cena slovak telekom
DESCRIPTION
Cena Slovak Telekom. FUNKCIE - elektronická zbierka úloh RNDr. Marta Mlynarčíková – učiteľka matematiky Barbora Kuffová – žiačka 4. A triedy Miroslava Špirková – žiačka 4. A triedy Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Cena Slovak Telekom
prácu predkladáme ako spoločný projekt žiakov a učiteľa, ktorý sme vytvorili v školskom roku 2007/2008 v rámci Stredoškolskej odbornej činnosti
kompletná zbierka úloh ako aj celá práca SOČ je dostupná na stránke
http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html
FUNKCIE - elektronická zbierka úloh
RNDr. Marta Mlynarčíková – učiteľka matematikyBarbora Kuffová – žiačka 4. A triedy
Miroslava Špirková – žiačka 4. A triedy
Gymnázium P. O. Hviezdoslava v Kežmarku
Prečo sme sa rozhodli vytvoriť zbierku úloh z učiva o funkciách
• Funkcie sú v matematike na gymnáziách zastúpené v každom ročníku, postupne sa preberajú jednotlivé elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy.
• Napriek tomu, že úlohy sú pri každom type funkcií v princípe rovnaké, robí ich riešenie žiakom často problémy.
• Príčinu vidíme aj v tom, že v učebniciach sú len zadania úloh a ich výsledky a niektorí žiaci úlohy bez pomoci učiteľa nevedia riešiť.
• Bezradnosť pri riešení úlohy ako aj chýbajúca možnosť kontroly správnosti postupu riešenia mnohých žiakov odrádza a nemotivuje riešiť ďalšie príklady. Pritom by im na vyriešenie úlohy možno stačila len malá pomoc.
• Preto sme sa v našej práci rozhodli vytvoriť zbierku úloh, ktorá okrem zadaní a výsledkov obsahuje aj návod na riešenie a potrebné základné vzorce a grafy.
Ako je spracovaná zbierka úloh
• Naša zbierka obsahuje úlohy, ktoré sú vypracované v programe PowerPoint s využitím grafického programu Graphmatica.
• Každá úloha je spracovaná na niekoľkých farebne odlíšených prezentačných snímkach.
• Na jednotlivé snímky sa možno dostať kliknutím na hypertextové odkazy na úvodnej snímke každej úlohy, ktoré majú logickú postupnosť: Zadanie úlohy - Výsledok - Vzorce, grafy - Návod na riešenie - Úplné riešenie úlohy
• Výber úloh sme sa snažili urobiť tak, aby boli zastúpené všetky druhy funkcií podľa učebných osnov pre gymnázia a všetky základné typy úloh.
• Mnohé úlohy sú vymyslené (najmä úlohy na zostrojenie grafov funkcií). • Zadania niektorých úloh sme prebrali z literatúry, ale riešenia a návody sme vypracovali samostatne.
Štruktúra a charakteristika jednotlivých snímok každej úlohy
• 1. snímka – Zadanie úlohy obsahuje zadanie úlohy. Pri úlohách s výberom odpovede aj s ponukou odpovedí, z ktorých práve jedna je správna. Pri prevzatých úlohách je uvedený zdroj.
• 2. snímka – Výsledok je určená žiakom, ktorí úlohu vedeli riešiť samostatne a potrebujú si len overiť správnosť svojho riešenia. Pri úlohách na zostrojenie grafu funkcií je znázornený výsledný graf , pri výpočtových úlohách len číselný výsledok, pri slovných úlohách slovná odpoveď.
• 3. snímka – Vzorce, grafy obsahuje základné vzorce a grafy potrebné na riešenie danej úlohy.
• 4. snímka – Návod na riešenie je určená žiakom, ktorí nevedia úlohu samostatne riešiť. Na tejto snímke sa postupne po každom kliknutí objaví slovný návod ako treba úlohu riešiť. Niektorí žiaci budú možno potrebovať len časť návodu, iní vyriešia úlohu postupným vykonávaním všetkých krokov v návode.
5. snímka – Úplné riešenie úlohy je určená najslabším žiakom, ktorí sa môžu naučiť riešiť úlohy preštudovaním úplného riešenia. Pri úlohách na zostrojenie grafov funkcií sú obrázky s grafmi animované tak, že vzniká efekt postupného vykresľovania grafov. Jednotlivé grafy sú farebne odlíšené a spolu s grafom sú šípkami rovnakej farby znázornené posuny grafu. Po nakreslení grafu sú uvedené všetky vlastnosti funkcie. Pri úlohách s výberom odpovede je okrem správnej odpovede uvedený aj postup riešenia úlohy, prípadne zdôvodnenie vylúčenia nesprávnych odpovedí. Žiaci, ktorí vedeli úlohu riešiť samostatne si na tejto snímke môžu porovnať svoje riešenie s uvedeným riešením.
