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学习报·高中数学北师大·必修 2
高 中责编 陈记梅 照排 仇晓凤
主编 王 静 终审 李双孝练·周周清
数 学
北师大 必修 2
山西出版传媒集团主管 山西三晋报刊传媒集团主办 学习报社编辑出版 总编辑 苗俊青 国内统一刊号 CN14-0708/（F）
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学 习 报高 中 数 学
出版时间：圆园20.1期数：4 期
内容：
员3 期 简单几何体；
直观图；三视图
员4 期 空间图形的基
本关系与公理
员5 期 平行关系
员6 期 垂直关系
出版时间：圆园20.2期数：4 期
内容：
员7 期 简单几何体的
面积和体积
员8 期 第 一 章 章 节
复习
19 期 直线的倾斜角
和斜率；直线的方程；两条
直线的位置关系
圆0 期 两条直线的交
点；平面直角坐标系中的
距离公式
出版时间：圆园20.3期数：4 期
内容：
圆1 期 圆与圆的方程
（圆的标准方程，圆的一般
方程，直线与圆、圆与圆的
位置关系）
22 期 直线与圆、圆
与圆的位置关系；空间直
角坐标系
23 期 第 二 章 章 节
复习
24期 必修 2 总复习:各章知识梳理、复习导航、
综合性问题、综合能力测
试题
《必修 2》编辑进度
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高屋建瓴高屋建瓴
2020年 1月 15日 第 15期
151591
2020 年 1月 15日
一、直线与平面平行的判定与性质
例1 若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线
与这两个平面的交线平行.将其转化为符号语言为：已知琢疑茁=l，a椅琢，a椅茁，
求证：a椅l.分析：利用直线与平面平行的性质定理作辅助平面进
行过渡，然后利用判定定理进行证明.证明：如图员，疫a椅琢，过a作平面酌，使得酌疑琢=b，
b
茁 啄酌
琢a
l
c
图 员亦由线面平行的性质定理可知
a椅b.又a椅茁，过a作平面啄，使得啄疑
茁=c，由线面平行的性质定理可知
a椅c，亦b椅c.又已知c芴茁，b芫茁，亦b椅茁.又疫b芴琢，琢疑茁=l，亦b椅l，亦a椅l.特别提示：在立体几何中，作
辅助平面是做证明题时常用的技
巧与方法，应重点掌握.如在利用判
定定理证明线面平行时，最容易忽
略“平面外一条直线”这一条件，要
避免此错误的出现，关键是明确：
与平面琢内的直线b平行的直线l和平面琢存在这样两种位
置关系：l椅琢和l芴琢，即不仅有平行而且还有在平面内的情况.二、平面与平面平行的判定与性质
例2 如图2，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中
点，N为BC的中点，求证：MN椅平
面OCD.分析：欲证直线MN椅平面OCD，
只需证明包含MN的平面与平面
OCD平行，而欲证包含MN的平面
与平面OCD平行，只需证明包含
MN的平面内有两条相交直线与平面OCD内的两条相交直
线分别平行.证明：如图3，取OB的中点E，连接ME，NE.疫M，E分别为OA，OB的中点，
亦ME椅AB.又AB椅CD，亦ME椅CD.疫悦阅芴平面韵悦阅，酝耘芫平面韵悦阅，亦酝耘椅平面韵悦阅.同理可证耘晕椅平面韵悦阅.又疫ME疑NE=E，亦平面MNE椅平面OCD.疫MN芴平面MNE，亦MN椅平面OCD.特别提示：把“线线平行”转化为“面面平行”，又把“面
面平行”转化为“线面平行”，实现这些转化是证明本题的关
键.（员）两个平面平行的判定定理的条件中的两直线相交很
重要，在解题中它常常被忽视.（圆）两个平面的位置关系是
空间各种元素位置关系的“最高境界”，解决空间两个平面
的位置关系问题的思维方法是“以退为进”，即将面面问
题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分揭示了面面、
线面、线线问题的相互联系.
O
M
A
B N C
D
图 2
E
O
M
A
B N C
D
图 猿
山东
高
娜
线面平行关系的判定与性质，是高考常考内容，
一般有两类出题法，一是直接要求证明某些平行关
系；二是探索性问题，即先判断能否存在某些平行关
系再加以证明.【典例】如图1，正方体
ABCD原A 1B1C1D1中，E是A 1B上的点，F是AC上的点，且
A 1E=2EB，CF=2AF，试判
断EF与平面A 1B1CD的位
置关系并加以证明援【关注概念 明理抉微】
此问题结论需要探索，首先我们从几何直观易
得到不可能有垂直关系，进而我们从线面平行的定
义和判定定理思考，只需要判断是否存在平面A 1B1CD内的直线与EF平行，或者是否存在一个过EF的平面
与平面A 1B1CD平行即可.（1）若连接BF并延长与CD的延长线交于一点H，
连接HA 1，则只需判断HA 1是否与EF平行.（2）若过F在平面ABCD内作AD的平行线交CD于
H，在平面A 1BC内作BC的平行线交A 1C于M，连接
HM，只需判断HM是否与EF平行.（3）若过F在平面ABCD内作CD的平行线交BC于
H，过E在平面A 1B1B内作A 1B1的平行线交BB1于G，连接HG，只需判断平面EFHG是否与平面A 1B1CD平行.
【典例解答】
EF与平面A 1B1CD平行.下面证明：
证法1（作线法）：如图2，延长BF交CD的延长线
于点H，连接A 1H.在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，AB椅CD，
亦 BFHF
= AFFC
= 12 ，亦 BF
HF= BEA 1E
，
亦EF椅A 1H.又疫EF芫平面A 1B1CD，A 1H芴平面A 1B1CD，亦EF椅平面A 1B1CD.
图 2
A 1D1 C1
B1
CB
H D FE
A图 3
A 1D1 C1
B1
CB
DF
E
A
Q
P
证法2（作线法）：如图3，连接DF并延长交AB于点P，连接PE并延长交A 1B1于点Q，连接阅匝.
在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，AB椅CD，
亦 FPDF
= AFFC
= 12 .
又疫A 1B1椅AB，亦 PEEQ
= BEA 1E
= 12 ，
亦 PFDF
= PEEQ
，
亦EF椅DQ.又疫EF芫平面A 1B1CD，DQ芴平面A 1B1CD，亦EF椅平面A 1B1CD.证法3（作线法）：如图4作FH椅AD交CD于H，连
接A 1C，在平面A 1CB中，作EM椅BC交A 1C于点M，连接
MH.疫正方体ABCD-A 1B1C1D1中，BC椅AD，亦EM椅FH.疫 A 1E
EB= 2
1 ，即A 1EA 1B
= 23 ，亦 EM
BC= 2
3 .
