1

5

語意變數與模糊若—則規則

2

定義 5.1

• 如果一個變數能以自然語言的文字來代替它的值，它被稱為語意變數 (linguistic variable) ，其中這個文字在論域中能被模糊集合歸納定義。

3

範例 5.1

車速是變數 x 在區間 [0,Vmax] 上取值，其中 Vmax

是車速的最大值。我們現在要定義如圖 5.1 所示在 [0,Vmax] 上三個模糊集合「慢」、「中」，與「快」。如果我們視 x 為語意變數，則它以「慢」、「中」，與「快」來代表它的值。也就是我們稱「 x 是慢」、「 x 是中」與「 x是快」。當然， x 也可以在區間 [0,Vmax] 上取它的值，例如， x= 時速 50 哩、 35 哩等等。

4

定義 5.2

• 一個語意變數 (linguistic variable) 被 (X,T,U,M)特性化，其中：– X 是語意變數的名稱；在範例 5.1 中 X 是車速。– T 是 X 能代表的語意值的集合；在範例 5.1 中， T=｛慢，中，快｝。

– U 是實際物理範圍，而其語意變數代表它的量（明確）值；在範例 5.1 中， U=[0, Vmax] 。

– M 是一個語意的規則關連在 T 上的每一個語意值且具有 U 上的模糊集合；在範例 5.1 中， M 關連「慢」、「中」與「快」，且具有如圖 5.1 所示的歸屬函數。

5

5.1 從數字變數到語意變數

1

0 35 55 75maxV

(車速 每小時英哩數 )

慢 中 快

5.1　車速為語意變數能在模糊集合中取「快」、「中」與「慢」當成它的值。

6

5.1 從數字變數到語意變數

5.2　從數值變數到語意變數

7

5.2 語意藩籬 • 一般而言，一個語意變數的值是一個合成

項 x=x1x2…xn是一連串的最小項 x1, x2,…, xn。這些最小項 (atomic term) 可歸納為三組：– 主要項，而其是模糊集合的標籤；在範例 5.1中，它們是「慢」、「中」與「快」。

– 補數「非」與連接詞「與」以及「或」。– 藩籬，例如「非常」、「輕微」、「恰好」等等。

8

定義 5.3

• 令 A 是在 U 上的模糊集合，則非常 A 被定義為在 U 上的模糊集合，其歸屬函數為

(5.1)

以及恰好 A 是在 U 上的模糊集合，其歸屬函數為

(5.2)

2( ) [ ( )]A Ax x 非常

1/ 2( ) [ ( )]A Ax x 恰好

9

範例 5.2

• 令 U={1, 2, …, 5} 以及模糊集合小被定義為(5.3)

則根據 (5.1) 與 (5.2) 式，我們得到(5.4)

(5.5)

(5.6)

1/1 0.8 / 2 0.6 / 3 0.4 / 4 0.2 /5 小

1/1 0.64 / 2 0.36 / 3 0.16 / 4 0.04 /5 非常小( )

1/1 0.4096 / 2 0.1296 / 3 0.0256 / 4 0.0016 /5

非常非常小 非常 非常小

1/1 0.8944 / 2 0.7746 / 3 0.6325/ 4

0.4472 /5

恰好為小

10

5.3 模糊若—則規則 • 在第 1 章中我們提到在模糊系統與控制中，人類知識是以模糊若—則規則來表示。一個模糊若—則規則 (fuzzy IF-THEN rule) 是附有條件的陳述，且表示為

若 < 模糊命題 > ，則 < 模糊命題 > (5.7)

11

5.3 模糊若—則規則• 5.3.1 　模糊命題

– 模糊命題有二種類型：極小模糊陳述與混合模糊陳述。一個極小模糊命題 (atomic fuzzy proposition) 是一個單個陳述

x 是 A (5.8)

其中 x 是語意變數，以及 A 是 x 的語意值（也就是 A 是一個模糊集合定義在 x 的物理範圍上）。

12

5.3 模糊若—則規則x 是 S (5.9)

x 是 M (5.10)

x 是 F (5.11)

x 是 S 或 x 不是 M (5.12)

x 不是 S 與 x 不是 F (5.13)

（ x 不是 S 與 x 不是 F ）或 x 是 M (5.14)