Možnosti využitia zbierky:
• Zbierku úloh možno použiť na precvičovanie učiva o funkciách podľa jednotlivých typov funkcií.
• V elektronickej podobe sa môže zbierka používať z CD nosiča, alebo môže byť sprístupnená na internetovej stránke.
• V tejto podobe je určená najmä na samostatnú domácu prácu žiakov, alebo precvičovanie riešenia úloh na hodine v škole v učebni vybavenej počítačmi.
• Pri práci so zbierkou úloh pri počítači je len na žiakovi ako bude s úlohami pracovať, v akom poradí bude otvárať jednotlivé snímky v prezentácii riešenia úlohy.
• Zbierka môže byť dobrou pomôckou aj pri príprave na maturitnú skúšku alebo prijímacie pohovory na vysokú školu.
Možnosti využitia vytlačenej zbierky:
• Jednotlivé snímky z prezentácie úlohy v PowerPointe sa dajú vytlačiť na papier, rozstrihať na kartičky a všetky kartičky patriace k jednej úlohy vložiť do obálky.
• Takto možno zbierku použiť aj bez počítačov v bežnej triede. • Kartičky vytlačené z našej zbierky majú oproti ručne písaným kartičkám krajšiu grafickú podobu a jednotnú úpravu. Bolo by dobré, ak by sa najmä úlohy na zostrojenie grafov funkcií vytlačili farebne. Pri čiernobielej tlači môže byť obrázok neprehľadný.
• Pri vytlačení riešenia na papier sa pochopiteľne nebudú grafy zostrojovaných funkcií zobrazovať postupne ako to umožňujú animácie v PowerPointe.
Možnosti využitia vytlačenej zbierky
• Vytlačená zbierka umožňuje oproti elektronickej aj ďalšie spôsoby použitia.
•Ak sa z obálok vyberú len kartičky so zadaním úloh, môže ich učiteľ použiť pri ústnom alebo písomnom skúšaní.
• Kartičky so zadaním a výsledkom (prípadne aj návodom a vzorcami) môže učiteľ rozdať ako domácu úlohu a na nasledujúcej hodine si žiaci z kartičky s úplným riešením skontrolujú svoje riešenie a prípadne sa dozvedia iný spôsob riešenia úlohy.
Ako bola zbierka doteraz využitá
• Naša zbierka bola v minulom školskom roku použitá pri vyučovaní tematických celkov Mocninové funkcie, Exponenciálne a logaritmické funkcie v 2. B triede našej školy. Učivo o exponenciálnych a logarit- mických funkciách bolo v tejto triede odučené metódou blended learningu (zmiešané vzdelávanie, v ktorom sa kombinuje klasické prezenčné vyučovanie s prvkami e-learningu). Naša zbierka je zaradená v kapitole Zbierka riešených úloh v komplexnom výučbovom hypertexte FUNKCIE ( http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/funkcie/funkcie_obsah.html ).
• Nakoľko je zbierka voľne prístupná na webovej stránke, využívajú ju aj ostatní žiaci pri domácej príprave na vyučovanie.
• Názory žiakov na našu zbierku sme v práci SOČ zisťovali aj anketou – výsledky ankety sú súčasťou práce SOČ ( http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html ).
Obsah a štruktúra zbierky
• Zbierka je rozdelená do štyroch kapitol: Lineárne a kvadratické funkcie, Goniometrické funkcie, Mocninové funkcie, Exponenciálne a logaritmické funkcie.
• Zbierka v súčasnosti obsahuje 55 riešených úloh a je doplnená aj základnými teoretickými poznatkami, ktoré sú potrebné na riešenie úloh - Definície vlastností funkcií, Prehľady grafov funkcií a ich vlastností.
• Do zbierky je zaradených aj 13 úloh, ktoré spracovali žiaci spomínanej 2.B triedy – pri týchto úlohách je uvedené meno žiaka, ktorý ju vypracoval. Žiaci tejto triedy dostali za domácu úlohu do prázdnej šablóny v PowerPointe vypracovať jeden príklad z učiva o mocninových, exponenciálnych a logaritmických funkciách rovnakým spôsobom ako boli nami spracované úlohy.