又疫 AFFC
= 12 ，即 CF
AC= 2
3 ，亦 FHAD
= 23 .
再由BC=AD，有FH=EM，于是四边形EFHM为平
行四边形，
亦EF椅MH.又疫EF芫平面A 1B1CD，MH芴平面A 1B1CD，亦EF椅平面A 1B1CD.
图 4 图 5
A 1
D1 C1B1
C
BADF
EM
H
A 1
D1 C1B1
C
BAD
FE
M
匀
郧
证法4（作面法）：如图5，在BB1上取点G，在BC上取点H，使得B1G=2BG，CH=2BH，连接EG，GH，HF.
疫 A 1EBE
= 21 = GB1
BG，亦EG椅A 1B1.
又疫在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1椅AB，
EG椅AB，且 CFAF
= 21 = CH
BH，
亦FH椅AB，亦EG椅FH，
亦E，G，H，F四点共面.又疫CD椅AB，亦FH椅CD.又FH芫平面A 1B1CD，CD芴平面A 1B1CD，亦FH椅平面A 1B1CD.又疫 BG
BB1= BHBC
，亦GH椅CB1.又GH芫平面A 1B1CD，CB1芴平面A 1B1CD，亦GH椅平面A 1B1CD.又疫FH疑GH =H，FH芴平面EGHF，GH芴平面
EGHF，亦平面EGHF椅平面A 1B1CD.由EF芴平面EGHF，得EF椅平面A 1B1CD.
阴北京 崔君强（特级教师）
图 1
A 1
D1 C1
B1
CBA
D FE
秉要执本
判定与性质助证明
高屋建瓴高屋建瓴
（上接第 3 版）
员圆.（12分）如图8所示，在棱长为圆的正方体
粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，过粤 员月员的中点孕作截面孕月悦员，现
过点粤 员作与截面孕月悦员平行的截面.（员）作出此截面，并证明之；
（圆）求此截面的面积援
粤 员 月员
悦员阅员
粤 月
悦阅
图 5
P
时间：45分钟 满分：64分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号5，远，愿
员，圆，猿，源，缘，远，苑，愿，怨，员园
一、选择题（本大题共远小题，每小题缘分，共30分）
员援已知吟粤月悦，吟阅月悦分别在平面琢，茁内，耘沂粤月，云沂粤悦，酝沂阅月，晕沂阅悦，且耘云椅酝晕，则耘云与月悦的位置关系是（ ）.
粤援平行
月援相交或平行
悦援平行或异面
阅援平行或异面或相交
2援如果平面琢外有两点A，B，它们到平面琢的距
离都是a，则直线AB和平面琢的位置关系一定是（ ）.A.平行 月.相交
C.平行或相交 D.AB芴琢3.如图6，在三棱台粤月悦原粤 员月员悦员的远个顶点中任
取猿个点作平面琢，设琢疑平面粤月悦越l，若l椅粤 员悦员，则
这猿个点可以是（ ）.粤.月，悦，粤 员 月.月员，悦员，粤悦.粤 员，月员，悦 阅.粤 员，月，悦员
粤 员 C员
C
B
AB员
图 6
A 1 B1C1
CB
A
M N
图 74援如图7，各棱长均为员的正三棱柱粤月悦原粤 员月员悦员，
酝，晕分别为线段粤 员月，月员悦上的动点，且酝晕椅平面
粤悦悦员粤员，则这样的酝晕有（ ）.粤.员条 月.圆条悦.猿条 阅.无数条
5.（福建省漳州市圆园员愿届高三缘月质量检测）在
正方形粤月悦阅中，粤月越源，点耘，云分别是粤月，粤阅的中
点，将吟粤耘云沿耘云折起到吟粤忆耘云的位置，使得粤忆悦越圆 猿摇姨 ，在平面粤忆月悦内，过点月作月郧椅平面粤忆耘云交边粤忆悦上于点郧，则粤忆郧的长度为（ ）.
粤. 猿摇姨猿 月. 圆 猿摇姨
猿悦. 猿摇姨 阅. 源 猿摇姨
猿远援（山西省祁县中学圆园员愿耀圆园员怨学年高二上学
期期末）已知正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员的棱长为圆，耘为棱悦悦员的中点，点酝在正方形月悦悦员月员内运动，且直
线粤酝椅平面粤 员阅耘，则动点酝的轨迹长度为（ ）.粤援 仔源 月援仔悦援圆 阅援 圆摇姨二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
苑援（（课后作业）圆园员愿耀圆园员怨版数学创新设计课
堂讲义）已知下列说法：
淤若两个平面琢椅茁，葬芴琢，遭芴茁，则葬与遭是异面
直线；
于若两个平面琢椅茁，葬芴琢，遭芴茁，则葬与遭一定不
相交；
盂若两个平面琢椅茁，葬芴琢，遭芴茁，则葬与遭平行或
异面；
榆若两个平面琢疑茁越遭，葬芴琢，则葬与茁一定相交援其中正确的序号是赃赃赃赃赃赃赃赃（将你认为正确的序号
都填上）援愿援（辽宁省凌源市三校联考圆园员愿耀圆园员怨学年高
一上学期期末）已知直线造与平面琢，茁，酌依次交于点
粤，月，悦，直线皂与平面琢，茁，酌依次交于点阅，耘，云，若琢椅茁椅酌，粤月越耘云越猿，月悦越源，则阅耘越赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援
三、解答题（本大题共圆小题，共24分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
怨.（12分）如图8，已知四棱锥孕原粤月悦阅中，底面
粤月悦阅为平行四边形，点酝，晕，匝分别是孕粤，月阅，孕阅的中点援
（员）求证：酝晕椅平面孕悦阅；
（圆）求证：平面酝晕匝椅平面孕月悦援
A
D
Q
P
MC
NB图 8
10.（12分）如图9，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，蚁ABC=60毅，PA=AC=a，PB=PD= 2姨 a，点E在PD上，且PE颐ED=2颐1.问在棱PC上是否存在一点F，使BF椅平面AEC？证明你的结论.
