不動產估價理論與實務

估 價 數 學

第一章單利

單利意指只對本金計算利息，未來賺得之利息不再滋生利息，稱為單利（simple interest）。單利之計算公式

I＝P×r×t ------------------------------------------（式1-1）S＝P＋IS=終值或P的到期值（或本利和）。I=利息。P=本金或S的現值。r=每期利息的利率（通常為每年）。t=每期的時間（通常以年計算）。

第一章單利S總數的定義

S＝P＋I∵ I＝Prt∴ S＝P＋Prt -------------------------------------------------（式1-2）提出P，得S＝P（1＋rt）------------------------------------------------（式1-3）

（式1-3）中的（1＋rt）稱為單利因子。由P計算S的過程稱為單利的累積。依據（式1-3）並可知P：

-------------------------------------------（式1-4）由S計算P，則稱P為現值（PV）或S的貼現值。（式1-4）的（1+rt）-1稱為現值在單利的貼現因子。

採用年利率時，t須以年計算，若時間條件為月份時，則須換算為：

當時間條件是天數時，則換算為： 。

( ) 111

SP S rtrt

−= = ++

t12

=月數

t365

=天數

第一章單利

例題1-1求一筆貸款100天，本金$5,000，年利率8.5％的單利總值為多少？

解答P＝5,000，t=100天，r=0.085I=Prt（式1-1）

＝$11.64

100I=5,000 0.085365

× ×

第一章單利

例題1-2某甲借了一筆款項，100天之後須償還$1,000。若此筆款項$1,000包括本金與單利之年利率為9％，請問某甲的借款金額為多少錢？

解答S=1,000， ，r=0.09

（式1-3）

=$975.90

100t365

=SP

1 rt=

+1,000p

1001 0.09365

=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

第一章單利

例題1-3設投入$1,000，每年計息1次，年息10％，期間5年，以單利計算其各年本利和。

解答若以P代表本金，I代表利息，r代表年利率，則：I=Pr第1年本利和=P+P×r=P（1+r）第2年本利和=P+2×P×r=P（1+2r）第3年本利和=P+3×P×r=P（1+3r）第n年本利和=P+n×P×r=P（1+nr）---------（式1-5）

第一章單利

例題1-3解答

$1,464.10＋$100.00=$1,500.00$1,000.00×0.1=$100.00第5年

$1,331.00＋$100.00=$1,400.00$1,000.00×0.1=$100.00第4年

$1,210.00＋$100.00=$1,300.00$1,000.00×0.1=$100.00第3年

$1,100.00＋$100.00=$1,200.00$1,000.00×0.1=$100.00第2年

$1,000.00＋$100.00=$1,100.00$1,000.00×0.1=$100.00第1年

本 利 和利 息期 間

第二章複利-名詞定義

名詞定義複利 = 利息若在每期結束時滾入本金中再生利息，稱為複利。複利終值 = 原始投資（本金）與利息之和。利息期間 = 一段連續利率計算的時間區段。r = 每期利率。n = 期數。PV（Present Value）= 現在的金額或現值。FV（Future Value）= 終值（未來值）。FVn = n期後之終值。FVIF（Future Value Interest Factor）= 終值利率因子（複利因子）PVIF（Present Value Interest Factor）= 現值利率因子（現值因子）