13

5.3 模糊若—則規則• 混合模糊命題必須如模糊關係般能夠被瞭解。如何決定這些模糊關係的歸屬函數呢？– 對連接詞「與」使用模糊交集：特別是令 x 與 y 分別是在物理範圍 U 與 V 上的語意變數，以及 A 與 B 分別是U 與 V 上的模糊集合，則混合模糊命題是

x 是 A 與 y 是 B (5.15)

被解釋為在 U×V 上的模糊關係 A∩B ，而其歸屬函數為

(5.16)

其中 t:[0,1]×[0,1]→[0,1] 是任意 t- 基準。

( , ) [ ( ) , ( )]A B A Bx y t x y

14

5.3 模糊若—則規則– 對連接詞「或」使用模糊聯集：特別是混合模糊命題

x 是 A 或 y 是 B (5.17)

被解釋為在 U×V 上的模糊關係 A∪B ，而其歸屬

函數為(5.18)

其中 s:[0,1]×[0,1]→[0,1] 是任意 s- 基準。– 對連接詞「非」使用模糊補集：也就是以 取代非 A ，而其是根據第 3 章的補數運算子定義。

A

( , ) [ ( ) , ( )]A B A Bx y s x y

15

範例 5.3

模糊命題 (FP) (5.14) 式，也就是(5.19)

是在乘積空間 [0, Vmax]3上的模糊關係，而其歸屬函數

(5.20)

其中 s, t 與 c 分別是 s- 基準、 t- 基準與模糊補數運算子，模糊集合 s= 小、 M= 中與 F=快定義於圖 5.1 ，並且 x1=x2=x3=x 。

( )FP x S x F x M 是 與 不是 或 是

1 2 3 1 2 3( , , ) { [ ( ) , ( ( ))] , ( )}FP S F Mx x x s t x c x x

16

5.3 模糊若—則規則• 5.3.2 　模糊若—則規則的解釋

– 從表 5.1 我們看到如果 p 與 q 二者皆為真或假時，則p→q 為真；如果 p 為真與 q 為假時，則 p→q 為假；並且如果 p 為假與 q 為真時，則 p→q 為真。因此， p→q等效於

(5.21)

與(5.22)

就某方面來說，它們共同相同的真值表（表 5.1 ）為p→q ，其中 、 與 分別代表（古典的）邏輯運算「非」、「或」以及「與」。

p q

( )p q p

17

5.3 模糊若—則規則

p q p→q

T T T

T F F

F T T

F F T

5.1　針對 p→q 的真值表

18

5.3 模糊若—則規則• Dienes-Rescher 蘊涵：如果我們以基本模糊補集 (3.1) 以及基本模糊聯集 (3.2) 分別取代 (5.21) 式的邏輯運算子 以及 ，則我們得到稱為 Dienes-Rescher 蘊涵。特別地，模糊若—則規則若 <FP1> 則 <FP2> 被解釋為在 U×V 上的模糊關係 QD，而其歸屬函數為

(5.23)1 2

( , ) max[1 ( ) , ( )]DQ FP FPx y x y

19

5.3 模糊若—則規則• Lukasiewecz 蘊涵：如果我們使用 (3.10) 式的 Yager s- 基準，對 取 w=1 以及對 (5.21) 式的 取基本模糊補集 (3.1) ，我們得到 Lukasiewicz 蘊涵。特別地，模糊若—則規則若 <FP1> 則 <FP2> 被解釋為在上U×V 的一個模糊關係 QL，而其歸屬函數為

(5.24)1 2( , ) min[1,1 ( ) ( )]

LQ FP FPx y x y

20

5.3 模糊若—則規則• Zadeh 蘊涵：這邊的模糊若—則規則若

<FP1> 則 <FP2> 被解釋為在 U×V 上的模糊關係 QZ，而其歸屬函數為

(5.25)

明顯地，分別對 、 與 藉由使用基本模糊補集 (3.1) 、基本模糊聯集 (3.2) 以及基本模糊交集 (3.3) ，從 (5.22) 可以得到 (5.25) 。

1 2 1( , ) max[min( ( ) , ( )) ,1 ( )]

ZQ FP FP FPx y x y x

21

5.3 模糊若—則規則• Gödel 蘊涵： Gödel 蘊涵在古典邏輯是聞名的蘊涵公式。藉由歸納它到模糊命題，我們得到下列：模糊若—則規則若 <FP1> 則<FP2> 被解釋為在 U×V 的一個模糊關係 QG，而其歸屬函數為

(5.26)1 2

2

1 ( ) ( )( , )

( )G

FP FP

QFP

x yx y

y

若

其它

22

引理 5.1

• 對所有 ，下列為真(5.27)