P
E
C
DA
图 9B
学习报·高中数学北师大·必修 2学习报·高中数学北师大·必修 2 责编 陈记梅
照排 仇晓凤
责编 陈记梅
笠本报向全国各省（市）级教研员赠报 信息反馈电话 猿圆猿怨远源圆（兼传真） 笠本报四开四版 全学年 缘圆 期 可随时预订、补订和增订 订阅热线 4432858
照排 仇晓凤练·周周清
笠高中各科电话（区号 0351） 语文 3239655 数学 3239640 物理、化学、生物 3239627 笠投稿邮箱/[email protected] 笠报社地址/太原市三墙路坝陵北街盛世华庭 粤员 座 圆员 层 邮编/0300园怨 笠编辑质量监督联系电话/0351 - 猿圆猿怨远圆远
学 习 报高 中 数 学
栏 目 设 置第一版 悟·提能力本版主要栏目：
传道授业：对本期的知识学
生应该怎样去学习才能理解的
更到位更准确，（员）讲解一些对课
本上难以理解的知识点，（圆）课
本外的但在课堂上需要补充的
知识，（猿）关于本期内容前后衔接
的一些知识点的介绍。
高屋建瓴：对于基础知识涉
及到的基础方法应该怎么用，结
合适当的例题讲解，让大多数学
生达到轻松掌握基本知识及其
解法的目的。
答疑解惑：通过师生问答的
形式，将对本期知识中有疑问的
地方解惑，使学生能在轻松的气
氛中掌握知识。
思想方法：针对当期知识点，
根据新课标所要求学生掌握的
常用数学思想方法进行重点启
发与培养，以帮助学生形成良好
的数学思维习惯。
茅塞顿开：通过例题的求解
过程，阐述解题策略及思路的形
成过程。目的在于培养学生自主学
习的能力，以及对问题的深入掌握。
一击即破：针对有些问题的
一些特殊的巧妙的方法解析，侧
重在传统思路基础上的巧与妙，
重点在思考上。
举一反三：以课本典型例题
或习题为主，对其背景、限制条
件、设问方式等进行变换探究，使同
学们能够打开视野，触类旁通。
知行合一：立足于数学知识
在实际生产和生活中的应用，以
及在其他学科领域中的应用，把
实际问题转化为数学模型来讲
求解，以期达到知行合一的目的。
金榜题名：针对某个知识点
在高考中的题型进行回顾、展
望，并探求其求解策略及技巧，
让学生提前了解并熟悉高考的
相关题型。
运筹帷幄：对于本期基础知
识涉及到的基础方法应该怎么
用，结合适当的例题讲解，化难
为易，让大多数学生达到轻松掌
握基本知识及其解法的目的。或
剖析对某个知识点与其他知识
点的交汇综合，追求思路方法的
拓展性，目的在于培养学生完整
的知识系统。
毫厘千里：对各种典型的错
题进行归类，提炼出针对某类错
误的解题策略。将常考、易错和
能举一反三的典型试题按专题
分类，帮学生掌握考点，做少量
的题，掌握一类题的典型解法。
妙趣横生：从学生的知识结
构和思维发展水平的实际出发，
拓宽学生的知识视野，以增加数
学学习的趣味性。
数学文化：以数学发展史为
主，展示丰富多彩的数学文化，
使读者体会到数学是人类智慧
的结晶，并从中受到启迪，开拓
思路。
第二版 练·堂堂清堂堂清：通过课时分类中对
应的基础题型训练，让学生了解
所学内容在考试中的考查方式，
以什么形式、题材来设计问题。
第三、四版 练·周周清同步分层能力测试题：紧跟
教学进度，不可使用历年高考原
题，可采用一部分高考或竞赛改
编题（改编题请标明出处）。
章节能力测试题：对整章内
容的综合测试。
模块综合能力测试题：对对
应模块所有知识点的综合测试。
练·堂堂清 2020年 1月 15日 第 15期2020年 1月 15日 第 15期
A FE
BD
GH
C图 1
A 1
D1 C1F
D
E B1
A BCG
图 2
l1 l2
A D
EB
C F酌茁
琢
图 6
§5.1 平行关系的判定
§5.2 平行关系的性质
时间：45分钟 满分：愿远分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号怨，员园，员员，12
1，圆，猿，源，缘，远，苑，愿，怨，员园
员员，员圆一、选择题（本大题共6小题，每小题缘分，共30分）
员.若平面琢椅平面茁，直线葬椅平面琢，点月沂茁，则在平面茁内且过月的所有直线中（ ）.
粤援不一定存在与葬平行的直线
月援只有两条与葬平行的直线
悦援存在无数条与葬平行的直线
阅援存在唯一一条与葬平行的直线
圆.若葬，遭是异面直线，且葬椅平面琢，则遭与琢的位
置关系是（ ）.粤.遭椅琢 月.遭与琢相交
悦.遭在琢内 阅.不能确定
猿援（陕西省黄陵中学圆园员愿耀圆园员怨学年高一（普通
班）上学期期末）已知直线葬芴琢，给出以下三个命题：
淤若平面琢椅平面茁，则直线a椅平面茁；于若直线a椅平面茁，则平面琢椅平面茁；盂若直线a不平行于平面茁，则平面琢不平行于
平面茁.其中正确的命题是（ ）.粤援于 月援盂悦援淤于 阅援淤盂源援（安徽省江南十校圆园员怨届
高三猿月综合素质检测数学（文））
如图1所示，正方体粤月悦阅原粤员月员悦员阅员中，点耘，云，郧，孕，匝分别为棱粤月，悦员阅员，阅员粤 员，阅员阅，悦员悦的中点，则下
列叙述中正确的是（ ）.粤援直线月匝椅平面耘云郧月援直线粤 员月椅平面耘云郧悦援平面粤孕悦椅平面耘云郧阅援平面粤 员月匝椅平面耘云郧缘.在下列四个正方体图形中，粤，月为正方体的两
个顶点，酝，N，P分别为所在棱的中点，能得出粤月椅平面酝晕P的图形的序号是（ ）援
B
ANPM
B
A
N
P
MB
AN
PM
淤 于
A MN
PBD
C
盂 榆
粤.淤盂 月.淤榆悦.于盂 阅.于榆远援（湖 南 师 大 附 中
圆园员怨届高三月考（文））如
图2，在四面体粤月悦阅中，
若截面孕匝酝晕是正方形，
则在下列命题中不一定
正确的是（ ）.粤援粤悦彝月阅月援粤悦椅截面孕匝酝晕悦援粤悦越月阅阅援异面直线孕酝与月阅所成的角为源缘毅二、填空题（本大题共2小题，每小题缘分，共员0分）
7援已知平面琢和茁，在平面琢内任取一条直线葬，在茁内总存在直线遭椅葬，则琢与茁的位置关系是
赃赃赃赃赃赃赃赃（填“平行”或“相交”）援8.已知皂，灶是不同的直线，琢，茁是不重合的平
面，给出下面三个命题：
淤若琢椅茁，皂芴琢，灶芴茁，则皂椅灶；于若皂，灶芴琢，皂椅茁，灶椅茁，则琢椅茁；盂若皂，灶是两条异面直线，且皂椅琢，皂椅茁，灶椅
琢，灶椅茁，则琢椅茁.其中正确的序号为赃赃赃赃赃赃赃赃.三、解答题（本大题共源小题，共源6分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
怨援（员0分）在如图3所示的几何体中，已知吟粤月悦是任意三角形，粤耘椅悦阅，且粤耘越粤月越圆葬，悦阅越葬，云为月耘的中点，求证：阅云椅平面粤月悦.