• Výhodou elektronickej zbierky je aj to, že ju možno kedykoľvek doplniť o ďalšie úlohy. Bolo by vhodné doplniť napr. príklady na derivácie a integrály funkcií. Podobné zbierky by sa dali vytvoriť aj z iného učiva.
Ukážky spracovania úloh z elektronickej zbierky
• Celá zbierka bola kvôli prepojeniu jednotlivých kapitol a úloh hypertextovými odkazmi vytvorená ako jedna prezentácia v PowerPointe. Jej veľkosť je 9,3 MB t. j. presahuje povolené 3 MB na práce tejto súťaže.
• V nasledujúcich snímkach tejto prezentácie preto nie je kompletná zbierka ale iba jej úvodné snímky a ukážky niekoľkých úloh.
• V zozname úloh jednotlivých kapitol, sme nechali všetky úlohy, hypertextové odkazy na niektoré úlohy preto nebudú funkčné. Nefunkčné odkazy sú označené symbolom x .
• Kompletná zbierka je dostupná na webovej stránke http://www.gpohkk.edu.sk/~mlynarcikova/soc_eucys_amavet.html
Prehľady grafov funkcií a ich vlastností x
Autorky SOČ: Barbora Kuffová
Miroslava Špirková
Lineárne a kvadratické
funkcie
Goniometrickéfunkcie
Mocninovéfunkcie
Definície vlastností
funkcií
Exponenciálnea logaritmické
funkcie
Konzultantka:RNDr. Marta Mlynarčíková
Lineárne a kvadratické funkcieLineárne a kvadratické funkcie
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Goniometrickéfunkcie
Mocninovéfunkcie
č. 1: slovná úloha o stoličkeč. 2: lineárna funkcia s 2 absolútnymi hodnotami x xč. 3: lineárna rovnica s 2 absolútnymi hodnotami a parametrom č. 4: funkcia s absolútnou hodnotou x xč. 5: funkcia s absolútnou hodnotou x xč. 6: graf kvadratickej funkcie x xč. 7: graf kvadratickej funkcie x xč. 8: graf kvadratickej funkcie – úloha s výberom odpovede x xč. 9: grafy lineárnych a kvadratických funkcií – priraďovacia úloha x xč. 10: graf funkcie s 2 absolútnymi hodnotami- úloha s výberom odpovede x xč. 11: graf kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotouč. 12: slovná úloha o obdĺžniku – úloha s výberom odpovede x xč. 13: slovná úloha o spotrebe benzínu x xč. 14: slovná úloha o brzdnej dráhe automobilu
Goniometrické funkcieGoniometrické funkcie
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Mocninovéfunkcie
č. 1: graf funkcie s kosínusom x xč. 2: graf funkcie so sínusom a kosínusom xxč. 3: graf funkcie so sínusom a absolútnou hodnotou x xč. 4: grafy funkcií so sínusom a kosínusom – priraďovacia úloha x xč. 5: graf funkcie s tangensom a absolútnou hodnotou x xč. 6: graf funkcie s kosínusom a absolútnou hodnotouč. 7: goniometrická rovnica x xč. 8: graf funkcie s kosínusom x xč. 9: graf funkcie s tangensom x xč. 10: graf funkcie s kotangensom x xč. 11: obsah obdĺžnika v grafe funkcie - úloha s výberom odpovede x xč. 12: goniometrická rovnica x xč. 13: goniometrické rovnice x x
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Mocninové funkcieMocninové funkcie
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Goniometrickéfunkcie
č. 1: párnosť mocninových funkcií – úloha s výberom odpovede x xč. 2: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou- úloha s výberom odpovede x xč. 3: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede x xč. 4: graf mocninovej funkcie s absolútnou hodnotou – úloha s výberom odpovede x xč. 5: slovná úloha o autobuseč. 6: nerovnica s lineárne lomenou funkciou č. 7: definičný obor funkcie x xč. 8: graf funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 9: rovnica s odmocninami x xč. 10: rovnica s odmocninamič. 11: nerovnica s odmocninou x xč. 12: rovnica s 3 odmocninami x xč. 13: graf lineárne lomenej funkcie s absolútnou hodnotou x x