第二章複利-終值

例題2-1設投入$1,000，每年計息1次，年息10％，期間5年，以複利計算其利息和求出複利終值。

解答

故 5 年 內 的 利 息 累 積 為 $610.51 ， 複 利 終 值 為$1,610.51。

$1,464.10＋$146.41=$1,610.51$1,464.10×0.1=$146.41第5年

$1,331.00＋$133.10=$1,464.10$1,331.00×0.1=$133.10第4年

$1,210.00＋$121.00=$1,331.00$1,210.00×0.1=$121.00第3年

$1,100.00＋$110.00=$1,210.00$1,100.00×0.1=$110.00第2年

$1,000.00＋$100.00=$1,100.00$1,000.00×0.1=$100.00第1年

終 值利 息期 末

第二章複利-終值

例題2-1解答設P代表第1年期初存入之本金，利率為r，按年計息，則可計算第n年期末之複利終值：

第1年期末：到期之利息 = Pr複利終值 = P+Pr= P（1+r）

第2年期末：到期之利息 = ［P（1+r）］r複利終值 = P（1+r）+［P（1+r）］r= P（1+r）（1+r）= P（1+r）2

第3年期末：到期之利息 = ［P（1+r）2］r複利終值 = P（1+r）2+［P（1+r）2］r= P（1+r）2（1+r）= P（1+r）3

第二章複利-終值第4年期末：

到期之利息 = ［P（1+r）3］r複利終值 = P（1+r）3+［P（1+r）3］r= P（1+r）3（1+r）= P（1+r）4

第5年期末：到期之利息 = ［P（1+r）4］r複利終值 = P（1+r）4+［P（1+r）4］r= P（1+r）4（1+r）= P（1+r）5

以此類推，第n年期末之複利終值公式為：FV = PV（1+r）n -----------------------------------------------------（式2-1）

故為獲得存入本金P，按利率r複利計息，n年後之複利終值FV，即可以 PV乘以複利因子（1+r）n得之。複利因子有時亦稱終值利率因子：

FVIF（終值利率因子） = （1+r）n

故（式2-1）可寫為：FV = PV×FVIF --------------------------------------------------------（式2-2）

第二章複利-終值

例題2-2計算$1,000本金，年利率10％，按年計息，期間10年與20年之複利終值。

解答（1）10年

P= $1,000，r = 0.10，n = 10FV = $1,000（1+0.10）10

= $2,593.70（2）20年

P = $1,000，r = 0.10，n = 20FV = $1,000（1+0.10）20

= $6,727.50

第二章複利-現值

現值將終值轉換成現值的過程，現值的觀念與終值相反，終值是今日貨幣在未來的價值，而現值則是未來的貨幣在今日的價值。用來將未來金額折算成目前價值的利率，稱為折現率（discounting rate）。

有關終值與現值的關係，可依據（式2-2）加以推導得知：

= ------------------------------------（式2-3）

( )1 nFV PV r= +

( )n1PV FV

1 r

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

FV PVIF×

第二章複利-現值

例題2-3某甲預計在10年後存得10萬元，假設年利率10％，則某甲目前應存入多少元？

解答PV = FV×PVIF

= $100,000×0.3855= $38,550

( )101PV $100,000

1 10%= ×

+

第三章年金-名詞定義

名詞定義年金（annuity） = 一種連續期間之金額支付，通常此金額均相同，且間隔的時間也相同（例如，保險金支付、抵押支付與租金支付等）。

償付期間 = 年金的有效支付期間之內。年金期限 = 第一次支付期間開始到最後一次的支付期間。固定年金 = 第一天和最後一天的支付日期是固定的。變動年金 = 年金的期限須依據某些不固定的事件（例如，人壽保險）。

普通年金（ordinary） = 支付是在每一支付期間的期末做償付（例如，公債償還與債券利息支付等）。

期初年金（annuity due） = 支付是在每一支付期間的期初做償付（例如，學費及保險支付等）。

第三章年金-名詞定義

名詞定義2普通年金與期初年金因為支付或領取時點的不同，將相差1期的時間價值，故進行計算時，應先確定年金之種類，避免誤判。一般若無特別註明時，均指普通年金而言

PMT = 每期之年金金額。r = 每期利率。n = 總期數。PV = 現值。FVIFA（Future Value Interest Factor of Annuity）= 年金終值利率因子。