AB
CDF
E
图 3
员园援（员圆分）如图4，已知在吟粤月悦中，阅，耘分别为
粤悦，粤月的中点，沿阅耘将吟粤阅耘折起，使粤到粤忆的位置援若酝是粤忆月的中点，求证：酝耘椅平面粤忆悦阅.
ADC
A忆
ME
B图 4
员员援（员圆分）在正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，已知耘，云，郧分别是悦月，悦阅，悦悦员的中点，求证：平面粤月员阅员椅平面耘云郧.
（下转第 源 版）
测 试 题同步分层能力 三（测试范围：平行关系）
A
P
B Q C
MDN
图 2
A 1
D1 C1
PD
A E
Q
FG
B
图 1
B1
C
员.下列命题中正确的个数是（ ）.淤若遭芴琢，葬椅遭，则葬椅琢；于若葬椅琢，遭芴琢，则葬椅遭；盂若葬椅遭，葬椅琢，则遭椅琢；榆若葬椅琢，遭椅琢，则葬椅遭.粤援园 月援员 悦援圆 阅援猿圆.过正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员任意两条棱的中
点作的直线中，与平面阅月月员阅员平行的直线共有（ ）.粤援源条 月援远条 悦援愿条 阅援员圆条3.经过平面琢外的一条直线a且与平面琢平行的
平面（ ）.A.有且只有一个 B.不存在
C.至多有一个 D.至少有一个
源援设琢，茁是两个不同的平面，皂是直线且皂芴琢，皂椅茁，若使琢椅茁成立，则需增加条件（ ）.
粤.灶是直线且灶芴琢，灶椅茁月.灶，皂是异面直线，灶椅茁悦.灶，皂是相交直线且灶芴琢，灶椅茁阅.灶，皂是平行直线且灶芴琢，灶椅茁缘援如图1，在空间四边形
粤月悦阅中，耘，云分别为粤月，粤阅上的点，且粤耘颐耘月越粤云颐云阅越员颐源，又匀，郧分别是月悦，悦阅的中
点，则（ ）.粤.月阅椅平面耘云郧，且四边
形耘云郧匀是平行四边形
月.匀郧椅平面粤月阅，且四边形耘云郧匀是平行四边形
悦.耘云椅平面月悦阅，且四边形耘云郧匀是梯形
阅.耘匀椅平面粤阅悦，且四边形耘云郧匀是梯形
远援如图2，在正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员中，耘，云，郧分别是粤 员月员，月员悦员，月月员的中点，给出下列四个推断：
淤云郧椅平面粤粤员阅员阅；于耘云椅平
面月悦员阅员；盂云郧椅平面月悦员阅员；
榆平面耘云郧椅平面月悦员阅员.其中推断正确的序号是（ ）.
粤.淤盂 月.淤榆悦.于盂 阅.于榆苑.有一块木料如图3所示，P为平面BCEF内一
点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面
ABCD平行，应该如何画线？
F
A B
C
E
DP
图 3
愿.如图4，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF椅平面BCD.
A
FED
CB图 4
怨.如图5，正方体ABCD-A忆B忆C忆D忆中，M，N，E，F分别是棱A忆B忆，A忆D忆，B忆C忆，C忆D忆的中点，求证：平面AMN椅平面EFDB.
A BC
EMN
D
F C忆A忆 B忆
D忆
图 5
1.a，b，c表示直线，M表示平面，可以确定a椅b的条件是（ ）.
A.a椅M，b芴MB.a椅c，c椅bC.a椅M，b椅MD.a，b和c的夹角相等
2.下列命题中正确的个数为（ ）.淤若两个不重合的平面不相交，则它们平行；
于若一个平面内有无数条直线都平行于另一
个平面，则这两个平面平行；
盂空间两个相等的角所在的平面平行.A.0 B.1C.2 D.3猿援已知直线造，葬与平面琢，且造椅琢，则在平面琢内
不存在a与造（ ）.粤.平行 月.垂直
悦.成源缘毅角 阅.相交
4.下列命题错误的是（ ）.A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交
5.下列命题中正确的是（ ）.淤夹在两个平行平面间的相等线段必平行；
于夹在两个平行平面间的平行线段的长相等；
盂两个平面到一条直线的距离相等，则两个平
面平行.A.淤于 B.淤盂C.于盂 D.于6援已知孕是吟粤月悦所在平面外一点，平面琢椅平
面粤月悦，琢交线段孕粤，孕月，孕悦于粤忆，月忆，悦忆，若孕粤忆颐粤粤忆越圆颐猿，则杂吟粤忆月忆悦忆颐杂吟粤月悦越（ ）.
粤援圆颐圆缘 月援源颐圆缘悦援圆颐缘 阅援源颐缘7援如图6，平面琢椅茁椅酌，直线造员与平面琢，茁，酌依
次交于粤，月，悦，直线造圆与平面琢，茁，酌依次交于阅，耘，
云，则 粤月月悦 与
阅耘耘云的关系是（ ）.
粤. 粤月月悦 越 阅耘耘云
月. 粤月月悦 跃 阅耘耘云
悦. 粤月月悦 约 阅耘耘云
阅.无法判断
8.若a和b是异面直线，则经过b可作______个平
面与直线a平行.9.如图7，平面琢椅平面茁，A，C沂琢，B，D沂茁，点
E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB = CF
FD ，求证：EF椅平面茁.
