centro de gravedad trabajo 2
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trabajo sobre las especificaciones del centro de gravedadTRANSCRIPT
CENTRO DE GRAVEDAD
El centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las
fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un
cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante
aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de
todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al
cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que
constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
El centro de gravedad. De un cuerpo no corresponde necesariamente a un
punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado
en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.
Paso 1: Considerar una figura 2D arbitraria.
Paso 2: Suspéndase la figura desde un punto
cercano a una arista. Marcar con línea vertical con
una plomada.
Paso 3: Suspéndase la figura de otro punto no
demasiado cercano al primero. Marcar otra línea
vertical con la plomada. La intersección de las dos
líneas es el centro de masa.
CÁLCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD
CENTRO DE GRAVEDAD.
El centro de gravedad de un cuerpo viene dado por el único vector que
cumple que:
En un campo gravitatorio uniforme, es decir, uno en que el vector
de campo gravitatorio es el mismo en todos los puntos, la definición
anterior se reduce a la definición del centro de masas:
En el campo gravitatorio creado por un cuerpo material cuya
distancia al objeto considerado sea muy grande comparado con las
dimensiones del cuerpo y del propio objeto, el centro de gravedad del
objeto vienen dado por:
Ejemplo. Dada una barra homogénea de longitud L, orientada hacia
un planeta lejano, y cuyo centro de masa dista una distancia Dc.m.,del
centro del planeta, el centro de gravedad de la barra está situado a una
distancia del centro del planeta dado por:
CENTROIDE
El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su
localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas
para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se
consideran tres casos específicos.
VOLUMEN.
Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del
centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los
momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que
resultan son:
X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv
" dv " dv " dv
AREA.
De manera semejante, el centroide para el área para el área superficial de un
boleto, como una placa o un casco puede encontrase subdividiendo el área en
elementos diferentes da y calculando los momentos de estos elementos de área en
torno a los ejes de coordenadas a saber.
X = " x da Y = " y da Z = " z da
" dva " da " da
LINEA.
Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la
forma de una línea, la manera de encontrar su centroide es el siguiente:
X = " x dl Y = " y dl Z = " z dl
" dl " dl " dl
NOTA: En todos los casos anteriores la localización del centroide no esta
necesariamente dentro del objeto. También los centroide de algunas formas
pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de
simetría. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetría el centroide de
la forma estará lo largo del eje.
DEFINICIÓN PARA LOS MOMENTOS DE INERCIA PARA LAS
AREAS
El momento de inercia de un área se origina cuando es necesario calcular el
momento de una carga distribuida que varia linealmente desde el eje de momento.
Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presión
debida a un líquido sobre la superficie de una placa sumergida.
MOMENTO DE INERCIA
Consideremos el área A, que se muestra en la figura situada en el plano x -
y. Por definición los momentos de inercia del área plana diferencial da en torno al
eje x y al eje y son dlx = y2 da y dly = x2 da, respectivamente. Para el área total
los momentos de inercia se determinan por integración es decir,
También podemos formular el segundo momento del área diferencial da en
torno al polo O o el eje Z, a esto no referimos como el Momento Polar de
Inercia, djo = r2 da. Aquí r es la distancia perpendicular del polo (eje z) al
elemento da. Para el área total, el momento polar de inercia es:
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS
Si se conoce el momento de inercia de una área alrededor de un eje que pasa
por su centroide, conviene determinar el momento d inercia del área en torno al
eje correspondiente paralelo usando el teorema de los eje paralelos. Para deducir
este teorema, consideramos la determinación del momento de inercia de la región
sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este caso, un
elemento diferencial da del área se localiza a una distancia arbitraria y a partir del
eje centroidales x' mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se
define como dy. Como el momento de inercia de da alrededor del eje x es dlx=(y'
+ dy)2 entonces para la totalidad del área:
Ix ="A (y' + dy)2 da
Iy ="A y'2 da + 2dy "A y' da + dy2 "A da
La primera integral representada el momento de inercia del área en torno al
eje centroide, Ix. La segunda integral es cero, ya que el eje x' pasa a través del
centroide del área C; es decir, " y' da = y " da = 0, puesto que y = 0. Si
comprendemos que la tercera integral representa la totalidad del área A, el
resultado final es, por lo tanto,
Una expresión semejante puede escribirse para Iy, es decir:
Y finalmente, para l momento polar de inercia en torno a un eje
perpendicular al plano x - y y que pasa a través del polo O (eje z) tenemos:
La forma de cada una de estas ecuaciones establece que el momento de
inercia de una área alrededor de un eje es igual al momento de inercia del área en
torno a un eje paralelo que pasa a través del centroide más el producto del área y
el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes.