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Exponenciálne a logaritmické funkcieExponenciálne a logaritmické funkcie
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Goniometrickéfunkcie
Mocninovéfunkcie
č. 1: spoločná vlastnosť funkcií – úloha s výberom odpovede x xč. 2: definičný obor – úloha s výberom odpovede x xč. 3: graf exponenciálnej funkcie x xč. 4: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou č. 5: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 6: logaritmická rovnica x xč. 7: slovná úloha o intenzite zvuku na diskotéke x xč. 8: graf logaritmickej funkcie x xč. 9: exponenciálna rovnicač. 10: graf logaritmickej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 11: graf exponenciálnej funkcie x xč. 12: exponenciálna rovnica x xč. 13: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 14: graf exponenciálnej funkcie s absolútnou hodnotou x xč. 15: rast a klesanie exponenciálnej funkcie x x
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Plastová stolička má prehnuté sedadlo. Pri zaťažení sa toto prehnutie zväčší, pričom prehnutie je lineárnou funkciou hmotnosti osoby, ktorá na stoličke sedí. Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 40 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,2 cm.Ak si na stoličku sadla osoba s hmotnosťou 60 kg, bolo sedadlo prehnuté o 6,7 cm. a) Vyjadrite rovnicou funkciu, ktorá vyjadruje závislosť prehnutia sedadla od hmotnosti osoby, ktorá na nej sedí.b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak výrobca stoličky udáva jej nosnosť do 120 kg.c) Odčítaním z grafu funkcie aj výpočtom z rovnice určte aké veľké bude prehnutie sedadla, ak si na stoličku sadne osoba s hmotnosťou 90 kg.
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 49)
Lineárne a kvadratickéfunkcie
VýsledokVýsledok
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
2,5.025,0: mpf
Ak si na stoličkusadne osobas hmotnosťou 90 kg, prehnutie sedadla bude 7,45 cm.
a)
b)
c)
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Vzorce, grafyVzorce, grafy
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Rbabxayf ,,.:Lineárna funkcia:
Graf lineárnej funkcie - priamka
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
do rovnice lineárnej funkcie f: p=a.m+b dosaďte podľa textu úlohy príslušné číselné hodnoty m a p získame sústavu dvoch rovníc s neznámymi a, b
označte si premenné – napr. m – hmotnosť osoby, p – prehnutie sedadla
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
vypočítané hodnoty koeficientov a, b dosaďte do rovnice lineárnej funkcie
sčítacou alebo dosadzovacou metódou vyriešte sústavu rovníc
vo vhodnej mierke narysujte graf funkcie f ( na jej narysovanie stačia 2 body, lebo grafom lineárnej funkcie je priamka)
cez hodnotu 90 na vodorovnej osi veďte kolmicu na túto os, v priesečníku s grafom veďte kolmicu na zvislu os a odčítajte príslušné prehnutie sedadla
do rovnice funkcie f dosaďte za m=90 a vypočítajte p
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
m ... hmotnosť osoby v kgp ... prehnutie sedadla stoličky v cm
Rbabmapf ,,.:
ba
ba
60.7,6
40.2,6
Riešením sústavy rovníc určímekoeficienty a, b
2,5025,0 ba
2,5.025,0: mpf
45,72,590.025,090 pmAk si na stoličku sadne osobas hmotnosťou 90 kg, prehnutiesedadla bude 7,45 cm.
a)
c)
b)
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Je daná funkcia f.
a) Zostrojte graf funkcie f.b) Pomocou grafu funkcie f určte počet riešení rovnice
v závislosti od hodnoty reálneho parametra p.