PVIFA（Present Value Interest Factor of Annuity）= 年金現值利率因子。

第三章年金-普通年金的終值

例題3-1（普通年金與期初年金之不同）若某甲於每年定存$16,000（本金），年利率10％，存5期，請以圖示表示期初年金與普通年金之時間價值差異。

解答－期初年金與普通年金之差異：

期初年金

普通年金

0 52 3 4

$16,000 $16,000

1

$16,000 $16,000 $16,000

0 52 3 4

$16,000$16,000

1

$16,000 $16,000 $16,000

第三章年金-普通年金的終值

例題3-2（普通年金的終值計算）承上題，某甲於每年底定存，則5年後可領回多少？

解答

某甲於年底定存，屬普通年金，其終值為每期個別年金終值之總和，如下圖所示：

第三章年金-普通年金的終值

0 52 3 4

$16,000 $16,000

1

$16,000$16,000

$16,000×（1+0.1）0=$16,000（FV5）

$16,000

$16,000×（1+0.1）1=$17,600（FV4）

$16,000×（1+0.1）2=$19,360（FV3）

$16,000×（1+0.1）3=$21,296（FV2）

$16,000×（1+0.1）4=$23,426（FV1）

年金終值=$97,682

第三章年金-普通年金的終值

由上圖可知，普通年金之終值（FV）為每期個別年金終值（FVn）之總和，即：

FV=FV5+FV4+FV3+FV2+FV1=$16,000（1.1）0+$16,000（1.1）1+$16,000（1.1）2+$16,000（1.1）3+$16,000（1.1）4

=$16,000［1+（1.1）1+（1.1）2+（1.1）3+（1.1）4］=$97,682

第三章年金-普通年金的終值

由例題3-2可以得知，若以PMT代表每期投 入 之 年 金 金 額 （ 即 例 題 1 中 的$16,000），r為每期利率，n為總期數，則普通年金的終值可以下列通式表示：

( )

( )

n 1t

t 0

n

FV PMT 1 r

1 r 1 PMT

r =PMT FVIFA

−

=

⎡ ⎤= × +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ −= ×

×

∑

（式3-1）

第三章年金-普通年金的終值

（式3-1）中的 稱為年金終值利率因子（Future Value Interest Factor of Annuity, FVIFA），亦即為等比級數之和S：

若假設每一期末支付$1，共支付n期的普通年金，其於時間表上為：

( )1 1nrr

+ −

0 n2 3 n-1

$1$1

1

$1 $1 $1

n-2

$1

第三章年金-普通年金的終值

欲計算年金的終值，則必須累積每一期末支付$1直到期末的年金，並與以加總，表示如下

年金終值=1+（1+r）1+（1+r）2+…+（1+r）n-2+（1+r）n-1 （式3-2）亦即第1年期末第1次支付的$1，計息為（n-1）年，第2年期末第2次支付的$1，計息為（n-2）年，依此類推。

第三章年金-普通年金的終值

（式3-2）是一個n項的幾何級數，首項（以a表示）為1，公比（以R表示）則為（1+r）。則S之定義為：

S=a+aR+aR2+…+aRn-1 （式3-3）將（式3-3）的每一項乘上公比R：

SR=aR+aR2+…aRn-1+aRn （式3-4）將（式3-3）減去（式3-4），可得：S=a+aR+aR2+…+aRn-1

－ Sr=aR+aR2+…aRn-1+aRn

S（1-R）=a（1-Rn） （式3-5）

S-SR=a-aRn

第三章年金-普通年金的終值

S（1-R）=a（1-Rn） （式3-5）移項式（3-5）可得：

或

將a=1，R=（1+r）代回（式3-6）即可得

( )na 1 RS

1 R

−=

−( )na R 1

sR 1

−=

−

( )( )( )

n1 1 r 1S

1 r 1

+ −=

+ −

( )n1 r 1Sr

+ −= （式3-7）

第三章年金-普通年金的終值

所以，例題 3-2中，某甲每年底存入$16,000，年利率10％，5年後可領回的金額代入（式3-1）可得：

( )51 0.1 1FV $16,000 $97681.600.1

+ −= × =

第三章年金-期初年金的終值

例題3-3（期初年金的終值計算）若某甲於每年定存$16,000（本金），年利率10％，存5期，設某甲於每年初存入，則5年後可領回多少？

解答

本例題即為「期初年金終值」的概念，某甲領回之終值將較期末存入（普通年金）多出一倍之利息（參例題3-1解答（1）之圖示），換言之，係將普通年金之終值再乘以（1+r），即：