RADIO DE GIRO DE UNA ÁREA
El radio de giro de una área plana se usa a menudo para el diseño de
columnas en mecánica estructural. Siempre que se conozcan el área y los
momentos de inercia, los radios de giro se determinaran a partir de las formulas.
Note que la forma de estas ecuaciones se recuerda fácilmente ya que es
semejante a las que se utilizan para el momento de inercia de un área diferencial
alrededor de un eje.
MOMENTOS DE INERCIA PARA UNA AREA POR INTEGRACION
Cuando las fronteras de un área plana pueden expresarse mediante funciones
matemáticas, las ecuaciones (1 a) pueden integrarse para determinar los momentos
de inercia para el área. Si el elemento de área escogido para la integración tiene un
tamaño diferencial en dos direcciones, debe efectuarse una doble integración para
evaluar el momento de inercia.
TEOREMAS DE PAPPUS – GULDIN
Se utilizan para calcular de forma sencilla volúmenes de cuerpos de
revolución y áreas de superficies de revolución. También se aplican al cálculo de
c.d.g de curvas planas o de superficies planas si son conocidas el área de la
superficie generada por la curva o el volumen del cuerpo engendrado por el área.
PRIMER TEOREMA:
El área lateral que engendra una línea plana L al girar alrededor de un eje
contenido en su plano y que no la corta es igual al producto de la longitud de la
línea por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad en su
giro alrededor de dicho eje.
A = 2 yg L
SEGUNDO TEOREMA:
El volumen que engendra una superficie plana S al girar alrededor de un eje
contenido en su plano y que no lo corta , es igual al producto de la superficie que
gira por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad en un
giro alrededor del eje
V= 2 yg S
CUERPOS COMPUESTOS
Un cuerpo compuesto consiste en una serie de cuerpos más simples
conectados, los cuales pueden ser rectangulares, triangulares, semicirculares, etc.
Un cuerpo de esta índole a menudo puede ser dividido en sus partes componentes
y, si se conocen el área y la ubicación de cada una de esas partes, es posible
eliminar la necesidad de la integración para determinar el centroide del cuerpo
entero. El método para hacer esto requiere tratar cada parte componente como una
partícula, vale decir: 𝑥 = 𝑥 𝑖∙𝐴𝑖 𝐴𝑖 𝑦 = 𝑦 𝑖∙𝐴𝑖 𝐴𝑖 PRIMER MOMENTO DE ÁREA
El primer momento de área (también momento estático o de primer
orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana.
Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural,
en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es
proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección
transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del
área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del
área.
PRIMER MOMENTO DE ÁREA
Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q.
Dado un eje o recta se define el primer momento de área de el área A respecto a
un eje de ecuación viene dado por la integral
sobre el área de la distancia al eje fijado:
Si consideramos coordenadas x e y centradas en el centro de masas y se
calculan los primeros momentos de área respecto a los ejes coordenados, por la
propia definición de centro de masas:
Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el centro de gravedad
de la sección se tiene:
El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por el centro de masas es
trivial ya que:
Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de
gravedad y el resultado anterior es el equivalente del teorema de Steiner para el
primer momento de área.
PRIMER MOMENTO DE ÁREA PARCIAL
Área parcial para el cálculo de la tensión cortante.
Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área
calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin
embargo, si se considera un área parcial de una sección y se calcula el primer
momento de área respecto al centro de gravedad de la sección completa el
resultado no es cero. Designaremos a este primer momento de área parcial por la
letra y su valor vendrá dado por:
Para una sección rectangular de dimensiones 2h x b se tiene:
El cálculo de este momento se requiere para el cálculo de la tensión cortante
sobre la línea punteada (ver figura) de acuerdo con la fórmula de Collignon-
Jourawski (o Collignon-Zhuravski).
Segundo momento de área
Análogamente al primer momento de área se define el segundo momento de
área, o momento de inercia, como:
Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al
centro de masas como:
Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de
Steiner.
MOMENTOS DE ÁREA DE ORDEN SUPERIOR
En general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana
como las integrales del tipo:
Donde la integral se extiende sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde
la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al
área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:
MOMENTO DE INERCIA
Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos,
girando más rápido si los contrae.
El momento de inercia o inercia rotacional (símbolo I) es una medida de
la inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de
inercia puede ser representado como una magnitud escalar, una representación
más avanzada por medio de tensores es necesaria para el análisis de sistemas más
complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un
sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia
sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no
depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial
en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento
angular longitudinal de un sólido rígido.
