水素0.3、その他0.43水素0.2、その他0.53水素0.1、その他0.63観測データ

-1 0 1 2

-2

0

2

4

6

ヘリウム0.31、その他0.00ヘリウム0.30、その他0,01ヘリウム0.29、その他0.02ヘリウム0.28、その他0.03ヘリウム0.27、その他0.04ヘリウム0.26、その他0.05

- 81 -

参考文献

Fowler, W. A., Caughlan, G. R., & Zimmerman, B. A. 1975, Ann. Rev. A. & Ap. 13, 69

Hoffleit, D., & Warren, Jr., W. H. 1991, The Bright Star Catalog, 5th Revised Edition (Preliminary

Version), Astronomical Data Center, NSSDC/ADC

Huang, R. Q., & Yu, K. N. 1998, in Stellar Astrophysics (Sigapore: Springer), 81

Lang, K. R. 1992, in Astrophysical Data: Planets and Stars (New York:Springer-Verlag), p132,

133, 137, &138, Schmidt-Kaler (1982)

国立天文台 2015、理科年表平成 28 年版（丸善出版）

斉田 博 1983、星の年表（誠文堂新光社）

桜井 隆・小島 正宜・小杉 健郎・柴田 一成 2009、シリーズ 現代の天文学 10「太陽」（日本評論社）

柴田 望洋 2014、新・明解 C 言語 入門編（SB クリエイティブ）

野本 憲一・定金 晃三・佐藤 勝彦 2009、シリーズ 現代の天文学７「恒星」（日本評論社）

ポール・へリングス 2008、パソコンで宇宙物理学（国書刊行会）（Paul Hellings 1994, Astrophysics

with A PC (Willmann-Bell)の翻訳）

小暮智一 http://www.tenkyo.net/kaiho/pdf/2011_01/2011-01-03.pdf

プログラミング言語、C 言語、B 言語、BCPL、CPL、ミニコンピュータ、オペレーションシステム、アセン

ブリ言語―Wikipedia より