( ) ( )n 1

t

t 0FV PMT 1 r 1 r

−

=

⎡ ⎤= × + × +⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

( ) ( )n1 r 1

PMT 1 rr

⎡ ⎤+ −= × × +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦( )1PMT FVIFA r= × × +

=$16,000×6.1051×1.1

=$107,449.80

（式3-8）

第三章年金-普通年金的現值

例題3-4（普通年金的現值）普通年金現值的意義是：現在支付或領回一金額，未來之特定期間內，每一期可領回或須支付多少，亦即未來期間內各期年金之總現值。

若某甲計畫以未來4年取得大學在職進修學位，每年所需費用為10萬元（年底支付），假設利率10％，則某甲目前需準備多少錢，方可負擔未來4年的學費？

解答普通年金現值即每期個別年金現值之總和如下圖：

第三章年金-普通年金的現值

0 2 3 41

$100,000$100,000$100,000$100,000

( )11

1PV 100,000 $90,909.041.1

= × =

( )1 21PV 100,000 $82,644.63

1.1= × =

( )1 31PV 100,000 $75,131.48

1.1= × =

( )1 41PV 100,000 $68,301.35

1.1= × =

$316,986.5

第三章年金-普通年金的現值

由上圖可以得知，普通年金之現值（PV）為每期個別年金現值之總和，即：

PV=PV1+PV2+PV3+PV4

若以PMT代表每期之年金金額（本例題為$100,000），r為每期利率，n為總期數，則普通年金之現值可以下列通式表示：

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 1$100,000 $100,000 $100,000 $100,000

1.1 1.1 1.1 1.1× + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 1$100,000

1.1 1.1 1.1 1.1

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦＝

＝

( )n

tt 1

1PV PMT1 r=

⎡ ⎤= × ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( )( )

n

n

1 r 1PMT

r 1 r

⎡ ⎤+ −× ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦PMT PVIFA×

＝

＝ （式3-9）

第三章年金-普通年金的現值

（式3-9）中的 稱為年金現值利率因子（Present Value Interest Factor of Annuity, PVIFA），亦為公比為之等比級數和，將 視為S，則：

將（式3-10）乘以公比，得到：

( )( )

n

n

1 r 1

r 1 r

+ −

+

( )n

tt 1

11 r= +

∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 n 1 n1 1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + + +

+ + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 n n 11 1 1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r += + + + + +

+ + + + + +

（式3-10）

（式3-11）

第三章年金-普通年金的現值

將（式3-10）減（式3-11）：

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 n 1 n1 1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + + +

+ + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 n n 11 1 1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r += + + + + +

+ + + + + +

( ) ( ) ( )1 n 11 1 1S S

1 r 1 r 1 r +− = −

+ + +

－

得

第三章年金-普通年金的現值

等號左邊提出S，則：( ) ( ) ( )1 n 11 1 1S S

1 r 1 r 1 r +− = −

+ + +

( ) ( ) ( )1 n 11 1 1S 1

1 r 1 r 1 r +⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

( )n 1r 1 1S

1 r 1 r 1 r += −

+ + +

( )n 11 1

1 r 1 rr

1 r

+−+ +

+

( )n 11 1 r 1 1 rS

1 r i r1 r +⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟= × − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠

( )n1 1Sr r 1 r

= −+

S=

第三章年金-普通年金的現值

通分後，得：

所以可將例題4代入（式3-9），則：

( )( )

n

n

1 r 1S

r 1 r

+ −=

+

( )( )

4

4

1 0.1 1PMT PVIFA $100,000

0.1 1 0.1

⎡ ⎤+ −× = × ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

$100,000 3.1699×

= $316,990

( )n1 1Sr r 1 r

= −+

=

第三章年金-普通年金的現值

例題3-4另解若假設每一期末支付$1，共支付n期的普通年金，其於時間表上為：

欲計算年金的現值，則必須累積每一期末支付$1直到期末的年金，並予以加總，表示如下：

0 n2 3 n-1

$1$1

1

$1 $1 $1

n-2

$1

( ) ( ) ( ) ( )2 3 n 1 n1 1 1 1 11 1 1 ... 1 1

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−× + × + × + + × + ×

+ + + + +年金現值（S）=

( ) ( ) ( ) ( )2 3 n 1 n1 1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + + +

+ + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 n 1 nS 1 r 1 r 1 r ... 1 r 1 r− − − − − −= + + + + + + + + + + （式3-12）

第三章年金-普通年金的現值令a代表首項=（1+r）-1，R代表公比=（1+r）-1，則：

S=a+aR+aR2+…+aRn-1

將（式3-13）乘以公比R，得：Sr=aR+aR2+…+aRn-1+aRn

將（式3-13）減（式3-14）：S=a+aR+aR2+…+aRn-1

Sr=aR+aR2+…aRn-1+aRn

S-SR=a-aRn

S（1-R）=a（1-Rn）

（式3-13）

（式3-14）

－

得

n1 RS a1 R−

=−

（式3-15）

第三章年金-普通年金的現值

將a =（1+r）-1，R =（1+r）-1代回（式3-15），則：

分子與分母均乘以（1+r）n

n111 1 rS 11 r 1

1 r

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠= ×+ −

+n11

1 rS1 r 1

⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠=+ −

( )n11

1 rS

r

−+

=

( )( )

n

n

1 r 1S

r 1 r

+ −=

+

第三章年金-期初年金的現值

例題3-5（期初年金的現值）若例題3-4中，某甲計畫以未來4年取得大學在職進修學位，每年所需繳納的10萬元費用改成必須在每年的「年初」支付，假設利率相同為10％，那麼某甲目前需準備多少錢，方可負擔未來4年的學費？

解答本例題即為「期初年金現值」的概念（學費、房租及保險一般現況屬期初支付），某甲須繳納費用之期初年金現值將較期末存入（普通年金）多出一期之時間價值（參下圖），換言之，係將普通年金之現值再乘以（1+r）。

第三章年金-期初年金的現值

0 2 3 41

$100,000$100,000$100,000$100,000

0 2 3 41

$100,000$100,000$100,000$100,000

普通年金現值

期初年金現值

第三章年金-期初年金的現值

意即：

依據（式3-12式）：PV = $100,000×3.1699×1.1

= $348,689

( )( )

n

tt 1

1PV PMT 1 r1 r=

⎡ ⎤= × × +⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( )( )

( )n

n

1 r 1PMT 1 r

r 1 r

⎡ ⎤+ −× × +⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

( )PMT PVIFA 1 r× × + （式3-12）

第三章年金-永續年金的現值

永續年金的現值

永續年金（perpetuity）為一種特殊年金，沒有到期日或期限，由於永續年金是無限期支付或領取的金額，故無法計算其終值，惟其現值可由等比級數之和加以計算而得：

等號左右兩邊各乘以 ，得到：

( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1PV PMT PMT ... PMT PMT

1 r 1 r 1 r 1 r−= × + × + + × + ×

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1PMT ...

1 r 1 r 1 r 1 r−⎡ ⎤

+ + +⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + +

+ + + +

=

設

( )1

1 r+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n n 11 1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r +⎡ ⎤

× = − + + + +⎢ ⎥+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

（式3-17）

（式3-16）

第三章年金-永續年金的現值

將（式3-16）減（3-17），得到

等號左邊通分，得到：

( ) ( ) ( ) ( )1 2 n 1 n1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r−= + + + +

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 n n 11 1 1 1 1S ...