ECUACIONES DEL MOMENTO DE INERCIA
¿Cuál de estos giros resulta más difícil?
El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una
aceleración angular.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del
mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por
el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se
expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del
cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al
de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la
resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de
Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así,
por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la
rotación:
Donde:
es el momento aplicado al cuerpo.
es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de
rotación y
es la aceleración angular.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es ,
mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω
es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.
La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por
equivalente la conservación del momento angular :
El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el
vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de
giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje
principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento
angular dirigido también a lo largo de ese eje.
TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES
PARALELOS.
El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece
que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa
por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa
por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia
entre los dos ejes:
Donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de
masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por
el centro de masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos
considerados).
La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la
descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C
inmediata:
Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de
masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de
masa.
El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado
que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el
centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho
cuerpo.
PASOS PARA CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA DE
ÁREAS COMPUESTAS
1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por .
3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes
con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura
formada por todas las áreas parciales anteriores.
4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la
figura.
5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de
centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área
i-ésima.
6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y
aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:
y
7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los
momentos anteriores: e
TENSOR DE INERCIA DE UN SÓLIDO RÍGIDO
El tensor de inercia de un sólido rígido, es un tensor simétrico de segundo
orden, que expresado en una base ortonormal viene dado por una matriz simétrica,
cuyas componentes tensoriales son:
Donde :(x1,x2,x3) son las coordenadas cartesianas rectangulares.
, es el símbolo de Kronecker o delta de Kronecker definida como:
Los elementos reciben el nombre de momento de inercia
respecto al eje xi, y son las componentes diagonales del tensor. Las componentes
del tensor de inercia en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares son:
Y los tres productos de inercia según los mismos ejes:
Todas las formas anteriores pueden derivarse de la definición del tensor de
momento de inercia haciendo:
.
El momento con respecto a cualquier otro eje puede expresarse como
combinación lineal anterior de las anteriores magnitudes:
Donde la matriz es el tensor de inercia expresado en la base XYZ y t = (tx, ty, tz) es
el vector paralelo al eje según el cual se pretende encontrar el momento de inercia.
MOMENTO POLAR DE INERCIA.
El cual consiste en el Momento de Inercia respecto a un punto, es decir
respecto al cruce de los ejes, siendo los más importantes los centroidales.
CABLES SOMETIDOS A CARGAS UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDAS EN LA PROYECCIÓN HORIZONTAL
Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la
proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña.
La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa
el punto más bajo de este.
Existen dos maneras de analizar el cable, considerar el origen de la parábola
en el centro o considerarlo desde un extremo.
Se encuentra la componente horizontal de la tensión en función de las cargas
y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o se determina la
coordenada Y de la forma de la curva del cable en función de la componente
horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:
Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en
cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola.
Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el
valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y
considerando la simetría tenemos:
, en esta ecuación podemos observar que el momento
máximo ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos
corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada.
Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos
equilibrio a la sección indicada:
El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es:
La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:
La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la
componente horizontal de la tensión, H.
Tomando momentos con respecto a B y seccionando el cable por m y
tomando momentos con respecto a m:
Igualando Ay y despejando la H*ym
Donde ym corresponde a la flecha medida desde la cuerda y x está medida
desde el extremo izquierdo.
Para xm=L/2
Que corresponde al valor del momento máximo desarrollado
en una viga horizontal con la misma carga w.
La ecuación que define la forma del cable es una parábola con origen en el
extremo izquierdo:
Para encontrar la abscisa del punto de tangencia cero, se expresa ym en
función de H, se deriva e iguala a cero:
Constituye la tangente en cualquier punto del cable
Para dy/dx=0
Punto de tangencia cero. Note que depende de H y a la vez H
depende de la flecha, por lo tanto se debe asumir uno de los dos valores o H o ym.
Longitud del cable necesaria:
Expresando una longitud diferencial de cable en función de dx y dy
tenemos:
Dividiendo por dx2 y multiplicando por dx fuera del radical:
Se conoce la expresión dy/dx
Reemplazando:
Integrando esta función se puede obtener la longitud del cable.
En el caso de tener el centro de coordenadas en el punto de tangencia cero,
el valor de dy/dx es:
dx
Haciendo una sustitución de variables:
, donde X es el valor de la
proyección horizontal de uno de los tramos de la cuerda medida desde el punto de
tangencia cero.
En el libro “Mecánica vectorial para ingenieros, estática” de Beer, Johnston
y Eisenberg se plantea otra solución para esta integral expandiendo el radical por
medio del teorema del binomio. Esta solución está en términos de la flecha
máxima y la distancia X desde el punto de flecha máxima a uno de los apoyos.