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
22
11: xxyf
(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52)
Lineárne a kvadratickéfunkcie
pxx 22
11
VýsledokVýsledok
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
riešenia dve má rovnica,2
3
riešenie jedno má rovnica2
3
riešenie nemá rovnica2
3,
p
p
p
a) b)
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Vzorce, grafyVzorce, grafy
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
byf :
0a 0a
baxyf :
0a
baxyf :
aaa
aaaRa
0
0:Definícia:
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
určte nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcie, ktoré rozdelia množinu R na tri intervaly
do jednej súradnicovej sústavy načrtnite grafy všetkých troch funkcií
ľavá strana rovnice je funkcia f, pravá strana je parametrický systém konštantných funkcií gp
graf funkcie f je zjednotením jednotlivých funkcií na daných intervaloch: f=f1Uf2Uf3
na jednotlivých intervaloch nahraďte absolútne hodnoty výrazmi, ktoré sa im rovnajú - využite definíciu absolútnej hodnoty ( môžete to urobiť v prehľadnej tabuľke ) – na jednotlivých intervaloch získate tri lineárne funkcie
počet riešení rovnice je rovnaký ako počet priesečníkov grafu funkcie f s funkciou g pre každú hodnotu reálneho parametra p
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
nulové body výrazov v absolútnych hodnotách funkcief: y= |1 - x| -0,5.|x + 2|1-x=0 x= 1 x+2=0 x=-2
22
12
2
11:1 xxxyf
xxxyf2
32
2
11:2
22
12
2
11:3 xxxyf
321 ffff
riešenie nemá rovnica2
3,
p
riešenie jedno má rovnica2
3p
riešenia dve má rovnica,2
3
p
pxx 22
11
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
2
53
2
1: 2 xxyf
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Lineárne a kvadratickéfunkcie
VýsledokVýsledok
,0 , fHRfD
funkcia f nie je párna ani nepárna
funkcia f nie je prostá
funkcia f nie je zhora ohraničená
funkcia f je zdola ohraničená , d=0
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
funkcia f je klesajúca na intervaloch
funkcia f je rastúca na intervaloch
2
53
2
1: 2 xxyf
53, a 1,
5, a 3,1
funkcia f má neostré minimá v bodoch x = 1 a x=5
funkcia f nemá maximum
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Základný grafZákladný graf
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
cbxaxyf 2:
0a
0a
cbxaxyf 2:
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f1: y=x2
načrtnite graf funkcie f2: y=(x-3)2 ... posun o 3 doprava zväčší dvakrát
načrtnite graf funkcie f4: y= 0,5.(x-3)2-2 ... posun o 2 nadol
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
načrtnite graf funkcie f3: y= 0,5.(x-3)2 ... všetky funkčné hodnoty sa dvakrát zmenšia
rovnicu funkcie f upravte na vrcholový tvar f: y=| 0,5.(x-3)2-2|
načrtnite graf funkcie f5=f: y=| 0,5.(x-3)2-2| ... časť grafu, ktorá je pod osou x sa preklopí nad os x
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
22 3: xyf
23 3
2
1: xyf
21 : xyf
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
Vlastnostifunkcie fsú uvedenév časti – Výsledok
232
1: 2
3 xyf 232
1: 2
3 xyf
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Automobil pohybujúci sa rýchlosťou 90 km.h-1, začal brzdiťs konštantným zrýchlením 5 m.s-2 orientovaným proti smerupohybu. a) Určte brzdnú dráhu automobilu do úplného zastavenia.b) Znázornite graficky, ako pri brzdení závisí okamžitá rýchlosť a dráha od času.c) Vypočítajte akou rýchlosťou narazí automobil do pevnej prekážky, ak išiel v hmle rýchlosťou 90 km.h-1a začal brzdiť 30 m pred prekážkou.
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
(ZHOUF, J. a kol: Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky, str. 52)
Lineárne a kvadratickéfunkcie
VýsledokVýsledok
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Brzdná dráha automobilu do úplného zastavenia je 62,5 metrov.
a)
b) tatvvf 525: 0 220 2
525
2
1: ttattvsg
Auto narazí do prekážky rýchlosťou 64,8 km/h.c)
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Vzorce, grafyVzorce, grafy
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
atvv 02
0 2
1attvs
Základné vzorce pre rovnomerne spomalený pohyb:
0a baxyf :
0a baxyf :
cbxaxyf 2:0a
0a
cbxaxyf 2:0a
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
zapíšte fyzikálne vzťahy pre rýchlosť a dráhu rovnomerne spomaleného pohybu uvedomte si, že pri zastavení je rýchlosť nulová – z rovnice pre rýchlosť vyjadrite čas a dosaďte do rovnice pre dráhu – po dosadení zadaných číselných hodnôt vypočítajte brzdnú dráhu
premeňte počiatočnú rýchlosť na m.s-1
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
vypočítajte potrebný počet hodnôt týchto funkcií a načrtnite ich grafy - osi súradnicovej sústavy neoznačte x a y ale tak, aby to zodpovedalo označeniu príslušných fyzikálnych veličín
do rovníc pre rýchlosť a dráhu dosaďte dané hodnoty a zistite aký typ funkcie vyjadruje závislosť rýchlosti od času a závisloť dráhy od času
do vzorca pre dráhu dosaďte dané hodnoty a vyriešte kvadr. rovnicu s neznámou t – vypočítanú hodnotu dosaďte do vzorca pre rýchlosť a tak získate rýchlosť pri náraze na prekážku
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
atvv 02
0 2
1attvs
pri zastavení1.0 smv
a
vtatv 0
00
a
v
a
va
a
vvs
22
1 20
2
000
ms 5,625.2
252
Brzdná dráha automobiludo úplného zastavenia je62,5 metrov.