( , )x y U V

( , ) ( , ) ( , )Z D LQ Q Qx y x y x y

23

5.3 模糊若—則規則(5.28)

(5.29)

(5.30)

1 2FP FP >若 則

1 2FP FP > <若 則 否則 無關

p q p q

24

5.3 模糊若—則規則• Mamdani 蘊涵： (5.28) 的模糊若—則規則被解釋為在 U×V 上的一個模糊關係 QMM 或QMP，而其歸屬函數為

(5.31)

或(5.32)

1 2( , ) min[ ( ) , ( )]

MMQ FP FPx y x y

1 2( , ) ( ) ( )

MPQ FP FPx y x y

25

範例 5.4

令 x1是車速、 x2是加速度以及 y 是用於油門的力量。考慮下列的模糊若—則規則：若 x1是慢的與 x2是小的，則 y 是大的 (5.33)其中「慢的」是定義於圖 5.1 的模糊集合，也就是

(5.34)「小的」是在加速度範圍內的模糊集合，而其歸屬函數為

(5.35)

1

1

551 120

1

1 35

( 35 55

0 55

x

x

x x

x

慢的

若

)= 若若

210210

22

0 10(

0 10

x xx

x

小的

若)=

若

26

範例 5.4

以及「大的」是施加於油門力量範圍內的模糊集合，而其歸屬函數為

(5.36)

令 x1, x2 與 y 的範圍分別是 U1=[0,100], U2 =[0,30] 以及 V=[0,3] 。如果我們使用 (5.16) 式中的 t- 基準的代數乘積，則模糊命題為

FP1=x1是慢的與 x2是小的 (5.37)

0 1

( 1 1 2

1 2

y

y y y

y

大的

若)= 若

若

27

範例 5.4

是一個在 U1×U2上的模糊關係，而其歸屬函數為

(5.38)

圖 5.3 圖解說明如何計算 。

1

2

1 2

1 2 1 2

1 2

101 210

(55 )(10 )1 2200

( , ) ( ) ( )

0 55 10

35 10

35 55 10

FP

x

x x

x x x x

x x

x x

x x

慢的 小的

若 或

= 若 與

若 與

1 1 2( , )FP x x

28

範例 5.4

35 551x

慢的

小的

10

2x 0

x x1 2( ) ( )慢的 小的5.3　圖解說明範例 5.4 如何去計算

29

範例 5.4

如果我們使用 (5.23) 式的 Dienes-Rescher 蘊涵，則 (5.33) 式的模糊若—則規則被解釋為在 U1×U2×V 上的模糊關係 QD(x1,x2,y) ，而其歸屬函數為

(5.39)

從 (5.38) 式我們得到

(5.40)

11 2 1 2( , , ) max[1 ( , ) , ( )]DQ FPx x y x x y 大的

1

1 2

1 2

1 2 2 1 2

(55 )(10 )1 2200

1 55 10

1 ( , ) /10 35 10

1 35 55 10

FP

x x

x x

x x x x x

x x

若 或= 若 與

若 與

30

範例 5.4

為了要幫助我們結合 (5.40) 式的 且具有 (5.36) 式使用 max 運算子的 μ 大的 (y) ，我們以圖 5.4 來圖解說明與的範圍分界與它們的結合。從圖 5.4 ，我們得到

(5.41)

對於 Lukasiewicz, Zadeh 與 Mamdani 蘊涵，我們能使用相同的程序來決定歸屬函數。

1 1 21 ( , )FP x x

1 2

1 2

1 2

1 2

2 1 2

(55 )(10 )1 2200

2 1 2

(55 )(10 )1 2200

( , , )

1 55 10 2

/10 35 10 1

1 35 55 10 1

max[ 1, /10] 35 10 1 2

max[ 1,1 ] 35 55 10 1 2

DQ

x x

x x

x x y

x x y

x x x y

x x y

y x x x y

y x x y

若 或 或若 與 與

若 與 與若 與 與

若 與 與

31

範例 5.4

5.4　範例 5.4 中 與的範圍分界與其合成

1y

2y

1 2y

1y

1

2

5510

xx

或1

2

3510

xx

與1

2

35 5510

xx

與

1 2( , )x x

FP x x1 1 21 ( , ) y( )大的

32

範例 5.4 （續）假設我們使用

(5.42)

來近似 (5.34) 式中的 μ 慢的 (x1) ，

(5.43)