A
FC
DB
E琢
茁图 7
学习报·高中数学北师大·必修 2
高 中责编 陈记梅 照排 仇晓凤
主编 王 静 终审 李双孝练·周周清
数 学
北师大 必修 2
山西出版传媒集团主管 山西三晋报刊传媒集团主办 学习报社编辑出版 总编辑 苗俊青 国内统一刊号 CN14-0708/（F）
笠广告经营许可证号/员源园园园园源园园园园源源 笠本报向全国各省（市）级教研员赠报，欢迎来电咨询 笠随时征订热线 / 0351-3239622 邮政订户服务热线 / 0351-3239623笠印刷/河南豫晋印务有限公司 地址/郑州市管城区金岱工业园区 笠本报四开四版 笠订阅/全国各地邮局（所） 笠单价 1.25 元 学期定价 30.00 元
学 习 报高 中 数 学
出版时间：圆园20.1期数：4 期
内容：
员3 期 简单几何体；
直观图；三视图
员4 期 空间图形的基
本关系与公理
员5 期 平行关系
员6 期 垂直关系
出版时间：圆园20.2期数：4 期
内容：
员7 期 简单几何体的
面积和体积
员8 期 第 一 章 章 节
复习
19 期 直线的倾斜角
和斜率；直线的方程；两条
直线的位置关系
圆0 期 两条直线的交
点；平面直角坐标系中的
距离公式
出版时间：圆园20.3期数：4 期
内容：
圆1 期 圆与圆的方程
（圆的标准方程，圆的一般
方程，直线与圆、圆与圆的
位置关系）
22 期 直线与圆、圆
与圆的位置关系；空间直
角坐标系
23 期 第 二 章 章 节
复习
24期 必修 2 总复习:各章知识梳理、复习导航、
综合性问题、综合能力测
试题
《必修 2》编辑进度
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高屋建瓴高屋建瓴
今天我们讲一个虚构的警匪追击的故事，这个故
事的主角就是你：
2016年10月23日23：00，某犯罪团伙持枪抢劫位于
西直门凯德Mall东侧的一家正要打烊的金店，枪伤店
员杨某等三人，并在实施抢劫后驾一辆黑色SUV向西
逃窜. 重伤的杨某在昏迷前记录下了歹徒的车牌号并
报了警，但没有看清楚车型.西城和海淀分局接到报警
后，迅速组织警力进行部署，但是因为不知车型，无法
估计劫匪逃窜速度，对拦截部署造成了一定的困难.这时，第一天在海淀分局实习的你突然站出来，
“请帮我调用西直门立交桥上所有的监控录像！”
两旁的警员来不及疑问便为你调出了西直门立
交桥在案发之后的录像.经过你凌厉眼神的排查，终于
在一个短暂的镜头中发现了犯罪分子车辆的车牌号，
镜头中能看清车牌的时间长度约为1.5秒.你立刻询问
该录像设备的相关位置和参数.说来也巧，该设备刚好是西直门立交桥新引进试
用的一种“桥面下监控”的新型监控器，其安装位置如
图1所示.沿箭头方向行驶的车
两段高低交错的立交桥，桥面均水平，上方桥梁记为B1，下方桥梁记为B2，两桥面垂直距离为H.
监控半径为 R的圆形监视器，安装在上方桥梁的下底面
兹
图1
这种带有夜视功能的球形监视器被安装在了上
方桥面B1的下底面，这样的设计有防盗、防恶劣天气、
防光照干扰等诸多优点.而之所以不安装在下方桥面B2中轴线的正上方，是因为立交桥不止一条道路，下方
也可能不止一条道路，安排一个好的“共用位置”，就
能同时监控多条道路，可大大提高设备利用率.你扫了一眼报上来的这些数据：图1中R=30m，
H=5m，d=3m，兹=22.5毅.1分钟后，你抬起头，呼出一口气：“当时歹徒车速
约为141.9km/h，视频采集时刻距现在整5分钟，歹徒向
西全速窜逃，必是企图向市外转移赃物.目前深夜，车
辆相对较稀疏，可认为该车车速一直保持在该水平附
近.故歹徒应该在以金店为中心，半径为12km/h的范围
内，”
“也就是说，他们应该还没出五环，建议立即封锁
西五环附近各条道路，守株待兔.”五分钟后，田村路方面传来消息，歹徒车辆已被
成功拦截，人赃并获.你立了大功，警局里所有的警员都向你投来夹杂
着赞许和不可思议的目光.其实你是求出了该车辆在通过监控器附近的平
均速度：若球型监控器从监测到一辆车的车牌起到无
法继续监测这辆车的车牌为止的时间间隔为T，球形
监视器所能监控的下方桥梁的路段长度为L，则该车
辆在这段路程上的平均速度为v= LT
.于是问题变为求
桥梁B2上处于监控范围内路段的长度L.为了快速地得到结果，你首先做了如下简化假设：
假设1：车辆均在中轴线上行驶，且车辆的宽度忽
略不计；
假设2：车辆在车头和车尾居中各挂有一块车牌，
号码一致；
假设3：桥梁的建筑厚度忽略不计；
假设4：车辆在检测范围内，当且仅当车牌的中心
点在监控半径之内.经过这样的简化，问题就变为如下一个常规的立
体几何问题了：
2020年 1月 22日 第 16期
161592
2020 年 1月 22日
线面垂直关系的判定与性质是高考常考内容，一
般有两类出题法，一是直接要求证明某些垂直关系，二
是探索性问题，即先判断能否存在某些垂直关系再加
以证明.【典例1】如图1，A，B，C，D为空间四点，在吟ABC中，
AC=BC，等边三角形ADB以AB为轴转动援当吟ADB转动
时，是否总有AB彝CD？证明你的结论援D
A
C
EB
D
A
CB
图 1 图 2【关注概念 明理抉微】依据线线垂直的定义，只
有当一条直线垂直于过另一条直线的平面时，无论线
在面内的什么位置，线线垂直才能总成立.通过图形及
几何关系分析，取AB边的中点E，由等边三角形和等腰
三角形的几何性质，不难得到结论及证明.【典例解答】当吟ADB以AB为轴转动时，总有
AB彝CD成立.证明如下：
如图2，取AB的中点E，连接DE，CE.淤当D在平面ABC内时，疫AC=BC，AD=BD，亦C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB彝CD.于当D不在平面ABC内时，疫吟ADB是等边三角形，
亦DE彝AB.又疫AC=BC，亦AB彝CE.又DE疑CE=E，且DE芴平面CDE，CE芴平面CDE，亦AB彝平面CDE.由CD芴平面CDE，得AB彝CD.综上所述，当吟ADB以AB为轴转动时，总有AB彝CD.【典例2】如图3所示，平面ABDE彝平面ABC，吟ABC
是等腰直角三角形，AC=BC，四边形ABDE是直角梯形，
BD椅AE，BD彝BA，O，M分别为CE，AB的中点援 能否在
EM上找一点N，使得ON彝平面ABDE？若能，请指出点
N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由援E
C
O
MA
ND
B
E
C
O
MA D
B图 3 图 4
【关注概念 明理抉微】判断线面垂直除线面垂
直定义外，还有三个可以利用的判断工具，一是线面
垂直的判定定理，二是面面垂直的性质定理，三是线
面垂直性质定理的逆定理.依题，结合吟ABC是等腰直
角三角形及面面垂直的性质，容易得到CM彝平面ABDE，因此，只需判断平面EMC内是否存在与CM平行的直线
即可.【典例解答】当N是EM的中点时，ON彝平面ABDE.