Ejemplo:
Un cable de un puente colgante se somete a una carga uniforme de 50kn/m.
Si la altura máxima de los pilones donde se ancla el cable con respecto al tablero
del puente es de 30m y se cuenta con cables de acero con resistencia última a
tracción de 1800N/mm2, determinar el diámetro del cable mínimo que puede ser
usado. Despreciar el peso del cable.
Jugando con la altura del cable con respecto al tablero podría determinar el
menor volumen de acero de cable a usar. Exprese volumen como longitud por
área transversal y grafique versus altura del pilón.
100m
30m
En este caso se pide tener una geometría tal del cable que produzca la
mínima tensión posible. Las componentes verticales son máximas en los apoyos e
iguales a la mitad de la carga generada en toda la luz y no dependen de la
geometría del cable.
La componente horizontal de la tensión varía con la flecha, a mayor flecha
menor componente horizontal, por lo tanto una tensión mínima se consigue con
una flecha igual a la máxima posible, en este caso 30 metros.
Reacciones verticales:
Tomando momentos con respecto a uno de los apoyos en una sección de
solo la mitad del cable se obtiene la componente horizontal de la tensión:
Área de cable mínima:
CASO DE CARGAS DISTRIBUIDAS A LO LARGO DE LA
LONGITUD DEL CABLE.
La tensión en cualquier punto de la cuerda es:
Haciendo w/H=c, una constante
Para obtener la forma del cable, se puede encontrar una ecuación que
relacione la longitud S de un tramo de cable con su proyección horizontal x
Integrando esta ecuación de 0 a S, se obtiene
Y
Integrando la función de y se obtiene (ver desarrollo en el libro de Beer,
Johnston, Eisenberg
Que corresponde a la ecuación de una catenaria con eje vertical.
CABLE PARABÓLICO
Cuando un hilo está sometido a una carga uniforme por unidad de
proyección horizontal, dicho hilo adquiere la forma de una parábola si se
desprecia su peso propio respecto al de la carga que debe soportar. Este caso se
presenta, en la práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del
tablero es mucho mayor que el del cable que lo sustenta.
El tablero, o base del puente colgante, lo podemos representar por una carga
vertical, p (N/m), uniformemente distribuida a lo largo de la proyección
horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero al cable se realiza
mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de peso
despreciable frente al del tablero.
Al estar sometido el cable a una carga que es constantemente paralela a una
dirección fija, la curva de equilibrio del cable será una curva plana (ver entrada
equilibrio de un cable). Por otro lado, dicha carga sólo tiene componente vertical,
por lo que las ecuaciones escalares obtenidas para el equilibrio de un cable serán,
en este caso:
Donde se ha tenido en cuenta que la fuerza resultante actuante sobre un
elemento diferencial de cable lo es según la horizontal.
De la primera ecuación obtenemos que la componente horizontal de la
tensión, Nx, en cada sección del cable es constante y su valor será igual al de la
tensión en el punto más bajo de la curva, N0 :
Este valor puede introducirse en el primer miembro de la segunda ecuación
multiplicando y dividiendo, al interior del paréntesis, por dx:
La integración de esta última ecuación da lugar a:
Donde C1 (y, por lo tanto, k1) es una constante y se ha definido,
análogamente al caso de la obtención de la ecuación para la catenaria, un
parámetro a de la parábola que tiene unidades de longitud:
Por último, integrando la última ecuación obtenida, se llega a la ecuación de
la curva de equilibrio, que podemos ver que, efectivamente, se corresponde con la
ecuación de una parábola:
Si se trabaja con un sistema de ejes de referencia en cuyo origen la
pendiente a la parábola sea nula, la ecuación de la curva de equilibrio quedará
como sigue:
Esta es la ecuación de la parábola en los ejes reducidos (x1 e y1)
CABLES EN FORMA DE CATENARIAS
Se llama catenaria la curva asumida por un cable de sección transversal
uniforme que está suspendido entre dos puntos y que no soporta más carga que su
propio peso, como muestra la figura 1 en la hoja de gráficos; La carga que se hace
que adopte la forma de una parábola en que en el primer caso la carga está
uniformemente repartida a lo largo del cable en tanto que en la gráfica 2 lo está
sobre la proyección horizontal.