1 r 1 r 1 r 1 r 1 r +⎡ ⎤

× = − + + + +⎢ ⎥+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )n 1S 1 1S

1 r 1 r 1 r +− = −

+ + +

( )( ) ( ) ( )n 1

S 1 r S 1 11 r 1 r 1 r ++ −

= −+ + +

( ) ( )1 n 1r 1 1S

1 r 1 r 1 r +× = −

+ + +

－

第三章年金-永續年金的現值

永續年金無到期日或期限，其意義代表n趨近於無限大，故當n→∞時， ，故：

所以（式3-16）S的值＝ ，亦即永續年金之現值為：

( )n 11 0

1 r +→

+

r 1S1 r 1 r

× =+ +1 1 rS

1 r r+

= ×+

1Sr

=

PV = PMT×S1PMTr

×

PMTr

1r

=

= （式3-18）

第三章年金-永續年金的現值

例題3-6假設某筆土地租金為每年40萬元，若租金固定不變，還原利率為10％，則該筆土地之市價為多少元？

解答

依據（式3-18）：PMTPV

r=

$400,00010%

=$4,000,000

=

第四章公式關係-名詞定義

名詞定義：r = 每期利率。n = 總期數。PV = 現值。S = 年金總和。PMT = 每期之年金金額。FVIF（Future Value Interest Factor）= 終值利率因子（複利因子）。PVIF（Present Value Interest Factor）= 現值利率因子（現值因子）。FVIFA（Future Value Interest Factor of Annuity）= 年金終值利率因子。PVIFA（Present Value Interest Factor of Annuity）= 年金現值利率因子。

第四章公式關係-普通年金關係

經以上三章的說明，可將不動產估價理論之基礎財務數學，歸納為六個公式：

4.2.1 終值利率因子（FVIF）=4.2.2 年金終值利率因子（FVIFA）=4.2.3 償債（沉入）基金因子（Sinking Fund Factor, SFF）=4.2.4 現值利率因子（PVIF）=4.2.5 年金現值利率因子（PVIFA）=4.2.6 貸款常數（Mortgage Constant, MC）=

( )n1 r+( )n1 r 1

r+ −

( )nr

1 r 1+ −

( )n1

1 r+ ( )( )

n

n

1 r 1

r 1 r

+ −

+( )

( )

n

n

r 1 r

1 r 1

+

+ −

第四章公式關係-普通年金關係

其中4.2.1至4.2.3為「終值」概念，4.2.4至4.2.6為「現值」概念，關係如下圖： PV FVn

求單筆金額

互為倒數

求S×（1+r）n

÷（1+r）n

求PMT

互為倒數 互為倒數

×（1+r）n

÷（1+r）n

( )n1

1+r( )n1 r+

( )n 1

i

i 01 r

−

=

+∑( )

n

ii 1

11 r= +

∑( )( )

n

n

1+r -1

r 1+r( )n1+r -1

r

( )( )

n

n

1+r -1

r 1+r ( )n

r1+r 1−

第四章公式關係-普通年金關係

上述公式均屬「普通年金」，若為「期初年金」則公式變更為：

4.2.7年金終值利率因子（FVIFA）=4.2.8 償債（沉入）基金因子（SFF）=4.2.9年金現值利率因子（PVIFA）=4.2.10貸款常數（MC）=

即原因在於期初年金較普通年金多一期

( ) ( )n1 r 1

1 rr

+ −× +

( )nr 1

1 r1 r 1⎛ ⎞×⎜ ⎟+⎝ ⎠+ −

( )( )

( )n

n

1 r 11 r

r 1 r

+ −× +

+( )( )

n

n

r 1 r 11 r1 r 1

+ ⎛ ⎞×⎜ ⎟+⎝ ⎠+ −

第五章綜合例題5-1例題5-1

甲向乙租用一間房屋，租期10年，雙方約定由甲於期初支付一筆權利金3,620萬元作為租金，期間不再支付租金，且權利金到期不退還，如權利金之運用收益率7％，則實際上每年的租金是多少？