证明如下：
如图4，取EM的中点N，连接ON，疫AC=BC，M为AB的中点，亦CM彝AB.又疫平面ABDE彝平面ABC，平面ABDE疑平面ABC=
AB，CM芴平面ABC，亦CM彝平面ABDE.疫N是EM的中点，O为CE的中点，亦ON椅CM，
亦ON彝平面ABDE.
阴辽宁 崔君丽
高屋建瓴高屋建瓴
（上接第 3 版）
知行合一
已知：如图2所示，直线l1和直线l2异面，l3椅l1，l3疑l2=M，D为l1上的点Q在l2和l3所成平面内的投影，QD=h.l2和l3的夹角为兹，MD=d，A，B为l2上两个点，AQ=BQ=r.求线段AB的长.
l2l1
l3
Q
BMD
A
图 2解：如图3所示，取AB中点C，连接CD，则由于AC=
BC，CQ彝AB.
l2l1
l3
Q
BMD
A C
图 3疫QD彝平面CDM，AB芴平面CDM，
亦QD彝AB.又疫CQ疑AB=C，CQ芴平面CDQ，QD芴平面CDQ，亦AB彝平面CDQ.疫CD芴平面CDM，
亦CD彝AB，亦CD=DM·sin兹=d·sin兹.在Rt吟QDC中，CQ2=QD2+CD2=h2+d2
·sin2兹.在Rt吟QCA中，AQ2=QC2+AC2
，
亦AC= r2-h2-d2·sin2兹
摇姨 .故AB=2AC=2 r2-h2-d2
·sin2兹摇姨 ，
即有效监控的路段长度为L=2 r2-h2-d2·sin2兹
摇姨 .根据前面的分析，可得当时歹徒的平均车速公式
为v= 2 r2-h2-d2·sin2兹
摇姨T
.“然后，就只需再按两下计算器了，”你笑着向在场
的所有人做出了上面的解释，“其实这个过程就是一个
数学建模的过程: 首先通过合理的假设对问题进行简
化，之后通过抽象，形式化为数学问题，再利用学过的
数学知识解决它，最后‘翻译’成自然语言以指导实践.”在这场警匪较量中，“数学建模”立了大功！
（上接第 1 版）
（下转第 4 版）
———直线、平面垂直的探究性问题
异面直线上的
尖峰时刻
阴
北京
朱浩楠
时间：45分钟 满分：64分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号3，缘，苑，员园
1，圆，猿，源，缘，远，苑，愿，怨，员园
一、选择题（本大题共远小题，每小题缘分，共30分）
1.如图5，四边形ABCD是边长为1的正方形，
MD彝平面ABCD，NB彝平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（ ）.
A BCD
NM
图 5
G
A.MC彝ANB.GB椅平面AMNC.平面CMN彝平面AMND.平面DCM椅平面ABN2.平面琢内有三条相交于一点的直线，另有一
条直线与它们所成的角都相等，则此直线与平面琢一定（ ）.
A.平行 B.斜交
C.垂直 D.在平面琢内3援（安徽省马鞍山市第二中学圆园员愿耀圆园员怨学年
高二年级第一学期期末）已知菱形粤月悦阅的边长为
员，蚁阅粤月越远园毅，将这个菱形沿粤悦折成远园毅的二面角，
则月，阅两点的距离为（ ）.粤援 猿摇姨
圆 月援 员圆悦援 猿圆 阅援 猿源4.如图6，在正四棱锥S-
ABCD中，耘是月悦的中点，P点在侧面吟SBC内及其边界上
运动，并且总是保持孕耘彝A悦，则动点孕的轨迹与吟SBC组成
的相关图形最有可能是下图中
的（ ）.
AB CP
S
BB CP
S
CB CP
S
DB CP
S
缘援（江西省宜丰中学圆园员愿~圆园员怨学年高二上学
期期末）如图7，在正四棱锥孕原粤月悦阅中，蚁粤孕悦越远园毅，则二面角粤原孕月原悦的平面角的余弦值为（ ）.
粤援 员苑 月援原 员苑
悦援 员圆 阅援原 员圆
A D
CB F
E
G
图 8A
D
P
C
B图 7
6.如图8，在正方形粤月悦阅中，耘，云分别是粤月，月悦的中点，郧是耘云的中点，沿阅耘，耘云，云阅将正方形折
起，使粤，月，悦重合于点孕，构成四面体，则在四面体孕原阅耘云中，给出下列结论：淤孕阅彝平面孕耘云；于孕阅彝耘云；盂阅郧彝平面孕耘云；榆阅云彝孕耘；虞平面孕阅耘彝平面孕阅云，其中正确结论的序号是（ ）.
粤.淤于盂虞 月.于盂榆虞悦.淤于榆虞 阅.于榆虞二、填空题（本大题共圆小题，每小题缘分，共员园分）
7援如图9，已知粤月是圆韵的直径，悦是异于粤，月的圆周上的任意一点，孕粤垂直于圆韵所在的平面，若
粤悦越猿，孕粤越源，粤月越缘，则直线孕月与平面孕粤悦所成角的
正弦值为赃赃赃赃赃赃赃赃援
A O
C
B
P
图 9愿援（内蒙古锦山蒙古族中学圆园员愿耀圆园员怨学年高
二上学期期末）已知葬，遭表示直线，琢，茁，酌表示不重
合平面.淤若琢疑茁越葬，遭芴琢，葬彝遭，则琢彝茁；于若葬芴琢，且a垂直于茁内任意一条直线，则琢彝茁；盂若琢彝茁，琢疑茁越a，琢疑酌越遭，则葬彝遭；榆若葬彝琢，遭彝茁，葬椅遭，则琢椅茁.上述命题中，正确命题的序号是赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃援三、解答题（本大题共圆小题，共圆4分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（12分）如图10，已知矩形粤月悦阅，过粤作杂粤彝平面粤B悦D，再过粤作粤耘彝杂月交杂月于耘，过耘作耘云彝杂悦
交杂悦于云，求证：粤云彝杂悦.