Fig. 1
El estudio de la catenaria tuene importancia práctica únicamente en el caso
de los cables en el caso de los cables en lo que la flecha es grande en proporción a
la luz, ya que en caso contrario la curva asumida por el cable puede considerarse
como una parábola sin grave error. Para determinar la ecuación de la catenaria y
deducir al mismo tiempo algunas relaciones importantes entre cantidades tales
como la flecha, la luz, la longitud del cable, la tensión etc. Se considera un
diagrama de cuerpo libre como se muestra en la figura 3.
Estudiaremos el equilibrio de una parte del cable (figura 1), siendo el punto
más bajo del cable y otro punto cualquiera. Tomaremos el punto como el origen
de coordenadas, designaremos por el peso del cable por unidad de longitud y por
la longitud de arco. La porción del cable está en equilibrio bajo la influencia de
tres fuerzas, a saber, la tención en el punto , la tención , en el punto y el peso .
Designaremos por el ángulo que forma con la horizontal. Las ecuaciones de
equilibrio del sistema de fuerzas concurrentes son:
Si se resuelven las ecuaciones para determinar y , en términos de H, w y s,
se obtiene:
En la primera ecuación de las dos enunciadas previamente, la distancia se
mide a lo largo del cable a partir de su punto más bajo, y denota el peso por
unidad de longitud del cable, puesto que es constante, la razón es constante para
un cable dado. En consecuencia, al derivar la ecuación que nos da el ángulo,
obtenemos:
Esta ecuación es la ecuación diferencial del segmento del cable, en términos
de , como función de . Con el fin de obtener una ecuación diferencial para el
segmento, como una función , se debe volver a escribir la ecuación anterior en
términos de . Para determinar como una función de , observe que , en donde
denota . De esta forma:
Para determinar como una función de , considere un punto de la curva y un
elemento diferencial en , que contiene el ángulo infinitesimal que emana de , el
centro de curvatura de la curva, (véase figura 4). El Radio es el radio de curvatura
de la curva. De la figura 4. . Por tanto:
Donde es la curvatura de la curva en el punto . La fórmula para la curvatura,
en términos de, se puede consultar en los libros de cálculo:
En consecuencia, las ecuaciones nombradas anteriormente conducen a:
Para despejar en la ecuación anterior, se establece. Entonces, la ecuación
anterior queda:
Al integrar la ecuación anterior se tiene:
Donde es una constante de integración. Por lo tanto:
Se integra la ecuación anterior, se encuentra la ecuación general de la curva
como:
Donde es una constante de integración, Esta curva es una catenaria. Si, la
ecuación queda así:
Si se simplifica todavía más, eligiendo ejes de coordenadas tales que, para, y
. Entonces, la ecuación se reduce a:
La segunda ecuación resaltada, es la ecuación general de la curva que un
cable forma cuando se sujeta a, su propio peso por unidad de longitud. Contiene
dos constantes y, que se pueden ajustar para satisfacer condiciones en los
extremos del cable. Así mismo, la constante puede ser desconocida. Cuando un
cable cuelga con libertad, está en equilibrio bajo las fuerzas internas y no se tienen
fuerzas externas que tiendan a cambiar la forma del cable. Por lo tanto, su se
construye un arco de modo que tenga la forma de una curva de coseno hiperbólico
-es decir, con la forma de una catenaria- No existen fuerzas que distorsiones ese
arco. Si el arco se voltea, todas las fuerzas se invierten y el arco sigue estando en
equilibrio (mantiene su forma). Esta situación condujo a arquitectos e ingenieros a
elegir una curva catenaria para el Arco de Entrada en St. Louis, Missouri.
Para expresar la distancia a lo largo de un cable como una función de, en
primer lugar observa, en la figura 4, que , o bien
La longitud del cable es. Si los extremos del cable están en los puntos y, la
longitud es:
Si se sustituye la expresión de la ecuación por en la ecuación anterior y se
observa la identidad para las funciones hiperbólicas, por integración se obtiene:
Esta se puede expresar en términos de:
Entonces, las dos ecuaciones anteriores se reducen a:
Al integrar la ecuación anterior se obtiene:
O bien:
Entonces, al expresar la tensión como función de
Estas ecuaciones son suficientes para resolver problemas en los que
intervienen cables sujetos a un peso uniformemente distribuido sobre si longitud
total. En particular, par un cable sometido en sus extremos por anclas a la misma
elevación, la figura 5, dan la razón de la flecha al claro como:
Entonces, par un cable dado, con valores conocidos de , y , la ecuación
anterior da la tensión mínima en el mismo y, con la ecuación penúltima, la tensión
en cualquier punto del cable.
CABLES QUE SOPORTAN CARGAS CONCENTRADAS:
Forma de polígono funicular, esta es la forma natural
Requerida para que las cargas sean de tensión