解答本題為年金現值已知之題型，未特別註明租金支付的投入時間，故以普通年金計算

PV=3,620萬元r=0.07n=10年

第五章綜合例題5-1圖解法：

3,620=（PMT× ）＋（PMT× ）＋（PMT× ）＋…＋（PMT× ）＋（PMT× ）

0 1 2 3 8 9 10

3,620萬元

？ ？ ？ ？ ？ ？ ？

( )11

1 0.07+ ( )2

11 0.07+

( )31

1 0.07+ ( )91

1 0.07+

( )101

1 0.07+

第五章綜合例題5-13,620=PMT（ ＋ ＋ ＋… ＋＋ ）

3,620=PMT×7.0235815

PMT=

=515.40656（萬元）

( )11

1 0.07+ ( )21

1 0.07+ ( )31

1 0.07+ ( )91

1 0.07+

( )101

1 0.07+

3,6207.0235815

第五章綜合例題5-1公式法：

PV=PMT×PVIFA（r, n）

=PV× （貸款常數）

=3,620×

=3,620×0.142377503

=515.40656（萬元）

( )r , n

1PMT PVPVIFA

= ×

( )( )

10

10

0.07 1 0.07

1 0.07 1

+

+ −

( )( )

n

n

r 1 r

1 r 1

+

+ −

第五章綜合例題5-2例題5-2

甲向乙租用一筆土地，租期5年，雙方約定由甲於期初支付一筆金額2,150萬元，租期屆滿再支付另一筆金額860萬元，期間不再支付租金，利率5％，則實際上每年的租金是多少？

解答本題為年金現值與年金終值均為已知的題型，未特別註明每期租金支付的投入時間，故以普通年金計算後，將兩項所得結果加總後，即可求得PMTPV = 2,150萬元FV = 860萬元r = 0.05n = 5年

第五章綜合例題5-2圖解法：

0 1 2 3 4 5

2,150萬元

？ ？ ？ ？ ？ ？

860萬元

2,150萬元 860萬元

第五章綜合例題5-2現值2,150萬元部份：

2,150=（PMT× ）＋（PMT× ）＋（PMT× ）＋（PMT× ）＋（PMT× ）

2,150=PMT（ ＋ ＋ ＋ ＋ ）

2,150=PMT×0.172357

PMT=

=496.596（萬元）

( )11

1 0.05+ ( )21

1 0.05+

( )31

1 0.05+ ( )41

1 0.05+ ( )51

1 0.05+

( )11

1 0.05+ ( )21

1 0.05+ ( )31

1 0.05+ ( )41

1 0.05+ ( )51

1 0.05+

2,1504.329477

第五章綜合例題5-2終值860萬元部份860=PMT＋

860=

860=PMT×5.525631

=155.6383（萬元）故 PMT=496.596+155.6383

=652.2343（萬元）

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4PMT 1 0.05 PMT 1 0.05 PMT 1 0.05 PMT 1 0.05+ + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4PMT 1 1 0.05 1 0.05 1 0.05 1 0.05⎡ ⎤+ + + + + + + +⎣ ⎦

860PMT5.525631

=

第五章綜合例題5-2

公式法（現值2,150萬元部份 ）：PV=PMT×PVIFA（r, n） （式3-9）

=PV× （貸款常數）

=2,150×

=2,150×0.230975

=496.59625（萬元）

( )r , n

1PMT PVPVIFA

= ×

( )( )

n

n

r 1 r

1 r 1

+

+ −( )

( )

5

5

0.05 1 0.05

1 0.05 1

+

+ −

第五章綜合例題5-2終值860萬元部份

( )nFV

1 r 1r

+ −

( )

( )

n 1t

t 0

n

FV PMT 1 r

1 r 1 PMT

r =PMT FVIFA

−

=

⎡ ⎤= × +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ −= ×

×

∑

FVPMTFVIFA

= 註：1

FVIFA 為償還基金率

= ( )5860

1 0.05 10.05

+ −= 860

5.525631= = 155.6383（萬元）

故 PMT=496.59625+155.6383=652.23455（萬元）

（式3-1）

第五章綜合例題5-3例題5-3

甲向乙租用一間房屋，租期6年，雙方言明退租時甲應回復原狀，甲估計回復原狀費用約150萬元，試換算每年的回復原狀費用是多少？（利率3％）。

解答本題為年金終值已知的題型，未特別註明每期租金支付的投入時間，故以普通年金計算

FV=150萬r=0.03n=6年

第五章綜合例題5-3圖解法：

0 1 2 3 4 5

？ ？ ？ ？ ？ ？ ？

150萬元

6

150=PMT＋150=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5PMT 1 0.03 PMT 1 0.03 PMT 1 0.03 PMT 1 0.03 PMT 1 0.03+ + + + + + + + +( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5PMT 1 1 0.03 1 0.03 1 0.03 1 0.03 1 0.03⎡ ⎤+ + + + + + + + + +⎣ ⎦