A D
CB
EF
S
图 10
员园援（员圆分）（江西省吉安市圆园员愿~圆园员怨学年高二
上学期期末）如图11，四面体孕原粤月悦中，孕粤彝平面
粤月悦，孕粤越员，粤月越月悦越员，粤悦越 圆摇姨 援（员）求证：月悦彝平面孕粤月.（圆）在线段孕悦上是否存在点阅，使得粤悦彝月阅？
若存在，求孕阅的值；若不存在，请说明理由援P
A
B C
图 11
粤 月悦阅
图 6Q E
P
S
学习报·高中数学北师大·必修 2学习报·高中数学北师大·必修 2 责编 陈记梅
照排 仇晓凤
责编 陈记梅
笠本报向全国各省（市）级教研员赠报 信息反馈电话 猿圆猿怨远源圆（兼传真） 笠本报四开四版 全学年 缘圆 期 可随时预订、补订和增订 订阅热线 4432858
照排 仇晓凤练·周周清
笠高中各科电话（区号 0351） 语文 3239655 数学 3239640 物理、化学、生物 3239627 笠投稿邮箱/[email protected] 笠报社地址/太原市三墙路坝陵北街盛世华庭 粤员 座 圆员 层 邮编/0300园怨 笠编辑质量监督联系电话/0351 - 猿圆猿怨远圆远
学 习 报高 中 数 学
栏 目 设 置第一版 悟·提能力本版主要栏目：
传道授业：对本期的知识学
生应该怎样去学习才能理解的
更到位更准确，（员）讲解一些对课
本上难以理解的知识点，（圆）课
本外的但在课堂上需要补充的
知识，（猿）关于本期内容前后衔接
的一些知识点的介绍。
高屋建瓴：对于基础知识涉
及到的基础方法应该怎么用，结
合适当的例题讲解，让大多数学
生达到轻松掌握基本知识及其
解法的目的。
答疑解惑：通过师生问答的
形式，将对本期知识中有疑问的
地方解惑，使学生能在轻松的气
氛中掌握知识。
思想方法：针对当期知识点，
根据新课标所要求学生掌握的
常用数学思想方法进行重点启
发与培养，以帮助学生形成良好
的数学思维习惯。
茅塞顿开：通过例题的求解
过程，阐述解题策略及思路的形
成过程。目的在于培养学生自主学
习的能力，以及对问题的深入掌握。
一击即破：针对有些问题的
一些特殊的巧妙的方法解析，侧
重在传统思路基础上的巧与妙，
重点在思考上。
举一反三：以课本典型例题
或习题为主，对其背景、限制条
件、设问方式等进行变换探究，使同
学们能够打开视野，触类旁通。
知行合一：立足于数学知识
在实际生产和生活中的应用，以
及在其他学科领域中的应用，把
实际问题转化为数学模型来讲
求解，以期达到知行合一的目的。
金榜题名：针对某个知识点
在高考中的题型进行回顾、展
望，并探求其求解策略及技巧，
让学生提前了解并熟悉高考的
相关题型。
运筹帷幄：对于本期基础知
识涉及到的基础方法应该怎么
用，结合适当的例题讲解，化难
为易，让大多数学生达到轻松掌
握基本知识及其解法的目的。或
剖析对某个知识点与其他知识
点的交汇综合，追求思路方法的
拓展性，目的在于培养学生完整
的知识系统。
毫厘千里：对各种典型的错
题进行归类，提炼出针对某类错
误的解题策略。将常考、易错和
能举一反三的典型试题按专题
分类，帮学生掌握考点，做少量
的题，掌握一类题的典型解法。
妙趣横生：从学生的知识结
构和思维发展水平的实际出发，
拓宽学生的知识视野，以增加数
学学习的趣味性。
数学文化：以数学发展史为
主，展示丰富多彩的数学文化，
使读者体会到数学是人类智慧
的结晶，并从中受到启迪，开拓
思路。
第二版 练·堂堂清堂堂清：通过课时分类中对
应的基础题型训练，让学生了解
所学内容在考试中的考查方式，
以什么形式、题材来设计问题。
第三、四版 练·周周清同步分层能力测试题：紧跟
教学进度，不可使用历年高考原
题，可采用一部分高考或竞赛改
编题（改编题请标明出处）。
章节能力测试题：对整章内
容的综合测试。
模块综合能力测试题：对对
应模块所有知识点的综合测试。
练·堂堂清 2020年 1月 22日 第 16期2020年 1月 22日 第 16期
P
CAB
图 1
A D
CB
P
图 4
A
C
B
B1
C1
A 1图 7
§6.1 垂直关系的判定
§6.2 垂直关系的性质
时间：45分钟 满分：愿远分
素养名称
数学抽象
逻辑推理
数学运算
直观想象
数学建模
数据分析
题号2，6，愿，员员
员，圆，猿，源，缘，远，苑，愿，怨，员园，员员，员圆
一、选择题（本大题共6小题，每小题缘分，共30分）
员援在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC，则点S在平面
粤月悦的射影一定在（ ）.粤.月悦边的中线上
月.月悦边的高线上
悦.月悦边的中垂线上
阅.蚁月粤悦的平分线上
圆援在远园毅的二面角的一个面内有一点，它到棱
的距离是愿，那么它到另一个面的距离是（ ）援粤. 猿摇姨 月.圆 猿摇姨悦.猿 猿摇姨 阅.源 猿摇姨猿援（江西省吉安市圆园员愿耀圆园员怨学年高二上学期
期末）设皂，灶为两条不同的直线，琢，茁为两个不同的
平面，下列命题中正确的（ ）.粤援若皂椅琢，皂椅灶，灶椅茁，则琢椅茁月援若皂椅琢，皂彝灶，灶彝茁，则琢椅茁悦援若皂椅琢，皂彝灶，灶椅茁，则琢椅茁阅援若皂彝琢，皂椅灶，灶椅茁，则琢彝茁源.如图员，已知平面琢彝平
面茁，琢疑茁越造，点粤沂琢，粤埸造，直线粤月椅造，直线 粤悦彝造，直线
皂椅琢，皂椅茁，则下列四种位置
关系中，不一定成立的是（ ）.粤.粤月椅皂 月.粤悦彝皂悦.粤月椅茁 阅.粤悦彝茁缘援设平面琢椅平面茁，粤沂琢，月沂茁，悦是粤月的中
点，当粤，月分别在琢，茁内运动时，那么所有的动点悦（ ）.
粤.不共面
月.当且仅当粤，月在两条相交直线上移动时才共面
悦.当且仅当粤，月在两条给定的平行直线上移动
时才共面
阅.不论粤，月如何移动都共面
6.三棱锥孕原粤月悦的两侧面孕粤月，孕月悦都是边长
为圆葬的正三角形，粤悦越 猿摇姨 葬，则二面角粤原孕月原悦的大小为（ ）.
粤.怨园毅 月.猿园毅悦.远园毅 阅.源缘毅二、填空题（本大题共2小题，每小题缘分，共员0分）
苑援在空间四边形粤月悦阅中，若粤月彝悦阅，月悦彝粤阅，则对角线粤悦与月阅的位置关系为________.
