Chapitre 12 : Propagation d’ondes

1. Définition

• Onde : vibration/perturbation qui se propage dans un milieu matériel

Mexican wave

• Exemple : ondes de surface

2 informations :

longueur d’onde

période

pulse = élément d’une ondetrain = succession de pulsesfront = premier pulse

!

T

• Caractéristiques :

2. Types d’ondes

• Ondes longitudinales (L)

• Ondes transversales (T)

• Composion (L+T)

- ondes acoustiques- ondes sismiques- files d’attente[ondes de compression]

- ondes électromagnétiques (lumière) - ondes sismiques- cordes d’un guitare[ondes de cisaillement]

- vagues-

vibration

vibration

v

v

v

v

trajectoires circulaires

3. Déplacement d’ondes

• Formulation mathématique d’une onde :

y = f(x ! vt)

y = f(x + vt)

y

x

vt

• Déplacement d’un pulse : le sommet se déplace à vitesse constante

2vt

y(x, t)

v

v

4. Superposition des ondes• Slinky :

y1

y2

y1 + y2

v

v

• Principe de superposition :

Les amplitudes s’additionnent : y = y1 + y2

5. Réflexion d’ondes

• 2 cas distincts :

brin libre : onde réfléchie

brin fixe : onde renversée

action-réaction

• Exemples :

- câbles haute tension

- piscine olympique

galop

oscillations

flotteurs

vagues dans les couloirs

6. Ondes sinusoïdales

v

y

x

y = A sin

!

2!

"(x ! vt)

"

périodicité spatiale position

y = A sin (kx ! !t)

k =2!

"

! =2"

T

v =

!

T

nombre d’onde

fréquence angulaire

• Déphasage :y

x

! = 2"!x

#y = A sin(kx ! !t + ")

y = A sin(kx ! !t)

!x

- spatial

- temporel

idem mais décalage dans le temps : ! = 2"!t

T

7. Onde et transfert d’énergie• Rôle d’une onde :

Une onde transporte de l’énergie !

!y

v

m

m

• Onde sinusoïdale : y = A sin(kx ! !t)

vy =dy

dt= !A! cos(kx ! !t)

ay =dvy

dt= !A!

2 sin(kx ! !t)

chaque portion de l’onde suit un mouvement harmonique vertical

dm = µdx

- bilan d’énergie pour une portion de matière

dK =1

2dm v2

y =1

2(µdx) v2

y

dK =1

2µ [A! cos(kx ! !t)]2 dx

t = 0

K! =

! !

0

dK =

! !

0

1

2µ!2A2

cos2 kx dx =

1

4µ!2A2"

si on photographie l’onde et on calcule

qui est l’énergie cinétique contenue dans un élément de l’onde

de même, U! =1

4µ!2A2"

E! = U! + K! =1

2µ!2A2"

Energie transportée proportionnelle au carré de la fréquence et au carré de l’amplitude.

- puissance :

représente le taux d’énergie transportée dans une onde sinusoïdale.

P =E!

T=

1

2µ!2A2v

8. Equation d’onde• Décrire le mouvement d’une portion de corde AB.

!A

!B

T

T

!Fy = T sin !B ! T sin !B " T (tan !B ! tan !A)

!

Fy = T

"#

!y

!x

$

B

!

#

!y

!x

$

A

%

!

Fy = may = µ dx

"

!2y

!t2

#

Newton :

µ

T

!

!2y

!t2

"

=(!y/!x)B ! (!y/!x)A

dx

tension

µ

T

!

!2y

!t2

"

=

!2y

!x2

• On obtient une équation aux dérivées partielles :

y = A cos(kx ! !t)

l’onde sinusoïdale est bien une solution de cette équation

k2=

µ

T!2avec

• Ainsi, la vitesse d’une onde est donnée par :

v =

!

T

µ

!2y

!x2=

1

v2

!2y

!t2