150=PMT×6.46841150PMT

6.46841= =23.1896（萬元）

故 PMT=23.1896（萬元）

第五章綜合例題5-3

公式法：

( )

( )

n 1t

t 0

n

FV PMT 1 r

1 r 1 PMT

r =PMT FVIFA

−

=

⎡ ⎤= × +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ −= ×

×

∑

FVPMTFVIFA

= 註：1

FVIFA 為償還基金率

( )nFV

1 r 1r

+ − ( )6

1501 0.03 1

0.03+ −

1506.46841

= ==

= 23.1896（萬元）

（式3-1）

第五章綜合例題5-4例題5-4

甲向乙租一筆土地作為出租停車場，租期8年，惟雙方言明乙應於期初整地，花費820萬元，耐用年數8年，試換算每年的整地費用。（利率12％）

解答

本題為年金現值已知之題型，未特別註明租金支付的投入時間，故以普通年金計算

PV=820萬元r=0.12n=8年

第五章綜合例題5-4圖解法：

0 1 2 3 6 7 8

820萬元

？ ？ ？ ？ ？ ？ ？

第五章綜合例題5-4

820=（PMT× ）＋（PMT× ）＋（PMT× ）＋…＋（PMT× ）＋（PMT× ）

820=PMT（ ＋ ＋ ＋…＋＋ ）

820=PMT×4.96764

PMT=

=165.0683（萬元）

( )11

1 0.12+ ( )21

1 0.12+

( )31

1 0.12+ ( )71

1 0.12+

( )81

1 0.12+

( )11

1 0.12+ ( )21

1 0.12+ ( )31

1 0.12+ ( )71

1 0.12+

( )81

1 0.12+

8204.96764

第五章綜合例題5-4

公式法：

PV=PMT×PVIFA（r, n）

=PV× （貸款常數）

=820×

=820×0.201303

=165.0685（萬元）

( )r , n

1PM T PVPVIFA

= ×

( )( )

n

n

r 1 r

1 r 1

+

+ −( )

( )

8

8

0.12 1 0.12

1 0.12 1

+

+ −

第五章綜合例題5-5例題5-5

甲向台北市政府承租一個攤位，每年租金15萬元，租期6年，經過2年後，甲擬將該攤位盤給他人，經查附近同一規格攤位之市場租賃行情每年21萬元，試問甲將該攤位盤給他人之權利金為多少？（利率5％）

解答本題題意所指之權利金為多少？似宜改為盤給他人後之利潤為多少較為明確。故本題意屬PMT已知（即每年利潤：21-15=6（萬元）），求年金現值之題型，未特別註明租金支付的投入時間，故以普通年金計算

PMT＝21－15＝6（萬元）r＝0.05n＝6－2＝4（年）

第五章綜合例題5-5圖解法：

0 1 2

15萬元 15萬元

？ ？ ？ ？ ？

0 1 2 3 4

6萬元 6萬元 6萬元 6萬元

第五章綜合例題5-5

FV=

=

=6×3.545951

=21.2757（萬元）

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 16 6 6 6

1 0.05 1 0.05 1 0.05 1 0.05× + × + × + ×

+ + + +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41 1 1 16

1 0.05 1 0.05 1 0.05 1 0.05

⎡ ⎤× + + +⎢ ⎥

+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

第五章綜合例題5-5

公式法：

( )

n

tt 1

1PV PMT1 r=

⎡ ⎤= × ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦∑

( )( )

n

n

1 r 1PMT

r 1 r

⎡ ⎤+ −× ⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦=

PMT PVIFA×=( )

( )

4

4

1 0.05 16

0.05 1 0.05

+ −×

+=

= 6×3.545951

= 21.2757（萬元）

（式3-9）