愿援（河南省豫南九校联考圆园员愿耀圆园员怨学年高一
上学期期末）在吟粤月悦中，蚁粤悦月越怨园 毅，粤月越愿，
蚁粤月悦越远园毅，孕悦彝平面粤月悦，孕悦越源，酝是粤月上一个动
点，则孕酝的最小值为赃赃赃赃赃赃赃赃赃援三、解答题（本大题共源小题，共源6分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
怨援（员0分）已知在吟粤月悦中，蚁粤悦月越怨园毅，杂粤彝平面粤月悦，粤阅彝杂悦于阅，求证：粤阅彝平面杂月悦.
员园援（员圆分）如图2，已知孕粤彝圆韵所在的平面，粤月是圆韵直径，悦是圆周上任一点.
（员）图中有几个直角三角形？并证明你的结论.（圆）图中有几对平面互相垂直？并证明你的结论援
A O
C
B
P
图 2
员员援（员圆分）（河南省新乡市圆园员愿耀圆园员怨学年高二
上学期期末）如图3，在直三棱柱粤月悦原粤 员月员悦员中，
蚁粤悦月越怨园毅，蚁月粤悦越猿园毅，月悦越员，粤 员粤越 远摇姨 ，点酝在
线段悦悦员上，且粤 员月彝粤酝援（员）求悦酝的长；
（圆）求二面角月原粤酝原悦的大小援
B1
C1 A 1
M
C AB
图 3
员圆援（员圆分）如图4，在四棱锥P-ABCD中，侧面
PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是
边长为2的菱形，蚁BAD=60毅，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.求证：
（1）EN椅平面PDC；（2）BC彝平面PEB；（3）平面PBC彝平面ADMN.
P
C
BA
DNE
M
图 4
（下转第 源 版）
测 试 题同步分层能力 四（测试范围：垂直关系）
图 1粤
月lC m茁
琢
1.设琢，茁是两个不同的平面，l是一条直线，以下
命题正确的个数是（ ）.（1）若l彝琢，琢彝茁，则l芴茁；（2）若l彝琢，琢椅茁，则l彝茁；（3）若l椅琢，琢彝茁，则l彝茁.A.0 B.1 C.2 D.32.在正方体ABCD-A 1B1C1D1的六个面中，与AA 1
垂直的面的个数是（ ）.A.1 B.2 C.3 D.43.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一
个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是
（ ）.A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.不能确定
4.在四棱锥P原ABCD中，已知PA彝底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（ ）.
A.平面PAB彝平面PADB.平面PAB彝平面PBCC.平面PBC彝平面PCDD.平面PCD彝平面PAD5.如图1，三棱锥P原ABC
中，PA彝平面ABC，蚁BAC=90毅，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角是（ ）.
A.90毅 B.60毅C.45毅 D.30毅6援已知直线m与平面琢，则下列结论成立的是
（ ）.A.若直线m垂直于琢内的两条直线，则m彝琢
B.若直线m垂直于琢内的无数条直线，则m彝琢C.若直线m平行于琢内的一条直线，则m椅琢D.若直线m与平面琢无公共点，则m椅琢7援设琢，茁是两个不同的平面，m，n是两条不同直
线，则下列结论中错误的是（ ）.A.若m彝琢，n椅琢，则m彝nB.若m椅n，则m，n与琢所成的角相等
C.若琢椅茁，m芴琢，则m椅茁D.若m彝n，m彝琢，n椅茁，则琢彝茁8援如图圆，在空间四边形粤月悦阅中，粤月越月悦，粤阅越
悦阅，耘为对角线粤悦的中点，下列判断正确的是（ ）.A.平面ABD彝平面BDCB.平面ABC彝平面ABDC.平面ABC彝平面ADCD.平面ABC彝平面BED
A
D
C
EB
图 2
9援如图3的正方体ABCD-A 1B1C1D1，求二面角
D1-AB-D的大小.
A 1
D1 C1B1
CB
DA
图 3
10.点P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC，求证：平面PAC彝平面PBD.
员援在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底
面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂
线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（ ）.粤援相交 月援平行
悦援异面 阅援相交或平行
2.平面琢外不共线的三点A，B，C到琢的距离都相
等，则正确的结论是（ ）.A.平面ABC必平行于琢B.平面ABC必垂直于琢C.平面ABC必与琢相交
D.存在吟ABC的一条中位线平行于琢或在琢内3.已知琢彝茁，下列命题中正确的个数为（ ）.（1）琢内的已有直线必垂直于茁的任意直线；
（2）琢内的已知直线必垂直于茁内的无数条直线；
（3）琢内的任一直线必垂直于茁.A.3 B.2 C.1 D.04.若直线a彝平面琢，b椅琢，则a与b的关系为（ ）.A.a彝b，且a与b相交
B.a彝b，且a与b不相交
C.a彝bD.a与b不一定垂直
5援如图4，已知在四棱锥
P-ABCD中，ABCD是 矩 形 ，
PA彝平面ABCD，则在四棱
锥P-ABCD的任意两个顶点
的连线中，互相垂直的异面直线共有（ ）.粤.猿对 月.源对悦.缘对 阅.远对
远援如图5，已知正方体粤月悦阅原粤 员月员悦员阅员的棱长为
员，耘，云分别为棱月月员，悦悦员的中点，孕为棱月悦上的一点，
且月孕越皂（园约皂约员），则点孕到平面粤耘云的距离为
（ ）.粤. 圆摇姨
圆 月. 缘摇姨缘
悦. 圆摇姨 皂圆 阅. 缘摇姨 皂
缘A D
CPB
E F D1C1B1
A 1
图 5
AB
C
P
图 6苑援如图6，在三棱锥孕原粤月悦中，不能证明粤孕彝月悦
的条件是（ ）.粤.粤孕彝孕月，粤孕彝孕悦月.粤孕彝孕月，月悦彝孕月悦.平面月孕悦彝平面粤孕悦，月悦彝孕悦阅.粤孕彝平面孕月悦愿援如图7，已知正三棱柱
粤月悦原粤 员月员悦员中，各棱长均相
等，则月悦员与平面粤粤 员悦员悦所成
角的余弦值为（ ）.粤. 猿圆 月. 猿摇姨
圆悦. 员园摇姨
源 阅. 员缘摇姨缘
怨.如图8，在吟粤月悦中，月越怨园毅，杂粤彝平面粤月悦，点粤在杂月和杂悦上的射影分别为酝，晕，求证：酝晕彝杂悦.
S
C
M
B
A N
图 8
员园.如图9，已知平面琢彝平面酌，平面茁彝平面酌，琢疑茁越造，求证：造彝酌.
琢
酌
茁l
图 9