110 .25.90 smhkmv
2.5 sma
a)
b)tatvvf 525: 0
... lineárna klesajúca funkcia
Pokračovanieriešenia úlohy
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
220 2
525
2
1: ttattvsg ... kvadratická funkcia
b) c)11
0 .25.90 smhkmv
ms 30
20 2
1attvs
252
12530 tt
)56,8(4,1
52
01210
21
2
sstst
D
tt
atvv 0
11 .8,64.18
4,1.525
hkmsm
v
Auto narazí do prekážkyrýchlosťou 64,8 km/h.
Lineárne a kvadratickéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
42cos.3:
xyf
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Goniometrickéfunkcie
VýsledokVýsledok
3,0 , fHRfD
funkcia f nie je párna ani nepárna
funkcia f je periodická 2min p
funkcia f nie je prostá
funkcia f je zdola ohraničená, d=0
funkcia f je zhora ohraničená, h=3
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
funkcia f má neostré maximá v každom bodex=1,5π+2kπ, k є Z
funkcia f má neostré minimá v každom bodex=0,5π+2kπ, k є Z
funkcia f je rastúca na každom intervale(0,5π+2kπ, 1,5π+2kπ) , k є Z
funkcia f je klesajúca na každom intervale(1,5π+2kπ, 2,5π+2kπ) , k є Z
22
1cos3:
xyf
Goniometrickéfunkcie
Základný grafZákladný graf
xyf cos:1
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Goniometrickéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie f1: y=cosx
načrtnite graf funkcie f2: y=cos(x+π/2) ... posun o π/2 doľava načrtnite graf funkcie f3: y=cos[1/2.(x+π/2)]
... perióda sa dvakrát zväčší načrtnite graf funkcie f4: y=|cos[1/2.(x+π/2)]| ... časti grafu pod osou x sa preklopia nad os x načrtnite graf funkcie f: y=3.|cos[1/2.(x+π/2)]| ... hodnoty funkcie sa zväčšia trikrát
v argumente funkcie f vyjmite pred zátvorku 1/2 f: y=3.|cos(x/2+π/4)|=3.|cos[1/2.(x+π/2)]|
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
Goniometrickéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
2cos:2
xyf
22
1cos:4
xyf
22
1cos:3
xyf
22
1cos3:5
xyff
xyf cos:1
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
Vlastnostifunkcie fsú uvedenév časti – Výsledok
Goniometrickéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Autobus jazdí pravidelne na trati medzi dvoma mestami vzdialenými 120 km. Na zastávkach stojí spolu 30 minút. a) Napíšte rovnicu funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času cestovania od priemernej rýchlosti autobusu.b) Načrtnite graf tejto funkcie, ak priemerná rýchlosť autobusu je v rozmedzí 40 km.h-1 až 90 km.h-1 .c) Určte definičný obor a obor hodnôt tejto funkcie.d) Vypočítajte a vyznačte ako odčítame z grafu funkcie pri akej priemernej rýchlosti autobusu príde autobus do cieľovej stanice presne o 2 hodiny?e) Aký najkratší môže byť čas cestovania na tejto trase ?f) Koľko korún zaplatí cestujúci na tejto trase, ak dopravca účtuje 1,50 Sk za každý kilometer a poplatok za batožinu je 10 Sk ?
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Mocninovéfunkcie
VýsledokVýsledok
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
vtf
120
2
1:
1.90,40 hkmfD min303min,5012
7,
6
11hodhodhodfH
a)
b)
c)
e)
Najkratší možnýčas cestovania je 1 hod a 50 min.
Cestujúci zaplatína tejto trase 190 Sk.
f)
d)
d)
Autobus príde docieľovej stanicepresne o 2 hodinypri priemernej rýchlosti80 km.h-1.