來近似 (5.35) 式中 μ 小的 (x2) ，以及(5.44)

1 455

11

( )1

xxe

慢的

2 52

21

( )1

xxe

小的

2( 1.25)

1( )

1 yy

e

大的

33

範例 5.4 （續）來近似 (5.36) 式中的 μ 大的 (y) 。現在如果我們使用 (5.32) 式中的 Mamdani 乘積蘊涵與 (5.16) 式中對 t- 基準的代數乘積，則歸屬函數 μQMP

(x1,x2,y) 可被簡單計算為

(5.45)1 245 55 2

1 2 1 2

2( 1.5)

( , , ) ( ) ( ) ( )

1

(1 )(1 )(1 )

MP

x x

Q

y

x x y x x y

e e e

慢的 小的 大的

34

範例 5.5

令 U={1,2,3,4} 以及 V={1,2,3} 。假若我們知道 與 成反比。要公式化這個知識，我們可以使用下列的模糊若—則規則：

若 x 是大的，則 y 是小的 (5.46)

其中模糊集合「大的」與「小的」定義為(5.47)

(5.48)

x U y V

0 /1 0.1/ 2 0.5/ 3 1/ 4 大的1/1 0.5/ 2 0.1/ 3 小的

35

範例 5.5

如果我們使用 (5.23) 式中的 Dienes-Rescher 蘊涵，則 (5.46) 式的模糊若—則規則被解釋為下列在 U×V上的模糊關係 QD：

(5.49)

如果我們使用 (5.24) 式的 Lukasiewicz 蘊涵，則規則 (5.46) 變為：

(5.50)

1/(1 ,1) 1/(1 , 2) 1/(1 , 3) 1(2 ,1) 0.9 /(2 , 2)

0.9 /(2 , 3) 1/(3 ,1) 0.5/(3 , 2) 0.5/(3 , 3)

1/(4 ,1) 0.5/(4 , 2) 0.1/(4 , 3)

DQ

1/(1 ,1) 1/(1 , 2) 1/(1 , 3) 1/(2 ,1) 1/(2 , 2)

1/(2 , 3) 1/(3 ,1) 1/(3 , 2) 0.6 /(3 , 3) 1/(4 ,1)

0.5/(4 , 2) 0.1/(4 , 3)

LQ

36

範例 5.5

對於 (5.25) 式的 Zadeh 蘊涵以及 (5.26) 式的 Gödel 蘊涵，我們得到

(5.51)

以及(5.52)

1/(1 ,1) 1/(1 , 2) 1(1 , 3) 0.9 /(2 ,1) 0.9 /(2 , 2)

0.9 /(2 , 3) 0.5 /(3 ,1) 0.5 /(3 , 2) 0.5 /(3 , 3)

1/(4 ,1) 0.5/(4 , 2) 0.1/(4 , 3)

ZQ

1/(1 ,1) 1/(1 , 2) 1/(1 , 3) 1/(2 ,1) 1/(2 , 2)

1/(2 , 3) 1/(3 ,1) 1/(3 , 2) 0.1/(3 , 3) 1/(4 ,1)

0.5/(4 , 2) 0.1/(4 , 3)

GQ

37

範例 5.5

最後，如果我們使用 (5.31) 與 (5.32) 式的Mamdani 蘊涵，則 (5.46) 的模糊若—則規則變成

(5.53)以及

(5.54)

0 /(1 ,1) 0 /(1 , 2) 0 /(1 , 3) 0.1(2 ,1) 0.1/(2 , 2)

0.1/(2 , 3) 0.5/(3 ,1) 0.5/(3 , 2) 0.1/(3 , 3)

1/(4 ,1) 0.5/(4 , 2) 0.1/(4 , 3)

MMQ

0 /(1 ,1) 0 /(1 , 2) 0 /(1 , 3) 0.1/(2 ,1) 0.05/(2 , 2)

0.01/(2 , 3) 0.5/(3 ,1) 0.25/(3 , 2) 0.05/(3 , 3)

1/(4 ,1) 0.5 /(4 , 2) 0.1/(4 , 3)

MPQ

38

5.4 總結與更多的閱讀 • 語意變數的概念與藩籬的特性化。• 模糊命題與模糊若—則規則的概念。• 模糊若—則規則的不同解釋，包含 Dienes-

Rescher, Lukasiewicz, Zadeh, Gödel 以及Mamdani 蘊涵。

• 這些蘊涵的特性與計算。