Mocninovéfunkcie
Základný grafZákladný graf
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
x
kyf : k>0
k<0
tvs .
x
kyf :
Mocninovéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy čas 30 min premeňte na hodiny a zo základného fyzikálneho vzorca vyjadrite čas v závislosti od priemernej rýchlosti a dráhy, potom nezabudnite pripočítať čas, ktorý stojí autobus na zastávkach uvedomte si, ktoré veličiny sa nemenia (sú konštantné) a na základe toho určte o aký typ funkcie ide vo vhodnej mierke načtrnite graf funkcie, ktorá vyjadruje závislosť času jazdy od priemernej rýchlosti autobusu (vodorovná os – rýchlosť v, zvislá os – čas t) definičný obor funkcie je určený hraničnými priemernými rýchlosťami autobusu (zohľadnite to na grafe) a odčítaním z grafu alebo výpočtom určte obor hodnôt
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
do rovnice funkcie dosaďte za t=2 hod a vypočítajte v , v grafe veďte cez 2 na zvislej osi rovnobežku s vodorovnou osou a v jej priesečníku s grafom veďte kolmicu na vodorovnú os a odčítajte rýchlosť
najkratší čas cestovania určte z oboru hodnôt a vypočítajte cenu, ktorú zaplatí cestujúci
Mocninovéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
vv
stf
120
2
1
2
1:
hodhodhodfH
thkmv
thkmv
hkmfD
5,3min,5012
7,
6
112
73
2
1
40
120
2
1.40
6
11
3
4
2
1
90
120
2
1.90
.90,40
1
1
1
803
240
23
120120
2
122 v
vt
b)
e) Najkratší čas cestovania dosiahneme pri najvyššej priemernej rýchlosti autobusu:
.min5016
11
3
4
2
1
90
120
2
1.90 min
1 hodhodthkmv
Skc 190105,1.120 f) Cestujúci zaplatí
a)c)
d)d)
Autobus príde do cieľovej stanice presne o 2 hodiny pri priemernej rýchlosti 80 km.h-1.
Mocninovéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré sú riešeniami nerovnice
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
1143
1
xx
x
Mocninovéfunkcie
VýsledokVýsledok
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Súčet všetkých prirodzených čísel, ktoré vyhovujú danej nerovnici je 7.
4,2,14,32, NK
Mocninovéfunkcie
Základné grafyZákladné grafy
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
baxyf : baxyf :
0a0a
byf :
0a
x
kyf :
x
kyf :
0k 0k
Mocninovéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
výraz na ľavej strane nerovnice určuje funkciu
upravte rovnicu funkcie f na tvar načrtnite graf funkcie f ( je to lineárne lomená funkcia, ktorej grafom je hyperbola, preto je potrebné najprv narysovať asymptoty) výraz na pravej strane nerovnice určuje funkciu do tej istej súradnicovej sústavy načrtnite graf funkcie g
nerovnicu je vhodné riešiť graficky
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
priesečníky grafov zodpovedajú riešeniu rovnice, pri riešení nerovnice hľadáme všetky hodnoty x, pre ktoré je graf funkcie f nad grafom funkcie g
3
1:
x
xyf
sx
kryf
:
114: xyg
z grafov odčítame všetky prirodzené čísla, ktoré vyhovujú nerovnici a určíme ich súčet
skúste danú nerovnicu vyriešiť aj numericky a porovnajte náročnosť riešenia
Mocninovéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
1143
1
xx
x
3
1:
x
xyf
114: xyg
Graficky vyriešime danú nerovnicu
3
41
3
1:
xx
xyf
Funkcia f je lineárna lomená funkcia.
1 , 3 RfHRfD
xgxf
g je lineárna funkcia.
Z grafov odčítame priesečníky oboch funkcií ako aj riešenie nerovnice. V R je to zjednotenie intervalov 4,32,
V množine prirodzených čísel danej nerovnici vyhovujú len čísla 1, 2, 4 . Ich súčet je1+2+4=7.
Mocninovéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Spracovala: Martina Marhefková, 2.B
Zadanie úlohyZadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Vyriešte v obore reálnych čísel danú rovnicu.
12584 2 xxx
Mocninovéfunkcie
VýsledokVýsledok
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
2
1K
Mocninovéfunkcie
Vzorce, grafyVzorce, grafy
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
Mocninovéfunkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
Rovnicu umocníme a tým odstránime jednu odmocninu.Na pravej strane rovnice použijeme vzorec (a+b)2.Presunieme členy rovnice na pravú stranu, na ľavej necháme odmocninu.Rovnicu umocníme, pozlučujeme členy a vyjadrime x1 a x2.Keďže sme použili dôsledkové úpravy (umocnenie), je nutná skúška.Vykonaním skúšky správnosti zistime, či vypočítané korene sú aj koreňmi danej rovnice.
Mocninovéfunkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
2
1
:4
1
164
181658
1458
4144584
12584
12584
2
2
2
2
222
22
22
x
x
x
xxx
xx
xxxxx
xxx
xxx
2
11 x
2
12 x
neexistuje
xL 2319152
18
4
14ˇ 1
011
001111544
14ˇ
2
2
xP
xL
22
11
ˇ
ˇ
xPxL
xPxL
2
1K
Mocninovéfunkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Zadanie úlohyZadanie úlohy
Načrtnite graf funkcie a popíšte jej vlastnosti.
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
24
1.
2
1:
2
x
yf
Exponenciálnea logaritmické funkcie
VýsledokVýsledok
),0 , fHRfD
funkcia f nie je párna ani nepárna
funkcia f nie je periodická funkcia f nie je prostá
funkcia f je zdola ohraničená, d=0
funkcia f nie je zhora ohraničená
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
funkcia f má ostré minimum v bode x = -3
funkcia f je klesajúca na intervale
funkcia f nemá maximum
funkcia f je rastúca na intervale
3,
,3
24
1.
2
1:
2
5
x
yff
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Základné grafyZákladné grafy
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
xayf :
xayf :
1a
10 a
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
načrtnite graf funkcie ... posun o 2 jednotky doľava načrtnite graf funkcie
... hodnoty funkcie sa zmenšia dvakrát a graf sa preklopí pod os x
načrtnite graf funkcie
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
sledujte graf výslednej funkcie f a popisujte jej vlastnosti: D(f), H(f), párnosť, nepárnosť, periodičnosť, prostosť, ohraničenosť, maximá a minimá, intervaly rastu a klesania
x
yf
4
1:1
2
2 4
1:
x
yf
2
3 4
1.
2
1:
x
yf
načrtnite graf funkcie ... časť grafu pod osou x sa
preklopí nad os x
24
1.
2
1:
2
5
x
yff
načrtnite graf funkcie ... posun o 2 jednotky nahor
24
1.
2
1:
2
4
x
yf
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
2
2 4
1:
x
yf
x
yf
4
1:1
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
Vlastnostifunkcie fsú uvedenév časti – Výsledok
2
3 4
1.
2
1:
x
yf
24
1.
2
1:
2
4
x
yf
24
1.
2
1:
2
5
x
yff
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Zadanie úlohy Výsledok
Vzorce, grafy Návod na riešenieÚplné riešenie
úlohy
Spracoval: František Bizovský, 2.B
Zadanie úlohyZadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
V obore reálnych čísel vyriešte exponenciálnu rovnicu :
082 73 31 3 13 x xx x
Exponenciálnea logaritmické funkcie
VýsledokVýsledok
Zadanie úlohy
Návod na riešenie
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
13
20K
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Vzorce, grafyVzorce, grafy
Zadanie úlohy
VýsledokNávod na riešenie
Riešenie úlohy
abb a xx
abba xx
2
1
xx
bd
cbad
d
c
b
a
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Návod na riešenie úlohyNávod na riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Riešenie úlohy
Vzorce,grafy
Výsledok
na ľavej strane si odstránime odmocninu v prvom člene, druhý člen ľavej strany upravíme na rovnaký základ ako má prvý člen
odmocniny si upravíme do exponenciálneho tvaru, tak aby ani jeden z členov rovnice nebol záporný
z vlastností exponenciálnych funkcií vyplýva ( exp. funkcia je prostá), že ak sa mocniny s rovnakým základom rovnajú, tak sa rovnajú aj exponenty exponenty si prehodíme na ľavú stranu a dáme na spoločného menovateľa
vynásobíme rovnicu menovateľom, roznásobíme výraz na ľavej strane
upravíme výraz a vyjadríme x, overíme, či koreň vyhovuje podmienkam, zapíšeme množinu riešení
Exponenciálnea logaritmické funkcie
Úplné riešenie úlohyÚplné riešenie úlohy
Zadanie úlohy
Vzorce,grafy
VýsledokNávod na riešenie
13
20
2013
02717697379
033937313
07333
33937313
073
13
33
1373
13
33
13
22
022
082
22
73
93
33
13
73 9333 13
73 31 3 1
x
x
xxxxxx
xxxx
xx
xxxxx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x xx x
x xx x
3
7,1 xx
Exponenciálnea logaritmické funkcie